Upload
trananh
View
276
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
4.1. Iterasi Turunan Parsial
Contoh 4.1.1
Pandang fungsi 𝑓:ℝ2 → ℝ yang didefinisikan sebagai berikut
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥𝑦 𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
0 𝑥, 𝑦 = 0,0
2012 2
TEOREMA 4A
Misalkan fungsi f : A ⟶ℝ, dimana A⊆ℝ2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Maka
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
dipenuhi dimanapun A.
3 2012
4.2. Teorema Taylor
Teorema Taylor fungsi satu variabel bernilai riil untuk fungsi mulus adalah
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′ 𝑥02!
𝑥 − 𝑥02 +⋯+
𝑓 𝑘 𝑥0𝑘!
𝑥 − 𝑥0𝑘
+ 𝑅𝑘 𝑥 Dimana
𝑅𝑘 𝑥 = 𝑥 − 𝑡 𝑘
𝑘!𝑓 𝑘+1 𝑡 d𝑡
𝑥
𝑥0
memenuhi
lim𝑥→𝑥0
𝑅𝑘 𝑥
𝑥 − 𝑥0𝑘 = 0
2012 4
TEOREMA 4B
Misalkan fungsi f : A ⟶ℝ, dimana A⊆ℝ2 himpunan buka, diferensiabel di x0∈A. Maka untuk setiap x∈A, diperoleh
𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱𝟎 + 𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖𝐱𝟎 𝑥𝑖 − 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑅1 𝐱
dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan
lim𝐱→𝐱𝟎
𝑅1 𝐱
𝐱 − 𝐱𝟎= 0
5 2012
TEOREMA 4C
Misalkan fungsi f : A ⟶ℝ, dimana A⊆ℝ2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Misalkan x0∈A. Maka untuk setiap x∈A, diperoleh
𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 + 𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖𝐱0
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝑋𝑖
+1
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝐱0
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝑋𝑖 𝑥𝑗 − 𝑋𝑗 + 𝑅2 𝐱
dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan
lim𝐱→𝐱0
𝑅2 𝐱
𝐱 − 𝐱02 = 0
6 2012
DEFINISI
Fungsi kuadrat
𝐇𝑓 𝐱0 𝐱 − 𝐱0 =1
2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗𝐱0
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖 − 𝑋𝑖 𝑥𝑗 − 𝑋𝑗
disebut Hessian dari f di x0. Sehingga deret Taylor dapat ditulis dalam bentuk
𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 + 𝐃𝑓 𝐱0 𝐱 − 𝐱0 +𝐇𝑓 𝐱0 𝐱 − 𝐱0 + 𝑅2 𝐱
7 2012
4.3. Titik Stasioner
DEFINISI Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 disebut titik stasioner dari 𝑓 jika turunan total 𝐃𝑓 𝐱 = 𝟎 dimana 𝟎 menyatakan matrik nol berukuran 1 × 𝑛.
Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 dikatakan maksimum (lokal) dari 𝑓 jika terdapat neighbourhood U dari 𝐱𝟎 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ≤ 𝑓 𝐱𝟎 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑈. Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 dikatakan minimum (lokal) dari 𝑓 jika terdapat neighbourhood U dari 𝐱𝟎 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ≥ 𝑓 𝐱𝟎 untuk setiap 𝐱 ∈ 𝑈. Titik stasioner 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 yang bukan merupakan titik maksimum ataupun minimum disebut titik pelana dari 𝑓.
2012 8
TEOREMA 4D
Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 → ℝ, dimana 𝐴 ⊆ ℝ𝑛 adalah himpunan buka, diferensiabel. Misalkan 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 adalah titik maksimum atau minimum dari 𝑓. Maka 𝐱𝟎 adalah titik stasioner dari 𝑓.
2012 9
4.5. Ekstrim Bersyarat
TEOREMA 4G. Misalkan fungsi f :A ℝ dan g:A ℝ dimana A ℝn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu. Misal cℝ ditentukan, dan S = {x A: g(x) = c}. Misalkan juga fungsi fS , batasan dari f ke S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan (g)(x0) 0. Maka terdapat bilangan riil sedemikian sehingga (f)(x0) = (g)(x0).
Catatan.
(1) Batasan f untuk S A adalah fungsi fS , :S ℝ,: x ↦ f(x).
(2) Bilangan disebut pengali Lagrange.
(3) (g)(x0) adalah vektor yang ortogonal terhadap S di x0.
10 2012
Ekstrim Bersyarat
Soal. Tentukan jarak dari titik asal (0, 0, 0) ke permukaan 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 3. Solusi.
Fungsi jarak :ℝ3 → ℝ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 Kuadrat fungsi jarak 𝑓:ℝ3 → ℝ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Fungsi batas 𝑔:ℝ3 → ℝ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ↦ 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧
Cari: jarak minimal di titik (x, y, z) yang dibatasi oleh fungsi g(x, y, z) = 3.
11 2012
Ekstrim Bersyarat
Solusi. Mencari nilai minimal fungsi f yang dibatasi fungsi g. Dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh (f)(x) = (g)(x) (2x, 2y, 2z) = (1, –2, –2) Selesaikan sistem persamaan (2x, 2y, 2z) = (1, –2, –2) x – 2y – 2z = 3 dan diperoleh =2/3 sehingga (x, y, z) = (1/3, –2/3, –2/3). Nilai 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 1 3 ,− 2 3 , −2 3 = 1. Sehingga jarak dari titik asal ke permukaan x – 2y – 2z = 3 adalah akar dari 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 , yaitu sama dengan 1.
12 2012
Ekstrim Bersyarat
Latihan soal. Tentukan volume terbesar kubus yang sisi – sisinya dibatasi oleh elipsoid
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2+𝑧2
𝑐2= 1
Petunjuk: Persamaan kubus [–x, x] [–y, y] [–z, z] Fungsi volume kubus f : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ 8xyz
13 2012
Perumuman Teorema 4G
TEOREMA 4G.
Misalkan fungsi f :A ℝ dan 𝑔𝑖:A ℝ dimana A ℝn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.
Misal 𝑐1, ⋯ , 𝑐𝑘 ∈ ℝ ditentukan, dan 𝑆 = 𝐱 ∈ 𝐴: 𝑔𝑖 𝐱 = 𝑐𝑖 .
Misalkan juga fungsi fS , batasan f untuk S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan 𝛻𝑔1 𝐱0 , ⋯ , 𝛻𝑔𝑘 𝐱0 bebas linier atas ℝ.
Maka terdapat bilangan riil 𝜆1, ⋯ , 𝜆𝑘 ∈ ℝ sedemikian sehingga
𝛻𝑓 𝐱0 = 𝜆1 𝛻𝑔1 𝐱0 + ⋯+ 𝜆𝑘 𝛻𝑔𝑘 𝐱0
2012 14
Ekstrim Bersyarat
Latihan soal.
Tentukan jarak dari titik asal ke perpotongan 𝑥𝑦 = 12 dan 𝑥 + 2𝑦 = 0.
Petunjuk:
Kuadrat fungsi jarak
f : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ x2 + y2 + z2
Fungsi batas
g1 : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ xy = 12
g2 : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ x + 2y = 0
15 2012