Embed Size (px)
Citation preview
1
KVADRATNA JEDNAČINA 02 =++ cbxax Jednačina oblika 02 =++ cbxax , gde je −x nepoznata. ba, i c realni brojevi, ,0≠a je kvadratna jednačina po x sa koeficijentima ba, i c . Kvadratna jednačina je potpuna ako su koeficijenti 0≠b i 0≠c . Ako je 0=b ili 0=c (ili oba) onda je kvadratna jednačina nepotpuna. Nepotpuna kvadratne jednačine se rešavaju relativno lako.
Nepotpune kvadratne jednačine
Primeri:
0)52(052 2
=+=+
xxxx
0=x ∨
Potpuna kvadratna jednačina: 02 =++ cbxax
Kvadratna jednačina ima dva rešenja: označavamo ih sa 1x i 2x i tradicionalno se piše
2
1,24
2b b acx
a− ± −
= www.matematiranje.com
0)(02
=+=+baxxbxax
0=+bax0=x ∨
abx −=
abx
acx
caxcax
−±=
−=
−=
=+
2
2
2 00
02
==
xax
2552
052
−=
−==+
x
xx
23
2323
49
4994
094
2
1
2
2
2
−=
=
±=
±=
=
=
=−
x
x
x
x
x
xx
00
5005
21
2
2
===
=
=
xxx
x
x
2
Primer 1) Reši jednačine: a) 026 2 =−− xx b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx a) 026 2 =−− xx Pazi, kad nema broj ispred nepoznate uzimaš 1.
22
1,2
1,2
1
2
( 1) ( 1) 4 6 ( 2)42 2 6
1 49 1 1712 12
1 7 8 212 12 3
1 7 6 112 12 2
b b acxa
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −− ± −= =
⋅± ±
= =
+= = =
− −= = = −
b) 0122 =+− xx v) 0542 =+− xx Dakle: Pazi jer je:
www.matematiranje.com
21
6
−=−=
=
cba
12
1
=−=
=
cba
22
1,2
1,2
1
2
( 2) ( 2) 4 1 142 2 1
2 4 4 2 02 2
2 122 12
b b acxa
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅− ± −= =
⋅± − ±
= =
= =
= =
54
1
=−=
=
cba
2
1,2
1,2
4 ( 4) 16 202 2 1
4 4 4 2 22 2
b b acxa
ix
− ± − − − ± −= =
⋅± − ±
= = =(2 )
2i± 2 i= ±
1
2
22
x ix i= += −
i
i
=−
=−=−
1
2)1(44
3
Primer 2) Rešiti jednačinu:
xxxx 112)2)(1()32( 2 −=+−+− Rešenje: →=+ 012x Nepotpuna kvadratna jednačina
ixix
x
x
−=+=−±=
−=
2
1
2
1
1
Primer 3) Rešiti jednačinu:
→−
=+
−− 4
82
32 2xxxx najpre rastavimo na činioce imenilac
→+−
=+
−− )2)(2(
82
32 xxxxx Množimo sve sa NZS )2)(2( +−= xx uz uslov:
i →=−− 022 xx Sad radimo kao kvadratnu jednačinu
→==+
= 224
231
1x PAZI: nije rešenje jer 2≠x
→−=−
=−
= 122
231
2x Dakle 1x = −
Primer 4) Grupa dečaka treba da podeli 400 klikera na jednake delove. Pre deobe 4 dečaka se odreknu svog dela, zbog čega je svaki od ostalih dobio po 5 klikera više. Koliko je u toj grupi bilo dečaka? Obeležimo sa x-broj dečaka, y- broj klikera po dečaku
www.matematiranje.com
5:/0550112229124
112)2)(1()32(
2
22
2
=+
=+−−−+++−
−=+−+−
xxxxxxx
xxxx
2≠x 2−≠x08632
8)2(3)2(2 =−+−+
=−−+
xxxxxx
21
1
−=−=
=
cba
231
2)2(14)1()1(
24
2,1
22
2,1
±=
−⋅⋅−−±−−=
−±−=
x
aacbbx
4
→=+⋅−=⋅
____________________________400)5()4(
400yx
yx Sredimo ovu drugu jednačinu...
40020454004002045=−−+=−−+
yxyxxy
→=−− 02045 yx Iz prve jednačine izrazimo x
y 400=
xx
x ⋅=−⋅− /02040045
→=−− 02016005 2 xx (poredjamo) →=−− 01600205 2 xx (podelimo sa 5)
→=−− 032042 xx sad radimo kvadratnu jednačinu
Nemogućex
x
x
aacbbx
→−=−
=
=+
=
±=
±=
+±=
−⋅⋅−−±−−=
−±−=
162364
202364
2364
212964
21280164
2)320(14)4()4(
24
2
1
2,1
22
2,1
Dakle bilo je 20 dečaka u grupi.
