L É CERIB · le cisaillement des poteaux au sommet des ... structure (fi gure 4). Le sous-dimensionnement des broches ... Pour la structure en éléments béton pré-

LES ÉDITIONS DU CERIB

Comportement sismique des ossatures en éléments

industrialisés en béton : justifi cations pour l’application

de l’Eurocode 8

Seismic behavior of precast concrete

frames background for the application

to Eurocode 8

ProduitsSystèmes 145.E

AdC/AL/CV/MAPO 098 / Produits - Systèmes

Réf. 145.E

Juin 2009

par

André de CHEFDEBIEN

Adel LACHIHAB

Céline VINOT

Comportement sismiquedes ossatures en éléments industrialisés en béton : justifi cations pour l’application de l’Eurocode 8

Seismic behavior of precast concrete frames background for the application to Eurocode 8

issn 0249-6224

ean 9782857552253

2

Études et Recherches

© CERIB – 28 Épernon

145.E – juin 2009 - ISSN 0249-6224 – EAN 9782857552253

Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays

La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1er de l’article 40).Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.


3

S O M M A I R E

Introduction ................................................................................................ 5

1. Synthèse du retour d’expérience du comportement des structures en éléments préfabriqués soumises à un séisme ............................................................. 7

1.1. Analyse des défauts de comportement constatés ....................................................7

1.2. Projet européen : ECOLEADER – Seismic behaviour of reinforced concrete industrial

buildings .........................................................................................................9

1.3. Comportement lors du séisme du Frioul [20] ........................................................13

2. Justifi cation des valeurs de coeffi cient de comportement et de la rigidité forfaitaire ............................................................................................ 15

2.1. Méthodologie de vérifi cation par la méthode push-over ; prise en compte de

l’amortissement hystérétique .............................................................................15

2.2. Application de la méthode à un poteau de 6 m et comparaisons avec les calculs

élastiques .......................................................................................................20

2.3. Comparaisons avec les résultats des essais ECOLEADER ......................................24

2.4. Étude paramétrée de la demande en ductilité .....................................................32

3. Méthode d’analyse modale appliquée aux bâtiments avec mezzanine ................ 35

3.1. Bâtiments avec mezzanine ...............................................................................35

3.2. Équilibre dynamique ........................................................................................35

3.3. Valeurs maximales par mode ............................................................................37

3.4. Valeurs maximales de la réponse totale ..............................................................37

4. Infl uence sur le comportement sismique d’une ossature de la présence d’un joint de dilatation ......................................................................................... 41

4.1. Modélisation de la structure ................................................................................41

4.2. Modélisation du comportement du joint de dilatation .............................................42

4.3. Simulation par la méthode des éléments fi nis ........................................................43

4.4. Conclusion .......................................................................................................50

4


5. Étude du comportement tridimensionnel des bâtiments à toitures souples ........... 51

5.1. Modèle de bâtiment ..........................................................................................51

5.2. Résultats ...........................................................................................................53

5.3. Conclusion .......................................................................................................55

6. Conclusions générales ............................................................................ 56

Bibliographie ............................................................................................ 57

Annexe 1 – Modélisation du béton armé ....................................................... 59

Annexe II – Exemple bâtiment industriel .......................................................... 67

Annexe III – Essais Ecoleader – Résultats calcul élastique pour le poteau « équivalent » .......................................................................... 69

Annexe IV – Résultats de l’étude paramétrée ................................................... 70


5

Introduction

Le domaine d’application de l’Eurocode 8 comprend explicitement les ossatures à

composants industrialisés en béton encastrés en pied et rotulés en tête, cependant,

certains paramètres de calcul ne sont pas fi xés et l’infl uence de dispositions

constructives courantes sur le comportement n’est pas précisée.

La présente étude s’est attachée à traiter des différents points permettant une

application sans ambiguïté de l’Eurocode 8 pour la plupart des bâtiments construits

selon ce procédé d’ossatures.

Les résultats, en particulier en ce qui concerne la mise en œuvre des méthodes

simplifi ées de calcul, ont été introduits dans le DTU 23.3 « ossatures en éléments

industrialisés en béton », ainsi que dans un guide d’application de l’Eurocode 8.

Le rapport qui suit comporte cinq parties, regroupant les justifi cations, analyses et

calculs qui ont permis l’établissement de ces documents d’application :

- synthèse du retour d’expérience du comportement des structures en éléments

préfabriqués soumises à un séisme ;

- justifi cation des valeurs de coeffi cients de comportement et de rigidité ;

- méthode d’analyse modale appliquée aux structures avec mezzanine ;

- infl uence de la présence d’un joint de dilatation sur le comportement sismique

d’une ossature ;

- étude du comportement tridimensionnel des bâtiments à toitures souples.

6


Figure 2ductilité insuffi sante des rotules plastiques en pieds de poteaux (séisme d’Izmit, Turquie – 1999)

Figure 1ductilité insuffi sante des rotules plastiques en pieds de poteaux (séisme d’Izmit, Turquie – 1999)


7

L’observation du comportement des struc-tures en éléments préfabriqués lors des différents séismes a démontré l’importance d’une conception attentive des détails pour ce type de structure. La très grande majo-rité des effondrements sont dus au fait de mauvaises conceptions des liaisons et/ou du non-respect des dispositions construc-tives.Le chapitre qui suit présente les éléments recueillis à la suite des principaux séismes impliquant des structures préfabriquées ainsi que les essais signifi catifs effectués.

1.1. Analyse des défauts de comportement constatés

Différentes causes conduisent à la ruine de ce type de structure, notamment :− une ductilité insuffi sante des rotules plas-

tiques en pied de poteaux ;− une mauvaise conception des liaisons

poteau poutre.

1.1.1. Pieds de poteaux

Dans ces structures, les poteaux doivent être capables de développer des rotules plastiques à leur base sans qu’apparais-sent de ruptures fragiles, de ruptures d’ad-hérence ou de perte de confi nement du béton.

Les différentes missions qui ont lieu sur le terrain suite aux séismes ont permis de mettre en évidence des problèmes de conception récurrents au niveau de ce type de structures, qui ont pour conséquence la ruine partielle ou totale de la structure.

Il s’agit notamment de l’absence ou de l’ineffi cacité des armatures transversales qui conduitsent une ductilité insuffi sante du poteau et favorise le fl ambement des aciers longitudinaux et l’écrasement prématuré du béton. Ce défaut est généralement lié au

mauvais ancrage de ces armatures trans-versales (retour à 90°) qui s’ouvrent lors du séisme (fi gures 1, 2).

Sous l’effet de l’action sismique, des phé-nomènes de ruine sont apparus en partie courante de poteau (fi gure 3). Des arrêts de barre inadaptés combinés à des aciers transversaux ineffi caces ont favorisé l’ap-parition d’une région de faiblesse dans le poteau.

1. Synthèse du retour d’expérience du comportement des structures en éléments préfabriqués soumises à un séisme

Figure 3ruine en partie courante(séisme d’Izmit, Turquie – 1999)

Figure 4cisaillement du poteau – remplissage rigide et solidaire dela structure (séisme d’Izmit, Turquie – 1999)

Figure 5rupture due à un

frettage insuffi santdes broches dans le poteau (séisme de

Northridge –1994)

Figure 6rupture de l’ancrage

des broches entraînant la rupture de

la liaison(séisme d’Izmit,

Turquie – 1999)

Figure 7mauvaise liaison

des fourreauxaux poutres

(séisme d’Izmit, Turquie – 1999)

8


1.1.2. Liaison poteaux-poutres

Des liaisons poteaux-poutres d’ossatures en éléments préfabriqués ont rompu lors de séismes à cause de montages défectueux.Selon le type de liaisons, différentes causes de ruptures ont été constatées, notamment le cisaillement des poteaux au sommet des remplissages trop rigides et solidaires de la structure (fi gure 4).Le sous-dimensionnement des broches des liaisons poteaux-poutres associé à une mise en œuvre incorrecte du mortier de blo-cage (remplissage inadapté ou insuffi sant des fourreaux) a conduit, sous l’effet de l’action sismique, à un pivotement des pou-tres sur leur appui et au fi nal à leur chute. En chutant, les poutres ont ponctuellement endommagé des éléments de la structure.Des défauts de conception des broches ont également été constatés lors des séismes de Northridge et d’Izmit (fi gures 5 et 6).La fi gure 7 illustre la perte partielle d’appui d’une poutre de toiture du fait d’un fourreau mal liaisonné à la poutre.

Structure préfabriquée

Béton C40/50

Acier B500H

Poteaux

Hauteur 5 m

Dimensions 300 x 450 mm2

Armatures 8 Ø 16

Armatures

transversales

Ø 6 tous les 150 mm en dehors des zones critiques

Soit un ratio volumique ωwd

= 0,066

Ø 6 tous les 50 mm en zones critiques

(sur 1m de longueur en pied de poteau au-delà de l’encuvement)

soit un ratio volumique ωwd

= 0,2

PoutresLongueur 4 m

Dimensions 300 x 600 mm2

Tableau 1principales caractéristiques du corps d’épreuve préfabriqué


9

1.2. Projet européen : ECOLEADER – Seismic behaviour of reinforced concrete industrial buildings [21][22]

Le principal but de ce projet était de contrô-ler la fiabilité des recommandations de l’Eurocode 8 pour la conception de bâti-ments industriels en éléments préfabri-qués en béton armé. Ce projet a également permis de mettre en évidence un compor-tement équivalent des structures préfabri-quées par rapport aux structures coulées en place à un seul niveau, vis-à-vis d’une sollicitation sismique.Cette étude a été menée en deux temps, tout d’abord un volet de modélisation numérique et dans un second temps une phase expérimentale.

1.2.1. Analyses numériques

Dans un premier temps une analyse non linéaire a été appliquée dans le cadre d’un calcul probabiliste basé sur l’application de la méthode de Monte-Carlo. Celle-ci a per-mis de déterminer les valeurs représentati-ves des capacités de dissipation d’énergie des deux structures. Les valeurs obtenues par l’analyse statistique montrent que les structures préfabriquées présentent une même capacité de réponse aux séismes que les structures coulées en place. La

vérifi cation expérimentale de ces résultats théoriques a été faite au moyen d’essais pseudo-dynamiques sur des structures grandeur réelle. Les principaux résultats des essais sont présentés ci-après.

1.2.2. Essais pseudo dynamiques

Les essais présentés ont été effectués afi n de comparer le comportement sous séisme d’une structure préfabriquée et d’une struc-ture coulée en place, ces deux structures étant dimensionnées selon les prescriptions de l’Eurocode 8.Les deux prototypes ont été dimensionnés pour résister à un même effort tranchant à la base et pour une charge à rupture de 27 kN/m2.Pour les deux maquettes, les toitures sont réalisées avec des dalles alvéolées préfabri-quées de 150 mm de haut avec présence d’une dalle collaborante rapportée et d’un chaînage périphérique continu.Tous les éléments de la structure (y compris les liaisons) ont été dimensionnés pour res-pecter les prescriptions de l’EC8.La fi gure 8 présente les plans de la struc-ture préfabriquée.

Liaisons poteau-poutre

Pour la structure en éléments béton pré-fabriqués les liaisons poteau poutre sont des liaisons brochées (broches de diamètre 26 mm) avec présence d’un néoprène de dimension 400 x 250 mm2 et d’épaisseur 6 mm (cf. fi gure 9).

Figure 8plan de la structure

10


Figure 9détails de la liaison poteau-poutre structure préfabriquée

Figure 10sections des poteaux

Figure 11géométrie des poteaux et détails des armatures transversales


11

Figure 12prototype

préfabriqué à lafi n du 3ème essai

12


Armatures transversales dans les poteaux : la hauteur de la zone critique avec cadres resserrés est de un mètre soit 1/5 de la hau-teur libre du poteau.

Action sismique

L’action sismique appliquée a été calculée à partir d’un accélérogramme généré arti-fi ciellement et compatible avec le spectre de type 2 défi ni par l’Eurocode et un sol de type B (dépôts raides de sable, de gravier ou d’argile surconsolidée).Les deux prototypes ont été soumis à trois essais avec des niveaux d’accélérations dif-férents.

• 1er niveau : ag = 0,36 g (3,53 m/s2) pour la structure préfabriquée et 0,32 g (3,13 m/s2) pour la structure coulée en place, ce qui correspond à 1/3 du niveau maximum admissible pour la structure.Ce niveau d’accélération est représentatif de la limite de service de la structure, qui devrait rester dans sa phase élastique sans présenter de dommages importants.

• 2e niveau : ag = 0,72 g (7,06 m/s2) pour la structure préfabriquée et 0,67 g (6,27 m/s2) pour la structure coulée en place, ce qui correspond à 2/3 du niveau maximum admissible pour la structure.

Ce niveau est représentatif de l’état ultime, les éléments de la structure devraient entrer en phase de plastifi cation avec apparition de fi ssures permanentes et de déforma-tions résiduelles.

• 3e niveau : ag = 1,08 g (10,6 m/s2) pour la structure préfabriquée et 0,8 g (7,84 m/s2) pour la structure coulée en place. Le but de cet essai est d’amener la structure au maxi-mum de ces possibilités.

