2

K R U G I N J E G O V A S V O J S T V A

3

SADRAJ Periferijski ugao kruga ........................................................................................................ 4 Potencija take u odnosu na krug ....................................................................................... 7 Radikalna osa kruga ............................................................................................................ 9 Pramenovi krugova ........................................................................................................... 10 Inverzija u odnosu na krug ............................................................................................... 12

4

1. Uvod ''Prava i krug ( kruna linija,krunica ) jesu od najstarijih vremena

glavne linije u geometriji. Njihov znaaj proizilazi iz njihove jednostavnosti i iz mnogobrojnosti njihovih lako uoljivih osobina i primena, ali takoe i otud to se krug i prava mogu najjednostavnije konstruisati: napr. prava lenjirom, a krug estarom. Ove dve sprave uticale su bitno na razvie geometrije u Starom veku i na utvrivanje njenog sadraja.''[3, str.194] Geometrijske konstrukcije u ravni koje moemo izvriti pomou lenjira i estara smatramo elementarnim.

Krug je jedna od najinteresantnijih i najznaajnijih geometrijskih figura. Konstruisanje ostalih figura ne moe se ni zamisliti bez krugova (itajte estara), pa su stoga krug (odnosno kruna povr), centar i poluprenik u Euklidovim ''Elementima'' uvodeni na poetku, definicijama: ''15. Krug je ravana figura omeena takvom jednom linijom (koja se zove periferija), da su sve prave povuene od jedne take, koja se nalazi u samoj figuri, prema toj liniji (prema periferiji kruga) meusobno jednake. ''16. Ova taka zove se sredite kruga. ''17. Prenik kruga je svaka prava to prolazi kroz sredite kruga a ograniena je sa svake strane periferijom kruga; on polovi krug.''[5, str.5]

''Euklid se ve u prvim stavovima ''Elemenata'' slui krugom da bi konstruisao podudarne dui. Sam krug je lik zasnovan na podudarnosti. I definicija kruga bi se mogla izrei tako da se neposredno pominju podudarne dui: ''Ukupnost taaka jedne ravni, koje su jedni krajevi svih meu sobom jednakih dui, kojima je drugi kraj izvesna taka te ravni, nazivamo krugom.'' No definicija je jednostavnija ako se primeni izraz ''jednako udaljeno'' koji uvodimo definicijom:''[3, str.194/5]

4

Centralni ugao kruga

Definicija 5.1: Ugao u ravni jednog kruga, kome je teme sredite kruga naziva se centralni ugao tog kruga.

Ako su A i B one take na kracima otrog sredinjeg ugla, koje pripadaju samom krugu, rei emo da tetiva AB i taj centralni ugao odgovaraju jedan drugome.

Segment AB toga kruga i njegov komplement zvaemo lukovima toga kruga.Ako luk AB pripada uglu AOB, rei emo da je tada luk AB zahvaen tim centralnim uglom.

Teorema 5.1: Jednakim tetivama jednog kruga odgovaraju jednaki centralni

uglovi, jednakim centralnim uglovima odgovaraju jednake tetive i obratno. Dokaz: Neka su AB i CD dve tetive kruga opisanog oko take O i neka je

AB=CD. Kako je i OA=OC, OB=OD, trouglovi OAB i OCD su podudarni, dakle je i AOB=COD. Obrnuto: ako je AOB=COD, iz OA=OC i OB=OD, sledi da su trouglovi OAB i OCD podudarni, dakle da je AB=CD.

Periferijski ugao kruga Definicija 6.1: Ako je M proizvoljna taka kruga k razliita od A i B, konveksan

ugao AMB zvaemo periferijskim uglom tog kruga, a ugao AOB zvaemo odgovarajuim centralnim uglom nad tom tetivom.

Ako luk AB pripada tom uglu, rei emo da je tada luk zahvaen tim periferijskim uglom.

5

Stav 6.1: Neka je AB prenik kruga sa centrom u taki O i poluprenikom r, i

neka je P proizvoljna taka toga kruga razliita od A i B. Tada je ugao APB prav, i taka O predstavlja centar opisanog kruga oko pravouglog trougla APB, i nalazi se na sreditu hipotenuze tog trougla.

Dokaz: S obzirom da su trouglovi OPA i OPB jednakokraki, uglovi na

osnovicama su im podudarni prema [1,teorema 11.12] i jednaki su polovinama njima nesusednih spoljanjih uglova BOP i AOP. Zbir uglova BOP i AOP je , pa e zbir uglova APO i BPO biti /2. Dakle ugao APB je prav.

Teorema 6.1: Periferijski ugao kruga jednak je polovini njegovog centralnog ugla koji zahvata isti luk toga kruga.

