la de la y de solucióneprints.ucm.es/43295/1/Competencia conceptual y de procedimiento.… · Resumen En esta investigación se analizan losfactores implicados en la adquisición

Competencia conceptual y de procedimiento comprensioacuten

de la propiedad conmutativa de la adicioacuten y estrategias

de solucioacuten VICENTE BERMEJO PuRIFICACIOacuteN RODRIacuteGUEZ

Universidad Complutense de Madrid E U de Profesorado de EG B de Segovid

~ Resumen

En esta investigacioacuten se analizan losfactores implicados en la adquisicioacuten de la estrategia aditiva de contar desde el sumando mayor y su relacioacuten con el conocimiento de la propiedad conmutativa de la suma Tres grupos de nintildeos con edades comprendidas entre los 5 y los 8 antildeos resuelven tres tareas (resolver sumas comparar sumas y encontrar el sumando desconocido) en dos condiciones experimentales (presencialausencia del resultado) y con cuatro tipos de sumandoi (1 + N ciacuterculos + guarismos hechos numeacutericos y hechos numeacutericos superiores a la decena) En general los resultados muestran que los factores grupo tarea presenciaausencia del resultado y tipo de sumandos influyen en el rendimiento de los nintildeos Asimismo el anaacutelisis de las estrategias y errores nos ha permitido comtatar la existencia de diferencias evolutivas entre los grupos Por uacuteltimo nuestros datos ponen de manifiesto que las estrategias aditivas de contar desde el mayor se acompantildean de un cierto eacutexito en las tareas de conmutatividady que elfracaso en la tarea de sumar no implica fracaso igualmente en las tareas de conmushytativiclad

Abstraet In this research authors analyzed thefactors involved in the acquisition ofthe additive strategy ofcounting

from the larger addend and its relationship with the knowledge ofthe commutative law ofaddition Three groups ofchildren with ages between 5 and8 years solvedthree tasks (ie solve additiom compare sums and find the unknown addend) in two experimental conditiom (ie presencelabsence ofthe result) and with jour types ofaddends (ie 1 + N circles + numbers numericalfacts and numericalfacts greater than ten) In general the results showed that thefactors ofgroup task presencelabseacutence ofthe result and kind ofaddend affectedchildrens levelof attainment Moreover the analysis of the strategies anderrors let us to verify the existence ofdevelopmental differences among the groups Finally ou data pointedout that the additive strateshygies in which children start to countfrom the larger addend were linked to a certain success in the commutatishyvity tasks and that thefadure in the additive task didnt involve asimilar fadure in the commutativity tasks

Correspondencia con autores 1 Departamento de Psicologiacutea Evolutiva y de la Educacioacuten Campus de Somosaguas 28023 Madrid 2 Este esrudio recoge algunas de las ideas contenidas en la tesis doctoshyral de P Rodriacuteguez

copy 1994 by Aprendizaje ISSN 0210-3702 Estudios de Psicologiacutea 1994513-21

4 INTRODucaoN

Recientemente diversos autores (Hiebert y Lefevre 1986 Silver 1986 Vanlehn 1986 etc) que trabajan en el aacutembito de las matemaacuteticas han insistido en la necesidad de distinguir entre conocimiento conceptualy de procedimienshyto El primero ha sido caracterizado comoacute el conoCimiento de los principios y reglas y el segundo como el conQcimiento de las habilidadeacutes o estrategias Byrnes y Wasik (991) presentan tres argumentos para justificar la necesidad de distinguir entre estos dos tipos de conocimiento El primero hace referencia a que desde el punto de vista loacutegico el conocimiento de procedimiento no es reducible al conocimiento conceptual El segundo se relaciona con el hecho de que estos dos tipos de conocimiento tienen diferentes Junciones cognitivas de modo que los conceptos imponen orden y organizacioacuten sobre las experiencias formando categoriacuteas o relacionando sucesos causalmente en el tiempo o en el espacio mientras que los procedimientos son medios para alcanzar un fin El uacuteltimo argumento es de talante empiacuterico y permite explicar aquellos casos en los que los sujetos presentan altos niveles de conocimiento conceptual y carencia de conocimiento de procedimiento o viceversa Por su parte Hiebert y Lefevre (1986) antildeaden que la distincioacuten entre estas dos clases de conocimiento proporshycionan un marco adecuado para examinar cuestiones relativas al proceso de adquisicioacuten del conocimiento

No obstante uno de los retos maacutes importantes que tiene planteada la invesshytigacioacuten consiste en determinar coacutemo se producen las conexiones entre conocishymiento conceptual y de procedimiento o dicho en otras palabras coacutemo se relashycionan-los conceptos y los procedimientos A este respecto Carpenter (986) apunta por un lado que los avanceS en el conocimiento conceptual son difiacuteciles de identificar y de medir directamente y en todo caso lo que hacemos es inferirshylo a partir de la observacioacuten de ciertos procedimientos para los que se supone que constituye un prerrequisito Por otro lado los conceptos son aplicados en dominios muy especiacuteficos antes de ser generalizados maacutes ampliamente En esta misma liacutenea Baroody y Ginsburg (1986) indican que los procedimientos utilishyzados por los nintildeos en la resolucioacuten de una tarea no siempre reflejan su nivel de competencia conceptual reaL

Otra de las dificuftades con que se encuentra la investigacioacuten en esta aacuterea es averiguar hasta queacute punto los avances en el conocimiento de procedimiento ocushyrren como resultado de los avances en el conocimiento conceptual Aquiacute es donde las posturas enfrentadas suelen ser maacutes frecuentes Asiacute por un lado Carpenter (1986) indica que resulta incorrecto afirmar que el conocimiento conshyceptual sea de alguacuten modo innecesario para producir avances en el conocimiento de procedimiento En este sentido aunque los nintildeos pueden llegar a utilizar procedimientos sin vincularlos con una forma de conocimiento conceptual cuando algunas invenciones se producen exclusivamente en relacioacuten con el conocimiento de procedimiento a menudo conducen a error Por otro Baroody y Ginsburg (1986) consideran que el desarrollo del conocimiento conceptual no asegura la adquisicioacuten de procedimientos relacionados con dicho conocimiento y que asimismo la construccioacuten de procedimientos avanzados puede deberse tanto a la adquisicioacuten del conocimiento conceptual subyacente como a un intenshyto de reducir las demandas de procesamiento cognitivo de la tarea

Este debate se ha extendido a numerosos aspectos de la aritmeacutetica elemental y asiacute en relacioacuten con las estrategias aditivas por ejemplo no estaacute claro hasta queacute punto la utilizacioacuten por parte del nintildeo de estrategias de solucioacuten sofisticadas implica un mayor nivel conceptual Maacutes especiacuteficamente en la estrategia de conshytar desde el sumando mayor algunos autores (Briars y Larkin 1984 Carpenter 1986 Riley Greeno y Heller 1983) sentildealan que el conocimiento de la conmushytatividad constituye una condicioacuten necesaria para la comprensioacuten y uso de esta

estrategia En una liacutenea diferente 1984 Baroody y Ginsburg 1986 ren que el conocimiento de la proiexcl= con el uso de estrategias aditivas de esta uacuteltima compartida por Resnic gia no deriva sistemaacuteticamente de que resulta de la praacutectica en la SUl

(HPM) desarrollado por Resnick miento de los nintildeos del- procedimit aparicioacuten del mismo a la presencia ferente y de dos heuriacutesticos resultiexcl (para una mayor descripcioacuten ver R(

Por lo que se refiere a la conro sicioacuten de la misma se produce com do de la adicioacuten oacutecomo resultado vas A este respecto y de acuerdo c contnutatividad se vincula con u parte-todo (Briark y Larkiri 1984 en teacuterminos de Weaver (1982) con se halla en la liacuteriea deacute Baroody ya e brir esra propiedadpor medios Iacutel binaria de la suma siempre y middotcua resultados de pares de algoritmos e

El presente trabajo persigue l factores implicados en la adquisic contar desde el sumando mayor (ce partir del mayor) y su vinculacioacuten tativa Por otra se pretende profur comprensioacuten de la operaltioacuten aditi piedad conmutativa Para ello t (grupo) x 2 (presenciaausencia d dos) planteando las siguientes hip

Hipoacutetesis 1 Se observaraacuten diti al nivel de rendimiento en funcioacute presenciaauSencia del resultado

Hipoacutetesis 2 Las estrategias y f tareas variaraacuten en funcioacuten de la ediexcl el tipo de sumandos

Hipoacutetesis 3 La utilizacioacuten de por el mayor en la resolucioacuten de l~ la propiedad conmutativa

A diferencia de otros autor Neches 1984) que sentildealan que 1 dientemente de su conocimientc demostrar de acuerdo con Carpen miento de contar desde el suman e conocimiento conceptual de la pro

Hipoacutetesis 4 El fracaso del nintilde sariamente a un fracaso en las tareiexcl siones estas uacuteltimas pudieacuteran resul

En otras palabras ciertas t~ sumando inicial pueden resultar ( ocurre asiacute en las tareas de conmut puesta mediante una simple estramiddot algoritmos que ha de comparar o c

5

bert y Lefevre 1986 Silver 1986 ito de las matemaacuteticas han insistido iento conceptual y de procedimienshy~l conocimiento de los principios y D de las habilidades o estrategias lentos para justificar la necesidad de liento El primero hace referencia a ocimiento de procedimiento no es ~gundo se relaciona con el hecho de diferentesfuncioacutenes cognitivas de )rganizacioacuten sobre las experiencias IS causalmente en el tiempo o en el ion medios para alcanzar un fin El permite explicar aquellos casos en conocimiento conceptual y carencia rsa Por su parte Hiebert y Lefevre dos clases de conocimiento proporshycuestiones relativas al proceso de

tantes que tiene planteada la invesshyiexclducen las conexiones entre conocishycho en otras palabras coacutemo se relashyA este respecto Carpenter (1986)

nocimiento conceptual son difiacuteciles todo caso lo que hacemos es inferirshyedimientos para los que se supone ldo los conceptos son aplicados en alizados maacutes ampliamente En esta dican que los procedimientos utili shyare a no siempre reflejan su nivel de

ntra la investigacioacuten en esta aacuterea es Jnocimiento de procedimiento ocushyonocimiento conceptual Aquiacute es maacutes frecuentes Asiacute por un lado to afirmar que el conocimiento conshylroducir avances en el conocimiento los nintildeos pueden llegar a utilizar rma de conocimiento conceptual xclusivamente en relacioacuten con el onducen a error Por otro Baroody 110 del conocimiento conceptual no lacionados con dicho conocimiento imientos avanzados puede deberse eptual subyacente como a un intenshycognitivo de la tarea aspectos de la ari tmeacutetica elemental por ejemplo no estaacute claro hasta queacute strategias de solucioacuten sofisticadas dficamente en la estrategia de conshyo (Briars y Larkin 1984 Carpenter que el conocimiento de la conmushy

a para la comprensioacuten y uso de esta

estrategia En una liacutenea diferente Baroody y colaboradores (Baroody y Gannon 1984 Baroody y Ginsburg 1986 Baroody Ginsburg y Waxman 1983) sugieshyren que el conocimiento de la propiedad conmutativa no se liga necesariamente con el uso de estrategias aditivas de contar a partir del sumando mayor Posicioacuten esta uacuteltima compartida por Resnick (983) puesto que sugiere que ~sta estrateshygia no deriva sistemaacuteticamente del descubrimiento de la conmutatividad sino que resulta de la praacutectica en la suma En efecto en un programa de ordenador (HPM) desarrollado por Resnick y Neches(1984) para explicar el descubri miento de los nintildeos delmiddot procedimiento de Gontar a partir del mayor atribuyen la aparicioacuten del mismo a la presencia de un esquema de etiquetado de orden indishyferente y de dos heuriacutesticos resultado auacuten disponible y resultado no modificado (para una mayor descripcioacuten ver Rodriacuteguez en prensa)

