Kruskal's Algotithm

Kruskal’s algorithm

Randy Consuegra

Universidad del Norte

19 de septiembre de 2015

Randy C (UniNorte) Kruskal’s algorithm 19 de septiembre de 2015 1 / 29

Indice

1 KruskalIntroduccionAlgoritmoEjemplosValidezAplicacionesReferencias


Kruskal

Indice



Kruskal Introduccion

Indice




Introduccion

Kruskal

Es un algoritmo MST (minimum spanning tree) voraz descubierto porJoseph Kruskal, que trabajaba en Math Center (Bell-Labs) en 1956.

Idea Basica

Recorrer todos los vertices en orden creciente de peso.



Introduccion

Procedimiento

1 Elegir una arista con el menor peso.

2 En cada etapa elija una arista sin seleccionar, que no cree un ciclo.

3 Continue hasta que un arbol expandido sea obtenido.



Introduccion

Procedimiento

NOTA: Si el grafo tiene p vertices, entonces el algoritmo terminaradespues de elegir p-1 vertices.Si el grafo no es conexo, hay que examinar todas las aristas sin encontrarel arbol de expansion.



Introduccion

Complejidad

El tiempo de ejecucion de este programa esta dominado por el consumo detiempo al procesar las aristas de la cola de prioridadSu complejidad es Θn = (Alog(A))


Kruskal Algoritmo

Indice



Kruskal Algoritmo

.

Figura: Pseudocodigo


Kruskal Ejemplos

Indice



Kruskal Ejemplos

.

Figura: Fig: Ejemplo 1


Kruskal Ejemplos

Algoritmo

.

Figura: Fig: Inicio


Kruskal Ejemplos

Algoritmo

.

Figura: Fig: Elegimos (1,3)


Kruskal Ejemplos

Algoritmo

.



Kruskal Ejemplos

Algoritmo

.



Kruskal Ejemplos

Algoritmo

.



Kruskal Ejemplos

Algoritmo

.

Figura: Fig: Elegimos (2,3), fin


Kruskal Validez

Indice



Kruskal Validez

Validez

Sea T el arbol generador encontrado por el algoritmo, y sea Tcualquier otro arbol generador del grafo G = (V ,E ). Tenemos quedemostrar que w(E(T)) ≤ w(E(T )).Con este fin, denotamos las aristas de T por e′1 , e′2,...e

′n−1 de manera

que w(e′1) ≤ w(e′2) ≤ ... ≤ w(e′n−1) (la rama e′i ya ha sido anotada paraalgun e′j en el algoritmo, por lo tanto tiene dos nombres). De forma

similar sean e′1 , e′2,...e′n−1.


Kruskal Validez

Validez

Veamos que para i =1,...,n-1 aun tenemos

w(e′i) ≤ w(ei) (1)

Este paso muestra que T es un arbol generador minimal. Para unacontradiccion, suponemos que (1) no es cierto, y sea i el menor ındicepara el que esto no funciona, es decir w(e′i) > w(ei).


Kruskal Validez

Validez

Consideramos los conjuntos:

E’ = {e′1, e′2, ..., e′i−1}

E = {e1, e2, ..., ei}.Los grafos (V , E) y (V ,E’) no contienen ciclos y ademas |E’| = i− 1 ,∣∣∣E∣∣∣ = i.

Para la contradiccion deseada es suficiente demostrar que existe unaarista e ∈ E para la cual el grafo (V,E′ ∪ {e}) no contiene ningun ciclo.


Kruskal Validez

Validez

Entonces obtenemos que w(e) ≤ w(e′i) ≤ w(e′i) y esto significa quecometimos un error en el algoritmo en el momento en que seconsidero la arista e. No habıa razon para despreciar e antes, yhubieramos tenido que seleccionarla en vez de considerar la rama e′i.

Por lo tanto es suficiente demostrar lo siguiente: Si E’, E ⊆(V2

)son dos

conjuntos de aristas, tales que el grafo (V, E) no tienen ningun ciclo y

|E’| <∣∣∣E∣∣∣, entonces alguna arista e ∈ E conecta vertices de distintas

componentes del grafo (V,E′). Esto se puede hacer a partir de unsimple argumento de conteo.


Kruskal Validez

Validez

Sea V1,V2, ...,VS el conjunto de vertices de las componentes del grafo(V,E′). Tenemos : ∣∣∣∣E′ ∩ (Vj

2

)∣∣∣∣ ≥ |Vj| − 1,

Y sumando estas desigualdades sobre j obtenemos |E′| ≥ n-s. Por otrolado, como E no tiene ciclos, obtenemos:∣∣∣∣E ∩ (Vj

2

)∣∣∣∣ ≤ |Vj| − 1,

Y por lo tanto como maximo n-s aristas de E estan contenidas en

algunas componentes de Vj. Pero como suponemos que |E’| <∣∣∣E∣∣∣,

existe una rama e ∈ E que esta entre dos componentes distintasQ.E.D.


Kruskal Aplicaciones

Indice




Aplicaciones

”La aplicacion tıpica de este problema es el diseno de redes telefonicas.Una empresa con diferentes oficinas, trata de trazar lıneas de telefono paraconectarlas unas con otras. La companıa telefonica le ofrece estainterconexion, pero ofrece tarifas diferentes o costes por conectar cada parde oficinas. Como conectar entonces las oficinas al mınimo coste total.”



Aplicaciones

”La formulacion del MST tambien ha sido aplicada para hallar solucionesen diversas areas (diseno de redes de transporte, diseno de redes detelecomunicaciones - TV por cable, sistemas distribuidos, interpretacion dedatos climatologicos, vision artificial - analisis de imagenes - extraccion derasgos de parentesco, analisis de clusters y busqueda de superestructurasde quasar, plegamiento de proteınas, reconocimiento de celulas cancerosas,y otros).”Otra aplicacion es para resolver el problema del viajante


Kruskal Referencias

Indice



Kruskal Referencias

Referencias

1 Kruskal’s Algorithm. (s. f.). Recuperado el 20 de septiembre, de 2014de http://goo.gl/Cuav7d

2 Algoritmo de Kruskal. (s. f.). Recuperado el 20 de septiembre, de2014 de http://goo.gl/YJG7kx

3 Kruskal’s Algorithm. (s. f.). Recuperado el 20 de septiembre, de 2014de http://goo.gl/Us75rA

4 Greedy Algorithms Set 2 (Kruskal’s Minimum Spanning TreeAlgorithm). (s. f.). Recuperado el 20 de septiembre, de 2014 dehttp://goo.gl/Y8ZVxw

5 Joseph Kruskal. (s. f.). Recuperado el 20 de septiembre, de 2014 dehttp://goo.gl/8YfVWc

6 Applications of Kruskal and Prim’s algorithms. (s. f.). Recuperado el20 de septiembre, de 2014 de http://goo.gl/NTJM5V


Documents

Kruskal's Algotithm