1

L’ ELLISSE

1 by

ax

2

2

2

2

=+

2

ARGOMENTI TRATTATI

1. L’equazione canonica dell’ellisse

2. Questioni basilari

3. Questioni relative alle rette tangenti

4. Curve deducibili dall’ellisse

5. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

6. Proprietà ottica dell’ellisse

3

L’EQUAZIONE CANONICA DELL’ELLISSE

Definizione Si dice elisse E il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.

Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’ellisse.Siano F1(- c ; 0 ) e F2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della E .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

( ) ( )( ) ( )

:ha si quadrato al Elevando

. ycxa2 ycx

:ossia , a2ycx ycx

: (*) relazione la enteanaliticam oRiscriviam

. ca , 2c2a cioè , FF PFPF

ha si , FPF o triangolil oConsiderat

. (*) Racon 2aPFPF

2222

2222

0

2121

21

21

+−−=++

=+−+++

>>>+

∈=+ +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) . caayaxca ; caayaxcxa ; yacxa2caxacxa2axc

; ycx2cxacxa2axc :otteniamo ancora elevando ; ycxa acx

; ycxa4 4a4cx ; ycxa4ycx2cxa4ycx2cx

2222222222422222222222222422

22222422222

222222222222

−=+−−=+−+−+=−+

+−+=−++−−=−

+−−=−+−−+−++=+++

Ellisse.mov

4

.ellissedell' canonica equazione , 1b

y

a

x

: baper dividere possiamo , 0b e 0a poichè , infine , bayaxb

: scivere e Rbcon cab porre possiamo quindi , 0ca esicurament è , ca Poichè

2

2

2

2

22222222

022222

=+

≠≠=+

∈−=>−> +

( ) ( ) ( ) ( )ellisse.dell' vertici chiamano si

b; 0B ; b ; 0B ; 0 ; aA ; 0 ; aA punti I

. by ; by

0x

1b

y

a

x :y asse neIntersezio

. a x; a x

0y

1b

y

a

x : x asse neIntersezio

. ab e Rb , Ra che Ricordiamo

ellissedell' grafica azioneRappresent

2121

222

2

2

2

222

2

2

2

00

−−

±==⇒

=

=+

±==⇒

=

=+

<∈∈ ++

. byb- cioè , 0yb ybb

a x;

b

y-1a x;

b

y1

a

x

. axa- cioè , 0xa xaa

by ;

a

x-1by ;

a

x1

b

y

:y e x di zaappartenend' insiemi gli Cerchiamo

22222

2

2

2

2

2

22222

2

2

2

2

2

≤≤≥−⇒−±=±=−=

≤≤≥−⇒−±=±=−=

5

Osservazioni e altre definizioni (fuochi sull’asse x)

a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y e le coordinate dei vertici suggeriscono che l’ellisse è inscritta nel rettangolo di figura, avente i lati lunghi 2a e 2b e i vertici di coordinate (-a;-b); (a;-b); (a;b); (-a;b) .

b. I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse maggiore, di misura 2a, e asse minore, dimisura 2b ( ricordiamo che b < a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .

c. Simmetrie nell’ellisse con equazione canonica:F(-x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria centrale, con centro O(0;0);F(-x;y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ;F(x;-y) = F(x;y), quindi l’ellisse è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x .

d. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione a2 – c2 = b2 oppure c2 = a2 – b2 :se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice B2, si forma il triangolo rettangolo OF2B2

di ipotenusa a e cateti b e c, quindi …

e. Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(-c ; 0), F2(c ; 0).

f. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse èdetto eccentricità:

22 bac −=

. tan

maggiore dell'asselunghezza

za focaledise =

6

. AA segmento nel degenera

ellissel' e vericiicon coincidono fuochi i

:0bper cioè , ac se

. ay xequazione di e O(0;0) centro

, raggio di nzacirconfere la diventa quindi

, uguali e semiassi i ha ellissel' e cart.

