Embed Size (px)
Citation preview
KPSS2016ÖABT
İLKÖĞRETİMMATEMATİK
29.Eğitimde
yıl
Pegem AkademiSınav Komisyonu;
2015 KPSS’yePegem Yayınları
ile hazırlanan adayların,40'ın üzerinde soruyu
kolaylıklaçözebildiğini
açıkladı.
ANALİZDİFERANSİYEL DENKLEMLER
Komisyon
ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler
ISBN 978-605-318-188-0
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
2.Baskı: 2015, Ankara
Proje-Yayın: Neslihan GürsoyTürkçe Redaksiyon: Aylin Doğan
Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Öztürk
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Korza Yay. Basım San. Tic. A.Ş.Yenice Mah. No: 3 Esenboğa-Ankara
0312 342 22 08
Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 30233
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected]
ÖN SÖZ
Sevgili Öğretmen Adayları,
ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz-Diferansiyal Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.
Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.
Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.
Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ayşegül Eroğlu, Dizgicimiz Gülnur Öcalan ve Kezban Öztürk'e teşekkürü bir borç biliriz.
Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz deerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...
Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLERMATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.
Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası
Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40
a. Analiz
b. Cebir
c. Geometri
d. Uygulamalı Matematik
% 28
% 18
% 18
% 16
Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50
Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER
ÖN SÖZ ..................................................................................................................................................................... ııı
1. KISIM
1. BÖLÜM: ANALİZE GİRİŞSayılar ..............................................................................................................................................................................5
Doğal Sayılar ..............................................................................................................................................................5
Rasyonel Sayılar ........................................................................................................................................................5
Tümevarım Yöntemi ...................................................................................................................................................5
Lineer (Doğrusal) Nokta Kümeleri ..............................................................................................................................6
Mutlak Değer ..............................................................................................................................................................7
Komşuluk ....................................................................................................................................................................7
Yığılma Noktası ..........................................................................................................................................................7
Tam Değer ..................................................................................................................................................................8
Fonksiyonlar ...................................................................................................................................................................8
Bazı Özel Fonksiyonlar...............................................................................................................................................9
Fonksiyonun Grafiği..................................................................................................................................................10
Trigonometri ..................................................................................................................................................................12
Bazı Trigonometrik Değerler .....................................................................................................................................12
Bazı Trigonometrik Bağıntılar ...................................................................................................................................13
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar..............................................................................................................................14
Hiperbolik Fonksiyonlar ............................................................................................................................................15
2. BÖLÜM: LİMİTLimit ...............................................................................................................................................................................19
Bir Fonksiyonun Limiti ..............................................................................................................................................21
Tek Yönlü Limitler .....................................................................................................................................................23
Süreklilik........................................................................................................................................................................24
Bazı Sürekli Fonksiyon Örnekleri .............................................................................................................................24
Süreksizlik Çeşitleri ..................................................................................................................................................24
Sürekli Fonksiyonların Özellikleri..............................................................................................................................25
Düzgün Süreklilik ......................................................................................................................................................26
3. BÖLÜM: TÜREVTürev ..............................................................................................................................................................................29
Türev Almada Genel Kurallar ...................................................................................................................................29
Trigonometrik Fonksiyonların Türevi ........................................................................................................................30
Ters Fonksiyonun Türevi .....................................................................................................................................30
Logaritma Fonksiyonunun Türevi ........................................................................................................................31
Üstel Fonksiyonların Türevi .................................................................................................................................32
Logaritmik Türev Alma.........................................................................................................................................32
Hiperbolik Fonksiyonların Türevi .........................................................................................................................32
vi
Parametrik Fonksiyonların Türevi ........................................................................................................................32
Kapalı Fonksiyonların Türevi ...............................................................................................................................33
Yüksek Mertebeden Türevler ..............................................................................................................................33
Türevin Geometrik Anlamı ........................................................................................................................................34
Türevle İlgili Teoremler .............................................................................................................................................35
Belirsiz Şekiller .........................................................................................................................................................39
Diferansiyeller ...........................................................................................................................................................40
Eğri Çizimleri ............................................................................................................................................................42
Düşey Asimptot ...................................................................................................................................................42
