kpfu.ru · ВВЕДЕНИЕ Кольцо R называется регулярным, если для каждого его элемента r существует такой элемент

А.Н. Абызов

КОЛЬЦА И МОДУЛИ, БЛИЗКИЕ КРЕГУЛЯРНЫМ

Казань — 2009

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 2

Глава I. Кольца и модули, близкие к регулярным 4

§1.1. Основные определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

§1.2. Полупростые слабо регулярные кольца . . . . . . . . . . . . 8

§1.3. Вполне идемпотентные кольца и модули . . . . . . . . . . . 15

§1.4. Регулярные кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§1.5. Регулярные модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

§1.6. Проективные слабо регулярные модули . . . . . . . . . . . . 36

§1.7. Полусовершенные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Глава II. Max - кольца. 46

§2.1. V – кольца и модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

§2.2. Max - кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Глава III. Полуартиновы кольца. 61

§3.1. Полуартиновы кольца и модули . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§3.2. Длина Леви полуартиновых колец . . . . . . . . . . . . . . . 66

§3.3. SV — кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

§3.4. Полуартиновы Max — кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Глава IV. Обобщенные SV - кольца. 78

§4.1. Теорема Ософской - Смита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

§4.2. Модули со свойством подъёма . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

§4.3. Характеризации SV – колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

§4.4. Обобщенные SV — кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Список обозначений 98

Литература 99

1

ВВЕДЕНИЕ

Кольцо R называется регулярным, если для каждого его элемента r

существует такой элемент s ∈ R, что r = rsr. В настоящем пособии рас-сматриваются некоторые важные обобщения понятия регулярного кольца.

Регулярные кольца были введены Фон Нейманом в 1936 году в рабо-те [53] для координатизации непрерывных геометрий. Непрерывным гео-метриям и их связям с регулярными кольцами посвящены монографии[10],[50], [54]. Следует также отметить, что непрерывные геометрии воз-никли в совместной работе Неймана и Меррея, посвященной алгебрам ли-нейных операторов в гильбертовом пространстве.

В 30 — 50 -ые годы прошлого века в ряде работ были рассмотрены клас-сы колец, близкие к регулярным. В работе [48] Мак - Кой ввел понятие π

— регулярного кольца — кольца, в котором для каждого элемента r най-дется такое натуральное число n, что элемент an является регулярным всмысле Фон - Неймана. Понятия строго регулярного и бирегулярного коль-ца, как двустороннего аналога регулярного кольца, были введены и изуче-ны Капланским и Аренсоном в работе [21]. Кольцо, в котором каждый нениль - идеал содержит ненулевой идемпотент, называется кольцом Цорна.Кольца Цорна под названием I — колец были введены и глубоко изученыЛевицким в работе [47]. Некоторые из этих результатов были отражены вклассической монографии Джекобсона.

Вильямайер изучил кольца, над которыми каждый простой модуль яв-ляется инъективным, и показал, что это в точности те кольца, у которыхкаждый правый идеал является пересечением максимальных правых иде-алов. Фейс в своей работе [37] назвал эти кольца правыми V — кольцамии построил пример регулярного правого V — кольца, но не левого V —кольца. Капланский показал, что коммутативное кольцо регулярно тогдаи только тогда, когда оно является V — кольцом. С другой стороны в ра-ботах Коззенса [32] и Койфмана [8] были построены примеры колец, пока-зывающие, что в некоммутативном случае теорема Капланского перестаетбыть верной. Аналогичные примеры были рассмотрены Ософской в рабо-те [62]. Модульный аналог понятия V — кольца был рассмотрен в работах[65], [39], [70].

Изучение теоретико — кольцевых свойств полуартиновых колец и Max— колец берет свое начало с основопологающей работы Х. Басса [25]. Всвоей работе Х. Басс показал, что совершенные справа кольцо являетсяполуартиновым слева. В работе [29] было показано, что если у полуарти-

2

нова справа кольца R правая длина Леви равна n, то R — полуартиновослева и левая длина Леви кольца R не превосходит 2n−1. Для любых двухбесконечных ординалов α и β Ософская в работе [61] построила примерысовершенных колец, у которых левая длина Леви равна α + 1, а праваядлина Леви равна β + 1.

Кольцо R называется вполне идемпотентным справа, если для каждо-го его правого идеала I имеет место равенство I2 = I. Понятие вполнеидемпотентного кольца было введено в работе [56]. Вполне идемпотентныемодули были изучены в работах [44], [45], [48].

Слабо регулярные кольца под названием I — колец были введены иподробно изучены Никольсоном в работе [55]. Модульный аналог понятияслабо регулярного кольца был изучен в работах [1]—[6], [9], [13]—[16], [18]—[19], [42].

В первой главе работы рассмотрены основные классы колец и модулейблизких к регулярным. Во второй главе изучаются Max — кольца. В част-ности, рассмотрены V — кольца и некоторые их обобщения. Третья главапосвящена изучению полуартиновых колец и модулей. РассматриваютсяSV — кольца и полуартиновы Max — кольца. Последняя глава посвященаизучению колец, над которыми все модули являются слабо регулярными.Также рассматриваются модули M , у которых категория σ(M) слабо ре-гулярна.

При подготовке данного пособия была использованы статьи, указанныев списке литературы, и монографии [31], [41], [34], [68], [71].

3

ГЛАВА I.КОЛЬЦА И МОДУЛИ, БЛИЗКИЕ К РЕГУЛЯРНЫМ

§1.1. Основные определения

Теорема 1.1.1 Пусть M, N - правые R - модули. Тогда для гомомор-физма f ∈ HomR(M,N) следующие условия равносильны:

(1) существует такой гомоморфизм g ∈ HomR(N,M), что e = gf = e2 6=0;

(2) существует такой гомоморфизм h ∈ HomR(N, M), что d = fh = d2 6=0;

(3) существует такой гомоморфизм k ∈ HomR(N, M), что k = kfk 6= 0;

(4) существуют такие ненулевые прямые слагаемые A и B модуля M имодуля N соответственно, что f индуцирует изоморфизм между A иB.

Доказательство. (1) =⇒ (2). Определим d = feg. Тогда d2 = fegfeg =feg = d. Поскольку gdf = gfegf = e 6= 0, то d 6= 0 и в качестве h можновзять элемент eg.

(2) =⇒ (3). Поскольку hfhfhfh = hfh и f(hfh) = fh 6= 0, то в каче-стве k можно взять элемент hfh.

(3) =⇒ (1). Поскольку kf = kfkf и kf 6= 0, то в качестве g можновзять элемент k.

(1) =⇒ (4). Пусть d = feg. Поскольку d2 = d, то M = dM ⊕ (1 −d)M = eM ⊕ (1 − e)M . Тогда feM = fgfgfM = dfM ⊂ dM , gdM =gfegM = egM ⊂ eM и для каждого m из M имеем gf(em) = gfgfm =em, fg(dm) = fgfegm = dm. Следовательно, f индуцирует изоморфизммежду eM и dM .

(4) =⇒ (3). Пусть ϕ - изоморфизм между A и B, индуцированныйгомоморфизмом f . Согласно условию M = A ⊕ A′ и N = B ⊕ B′, где A′

- подмодуль модуля M и B′ - подмодуль модуля N . В матричной формегомоморфизм f относительно этих разложений имеет вид(

ϕ α

0 β

)

Тогда в качестве k можно взять гомоморфизм

4

(ϕ−1 00 0

). ¤

Теорема 1.1.2 Пусть M, N - правые R - модули. Тогда для гомомор-физма f ∈ HomR(M,N) следующие условия равносильны:

(1) существует такой гомоморфизм g ∈ HomR(M, N), что f = fgf ;

(2) образ и ядро отображения f выделяются в виде прямого слагаемого вмодуле N и в модуле M соответственно.

Доказательство. (1) =⇒ (2). Рассмотрим отображения e = gf и d =fg. Если m ∈ Ker f , то em = gfm = 0. Следовательно, m = (1 − e)m иKer(f) ⊂ (1 − e)M . Поскольку f(1 − e)M = 0, то Ker f = (1 − e)M . Таккак fM = dM , e = e2 и d = d2, то имеют место следующие разложенияM = Ker f ⊕ eM,N = fM ⊕ (1− d)M .

(2) =⇒ (1). Пусть M = A ⊕ Ker f, N = fM ⊕ B, где A - подмодуль Mи B - подмодуль N . Тогда отображение f относительно этих разложенийимеет следующее матричное представление(

ϕ 00 0

), где ϕ – изоморфизм между A и fM , индуцированный гомо-

морфизмом f .Тогда в качестве k можно взять гомоморфизм(

ϕ−1 00 0

). ¤

Следствие 1.1.3. Для элемента r кольца R следующие условия равно-сильны:

(1) существует такой элемент s ∈ R, что e = sr = e2 6= 0;

(2) существует такой элемент s ∈ R, что e = rs = e2 6= 0;

(3) существует такой элемент h ∈ R, что h = hfh 6= 0;

(4) существуют такие ненулевые правые идеалы A и B кольца R, которыеявляются прямыми слагаемыми в RR, что отображениеA 3 a 7→ ra ∈ B

является изоморфизмом.

Определение 1.1.4 Кольцо R называется слабо регулярным, если длякаждого элемента r ∈ R, который не лежит в J(R), найдется такой нену-левой элемент s, что s = srs.

5

Определение 1.1.5. Элемент r кольца R называется регулярным, еслидля него найдется такой элемент s ∈ R, что r = rsr. Кольцо R называетсярегулярным, если каждый его элемент регулярен.

Следующие два утверждения проверяются непосредственно.

Теорема 1.1.6. Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R - слабо регулярное кольцо;

(2) каждый правый (левый) идеал кольца R, не содержащийся в J(R),содержит ненулевой идемпотент.


(1) R - регулярное кольцо;

(2) каждый главный правый (левый) идеал кольца R порождается идем-потентом.

Определение 1.1.8. Модуль M называется слабо регулярным, есликаждый его подмодуль, который не содержится в радикале Джекобсонамодуля M , содержит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля M .

Теорема 1.1.9. Для правого R - модуля M следующие условия равно-сильны:

(1) M является слабо регулярным;

(2) каждый некосущественный циклический подмодуль модуля M содер-жит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля M ;

(3) каждый циклический подмодуль модуля M , который не содержится вJ(M), содержит в себе ненулевое циклическое прямое слагаемое мо-дуля M ;

(4) каждый подмодуль модуля M , не содержащийся в J(M), содержитпрямое слагаемое модуля M , которое не содержится в J(M);

(5) каждый подмодуль модуля M , не содержащийся в радикале Джекоб-сона, содержит нерадикальное прямое слагаемое модуля M .

Доказательство. Импликации 4) ⇒ 5) и 5) ⇒ 1) проверяются непо-средственно.

6

1)⇒ 2) Поскольку, каждый некосущественный циклический подмодульмодуля M не лежит в J(M), то импликация непосредственно следует изопределения слабо регулярного модуля.

2) ⇒ 3) Если циклический подмодуль nR слабо регулярного модуля M

не содержится в J(M), то он некосущественен и, следовательно, согласнопредположению будет содержать в себе ненулевое прямое слагаемое модуляM . Тогда исходная импликация будет следовать из того факта, что каждоепрямое слагаемое циклического модуля является циклическим.

3) ⇒ 4) Если подмодуль N модуля M не содержится в J(M), то n /∈J(M) для некоторого n ∈ N . Тогда согласно предположению nR содержитненулевое циклическое прямое слагаемое модуля M , которое, очевидно, несодержится в J(M). ¤

Определение 1.1.10.Модуль M называется регулярным, если каждыйциклический подмодуль в нем выделяется в виде прямого слагаемого.

Определение 1.1.11. Говорят, что подмодуль N модуля M лежит надпрямым слагаемым модуля M , если существуют такие подмодули N1 и N2,что N1⊕N2 = M , N1 ⊂ N и N2∩N косуществен в N2. Правый R - модульM называется модулем со свойством подъема, если каждый его подмодульлежит над прямым слагаемым модуля M . Если каждый циклический под-модуль модуля M лежит над прямым слагаемым, то модуль M называетсяполурегулярным.

Легко видеть, что каждый модуль, удовлетворяеющий либо определе-нию 1.1.10, либо определению 1.1.11, является слабо регулярным. Слаборегулярные модули (модули со свойством подъема) замкнуты относительнопрямых слагаемых. С другой стороны можно показать, что слабо регуляр-ные модули(модули со свойством подъема), вообще говоря, не замкнутыотносительно прямых сумм.

Упражнения.

(1) Пусть M и N - правые R - модули, π21 = π1 ∈ EndR(M), π2

2 = π2 ∈EndR(N). Тогда следующие условия равносильны:

(a) π1M ∼= π2N ;

(b) π1 = gf и π2 = fg, где f ∈ HomR(M,N), g ∈ HomR(N, M).

(2) Если R - слабо регулярное кольцо, то

(a) R/J(R) - слабо регулярное кольцо;

7

(b) Mn(R) - слабо регулярное кольцо;

(c) каждый идеал в кольце R является слабо регулярным предколь-цом.

(3) Привести пример, показывающий, что гомоморфный образ слабо ре-гулярного кольца, вообще говоря, не является слабо регулярным коль-цом.

(4) Верно ли, что в полупростом слабо регулярном кольце каждый одно-сторонний идеал порождается идемпотентами?

(5) Покажите, что модуль Z/pZ⊕ Z/p2Z слабо регулярен.

§1.2. Полупростые слабо регулярные кольца

Лемма 1.2.1. Пусть e, f — идемпотенты кольца R. Тогда следующиеусловия равносильны:

(1) eR ∼= fR;

(2) Re ∼= Rf ;

(3) e = ab, f = ba, где a, b ∈ R;

(4) e = ab, f = ba, где a ∈ eRf , b ∈ fRe;

(5) eR = aR, Rf = Ra, где a ∈ R.

Доказательство. Из соображения симметрии, очевидно, достаточнодоказать эквивалетность пунктов (1),(3),(4) и (5).

(1)⇒(3) Пусть φ : eR → fR изоморфизм правых R — модулей. Положимa = φ−1(f) ∈ eRf и b = φ(e) ∈ fRe. Тогда ab = φ−1(f)b = φ−1(fb) =φ−1(b) = e. Аналогично f = ba.

(3)⇒(4) Положим a1 = eaf и b1 = fbe. Тогда a1b1 = eafbe = eababe =e4 = e. Аналогично b1a1 = f .

(4)⇒(5) Очевидно.

(5)⇒(1) Из условия пункта следует, что a ∈ eR ∩ Rf = eRf и длянекоторых элементов x, y ∈ R имеют место равенства e = ax, f = ya.Положим b = fx = yax = ye ∈ fRe. Пусть φ : eR → fR гомоморфизм,при котором φ(e) = b, и ψ : fR → eR гомоморфизм, при котором ψ(f) =

8

a. Поскольку ψ(φ(e)) = ψ(b) = ψ(fx) = ψ(f)x = ax = e и φ(ψ(f)) =φ(a) = φ(ea) = φ(e)a = ba = yea = ya = f , то φ и ψ — взаимообратныегомоморфизмы. ¤

Лемма 1.2.2. Пусть e — идемпотент полупервичного кольца R. Тогдаследующие условия равносильны:

(1) e — центральный идемпотент;

(2) eR — идеал кольца R;

(3) Re — идеал кольца R;

(4) (1− e)Re = 0;

(5) eR(1− e) = 0.

Доказательство.(1)⇒(2) Очевидно.

(2)⇒(4) Так как eR является левым идеалом, то Re ⊂ eR и, следова-тельно, (1− e)Re = 0.

(4)⇒(1) Из равенства (1− e)Re = 0 следует, что Re ⊂ eR. Тогда eR(1−e) = 0 — левый идеал. Поскольку (eR(1−e))2 = 0, то eR(1−e) = 0. Такимобразом, для каждого r ∈ R имеем er = ere = re.

(1)⇔(3)⇔(5) доказывается симметрично. ¤Лемма 1.2.3. Пусть e1, . . . , en — идемпотенты кольца R, причем ejei =

0 как только i < j. Тогда f = e1 . . . en — идемпотент и fei = eif = ei

для каждого i.

Доказательство.Доказательство оставляется читателю в качестве упраж-нения.

Пусть R — произвольное кольцо. Для элемента r ∈ R положим In(r) =minn ∈ N | rn = 0. Если rn 6= 0 для каждого n ∈ N, то положимIn(r) = 0. Кольцо R называется кольцом ограниченного индекса, еслиIn(R) = supIn(r) | r ∈ R < ∞. Кольцо, в котором каждый нильпо-тентный элемент нулевой, называется редуцируемым.

Теорема 1.2.4(Левицкий). Если R — полупростое слабо регулярноекольцо, то имеют место следующие утверждения:

(1) если rn = 0 и rn−1 6= 0 для некоторых r ∈ R и n ∈ N, то идеал RrR

содержит систему из n2 матричных единиц;

9

(2) если кольцо R содержит систему из n2 матричных единиц eijni,j=1 и

либо кольцо e11Re11 не редуцируемо, либо∑n

i=1 eii не является цен-тральным идемпотентом в R, то R содержит такую систему матрич-ных единиц fijm

i,j=1, что n < m и f11 ∈ e11Re11.

Доказательство. (1) Поскольку rn−1R 6= 0, то существует такой эле-мент s ∈ R, что e = rn−1s — ненулевой идемпотент и s = se. Пустьei = rn−isri−1 для каждого 1 ≤ i ≤ n. Легко видеть, что e2

i = ei и таккак ri−1eir

n−is = e 6= 0, то ei 6= 0. Если i < j, тоejei = rn−jsrj−1rn−isri−1 = rn−jsrn+j−i−1sri−1 = 0.Пусть f = e1 . . . en. Тогда из леммы 1.2.3 следует, что f — ненулевой

идемпотент и fei = eif = ei для каждого i. Рассмотрим кольцо S = fRf .Ясно, что S = ⊕n

i=1eiS. Поскольку ei = (rn−is)ri−1 и e = e1 = ri−1(rn−is),то по лемме 1.2.1 eiS ∼= e1S для каждого i. Тогда S ∼= EndS(SS) =EndS(⊕n

i=1eiS) ∼= Mn(eSe) и, следовательно, кольцо S содержит системуиз n2 матричных единиц.

(2) Предположим, что e11Re11 не редуцируемо. Пусть f = e11 + . . .+ enn

и S = fRf . Хорошо известно, что S ∼= Mn(e11Se11), причем e11Se11 =e11Re11. Следовательно, согласно (1) кольцо e11Se11 содержит систему tijk

i,j=1из k2 > 1 матричных единиц. Таким образом, кольцо R содержит системуfijnk

i,j=1 из (nk)2 матричных единиц, причем без ограничения общностимы можем считать, что f11 ∈ e11Re11.

Допустим, что f не является центральным идемпотентом. Поскольку R— полупервичное кольцо, то согласно лемме 1.2.2 fR(1 − f) 6= 0. ТогдаessR(1 − f) 6= 0 для некоторого 1 ≤ s ≤ n. Так как essR(1 − f)R неявляется нильпотентным идеалом, то essR(1 − f)Ress 6= 0. Легко видеть,что предкольцо essR(1− f)Ress является полупростым слабо регулярнымпредкольцом. Тогда существует такой ненулевой идемпотент fss ∈ essR(1−f)Ress, что для некоторых элементов fs,n+1 ∈ essR(1 − f), fn+1,s ∈ (1 −f)Ress имеет место равенство fss = fs,n+1fn+1,s. Без ограничения общностиможно считать, что fssfs,n+1 = fs,n+1 и fn+1,sfss = fn+1,s. Непосредственнаяпроверка показывает, что fn+1,n+1 = fn+1,sfs,n+1 — ненулевой идемпотент.Пусть fsi = fssesi и fis = eisfss, где i = 1, . . . , n, и fij = fisfsj, где i, j =1, . . . , n+1. Легко видеть, что fijn+1

i,j=1 — система матричных единиц и f11

— ненулевой идемпотент кольца e11Re11. ¤Следствие 1.2.5. Если R — полупростое слабо регулярное кольцо огра-

ниченного индекса, то каждый идеал I 6= 0 кольца R содержит идеал ви-да Mn(D), где D — редуцированное кольцо с единицей и единица кольца

10

Mn(D) является центральным идемпотентом кольца R.Доказательство. Пусть I — ненулевой идеал кольца R, In(I) = m и

r ∈ I — такой элемент, что In(r) = m. Тогда из теоремы 1.2.4 следует, что видеале I существует ненулевая система матричных единиц eijm

i,j=1. Еслилибо кольцо e11Re11 нередуцируемо, либо идемпотент f = e11 + . . . + emm

нецентрален в R, то из доказательства пункта 2 теоремы 1.2.4 следует, чтов идеале I существовует ненулевая система матричных единиц fijs

i,j=1,где s > m. Тогда легко видеть, что In(f12 + f23 + . . . + fs−1,s) = s > m.Полученное противоречие показывает, что идемпотент f централен в R, акольцо e11Re11 является редуцируемым. ¤

Теорема 1.2.6 [26]. Для кольца R, у которого In(R) = n, следующиеусловия равносильны:

(1) R — полупростое слабо регулярное кольцо;

(2) кольцо R содержит существенный идеал I = ⊕α∈AMnα(Dα), где

(a) nα ≤ n для каждого α ∈ A;(b) Dα — редуцируемое кольцо для каждого α ∈ A и каждый одно-

сторонний идеал L кольца Dα содержит идеал K, который по-рождается центральными идемпотентами кольца Dα и являетсясущественным в L.

Доказательство. 1) ⇒ 2) Допустим R — редуцируемое кольцо. ПустьL — правый идеал кольца R и K — идеал кольца кольца R, который по-рождается всеми идемпотентами из L. Очевидно, что K существен в L ипо лемме 1.2.2 K порождается центральными идемпотентами.

Из следствия 1.2.5 и леммы Цорна следует существование такого макси-мального семейства взаимоортогональных ненулевых центральных идем-потентов (fi)i∈I , что fiR = Mn(Di), где Di — редуцируемое кольцо длякаждого i ∈ I. Рассмотрим идеал I = ⊕i∈IMni

(Di). Если для некото-рого ненулевого правого идеала A кольца R имеет место равенство A ∩I = 0, то AI = 0 и, следовательно, Ann(RI) 6= 0. Тогда согласно след-ствию 1.2.5 идеал Ann(RI) содержит такой центральный идемпотент f , чтоfR = Mn0

(D), где D — редуцируемое кольцо. Получили противоречие смаксмальностью семейства взаимоортогональных ненулевых центральныхидемпотентов (fi)i∈I . Таким образом, идеал I является существенным в R.

2) ⇒ 1) Ясно, что I — полупростое слабо регулярное предкольцо. Ес-ли A — ненулевой правый идеал кольца R, то A ∩ I — ненулевой правый

11

идеал предкольца I и, следовательно, A∩I ⊂ A содержит ненулевой идем-потент. ¤

Теорема 1.2.7. Для слабо регулярного полупростого кольца R следу-ющие условия равносильны:

(1) R — классически полупростое кольцо;

(2) R — артиново справа кольцо;

(3) R — нетерово справа кольцо;

(4) в кольце R каждая система ненулевых взаимоортогональных идемпо-тентов является конечной.

Доказательство.Доказательство оставляется читателю в качестве упраж-нения.

Лемма 1.2.8. Если I — идеал кольца R, который порождается конеч-ным числом центральных идемпотентов, то I = eR для некоторого цен-трального идемпотента e ∈ R.

Доказательство. Пусть I = e1R+ . . .+ enR, где e1, . . . , en — централь-ные идемпотенты кольца R. Покажем, что для некоторого центральногоидемпотента e имеет место равенство eR = e1R + . . . + enR. Легко видеть,что для каждых двух цетральных идемпотентов f и g кольца R имеет ме-сто равентсво f gR = fR + gR и f g — центральный идемпотент кольцаR. Отсюдо непосредственно следует, что e = e1 e2 . . .en — центральныйидемпонтент кольца R и eR = e1R + . . . + enR. ¤

Теорема 1.2.9. Если в кольце R каждый правый идеал порождаетсяцентральными идемпотентами, то кольцо R регулярно.

Доказательство. Достаточно показать, что каждый главный правыйидеал кольца R порождается идемпотентом. Пусть I — главный правыйидеал кольца R. Согласно предположению I порождается конечным чис-лом центральных идемпотентов. Тогда из леммы 1.2.8 следует, что I по-рождается идемпотентом. ¤

Теорема 1.2.10. Пусть R — полупростое слабо регулярное кольцо. Есликаждый примитивный гомоморфный образ кольца R имеет ограниченныйиндекс нильпотентности, то всякий идеал I 6= 0 кольца R содержит идеалвида Mn(D), где D — редуцированное кольцо с единицей и единица кольцаMn(D) является центральным идемпотентом кольца R.

12

Доказательство. Так как идеал I содержит ненулевой идемпотент,то мы можем предположить, что I содержит систему из n1 ≥ 1 мат-ричных единиц e(1)

i1j1. Если либо кольцо e

(1)11 Re

(1)11 не редуцировано, ли-

бо идемпотент∑

e(1)i1j1

не централен, то по теореме 1.2.4 существует такаяненулевая система e(2)

i2j2 из n2 матричных единиц, что e

(2)11 ∈ e

(1)11 Re

(1)11 и

n2 > n1. Повторяя рассуждения, приведенные выше, мы получим после-довательность систем из nk матричных единиц e(k)

ikjk (k = 1, 2, . . . ), где

n1 < n2 < . . . и e(k)11 ∈ e

(k−1)11 Re

(k−1)11 . Допустим эта последовательность

бесконечна. Тогда мы имеем бесконечную возрастающую цепочку правыхидеалов (1− e

(1)11 )R ⊆ (1− e

(2)11 )R ⊆ . . .. Поскольку e

(k)11 6= 0 для каждого k,

то⋃∞

i=1(1 − e(i)11 )R 6= R. Пусть M — максимальный правый идеал кольца

R, который содержит правый идеал⋃∞

i=1(1 − e(i)11 )R, и P = AnnR(R/M).

Если e(i)11 ∈ P ⊂ M для некоторого i, то 1 ∈ M , что невозможно. Таким

образом, e(i)11 /∈ P для каждого i. Тогда для каждого i кольцо R/P содер-

жит систему из ni матричных единиц и, следовательно, R/P не являет-ся кольцом ограниченного индекса. Полученное противоречие показывает,что для некоторого натурального числа k кольцо e

(k)11 Re

(k)11 редуцировано и

идемпотент f =∑

e(k)ikjk

централен. Так как e(k)11 ∈ e

(1)11 Re

(1)11 , то e(k)

ikjk ⊂ I.

Тогда I содержит идеал S = fRf , который как кольцо изоморфен кольцуMn(e

(k)11 Se

(k)11 ), где кольцо e

(k)11 Se

(k)11 = e

(k)11 Re

(k)11 редуцировано. ¤

Следствие 1.2.11. Пусть R — неразложимое полупростое слабо регу-лярное кольцо. Если каждый примитивный гомоморфный образ кольца Rимеет ограниченный индекс нильпотентности, то R = Mn(D), где D —тело.

Доказательство. Поскольку R — неразложимое кольцо, то из преды-дущей теоремы следует, что R = Mn(D), где D — редуцированное кольцо.Так как в редуцированном кольце каждый идемпотент является централь-ным, то D — слабо регулярное кольцо, в котором нет нетривиальных идем-потентов. Т.е. D — тело. ¤

Теорема 1.2.12 (Тюкавкин Д.В.). Пусть R — кольцо, у которогокаждый односторонний идеал порождается идемпотентами. Если каждыйпримитивный гомоморфный образ кольца R имеет ограниченный индекснильпотентности, то кольцо R регулярно.

Доказательство. Предположим, что кольцо R не является регуляр-ным. Тогда найдется такой элемент r ∈ R, что r /∈ rRr. Множество идеаловI, для которых r /∈ rRr + I, вполне упорядочено по включению. Тогда полемме Цорна найдется максимальный элемент в этом множестве, который

13

мы обозначим через I0.

Покажем, что кольцо R/I0 неразложимо. Если это кольцо является пря-мым произведением двух ненулевых колец R1 и R2, то в силу выбора идеалаI0 проекции элемента r будут регулярными в этих кольцах. Тогда, очевид-но, сам элемент r будет регулярным, что противоречит нашему допуще-нию. Таким образом, кольцо R/I0 является неразложимым полупростымслабо регулярным кольцом, у которого каждый примитивный образ имеетограниченный индекс нильпотентности. Из следствие 1.2.11 следует, чтоR/I0 — артиново простое кольцо и, следовательно, регулярно. Полученноепротиворечие показывает регулярность кольца R. ¤

Пример 1.2.13.(Тюкавкин Д.В.) Существует нерегулярное кольцо,в котором каждый односторонний идеал порождается идемпотентами.

Доказательство. Пусть P — произвольное поле. В кольце CFMN(R)выделим подмножество R всех матриц r, у которых ненулевые элементыотстоят от главной диагонали не более чем на n(r) место по вертикали.Таким образом, n(r) — такое натуральное число, зависящее от r, что rij =0, если | j − i |> n(r). Непосредственные вычисления показывают, что длякаждых r, s ∈ R имеет место неравенство n(rs) ≤ n(r) + n(s).

