Metode Numerice

LUCRAREA NR. 3

CALCULUL UNEI GRINZI SOLICITATE LA

ÎNCOVOIERE PRIN MEF

Pentru grinda de beton cu dimensiunile, rezemările şi încărcările din figură se cere să

se determine prin metoda elementelor finite :

a) modelul structural discretizat şi reducerea încărcării distribuite echivalent la

noduri;

b) matricea de rigiditate asamblată, [K];

c) săgeata şi rotirea în secţiunea 2;

d) reacţiunile grinzii;

e) eforturile din noduri şi trasarea diagramelor de eforturi în lungul grinzii;

f) rezultatele obţinute prin calculul manual se vor verifica folosind un program

de calcul automat bazat pe MEF (BEAM).

Date numerice: l = 2m; E = 25*106kN/m2; q = 5kN/m; I = 0.00045m4.

Notă: Pentru punctele a, b, c, d, e calculele se vor efectua literal, funcţie de q, l, E, I.

Rezultatele finale se vor calcula numeric pentru a putea fi comparate cu cele de la

punctul f.

Etape de calcul în Metoda Elementelor Finite

a) Se discretizează bara în m = 2 elemente finite interconectate în n = 3 puncte

nodale (noduri). Fiecărui nod i se acordă câte 2 GLD: deplasarea normală pe

axă (săgeata) şi rotirea secţiunii.

Metode Numerice

Se alcătuiesc vectorii:

b) Pentru a găsi matricea de rigiditate a structurii, [K], este necesară mai întâi

analiza elementelor finite şi găsirea matricilor elementale care au forma:

(l1=l, I1=I)

;

(l2=l, I2=2I)

Încărcarea distribuită pe lungimea elementului se reduce în mod echivalent la noduri,

fie direct, fie prin calculul reacţiunilor de pe grinda dublu încastrată:

2

e=1

e=2

Metode Numerice

Relaţia fizică elementală se scrie: în care sau

.

Pentru asamblare, fie se expandează relaţiile elementale şi apoi se adună, fie aceste

operaţii se fac implicit în relaţia fizică a structurii, respectând incidenţa dintre GLD

ale elementelor finite şi cele din strructură.

Relaţia fizică elementală expandată este: .

Prin sumarea pentru e=1,2 se obţine: sau

- relaţia fizică structurală, unde:

; sau

Unde: [K] – matricea de rigiditate asamblată (matricea globală);

{R} – vectorul global al reacţiunii date de încărcari distribuite.

;

c) Se partiţionează şi se rearanjează relaţia fizică structurală pentru a pune în

evidenţă necunoscutele.

3

Metode Numerice

Condiţiile de rezemare pentru reazeme fixe:

Pentru a determina deplasările necunoscute se rezolvă ecuaţia:

d) Reacţiunile grinzii

4

Metode Numerice

Verificare:

e) Eforturile din noduri

5

e=1

e=2

Metode Numerice

Verificarea rezultatelor cu programul de calcul BEAM

Number of elements: 2Number of constrained DOF: 4Number of combined loads and moments: 4Young’s Modulus: 25000000Node, Coordinate:1, 02, 23, 4Element, Moment of inertia:1, 0.000452,0.0009DOF#, Displacement:1,02,05,06,0

6

Metode Numerice

DOF#, Applied Load:3,-154,-1.6675,-56,1.667

Rezultate obtinute

7