Priroda rešenja kvadratne jednačine Diskriminanta (D) kvadratne jednačine 02 =++ cbxax je izraz acb 42 − (ono pod korenom) Dakle: 2 4D b ac= −
Sada formulu za rešavanje možemo zapisati i kao: aDbx
22,1±−
=
Za kvadratnu jednačinu cbxax ++2 sa realnim koeficijentima važi: 1) Jednačina ima dva rezličita realna rešenja ako i smo ako je 0>D
21( xx = R∈ 21 xx ≠ akko )0>D 2) Jednačina ima jedno dvostruko realno rešenje ako i samo ako je 0=D
21( xx = R∈ akko )0=D www.matematiranje.com
3204
1
−=−=
=
cba
5
3) Jednačina ima jedan par konjugovano kompleksnih rešenja akko je 0<D biaxbiax −=+= 21 ,( akko )0<D
Primer 1) Ispitati prirodu rešenja kvadratnih jednačina u zavisnost od parametara: a) 032 =++ mxx b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn a) 032 =++ mxx ⇒
mmacbD 491434 22 −=⋅⋅−=−= 1) 0>D ⇒ 049 >− m →−>− 94m PAZI: Okreće se znak
49
49
<
−−
<
m
m
2) 0=D ⇒ 049 =− m ⇒ 49
=m
3) 0<D ⇒ 049 <− m ⇒ 49
>m
Dakle: - za 49
<m rešenja su realna i različita
- za 49
=m rešenja su realna i jednaka
- za 49
>m rešenja su konjugovano-kompleksni brojevi
b) 05)1(2)3( 2 =−++−+ nxnxn
5)1(2
3
−=+−=
+=
ncnb
na ⇒ PAZI: ovde je odmah 03 ≠+n da bi jednačina bila kvadratna
www.matematiranje.com
mcba
===
31
6
[ ]22
2 2
2
4 2( 1) 4( 3)( 5)
4( 2 1) 4( 5 3 15)
4
D b ac n n n
n n n n n
n
= − = − + − + −
= + + − − + −
= 28 4 4n n+ + − 20 12 6016 64
n nD n
+ − += +
1) 0>D 16 64 0 16 64 4, 4n n n n+ > ⇒ > − ⇒ > − > − Rxx ∈≠ 21 2) 0=D 16 64 0 4n n+ = ⇒ = − Rxx ∈= 21 3) 0<D 16 64 0 4n n+ < ⇒ < − 1x i 2x su konjugovano-kompleksni brojevi. Primer 2) Za koje vrednosti parametra Rk ∈ jednačina 02)1(2 =+++ xkkx ima dvostruko rešenje? Rešenje: Ovde nam treba da je 0=D i naravno 0≠a , jer ako je 0=a jednačina nije kvadratna. 02)1(2 =+++ xkkx ⇒ ⇒ 0≠k
0161681224)1(4
2
2222
=+−=
+−=−++=⋅⋅−+=−=
kkDkkkkkkkacbD
Sada rešavamo novu kvadratnu jednačinu ‘’po k’’ 0162 =+− kk ⇒
22
1,2( 6) ( 6) 4 1 14 6 32
2 2 2Malo sredimo : 32 16 2 4 2
b b acka
− − ± − − ⋅ ⋅− ± − ±= = =
= ⋅ =
Pa je:
www.matematiranje.com
21
=+=
=
ckbka
16
1
=−=
=
cba
7
( )
223
223
2232
22322
246
2
1
2,1
−=
+=
±=±
=±
=
k
k
k
Ovo su rešenja za koja jednačina ( početna ) ima dvostruko rešenje!!! Primer 3) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 142 +− xmx ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde dakle mora biti 0>D i naravno 0≠a
1
40
=−=
≠⇒=
cb
mma
nula ne sme! Dakle, rešenje je )4,0()0,( ∪−∞∈m Primer 4) Za koje vrednosti parametra m jednačina mxx +−82 ima konjugovano-kompleksno rešenja? Rešenje: Mora biti 0<D i 0≠a
mcba
=−=≠=8
01
Primer 5) Za koje vrednosti parametra Rk∈ jednačina 0362 =++ xkx nema realna rešenja? Rešenje: Kad nema realna rešenja, znači da su konjugovano kompleksna, odnosno 0<D i naravno 0≠a .
www.matematiranje.com
41640416
046414)4(
42
2
<−>−>−
>−=⋅⋅−−=
−=
mmm
mDmD
acbD⇒
⇒
),16(16644
046414)8(
42
2
∞∈⇒>−<−
<−=⋅⋅−−=
−=
mmm
mDmD
acbD
8
0362 =++ xkx ⇒ ⇒ 0≠k
),3(33612
012361236346
42
2
∞∈⇒>−<−<−
−=⋅⋅−=
−=
kkkk
kkDacbD
Primer 6) Za koje vrednosti parametra Rm∈ jednačina 05,2)12()12( 2 =++−+ xmxm ima realna i različita rešenja? Rešenje: Ovde je 0>D i 0≠a
0≠a ⇒ 012 ≠+m ⇒ 21
−≠m
[ ] [ ]
2
2
2
2
2
4
(2 1) 4 2 1 2,5
(2 1) 10(2 1)4 4 1 20 104 16 9 0
D b ac
D m m
D m mD m m mD m m
= −
= − + − ⋅ + ⋅
= + − +
= + + − −
= − − >
Rešimo najpre 09164 2 =−− mm
916
4
−=−=
=
cba
(Pogledaj kvadratne nejednačine):
www.matematiranje.com
36
===
cbka
5,2)12(
12
−=+−=
+=
cmb
ma
2
1,2
1,2
1
2
42
16 256 144 16 208 8
36 98 2
4 18 2
b b acma
m
m
m
− ± −=
± + ±= =
= =
= − = −
9
→> 0D biramo gde je +
www.matematiranje.com
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞∪⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞−∈ ,
29
21,m