Легко видеть, что R подкольцо кольца CFMN(R). Пусть s,m — нату-ральные числа и s ≤ m. Выделим в R подкольцо Rsm, состоящее из всехматриц, у которых ненулевые элементы стоят только в квадратных клет-ках, расположенных друг за другом на главной диагонали, причем перваяклетка имеет размер s × s, в все остальные — m × m. Очевидно, Rsm —регулярное кольцо.

Покажем, что каждый правый идеал кольца R порождается идемпотен-тами. Для этого достаточно показать, что каждый главный правый идеалкольца R порождается идемпотентами. Пусть r ∈ R и m = 2n(r) + 1.Для каждого 1 ≤ i ≤ m через e(i) обозначим такой элемент кольца R, чтоe(i)xy = 1, если x = y = km + i для некоторого целого числа k и e

(i)xy = 0 в

остальных случаях. Ясно, что e(1), . . . , e(m) — взаимоортогональные нену-левые идемпотенты и 1 = e(1) + . . . + e(m). Рассмотрим элемент re(i) длянекоторого 1 ≤ i ≤ m. Несложные вычисления показывают, что найдетсятакое натуральное число si, при котором re(i) ∈ Rsim. Поскольку коль-цо Rsim регулярно, то для некоторого ti ∈ Rsim имеет место равенствоre(i) = re(i)tire

(i). Положим fi = re(i)ti. Тогда f 2i = fi для каждого i и

r = re(1) + . . . + re(m) = f1re(1) + . . . + fmre(m) j f1R + . . . + fmR.

Таким образом, rR j f1R + . . . + fmR. Обратное включение следует из

14

соотношений fi = re(i)ti ∈ rR для каждого 1 ≤ i ≤ m.

Итак каждый главный правый идеал кольца R порождается идемпо-тентами. Для левого главного идеала доказательство аналогично. Такимобразом, каждый односторонний идеал кольца R порождается идемпотен-тами.

Покажем, что кольцо R не является регулярным. Пусть a ∈ R — такойэлемент, что aii = 1,ai,i+1 = −1 для каждого натурального числа i и ar,s = 0в остальных случаях. Через b ∈ CFMN(R) обозначим верхнюю треуголь-ную матрицу, у которой все элементы, стоящие не ниже главной диагонали,равны 1. Непосредственная проверка показывает, что ab = ba = 1. Еслиa = aca для некоторого c ∈ R, то c = b и b ∈ R, что невозможно. ¤


(1) Покажите, что произвольных элементов r1, . . . , rn кольца R имеет ме-сто равенство

r1 . . . rn = 1− (1− r1) . . . (1− rn).

(2) Для кольца R, у которого In(R) = n, следующие условия равносиль-ны:

(1) R — первичное полупростое слабо регулярное кольцо;

(2) R ∼= Mn(D), где D — тело.

(3) Пейдж в работе [64] показал, что кольцо, которое удовлетворяет усло-вию примера 1.2.13, является регулярным. Найдите ошибку в работе[64].

(4) Восполнить пробелы вычислительного характера в доказательстве при-мера 1.2.13.

(5) Если каждый односторонний идеал PI — кольца R порождается идемп-тентами, то кольцо R регулярно.

§1.3. Вполне идемпотентные кольца и модули

Определение 1.3.1. Кольцо R называется вполне идемпотентнымсправа (слева), если I2 = I для каждого правого (левого) идеала I кольцаR. Если в кольце R равенство I2 = I выполнеяется для каждого идеала I

кольца R, то кольцо R называется вполне идемпотентным .

15

Элемент r кольца R называется вполне идемпотентным справа, еслиrR = rRrR. Идеал I кольца R называется вполне идемпотентным справа,если каждый его элемент вполне идемпотентен.

Следующая лемма проверяется непосредственно.

Лемма 1.3.2. Для кольца R следующие равносильны:

(1) R — вполне идемпотентное справа кольцо;

(2) каждый элемент в R вполне идемпотентен;

(3) для каждого элемента r кольца R найдутся такие элементы

r1, . . . , rn, s1, . . . , sn ∈ R, что r =∑n

i=1 rrirsi.

Лемма 1.3.3. Пусть R — вполне идемпотентое справа кольцо. Тогдаимеют место следующие утверждения:

(1) J(R) = 0;

(2) если R — область, то R — простое кольцо;

(c) eRe — вполне идемпотентое справа кольцо.

Доказательство. (1) Пусть r ∈ J(R). Тогда для некоторых элементовr1, . . . , rn, s1, . . . , sn ∈ R имеем r = rr1rs1 + . . . + rrnrsn. Поскольку длянекоторого элемента s ∈ U(R) выполнено равенство (1 − (r1rs1 + . . . +rnrsn))s = 1, то 0 = r(1− (r1rs1 + . . . + rnrsn))s = r.

(2) Пусть I — ненулевой идеал кольца R и r — ненулевой элемент I.Для некоторых элементов r1, . . . , rn, s1, . . . , sn ∈ R имеем r = rr1rs1 + . . .+rrnrsn. Тогда 0 = r(1− (r1rs1 + . . .+ rnrsn)) и, следовательно, r1rs1 + . . .+rnrsn = 1. Таким образом, I = R.

(3) Проверяется непосредственно. ¤Определение 1.3.4. Кольцо R называется бирегулярным, если каж-

дый главный идеал кольца R порождается центральным идемпотентом.

Лемма 1.3.5. Каждое бирегулярное кольцо является вполне идемпо-тентным справа.

Доказательство. Пусть R — бирегулярное кольцо и r ∈ R. ТогдаRrR = eR, где e — центральный идемпотент кольца R, и rR = reR ⊂rRrR ⊂ rR. Таким образом, для каждого элемента r ∈ R имеет место

16

равенство rRrR = rR и по лемме 1.3.2 R — вполне идемпотентное справакольцо. ¤

Определение 1.3.6. Кольцо, в котором каждый правый идеал явля-ется идеалом, называется инвариантным справа. Если в кольце каждыймаксимальный правый идеал является идеалом, то такое кольцо называет-ся квазиинвариантным справа.

Лемма 1.3.7. (1)Каждое квазиинвариантное справа полупростое коль-цо является редуцируемым.

(2)Каждое квазиинвариантное справа простое кольцо является телом.

Доказательство. (1) Легко видеть, что факторкольцо квазиинвари-антного справа кольца по максимальному справа идеалу является телом.Тогда, если R — полупростое квазиинвариантное справа кольцо, то оноявляется подпрямым произведением тел и, следовательно, является реду-цируемым.

(2) Очевидно, достаточно показать, что для каждого ненулевого элемен-та r кольца R имеет место равенство rR = R. Допустим противное. Тогдадля некоторого ненулевого элемента r ∈ R имеем rR 6= R. В силу леммыЦорна существует такой максимальный правый идеал M кольца R, чтоrR ⊆ M $ R. Поскольку R квазиинвариантно, то M — собственный идеалкольца R, что противоречит простоте кольца R. ¤

Определение 1.3.8. Кольцо R называется нормальным, если каждыйидемпотент кольца R является центральным.

Лемма 1.3.9. Для редуцируемого кольца R имеют место следующиеутверждения:

(1) если r, s ∈ R и rs = 0, то rRs = sRr = 0;

(2) если r1 . . . rm = 0 и σ ∈ Sn, то rσ(1) . . . rσ(m) = 0;

(3) r(S) = l(S) для каждого непустого подмножества S кольца R;

(4) r(S) и l(S) — идеалы R для каждого непустого подмножества S кольцаR;

(5) r(s) ∩RsR = 0 для каждого s ∈ R;

(6) если R — первичное кольцо, то R — область;

(7) R — нормальное кольцо.

17

Доказательство. (1) Поскольку rs = 0, то (sRr)2 = 0. Следовательно,sRr = 0, (rRs)2 = 0 и rRs = 0.

(2) Достаточно показать, что для каждых элементов a, b, c, d ∈ R изравентсва abcd = 0 следует acbd = 0. Пусть для некоторых элементовa, b, c, d ∈ R имеет место равенство abcd = 0. Из (1) имеем следующуюцепочку равенств dabc = 0, (da)c(bc)b = 0, cbdacb = 0, (cbda)(cbda) = 0,cbda = 0, acbd = 0.

(3) Непосредственно следует из (1).

(4) Непосредственно следует из (3).

(5)Если для элемента s ∈ R выполнено условие r(s) ∩ RsR 6= 0, тодля некоторого ненулевого элемента r ∈ RsR имеем sr = 0. Тогда s ∈l(r) и поскольку l(r) — идеал, то r ∈ l(r). Следовательно, r2 = 0. Таккак R редуцируемо, то r = 0. Полученное противоречие показывает, чтоr(s) ∩RsR = 0.

(6) следует непосредственно из (1).

(7) Пусть e — идемпотент кольца R. Поскольку (eR(1 − e))2 = 0, тоeR(1− e) = 0. Тогда из леммы 1.2.2 следует, что e — центральный идемпо-тент. ¤

Теорема 1.3.10. Для редуцируемого кольца R следующие утвержденияэквивалентны:

(1) R — вполне идемпотентное справа кольцо;

(2) R — вполне идемпотентное слева кольцо;

(3) R — бирегулярное кольцо.

Доказательство.Ясно, что достаточно доказать эквивалентность пунк-тов (1) и (3).

(1)⇒(3) Рассмотрим произвольный элемент s ∈ R. Поскольку согласнолемме 1.3.2 s ∈ sRsR, то для некоторого элемента t ∈ RsR имеем s(1−t) =0. Тогда RsR+r(s) = R. Из леммы 1.3.9 следует, что r(s) — идеал и RsR∩r(s) = 0. Таким образом, кольцо R является прямой суммой своих идеаловRsR и r(s). Следовательно, для некоторого центрального идемпотента e

имеем RsR = eR и r(s) = (1− e)R.

(3)⇒(1) Импликация следует из леммы 1.3.5. ¤

18

Далее будем придерживаться следующих обозначений. Пусть M — про-извольный правый R — модуль и S = EndR(M). Через M ∗ будем обозна-чать левый R — модуль HomR(M, RR). Если f ∈ M ∗,m ∈ M , то положим(f,m) = f(m), через [m, f ] обозначим эндоморфизм модуля M , при ко-тором [m, f ](n) = mf(n) для каждого n ∈ M . Через ∆ будем обозначатьобраз S−S — гомоморфизма из M ⊗

RM ∗ в S, который действует по правилу

m⊗ f 7→ [m, f ].

Определение 1.3.11. Правый R — модуль M называется вполне идем-потентным справа (слева), если m ∈ [m,M ∗]mR(m ∈ EndR(M)[m,M ∗]m)для каждого m ∈ M . Если m ∈ EndR(M)[m,M ∗]mR для каждого m ∈ M ,то модуль M называется вполне идемпотентным.

Лемма 1.3.12. (1) Правый R — модуль M является вполне идемпо-тентым справа тогда и только тогда, когда для каждого его подмодуля N

имеет место равенство N = [N, M ∗]N .

(2) Правый R — модуль M является вполне идемпотентым слева тогдаи только тогда, когда для каждого его EndR(M) — подмодуля N имеетместо равенство N = NM ∗(N).

(3) Правый R — модуль M является вполне идемпотентым тогда и толь-ко тогда, когда для каждого его EndR(M) — R — подмодуля N имеет месторавенство N = NM ∗(N).

Доказательство. Оставляется читателю в качестве упражнения.

Теорема 1.3.13 [48]. Если M — конечно порожденный вполне идем-потентный слева модуль, то S = EndR(M) — вполне идемпотентное слевакольцо.

Доказательство. Пусть M = m1R+. . .+mkR и s = s1 ∈ S. По предпо-ложению s1m1 =

∑mi=1 fi(s1m1)gi(s1m1), где fi ∈ S, gi ∈ M ∗ для каждого

i. Положим t1 =∑m

i=1 fis1(m1gi)s1 ∈ Ss1Ss1. Тогда для гомоморфизмаs2 = s1− t1 имеем s2m1 = s1m1− t1m1 = 0 и s2 ∈ Ss1. Применив аналогич-ные рассуждения к s2 мы получим такой гомоморфизм t2, что t2 ∈ Ss2Ss2

и (s2 − t2)m2 = 0. Поскольку s3 = s2 − t2 ∈ Ss2, то (s2 − t2)m1 = 0 иs3 ∈ Ss1. Повторяя наши рассуждения мы получим такие последователь-ности s = s1, . . . , sk, sk+1 ∈ Ss1 и t1, . . . , tk ∈ SsSs, что si = si−1 − ti−1

и m1R + . . . + mi−1R ⊂ Ker(si − ti) для каждого 1 < i ≤ k + 1. По-скольку M = m1R + . . . + mkR ⊂ Ker(sk+1), то sk+1 = 0. Таким образом,s = tk + . . . + t1 ∈ SsSs. ¤

Теорема 1.3.14. (1) Правый R — модуль M = ⊕i∈IMi вполне идем-

19

потентен слева тогда и только тогда, когда Mi вполне идемпотентен слевадля каждого i ∈ I.

(2) Правый R — модуль M = ⊕i∈IMi вполне идемпотентен тогда и толь-ко тогда, когда Mi вполне идемпотентен для каждого i ∈ I.

(3) Каждый проективный модуль над вполне идемпотентным (слева)кольцом является вполне идемпотентным (слева).

Доказательство. (1) Предположим, что M = ⊕i∈IMi — вполне идем-потентный слева модуль. Для каждого i ∈ I обозначим через πi и εi

проекцию и соответственно вложение модуля Mi относительно разложе-ния M = ⊕i∈IMi. Легко видеть, что πi EndR(M)πim = HomR(Mi,Mi)mи HomR(Mi, RR)m = HomR(M, RR)m для каждого m ∈ Mi. Тогда длякаждого m ∈ Mi имеем

m = πim ∈ πi EndR(M)(m)M ∗(m) = πi EndR(M)(πi(m))M ∗i (m) =

HomR(Mi,Mi)(m)M ∗i (m).

Допустим, что для каждого i ∈ I модуль Mi вполне идемпотентен слева.Пусть m ∈ M . Тогда

m =∑

i∈I πim =∑

i∈I(∑ni

j=1 sij(πim)fij(πim)) =∑i∈I(

∑ni

j=1 εisijπi(m)fijπi(m)) ∈ EndR(M)[m,M ∗]m,

где sij ∈ HomR(Mi,Mi), fij ∈ M ∗i и εi — вложение модуля Mi в модуль

M для каждого j и i.

Доказательства пункта (2) аналогично доказательству пункта (1).

(3) Утверждение пункта непосредственно следует из пунктов (1) и (2). ¤Теорема 1.3.15. Пусть P — конечно порожденный проективный пра-

вый R — модуль. Если P вполне идемпотентно (справа), то кольцо S =EndR(P ) вполне идемпотентно (справа).

Доказательство. Пусть P — вполне идемпотентный модуль и I — иде-ал кольца S. Поскольку P — конечно порожденный проективный модуль,то 1S ∈ ∆P и, следовательно, I = I∆P = [IM, M ∗]. Тогда по лемме 1.3.12IM = [IM, M ∗]IM = I∆P IM = I2M . Таким образом, I = [IM, M ∗] =[I2M, M ∗] = I2. Случай вполне идемпотентного справа модуля рассматри-вается аналогично. ¤

Следующее утверждение непосредственно следует из предыдущих трехтеорем.

20

Следствие 1.3.16. Если кольцо R вполне идемпотентно (справа, сле-ва), то для каждого натурального n кольцо Mn(R) вполне идемпотентно(справа, слева).


(1) Покажите, что центр вполне идемпотентного кольца является регу-лярным.

(2) Показать, что для кольца R следующие условия равносильны

(a) R — вполне идемпотентное кольцо;

(b) I ∩ J = IJ для каждых идеалов I и J кольца R;

(c) каждое факторкольцо кольца R полупервично.

(3) Показать, что для кольца R следующие условия равносильны

(a) R — вполне идемпотентное справа кольцо;

b) I ∩ J = IJ для каждого левого идеала J и каждого идеала I

кольца R.

(4) Показать, что для редуцируемого кольца R следующие условия рав-носильны

(a) R — регулярное кольцо;

(b) R — квазиинвариантное справа бирегулярное кольцо.

§1.4. Регулярные кольца.

Теорема 1.4.1. Для модуля M и его подмодуля N следующие условияравносильны

(1) каждый циклический подмодуль в N выделяется в виде прямого сла-гаемого в M ;

(2) каждый конечно порожденный подмодуль в N выделяется в виде пря-мого слагаемого в M .

21

Доказательство. Ясно, что наше утверждение достаточно показать дляподмодулей модуля N , которые порождаются двумя элементами. Пусть m,n ∈ N . Тогда mR = eM и (n − e(n))R = fM , где e и f – идемпотентыкольца End(M). Рассмотрим элемент e + f − fe. Имеем (e + f − fe)(m) =e(m) + f(m)− fe(m) = m и (e + f − fe)(n) = e(n) + f(n)− fe(n) = e(n) +f(n−e(n)) = e(n)+n−e(n) = n. Таким образом, Jm(e+f−fe) = nR+mR

и (e + f − fe)|nR+mR = 1nR+mR. Следовательно, e + f − fe — идемпотенти mR + nR = (e + f − fe)M . ¤

Следствие 1.4.2. Для модуля M следующие условия равносильны

(1) M – регулярный модуль.

(2) каждый конечнопорожденный подмодуль модуля M выделяется в ви-де прямого слагаемого.

Из предыдущего следствия и теоремы 1.1.7 непосредственно следует сле-дующее утверждение.

Следствие 1.4.3. Для кольца R следующие условия равносильны

(1) R – регулярное кольцо;

(2) каждый конечно порожденный правый идеал кольца R выделяется ввиде прямого слагаемого в RR.

Определение 1.4.4. Идеал J кольца R называется регулярным, еслидля каждого x ∈ J существует такой элемент y ∈ J , что x = xyx.

Говорят, что идемпотенты кольцо R поднимаются по модулю идеала I,если для каждого идемпотента r + I ∈ R/I найдется такой идемпотентe ∈ R, что r + I = e + I.

Теорема 1.4.5. Пусть I — регулярный идеал кольца R. Тогда для коль-ца R имеют место следующие утверждения:

(1) идемпотенты кольца R поднимаются по модулю идеала I;

(2) если e1, e2, . . . — взаимоортогональные идемпотенты кольца R/I, тосуществуют такие взаимоортогональные идемпотенты f1, f2, . . . коль-ца R, что fi + I = ei для каждого i;

(3) если e1+ . . .+en = 1, то элементы f1, f2, . . . из (2) могут быть выбранытаким образом, что f1 + . . . + fn = 1.

22

Доказательство. (1) Пусть x + I — идемпотент кольца R/I. Тогдаx2−x ∈ I и, следовательно, для некоторого y ∈ I имеем (x2−x)y(x2−x) =(x2 − x). Если z = 1− (1− x)y(1− x), то x = xzx. Поскольку x− xz ∈ I,то x + I = xz + I и (xz)2 = xz.

(2) Согласно (1) существует такой идемпотент f1 ∈ R, что f1 + I = e1.Рассмотрим кольцо R1 = (1− f1)R(1− f1) и идеал I1 = (1− f1)I(1− f1) внем. Пусть r + I = e2, где r ∈ R. Тогда для элемента s = (1− f1)r(1− f1)имеем s + I = e2 и s− s2 ∈ I1. Согласно (1) существует такой идемпотентf2 ∈ (1 − f1)R(1 − f1), что f2 + I1 = s + I1. Тогда f2 ортогонален f1 иf2 + I = s + I = e2.

Допустим для n ≥ 2 мы построили идемпотенты f1, f2, . . . , fn. Из преды-дущих рассуждений следует, что существует такой элемент en+1, что fn+1+I = en+1 + I и fn+1 ортогонален к f1 + f2 + . . . + fn. Тогда, очевидно, чтоfn+1 ортогонален к каждому из идемпотентов f1, f2, . . . , fn.

(3) Рассмотрим систему элементов f1+(1−(f1+. . .+fn)), f2, . . . , fn, 0, . . .,у которой все элементы начиная с n + 1 места равны нулю. Непосред-ственная проверка показывает, что эта система удовлетворяет утвержде-нию пункта (3). ¤

Теорема 1.4.6. Пусть R —кольцо (не обязательно с единицей) и J —идеал кольца R. Тогда для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R – регулярное кольцо;

(2) J — регулярный идеал и R/J — регулярное кольцо.

Доказательство. 1) ⇒ 2) Пусть x ∈ J . Тогда x = xyx, где y ∈ R. Следо-вательно, x = xyx = x(yxy)x и yxy ∈ J .

2) ⇒ 1) Пусть x ∈ R. Тогда из регулярности кольца R/J следует су-ществование такого элемента y ∈ R, что x − xyx ∈ J . Следовательно,x − xyx = (x − xyx)z(x − xyx), где z ∈ J . Отсюда следует, что x = xwx,где w ∈ R. ¤

Теорема 1.4.7. Пусть R — кольцо (не обязательно с единицей) и T =x ∈ R | RxR - регулярный идеал . Тогда имеют место следующие утвер-ждения:

(1) T – регулярный идеал;

(2) каждый регулярный идеал кольца R содержится в T ;

23

(3) кольцо R/T не содержит ненулевых регулярных идеалов.

Доказательство. (1) Пусть x, y ∈ T . Тогда RyR и (RxR + RyR)/RyR

— регулярные идеалы. Из теоремы 1.4.6 следует, что RxR + RyR — регу-лярный идеал. Таким образом, T — регулярный идеал.

(2) Проверяется непосредственно.

(3) Следует из теоремы 1.4.6. ¤Теорема 1.4.8 [39]. Кольца R является регулярным тогда и только

тогда, когда

(1) R – полупервичное кольцо;

(2) объединение каждой возрастающей цепочки полупервичных идеаловявляется полупервичным идеалом;

(3) для каждого первичного идеала P кольца R кольцо R/P являетсярегулярным.

Доказательство. Если R — регулярное кольцо, то условия (1) — (3)исходной теоремы проверяются непосредственно.

Пусть для кольца R выполнены условия (1) — (3) исходной теоремыи существует такой элемент r ∈ R, что r /∈ RrR . Поскольку согласноусловию (1) 0 — полупервичный идеал кольца R и r не лежит в RrR + 0,то из условия (2) следует существование такого полупервичного идеала J ,что J — максимальный полупервичный идеал со свойством r /∈ RrR + J .

Так как R/J — нерегулярное кольцо, то J — непервичный идеал. То-гда существуют такие идеалы A и B, строго содержащие J , что AB ⊂ J .Пусть L = r ∈ R | rB ⊂ J и K = r ∈ R | Lr ⊂ J. Если для некоторогоидеала T , строго содержащего идеал L, имеет место включение T 2 ⊂ L,то TBTB ⊂ J и, следовательно, TB ⊂ J . Тогда T ⊂ L, что противоречитнашему допущению. Полученное противоречие показывает, что L — полу-первичный идеал. Аналогичными рассуждениями можно показать, что K

— полупервичный идеал. Так как (L ∩ K)2 ⊂ LK ⊂ J , то L ∩ K ⊂ J .Из включений A ⊂ L и B ⊂ K, следует, что идеалы L и K строго содер-жат идеал J . Из максимальности идеала J следует существование такихэлементов x и y, что r − rxr ∈ L и r − ryr ∈ K. Так как

r − r(x + y − xry)r = (r − rxr)− (r − rxr)yr ∈ L иr − r(x + y − xry)r = (r − ryr)− rx(r − ryr) ∈ K,

24

то x ∈ xRx+(K∩L) ⊂ xRx+J , что невозможно. Полученное противоречиепоказывает, что R — регулярное кольцо. ¤

Следствие 1.4.9. Кольцо R является регулярным тогда и только тогда,когда кольцо R вполне идемпотентно справа и для каждого первичногоидеала P кольцо R/P регулярно.

Следующее утверждение непосредственно следует из теоремы 1.2.7.

Теорема 1.4.10. Кольца регулярного кольца R следующие условия рав-носильны:


(2) R — артиново справа кольцо;

(3) R — нетерово справа кольцо;

(4) R — не содержит бесконечного числа взаимоортогональных ненулевыхидемпотентов.

Определение 1.4.11. Регулярное кольцо R называется строго регу-лярным, если оно нормально.

Теорема 1.4.12. Кольца регулярного кольца R следующие условия рав-носильны:

(1) R — строго регулярное кольцо;

(2) R — инвариантное справа кольцо;

(3) R — квазиинвариантное справа кольцо;

(4) R — редуцируемое кольцо;

(5) R/P — тело для каждого первичного идеала P кольца R.

Доказательство. Импликации (2) ⇒ (2), (2) ⇒ (3) проверяются непо-средственно. Импликации (3) ⇒ (4) и (4) ⇒ (1) следуют из леммы 1.3.7 илеммы 1.3.9 соответственно.

(1) ⇒ (5) Из теоремы 1.4.5 и теоремы 1.4.6 следует, что для каждо-го идеала I кольца R кольцо R/I строго регулярно. Тогда для каждогопервичного идеала P кольца R кольцо R/P , очевидно, является телом.

25

(5) ⇒ (4) Поскольку R полупервично, то согласно предположению коль-цо R является подпрямым произведением тел. Следовательно, R — реду-цируемо. ¤


(1) R — строго регулярное кольцо;

(2) для каждого x ∈ R существует такой элемент y ∈ R, что x = x2y.

Доказательство. (1)⇒(2) Для произвольного элемента r ∈ R найдетсятакой элемент s ∈ R, что r = rsr. Поскольку кольцо R строго регулярно,то идемпотент rs централен и, следовательно, r = r2s.

(2)⇒(1) Легко видеть, что каждое факторкольцо кольца R является ре-дуцируемым. Пусть P — произвольный первичный идеал кольца R. Тогдаиз леммы 1.3.9 следует, что факторкольцо R/P является областью. Еслиs — ненулевой элемент кольца R/P , то для некоторого элемента t ∈ R/P

имеем s = s2t. Следовательно, s(1 − st) = 0 и поскольку R/P являетсяобластью, то st = 1. Таким образом, каждый примитивный образ кольцаR является телом и поскольку, очевидно, кольцо R является вполне идем-потентным справа, то импликация следует из следствия 1.4.9. ¤

Лемма 1.4.14.Пусть R — строго регулярное кольцо. Тогда для каждогоr ∈ R однозначно определен такой элемент s ∈ R, что r = rsr и s = srs.

Доказательство. Пусть r ∈ R. Тогда для некоторого элемента t ∈ Rимеем r = rtr. Положим s = trt. Непосредственная проверка показывает,что r = rsr и s = srs. Поскольку rs и sr — центральные идемпотенты,то rs = r(sr)s = (rs)(sr) = s(rs)r = sr. Пусть для некоторого s′ ∈ R

имеют место равенства r = rs′r, s′ = s′rs′. Вычисления, проведенные вы-ше, показывают, что rs′ = s′r. Тогда xs′ = (xs)(xs′) = (xs′)(xs) = xs и,следовательно,

s′ = s′(rs′) = s′(xs) = s′(sx) = s(xs′) = s(xs) = s. ¤Теорема 1.4.15. Обратный предел строго регулярных колец является

строго регулярным кольцом.

Доказательство. Пусть кольцо R является обратным пределом строгорегулярных колец Rii∈I . Из предыдущей леммы непосредственно следу-ет, что обратный предел строго регулярных колец является регулярнымкольцом. Поскольку R явяляется подкольцом прямого произведения стро-го регулярных колец Rii∈I , то каждый идемпотент в R централен. ¤

26

Пример 1.4.16. Существует такое регулярное кольцо R и убывающаяцепочка регулярных подколец в нем R1 ⊇ R2 ⊇ . . ., что кольцо ∩∞i=1Ri

не регулярно. Таким образом, обратный предел регулярных колец, вообщеговоря, не является регулярным кольцом.

Доказательство. Пусть P — некоторое поле. Рассмотрим кольцо S =∏i≥1 Ri, где Ri = M2(P ) для каждого i. Выделим в кольце S подколь-

цо R = (ai)i∈N ∈ S | ∃N∀i, j > N : ai = aj. Из теоремы 1.4.6 сле-

дует, что R — регулярное кольцо. Пусть u =

(1 01 1

)∈ M2(P ) и φ

— автоморфизм кольца M2(P ), действующий по правилу φ(a) = uau−1.Для каждого натурального числа n в кольце R рассмотрим подкольцоRn = (a)i∈N ∈ R | ai = φ(ai+1)для каждого i = 1, . . . , n. Непосред-ственная проверка показывает, что для каждого n ∈ N отображение из Rn

в R, при котором (a1, a2, . . .) 7→ (an+1, an+2, . . .), является изоморфизмом.Таким образом, для каждого n ∈ N кольцо Rn регулярно. Легко видеть,что (ai)i∈N ∈

⋂i∈NRn тогда и только тогда, когда (ai)i∈N = (a, a, . . .), где

a элемент из M2(P ) коммутирующий с u. Следовательно, кольцо⋂

i∈NRn

изоморфно кольцу a ∈ M2(P ) | au = ua. Непосредственные вычисле-

ния показывают, что a ∈ M2(P ) | au = ua = (

α 0β α

)| α, β ∈ P

Таким образом,⋂

i∈NRn является локальным неполупростым кольцом и,следовательно, не является регулярным. ¤

Лемма 1.4.17. Пусть I1 ⊇ I1 ⊇ . . . — убывающая цепочка ненулевыхглавных правых идеалов в регулярном кольце R. Тогда существует такойлевый примитивный идеал P кольца R, что In * P для каждого n.