Yatay Asimptot .....................................................................................................................................................43
Eğri veya Eğik Asimptot.......................................................................................................................................43
4. BÖLÜM: İNTEGRALBelirsiz İntegral .............................................................................................................................................................47
Bazı Fonksiyonların İntegralleri ................................................................................................................................47
İntegral Alma Yöntemleri ..........................................................................................................................................47
Değişken Değiştirme ...........................................................................................................................................47
Kısmi İntegrasyon Yöntemi.......................................................................................................................................51
İndirgeme Bağıntıları ................................................................................................................................................52
Rasyonel Fonksiyonların İntegrali ............................................................................................................................56
Trigonometrik Fonksiyonların İntegrali .....................................................................................................................58
Binom İntegralleri......................................................................................................................................................63
Çözümlü Sorular .......................................................................................................................................................64
Belirli İntegral................................................................................................................................................................66
İntegralde Alan Hesabı .............................................................................................................................................68
İntegralde Hacim Hesabı ..........................................................................................................................................71
Eğri Uzunluğunun Hesabı.........................................................................................................................................73
Dönel Yüzeyin Alanı .................................................................................................................................................74
5. BÖLÜM: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLERGenelleştirilmiş İntegraller ..........................................................................................................................................79
1. Çeşit ...........................................................................................................................................................................79
Kararlaştırma Testi....................................................................................................................................................79
Kararlaştırma Testinin Limit Formu ...........................................................................................................................79
2. Çeşit ...........................................................................................................................................................................80
Kutupsal Koordinatlar ...............................................................................................................................................81
Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi .........................................................................................................................83
Gül Eğrilerinin Çizimi ................................................................................................................................................86
Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı.......................................................................................................................87
Seriler ............................................................................................................................................................................87
Geometrik Seri..........................................................................................................................................................89
Seriler İçin Yakınsaklık Testleri .................................................................................................................................90
vii
İntegral Testi ........................................................................................................................................................90
Oran Testi ............................................................................................................................................................90
Kök Testi ..............................................................................................................................................................91
Limit Testi.............................................................................................................................................................91
Alterne Seriler ......................................................................................................................................................92
Kuvvet Serileri ..............................................................................................................................................................92
Fonksiyonların Seriye Açılması ................................................................................................................................93
Analiz-Uygulama ......................................................................................................................................................94
Fonksiyon Dizi ve Serileri .........................................................................................................................................97
Düzgün Yakınsaklık ve İntegral ................................................................................................................................99
Düzgün Yakınsaklık ve Türev .................................................................................................................................100
Fonksiyon Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı ............................................................................................................100
6. BÖLÜM: n - BOYUTLU UZAYn - Boyutlu Uzay .........................................................................................................................................................107
Rn'in Topolojisi ........................................................................................................................................................108
Vektör Değerli Fonksiyonlar ...................................................................................................................................... 111
Vektör Değerli Fonksiyonların Limit ve Sürekliliği ................................................................................................... 112
Rn'de Eğriler ................................................................................................................................................................ 113
Vektör Değerli Fonksiyonların Türev ve İntegrali .................................................................................................... 114
Eğri Uzunluğu ......................................................................................................................................................... 116
Çok Değişkenli Fonksiyonlar .................................................................................................................................... 118
Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit......................................................................................................................120
Süreklilik......................................................................................................................................................................122
Kısmi Türevler.............................................................................................................................................................123
Yüksek Mertebeden Kısmi Türevler .......................................................................................................................125
