Kus lidského důvtipu…

Knihy na webu (raději v knihovně)

• Home / lib / M_Mathematics / MA_Algebra / MAco_Computational algebra /

• Chou S. C. Механическое доказательство теорем геометрии (ISBN 9027726507)

• Chou S.-C. Mechanical geometry theorem proving (1988)(ISBN 9027726507)(L)(T)(187s).djvu

• Size 4.5Mb Date Jan 15, 2005

+ WinDjView

Eliminace kvantifikátorůEliminace kvantifikátorů

Trochu odstrašující název…Trochu odstrašující název…

Budeme však pracovat s asi Budeme však pracovat s asi nejrozšířenější matematickou nejrozšířenější matematickou strukturou, s tělesem reálných čísel.strukturou, s tělesem reálných čísel.

ÚÚzká souvislost se středoškolskou zká souvislost se středoškolskou matematikou!matematikou!

1. Je pro všechna reálná 1. Je pro všechna reálná xx výraz výraz + 1 + 1 >> 0? 0?

ANO!ANO!

2x

Střední škola, kvadratické Střední škola, kvadratické rovnice…rovnice…

2. Kdy má kvadratická rovnice 2. Kdy má kvadratická rovnice = 0= 0

reálný kořen?reálný kořen?

Právě tehdy, když Právě tehdy, když ≥≥ 0 ! 0 !

Co se stalo? Zapišme:Co se stalo? Zapišme:

1. 1.

a tato formule obsahuje jedinou a tato formule obsahuje jedinou proměnnou proměnnou x x

vázanou obecným kvantifikátorem.vázanou obecným kvantifikátorem.

Ekvivalentní formule: kvantifikátor Ekvivalentní formule: kvantifikátor „zmizí“!„zmizí“!

2x px q

2 4p q

2 1 > 0x x

Ukázka eliminace Ukázka eliminace kvantifikátorů!kvantifikátorů!

Zmizela též vázaná proměnnáZmizela též vázaná proměnná x .x .

Ekvivalentní formule neobsahuje již Ekvivalentní formule neobsahuje již žádné proměnné. Například žádné proměnné. Například 0 0 << 1. 1.

Ale o pravdivosti takové formule lze Ale o pravdivosti takové formule lze snadno rozhodnout – snadno rozhodnout – platí !platí !

2.2.

Tato formule obsahuje vázanou Tato formule obsahuje vázanou proměnnou proměnnou xx

a dvě volné proměnné a dvě volné proměnné pp, , qq..

2 0x x px q

Volné proměnné Volné proměnné pp, , qq v v ekvivalentní formuli zůstaly! ekvivalentní formuli zůstaly!

Náhoda? Náhoda?

Tarski považován za jednoho z Tarski považován za jednoho z největších logiků lidské největších logiků lidské

historie.historie.

Věnoval se teorii množin, výrokové Věnoval se teorii množin, výrokové logice, logice prvního řádu a logice, logice prvního řádu a nekonečné logice, rozhodovacím nekonečné logice, rozhodovacím problémům, sémantice, teorii problémům, sémantice, teorii modelů, univerzální algebře, modelů, univerzální algebře, booleovské algebře a teorii svazů, booleovské algebře a teorii svazů, algebraické logice, teorii míry, algebraické logice, teorii míry, základům a metamatematice základům a metamatematice geometrie.geometrie.

Tarski dokázal, že eliminace Tarski dokázal, že eliminace kvantifikátorů v tzv. reálně kvantifikátorů v tzv. reálně

uzavřených tělesech je možná.uzavřených tělesech je možná. Věta 1Věta 1:: NechťNechť GG = =

je kvantifikovaná formule je kvantifikovaná formule zapsaná v prenexním tvaru, zapsaná v prenexním tvaru, v níž jsou proměnné volné a v níž jsou proměnné volné a proměnné vázané (tj.proměnné vázané (tj. QiQi , , i i = = m + m + 1, ..., 1, ..., nn značí buďto značí buďto existenční kvantifikátor existenční kvantifikátor nebo nebo obecný kvantifikátor obecný kvantifikátor ). ).