Principaux résultats

Structure en éléments préfabriqués :

Lors de la première sollicitation, il a été constaté des déplacements entre 90 et 120 mm. Les fi ssures observées pour les déplacements maximums se sont refer-mées lors de la phase de décharge.

Lors de la seconde étape, les déplace-ments enregistrés ont atteint 180 à 200 mm, après décharge un déplacement résiduel de 25 mm a été constaté, indiquant l’appa-rition de phénomènes irréversibles. Il n’est pas apparu de dommages décisifs.

Lors du troisième essai, les déplacements ont atteint 450 mm, limite en déplacement des vérins, d’où l’arrêt de l’essai (fi gures 12 et 13).

Figure 13liaison poteau poutre à la fi ndu 3ème essai


13

Comparaison des dispositions

constructives du DTU 23.3 et retenues

pour l’essai

• Broches :- effort résistant total : 300 kN ;- effort vertical total : 720 kN ;- effort de dimensionnement des broches

selon le DTU : 300 x γRd x 3 = 1 080 kN (γRd = 1,2) ;- effort résistant des broches (fyk = 400 MPa) 8 (Π 262/4) 0,4 = 1 700 kN (+ 57 %).

• Néoprène d’appui des poutres :- déplacement de calcul : 200 mm ;- appui : 200 mm ;- épaisseur mini selon le DTU : 200 x 1,2 x 200/5 000 = 9,6 mm à compa-

rer aux 6 mm mis en place pour l’essai.

Les dispositions constructives adoptées pour ces essais sont voisines des disposi-tions retenues dans le DTU 23.3 « ossatures en éléments industrialisés en béton ».

1.3. Comportement lors du séisme du Frioul [20]

En 1976, suite au séisme dans la région du Frioul, 39 des bâtiments industriels les plus « importants » à ossatures préfabriquées construits par SPAV Prefabbricati et Beton Friuli entre 1972 et 1976 ont été inspectés afi n d’évaluer les dégâts.

Lors de ces inspections, il a été constaté que les structures n’avaient subi aucun dommage notable.

Parmi ces bâtiments, 25 avaient été exécu-tés par SPAV Prefabbricati et présentaient les caractéristiques suivantes :- 8 bâtiments de surface comprise entre

500 et 2 000 m2, à ossatures poteaux 40 x 40 cm2 associés soit à des poutres V précontraintes, soit à des poutres T ou I en béton armé ;

- 4 bâtiments avec des poteaux de sections 40 x 60 cm2 associés à des poutres T en béton armé ou I en béton précontraint pour des surfaces totales comprises entre 1 200 à 3 000 m2 ;

- enfin 10 bâtiments avec des ossatures poteaux 60 x 60 cm2 essentiellement associés à des poutres I en béton pré-contraint ; il est à noter la surface de 22 200 m2 de l’un de ces bâtiments.

La majorité de ces bâtiments présentaient des éléments de toiture en béton armé ou béton précontraint. Quatre d’entre eux avaient une toiture en éléments coques.En ce qui concerne les bâtiments construits par Béton Friuli : la majorité des bâtiments présentaient des poteaux de dimensions 60 x 60 cm2 (9 bâtiments sur 14) associées à des poutres en béton précontraint de 6 à 18 mètres de long. Les niveaux d’accéléra-tion relevés lors de ce séisme se situaient entre 0,22 g et 0,32 g.

14



15

2. Justifi cation des valeurs de coeffi cient de comportement et de la rigidité forfaitaire

2.1. Méthodologie de vérifi cation par la méthode push-over ; prise en compte de l’amortissement hystérétique

2.1.1. Rappel sur l’analyse push-over pour un système à un degré de liberté

On considère un système formé par un poteau encastré en pied et une masse en tête représentant la descente de charge et l’action sismique verticale.

Comme le montre la fi gure 14, la méthode push-over, appelée aussi poussée progres-sive, consiste à étudier la variation de l’ef-fort tranchant au pied du poteau (opposé de la réaction latérale) en fonction du dépla-cement imposé (d) en tête de ce dernier.Le comportement non linéaire des matériaux béton et acier ainsi que l’effet du second ordre (effet P - Δ) sont pris en compte dans l’analyse.La capacité maximale de la structure en

Figure 14poussée progressive pour un système à 1 degré de liberté

H

M

Déplacementimposé : d

Déplacement (m)

Forc

e (N

)

Courbe de capacité au formatforce-déplacement

Courbe de capacité au formataccélération-déplacement

Déplacement (m)

A =

F/M

(ms2 )

terme de force horizontale F (ou d’accéléra-tion spectrale F/M) est directement acces-sible sur cette courbe.

2.1.2. Réponse dynamique non linéaire d’un système à un degré de liberté

Nous présentons ici une procédure qui per-met de modéliser la réponse inélastique d’un système à un degré de liberté en utili-sant une modélisation élastique avec prise en compte d’un amortissement visqueux équivalent, ce dernier étant calculé à partir d’une modélisation non linéaire du système [8][9][12][20][24].

Principe de la méthode

Il s’agit de déterminer la valeur de la demande en déplacement en prenant en compte l’amortissement du système dans sa phase de réponse inélastique. Le calcul est basé sur l’utilisation conjointe du spec-tre de réponse élastique et de la courbe de capacité du système (obtenue grâce à une analyse de type push over – annexe B de la NF EN 1998-1).

Figure 15représentation sous forme accélération

déplacement du spectre de réponse élastique et de la

courbe de capacité du système

16


Spectre de réponse élastique

Le spectre de réponse élastique pour les composantes horizontales de l’action sismi-que est défi ni par les expressions suivantes [2] § 3.2.2.2.

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−η+=≤≤

( ) η=≤≤

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡η=≤≤

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡η=≤≤

avec :- Se(T) : spectre de réponse élastique ;- T : période de vibration ;- ag : accélération du sol ;- TB : limite inférieure des périodes corres-

pondant au palier d’accélération spectrale constante ;

- TC : limite supérieure des périodes corres-pondant au palier d’accélération spectrale constante ;

- TD : valeur défi nissant le début de la bran-che à déplacement spectral constant ;

- S : paramètre du sol ;- η : coeffi cient de correction de l’amortis-

sement (la valeur de référence est η = 1 pour 5 % d’amortissement visqueux).

Il se calcule comme suit :

ξ+=η

et ξeff est le coefficient d’amortissement exprimé en pourcentage.

Valeur de l’amortissement global équi-

valent

L’amortissement ξeff à utiliser pour le calcul de la valeur du spectre de réponse élastique correspond à l’amortissement qui apparaît lorsque la structure entre dans sa phase inélastique. Il est modélisé comme une combinaison d’un amortissement visqueux et hystérétique [5][6][8][12][24].

+λξ=ξ

λ est un facteur qui prend en compte l’erreur commise lorsque l’on approche la réponse hystérétique par une courbe bilinéaire élasto-plastique. λ varie entre 0,3 et 1.Ce facteur sera calé à partir des résultats des essais cycliques [13] sur un poteau de hau-teur 2,67 m et de section 300 x 300 mm2.La valeur de 5 correspond à l’amortisse-ment « visqueux » inhérent aux structures en béton armé fi ssuré.

Amortissement hystérétique

La méthode la plus utilisée pour définir l’amortissement hystérétique équivalent consiste à égaliser l’énergie absorbée dans un cycle de chargement du système non linéaire et du système linéaire équivalent soumis à des oscillations harmoniques entretenues [6][8][12][20][24]. En se basant sur ce concept, il est possible de démon-trer que la valeur d’amortissement visqueux équivalent est :

Figure 16amortissement hystérétique pour un comportement bilinéaire

muyu

yf

Déformation

1

1

1

k

Forc

e

k

k

fy (1 + Forc

e

fy (1 +

DE

SEf y

umuy

Déformation

a) Comportement bilinéaire (b) Amortissement hystérétique équivalent


17

π=ξ

avec :- ED : énergie dissipée par amortissement

hystérétique ;

- =

: énergie de déformation élastique (énergie du pendule élastique).

La courbe figure 16 montre un exemple de calcul de ξhyst lorsque le comporte-ment est bilinéaire. Dans ce cas ξhyst s’écrit en fonction de la ductilité μ = um/uy et du coeffi cient α comme suit :

( )( )( )α−αμ+μ

α−−μπ

=ξ

Pour un comportement élasto-plastique parfait α = 0, d’où :

μ=

μ−μ

π=ξ

Procédure de calcul

Afi n de calculer la demande en déplace-ment de la structure (avec prise en compte de l’amortissement), la procédure itérative suivante est utilisée.

• Initialisation du processus

- Calcul de la période propre de la structure à partir de la valeur de la rigidité initiale.

- Connaissant la période propre, calcul du spectre de réponse élastique pour une valeur arbitraire de l’amortissement ξeff = 5 % (correspond au point noté 0 sur la courbe de la fi gure 17).

- Détermination de la demande en déplace-ment δ0 qui correspond à cet amortisse-ment.

• Seconde étape

- Calcul de la nouvelle rigidité keff à par-tir de la courbe de capacité (pente de la courbe entre le point d’origine et le point de déplacement δ0 (cf. fi gure 17)).

- Détermination de la période correspon-dante Teff compatible avec le déplacement et de la nouvelle valeur de l’amortissement visqueux ξeff (1) (cf. fi gure 17).

• Troisième étape

- Initiation d’un nouveau cycle en utilisant comme valeurs d’entrée les valeurs déter-minées lors de l’étape précédente.

La procédure est répétée jusqu’à obtenir la convergence du système.

Figure 17représentation des diff érentes étapes de la procédurede calcul

Tableau 2propriétés des bétons confi néset non confi nés

Bétonnon confi né

Béton confi né

fcm

48 MPa 63 MPa

fctm

(traction) 0 MPa 0 MPa

εc1

0,23 % 0,509 %

εcu1

0,35 % 1,11 %

18


2.1.3. Calage du coeffi cient λ par comparaisons avec les essais cycliques

Des essais cycliques ont été réalisés au JRC d’Ispra [18] sur des poteaux :- hauteur : 2,93 m ;- section 300 x 300 mm2 ;- élancement égal à 68 ;- effort normal réduit égal à 7 % (cf. fi gu-

res 18 et 19).

Ces essais nous ont permis de calculer la dissipation d’énergie par cycle de charge-ment.Ainsi, en comparant les résultats des essais avec ceux obtenus avec les simulations par la méthode des éléments fi nis, il est pos-sible de caler le coeffi cient λ qui intervient dans le calcul de l’amortissement total. Ce coeffi cient est défi ni comme étant le rapport entre l’énergie dissipée simulée et l’énergie dissipée mesurée lors de l’essai :

( )( )=λ

La simulation de l’énergie dissipée par cycle de chargement a été réalisée en utilisant le modèle à fi bres de Castem.

Pour modéliser le comportement du béton, le modèle de Hognestad en compression

est couplé avec un modèle adoucissant linéaire en traction (Guedes et al. 1994 [9]). Les propriétés du béton confi né sont diffé-rentes de celles du béton non confi né. En effet, le confi nement a pour effet d’augmen-ter la contrainte fcm ainsi que les déforma-tions εc1 et εcu1 (cf. tableau 2).

Un modèle de Menegoto-Pinto modifi é est utilisé pour l’acier, les paramètres sont choi-sis de façon à obtenir un comportement élasto-plastique parfait :- module d’élasticité E = 200 000 MPa ;- contrainte limite d’élasticité σe = 550 MPa ;-déformation de rupture εsr = 10 %.

Un effort vertical correspondant à un effort normal réduit de 7 % a été appliqué en tête du poteau :

P = -143 kN

Le descriptif de la modélisation par élé-ments fi nis est donné dans l’annexe 2.

Figure 20comparaison

énergie dissipée essai/énergie

dissipée calculée

Figure 19chargement

cyclique appliqué au poteau

0 1 2 3 4 5 6 7

Figure 18schéma du

dispositif de chargement sur un

poteau


19

Figure 22variation de l’eff ort tranchant au pied du poteau en fonction du déplacement horizontal imposé en tête (courbede capacité)

Bétonnon confi né

Béton confi né

fcm

48 MPa 56 MPa

fctm


εc1

0,23 % 0,37 %

εcu1

0,35 % 0,75 %

Tableau 3propriétés des bétons confi nés et non confi nés

Figure 21maillage de la section du poteau (500 x 500 mm2, 8 x HA15,5)

Béton confiné

Acier

Béton non confiné

20


Le rapport entre les valeurs des énergies (simulation/essai) varie entre 0,6 et 0,72. La valeur moyenne est 0,65 avec un écart type de 0,05. C’est cette valeur moyenne qui a été retenue pour le facteur λ.

2.2. Application de la méthode à un poteau de 6 m et comparaisons avec les calculs élastiques

Dans cette section, la méthode push-over avec prise en compte de l’amortissement hystérétique est appliquée à une structure type équivalente à un pendule inversé de hauteur 6 m. Le caractère non-linéaire des matériaux acier et béton ainsi que le confi -nement dû aux aciers transversaux du poteau sont pris en compte dans la modé-lisation.Les résultats des simulations sont compa-rés à ceux obtenus lors d’un calcul élasti-que en prenant un coeffi cient de comporte-ment égal à 4,5.