Zincir Kuralı ............................................................................................................................................................126
Yönlü Türevler ............................................................................................................................................................128
Kapalı Fonksiyonların Türevi ..................................................................................................................................129
Normal Doğrusunun Denklemini Bulma .................................................................................................................132
Maksimum ve Minimum ..........................................................................................................................................132
Yan Şartlı Ekstremumlar .........................................................................................................................................135
Bölge Dönüşümleri .................................................................................................................................................138
Fonksiyonel Bağımlılık............................................................................................................................................140
Skaler ve Vektör Alanları ........................................................................................................................................141
Çok Katlı İntegraller....................................................................................................................................................145
İki Katlı İntegralin Hesabı........................................................................................................................................147
İntegral İşareti Altında Türev Alma .........................................................................................................................149
İki Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme.............................................................................................................153
İki Katlı İntegrallerin Uygulamaları ..........................................................................................................................156
Çözümlü Test 1 .......................................................................................................................................................161
Çözümler ................................................................................................................................................................163
Çözümlü Test 2 .......................................................................................................................................................166
Çözümler ................................................................................................................................................................168
Çözümlü Test 3 .......................................................................................................................................................170
viii
Çözümler ................................................................................................................................................................172
Çözümlü Test 4 .......................................................................................................................................................175
Çözümler ................................................................................................................................................................177
Çözümlü Test 5 .......................................................................................................................................................179
Çözümler ................................................................................................................................................................181
Çözümlü Test 6 .......................................................................................................................................................183
Çözümler ................................................................................................................................................................185
Çözümlü Test 7 .......................................................................................................................................................188
Çözümler ................................................................................................................................................................190
Çözümlü Test 8 .......................................................................................................................................................192
Çözümler ................................................................................................................................................................194
Çözümlü Test 9 .......................................................................................................................................................197
Çözümler ................................................................................................................................................................200
Çözümlü Test 10 .....................................................................................................................................................203
Çözümler ................................................................................................................................................................206
Çözümlü Test 11 .....................................................................................................................................................209
Çözümler ................................................................................................................................................................ 211
Çözümlü Test 12 .....................................................................................................................................................214
Çözümler ................................................................................................................................................................216
Çözümlü Test 13 .....................................................................................................................................................219
Çözümler ...............................................................................................................................................................222
Çözümlü Test 14 .....................................................................................................................................................225
Çözümler ................................................................................................................................................................228
Çözümlü Test 15 .....................................................................................................................................................231
Çözümler ................................................................................................................................................................234
Çözümlü Test 16 .....................................................................................................................................................236
Çözümler ................................................................................................................................................................238
Çözümlü Test 17 .....................................................................................................................................................243
Çözümler ................................................................................................................................................................245
Çözümlü Test 18 .....................................................................................................................................................247
Çözümler ................................................................................................................................................................249
Çözümlü Test 19 .....................................................................................................................................................251
Çözümler ................................................................................................................................................................253
Çözümlü Test 20 .....................................................................................................................................................257
Çözümler ................................................................................................................................................................261
