Scuola Normale SuperioreClasse di Lettere e FilosofiaAnno Accademico 2001-02

Seminario di logica

La logica modale applicataalla teoria dei sistemi

formali

Il teorema del punto fissoper GL

Relatore:

Francesco Belardinelli

Argomento del seminario:

l’interpretazione dell’operatore di necessita 2

come predicato di dimostrabilita Bew(x) di un

sistema formale S, ovvero lo studio di un par-

ticolare modo di essere di una proposizione A:

il fatto che A sia dimostrabile all’interno di S.

Programma del seminario:

1. La teoria formale dell’aritmetica:

l’aritmetica di Peano (PA)

2. il calcolo modale GL

3. La relazione tra GL e PA:

il teorema di completezza di Solovay

4. Un’applicazione di GL all’aritmetica di Peano:

il teorema del punto fisso.

Problemi affrontati nel seminario:

1. Chiarire il rapporto tra l’operatore di ne-

cessita 2 ed il predicato di dimostrabilita

Bew(x) di PA.

2. Giustificare lo studio di tale rapporto me-

diante l’esposizione di risultati rilevanti di-

mostrabili in PA passando attraverso GL

(Teorema del punto fisso).

Premessa storica: quando si e iniziato a pen-sare all’interpretazione dell’operatore di ne-cessita come “essere un teorema di un certosistema formale”?

K. Godel, Eine Interpretation des intuitionis-tischen Aussagenkalkuls (1933).1) Definizione di una funzione di traduzioneΦ dalle formule del calcolo intuizionista I alleformule del calcolo modale S4.2) Congettura: I dimostra A sse S4 dimostraAΦ.La congettura di Godel e stata dimostratavera da Mc Kinsey e Tarski nel 1948.

La ricerca e stata svolta soprattutto neglianni ’70 e ’80 per opera di:

1. americani:1) Boolos G., The Unprovability of Con-sistency: An Essay in Modal Logic, Cam-bridge University Press, Cambridge, 1979,

e2) The Logic of Provability, CambridgeUniversity Press, Cambridge, 1993.3) Smorynski C., Self-Reference and ModalLogic, Springer-Verlag, New York, 1985.4) Solovay R.

2. russi (Vardanyan, Beklemishev, Dzhaparidze).

3. olandesi (van Benthem, de Jongh).

4. italiani (La scuola di Siena: Magari, Bernar-di, Sambin).

Problema: qual e l’interesse dello studio diquesta particolare modalita?

1. Ruolo rivestito dal concetto di teoremanello sviluppo della logica nel secolo scor-so (Teorema di Completezza delle teorie

del I ordine, i due teoremi di Incompletez-

za).

2. Esigenza di chiarire concettualmente la

nozione di teorema di un sistema formale.

3. Tale studio ha reso possibile la scoperta

di importanti risultati originali (Teorema

del punto fisso per il calcolo GL).

L’aritmetica di Peano PA

Perche prendere in considerazione proprio PA:

Storicamente l’attenzione si e concentrata su

PA. I risultati raggiunti da K. Godel, J. Ross-

er, M. Lob sono stati originariamente dimostrati

per PA

Definizione 1 (Termini e Formule di PA)

Linguaggio LPA=〈VPA, ClPA, CsPA, P 〉:1) VPA = {v1, . . . , vn, . . . },2) ClPA = {⊥,→,=, ∀};3) CsPA = {0, s,+, ×},4) P = {(, )}.

Insieme T dei termini di PA sul linguaggio

LPA:

minimo insieme t. c.:

1. VPA ⊆ T ,

2. 0 ∈ T ,

3. se t ∈ T allora anche s(t) ∈ T ,

4. se t, t′ ∈ T allora anche t + t′, t × t′ ∈ T .

Insieme FPA delle formule di PA sul linguag-

gio LPA:

minimo insieme t. c.:

1. se t, t′ ∈ T allora t = t′ ∈ FPA,

2. ⊥ ∈ FPA,

3. se A, B ∈ FPA allora anche (A → B) ∈FPA,

4. se A ∈ FPA e v ∈ VPA allora anche (∀vA) ∈FPA.

Definizione 1 (Assiomatizzazione di PA)

Tutti gli assiomi della logica classica K,

i seguenti assiomi logici per PA:

1. 0 6= sx,

2. sx = sy → x = y,

3. x + 0 = x,

4. x + sy = s(x + y),

5. x × 0 = 0,

6. x × sy = (x × y) + x.

Schema di assiomi dell’induzione:

7. A(0) ∧ ∀y(A(y) → A(s(y))) → ∀x(A(x))

Regole del calcolo:

8. se PA ` A → B e PA ` A allora PA ` B

(modus ponens)

9. se PA ` A allora PA ` ∀vA (generaliz-

zazione)

Potenza deduttiva di PA:

PA ` ∀x(x = 0 ∨ ∃yx = s(y)),

PA ` ∀x, y(x + y = y + x),

PA ` ∀x, y, z(x + (y + z) = (x + y) + z),

PA ` ∀x, y(x × y = y × x),

PA ` ∀x, y, z(x × (y × z) = (x × y) × z),

PA non si limita a trattare questioni riguardan-

ti i numeri naturali, ma e in grado di fornirci

un gran numero di informazioni su PA stessa

e sulla sua potenza deduttiva. Si associa ad

ogni simbolo primitivo di PA un numero natu-

rale, detto il suo numero di Godel. Φ(⊥) = 1

Φ(→) = 3

Φ(∀) = 5

Φ(=) = 7

Φ(0) = 9

Φ(s) = 11

Φ(+) = 13

Φ(×) = 15

Φ(vi) = 2i + 17

Si presti attenzione al fatto che PA non ma-

nipola direttamente i numeri di Godel degli

elementi sintattici, bensı i numerali corrispon-

denti. Per indicare il numerale corrispondente

al numero di Godel di un elemento sintattico

x useremo la notazione pxq.

