1

KVADRATNA NEJEDNAČINA ZNAK KVADRATNOG TRINOMA

Kvadratne nejednačine su oblika:

0000

2

2

2

2

≤++

<++

≥++

>++

cbxaxcbxaxcbxaxcbxax

gde je x-realna promenljiva (nepoznata) i a,b,c su realni brojevi, .0≠a U delu kvadratna funkcija smo analizirali kako može izgledati grafik kvadratne funkcije u zavisnosti od znaka a i D. Podsetimo se:

1) ⇒>> 0,0 Da 2) 00,0 ≥⇒=> yDa uvek 3) 00,0 >⇒<> yDa uvek

4) ⇒>< 0,0 Da 5) 00,0 ≤⇒=< yDa uvek 6) 00,0 <⇒<< yDa uvek Naravno cbxaxy ++= 2 Primer 1) Odrediti znak trinoma: a) 4113 2 −− xx b) 45 2 +−− xx v) 4129 2 ++ xx g) 962 −−− xx

Rešenja a) Najpre rešimo odgovarajuću kvadratnu jednakost: 3x2 –11x –4 =0

2

411

3

−=−=

=

cba

169

4812142

=+=−=

DD

acbD

31

62

46

13112

2

1

2,1

−=−=

=

±=

±−=

x

xa

Dbx

Pošto je 03 >=a i 0169 >=D (prva situacija):

04113 2 >−− xx za ( )∞∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−∈ ,4

31,x

04113 2 <−− xx za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈ 4,

31x

b) 045 2 =+−− xx → PAZI: nema množenja i deljenja nekim brojem!!!

4

15

=−=−=

cba

81

801=

+=DD

54

108

110

91

2

1

2,1

=−−

=

−=−±

=

x

x

x

Pošto je 0,0 >< Da (situacija 4)

045 2 >+−− xx za ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

54,1x

045 2 <+−− xx za ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞∪−∞−∈ ,

541,x

v) 04129 2 =++ xx

4129

===

cba

0

144144=

−=DD

32

32

1812

18012

2

1

2,1

−=

−=−=

±−=

x

x

x

Pošto je 0>a i 0=D → 04129 2 ≥++ xx uvek a ovo vidimo i iz 0)23( 2 ≥+x

3

g) 962 −−− xx

961

−=−=−=

cba

0

3636=

−=DD

33

206

2

1

2,1

−=−=−±

=

xx

x

Pošto je 0<a i 0=D → 0962 ≤−−− xx uvek, tj za Rx∈∀ Ovo vidimo i iz transformacije: 0)3()96(96 222 ≤+−=−−−−−− xxxxx Primer 2: Reši nejednačinu: 0)32()54( 22 <−+⋅−− xxxx Rešenje: Ovo je složeniji oblik nejednačina, gde možemo upotrebiti i već poznat šablon:

)0,0()0,0(0 ><∨<>⇔<⋅ BABABA Naša preporuka je da ovakve zadatke rešavate pomoću tablice!!! Najpre ćemo obe kvadratne jednačine rastaviti na činioce:

))(( 21

2 xxxxacbxax −−=++

⇒=−− 0542 xx , pa je )5)(1(542 −+=−− xxxx

⇒=−+ 0322 xx pa je )3)(1(322 +−=−+ xxxx Sada posmatramo nejednačinu: 0)3)(1)(5)(1( <+−−+ xxxx Pravimo tablicu:

51

2

1

=−=

xx

31

2

1

−==

xx

4

-∞ ∞x+1 x-5 x-1 x+3

(x+1)( x-5) (x-1)(x+3)

Dakle, svaki od izraza ide u tablicu, a u zadnjoj vrsti je ‘’ono’’ što nam treba, tj. ceo izraz. Brojevnu pravu (gornja linija od - ∞ do ∞ ćemo podeliti na 5 intervala) Iznad ovih vertikalnih linija ćemo upisati brojeve.(koje?) To brojevi su rešenja kvadratnih jednačina, dakle -1,5,1 i -3 samo ih poredjamo od od najmanjeg do najvećeg:-3,-1,1,5 -3 -1 1 5

-∞ ∞x+1 - x-5 - x-1 - x+3 -

(x+1)( x-5)( x-1)(x+3)

Dakle biramo bilo koju broj iz svakog od 5 intervala i zamenjujemo u izraze x+1, x-5, x-1 i x+3; ne zanima nas koji broj ispadne već samo njegov znak + ili – koji upisujemo u tablicu.Recimo, u intervalu (-∞,-3) izaberemo broj -10, pa ga menjamo redom: x+1=-10-5=-9 → uzmemo – (upisan u tablicu) x-5=-10-5= -15 → – upišemo u tablicu x-1=-10-11=-11 → + upišemo u tablicu x+3=-10+3=-7 → - upišemo u tablicu Izmedju -3 i -1 izaberemo -2, itd... Dobili smo: -3 -1 1 5

-∞ ∞x+1 - - + + + x-5 - - - - + x-1 - - - + + x+3 - + + + +

(x+1)( x-5)( x-1)(x+3)

+ - + - +

Onda sklopimo:

5

→ 4 minusa daju + → 3 minusa i plus daju – → 2 minusa i 2 plusa daju + → 3 plusa i 1 minus daju – → 4 plisa daju + na ovaj način mi smo rešili dve nejednačine:

