Modulo 2Modulo 2“L’algebra dei “L’algebra dei

polinomi”polinomi”

Modulo 2Modulo 2“L’algebra dei “L’algebra dei

polinomi”polinomi”

Mappe, schemi riassuntivi ed Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioniesercitazioni

Docente: Donatiello AngelaDocente: Donatiello Angela

Istituto Superiore “E.Fermi” Castellanza (VA)

Classi: I IGEA – I LICEO

Introduzione

Fino ad ora abbiamo operato prevalentemente con i numeri interi o

razionali, utilizzando operazioni aritmetiche, ma abbiamo anche

incontrato alcune regole scritte con l’uso delle lettere. Tale formalismo richiama il

linguaggio simbolico dell’algebra, in quanto oltre ai numeri, compaiono anche simboli letterali. In questo modulo sarai condotto all’interno del calcolo letterale, imparando ad operare con i monomi, i

polinomi e le frazioni algebriche.

Mappa concettuale del modulo

Formule letterali: variabili e costanti

Consideriamo un triangolo e chiamiamo b la base ed h

l’altezza. Come ben sapete l’area del triangolo si calcola utilizzando la formula scritta a lato. In questa

formula b ed h sono lettere che possono assumere diversi valori a seconda dei casi, possono dunque variare. Diremo dunque che b ed

h sono variabili. Il numero 2 invece non cambia se variano la base e l’altezza, per cui diremo che 2 è una costante.

h

b

2

hbA

Assegnazione di valori alle variabili:dal caso generale al caso particolare

Il concetto di variabile è un concetto fondamentale in matematica e viene utilizzato per esprimere proprietà

generali, come ad esempio l’area di un triangolo qualsiasi. Se dovessimo

calcolare l’area per un triangolo particolare, dovremmo assegnare dei valori precisi alle nostre due variabili.

2

hbA

b = 3

h = 2

32

23

A

Proprietà generale

Caso particolare

Formula letterale Caso generale

Assegnazione di valori alle variabili

Caso particolare

Il linguaggio dell’algebra è un linguaggio simbolico che ci permette di rappresentare in forma letterale

proprietà generali. Studiare l’algebra non significa quindi acquisire solo tecniche di calcolo, ma soprattutto

affinare le proprie capacità di astrazione, sapendo riconoscere nell’impostazione di un problema, le variabili fondamentali che entrano in gioco e le

relazioni matematiche che le legano.

Linguaggio simbolico dell’algebra

AlgebraLinguaggio simbolico

(si manipolano lettere anziché numeri)

Nota storica

François Viète, (Fontenay-le Comte 1540 - Parigi 1603), matematico e uomo politico francese. Conseguì il baccalaureato in diritto nel 1560. A partire dal 1602 lavorò alle sue prime opere scientifiche e fu autore di un sistema notazionale di simbolizzazione dell'algebra, grazie al quale fu possibile applicare il formalismo algebrico allo studio della geometria. Viète introdusse inoltre l'uso delle lettere nel calcolo per rappresentare le quantità note e le incognite e portò contributi fondamentali alla teoria delle equazioni.

Raffaele Bombelli, (Bologna 1526 – Roma 1572), matematico italiano, fu uno dei grandi algebristi del Rinascimento. Il suo contributo alla matematica è contenuto in un trattato di algebra in 3 volumi (il progetto originale ne prevedeva 5), pubblicato l’anno della sua morte e intitolato Algebra. Il trattato comprende regole di computo per numeri negativi e relative dimostrazioni. Bombelli però, nel dimostrare proprietà generali, utilizzava ancora numeri, anziché lettere. La vera rivoluzione si ebbe invece nel 1600, grazie a Viète.

Euclide di Alessandria d'Egitto, attivo nel 300 a.C. Matematico greco formatosi probabilmente ad Atene presso l'Accademia platonica, insegnò geometria ad Alessandria d'Egitto, dove fondò una scuola di matematica. Nel suo capolavoro, gli Elementi le proprietà algebriche vengono trattate utilizzando segmenti e figure geometriche. Bisogna aspettare il Rinascimento per veder fiorire l’algebra come disciplina autonoma.

Differenza tra espressione letterale e valore dell’espressione

Espressione Valore dell’espressione

52

3

a

a 121

353

23

3

con a = 3

Caso particolareCaso generale

Se cambia il valore della variabile

Cambia il valore dell’espressione

Esempi esplicativi

1. Consideriamo l’espressione letterale 3 + a – 2 b

Diciamo che a e b sono variabili, mentre 3 e 2 sono costanti.