Esempio: il numero di Godel di ∀ e 5, mentre

il numerale corrispondente al numero di Godel

di p∀q e 5.

In PA si dimostra che ∀ non e una variabile.

In PA e definibile una formula V ariabile(x) =

∃i < v(v = 2×i+17), tale che PA dimostra

V ariabile(pxq) sse x e una variabile del lin-

guaggio LPA.

PA ` ¬V ariabile(p∀q).

In modo analogo e possibile definire le seguen-

ti formule:

1) Termine(x), tale che PA dimostra Termine(ptq)sse t e un termine sul linguaggio LPA.

2) Formula(x), tale che PA dimostra Formula(pAq)sse A e una formula sul linguaggio LPA.

3) Dimostrazione(x, y), tale che PA dimostra

Dimostrazione(u, v) sse u e il numero di Godel

di una dimostrazione della formula con nu-

mero di Godel v.

Una volta definito Dimostrazione(x, y) diven-

ta possibile introdurre in PA ilpredicato Bew(x)

come ∃yDim(x, y), cioe Bew(s) e dimostra-

bile in PA sse s e il numerale corrispondente

al numero di Godel di un teorema B di PA

Risultati raggiunti da Godel in “Uber formal

unentscheidbare Satze der Principia Mathe-

matica und verwandter Systeme I”, Monat-

shefte fur Mathematik und Physik, 38, 1931,

pg. 173-198.

Risultato preliminare 1 (Lemma di diagonalizzazione)

Sia P (y) una formula del linguaggio di PA in

cui y e la sola variabile libera. Allora esiste

un’enunciato S del linguaggio di PA tale che

PA ` S ↔ P (pSq)

Teorema 1 (Primo teorema di incompletezza)

Se PA e ω-consistente allora PA ‘e incomple-

ta, esiste cioe una formula γ su LPA tale che

PA non dimostra ne γ ne ¬γ.

La fomula indecidibile γ trovata da Godel non

e altro che il punto fisso del predicato Bew(x);

l’esistenza di una tale formula e assicurata dal

lemma di diagonalizzazione.

Nel 1932 J. B. Rosser ha dimostrato che la

condizione di ω-consistente puo essere inde-

bolita alla semplice consistenza.

Teorema 1 (Secondo teorema di incompletezza)

Se PA e consistente allora la consistenza di

PA non puo essere dimostrata in PA stessa.

Condizioni di derivabilita di Hilbert-Bernays-

Lob:

1. se ` S allora ` Bew(pSq),

2. ` Bew(pS → Tq) → (Bew(pSq) → Bew(pTq)),

3. ` Bew(pSq) → Bew(pBew(pSq)q),

Queste formule sono dette condizioni di deriv-

abilita perche sono condizioni sufficienti per

una formula B(x) e una teoria Z per la di-

mostrazione del secondo teorema di incom-

pletezza.

Un ultimo risultato sul predicato Bew(x).

Teorema 1 (Teorema di Lob) Se PA ` Bew(psq) →S allora PA ` S

Un calcolo modale per l’aritmetica di Peano:

il sistema GL

Nella letteratura si indica il calcolo GL anche

con altre sigle come PRL e K4W Il nome GL

e stato scelto in onore di K. Godel e M. H.

Lob.

Definizione 1 (Formule modali) Linguaggio LGL =

{〈VGL, CGL, P 〉}:1) VGL = {p1, . . . , pn, . . . },2) CGL = {⊥,→, 2},

3) P = {(, )}.

Insieme FGL delle formule modali sul linguag-

gio LGL: minimo insieme t. c.:

1. VGL ⊆ FGL,

2. ⊥ ∈ FGL,

3. se A ∈ FGL allora anche (2A) ∈ FGL,

4. se A, B ∈ FGL allora anche (A → B) ∈FGL.

Definizione 1 (Sottoformula) Sia A una for-

mula modale, definiamo la nozione di sotto-

formula di A come:

1. A e una sottoformula di se stessa,

2. se 2B e una sottoformula di A, allora B

e una sottoformula di A,

3. se B → C e una sottoformula di A, allora

B e C sono sottoformule di A.

Una formula modale B occorre in A sse B e

una sottoformula di A.

Sia A una formula, definiamo per induzione

sulla complessita di A il risultato Ap(B) di

sostituire in A le occorrenze della variabile

proposizionale p con la formula B:

Definizione 1 (Sostituzione) 1. se A = p

allora Ap(B) = B,

2. se A e una variabile proposizionale q 6= p

allora Ap(B) = q,

3. se A = ⊥ allora Ap(B) = ⊥,

4. se A = C → D allora Ap(B) = Cp(B) →Dp(B),

5. se A = 2C allora Ap(B) = 2(Cp(B)).

Per precisare le nozioni di dimostrazione in

GL e di teorema di GL faremo riferimento

alle definizioni della sezione precedente.