Por lo que se refiere a la conmutatividad tampoco resulta claro si la adquishysicioacuten de la misma se produce como resultado de un conocimiento maacutes sofisticashydo de la adicioacuten o como resultado de la praacutectica en la resolucioacuten de tareas aditi shyvas A este respecto y de acuerdo con la primera posicioacuten el conocimiento de la conmutatividad se vincula con una comprensioacuten impliacutecita de las relaciones parte-todo (Briar y Larkin 1984 Resnick y Neches 1984 Riley et al 1983) o en teacuterminos de Weaver (1982) con la concepcioacuten binaria de la suma La segunda se halla en la liacutenea de Baroody ya que afirma que los nintildeos son capaces de descushybrir esta propiedad por medios informales sin necesidad de una concepcioacuten binaria de la suma siempre ycuando se les deacute la oportunidad de comparar los resultados de pares de algoritmos con1lutados

El presente trabajo persigue un doble objetivo Por una pirte analizar los ~actores impliacutecados en la ~dquisicioacuten de las estrategias aditivas consistentes en contar desde el sUmando mayor (coritar todoacute empezando por el mayor y contar a partir del mayor) y su vinculacioacuten con el conocimiento de la propiedad conmushytativa Por otra se pretende profundizar en la relaci6l- existente ~ntre el nivel de comprensioacuten de la operaltioacuten aditiva y el nivel adquirido con respecto a la proshypiedad conmutativa Para ello hemos seguido un disentilde~ factorial mixto 3 (grupo) x 2 (presenciaausencia del resultado) x 3 (tareas) x 4 (tipo de sumanshydos) planteando las siguientes hipoacutetesis generales

Hipoacutetesis 1 Se observaraacuten difereneacuteias evolutivas entre los grupos en cuanto al nivel de rendimiento en funcioacuten del tipo de tareas el tipo de sumandos y la presenciaausencia del resultado

Hipoacutetesis 2 Las estrategias y errores cometidos por los nintildeos en las distintas tareas variaraacuten en funcioacuten de la edad presenciaausencia del resultado la tarea y el tipo de sumandos

Hipoacutetesis 3 La utilizacioacuten de estrategias consistentes en contar empezando por el mayor en la resolucioacuten de las tareas aditivas supone cierta competencia en la propiedad conmutativa

A diferencia de otros autores (Baroody y Ginsburg 1986 Resnick y Neches 1984) que sentildealan que los nintildeos inventan estas estrategias indepenshydientemente de su conocimiento sobre la conmutatividad nos proponemos demostrar de acuerdo con Carpenter (1986) que el conocimiento del procedishymiento de contar desde el sumando mayor no puede desvincularse de lIn cierto conocimiento conceptual de la propiedad conplUtativa de la sunia

Hipoacutetesis 4 El fracaso del nintildeo en ciertas tareas aditivas no acompantildea neceshysariamente a un fracaso en las tareas de conmutatividad sino que en ciertas ocashysiones estas uacuteltimas pudieran resultar maacutes sencillas

En otras palabras ciertas tareas aditivas como por ejemplo hallar el sumando inicial pueden resultar muy complejas para los nintildeos mientras que no ocurre asiacute en las tareas de conmutatividad ya que el nintildeo puede extraer la resshypuesta mediante una simple estrategia perceptiva comprobando que en los dos algoritmos que ha de comparar o completar se encuentran los mismos nuacutemeros

6 METOOO

Sujetos

Participaron en el estudio un total de 72 nintildeos elegidos al azar pertenecientes a un colegio madrilentildeo de nivel socio-econoacutemico medio distribuidos en tres grupos de 24 sujetos cada uno El grupo I estaba formado por nintildeos de segundo de preescolar cuyas edades oscilaban entre los 5-6 antildeos (M 56) en el grupo II se incluiacutean nintildeos de lo de EGB con edades comprendidas entre los 6-7 antildeos (M 64) por uacuteltimo el grupo III estaba compuesto por nintildeos de 20 de EGB con edades de 7-8 antildeos (M 7 6)

Material Y procedimiento experimental

El material estaba constiruido por cuadernillos que conteniacutean las pruebas y un laacutepiz para anotar las respuestas

En cuanto al procedimiento experimental las tareas eran leiacutedas por el experishymentador en voz alta Sin limitaciones de tiempo los nintildeos debiacutean responder en unos casos verbalmente y en otros de modo escrito en funcioacuten del tipo de tarea que debiacutean resolver (produccioacuten o verificacioacuten) llevaacutendose a cabo una filmacioacuten en viacutedeo de todo el proceso de ejecucioacuten Ademaacutes las pruebas fueron presentadas de modo individual a los nintildeos en dos momentos distintos separados por una semana En la primera aplicacioacuten la mitad de los sujetos de los distintos grupos resolviacutean las tareas en las que estaba presente el resultado mientras que la otra mitad lo haciacutea con aqueshyllas en las que el resultado se encontraba ausenie En la segunda ocasioacuten se invirtieshyron los teacuterminos De este modo se evitaba que la duracioacuten de las pruebas fuera exceshysiva ocasionando fatiga en los nintildeos y controlando al mismo tiempo el posible efecto del aprendizaje de unas pruebas sobre otras

Las tareas propuestas eran de tres tipos (1) resolucioacuten de sumas (2) comparashycioacuten de sumas y (3) encontrar el sumando desconocido La primera y la tercera eran tareas de produccioacuten en las que el sujeto debiacutea construir la respuesta mientras que la segunda constituiacutea una tarea de verificacioacuten en la que simplemente teniacutea que indishycar si era verdadera o falsa la situacioacuten propuesta y explicar las razones que le llevashyban a tomar esa decisioacuten

La tarea de resolucioacuten de sumas se presentaba bajo la forma de problemas verbashyles de cambio pero con el algoritmo ya escrito de modo que el nintildeo teniacutea que encontrar el elemento desconocido Por ejemplo

AlprinciPioJuan teniacutea estos caramelos Mariacutea le dio eacutestos iquestCuaacutentos caramelos tiene ahoraJuan en total

1 + 13

La tarea de encontrar el sumando desconocido era una prueba de conmutativishydad Se presentaban dos algoritmos aditivos de modo que uno estaba completo mientras que en el otro se desconociacutea uno de los sumandos Lo que se pediacutea al nintildeo era que determinase el elemento que faltaba para tener exactamente lo mismo que habiacutea en el otro algoritmo obtenieacutendose la solucioacuten correcta al poner en relacioacuten ambos algoritmos Por ejemplo

Ceacutesar tiene estas canicas y Tomaacutes tiene eacutestas iquestCuaacutentas canicas necesita Tomaacutes para tener las mismas que Ceacutesar

1 + 12 12 +

Finalmente la tarea de comparaci mutatividad en la que el nintildeo debiacutea ca determinar si ambos eran o no equival

Luis tiene estos caramelos y Pedro tiene

1 + 16

En esta uacuteltima tarea cuando el re resolviesen ambas cuentas en el suma las preguntas sobre conmutatividad e por una parte comprobar si los sujete aplicaban este conocimiento a la resoli ritmos conmutados por otra parte se los nintildeos de preescolar y faacutecilmente 1

mente solicitaacutebamos la resolucioacuten de alargar la prueba excesivamente y prm

En cuanto a las cantidades se uti] 1 + N (pe 1 + 8) ciacuterculos maacutes guar (pe 3 + 4) y hechos numeacutericos que eran los mismos en ambas partes del e

Finalmente en cada tarea se propol trabalanceaacutendose tanto el orden de prese

ANAllSIS YDISCUSION DE RESUL

Anaacutelisis cuantitativo de los resultl

El anaacutelisis de varianza mixto 3 (gr sencia vs ausencia del resultado) x 3 (1 mutativas vs encontrar el sumando d~ guarismos vs heacutechos numeacutericos vs bull medidas repetidas en los tres uacuteltimos BMDP (2V) muestra por un lado qu factores grupo (F269 = 1988p lt OOC presenciaausencia del resultado (FI (F3bull207 = 7 plt00002) Por tanto tal diferencias significativas entre los gr grupo de los mayores siguieacutendoles a clt

preescolares Ademaacutes en todos los gru res en la condicioacuten de ausencia del resu tipo de sumandos dan lugar a respuest~

Por otro lado el anaacutelisis de varial interacciones grupo x presencia del (F4138 = 257p lt 004)grupoxtipo tipo de sumandos (F6414 = 1849 I sumandos (FI2414 = 216p lt 001) grupo (F6207=258 pltOOl) presenci dos (F6414 = 407 P lt 00006) result (F12414 = 313 P lt 00003) Elanaacutelis las ~omparaciones de interaccioacuten con mos uacutenicamente las interacciones tri] evitar repeticiones innecesarias

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intildeos elegidos al azar pertenecientes a un ledio distribuidos en tres grupos de 24 gtr nintildeos de segundo de preescolar cuyas n el grupo II se incluiacutean nintildeos de lo de antildeos (M 64) por uacuteltimo el grupo III edades de 7-8 antildeos (M 7 6)

nillos que conteniacutean las pruebas y un

al las tareas eran leiacutedas por el experishyempo los nintildeos debiacutean responder en crito en funcioacuten del tipo de tarea que vaacutendose a cabo una filmacioacuten en viacutedeo pruebas fueron presentadas de modo

intos separados por una semana En la os distintos grupos resolviacutean las tareas as que la otra mitad lo haciacutea con aqueshynte En la segunda ocasioacuten se invirtieshye la duracioacuten de las pruebas fuera exceshyL11do al mismo tiempo el posible efecto

~1) resolucioacuten de sumas (2) comparashyconocido La primera y la tercera eran iacutea construir la respuesta mientras que en la que simplemente teniacutea que indishysta y explicar las razones que le llevashy

aba bajo la forma de problemas verbashyrito de modo que el nintildeo teniacutea que lo riacutea le dio eacutestos iquestCuaacutentos caramelos tiene

Dcido era una prueba de conmutativishyiexcl de modo que uno estaba completo los sumandos Lo que se pediacutea al nintildeo gtara tener exactamente lo mismo que olucioacuten correcta al poner en relacioacuten

Cuaacutentas canicas necesita Tomaacutes para tener

12 +

Finalmente la tarea de comparacioacuten de sumas consistiacutea en una prueba de conshymutatividad en la que el nintildeo debiacutea comparar pares de algoritmos conmutados para determinar si ambos eran o no equivalentes Por ejemplo

Luis tiene estos caramelos y Pedro tiene eacutestos iquestTienen los dos el mismo nuacutemero de caramelos

1 + 16 16 + 1

En esta uacuteltima tarea cuando el resultado estaba ausente se pediacutea a los nintildeos que resolviesen ambas cuentas en el sumando laquohechos numeacutericosraquo una vez contestadas las preguntas sobre conmutatividad en este mismo sumando El objetivo era doble por una parte comprobar si los sujetos que admitiacutean la igualdad de los algoritmos aplicaban este conocimiento a la resolucioacuten de las tareas aditivas al aparecer los algoshyritmos conmutados por otra parte se trataba de presentar cantidades familiares para los nintildeos de preescolar y faacutecilmente representables con los dedos Adeacutemaacutes uacutenicashymente solicitaacutebamos la resolucioacuten del algoritmo aditivo en este sumando para no alargar la prueba excesivamente y provocar cansancio en los nintildeos

En cuanto a las cantidades se utilizaron cuatro tipos de sumandos en cada tarea 1 + N (pe 1 + 8) ciacuterculos maacutes guarismos (pe 000000 + 13) hechos numeacutericos (pe 3 + 4) y hechos numeacutericos que superaban la decena (5 + 12) Estos sumandos eran los mismos en ambas partes del experimento

Finalmente en cada tarea se proponiacutean tres ensayos para cada tipo de sUfilando conshytrabalanceaacutendose tanto el orden de presentacioacuten de las tareas como el de los sUfilandos

ANALISIS YDISCUSION DE RESULTADOS

Anaacutelisis cuantitativo de los resultados

El anaacutelisis de varianza mixto 3 (grupo G 1 vs G II vs G III) x 2 (resultado preshysencia vs ausencia del resultado) x 3 (tareas resolver sumas vs comparar sumas conshymutativas vs encontrar el sumando desconocido) x 4 (sumandos 1 + N vs ciacuterculos + guarismos vs hechos numeacutericos vs hechos numeacutericos superiores a la decena) con medidas repetidas en los tres uacuteltimos factores y llevado a cabo mediante el programa BMDP (2V) muestra por un lado que son significativos los efectos principales de los factores grupo (F269 = 1988 P lt 00000) tipo de tarea (F2bull139 = 1046 P lt 00001) presencialausencia del resultado (F1bull69 = 8032 pltOOOOO) y el tipo de sumandos (F3207 = 7 plt00002) Por tanto tal como podemos observar en la Tabla 1 existen diferencias significativas entre los grupos correspondiendo las medias maacutes altas al grupo de los mayores siguieacutendoles a continuacioacuten los de lo de EGB y por uacuteltimo los

preescolares Ademaacutes en todos los grupos de edad las puntuaciones resultan superioshyres en la condicioacuten de ausencia del resultado Asimismo el tipo de tarea propuesta y el tipo de sumandos dan lugar a respuestas significativamente distintas