2.2.1. Modélisation par éléments fi nis

Le maillage de la section transversale du poteau est décomposé en trois parties : béton confi né, béton non confi né et arma-tures (cf. fi gure 21).Les propriétés du béton confi né sont dif-férentes de celles du béton non confi né (cf. tableau 3).Un effort vertical correspondant à un effort normal réduit de 5 % a été appliqué en tête du poteau, soit :

P = - 480,77 kN

2.2.2. Chargement monotone : courbe de capacité

La courbe de variation de l’effort tranchant en pied du poteau en fonction du déplace-ment horizontal imposé en tête (courbe de capacité) est tracée sur la fi gure 22. Cette courbe présente un pic de l’effort tranchant pour un déplacement proche de 0,13 m. Ce pic correspond au début de plastifi cation des aciers longitudinaux. Ceci se produit plus tôt et de façon plus importante quand on intègre les effets P - Δ.

Figure 23chargement cyclique en

déplacement : le niveau de

chargement (dmax) varie entre 0,01

et 0,18 m

Figure 24stabilisation de la boucle d’hystérésis

après trois cycles de chargement –

Niveau de chargement 0,1 m


21

La capacité maximale de la structure en termes de force horizontale est directement accessible sur cette courbe de comporte-ment non linéaire.

2.2.3. Chargement cyclique : calcul de l’amortissement hystérétique

Afi n de simuler la dissipation d’énergie due à l’amortissement hystérétique, un charge-ment cyclique a été appliqué à la structure précédente. Pour chaque niveau de char-gement d, trois cycles ont été considérés (cf. fi gure 23).

Un exemple de comportement de la struc-ture pour un niveau de chargement de 0,1 m est tracé sur la fi gure 24. Cette der-nière montre qu’à partir du troisième cycle, la boucle d’hystérésis se stabilise. Cette stabilisation à l’échelle globale de la sec-

tion s’accompagne d’une stabilisation du comportement des aciers.En effet, comme le montre la fi gure 25, la déformation plastique dans l’acier extrême cesse d’augmenter après trois cycles.

Les boucles d’hystérésis stabilisées pour les différents niveaux de chargement consi-dérés sont tracées sur la fi gure 26.Cette courbe (figure 26) nous a permis d’évaluer l’énergie dissipée par cycle de chargement (ED) ainsi que l’énergie élastique ES en fonction du niveau de chargement.Par conséquent, il est possible de détermi-ner la valeur de l’amortissement hystéréti-que :

S

Dhyst E

E.

4

1

π=ξ

pour chaque niveau de chargement d (cf. fi -gure 27).La variation de ξhyst ainsi que la variation de la déformation dans les aciers extrêmes en

Figure 25comportement

cyclique de l’acier extrême pour un niveau de

chargementde 0,1 m

Figure 26boucles d’hystérésis

pour diff érents niveaux de chargement

cyclique

Figure 27exemple de calcul

de l’amortissement hystérétique pour

un niveau de chargement donné

(ici 0,1 m)

22


Figure 28amortissement hystérétique et déformation dans les aciers extrêmes en fonction du niveau de chargement cyclique

Plastification de l'acier

TB (s) 0,1

TC (s) 0,6

TD (s) 1,5

S 1,6

ag (ms-2) 1,6

Tableau 4paramètres du spectre élastique


23

fonction de d sont tracées sur la fi gure 28. À partir de cette courbe, on constate que la valeur de ξhyst présente un palier avant le début de plastifi cation des aciers, au-delà, ξhyst croît linéairement en fonction de d.

La valeur de l’amortissement avant plastifi -cation des aciers correspond à l’énergie dis-sipée par fi ssuration du béton. Cette valeur est donnée à titre d’illustration et n’a pas d’infl uence sur la valeur de l’amortissement à introduire dans le spectre de réponse. En effet, le déplacement maximum permettant de dimensionner une structure vis-à-vis du chargement sismique dépasse la limite élastique des aciers. Il est donc judicieux de calibrer l’amortissement à introduire après plastifi cation des aciers, c’est ce qui a été fait lors de la détermination du coeffi cient d’ajustement λ à partir des essais cycliques sur un poteau. (cf. § 2.3.1.).

2.2.4. Détermination du point de fonctionnement (a

cible,d

cible)

et comparaison avec les calculs élastiques

Les périodes TB, TC et TD ainsi que le para-mètre du sol S et l’accélération ag pour le calcul du spectre élastique sont donnés dans le tableau 4.

La méthode itérative décrite dans au para-graphe 2.1.2. pour la détermination du déplacement et de l’accélération cibles avec prise en compte de l’amortissement hystérétique a été utilisée. La figure 29

montre le nombre d’itérations nécessaires pour que la procédure converge.L’amortissement total équivalent à intro-duire dans le spectre de réponse est :

ξeff = ξhyst + 5

Le facteur λ vaut 0,65. La valeur de l’amor-tissement hystérétique équivalent est 0,65 x 23 % ; soit un amortissement total de 20 % (= 5% + 0,65 x 23 %).Les valeurs du déplacement et de l’accélé-ration cibles sont :- (dcible) : 0,11 m ;- (acible) : 0,726 ms-2.

Par ailleurs, le calcul à partir d’un modèle élastique linéaire pour une rigidité de fl exion égale à 50 % de la rigidité brute de la sec-tion de béton, avec un spectre élastique (5 % d’amortissement) et un coeffi cient de comportement unité (q = 1) donne les résul-tats suivants (voir annexe) :- déplacement cible : 0,12 m ;- accélération cible : 3,206 ms-2.Ainsi, le coeffi cient de comportement défi ni comme étant le rapport entre les accéléra-tions cibles obtenues par les deux spectres de réponse est égal à :

==

Figure 29convergence

de la méthode pour le calcul

du déplacement cible et de

l’amortissement hystérétique

Figure 30calcul du

déplacement cible et de

l’amortissement hystérétique)

24


2.3. Comparaisons avec les résultats des essais ECOLEADER

2.3.1. Description du prototype de l’essai

Des essais pseudo-dynamiques sur un cas de bâtiment industriel à ossatures préfabri-qués ont été réalisés au JRC d’Ispra dans le cadre du projet européen ECOLEADER [16].

Le schéma du bâtiment est présenté dans la fi gure 8 (§ 1.2.).

La section transversale des poteaux est présentée dans la fi gure 10.

La valeur de la charge verticale est égale à 90 kN pour les poteaux 1, 2, 5 et 6 et

180 kN pour les deux poteaux 3 et 4, soit pour la structure un élancement de 77 et un effort normal réduit moyen de 3 %.

2.3.2. Essais pseudo-dynamiques

Le signal imposé à la structure est issu d’un accélérogramme artifi ciel compatible avec le spectre de type 1 de l’Eurocode 8, pour un sol de catégorie B (cf. fi gure 31 extraite de [16]).

La richesse de l’accélérogramme utilisé (fi gure 31) permet de comparer directement les essais pseudo-dynamiques et les simu-lations « push over » utilisant le spectre de calage.

Le signal a été imposé avec des accélé-rations maximales croissantes de 0,36 g, 0,72 g et 1,08 g. La réponse de la structure est illustrée sur les fi gures 32, 33, 34.

Figures 31accélérogramme et spectre de réponse associé utilisés dans les essais pseudo-dynamiques d’après [16]


25

Figure 32réponse de la

structure pour une accélération

maximale de 0,36 g

26


Figure 33réponse de la structure pour une accélération maximale de 0,72 g


27

Figure 34réponse de la

structure pour une accélération

maximale de 1,08 g

28


Figure 35modèles représentant les essais pseudo-dynamiques du projet ECOLEADER

P/2 P/2

AA5 m B B

Réaction à l'encastrement R

Déplacement d Barre rigide

A-A

B-B


29

2.3.3. Modélisation par éléments fi nis de l’essai

Le modèle éléments fi nis qui a été adopté est schématisé dans la fi gure 35. La struc-ture est modélisée par :- deux poteaux équivalents encastrés en

pied ; un poteau équivalent aux deux poteaux chargés à 180 kN (poteaux 3 et 4 de l’essai cf. fi gure 8) et un poteau équivalent aux quatre poteaux chargés à 90 kN (poteaux 1, 2, 5 et 6 de l’essai) cf. fi gure 8 ; la charge verticale appliquée à chacun des deux poteaux équivalents est égale à 360 kN (= 2 x 180 = 4 x 90 kN), soit une charge totale de 720 kN ;

- une barre rigide articulée de part et d’autre et reliant les têtes des deux poteaux équi-valents.

En raison de la présence de l’articulation, il suffit d’imposer une égalité entre les déplacements latéraux des têtes des deux poteaux équivalents pour modéliser la barre rigide.

Les caractéristiques du béton sont données dans le tableau 5.

Les propriétés de l’acier sont :- module d’élasticité : E = 200 000 MPa ;- contrainte limite d’élasticité : σe = 550 MPa ;- déformation de rupture εsr = 7,5 %.

Lors de l’essai, la force axiale appliquée P est induite par un système de vérin fi xé au sol et lié au toit de la structure. La direction de l’effort normal évolue avec l’inclinaison de la structure, de sorte que l’effort normal, l’effort de cisaillement et le moment à la section du pied du poteau soient :

=

−≅ϕ−=

≅ϕ=

Afi n de prendre en compte cette mobilité de la force P, les valeurs des efforts résistants horizontaux calculés, H, pour un dépla-cement d et une force verticale (fi xe) sont majorées par :

Bétonnon confi né

Béton confi né

fcm

48 MPa 76 MPa

fctm


εc1

0,23 % 0,78 %

εcu1

0,35 % 1,59 %

Tableau 5propriétés des

bétons confi nés et non confi nés

Figure 36prise en compte

de l’inclinaison de la force verticale

P

H

h

d

V = H - Pd/h

N = P

Figure 37courbe de variation de l’amortissement

hystérétique en fonction du niveau

de chargement cycliquee

Plastification de l'acier

Rupture de la structure

30


2.3.4. Résultats des simulations et comparaisons

Calcul avec la méthode statique équiva-

lente

Différents niveaux de chargement cyclique ont été appliqués à la structure équiva-lente. Pour chaque niveau, l’amortissement hystérétique équivalent a été représenté fi gure 37.

Tout comme pour le cas du poteau de la section précédente (poteau 6 m), la valeur de ξhyst présente un palier avant le début de plastifi cation des aciers et croît linéairement en fonction de d au-delà.

Le spectre élastique a été calculé pour deux valeurs de l’accélération ag = 0,36 g et ag = 0,72 g.Les périodes TB, TC et TD ainsi que le para-mètre du sol S utilisés pour le calcul des deux spectres élastiques sont respective-ment de :- TB (s) : 0,15- TC (s) : 0,5- TD (s) : 2,0- S : 1,2.

Rappelons que l’amortissement total effec-tif (ξeff) à introduire dans le spectre élastique s’écrit comme la somme entre l’amortis-sement visqueux inhérent au béton armé fi ssuré (pris forfaitairement égal à 5 %) et l‘amortissement hystérétique ξhyst corrigé par le facteur :

λξ+=ξλ

À titre indicatif, afi n d’étudier l’infl uence de la prise en compte de l’amortissement vis-queux initial (= 5 %), nous avons effectué un calcul avec et sans amortissement vis-queux initial.

Pour le calcul du déplacement et de l’accé-lération spectrale cibles (dcible, acible) avec :

λξ+=ξ

les résultats pour une accélération de 0,36 g (respectivement 0,72 g) sont tracés sur la fi gure 38 (respectivement fi gure 39).

Figure 38résultats pour 0,36 g (calcul avec 5 % d’amortissement visqueux)

Figure 39résultats pour 0,72 g (calcul avec 5 % d’amortissement visqueux)

0,36 g 0,72 g

EssaiSimulation (avec 5 %)

λξ+=ξ

Simulation (sans 5 %)

λξ=ξEssai

Simulation (avec 5 %)

λξ+=ξ

Simulation (sans 5 %)

λξ=ξ

Force maximale M.acible

(kN)280 kN 264 kN 279 kN 320 kN 294 kN 301 kN

Déplacement maximal dcible

(mm)102 mm 109 mm 124 mm 213 mm 208 mm 230 mm

Valeur de l’amortissement

effectif ξeff

- 13 % 10 % - 27 % 23 %Tableau 7comparaisonsessais/simulations


31

Un récapitulatif des résultats des simula-tions et des comparaisons avec les résultats des essais est donné dans le tableau 6. Ce tableau montre que :- les prédictions de la méthode statique

équivalente avec 5 % d’amortissement visqueux :

λξ+=ξ

sont proches des résultats des essais pseudo-dynamiques pour les deux niveaux de chargement 0,36 g et 0,72 g : L’erreur relative est inférieure à 6 % pour les déplacements et est inférieure à 8 % pour les forces.