oriferiment del originel'con coincidono fuochi i

:per cioè , 0 bac se

. con ,

:ascisse delle assesull' trovanosi fuochi i Se

21

222

22

===

=+

==−==

<≤==

1e

a

ba

ba0e

1e0a

c

a2

c2 e

7

L’ellisse con i fuochi appartenenti all’asse y

Dalla definizione di ellisse come luogo geometrico (pag.3), procedendo come nel caso dell’ellisse con i fuochi sull’asse delle x, si ottiene la stessa equazione canonica. Siano F1(0 ; - c) e F2(0 ; c), con c reale positivo, i fuochi e P(x;y) un generico punto P della E .Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:

( ) ( )

. 1b

y

a

x

canonica equazionel' ancora ottiene si

, ba e R acon acb posto ...

... , b2cyx cyx

: (*) relazione la enteanaliticam oRiscriviam

. cb , 2c2b cioè , FF PFPF

ha si , FPF o triangolil oConsiderat

. (*) Rbcon 2bPFPF

2

2

2

2

0222

2222

0

2121

21

21

=+

<∈=−

=−++++

>>>+

∈=+

+

+

8

Osservazioni e altre definizioni (fuochi sull’ asse y)

a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y … invariati

b. I segmenti A1A2 e B1B2 si chiamano rispettivamente asse minore, di misura 2a, e asse maggiore, dimisura 2b ( ricordiamo che b > a ); il segmento F1F2 si chiama distanza focale e misura 2c .

c. Simmetrie … invariate

d. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione b2 – c2 = a2 oppure c2 = b2 – a2 :se consideriamo il punto P, che descrive la curva, nel vertice A2, si forma il triangolo rettangolo OF2A2

di ipotenusa b e cateti a e c, quindi …

e. Coordinate dei fuochi di un’ellisse di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F1(0 ; -c), F2(0 ; c).

f. Eccentricità ‘e’ . Il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore di un’ellisse èdetto eccentricità:

22 abc −=

. BB segmento nel degenera ellissel' e vericiicon coincidono fuochi i :0aper cioè , bc se

. ay xequazione di e

O(0;0) centro , raggio di nzacirconfere la diventa quindi , uguali e semiassi i ha ellissel' e

cart. oriferiment del originel'con coincidono fuochi i :per cioè , 0 abc se

. con , , tan

21

222

22

===

=+

==−==

<≤===

1e

aba

ba0e

1e0b

c

b2

c2 e

maggiore dell'asselunghezza

za focaledise

9

QUESTIONI BASILARI

1. Date le seguenti equazioni canoniche di ellissi, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, la misura degli assi maggiore e minore, l’eccentricità.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

to.circoscrit rettangolo il e tracciargrafico ilPer

. 0,65

3

a

ce tàeccentrici

; 8 2B1B minore asse ; 10 2A1A maggiore asse

; 3;02F ; 3;01F fuochi

; 4 ; 02B ; 4 ; 01B ; 5;02A ; 5;01A i vertic

. 3 16-25bac ; x assesull' trovanosi

fuochi i quindi , ba che osservo ; 4b ; 5a ;

22

a.

===

==

−

−−==−=

>===+

116

y

25

x 22

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

to.circoscrit rettangolo il e tracciargrafico ilPer

. 0,8662

3

6

27

b

ce tàeccentrici

; 6 2A1A minore asse ; 12 2B1B maggiore asse

; 27 ; 02F ; 27; 01F fuochi

; 6 ; 02B ; 6 ; 01B ; 3;02A ; ;031A i vertic

. 5,2027 9-36abc ;y assesull' vano tro

si fuochi i quindi , ba che osservo ; 6b ; 3a

; 136

y

9

x ; 36y4x b.

22

2222

≅===

==

−

−−≅==−=

<==

=+→=+

10

2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione kx2 + (k + 3)y2 = k + 15 rappresenta un’ellisse.