ix
2. KISIM
1. BÖLÜM: DİFERANSİYEL DENKLEMLERDiferansiyel Denklemler .............................................................................................................................................273
Giriş ........................................................................................................................................................................273
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ........................................................................................................................274
Genel ve Özel Çözümler ........................................................................................................................................275
Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması......................................................................................277
2. BÖLÜM: DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLERDeğişkenlerine Ayrılabilir Denklemler ......................................................................................................................281
Değişkenlerine Ayrılabilir Hâle Getirilebilen Denklemler ........................................................................................283
Homojen Diferansiyel Denklemler ............................................................................................................................284
Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü .........................................................................................................284
Homojen Hâle Dönüştürülebilir Diferansiyel Denklemler .......................................................................................285
Tam Diferansiyel Denklemler .....................................................................................................................................287
İntegrasyon Çarpanı Yardımı ile Diferansiyel Denklem Çözümü ...........................................................................289
Lineer Denklemler ......................................................................................................................................................291
Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi .....................................................................................................291
Bernoulli Denklemleri.................................................................................................................................................293
Riccati Denklemi .........................................................................................................................................................294
3. BÖLÜM: BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERBirinci Mertebeden n. Dereceden Diferansiyel Denklemler ....................................................................................299
Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ..............................................................................................299
Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ....................................................................................................................299
x'e Göre Çözülebilen Denklemler ...........................................................................................................................300
y'ye Göre Çözülebilen Denklemler .........................................................................................................................300
Clairaut Denklemi .......................................................................................................................................................301
Lagrange Denklemi ....................................................................................................................................................302
İndirgenebilir İkinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler......................................................................................303
4. BÖLÜM: YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERYüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler ..............................................................................................307
Mertebe İndirgeme......................................................................................................................................................308
Sabit Katsayılı Denklemler.........................................................................................................................................309
Farklı Reel Kökler .......................................................................................................................................................309
Katlı Reel Kökler .........................................................................................................................................................310
Kompleks Kök.............................................................................................................................................................310
x
Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler.................................................................................313
Belirsiz Katsayılar Yöntemi .....................................................................................................................................313
Parametrelerin Değişim Yöntemi ..............................................................................................................................317
Cauchy-Euler Denklemi .............................................................................................................................................319Çözümlü Test 1 .......................................................................................................................................................321
Çözümler ................................................................................................................................................................323
Çözümlü Test 2 .......................................................................................................................................................327
Çözümler ................................................................................................................................................................330
Çözümlü Test 3 .......................................................................................................................................................334
Çözümler ................................................................................................................................................................337
Çözümlü Test 4 .......................................................................................................................................................341
Çözümler ................................................................................................................................................................344
Çözümlü Test 5 .......................................................................................................................................................348
Çözümler ................................................................................................................................................................351
1. KISIM
ANALİZE GİRİŞ
5
SAYILARDoğal Sayılar
N = {1, 2, 3, .....} kümesine doğal sayılar kümesi denir. m, n ∈ N iken; x + m = n biçimindeki denklemlerin çö-zümlerini bulunduran sayılara tam sayılar kümesi denir.
Z Z N=
... , , , , , ...
Z
Z
Z
2 1 0 1 2
0, ,
= − −
=
− +
− +
&
$
0
.
1 2 344 44 \
Rasyonel Sayılar
p, q ∈ Z ve q ≠ 0 olsun.
q . x = p biçimindeki denklemlerin çözümlerini bulundu-ran kümeye rasyonel sayılar kümesi denir.
: , ,Q qp p q Z q 0d != ' 1 (p ve q aralarında asal)
∀ m ∈ Z için m m Q1 != olduğundan
Z Q1 olur.
H I : irrasyonel sayılar kümesi
H I ∪ Q = R
H Herhangi iki rasyonel, irrasyonel, reel sayı arasında sonsuz çoklukta hem rasyonel hem de irrasyonel sayı vardır.
Tümevarım Yöntemi
Doğal sayılarla ilgili önermelerin ispatında kullanılan bir yöntemdir.
Teorem:
D ⊂ N olsun
a) 1 ∈ D
b) k ∈ D iken k + 1 ∈ D ise bu takdirde D = N’dir.
Sonuç:
P(n) doğal sayılarla ilgili bir önerme; D de bu önermenin doğruluk değerinin kümesi yani;
D = {n ∈ N| P(n) doğru} olsun.
Eğer;
a) 1 ∈ D (yani önerme n = 1 için doğru)
b) k ∈ D iken (k+1) ∈ D (yani n = k iken önerme doğru iken n = k + 1 için de önerme doğru ise D = N’dir. Yani önerme tüm n ∈ N için doğrudur.
Bu ispat metoduna tümevarım denir.
∀ n ∈ N için; 32n+2 – 2n+1 sayısı 7 ile bölünür, göstere-lim.
a) n = 1 için ifadenin doğruluğunu inceleyelim.
32.1+2 – 21+1 = 34 – 22 = 81 – 4 = 77 = 7.11 olup 7 ile bölünür.
b) n = k değeri için ifadenin doğru olduğunu kabul ede-lim.
n = k + 1 değeri için de doğru olup olmadığını inceleye-lim.
n = k için; 32.k+2 – 2k+1 = 7.p p ∈ Z olsun.
n = k + 1 için; 32(k+1)+2 – 2k+1+1 = 7.pı olur mu?