Доказательство. Для каждого n In = enR, где en — ненулевой идем-потент кольца R. Тогда R(1 − e1) ⊆ R(1 − e2) ⊆ . . . — возрастающаяцепочка собственных идеалов кольца R и, следовательно, найдется такоймаксимальный левый идеал M кольца R, что ∪∞i=1R(1− ei) ⊂ M . Посколь-ку en /∈ M для каждого n, то en /∈ Ann(R/M) ⊂ M . Таким образом,Ann(R/M) — примитивный слева идеал и In * Ann(R/M). ¤

Теорема 1.4.18. Для регулярного кольца R следующие условия равно-сильны:

(1) R/P — артиново кольцо для каждого левый примитивного идеала Pкольца R;

(2) R/P — артиново кольцо для каждого правого примитивного идеалаP кольца R;

27

(3) R/P — артиново кольцо для каждого первичного идеала P кольца R;

(4) для каждой последовательности взаимоортогональных идемпотентовe1, e2, . . . кольца R и каждой последовательности элементов r1, r2, . . .

кольца R существует такое натуральное число n, что e1x1e2x2 . . . , enxn =0;

(5) для каждой последовательности взаимоортогональных идемпотентовe1, e2, . . . кольца R и каждой последовательности элементов r1, r2, . . .кольца R существует такое натуральное число n, что xnen . . . x2e2x1e1 =0.

Доказательство. (1)⇒(4) Предположим, что e1x1e2x2 . . . , enxn 6= 0 длякаждого n. Тогда e1x1R ⊇ e1x1e2x2R ⊇ . . . — убывающая цепочка ненуле-вых правых идеалов кольца R и из леммы 1.4.17 следует существованиятакого примитивного слева идеала P , что en /∈ P для каждого n. Тогдаe1 + P, e2 + P, . . . — бесконечное семейство ненулевых взаимоортогональ-ных идемпотентов кольца R/P , что противоречит артиновости R/P .

(4)⇒(3) Предположим, что для некоторого первичного идеала P кольцоR/P не является артиновым. Тогда в кольце R/P существует бесконеч-ное семейство ненулевых взаимоортогональных идемпотентов f1, f2, . . .. Изтеоремы следует существование такого семейства ненулевых взаимоорто-гональных идемпотентов e1, e2, . . ., что en + P = fn для каждого n. По-скольку P первично и en /∈ P для каждого n, то существует такое семей-ство элементов x1, x2, . . . ∈ R, что e1x1e2x2 . . . , enxn /∈ P и, следовательно,e1x1e2x2 . . . , enxn 6= 0.

(3)⇒(1) Импликация следует из того факта, что каждый левый прими-тивный идеал является первичным.

(2) ⇔ (3) ⇔ (5) доказывается симметрично. ¤Теорема 1.4.19. Пусть R — регулярное кольцо, у которого каждый

примитивный образ является артиновым. Тогда каждый ненулевой идеал Iкольца R содержит такой ненулевой центральный идемпотент e, что кольцоeR изоморфно кольцу матриц над строго регулярным кольцом.

Доказательство. Теорема непосредственно следует из теоремы 1.2.10и теоремы 1.4.12. ¤

Следствие 1.4.20. Пусть R — неразложимое регулярное кольцо, у ко-торого каждый примитивный образ является артиновым. Тогда R — арти-ново простое кольцо.

28

Доказательство. Следствие непосредственно следует из следствия1.2.11. ¤

Следствие 1.4.21. Пусть R — регулярное кольцо, у которого каждыйпримитивный образ является артиновым. Если R не содержит бесконечно-го числа ненулевых взаимоортогональных центральных идемпотентов, тоR — классически полупростое кольцо.

Доказательство. Из условия следует, что кольцо R является прямымпроизведением неразложимых колец. Тогда из предыдущего следствия сле-дует, что R является классически полупростым. ¤

Определение 1.4.22. Кольцо R — называется обратимо регулярным,если для каждого элемента x ∈ R существует такой обратимый элементy ∈ R, что x = xyx.

Теорема 1.4.23. Пусть M - правый R - модуль, у которого кольцоS = End(M) регулярно. Тогда следующие условия равносильны:

(1) S — обратимо регулярное кольцо;

(2) если M = A1 ⊕B1 = A2 ⊕B2 и A1∼= A2, то B1

∼= B2.

Доказательство.(1)⇒(2) Пусть M = A1 ⊕ B1 = A2 ⊕ B2 и A1∼= A2.

Тогда существует такой гомоморфизм s ∈ S, что s(B1) = 0 и s|A1: A1 →

s(A1) = A2 - изоморфизм. Для некоторого автоморфизма t ∈ S имеет месторавенство s = sts. Легко видеть, что M = ker(s) ⊕ Jm(ts) = B1 ⊕ t(A2).Поскольку t индуцирует изоморфизм между M/A2 и M/t(A2, то B2

∼= B1.(2)⇒(1) Пусть s ∈ S. Из теоремы 1.1.2 следует, что M = ker(s) ⊕ A =

Jm(s) ⊕ B для некоторых подмодулей A и B модуля M . Поскольку A ∼=Jm(s), то по нашему предположению B ∼= ker(s). Таким образом, суще-ствуют изоморфизмы α : Jm(s) → A и β : B → ker(s). Рассмотрим го-моморфизм t ∈ S, который каждый элемент вида m + n, где m ∈ Jm(s)и n ∈ B, переводит в элемент α(m) + β(n). Ясно, что t - автоморфизм иs = sts. ¤


(1) Если C — счетно порожденный правый идеал регулярного кольца R,то C =

∑i∈I eiR, где ei | i ∈ I — счетное множество взаимоортого-

нальных идемпотентов кольца R.

(2) Показать, что конечное подпрямое произведение регулярных колец яв-ляется регулярным кольцом. Указание: использовать теорему 1.4.6.

29

Привести пример показывающий, что подпрямое произведение беско-нечного числа регулярных колец вообще говоря не является регуляр-ным кольцом.

(3) Пусть J — идеал кольца R. Показать, что для кольца R следующиеусловия равносильны :

(a) R — вполне идемпотентое справа кольцо;

(b) R/J — вполне идемпотентое справа кольцо и для каждого правогоидеала I кольца R из включения I ⊂ J следует равенство I2 = I;

(c) R/J — вполне идемпотентое справа кольцо и в J каждый элементвполне идемпотентен.

(4) Пусть R — кольцо и T = x ∈ R | в RxR каждый элемент вполнеидемпотентен . Тогда имеют место следующие утверждения:

(a) T — вполне идемпотентный справа идеал;

(b) каждый вполне идемпотентный справа идеал кольца R содержит-ся в T ;

(c) кольцо R/T не содержит вполне идемпотентных справа идеалов.

(5) Покажите, что для кольца R следующие условия равносильны:

(a) R — строго регулярно;

(b) для каждого элемента r ∈ R существует такой центральный идем-потент e кольца R, что r ∈ eRe и r — обратимый элемент в кольцеeRe;

(c) R — регулярно и R/P — тело для каждого примитивного спра-ва(слева) идеала P кольца R;

(d) R — регулярно и каждый правый(левый) идеал кольца R содер-жит существенный идеал, порожденный центральными идемпо-тентами.

§1.5. Регулярные модули

Определение 1.5.1. Правый R — модуль M называется регулярнымпо Зельмановичу , если для каждого m ∈ M существует такой гомомор-физм f : M → R, что m = mf(m).

30

Определение 1.5.2. Пусть M и N — правые R — модули, тогда гомо-морфизм f : M → N называется локально расщепляющим, если для каж-дого x ∈ f(M) существует такой гомоморфизм g : N → M , что fg(x) = x.Подмодуль N модуля M называется локально расщепляющим в M , есливложение N → M является локально расщепляющим, т.е. для каждогоn ∈ N существует такое отображение f : M → N , что f(n) = n.

Теорема 1.5.3. Для гомоморфизма f : M → N правых R — модулейследующие утверждения равносильны:

(1) f — локально расщепляющий гомоморфизм;

(2) f(M) — локально расщепляющий подмодуль модуля M и эпиморфизмf ′ : M → f(M), где f ′(n) = f(n) для каждого n ∈ N , являетсялокально расщепляющим.

Доказательство. (1)⇒(2) Пусть m — произвольный элемент f(M).Тогда существует такой гомоморфизм g : N → M , что f(g(m)) = m.Таким образом, для гомоморфизма h = f ′g : N → f(M) имеем h(m) =m. Из равенства f ′g|f(M)(m) = fg(m) = m следует, что f ′ — локальнорасщепляющий эпиморфизм.

(2)⇒(1) Пусть m — произвольный элемент f(M) и g : f(M) → M ,h : N → f(M) — такие гомоморфизмы, что f ′g(m) = m и h(m) =m. Тогда f(gh)(m) = m и, следовательно, f — локально расщепляющийгомоморфизм. ¤

Теорема 1.5.4.Пусть f : M → N — локально расщепляющий гомомор-физм. Тогда для каждого конечного семейства x1, . . . , xn ∈ f(M) существу-ет гомоморфизм g : N → M , для которого fg(xi) = xi, где i = 1, 2, . . . , n.

Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией. Допу-стим n > 1 и для n − 1 утверждение доказано. Тогда существует гомо-морфизм g1 : N → M , для которого fg1(xi) = xi, где i = 1, 2, . . . , n − 1.Пусть g2 : N → M — гомоморфизм, для которого имеет место равенствоfg2(xn − fg1(xn)) = xn − fg1(xn). Рассмотрим гомоморфизм g = g1 + g2 −g2fg1. Тогда fg(xi) = f(g1+g2−g2fg1)(xi) = fg1(xi)+fg2(xi)−fg2fg1(xi) =xi + fg2(xi) − fg2(xi) = xi, для i = 1, 2, . . . , n − 1, и fg(xn) = f(g1 + g2 −g2fg1)(xn) = fg1(xn) + fg2(xn − fg1(xn)) = fg1(xn) + xn − fg1(xn) = xn.

Теорема 1.5.5. Для модуля P следующие условия равносильны:

(1) каждый эпиморфизм на M является локально расщепляющим;

31

(2) для каждого конечнопорожденного подмодуля M0 модуля M суще-ствуют такой конечнопорожденный свободный модуль F и гомомор-физмы f : M → F и g : F → M , что gf(m) = m для каждогоm ∈ M0;

(3) m ∈ ∆m для каждого m ∈ M .

Доказательство. (1)⇒(2) Пусть φ : G → M — эпиморфизм, где G —свободный правый R — модуль. Тогда по предпололжению φ является ло-кально расщепляющим эпиморфизмом и, следовательно, по теореме 1.5.4существует такой гомомофизм h : M → G, что φh(m) = m для каждогоm ∈ M0. Поскольку M0 конечно порожден, то h(M0) ⊂ F , где F — конечнопорожденное свободное прямое слагаемое модуля G. Так как F — прямоеслагаемое модуля G, то для некоторого гомоморфизма π : G → F равен-ство π(m) = m имеет место для каждого m ∈ F . Пусть f = πh и g = φ|F .Тогда, очевидно, что gf(m) = m для каждого m ∈ M .

(2)⇒(3) Пусть m0 ∈ M . По предположению существуют такие гомо-морфизмы f : M → F и g : F → M , где F — конечно порожденныйсвободный модуль, что gf(m0) = m0. Пусть e1, . . . , en — базис модуля F .Однозначно определены такие гомоморфизмы fi : M → RR (i = 1, . . . , n),что f(m) = e1f1(m) + . . . + enfn(m) для каждого m ∈ M . Тогда m0 =gf(m0) = g(e1f1(m0) + . . . + enfn(m0)) = g(e1)f1(m0) + . . . + g(en)fn(m0).

(3)⇒(1) Пусть N — правый R — модуль, f : N → M — эпиморфизми m0 ∈ M . По предположению m0 = m1f1(m0) + . . . + mnfn(m0), гдеm1, . . . , mn ∈ M и f1, . . . , fn ∈ M ∗. Для каждого i ∈ 1, . . . , n выберемтакой элемент xi ∈ N , что f(xi) = mi. Пусть g : M → N — гомоморфизм,при котором g(m) = x1f1(m) + . . . + xnfn(m) для каждого m ∈ M . Тогдаfg(m0) = fg(m1f1(m0)+ . . .+mnfn(m0)) = f(x1f1(m0)+ . . .+xnfn(m0)) =m1f1(m0) + . . . + mnfn(m0) = m0. ¤

Определение 1.5.6. Правый R - модуль M называется локально про-ективным, если он удовлетворяет одному из пунктов предыдущей теоре-мы.

Теорема 1.5.7. Для правого R — модуля M следующие условия рав-носильны:

(1) M — модуль регулярный по Зельмановичу;

(2) каждый гомоморфизм f : N → M является локально расщепляющим;

32

(3) каждый гомоморфизм f : RR → M является локально расщепляю-щим.

Доказательство. (1)⇒(2). Пусть N — правый R — модуль и φ : N →M — гомоморфизм правых R — модулей. Рассмотрим элемент m0 ∈ M

и такой элемент n ∈ N , что φ(n) = m0. По предположению существуеттакой гомоморфизм f : M → RR, что m0 = m0f(m0). Пусть g : M → N— гомоморфизм правых R — модулей, при котором g(m) = nf(m) длякаждого m ∈ M . Тогда fg(m0) = f(nf(m0)) = m0f(m0) = m0.

(2)⇒(3). Очевидно.

(3)⇒(4). Пусть m0 ∈ M и f : RR → M — такой гомоморфизм правых R— модулей, что f(r) = m0r для каждого r ∈ R. Поскольку по условию f —локально расщепляющий, то для некоторого R — гомоморфизма g : M →RR имеем m0 = fg(m0) = f(g(m0)) = f(1)g(m0) = m0g(m0). ¤

Следующая теорема проверяется непосредственно.


(1) M — регулярный модуль;

(2) каждый конечно порожденный подмодуль N модуля M является ло-кально расщепляющим.

Определение. Подмодуль N правого R — модуля M называется чи-стым, если каждая система линейных уравнений

r11 . . . r1n

. . .

rm1 . . . rmn

x1...

xn

=

b1...

bm

,

где rij ∈ R, bi ∈ N , которая имеет решение в M разрешима и в N .

Лемма 1.5.9. Каждый локально расщепляющий подмодуль модуля M

является чистым в M .

Доказательство. Допустим N — локально расщепляющий подмодульмодуля M . Пусть элементы m1, . . . , mn ∈ M удовлетворяют системе линей-ных уравнений ri1m1 + . . . + rinmn = bi(i = 1, . . . , n), где rij ∈ R, bi ∈ N .По теореме 1.5.4 существует такое отображения f : M → N , что f(bi) = bi

для i = 1, . . . , n. Тогда ri1f(m1) + . . . + rinf(mn) = f(bi) = bi(i = 1, . . . , n)и f(mi) ∈ N для каждого i. ¤

33

Лемма 1.5.10. Пусть M — локально проективный правый R — модульи N — чистый подмодуль модуля M . Тогда N локально проективен и яв-ляется локально расщепляющим подмодулем в M .

Доказательство. Пусть n — произвольный элемент модуля N . По тео-реме 1.5.5 существуют такие гомоморфизмы fi : M → RR(i = 1, . . . , k)и элементы mi ∈ M(i = 1, . . . , k), что n = m1f1(n) + . . . + m1f1(n). По-скольку N чист в M , то для некоторых элементов ni ∈ N(i = 1, . . . , k)имеем n = n1f1(n) + . . . + n1f1(n). Рассмотрим отоброжение f : M → N ,при котором f(m) = n1f1(m) + . . . + n1f1(m) для каждого m ∈ M . Тогдаf(n) = n. Таким образом, N является локально расщепляющим подмо-дулем в M . Положив gi = (fi)|N для каждого i, мы получим равенствоn = n1g1(n) + . . . + n1g1(n), что доказывает локальную проективность мо-дуля N . ¤


(1) M — модуль регулярный по Зельмановичу;

(2) M — локально проективный регулярный модуль;

(3) M — локально проективный и каждый подмодуль в M является чи-стым в M .

Доказательство. (1)⇒(2) Если M — модуль регулярный по Зельманови-чу, то из теоремы 1.5.7 следует, что каждый эпиморфизм на M локальнорасщепляющий и каждый мономорфизм в модуль M является локальнорасщепляющим. Тогда по теореме 1.5.5 и теореме 1.5.8 модуль M являетсялокально проективным и регулярным.

(2)⇒(3) Импликация непосредественно следует из леммы 1.5.9.(3)⇒(1) Пусть f : N → M — гомоморфизм. Поскольку f(N) чист в M ,

то из леммы 1.5.10 следует, что f(N) локально проективен и является рас-щепляющим подмодулем в M . Из локальной проективности модуля f(N)следует, что эпиморфизм f ′ : N → f(N), где f ′(n) = f(n) для каждогоn ∈ N , является расщепляющим. Тогда из теоремы 1.5.3 следует, что f —расщепляющий гомоморфизм. Таким образом, каждый гомоморфизм в M

является расщепляющим и по теореме 1.5.7 M — модуль регулярный поЗельмановичу. ¤

Теорема 1.5.12. Прямая сумма модулей регулярных по Зельмановичуявляется модулем регулярным по Зельмановичу.

34

Доказательство. Пусть M и N - модули регулярные по Зельмановичуи a - произвольный элемент модуля M ⊕N . Покажем, что модуль aR яв-ляется проективным прямым слагаемым в модуле M ⊕N . Если a = m+n,где m ∈ M и n ∈ N , то подмодуль mR является прямым слагаемым вM и nR является прямым слагаемым в N . Пусть π — проекция модуляmR ⊕ nR на подмодуль mR. Тогда ограничение этой проекции (m + n)Rна подмодуль (m+n)R является расщепляющимся эпиморфизмом модуля(m + n)R на проективный модуль mR. Следовательно, имеет место сле-дующее равенство (m + n)R = (m + n)rR ⊕ (m + n)sR, где r, s ∈ R,(m + n)sR = Ker(π|(m+n)R). Ясно, что (m + n)sR = nsR. Поскольку мо-дуль N является регулярным, то для некоторого элемента t ∈ R имеетместо равенство nR = ntR ⊕ nsR. Поскольку (m + n)rR ∩ Ker π = 0, то(m + n)rR ∩ nR = 0. Из равенства π|(m+n)R((m + n)rR) = mR следует,что для некоторого элемента r0 ∈ R имеет место равенство (m + n)rr0 =m + nrr0. Тогда m,n ∈ (m + n)rR + nR и, следовательно, имеем равенстваmR⊕nR = (m+n)rR⊕nR = (m+n)rR⊕nsR⊕ntR = (m+n)R⊕ntR. ¤

Следствие 1.5.13.Каждый проективный модуль над регулярным коль-цом является регулярным модулем.

Доказательство. Утверждение следует из предыдущей теоремы и тогофакта, что прямое слагаемое модуля регулярного является регулярным. ¤

Следствие 1.5.14. Если P — конечно порожденный правый R — мо-дуль и R — регулярное кольцо, то EndR(P ) — регулярное кольцо.

Доказательство.Пусть f ∈ EndR(P ). Тогда из следствия 1.4.2 следует,что Jm(f) — прямое слагаемое P . Так как P проективен, то Ker(f) —прямое слагаемое P . Тогда из теоремы 1.1.2 следует, что f регулярен. ¤

Следствие 1.5.15. Если R — регулярное кольцо, то Mn(R) — регуляр-ное кольцо.

Теорема 1.5.16. Для модуля следующие условия равносильны

(1) M – полурегулярный модуль.

(2) каждый конечнопорожденный подмодуль модуля M лежит над пря-мым слагаемым модуля M .

Доказательство. Пусть M – полурегулярный модуль. Покажем, что каж-дый конечнопорожденный подмодуль модуля M лежит над прямым слага-емым модуля M . Доказательство будем проводить индукцией по количе-ству порождающих элементов. Допустим наше утверждение доказано для

35

подмодулей с n − 1 порождающими элементами. Рассмотрим подмодульN = x1R + . . . + xnR. Пусть K = x1R + . . . + xn−1R, тогда для некото-рых идемпотентов e и f кольца End(M) имеем eM ⊂ K, (1− e)K ¿ M иfM ⊂ (xn−exn)R, (1−f)(xn−e(xn))R ¿ M . Рассмотрим элемент e+f−fe.Для каждого элемента m модуля M имеем (e + f − fe)(em) = e(em) +f(em)−fe(em) = em и (e+f−fe)(fm) = e(fm)+f(fm)−fe(fm) = fm.Таким образом, Jm(e+f−fe) = eM +fM и (e+f−fe)|eM+fM = 1eM+fM .Следовательно, e+f−fe — идемпотент и eM +fM = (e+f−fe)M . Пока-жем, что (1−(e+f−fe))(N) ¿ M . Имеем (1−(e+f−fe))(N) = (1−(e+f−fe))(K)+(1−(e+f−fe))(xnR) = (1−f)(1−e)(K)+(1−f)(1−e)(xnR) ¿ M


(1) Покажите, что для локально проективного правого R — модуля P

имеет место равенство J(P ) = PJ(R).

(2) Покажите, что каждый счетно порожденный локально проективныймодуль является проективным.

(3) Каждый вполне идемпотентный слева модуль является локально про-ективным.

(4) Привести пример, показывающий, что регулярные модули не замкну-ты относительно прямых сумм.

§1.6. Проективные слабо регулярные модули

Теорема 1.6.1. Прямая сумма слабо регулярных проективных модулейявляется проективным слабо регулярным модулем.

Доказательство. Пусть M и N — проективные слабо регулярные мо-дули правые R — модули. Допустим элемент m + n, где m ∈ M и n ∈ N ,не лежит в J(M ⊕ N). Тогда либо n /∈ J(N), либо m /∈ J(M). Пусть дляопределенности n /∈ J(N). Тогда в силу слабо регулярности модуля N длянекоторого r и подмодуля N0 6= Nвыполнено равенство nrR ⊕ N0 = N .Рассмотрим эпиморфизм f модуля (m+n)rR на модуль nrR, который яв-ляется ограничением на модуль (m + n)rR проекции модуля M ⊕ N намодуль N . Поскольку модуль nrR проективен, то f является расщепля-ющим эпиморфизмом. Тогда для некоторого s ∈ R выполнено равенство(m + n)rR = Kerf ⊕ (m + n)rsR. Так как f - эпиморфизм, то в коль-це R найдется такой элемент h, что (m + n)rsh = mrsh + nr. Рассмот-рим некоторый элемент a из пересечения (m + n)rsR ∩ (M ⊕ N0). Тогда

36

a = (m + n)rst = m0 + n0, где t ∈ R, m0 ∈ M , n0 ∈ N0. Тогда в силу одно-значности разложения имеем mrst = m0, nrst = 0, n0 = 0. Т.е. a = m0 и,следовательно, a ∈ Kerf . Таким образом (m+n)rsR∩(M⊕N0) = 0. Произ-вольный элемент модуля M ⊕N можно представить в виде m1 +nrr1 +n1,где m1 ∈ M , r1 ∈ R, n1 ∈ N0. Тогда в силу равенства (m + n)rsh =mrsh + nr имеем m1 + nrr1 + n1 = (m + n)rshr1 + (m1−mrshr1 + n1). Т.е.(m+n)rsR+(M⊕N0) = M⊕N и, следовательно, (m+n)rsR⊕(M⊕N0) =M ⊕N . ¤

Теорема 1.6.2. Пусть P — проективный модуль, J(P ) ¿ P и прямыеслагаемые модуля P поднимаются относительно естественного гомомор-физма модуля P на модуль P/J(P ). Тогда из слабой регулярности модуляP/J(P ) следует слабая регулярность модуля P .

Доказательство. Пусть xR * J(P ), где x ∈ P . Рассмотрим естествен-ный гомоморфизм ϕ : P → P/J(P ). Поскольку ϕ(x) 6= 0, то существу-ет такой ненулевой элемент m модуля P/J(P ), что mR — прямое слага-емое модуля P/J(P ) и mR ⊂ ϕ(x)R. Тогда из условия теоремы следует,что для некоторых подмодулей N1 и N2 модуля P выполнены равенстваϕ(N1) = mR и N1 ⊕ N2 = P . Допустим y ∈ xR — элемент, для которогоимеет место равенство ϕ(y) = m. Тогда P = N1 ⊕N2 = J(P ) + yR + N2 =yR + N2. Рассмотрим естественный гомоморфизм f : P → P/N2. Посколь-ку f(yR) = f(P ) ∼= N1, то существует такой подмодуль N0 модуля yR, чтоN0 ⊕ Kerf|yR

= N0 ⊕ (yR ∩ N2) = yR. Легко видеть, что N0 ∩ N2 = 0 иN0 + N2 = M . Таким образом, подмодуль xR содержит ненулевое прямоеслагаемое N0 модуля P . ¤

Следствие 1.6.3. Пусть R — кольцо и идемпотенты поднимаются помодулю идеала J(R). Тогда из слабой регулярности кольца R/J(R) следуетслабая регулярность кольца R.

Теорема 1.6.4 [42]. Над слабо регулярным кольцом каждый проектив-ный модуль является слабо регулярным.

Доказательство. Поскольку проективный модуль является прямымслагаемым свободного модуля, а прямое слагаемое слабо регулярного мо-дуля является слабо регулярным модулем, то утверждение достаточно до-казать для свободных модулей. Пусть R – некоторое слабо регулярноекольцо, M – свободный правый R – модуль и (eα)α∈A – его базис. Рас-

смотрим элемент m =n∑

i=1eiri /∈ J(M), где для каждого i ei ∈ eαα∈A.

Тогда в силу теоремы 1.6.1 модуль e1R⊕ . . .⊕ enR является слабо регуляр-ным. Следовательно, подмодуль mR содержит ненулевое прямое слагаемое

37

модуля e1R⊕ . . .⊕ enR и значит модуля M . ¤Определение 1.6.5. Идеал I кольца R называется t — нильпотент-

ным справа, если для каждого семейства (ri)∞i=1 элементов идеала I суще-

ствует такое натуральное число N , что rN . . . r2r1 = 0.

Пусть M — левый R — модуль и I ⊂ R. Далее через rM(I) будем обо-значать множество m ∈ M | Im = 0.

Теорема 1.6.6. Для идеала I кольца R следующие условия равносиль-ны:

(1) I - t - нильпотентный справа идеал;

(2) для каждого ненулевого левого R — модуля M подмодуль rM(I) су-ществен в M ;

(3) для каждого ненулевого левого R — модуля M подмодуль rM(I) 6= 0;

(4) MI ¿ M для каждого ненулевого правого R — модуля M ;

(5) MI 6= M для каждого ненулевого правого R — модуля M ;

(6) PI ¿ P для каждого ненулевого проективного правого R — модуляP ;

(7) FI ¿ F для каждого счетно порожденного свободного правого R —модуля F .

Доказательство. Импликации (2)⇒(3), (4)⇒(5) и (6)⇒(7) очевидны.

(1)⇒(2). Предположим, что для некоторого ненулевого элемента m ∈ M

имеет место равенство Rm ∩ rM(I) = 0. Поскольку m /∈ rM(I),то длянекоторого элемента r1 ∈ I имеем r1m 6= 0. Так как r1m /∈ rM(I), тоr2r1m 6= 0 для некоторого элемента r2 ∈ I. Повторяя эти рассуждениямы получим последовательность элементов (ri)

∞i=1 из идеала I, у которой

rn . . . r2r1 6= 0 для каждого натурального числа n. Получили противоречиес условием пункта (1).

(3)⇒(4). Допустим MI не является косущественным в M . Тогда MI +X = M для некоторого подмодуля X 6= M модуля M . Рассмотрим модульN = M/X. Ясно, что NI = N и N 6= 0. Рассмотрим левый R — модульT = R/ Ann(N). По условию пункта существует ненулевой элемент t +Ann(N) ∈ rT (I). Тогда It ∈ Ann(N) и, следовательно, NIt = 0. С другойстороны поскольку t /∈ Ann(N) имеем NIt = Nt 6= 0.

38

(5)⇒(6). Если PI + X = P для некоторого подмодуля X модуля P , то(P/X)I = P/X. Тогда P/X = 0 и P = X.

(7)⇒(1). Пусть e1, e2, . . . — базис модуля F и (ri)∞i=1 — последователь-

ность элеменов из I. Рассмотрим в модуле F подмодуль G = (e1−e2r1)R+(e2 − e3r2)R + . . .. Поскольку ei = (ei − ei+1ri) + ei+1ri для каждого i, тоF = FI + G и, следовательно, F = G. Тогда

e1 = (e1 − e2r1)s1 + (e2 − e3r2)s2 + . . . + (en − en+1rn)sn,где s1, s2, . . . , sn ∈ R. Таким образом, s1 = 1, s2 = r1s1, s3 = r2s2, . . . , sn =

rn−1sn−1, rnsn = 0 и, следовательно, rn . . . r2r1 = 0. ¤Лемма 1.6.7. Для проективного правого R — модуля P следующие

утверждения равносильны:

(1) каждый некосущественный подмодуль модуля P содержит ненулевоепрямое слагаемое модуля P ;

(2) P — слабо регулярный модуль и J(P ) ¿ P .