. 0k -15k

015k

3k

015k

k

cioè ,

0f

b

0f

a

: positivi siano ticoefficien i che imporre ellisse,un'

irappresent affichè , e 1yf

bx

f

a canonica formain equazionel' econsiderar posso termini,altriIn

. 0k -15k

015k

03k

0k

015k

03k

0k

: concordi essere devono f ,c ,a quindi , realtà di

condizione la anche asoddisfatt essere deve reali punti da formata cioè propria, ellisseun' avere Per

concordi. c e a significa che , 03)k(k cioè

, 0ca4b impropria) o (propria ellisseun' arappresent 0fycxa tipodel data, equazione'L

22

222

>∪<→

>++

>+

>

>

=+

>∪<→

<+<+

<∪

>+>+

>

>+<−⇔=++

3. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione (3 - k)x2 + (k + 2)y2 = - k2 + k + 6 rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse delle ascisse.

( ) ( )

3k2

1

k32k

0k3

02k

quindi ,

ba

0b

0a

essere deve x assesull' fuochicon ellisse un' averePer

. 1k3

y

2k

x : canonica formain equaz.l' scrivo quindi , 2kk36kk- che Osservo

22

2

2

222

<<→

−>+>−>+

>

>

>

=−

++

+−=++

11

4. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’ellisse.

Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’ellisse significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio:

• conosco a e/o b (coordinate dei vertici o lunghezze dei semiassi) • conosco c (coordinate di un fuoco) • passaggio per un dato punto P(xp ; yp) → (xp)2 /a2 + (yp)2 / b2 = 1 • conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b • tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q → vedi Ellisse tangente ad una retta .

. canonica equazione 125

y

9

x

3a ; 9a

5b ; 9

225b

quindi , 9

1 A ;

225

9

9

25A ;

225

9B

9225B 0

sommo) e 4-per o(moltiplic 0B25A9

9B12536A

5

4

A

B-1

1B9

1254A

b

1 B e

a

1A pongo

5

4

b

ab cioè ,

5

4

b

ce

P)per (passaggio 1b9

125

a

4

. 5/4e tàeccentrici ed

53

5 ; 2P punto ilper passa chey delle assesull' fuochi icon ellissedell' equazionel' Determina a.4

22

2

2

2222

22

=+→

==

===⋅==

=+

=−=+

=

=+→==→

=−==

=+

=

12

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. canonica equazione 14

y

16

x 2 b e 4a

quindi , 0 ; 4-V 0y

4 x

0y

042y-x ; 2 ; 0V

0x

2y

0x

042y-x

. ) ;-b 0V e ;0 a-V anche o ( b0;V e a;0V verticidei ordinatal' e ascissal'

menterispettiva sono che , b'' e a'' trovaredevo quindi , 1b

y

a

x tipodel è richiesta equazioneL'

. coordinati assi glicon 042y- x

retta della neinterseziod' punti nei verticii avente ellissedell' canonica equazionel' Determina b.4

22

14

3142

2

2

2

2

=+→==

→

=−=

→

==+

→

==

→

==+

=+

=+

13

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI

Analizziamo questi due problemi:

1. determinare le equazioni delle rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione dell’ellisse tangente ad una retta di nota equazione.

1. Rette tangenti all’ellisse, condotte da un punto P

Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.

Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’ellisse.

Esempi

a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse di equaz. x2 + 4y2 = 4 , condotte dal punto P(3 ; 0).

Verifico se P appartiene all’ellisse: 9 ≠ 4 ⇒ P non appartiene all’ellisse, quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno all’ellisse.

Metodo del “discriminante nullo”

( ) ( )( )

. 55

3x

5

5y : Pin tangentiRette .

5

5m

; 04m36m41144m4

Δ ; 04m36xm24xm41 ...

