používattakovétogramatickéobludynebosiproněmámvymýšletvlastnínázvy,

atímzvětšovatitakjižobrovskýpočetnázvů?Někomumohounaháněthrůzu

mnohoslabičnéřeckélatinskénebokombinovanénázvyjako„p-krátkovariantní

aq-krátkontravariantnísouřadnicetenzorup+q-téhořáduÿ.Leckterávznešená

společnostbytispíšeodpustilamnohésprostéslovonežabyspoužívalvýrazy

jako„algoritmusÿ,„determinantÿnebo„asociativnostÿ,zejménavpřítomnosti

humanistů.

Monstra.Nejennázvy,lečimatematickéobjektysamé,nevoliurůznýchfajnovek

vzbuditimohou.Jsoutozejménamonstra,objekty,kterénesloužíkřešeníprak-

tickýchúloh,kterévšakpouzeblamujípředchůdceavarujízačátečníky,žebyse

mohlioctnoutnasilněnakloněnérovině,kdybysesnadtřebajenvmyšlenkách

odvážilivyhnoutkrkolomnémuteoretickémuúvodumoderněpojatéhovýkladu

některétřebaistarédisciplíny.Patřísemfunkcespojitá,postrádajícíderivaci

vkaždémbodě.Dálejetofunkcepotrhléhotanečníka(functionofdizzydancer).

Koneckonců,jetověcvkusu.Jedenčtenářčiposluchačbyradějiposlalautora

čipřednášejícíhoněkam,zatímcovtomjinýnajdezalíbení:Möbiůvpruh,Klei-

novaláhev.Anejenzalíbení.Vždyťbyzdemohlvzniknoutnámětprodetektivku

„SmrtvKleinovělahviÿneboproesej„EtikanaMöbiověpruhuÿ.

Past.Matematikajenebezpečnoupastínamajitelevýbornépaměti,ochuzené

sudičkamioobjevitelskouzvědavostaotouhuhledatsouvislosti.Atak,comůže

býtspočátkuvýhodou,sepozdějivymstí,kdyžsevětyaformule,množícese

mezisebou,začnounastudentahrnoutjakovodopádnebolavina.Očlépejena

tomlenoch,kterýsámpřijdenato,žejezbytečnépamatovatsivzorceproplochu

lichoběžníka,kdyžjejmůžepřefiknoutúhlopříčkouarozložitnadvatrojúhelníky,

sekterýmisiužporadí.Dokoncetojdedvěmazpůsoby.Takébymohlvynásobit

střednípříčkuvýškou.Důležitéježemusívždydostattotéž,byťtřebaijinak

napsané.

Neúprosná.Mnohémujenamatematiceprotivné,žejeneúprosná,žesetamnedá

nicokecatjakonapříkladvefilozofii,politicenebovpoetice.Žádné„Cochtěl

básníkříciÿ!Leckterýtakovýsepojednoucítíjakoboxer,kterýbymístoproti

živémusoupeřimělboxovatholýmarukamaprotibetonovémusloupu.Topřece

nenížádnálegrace!Dána-liaxiomatickásoustavaspolusodvozovacímipravidly,

jezbytečnohlasovatoplatnostinějakédomněnky.Jedinědůkazplatí.4

4Chtěljsemsiposoběpřečíst,cojsemvčeranaškrábal.Kuspapírustextemsežralamyš.

Takvida.Užimyšímvadí,copíši.Ajákdotovnocitakvzteklechroustal.Nejvícjívadila

poznámka,žemámdoporučitknihuDanielaGolemanaoemočníinteligenciaotevřítčeský

překladnastraně83.

30

Povětroň2/2014

∗

Kosmologiehomogenníhoizotropníhovesmíru

MiroslavBrož

Kosmologickýprincip

∗

Základnímvýchodiskempronášnejjednoduššímodelvesmírujepozorování,

ženavelkýchměřítkáchjevesmírizotropní.Vevšechsměrechvidímenapříklad

téměřstejnémnožstvígalaxií(vizobr.1)nebokosmickémikrovlnnépozadímá

nasměrutéměřnezávislouintenzitu.

Tatopozorovanáizotropieakoperníkovskýprincip,tojestvíra,ženejsmenani-

jakvýznačnémmístěvesmíru,znamenají,ževesmírjehomogenní(všudestejný).