Доказательство. (1)⇒(2) Слабая регулярность модуля P проверяетсянепосредственно. Если J(P ) некосуществен в P , то модуль P будет содер-жать ненулевое радикальное прямое слагаемое, которое явялется проек-тивным. Получили противоечие с [7, 9.6.3].

(2)⇒(1) Очевидно. ¤Теорема 1.6.8 [42]. Для проективного правого R — модуля P следую-

щие условия равносильны:

(1) P — слабо регулярный модуль и J(P ) ¿ P ;

(2) S = EndR(P ) — слабо регулярное кольцо.

Доказательство. (1)⇒(2). Пусть f /∈ J(S). Тогда согласно [71, 22.2]f(P ) не является косущественным в P и, следовательно, не содержится вJ(P ). Поскольку P — слабо регулярный модуль, то для некоторого нену-левого идемпотента π ∈ S имеем π(P ) ⊂ f(P ). Так как P — проективныймодуль, то у гомоморфизма πf образ и ядро выделяются в виде прямогослагаемого в P . Тогда из теоремы 1.1.2 следует, что для некоторого g ∈ S

гомоморфизм gπf является ненулевым проектором и, следовательно, потеореме 1.1.1 hfh = h, где h — ненулевой элемент S.

(2)⇒(1). Пусть M — некосущественный подмодуль P . Тогда для некото-рого собственного подмодуля N модуля P имеем P = M +N . Поскольку P

39

является проективным модулем, то для некоторого f ∈ S имеем f(P ) ⊂ M

и (1− f)(P ) ⊂ N . Так как N 6= M , то f /∈ J(S) и, следовательно, согласнотеореме 1.1.1 для некоторого h ∈ S гомоморфизм fh является ненулевымпроектором и fh(P ) ⊂ f(P ) ⊂ M . Таким образом, каждый некосуществен-ный подмодуль модуля P содержит ненулевое прямое слагаемое модуля P

и импликация следует из леммы 1.6.8. ¤Теорема 1.6.9 [42]. Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R — слабо регулярное кольцо и J(R) — t — нильпотентный справаидеал;

(2) кольцо эндоморфизмов каждого правого проективного R — модуляявляется слабо регулярным.

Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует изтеоремы 1.6.4, леммы 1.6.6 и теоремы 1.6.8. ¤


(1) Привести пример, показывающий, что слабо регулярные модули незамкнуты относительно прямых сумм. Указание: рассмотрите модульZ/pZ⊕ Z/p3Z.

(2) Пусть M и N - слабо регулярные модули. Тогда в каждом из следую-щих случаях модуль M ⊕N является слабо регулярным

(a) J(M) = J(N) = 0

(b) J(M) и N – полупростые модули.

§1.7. Полусовершенные кольца

Определение 1.7.1. Кольцо R называется полусовершенным, если R

— полулокальное кольцо и идемпотенты кольца R поднимаются по модулюJ(R).

Пусть R — произвольное кольцо и e,f — произвольные идемпотенты вR. Положим e ≤ f , если eRe ⊂ fRf или, что эквивалентно, ef = fe = e.

Лемма 1.7.2. Для правого R – модуля M имеют место следующиеутверждения:

40

(1) если A1 ⊂ A2 ⊂ . . . — бесконечная строго возрастающая цепочка пря-мых слагаемых модуля M , то существует такая бесконечная строгоубывающая цепочка прямых слагаемых B1 ⊃ B2 ⊃ . . . модуля M , чтоM = Ai ⊕Bi для каждого i;

(2) если B1 ⊃ B2 ⊃ . . . — бесконечная строго убывающая цепочка пря-мых слагаемых модуля M , то существуют такие ненулевые подмодулиC1, C2, . . . модуля M , что M = C1 ⊕ . . . ⊕ Cn ⊕ Bn и ⊕∞i=n+1Ci ⊂ Bn

для каждого n.

Доказательство. (1) Существует такой подмодуль B1 модуля M , что M =A1 ⊕ B1. Из закона модулярности следует равенство A2 = A1 ⊕ (A2 ∩ B1).Поскольку A2 — прямое слагаемое модуля M , то для некоторого подмодуляB2 модуля M имеем B1 = (A2∩B1)⊕B2. Тогда M = A1⊕B1 = A1⊕ (A2∩B1) ⊕ B2 = A2 ⊕ B2 и B2 $ B1. Повторяя эти рассуждения мы получимбесконечную строго убывающую цепочку B1 ⊃ B2 ⊃ . . . прямых слагаемыхмодуля M , причем для каждого i имеют место равенства M = Ai ⊕Bi.

(2)Для каждого i ≥ 1 Bi = Bi+1 ⊕ Ci+1, где Ci+1 — подмодуль M иM = B1 ⊕ C1, где C1 — подмодуль M . Тогда, очевидно, что для каждогоn имеет место равенство M = C1 ⊕ . . . ⊕ Cn ⊕ Bn и ⊕∞i=n+1Ci ⊂ Bn длякаждого n. ¤

Теорема 1.7.3. Для правого R – модуля M следующие условия рав-носильны:

(1) каждая убывающая цепочка прямых слагаемых модуля M стабилизи-руется;

(2) каждая возрастающая цепочка прямых слагаемых модуля M стабили-зируется;

(3) кольцо End(M) не содержит бесконечного числа взаимоортогональ-ных ненулевых идемпотентов;

(4) кольцо End(M) удовлетворяет условию максимальности на идемпо-тенты;

(5) кольцо End(M) удовлетворяет условию минимальности на идемпотен-ты.

Доказательство. 1)⇔2) Эквивалентность непосредственно следует излеммы 1.7.2.

41

2)⇒3) Пусть e1, e2, ... — взаимоортогональные идемпотенты кольца End(M).Тогда e1M ⊆ (e1 + e2)M ⊆ ... — возрастающая цепочка прямых слагае-мых модуля M . Следовательно, найдется такое натуральное число n, что(e1 + . . . + ek)M = (e1 + . . . + en)M для каждого k ≥ n. Таким образом,ek = 0 для каждого k ≥ n.

3)⇒4) Пусть e1 ≤ e2 ≤ ... — возрастающая цепочка идемпотентов коль-цо End(M). Тогда e1, e2 − e1, e3 − e2, . . . — система взаимоортогональныхидемпотентов. Согласно предположению найдется такое натуральное чис-ло n, что ek+1 − ek = 0 для каждого k ≥ n.

4)⇒5) Легко видеть, что если e1 ≤ e2 ≤ ... — возрастающая цепочкаидемпотентов кольца End(M), то (1 − e1) ≥ (1 − e2) ≥ ... — убывающаяцепочка идемпотентов.

5)⇒1) Предположим противное. Тогда в модуле M существует беско-нечная строго убывающая цепочка прямых слагаемых B1 ⊃ B2 ⊃ . . ..Без ограничения общности можно считать, что B1 6= M . Согласно лем-ме 1.4.2(2) в модуле M существуют такие подмодули C1, C2, . . . модуля M ,что M = C1 ⊕ . . . ⊕ Ci ⊕ Bi и ⊕∞k=i+1Ci ⊂ Bi для каждого натуральногочисла i. Пусть πi — проекция модуля M на подмодуль Ci относительноразложения M = C1⊕ . . .⊕Ci⊕Bi. Тогда π1, π2, . . . — бесконечная системавзаимоортогональных идемпотентов и 1−π1 > 1− (π1 +π2) > . . . — строгоубывающая цепочка идемпотентов. Получили противоречие с предположе-нием пункта. ¤

Следствие 1.7.4. Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) каждая убывающая цепочка прямых слагаемых модуля RR стабили-зируется;

(2) каждая возрастающая цепочка прямых слагаемых модуля RR стаби-лизируется;

(3) кольцо R не содержит бесконечного числа взаимоортогональных нену-левых идемпотентов;

(4) кольцо R удовлетворяет условию максимальности на идемпотенты;

(5) кольцо R удовлетворяет условию минимальности на идемпотенты.

Определение 1.7.5.Модуль называется I — конечным, если он удо-влетворяет одному из эквивалентных условий теоремы 1.7.3. Кольцо назы-вается I — конечным, если оно удовлетворяет одному из эквивалентныхусловий следствия 1.7.4.

42

Замечание 1.7.6. Несложно заметить, что в I — конечном кольцеединицу можно представить в виде суммы взаимоортогональных прими-тивных идемпотентов. В работе [60] Ософская показала, что существуют неI — конечные кольца, у которых единица является суммой взаимоортого-нальных примитивных идемпотентов. Например, как показала Ософская,в кольце

Z2 < x0, x1, . . . > /A,

где A — идеал, порожденный множеством x2i = xi, xjxk | i ∈ Z+; j, k ∈

N, x1, x2, . . . — счетное множество ненулевых взаимоортогональных идем-потентов, а x0, 1− x0 — примитивные идемпотенты.


(1) R — полусовершенные кольца;

(2) R — полулокальное слабо регулярное кольцо;

(3) R — I — конечное слабо регулярное кольцо;

(4) R — I — конечное и каждый примитивный идемпотент в R локален;

(5) 1 = e1+. . .+en, где ei — локальные взаимоортогональные идемпотентыкольца R.

Доказательство.Импликации (1)⇒(2), (2)⇒(3) проверяются непосред-ственно. Импликация (3)⇒(4) следует из того факта, что каждый неразло-жимый и нерадикальный слабо регулярный модуль является локальным.

(4)⇒(5) Легко видеть, что в каждом I — конечном кольце R имеет месторавенство 1 = e1 + . . . + en, где ei — примитивные взаимоортогональныеидемпотенты кольца R. Поскольку R — слабо регулярное кольцо, то ei —локальные идемпотенты кольца R.

(5)⇒(1) Обозначим через R факторкольцо R/J(R) и для каждого r по-ложим r = r + J(R). Тогда 1 = e1 + . . . + en, где для каждого i правый R

— модуль eiR является простым, и, следовательно, R — полупростое коль-цо. Допустим, что для некоторого элемента r ∈ R имеет место равенствоr2 = r. Тогда r = f1 + . . .+ fk и 1− r = fn−k + . . .+ fm, где fi — примитив-ные взаимоортогональные идемпотенты. Из теоремы Жордана - Гёльдераследует, что n = m и без ограничения общности мы можем считать длякаждого i имеет место изоморфизм eiR ∼= fiR. По лемме 1.2.1 для каждо-го i имеем ei = aibi, fi = biai, где ai ∈ eiRfi, bi ∈ fiRei. Если u = a1+. . .+an

43

v = b1 + . . .+ bn, то, как легко, uv = vu = 1 и uf i = eiu = ai для каждого i.Очевидно, u — обратимый элемент. Положим f = u−1(e1 + . . .+ek)u. Тогдаf = u−1(e1 + . . . + ek)u = u−1e1u + . . . + u−1eku = f 1 + . . . + fk = r. ¤

Теорема 1.7.8. Пусть I — идеал кольца R. Тогда в каждом из следую-щих случаях идемпотенты поднимаются по модулю идеала I:

(1) I — ниль - идеал;

(2) I — идеал, который порождается центральными идемпотентами.

Доказательство. (1) Пусть x + I — идемпотент кольца R/I. Тогда(x2 − x)n = 0 и, следовательно, xn = f(n)xn+1, где f(x) ∈ Z[x]. Такимобразом, xn = f(n)xxn и, как легко видеть, для каждого i ≥ 1 имеемxn = (f(n)x)ixn. В частности, xn = xnf(n)nxn. Поскольку x+I = xn+I, тоx+I = xn+I = f(n)xn+1+I = f(n)x+I. Тогда x+I = xn+I = (f(n)x)n+I

и ((f(n)x)n)2 = (f(n)x)n.

(2) Пусть x + I — идемпотент кольца R/I. Тогда x2 − x ∈ e1R + . . . +enR, где e1, . . . , en — центральные идемпотенты кольца R. Следовательно,согласно лемме 1.2.8 для некоторого центрального идемпотента e имеемx2 − x ∈ eR. Тогда x(1 − e) − (x(1 − e))2 = (x − x2)(1 − e) = 0. Поэтомуx(1− e) — идемпотент и x(1− e) + I = x + I. ¤

Следствие 1.7.9. Если у полулокального кольца R радикал Джекоб-сона является ниль - идеалом, то R полусовершено.

Теорема 1.7.10. Для модуля M над полусовершенным кольцом R сле-дующие условия равносильны:

(1) модуль M является слабо регулярным;

(2) модуль M является полурегулярным.

Доказательство. 1)⇒2) Докажем от противного. Тогда над полусовер-шенным кольцом R найдется слабо регулярный неполурегулярный модульM и, следовательно, в модуле M найдется такой элемент x, что цикли-ческий подмодуль xR не лежит над прямым слагаемым модуля M . Ясно,что xR не является косущественным в M . Поскольку модуль M являетсяслабо регулярным, то в подмодуле xR мы можем выбрать такой ненулевойциклический подмодуль x1R, что для некоторого подмодуля M1 выполне-но равенство M = x1R ⊕M1. Допустим, для каждого натурального i ≤ n

мы выбрали такие ненулевые элементы x1, . . . , xi модуля xR и подмодули

44

M1, . . . , Mi , что выполнено равенство M = x1R⊕ . . .⊕xiR⊕Mi. Посколь-ку подмодуль xR не лежит над прямым слагаемым модуля M , то модульxR ∩Mn не является косущественным в Mn. Так как подмодуль xR ∩Mn

является прямым слагаемым модуля xR, то он является циклическим. Сле-довательно, в силу теоремы 1.1.9 подмодуль xR∩Mn будет содержать в себененулевое прямое слагаемое xn+1R модуля Mn и для некоторого подмодуляMn+1 модуля Mn имеет место равенство M = x1R ⊕ . . . ⊕ xn+1R ⊕Mn+1.Таким образом, для каждого натурального числа n циклический модульxR имеет вид xR = x1R ⊕ . . . ⊕ xnR ⊕ xR ∩ Mn, где для каждого i ≤ n

подмодуль xiR не является нулевым.


(1) Привести пример полулокального, но неполусовершенного кольца.

(2) Пусть 1 = e1 + . . . + en = f1 + . . . + fm, где для каждого i ei, fi — ло-кальные взаимоортогональные идемпотенты кольца R. Тогда n = m

и существует такой обратимый элемент u, что для некоторой переста-новки π ∈ Sn имеем fi = u−1eπ(i)u, где i = 1, . . . , n.

45

ГЛАВА II.Max - КОЛЬЦА.

§2.1. V – кольца и модули

Определение 2.1.1.Модуль M называется V — модулем, если каждыйпростой модуль в категории σ(M) является M — инъективным. Кольцо R

называется правым V — кольцом, если оно как правый модуль над собойявляется V — модулем.

Легко видеть, что модуль M является V — модулем тогда и только тогда,когда каждый простой правый R — модуль является M — инъективным.

Модуль M называется конечно копорожденным, если из равенства⋂α∈A Mα = 0, где Mα ⊂ M для каждого α, следует существование такого

конечного подмножества A0 ⊂ A, что имеет место равенство⋂

α∈A0Mα = 0.

Теорема 2.1.2. Для модуля M следующие условия равносильны:

(1) M — V — модуль;

(2) категория σ(M) обладает полупростым копорождающим;

(3) категория σ(M) обладает копорождающим N , у которого J(N) = 0;

(4) для каждого модуля N ∈ σ(M) имеет место равенство J(N) = 0;

(5) для каждого фактормодуля N модуля M имеет место равенство J(N) =0;

(6) каждый собственный подмодуль модуля M является пересечением мак-симальных подмодулей;

(7) каждый конечно копорожденный модуль в σ(M) является полупро-стым;

(8) каждый конечно копорожденный фактормодуль модуля M являетсяполупростым;

(9) каждый конечно копорожденный модуль в σ(M) является M — инъ-ективным;

(10) каждый модуль в σ(M) является V — модулем.

46

Доказательство. Импликации (2) ⇒ (3), (3) ⇒ (4), (4) ⇒ (5), (5) ⇒(8), (7) ⇒ (8), (9) ⇒ (1) и эквивалентности (5) ⇔ (6), (1) ⇔ (10) поверя-ются непосредственно.

Импликации (1) ⇒ (2), (1) ⇒ (7) следуют из [7, теорема 5.8.5].

(8) ⇒ (1) Пусть N — простой модуль из σ(M), M0 — подмодуль мо-дуля M . Рассмотрим гомоморфизм f : M0 → EM(N) и его продложениеf на модуль M . Поскольку f(M) — конечно - копорожденный модуль, тоf(M) ⊂ N .

(7) ⇒ (9) Из вышеизложенного следует, что имеет место эквивалент-ность (1) ⇔ (7). Тогда каждый конечно копорожденный модуля являетсяконечной прямой суммой простых M — инъективных модулей и, следова-тельно, является M — инъективным. ¤

Следующее утверждение непосредственно следует из предыдущей тео-ремы.


(1) R — правое V — кольцо;

(2) для каждого правого R — модуля M имеет место равенство J(M) = 0;

(3) для каждого циклического правого R — модуля M имеет место равен-ство J(M) = 0;

(4) каждый правый собственный идеал кольца R является пересечениеммаксимальных правых идеалов.

Определение 2.1.4. Кольцо R называется правым π − V — кольцом,если инъективная оболочка каждого простого правого R — модуля имеетконечную длину. Если длина инъективной оболочки каждого простого пра-вого R — модуля не превосходит n, то кольцо R называется правым n− V— кольцом,

Теорема 2.1.5 [46]. Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R — правое π − V — кольцо;

(2) у каждого правого R — модуля конечной длины инъективная оболочкаимеет конечную длину;

(3) у каждого правого R — модуля M каждый подмодуль является пере-сечением подмодулей N , у которых lg(M/N) < ∞;

47

(4) у каждого правого R — модуля M пересечение всех подмодулей N , укоторых lg(M/N) < ∞, является нулевым.

Доказательство. Эквивалентности (1) ⇔ (2) и (3) ⇔ (4) проверяютсянепосредственно.

(1) ⇒ (4) Пусть Ω — система представителей классов изоморфных про-стых правых R — модулей. Тогда по [7, теорема 5.8.5] E = ⊕S∈ΩE(S) —порождающий правый R — модуль. Следовательно, существует вложениеf : M → Πα∈AEα, где E = Eα для каждого α ∈ A. Для каждого S ∈ Ω че-рез πα,S обозначим проекцию модуля Πα∈AEα на прямое слагаемое E(S) мо-дуля Eα. Поскольку E(S) имеет конечную длину, то lg(M/ Ker(πα,S)) < ∞и, следовательно, ∩α∈A,S∈Ω Ker(πα,S) = Ker(f) = 0.

(4) ⇒ (1) Пусть S — простой правый R — модуль. Согласно нашемупредположению, пересечение всех подмодулей N модуля E(S), у которыхlg(E(S)/N) < ∞, равно 0. Следовательно, существует такой подмодуль N0

модуля N , что N0 ∩ S = 0 и lg(E(S)/N0) < ∞. Поскольку S существен вE(S), то N0 = 0 и, следовательно, lg(E(S)) < ∞. ¤

Следующая теорема доказывается аналогично.


(1) R — правое n− V — кольцо;

(2) у каждого правого R — модуля M каждый подмодуль является пере-сечением подмодулей N , у которых lg(M/N) ≤ n;

(3) у каждого правого R — модуля M пересечение всех подмодулей N , укоторых lg(M/N) ≤ n, является нулевым.

Теорема 2.1.7 [46]. Пусть R — правое n − V — кольцо. Тогда длякаждого правого идеала I кольца R имеет место равенство In = In+1.

Доказательство. Пусть I — собственный правый идеал кольца R. Пре-доложим, что In 6= In+1. Тогда из теоремы 2.1.6 следует существование та-кого правого идеала L, что In+1 ⊂ L, In " L и lg(RR/L) < n + 1. Если длянекоторого неотрицательного целого числа i < n+1 имеет место равенствоI i +L = I i+1 +L, то In ⊂ (I i +L)In−i = (I i+1 +L)In−i ⊂ In+1 +L = L, чтопротиворечит нашему допущению. Таким образом, I i + L 6= I i+1 + L дляi = 0, . . . , n. Следовательно, lg(RR/L) ≥ n + 1. Полученное противоречие,показывает, что In = In+1. ¤

48

Следствие 2.1.8. Если R — правое V — кольцо, то R — вполне идем-потентное справа кольцо.

Теорема 2.1.9 [46]. Пусть R — кольцо и S — такое его подкольцо, чтоR =

∑ni=1 aiS, где ai ∈ R и Sai = aiS для каждого i. Если S — правое

π − V — кольцо, то R также является правым π − V — кольцом.Доказательство. Пусть M — правый R — модуль и N — его S — под-

модуль, у которого lgS(M/N) = k. Рассмотрим S — подмодуль Na−1i =

m ∈ M | mai ∈ N модуля M . Непосредственная проверка показыва-ет, что отображение f : M/Na−1

i → M/N , при котором f(m + Na−1i ) =

mai+N для каждого m ∈ M , является групповым вложением, индуцирую-щее вложение Lat(M/Na−1

i ) в Lat(M/N). Следовательно, lgS(M/Na−1i ) ≤

lgS(M/N) = k. Легко видеть, что ∩ni=1Na−1

i — R — подмодуль модуля N

и lgR(M/ ∩ni=1 Na−1

i ) ≤ lgS(M/ ∩ni=1 Na−1

i ) ≤ nk. Таким образом, каждыйS — подмодуль N модуля M , у которого lgS(M/N) = k, содержит R —подмодуль N0, у которого lgR(M/N0) ≤ nk. Тогда пересечение всех R —подмодулей N модуля M , у которых lgR(M/N) < ∞, равняется 0. ¤

Следствие 2.1.10 Пусть A — алгебра, над коммутативным π − V —кольцом R. Если A — конечно порожденный R — модуль, то A — правое илевое π − V — кольцо.

Следствие 2.1.11. Если R — правым π− V — кольцо, то для каждогонатурального n кольцо Mn(R) является правым π − V — кольцом.



(2) R — вполне идемпотентное справа кольцо и каждое примитивное спра-ва факторкольцо кольца R является V — кольцом.

Доказательство.(1) ⇒ (2) Импликация следует из следствия 2.1.7 итого факта, что каждое факторкольцо правого V — кольца является пра-вым V — кольцом.

(2) ⇒ (1) Пусть M — простой правый R — модуль и P = Ann(M).Если E(M)P 6= 0, то mP 6= 0 для некоторого элемента m ∈ E(M). ТогдаM = mrR, где r ∈ P . Поскольку R вполне идемпотентно справа, то M =mrR = m(rR)(rR) ⊂ MP = 0, что невозможно. Таким образом E(M)P =0 и поскольку R/P — правое V — кольцо, то M = E(M). ¤

Определение 2.1.13. Модуль P называется π — проективным, еслидля каждых двух его подмодулей M и N из равенства P = M +N следуетсуществования такого f ∈ End(M), что Jm(f) ⊂ M , Jm(1− f) ⊂ N .

49

Легко видеть, что каждый квазипроективный модуль является π — про-ективным.

Теорема 2.1.14. Пусть P — π — проективный правый R — модуль и N

— его инвариантный подмодуль. Тогда для модуля P следующие условияравносильны:

(1) P — V — модуль;

(2) P/N — V — модуль, N — V — модуль и каждый максимальный под-модуль правого R — модуля N является пересечением максимальныхподмодулей модуля P .

Доказательство. (1) ⇒ (2) Импликация непосредственно следует изтеоремы 3.1.1.

(2) ⇒ (1) Пусть L — подмодуль модуля P и p ∈ P такой, что p +L ∈ J(P/L). Если p + L + N 6= L + N , то в силу (2) существует такоймаксимальный модмодуль M модуля P , что L + N ⊂ M и p /∈ M . ТогдаL ⊂ M и p + L /∈ M/L и, следовательно, p + L /∈ J(P/L). Полученноепротиворечие показывает, что p+L+N = L+N . Таким образом, p ∈ L+N

без ограничения общности мы можем считать, что p ∈ N .

Предположим, что p /∈ L. Тогда p /∈ L ∩ N и по (2) существует мак-симальный подмодуль S модуля N , для которого p /∈ S и L ∩ N ⊂ S.Следовательно, согласно (2) существует такой максимальный подмодуль T

модуля P , что p /∈ T и S ⊂ T . Таким образом, p ∈ N и p /∈ T и, сле-довательно, N * T . Тогда S = N ∩ T . Если L * T , то P = L + T ив силу π — проективности модуля P для некоторого f ∈ End(P ) имеемJm(f) ⊂ L, Jm(1 − f)(P ) ⊂ T . Тогда для каждого n ∈ N имеет месторавенство n = f(n) + (1 − f)(n), где f(n) ∈ N ∩ L и (1 − f)(n) ∈ N ∩ T .Отсюдо N ⊂ N ∩ L + N ∩ T = N ∩ L + S = S, что противоречит макси-мальности S в N . Таким образом, L ⊂ T и поскольку p + L ∈ J(P/L), тоp ∈ T . Полученное противоречие показывает, что J(P/L) = 0. ¤

Следствие 2.1.15. Пусть I — идеал кольца R. Тогда для кольца Rследующие условия равносильны:


(2) R/I - правое V - кольцо, IR - V - модуль и каждый максимальный под-модуль правого R - модуля IR является пересечением максимальныхправых идеалов кольца R.

50

Теорема 2.1.16. Пусть R, S — кольца и F : Mod−R → Mod−S ,G : Mod−S → Mod−R - функторы. Если функтор G сопряжен слева кфунктору F и G - точный слева функтор, то F - сохраняет инъективныеобъекты.

Доказательство. Пусть M - инъективный правый R — модуль и f :A → B - мономорфизм правых S — модулей. Тогда в силу точностислева функтора G гомоморфизм G(f) : G(A) → G(B) является моно-морфизмом. Поскольку M инъективен, то отображение Hom(G(f),M) :Hom(G(B),M) → Hom(G(A),M) является эпиморфизмом. Следователь-но, в силу естественного изоморфизма HomR(G(−),M) ∼= HomS(−, F (M))отображение Hom(f, F (M)) : Hom(B, F (M)) → Hom(A,F (M)) также яв-ляется эпиморфизмом, что и доказывает инъективность модуля F (M). ¤

Следствие 2.1.17. Пусть P - правый R - модуль и кольцо S = EndR(P )регулярно. Тогда из инъективности правого R - модуля M следует инъек-тивность правого S - модуля HomR(P,M).

Доказательство. Пусть F = HomR(SP,− ) : Mod−R → Mod−S иG =−

⊗S P : Mod−S → Mod−R. Из [7, 10.4.9] следует, что G — точный

функтор. Тогда утверждение следствия следует из предыдущей теоремы. ¤Следствие 2.1.18. Если e - ненулевой идемпотент кольца R и eRe -

регулярное кольцо, то из инъективности правого R - модуля M следуетинъективность правого eRe - модуля Me.

Доказательство. Поскольку eRe ∼= HomR(eR, eR), то наше утвержде-ние следует из предыдущего следствия и eRe - изоморфизма HomR(eR, M) ∼=Me. ¤

Следствие 2.1.19. Пусть φ : S → R — кольцевой гомоморфизм и M— инъективный правый R — модуль. Если SR — плоский модуль, то M —инъективный как правый S — модуль.

Доказательство. Из теоремы 2.1.16 следует, что модуль HomR(SR,M)является инъективным правым S — модулем. Тогда из естественного изо-морфизма HomR(SR, M) ∼= M правых S — модулей следует, что M —инъективный правый S — модуль. ¤

Определение 2.1.20.Кольцо R называется правым∑

— V — кольцом,если все однородный полупростые правые R — модули являются инъектив-ными.

Теорема 2.1.21.. Для регулярного кольца R следующие условия рав-носильны:

51

(1) все примитивные факторкольца кольца R являются артиновыми;

(2) R — правое∑

— V — кольцо.

Доказательство. (1) ⇒ (2) Пусть M — однородный полупростой пра-вый R — модуль. Тогда M изоморфен внешней прямой сумме копий неко-торого простого правого R — модуля N и, следовательно, M Ann(N) = 0.Поскольку по предположению R/ Ann(N) — полупростое кольцо, то M —инъективный правый R/ Ann(N) — модуль. Из следствия 2.1.19 следует,что M — инъективный правый R — модуль.

(2) ⇒ (1) Пусть P — правый примитивный идеал кольца R. Тогда суще-ствует точный простой правый R/P — модуль M . Положим N = ⊕∞i=1Mi,где M = Mi для каждого i = 1, 2, . . .. Тогда N — инъективный правый R

— модуль. Предположим, что R/P не является артиновым кольцом. ТогдаR/P содержит бесконечное множество ненулевых взаимоортогональныхидемпотентов e1, e2, . . .. Для каждого i существует такой элемент mi ∈ Mi,что miei 6= 0. Пусть f : ⊕∞i=1ei(R/P ) → N — гомоморфизм, при которомf(ei) = miei. Поскольку N является инъективным модулем, то гомомор-физм f продолжается до некоторого гомоморфизма f : (R/P )R → N . То-гда существует такой элемент m, что mei = miei для каждого i = 1, 2, . . ..С другой стороны, поскольку m ∈ ⊕∞i=1Mi, то существует такое натураль-ное число n0, что mei = 0 для каждого i ≥ n0. Полученное противоречиепоказывает, что для каждого примитивного справа идеала P кольца R

факто-ркольцо R/P является артиновым. ¤Отметим без доказательства следующий результат Бачелла.