0)32)(54(0)32)(54(

22

22

>−+−−

<−+−−

xxxxxxxx

Pošto je naš zadatak da rešimo prvu, 0)32)(54( 22 <−+−− xxxx , biramo u konačnom rešenju gde su minusi: )5,1()1,3( ∪−−∈x Primer 3: Rešiti nejednačinu:

01

432

2

>−

+−xxx

Rešenje:

0432 =+− xx

4

31

=−=

=

cba

7

16942

−=−=−=

DD

acbD

PAZI: pošto je 0>a i 0<D onda je 0432 >+− xx za x∀ !!! Dakle, mora biti 01 2 >− x Posmatrajmo kvadratnu jednačinu: 01 2 =− x

Zaključujemo )1,1(−∈x

10

1

==−=

cba

41)1(402

=⋅−⋅−=

DD

11

220

2

1

2,1

=−=−±

=

xx

x

6

Primer 4: Za koje realne vrednosti x razlomak 1252

2

2

−−−+−

xxxx manji od -1?

11252

2

2

−<−−−+−

xxxx PAZI: Moramo prebaciti -1 na levu stranu i to ‘’srediti’’

0126

012

1252

011252

2

2

2

22

2

2

<−−−+

<−−

−−+−+−

<+−−−+−

xxxx

xxxxxx

xxxx

Sad tek idemo ''klasično'' ⇒=−+ 062 xx )3)(2(62 +−=−+⇒ xxxx ⇒=−− 012 2 xx

Sada rešavamo: 0

21)1(2

)3)(2(<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

xx

xx

-∞ -3 21 1 2 ∞

x-2 - - - - + x+3 - + + + + x-1 - - - + +

x+21

- - + + +

0

21)1(2

)3)(2(<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−

xx

xx + - + - +

Rešenje: )2,1(21,3 ∪⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈x

32

2

1

−==

xx

21

1

2

1

−=

=

x

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=−−⇒

21)1(12 2 xxxx

7

Primer 5: Data je funkcija 2)1(2)1( 22 +−+−= xrxry . Odrediti realan parameter r tako da funkcija bude pozitivna za svako realno x

2)1(2)1( 22 +−+−= xrxry

02)1(2)1( 22 >+−+− xrxr Da bi funkcija bila pozitivna mora da je: 0>a i 0<D

2

)1(212

=−=−=

crb

ra

),1()3,( ∞∪−−∞∈r ),1()1,( ∞∪−−∞∈r

Upakujmo sad ova dva rešenja:

),1()3,( ∞∪−−∞∈r Konačno rešenje

[ ]

128488484

88)12(4)1(8)1(4

2)1(4)1(2

4

2

22

22

22

22

2

+−−=

+−+−=

+−+−=

−−−=

⋅−−−=

−=

rrDrrrD

rrrDrrDrrD

acbD

31

242

032)4(:/01284

2

1

2,1

2

2

−==

±−=

>−+

−<+−−

rr

r

rrrr

11

0101

0

2

1

2

2

=−==−

>−

>

rrrra

8

Primer 6: Odrediti sve realne vrednosti parametra r za koje je funkcija 42)2(22 ++++= rxrrxy negativna za svako realno x.

042)2(22 <++++ rxrrx

da bi funkcija bila negativna mora da važi: 0<a i 0<D

42

)2(2+=+=

=

rcrb

ra

22

04)4(:/0164

2

1

2

2

−==

>−

−<+−

rrr

r

00

<<

ra

),2()2,( ∞∪−−∞∈r Upakujmo rešenja:

)2,( −−∞∈r konačno rešenje Primer 7: Odrediti k tako da je za svako x ispunjava nejednakost

211

2

2

<++++

xxkxx

21122

11

2

2

2

2

<++++

<−⇒<++++

xxkxx

xxkxx

Dakle, ovaj zadatak zahteva rešavanje dve nejednačine:

[ ]

16416816164168)44(4

)42(4)2(4)42(4)2(2

4

2

2

22

2

2

2

+−=

−−++=

−−++=

+−+=

+⋅−+=

−=

rDrrrrDrrrrD

rrrDrrrD

acbD

9

1) Rešimo

112 2

2

++++

<−xxkxx

0211

2

2

>+++++

xxkxx

0

13)2(3

01

2221

2

2

2

22

>++

+++

>++

+++++

xxkxx

xxxxkxx

012 =++ xx

111

===

cba

3

4142

−=−=−=

DD

acbD

Kako je 0>a i ⇒< 0D 012 >++ xx za x∀ pa ne utiče na razmatranje!!! 03)2(3 2 =+++ kxx , da bi 03)2(3 2 >+++ kxx mora biti 0,0 <> Da

3

23

=+=

=

ckb

a

3243644

334)2(

2

2

2

−+=

−++=

⋅⋅−+=

kkDkkD

kD

84

03240324

2

1

2

2

−==

=−+

<−+

kk

kkkk

)4,8(−∈k

2) Rešavamo:

01

1)2(

01

2221

02112

11

2

2

2

22

2

2

2

2

<++

−−+−

<++

−−−++

<−++++

⇒<++++

xxxkx

xxxxkxx

xxkxx

xxkxx

10

Kako je 012 >++ xx , to mora biti:

1)2()1/(01)2(

2

2

+−−

−>−−+−

xkxxkx

⇒< 0D

4,004 212 ==⇒=− kkkk

)4,0(∈k

Upakujemo oba rešenja:

Dakle, konačno rešenje je: )4,0(∈k

[ ]

044444)2(

2

2

2

<−=

−+−=

−−−=

kkDkkD

kD