6

Dokaz: Neka su A, B i C tri razne take kruga sa centrom u tai O i poluprenikom r, a D taka dijametralno suprotna taki C. Trouglovi OAC i OBC su jednakokraki, pa e zato uglovi na osnovicama biti podudarni [1,teorema11.12]. Budui da je spoljanji ugao trougla jednak zbiru dvaju unutranjih nesusednih uglova, bie AOD=2ACD, i BOD=2BCD. Zavisno od toga da li su take A i B sa iste ili sa raznih strana prave CD, ugao AOB bie jednak razlici ili zbiru uglova AOD i BOD, a ugao ACB razlici ili zbiru uglova ACD i BCD. Stoga je AOB=2ACB. Ista relacija e vaiti i ako su take C, O, B kolinearne.

Vai i obrnuto, ako su ACB i ADB dva podudarna ugla kojima su temena C i D

sa iste strane prave AB , tada postoji krug koji sadri take A, B, C i D. Zaista, ako su krugovi koji sadre trojke taaka A, B, C i A, B, D mausobno razliiti, tada e sredita O i O tih dvaju krugova da budu dve razne take koje pripadaju medijatrisi dui AB. Ako je S sredite dui AB, uglovi AOS i AOS nee biti podudarni, pa ni njihovi periferijski uglovi ACB i ADB nee biti podudarni. Kontradikcija!

7

Teorema 6.2: Svi periferijski uglovi jednog kruga koji zahvataju isti luk meusobno su podudarni.

Potencija take u odnosu na krug

Teorema 7.1: Neka je P proizvoljna taka neke ravni koja ne pripada zadatom krugu k te ravni, a p i q prave koje sadre P takve da p see krug k u takama A i B, a q u takama C i D. Tada je PAPB=PCPD. Ako je P izvan kruga k, a T dodirna taka kruga k i tangente koja sadri P, tada je PAPB=PT2.

Dokaz: Ako je taka P izvan kruga k,

trouglovi PAT i PTB e biti slini, pa je

PBPT

PTPA

=

a odavde sledi da je PAPB=PT2.

8

Ako je taka P u krugu k,

trouglovi PBC i PDA su slini jer su uglovi jednog podudarni uglovima drugog pa je

PBPC

PDPA

=

Dakle, PAPB=PCPD. Proizvod PAPB koji zavisi samo od take P i kruga k, nazivamo potencijom

take P u odnosu na krug k. Primetimo da se u prethodnom razmatranju nita nee promeniti ako pretpostavimo da su PA i PB mere orjentisanih dui.

Tada je proizvod PAPB pozitivan ili negativan u zavisnosti od toga da li su te dve dui istosmerne ili nisu, pa je, zato, taka P izvan kruga k ako i samo ako je proizvod PAPB pozitivan. Teorema 7.2: Skup p svih taaka zadate ravni kojima su potencije u odnosu na dva kruga k(O, r) i k'(O', r'), OO', meusobno jednake, je prava upravna na pravoj OO'.

Dokaz: Ako taka P pripada skupu p, na osnovu Pitagorine teoreme bie OP2-r2=O'P2-r' 2, pa je OP2- O'P2= r2- r' 2. Ako je Q podnoje upravne iz take P na pravoj OO, opet na osnovu Pitagorine teoreme bie

OQ-O'Q=OP-O'P=r-r' .

Dakle taka P pripada pravoj koja je u taki Q upravna na OO'.

Obrnuto, ako taka P pripada pravoj koja je u taki Q upravna na pravoj OO', tada je OP2= OQ2+PQ2 i O'P2 = O'Q2+PQ2, pa je OP2- O'P2 = OQ2- O'Q2 = r2- r' 2. Zato je

OP2- r2= O'P2- r' 2 pa je potencija take P u odnosu na krug k jednaka potenciji iste take u odnosu na krug k'.Dakle, p je prava u taki Q upravna na pravoj OO'.

9

Radikalna osa kruga Definicija 8.1: Prava koja se sastoji od taaka koje imaju jednake potencije u

odnosu na zadate krugove naziva se radikalna osa dvaju krugova. Razlikujemo tri sluaja: 1.Krugovi se seku- njihova radikalna osa sadri presene take tih dvaju krugova

2. Krugovi se dodoruju- njihova radikalna osa je zajednika tangenta tih dvaju krugova u njihovoj dodirnoj taki.

3. Krugovi su disjunktni-dovoljno je odrediti jednu taku radikalne ose. Da bi se ona odredila zadati krugovi se preseku treim krugom i presene take jednog od tih krugova sa treim krugom obeleimo sa X i Y, a drugog sa X' i Y'. Presek pravih XY i X'Y' je taka koja pripada radikalnoj osi.

10

Pramenovi krugova

Definicija 9.1: Skup svih krugova jedne ravni od kojih svaka dva za radikalnu osu imaju istu pravu zvaemo sistemom koaksijalnih krugova ili pramenom krugova. Skup sredita svih krugova jednog pramena pripada jednoj pravoj i ta prava je osa pramena.

