Upload
shaman
View
107
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval : Jan HAMERNÍK M – T V T / Z Š 3 . r o č n í k. Kvadratické funkce. hospodářská budova. x. výběh. x. 18 – 2x. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Jihočeská univerzita
v Českých BudějovicíchPedagogická fakulta
Katedra matematikyDidaktika matematikyAkademický rok: 2003 – 2004
Zpracoval:Jan HAMERNÍKM – T V T / Z Š3 . r o č n í k
Kvadratické funkce
Kvadratická funkce
Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší.
hospodářská budova
výběh x x
18 – 2x
Příklad 1:
Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů.
Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x
Sestavíme si tabulku:
x 1 2 3 4 5 6 7 8
(18 – 2x).x 16 28 36 40 40 36 28 16
Řešení:
Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y
Obrázek zřetelně ukazuje na syme- trické rozložení bodů podle přím- ky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho- dnota výrazu (18 – 2x) . x je maximální pro x = 4,5.
O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru.
Výraz – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x 4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) 2 + 40,5 < 40,5
Upravíme výraz (18 – 2x) . x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:
(18 – 2x) . x = – 2x2 + 18x = – 2(x2 – 9x + 4,52 – 4,52) = = – 2(x2 – 9x + 4,52) + 2 . 4,52 = – 2(x – 4,5) 2 + 40,5
Je tomu ale skutečně tak?
Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru y = ax2 + bx + c, kde a R – {0}, b, c R
Příklad č. 2:
Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m.s-1. Určete, jaké největší výšky dosáhne.
(Užijte vzorec ; g = 10 m.s-2. 2
2
1tgtvs
Řešení:
Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m
Použijeme výše uvedený vzorec:
Dále využijeme zadané g = 10 m.s-2
2
2
1tgtvs
Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t.
s510
50
g
vt
Dosadíme do vzorce:2
2
1tgtvs
m1251252502
250250510
2
1550 2 s
Příklad č. 3:
Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P = n - n2, kde = 0,455 43 m2.kg.s–2, = 0,455 43 m2.kg.s-1.
Příklad č. 4:
Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje
a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy;
b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.
Grafy kvadratických funkcí
Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x2
Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.
Obr.1 Obr. 2
Grafem kvadratické funkce y = x2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola.
Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x2 má tyto vlastnosti:
jejím oborem hodnot je interval 0,+; funkce je v intervalu ;0 klesající, v intervalu 0,+ rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.
Příklad č. 1:
Na obrázku je graf funkce h1: . Sestrojte pomocí
něho graf funkce h2: .
2
4
3xy
34
3 2 xy
Obr. 3
Řešení:
Pro každé x R je h2(x) = h1(x) – 3; např. pro x = – 2 je
0333)2(4
3)2( 2
2 h3)2(4
3)2( 2
1 h
Ke grafu funkce h2 dospějeme tedy od grafu funkce h1 posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y.
Obr. 4
Příklad č. 2:
Sestrojte graf funkce h3: , a to opět využitím
grafu funkce h1:2
4
3xy
2)1x(4
3y
Graf funkce h1.
Řešení:
Pro každé x R je h3(x – 1) = h1(x); např. pro x = 3 je
4
27)12(
4
3)2(h)1x(h,
4
273
4
3)3(h)x(h 2
332
11
Jestliže funkce h1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h3 v bodě x – 1Graf funkce h3 získáme z grafu funkce h1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x.
Obr. 5
Příklad č. 3:
Sestrojte graf funkce h5: .4
9
2
3
4
3 2 xxy
Nejdříve upravíme výraz doplněním
na druhou mocninu dvojčlenu.4
9
2
3
4
3 2 xxy
Řešení:
4
92
4
3
4
9
2
3
4
3
4
9
2
3
4
3 222 xxxxxx
314
3
4
9
4
312
4
3 22 xxx
Obr. 6
Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c?
2. Sestrojíme graf funkce
f1: y = ax2.
a
bc
a
bxacbxaxf
42:
222
2
3. Sestrojíme graf funkce
a
bc
a
bxacbxax
42
222
1. Upravíme nejprve výraz ax2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:
a to z grafu funkce f1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x,
přičemž
a
b
2
pro > 0 jde o posunutí ve směru
záporné poloosy x, a
b
2
pro < 0 o posunutí ve směru
kladné poloosy x, a
b
2
pro = 0 o posunutí o 0 jednotek
na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy x),
a
b
2
a o jednotek ve směru osy x,
přičemža
bc
4
2
pro > 0 jde o posunutí ve směru
kladné poloosy y, a
bc
4
2
pro < 0 o posunutí ve směru
záporné poloosy y, a
bc
4
2
pro = 0 o posunutí o 0 jednotek
na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy y,
a
bc
4
2
Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y.
Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax2 + bx + c v závislosti na hodnotách a.
Funkce y = ax2 + bx + c (a 0)
Oborem hodnot je
.
,
4
2
a
bc
Je rostoucí v . ,
2a
b
Je klesající v .
a
b
2,
Je zdola omezená, není shora omezená.
V bodě má minimum. a
bx
2
a > 0Obr. 7
Oborem hodnot je
.
a
bc
4,
2
Je rostoucí v .
a
b
2,
Je klesající v . ,
2a
b
Je shora omezená, není zdola omezená.
V bodě má maximum. a
bx
2
a < 0Obr. 8
Příklad č. 3:
Načrtněte grafy grafy těchto funkcí:
a) y = x2 – 2x + 3
b) y = – x2 – 6x – 8
c) y = – 2x2 + 5x – 1
d) y = – 0,5x2 + x + 2
e) y = 32 xx
Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic
Příklad č. 1:
Řešte nerovnici s neznámou x R
1352 22 xxx
Řešení:
Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:
062 xx
Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici
62 xxy
062 xx
256).1.(4)1(4 22 acbD
2
251
22,1
a
Dbx
x1 = – 3, x2 = 2
Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce má v nějakém bodě maximum (koeficient u x2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“.
62 xxy
Obr. 9
Řešte nerovnici s neznámou x R05,15,0 2 xx
Příklad č. 2:
Řešení:
Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici:
05,15,0 2 xx
2315,1.5,0.4)1(4 22 acbD
Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?
Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna x R.
5,15,0 2 xxy
Obr. 10
Příklad č. 3:
S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou x R.
a) x2 – 5x + 6 0
b) 2x2 – 5x + 2 < 0
c) – 2x2 + 6x – 9 0
d) x2 – 2x + 3 < 0