32k+4 –2k+2 = 32k+2 . 9 – 2k+1 . 2
= 32k+2 . (7 + 2) – 2k+1 . 2
= 7 . 32k+2 + 2 . 32k+2 – 2 . 2k+1
= 7 . 32k+2 + 2. ( )3 2k k2 2 1−+ +
p71 2 34444 4444
= 7 . 32k+2 + 2 . 7 . pı
. ( ) 'p p7 3 2 7'
k
p Z
2 2= + =d
+1 2 3444 444
sağlanır.
n ∈ N ve n H 5 olsun. 3n–1 < n! olduğunu gösteriniz.
a) n = 5 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim.
35–1 < 5! ⇒ 34 < 5! ⇒ 81 < 120 ifade doğrudur.
b) n = k değeri için ifadenin doğru olduğunu kabul ede-lim.
n = k + 1 değeri için doğru olup olmadığını inceleye-lim.
n = k için; 3k–1 < k! ............. (I)
n = k + 1 için; 3k+1–1 < (k + 1)! ⇒ 3k < (k + 1)! .......... (II)
II eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını göstermeliyiz.
⇒ Önerme n ≥ 5 için doğrudur.
H k ∈ N ve p ∈ R olmak üzere;
!( ) . ( ) ...( )p
k kp p p p k1 2 1
=− − − +e o
sayısına binom katsayısı denir.
21
3 3!21 . 2
1 1 21 2
621 . 2
1 . 23
663
63 · 6
1121=
- -=
- -= = =f
c c c cp
m m m m
6
Eğer p = n ∈ N ise kombinasyon olur.
!. ( ) ... ( )
( ) !. !!n
k kn n n k
n k kn1 1
=− − +
=−
b l olur.
H n n
n0 1= =b bl l
H nk
nn k=−
b bl l
H nk
nk
nk1
1+
−=
+b b cl l m
H k > n iken nk 0=b l
a, b ∈ R n ∈ N
. . . ... . . .a b n a n a bn
n a b nn
b0 1 1
n n n n n1 1+ = + + +−
+− −` e e e ej o o o o
olduğunu gösteriniz.
a) n = 1 için ifadenin doğru olup olmadığını inceleyelim.
a + b = a + b olup doğrudur.
b) n = k değeri için ifadenin doğru olduğunu kabul ede-lim.
n = k + 1 değeri için ifadenin doğru olup olmadığına bakalım.
(m ∈ Z ise m + 1 ∈ Z ifadesinden yararlanarak)
n = k için;
(a + b)k = . . . ... . .
. ... I
ka
ka b
kk a b
kk b
0 111
k k k
k
1 1+ + ++−
+− −c
c
c
^
c
m
m
h
m m
n = k + 1 için;
(a + b)k+1 = . . . ...
. . . .... ( )
ka
ka b
kk a b
kk b II
10
11
11 1
11
k k
k k
1 1 1
1 1 1
++
++
++
+ −+
++
+ + −
+ − +
c
c
c
c
m
m
m
m
I ve II denklemlerini eşitlemek için I. denklemin her iki tarafını da (a + b) ile çarpalım ve denklemlerin sağ taraf-larının eşitliğini kontrol edelim.
. . . . . ...
. . . ( ) . .
Ik
a a bk
a b a b
kk a b a b
kk b a b
0 1
1
k k
k k
1
1
= + + + + +
−+ + +
−
−
^
c
c ^ c
c ^
^h
m
m h m
m h
h
. . . . . . ...k
ak
a bk
a bk
a b0 0 1 1k k k k1 1 2= + + + ++ −c c c cm m m m
. . . . . . .k
k a bk
k a bkk b a
kk b1 1
k k k k2 1 1−
+−
+ +− +c c c cm m m m
ifadesini II nolu denkleme eşitleyelim.
Denklem doğrulandığından n = k + 1 içinde doğrudur.