Por otro lado el anaacutelisis de varianza indica que son significativas las siguientes interacciones grupo x presencia del resultado (F269=382 plt002) grupo x tarea (F4138 = 257 P lt 004) grupo x tipo de sumandos (F627 = 428 P lt 00004) tarea x tipo de sumandos (F6414 = 1849 P lt 00000) grupo x tipo de tarea x tipo de sumandos (F124)4 = 216 P lt 001) presencia del resultado x tipo de sumandos x grupo (F6207=258 pltOOl) presencia del resultado x tipo de tarea x tipo de sumanshydos (F6414 = 407 P lt 00006) resultado x tipo de tarea x tipo de sumandos x grupo (F12414 = 313 P lt 00003) El anaacutelisis de las interacciones se lleva a cabo mediante las comparaciones de interaccioacuten con la prueba de Scheffeacute A este respecto analizashymos uacutenicamente las interacciones triples descartando las dobles y la cuaacutedruple para evitar repeticiones innecesarias

8 ral en el G III Yen los sumandos ciacute

TABLAI G JI en el G 1 no existe asociacioacuten e Medias y desviaciones tiacutepicas entre pareacutentesis del ANOVA (para maacutes detalles ver Rodriacuteguez en r

AUSENCIA DEL RESULTADO PRESENCIA DEL RESULTADO GRUPO 1 GRUPO 11 GRUPO III GRUPO 1 GRUPO Ir GRUPO Ir

Medias correspondientes ti la intenRESOLVER SUMAS 1 + f 11 26 29 02 15 2

(1 3) (09) (03) (0 8) (15) (1 2) C1rculos+guarismos 06 2 2 bull 01 11 1

(11 ) (09) (09) (06 ) (1 5) (1 ) Hechos numeacutericos 23 26 29 O l 22

(08) (09) (02) (Oacute9 ) (1 ) (13 ) Hechos numeacutericos 05 24 27 O 11 21 su~rior~s a la decena (11 ) (11) (11 ) (12 ) (1 3) (1 2)

COMPARAR SUMAS 1 + f 19 24 27 07 1 2

(13) (1 2) (08) (1 2) (14 ) T1 4) CirCUlos+guarisZlo 25 26 27 09 14 21

(11 ) (1 2) (08) (1 ) (14 ) (14) Hechos numeacutericos 2 25 27 05 11 21 z

(14 ) (11 ) (08) (11 ) (14) (L4) Hechos numeacutericos 21 26 27 06 12 21 superiores a la decena (1 3) (11 ) (08) (12) (1 5) (14 )

ENCONTRAR SllMANOO DESCONOCIDO 1 + N 23 26 28 08 25L

(11 ) (11 ) (06) (1 3) (15) (11) Cfrculos+guarismos 23 27 27 1 19 23

(11) (07) (07) (1 3) (14 ) (11) Hechos numeacutericos 22 27 29 09 14 26

(13) (08) (06) (1 3) ( 15) ( 11) Hechos nUlleacutericos 21 27 29 07 14 2 superiores a la decena (1 4) (08) (06) (1 3) (1 5) (12)

La puntuacIoacuten 1laacutexlm8 es 3

Anaacutelisis de las relaciones entre los factores grupo tipo de tarea y tipo de sumandos

Por lo que hace referencia a los ce Respecto a la interaccioacuten grupo x tipo de tarea x tipo de sum~dos efectuamos les de los factores grupo y tareas en c

dos contrastes de interaccioacuten (a) entre los distintos niveles de los factores grupo y significativas entre los grupos I y I tipo de tarea asignaniexclo el mismo peso a todos los sumandos y (b) entre los distintos plt 001) en las tareas de resolver su niveles de los factores grupo y tarea en cada uno de los sumandos Los resultados en sumando 1 + N entre los grupos 1-J el prjmer tipo de comparaciones ponen de manifiesto laacute existencia de diferencias sigshy pltOuumll) en las tareas de resolver sur nificativas en las tareas de resolver sumas y comparar sumas entre el G I Yel G Il guarismos y tambieacuten para este misa (Fiexcl414=292 pltOOl) el G 1 Yel G In (Fiexcl414 = 2198 pltOOl) pero no entre los pltOOl) en las tareas resolvenumas-e grupos qe EGB en estas mismas tareas Los contrastes de interaccioacuten de las tareas de do hechos numeacutericos superiores a la d resolversumas y encontrar el sumando desconocido muestran que resultan signifieacuteashy entre los grupos I-JI (F1414=985 plt ti~ las diferencias entre el GI Yel G JI (Fiexcl414 = 1981 Plt001)5 entre el G I YG resolver sumas-comparar sumas yer III (Fiexcl414 = 1643 P lt O 01)(Figura 1) (F1414 = 495 plt05) en las tareas reso

Finalmente aun c~ando no res~ltan significativas las diferencias entre las tareas cOflllutatividad con respecto a los grupos se observa en todos ellos un nivel de ejeshycucioacuten ligeramente superior en la tarea de encontrar el sumando desconocido Anaacutelisis de las relaciones entre l( (Figura 1) Ademaacutes en presencia del resuhado los nintildeos de todos los grupos ejecutan del resultado tareay sumandos peor la tarea de comparar sUmas que la de encontrar el sumandoacute desconocido a pesar En cuanto a la interaccioacuten pres( de que esta uacuteltima es una tarea de produccioacuten y no se presenta bajo la forma canoacutenishy llevamos a cabo por un lado compa ca Este dato es asimismo confirmado en los resultados procedentes de la aplicacioacuten

les del factor tipo de tarea asignansic de la Q de Yule para ver el grado de asociacioacuten entre laacutes tareas de conmutatividad y sencia del resultado Los resultados dellogodds para verificar si se trata de una asociacioacuten perfecta u ordenada Asiacute se entre la tarea de resolver sumas y C(observa que en la condicioacuten presencia del resultado la tarea de encontrar el sumando

diferencias son imputables a la taredesconocido se desarrolla antes en todos-Ios grupos y en todos los sumandos salvo en

tarea resulta maacutes sencilla tanto en p el G 1 en el sumando 1 + N En ausencia del resultado se mantiene esta pauta geneshy

middotmiddot9 II

ral en el G III Yen los sumandos ciacuterculos + guarismo y hechos numeacuteril=ps en el G II en el G 1 no existe asociacioacuten entre estas tareas en ninguno delos sumandos (para maacutes detalles ver Rodriacuteguez en prensa)

11 pareacutentesis del ANOVA

00 PRESENCIA DEL RESULTADO 10 111 GRUPO 1 sect[PO 11 GRUPO 111 FIGURA 1

Medias correspondientes a la interaccioacuten A (iexclrupo) x e (tarea) x D (sumanCUacuteJs) 29 02 15 24 03) (0 8) ( 15) (1 2) 3 09) (06 ) ( 15) (14 )

24 01 11 14

29 04 l 22 02) (09) ( 14) (13)27 Obull 11 21 11 ) (1 2 J (13 ) (1 2)

27 07 1 2 OS) (1 2) (14 ) (14) 27 09 l 21 OS) (1 4) (14 ) (14)27 05 11 21 z O S) (11) (14) (1bull 4) 27 06 12 21 08) (1 2) (15) (14 )

2 B 08 14 25 J 6) (1 3) (l 5) (11) 27 1 19 23 l 7) (1 3 J (14 ) (11) 29 09 l 26 l 6) (1 3 J (1 5) (11) 29 07 l

2 )6 ) (1 3) (15) (12)

13

A4

A1

elel q~ ciexcl~ ciexcl Oy ~( aJil czl3 CZbi 0)1 CJtgtz ~1I1 C4bies grupo tipo de tarea

Por lo que hace referencia a los contrastesmiddot de interaccioacuten entre los distintos niveshy tarea x tipo de sumandos efectuamos les de los factores grupo y tareas en cada uno de los sumandos hallamos diferencias stintos niveles de los factores grupo y significativas entre los grupos 1 y II (F1414 = 985 pltOOl) y I-III(F1414 = 1088 los sumandos y (b) entre los distintos plt 001) en las tareas de resolver sumas-encontrar el sumando desconocido en el no de los sumandos Los resultados en sumando 1 + N entre losgrupos I-II (F1414 = 1196p lt 001) y I-1II (F1414 = 936 ruumlfiesto la existencia de diferencias sigshy pltODl) en las tareas de resolver sumas-comparar sumas en el sumando ciacuterculos + omparar sumas entre el G I Y el G II guarismos y tambieacuten para este mismo sumando entre los grupos I-III (F1414 = 667 4 = 2198 pltOOl) pero no entre los pltGOl) en las tareas resolvefSumas-encontrar el sumando desconocido En el sumanshyntrastes de interaccioacuten de las tareas de do hechos numeacutericos superiores a la decena alcanzan la significatividad las diferencias ocido muestran que resultan significa~ entre los grupos III (F1414=985 pltOOl) y I-III (F1414=841 pltOOl) en las tareas 14 = 1981plt001)yentreelGIyG resolver sumas-comparar sumas y entre los grupos I-II (F1414 = 752 pltOOl) y I-IU

(F1414 = 495 pltO5) en las tareas resolver sumas-encontrar el sumando desconocido iexclficativas las diferencias entre las tareas observa en todos ellos un nivel de ejeshyencontrar el sumando desconocido Anaacutelisis de las relaciones entre los factores presenciaausencia

I los nintildeos de todos los grupos ejecutan I del resultado tareay sumandos gtOtrar el sumandoacute desconocido a pesar

En cuanto a la interaccioacuten presencia del resultado x tarea x tipo de suacutemandosy no se presenta bajo la forma canoacutenishy I llevamos a cabo por un lado comparaciones de interaccioacuten entre los distintos niveshyesultados procedentes de la aplicacioacuten I les del factor tipo de tarea asignando el mismo peso a los sumandos en el factor preshy

[l entre las tareas de conmutatividad y ociacioacuten perfecta u ordenada Asiacute se I sencia del resuacutel tado Los resultados apuntan diferencias significativas uacutenicamente

entre la tarea de resolver sumas y comparar sumas (Fiexcl414 = 855 P lt001) Estastado la tarea de encontrar el sumando diferencias son imputables a la tarea de comparar sumas ya que aun cuando estaLIpOS y en todos los sumandos salvo en tarea resulta maacutes sencilla tanto en presencia como en ausencia del resultado las disshyesultado se mantiene esta pauta gene- j

10 tancias entre las puntuaciones medias en esta prueba en ambas condiciones son mayores que en la de resolver sumas (Figura 2)

FIGURA 2 Medias correspondientes a la interaccioacuten B (presenciaausencia del resultado) x e (tarea) x D (sumandos)

3

Por otro lado efectuamos comparaciones de interaccioacuten entre las tareas tomadas dos a dos y agrupando las de conmutatividad frente a la tarea de resolver sumas en cada uno de los sumandos Los resultados muestran diferencias significativas tan soacutelo en el sumando hechos numeacutericos superiores a la decena entre las tareas resolver sumas-comparar sumas (Fiexcl414= 8002 pltOOl) resolver sumas-encontrar el sumanshydo desconocido (Fiexcl414-523 plt005) y resolver sumas-tareas de conmutatividad conshysideradas conjuntamente (Fiexcl-414 - 878 plt 001)