NadruhoustranumusímezmínitKeplerův–Olbersůvparadox.Pokudbyvesmír

bylnekonečnýazároveňvěčný,hvězdyvněmrozmístěnéskoncentracínase

zářivýmvýkonu

L,byprodukovalycelkově

∫∞

0

L

4pr2

n4p

r2dr=

Ln

∫∞

0

dr=

∞,

(1)

alevnocijetma.Znamenátotedy,ževesmírmělnějakýpočátekanenístatický.

Obr.1—Velkoškálovástrukturavesmírupozorovanápřehlídkou2dF.

Einsteinovyrovnicepole

∗

Abychomvystihlivšechnypodstatnévlastnostivesmíru,musímepracovatse

zakřivenýmčtyřrozměrnýmčasoprostorem,Jdevlastněozobecněníobvykléhotří-

rozměrnéhoEuklidovaprostoru,vněmžvzdálenostimezibodyměřímejednoduše

∗Povětroň2/2014

3

pomocíPythagorovyvětyds2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2.Infinetezimálnívzdále-

nostmeziudálostmi(„bodyÿ)včasoprostorujepopisovánaobdobněmetrickým

tenzorem

g ik:

ds2=

g ikdx

i dxk=

g 00(dx0)2+g 01dx0dx1+...,

přičemžpřesopakujícíseindexy

iak=0...3podlesumačníhopravidlasčítáme.

Časoprostorjetotižvarieta,čilijelokálněplochý,obdobnějakopovrchZemě-

kouleviděnýzblízka.Proplochý(Minkowského)časoprostorbymaticeg i

kbyla

jednoduchá:

g ik≡

η ik=

−c2000

0100

0010

0001

,

alevobecnémpřípaděje

g ik(t,x

,y,z)zdejinénežg i

k(t

′ ,x′ ,y′ ,z′ )jinde.—potře-

bovalibychomzjistit4×4=16funkcíčasuasouřadnic(respektivejen10,kvůli

symetriig i

k=

g ki).

PrávěktomusloužíEinsteinovyrovnice(EFE),kterépopisujívztahmezikři-

vostíčasoprostoru(metrikoug i

k)a„obsahemÿvesmíru(tenzoremenergieahyb-

nostiTik),kterýjezdrojemgravitace:

Rik−1 2Rg i

k+Λg i

k=8p

G

c4Tik.

(2)

Přestožetytorovnicevypadají„hrozivěÿ,hnedvnásledujícíkapitolejevelmi

zjednodušíme,protoženášvesmírjepřecehomogenníaizotropní(v

g iknejsou

funkceprostorovýchsouřadnicanivýznačnésměry).

RiccihotenzorR

ikaRiccihoskálar

Rjsouprvníadruhéparciálníderivacemetrikypodle

souřadnic:

R=

gikR

ik,

Rik=

Rl ilk,

přičemžRiemannůvtenzor: Ri klm=

∂Γi km

∂xl

−∂Γi kl

∂xm+Γi nlΓn km

−Γi nmΓn kl

aChristoffelovysymboly:

Γi kl=1 2gim

(∂gm

k

∂xl+

∂gm

l

∂xk

−∂gkl

∂xm

)

.

4Povětroň2/2014

∗

Botvinnik.Všetečkukonečněnapadne,žeanivšachovémklububynebylvítán

vetřelec,kterýbychtělvykládatoteoriigrafůjakožtozákladůproprogramování

tétohry,zejménaknihovnyzahájeníakoncovek.LedažebytobylBotvinnik.Ale

tenbymuselkvůlitomuvstátzhrobu.

Vzornážákyně.UčitelpeskujesvounejlepšížákyniA.V.:„Notojenadělení!Já

vždyckyříkámženě:‘Podívejse,covyšložákyniA.V.aopravpodletohoostatní

úlohy.’ATysespletešateďjeutěchdruhýchskorovšechnočerveněpřeškrtané,

itysprávnévýsledky,ovšemsvýjimkouTvépráceapracítěch,cotoodTebe

opsali!ÿ

Lupiči.Katkasechtělavyučitkadeřnicí.Jakévšakbylojejípřekvapení,když

zjistila,žepropřijetídoodbornéhoučilištějiočekávápřijímacízkouškazčeštiny

azmatematiky,vekterénazákladníškolenijaknevynikala.Nenípřílišnezdvo-

řilépřirovnávatčeštinářeamatematikyvtétopoziciklupičům,přepadajícím

poutníkynacestáchkvyššímvýdělkům?Alepročsepoutnícirozhodujípropouť

kvyššímvýdělkůmanepropouťkvyššímoudrosti?