- le calcul avec :

λξ=ξ

0.0E+00

1.0E+04

2.0E+04

3.0E+04

4.0E+04

5.0E+04

6.0E+04

0 50 100 150 200 250 300 350 400

flèche 1er ordre

2nd ordre

plastification

équiv . élasto - plastique

Fu

Fr

Fy,equ

dy,equ du

Flèche (mm)

Eff

ort

ho

rizo

nta

l e

n t

ête

(m

m)

Figure 40calcul de la

ductilité maximale en déplacement

32


donne des déplacements supérieurs de 10 à 20 % aux valeurs mesurées, les for-ces maximales sont représentatives des valeurs relevées lors des essais.

Calcul avec un modèle élastique

La méthode de calcul à partir d’un modèle élastique avec une rigidité forfaitaire égale à 50 % de la rigidité brute a été appliquée à un poteau équivalent représentant l’ensemble des poteaux.Section du poteau équivalent :- hauteur h : 450 mm ;- largueur b : 6 x 300 mm ;- masse en tête : 73,4 t.

Le calcul avec un spectre élastique (5 % d’amortissement) et un coeffi cient de com-portement unité (q = 1) a donné les résultats suivants (voir annexe 2) :- pour 0,36 g : dmax = 96 mm (erreur relative

par rapport aux résultats de l’essai infé-rieur à 6 %) ;

- pour 0,72 g : dmax = 190 mm (erreur rela-tive par rapport aux résultats de l’essai inférieur à 10 %).

Ainsi, ces comparaisons montrent que la valeur de la rigidité élastique forfaitaire per-met de prédire le déplacement maximum avec une assez bonne précision. Compte tenu de la dilatation du temps inhérente aux essais pseudo-dynamiques (un séisme de

30 secondes reproduit en deux heures envi-ron), les valeurs des déplacements obtenus lors des essais sont légèrement suréva-luées, par phénomène de fl uage, par rap-port à un séisme réel.

2.4. Étude paramétrée de la demande en ductilité

Afi n de déterminer l’adéquation des pres-criptions prévues dans le futur DTU « Ossa-tures en éléments industrialisés en béton » vis-à-vis des coeffi cients de comportement, une étude paramétrée a été effectuée en faisant varier :- l’élancement des poteaux de 90 à 120 ;- le pourcentage d’armatures longitudinales

de 1 % à 2,1 % ;- l’effort normal réduit en tête de 5 % à

25 %.

Les taux d’armatures transversales de confi nement sont toujours fi xés au mini-mum prescrit par l’EC8-1 pour la classe de ductilité considérée (DCM ou DCH).

Le calcul de la ductilité maximale en dépla-cement est effectué à l’aide d’un modèle élasto-plastique équivalent (fi gure 40).

On calcule dans un premier temps la réponse non linéaire avec 2nd ordre de la structure ; le déplacement maximum est

μdéquiv / max q

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.00% 9.00% 14.00% 19.00% 24.00% 29.00%

μdéquiv / max q

Mar

ge s

ur q

Chargement relatif

Figure 41évolution d/q en fonction du taux de chargement


33

obtenu lorsque la résistance de la section est épuisée ou lorsque l’effort horizontal résistant avec effet du 2nd ordre est infé-rieur de 20 % à l’effort horizontal résistant maximum. Le modèle élasto-plastique est équivalent en énergie à la courbe ainsi déli-mitée ; le coeffi cient de ductilité en dépla-cement est donné par : μd = du/dy,équiv.

Le coeffi cient maximum utilisable pour la structure est :

=

Avec :-q0 = 3 pour la classe de ductilité DCM et les éléments précontraints, q0 = 4 pour la classe de ductilité DCH ;-k : rigidité forfaitaire du poteau (inertie x 0,5 en BA ; inertie x 0,75 en BP) ;-h : hauteur du poteau ;-P : charge verticale en combinaison sismi-que.

Le coeffi cient 1,1 est prévu pour apporter un bénéfi ce aux ossatures conçues, fabri-quées et mises en œuvre sous assurance de la qualité.Les périodes propres des structures visées sont toujours au-delà de Tc, aussi vérifi e-t’on dans l’exploitation : μd > qmax.

2.4.1. Cas des poteaux de classe DCM

Le détail des résultats obtenus est donné en annexe 4, la fi gure suivante présente l’évolution du rapport μd/qmax en fonction du taux de chargement des poteaux.La sécurité par rapport à la demande en ductilité est supérieure ou égale à 1,2 en tout point.

Cas des poteaux de section carrée –

fl exion déviée

Des calculs complémentaires ont été effec-tués sur un poteau de classe DCM, d’élan-cement égal à 104 (section 500 x 500 mm, hauteur 7 500 mm, béton C50 MPa) et d’ef-fort normal réduit égal à 5 % dans le but de comparer le comportement selon les direc-tions principales du poteau et selon une dia-gonale. Les résultats obtenus montrent que la ductilité équivalente n’est pas diminuée. Il y a lieu, par contre, de vérifi er la résis-tance selon la diagonale, car la clause for-faitaire 5.4.3.2.1 (2) de l’EC8-1 qui consiste à réduire de 30 % la résistance en fl exion selon une direction principale pour obtenir la résistance en fl exion déviée n’est du côté de la sécurité que lorsque les armatures qui assurent la résistance se trouvent dans les

Figure 42section carrée

- comparaison des courbes eff ort

– déplacement selon les axes principaux

(90°) et selon les diagonales (45°) ;

le pourcentage indique la part d’acier dans les

angles par rapport à la part totale

d’acier de la section (4 armatures dans

les angles et 4 arma-tures au milieu de

chaque côté)

0.0E+00

5.0E+03

1.0E+04

1.5E+04

2.0E+04

2.5E+04

3.0E+04

3.5E+04

4.0E+04

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

90° - 50% réf.90° - 50% équiv.45° - 50%45° - 50% équiv.45° - 80%45° - 100%45° - 100% équiv.

Flèche (mm)

Eff

ort

ho

rizo

nta

l e

n t

ête

(m

m)

34


angles du poteau ; en d’autres termes, pour garantir qu’un poteau de section carré tien-dra vis-à-vis d’un effort sismique selon une direction quelconque dans le plan, il faut s’assurer que le poteau résiste à un effort majoré de 30 % selon les directions princi-pales avec seulement des armatures dans les angles (voir fi gure 42).

2.4.2. Cas des poteaux de classe DCH

Le détail des résultats obtenus est donné en annexe 4, la marge μd/qmax est d’autant plus importante que les poteaux sont chargés et que le pourcentage d’armatures longitu-dinales est faible (le cas d’un poteau peu chargé avec un pourcentage d’armatures élevé n’est cependant pas réaliste), ainsi on passe d’une marge de sécurité de 1,13 dans un cas extrême, à 1,70 pour des cas plus réalistes.

2.4.3. Cas des poteaux en béton précontraint

Comme précédemment, le détail des résul-tats obtenus est donné en annexe 4, dans tous les cas étudiés le rapport μd/qmax est supérieur à 1,25 avec :

)P

kh3.0;85.0q1.1min(q

0max=

q0 = 3 (le coeffi cient 0,85 prend en compte

le passage d’un amortissement de 5 à 2 %).

Les différentes études réalisées montrent la pertinence des modèles utilisés qui s’ac-cordent correctement en force et en dépla-cement avec les résultats expérimentaux disponibles (cycliques et pseudo-dyna-miques), l’adéquation des hypothèses de calcul proposées dans le cadre d’une ana-lyse par la méthode des forces latérale en terme de rigidité forfaitaire et de coeffi cient de comportement. Enfi n différentes les étu-des paramétrées réalisées sur de nombreux cas montrent que les valeurs de coeffi cient de comportement proposées sont toujours en deçà des réserves de ductilité disponi-bles.

L

L

M

u2

u1

γ.E.I

E.I

δ. E.I

Barre rigide

Poutre 3

Poutre 2

Poutre 1

Rotule

Figure 43oscillateur équivalent pour les bâtiments avec mezzanine


35

3. Méthode d’analyse modale appliquée aux bâtiments avec mezzanine

Dans cette section, nous allons développer une méthode de prédiction de la réponse sismique maximale en termes de déplace-ments et de forces d’un système à plusieurs degrés de liberté, notamment pour les bâti-ments avec mezzanine.En effet, les bâtiments avec mezzanine peu-vent être modélisés par un système à deux degrés de liberté correspondant à un pen-dule avec deux masses : une masse appli-quée à la toiture et une masse appliquée à la mezzanine.

En utilisant conjointement le spectre de réponse du séisme et les modes propres du système à 2 degrés de liberté, il est pos-sible de déduire la réponse maximale totale par combinaison des réponses maximales par mode. Ceci en terme de déplacement et en terme de force.

Les détails de cette méthode d’analyse modale sont exposés dans les paragraphes qui suivent.

3.1. Bâtiments avec mezzanine

Les bâtiments avec mezzanine seront modélisés par le pendule à deux degrés de liberté (fi gure 43), où :- E.I représente la rigidité en flexion du

poteau supportant la toiture avec E le module d’Young ; I le moment d’inertie de la section.

Les deux degrés de liberté de l’oscillateur sont les déplacements latéraux des deux masses u1 et u2.

3.2. Équilibre dynamique

L’équation de l’équilibre dynamique d’un oscillateur amorti à n degré de liberté s’écrit sous la forme matricielle suivante :

=++ &&&

est la matrice de rigidité du système.

est la matrice de masse.

est la matrice l’amortissement.

est la force sollicitant l’oscillateur. En repère mobile, le bâtiment voit un effort correspondant à l’accélération d’entraîne-ment :

Δ= (1)

où Δ est un vecteur permettant de mobili-ser les degrés de liberté correspondant au séisme d’intensité a(t).

36


En ce qui concerne l’oscillateur considéré, la matrice de rigidité s’écrit sous la forme :

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

α

δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ+γ−αα+−

αα+−+γ+

α+−α+γ−α+−

γαα+−− ( )

– ( )( ) ( )( )γ+−α+γ−αα+−

γα+−

( )( ) ( )( )γ+−α+γ−αα+−

γα+−−

–

( ) ( )( )γ+−α+γ−α+−

γ

Les coeffi cients Kij(i,j = 1,2) se calculent de la manière suivante :

∫ ∈ΨΨ=

Ψi (x) (i = 1,2) est la fonction de forme relative au nœud i :

Ψ1 (x)=

( ) ( ) ( ) ( ))(( ) ( )( )γ+−α+γ−αα+−

γ+−α+γ−γ−+γ+α+−α+α−αα ( )( )si x dans poutre 1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )γ+−α+γ−αα+−

γα+−+γα+−−γ−γ+−α+γ+−α−α−si x dans poutre 2

( )α

α−− si x dans poutre 3

Ψ2 (x) =

( )( ) ( )( )γ+−α+γ−αα+−

α−si x dans poutre 1

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )γ+−α+γ−α+−

γα+−+α−+αα+−α−si x dans poutre 2

0 si x dans poutre 3

La matrice de masse s’écrit de la manière suivante :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛β=

Ainsi les deux pulsations propres, ω1 et ω2 , du pendule s’obtiennent en résolvant le système suivant :

( )=−

où la fonction det (.) est le déterminant d’une matrice et est la matrice unitaire 2 x 2.D’où :

β

β+β−β+−β+=

β

β+β−β++β+=

À chaque valeur propre ωi est associé un vecteur propre , solution de l’équation :

( )=−

Les vecteurs propres sont donc défi nis à une constante multiplicative près par :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

β+β−β++β+−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

β+β−β+−β+−=

Fonctions de forme

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

H (m)

)(1 xΨ)(2 xΨ Figure 44

exemple de fonctions de formeΨ1 (x) et Ψ2 (x)


37

La matrice de rigidité n’est pas diagonale, il existe donc un couplage dans le sys-tème d’équations (1). Afi n de découpler les inconnues, nous allons défi nir les quantités suivantes :- masse généralisée :

=

- raideur généralisée :

=

- facteur de participation modal :

Δ=

Δ=

- chargement généralisé :

=Δ==

En utilisant la propriété d’orthogonalité des modes propres et en faisant l’hypo-thèse que les modes propres possèdent les mêmes propriétés d’orthogonalité par rapport à la matrice d’amortissement que par rapport aux matrices de masse et de raideur, alors l’équation de l’équilibre dyna-mique (1) se simplifi e en :

==+ξ+ &&&

i = 1,2

avec par analogie avec un oscillateur sim-ple à 1 degré de liberté :

=ξ =

3.3. Valeurs maximales par mode

On note Sd(w,ξ) le spectre de réponse en déplacement d’un oscillateur à 1 degré de liberté soumis au chargement a(t) et l’accé-lération spectrale, Sa(w,ξ), défi nie par :

( ) ( )ξ=ξ

Le déplacement maximal et l’effort maximal dans le mode i sont alors donnés par :

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

ξ=

ξ=

Note : la démonstration est immédiate en effectuant le changement de variable ui (t) = Liq(t), i = 1,2 dans l’équation 2.

3.4. Valeurs maximales de la réponse totale

L’utilisation du spectre de réponse ne per-met d’accéder qu’à la valeur maximale de la réponse dans chaque mode. Ces maximas ne se produisent pas tous au même instant et il se pose alors le problème du cumul des réponses modales.

