La matematica: linguaggio universale

PROGETTO INNOVAMATICA

Innovazione & Matematica

Corso Galileo

Prima lezione - 22 ottobre 2003

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Cambiando il modo di misurare le distanze fra punti, cambia la

“visione” del mondo

In particolare cambia

- la “forma” di alcuni luoghi

- la curva geodetica

Distanza euclidea nel piano

P

Q

2 21 2 1 2( , ) ( ) ( )d P Q x x y y 2 2

0:d R R R

Proprietà

) ( , ) 0i d P Q P Q

) ( , ) ( , )ii d P Q d Q P simmetrica

) ( , ) ( , ) ( , )iii d P Q d P R d R Q triangolare

R

P

Q

Peculiarità della metrica euclidea

• assenza di direzioni preferenziali• uniformità spaziale

• invariante per traslazione, rotazione, simmetrie.

• la circonferenza luogo a curvatura costante

• il segmento curva geodetica del piano

Metrica del massimo

1 2 1 2( , ) max | |, | |md P Q x x y y

Provare che è una metricamd

P

Q

x

y1

2

y2

x1

d(P,Q)

P

Q

Peculiarità della metrica del massimo

• assenza di direzioni preferenziali ?• uniformità spaziale ?

• invariante per traslazione, rotazione, simmetrie ?.

• Il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (detto circonferenza) è ……….

• il segmento è curva geodetica del piano.

Perché?

Metrica di Manhattan

1 2 1 2( , ) | | | |Md P Q x x y y

Provare che è una metricaMd

P

Q

x

y1

2

y2

x1

d(P,Q)

Street

Avenue

P

Q

Peculiarità della metrica di Manhattan

• assenza di direzioni preferenziali ?• uniformità spaziale ?

• invariante per traslazione, rotazione, simmetrie ?.

• Il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (detto circonferenza) è ……….

• il segmento è curva geodetica del piano.

Perché?

Fine lezione

PROGETTO INNOVAMATICA

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Corso Galileo

seconda lezione - 12 novembre 2003

Metrica del massimo

1 2 1 2( , ) max | |, | |md P Q x x y y

Provare che è una metricamd

P

Q

x

y1

2

y2

x1

d(P,Q)

Consideriamo la circonferenza di centro l’origine e raggio unitario

max | |, | | 1x y | | | | | | | | 1se y x allora y x

( 1 1) 1 1x x y

| | | | | | | | 1se x y allora x y

( 1 1) 1 1y y x

circonferenza di centro l’origine e raggio unitario

max | |, | | 1x y

Metrica di Manhattan

1 2 1 2( , ) | | | |Md P Q x x y y

Provare che è una metricaMd

P

Q

x

y1

2

y2

x1

d(P,Q)

Street

Avenue

Consideriamo la circonferenza di centro l’origine e raggio unitario

| | | | 1x y | | 1 | | 1

0 0

y x y x

x x

1 1

0 0

0 0

y x y x

y y

x x

1 1

0 0

0 0

y x y x

y y

x x

Sandwich world

S1

S2

VS1=semipiano superiore

S2=semipiano inferiore

V=vincolo o linea di separazione

d1

d2

d1 =distanza in S1

d2 =distanza in S2

P

Q

X

1 1

2 2

11 2

2

( , ) ,

( , ) ,( , )

min { ( , ) ( , )}X V

d P Q se P Q S

d P Q se P Q Sd P Q

P Sd P X d X Q se

Q S

1 2S S V

Sandwich world

Caso banale 1 2d d

Caso notevole 1 21 2

euclidea euclidead dd d

v v

è una distanza in ( , )d P Q 1 2S S

Fine lezione