Cours 1 : Logique modale - odile.papini.perso.luminy.univ ...odile.papini.perso.luminy.univ-amu.fr/sources/MASTER2-RE-OP/cours... · Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle

BibliographieIntroduction

Logique modale propositionnelle

Cours 1 : Logique modale

Odile PAPINI

POLYTECHUniversite d’[email protected]

http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/MASTER2-RE-OP.html

Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE



Plan du cours

1 Bibliographie

2 Introduction

3 Logique modale propositionnelle




Bibliographie 1 I

Chellas B. F., Modal logic : an introduction,Cambridge University Press, 1980.

Hughes G. E. & Cresswell M. J., A new introduction tomodal logic,Taylor & Francis 2001.

Blackburn. P. & de Rijke M. & Venema Y., Modallogic,Cambridge University Press 2001.

Wooldridge., reasoning about rational agents,MIT Press, 2000.

Wooldridge., An Introduction to multiagents systems,John Wiley & Sons, (second edition) 2009.




Bibliographie 2 I

Supports de cours logique modale

http ://www.irit.fr/ Andreas.Herzig/CLmai/

http ://www.lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/CoursLogMod.pdf

http ://www.guillaume.piolle.fr/doc/logique-modale.pdf




Logique modale propositionnelle : introduction

Logique classique

logique propositionnelle

sens des formules facile a apprehendercomplexite calculatoire abordableMAIS semantique et expressivite limitee

logique des predicats

plus expressiveMAIS complexite calculatoire eleveesens des formules parfois difficile a comprendre





Limites de l’expressivite de la logique propositionnelle

logique classique : assertions factuelles binaires

tout enonce est qualifie de vrai ou de faux : il pleut, 2 + 2 = 5,· · ·formules complexes valuees en fonction de leurs composants :semantique extensionnelle

logique classique : pas toujours adequate pour leraisonnement

raisonnement sur l’incertainraisonnement sur les situations evolutives





Logique modale : extension de la logique propositionnelle

formalisation d’enonces non factuels

raisonnement sur l’incertain et les situations evolutives

logique modale

introduction de modalites pour la comprehension desformules

expressivite : entre la logique propositionnelle et la logique despredicats

complexite calculatoire maıtrisee





modalite

n’importe quoi qui donne du sens

exprime la semantique d’un verbe, d’un adjectif, d’un adverbe,· · · portant sur une formule

exemples de modalites

“l’agent sait que”, “l’agent croit que”, “l’agent a confiance en lefait que”, “il sera dorenavant vrai que”, “il est possible que”, “il estnecessaire que”, “il est evident que”, “il est obligatoire que” · · ·

representation et raisonnement a un niveau eleve d’abstraction

modele mental d’un agent

description d’une organisation, · · ·





modalites : exemples

aletiques : il est possible qu’il pleuve

epistemiques : l’agent sait qu’il pleut, l’agent croit qu’il pleut

temporelles : il va pleuvoir, il a plu

deontiques : il doit pleuvoir

etc· · · autres modalites ou melanges de modalites





Ajout de symboles de modalite : � et �F une formule de la logique propositionnelle

�F : F est necessaire, toujours vrai, connu, obligatoire, · · ·�F : F est possible, parfois vrai, concevable, permis, · · ·

impossibilite de definir une semantique extensionnelle

F ¬F �F �F �¬F �¬F1 0 ? 1 0 ?

0 1 0 ? ? 1

semantique basee sur les mondes possibles

distinguer entre situations (alternatives imaginables)“mondes possibles”





semantique des mondes possibles : exemple





carre logique Aristote

Figure: source : Jean-Claude Choul





Figure: source : cours G. Piolle





Soit p une proposition : “il pleut”

exemples de formules epistemiques

p il pleut,¬p il ne pleut pas,�p l’agent sait qu’il pleut,�¬p l’agent sait qu’il ne pleut pas,�p l’agent tient pour concevable qu’il pleuve,�¬p l’agent tient pour concevable qu’il ne pleuve pas,��p l’agent sait qu’il sait qu’il pleut,�¬�p l’agent sait qu’il ne sait pas s’il pleut.





exemple : Le probleme des trois conseillers. J. Mc Carthy. 1978

Un roi desirant savoir lequel de ses trois conseillers est le plusagace peint un point blanc sur le front de chacun d’eux. Le roileur dit qu’il a peint un point blanc ou un point noir sur le front dechacun et qu’au moins un des points est blanc ; il demande ensuitechaque conseiller de deviner la couleur de son propre point.Apres un temps de reflexion le premier repond qu’il ne sait pas.Entendant cela le second repond qu’il ne sait pas non plus.Apres avoir entendu la reponse des deux premiers, le troisiemedeclare que son point est blanc.

Pourquoi ?





exemple : Le probleme des trois conseillers. J. Mc Carthy. 1978

Formalisation en logique modale multi-agents S5

si un conseiller a un point blanc les autres le savent

si si un conseiller n’a pas de point blanc les autres le savent

au moins un conseiller a un point blanc

les conseillers 1 et 2 ne connaissent pas la couleur de leurpoint

preuve

Avec ces hypotheses on peut demontrer par une derivation enlogique epistemique S5 multi-agents que le troisieme conseiller saitqu’il a un point blanc.