Soit le vecteur contenant les réponses modales maximales d’une quantité donnée (déplacement en un point, effort, contrainte dans un élément…), de composantes rj, une enveloppe de la réponse maximale pour l’ensemble des modes est obtenue en

38


effectuant la somme des valeurs maximales des réponses modales.

∑≤

Toutefois cette approche peut être trop conservative et peut conduire à une suresti-mation importante de la réponse. On lui pré-fère la règle de cumul, dite quadratique qui exprime la réponse maximale sous la forme :

∑∑= =

ρ==

où ρij, élément de la matrice , représente le coeffi cient de corrélation entre les modes i et j. Il dépend des pulsations propres (ωi, ωj) et des pourcentages d’amortissement critique (ξi , ξj) des deux modes.La formulation de ρij est donnée par :

( )( ) ( ) ( ) 2

j2i

2j

2iji

2j

2iji

22j

2i

jijjiijiji

ij44

8

ωωξ+ξ+ωωω+ωξξ+ω−ω

ωωξω+ξωωωξξ=ρ

Les combinaisons modales données dans l’équation précédente sont basées sur des propriétés statistiques de la sollicitation et ne sont valables que sous ces hypothèses. La sollicitation doit, en particulier, être un bruit blanc non fi ltré et les modes propres ne doivent pas posséder de fréquences trop élevées. Ceci exclut en particulier tous les modes qui ne sont pas amplifi és par la sollicitation, dits modes de corps rigide.

Dans la pratique on effectue généralement une combinaison quadratique simple, vala-ble lorsque les deux premières périodes propres ne sont pas trop proches :

∑=

=

Le tableau 8 présente une comparaison de la méthode modale et de la méthode sim-plifi ée en utilisant la formule de Rayleigh pour le calcul de la période propre. La for-mule de Rayleigh part de l’hypothèse que la première période propre d’une structure peut être approchée à partir du calcul de la défl exion en tête lorsque le bâtiment est soumis à une accélération horizontale égale à la gravité.

Hauteur mezzanine L1 = 5 m

Hauteur totale L2 9 m

Masse en tête M2 100 000 kg

Rigidité poteau EI 8,74 E + 08 Nm2

Rapport masse mezzanine/tête

M1/M2 1,5 1,5 2 3

Calcul modal1ère période propre T1 1,36 1,16 1,19 1,26

Déplacement max. mezzanine

d1 0,108 0,057 0,063 0,073

Déplacement max. tête

d2 0,158 0,145 0,158 0,183

Effort horizontal max. en pied

F0 284 314 307 559 359 525 457 534

Effort horizontal max. mezzanine

F1 161 599 223 980 285 219 394 417

Effort horizontal max. tête

F2 148 864 194 412 207 049 228 459

Moment max.en pied

M0 2 264 037 2 148 022 2 394 347 2 861 444

Calcul simplifi éPériode propre

formule de RayleighT1 1,48 1,31 1,38 1,53

Déplacement max. en tête

d1 0,163 0,161 0,171 0,185

Effort horizontal max. en pied

F0 270 188 305 984 346 883 412 643

Effort horizontal max. mezzanine

F1 145 486 139 084 182 570 257 902

Effort horizontal max. tête

F2 124 702 166 901 164 313 154 741

Moment max.en pied

M0 2 140 724 2 197 525 2 391 668 2 682 182

Ratio effort hori-zontal max. en pied

delta F0 - 5,0 % - 0,5 % - 3,5 % - 9,8 %

Ratio momentmax. en pied

delta M0 - 5,4 % 2,3 % - 0,1 % - 6,3 %

Ratio 1ère période propre

delta T1 8,7 % 12,9 % 15,9 % 20,7 %

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Poteau 1

Poteau 2

H (

m)

H (

m)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50

Mode I

Mode II

Modes propres normalisés à 1

Tableau 8comparaison de la méthode modale et de la méthode simplifi ée sur un exempleSpectre utilisé :sol de type D ;zone 2b :TB = 0.1 s ; TC = 0.6 s ;TD = 1.5 s ;S = 1.6 ;a = 1,6 m/s²


39

40


Les simulations précédentes montrent que lorsque le rapport entre la masse de la mezzanine et la masse de la toiture reste inférieure à 1,5, l’erreur sur la période fon-damentale et sur les efforts sismiques cal-culés reste faible.Cette limite M2/M1 ≤ 1,5 a été introduite dans le DTU 23.3 pour l’application de la formule simplifi ée du Rayleigh.

Figure 45schéma de la structure sans joint de dilatation

−=Barre rigide

Poteau 2Poteau 17 m

==

−=


41

4. Infl uence sur le comportement sismique d’une ossature de la présence d’un joint de dilatation

L’objectif de ce paragraphe est d’étudier l’infl uence de la présence d’un joint de dila-tation sur le comportement sismique des ossatures industrielles.

Pour ce faire, nous avons considéré un système formé par deux poteaux articulés et reliés en tête par une barre rigide. Par la suite, nous avons comparé la réponse sismique du système avec et sans joint de dilatation.

La réponse sismique du système est déter-minée en effectuant des calculs transitoires par la méthode des éléments fi nis. L’accé-lérogramme utilisé est compatible avec le spectre de réponse de type 1A de l’Euro-code 8.

4.1. Modélisation de la structure

4.1.1. Structure sans joint de dilatation

La structure est constituée de deux poteaux reliés en tête par une barre rigide (cf. fi gure 45). En raison de la présence des arti-culations, il suffi t d’imposer une égalité des déplacements des têtes des deux poteaux pour modéliser la barre rigide.

Le chargement appliqué est le suivant :

1.

Une force verticale =

(respectivement = )due au poids propre de la masse M1 en tête du poteau 1(respectivement M2 en tête du poteau 2).

étant l’accélérationde la pesanteur.

2.

Une force horizontale −=

(respectivement −= )

due à l’action de l’accélérationsismique du sol sur la masse M1 (respectivement M2 ).

4.1.2. Prise en compte du joint de dilatation dans la structure

Le joint de dilatation se trouve dans la liaison entre le poteau 2 et la barre rigide.Du fait que la barre est infi niment rigide et reliée par une articulation aux têtes des deux poteaux, le joint peut être modélisé par un élément (ou plusieurs éléments)

Figure 46prise en compte

du joint de dilatation dans

la structure : deux cas ont

été considérés h = 0,1 m et

h = 0,9 m

Poteau 1

Barre rigide Joint de dilatation

Élément modélisantle joint de dilatation

7 m

A

A

d = 0,1 m b = 2 x 0,05 m= 0,1 m

A-A

h

Poteau 2

Figure 47classes de

comportement des bitumes en fonction

de la déformation et de la température

d’après [1][14].

42


massif(s) reliant les têtes des poteaux. Les dimensions de l’élément sont données sur la fi gure 46.

4.2. Modélisation du comportement du jointde dilatation

Le joint de dilatation est constitué par un assemblage broché dont le fourreau est rempli de bitume. Ce dernier est un matériau viscoélastique et thermoplastique. Ses propriétés méca-niques dépendent de la température et de la durée de sollicitation. Il est utilisé dans les joints de dilatation mais surtout dans les couches de roulement des chaussées (enrobés bitumineux).

4.2.1. Modélisation des bitumes

La fi gure 47 permet d’identifi er simplement les principaux types de comportement des bitumes en fonction de l’amplitude de la déformation (ε) et de la température T, pour une vitesse de déformation fi xée.Le modèle que nous avons considéré pour modéliser le comportement du joint de dilatation est celui de Huet (1963) [10] et Huet-Sayegh (1965) [17]. Ce modèle fut ini-tialement proposé pour modéliser le com-portement viscoélastique des liants et des enrobés bitumineux. Il s’agit d’un modèle analogique constitué d’un assemblage d’un ressort de rigidité E∞ (qui représente le module instantané) et de deux éléments à fl uage parabolique (J1(t) = ath et J2(t) = btk) montés en série (cf. fi gure 48).

Tableau 9paramètres du modèle de Huet-Sayegh (1965) [17] pour le bitume 50/70

Paramètres Bitume 50/70δ 2,5

k 0,20

h 0,56

E∞ (MPa) 2 000

Log τ0 (T

s = 10 °C) - 3 795

Figure 48représentation du modèle de Huet (1963) [10]

Figure 49spectre de réponse normalisé de l’accélérogramme artifi ciel comparé avec le spectre de réponse normalisé de type 1A de l’EC8


43

Le modèle de Huet (1963) [10] a également un spectre continu, c’est-à-dire qu’ils peu-vent être représentés par une infi nité d’élé-ments de Kelvin-Voïgt en série ou d’élé-ments de Maxwell en parallèle.L’expression du module complexe est la suivante :

( ) ( )−−∞

ωτ+ωτδ+=ω

avec − i : nombre complexe défi ni par i2 = -1 ;− ω : pulsation ; ω = 2πf (f : fréquence) ;− h, k : exposants tels que 0 < k < h < 1 ;− δ : constante sans dimension ;− τ : temps caractéristique.

La valeur du temps caractéristique τ varie uniquement avec la température et elle tient compte du Principe d’Équivalence Temps (ou fréquence) Température (cf. [1][10][14][15][17]). L’évolution de τ peut-être approchée par une loi de la forme :

τ(T) = aT τ0

- τ0 est la valeur de τ pour une température de référence Ts ;

- aT dépend de la température T et vaut 1 pour T = Ts. (cf. [1][10][14][15][17]).

Aucune expression analytique de la fonction de relaxation R(.) n’est disponible. Lorsque E0 = 0 (modèle de Huet (1963)), la fonction de fl uage J(.) est donnée par :

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+Γτδ+

+Γτδ+=

∞

Γ(.)est la fonction défi nie par :

∫∞

−−=Γ

avec n > 0 ou Re(n) > 0.Les cinq constantes (δ, k, h, E∞ et τ) doivent être obtenues par procédé d’optimisation à partir des résultats d’essais expérimentaux de détermination du module complexe.

Les résultats de calibrage des paramètres pour le bitume 50/70 (bitume semi-dur) sont donnés dans le tableau 9.

4.3. Simulation par la méthode des éléments fi nis

4.3.1. Chargement sismique

La forme du spectre élastique normalisé est donnée sur la fi gure 49. Ce spectre corres-pond au spectre de type 1A de l’EC8. L’ac-célérogramme synthétique généré par CAS-TEM 2000 est réalisé à partir de ce spectre (cf. fi gure 50).

Béton non confi néBéton confi né

Poteau 500 x 500 Poteau 600 x 600

fcm 48 MPa 77 MPa 75 MPa

fctm (traction) 0 MPa 0 MPa 0 MPa

εc10,23 % 0,532 % 0,498 %

εcu10,35 % 1 176 % 1 041 %

Tableau 11propriétés des

bétons confi né et non confi né

Structure I Structure II Structure III

Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2

Section (mm2) 500 x 500 600 x 600 500 x 500 500 x 500 500 x 500 500 x 500

Acier longitudinal (1 %) φ 19,9 mm φ 23,9 mm φ 19,9 mm φ 19,9 mm φ 19,9 mm φ 19,9 mm

Masse en tête(Effort normal réduit)

61 162 kg

(η = 5 %)

88 073 kg

(η = 5 %)

73 394 kg

(η = 6 %)

36 697 kg

(η = 3 %)

97 859 kg

(η = 8 %)

36 697 kg

(η = 3 %)

Tableau 10caractéristiques

des trois structures considérées

Figure 50accélérogramme

synthétique normalisé

utilisé dans les simulations

44


4.3.2. Calculs transitoires

Les poteaux en béton armé sont modélisés par des éléments poutre de Timoshenko combiné avec le modèle à fi bres de Cas-tem 2000.Le joint de dilatation est modélisé par un élément fi ni massif de type PYR6 (Pyramide à six nœuds). Le modèle de Huet (1963) a été utilisé pour modéliser le comporte-ment du joint de dilatation. Les valeurs des paramètres du modèle du Huet calibrées sur le bitume 50/70 sont données dans le tableau 9.Le niveau de chargement sismique a été fi xé à 0,72 g.Les calculs transitoires ont été effectués sur trois structures différentes. Pour cha-que structure, nous avons considéré deux joints de dimensions différentes : un pre-mier calcul avec un joint de hauteur 0,9 m et un deuxième avec un joint de hauteur 0,1 m (cf. fi gure 51).

Le tableau 10 présente les caractéristiques des poteaux des trois structures considé-rées (section, aciers longitudinaux et effort normal réduit).Le modèle de Menegoto-Pinto modifi é est utilisé pour l’acier, les paramètres sont choi-sis de façon à obtenir un comportement élasto-plastique parfait :1. module d’élasticité : E = 200 000 MPa2. contrainte limite d’élasticité : σe = 550 MPa3. déformation de rupture : εsr = 10 %.

Le modèle de Hognestad en compression a été utilisé pour modéliser le comportement du béton. Les propriétés des bétons confi -nés et non confi nés sont données dans le tableau 11.