Definizione 1 (il calcolo GL) Tutti gli sche-

mi di assiomi della logica classica K,

tutti gli schemi di assiomi della forma:

1. 2(A → B) → (2A → 2B) (assioma di

distribuzione)

2. 2(2A → A) → 2A (assioma di Lob)

Le regole del calcolo sono il modus po-

nens e la regola di necessitazione:

3. se GL ` A allora GL ` 2A

In quanto segue indicheremo con �A la for-

mula 2A ∧A.

Primo lemma di sostituzione 1

Se GL ` (A ↔ B) allora GL ` (Fp(A) ↔ Fp(B))

Dimostrazione: per induzione sulla complessita

di F .

Un altro importante risultato sintattico che

riguarda GL e la dimostrabilita dell’assioma

caratteristico del sistema S4: GL ` 2A →22A.

GL ` A → ((22A ∧ 2A) → (2A ∧A))

GL ` A → (2(2A ∧A) → (2A ∧A))

GL ` 2A → 2(2(2A ∧A) → (2A ∧A)).

Ponendo B = (2A ∧A), si ha che

GL ` 2(2B → B) → 2B, cioe:GL ` 2(2(2A∧A) → (2A∧A)) → 2(2A∧A).GL ` 2A → 2(2(2A ∧A)).GL ` 2(2A ∧A) → 22A

GL ` 2A → 22A

Questo risultato permette di dimostrare unaseconda versione del lemma di sostituzione.

Secondo lemma di sostituzione 1

GL ` �(A ↔ B) → (Fp(A) ↔ Fp(B))

Dimostrazione: per induzione sulla complessitadi F .

In GL e possibile dimostrare che se GL `�B → C allora GL ` �B → �C; questo risul-tato assieme al secondo teorema di sostituzionefornisce una terza versione di tale teorema.

Terzo lemma di sostituzione 1

GL ` �(A ↔ B) → �(Fp(A) ↔ Fp(B))

Il predicato ‘Bew’ come modalita

Una volta introdotti l’Aritmetica di Peano PA

e il calcolo di logica modale GL non resta che

stabilire una corrispondenza tra il predicato

Bew di PA e il modalizzatore 2 di GL. Questa

corrispondenza ci dara il senso di cosa voglia

dire l’interpretazione come teoria dei sistemi

formali della logica modale.

Definizione 1 Una realizzazione e una fun-

zione ] dall’insieme VGL delle variabili propo-

sizionali del linguaggio LGL di GL all’insieme

delle formule chiuse sul linguaggio LPA di PA.

La traduzione A] di una formula modale A

indotta da una realizzazione ] e definita nel

modo seguente:

1. se A e una variabile proposizionale p allora

p] = ](p),

2. se A = ⊥ allora ⊥] = ⊥,

3. se A = B → C allora (B → C)] = (B] →C]),

4. se A = 2B allora (2B)] = Bew(pB]q).

Osservazioni.

1. Poiche le costanti logiche ⊥ e → appaiono

anche tra i simboli del linguaggio LPA

di PA, ogni traduzione A] di una formu-

la modale A e una formula di PA, in-

dipendentemente dalla scelta della real-

izzazione ].

2. Le clausole (2) e (3) garantiscono che

la traduzione di una combinazione vero-

funzionale di formule modali corrisponda

alla medesima combinazione della traduzione

delle formule stesse.

3. La clausola (4) garantisce che se A] = S

allora (2A)] = Bew(pSq), cioe il risulta-

to di sostituire alla variabile libera x in

Bew(x) il numerale per il numero di Godel

della formula S. La formula Bew(pSq)e interpretata come l’asserzione della di-

mostrabilita di S in PA.

4. La traduzione A] di una formula A e fis-

sata in modo unico dalla realizzazione ],

cio significa che se due realizzazioni ] e ?

coincidono sui valori assegnanti alle vari-

abili proposizionali, allora per ogni formu-

la modale A, A] = A?.

Il problema di stabilire quali leggi modali sianovalide interpretando il 2 come “e dimostrabilein PA che . . . ”, diviene quello di stabilire qualisiano le leggi modali A la cui traduzione A]

sia dimostrabile in PA indipendentemente da]. Una formula modale A con questa carat-teristica e detta sempre dimostrabile.

Definizione 1 (Il calcolo K4LR) Tutti gli sche-mi di assiomi della logica classica K,tutti gli schemi di assiomi della forma:

1. 2(A → B) → (2A → 2B) (assioma di dis-tribuzione)

Le regole del calcolo sono il modus po-nens, la regola di necessitazione:

2. se GL ` A allora GL ` 2A

e la regola di Lob:

3. se GL ` (2A → A) allora GL ` A (regola

di Lob)

Teorema 1 (Teorema di correttezza aritmetica di K4LR)

Se una formula modale A e dimostrabile in

K4LR allora per ogni realizzazione ], PA di-

mostra A], cioe A e sempre dimostrabile.

La dimostrazione e per induzione sulla lunghez-

za della dimostrazione di A in K4LR. Le leg-

gi logiche classiche sono sempre dimostrabili

e il modus ponens e una regola d’inferenza

di entrambi i sistemi formali; percio rimane

da prendere in considerazione solamente l’as-

sioma di distribuzione, la regola di Lob e la

regola di necessitazione. Il primo e la terza

corrispondono, per qualsiasi realizzazione ],

alla seconda e alla prima delle condizioni di

derivabilita di Hilbert-Bernays-Lob, mentre la

regola di Lob corrisponde al teorema di Lob:

se PA ` (Bew(pSq) → S) allora PA ` S.

