LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Copyright © 2011 Zanichelli editoreBergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

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1. CHE COS’È LA PARABOLA

DEFINIZIONE

Parabola

Scegliamo sul piano un punto F e una retta d.

Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d.

Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola.

Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.


2. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA


Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f .

Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se

ay

aF

af

axy

xf

y

fyx

fyfyx

fyfyx

PHPF

41

41

;0

41

41

04

2

2

2

222

22

cioè: .

Da cui ,

, .

Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale: y = ax2 .

Equazione della direttrice: .Coordinate del fuoco:

.



ESEMPIO

Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione:

121

121

;0

121

41

31

31

y

F

af

0 0

–1 3

1 3

–2 12

2 12

x y

Inoltre: ,

fuoco ,

eq. della direttrice .

y = 3x2 .


4. IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA


a > 0

y = ax2 è positiva o nulla,la distanza focale è f > 0 ,F ha ordinata positiva.

a < 0

y = ax2 è negativa o nulla,la distanza focale è f < 0 ,F ha ordinata negativa.

Concavità rivolta verso l’alto. Concavità rivolta verso il basso.



5. IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA

a =

4341

a = a = 2

Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.


6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y


ay

ab

x

4Δ2

v

v

v

v

yyy

xxx La trasformazione

trasla i punti del piano.

Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax2 diventa: y – yV = a(x – xV)2 .

In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(xV; yV).

Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come y = ax2 + bx + c .

Ascissa del vertice: ; ordinata del vertice: .


RITORNA

otteniamoy = ax2 + bx + c .

o y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) .

cioèy – yv = ax2 – 2axxv + axv

2

6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y


aab

V

a

abac

ab

ac

axcy

ab

x

4;

2

4

44

4

vv

2v

2

2

2

2 Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y

La parabola con vertice V(xv; yv) ha equazione

y – yv = a(x – xv)2 ,

Ponendob = – 2axv ,

c = axv2 + yv ,

,

cioè

.

Per le coordinate di V(xv; yv) vale:


REGOLA

L’asse di simmetria ha equazione: ,

7. L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c


TEOREMA

A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c , con a ≠ 0, e viceversa.

il vertice è il punto: ,

il fuoco è il punto: ,

la direttrice ha equazione: .


7. ALCUNI CASI PARTICOLARI


b = 0

L’equazione diventa:

y = ax2 + c .

c = 0


y = ax2 + bx .

b = 0, c = 0


y = ax2 .

La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y.

La parabola passa per l’origine O.

La parabola ha il vertice nell’origine O.



8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2


9. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE y = ax2 AL GRAFICO



10. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y



11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c


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