Les résultats des calculs des fréquences propres des trois structures sont indiqués dans le tableau 12.Ce tableau montre que la structure avec joint de dilatation possède deux fréquences

Structure I Structure II Structure III

Fréquence proprede la structure avecun joint de dilatation

de hauteur 0,9 m

Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2

0,854 Hz 9,301 Hz 0,812 Hz 11,289 Hz 0,734 Hz 10,81 Hz

Fréquence proprede la structure avecun joint de dilatation

de hauteur 0,1 m

Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2 Mode 1 Mode 2

0,854 Hz 3,816 Hz 0,811 Hz 4,612 Hz 0,732 Hz 4,423 Hz

Fréquence proprede la structure

sans joint de dilatation0,854 Hz 0,812 Hz 0,735 Hz

Fréquence fondamentale des poteaux isolés

Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2 Poteau 1 Poteau 2

0,770 Hz 0,908 Hz 0,71 Hz 0,995 Hz 0,609 Hz 0,995 Hz

Rapport des fréquences fondamentales des deux

poteaux isolés1,18 1,41 1,63

Tableau 12calcul des fréquences propres des structures sans et avec joint de dilatation et comparaison avec les fréquences propres des poteaux isolés

Cas d’un joint dehauteur 0,9 m

Cas d’un joint dehauteur 0,1 m

Figure 51déplacement relatif entre les deux poteaux pour les trois structures étudiées. Intensité du séisme appliqué 0,72 g


45

Figure 52déplacement en

tête des deux poteaux avec prise

en compte du joint de dilatation pour

la structure III. Intensité du séisme

appliqué 0,72 g ; hauteur du joint

0,1 m

46


propres : une première dont la valeur est très proche de celle calculée avec la même structure mais sans joint de dilatation (i.e. de l’ordre de 0,7 - 0,9 Hz) et une deuxième dont la valeur est plus importante (de l’or-dre de 10 Hz pour un joint de hauteur 0,1 m) et qui traduit une fl uctuation « rapide » qui vient s’ajouter à la réponse globale de la structure sans joint de dilatation.

Le séisme étant appliqué suivant la direc-tion x, nous avons tracé sur la fi gure 51 le déplacement relatif suivant cette direction des têtes des deux poteaux (δx = x1 - x2) pour les trois structures étudiées. Cette courbe montre que le déplacement relatif dépend de la structure étudiée. En parti-culier, δx dépend du rapport entre les fré-quences propres des poteaux isolés. En effet, lorsque les fréquences propres des deux poteaux de la structure sont proches, le déplacement relatif est faible (cas de la structure I, rapport = 1,18 cf. tableau 10). À l’inverse, lorsque le rapport est assez important, la valeur de δx augmente. Tou-tefois, la valeur maximale de δx est de l’or-dre de 4 mm (valeur assez modérée) pour la structure III qui possède le rapport le plus important entre fréquences propres (rap-port = 1,63). Un exemple de variation des déplacements des têtes des deux poteaux en fonction du temps est tracé sur la fi gure 52 (structure III). Cette courbe montre que la valeur du déplacement relatif δx reste faible par rapport aux déplacements abso-lus. Nous avons donc conclu que le joint de dilatation n’a pas beaucoup d’infl uence sur les déplacements des têtes des poteaux.

Les courbes d’évolution de l’effort tranchant en pied de structure sans et avec présence de joint de dilatation sont tracées sur la fi gure 53. On constate que comme le cas des déplacements en tête, l’effet du joint de dilatation est faible pour les structures I et II. Pour la structure III, l’écart entre les calculs avec et sans joint de dilatation est un plus important. Toutefois il reste faible par rap-port à l’ordre de grandeur des efforts.

Signalons que pour la structure III sans joint de dilatation, les calculs transitoires par éléments fi nis ont divergé pour à partir de t = 10 s. C’est pour cette raison que nous avons considéré une quatrième structure possédant un pourcentage d’armatures longitudinales plus important. Le tableau 12 présente les caractéristiques des deux poteaux de cette structure.

Les fréquences propres de cette structure sans et avec joint de dilatation sont don-nées dans le tableau 13.

Les résultats des calculs des déplacements relatifs dans le cas où la structure pos-sède un joint de dilatation comparé avec les calculs dans le cas où les poteaux sont libres (sans joint sans barre rigide) sont donnés sur la fi gure 55.

Figure 53eff et du joint de dilatation sur l’eff ort tranchant au pied des trois structures étudiées : cas d’un joint de hauteur 0,9 m


47

Figure 54eff et du joint de

dilatation sur l’eff ort tranchant au pied des trois

structures étudiées : cas d’un joint de

hauteur 0,1 m

48


Figure 56eff et du joint de dilatation sur l’eff ort tranchant au pied de la structure IV : cas d’un joint de hauteur 0,025 m

Figure 55déplacement en tête des deux poteaux avec prise en compte du joint de dilatation pour la structure IV. Intensité du séisme appliqué 0,72 g.Hauteur du joint 0,025 m

Structure IV

Fréquence propre de la structure avec

un joint de dilatation de hauteur 0,05 m

Mode 1 Mode 2

0,819 Hz 3,376 Hz

Fréquence propre de la structure

sans joint de dilatation0,822 Hz

Fréquence fondamentale

des poteaux isolés

Poteau 1 Poteau 1

0,720 Hz 0,995 Hz

Rapport des fréquences fondamentales

des deux poteaux isolés1,39

Tableau 13calcul des fréquences propres de la 4ème structure sans et avec joint de dilatation et comparaison avec les fréquences propres des poteaux isolés

Structure IV

Poteau 1 Poteau 2

Section (mm2) 500 x 500 500 x 500

Acier longitudinal

(1,5 %)φ 24,43 mm φ 24,43 mm

Masse en tête

(Effort normal réduit)

73 394 kg

(η = 6 %)

36 697 kg

(η = 3 %)

Tableau 12Caractéristiques d’une quatrième structure ; avec une hauteur de joint de 0.1/4 = 0,025 m


49

50


4.4. ConclusionCette étude constitue une première appro-che de modélisation des effets du joint de dilatation sur le comportement sismique des ossatures industrielles préfabriquées.

Malgré l’importance de la magnitude du séisme considéré (ag = 0,72 g), les résultats des simulations sur les structures considé-rées montrent que les déplacements rela-tifs entre les deux poteaux restent faibles (< 2,6 cm) et les efforts tranchants aux pieds des poteaux d’une structure avec joint de dilatation reste très proche de ceux obtenus avec une structure sans joint de dilatation.

Ceci montre que l’effet du joint de dilata-tion sur la réponse sismique des structures considérées en terme de déplacements et de forces est faible et peut être négligé.Toutefois, des études complémentaires doi-vent êtres menées sur des structures ayant des fréquences propres disparates afin d’établir un critère de limitation des effets sismiques du joint de dilatation. Ce critère prendrait en compte les rapports entre les fréquences propres des poteaux de la structure.Une étude plus fi ne du comportement du joint de dilatation devrait également être menée, en fonction des technologies utilisées.


51

5. Étude du comportement tridimen-sionnel des bâtiments à toitures souples

Les bâtiments à toiture souple sont consti-tués de fi les de poteaux liaisonnés en tête dans les deux directions par le réseau de poutres porteuses et de pannes. La défor-mation en parallélogramme de la toiture n’est pas empêchée par des éléments structuraux dans le plan de la toiture. Cette situation peut être rencontrée en particulier

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Temps (s)

Acc

élér

atio

nno

rmal

isée

_(a

/agr

)

Figure 57accélérogramme synthétique

Figure 57accélérogramme synthétique

5.1. Modèle de bâtiment

La structure choisie est schématisée sur la fi gure qui suit :

lorsque les poteaux de fi les adjacentes ont des rigidités et/ou des masses associées différentes (fi les de rive et fi les courantes par exemple). Les simulations qui suivent ont pour but de quantifi er par une analyse numérique temporelle les efforts résultants de cette possible déformation en parallélo-gramme.

On modélise les deux fi les de rive et les deux fi les courantes du bâtiment, chaque fi le reçoit la masse de toiture découlant de la descente de charge.L’objectif est d’estimer les efforts au niveau des liaisons poteau-poutre, lorsque l’action sismique s’exerce perpendicu-lairement aux poutres porteu-ses, selon la direction y.Les liaisons poteaux-poutres sont réalisées par des rotules.

Poteau 1 Poteau 2 Poteau 3 Poteau 4

Rotule 1 Rotule 2 Rotule 3

Les caractéristiques des sections sont décrites ci-après.

Modèle mécanique

masse prise en compte/poteau

poteaux courants mpc

40 000 kg

poteaux sur façade mpf

20 000 kg

poteaux angle mpa

10 000 kg

masse totale fi le courante μ tot,1

120 000 kg

masse totale fi le façade μ tot,2

60 000 kg

Rigidité latérale

section poteaux A 0.5 m

inertie poteaux I 0.00521 m4

hauteur L 8 m

coeffi cient fi ssuration α 0.5

résistance béton fck

50 MPa

module élastique Em

037278.E + 06 N/m2

rigidité latérale poteau K 568 815 N/m

rigidité latérale fi le courante ktot,1

2 275 261 N/m

rigidité latérale fi le façade Ktot,2

2 275 261 N/m

Mode fondamentale de vibration

période propre fi le courante T1

1.44 s

période propre fi le façade T2

1.02 s

poteaux courants

armatures dans les angles 4HA 25

armatures milieu des faces 4HA 25

poteaux façade

armatures dans les angles 4HA 20

armatures milieu des faces 4HA 20

Caractéristiques poutres

poutres de liaison entre poteaux

poutre I35-110 S 0.1825 m2

module E 37278E + 06 N/m2

longueur L 20 m

52


Les poteaux sont modélisés comme pré-cédemment avec CASTEM 2000, un calcul temporel est réalisé, en introduisant un accélérogramme synthétique compatible avec le spectre ci-après :

Spectre de réponse

Tb 0.1 s

Tc 1.6 s

Td 1.5 s

S 1.6

A 2 m/s2

η 0.2

Figure 58déplacement Uy en fonction du temps

Figure 58déplacement Uy en fonction du temps

Figure 59déplacement diff érentiels en tête en fonction du temps

Figure 59déplacement diff érentiels en tête en fonction du temps

5.2. Résultats

La fi gure ci après présente les déplace-ments Uy en tête de poteaux pour les deux fi les, rive et courantes.

On note le léger déphasage consécutif au comportement dynamique différent des fi les (fi gure 58).

Ce déphasage est la cause de déplace-ments différentiels entre les fi les centrales (poteaux 2 et 3) et les fi les de rive (poteaux 1 et 4). La fi gure suivante illustre ces dépla-

cements différentiels en y et consécutive-ment les déplacements différentiels en x entre les deux rives du bâtiment (attention échelle en x et y différente).

On peut représenter l’évolution de la dis-tance entre les poteaux 1 et 2, ou élonga-tion de la poutre 1 au cours du temps :

l)UU()l)UU(( 21y2y

21x2x

Avec : l : distance entre les poteaux 1 et 2 (20 m).


53

Figure 60élongation poutre 1 en fonction du

temps (m)

Figure 60élongation poutre 1 en fonction du

temps (m)


élongation poutre - eff ort rotule


élongation poutre - eff ort rotule

La figure ci-après présente, pendant la durée du séisme synthétique, l’évolution du rapport élongation de la poutre 1 – effort

dans la rotule 1. On retrouve, aux erreurs numériques près, le comportement élasti-que linéaire de la poutre.

54


Figure 62eff orts dans les rotules

Figure 62eff orts dans les rotules

Les efforts longitudinaux dans les différen-tes poutres, en fonction du temps, sont

5.3. ConclusionLes simulations précédentes mettent en évidence les efforts parasites dans la toiture consécutifs à la souplesse du diaphragme en toiture. Il s’agit d’un cas d’étude parmi la multitude de cas possible, cependant

reproduits ci-après. Les efforts maximaux enregistrés ne dépassent pas 700 N.

compte tenu de la faible valeur des efforts transversaux obtenus, ces efforts peuvent vraisemblablement être négligés dans la plupart des cas.


55

56


6. Conclusions générales

Les études dont les résultats sont rassem-blés dans le présent rapport permettent de défi nir les paramètres de calcul pour la mise en œuvre de méthodes simplifi ées en conformité avec l’Eurocode 8, en particu-lier :- Les coeffi cients de comportement forfai-

taires pour les ossatures à toiture souple ou rigide, ainsi que les rigidités forfaitaires de calcul pour les poteaux.

- Les limitations de masses pour les mezza-nines, pour application de la méthode de Rayleigh.

En outre la mise en œuvre de méthodes de calcul sophistiquées est aussi précisée et documentée.

Enfin, le comportement de bâtiments à joints de dilatation viscoélastiques a été étudié, et cette disposition constructive est intégrée dans le DTU 23.3, permettant d’éviter le doublement des poteaux sur joints de dilatation.

Sur le plan du retour d’expérience, l’impor-tance des dispositions constructives pour un bon comportement sismique est mise en exergue, ce sujet est également abondam-ment traité dans le DTU.