Teorema 1 GL dimostra A sse K4LR dimostra

A.

Teorema 1 (Correttezza aritmetica di GL)

Se una formula modale A e dimostrabile in GL

allora per ogni realizzazione ], PA dimostra

A], cioe A e sempre dimostrabile.

Teorema 1 (Completezza aritmetica di GL)

Se una formula modale A e sempre dimostra-

bile allora e un teorema di GL.

Teorema 1 (Adeguatezza aritmetica di GL)

Una formula modale A e dimostrabile in GL

sse e sempre dimostrabile.

Risultato: il calcolo GL ci fornisce una carat-

terizzazione delle proprieta del predicato Bew

in PA.

Utilita: dimostrare fatti importanti riguardo

alla nozione di “dimostrabile in PA” all’inter-

no di GL.

1) Il secondo teorema di incompletezza di

Godel per PA e dimostrabile in PA stesso:

GL ` 2(2⊥ → ⊥) → 2⊥ (assioma di Lob),

GL ` ¬2⊥ → ¬2¬2⊥ (contrapposizione),

PA ` ], PA ` (¬2⊥ → ¬2¬2⊥)] per una qual-

siasi realizzazione ] (correttezza aritmetica di

GL),

PA ` ¬Bew(p⊥q) → ¬Bew(p¬Bew(p⊥q)q). Questo

teorema di PA corrisponde all’asserzione che

se l’Aritmetica di Peano e consistente, allora

la sua consistenza non e dimostrabile in PA

stessa.

2) Il teorema di Lob formalizzato afferma che

per ogni formula S,

PA ` Bew(p(Bew(pSq) → S)q) → Bew(pSq).

GL ` 2(2p → p) → 2p,

PA ` (2(2p → p) → 2p)], per ogni realiz-

zazione ] (correttezza aritmetica),

PA ` Bew(p(Bew(p](p)q) → ](p))q) → Bew(p](p)q).

Poiche ogni formula S = ](p) per qualche re-

alizzazione ], il teorema di Lob formalizzato

vale in PA.

La semantica del calcolo GL

Definizione 1 R e una relazione su W sse

R ⊆ W2.

1) R e una relazione irriflessiva su W sse non

esiste x ∈ W t. c. xRx.

2) R e una relazione transitiva su W sse per

ogni x, y, z ∈ W , se xRy e yRz allora xRz.

3) R e una relazione anti− fondata su W sse

per ogni sottoinsieme non vuoto X di W , es-

iste un elemento R-massimale in X, cioe un

elemento x di X t. c. per ogni y ∈ W non

xRy.

Nota: se R e anti-fondata allora R e an-

che irriflessiva, infatti se valesse xRx allora

{x} sarebbe un sottoinsieme non vuoto di W

senza un elemento R-massimale.

Definizione 1 (struttura) Una struttura e una

coppia ordinata 〈W, R〉 tale che:

1) W e un insieme non vuoto (dominio della

struttura),

2) R e una relazione binaria su W , (relazione

di accessibilita.)

Definizione 1 (valutazione) Sia v∗ una fun-

zione W ×VGL → {V, F}. Definiamo una valu-

tazione v, W×FGL → {V, F} come la funzione

che estende in modo unico v∗ t. c.:

1. se A = p allora v(w, p) = v ∗ (w, p),

2. se A = ⊥ allora v(w, A) = F per ogni

w ∈ W ,

3. se A = B → C allora v(w, A) = V sse

v(w, B) = F o v(w, C) = V ,

4. se A = 2B allora v(w, A) = V sse per ogni

x ∈ W , se wRx allora v(x, B) = V .

In quanto segue useremo w � A per indicare

che (w, A) = V , di conseguenza w 2 A stara

per (w, A) = F . Nel primo caso diremo che la

formula A e vera nel mondo possibile w, nel

secondo caso diremo che essa e falsa in w.

Definizione 1 (modello) Un modello M e una

tripla ordinata 〈W, R, v〉 tale che:

1) 〈W, R〉 e una struttura,

2) v e una valutazione delle formule modali

in W .

Definizione 1 (validita) Una formula A e valida

in un modello M = 〈W, R, v〉, in simboli M �A, sse per ogni x ∈ W , x � A.

Una formula A e valida in una struttura F =

〈W, R〉, in simboli F � A, sse per ogni M

basato su 〈W, R〉 si ha M � A.

Teorema 1 (correttezza di GL) Per ogni for-

mula modale A, se A e dimostrabile in GL al-

lora A e valida in ogni struttura F transitiva

e anti-fondata.

Dimostrazione er induzione sulla lunghezza

della dimostrazione di A in GL.

1) le tautologie della logica classica e l’as-

sioma di distribuzione sono validi in una strut-

tura F qualsiasi.

2) le regole di modus ponens, necessitazione

e sostituzione mantengono la validita nella

struttura.

3) rimane da verificare la validita dell’assioma

di Lob. Per assurdo esiste x ∈ W in un

modello M transitivo e anti-fondato t. c.

x 2 2(2A → A) → 2A, cioe x � 2(2A → A) e

x 2 2A.

Quindi esiste y ∈ W e xRy, y � 2A → A,

y 2 A.

Perche y � 2A → A e necessario che y 2 2A,

percio esiste z ∈ W t. c. yRz, z 2 A. Per

transitivita di R si ha inoltre che xRz e percio

z � 2A → A.