Теорема 2.1.22 [22] . Для кольца R, у которого все примитивные спра-ва факторкольца являются артиновыми, следующие условия равносильны:

(1) R — регулярное кольцо;



— V — кольцо;

(4) R — вполне идемпотентое справа кольцо.

Пример 2.1.23. Существует правое V — кольцо, которое не являетсялевым V — кольцом.

Доказательство.Пусть K - некоторое поле, V - бесконечномерное век-торное пространство над K,Q = EndK(V ). Пусть I = x ∈ Q | dimK(xV ) <

52

∞ и R = K + I. Из теорема следует, что кольцо R является регулярным.Покажем, что кольцо R является правым V - кольцом. Пусть M - произ-вольный простой правый R - модуль. Если MI = 0, то M является правымR/I - модулем и, следовательно, является инъективным R/I - модулем. То-гда из следствия 2.1.19 следует инъективность R - модуля M . Если MI 6= 0,то из полупростоты модуля IR следует, что модуль M изоморфен прямомуслагаемому модуля IR. Поэтому без ограничения общности мы можем счи-тать, что M является минимальным правым идеалом кольца R. ПосколькуMQ = MIQ = MI = M , то M является также минимальным правым иде-алом Q. Из самоинъективности справа кольца Q следует, что M являетсяинъективным правым Q - модулем. Тогда из следствия 2.1.18 следует, чтоM является инъективным правым R - модулем. Таким образом, над коль-цом R каждый простой правый модуль является инъективным.

Выберем некоторый базис vii∈I векторного пространства V . Обозна-чим через A левый идеал кольца R вида A = f ∈ I | ∃w ∈ V ∀i ∈ I :f(vi) = w. Поскольку A порождается любым своим ненулевым элементом,то он является минимальным левым идеалом. Пусть M - произвольный ми-нимальный идеал кольца R. Тогда M = Re для некоторого примитивногоидемпотента e. Пусть w0 - ненулевой вектор векторного пространства V ,для которого выполнено равенство e(w0) = w0. Если f(vi) = w0 для каж-дого i из I, то ef = f . Тогда Re ∼= Ref = Rf = A. Таким образом,каждый левый минимальный идеал кольца R изоморфен A. Покажем, чтомодуль A не является инъективным. Для каждого i ∈ I определим отобра-жение pi такое, что pi(vi) = vi и pi(vj) = 0, если j 6= i. Покажем, чтоA ∩ ∑

i∈I Rpi = 0. Пусть x ∈ A ∩ ∑i∈I Rpi = 0 и f ∈ A такой, что

f(vi) = w0 для каждого i и w0 6= 0. Тогда x = rf = r1pi1 + · · · + rnpin,где r, r1, . . . , rn ∈ R. Поскольку V бесконечномерно, то существует индексi0 /∈ i1, . . . , in. Тогда

rjpij(vij) = (r1pi1 + · · ·+ rnpin)(vij) = rf(vij) = r(w) = rf(vi0) = (r1pi1 +· · ·+ rnpin)(vi0) = 0,

для всех j = 1, . . . , n. Поэтому rjpij = 0 для каждого j = 1, . . . , n и,следовательно, x = 0. Таким образом, A ∩∑

i∈I Rpi = 0. Пусть проекцияA ⊕ ∑

i∈I Rpi → A является ограничением некоторого отображения φ изRR в A. Тогда для некоторого элемента y ∈ R и для каждого r ∈ R имеемφ(r) = yr. Поскольку piy = 0 для каждого i ∈ I, то y = 0, что невозможно.Поэтому A не является инъективным. Поскольку каждый минимальныйлевый идеал кольца R изоморфен A, то в R нет инъективных минимальныхлевых идеалов. ¤

53


(1) Если R — коммутативное кольцо, то R — правое V — кольцо тогда итолько тогда, когда R — регулярное кольцо.

(2) Показать, что для правого R — модуля M следующие условия равно-сильны:

(a) M — V — модуль;

(b) для каждого собственного подмодуля N модуля M и m ∈ M \N

всякий подмодуль L максимальный среди всех подмодулей, ко-торые содержат N , но не содержат m, является максимальнымподмодулем модуля M .

(3) Показать, что для правого R — модуля M следующие условия равно-сильны:

(a) M/ Soc(M) — V — модуль;

(b) для каждого собственного существенного подмодуля N модуля M

и m ∈ M \N всякий подмодуль L максимальный среди всех под-модулей, которые содержат N , но не содержат m, является мак-симальным подмодулем модуля M ;

(c) каждый собственный существенный подмодуль модуля M являет-ся пересечением максимальных подмодулей модуля M .

(4) Показать, что для кольца R следующие условия равносильны:

(a) R/ Soc(RR) — правое V — кольцо;

(b) если M — правый R — модуль, то каждый существенный подмо-дуль модуля M является пересечением максимальных подмодулеймодуля M .

(5) Показать, что если над правым V — кольцом R существует с точно-стью до изоморфизма только один простой правый R — модуль, то R

— простое кольцо. Указание: покажите, что если I — идеал R и M —максимальный правый идеал R, то I ⊂ M .

(6) Если R — правое n− V — кольцо, то J(R)n = 0.

(7) Покажите, что каждое коммутативное π − V — кольцо является π —регулярным.

54

(8) Пусть R — кольцо и S — такое его подкольцо, что R =∑n

i=1 aiS, гдеai ∈ R и Sai = aiS для каждого i. Если S — правое m− V — кольцо,то R является правым mn− V — кольцом.

§2.2. Max - кольца

Определение 2.2.1. Кольцо R называется Max - кольцом, если каж-дый ненулевой правый R — модуль содержит максимальный подмодуль.

Теорема 2.2.2. Для кольца R следующие условия равносильны

1) R — правое Max - кольцо;

2) R/J(R) — правое Max - кольцо и J(R) — t — нильпотентно справа.

Доказательство. 1)⇒ 2) Поскольку каждый правый R/J(R) — модульможно рассматривать как правый R — модуль, то кольцо R/J(R) являетсяMax - кольцом. Покажем, что J(R) — t — нильпотентно справа. Предпо-ложим противное. Тогда существует такое семейстово bi∞i=1 элементовидеала J(R), что для каждого натурального n имеет место неравенствоbnbn−1 . . . b1 6= 0. Рассмотрим свободный модуль F =< x1, x2, . . . , xn, . . . >,где xi∞i=1 — базис модуля F , G — его подмодуль, который порождаетсяэлементами xi − xi+1bi∞i=1, и естественный гомоморфизм f : F → F/G.Так как для каждого i ∈ N имеет место равенство f(xi) − f(xi+1)bi = 0,то F/G = (F/G)J(R). Поскольку R — правое Max - кольцо, то F/G = 0

и, следовательно, F = G =∞∑i=1

(xi − xi+1bi)R. Тогда существуют такие эле-

менты r1, r2, . . . , rn, что x1 =n∑

i=1(xi − xi+1bi)ri = x1r1 + x2(r2 − b1r1) +

. . .+xn(rn− bn−1rn−1)−xn+1bnrn. Сравнивая коэффициенты при базисныхэлементах, из последнего равенства получаем r1 = 1, r2 = b1r1 = b1, r3 =b2r2 = b2b1, . . . , rn = bn−1rn−1 = bn−1bn−2 . . . b1 и 0 = bnrn = bnbn−1bn−2 . . . b1.Полученное противоречие показывает, что идеал J(R) является t — ниль-потентным справа.

2)⇒ 1) Если M — ненулевой правый R — модуль, то по теореме 1.6.6MJ(R) 6= M . Поскольку R/J(R) — правое Max — кольцо, то правыйR/J(R) — модуль M/MJ(R) содержит содержит максимальный подмо-дуль. Отсюдо следует, что M содержит максимальный подмодуль. ¤

Рассмотрим множество S(R) всех собственных идеалов кольца R, по-рожденных центральными идемпотентами. По лемме Цорна множество S(R)

55

содержит максимальный элемент P . Обозначим через P(R) — множествовсех максимальных элементов из S(R). Если P ∈ P(R), то факторкольцоR/P называется ростком Пирса кольца R.

Лемма 2.2.3. Для кольца R имеют место следующие утверждения:

(1) для каждого неразложимого правого R — модуля M существует такойидеал P ∈ P(R), что P ⊆ Ann(M);

(2) для каждого правого R — модуля M имеет место равенство⋂

P∈P(R)MP =

0;

(3) для каждого ненулевого правого R — модуля M существует такойросток Пирса R/P , что M 6= MP .

Доказательство. (1) Пусть P — идеал кольца R, порожденный всемицентральными идемпотентами из Ann(M). Если e ∈ R \P — центральныйидемпотент, то Me 6= 0. Тогда M = Me⊕M(1− e) и поскольку M нераз-ложим, то M(1 − e) = 0. Следовательно, P + eR = R. Таким образом,P ∈ P(R).

(2) Пусть m — ненулевой элемент модуля M . Используя лемму Цорна,легко показать, что для некоторого подмодуля N модуля M фактормо-дуль M/N является неразложимым и m 6= N . Тогда модуль M являетсяподпрямым произведением некоторого семейства неразложимых модулейMii∈I . По (1) для каждого i ∈ I существует такой идеал Pi ∈ P(R), чтоMiPi = 0. Тогда, как легко видеть,

⋂i∈I

MPi = 0.

(3) следует из (2). ¤Пусть R — кольцо, γ — ординал и P = (Pα)α<γ — семейство идеалов

кольца R. Семейство P называется рядом Пирса кольца R, если

(1) P0 =0;

(2) Pα ⊆ Pβ, где α < β ;

(3) Pα+1/Pα ∈ P(R/Pα) ;

(4) Pα =⋃

β<α

Pβ, где α — предельный ординал.

Идеал J кольца R называется неразложимом идеалом Пирса, если J

— элемент ряда Пирса кольца R и кольцо R/J неразложимо. Если J —

56

неразложимый идеал Пирса кольца R, то факторкольцо R/J называет-ся максимальным неразложимым фактором кольца R. Обозначим черезM(R) — множество всех неразложимых идеалов Пирса кольца R.

Лемма 2.2.4. Для кольца R имеют место следующие утверждения:

(1) если M — ненулевой правый R — модуль, который не является прямойсуммой двух ненулевых инвариантых подмодулей, то MP = 0 длянекоторого P ∈M(R);

(2) для каждого правого R — модуля M имеет место равенство⋂

P∈M(R)MP =

0;

(3) для каждого ненулевого правого R — модуля M существует такойидеал Пирса R/P , что M 6= MP .

Доказательство.(1) С помощью трасфинитной индукции в идеале Ann(M)построим возрастающую цепочку идеалов кольца R. При α = 0 поло-жим J0 = 0. Если α — непредельный ординал, то Jα — такой идеал,что Jα/Jα−1 — идеал, порожденный всеми центральными идемпотентамииз AnnR/Jα−1

(M). Если α — предельный ординал, то Jα =⋃

β<α

Jβ. Пока-

жем, что для каждого непредельного ординала α Jα/Jα−1 ∈ P(R/Jα−1).Пусть e ∈ R/Jα−1 — центральный идемпотент и e /∈ Jα/Jα−1. Тогда M =Me⊕M(1− e). Поскольку Me 6= 0, то из нашего предположения следует,что M(1− e) = 0 и 1− e ∈ Jα/Jα−1. Тогда R/Jα−1 = Jα/Jα−1 + e(R/Jα−1).Ясно, что для некоторого ординального числа τ имеет место равенствоJτ = Jτ+1 и, следовательно, Jτ ∈M(R).

Доказательство пункта (2) аналогично доказательству пункту (2) лем-мы.

(3) следует из (2). ¤Теорема 2.2.5. Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R — правое Max - кольцо;

(2) каждый росток Пирса кольца R является Max - кольцом;

(3) каждый максимальный неразложимый фактор - кольца R являетсяMax - кольцом.

Доказательство. Импликация 1)⇒ 2) следует из того факта, что каж-дое факторкольцо правого Max - кольца является правым Max - кольцом.

57

Импликация 2)⇒ 1) непосредственно следует из леммы 2.2.3(3). Эквива-лентность 1)⇔ 3) доказывается аналогично. ¤

Лемма 2.2.6. Пусть R — квазиинвариантное справа Max — кольцо.Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) если элемент r кольца R не является левым делителем нуля, то r ∈U(R);

(2) R/J(R) — строго регулярное кольцо.

Доказательство.(1) Пусть r — элемент кольца R, который не являетсялевым делителем нуля. Рассмотрим модуль

M = ⊕∞i=1xiR,

где xiR = R/riR. Пусть N =∑∞

i=1(xi+1r − xi). Для каждого m ∈M положим m = m + N . Тогда M/N = ⊕∞i=1xiR. Предположим, чтоM 6= N . Тогда модуль M/N содержит максимальный подмодуль T . По-скольку для каждого i имеет место равенство xi+1r = xi, то для неко-торого i0 имеем x1, . . . , xi0 ∈ T ; xi0+1, xi0+2, . . . /∈ T . Для каждого m ∈M/N положим m = m + T . Поскольку (M/N)/T — простой модуль, тоxi0+1R = xi0+2R. Так как Ann(xi0+1) и Ann(xi0+2) — двусторонние идеа-лы и R/ Ann(xi0+1) ∼= xi0+1R = xi0+2R ∼= R/ Ann(xi0+2), то Ann(xi0+1) =Ann(xi0+1R) = Ann(xi0+2R) = Ann(xi0+2). Из равенства xi0+1r = xi0 следу-ет, что r ∈ Ann(xi0+1) = Ann(xi0+2). Тогда 0 = xi0+2r = xi0+1, что невоз-можно. Полученное противоречие показывает, что M = N . Следовательно,существуют такие элементы r1, . . . , rn ∈ R, что

y1 =∑n

i=1(xi+1r − xi)ri = −x1r1 +∑n

i=2 xi(rri−1 − ri) + xn+1rrn.

Тогда

x1 = −x1r1; rri−1 − ri ∈ riR, (i = 2, . . . , n); rrn ∈ rn+1R.

Поскольку r не является левым делителем нуля, то из rrn ∈ rn+1R сле-дует rn ∈ rnR. Если rk ∈ rkR, где k = 2, . . . , n, то из rrk−1 − rk ∈ rkR сле-дует rrk−1 ∈ rkR и, следовательно, rk−1 ∈ rk−1R. По индукции мы имеемr1 ∈ r1R. Тогда x1 = −x1r1 = 0. Таким образом, rR = R и для некоторогоэлемента s имеем rs = 1. Поскольку (sr − 1)s, то sr = 1 и r ∈ U(R).

(2) Покажем, что для каждого r ∈ R имеет место равенство rR⊕rR(r) =RR. Из леммы следует, что R — редуцируемое кольцо и rR(r) — двусторон-ний идеал. Пусть s ∈ rR∩ rR(r). Тогда для некоторого x ∈ R имеем s = rx

и rs = 0. Отсюда получаем xs ∈ rR(r), s2 = rxs = 0 и, следовательно,

58

поскольку R — редуцируемое, то s = 0. Рассмотрим кольцо R = R/rR(r).Легко видеть, что R является правым инвариантным кольцом и правымmax — кольцом. Если для некоторого элемента s = s + rR(r) ∈ R имеетместо равенство rs = 0, то rs ∈ rR(r) ∩ rR = 0. Следовательно, s ∈ rR(r)и s = 0. Таким образом, r не является левым делителем нуля и из пунк-та (1) следует, что r ∈ U(R). Таким образом, rR = R и, следовательно,rR + rR(r) = RR. ¤

Теорема 2.2.7. Для квазиинвариантного справа кольца R, следующиеусловия равносильны:

(1) R — регулярное кольцо;


— V — кольцо;


(4) R — вполне идемпотентое справа кольцо.

Доказательство. (1) ⇒ (2) Импликация следует из теоремы 1.4.12 итеоремы 2.1.20.

(2) ⇒ (3) Очевидно.(3) ⇒ (4) Импликация следует из следствия 2.1.7.(4) ⇒ (1) Из леммы 1.3.3 следует, что J(R) = 0. По лемме 1.3.7 R

— редуцируемое кольцо. Из следствия 1.4.9 следует, что без ограниченияобщности мы можем считать кольцо R первичным. Из леммы 1.3.9 следует,что R — область и, следовательно, по лемме 1.3.3 R — простое кольцо. Тогдаиз леммы 1.3.7 следует, что R — тело. ¤

Теорема 2.2.8.. Для квазиинвариантного кольца R, следующие усло-вия равносильны:

(1) R — правое Max — кольцо;

(2) R/J(R) — регулярное кольцо и J(R) — t — нильпотентный справаидеал.

Доказательство. (1) ⇒ (2) Импликация следует из леммы 2.2.6 и тео-ремы 2.2.2.

(2) ⇒ (1) Из теоремы 1.4.12 и теоремы 2.1.20 следует, что R/J(R) — V— кольцо. Тогда из теоремы 2.2.2 следует, что R — Max — кольцо. ¤

Следствие 2.2.9 . Для коммутативного кольца R, следующие условияравносильны:

59

(1) R — Max кольцо;

(2) R/J(R) — регулярное кольцо и J(R) — t — нильпотентный идеал.

С предыдущим изложением тесно связаны работы Туганбаева А.А. [11],[12]. Отметим следующий результат.


(1) R — правое V — кольцо, R — редуцированное кольцо и все примитив-ные фактор - кольца кольца R — строго π — регулярные кольца;

(2) R — квазиинвариантное справа правое Max — кольцо;

(3) R/J(R) — строго регулярное кольцо и J(R) — t — нильпотентныйсправа идеал.


(1) Пусть (Ri)i∈I — бесконечное семейство ненулевых max — колец и R —подкольцо кольца

∏i∈I Ri, которое содержит⊕i∈IRi. Тогда следующие

условия равносильны:

(a) R — правое max — кольцо;

(b) R/(⊕i∈IRi) — правое max — кольцо.

(2) Если R — правое Max — кольцо, то для каждого правого R — модуляM имеем J(M) ¿ M .

(3) Покажите, что для нормального кольца .

60

ГЛАВА III.ПОЛУАРТИНОВЫ КОЛЬЦА.

§3.1. Полуартиновы кольца и модули

Определение 3.1.1.Модуль M называется полуартиновым, если каж-дый его ненулевой гомоморфный образ содержит простой подмодуль. Коль-цо R называется полуартиновым справа, если полуартинов модуль RR.

Рядом Леви модуля M называется возрастающая цепочка

0 ⊂ Soc1(M) = Soc(M) ⊂ . . . ⊂ Socα(M) ⊂ Socα+1(M) ⊂ . . .,

где Socα(M)/ Socα−1(M) = Soc(M/ Socα−1(M)) для каждого непредель-ного ординального числа α и Socα(M) =

⋃β<α

Socβ(M) для каждого пре-

дельного ординального числа α. Обозначим через L(M) подмодуль видаSocξ(M), где ξ - наименьший ординал для которого выполнено равенствоSocξ(M) = Socξ+1(M).

Теорема 3.1.2. Для модуля M следующие условия равносильны

(1) M — полуартиновый модуль.

(2) Каждый ненулевой гомоморфный образ модуля M имеет ненулевойцоколь.

(3) Для некоторого ординального числа α имеет место равенство Socα(M) =M .

(4) Существует возрастающая цепочка подмодулей

0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mα ⊂ Mα+1 ⊂ . . . ⊂ Mτ = M ,

такая, что Mα+1/Mα — полупростой модуль для каждого 0 ≤ α < τ иMα =

⋃β<α

Mβ, если α — предельное ординальное число.

(5) Каждый модуль в категории σ(M) является полуартиновым.

Доказательство. Импликации (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3), (3) ⇒ (4) и (5) ⇒(1) проверяются непосредственно.

61

(4) ⇒ (1). Пусть 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mα ⊂ Mα+1 ⊂ . . . ⊂ Mτ = M

— возрастающая цепочка подмодулей, удовлетворяющая условию пункта(4). Для доказательства (1) достаточно показать, что каждый ненулевойподфактор модуля M имеет ненулевой цоколь. Пусть G и F — подмодулимодуля M и G $ F . Допустим β — наименьшее ординальное число, длякоторого имеет место неравенство Mβ ∩ G 6= Mβ ∩ F . Очевидно, что β —непредельное ординальное число. Таким образом, Mβ−1 ∩G = Mβ−1 ∩ F и(F + Mβ−1)/(G + Mβ−1) ∼= F/(G + (F ∩ Mβ−1)) ∼= F/G. Если F ∩ Mβ ⊂G+Mβ−1, то F∩Mβ ⊂ G+(F∩Mβ−1) = G+(G∩Mβ−1) = G. Следовательно,Mβ ∩G = Mβ ∩F , что противоречит нашему предположению. Полученноепротиворечие показывает, что F ∩Mβ * G + Mβ−1. Тогда из изоморфизма((F∩Mβ)+G+Mβ−1)/(G+Mβ−1) ∼= (F∩Mβ)/F∩(Mβ−1+(G∩Mβ)) следует,что ненулевой модуль ((F ∩Mβ) + G + Mβ−1)/(G + Mβ−1) является гомо-морфным образом модуля (F ∩Mβ)/(F ∩Mβ−1) ∼= ((F ∩Mβ)+Mβ−1)/Mβ−1,который является полупростым.

(1) ⇒ (5). Для доказательства импликации достаточно показать, чтокласс полуартиновых модулей, замкнут относительно взятия подмодулей,фактормодулей и прямых сумм. Замкнутость полуартиновых модулей от-носительно подмодулей и фактормодулей проверяется непосредственно. Рав-носильность пунктов (1) и (4) показывает, что полуартиновы модули за-мкнуты относительно прямых сумм. ¤

Теорема 3.1.3. Если N — подмодуль модуля M и α — ординал, то

Socα(N) = Socα(M) ∩N.

Доказательство.Докажем теорему, используя трансфинитную индкуциюпо α. Случай α = 0 очевиден. Если α — предельный ординал, то равен-ство проверяется непосредственно. Пусть α — непредельный ординал. Изпредположения индукции получаем

(Socα(N) + Socα−1(M))/ Socα−1(M) ∼= Socα(N)/(Socα(N) ∩ Socα−1(M)) =Socα(N)/ Socα−1(N).

Отсюдо следует включение Socα(N) ⊂ Socα(M) ∩ N . С другой стороныимеем

(Socα(M) ∩N)/ Socα−1(N) = (Socα(M) ∩N)/(Socα−1(M) ∩N) ∼=(Socα(M) ∩N + Socα−1(M))/ Socα−1(M),

что доказывает обратное включение. ¤

62

Теорема 3.1.4. Для произвольного семейства модулей (Mi)i∈I и длякаждого ординала α имеет место равенство

Socα(⊕i∈IMi) = ⊕i∈I Socα(Mi).

Доказательство. Докажем теорему, используя трансфинитную индук-цию по α. Пусть M = ⊕i∈IMi. Случай α = 1 хорошо известен [7]. Ес-ли α — предельный ординал, то равенство проверяется непосредственно.Пусть α — непредельный ординал. Тогда по предположению индукцииSocα−1(⊕i∈IMi) = ⊕i∈I Socα−1(Mi). Из естественного изоморфизма

Mi/ Socα−1(Mi) ∼= (Mi + Socα−1(M))/ Socα−1(M)

следует

Soc(Mi/ Socα−1(Mi)) = Socα(Mi)/ Socα−1(Mi) ∼=(Socα(Mi)+Socα−1(M))/ Socα−1(M) = Soc((Mi +Socα−1(M))/ Socα−1(M)).

Тогда

Socα(M)/ Socα−1(M) = Soc(M/ Socα−1(M)) =⊕i∈I Soc((Mi + Socα−1(M))/ Socα−1(M)) =

⊕i∈I(Socα(Mi) + Socα−1(M))/ Socα−1(M) = (⊕i∈I Socα(Mi))/ Socα−1(M)

и, следовательно, Socα(⊕i∈IMi) = ⊕i∈I Socα(Mi). ¤Теорема 3.1.5. Для кольца R следующие условия равносильны:

1) R — полуартиновое справа кольцо;

2) R/J(R) — полуартиновое справа и J(R) t — нильпотентен слева.

Доказательство. 1)⇒ 2) Достаточно показать, что J(R) — t — ниль-потентный слева идеал. Для каждого элемента r ∈ R обозначим через h(r)наименьший ординал β, для которого выполнено условие r ∈ Socβ(RR).Непосредственно проверяется, что h(r) — непредельный ординал. Пустьri∞i=1 — семейство элементов из J(R). Поскольку для каждого ордина-ла α и правого R — модуля M модуль Socα(M)/ Socα−1(M) полупрост,то Socα(M)J(R) ⊂ Socα−1(M). Следовательно, мы имеем убывающую це-почку h(r1) ≥ h(r1r2) ≥ . . .. Поскольку каждая убывающая цепочка ор-диналов стабилизируется, то существет такое натуральное число n, чтоr1r2 . . . rn = 0

63

2)⇒ 1) Пусть M — произвольный ненулевой правый R — модуль. Еслидля каждого ненулевого m ∈ M mJ(R) 6= 0, то для каждого ненулевогоm ∈ M мы сможем найти такую последовательность ri∞i=1 элементов изJ(R), что для каждого n имеет место неравенство mr1r2 . . . rn 6= 0. Следо-вательно, модуль M содержит такой ненулевой элемент m, что mJ(R) = 0.Поскольку R/J(R) полуартиново справа, то модуль mR содержит простойподмодуль. ¤

Следствие 3.1.6. Каждое полуартиново кольцо является слабо регу-лярным.

Доказательство. Ясно, что полупростое полуартиново кольцо являет-ся слабо регулярным. Тогда утверждение следствия следует из следствия1.6.3 и теоремы 3.1.5. ¤

Пусть A - некоторая алгебра над полем K и An = A для каждого нату-рального n. Обозначим через A0 подалгебру алгебры R =

∏∞n=1 An, которая

имеет вид A0 = K1R +⊕∞

n=1 An.

Следующие два утверждения проверяются непосредственно.

Лемма 3.1.7. Для каждого ординала α ≤ l(A) имеет место равенство

Socα(A0) =∞⊕

n=1

Socα(A).

Лемма 3.1.8. Если A - полуартинова справа алгебра, то A0 - полуар-тинова справа алгебра и l(A0) = l(A) + 1.

Лемма 3.1.9. Если A - правое SV - кольцо, то A0 - правое SV - кольцо.

Доказательство. Пусть M - простой правый A0 - модуль и E(M) -его инъективная оболочка. Легко видеть, что Socl(A)(A0) =

⊕∞n=1 An. Для

каждого натурального числа i через ei обозначим такой элемент кольцаA0, что ei(i) = 1 и ei(j) = 0, если i 6= j.

Допустим, что M Socl(A)(A0) = 0. Если E(M) Socl(A)(A0) 6= 0, то длянекоторого натурального числа i имеем E(M)ei 6= 0. Тогда для некоторогоэлемента m ∈ E(M) имеем M = meiR = meiRei = Mei = 0. Полученноепротиворечие показывает, что E(M) Socl(A)(A0) = 0. Следовательно, мо-дуль E(M) мы можем рассматривать как векторное пространство над K

и E(M) = M .

Допустим, что M Socl(A)(A0) 6= 0. Тогда для некоторого натуральногочисла i имеем Mei 6= 0 и M(1− ei) = 0. Рассуждения, проведенные выше,

64

показывают, что E(M)(1−ei) = 0. Следовательно, E(M) является модулемнад кольцом A0/(1 − ei)A0

∼= A и поскольку A - правое SV - кольцо, тоM = E(M). Таким образом, кольцо A0 является правым SV - кольцом. ¤

Теорема 3.1.10. Для каждого ординального числа α существует такаяполуартинова справа K - алгебра A, что l(A) = α + 1.

Доказательство.Предположим противное. Тогда существует такое наи-меньшее ординальное число α, для которого не существует полуартиновойK - алгебры длины Леви равной α + 1. Если α - непредельное ординаль-ное число, то найдется полуартинова K - алгебра длины Леви α. Тогда излеммы следует, что R0 - полуартинова K - алгебра, у которой l(R0) = α.

Предположим, что α - предельное ординальное число. Тогда для каж-дого ординала β < α существует полуартинова алгебра Rβ длины Ле-ви равной β. Пусть R∗ - подалгебра алгебры R =

∏β<α Rβ вида R∗ =

K1R +⊕

β<α Rβ. Легко видеть, что Socα(R∗) =⊕

β<α Rβ и посколькуR∗/

⊕β<α Rβ

∼= K, то l(R∗) = α. ¤Отметим без доказательства следующее утверждение.

Теорема 3.1.11 [36]. Если R — коммутативное кольцо, то для произ-вольного R — модуля M следующие условия равносильны:

1) M — артинов модуль;

2) M — полуартинов и для каждого непредельного ординала α модульSocα(M)/ Socα−1(M) имеет конечную длину.


(1) Пусть M — правый R — модуль. Показать, что для каждого модуляN ∈ σ(M) имеет место неравенство l(N) ≤ l(M). В частности, длякаждого правого R — модуля M имеем l(M) ≤ l(RR).

(2) Показать, что для произвольного правого R — модуля M имеет местовключение M Socα(RR) ⊂ Socα(M) для каждого α.

(3) Если P — конечнопорожденный проективный правый модуль над по-луартиновым справа кольцом R, то EndR(P ) — полуартиново справакольцо и Socα(P ) = P Socα(RR) для каждого ординала α.