1 1 1 2 ... , ,...,m m n n nQ x Q x F x x x

jeje logickou logickou kombinací kombinací polynomiálních rovnic a nerovnic s polynomiálních rovnic a nerovnic s celočíselnými koeficienty celočíselnými koeficienty

v proměnnýchv proměnných Pak existuje formule Pak existuje formule HH

v proměnných v proměnných

která již neobsahuje která již neobsahuje

kvantifikátory a která je kvantifikátory a která je

ekvivalentní formuli ekvivalentní formuli GG. .

1 2, ,..., nF x x x

1 2, ,..., .nx x x

1 2, ,..., ,mx x x

Hlavní výsledek získal Tarski Hlavní výsledek získal Tarski v r. 1930 a jeho důsledky v r. 1930 a jeho důsledky

poprvé zmínil v tisku o rok poprvé zmínil v tisku o rok později.později.

Přetížení vědeckou prací, mnoho Přetížení vědeckou prací, mnoho jiných vědeckých zájmů…jiných vědeckých zájmů…

Trvalo devět let, než byla monografieTrvalo devět let, než byla monografie The completness of elementary The completness of elementary algebra and geometryalgebra and geometry obsahující obsahující tyto výsledky připravena do tisku.tyto výsledky připravena do tisku.

Sborník Actualités scientifiques et Sborník Actualités scientifiques et industrielles, Hermann & Cieindustrielles, Hermann & Cie , Paříž , Paříž 19391939

Zbyly dva exempláře Zbyly dva exempláře sloupcových korektur…sloupcových korektur…

Nová šance k Nová šance k publikování až v publikování až v souvislosti s projektem souvislosti s projektem RAND.RAND. Vznikla práceVznikla práce

A Decision Method for A Decision Method for Elementary Algebra and Elementary Algebra and GeometryGeometry (1948).(1948).

Teorie (prvního řádu) Teorie (prvního řádu) reálně uzavřených těles je reálně uzavřených těles je rozhodnutelná! rozhodnutelná!

Výpočetně krajně složité.Výpočetně krajně složité.

Následovníci provedli jistá Následovníci provedli jistá zjednodušení (Seidenberg zjednodušení (Seidenberg

1954, Cohen 1969).1954, Cohen 1969).Zásadní snížení výpočetní složitosti Zásadní snížení výpočetní složitosti

přinesla přinesla metoda cylindrické metoda cylindrické algebraické dekompozicealgebraické dekompozice (CAD), (CAD), navržená Georgem Collinsem v r. 1975.navržená Georgem Collinsem v r. 1975.

Jednorozměrný případ známe ze školní Jednorozměrný případ známe ze školní praxe.praxe.

Jakých hodnot (a kde) nabývá polynom Jakých hodnot (a kde) nabývá polynom f f ((xx) = ?) = ?

Idea: znázorni na ose Idea: znázorni na ose xx kořeny polynomu, kořeny polynomu,

2 1x

ve vzniklých otevřených ve vzniklých otevřených intervalech rozhodneš o intervalech rozhodneš o

znaménku výpočtem funkčních znaménku výpočtem funkčních hodnot ve vhodně zvolených hodnot ve vhodně zvolených

vnitřních bodech.vnitřních bodech.CAD ve vyšší dimenzi výrazně CAD ve vyšší dimenzi výrazně

složitější. složitější.