Resumiendo el factor presencia del resultado afecta al nivel de eacutexito de los sujeshytos en las tres tareas y en todos los Sumandos A este respecto la competencia de los nintildeos tanto en la suma como en la propiedad conmutativa tiene lugar primeramente en situaciones en las que el resultado no se encuentra presente Este descenso en el nivel de rendimiento en las tres tareas cuando el resultado se halla presente puede relacionarse con el desconocimiento por parte de los sujetos de la funcioacuten del signo igual Numerosos estudios (Baroody y Ginsburg 1986 Behr Edwanger y Nichols 1976 Kieran 1981 etc) apuntan que el fracaso de los nintildeos en algunas tareas de adicioacuten se debe a que otorgan a este siacutembolo matemaacutetico un sentido de operador es decir se interpreta como un signo de laquosumanraquo o laquohacen un total de raquo En el preshysente estudio tal desconocimiento se evidencia en los errores cometidos por los nintildeos en las tres tareas como veremos maacutes adelante en el apartado correspondiente al anaacuteshylisis de los errores

Anaacutelisis de las relaciones entre los factores presenciaausencia del resultado grupo y sumandos

Por uacuteltimo en lo que se refiere a la interaccioacuten presencia del resultado x grupo x tipo de sumandos en un nivel maacutes general llevamos a cabo comparaciones de inteshy

raccioacuten entre los distintos niveles de sumandos en el factor presenciaam diferencias significativas entre los gn = 269 pltOOl) pero no entre los gn

Por otra parte el anaacutelisis de las ( en cada uno de los sumandos en el fa existen diferencias significativas entr III (F1207 = 902 P lt 001) en el sum vas las comparaciones entre los grup ciacuterculos+guarismos entre los grupO hechos numeacutericos y finalmente en entre los grupos II y III (Fiexcl207 = lO superiores a la decena

En siacutentesis y de acuerdo con nue entre los grupos I y 11 respecto al gru tado y estas diferencias se evidencian hechos numeacutericos

ANAUSIS DE lAS ESTRATEGIAS [

Las estrategias aditivas

Las estrategias utilizadas por los 1 do son de tres tipos modelado direc rencias evolutivas entre los grupos E gias maacutes habituales son las de mode (6154 de los ensayos) En 10 de E de los ensayos) y en un segundo plan yos) Finalmente en 2 deg de EGB las ( ensayos) alcanzan un porcentaje ligeJ ensayos) Finalmente hallamos dist modelado directo y conteo que han rior (Bermejo y Rodriacuteguez en prensa

Cuando la incoacutegnita se ubica en temente la estrategia de contar dese concreto esta estrategia se presenta I escolar en el 6094 de 1deg de EGl tan soacutelo en el 1061 de los ensayos yen el 223 de los de 2deg de EGB 1

da con la resta Por uacuteltimo las estrategias de r

grupos de preescolar y 1o de EGB I de EGB (3938 de los ensayos)

Las estrategias en las tareas de ce

En la tarea de comparar sumas tramos cuatro tipos de estrategias ( sumandos estaacuten al reveacutes los dos S1

igual) (2) las que aluden a que el res cionan ambas cuentas una de ellas directamente a la propiedad conmUl

2

11 sta prueba en ambas condiciones son )

enciacutea del resultado) x e (tarea) x D (sumanckJs)

~8

82

11gt3 QJgtj (PI Cltil cal)iexcl cal)f

de interaccioacuten entre las tareas tomadas l frente a la tarea de resolver sumas en Stran diferencias significativas tan soacutelo s a la decena entre las tareas resolver l) resolver sumas-encontrar el sumanshyr sumas-tareas de conmutatividad con-L) tado afecta al nivel de eacutexito de los sujeshyA este respecto la competencia de los onmutativa tiene lugar primeramente lCuentra presente Este descenso en el lo el resultado se halla presente puede e de los sujetos de la funcioacuten del signo llfg 1986 Behr Erlwanger y Nichols lcaso de los nintildeos en algunas tareas de natemaacutetico un sentido de operador es nraquo o laquohacen un total de raquo En el preshyl en los errores cometidos por los nintildeos en el apartado correspondiente al anaacuteshy

es presehclaausencia

cioacuten presencia del resultado x grupo x evamos a cabo comparaciones de inteshy

raccioacuten entre los distintos nivdes del factor grupo asignando el mismo peso a los sumandos en el factor presenciaausencia del resultado Los resultados muestran diferencias significativas entre los grupos I-I1I (Fiexcl207 = 2871 pltOOl) y lI-I1I (Fiexcl207 = 269 pltOOl) pero no entre los grupos I y U

Por otra parte el anaacutelisis de las comparaciones de interaccioacuten entre los grupos en cada uno de los sumandos en el factor presenciaausencia del resultado revela que existen diferencias significativas entre los grupos I y III (F207 = 704 P lt 001) U Y III (F207 = 902 P lt 001) en el sumando 1 + N Asimismo llegan a ser significatishyvas las comparaciones entre los grupos 1 y III (F207= 1489 pltOOl) en el sumando ciacuterculos +guarismos entre los grupos JI y III (Fiexcl207 = 933 p lt 001) en el sumando hechos numeacutericos y finalmente entre los grupos 1 y nI (Fiexcl207 = 471 pltOOl) y entre los grupos n y JII (F207 = 1086 pltOOl) en el sumando hechos numeacutericos superiores a la decena

En siacutentesis y de acuerdo con nuestra hipoacutetesis (1) existen diferencias evolutivas entre los grupos 1 y 11 respecto al grupo JII en el factor presenciaausencia del resulshytado y estas diferencias se evidencian en los sumandos 1 + N ciacuterculos + guarismos y hechos numeacutericos

ANAllSIS DE lAS ESTRATEGIAS DE SOLUaON


Las estrategias utilizadas porlos nintildeos cuando la incoacutegnita se ubica en el resultashydo son de tres tipos modelado directo conteo y hechos numeacutericos existiendo difeshyrencias evolutivas entre los grupos En concreto en el grupo de preescolar las estrateshygias maacutes habituales son las de modelado directo (3264 de los ensayos) y conteo (6154 de los ensayos) En 10 de EGB sobresalen las estrategias de conteo (538 de los ensayos) y en un segundo plano las de hechos numeacutericos (3309 de los ensashyyos) Finalmente en 2deg de EGB las estrategias de hechos numeacutericos (4846 de los ensayos) alcanzan un porcentaje ligeramente superior a las de conteo (4677 de los ensayos) Finalmente hallamos distintos niveles de evolucioacuten en las estrategias de modelado directo y conteo que han sido recogidas ampliamente en un trabajo anteshyrior (Bermejo y Rodriacuteguez en prensa) a donde remitimos al lector interesado

Cuando la incoacutegnita se ubica en el sumando inicial los nintildeos utilizan preferenshytemente la estrategia de contar desde el sumando conocido hasta el resultado En concreto esta estrategia se presenta en el 7092 de los ensayos en el grupo de preshyescolar en el 6094 de 10 de EGB y en el5312 en 2deg de EGB Sin embargo tan soacutelo en el 1061 de los ensayos de preescolar en el 089 de los de 10 de EGB yen el 223 de los de 2 deg de EGB usan la estrategia de contar hacia atraacutes relacionashyda con la resta

Por uacuteltimo las estrategias de hechos numeacutericos aparecen escasamente en los grupos de preescolar y 1deg de EGB mientras que cobran especial importancia en 2 deg de EGB (3938 de los ensayos)

Las estrategias en las tareas de conmutatividad

En la tarea de comparar sumas cuando el resultado no se halla presente enconshytramos cuatro tipos de estrategias (1) aquellas que se centran en los sumandos (los sumandos estaacuten al reveacutes los dos sumandos son iguales uno de los sumandos es igual) (2) las que aluden a que el resultado de ambas operaciones es el mismo (solushycionan ambas cuentas una de ellas ninguna de las dos) (3) las que hacen mencioacuten directamente a la propiedad conmutativa y (4) las que sentildealan que tanto los sumanshy

1

12 dos como los signos son los mismos en una y otra operaciones (Tabla II) En presenshycia del iesultado se manifiestan baacutesiCaInente las mismas estrategias

Tabla II Estrategias utilizadas en las tareas de conmutatividad en ausencialpresencia del resultado

Porcentajes de ensayos Correspondientes a cada estrategia

8 1 1 J M 0101 t-I-II COI 1-1 1 J 1 bull I bull I 1 bull I bull I bull I Ugt0101 0101 -11lt11 iexclMI ~IMI 11t-1 o 1 1 1 Il r N I MI-II a bull u c Ouacutel Q I) o ~gtr--oOC oeu1 D ltO OHO

IH (H 10 00 1 N E-lt o UH Z 01000 uacutel

HCI I I H bull I I HIJlIOI gt 1 1

1H I bull I HO lID I gt 1 1

~ Ull-l oco 00 ltgt t

I)