Ci troviamo in z nella stessa situazione in

cui eravamo in y, siamo quindi costretti a

introdurre infiniti x1, . . . , xn, . . . mondi possi-

bili, tutti distinti tra loro per transitivita e

irriflessivita. Per cascuno dei xi si ha xRxi,

xi � 2A → A, xi 2 A. Se consideriamo ora l’in-

sieme X = {w ∈ W |xRw∧w � 2A → A∧w 2 A}si vede chiaramente che e infinito, percio non

esiste in X un elemento R-massimale e quindi

R non e anti-fondata.

Teorema 1 (completezza di GL) Per ogni

formula modale A, se A e valida in ogni strut-

tura transitiva e anti-fondata allora A e di-

mostrabile in GL

Dimostrazione per contrapposizione. Si di-

mostra che se A non e un teorema di GL

allora esiste una struttura transitiva e anti-

fondata e un modello su questa struttura t.

c. M 2 A.

Teorema 1 (adeguatezza di GL) Per ogni

formula modale A, A e valida in ogni struttura

transitiva e anti-fondata sse A e dimostrabile

in GL

Teorema 1 (adeguatezza di GL) Per ogni

formula modale A, A e valida in ogni strut-

tura finita transitiva e anti-fondata sse A e

dimostrabile in GL

Da cio segue inoltre che GL ha la proprieta del

modello finito e quindi e un calcolo decidibile.

Teorema 1 (adeguatezza di GL) Per ogni

formula modale A, A e valida in ogni strut-

tura transitiva, irriflessiva e finita sse A e

dimostrabile in GL

Dimostrazione. Si e gia dimostrato che una

struttura anti-fondata e anche irriflessiva; l’im-

plicazione inversa non e sempre vera, ma lo e

nel caso in cui la struttura F sia transitiva e

finita.

Assumiamo che F non sia anti-fondato. Sia

X un sottoinsieme non vuoto di W t. c. per

ogni w ∈ X esiste x ∈ X e wRx. Si dimostra

per induzione che per ogni n naturale positivo

esiste una successione x1, . . . , xn di elementi

di X t. c. per ogni i < n, xiRxi+1. In una

tale successioni non ci possono essere ripe-

tizioni, cioe se i < j allora xi 6= xj, altrimenti

per transitivita si avrebbe xiRxj contro l’ir-

riflessivita di R. Quindi per ogni n, ci sono

almeno n elementi in X ⊆ W , percio W e

infinito contro l’ipotesi.

Considerare esclusivamente modelli transitivi,

irriflessivi e finiti ci consente inoltre di definire

un’altra importante nozione che ci servira nel-

la dimostrazione del teorema del punto fisso:

il rango ρ〈W,R〉(w) di un mondo w in una strut-

tura 〈W, R〉. Supponiamo che per qualche

wn, . . . , w1, w0 in W , wnR . . . Rw1Rw0, inoltre

se j > i allora per transitivita wjRwi e per irri-

flessivita wj 6= wi. Quindi per ogni w ∈ W , es-

iste un massimo n numero naturale t. c. per

qualche wn, . . . , w1, w0 in W , w = wnR . . . Rw1Rw0;

tale n e il rango ρ〈W,R〉 di w nella struttura

〈W, R〉, o piu semplicemente ρ(w) quando non

ci sia pericolo di confusione.

Osservazioni:

1. L’anti-fondatezza non e caratterizzabile

con una formula del primo ordine, cioe

non esiste nessuna formula del primo or-

dine che sia vera in una struttura 〈W, R〉sse 〈W, R〉 e anti-fondata.

2. L’assioma di Lob 2(2A → A) → 2A e vali-

do in tutte e sole le strutture transitive e

anti-fondate, ma non esiste nessuna for-

mula modale A che sia valida esattamente

nelle strutture anti-fondate.

Il teorema del punto fisso per GL

1) Il teorema del punto fisso e stato dimostra-

to indipendentemente da G. Sambin in:

a) Sambin G., “An effective fixed point theo-

rem in intuitionistic diagonalizable algebras”,

Studia Logica, 35, 1976, pg. 345-361.

b) Sambin G. e Valentini S., “The Modal

Logic of Provability. The sequential approach”,

Journal of Philosophical Logic, 11,1982, pg.

311-342.

e da D. de Jongh.

Definizione 1 una formula A e detta modal-

izzata in p sse ogni occorrenza della variabile

proposizionale p in A e nell’ambito di un’oc-correnza di un modalizzatore 2. Si puo af-fermare in modo equivalente che A e modal-izzata in p sse A e una composizione vero-funzionale di formule del tipo 2D e di variabiliproposizionali distinte da p.

Esempi:1) (2p ∧ q) → (p ∨ r) non e modalizzata ne inp, ne in q, ne in r.2) (2p∧ q) → 2(p∨ r) e modalizzata in p e inr, ma non in q.3) (2p ∧ 2q) → 2p e modalizzata sia in p, siain r, sia in q.

Teorema 1 (teorema del punto fisso) Perogni formula A modalizzata in p, esiste unaformula H che contiene solo variabili propo-sizionali contenute in A e che non contiene p

t. c.

GL ` �(p ↔ A) ↔ �(p ↔ H)

Tale formula H e detta punto fisso di A.