Kuchařavektory.„Načjsoumiteďvmémřemeslevšechnytyaxiomy,theoremy

aformule,dokterýchnásnazákladcenutili?ÿSnažímsehodožrat:„Abysispodle

Pythagorovyvětydovedlspočítat,zdavařečkapadnenadnohrnce,zdasebude

opíratojehostěnunebozdabudevyčuhovat.ÿ„Takjidotohohrncemrsknu

auvidím.ÿProkoukl,žesizněhochcivystřelit,aleto,conásleduje,myslím

smrtelněvážně:„Receptnanějakýpokrmjevlastněvektor.Představsi,žemáš

vyzkoušenýnějakýreceptnajídlopro8osob,aležemášvařitjenpro5hostů.

Nenínicjednoduššího,nežtenstarýosvědčenývektorvynásobitskaláremrovným

pětiosminám.ÿTuseozvalajehokolegyněapřítelkyně:„Fuj,nechtohonebomě

přestanebavitvařitichutnatjíst!ÿAkuchtíkmědorazil:„Natakovévýpočty

nemámčas!Představsi,žedělámomáčku.Napustímvodudohrnce,postavím

naoheň,házímtamjednopodruhýmapořádochutnávám.Tošéfcení,žejsem

vždyckyvčashotovažetonezkazím!ÿKapituluji.

Názvosloví.Nedovedetesipředstavit,jakměštve,ženěkdo—ajásetodozvím,

kdo—nazvaljistoumnožinu„spočetnáÿ.Vždyťjenekonečná!Nenítovrtoch

pouzečeskéhonázvosloví(abzählbareMenge,countableset).Jetospíšecontra-

dictioinadiectočiliprotimluvvpřívlastku.Pohromouproty,kteřísinedovedou

představit,očemmluví,nebseotopatrněpolétanesnaží,můžebýtivěta:„Mez

stínuvrženéhojevrženýmstínemmezestínuvlastního.ÿVždyťtopřišloidoka-

baretu.Věta,věta!Některávětajenapůlstránky!Acosvýrazyjako„množina

Grundyhočíselnásledovníkůpevnězvolenéhouzluÿ.Chci-lisisněkýmpopoví-

datovyhrávajícístrategiideskovéhry,hranénaněkolikadeskáchnajednou,mám

∗Povětroň2/2014

29

Akademickýdrbneboli„akadrbÿ

KarelPopp

Pedagogikasdidaktikami

∗

Špalíky.„Cotoděláš?ÿ„Šmirglujutytokvádry.ÿ„Acotobude?ÿ„Stavebnice,

kterábudeučitalgebru.ÿ„Tosnadne,algebrajeabstraktnívěda.Tojepočítání

spísmeny.Tasčíslynemácodělat,natožstěmitošpalíky!ÿ

Týránídětí.Matematikuvymyslelimatematikové,jenproto,abybyločímtýrat

děti.Jinaktokničemunení.

Vyhubení.Jižvprvnímročníkuvyhubilimatematikovéspoustumýchkolegů.

Někteříznichbylitechnickyvelminadaní.∗Studentvyššíhoročníkutechniky.

Kombinace.DalšíročníkkombinaceMaVvužnebude.Matematikovévystříleli

naševýtvarníky.Kombinacesdějepisemnatomnebylalépe.

Osvobození.Veškoláchseučilo,žecelounaširepublikuosvobodilaRudáarmáda

ažeužvosmatřicátýmbylapřipravenapomociastálananašíspolečnýhranici.

Takjsemtoklukoviřek,jaktovopravdubylo.Tonebylotakzlý.Horšíbylyty

množiny.

Názor.Docent:„Nanázorsenesmímespoléhat.Názornásklame.Uvšechvšudy,

užjetoumyvadlozaseucpané!ÿStudentpopřednášce:„Jakjstepoznal,žejeto

umyvadloucpané,kdyžsenesmímepodleVásnanázorspoléhat?ÿCobytomu

řeklzastánceškolyBourbaki?AcoobdivovateléanásledovnícipaníMontessori?