Lineer (Doğrusal) Nokta Kümeleri
R’nin alt kümeleri
H a, b ∈ R olmak üzere;
{x ∈ R : a < x < b} = (a, b) = ]a, b[
H {x: a G x G b} = [a, b]
H {x: x > a} = (a, ∞)
H {x: a < x G b} = (a, b]
H {x: –∞ < x < ∞} = R
Tanım:
A bir lineer nokta kümesi olsun. Her x ∈ A için x H a
olacak şekildeki a ∈ R sayısına A’nın bir alt sınırı denir.
Eğer ∀ x ∈ A için x G b olacak şekildeki b ∈ R sayısına
A’nın bir üst sınırı denir.
Aksiyom:
Üstten sınırlı bir kümenin üst sınırları arasında bir en kü-çüğü, alttan sınırlı bir kümenin alt sınırları arasında bir en büyüğü vardır.
A = (0, 1] alt ve üst sınırlarının kümesini bulalım.
A nın alt sınırlannın kümesi: (–∞, 0]
A nın üst sınırlarının kümesi: (1, ∞)
Tanım:
Hem alttan hem de üstten sınırlı kümelere sınırlı küme denir. A sınırlı bir küme olsun. A’nın üst sınırlarının en küçüğüne en küçük üst sınırı veya supremumu denir ve eküsA veya supA ile gösterilir. A’nın alt sınırlarının en büyüğüne de en büyük alt sınırı veya infimumu denir ve ebasA veya infA ile gösterilir.
A = [0, 1) ise supA ve infA diğerlerini bulalım.
supA = 1 g A infA = 0 ∈ A
H sup ve inf değerleri kümeye ait olmak zorunda değildir.
7
B = {r1 : r ∈ Q, r > 0} olmak üzere varsa supB ve infB
nedir, bulalım.
supB yoktur ve infB = 0
H Eğer; supA = a ∈ A ise a’ya A’nın maksimum elemanı denir.
H Eğer; infA = b ∈ A ise b’ye A’nın minimum elemanı denir.
H supA = a olsun. Bu durumda,
1. ∀ x ∈ A için x # a
2. ∀ ε > 0 için ∃ x ∈ A verir, öyle ki x + ε > a dır.
H infA = b olsun. Bu durumda
1. ∀ x ∈ A için x $ b
2. ∀ ε > 0 için ∃ x ∈ A var, öyle ki x – ε < b dir.
Mutlak Değer
Bir a ∈ R sayısının orijine uzaklığına a sayısının mutlak
değeri denir ve ;;a
a aa a
001
$=
−) biçiminde tanımlanır.
Açıktır ki;
i) a a a
a a
0 0 0+$ = =
− =
ii) a G OaK
–a G OaK
iii) a ba b
a b&G
GG
−3
iv) . .a b a b=
v) ba
ba
= , (b ≠ 0)
Teorem:
a, b ∈ R
1. –OaKGa G OaK
2. OKaK–ObKOGOa + bKGKaK + KbK(üçgen eşitsizliği)
OaKGb ⇔ –b Ga Gb
OaK$ b ⇔ a $ b V a G–b
Sonuç:
a1, ...., an ∈ R olmak üzere;
Oa1 + a2 + ... + anOG Oa1K+Oa2K+ .....OanK’dir.
Komşuluk
a ∈ R ve f > 0 olmak üzere;
{ : } ,K x R x a a ad 1 f f f= − − += ` j
kümesine a’nın f komşuluğu denir.
a–f a+f
K
a
1444442444443
K–{a} kümesine a’nın delinmiş komşuluğu denir.
Yığılma Noktası A ⊂ R, a ∈ R olsun.
a noktasının ∀f, f > 0 komşuluğu, A’nın a’dan farklı en az bir elemanını bulunduruyorsa a’ya A’nın bir yığılma noktası denir. Buna göre a, A’nın yığılma noktasıdır.
⇔ ∀ f > 0, A « [(a – f, a + f ) – {a}] ≠ ∅
H Doğal sayılar kümesinin yığılma noktası yoktur.
H İrrasyonel sayılar kümesinin yığılma noktaları reel sayılar kümesidir.