Le langage de logique modale propositionnelle

Vocabulaire

un ensemble infini denombrable de propositions

les constantes : 0 (Faux) et 1 (Vrai)

les connecteurs : ¬, ,∧, ∨, →, ↔les modalites : �, �





Definitions

formules bien formees de la logique modale propositionnelle :

• 0 et 1 sont des formules• une variable propositionnelle est une formule• si A et B sont des formules alors¬ A, A∧B, A∨B, A→ B, A↔ B sont des formules

• si A est une formule alors �A, �A sont des formules• si A est une formule alors �A =def ¬�¬A





Systeme formel de la logique modale propositionnelle(systeme K)

les axiomessoit A, B, C des formules de la logique modale propositionnelle

A1) (A→ (B → A))

A2) ((A→ (B → C ))→ ((A→ B)→ (A→ C )))

A3) ((¬ A→ ¬ B)→ (B → A))

K) (�(A→ B)→ (�A→ �B))





regles de deduction

modus ponens

Γ ` A, ∆ ` A→ B

Γ,∆ ` B

necessite (regle N)

Γ ` A

Γ ` � A





K -derivation (deduction)

F : une formule modale, Γ : un ensemble de formules modales

une K -derivation de F a partir de Γ est une sequence de formulesse terminant par F , dont chaque formule est :

soit une axiome

soit un membre de Γ

soit obtenu par l’application des regles de substitution, demodus ponens ou de necessite

une K -preuve de F est une K -derivation de F a partir de ∅ : ` F





Quelques theoremes du systeme K

K1) ` �(P ∧ Q)→ (�P ∧�Q)

K2) ` (�P ∧�Q)→ �(P ∧ Q)

K3) ` �(P ∧ Q)↔ (�P ∧�Q)





regles derivees

DR1) À→B`�A→�B

DR2) À↔B`�A↔�B

DR3) À→B`�A→�B

Eq) si A↔ B remplacer A par B (ou B par A)





regles derivees plus generales :

regularite pour � (regle R)

Γ ` A→ B

Γ ` � A→ � B

regularite generalisee pour �

Γ ` (A1 ∧ · · · ∧ An)→ B

Γ ` (� A1 ∧ · · · ∧� An)→ � B

regularite pour �

Γ ` A→ B

Γ ` � A→ � BOdile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE




Quelques theoremes du systeme K (suite)

K4) ` (�P ∨�Q)→ �(P ∨ Q)

K5) ` �P ↔ ¬ � ¬P

K6) ` �(P ∨ Q)↔ (�P ∨ �Q)

K7) ` �(P → Q)↔ (�P → �Q)

K8) ` �(P ∧ Q)→ (�P ∧ �Q)

K9) ` �(P ∨ Q)→ (�P ∨ �Q)





D’autres axiomes

T) � A→ A : tout ce qui est su (cru) est vrai

D) � A→ �A : tout ce qui est su (cru) est coherent

B) ` A→ � � A : rien n’est vrai sans qu’on ne sache qu’ilpeut etre su (cru)

4) � A→ � � A : si on sait (croit) A alors on sait qu’onsait (croit) A

5) � A→ � � A : si on ne sait (croit) pas A alors on saitqu’on ne sait (croit) pas A (croit) A





Systeme formel K : forme a partir des axiomes, A1, A2, A3, K

Systeme formel KT : forme a partir des axiomes, A1, A2, A3, Ket de l’axiome de la connaisance T) : � A→ A

Systeme formel KT4 ou S4 : forme a partir des axiomes, A1,A2, A3, K, T et del’axiome d’introspection positive 4) : � A→ � � A

Systeme formel KT45 ou S5 : forme a partir des axiomes, A1,A2, A3, K, T, 4 et del’axiome d’introspection negative 5) : � A→ � � A





Quelques theoremes du systeme T

T1) ` P → �P

T2) ` �(P → �P)





Quelques theoremes du systeme S4

S4-1) ` � � P → �PS4-2) ` �P ↔ ��P

S4-3) ` �P ↔ � � PS4-4) ` �� P → �PS4-5) ` � � P → � �� PS4-6) ` � � P ↔ � �� PS4-7) ` ��P ↔ �� P





Quelques theoremes du systeme S5

S5-1) ` ��P → �P

S5-2) ` �P ↔ � � PS5-3) ` �P ↔ ��P

S5-4) ` �(P ∨�Q)↔ (�P ∨�Q)

S5-5) ` �(P ∨ �Q)↔ (�P ∨ �Q)

S5-6) ` �(P ∧ �Q)↔ (�P ∧ �Q)

S(5-7) ` �(P ∧�Q)↔ (�P ∧�Q)





semantique de la logique modale propositionnelle

semantique des “mondes possibles”

une formule modale evaluee dans un “univers” de mondespossiblesune relation d’accessibilite lie les mondes possibles entre eux