Několik fází:Několik fází: 1. normalizační fáze 1. normalizační fáze 2. projekční fáze2. projekční fáze 3. fáze zdvižení3. fáze zdvižení 4. konstrukce formule 4. konstrukce formule

Metoda CAD byla v pozdějších Metoda CAD byla v pozdějších letech vylepšována letech vylepšována zejménazejména Hoon Hongem Hoon Hongem a byl vytvořen a byl vytvořen interaktivní programinteraktivní program QEPCAD. QEPCAD. Zásluhou prof. Christophera W. Zásluhou prof. Christophera W. Browna nalezne zájemce bohatou Browna nalezne zájemce bohatou dokumentaci o tomto programu dokumentaci o tomto programu na adresena adrese http://www.cs.usna.edu/~qepcad/http://www.cs.usna.edu/~qepcad/B/B/QEPCAD.html.QEPCAD.html.

(obsahuje jen(obsahuje jen

volné proměnné).volné proměnné).

Quantifier Elimination in

Elementary Algebra and Geometry by

Partial Cylindrical Algebraic Decomposition

Version B 1.8, 14 Jan 2003 by Hoon Hong (hhong@math.ncsu.edu)

With contributions by: Christopher W. Brown, George E.

Collins, Mark J. Encarnacion, Jeremy R. Johnson

Werner Krandick, Richard Liska, Scott McCallum,

Nicolas Robidoux, and Stanly Steinberg ===========================

==

Enter an informal description Enter an informal description between '[' and ']':between '[' and ']':

[pokus][pokus]Enter a variable list:Enter a variable list:

(p, q, x)(p, q, x)Enter the number of free Enter the number of free

variables:variables:22

Enter a prenex formula:Enter a prenex formula:(Ex) [x^2 + p x + q = 0].(Ex) [x^2 + p x + q = 0].

Before Normalization > go Before Projection > go Before Choice > go

Before Solution > solution-extension T

An equivalent quantifier-free formula: 4 q - p^2 <= 0

QEPCAD - výhody a QEPCAD - výhody a nevýhody:nevýhody:

Lze jej stáhnout zdarmaLze jej stáhnout zdarma Jde o „experimentální“ program Jde o „experimentální“ program

zaměřený na eliminaci kvantifikátorůzaměřený na eliminaci kvantifikátorů Má dokonce „zobecněné“ Má dokonce „zobecněné“

kvantifikátory:kvantifikátory:E = "there exists" E = "there exists" A = "for all" A = "for all" F = "for infinitely many" F = "for infinitely many" G = "for all but finitely many" G = "for all but finitely many" C = "for a connected subset" C = "for a connected subset" XXkk = "for exactly = "for exactly kk distinct values" distinct values"

==========================Before Normalization >goBefore Projection (x) >goBefore Choice >goBefore Solution >solution-extension TAn equivalent quantifier-free formula:27 q^2 + 4 p^3 < 0

QEPCAD pracuje pod operačním QEPCAD pracuje pod operačním systémem Linuxsystémem Linux

Rigidní zápis formulí („nevezme“ Rigidní zápis formulí („nevezme“ podíly, odmocniny…).podíly, odmocniny…).

Eliminace kvantifikátorů a mnoho Eliminace kvantifikátorů a mnoho věcí s ní souvisejících je obsaženo v věcí s ní souvisejících je obsaženo v programovém balíku programovém balíku MathematicaMathematica

Verze Verze 6.06.0: roste podpora : roste podpora počítačového dokazování, lze si počítačového dokazování, lze si vybrat obor, ve kterém jsou voleny vybrat obor, ve kterém jsou voleny proměnnéproměnné

Spolupracující „balíky“ a Spolupracující „balíky“ a utility, grafika atd.utility, grafika atd. xx cenacena

Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 >= Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 >= 0]]0]]

TrueTrue

Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 > Reduce[ForAll [{x, y}, x^2 + y^2 > 0]]0]]

FalseFalse

Tarski – (R, 0, 1,+, . ,Tarski – (R, 0, 1,+, . ,<<) je úplná teorie !) je úplná teorie !

Netradiční pohled na učivo o limitách – Netradiční pohled na učivo o limitách – obtížné.obtížné.

2 3 2lim

3 7 3x

x

x