Teorema 9.1: Svaki pramen je jednoznano odreen sa dva svoja kruga. Razlikujemo tri vrste pramena krugova s obzirom na meusobni odnos

odgovarajuih krugova u okviru pramena: 1.Ako se svaka dva kruga pramena seku u dvema razliitim takama, takav

pramen nazivamo eliptikim.

11

2. Ako se svaka dva kruga pramena dodiruju u istoj taki, takav pramen krugova

nazivamo parabolikim.

3. Ako su svaka dva kruga pramena disjunktna, takav pramen krugova nazivamo

hiperbolikim.

4. Ako su ose dvaju pramena krugova meusobno upravne, onda emo ta dva

pramena krugova zvati meusobno upravnim pramenovima.

12

Inverzija u odnosu na krug Neka je dat krug k(O,r) koji pripada ravni . Rei emo da se taka P (razliita od O) inverzijom u odnosu na krug k(O,r) preslikava u taku P' ako su O, P i P' tri kolinearne take takve da je

OPOP'=r.

Za taku P' rei emo da je inverzna taki P u odnosu na krug k(O,r), a taj krug emo zvati i krugom inverzije . Taku O emo zvati sredite inverzije. Iz definicije neposredno sledi da je inverzija bijektivno preslikavanje definisano na ravni bez take O. Ako je taka P' inverzna taki P, tada je i taka P inverzna taki P', pa je, zato, inverzija involucij. Taka unutar kruga k (razliita od O) se inverzijom preslikava u taku van kruga, a taka van kruga u taku unutar toga kruga. Taka e pripadati krugu inverzije ako i samo ako je u toj inverziji invarijantna.

Ako je taka P unutar kruga k(O,r) i ako je T taka u kojoj prava koja sadri P i upravna je na pravoj OP, see k, onda tangenta kruga k u taki T see pravu OP u nekoj taki P'. Tada su trouglovi OPT i OTP' slini, pa je

POOT

OTOP

= .

Dakle, OPOP'=OT=r, pa je taka P' inverzna taki P. Ako je P' izvan kruga k(O,r), krug iji je prenik OP' see krug k u nekoj teki T. Ugao OTP' je prav pa je podnoje upravne prave iz T na pravoj OP' taka P koja pripada dui OP'. Opet e trouglovi OPT i OTP' biti slini, pa e biti OPOP'=OT=r. Dakle, taka P bie inverzna taki P'.

Terema 10.1: Proizvod dveju inverzija u odnosu na koncentrine krugove k(O,r) i k'(O,r') je homotetija sa koeficijentom(r'/r).

Dokaz: Ako se taka P preslikava prvom inverzijom u P', a P' drugom inverzijom u P'', tada je OPOP'=r i OP'OP''=r', pa proizvod zadatih inverzija preslikava taku P u taku P'' takvu da je

2

=

rr

OPPO .

Teorema 10.2: Ako sadri sredite inverzije, prava se inverzijom preslikava na sebe, a ako ne sadri sredite inverzije, preslikava se na krug kome nedostaje sredite inverzije.

13

Dokaz:Iz definicije inverzije neposredno sledi da se prava koja sadri sredite

inverzije preslikava u istu pravu. Pretpostavimo da prava p ne sadri sredite inverzije-taku O. Neka je A podnoje upravne prave iz take O na pravu p, neka je A' slika take A u zadatoj inverziji, a P' slika bilo koje take P zadate prave p. Tada je

OPOP'=r=OAOA', pa su trouglovi OAP i OP'A' slini budui da imaju jedan ugao zajedniki. Kako je ugao OAP prav, i ugao OP'A' bie prav, pa taka P' pripada krugu iji je prenik OA'.

Obrnuto, ako je P' taka kruga iji je prenik OA', ugao P'OA' bie otar, pa prava koja sadri taku A i upravna ja na pravoj OA see polupravu OP' u nekoj taki P. Tada su trouglovi OAP i OP'A' slini, pa je OPOP'=OAOA'. Dakle, taka P je slika take P' u zadatoj inverziji.

Teorema 10.3: Ako sadri sredite O inverzije, krug (kome nedostaje taka O) se preslikava na pravu, a ako ne sadri sredite inverzije, krug se preslikava na krug.

Dokaz:Videti u [1] strana 229. U posebnom sluaju kada krug sa sreditem C sadri dve inverzne take, tada se

on, na osnovu 7.1, inverzijom preslikava na sebe. Tada e prava koja sadri sredite inverzije i presek T kruga inverzije i kruga sa sreditem C biti upravna na pravoj CT, pa e ti krugovi biti upravni. Obrnuto, kada je krug sa sreditem C upravan na krugu inverzije taj krug se inverzijom preslikava na sebe.