Teorema 1 (unicita del punto fisso) Sia H

un punto fisso per A modalizzata in p. Si di-

mostra che I e un punto fisso per la medesima

formula sse GL ` H ↔ I

Dimostrazione da sinistra verso destra:

GL ` �(p ↔ A) ↔ �(p ↔ H),

GL ` �(p ↔ A) ↔ �(p ↔ I),

GL ` �(p ↔ H) ↔ �(p ↔ I).

Siccome ne H ne I contengono p possiamo

sostituire H per p:

GL ` �(H ↔ H) ↔ �(H ↔ I),

GL ` (H ↔ I).

Da destra verso sinistra:

GL ` (H ↔ I)

GL ` �(p ↔ H) ↔ �(p ↔ I) (primo teorema

di sostituzione).

GL ` �(p ↔ A) ↔ �(p ↔ H),

GL ` �(p ↔ A) ↔ �(p ↔ I).

Le conseguenze del teorema del punto fisso

Con il teorema del punto fisso possiamo di-

mostrare che le seguenti quattro formule sono

dimostrabili in GL:

1. �(p ↔ 2p) ↔ �(p ↔ >)

2. �(p ↔ ¬2p) ↔ �(p ↔ ¬2⊥)

3. �(p ↔ 2¬p) ↔ �(p ↔ 2⊥)

4. �(p ↔ ¬2¬p) ↔ �(p ↔ ⊥)

1) La prima di queste formule ci permette di

derivare il teorema di Lob come corollario del

teorema del punto fisso:

PA ` S ↔ Bew(pSq). Definiamo una realiz-

zazione ] t. c. ](p) = S,

PA ` (p ↔ 2p)],

PA ` 2(p ↔ 2p)],

PA ` �(p ↔ 2p)],

PA ` (�(p ↔ 2p) ↔ �(p ↔ >))] (adeguatez-

za aritmetica di GL),

PA ` �(p ↔ >))],

PA ` (p ↔ >))],

PA ` (S ↔ >), cioe PA ` S.

Il teorema di Lob ha diverse importanti con-

seguenze tra le quali il secondo teorema di

incompletezza di Godel:

PA ` ¬Bew(p⊥q),PA ` Bew(p⊥q) ↔ ⊥,

PA ` ⊥ per il teorema di Lob. Percio PA 0¬Bew(p⊥q).

Con il secondo teorema di incompletezza e la

seconda delle formule elencate all’inizio del-

la sezione e possibile dare una dimostrazione

della versione ipotetica del primo teorema di

incompletezza per PA:

GL ` �(p ↔ ¬2p) ↔ �(p ↔ ¬2⊥).

Per il teorema di adeguatezza algebrica, si

ottiene che per ogni formula S di PA, se

PA ` (S ↔ ¬Bew(pSq)) allora PA ` (S ↔¬Bew(p⊥q)). Se PA ` (S ↔ ¬Bew(pSq))e PA ` S allora PA ` ¬Bew(p⊥q). Con-

traddizione. Se PA ` (S ↔ ¬Bew(pSq)) e

PA ` ¬S allora PA ` Bew(p⊥q). Contro la

non contraddittorieta di PA.

Si possono analizzare alcune formule definite

in modo autoreferenziale eliminando qualsi-

asi ambiguita, tanto da poter determinare le

loro condizioni di verita, teorematicita e de-

cidibilita.

Per la (3) si dimostra che se PA ` (S ↔

Bew(p¬Sq)) allora PA ` (S ↔ Bew(p⊥q)).Quindi S non e vera, non e dimostrabile e

non e nemmeno decidibile. Per la (4) si di-

mostra che se PA ` (S ↔ ¬Bew(p¬Sq)) allora

PA ` (S ↔ ⊥). Quindi S non e vera, non e

dimostrabile, ma e decidibile.

Esistono tre diverse dimostrazioni del teore-

ma del punto fisso per il calcolo GL:

1) Due di queste sono costruttive, forniscono

cioe un algoritmo per poter calcolare il punto

fisso H di una formula A modalizzata in p.

2) La terza e non costruttiva, l’esistenza del

punto fisso viene dimostrata come corollario

del lemma di unicita dei punti fissi e del teo-

rema di definibilita di Beth per GL, che puo

essere a sua volta ricavato dal teorema di in-

terpolazione di Craig per GL.

1a) Delle due dimostrazioni costruttive, la

prima e dovuta a G. Sambin e nella sua for-

ma originaria fa uso prettamente di tecniche

di teoria della dimostrazione. Il metodo che

viene fornito per il calcolo dei punti fissi rende

possibile ricavarli in modo tale che la loro

struttura sia simile a quella delle formule di

partenza.

2) L’altra dimostrazione costruttiva e dovuta

a Z. Gleit e W. Goldfarb ed e la versione se-

mantica di una dimostrazione di G. Boolos.

L’algoritmo fornito da questa dimostrazione

permette di trovare un punto fisso H di gra-

do modale 6 n, cioe in cui vi sono formule

in cui appaiono al massimo n modalizzatori

successivi, dove n e il numero di modalizza-

tori presenti in A. Questa dimostrazione for-

nisce il miglior limite al grado di un punto fis-

so. La dimostrazione fornita dalla Reidhaar-

Olson in:

Reidhaar-Olson L., “A New Proof of the Fixed-

Point Theorem of Provability Logic”, Notre

Dame Journal of Formal Logic, 31, 1990, pg.

37-43,

e una rielaborazione della dimostrazione di G.