H Rasyonel sayılar kümesinin yığılma noktaları reel sayılar kümesidir.
Çıkmış Sorular
nn x
2n
n 0
$+
3
=| serisinin yakınsak olduğu en geniş aralık
aşağıdakilerden hangisidir?
A) ,1 0−` j B) ,1 1−` j C) (0, 1)
D) ,2 2−` j E) ,2 2−8 B
lim xx 1
n nn 1 1
"3
+ olmalıdır.
lim nn x
n xn
31 2 1
nn
n1
$$1+
+ +"3
+
limn n
x n n
3
1 21
n $
$ $1
+
+ +"3
```jjj
.
lim x
x olupx dir
1
11 1
n&
1
1
1 1−
"3
Dolayısıyla ,1 1−` j aralığında seri yakınsaktır.
Cevap B
8
:A n n N1d= ' 1 kümesinin yığılma noktası sıfır (0)’dır.
O halde A nın yığılma noktalarının kümesi {0} dır.
Teorem:
Bir kümenin supremumu (veya infimumu) kümeye ait de-ğilse o kümenin yığılma noktasıdır.
Tanım:
Bir A kümesinin en sağdaki yığılma noktasına A’nın üst limiti, en soldaki yığılma noktasına da A’nın alt limiti de-nir. Sırasıyla
,limsup limA veya A
liminf limA veya A ile gösterilir.
1. A = {(–1)n : n ∈ N} olsun. limsupA = 1 liminfA = –1
2. B = {sinn: n ∈ N} olsun
lim limB B1 1= =−
Tam DeğerBir a ∈ R’nin tam değeri diye a’dan büyük olmayan en büyük tam sayıya denir ve a" , ile gösterilir.
Buna göre, , e4 2π− =− =" ", , dir.
1. ∀x ∈ R için x xH " ,
2. ∀x ∈ R için ;x x t= +" , olacak şekilde t ∈ [0, 1) vardır.
3. ∀ m ∈ Z için m m=" , dir.
4. a, b ∈ R için a b ba$+ +$ $ $. . . dır.
xx 1 1−
=' 1 denklemini çözelim.
xx1 1 21#−
i. x x x1 1 1 0 1 0& & 1G G−−
ii. x x x1 1 2 1 1 1>& &1 1− − −
Ç.K = (–∞,–1 )
FONKSİYONLAR(x, y) = {{x} , {x, y}} kümesine bir x ile y’nin sıralı ikilisi denir. (x, y) ≠ (y, x), (x = y)(x, y) = (u, v) ⇒ x = u , y = v dir.
Örnek
A ≠ ∅ ≠ B herhangi iki küme olmak üzere;
AXB = {(a, b) : a ∈ A , b ∈ B} dir.
H AXB ≠ BXA (A ≠ B)
H AX ∅ = ∅
H AXB nin her bir alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir.
H AXA nın her bir alt kümesine A’da bir bağıntı denir.
Fonksiyon A ve B iki küme f A’dan B’ye bir bağıntı olsun (f ⊂ AXB).
1. x ∈ A için (x, y) ∈ f olacak şekilde y ∈ B var ve
2. (x, y) ∈ f ve (x, z) ∈ f iken y = z
ise f’ye A’dan B’ye bir fonksiyon denir.
:A B ve A Bf f biçiminde göste-
rilir.
Buradan A’ya f’nin tanım kümesi B’ye değer kümesi de-
nir.
:f A Bx y f x"
" = ` j
Tanımından f’nin A’dan B’ye bir fonksiyon olması için A’nın bir elemanı B’de birden çok elemanla eşleşmeme-lidir.
Tanım:
f, g: A → B iki fonksiyon olsun.
∀ x∈A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlarına eşit fonk-
siyonlar denir ve f = g ile gösterilir.
f, g : R → R f(x) = x2 – 1 ; g(x) = (x – 1) . (x + 1) olmak üzere, f = g dır.