lt

gt~ooo

1I11-1 bull I bull I

Nlr-il -11-11

1 1 1 1

0101 1 1

OMOO

N

0000

ttgtoooo 0000ltH ~ o M M 01U 1-1

H NOO O 01110 1-1 N

OOUlQ

10

0000 O~O ooo~ o~om

N N OQ)lOl

-1-1

1 1 1 1

O 01 1 1

1 I 1 1

OlOr 1 1

lO

1 J 1 1

0101 1 1

1 1I

0101 1

1 1 0101

1 1

1 1I

0101 1 1

1 1 1 1

0101 1 1

1 1 1 1

0101 1 1

ONOO ONDO ~O~~ OOO~~ ~ M M ~ ~ ~ ~

~ M~ M 00 ~~N ~ r

~~~~ OON~O ~~~~ OO~N ~NMrl Mrl N M N ~ N

10 0111111

0000 oboo ~N~ D~ ri ~ N

-110 N

INOoo IONOO rl rl r-i r-I

UlcotC O[-~

ltoto) ltot1D M ~OI OJ r-I iexcl-(-(

~IllNM ~ r-I ~ ~ 111

1I1N~O ONNO ~o~o ~O~O -(r-INtI ri-trlPf Niexcl

~1I1tOM ~ M 00 ~ OO~

M~~M CI~NO -(o~o -111100 ~MCIM CIltot~~ M MM M 111

lt~lt~ lt~lt~ lt~lt~ lt~lt~

11 II III I II I J III I

El anaacutelisis de estos datos muestro resultado y en contra del estudio de 1 pos 1y II se centran priacutencipalmente operaciones aditivas son o no equivah de que se trate No obstante es posibl miento suficientemente elaborado de una comparacioacuten entre las operacionc que no aludan a la equivalencia de las cardinales que representan los suma de que de los 16 sujetos del G 1que sumas en el sumando laquohechos numeacuter tan sumar en las dos cuentas para 01 hacen 7 de los 20 sujetos y tan soacutelo 2 ta considerablemente la estrategia g nintildeos poseen un mayor conocimient poniendo en marcha procedimiento~ conmutatividad en la tarea de comp~ dependiendo de que conozcan previa

En la tarea de encontrar el suma estrategias son de cinco tipos (1) las hay y aquiacute noraquo) (2) las que lo hacen igual aquiacute es braquo) (3) aquellas que al (laquoda lo mismo decir a + b que b + a 1

tentes en copiar simplemente el namp visto aquiacuteraquo laquolo pone aquiacuteraquo) y finalm un nuacutemero dado (ie resuelven la cm el resultado en la otra y seguidament cido hasta el resultado) (Tabla II) Cl mismas estrategias exceptuando la ql

Los datos procedentes de esta p estaacute ausente indican que los nintildeos copiaacutendolo simplemente de la otra CI

tan correctamente las dos tareas de e

mediante el procedimiento de copia do bien aludiendo a los sumandos e sitan sumar en esta uacuteltima tarea en a Este resultado sugiere que algunos mutativa y por tanto lo que puede 1 do desconocido es que sufren una cie de una tarea maacutes sencilla

En el G II auilque se mantiene de los sujetos hacen mencioacuten del pro ciones Ademaacutes algunos sujetos (ie mar que los sumandos son iguales en resultado de aInbas cuentas es el mis la tarea de encontrar el sumando dese tas en la prueba de comparar sumas t puede afirmarse en relacioacuten con el G parar sumas ponen en marcha estratf

Las estrategias aditivas y las tare

La hipoacutetesis 3 proponiacutea que la 1

contar empezando por el sumando

) 13 otra operaciones (Tabla lI) En presenshy El anaacutelisis de estos datos muestran que tanto en presencia como en ausencia del las mismas estrategias resultado y en contra del estudio de Baroody y Gannon (1984) los nintildeos de los grushy

pos 1 y II se centran principalmente en los sumandos a la hora de determinar si dos operaciones aditivas son o no equivalentes independientemente del tipo de sumando

ividad en ausencialpresencia del resultado de que se trate No obstante es posible que algunos preescolares no posean un conocishydientes a cada estrategia miento suficientemente elaborado de la propiedad conmutativa y se trate maacutes bien de

una comparacioacuten entre las operaciones a un nivel estrictamente perceptivo de modo 0 ~ laquo1 O que no aludan a la equivalencia de las adiciones sino maacutes bien a la equivalencia de los 5 A cardinales que representan los sumandos Asiacute parece confirmarloen parte el hecho -ltH +

H laquo1OH de que de los 16 sujetos del G 1que resuelven correctamente la tarea de comparar gtlaquo1 11lt deg sumas en el sumando laquohechos numeacutericosraquo en ausencia del resultado 9 de ellos necesishy

-lt3~ a tan sumar en las dos cuentas para obtener el resultado mientras que en el G JI lo~l o~i hacen 7 de los 20 sujetos y tan soacutelo 2 de 22 en el G JII En este uacuteltimo grupo aumenshy5 ta considerablemente la estrategia que se refiere al resultado Ello se debe a que los

O -1111 lt01lt011 nintildeos poseen un mayor conocimiento conceptual y de procedimiento de la adicioacuten1 1 bull I bull 1 ~~

(1 I gtIr--I +0 rll NI r1lrfl poniendo en marcha procedimientos memoriacutesticos Asiacute cuando emiten el juicio de

~laquo

conmutatividad en la tarea de comparar sumas aluden a los sumandos o al resultado riO

g o

~

dependiendo de que conozcan previamente o no el resultado de ambas operaciones t--C1t-1II

o-40~N ~~() NrHir-e Algt u + laquolO En la tarea de encontrar el sumando desconocido en ausencia del resultado las Ul l gt 0 H estrategias son de cinco tipos (1) las que se centran en los sumandos (ltltporque aquiacute

)00 OOlOlCl II~ ~ -lt o hay y aquiacute noraquo) (2) las que lo hacen en el resultado (ltltporque a + b son c y para tener 11 S igual aquiacute es braquo) (3) aquellas que aluden directamente a la propiedad conmutativa l

11 U) 001 ODOM ~ M 0deg o

M 10 O laquo1 (da lo mismo decir a + b que b + a porque el resultado es el mismoraquo) (4) las consisshy~

011 v Ul100I1O ~ tentes en copiar simplemente el nuacutemero que falta mirando en la otra cuenta (ltltlo he n

gt0 tIItllOrll lOlOQ visto aquiacuteraquo laquolo pone aquiacuteraquo) y finalmente (5) la estrategia aditiva de contar a partir de bull M lO O O ~ un nuacutemero dado (ie resuelven la cuenta en la que figuran los dos sumandos anotando IIl ~ lgt O el resultado en la otra y seguidamente cuentan en esta uacuteltima desde el sumando conoshybull~l ~ cido hasta el resultado) (Tabla JI) Cuando el resultado estaacute presente se mantienen las ~ ltl~

~ mismas estrategias exceptuando la que alude directamente a la conmutatividad iexclQH O los datos procedentes de esta prueba tanto si el resultado estaacute presente como si

I I I ggt ~

I I I estaacute ausente indican que los nintildeos del G 1 encuentran el sum~ndo desconocido 10 I 010 ~

I I I ~~ ~ l copiaacutendolo simplemente de la otra cuenta En este grupo de los 15 sujetos que ejecushy

I I I o tan correctamente las dos tareas de conmutatividad en ausencia del resultado bien I I I ~8 u

) 10 I 010 0 I I I mediante el procedimiento de copia en la tarea de encontrar el sumando desconocishy

H rl do bien aludiendo a los sumandos en la tarea de comparar sumas 7 de ellos no neceshyro lt1 H

lO~O) o 03-t 01 lbullO sitan sumar en esta uacuteltima tarea en ambas cuentas en el sumando hechos numeacutericos O Ul Oa e

Obull Este resultado sugiere que algunos sujetos de este grupo poseen la propiedad conshy~a

fM ro bull mutativa y por tanto lo que puede haber ocurrido en la tarea de encontrar el sumanshy CIOacute O) ~rl ~ OOt-N o O ~ do desconocido es que sufren una cierta regresioacuten debido simplemente a que se trata 2uacuteJbull Ul rHDUlltl

r

de una tarea maacutes sencilla - rlfl(I Da) ~ deg bull o ~O J En el G JI aunque se mantiene esta pauta general de resultados una buena paree iexcl 41

OIn wv de los sujetos hacen mencioacuten del procedimiento referido al resultado en ambas condishylO) 10 t- 11 17 (J) 3 Vl ~

iexcl ~ ~ ciones Ademaacutes algunos sujetos (ie 8) que utilizan la estrategia consistente en afirshynI) -f ID Il (01 en -t r-Ir-tiexcl igt 4J 4J el ~

1lt 58 mar que los sumandos son iguales en la tarea de comparar sumas saben tambieacuten que el O

o iexclP-i H resultado de ambas cuentas es el mismo puesto que todos ellos aluden al resultado en ~OU)O -OOO sect~ ~ g la tarea de encontrar el sumando desconocido y ninguno necesita realizar las dos cuenshyg ~~5~

~ H~uacuteJ~~ tas en la prueba de comparar sumas en el sumando hechos numeacutericos Algo semejante Q) COO- J -t ow (j

~ ~ gampQ puede afirmarse en relacioacuten con el G IJI ya que tanto en esta tarea como en la de comshy~OO rllllO ID ~ ) 11-1 11 iexcl() Ji --lJilt18 laquoI1Il patar sumas ponen en marcha estrategias relativas a los sumandos o el resultado eo -lto -lt o -lt o ~rJ]ampoU)~~1

O ~ bulliexcl ciexcl ~~ ~ 111 III I

h-IN(lHIICOt ~~8sectgtfJllaquoj H H o O Las estrategias aditivas y las tareas de conmutativi~

iexcliexcl~ g ~~~ ~

Il aOflt~

~o~~o~ La hipoacutetesis 3 proponiacutea que la utilizacioacuten de estrategias aditivas consistentes en ~ ~ 111 t= rl

o X au ~ contar empezando por el sumando mayor supone una cierta competencia por parte~ lt8~~ ~~L~t

14 del nintildeo con respecto a la propiedad

TABLAIII que los nintildeos preescolares poseen un Porcentajes de ensayos correspondientes a los eacutexitosfracasos en algunas estrategias aditivas en las tareas tividad como lo demuestra el hech(

de conmutatividad fracaso en las tareas de conmutad dedos empezando por el mayor y cor tegia de contar a partir del mayor r

q Ul 1lt 1 ~ tarea de comparar sumas y encontrru ~ o o o o o -lt 1- -lt 1lt tl

ji J tado pero no en presencia del mi~

o ~ a 1 ~ correctos supera al de fracasos en la o 1 ~

el)H ~ tIl o o o o rl ID Ul H iexcliexcl ~I 1 rl rl rl contar todo mentalmente empezand H

y encontrar el sumando desconocid riores a los fracasos uacutenicamente en laamp

~ dedos y contar a partir del mayor mep ~ iexclgt 1lt o o o o 1

~ ~I eacutexitos en la estrategia de contar a 1= 1lt aunque en este uacuteltimo caso hay qu~ Po sect ~ 11 o tIl ~I o o o o o o resultadoU 1 o

Estos datos sugieren dos interpl acuerdo con nuestra tercera hipoacute O q ~ Ginsburg 1986 Resnick y Neche

~ o o o o o 1 rl tl ~I rl rl que la utilizacioacuten por parte del nintilde 1b

r lt1 o 11 ID 1 empezando por el mayor y contar iexcl o 1 iexcl ~ iexcl 11 rl o o -lt N Ul conocimiento de la propiedad con

H Il ~I 1 rl H incompleto de la conmutatividad es

pos 1 y 11 ademaacutes de la estrategia de amp p N N ro Cgt rran a otros procedimientos de ejecl 1gt gt 1lt -lt -lt o o Cgt otras palabras la regresioacuten que al~I ~

~ tIl Moser 1982 1984) sentildealan en los 1

Po 11 1shya 1 ~ nintildeos en las tareas aditivas pueqe sel o tIl ~I o o o o N

O el)

U pleto del principio de conmutativid

1lt 1

o ji o o o o ID o ANAUSIS DE ERRORES O Oacute1lt 1 tl

iexcl ~ o a ro ~ o 1 tti 1- o 1 Los errores en la tarea de sumat1 tIl Cgt o o

N N H Il middot~I ~ 1lt Tomando como referencia el

amp

O (1984) establecemos tres tipos d~~

P ~ gt 1- ~ competencia de procedimiento y (e

1lt o o o o LO ID ~ ~I o

lt relacionan con un conocimiento ini 1lt

~ p a lt1gt

~ la operacioacuten de sumar (ie invent a 1 1 ~ 1 1- lt1gt U o tIl o o

rl dadas ete) Los errores de compet ~I tIl

lt -lt -lt -lt nintildeos seleccionan estrategias inadl ~ o intentar representar los dos suman

O lt ~ suficiente de dedos) Por uacuteltimo lo o o o ~ + O tl tl a

~ rl rl 1 implican competencia conceptual ~

~ el ~ GI tIl tl N N O tl ~ en la puesta en marcha del procedi ~ iexcl o lt 1lt P o P tIl 1lt lt a u a a o ~ informacioacuten Bermejo y Rodriacuteguez ~ ~ + O + a

1lt 1lt 1lt ~ 1lt O ~

Teniendo en cuenta esta categlto o o o tl O O P P

lt1l o o 1 iexcl las tareas con la incoacutegnita en el re ~ a o el ~ U

H-lt ) 11 iexcl entre los nintildeos de preescolar (5741

1lt ~gt 1lt 1lt iexcliexcl 1lt tIl 8 + o o ensayos) consistiendo fundamenta -lt iexcl 1lt iexcl 1lt 1 gt iexcl gt 1lt ~ o o o o o o ~ P Sin embargo los nintildeos mayores uacuteni 8 () P () P () a u a ltIl

iexcliexcl o ciacuterculos + guarismo Los errores di ~ ~ f

de los maacutes pequentildeos (2449 de

I

( 15 del nintildeo con respecto a la propiedad conmutativa Los resultados (Tabla III) indican

II que los nintildeos preescolares poseen una cierta comprensioacuten del principio de conmutashy