Sambin ed ha il pregio della chiarezza da-

to dall’approccio semantico pur fornendo un

semplice algoritmo per il calcolo di punti fissi

che nella struttura sono molto simili alle for-

mule di partenza.

Poiche se GL ` �B → C allora GL ` �B →�C, per dimostrare in GL, �(p ↔ A) ↔ �(p ↔H) basta dimostrare �(p ↔ A) → (p ↔ H) e

�(p ↔ H) → (p ↔ A).

Teorema 1 Se H non contiene la variabile

proposizionale p e GL ` �(p ↔ A) → (p ↔ H)

allora GL ` �(p ↔ H) → (p ↔ A)

Dimostrazione Supponiamo per assurdo che

M sia un modello transitivo, irriflessivo, finito

nel quale non sia valida �(p ↔ H) → (p ↔ A);

quindi esiste w ∈ M di grado minimo t. c.

w � �(p ↔ H) e w 2 (p ↔ A).

Se wRx allora x � �(p ↔ H) e siccome x ha

un grado minore di w, x � (p ↔ A).

Definiamo ora una valutazione v′ per la quale

v′(y, q) = v(y, q) per q variabile proposizionale

diversa da p e y 6= w, inoltre v′(w, p) = V sse v(w, p) =

F . Si vede che N = 〈W, R, v′〉 e un modello

transitivo, irriflessivo e finito.

A questo punto applichiamo piu volte il teo-

rema di generazione.

Sia una formula A una composizione vero-

funzionale di proposizioni del tipo 2D e di let-

tere proposizionali q diverse da p. Se M, w �2D allora per ogni x, wRx implica M, x � D;

per il teorema di generazione per ogni x, wRx

implica N, x � D e quindi N, w � 2D.

Siccome M, w � q sse N, w � q, si ottiene che

M, w � A sse N, w � A.

Quindi N, w � p ↔ A e ancora per il teorema

di generazione N, x � p ↔ A, per ogni x, wRx

e percio N, w � �(p ↔ A).

H non contiene p, per il teorema di gener-

azione M, w � H sse N, w � H. Siccome

M, w � p sse N, w 2 p, N, w 2 p ↔ H e quindi

N, w 2 �(p ↔ A) → (p ↔ H).

Per correttezza si ottiene che GL 0 �(p ↔A) → (p ↔ H), ma cio e in contraddizione

con le nostre ipotesi.

Per dimostrare il teorema del punto fisso per

GL e quindi sufficiente dimostrare il seguente

risultato parziale.

Teorema 1 Per ogni formula A modalizzata

in p, esiste una formula H che contiene solo

variabili proposizionali contenute in A e che

non contiene p t. c.

GL ` �(p ↔ A) → (p ↔ H)

Definizione 1 Sia F una formula modale, F

e detta k − decomponibile se per qualche se-

quenza, possibilmente vuota q1, . . . , qk di vari-

abili proposizionali distinte, per qualche for-

mula B(q1, . . . , qk) che non contiene p ma che

contiene ciascuna delle q1, . . . , qk e per qualche

sequenza di formule distinte D1(p), . . . , Dk(p),

ciascuna contenente p,

F = B(2D1(p), . . . , 2Dk(p))

La dimostrazione del teorema del punto fisso

avviene per induzione su k.

k = 0: A e 0-decomponibile, cioe esiste una

formula B che non contiene p e A = B. Si

noti che A non contiene p e quindi puo essere

presa come punto fisso di se stessa.

k → k + 1: supponiamo che ogni formula

k-decomponibile che e modalizzata in p ab-

bia un punto fisso, assumiamo inoltre che A

sia (k +1)-decomponibile e modalizzata in p;

bisogna ora dimostrare che la formula A ha

un punto fisso.

Per le nostre assunzioni A = B(2D1(p), . . . , 2Dk+1(p))

per qualche B, q1, . . . , qk+1 e D1(p), . . . , Dk+1(p).

Per ogni i, 1 6 i 6 k + 1, sia Ai la formula

B(2D1(p), . . . , 2Di−1(p),>, 2Di+1(p), . . . , 2Dk+1(p))

cioe la formula ottenuta sostituendo in A, all’

i-esimo posto, Di(p) con >.

Ciascuna delle Ai e k-decomponibile e modal-

izzata in p e quindi esiste un punto fisso Hi

di Ai.

Consideriamo ora la formula

H = B(2D1(H1), . . . , 2Dk+1(Hk+1))

Dimostreremo che H e un punto fisso di A.

Nei prossimi quattro lemmi M = 〈W, R, v〉 e

un modello finito, transitivo e irriflessivo, w, x, y, z ∈W e 1 6 i 6 k + 1.

Lemma 1 Supponiamo che y � �(p ↔ A) e

che y � 2Di(p). Allora y � Di(p) ↔ Di(Hi) e

y � 2Di(p) ↔ 2Di(Hi)

Dimostrazione

s Se y � 2Di(p), per tutti gli z, yRz implica

z � 2Di(p). Quindi per ogni x, se x = y o yRx

allora x � 2Di(p) ↔ >, cioe y � �(2Di(p) ↔>).

Per il terzo teorema di sostituzione si ottiene

che y � �(A ↔ Ai). Da y � �(A ↔ Ai) e da

y � �(p ↔ A), si ricava che y � �(p ↔ Ai).

Poiche Hi e un punto fisso di Ai, si ha y ��(p ↔ Hi).