(4) Пусть (Ri)i∈I — бесконечное семейстово ненулевых колец. Тогда

Soc(∏

i∈I Ri/⊕i∈I Ri) = 0.

65

(5) Пусть R — прямое произведение семейства ненулевых полуартиновыхколец (Ri)i∈I . Тогда R является полуартиновым тогда и только тогда,когда | I |< ∞.

§3.2. Длина Леви полуартиновых колец

Лемма 3.2.1. Пусть R — произвольное кольцо и e — идемпотент кольцаR. Если eR — простой модуль и Re не содержит нильпотентных левыхидеалов, то модуль Re является простым

Доказательство. Рассмотрим произвольный ненулевой элемент re изRe. Поскольку Re не содержит нильпотентных левых идеалов, то для неко-торого элемента s ∈ R имеет место неравенство esre 6= 0. Так как eRe —тело, то для некоторого элемента t ∈ R имеем (ete)(esre) = e. Следова-тельно, Rre = Re. ¤

Лемма 3.2.2. Для полупервичного кольца R имеют место следующиеутверждения:

1) Soc(RR) = Soc(RR);

2) если r ∈ Soc(RR), то rR — прямое слагаемое RR;

3) если r ∈ Soc(RR), то r Soc(RR) = rR;

4) Soc(RR) — регулярный идеал.

Доказательство. 1) Утверждение пункта непосредственно следует из лем-мы 3.2.1.

2) Докажем, используя индукцию по lg(rR). Если lg(rR) = 1, то rR

минимальный правый идеал полупервичного кольца R и, следовательно,выделяется в виде прямого слагаемого в RR. Допустим lg(rR) = n иrR = A ⊕ B, где A,B — правые идеалы кольца R и lg(A) = n − 1. Попредположению индукции RR = A⊕C, где C — правый идеал. Пусть π —проекция модуля RR на модуль C относительно разложения RR = A⊕ C.Тогда π(rR) — минимальный правый идеал и C = π(rR) ⊕D. Посколькуπ(B) = π(rR), то RR = A⊕π(rR)⊕D = A⊕π(B)⊕D = A⊕B⊕D = rR⊕D.

3) Согласно пункту 2) Rr = Re, где e = e2. Тогда rR = reR ⊂ r Soc(RR).

4) Пусть r ∈ Soc(RR). Согласно пункту 2) для некоторого идемпотента eкольца R имеем rR = eR. Из пункта 3) следует, что e = rs, где s ∈ Soc(RR).Тогда r = er = rsr. ¤

66

Лемма 3.2.3. Пусть f : M → N — гомоморфизм полуартиновых пра-вых R — модулей. Тогда для каждого ординала α имеет место включение

f(Socα(M)) ⊂ Socα(N)

В частности, если f — эпиморфизм, то l(N) ≤ l(M).

Доказательство. Используя трансфинитную индукцию, покажем, чтодля каждого ординала α имеет место включение f(Socα(M)) ⊂ Socα(N).Если α = 0, то утверждение очевидно. Допустим, что для каждого β < α

наше утверждение доказано. Если β — предельный ординал, то включениепроверяется непосредственно. Пусть α — непредельный ординал. По пред-положению индукции f(Socα−1(M)) ⊂ Socα−1(N). Тогда отображение fиндуцирует гомоморфизм f : M/ Socα−1(M)) → N/ Socα−1(N). Посколькуf(Soc(M/ Socα−1(M))) ⊂ Soc(N/ Socα−1(N)), то f(Socα(M)) ⊂ Socα(N). ¤

Лемма 3.2.4. Если N — подмодуль полуартинового правого R — модуляM , то

l(M) ≤ l(N) + l(M/N)

Доказательство. Из теоремы 3.1.3 следует, что l(N) = minα | N =N ∩ Socα(M). Из леммы 3.2.3 следует, что l(M/ Socl(N)(M)) ≤ l(M/N).Тогда l(M) = l(Socl(N)(M)) + l(M/ Socl(N)(M)) ≤ l(N) + l(M/N). ¤

Теорема 3.2.5 [29]. Пусть R – полуартиново справа кольцо и l(RR) =n < ∞. Тогда R – полуартиново слева кольцо и l(RR) ≤ 2n − 1.

Доказательство. Доказательство будем проводить, используя мате-матическую индукцию по правой длине Леви кольца. Случай l(RR) = 1следует из теоремы Веддербарна - Артина. Допустим l(RR) = n и M =J(R) ∩ Soc(RR). Поскольку Soc(RR)M = 0, то модуль RM мы можем рас-сматривать как левый R = R/ Soc(RR) — модуль и, следовательно, попредположению индукции l(RM) ≤ l(RR) ≤ 2n−1 − 1.

Покажем, что Soc(RR)/M является полупростым левым R — модулем.Пусть e — примитивный идемпотент из Soc(RR). Если левый R/M — мо-дуль (R/M)(e + M) содержит нильпотентный идеал (A + M)/M , где A— подмодуль Re, то из равентсва M 2 = 0 следует, что левый идеал A яв-ляется нильпотентным. Тогда A ⊂ J(R) ∩ Soc(RR) = M и по лемме 3.2.1(R/M)(e+M) — простой модуль. Поскольку Soc(RR) = ⊕i∈IeiR⊕M , где ei

— примитивные идемпотенты, то из равенства Soc(RR)/M = (∑

i∈I ReiR+M)/M следует, что Soc(RR)/M является полупростым левым R — моду-лем.

67

По лемме 3.2.4 l(RR) ≤ l(R/ Soc(RR))+ l(Soc(RR)/M)+ l(M) ≤ (2n−1−1) + 1 + (2n−1 − 1) = 2n − 1. ¤

Пример 3.2.6 [29]. Существует полуартиново справа кольцо R, у ко-торого l(RR) = 2 и l(RR) = 3.

Доказательство. Пусть D — некоторое тело, T = CFMN(D) и S =Soc(T ). Пусть φ : S → S — отображение, при котором φ(A)ij = Ai+1,j,где A ∈ S и i, j ∈ N. Легко видеть, что φ — D − T — гомоморфизм иKer(φ) = A ∈ S | Ai,j = 0 для каждого i > 1 . На множестве R = D× S

определим операцию сложения покоординатно и операцию умножение поправилу

(d, s)(d′, s′) = (dd′, sd′ + ds′ + sφ(s′)).

Непосредственная проверка показывает, что относительно введенныхопераций R — кольцо с единицей (1, 0) и (0, S), (0, Ker(φ)) — его идеалы,причем (0, S)(0, Ker(φ)) = 0. Так как (0, s)(d′, s′) = (0, s(d′ + φ(s′))) и φ —эпиморфизм, то из леммы 3.2.2(3) следует, что Lat((0, S)R) = Lat(ST ). Та-ким образом, правый идеал (0, S) кольца R полупрост и поскольку R/(0, S) ∼=D, то R — полуартиново кольцо и l(RR) = 2.

Так как (0, S)(0, Ker(φ)) = 0, то левый идеал (0, Ker(φ)) можно рассмат-ривать как левый модуль над кольцом R/(0, S) ∼= D. Тогда (0, Ker(φ)) —полупростой левый R — модуль. Непосредственная проверка показывает,что N — точный правый T — модуль. Пусть (d, s) — произвольный эле-мент кольца R, который не лежит в (0, N). В этом случае либо d 6= 0, либоs /∈ N . Поскольку в кольце CFMN(D) имеет место равенство D∩S = 0, тоd + φ(s) 6= 0. Тогда найдется такой ненулевой элемент (0, n) ∈ (0, N), что(0, n)(d, s) = (0, n(d + φ(s))) 6= 0. Таким образом, левый идеал N являетсясущественным в RR и, следовательно, Soc(RR) = N . Поскольку R/(0, N),очевидно, не является полупростым, то по теореме 3.2.5 l(RR) = 3. ¤

Замечание 3.2.7. В работе [24] для произвольного натурального числаn был построен пример полуартинового справа и слева кольца, у которогоl(RR) = n и l(RR) = 2n− 1.

Пример 3.2.8 [61]. Существует полуартиново слева кольцо, но не по-луартиново справа кольцо.

Доказательство. Пусть P — некоторое поле и I — частично упоря-доченное множество. Рассмотрим в кольце CFMI(P ) подкольцо R видаPE + N , где E — единичная матрица, а N = A ∈ CFMI(P ) | Aij = 0

68

для почти всех пар (i, j) ∈ I × I и Aij = 0, если i > j. Непосредственнопроверяется, что R — локальное кольцо и J(R) = N .

Покажем, что если I удовлетворяет условию обрыва убывающих (воз-растающих) цепочек, то идеал J(R) является t — нильпотентным спра-ва(слева). Пусть (ri)

∞i=1 — система элементов из N и sn = rn . . . r1 (tn =

r1 . . . rn). Обозначим через An (Bn) множестов индексов i ∈ I, для кото-рых найдется такой элемент k ∈ I, что (sn)ik 6= 0((tn)ki 6= 0). Ясно, чтодля каждого i ∈ An+1(i ∈ Bn+1) найдется такой элемент j ∈ An(j ∈ Bn),для которого i < j(i > j). Таким образом, для каждого натуральногоj ∈ An+1(j ∈ Bn+1) существует такая цепочка j < jn < . . . < j1(j > jn >

. . . > j1), что jk ∈ Ak(jk ∈ Bk), где 1 ≤ k ≤ n. Поскольку I удовлетворяетусловию обрыва убывающих(возрастающих) цепочек и An(Bn) конечно длякаждого n, то из теоремы Кенинга [31, 31.1] следует, что Am = ∅(Bm = ∅)для некоторого m. Следовательно, 0 = rm . . . r1 (0 = r1 . . . rm).

Если I не удовлетворяет условию обрыва убывающих(возрастающих)цепочек, то в I существует бесконечная убывающая(возрастающая) цепьi1 > i2 > . . . (i1 < i2 < . . .). Тогда для системы матричных единицei2,i1, ei3,i2, . . . (ei1,i2, ei2,i3, . . .) неравенство ein,in−1

. . . ei3,i2ei2,i1 6= 0(ei1,i2ei2,i3 . . . ein−1,in 6= 0) имеет место для каждого натурального n.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений следует, что идеалJ(R) t — нильпотентен справа(слева) тогда и только тогда, когда I удовле-творяет условию обрыва убывающих(возрастающих) цепочек. В частности,если положить I = N, то мы получим пример кольца, которое согласно тео-реме 3.1.5 полуартиново слева, но не полуартиново справа. ¤

Замечание 3.2.9. В работе [61] Ософская показала, что для каждыхдвух бесконечных ординалов α и β существует совершенное кольцо, у ко-торых левая длина Леви равна α + 1, а правая длина Леви равна β + 1.


(1) Пусть R – полупримарное кольцо и n – степень нильпотентностиJ(R). Показать, что R – полуартиново справа и слева кольцо и l(RR) =l(RR) = n + 1.

(2) Пусть R – полулокальное кольцо. Тогда имеют место следующиеутверждения:

a) для каждого натурального k имеют место равенства Sock(RR) =r(Jk) и Sock(RR) = l(Jk);

69

b) если Soc(RR) = Soc(RR), то Sock(RR) = Sock(RR) для каждогонатурального k.

(3) Если R — регулярное полуартиново справа кольцо, то R — полуарти-ново слева и l(RR) = l(RR).

(4) Пусть R — полуартиново справа кольцо и l(RR) = n < ∞. Какиезначения может принимать левая длина Леви кольца R? (Открытыйвопрос)

§3.3. SV — кольца

Теорема 3.3.1 [23]. Пусть R — полуартиновое справа кольцо. Еслидля каждого ординала α факторкольцо R/(Socα(RR)) является полупер-вичным, то R — регулярное кольцо.

Доказательство. Используя трансфинитную индукцию, покажем, чтодля каждого ординала α идеал Socα(RR) является регулярным. Если α =0, то утверждение очевидно. Допустим, что для каждого β < α идеалSocα(RR) регулярен. Если β — предельный ординал, то регулярность идеа-ла Socβ(RR) проверяется непосредственно. Пусть α = γ +1. По лемме 3.2.2Socα(RR)/Socγ(RR) — регулярный идеал. Идеал Socγ(RR) — регулярен попредположению индукции. Тогда регулярность идеала Socα(RR) следует изтеоремы 1.4.6. ¤

Следствие 3.3.2. Каждое правое SV — кольцо является регулярнымкольцом.

Для произвольного кольца R определим по трансфинитной индукциидля каждого ординального числа α идеал SIα(R) следующим образом. Приα = 0 положим SIα(R) = 0. Если α = β+1, то SIβ+1(R)/ SIβ(R) - сумма всехпростых инъективных правых R - подмодулей модуля R/ SIβ(R). Когда α-предельное ординальное число, положим SIα(R) =

⋃β<α

SIβ(R). Ясно, что

для некоторого ординального числа τ имеют место равенства SIτ(R) =SIτ+1(R) и SI1(R/Iτ(R)) = 0. Далее через SI(R) будем обозначать идеалSIτ(R).

Лемма 3.3.3. Пусть e центральный идемпотент кольца R и eR — полу-простой модуль над кольцом R. Тогда eR является инъективным модулем.

Доказательство. Рассмотрим вложение eR ⊂ E(eR). Если E(eR)(1−e) 6= 0, то для некоторого элемента x из E(eR) имеем x(1 − e) 6= 0 и

70

поскольку eR существенен в E(eR), то для некоторых элементов r и s изR имеем x(1− e)r = es 6= 0. Тогда es = ese = x(1− e)re = 0. Полученноепротиворечие показывает, что E(eR)(1 − e) = 0 и, следовательно, E(eR)мы можем рассматривать как модуль над кольцом eR. Поскольку eR -полупростой модуль, то кольцо eR является классически полупростым изначит eR = E(eR). ¤

Лемма 3.3.4. Для произвольного кольца R имеют место следующиеутверждения:

1) для каждого ординального числа α всякий инъективный простой пра-вый R/ SIα(R) — модуль M является инъективным правым R — модулем;

2) для каждого α идеал SIα(R) является регулярным;

3) кольцо R является правым SV — кольцом тогда и только тогда,когда R = SI(R).

Доказательство. 1) Покажем с помощью трансфинитной индукции,что для каждого ординального числа α инъективный простой R/ SIα(R) —модуль M является инъективным R — модулем. Если α = 0, то утвержде-ние тривиально. Пусть α — некоторое ординальное число и для каждогоβ < α всякий инъективный простой правый R/ SIβ(R) — модуль M являет-ся инъективным правым R — модулем. Рассмотрим произвольный инъек-тивный простой правый R/ SIα(R) — модуль M . Допустим E(M) 6= M , гдеE(M) — инъективная оболочка R — модуля M . Если E(M) SIα(R) 6= 0, тообозначим через γ — наименьшее ординальное число, для которого имеетместо неравенство E(M) SIγ(R) 6= 0. Ясно, что для некоторого ординаль-ного числа γ0имеет место равенство γ = γ0+1. Тогда E(M)−R/ SIγ0

(R) мо-дуль и для некоторого примитивного идемпотента e идеала SIγ(R)/ SIγ0

(R)имеет место неравенство E(M)e 6= 0. Простой модуль e(R/ SIγ0

(R)) явля-ется инъективным R — модулем. Согласно [2, следствие 6.6.3] E(M) явля-ется однородным непростым модулем. С другой стороны E(M) содержитпростой инъективный R - модуль. Полученное противоречие показывает,что E(M) SIα(R) = 0. Таким образом, E(M) является R/ SIα(R) - модулеми поскольку M - инъективный простой R/ SIα(R) - модуль, то E(M) = M .

2) Покажем сначала, что SI1(R)является регулярным идеалам. Посколь-ку идеал SI1(R) является прямой суммой минимальных инъективных пра-вых идеалов, то для произвольного элемента x из SI1(R) имеет место ра-венство xR = eR, где e - некоторый идемпотент кольца R. Пусть e = xr,где r ∈ R. Тогда xR = eR = eeR = xreR ⊂ x SI1(R). Таким образом, xR =x SI1(R) и для некоторого элемента r0 идеала SI1(R) имеем xr = xr0 и, сле-

71

довательно, xr0x = x. Используя трансфинитную индукцию покажем, чтодля каждого ординального числа α идеал SIα(R) является регулярным.Для α=0, то утверждение тривиально. Если α предельное ординальноечисло, то регулярность идеала SIα(R) очевидна. Пусть α непредельное ор-динальное число. Тогда для некоторого ординального числа β имеет месторавенство α = β + 1 и, следовательно, SIα(R)/SIβ(R) = SI1(R/SIβ(R)).Поскольку идеалы SIβ(R) и SI1(R/SIβ(R)) являются регулярными, то ре-гулярность идеала SIα(R)следует из теоремы.

3) Утверждение непосредственно следует из пункта 1. ¤Теорема 3.3.5 [1]. Для нормального кольца R имеют место следующие

утверждения:

1) если J(R) = 0, то L(R) — регулярен;

2) если J(R) = 0, то I(R) = L(R);

3) Soc(R/I(R)) ⊂ J(R/I(R)).

Доказательство. 1) Пусть R - нормальное кольцо, у которого J(R) =0. Используя трансфинитную индукцию, покажем, что для произвольно-го ординального числа α идеал Socα(R) является регулярным. Покажем,что Soc(R) регулярен. Поскольку J(R) = 0, то любой минимальный идеалкольца R порождается идемпотентом и, следовательно, Soc(R) = ⊕

i∈IeiR,

где ei - примитивные центральные идемпотенты. Поскольку для каждого i

кольцо eiR является телом, то Soc(R) является прямой суммой тел и, сле-довательно, будет регулярным. Пусть α - предельное ординальное число.Тогда по определению Socα(R) =

⋃β<α

Socβ(R). Согласно предположению

индукции, для каждого β < α Socβ(R) является регулярным, следователь-но, и Socα(R) также будет регулярным. Рассмотрим случай непредельно-го ординального числа α. Тогда α = α0 + 1 для некоторого ординально-го числа α0. Заметим, что для каждого ненулевого x из L(R) выполненонеравенство x2 6= 0. Действительно, если для некоторого ненулевого эле-мента x из L(R) выполнено равенство x2 = 0, то xr является примитивныиидемпотентом для некоторого элемента r из R и xr = xrxr = xxrr = 0,что невозможно. Покажем, что Socα(R)/Socα0

(R) не содержит нильпо-тентных элементов. Допустим противное. Тогда для некоторого элементаx ∈ Socα(R)\Socα0

(R) имеем x2 ∈ Socα0(R). Пусть β = min

γ(x2 ∈ Socγ(R)).

Ясно, что β - непредельное ординальное число и, следовательно, β=β0 + 1

72

для некоторого ординального числа β0. Очевидно, β ≤ α0 < α и из предпо-ложения индукции следует, что Socβ(R) является регулярным. Рассмотримфакторкольцо R = R/Socβ0

(R). Тогда цоколь Socβ(R)/Socβ0(R) кольца R

является прямой суммой минимальных идеалов, каждый из которых по-рождается примитивным идемпотентом. Пусть x канонический образ эле-мента x в кольце R. Тогда x2 6= 0 и x2 ∈ Socβ(R)/Socβ0

(R). Следова-

тельно, для идеала x2R имеем следующее представление x2R =n∑

i=1⊕(eiR),

где ei - примитивные идемпотенты кольца R. Поскольку по предположе-нию индукции Socβ0

(R) - регулярен, то согласно теореме 1.4.5 относитель-но канонического гомоморфизма из R в R каждый идемпотент кольца R

является образом некоторого идемпотента из кольца R. Следовательно,в кольце R каждый идемпотент также является центральным. Согласнолемме 3.3.3, модуль x2R является инъективным и, следовательно, выде-ляется в виде прямого слагаемого в xR и xR = x2R ⊕ hR, где h лежитв R. Если h 6= 0, то для некоторых элементов r1и r2 кольца R выполне-ны условия h = xr1 и hr2 - примитивный центральный идемпотент. Тогдаhr2 = (hr2)

2 = hr2xr1r2 = xhr2r1r2 = x2r1r2r1r2. Таким образом, мы по-лучаем, что с одной стороны hr2 ∈ x2R ∩ hR = 0, а с другой стороныhr2 6= 0. Следовательно, имеем xR = x2R и x = x2s , где s лежит в R иs его канонический образ в R. Значит x − x2s ∈ Socβ(R) ⊂ Socα0

(R) и,следовательно, поскольку x2s ∈ Socα0

(R), элемент x также будет лежатьв Socα0

(R). А это противоречит выбору элемента x. Таким образом, цо-коль Socα(R)/Socα0

(R) кольца R не содержит нильпотентных элементови, следовательно, является регулярным. Так как, согласно предположениюиндукции, Socα0

(R) является регулярным, то в силу теоремы 1.4.6, Socα(R)также является регулярным.

2) Используя трансфинитную индукцию, покажем, что для произволь-ного ординального числа α имеет место равенство Socα(R) = Iα. Дляα = 0 утверждение тривиально. Пусть α - некоторое ординальное чис-ло и для каждого β < α имеет место равенств Socβ(R) = Iβ(R). По-кажем справедливость равенства Socα(R) = Iα. Если α - предельное, торавенство очевидно. Предположим, что α непредельное ординальное чис-ло. Тогда α = α0 + 1 для некоторого ординального числа α0. Согласнодоказанному выше и теореме 1.4.5, кольцо R/Socα0

(R) является нормаль-ным и его цоколь Socα(R)/Socα0

(R) является прямой суммой минималь-ных правых идеалов, порожденных центральными идемпотентами. Тогда,согласно лемме 1.2, Socα(R)/Socα0

(R) = Iα(R)/Iα0(R) и, следовательно,

73

Socα(R) = Iα(R).3) Если Soc(R/I(R)) 6⊂ J(R/I(R)), то кольцо R/I(R) содержит ми-

нимальный правый идеал A порожденный примитивным идемпотентом.Тогда из леммы 3.3.4 и, следует, что A ⊂ I1(R/I(R)) = 0. полученноепротиворечие доказывает включение Soc(R/I(R)) ⊂ J(R/I(R)).

В качестве непосредственных следствий предыдущих результатов при-ведем следующие утверждения.

Следствие 3.3.6. Для нормального кольца R следующие условия рав-носильны:

1) R — регулярное полуартиновое кольцо;2) для каждого непредельного ординального числа α кольцо

Socα(R)/Socα−1(R) является прямой суммой тел;3) R — полуартиново кольцо, у которого J(R) = 0.Следствие 3.3.7. Нормальное полуартиновое кольцо с нулевым ради-

калом Джекобсона является SV — кольцом.Следующий пример показывает, что в общем случае предыдущее утвер-

ждение не верно.Пример 3.3.8. Существует полуартиново регулярное кольцо R, которое

не является ни правым и ни левым V — кольцом.Доказательство. Пусть P — некоторое поле. Рассмотрим в кольце

CFMN(P ) подкольцо R вида PE + N , где E — единичная матрица, аN = A ∈ CFMN(P ) | Aij = 0 для почти всех пар (i, j) ∈ N × N. Непо-средственно проверяется, что R — регулярное кольцо. Рассмотрим абелевугруппу M = PN, элементы которой можно рассматривать как бесконеч-ные строки. Ясно, что абелева группа M имеет естественную структуруправого R - модуля. Непосредственная проверка показывает, что M0 =(pi)

∞i=1 ∈ M | pi = 0 для почти всех i ∈ N — простой существенный под-

модуль правого R — модуля M и, следовательно M0 не является инъектив-ным модулем. Таким образом, кольцо R не является правым V — кольцом.Аналогично можно показать, что R не является левым V — кольцом. ¤


(1) Покажите, что центр регулярного полуартинового справа кольца яв-ляется SV - кольцом.

(2) Если R - регулярное полуартиновое справа кольцо, то R - полуарти-ново слева кольцо.

74

(3) Покажите, что для каждого ординального числа α существует такоеправое SV - кольцо R, что l(R) = α + 1.

(4) Показать, что для полуартинова справа (слева) кольца R следующиеусловия равносильны:

(a) R - регулярное кольцо;(b) R - вполне идемпотентое справа кольцо.

§3.4. Полуартиновы Max — кольца

Лемма 3.4.1. Для идеала J полуартинова слева кольца R следующиеусловия равносильны:

1) J — примитивный слева идеал;

2) J — примитивный справа идеал.

Доказательство. 1)⇒ 2) Поскольку кольцо R/J является первичным,то из леммы 3.2.1 следует, что Soc((R/J)R) 6= 0. Пусть M — минимальныйправый идеал кольца R/J . Из первичности кольца R/J следует равенствоAnnR/J(M) = 0 и, следовательно, J — примитивный справа идеал. Импли-кация 2)⇒ 1) доказывается аналогично. ¤

Лемма 3.4.2.Пусть M — ненулевой правый модуль над полуартиновымслева кольцом R. Тогда сущестует такой примитивный идеал P в кольцеR, что MP 6= M .

Доказательство. Пусть A = Ann(M) и T — такой левый идеал кольцаR, что T/A — минимальный левый идеал кольца R/A. Если P — левыйаннулятор левого R — модуля T/A, то MPT ⊂ MA = 0 6= MT . ¤

Теорема 3.4.3 [30]. Если каждая возрастающая цепочка примитивныхидеалов полуартинова слева кольца R кольца стабилизируется, то R —правое Max — кольцо.

Доказательство. Пусть M — ненулевой правый R модуль. По лемме3.4.2 существует такой примитивный идеал P кольца R, что P — мак-симальный примитивный идеал со свойством MP 6= M . Пусть S/P =Soc((R/P )R). Если MS 6= M , то по лемме 3.4.2 существует такой прими-тивный идеал Q/S кольца R/S, что (M/MS)(Q/S) 6= M/MS. Тогда Q

— примитивный идеал кольца R, для которого имеет место неравенствоMQ 6= M . Так как Q строго содержит идеал P , то получаем противоречиес максимальностью идеала P . Таким образом, MS = M и

75

M/MP = MS/MP = (M/MP )(S/P ).

Таким образом, M/MP — ненулевой полупростой модуль и, следовательно,модуль M содержит максимальный подмодуль. ¤

В работе [30] было показано, что существует регулярное полуартиновосправа и слева кольцо, которое не является правым Max — кольцом.


(1) R — совершенное справа кольцо;

(2) R — полулокальное правое Max — кольцо;

(3) R — полулокальное полуартиново слева кольцо;

(4) R — I — конечное полуартиново слева кольцо.

Доказательство. (1)⇒(2) Из определения совершенного справа кольцаи теоремы 2.2.2 следует, что R — полулокальное правое Max — кольцо.

(2)⇒(3) Импликация следует из теоремы 3.1.5 и теоремы 2.2.2.(3)⇒(4) Из следствия 1.7.9 и теоремы 3.1.5 следует, что R. — полусовер-

шенное кольцо. Тогда импликация следует из теоремы 1.7.7.(4)⇒(1) Поскольку полуартиново слева кольцо является слабо регуляр-

ным, то из теоремы 1.7.7 следует, что R — полусовершенное кольцо. Тогдаиз теоремы 2.2.2 следует, что R — совершенное справа кольцо. ¤

Теорема 3.4.5. Для правого квазиинвариантного кольца R следующиеусловия равносильны:

(1) R — совершенное справа кольцо;

(2) R — I — конечное кольцо и правое Max — кольцо.

Доказательство. (1)⇒(2) Импликация следует из предыдущей теоре-мы.

(2)⇒(1) Поскольку согласно теореме 2.2.2 J(R) — t — нильпотентноесправа кольцо, то достаточно показать, что R/J(R) является классическиполупростым кольцом. Из леммы 2.2.6 следует, что R/J(R) — регулярноекольцо. Поскольку счетное множество взаимоортогональных идемпотентовподнимаются по модулю ниль - идеала, то R/J(R) — I — конечное кольцо.Тогда из теоремы 1.4.10 следует, что R/J(R) является классически полу-простым кольцом. ¤


76

(1) Покажите, что в полуартиновом слева кольце каждая убывающая це-почка примитивных идеалов стабилизируется.

(2) Если R — полупервичное кольцо и либо Soc(RR) 6= 0, либо Soc(RR) 6=0, то R — примитивное справа и слева кольцо.

(3) Если каждый примитивный гомоморфный образ полуартинова слевакольца R является правым Max — кольцом, то R — правое макс коль-цо.

(4) Показать, что каждое полуартиново кольцо R, у которого l(RR) < ∞,является левым и правым Max — кольцом.

77

ГЛАВА IV.ОБОБЩЕННЫЕ SV - КОЛЬЦА.

§4.1. Теорема Ософской - Смита

Лемма 4.1.1 [59] Пусть ei | i ∈ I — бесконечное множество взаимо-ортогональных ненулевых идемпотентов кольца R. Предположим, что длякаждого непустого подмножества A множества I существует такой элементfA кольца R, что ei = fAei для i ∈ A и eifA = 0 для i ∈ I \ A. ПоложимS = r ∈ R | eir = 0, i ∈ I. Тогда модуль R/(

∑i∈I eiR + S) не является

инъективным.

Доказательство. Представим множество I в виде бесконечного дизъ-юнктного объединения бесконечных подмножеств I = ∪A∈ΣA, где Σ ∈ 2I .Рассмотрим множество T всех тех элементов Ω из 2I , которые удовлетво-ряют условиям:

(1) если A ∈ Ω, то A — бесконечное множество;

(2) если A,B ∈ Ω, A 6= B, то A ∩B конечно.