ISOS m algunas estrategias aditivas m las tareas tividad como lo demuestra el hecho de que el porcentaje de eacutexitos es superior al de viciad fracaso en las tareas de conmutatividad en las estrategias de contar todo con los dedos empezando por el mayor y contar a partir del mayor con los dedos En la estrashy

111 - 111 tegia de contar a partir del mayor mentalmente se mantiene este resultado en la - 10 - tarea de comparar sumas y encontrar el sumando desconocido en ausencia del resulshy

tado pero no en presencia del mismo En ldeg de EGB el porcentaje de ensayosID 111

- correctos supera al de fracasos en las tareas de conmutatividad en la estrategia de ID lO 111

11 - H H contar todo mentalmente empezando por el mayor En las tareas de comparar sumas y encontrar el sumando desconocido en ausencia del resultado los eacutexitos son supeshyriores a los fracasos uacutenicamente en las estrategias de contar a partir del mayor con los

ID~ M 11 H dedos y contar a partir del mayor mentalmente Finalmente en el G 1I1 abundan los

eacutexitos en la estraacutetegia de contar a partir del mayor mentalmente y con los dedos aunque en este uacuteltimo caso hay que exceptuar la tarea de comparar sumas con el o lO In

11 deg H H - resultado Estos datos sugieren dos interpretaciones complementarias En primer lugar de

acuerdo con nuestra tercera hipoacutetesis y en contra de otros aacuteutores (Baroody y ID 01

11 111 Ginsburg 1986 Resnick y Neches 1984) los datos del presente estudio indican H que la utilizacioacuten por parte del nintildeo de las estrategias consistentes en contar todo

lO 11 empezando por el mayor y contar a partir del mayor conllevan siempre un cierto N 111

11 H conocimiento de la propiedad conmutativa En segundo lugar el conocimiento incompleto de la conmutatividad es lo que puede propiciar que al menos en los grushypos 1 y 11 ademaacutes de la estrategia de contar empezando por el mayor los nintildeos recushy

ID 11 rran a otros procedimientos de ejecucioacuten menos elaborados en las tareas aditivas En 11 M

H otras palabras la regresioacuten que algunos autores (Carpenter 1986 Carpenter y ID M Moser 1982 1984) sentildealan en los procedimientos de resolucioacuten empleados por los 11 ID nintildeos en las rareas aditivas puede ser debida entre otras cosas al conocimiento incomshyN

pleto del principio de conmutatividad

H o ID o M o ANAIlSIS DE ERRORES

O + o ~ ~ ~ - N Los etTOres en la tarea de sumar ~ m

~

-lt Tomando como referencia el modelo de conteo de Greeno Riley y Gelman m

III O (1984) establecemos tres tipos de errores (a) de competencia conceptual (b) de

ID M iexcl competencia de procedimiento y (c) de competencia de utilizacioacuten Los primeros se o ~ relacionan con un conocimiento incompleto de los principios y reglas subyacentes a m ~ ~ la operacioacuten de sumar (ie inventar la respuesta repetir una de las cantidades ya

H dadas etc) Los errores de competencia de procedimiento se producen porque los o o-lt -lt nintildeos seleccionan estrategias inadecuadas para llevar a buen teacutermino la tarea (ie

o O intentar representar los dos sumandos con los dedos cuando no se posee el nuacutemero + suficiente de dedos) Por uacuteltimo los errores relativos a la competencia de utilizacioacuten ~ v m ~ implican competencia conceptual y de procedimiento por parte del nintildeo pero fallan

o O 41 m ~

+ lt

~ en la puesta en marcha del procedimiento seleccionado (ie contar mal) (para maacutes o iexcl ~ ~ O + 11 GJ informacioacuten Bermejo y Rodriacuteguez en prensa Rodriacuteguez en prensa)

41 ~ O o O + Teniendo en cuenta esta categorizacioacuten de los errores podemos observar que en o iexcl~ lt

p

o 41 o las tareas con la incoacutegnita en el resultado son frecuentes los errores conceptuales o 11 lt GJ

~ entre los nintildeos de preescolar (5746 de los ensayos) y 10 de EGB (5607 de los

o + o GJ gt 1 gt ~ ensayos) consistiendo fundamentalmente en la repeticioacuten de una de las cantidades

()o o11 11 Sin embargo los nintildeos mayores uacutenicamente cometen un error de este tipo en la tarea

obull ciacuterculos + guarismo Los errores de procedimiento aparecen solamente en el grupo de los maacutes pequentildeos (2449 de los ensayos) mientras que los de utilizacioacuten se

16 manifiestan en los tres grupos (1804 de los ensayos enpreescolar 4392 en 10

de EGB y 90 en 2 o de EGB) Pwcentajes de ensayos en los distintos ausenciaCuando la incoacutegnita se ubica en el sumando inicial constatamos que lo errores

maacutes frecuentes en todos los grupos y en todas las tareas son de tipo conceptual (8667 de los ensayos en preescolar 8565 en 1 o de EGB y 6422 en 2 o ltk EGB) siendo no obstante menos numerosos en 2o de EGB Los errores-de procedishymiento y utilizacioacuten (1545 de los ensayos y 2033 respectivamente) son tamshybieacuten frecuentes en este uacuteltimo grupo

~ 00 o o N NO

Los errores en las tareas de conmutatividad ~o ~o

o 00 o En la prueba de comparar ~umas en ausencia del resultado se presentan dos cateshy ~

goriacuteas de errores (1) afirmar que no existe la misma cantidad porque los sumandos ~ ~ S f4 o co o o 00estaacuten alleveacutes y (2) afirmar la igualdad sustituyendo el primer sUmando de la segunshy ~ o

da cuenta por un nuacutemero cualquiera en su lugar Los errores maacutes frecuentes en todos los grupos corresponden a la primera categoriacutea mencionada (Tabla IV) o NO o o o 00 oo uiexcl

N ~En presencia del resultado los errores son de 5 tipos (1) errores de tipo percepshytivo consistentes en indicar que falta el resultado o que falta el resultado y el signo de igualdad (2) errores que inciden en que el resultado de ambas operaciones es distinshy

o 00 ~ o Mto (3) errores referentes a que los sumandos estaacuten al reveacutes (4) errores mixtos en los ~I que los nintildeos argumentan que en una de las cuentas falta el resultado y los sumandos estaacuten al reveacutes y (5) errores no categorizables El mayor porcentaje de ensayos incoshy ~ ~I rrectos en todos los grupos asiacute como en los Cuatro ipos de sumandos corresponde al primer tipo de errores que hemos considerado ya que bien no admiten la igualdad porque en una de las cuentas -aparece el resultado mientras que en la otra no bien ~Nliio indican que en una de las operaciones no figura el signo igual ni tampoco el resultashydo 11 e

En ausencia del resultado los errores se agrupan en tres categoriacuteas (1) repetishy 8 cioacuten de cantidades (2) las consistentes en resolver la cuenta en la que se consignan

l 1 o Il C(o

ambos sumandos anotando el resultado en el lugar correspondiente al sumando desshy (j ( laquo ce ro o o ~ ~o

conocido y (3) no categorizables Entre los maacutes pequentildeos los errores maacutes frecuentes corresponden en todos los sumandos a la repeticioacuten de cantidades Estos errores que Il N ID

NO o~ ~ S ~8 ~ o o ~son semejantes a los que se producen en la tarea de sumar cuando la incoacutegnita se ~

ubica en el primer sumando indican que los nintildeos se centran en los sumandos y ~ ~ a) c- u

00 dado que eacutestos se encuentran al reveacutes y el resultado de las cuentas debe ser el mismo ~ ~ In ~sect N 00

ofrecen como respuesta el sumando conocido o eacutescriben la operacioacuten sobre la que se Mrealizan las comparaciones (Tabla M o o o~MEn 10 y 2 o de EGB predominan los errores consistentes en resolver la operashy

cioacuten en la que los sumandos son conocidos situando el resultado en la segunda operacioacuten en el-lugar correspondiente al sumando desconocido Estos errores ponen de manifiesto que los nintildeos no disponen de conocimiento referente al valor de las cal)tidades seguacuten se encuentren antes del signo de igualdad o despueacutes del

o lt 0 mismo jlt gt H HCuando el resultado estaacute presente se observan las siguientes categoriacuteas de estrashy i H iexcl gt

tegias incorrectas (1) ofrecer como respuesta el resultado de la primera cuenta con o H H

sin el signo igual (2) indicar correctamente el sumando desconocido pero sin admishytir la igualdad de los algoritms bien porque el orden de los sumandos es distinto bien porque en uno de ellos no figura el resultado (3) dar como respuesta la misma cantidad que el sumando conocido (4) poner una cantidad distinta a cualquiera de las existentes en los algoritmos (5) considerar que el sumandodesconocido lo consshytituye la suma del resultado con el sumando inicial en la primera operacioacuten (6) equiparar el sumando desconocido con la primera operacioacuten ya sea con o sin el resulshytado y (7) consignar como respuesta el resultad~ del primer algoritmo acompantildeaacutenshydolo de alguno de los sumandos y en ocasiones- ademaacutes del signo igual

o

) ~ 17 los ensayos en preescola~ 4392 en l0 TABLA IV

Porcentajes de ensayos en los distintos tipos de errores ~ las tareas de conmutatividad en ausenciaprese~cia del resultadoando inicial constatamos que los errores

odas las tareas son de tipo conceptual 5 en J o de EGB y 6422 en 2deg q~ S en 2 deg de EGB Los errores de procedishy

o o Gl o lt1 ~ 00+-10

-4- HOlaquoIttJs y 2033 respectivamente) son tamshy~ Ul Cl+J Gl+ laquo() +J-t aJ 0101 lo CIIIHW 111 OIGlOII

co -1 1- (l (1 iexcl (1 ~ Q~

~I ~ o ~ o ~ 00 ~o o o o oc 110 o o 00 o a g~ ~~-I~ N N N ~ M -1 ~ t1~ ~~ tJ ~ 4l

iexcldad ~c ~ 50 ~ Pl 11 t ~ ~rfu5 ~ o o

11I tOCO~ g

000 00000000lt000000 ~iexcliexcl OO-i~uO ncia del resultado se presentan dos cateshy I(l Nt tI~ ID tJ~ ~-~g~~

o ~~ ~ ~-IOa misma cantidadmiddotporque los sumandos 01 1 deg Ul Itl ~ g ti oo~o Cl amp

gt N r1 o a) o o o o [o o o ltI o o o O) t- ~ o o o o o 14 ~ ~gt~cuyendo el primer sumando de la segun- ~ ~-I -MI N N ~ 4 ~~~~GlGI O II~ Ul k19ar Los errores maacutes frecuentes en todos tj HC(

r-- QJICl ~C ~~~H2iacutea mencionada (Tabla IV) I w o o NO o 00 00 o o o 00 00 o o 00 o o ~~ ~Ul~GlH~ ID N 1Cl0l 10 ~ ~~~ggt~in de 5 tipos (1) errores de tipo percepshy

~~ ~~~~~ ado o quefulta el resultado y el signo de e n ~Oal M Ot- ltQ In ~tI 1-13~~~gtsultado de ambas operaciones es distinshy IIIJ o ~rl Ii

~ o ~ -10 o 00 ~o o o o O~ ~~ ID o 00 ~ O ~ ~~~~~Oestaacuten al reveacutes (4) errores mixtos en los I ~ N~ 8 N~ ~ ~ ~ ~~ iexcl=~~~~

uentas falta el resultado y los sumandos ~ II~ t O (0(1 r- ~ eI)-I r- CI iexcl a) di gt u 111 s s ~

H ~G~~ o El mayor porcentaje de ensayos incoshy ~ ~I ~ o o NM o O~ o~ o O O 00 ~N ~ O oo o O ~ e~~1

~ ~~ -1 P M~ bull N ~ ~gt ~O~o~~tIiacute lIS tU JiexclO Oiexcl oLIatro tipos de sumandos corresponde al UJ fIl O k ~ Ul-(

io ya que bien no admiten la igualdad RI IS rl O el ~ r-- ~ ~ k3~ ~ o N 6 ~ o ~ 00 ~ NO O~ o ~ 00 C~ O~ ~ o 00 o o amp ~~~gt~ amp1 ttJ O lt1-10 ~ ~-I N ID N ~ ~ -( + ~ o U 4l~ tgiexcl~gt3

~ra el signo igual ni tampoco el resulta- ~ CO CO O (1 ID ~ C ~O sect O ~ lItado mientras que en la otra no bien

ltI O r- laquot O

M ~ co e 11 co o o o o tIl III O o o o N 1) lOiexcl o 10 o o o n o ~ l g 8 ~ g~ laquoj

~ ~ M-I3 N~ -~iexcl N N ~~ ~u~~~~ ~ agrupan en tres categoriacuteas (1) repetishy 8 ~ fI 5 c ( iexcl laquoII~

l ti l C O-ltt fAgt

~ ~~ ~~o~~ 8 () ce bull Ugt (J 111 ~ g (J-ltt~~solver la cuenta en la que se consignan

al

lugar correspondiente al sumando desshy ~I ~ ~ e ce a) 00 Z ~~ o ~ ~ OM r-co o ~ IO~ r- rl ~o ~~~~m~ ~ ~-IO ~ ~ n ~ 11 ~ ~o~ e

laacutes pequentildeos los errores maacutes frecuentes ~ ~~gg ~ OIfINI(iexcl ~~ t~~~sect1Iltiacutecioacuten de cantidades Estos errores que

(1I ~ co iquest middot~o ~ 00 NO O O O 00 NIfI O ID O~ ~ O H~ ~U~~tarea de sumar cuando la incoacutegnita se 10 rl rl~ -1 ~(I ~-I iexcl M ~ bull tie~~~