)3m(xy

4y4x

1,2

224222222

±=±=

=−+−==−+−+→

−==+

14

( )

( )

. 55

3x

5

5y

; 5

5

4/3-3

3/5m ; 3-xmy

: PT e PT tangentirette delle equazioni le Determino

3

5 ;

3

4T ;

3

5- ;

3

4T ;

3

5y ;

4y4x

4/3x

: T e T tangenzadi punti dei coordinate le eterminoD

. 3/4 x: polare ettar ; 43x

tosdoppiamen di formule le applico 4y4x

0 ; 3P

to"sdoppiamen di formule" delle Metodo

1,21,2

21

2122

21

22

±=

±=±==

±=

=+

=

=τ==+

b. Determina le equazioni delle rette tangenti all’ellisse 16x2 + 25y2 = 4 , condotte dal punto P(1/4 ; 31/2/5).

Verifico se P appartiene all’ellisse: 1+ 3 = 4 ⇒ P appartiene all’ellisse, quindi ho una sola soluzione.

( )

P. punto nel tangentela è polare retta La

. 04y35 4x : ; 45

3y25

4

116x : tosdoppiamen di formule le applico

4y25x16

5 / 3 ; 1/4P

to"sdoppiamen di formule" delle Metodo

22

τ

=−+τ=+=+

15

2. Ellisse tangente ad una retta di nota equazione

Esempio

( )

( )

( )

. 140

y

10

x : ellissedell' equazione ;

40b

10a :eConclusion

. 40b 40

1B ... 01360B40-400

4

; 04040yy1360B ... ; 1By360

40040yy

; 1By10

1

6

20y

6

20y x

b

1Bcon , 1By

10

x

10a

0

20-6x y

1b

y

a

x

10a

. 20-6x y equazione di retta alla tangente

è ed 0 ; 10V coordinate di eun vertic ha che

1,b

y

a

x tipodel ellissedell' equazionel' aminDeter

22

2

222

22

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=+

=

=

=→==+=∆

=+++=+++

=+⋅

+⇒

+=

==+

=

=∆⇒

=

=+

=

=

=+

16

CURVE DEDUCIBILI DALL’ ELLISSE

Esplicitando l’equazione di secondo grado x2/a2 + y2/b2 = 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, due del tipo (1) e due del tipo (2), scritte sotto.

Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiellissi.

. byb-con , ybb

ax e , axa-con , xa

a

by equazioni delle Grafici

(2)

22

(1)

22 ≤≤−±=≤≤−±=

17

Esempi.

Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

. 0y ordionata di punti i compresi

, x assel' sopra"" trovasi che semipiano il è 0y

; 1 ; 0V , 1- ; 0V , 0 ; 1/2V , 0 ; 1/2-V verticidi

ellisseun' di equazionel' è 1y4x dove

1/2x1/2- ; 0y

1b , 1/2a 1y4x

1/2x1/2- ; 0y

4x-1y

sistema al equivale equazione questa ; 4x-1y .1

4321

22

22222

2

=≥

=+

≤≤≥==→=+→

≤≤≥=

=

( ) ( ) ( ) ( )

. 0 xascissa di punti i compresi

,y assedell' sinistra" a" trovasi che semipiano il è 0 x

; 1 ; 0V , 1- ; 0V , 0 ; 3/4V , 0 3/4;-V verticidi

ellisseun' di equazionel' è 1yx9

16 dove

1y1- ; 0x

1b , 4/3a 1yx9

16

sistema al equivale equazione questa ; y14

3 x.2

4321

22

22

2

=≤

=+

≤≤≤

==→=+

−−=

18

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) . 5 ; 2V , 3- ; 2V , 1 ; 4V , 1 ; 0V : sono verticii

che deduciamo , x'' laper C.E. delle conto anche tenendo, quindi

3- y e 5y

2x

01y2x16yx4

2x: verticidei Ricerca

. 2;1C cioè , 1y e 2 x

quindi , nulli essere devono y'' e x''in grado primo di terminii

, oriferiment del originenell' centrata e ruotatanon ellissel'Per

. 01y2x16yx4y1y2x2x8y4x ...