En guise de conclusion, il convient de rap-peler que les points singuliers de chaque bâtiment en font chacun un cas particulier et que le « bon sens de l’ingénieur » doit prévaloir quelle que soit la sophistication des calculs mis en œuvre.


57

Bibliographie[1] Baaj H.

« Comportement à la fatigue des matériaux granulaires traités aux liants hydrocarbonés ».Thèse de Doctorat, Institut National des Sciences Appliquées de Lyon ; 2002.http://csidoc.insa-lyon.fr/these/2002/baaj/

[2] « Calcul des structures pour leurs résis-tances aux séismes ; Règles générales, actions sismiques et règles pour les bâti-ments ».NF EN 1998-1– Eurocode 8.

[3] Chopra Anil K. & Goel Rakesh K.

« Capacity-demand-diagram methods for estimating seismic deformation of inelastic structures : SDF systems ».Report No. PEER-1999/02. Pacifi c Earth-quake Engineering Research Center, Col-lege of Engineering University of California, Berkeley ; april 1999.

[4] « Conception des bâtiments d’industrie de commerce et de stockage ».Collection Technique CIMBETON n° B60 ; 2000.

[5] de Chefdebien A., Ghavamian S.

« Comportement sismique d’ossatures industrielles en béton préfabriqué ».CERIB, DDE n° 8 ; 2001.

[6] « Displacement – based seismic design of reinforced concrete buildings ».Bulletin 25 fi b.

[7] Earthquake Spectra – 1999 Kocaeli, Tur-key.Earthquake Reconnaissance Report, sup-plement A to volume 16 ; décembre 2000.

[8] Freeman S.A.

« Development and use of capacity spec-trum method ».Proceedings of 6th U.S. National Confer-ence on Earthquake Engineering, Seattle, EERI, Oakland, California ; 1998.

[9] Guedes J., Pegon P. and Pinto A.V.

« A fi bre/Timoshenko beam element in Cas-tem 2000 ».CEA/DRN/DMT, rapport DMT/94-516 ; 1994.

[10] Huet C.

« Étude par une méthode d’impédance du comportement viscoélastique des maté-riaux hydrocarbonés ». Thèse de Docteur-Ingénieur, Paris : Faculté des sciences de l’université de Paris, 69 p. ; 1963.

[11] Lachihab A.

« Un modèle numérique pour les compo-sites biphasés matrice-inclusions rigides : Application à la détermination des proprié-tés élastiques et en fatigue des enrobés bitumineux ».Thèse de Doctorat de l’École Nationale des Ponts et Chaussées, Paris ; 2004. h t t p : / / p a s t e l . p a r i s t e c h . o r g / b i b /archive/00001036/01/lachihab.pdf.

[12] « Méthodes en déplacement : Principe – codifi cation – application ».Cahier technique AFPS.

[13] NF EN 1998-2 – Eurocode 8.

[14] Olard F.

« Comportement thermomécanique des enrobés bitumineux à basse température : Relations entre les propriétés du liant et de l’enrobé ». Thèse de Doctorat, Institut National des Sciences Appliquées de Lyon ; 2003.http://csidoc.insa-lyon.fr/these/2003/olard/these.pdf.

[15] Olard F., Di Benedetto H., Dony A.,

Vaniscote J.C.

« Properties of bituminous mixtures at low temperatures and relations with binder cha-racteristics ».6th International RILEM Symposium on per-formance Testing and Evaluation of Bitumi-nous Materials, Zurich ; avril 2003.

[16] Saisi A.- Toniolo G.

« Precast R.C columns under cyclic loa-ding : an experimental programme oriented to EC8 ».Studi e Ricerche, vol. 19 ; 1998.

58


[17] Sayegh G.

« Variation de module de quelques modules purs et bétons bitumineux ».Thèse de Doctorat d’Ingénieur, Paris : Faculté des sciences de l’université de Paris ; Juin 1965.

[18] Séisme de Ceyhan – Misis, Turquie 1998.Rapport de mission AFPS.

19] Séisme de Kocaeli – Izmit Turquie 1999.Rapport de mission AFPS.

[20] « Séisme du FRIOUL – Bâtiments industriels SPAC PREFABRICATI et BÉTON FRIULI ».Rapport d’expertise ; 1976.

[21] Seismic behaviour of reinforced concrete industrial on the cast in situ pro-totype.Report of the test – 4 July 2003 (ELSA LABORATORY – ISPRA) – rapport Joint Research Center n° EUR 21097 EN ; Sep-tember 2002.

[22] Seismic behaviour of reinforced concrete industrial on the precast proto-type.Report of the test – September 2002 (ELSA LABORATORY – ISPRA) – rapport Joint Research Center n° EUR 21096 EN ; April 2003.

[23] Seismic design of precast concrete building structures.Bulletin n° 27 fi b.

[24] « Seismic Evaluation and Retrofi t of Concrete Buildings ».ATC-40, vol. 1, Applied Technology Council, Redwood City, California ; 1996.

Béton confi né (à l’intérieurdes étriers)

Béton non confi né(à l’extérieur des étriers)


59

Annexe 1 – Modélisation du béton armé

Modèle béton

Béton non confi né (à l’extérieur des étriers) : EN 1992-1-1 § 3.1.5

( )η−+η−η

=σ (3.14)

dans laquelle :ηε = εc/εc1

εc1 est la déformation au pic de contrainte, telle qu’indiquée dans le tableau 3.1 de la norme NF EN 1992-1-1 :

ε×=

(fcm selon tableau 3.1).

L’expression (3.14) vaut pour :

εε<ε<

est la valeur nominale de la déformation ultime.εc1 = 0.7 fcm

0,31 < 2,8εcu1 = 2,8 + 27((98-fcm)/100)4 ‰ si fck > 50 sinon εcu1 = 3,5 ‰.

Béton confi né (à l’intérieur des étriers) : EN 1998-2 § Annexe E.2.1

Pour le béton confi né, la méthode suivante peut être utilisée en alternative à celle décrite en § 3.1.9 de l’EN 1992-1-1 : 2004 (voir fi gure ci-dessous).

+−=

σ (E.1)

ε

ε= (E.2)

−= (E.3)

ε= (E.4)

λ= (E.5)

−σ

−σ

+=λ(E.6)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=ε

(E.7)

σe est la contrainte de confi nement effective agissant dans les deux directions transver-sales 2 et 3 :

( )σ=σ=σ

Cette contrainte peut être évaluée sur la base du rapport des armatures de confi ne-ment ρw, tel que défi ni en 6.2.1.2 ou 6.2.1.3 et à leur limite d’élasticité probable fym, de la manière suivante :− pour les cadres rectangulaires ou les biel-

les/tirants :

αρ=σ (E.9)

où α est le coeffi cient d’effi cacité du confi -nement (voir 5.4.3.2.2 de l’EN 1998-1 : 2004).

Confi nement du noyau béton

Diagramme contraint – déformation simplifi ée et diagramme de calcul pour les aciers de béton armé (tendus ou comprimés)

60


Déformation ultime du béton εcu,c

Il convient que cette déformation corres-ponde à la première rupture la frette de confi nement. À défaut de justifi cation, la déformation peut être prise égale à :

ερ+=ε (E.10)

où :- ρs = ρw pour les spirales circulaires ou les

frettes ;- ρs = 2ρw pour les frettes orthogonale ;- εsu = εum est la valeur moyenne de l’allon-

gement de l’acier d’armature à la force maximale (voir 3.2.2.2 de l’EN 1992-1-1 : 2004).

Sections rectangulaires : ρw = Asw/(sL b)- sL : espacement longitudinal des frettes

ou épingles ;- b : dimension du noyau de béton au nu

extérieur de la frette ;- Asw : section totale des armatures de confi -

nement dans la direction considérée.

Dans le cas de la disposition de la fi gure suivante, on obtient :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=ρ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++=ρ

EN 1998-1 § 5.4.3.2.2α coeffi cient d’effi cacité du confi nement, égal à α = α n . α s, avec :

- pour les sections transversales rectangu-laires :

∑ οο−=α (5.16a)

( )( )οο −−=α (5.17a)

avec :- n : nombre total de barres longitudinales

latéralement maintenues par des armatu-res de confi nement ou des épingles ;

- bi :distance entre des barres maintenues consécutives (voir fi gure suivante, égale-ment pour bo, ho, s).

Modèle acier

Modèle de l’EC2-1-1

La valeur de εud à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est εud = 0,9 εuk.La valeur de (f1/fy)k est donnée dans l’an-nexe C.

Propriétés des armatures

Forme du produit Barres et fi ls redressés Treillis soudésExigences

ou valeur du fractile (%)

Classe A B C A B C -

Limite caractéristique

d’élasticité fyk

ou f0,2k

MPa400 à 600 5,0

Valeur minimale de k = (f1/f

y)k

≥ 1,05 ≥ 1,08≥ 1,15

< 1,35≥ 1,05 ≥ 1,08

≥ 1,15

< 1,3510,0

Valeur caractéristique de la

déformation relative sous

charge maximale εuk

(%)

≥ 2,05 ≥ 5,00 ≥ 7,5 ≥ 2,5 ≥ 5,0 ≥ 7,5 10,0

Aptitude au pliage Essai de pliage/dépliage -

Résistance au cisaillement 0,3 A fyk

(A est l’aire du fi l) Minimum

Tolérance

maximale

vis-à-vis de

la masse

nominale (barre

ou fi l individuel)

(%)

Dimension

nominale de la

barre (mm)

≤ 8

> 8

± 6,0

± 4,55,0


61

La valeur moyenne de la masse volumique peut être supposée égale à 7 850 kg/m3.

La valeur de calcul du module d’élasticité Es peut être supposée égale à 200 GPa.

On prendra pour la classe B (dimensionne-ment en DCM) :- εuk = 5 % ;- fyk = 500 MPa ;- ft = 540 MPa ;soit pour le modèle :- εuk = 5 %;- fyk = 500 MPa;- εud = 4,5 %;- ftd = 536 MPa.

On prendra pour la classe C (dimensionne-ment en DCM ou DCH) :- εuk = 7,5 % ;- fyk = 500 MPa ;- ft = 575 MPa ;soit pour le modèle :- εuk = 7,5 %;- fyk = 500 MPa;- εud = 6,75 %;- ftd = 567 MPa.

Pour les aciers de précontrainte conformes à la norme EN 10138-2 (fi ls) ou EN 10138-3 (torons) :

- εuk = 3,5 % ;- εud = 3,15 %.

Longueur de rotule plastique

Préconisations issues de l’Annexe E de l’EN1998-2

Pour une rotule plastique dont la forma-tion s’effectue à la jonction supérieure ou inférieure d’une pile avec le tablier ou la fondation (fondation ou semelle), avec une armature longitudinale de limite d’élasticité caractéristique fyk (en MPa) et un diamètre de barre dα , la longueur de la rotule plasti-que Lp peut être prise égale à :

+= (E.19)

où L est la distance entre la section de la rotule plastique et la section de moment nul, sous l’effet de l’action sismique.

L’estimation ci-dessus de la capacité de rotation plastique est valable pour les piles avec un rapport de portée d’effort tran-chant.

≥=α (E.20)

schéma du dispositif de

chargement sur un poteau

62


Pour 1,0 ≤ αs < 3,0, il convient de multiplier la capacité de rotation plastique par le coef-fi cient de réduction.

( ) α=αλ

Les valeurs retenues pour les longueurs de rotules plastiques sont les suivantes :- pour les modélisations par éléments fi nis

avec des éléments de Timoshenko Lp = h hauteur totale de la section.

- pour les modélisations par intégration des courbures avec la méthode de Simpson la longueur de rotule plastique est donnée par la formule E19 ci-avant.

Comparaison des modélisations avec

les résultats d’essai

Rappelons que des essais cycliques ont été réalisés au JRC d’Ispra sur des poteaux de hauteur 2,93 m et de section 300 x 300 mm [6] (cf. fi gures 18 et 19). La fi gure ci-après montre le dispositif chargement. Ces essais ont été réalisés sur des poteaux avec dif-férentes valeurs de l’effort réduit normal et différents pourcentages d’armatures longi-tudinales.Le chargement cyclique qui a été imposé se compose de :- trois cycles avec un niveau de charge-

ment constant équivalent à 160 mm

Section poteau hi - bi

h 300 h0

275 137,5

b 300 b0

275 137,5

Armatures longitudinales Armatures transversalesns Y

s (mm) A

s (mm2) φ

w5

3 22 462 fykw

500

2 150 308 fykw

500

3 278 462 fymw

575

n 8 εsuw

0,075

Astot

= 1 232 s 45

ρl

1,37 % asw

19,6

φl

14,0 αn

0,67

c 10,0 αs

0,84

Loi acier (1 ou 2) 1 ωw,d

0,156

Es (MPa) = 200 000 ρ

w,b0,0054

fykl

530 σe

1,8

εsudl

11,00 %

γs

1

K = ft/f

yk = 1,170

εp0

0,00 %

εp1

0,00 % Pertes 100,0 %

Bétonfck

45 λc 1,21

fcm

53 fcm,c

64

γc = 1,3 εc1,c

0,41 %

αcc = 1 εcu,c

0,91 %

φeff = 0 fcd,c

49

fcd

35 Confi nement (0/1) 1

Ecm = 36 283 Précontrainte (Mpa) 0,0

γcE = 1

fct = 0

Rtrac = 4


63

(pour le déplacement du vérin de charge-ment ???) ;

- puis des cycles avec des niveaux de chargement croissants (augmentation de 20 mm par cycle jusqu’à la rupture du poteau).