JS nintildeos se centran ~n los sumangos y ~I ~ ~ ( t di O O a) ~ co M M 10 a) ~ ~ ~~ 8 ~O~ ~

litado de las cuentas debe ser el mismo ~ NI ~-IO N 00 ID or- O Da) O ~oo~~~oa) 00 O o COM O ro U ID ~~ O M ~ ri -1 ~~ g~~g~sect

(iexcl ~ z Ooiexcl ilIgt IJ) o escriben la operacioacuten sobre la que se ~M O GJ CO Cl1CI OI M (Ij ~ tll 0 t laquo1

bull V ~ O O I r-- r-o ltI 00 Ugt-I deg 10 o M~ ItIrl O o 00 ~ ~ 4U~ ~~~OUO

rores consistentes en resolver la operashy 10 ~ 10 n M n rl ~ ~ O ~ ~~ Bg S ~ 8QB~~ggto situando el resultado en la segunda 1 iexcl u ~4-11 U f1

tl ul l ( e e () 111 C

mmando desconocido Estos errores ~~~ ~~~~~~~ len de conocimiento referente al valor g Ul~ bullbull ~~ ~~~~ s del signo de igualdad o despueacutes del ~ ~~ ~iacute~gk~~

Qiexcl c C p( Ilmiddot Po Al -lt o CI o Poc Cl -lt p a o -lt o c 141lt ocmiddot 8 V t ~ glO

-lt ce -lt el ~ gt gt -lt ~ ( ro ~ D~ g 5~ amp Vl ~ -lt ( Hgt gt H H H ~ H ~ ~ H ~ ~ H Ul ()lH oervan las siguientes categoriacuteas de estrashy ~ H ~ ~ gt H ~ H gtgt ~ ~ ~ 8e a~~~~~~

el resultado de la primera cuenta con o 1sumando desconocido pero sin admishye el orden de los sumandos es distinto Itado (3) dar como respuesta la misma r una cantidad distinta a cualquiera de r que el sumandodesconocido lo consshy0 inicial en la primera operacioacuten (6) nera operacioacuten ya sea con o siacuten el resulshyldo del primer algoritmoacompantildeaacutenshys ademaacutes del signo igual

18 Los errores maacutes frecuentes en preescolar y l o de EGB (Tabla IV) consisten en

consignar como respuesta el resultado en el lugar del sumando desconocido En el Errores en la tarea de sumar con la incoacutegnita I

grupo de los mayores aunque persisten estos errores son tambieacuten frecuentes los que c(ffTespondientes a los eacutexitosfracasos en las consisten en sumar en la primera operacioacuten el sumando inicial con el resultado de la misma anotando a continuacioacuten este resultado en el lugar del sumando desconoshycido

En general los errores cometidos por los nintildeos a lo largo de esta prueba se pueshyden atribuir por un lado a que no identifican correctamente o bien significado de las cantidades indicando como respuesta el resultado o bien el valor de los signos de modo que a menudo los nintildeos anotan ademaacutes como respuesta el signo de igualshydad Por otro lado aunque en un porcentaje maacutes bien bajo algunos sujetos escriben como respuesta el primer algoritmo lo que desde nuestro punto de vista puede tener dos interpretaciones posibles bien de acuerdo con la explicacioacuten citada maacutes arriba no conocen claramente el significado de los teacuterminos aditivos bien porque el sumando conocido no se situacutea en el lugar adecuado intentando eliminar esta dificulshytad escribiendo toda la operacioacuten de nuevo

Los errores aditivos y las tareas de conmutatividad

En este aparrado consideramos las respuestas erroacuteneas de los nintildeos en la tarea de sumar tanto en presencia como en ausencia del resultado y su relacioacuten con el eacutexito o fracaso en las tareas de conmutatividad Como podemos observar en la Tabla V en todos los grupos los errores aditivos que se producen cuando la incoacutegnita se situacutea en el resultado se acompantildean de un porcentaje mayor de fracaso en las tareas de compashyrar sumas y encontrar el sumando desconocido cuando el resultado se encuentra preshysente en estas uacuteltimas Sin embargo esta pauta de resultados no se repite en ninguno de los grupos cuando en esas mismas tareas estaacute ausente el resultado En suma los datos aquiacute encontrados ponen de manifiesto que antes de que los nintildeos presenten una cierta maestriacutea en la operacioacuten aditiva poseen ya una cierta competencia con respecto a la conmutatividad Es decir de acuerdo con la hipoacutetesis 4 los ensayos incorrectos en las tareas de sumar no siempre se corresponden con los ensayos incoshyrrectos en las tareas de conmutatividad principalmente cuando en eacutestas se halla ausente el resultado

En la tarea de sumar con la incoacutegnita en el sumando inicial (Tabla V) se produshycen resultados similares Es decir en todos los grupos y en ambas tare~ de conmushy

otatividad en ausencia del resultado el eacutexito supera al fracaso Sin embargo en las A O G 01

tareas de conmutatividad en presencia del resultado aunque en los grupos de l o y tgt ~ N roiacutel-1 )iexcl X N N2 o de EGB el eacutexito sigue siendo superior al fracaso con respecto a los errores de proshy ~ )iexcliIli ~I ~ ~cedimiento y utilizacioacuten no ocurre esto mismo en concreto en los errores conceptuashy e ~I

M NeJ~ coco~oles en donde la relacioacuten se invierte Estos datos estaacuten en desacuerdo con las afirmashy o iIl V ltIl

ciones de Weaver (1982) cuando supone que tanto la resolucioacuten correcta de las tareas ltAltA

de adicioacuten con la incoacutegnita en el sumando inicial como la adquisicioacuten de la propieshydad conmutativa comportan un esquema de adicioacuten binario Nuestros resultados muestran un fracaso considerable en la tarea de sumar con la incoacutegnita en el sumanshy Ul

o odo inicial sobre roda en los grupos 1y II pero no encontran10S un fracaso similar en o o o

las tareas de conmutatividad en ausencia del resultado y en algunas ocasiones en iexcliIl

iexclpresencia del mismo (errores de procedimiento y utilizacioacuten) Por tanto cabriacutean al ~ 41

~ a Q J iexclmenos dos inteacuterpretaciones posibles o bien la adquisicioacuten de la propiedad conmutashy + O

lo 41 41 otiva se asocia primeramente con un esquema unitario de la adicioacuten o bien estos sujeshy Ul o o iexcl )iexcltos se hallan en un periacuteodo de transicioacuten hacia la concepcioacuten binaria de la adicioacuten 2 o A ()

pero debido a la dificultad de esta tarea de sumar no manifestariacutean dicho conocishy E-lt laquo laquo

miento en relacioacuten con la adicioacuten pero siacute en algunas de las tareas conmutativas

bull bull

8 19 alar y l o de EGB (Tabla IV) consisten en TABLA V 1 el lugar del sumando desconocido En el Errllres en la tarea de sumar con la incoacutegnita en el resultado y sumando inicial Porcentajes de ensayos tos errores son tambieacuten frecuentes los que correspondientes a los eacutexitosfracasos en las tareas de conmutatividaden ausencia y presencia del )n el sumando inicial con el resultado de la resultado mltado en el lugar del sumando desconoshy

r los nintildeos a lo largo de esta prueba se pueshy al11 M [ shy

o iexclfican correctamente o bien significado de ~~~~iexcl 11 M[-OO o 110 o NS 1 el resultado o bien el valor de los signos 1 ~ II ~rlLOu) ID

01 bullbullbullg~ ~iexcl o 110 o dflflliacutel M Iilademaacutes como respuesta el signo de igualshy M~I~ tIl~ MM Haje maacutes bien bajo algunos sujetos escriben

Le desde nuestro punto de vista puede tener 11[shyllerdo con la explicacioacuten citada maacutes arriba amp 11 M o~N rjllOtshyle los teacuterminos aditivos bien porque el ~I ~laquoliexcl1I 00 o MID ~~gt

laquol ~ldecuado intentando eliminar esta dificulshy 01

11 M O) t ulln Miexcliexcllliexcll~Q) 110 0 0 Ntilder ol laquol ONtildeui NID11 N N M M

1811l1O~

nmutatividad 11 ~[-ID a)s o u ~ laquolenIDNOO MIOacute o~~1I01lOgt~II N

puestas erroacuteneas de los nintildeos en la tarea de ~O~iexcl lIi H

~ ~ M rl ID ia del resultado y su relacioacuten con el eacutexito o o Il 11 bullbull g~ 41iexcl~~ c-l0 o Ntilde~ I~~Ntilde ~u1 Como podemos observar en la Tabla V en M

HI 10 e producen cuando la incoacutegnita se situacutea en H ~

en

je mayor de fracaso en las tareas de compashyN[- ID-ltt-M a)

)cido cuando el resultado se encuentra preshy deg1 -lt ~~ ~~tOOtO Oacute ~ L~~iexcl~OJauta de resultados no se repite en ninguno

laquollaquoJ iexclM-i [- as estaacute ausente el resultado En suma los so iexcliexcl SiexclH ~ 11

oacute

~MjIltIJ ltMOO 11 no~~~CONesto que antes de que los nintildeos presenten lt1

8 l1l lOf va poseen ya una cierta competencia con enle acuerdo con la hipoacutetesis 4 los ensayos Na) t[- OO~r-

lpre se corresponden con los ensayos incoshy gtlt bull OIOIfI N N~~~ 00 ogt -t1lt0 oprincipalmente cuando en eacutestas se halla

N ID

s OlCOtIacuter-i lfMNO)~iexclo ~ s +OlQ) ~~o~ lt111 - lO CO [shyM -io 3M-N IDNen el sumando inicial (Tabla V) se produshy HII~

laquol

1Oiexcl ~~ l bullbullbull

N ro IJ

li

~IS los grupos y en ambas tareas de conmushy~

ito supera al fracaso Sin embargo en las ~

Cf0l0l f NfOlt) ro N I~ -1 resultado aunque en los grupos de l o y N Cl)(Iht ~d o ~uiroacuteNoo N Il NID al fracaso con respecto a los errores de proshy u~I~ ~~iexcl

Ilt1Il sdr-- 010 d CHo d ~iexclismo en concreto en los errores conceptuashy laquol o iexcliexcl Iiexcl CQa)-IO M MOICO-l 00Ildatos estaacuten en desacuerdo con las afirmashy o III N M ID (J 10 ~

ue tanto la resolucioacuten correcta de las tareas lt0lt0 lto lt0-lt0 lto ) inicial como la adquisicioacuten de la propieshy

o1 de adicioacuten binario Nuestros resultados O ~ea de sumar con la incoacutegnita en el sumanshy ~ lo-lt ~ pero no encontramos un fracaso similar en ~ III

euroiacutel s III a del resultado y en algunas ocasiones en Q) Q) o GI

III s GI s 1 O O

liento y utilizacioacuten) Por tanto cabriacutean al l iexcliexcl lio U~I ~ ~ laquo1 laquoln la adquisicioacuten de la propiedad conmutashy O N o O N ~ iexcliexcl GI QI GI na unitario de la adicioacuten o bien estos sujeshy M o ()

o uQ) s ~ eniexcl 8 g o s 1lthacia la concepcioacuten binaria de la adicioacuten o o o p 8 6 p H (J ~ le sumar no manifestariacutean dicho conocishyn algunas de las tareas conmutativas lt

10

20 CONCLUSIONES

Los distintos factores estudiados (edad presenciaausencia del resultado tipo de tarea y tipo de sumandos) parecen ejercer una influencia de manera aislada o en inteshyraccioacuten ~obre el rendimiento de los nintildeos Maacutes concretamente a medida que ascenshydemos en el nivel de escolaridad tanto la resolucioacuten de la tarea de sumar como la aplicacioacuten de la propiedad conmutativa se hace de forma maacutes sistemaacutetica a lo largo de las distintas condiciones experimentales Igualmente nuestros datos ponen de manifiesto que en presencia del resultado el eacutexito de los nintildeos resulta inferior en general en todas las tareas Ademaacutes el factor tipo de sumandos tomado aisladashymente si bien no parece influir sustancialmente en el rendimiento de los nintildeos en las tareas de conmutatividad siacute lo hace en la tarea de sumar En esta tarea el rendishymiento resulta inferior en los sumandos ciacuterculos + guarismo y hechos numeacutericos superiores a la decena

Por lo que se refiere a las estrategias de solucioacuten en la tarea de resolver sumas la presenciaausencia del resultado el tipo de sumandos y el grupo determinan el procedimiento seleccionado por los nintildeos Sin embargo en las tareas de conmutatishyvidad se producen diferencias en las estrategias en funcioacuten de la presenciaausencia del resultado pero no en relacioacuten con los factores tipo de tarea y tipo de sumandos Ademaacutes en estas tareas el anaacutelisis de las estrategias pone de manifiesto la existencia de diferencias cualitativas importantes entre ellas que pueden implicar distintos grados de conocimiento de la propiedad contnutativa