01yy2xx16yyxx4 yyy

xxx

:one traslazimediante , y;x C simmetria di centro del Ricerca

. xy''in rerettangola ermine t

il manca perchè , oriferiment di sistema al rispetto ruotatinon

simm. di assi glicon ellisseun' è conica la , 0-16144-0

degenere;non conica , 0648804118110804

:(*) conica la iamoClassifich

4x0 ; 01-y

(*) 01y2x16yx4

sistema al equivale equazione questa ; 1xx42y .3

1321

22

00

0020

20T0T0

2T

2T

0T0T2

0T2

0T0T

0T

00

22

2

===

⇒

=+−−+

=

==

=+−−++−+−++

=++−+−+++⇒

+=+=

<=⋅⋅=δ

≠−=⋅−⋅=−−

−−

≤≤≥=+−−+

+−=

19

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO

CASO ELLISSE – RETTA

y e/oper x ilimitazion eventuali

retta una di equazione

ellissi di fascioun di equazione

(2) oppure

y e/oper x ilimitazion eventuali

rette di fascioun di equazione

ellisse un' di equazione

(1)

: casi seguenti i presentare possono Si

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.

Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’ellisse nel caso (1), o la retta interseca le ellissi nel caso (2).

In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).

Esempi

:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'

(1) tipodel sistema

0y ; 0x

0kyx5

25y25x

:sistema seguente il Discuti 1.

22

≤≤=++=+

20

( ) ( )

.

2

25y

2

2x

icoincident soluzioni due ammette sistema il 25kper

, 5y

0x e

0y

1x , limite -soluzioni due hanno si 5kper eparticolarin

, 25k5per soluzioni due ammette sistema il : eConclusion

. 25k ; 01250k50k254

025k10kx50x k --5xy

25y25x : tangenzadi condizione

; 5k : 5- ; 0Vper passaggio ; 5k : 0 ; 1Vper passaggio

; TVV è utile arcol' : grafico dal ioniConsideraz

. -5m ang. coeff. di rette di improprio fascio ;k --5xy 0kyx5

5b ; 1a ; 125

y x 25y25x

22

2222

31

31

2222

−=

−==

−==

==

=

≤≤

±==+−=∆

=−++→

==+

==−

==→=++

===+→=+

( )

≤≤≥

==→=+→

≤≤≥==

≤≤+−=

=

/23x3/2- ; 0y

3b , 3/2a 19

yx

9

4

/23x3/2- ; 0y

4x-9y sistema al equivale 4x-9y equazione l'

2/3x0

3kkxy

4x-9y

:sistema seguente il Discuti 2.

222

222

2

21

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

. icoincident soluzioni due ammette sistema il 24/5kper e 0kper

; 0y

2/3x , limite una e ordinaria sol. una ha si 6kper

:eparticolarIn

. 0k 6kper soluzione una

, 0kper e 24/5k6per soluzioni due ammette sistema il

: eConclusion

24/5k

0k ... 0k6kk4k9k6k

4

0k6kxk3k2xk4

3kkxy

19

yx

9

4

: tangenzadi condizione

; 6k : 0 ; 2/3Vper passaggio ; 0k : 0 ; 3Vper passaggio

; TVV è utile arcol' : grafico dal ioniConsideraz

. 1;3F ; 3y

1x 03y1-xk ; 03kykx

:F fascio del Centro

. rette di proprio fascioun arappresent 3kkxy equazione L'

22234

2222

22

24

24

−==

==

−=

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→=−+=+−−

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PROPRIETA’ OTTICA DELL’ELLISSE

Un raggio di luce proveniente da uno dei due fuochi viene riflesso dall’ellisse verso l’altro fuoco. Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, vale per tutti i tipi di onde, anche per quelle acustiche.Si può ricordare un fenomeno acustico, che è possibile sperimentare in antiche sale con il soffitto a sezione ellittica, dove due interlocutori, posti nei due fuochi, possono discorrere chiaramente, sebbene a voce bassa, mentre negli altri punti della sala non si sentono le loro parole.Questa proprietà è stata sfruttata nella costruzione di alcuni teatri rinascimentali.