H f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerine f’nin sıfırları (kökleri) denir.Tanım: f, g : A → B iki fonksiyon olsun.(f " g) (x) = f(x) " g(x)(f . g) (x) = f(x) . g(x)(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0(c . f) (x) = c . f(x) , c ∈ R
şeklinde tanımlanır.
9
Tanım:
f : X → Y bir fonksiyon ve
A ⊂ X , B ⊂ Y olsun. f(A) = {f(x) | x ∈ A} kümesine A’nın f
altındaki görüntüsü ve
f–1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} kümesine B’nin f altındaki ters
görüntüsü denir.
H Ters fonksiyon olmadan da ters görüntü olabilir.
Teorem:
f : X → Y bir fonksiyon A, B ⊂ X olsun. Bu durumda,
a) A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B)
b) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B)
c) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B)
Teorem:
f : X → Y bir fonksiyon E, F ⊂ Y olsun.
a) E ⊂ F ⇒ f–1 (E) ⊂ f–1(F)
b) f–1 (E ∩ F) = f–1(E) ∩ f–1(F)
c) f–1(E ∪ F) = f–1(E) ∪ f–1 (F)
d) f–1(E =F) = f–1(E) = f–1 (F)
e) f–1(Ft) = (f–1(F))t (Ft : F nin tümleyeni)
f) f–1(∅) = ∅
Bazı Özel Fonksiyonlar
Tanım:
f : A ⊂ R → R biçimindeki fonksiyona reel değişkenli ve
reel değerli fonksiyon denir.
Eğer; f: A → B fonksiyonu,
∀ x ∈ A için f(x) = c (c: sabit) ise f’ye sabit fonksiyon denir.
Eğer ; f(A) = B ise f’ye örten fonksiyon denir. Buna göre,
“f örtendir ⇔ ∀ y ∈ B için f(x) = y olacak şekilde en az bir
x ∈ A vardır.”
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
Yani f(A) ⊂ B dir.
f: R → [0, ∞), f(x) = x2 örten olduğunu gösteriniz.
∀ y ∈ [0,∞) için;
x2 = y ⇒ x = " y ∈ R olduğu için f örtendir.
f: R → R, f(x) = 2x + 1 örten olduğunu gösteriniz.
∀ y ∈ R için; 2x + 1 = y ⇒ 2x = y–1 ⇒ xy
R21d=
−
olduğu için f örtendir.
Özdeşlik (Birim) Fonksiyonu
f: A → A
∀x ∈ A için f(x) = x ise f ye birim fonksiyon denir.
IA ile gösterilir.
Bileşke Fonksiyon
f: A → B, g: B → C fonksiyonları veriliyor.
g fonksiyonu f(A)’nın her bir y = f(x) elemanını C’nin bir
z = g (f(x))’e dönüştürür. Böylece A’nın her bir x elema-
nını C nin bir z = g(f(x)) elemanına dönüştüren yeni bir
fonksiyon elde edilmiş olur. Bu fonksiyona f ile g nin bileşkesi denir ve gof ile gös-terilir.
Buna göre (gof) (x) = g (f(x)) olur. g ≠ f olmak üzere ge-nelde gof ≠ fog dir.
Tanım:
f : A Æ B bir fonksiyon olsun.
“f bire–birdir ⇔ ∀x, y ∈ A ( ) ( )"x y ise f x f y] ]
“f bire–birdir ⇔ ∀ x, y ∈ A f(x) = f(y) ⇒ x = y”
f : (–∞, 0] → [0, ∞) , f(x) = x2 fonksiyonunun
1 : 1 ve örten olduğunu gösterelim.
1 – 1 lik; ∀ x1, x2 ∈ (–∞,0] olsun f(x1) = f(x2)
, : .
x x
x x
f dir1 1
12
22
1 2
&
&
&
=
=
örtenlik : “ f örtendir ⇔ ∀ y ∈ [0, ∞) için f(x) = y olacak
şekilde en az bir x ∈ (–∞, 0] vardır.
f(x) = y ⇒ x2 = y
⇒ x = y− ∈ (–∞, 0] olup böylece f örtendir.