Легко видеть, что T — индуктивно упорядоченное множество. Поэто-му согласно лемме Цорна множестово T содержит такой максимальныйэлемент ∆, что Σ ⊂ ∆.

Если для элемента r ∈ R выполнено равенство eir | i ∈ I\i1, ..., in =0, то r−ei1r− ...−einr ∈ S. Следовательно, множество L =

∑i∈I eiR+S

состоит в точности из тех элементов кольца R, которые аннулируют слевапочти все элементы множества ei | i ∈ I.

Покажем, что сумма∑

A∈∆(fAR+L)/L является прямой. Пусть A ∈ ∆,r ∈ R, Aj ∈ ∆\A, где 1 ≤ j ≤ n, и предположим, что fAr /∈ L. Тогдасуществет бесконечное число элементов i ∈ A, для которых выполненонеравенство eifAr 6= 0. По построению множество A ∩ (∪n

j=1Aj) конечно.Поэтому если r0 ∈

∑nj=1 fAj

R+L, то для почти всех элементов i ∈ A имеетместо равенство eir0 = 0. Следовательно, fAr /∈ ∑n

j=1 fAjR + L.

Определим отображение

ϕ :∑

A∈∆(fAR + L)/L → R/L,

положив ϕ(fA+L) = fA+L, если A ∈ Σ, и ϕ(fA+L) = 0, если A ∈ ∆\Σ.Предположим, что R/L — инъективный модуль. Тогда гомоморфизм ϕможно продолжить до гомоморфизма ψ. Следовательно, существует такойэлемент t ∈ R, что для всех A ∈ Σ имеет место равенство fA = tfA + l,

78

где l ∈ L. Поэтому eifAei = eitfAei + eilei для каждого элемента i ∈ A.Поскольку для почти всех элементов i ∈ A имеют место равенства eil = 0и fAei = ei, то множество A0 = i ∈ A | ei = eitfAei = eitei являет-ся бесконечным. Пусть C — множество, которое с каждым элементом измножества A0 | A ∈ Σ пресекается по одноэлементному подмножеству.Допустим, что C ∈ ∆. Тогда, очевидно, C ∈ ∆\Σ и, следовательно, tfC ∈ L

и ectfCec = 0 для почти всех c ∈ C. С другой стороны ec = ectec для каж-дого c ∈ C. Полученное противоречие показывает, что C /∈ ∆. В силумаксимальности ∆ для некоторого D ∈ ∆ пересечение C ∩D является бес-конечным и D /∈ Σ. Тогда tfD ∈ L и для почти всех элементов i ∈ I имеетместо равенство eitfD = 0. Отсюдо для почти всех элементов d ∈ C∩D мыимеем edtfD = 0. С другой стороны для каждого элемента d ∈ C∩D имеетместо равенство ed = edted = edtfDed = 0. Таким образом, для бесконеч-ного множества элементов d ∈ C ∩D идемпотенты ed являются нулевыми,что противоречит условию леммы. ¤

Лемма 4.1.2. Пусть R — самоинъективное справа регулярное кольцои C — счетно порожденный неконечно порожденный правый идеал. Тогдаправый R — модуль R/C не является инъективным.

Доказательство. Легко видеть, что C =∑

i∈I eiR, где ei | i ∈ I— бесконечное множество взаимоортогональных ненулевых идемпотентоврегулярного кольца R.

Для каждого непустого подмножества A множества I найдется такойидемпотент f кольца R, что ⊕i∈AeiR существен в fR. Легко видеть, чтодля каждого i ∈ A fei = ei и ejf = 0 для каждого j ∈ I\A. Таким образом,по лемме 4.1.1 модуль R/(

∑i∈I eiR + S), где S = r ∈ R | eir = 0, i ∈ I,

не является инъективным.

Существует такое прямое слагаемое L модуля RR, что S существен в L.Тогда L = gR, где g — идемпотент R. Правый идеал N = r | gr ∈ Sявляется существенным в RR. Поскольку R — антисингулярно справа идля каждого i ∈ I eigN = 0, то eig = 0 для всех i ∈ I. Тогда g ∈ S

и S = gR. Модуль ⊕i∈IeiR является существенным в некотором прямомслагаемом T модуля RR. Поскольку S∩T = 0 и RR — инъективный модуль,то RR = S ⊕ T ⊕ U , где U — подмодуль RR.

Предположим, что R/ ⊕i∈I eiR — инъективный модуль. Тогда модуль(R/⊕i∈I eiR)⊕ U инъективен. С другой стороны из изоморфизма

R/(∑

i∈I eiR + S) ∼= (R/⊕i∈I eiR)⊕ U

79

следует, что он не является инъективным. Полученное противоречие пока-зывает, что модуль R/⊕i∈I eiR неинъективен. ¤

Лемма 4.1.3. Пусть R — самоинъективное справа регулярное коль-цо, A — счетнопорожденный неконечнопорожденный правый идеал и длянекоторого идемпотента e модуль eR является существенным расширениемAR. Тогда модуль R/(A ⊕ (1 − e)R) не содержит ненулевых инъективныхподмодулей.

Доказательство. Допустим B = A⊕ (1− e)R. Предположим, что мо-дуль R/B содержит ненулевой инъективный подмодуль C/B. Тогда R/B =C/B⊕D/B. Поскольку R/D ∼= C/B, то R/D — инъективный модуль. Таккак B — счетно порожденный, а D/B — циклический, то D является счетнопорожденным. Тогда из теоремы 4.1.2 следует, что D — конечно порожден-ный и, следовательно, является циклическим и выделяется в виде прямогослагаемого в RR. Поскольку B является существенным в RR, то D = R и,следовательно, C/B = 0, что противоречит нашему предположению. ¤



(2) над кольцом R каждый циклический правый модуль является инъек-тивным.

Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует изпредыдущей леммы. ¤

Теорема 4.1.5. Пусть M — циклический правый R — модуль. Пред-положим, что в каждом циклическом подфакторе модуля M каждый за-мкнутый подмодуль является существенным расширением циклическогоподмодуля. Тогда M — I — конечный модуль.

Доказательство. Допустим противное. Тогда согласно лемме 1.7.2 итеореме 1.7.3 существуют такие семейства ненулевых подмодулей N1, N2, . . .

и L1, L2, . . . модуля M , что M = N1 ⊕ . . .⊕Nn ⊕ Ln и ⊕∞i=n+1Ni ⊂ Ln длякаждого n. Для каждого i подмодуль Ni является циклическим и, следо-вательно, содержит в себе максимальный подмодуль Ai. Пусть

M = M/(⊕∞i=1Ai) и S = (⊕∞i=1Ni)/(⊕∞i=1Ai).Тогда S — полупростой подмодуль модуля M и для каждого n подмо-

дуль (⊕ni=1Ni +⊕∞i=1Ai)/(⊕∞i=1Ai) является прямым слагаемым модуля M .

Пусть P — максимальное существенное расширение подмодуля S в мо-дуле M . Поскольку P — замкнутый подмодуль модуля M , то согласно на-

80

шему предположению P содержит циклический существенный подмодульT . Очевидно, что S = Soc(T ). Представим S в виде S = ⊕∞i=1Si, где Si —неконечнопорожденные подмодули для каждого i. Пусть для каждого i Bi

— максимальное существенное расширение подмодуля Si в модуле T . Тогдапо предположению для каждого i в модуле Bi существует существенныйциклический подмодуль. Следовательно, Bi 6= Si и Bi = (Bi + S)/S 6= 0для каждого i.

Пусть T = T/S и W — максимальное существенное расширение подмо-дуля⊕∞i=1Bi в T . Тогда W содержит циклический существенный подмодульE. Пусть E — циклический подмодуль T , для которого (E + S)/S = E.Положим F i = E∩Bi. Очевидно, что F i 6= 0 для каждого i. Обозначим че-рез Fi обратный прообраз подмодуля F i в Bi относительно каноническогогомоморфизма. Тогда Si ⊂ Fi ⊂ Bi.

Если для некоторого i имеет место равенство Si ∩ E = 0, то из суще-ственности Si в Fi следует, что Fi∩E = 0. Поскольку Fi ⊂ E +S = E⊕S0,где S0 ⊂ S, то Fi вложим в S0 и, следовательно, является полупростым.Тогда Fi ⊂ S и F i = 0, что невозможно. Таким образом, для каждого i

существует такой простой подмодуль Vi модуля M , что Vi ⊂ Si ∩ E.

Положим V = ⊕∞i=1Vi. Тогда в силу предположения найдется такойциклический подмодуль K модуля E, что K является существенном под-модулем в некотором замыкании V в E. Очевидно, что V 6= K и K =(K + S)/S 6= 0.

Покажем, что K ∩ ⊕∞i=1Bi ⊂ S. Для каждого n ≥ 1 имеем

(K ∩ ⊕ni=1Bi) ∩ S = K ∩ (⊕n

i=1Bi ∩ S) = K ∩ ⊕ni=1Si ⊂ Soc(K) ∩ ⊕n

i=1Si =(⊕∞i=1Vi) ∩ ⊕n

i=1Si = ⊕ni=1Vi.

Поскольку ⊕ni=1Vi — прямое слагаемое модуля T , то для некоторого подмо-

дуля T ′ ⊂ T имеем T = ⊕ni=1Vi ⊕ T ′. Если (K ∩ ⊕n

i=1Bi) ∩ T ′ 6= 0, то ввидусущественности S в T найдется такой простой подмодуль N0 модуля N , чтоN0 ⊂ (K ∩⊕n

i=1Bi) ∩ T ′. Тогда N0 ⊂ (K ∩⊕ni=1Bi) ∩ S ⊂ ⊕n

i=1Vi, что невоз-можно. Полученное противоречие показывает, что (K ∩ ⊕n

i=1Bi) ∩ T ′ = 0и, следовательно, модуль K ∩⊕n

i=1Bi вложим в ⊕ni=1Vi и является полупро-

стым. Таким образом, K ∩ ⊕ni=1Bi ⊂ S. Поскольку последнее включение

выполняется для произвольного n ≥ 1, то K ∩ ⊕∞i=1Bi ⊂ S.

Так как S ⊂ ⊕∞i=1Bi, то K ∩ ⊕∞i=1Bi = 0. Получили противоречие с темфактом, что ⊕∞i=1Bi существен в W . ¤

81

Следствие (Ософски - Смит) 4.1.6. Пусть M — циклический пра-вый R — модуль. Предположим, что каждый циклический подфактор мо-дуля M является CS модулем. Тогда модуль M является прямой суммойоднородных подмодулей.

Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что M является I

— конечным модулем. Тогда M является конечной прямой суммой нераз-ложимых подмодулей. Поскольку каждый неразложимый CS модуля яв-ляется однородным, то M вляется конечной прямой суммой однородныхподмодулей. ¤

Следующее утверждение является модульным аналогом теоремы 4.1.4.

Следствие 4.1.7. Для правого R — модуля M следующие условия рав-носильны:

(1) M — полупростой модуль;

(2) каждый циклический модуль в σ(M) является M — инъективным;

(3) каждый циклический подфактор модуля M является M — инъектив-ным.

Доказательство. Импликации 1) ⇒ 2), 2) ⇒ 3) очевидны.

3) ⇒ 4) Пусть N — циклический подмодуль M . Тогда из следствия4.1.6 следует, что N является конечной прямой суммой однородных подмо-дулей. Пусть P — однородное прямое слагаемое N . Поскольку в P каждыйциклический подмодуль является M — инъективныи и, следовательно, вы-деляется в виде прямого слагаемого в P , то P — простой модуль. Таким об-разом, каждый циклический подмодуль модуля M является полупростыми, следовательно, модуль M сам является полупростым. ¤


(1) Показать, что каждое самоинъективное справа правое SV — кольцоявляется классически полупростым.

(2) Каждое полуартиново справа самоинъективное справа кольцо являет-ся классически полупростым

(3) (Открытый вопрос) Пусть M — циклический модуль, у которого каж-дый фактор - модуль является CS модулем. Верно ли, что модуль M

является прямой суммой однородных подмодулей?

82

§4.2. Модули со свойством подъёма

Лемма 4.2.1. Следующие условия для циклического правого R — мо-дуля M равносильны:

1) M — полупростой;

2) каждый максимальный подмодуль модуля M является несуществен-ным в M .

Доказательство. 1)⇒2) Очевидно.

2)⇒1) Пусть N - произвольный подмодуль M . В силу леммы Цорнав модуле M мы можем выбрать максимальный подмодуль T с условиемT∩N = 0. Тогда T⊕N является существенным в M . Допустим T⊕N 6= M .По лемме Цорна в любом ненулевом циклическом модуле существует мак-симальный подмодуль, следовательно, в модуле M найдется такой макси-мальный подмодуль M0, что T ⊕ N ⊂ M0 ⊂ M . Очевидно, M0 являетсясущественным подмодулем в M , что противоречит нашему исходному пред-положению. Таким образом, каждый подмодуль модуля M выделяется в M

в виде прямого слагаемого и по [7, теорема 8.1.3] M является полупростым.¤

Лемма 4.2.2. Пусть M — правый R — модуль, N — ненулевой под-модуль модуля M , который содержится в J(M), и N0 — максимальныйподмодуль модуля N . Если модуль M ⊕ (N/N0) слабо регулярен, то N0

является прямым слагаемым модуля N .

Доказательство. Пусть φ — естественный гомоморфизм модуля N намодуль N/N0. Поскольку модуль M⊕(N/N0) слабо регулярен, то для неко-торого ненулевого элемента n ∈ N и подмодуля T имеет место равенствоM ⊕ (N/N0) = (n, φ(n))R⊕T . Пусть π — проекция модуля M ⊕ (N/N0) напервое прямое слагаемое. Тогда M = nR + π(T ) = π(T ). Если Kerπ|T 6= 0,то T = M ⊕ (N/N0), что невозможно. Таким образом M ⊕ (N/N0) = T ⊕(N/N0) и, следовательно, J(M) = J(M⊕ (N/N0)) = J(T ⊕ (N/N0) = J(T ).Тогда nR∩Kerφ = 0. С другой стороны nR+Kerφ = N и, следовательно,N = nR⊕N0. ¤

Лемма 4.2.3. Если в категории σ(M) каждый модуль является слаборегулярным, то радикал Джекобсона каждого модуля из σ(M) являетсяполупростым.

Доказательство. Пусть N ∈ σ(M). Из леммы 4.2.1 следует, что в каж-дом циклическом подмодуле модуля J(N) каждый максимальный подмо-дуль выделяется в виде прямого слагаемого. Тогда из леммы 4.2.2 следует,

83

что в J(N) каждый циклический подмодуль является полупростым и, сле-довательно, J(N) — полупростой модуль. ¤

Теорема 4.2.4 [1]. Для произвольного правого R — модуля M следу-ющие условия равносильны:

1) в категории σ(M) каждый модуль является слабо регулярным;2) в категории σ(M) каждый модуль является либо полупростым, либо

содержит в себе ненулевой M — инъективный подмодуль.Доказательство. 1)⇒2) Рассмотрим произвольный модуль N из кате-

гории σ(M). Если он не является полупростым, то ввиду леммы 4.2.3 имеемN 6⊂ J(EM(N)). Тогда из слабо регулярности модуля EM(N) следует, чтомодуль N содержит в себе ненулевой M — инъективный подмодуль.2)⇒1) Пусть N — произвольный модуль из категории σ(M). Если подмо-дуль N0 модуля N не содержится в J(M), то согласно нашему предполо-жению он содержит в себе либо ненулевой M — инъективный подмодуль,либо некосущественный простой подмодуль. Т.е. в любом случае подмодульN0 будет содержать в себе ненулевое прямое слагаемое модуля N . ¤

Следствие 4.2.5. Если в категории σ(M) каждый модуль являетсяслабо регулярным, то каждый неразложимый модуль из σ(M) являетсялибо простым, либо инъективным локальным длины два.

Доказательство. Пусть N ∈ σ(M) — неразложимый модуль. ЕслиN ⊂ J(EM(N)), то из леммы 4.2.3 следует, что N — простой модуль. ЕслиN * J(EM(N)), то из теоремы 1.1.9 следует, что N — циклический инъек-тивный неразложимый модуль. Тогда N — локальный модуль однородныймодуль и по лемме 4.2.3 J(N) является простым модулем. ¤

Следствие 4.2.6. Пусть в категории σ(M) каждый модуль являетсяслабо регулярным. Тогда имеют место следующие утверждения

(1) каждый ненулевой модуль из σ(M) содержит максимальный подмо-дуль;

(2) если N ∈ σ(M), то J(N) ¿ N .

Доказательство. (1). Пусть N ∈ σ(M) — ненулевой модуль. ЕслиJ(N) = N , то по лемме 4.2.3 N — полупростой модуль и, следовательно,N = J(N) = 0. Полученное противоречие показывает, что модуль N содер-жит максимальный подмодуль. Таким образом, каждый ненулевой модульиз σ(M) содержит максимальный подмодуль и для каждого N ∈ σ(M)имеем J(N) ¿ N . (2). Непосредственно следует из (1). ¤

84

Лемма 4.2.7. Пусть M - слабо регулярный модуль правый R - модульи N такой подмодуль модуля M , что (N + J(M))/J(M) - простой подмо-дуль модуля M/J(M). Тогда модуль N содержит такое локальное прямоеслагаемое mR модуля M , что (N + J(M))/J(M) = (m + J(M))R.

Доказательство. Пусть n такой элемент подмодуля N , что

(N + J(M))/J(M) = (n + J(M))R.

Из слабой регулярности модуля M следует существования такого цик-лического подмодуля mR, что mR 6⊂ J(M), mR ⊂ nR и mR - прямое сла-гаемое модуля M . Тогда (N+J(M))/J(M) = (m+J(M))R ∼= mR/(J(M)∩mR) ∼= mR/J(mR), что доказывает локальность модуля mR. ¤

Лемма 4.2.8. Если M - полуартинов модуль и в категории σ(M) каж-дый модуль является слабо регулярным, то каждый неполупростой модульN из σ(M) будет содержать инъективный локальный подмодуль длины небольше двух.

Доказательство. Поскольку N является неполупростым, то из теоре-ма 4.2.4 следует, что он будет содержать ненулевой инъективный подмодульN0. Так как M - полуартинов модуль, то по [6, 3.12] подмодуль N0 такжеявляется полуартиновым и, следовательно, N0/J(N0) будет содержать про-стой подмодуль. Тогда из следствия 4.2.5 и леммы 4.2.7 следует, что модульN0 будет содержать прямое слагаемое, которое является инъективным, ло-кальным и длины не больше двух. ¤

Теорема 4.2.9. Пусть M - правый R — модуль. Тогда следующие усло-вия равносильны.

1) в категории σ(M) каждый модуль является модулем со свойствомподъема;

2) M - полулокальный и каждый модуль в σ(M) является слабо регу-лярным.

3) M - локально нетеров и каждый модуль в σ(M) является слабо регу-лярным.

4) в категории σ(M) каждый модуль является прямой суммой локальныхмодулей длины не больше двух.

Доказательство. Импликация 1)⇒ 2)проверяется непосредственно.

2)⇒ 3) Покажем, что модуль M является локально нетеровым. ПустьN - конечно порожденный подмодуль модуля M . Ясно, что модуль N/(N ∩

85

J(M)) является полупростым модулем конечной длины. Используя индук-цию по длине модуля N/(N ∩ J(M)), покажем, что N - модуль конечнойдлины. Если l(N/(N∩J(M))) = 1, то из леммы 4.2.7 следует существованиетакого локального подмодуля N0 модуля N , что (N0+J(M))/J(M) ∼= (N +J(M))/J(M) и M = N0⊕L, где L - подмодуль M . Тогда N = N0⊕(N ∩L),где N ∩ L ⊂ J(M) и J(M) ⊂ Soc(M) согласно [1, лемма 3.3]. ПосколькуN ∩ L - конечно порожденный полупростой модуль, а по лемме 4.2.5 N0 -локальный модуль конечной длины, то N - модуль конечной длины. Пустьнаше утверждение доказано для конечно порожденных подмодулей S мо-дуля M , у которых l(S/(S ∩ J(M))) < n и N - конечно порожденныйподмодуль модуля M , у которого l(N/(N ∩J(M))) = n. Выберем в модулеN такой подмодуль N0, что N0/(N0 ∩ J(M)) - простой модуль. Из лем-мы 4.2.7 следует существование такого локального подмодуля mR модуляN0, что M = mR ⊕ L, где L подмодуль M . Тогда N = mR ⊕ (N ∩ L) иl(N/(N ∩J(M))) = 1+ l((N ∩L)/((N ∩L)∩J(M))). Модули mR и N ∩L всилу предположения индукции имеют конечную длину, следовательно, мо-дуль N также имеет конечную длину. Таким образом, модуль M являетсялокально нетеровым.

3)⇒ 4) Покажем, что каждый модуль в категории σ(M) является по-луартиновым. Для этого согласно [6, 3.12] достаточно показать полуарти-новость модуля M . Пусть M/N фактормодуль модуля M и N0 - нену-левой конечнопорожденный подмодуль модуля M/N . Тогда N0 - нетеровмодуль и, следовательно, согласно [4, предложение 10.14] имеем равенствоN0 = N1 ⊕ . . . ⊕ Nk, где для каждого i модуль Ni является неразложи-мым. Из следствия 4.2.5 следует, что Soc(N0) 6= 0. Таким образом, каждыйфактормодуль модуля M имеет ненулевой цоколь, что и доказывает полу-артиновость модуля M .

Пусть N неполупростой модуль из σ(M). Обозначим через A множествовсех подмодулей N , которые являются локальными и инъективными длиныне больше двух. Из леммы Цорна следует, что мы можем выбрать макси-мальное подмножество A0 множества A со свойством

∑U∈A0

U = ⊕U∈A0U .

Пусть N0 = ⊕U∈A0U . Поскольку по предположению M - локально нетеров,

то из [8, 27.3] следуеет равенство N = N0⊕L, где L - подмодуль модуля N .Если L - неполупростой модуль, то из леммы 4.2.8 следует, что L содержитинъективный локальный подмодуль длины не больше двух. А это проти-воречит выбору модуля N0. Таким образом, каждый модуль из категорииσ(M) является прямой суммой локальных модулей длины не больше двух.

4)⇒ 1) Пусть N — ненулевой модуль из σ(M) и N0 — его подмодуль.

86

Легко видеть, что каждый локальный модуль длины два в категории σ(M)является M — инъективным. Пусть N0 = N1 ⊕ N2, где N1 — полупростоймодуль и N2 — прямая сумма локальных модулей длины два. Тогда из [8,27.3] следует, что N = N2 ⊕ S. Модуль N0 ∩ S является полупростым.Допустим S = S1⊕S2, где S1 — полупростой модуль и S2 — прямая суммалокальных модулей длины два, и π — проекция модуля S на первое прямоеслагаемое. Если N0 ∩ S = T ⊕ Ker(π|N0∩S), то Ker(π|N0∩S) ⊂ J(S) и S1 =π(T ) ⊕ T0. Тогда, как легко видеть, S = π(T ) ⊕ T0 ⊕ S2 = T ⊕ T0 ⊕ S2 иN0∩ (T0⊕S2) ⊂ J(S2). Таким образом, N = N2⊕T ⊕T0⊕S2, N2⊕T ⊂ N0

и по следствию 4.2.6 N0 ∩ (T0 ⊕ S2) ¿ N . Следовательно, подмодуль N0

лежит над прямым слагаемым. ¤Следствие 4.2.10. Для кольца R равносильны следующие условия:

1) над кольцом R каждый правый модуль является модулем со свойствомподъема;

2) R — полусовершенное обобщенное правое SV -кольцо;

3) R — артиново полуцепное кольцо и J2(R) = 0;

4) R — полулокальное обобщенное правое SV - кольцо.


(1) Покажите, что кольца R следующие условия равносильны:

(a) над кольцом R каждый правый модуль является полурегулярным;

(b) кольцо R является артиновым полуцепным и J2(R) = 0.

§4.3. Характеризации SV – колец


Лемма 4.3.1. Пусть e - ненулевой идемпотент кольца R и M - правыйR - модуль. Тогда имеют место следующие свойства.

1) Если N - подмодуль модуля M , то имеет место изоморфизм правыхeRe - модулей (M/N)e ∼= Me/Ne.

2) Если (Mα)α∈A - семейство подмодулей модуля M , то⋂

α∈A(Mαe) =(⋂

α∈A Mα)e и∑

α∈A(Mαe) = (∑

α∈A Mα)e.

87

3) Если M =⊕

α∈A Mα, то Me =⊕

α∈A(Mαe).

4) Правило ϕ(N) = Ne определяет сюръективное отображение решетокϕ : Lat(MR) → Lat(MeeRe).

5) Если M - полупростой модуль R - модуль, то Me - полупростой eRe

модуль.

Лемма 4.3.2. Если e — ненулевой идемпотент кольца R, eRe — регу-лярное кольцо и R — обобщенное правое SV-кольцо, то eRe — обобщенноеправое SV-кольцо.

Доказательство. Предположим противное. Тогда из теоремы 4.2.4 сле-дует, что над кольцом eRe найдется неполупростой правый модуль N , кото-рый не содержит ненулевых инъективных подмодулей. Рассмотрим правыйR-модуль M = N

⊗eRe

eR. Ясно, что Me ∼= N . Определим в модуле M по

трансфинитной индукции для каждого ординального числа α подмодульMα следующим образом. При α = 0 положим Mα = 0. Если α = β + 1, тоMβ+1/Mβ — сумма всех инъективных подмодулей модуля M/Mβ . Когдаα — предельное ординальное число, положим Mα =

⋃β<α

Mβ. Обозначим

через M0 объединение всех таких модулей. Покажем с помощью транс-финитной индукции, что для каждого ординального числа α имеет месторавенство Mαe = 0. Если α = 0, то утверждение тривиально. Пусть α —некоторое ординальное число и Mβe = 0 для каждого β < α. Если α —предельное ординальное число, то равенство Mαe = 0 тривиально. Пред-положим, что α — непредельное ординальное число и α = α0 +1. По пред-положению индукции Mα0

e = 0. Тогда по лемме 1 имеем

(Mα/Mα0)e ∼= (Mαe)/(Mα0

e) ∼= Mαe.

Если Mαe 6= 0, то в модуле Mα/Mα0найдется инъективный подмодуль L,

для которого имеет место неравенство Le 6= 0. Поскольку по следствию2.1.18 Le — инъективный eRe-модуль, то Mαe и, следовательно, Me будутсодержать в себе ненулевые инъективные подмодули, что противоречит ис-ходному предположению. Таким образом, для каждого ординального числаα имеет место равенство Mαe = 0 и, следовательно, M0e = 0. ПосколькуM/M0 не содержит инъективных подмодулей, то из теоремы 4.2.4 следует,что модуль M/M0 полупрост. Тогда по лемме 4.3.1 (M/M0)e — полупростоймодуль и, следовательно, поскольку (M/M0)e ∼= Me, модуль Me также яв-ляется полупростым, что противоречит выбору модуля N . ¤

Теорема 4.3.3 [1]. Для кольца R равносильны условия:

88

1) R — правое SV-кольцо;

2) R — регулярное кольцо и каждый правый R-модуль является слаборегулярным.

Доказательство. Импликация 1)⇒ 2) проверяется непосредственно.2)⇒ 1). Пусть R — регулярное кольцо, над которым каждый правый

модуль слабо регулярен. Предположим, что R 6= SI(R) и обозначим черезS кольцо R/ SI(R). Из леммы 3.3.4 следует, что модуль SS не содержитпростых инъективных S-подмодулей и, в частности, не является полупро-стым. Поскольку над кольцом S каждый модуль является слабо регуляр-ным, то из теоремы 4.2.4 следует, что SS содержит ненулевой инъективныйподмодуль вида eS, где e — некоторый идемпотент кольца S. Так как Sрегулярно, то по [71, 22.1] кольцо eSe также является регулярным и само-инъективным справа. Тогда из леммы 4.3.2 следует, что eSe — обобщен-ное правое SV-кольцо. Поскольку eS не содержит простых подмодулей,то регулярное кольцо eSe не содержит примитивных идемпотентов, т.е.Soc(eSe) = 0. Тогда в кольце eSe мы можем выделить бесконечное семей-ство взаимоортогональных ненулевых идемпотентов вида eij∞i,j=1. Для

каждого i модуль∞⊕

j=1eijeSe является существенным подмодулем в fieSe,

где fi — некоторый идемпотент кольца eSe. Семейство правых идеаловfieSe∞i=1 является, очевидно, независимым и для некоторого идемпотентаf кольца eSe правый идеал

∞⊕i=1

fieSe является существенным в feSe. Пра-

вый идеал∞⊕

i,j=1eijeSe является существенным подмодулем в feSe и правый

eSe-модуль eSe/(∞⊕

i,j=1eijeSe⊕(e−f)eSe) содержит подмодуль изоморфный

модулю∞⊕i=1

(fieSe/(∞⊕

j=1eijeSe)). Тогда модуль eSe/(

∞⊕i,j=1

eijeSe⊕ (e− f)eSe)

не является полупростым и, следовательно, согласно теоремы 4.2.4 содер-жит ненулевой инъективный подмодуль, что противоречит лемме 4.1.3. ¤

Теорема 4.3.4. Если R - обобщенное SV - кольцо, то R - полуартиновосправа кольцо.