Por otro lado nuestros datos revelan en contra de otros autores (Baroody y Gannon 1984 Resnick y Neches 1984) que la utilizacioacuten de estrategias aditivas consistentes en contar empezando por el sumando mayor se acompantildea siempre de un cierto eacutexito en las tareas de conmutatividad Exito que cada vez resulta superior a medida que aumenta el nivel de escolaridad de los nintildeos Estos resultados pueden ser interpretados de acuerdo con Carpenter en el sentido de que el conocimiento de procedimiento no se produce al margen del conocimiento conceptual o en otras palabras el procedimiento de contar a partir del mayor no puede desvincularse de un cierto conocimiento de la propiedad conmutativa Desde nuestro punto de vista al igual que los procedimientos presentan distintos niveles de complejidad los concepshytos presentan igualmente distintos grados de elaboracioacuten En esta liacutenea los datos del presente estudio muestran que la adquisioacuten de la propiedad conmutativa de la suma se produce de manera gradual Baste recordar que las estrategias maacutes completas y elaboradas como la consistente en afirmar la equivalencia aludiendo a que el resultashydo de los dos algoritmos es equivalente sin necesidad de resolverlos corresponden a los nintildeos mayores mientras que las maacutes sencillas (ie perceptivas) aparecen entre los nintildeos maacutes pequentildeos En la tarea de sumar se produce un fenoacutemeno similar ya que por ejemplo la estrategia de contar a partir del sumando mayor gana en consistencia a medida que el nivel de escolaridad es mayor A este respecto estamos en desacuershydo con Baroody y Gannon (1984) cuando afirman que la estrategia de contar a partir del mayor deriva de un proceso de economiacutea cogni tiva En caso de que esto fuera asiacute cabriacutea esperar que una vez descubierta esta estrategia por los nintildeos la utilizariacutean siempre en detrimento de otras maacutes sencillas como contar todo Sin embargo numerosos estudios (ie Bermejo 1990 Bermejo y Rodriacuteguez 1987) encuentran datos contrarios a esta suposicioacuten Por tanto esto nos lleva a concluir que el conocishymiento incompleto de la propiedad conmutativa de la adicioacuten que en un principio tienen los nintildeos explicariacutea que los nintildeos recurran a estrategias aditivas maacutes sencillas aun conociendo otras maacutes complejas

Finalmente en cuanto a los errores los factores presenciaausencia del resultado y tipo de tarea inciden en la aparicioacuten de distintos tipos de errores pero no el factor tipo de sumandos Ademaacutes la resolucioacuten incorrecta de las tareas aditivas no se acomshypantildea siempre de fracaso igualmente en las tareas de conmutatividad Por tanto la adquisicioacuten de la propiedad conmutativa corre paralela al desarrollo del concepto de

adicioacuten En otras palabras antes de ql pleto y elaborado de la adicioacuten qUf posesioacuten de la concepcioacuten binaria de 1 la propiedad conmutativa

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~o

ad presenciaausencia del resultado tipo de una influencia de manera aislada o en inteshys Maacutes concretamente a medida que ascenshyla resolucioacuten de la tarea de sumar como la se hace de forma maacutes sistemaacutetica a lo largo ales Igualmente nuestros datos ponen de do el eacutexito de los nintildeos resulta inferior en factor tipo de sumandos tomado aisladashyialmente en el rendimiento de los nintildeos en n la tarea de sumar En esta tarea el rendishys ciacuterculos + guarismo y hechos numeacutericos

de solucioacuten en la tarea de resolver sumas ipo de sumandos y el grupo determinan el IS Sin embargo en las tareas de conmutatishyategias en funcioacuten de la presenciaausencia s factores tipo de tarea y tipo de sumandos estrategias pone de manifiesto la existencia entre ellas que pueden implicar distintos onmutativa lan en contra de otros autores (Baroody y iacute) que la utilizacioacuten de estrategias aditivas 1sumando mayor se acompantildea siempre de vidad Exito que cada vez resulta superior a lad de los nintildeos Estos resultados pueden ser r en el sentido de que el conocimiento de 1 del conocimiento conceptual o en otras rtir del mayor no puede desvincularse de un mutati va Desde nuestro punto de vista al istintos niveles de complejidad los concepshyIS de elaboracioacuten En esta liacutenea los datos del oacuten de la propiedad conmutativa de la suma ordar que las estrategias maacutes completas y r la equivalencia aludiendo a que el resultashyin necesidad de resolverlos corresponden a encillas (ie perceptivas) aparecen entre los ir se produce un fenoacutemeno similar ya que ir del sumando mayor gana en consistencia layor A este respecto estamos en desacuershyI afirman que la estrategia de contar a partir niacutea cognitiva En caso de que esto fuera asiacute esta estrategia por los nintildeos la utilizariacutean Ocillas como contar todo Sin embargo 1 Bermejo y Rodriacuteguez 1987) encuentran nto esto nos lleva a concluir que el conocishynutativa de la adicioacuten que en un principio recurran a estrategias aditivas maacutes sencillas

os factores presenciaausencia del resultado distintos tipos de errores pero no el factor incorrecta de las tareas aditivas no se acomshyas tareas de conmutatividad Por tanto la corre paralela al desarrollo del concepto de

21 adicioacuten En otras palabras antes de que los nintildeos hayan alcanzado un concepto comshypleto y elaborado de la adicioacuten que en teacuterminos de Weaver (1982) supondriacutea la posesioacuten de la concepcioacuten binaria de la suma poseeriacutean ya un cierto conocimiento de la propiedad conmutativa

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4 INTRODucaoN

Recientemente diversos autores (Hiebert y Lefevre 1986 Silver 1986 Vanlehn 1986 etc) que trabajan en el aacutembito de las matemaacuteticas han insistido en la necesidad de distinguir entre conocimiento conceptualy de procedimienshyto El primero ha sido caracterizado comoacute el conoCimiento de los principios y reglas y el segundo como el conQcimiento de las habilidadeacutes o estrategias Byrnes y Wasik (991) presentan tres argumentos para justificar la necesidad de distinguir entre estos dos tipos de conocimiento El primero hace referencia a que desde el punto de vista loacutegico el conocimiento de procedimiento no es reducible al conocimiento conceptual El segundo se relaciona con el hecho de que estos dos tipos de conocimiento tienen diferentes Junciones cognitivas de modo que los conceptos imponen orden y organizacioacuten sobre las experiencias formando categoriacuteas o relacionando sucesos causalmente en el tiempo o en el espacio mientras que los procedimientos son medios para alcanzar un fin El uacuteltimo argumento es de talante empiacuterico y permite explicar aquellos casos en los que los sujetos presentan altos niveles de conocimiento conceptual y carencia de conocimiento de procedimiento o viceversa Por su parte Hiebert y Lefevre (1986) antildeaden que la distincioacuten entre estas dos clases de conocimiento proporshycionan un marco adecuado para examinar cuestiones relativas al proceso de adquisicioacuten del conocimiento

No obstante uno de los retos maacutes importantes que tiene planteada la invesshytigacioacuten consiste en determinar coacutemo se producen las conexiones entre conocishymiento conceptual y de procedimiento o dicho en otras palabras coacutemo se relashycionan-los conceptos y los procedimientos A este respecto Carpenter (986) apunta por un lado que los avanceS en el conocimiento conceptual son difiacuteciles de identificar y de medir directamente y en todo caso lo que hacemos es inferirshylo a partir de la observacioacuten de ciertos procedimientos para los que se supone que constituye un prerrequisito Por otro lado los conceptos son aplicados en dominios muy especiacuteficos antes de ser generalizados maacutes ampliamente En esta misma liacutenea Baroody y Ginsburg (1986) indican que los procedimientos utilishyzados por los nintildeos en la resolucioacuten de una tarea no siempre reflejan su nivel de competencia conceptual reaL

Otra de las dificuftades con que se encuentra la investigacioacuten en esta aacuterea es averiguar hasta queacute punto los avances en el conocimiento de procedimiento ocushyrren como resultado de los avances en el conocimiento conceptual Aquiacute es donde las posturas enfrentadas suelen ser maacutes frecuentes Asiacute por un lado Carpenter (1986) indica que resulta incorrecto afirmar que el conocimiento conshyceptual sea de alguacuten modo innecesario para producir avances en el conocimiento de procedimiento En este sentido aunque los nintildeos pueden llegar a utilizar procedimientos sin vincularlos con una forma de conocimiento conceptual cuando algunas invenciones se producen exclusivamente en relacioacuten con el conocimiento de procedimiento a menudo conducen a error Por otro Baroody y Ginsburg (1986) consideran que el desarrollo del conocimiento conceptual no asegura la adquisicioacuten de procedimientos relacionados con dicho conocimiento y que asimismo la construccioacuten de procedimientos avanzados puede deberse tanto a la adquisicioacuten del conocimiento conceptual subyacente como a un intenshyto de reducir las demandas de procesamiento cognitivo de la tarea

Este debate se ha extendido a numerosos aspectos de la aritmeacutetica elemental y asiacute en relacioacuten con las estrategias aditivas por ejemplo no estaacute claro hasta queacute punto la utilizacioacuten por parte del nintildeo de estrategias de solucioacuten sofisticadas implica un mayor nivel conceptual Maacutes especiacuteficamente en la estrategia de conshytar desde el sumando mayor algunos autores (Briars y Larkin 1984 Carpenter 1986 Riley Greeno y Heller 1983) sentildealan que el conocimiento de la conmushytatividad constituye una condicioacuten necesaria para la comprensioacuten y uso de esta

estrategia En una liacutenea diferente 1984 Baroody y Ginsburg 1986 ren que el conocimiento de la proiexcl= con el uso de estrategias aditivas de esta uacuteltima compartida por Resnic gia no deriva sistemaacuteticamente de que resulta de la praacutectica en la SUl

(HPM) desarrollado por Resnick miento de los nintildeos del- procedimit aparicioacuten del mismo a la presencia ferente y de dos heuriacutesticos resultiexcl (para una mayor descripcioacuten ver R(

Por lo que se refiere a la conro sicioacuten de la misma se produce com do de la adicioacuten oacutecomo resultado vas A este respecto y de acuerdo c contnutatividad se vincula con u parte-todo (Briark y Larkiri 1984 en teacuterminos de Weaver (1982) con se halla en la liacuteriea deacute Baroody ya e brir esra propiedadpor medios Iacutel binaria de la suma siempre y middotcua resultados de pares de algoritmos e

El presente trabajo persigue l factores implicados en la adquisic contar desde el sumando mayor (ce partir del mayor) y su vinculacioacuten tativa Por otra se pretende profur comprensioacuten de la operaltioacuten aditi piedad conmutativa Para ello t (grupo) x 2 (presenciaausencia d dos) planteando las siguientes hip

Hipoacutetesis 1 Se observaraacuten diti al nivel de rendimiento en funcioacute presenciaauSencia del resultado

Hipoacutetesis 2 Las estrategias y f tareas variaraacuten en funcioacuten de la ediexcl el tipo de sumandos

Hipoacutetesis 3 La utilizacioacuten de por el mayor en la resolucioacuten de l~ la propiedad conmutativa

A diferencia de otros autor Neches 1984) que sentildealan que 1 dientemente de su conocimientc demostrar de acuerdo con Carpen miento de contar desde el suman e conocimiento conceptual de la pro

Hipoacutetesis 4 El fracaso del nintilde sariamente a un fracaso en las tareiexcl siones estas uacuteltimas pudieacuteran resul

En otras palabras ciertas t~ sumando inicial pueden resultar ( ocurre asiacute en las tareas de conmut puesta mediante una simple estramiddot algoritmos que ha de comparar o c

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