Per il secondo teorema di sostituzione y �Di(p) ↔ Di(Hi) e y � 2Di(p) ↔ 2Di(Hi).

Lemma 1 x � �(p ↔ A) → �(2Di(p) → 2Di(Hi))

Dimostrazione

Supponiamo che x � �(p ↔ A), e che per

ogni y, se xRy o x = y allora y � 2Di(p).

Se x � �(p ↔ A) allora per ogni y, xRy o

x = y implica y � �(p ↔ A) e per il lemma

precedente y � 2Di(Hi).

Quindi x soddisfa �(2Di(p) → 2Di(Hi)).

Lemma 1 w � �(p ↔ A) → �(2Di(Hi) →2Di(p))

Dimostrazione

Supponiamo che w � �(p ↔ A), e che per

contrapposizione per ogni x, se wRx o w = x

allora x � ¬2Di(p).

Cio significa che esiste y di rango minimo t.

c. xRy e y � ¬Di(p); inoltre per ogni z, se yRz

allora per transitivita wRz e siccome ρ(z) <

ρ(y), z � Di(p), per cui y � 2Di(p).

Poiche w � �(p ↔ A) e wRy, si ottiene y ��(p ↔ A) e per il primo lemma dimostrato

y � Di(p) ↔ Di(Hi). Per contrapposizione

y � ¬Di(Hi) e quindi x � ¬2Di(Hi).

Da ultimo w � �(2Di(Hi) → 2Di(p)).

Lemma 1 w |= �(p ↔ A) → �(2Di(p) ↔2Di(Hi))

Dimostrazione

Il risultato segue dai due lemmi predenti.

Il teorema del punto fisso per GL segue in

modo immediato dal lemma precedente per

ripetute applicazioni del secondo lemma di

sostituzione:

w |= �(p ↔ A) → B(2D1(p), 2D2(p), . . . , 2Dk+1(p))↔ B(2D1(H1), 2D2(p), . . . , 2Dk+1(p))↔ B(2D1(H1), 2D2(H2), . . . , 2Dk+1(p)) ↔ . . .↔ B(2D1(H1), 2D2(H2), . . . , 2Dk+1(Hk+1))

cioe w |= �(p ↔ A) → (A ↔ H).

Osservazioni

1. Il punto fisso H di A e ottenuto sostituen-do le diverse occorrenze di p in A con ipunti fissi Hi delle varie Ai. Quindi si vedechiaramente perche adoperando questa pro-cedura la struttura del punto fisso H esimile a quella della formula di partenzaA.

2. La scelta delle formule B, D1(p), . . . , Dk(p)dalle quali si ottiene A tramite la sosti-tuzione delle variabili proposizionali q1, . . . , qk

di B con le D1(p), . . . , Dk(p), non e deter-

minata in modo unico. Ad esempio, se

A = 22p allora possiamo prendere B(q1) =

q1 e D1(p) = 2p, oppure possiamo pren-

dere B(q1) = 2q1 e D1(p) = p. Diverse

analisi di A possono condurre a dei punti

fissi considerevolmente diversi come com-

plessita, ma naturalmente tutti dimostra-

bili equivalenti in GL.

3. Il nome di ‘teorema del punto fisso’ deri-

va dal fatto che sostituendo H per p in

�(p ↔ A(p)) ↔ �(p ↔ H) si ottiene che

GL ` �(H ↔ A(H)) ↔ �(H ↔ H). Quin-

di GL ` �(H ↔ A(H)).

4. Forniamo un esempio del teorema del pun-

to fisso dando la costruzione di H per

A = 2p ∨ 2¬p. Analizziamo A prenden-

do B = q1 ∨ q2, D1 = p e D2 = ¬p; in

tale modo A1 = > ∨ 2¬p e A2 = 2p ∨ >,

si dimostra per calcolo proposizionale che

A1 = A2 = >. A questo punto si noti che

p non appare in Ai per i = 1,2, quindi

sono punti fissi di esse stesse, cioe Hi =

Ai per i = 1,2. Sostituiamo in A e otte-

niamo che H = 2> ∨ 2¬>, che e equiv-

alente a 2> ∨ 2⊥. Riassumendo, abbi-

amo dimostrato che GL ` �(p ↔ 2p ∨2¬p) ↔ �(p ↔ 2> ∨ 2⊥) Secondo l’in-

terpretazione che abbiamo dato del box

come “dimostrabile in PA”, la variabile

proposizionale p viene realizzata nella for-

mula S di PA che afferma la propria de-

cidibilita. Quindi S viene caratterizzata

in modo autoreferenziale. Cosa possiamo

dire su tale formula S, sul suo grado di

verita e sulla sua dimostrabilita? Il teo-

rema del punto fisso ci consente di elim-

inare l’autoriferimento nella definizione di

S, la si puo caratterizzare come la formu-

la che afferma che in PA o si dimostrano

tautologie o si dimostrano contraddizioni;

tale formula e vera e dimostrabile in PA.

5. Una questione irrisolta:

Il teorema del punto fisso per GL dimostra

che l’essere modalizzata in p e una con-

dizione sufficiente per una formula A per

avere un punto fisso. Non e pero una con-

dizione necessaria. Infatti GL dimostra

che �(p ↔ (2p ∨ p)) ↔ �(p ↔ >), quindi

esistono punti fissi anche di formule non

modalizzate (non di tutte pero. Rimane

un problema aperto determinare condizioni

necessarie e sufficienti perche una formula

abbia un punto fisso.