Доказательство. Пусть R обобщенное SV - кольцо. Предположим, чтоR 6= L(R) и обозначим через S кольцо R/L(R), которое также являетсяобобщенным SV - кольцом. Ясно, что Soc(SS) = 0 и, следовательно, полемма 4.2.3 J(S) = 0. Поскольку модуль SS не является полупростым, тоиз теоремы 4.2.4 следует, что SS содержит ненулевой инъективный подмо-дуль вида eS, где e — некоторый идемпотент кольца S. Согласно [71, 22.1]

89

eSe является регулярным кольцом. Тогда из леммы 4.3.2 и теоремы 4.3.3следует, что eSe - правое SV - кольцо и, следовательно, содержит неко-торый примитивный идемпотент f . Модуль feS является простым, чтопротиворечит равенству Soc(SS) = 0. ¤

Теорема 4.3.5. Для кольца R равносильны условия:


2) над кольцом R каждый ненулевой правый модуль содержит ненулевойинъективный подмодуль.

Доказательство. Импликация (1) ⇒ (2) проверяется непосредственно.(2) ⇒ (1). Легко видеть, что R — правое V — кольцо. Поскольку надкольцом R каждый правый R — модуль является слабо регулярным, то изтеоремы 4.3.4. следует, что кольцо R является полуартиновым справа. ¤

Следствие 4.3.6 [1]. Для полуартинова регулярного кольца R следу-ющие условия равносильны:

1. R — правое SV — кольцо;

2. Каждый правый R — модуль является слабо регулярным.

Следствие 4.3.7 [1]. Для правого SV — кольца R следующие условияравносильны:

1. R — левое SV — кольцо;

2. Каждый левый R — модуль является слабо регулярным.

Определение 4.3.8. Следуя [33], модуль M назовем QFD — модулем,если каждый его фактор-модуль имеет конечную размерность Голди.

Для произвольного модуля M определим по трансфинитной индукциидля каждого ординального числа α подмодуль Sα(M) следующим образом.При α = 0 положим Sα(M) = 0. Если α = β+1, то Sβ+1(M)/Sβ(M) - суммавсех QFD — подмодулей модуля M/Sβ(M). Когда α- предельное ординаль-ное число, положим Sα(M) =

⋃β<α

Sβ(M). Для некоторого ординального

числа τ имеют место равенства Sτ(M) = Sτ+1(M) и S1(M/Sτ(M)) = 0.Далее через S(M) будем обозначать подмодуль Sτ(M). Наименьшее τ стаким свойством мы будем называть QFD длиной модуля M .


Лемма 4.3.9. Для произвольного модуля M и каждого ординала αимеют место следующие утверждения:

90

1) подмодуль Sα(M) инвариантен в M ;

2) если M = ⊕ni=1Mi, то Sα(M) = ⊕n

i=1Sα(Mi).

Лемма 4.3.9. Пусть M конечно порожденный CS — модуль, у которогодля каждого собственного подмодуля N фактор-модуль содержит M/N

содержит ненулевой QFD — модуль. Тогда M является конечной прямойсуммой однородных подмодулей.

Доказательство. По предположению M = S(M). Пусть τ — QFD

длина модуля M . Докажем лемму индукцией по τ . Если τ = 1, то M

является конечной суммой QFD подмодулей и, следовательно, M имеетконечную размерность Голди. Поскольку модуль M — CS — модуль, тоон является конечной прямой суммой однородных подмодулей. Допустим,что наше утверждение доказано для всех ординалов, которые не превос-ходят τ . Предположим, что модуль M имеет бесконечную размерностьГолди. Поскольку M конечно порожден, то τ — непредельный ординал.Тогда M/Sτ−1(M) является конечной суммой QFD подмодулей и, следо-вательно, M имеет конечную размерность Голди. Пусть n — размерностьГолди модуля M/Sτ−1(M) и m — некоторое натуральное число превосхо-дящее n. Так как M — CS — модуль бесконечной размерности Голди, тоM = ⊕m

i=1Mi, где для каждого i модуль Mi имеет бесконечную размерностьГолди. Тогда по лемме 4.3.9

M/Sτ−1(M) = (⊕mi=1Mi)/(⊕m

i=1Sτ−1(Mi)) ∼= ⊕mi=1Mi/Sτ−1(Mi).

Поскольку M/Sτ−1(M) имеет размерность размерность Голди равную n,то для некоторого i имеет место равенство Mi = Sτ−1(Mi). Очевидно, чтомодуль Mi удовлетворяет условию леммы. Тогда по предположению ин-дукции Mi имеет конечную размерность Голди. Полученное противоречиепоказывает, что модуль M имеет бесконечную размерность Голди и, сле-довательно, является конечной прямой суммой однородных подмодулей. ¤

Из предыдущей леммы непосредственно следует следующее утвержде-ние.

Следствие 4.3.10 [33]. Над полуартиновым кольцом, каждый конечнопорожденный CS — модуль имеет конечную размерность Голди.

Поскольку каждое полуартиново справа кольцо, которое имеет конеч-ную размерность Голди, является, очевидно, артиновым справа, то из преды-дущего следствия получаем следующие утверждение.

Следствие 4.3.11 [23, следствие 4.6.]. Каждое полуартиново справа

91

самоинъктивное справа регулярное кольцо является классически полупро-стым.



2) R — полуартиново кольцо и каждый конечно порожденный правыйCS — модуль над кольцом R является инъективным;

3) R — полуартиново кольцо и каждый конечно порожденный правыйCS — модуль над кольцом R является квазинепрерывным;

4) R — полуартиново кольцо и каждый конечно порожденный непрерыв-ный правый R — модуль является инъективным.

Доказательство. Импликации (2)⇒(4)⇒(1) очевидны.

(1) ⇒ (2) Пусть M — конечно порожденный правый CS — модуль. Тогдасогласно следствию 4.3.10 модуль M является прямой суммой однородныхподмодулей и, следовательно, Soc(M) = M .

(2) ⇒ (3) Очевидно.

(3) ⇒ (1) Пусть N — произвольный простой правый R — модуль. Пред-положим, что E(N) 6= N . Поскольку E(N) является полуартиновым, тодля некоторого подмодуля L модуля E(N) модуль L/N прост. Тогда, оче-видно, что L — локальный модуль длины два. Рассмотрим внешнюю пря-мую сумму модулей T = N ⊕ L. Непосредственная проверка, показываетчто T — CS — модуль и, следовательно, согласно предположению T —квазинепрерывный модуль. Поскольку (S, 0) ∼= (0, S), то (0, S) — прямоеслагаемое T , что противоречит его косущественности в T . Полученное про-тиворечие показывает, что N = E(N). ¤

Определение 4.3.8 [43]. Кольцо называется левым AI — кольцом, есликаждый его ненулевой правый аннулятор содержит ненулевой идемпотент.

Лемма 4.3.13 [43]. Пусть R — кольцо, A, B, C — ненулевые правыеR — модули, C ′ = C(N) (или C ′ = CN) и u, v — эндоморфизмы модуля C ′,которые действуют по следующим правилам

u(x1, x2, ..., xn, ...) = (0, x1, x2, ..., xn, ...)

v(x1, x2, ..., xn, ...) = (x2, x3, ..., xn, ...)

92

(1) Пусть f : B → C — гомоморфизм правых R — модулей и g : B →C ′ — такой гомоморфизм, что g(x) = (f(x), 0, 0, ..., 0, ...). Рассмотримэндоморфизм φ модуля C ′ ⊕B ⊕ A, заданный матрицей

u g 00 0 00 0 1A

Тогда если существует ненулевая проекция π модуля C ′ ⊕B ⊕A, длякоторой φπ = 0, то существует такая ненулевая проекция p модуля B,что fp = 0.

(2) Пусть f ′ : C → B — гомоморфизм правых R — модулей и g : C ′ → B

—такой гомоморфизм, что g′((x1, x2, ..., xn, ...)) = f ′(x1). Рассмотримэндоморфизм φ′ модуля C ′ ⊕B ⊕ A, заданный матрицей

v 0 0g′ 0 00 0 1A

Тогда если существует ненулевая проекция π′ модуля C ′⊕B⊕A, длякоторой π′φ′ = 0, то существует такая ненулевая проекция p′ модуляB, что p′f ′ = 0.

Доказательство. Докажем пункт (1), доказательство пункта (2) ду-ально. Допусти гомоморфизм π задан матрицей

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

.

Из равенства πφ = 0 для каждого i = 1, 2, 3 получаем ci = 0, uai +fbi =0. Так как vu = 1C ′ и vf = 0, то для каждого i = 1, 2, 3 имеем ai = 0.Поскольку π2 = π, то b2

2 = b2. Если b2 = 0, то π = π2 = 0, что невозможно.Таким образом, b2 — ненулевая проекция модуля B и fb2 = 0. ¤


(1) R — правое SV — кольцо;

(2) кольцо эндоморфизмов каждого правого R — модуля M является ле-вым AI — кольцом;

(3) для каждого правого R — модуля M и для каждого ненулевого под-модуля N модуля M существует такая ненулевая проекция p модуляM , что p(M) ⊂ N ;

93

(4) правый аннулятор каждого собственного левого главного идеала коль-ца эндоморфизмов каждого инъективного правого R — модуля содер-жит ненулевой идемпотент.

Доказательство. (1) ⇒ (2) Пусть M — правый R — модуль и S ⊂EndR(M). Если r(S) 6= 0, тогда Sf = 0 для некоторого ненулевого элементаf ∈ EndR(M) и, следовательно, ∩s∈S Ker(s) 6= 0. Поскольку R — правоеSV — кольцо, то ∩s∈S Ker(s) содержит инъективный простой подмодуль N ,который выделяется в виде прямого слагаемого в M . Пусть π ∈ EndR(M)— такой идемпотент, что π(M) = N . Тогда, очевидно, что Sπ = 0.

(2) ⇒ (3) Пусть M — правый R — модуль и N — его ненулевой подмо-дуль. В лемме 4.3.9 положим M = B, M/N = C,N = A и f : M → M/N— естественный гомоморфизм. Рассмотрим гомоморфизм

ψ =

0 0 00 0 i

0 0 0

,

где i : N → M — вложение. Легко видеть, что ψ 6= 0 и φψ = 0. Изнашего предположения следует, что существует такая ненулевая проекцияπ ∈ End(C ′⊕B ⊕A), что φπ = 0. Тогда из леммы 4.3.9 следует, что суще-ствует ненулевая проекция модуля M , для которой fp = 0. Следовательно,p(M) ⊂ N .

(3) ⇒ (4) Импликация проверяются непосредственно.

(4) ⇒ (1) Пусть M — правый R — модуль и N — его ненулевой под-модуль. Положим в лемме 4.3.9 B = A = M , C = E(M/N), C ′ = CN

и f : M → E(M/N) — естественный гомоморфизм. Модуль C ′ ⊕ B ⊕ Aявляется инъективным и Ker φ 6= 0. Тогда по нашему предположению су-ществует такая ненулевая проекция π, что φπ = 0. Из леммы 4.3.9 следуетсуществование такой ненулевой проекции p, что fp = 0. Таким образом,p — ненулевая проекция модуля E(M) и p(E(M)) ⊂ N . Следовательно,подмодуль N модуля M содержит ненулевой инъективный подмодуль иимпликация следует из теоремы 4.3.5. ¤


(1) Для кольца R следующие условия равносильны:

(a) R — классически полупростое кольцо;(b) кольцо эндоморфизмов каждого правого R — модуля M является

правым AI — кольцом.

94

§4.4. Обобщенные SV — кольца

Для произвольного правого R - модуля M определим по трансфинит-ной индукции для каждого ординального числа α подмодуль Iα(M) сле-дующим образом. При α = 0 положим Iα(M) = 0. Если α = β + 1, тоIβ+1(M)/Iβ(M) - сумма всех локальных M - инъективных правых подмо-дулей модуля M/Iβ(M) длины не больше двух, у которых фактормодуль порадикалу Джекобсона является M - инъективным модулем. Когда α- пре-дельное ординальное число, положим Iα(M) =

⋃β<α

Iβ(M). Ясно, что для

некоторого ординального числа τ имеют место равенства Iτ(M) = Iτ+1(M)и I1(M/Iτ(M)) = 0. Далее через I(M) будем обозначать подмодуль Iτ(M).Для произвольного кольца R через I(R) будем обозначать правый идеалI(RR), который, как легко заметить, является идеалом.

Лемма 4.4.1.Пусть R — кольцо и M — правый R-модуль. Если MI(R) 6=0, то M содержит ненулевой локальный инъективный подмодуль длины небольше двух.

Доказательство. Пусть γ — наименьшее ординальное число, для ко-торого имеет место неравенство MIγ(R) 6= 0. Ясно, что γ — непредельноеординальное число. Тогда модуль M содержит ненулевой гомоморфный об-раз модуля Iγ(R)/Iγ−1(R) и, следовательно, M содержит локальный инъ-ективный подмодуль длины не больше двух. ¤

Лемма 4.4.2. Для кольца R следующие условия равносильны

1) R — полуартиново справа обобщенное правое SV -кольцо;

2) либо R — правое SV — кольцо, либо R/I(R) — артиново полуцепноекольцо и J2(R/I(R)) = 0.

Доказательство. 1)⇒ 2). Обозначим через S фактор-кольцо R/I(R),которое можно рассматривать как правый R-модуль. Предположим, чтоS/J(S) — неполупростое кольцо. Тогда по теореме 4.2.4 правый R – мо-дуль S/J(S) содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль и, сле-довательно, будет содержать и простой инъективный подмодуль. Тогдаиз леммы 4.2.7 и следствия 4.2.5 следует, что правый R-модуль S содер-жит инъективный локальный подмодуль длины не больше двух, у которогофактор-модуль по радикалу Джекобсона является инъективным модулем.Поскольку по построению идеала I(R) правый R-модуль R/I(R) не мо-жет содержать локальных подмодулей длины не больше двух, у которых

95

фактор-модуль по радикалу Джекобсона является инъективным модулем,то получаем противоречие. Таким образом, S/J(S) не содержит ненулевыхинъективных подмодулей и, следовательно, согласно теореме 4.2.4 явля-ется полупростым модулем. Тогда S является полулокальным кольцом иимпликация следует из следствия 4.2.10.

2)⇒ 1). Покажем, что каждый локальный правый R/I(R)-модуль N

длины два является инъективным R-модулем. Пусть E(N) — инъективнаяоболочка R-модуля N . Если E(N)I(R) = 0, то E(N) можно рассматриватькак R/I(R)-модуль. Тогда из инъективности R/I(R)-модуля N следует ра-венство N = E(N). В случае когда E(N)I(R) 6= 0 из леммы 4.4.1 следует,что E(N) содержит инъективный локальный подмодуль длины не большедвух, и тогда равенство E(N) = N проверяется непосредственно.

Рассмотрим произвольный неполупростой модуль правый R-модуль N .Если NI(R) = 0, то модуль N можно рассматривать как правый R/I(R)— модуль. Тогда N содержит локальный подмодуль длины два, которыйявляется инъективным R-модулем. Если NI(R) 6= 0, то из леммы 4.4.1следует, что N содержит ненулевой локальный инъективный подмодуль.Таким образом, приведенные выше рассуждения, показывают, что в про-извольном неполупростом модуле N содержится ненулевой инъективныйподмодуль. Тогда импликация следует из теоремы 4.2.4. ¤


1) R - обобщенное SV - кольцо;

2) R/I(R) — артиново полуцепное и J2(R/I(R)) = 0;

3) каждый правый модуль над кольцом R/I(R) является модулем сосвойством подъема.

Доказательство. Равносильность всех трех условий непосредственноследует из теоремы 4.3.4 и теоремы 4.4.2. ¤

Примерами обобщенных справа SV - колец являются правые SV - коль-ца и артиновы полуцепные кольца, у которых квадрат радикала Джекоб-сона равен нулю.

Пример 4.4.4. Существует нерегулярное полупростое обобщенное спра-ва SV - кольцо.

Доказательство. Пусть R - классически полупростое кольцо и R0 -подкольцо кольца R, которое является неполупростым артиновым полу-цепным и J2(R0) = 0. Рассмотрим кольцо S =

∏i≥1 Ri, где Ri = R для

96

каждого i. Выделим в кольце S подкольцо T = a ∈ S | ∃N∀i, j > N :ai = aj&ai ∈ R0. Тогда из [1, лемма 1.2] непосредственно следует, чтоSoc(T ) = I1(T ) =

⊕i≥1 Ri.

Пусть N - инъективный правый T/Soc(T ) - модуль, который естествен-ным образом можно рассматривать как правый T - модуль. Рассмотримвложение N ⊂ E(N), где E(N) - инъективная оболочка правого T - моду-ля N . Если E(N)Soc(T ) 6= 0, то для некоторого примитивного идемпотентаe из Soc(T ) имеем E(N)e 6= 0. Поскольку N существенен в E(N) и e - цен-тральный идемпотент кольца T , то имеем неравенство Ne 6= 0, котороепротиворечит равенству NSoc(T ) = 0 . Полученное противоречие пока-зывает, что E(N)Soc(T ) = 0 и, следовательно, E(N) мы можем рассмат-ривать как модуль над кольцом T/Soc(T ). Поскольку N - инъективныйправый T/Soc(T ) - модуль, то имеем равенство N = E(N).

Таким образом, каждый модуль инъективный над кольцом T/Soc(T )является также инъективным и над кольцом T . В частности, I2(T )/I1(T ) =I1(T/Soc(T )T/Soc(T )) и значит I(T ) = I2(T ) = a ∈ S | ∃N∀i, j > N : ai =aj&ai ∈ I1(R0) и T/I(T ) ∼= R0/I(R0). Тогда из теоремы 4.4.3 следует, чтокольцо S является обобщенным SV - кольцом.


(1) Для произвольного кольца R рассмотрим следующие два условия:

1) либо R — SV — кольцо, либо R/ SI(R) — артиново полуцепноекольцо и J2(R/ SI(R)) = 0;

2) либо R — SV — кольцо, либо R/I(R) — артиново полуцепное коль-цо и J2(R/I(R)) = 0.

Непосредственно проверяется, что условие (1) влечет условие (2). Вер-но ли, что эти два условия эквивалентны?

(2) Если R = I(R), то R — правое SV — кольцо.

97

Список обозначений

(1) EndR(M) - кольцо эндоморфизмов правого R — модуля M .

(3) HomR(M,N) - абелева группа всех гомоморфизмов правого R — мо-дуля M в правый R — модуль N .

(4) Ann(m) - аннулятор элемента m из правого R — модуля M .

(5) Soc(M) - цоколь правого R — модуля M .

(6) J(M) — радикал Джекобсона правого R — модуля M .

(7) CFMX(R) — множество всех конечно столбцевых матриц из RX×X ,где X — некоторое множестова, R — кольцо.

(8) N — множество всех натуральных чисел.

(9) r(s) — правый аннулятор элемента s из кольца R.

(10) l(s) — левый аннулятор элемента s из кольца R.

(11) lgR(M) — длина правого R — модуля M ;

(12) E(M) — инъективная оболочка правого R — модуля M ;

(13) N ¿ M — N — косущественный подмодуль модуля M .

(14) LatR(M) — структура подмодулей правого R — модуля M .

(15) a b — круговая композиция элементов a и b из кольца R.

98

Список литературы

[1] Абызов А.Н. Слабо регулярные кольца над нормальными кольцами.// Сибирский математический журнал. - 2008.-Том 49, 4.

[2] Абызов А.Н. Обобщенные SV — модули. // Сибирский математиче-ский журнал (принята в печать).

[3] Абызов А.Н., Туганбаев А. А. Кольца, над которыми все модули явля-ются I0-модулями II// Фундаментальная и прикладная математика.- 2008.- 2.

[4] Абызов А. Н. Замкнутость cлабо регулярных модулей относительнопрямых сумм // Изв. вузов. Математика, 2003, N. 9. – С. 3–5.

[5] Абызов А. Н. Слабо регулярные модули над полусовершенными коль-цами // Чебышевский сборник. – 2003. – Т. 4, вып. 1. – С. 4–9.

[6] Абызов А. Н. Слабо регулярные модули // Изв. вузов. Математика.– 2004, N. 3. – С. 3–6.

[7] Каш Ф. Модули и кольца. – М.: Мир, 1981.

[8] Койфман Л.А., Кольца, над которыми каждый модуль обладает мак-симальным подмодулем //Мат. заметки. – 1970.–7.– С. 359–367.

[9] Сахаев И.И., Хакми Х.И. О сильно регулярных модулях и кольцах.// Изв. вузов. Математика. – 1998. – N. 2. – С. 60–63.

[10] Скорняков Л.А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регуляр-ные кольца, М., 1961.

[11] Туганбаев А. А. Кольца, над которыми каждый модуль обладает мак-симальным подмодулем //Мат. заметки. – 1997.–61.– N. 3. – С. 407–415.

[12] Туганбаев А. А. Максимальные подмодули и локально совершенныекольца //Мат. заметки. – 1997.–64.– N. 1. – С. 136–142.

[13] Туганбаев А. А. Модули с большим числом прямых слагаемых //Фундаментальная и прикладная математика. – 2006. – Т. 12, вып. 8.– С. 233–241.

99

[14] Туганбаев А. А. Кольца, над которыми все модули полурегулярны //Фундаментальная и прикладная математика. – 2007. – Т. 13, вып. 2.– С. 185–194.

[15] Туганбаев А. А. Кольца, над которыми все модули являются I0-модулями // Фундаментальная и прикладная математика. – 2007. –Т. 13, вып. 5. – С. 193–200.

[16] Туганбаев А. А. Кольца без бесконечных множеств нецентральныхортогональных идемпотентов // Фундаментальная и прикладная ма-тематика. – 2008. – Т. 14, вып. 1. – С. – .

[17] Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. 1. – Москва: Мир, 1977.

[18] Хакми Х. И. I — подобные модули// Изв. вузов. Математика. – 1993,N. 9. – С. 65–70.

[19] Хакми Х. И. Сильно регулярные и слабо регулярные кольца и модули// Изв. вузов. Математика. – 1994, N. 5. – С. 60–65.

[20] Anderson F. W., Fuller K.R., Rings and Categories of Modules, Springer- Verlag, New York, 1991.

[21] Arens R., and Kaplansky I., Topological representations of algebras.Trans. Amer. Math. Soc. 63, 457–481 (1949).

[22] Baccella G., Von Neumann regularity of V -rings with Artinian primitivefactor rings, Proc. Amer. Math. Soc., 103, No. 3, 747-749 (1988).

[23] Baccella G., Semi-Artinian V —rings and semi-Artinian Von Neumannregular rings, // J. Algebra.- 1995.- V. 173. - p. 587 - 612.

[24] Baccella G. ,Di Campli G., Semi-Artinian rings whose Loewy factors arenonsingular, Comm. Algebra.- 25.- 1997.- 2743-2764.

[25] Bass H., Finitistic dimension and homological generalizations ofsemiprimary rings, Trans. Amer. Math. Soc. 95 (1960), 466-488.

[26] Beidar K.I., On rings with zero total, Contributions to Algebra andGeometry.- Volume 38.- 1997.- 233-239.

[27] Brown B., McCoy N.H., The Maximal Regular Ideal of a Ring//Proceedings of the American Mathematical Society.- Vol. 1.- No. 2.–1950.-pp. 165- 171.

100

[28] Burgess W.D. and Stephenson W., An analogue of the Pierce sheaf fornoncommutative rings, Commun. Algebra, 6, No. 9, 863-886 (1978).

[29] Camillo V.P., Fuller K.R. , On Loewy length of rings, Pacific J. Math. 53(1974) 347-354.

[30] Camillo V.P. and Fuller K.R., A note on Loewy rings and chain conditionson primitive ideals, In: Lect. Notes Math., Vol. 700 (1979), pp. 75-86.

[31] J. Clark, C. Lomp, N. Vanaja and R. Wisbauer, Lifting modules.Supplements and Projectivity in Module Theory, Frontiers in Math.,Boston, Birkhauser, 2006.

[32] Cozzens J., Homological properties of the ring of diRerential polynomials,Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970), 75-79.

[33] Dinh H.Q., Smith P.F., A result on semi-artinian rings// Procceedings ofthe Edinburgh Mathematical Society. — 2003. – 46. – p.63-66.

[34] Dung N.V., Huynh D.V., Smith P.F. andWisbauer R., Extending modules(Pitman, London, 1994).

[35] Dung N. V., Smith P. F. On Semiartinian V -modules // J. Pure Appl.Algebra. – 1992. – Vol. 82, no. 1. – P. 27–37.

[36] Facchini A., Loewy and Artinian Modules Over Commutative Rings//Ann.Mat.Pura Appl. 128, 359-374 (1981).

[37] Faith C., Lectures on injective modules and quotient rings, Springer, LNM49 (1967).

[38] Faith C., Rings whose modules have maximal submodules, Publ. Mat.,39, No. 1, 201-214 (1995).

[39] Fisher, J.W., Snider R.L. On the von Neumann regularitiy of rings withregular prime factor rings, Pac.J.Math. 54, 138-147 (1974).

[40] Fuller, K.R., Relative projectivity and injectivity classes determined bysimple modules, J.London Math.Soc. (2) 5, 423-431 (1972).

[41] Goodearl, K.R. Von Neumann Regular Rings, 2nd ed. Malabar, FL:Krieger, 1991.

[42] Hamza H. I0-rings and I0-modules // Math. J. Okayama Univ. – 1998. –Vol. 40. – P. 91–97.

101

[43] Haily A., Rahnaoui H. Some external characterizations of SV — ringsand hereditary rings

[44] Hirano Y., Regular modules and V -modules, Hiroshima Math. J., 11, No.1, 125-142 (1981).

[45] Hirano Y., Regular modules and V -modules. II, Math. J. Okayama Univ.,23, No. 2, 131-135 (1981).

[46] Hirano Y., On injective hulls of simple modules, Journal of Algebra, 225,299-308, (2000).

[47] Levitzki J., On the structure of algebraic algebras and related rings,Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 74, No. 3 1953,384-409.

[48] Mabuchi T., Weakly regular modules, Osaka J. Math. 17 (1980), 35-40.

[49] McCoy N., Generalized regular rings, Bull. Am. Math. Soc.,45,(1939),175-178.

[50] Maeda F., Kontinuierliche Geometrien, Springer-Verlag, Berlin, 1958.

[51] Michler G.O., Villamayor O.E., On rings whose simple modules areinjective, J. Algebra 25 (1973), 185-201.

[52] Nastasescu C., Popescu N., Anneaux semi-artiniens, Bull. Soc. Math.Franc. 96 (1968), 357- 368.

[53] von Neumann J., On regular rings, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 22, 707-713, 1936.

[54] von Neumann J., Continuous Geometry, Princeton Univ. Press, 1960.

[55] Nicholson W. K. I-rings // Trans. Amer. Math. Soc. – 1975. – Vol. 207.– P. 361–373.

[56] Ramamurthi V.S., Weakly regular rings, Canad. Math. Bull. 16 (1973)317-321.

[57] Oshiro K., Wisbauer R. Modules with every subgenerated module lifting// Osaka J. Math. 32 (1995), 513-519.

[58] Osofsky B.L., Rings all of whose finitely generated modules are injective,Pacific. J.Math., 1964, v.14, 645-650.

102

[59] Osofsky B.L., Noninjective cyclic modules, Pros.Amer.Math.Soc., 1968,v.19, 1383-1384.

[60] Osofsky B.L., A remarks on the Krull-Schmidt-Azumaya theorem,Canad.Math.Bull.13(1970), 501-505.

[61] Osofsky B.L., Loewy length of perfect rings // Proceedings of theAmerican Mathematical Society, Vol. 28, No. 2, 1971, pp. 352.

[62] Osofsky B.L., Injective modules over twisted polynomial rings, NagoyaMath. J. Vol. 119 (1990), 107-114.

[63] Osofsky B.L., Smith P.F. Cyclic Modules Whose Quotients Have AllComplement Submodules Direct Summands // Journal of algebra 139,342-354 (1991)

[64] Page S. Regular rings are very regular, Canadian Math. Bull., 1982, v.25,1, p. 118.

[65] Ramamurthi V.S. A note on regular modules, Bull.Austral.Math.Soc. 11,359-364 (1974).

[66] Shores T. The structure of Loewy modules // J. reine und angew. Math.– 254 (1972), pp. 204-220.

[67] Shores T. Loewy series of modules // J. reine und angew. Math. – 265(1974), pp. 183-200.

[68] Tuganbaev A. A. Rings Close to Regular. – Dordrecht–Boston–London:Kluwer Academic Publishers, 2002.

[69] Tuganbaev A. A. Semiregular, weakly regular, and π-regular rings // J.Math. Sci. (New York). – 2002. – Vol. 109, no. 3. – P. 1509–1588.

[70] Wisbauer R., Co-semisimple modules and nonassociative V-rings,Comm.Algebra 5, 1193-1209 (1977).

[71] Wisbauer R., Foundations of Module and Ring Theory. – Philadelphia:Gordon and Breach, 1991.

[72] Vanaja N., Purav V. M., Characterization of generalized uniserial ringsin terms of factor rings. Comm. Algebra 20 (1992), 2253-2270.

[73] Yu H.P., On quasiduo rings // Glasgow Math. J., 37 (1995), 21-31.

103

Documents

kpfu.ru · ВВЕДЕНИЕ Кольцо R называется регулярным, если для каждого его элемента r существует такой элемент