Trois séries d’essais ont été retenues dans le cadre de notre étude.

Essai A3 – A4Effort normal réduit 7 % (N = 143 kN).Pourcentage d’armatures longitudinales 1.37 % (8 φ 14).Armatures transversales cadres HA5/45 mm (soit ρw = 0,54 %).Résistance du béton fcm = 53 MPa.

Essai A1_1 – A2_1Effort normal réduit 7 % (N = 143 kN).Pourcentage d’armatures longitudinales 2,26 % (8 φ 18).Armatures transversales cadres HA8/60 mm

(soit ρw = 1,05 %).Résistance du béton fcm = 52 MPa.

Essai B1_1 – B2_1Effort normal réduit 16 % (N = 327 kN).Pourcentage d’armatures longitudinales 2,26 % (8 φ 18).Armatures transversales cadres HA8/60 mm (ρw = 1,05 %).Résistance du béton fcm = 51 MPa.

Modèle par intégration des courbures

avec la méthode de Simpson : repro-

duction de la ductilité des poteaux

Les essais précédents ont été modélisés à l’aide d’un outil de calcul sur tableur Excel.Les effets du 2nd ordre ne sont pas pris en compte dans le calcul compte tenu du mode de chargement retenu pour l’essai (force dirigée selon la corde du poteau). Le tableau ci-après présente les hypothèses de calcul pour les essais A3 – A4.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 50 100 150 200 250 300

Déplacement (mm)

Eff

ort

résis

tan

te

ntê

te(k

N)

simulation jusqu'au pic d'effort

enveloppe des essais cycliques


Poteau A3 A4 n = 7 % ros = 1,37 %

Calcul des résultats de calcul avecles résultats d’essaisPoteau A3

Calcul des résultats de calcul avecles résultats d’essaisPoteau A1

Poteau A1_1 A2_1 n = 7 % ros = 2,26 %

0

10

20

30

40

50

60

0 50 100 150 200 250 300 350

Déplacement (mm)

Effo

rtré

sist

ante

ntê

te(k

N)




64


Les valeurs probables des résistances (acier, béton) sont utilisées (résultats d’es-sai), un coeffi cient de sécurité de 1,3 sur le béton est conservé.Les résultats force – déplacement obtenus

sont comparés à l’enveloppe des essais cycliques sur les graphes ci-après.Les valeurs issues des simulations sont satisfaisantes tant sur le plan des efforts, des rigidités et de la ductilité.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100 150 200 250 300 350

Déplacement (mm)

Eff

ort

résis

tan

te

ntê

te(k

N)




Poteau B1_1 B2_1 n = 16 % ros = 2,26 %

Calcul des résultats de calcul avec

les résultats d’essaisPoteau B1

Maillage de la section du poteau


65

Modèle par éléments fi nis : reproduction

de l’amortissement hystérétique

La calibration qui suit a été faite à partir des résultats de l’essai A3 décrit ci-avant.Ainsi, par comparaison avec les résultats issus de la modélisation par éléments fi nis, nous avons pu caler le coefficient λ qui intervient dans le calcul de l’amortissement total. Rappelons que ce coeffi cient est défi ni comme étant le rapport entre l’énergie dis-sipée simulée et l’énergie dissipée mesurée lors de l’essai :

( )( )=λ

La simulation de l’énergie dissipée par cycle de chargement a été réalisée en utilisant le modèle à fi bre de Castem. Les maillages de la section sont donnés sur la fi gure ci-après :

La section est composée de :- 8 éléments modélisant les aciers transver-

saux ;- 28 éléments modélisant le béton non-

confi né ;- 36 éléments modélisant le béton confi né.

Le confi nement est assuré par des arma-tures transversales de diamètre 5 mm et espacées de 45 mm.

L’effet P - Δ a été pris en compte dans la modélisation (calcul au second ordre). La force horizontale a été corrigée afin de prendre en compte l’effet de l’inclinaison de la charge verticale.

Les résultats des simulations ainsi que ceux de l'essai expérimental A3 sont présentés sur la fi gure suivante. On constate que les prédictions des simulations par la méthode des éléments finis en terme de courbe enveloppe sont proches des résultats des essais.

La valeur de l’énergie dissipée (surface de la boucle d’hystérésis) par cycle de charge-ment est donnée dans le tableau suivant.

Énergie dissipéeNuméro cycle

Essai (N.m) Calcul (N.m)( )( )=λ

1 9 663,87 13 331,94 0,72

2 8 068,26 12 965,60 0,62

3 7 839,96 13 463,12 0,58

4 9 736,37 15 426,79 0,63

5 11 687,15 17 808,12 0,66

6 13 288,75 18 901,85 0,70

7 13 894,77 21 515,63 0,65

Valeur de l’énergie dissipée par cycle

de chargement

Résultats des simulations par éléments fi nis et

comparaison avec l’essai A3

66


Ce dernier tableau montre que la valeur moyenne du coeffi cient λ est de 0,65 avec un écart type égale à 0,05. Cette valeur moyenne a été retenue pour λ.


67

Annexe II – Exemple bâtiment industriel

Modèle élastique linéaire : calculs par la

méthode des forces latérales

Section

poteauxa 0,5 m

Inertie

poteauxI 0,00521 m4

Hauteur h 6 m

Coef.

fi ssurationα 0,5

Résistance

bétonfck

50 MPa

Module

élastiqueEm 037278.E+06 N/m2

Rigidité

latérale

poteau

K 1348303 N/m

Rayon

fondationR 0,95 m

Masse vol.

solρ 2 200 kg/m3

Vitesse

ondes solvs 300 m/s

Module sol G 000198.E+06 N/m2

Réduction

déf. max0,5

Rigidité

rotation

fondation

Kφ 323352857 Nm/rad

Rigidité

latérale

fondation

K’ 8982024 N/m

K/K’ 0,15

Rigidité

latérale

résultante

Kres

1172324 N/m

Chargement

relatif

poteaux

η 5 %

Masse

toitureM 49008 kg

Période

rigidité

poteau

T 1,20 s

Période

rigidité

résultante

Tres

1,28 s

Coeffi cient de

comportementq 1

Vérifi cation selon la formule de Rayleig

g 9,81 N/m2

mg 480769 N

dg 0,357 m

Tr

1,194 s

Texact

1,198 s

Spectre de réponse

Tb

0,1 s

Tc

0,6 s

Td

0,5 s

S 1,6

a 1,6 m/s2

β 0,2

Actions sismiques et déplacementhorizontal

sd/a 2,004 1,868

FE(N) 157101 146490

ds(m) 0,1165 0,1250

θ 0,06 0,07

νdr(m) 0,0078 0,0083

68


Prédimensionnement des poteaux pour

un coeffi cient de comportement égal à 4,5

Section poteau hi - bi

h 500 h0

432 216

b 500 b0

432 216

Armatures longitudinales Armatures transversalesns Y

s (mm) A

s (mm2) φ

w8

3 45,75 566 fykw

500

2 250 377 fydw

500

3 454,25 566 fymw

575

n 8 εsuw

0,075

Astot

= 1510 s 175

ρl

0,60 % ωsw

0,08

φl

15,5 αn

0,67

c 30 αs

0,64

Loi acier (1 ou 2) 1 ωw,d

0,08

Es (MPa) = 200000 ρ

w0,0080

fykl

500 σe

2,0

εsudl

7,50 %

γs

1

K = ft/f

yk = 1,1

εp0

0,00 %

εp1

0,00 % Pertes 100,0 %

Bétonfck

50 λc 1,22

fcm

58 fcm,c

71

γc = 1 εc1,c

0,42 %

αcc = 1 εcu,c

1,08 %

φeff = 0 fcd,c

71

fcd



γcE = 1

fct = 0

Rtrac = 4

0.0E+00

1.0E+04

2.0E+04

3.0E+04

4.0E+04

5.0E+04

6.0E+04

0 50 100 150 200 250

flèche 1er ordre

flèche 2nd ordre

flèche 2nd ordre simpl.

Série 4

Eff

ort

ho

rizo

nta

le

ntê

te (

N)

Flèche (mm)


69

Annexe III – Essais Ecoleader – Résultats calcul élastique pour le poteau « équivalent »

Caractéristiques du poteau équivalent

Section

poteauxa 0,45 m

Section

poteauxb 1,8 m

Inertie

poteauxI 0,01367 m4

Hauteur h 5 m

Coef.

fi ssurationα 0,5

Résistance

bétonfck

40 MPa

Module

élastiqueEm 035220.E+06 N/m2

Rigidité

latérale

poteau

K 5777036 N/m

Chargement

relatif

poteaux

η 2,89 %

Masse

toitureM 73394 kg

Période

rigidité

poteau

T 0,71 s

Coeffi cient de

comportementq 1

Résultats du calcul élastique pour une

valeur d’accélération de 0,72 g

Vérifi cation selon la formule de Rayleigg 9,81 N/m2

mg 720000 N

dg 0,125 m

Tr

0,706 s

Texact

0,708 s

Spectre de réponseT

b0,15 s

Tc

0,5 s

Td

0,2 s

S 1,2

a 7,0632 m/s2

β 0,2


sd/a 2,118

FE(N) 1097987

ds(m) 0,1901

θ 0,02

νdr(m) 0,0152

Résultats du calcul élastique pour une

valeur d’accélération de 0,36 g

Vérifi cation selon la formule de Rayleig

g 9,81 N/m2

mg 720000 N

dg 0,125 m

Tr

0,706 s

Texact

0,708 s

Spectre de réponse

Tb

0,15 s

Tc

0,5 s

Td

2 s

S 1,2

a 3,5316 m/s2

β 0,2


sd/a 2,118

FE(N) 548993

ds(m) 0,0950

θ 0,02

νdr(m) 0,0076

70


Annexe IV – Résultats de l’étude paramétrée

Po

tea

ux D

CH

géom

étrie

haut

eur s

ectio

na

500

500

500

500

larg

ueur

sec

tion

b50

050

050

050

0ha

uteu

r pot

eau

h65

0065

0065

0060

00él

ance

men

t pot

eau

λ90

9090

83ré

sist

ance

bét

onf ck

4040

4040

arm

atur

es lo

ngitu

dina

les

ρ l1.

01%

1.97

%1.

97%

1.97

%ra

tio a

rmat

ures

tran

sver

salle

sρ w

,b0.

37%

0.38

%0.

38%

0.38

%ra

tio m

écan

ique

vol

umiq

ue a

rmat

ures

tran

sver

salle

sω

w,d

0.12

10.

123

0.12

30.

123

préc

ontra

inte

P/A

c0.

00.

00.

00.

0ra

tio d

e pr

écon

train

te /

sect

ion

béto

nη P

0.00

%0.

00%

0.00

%0.

00%

ratio

effo

rt no

rmal

ext

erne

/se

ctio

n bé

ton

η N5.

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2004

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2004

2004

2004

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0.44

0.39

0.34

0.40

0.42

0.35

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441.

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392.

541.

682.

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152.

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38μθ

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/ μθ

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0.45

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1.00

1.00

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1.00

1.15

1.15

1.11

72


Po

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K0.

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45

μdéq

uiv

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131.

701.

33μθ

utille

/ μθ

max

0.67

1.00

1.00

1.00


73

Poteau DCM

Sollicitation selon la diagonale

Hypothèses de calcul

Armatures longitudinales Armatures transversales

φl

20 φw

8

c 15 000 fykw

500

Loi acier (1 ou 2) 1 fydw

500

Es (MPa) = 200000 f

ymw575

fykl

500 εsuw

0,05

εsudl

4,50 % s 150

γs

1 asw 50,3

K = ft/f

yk = 1,170 αυ 0,67

εp0

0,00 % ασ 0,70

εp1

0,00 % ωω,δ 0,080

Pertes 100,0 % ρω,β 0,0025

σε 0,7

Béton

fck

40 λc 1,09

fcm

48 fcm,c

52,47

γc = 1,3 εc1,c

0,29 %

αcc = 1 εcu,c

0,59 %

φeff = 0 fcd,c

40

fcd



γcE = 1

fct = 0

Rtrac = 4

Section poteauNombre de points 5

Cote yb Largeur Largeur

conf.

1 0 0 0

2 26,9 53,7 0

3 354 707 653,4

4 680,2 53,7 0

5 707,1 0 0

6

7

8

9

10

h_section 707

Surface 250000

Armatures longitudinales Astot = 2513

Nombre

ρde lits

5 Répartition

angles

100 %

Lits Nb armatures ys (mm) A

s (mm2)

1 0,25 42.52691193 628

2 0 190.2117241 0

3 0,5 354 1257

4 0 516.895057 0

5 0,25 664.6 628

6

7

8

9

n 0,75

Astot

= 2513

ρl 1,01 %

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