�A est vraie dans un monde possible ω si A est vraie dans tousles mondes possibles accessibles a partir de ω

�A est vraie dans un monde possible ω si A est vraie dans aumoins un monde possible accessible a partir de ω




Exemple 1 : on lance une piece de monnaie

p : ”on obtient PILE” f : ”on obtient FACE”p est possible f est possible

p ∨ f est necessairement VRAIp ∧ f est impossible : necessairement FAUX




Logique modale propositionnelle :semantique

semantique des mondes possibles : exemple




Exemple 2 : on lance deux pieces de monnaie 1 et 2

pi : ”on obtient PILE pour i” ¬pi : ”on obtient FACE pour i”





semantique : definitions

systeme : paire (W,R) ou W est l’ensemble des interpretationsdu langage et R est une relation binaire sur Wω, ω′ ∈ W, ωRω′ : ω′ est accessible a partir de ω

valuation : application v de W ×P dans {0, 1} qui associe unevaleur de verite v(ω, p) a la variable p dans l’interpretation ω

modele : triplet M = (W,R, v) ou (W,R) est un systeme et vune valuation

notation : M, ω |= F : F est vraie dans le monde possible ω pourle modele M





definitions

Soit M = (W,R, v) un modele,la relation de consequence est definie par :M, ω |= p ssi v(ω, p) = 1M, ω |= >M, ω 6|= ⊥M, ω |= ¬A ssi M, ω 6|= AM, ω |= A→ B ssi M, ω 6|= A ou M, ω |= BM, ω |= A ∧ B ssi M, ω |= A et M, ω |= BM, ω |= �A ssi M, ω′ |= A pour tout ω′ tq ωRω′

M, ω |= �A ssi M, ω′ |= A pour au moins un modele ω′ tq ωRω′





une formule A est valide dans un modele M = (W,R, v) ssi A estvraie dans tous les mondes possibles du modele

notation M |= A

une formule A est valide dans un systeme (W,R) ssi A est vraiedans tout modele M = (W,R, v)

notation (W,R) |= A

une formule A est valide (ou est une tautologie ), ssi A est vraiedans tout systeme (W,R)

notation |= A




Exemple 2 : on lance deux pieces de monnaie 1 et 2M, ω1 |= p1 M, ω2 |= p1 M, ω3 6|= p1

M, ω1 |= �(p1 ∨ p2) M, ω2 6|= �(p1 ∨ p2)M, ω2 |= ♦(p1 ∨ p2)




Semantique des mondes possibles : exercice

Figure: source : Stephan Merz





Montrer :

�A ≡ ¬�¬A

|= �(A→ B)→ (�A→ �B)

|= �F (ou si F est une tautologie )





Montrer que dans le systeme K les axiomes suivants ne sont pasdes tautologies :

T) � A→ A

4) � A→ � � A

5) � A→ � � A





proprietes de R :

reflexive : ∀ωi , ωj , ωiRωj

serielle : ∀ωi , ∃ωj , ωiRωj

transitive : ∀ωi , ωj , ωk , si ωiRωj et ωjRωk alors ωiRωk

euclidienne : ∀ωi , ωj , ωk , si ωiRωj et ωiRωk alors ωjRωk

symetrique : ∀ωi , ωj , si ωiRωj alors ωjRωi





il y a une infinite de logiques modales qui se comportent plus oumoins bien :

K : logique modale la plus faible, formule caracteristique :

�(A→ B)→ (�A→ �B)

T : systemes reflexifs, R est reflexive, formule caracteristique :

�A→ A

D : systemes seriels, R est serielle, formule caracteristique :

�A→ �A

K4 : systemes transitifs, R est transitive, formulecaracteristique :

�A→ ��A





S4 : systemes reflexifs et transitifs, R est reflexive et transitive

KB : systemes symetriques, R est symetrique, formulecaracteristique :

�A→ � � A

B : systemes reflexifs et symetriques, R est reflexive etsymetrique

S5 : systemes reflexifs, symetriques et transitifs R esteuclidienne, formule caracteristique :

¬�A→ �¬�A





resultats de correction et de completude

le systeme formel K

theoreme (de correction) : soit A une formule modale, si ` Aalors |= A(les formules qui sont des theoremes du systeme K sont destautologies pour la classe K )

theoreme (de completude) : soit A une formule modale, si |= Aalors ` A





resultats de correction et de completude

systeme formel T

theoreme : �A→ A est une tautologie ssi R est reflexive

systeme formel S4

theoreme : �A→ ��A est une tautologie ssi R est transitive

systeme formel S5

theoreme : ¬�A→ �¬�A est une tautologie ssi R esteuclidienne





quelques resultats de decidabilite

definition : une logique modale L possede la propriete de modelefini si pour toute formule A qui n’est pas valide dans L , il existeun modele fini dans lequel A est falsifie

proposition : si une logique modale L possede une procedure depreuve et la propriete de modele fini alors L est decidable

theoreme : K , T , S4, S5 sont decidables


Documents

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