2. Consideriamo l’espressione letterale x + 2 y . Il valore di tale espressione per x = 1 e y = 5 è:

1 + 2 5 = 1 + 10 = 11

Convenzione di scrittura

Al posto di Scriveremo

x y xy

2 x 2x

3 (x + y) 3(x + y)

Indicheremo generalmente le variabili con le lettere minuscole

monomi

Espressione in cui compare solo

l’operazione di moltiplicazione

2x3y4 4xy5z ab3 5ax2yb5

Grado di un monomio

Somma degli esponenti dei fattori letterali

x xy x2y3z5 x0 5

1 1+1=2 002+3+5=10

Analizziamo un monomio

Coefficiente numerico

Parte letterale

3 x2 y b5

Grado: 2+1+5 = 8

Esercitazioni

1. Scrivi le espressioni algebriche che indicano le seguenti operazioni:

a. Sommare alla metà di a il doppio di b.

b. Sottrarre al triplo di a il cubo di b.

2. Calcolare il valore numerico delle seguenti operazioni letterali, assegnando alle lettere i valori indicati:

a. -5a+2b+3ab con a = -2 e b = 4 R: [-6]

b. 3a2-6a+3 con a = 3 R: [12]

c. con x = 2 R: [-3]

d. x2+3y-z con x = -5; y = -3; z = 6 R: [10]

2

2x3

1x

1x2

Esercitazioni

1. Stabilisci quali delle seguenti espressioni algebriche sono monomi:

x2y; a + b; x3y2z; 5a4 – b; x(-y)(z3a4b2); 4(x-y)

2. Per ognuno dei seguenti monomi indica il coefficiente, la parte letterale e il grado:

xyz2; 5x3y4z; 2abc; 8; -a2b4xy5

3. Scrivi un monomio di ottavo grado che abbia come parte letterale solo tre variabili.

4. Scrivi un monomio di sesto grado che sia di quarto rispetto alla lettera y e che abbia coefficiente uguale ad 1.

5

3

Monomi simili

Hanno la stessa parte letterale

Monomi simili:

2x3yz2 5x3yz2

Monomi non simili:

4xy7 3x2y

Somma algebrica di monomi

La loro somma restituisce un unico monomio:

2x3yz2 + 5x3yz2 = (2+5) x3yz2 == 7 x3yz2

La loro somma non è un unico monomio

ma un polinomio4xy7 + 3x2y

Monomi simili:

2x3yz2 5x3yz2

Monomi non simili:

4xy7 3x2y

L’insieme dei monomi non è chiusorispetto alla somma

La somma di due monomi simili è un nuovo monomio che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti e

come parte letterale la stessa parte letterale

La somma di due monomi simili di grado n è ancora un monomio di grado n

5xy + 3xy = (5 + 3)xy = 8xy

5xy ha grado 23xy ha grado 2

(5 + 3)xy = 8xy ha grado 2

Moltiplicazione di monomi

1. Si moltiplicano i coefficienti numerici2. Si moltiplicano tra loro i fattori letterali3. Se ci sono fattori letterali comuni: si applicano le proprietà delle potenze

Esempio:

5b2 4b3 = = (5 4) b2 b3 = 20 b2+3 =

= 20 b5

Grado = somma dei gradi5 = 2 + 3

L’insieme dei monomi è chiuso rispetto alla moltiplicazione

Potenza di monomi

La potenza di un monomio è uguale al prodotto delle potenze dei suoi fattori

(-2x2yz3)2 = (-2)2(x2)2(y)2(z3)2 = 4x4y2z6

Grado = grado del monomio base esponente

Grado (-2x2yz3)2 = grado (-2x2yz3) 2 = = (2 + 1 + 3) 2 = 6 2 = 12

Esercitazioni

1. Indica tra i seguenti gruppi di monomi quelli simili:

a. 3ab2; ab; -b2a; a2b; 5ab; 3a

b. xy; 5ac; -xy; -x2y; axy; 8ac

2. Calcola le seguenti somme di monomi simili ed indica il loro grado:

a. 5ab3 + 3ab3 = grado =

b. 10xy + (-11xy) = grado =

c. -7ac2 + 7ac2 = grado =

3. Calcola i seguenti prodotti ed indica il grado del monomio risultante:

a. -4a2b(-3ab2) = grado =

b. 3xyz(-x2z)(3z2) = grado =

5

3

Esercitazioni

Esercitazioni

1. Calcola le seguenti potenze ed indica il grado del monomio risultante:

a. (3xy2)3= grado =

b. (-2a3bc4)5 = grado =

c. [-(-3x2)3]2 = grado =

2. Esegui le seguenti moltiplicazioni dopo aver sommato i monomi simili:

a. R:

b. R:

bca

11

6ac3

5ac4

1ac8

7 2 23bca4

5

222 xy

3

2xy2xy

3

4ax

20

13ax4

3ax5

3 22yax3

4