Vznešenost.Naseminářzdidaktikymatematikypřijelučitelškoly,kterávěno-

valavelkoupéčivýucehudby.Jistývšetečkahobombardovalnávrhy,jakspojit

obojí:rozděleníhmatníkukytary,flagioletty,výpočetfrekvencetónůchromatické

stupnice,grafickéamechanickéznázorněníkřížkůabéčekrůznýchstupnic.Na-

konecdalvzácnýhostpřecejenvelicetaktněaskrytěnajevosvůjnázor,žebyse

vznešenáhudbataktozneuctila(besudeln).

Bridge.Nagymnáziuprobíhákurskaretníhrybridge.Instruktorrozdalučebnice.

Vzadujetabulkapravděpodobnostírozděleníkaret(všechnystejnébarvy,4od

jednébarvy,ostatníbarvypotřechkartách,

...).Týžvšetečkasiučebniciprolis-

tovalateďpřihlíží,jakžáciopřestávcehrají.Podotkne,žeješkoda,ževučebnici

neníaniformuleprovýpočetzmíněnýchpravděpodobností,natožjejichodvození.

„Tojedobře!ÿ,odseknouhráčiamastídál.

28

Povětroň2/2014

∗

Λoznačujekosmologickoukonstantu(číslo),

Ggravitačníkonstantu,crychlostsvětlavevakuu.

SložkamiTikmohoubýtobecněopětfunkcečasu,souřadnicneborychlostí,nicméněproideální

kapalinushustotou

ρatlakem

pplatí(vlokálníinerciálnísoustavě):

Ti k=

ρ0

00

0p/c2

00

00

p/c2

0

00

0p/c2

.

Zmatematickéhohlediskajdeosoustavu10(nezávislých)nelineárníchparciálníchdiferenciálních

rovnic.Nenířešitelnáanalyticky,ažnaněkolikspeciálníchpřípadů.

FLRWmetrika

∗

Přihledáníhomogennímetrikysipoložmesiotázku,lzepopsatkřivostjedním

číslem?Vezměmejakopříkladpovrchkouleopoloměru

R,nanížvyznačíme

kružniciopoloměrur.Narovnéplošebychomočekávaliobvodo očekávaný=2p

r,alezdebychomnaměřili:

o změřený=2p

Rsinϑ=2p

Rsinr R

. =2p

R

[r R−1 3!

(r R

)3

+...]

.

Křivostjepakdefinovánapomocítěchtoobvodůjako:

K≡3 plim r→0

o očekávaný−o změřený

r3,

(3)

cožprovýšeuvedenoukoulidává: Kkoule=1 R2.

Nynípřejděmekměřenívzdáleností.Vedvourozměrnéeuklidovskégeometrii

avpolárníchsouřadnicíchbychomměliprostě(ds)2=(dr)2+(rdφ)2

.Avšakna

kulovéplošeje(vizobr.2): (ds)2=(Rdϑ)2+(rdφ)2

,

kde

Rdϑ=dr cosϑ=

dr√R2−r2

R

=dr

√

1−

r2

R2

=dr

√1−Kr2

.

Zobecněnínatřírozměrnýprostorprovedemezáměnou

rdφza

rdθarsinθdφ.

∗Povětroň2/2014

5

Obr.2—Geometrienaplošeanakouli.Převzatoz[2]

Nyníjsmeteoretickypřipraveninapsatobecnoumetrikuprozakřivenýčaso-

prostor:

ds2=

−c2dt2+a(t)2[dr2

1−Kr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)]

,(4)

kterásenazýváFridmannova–Lemâitrova–Robertsonova–Walkerova,nebolizkrá-

ceněFLRW.Kromě(zatímneznámé)křivosti

Kjsmedonídoplnilii(zatím

neznámou)funkcičasu

a(t),zvanouexpanzníparametr,ježumožnípopisovat

rozpínánínebosmršťovánívesmíru.Pochopitelněvmetricenejsoužádnéfunkce

prostorovýchsouřadnic,protoženášvesmírjevšudestejný.Vmaticovémzápisu

je:

g ik=

−c2

00

00

a(t)2

1−K

r2

00

00

a(t)2r2dθ2

00

00

a(t)2r2sin2θdφ2

.

(5)

Expanzníparametrlzelibovolněškálovat,nicméněpropřehlednostsevolíob-

vyklea(t0)=1dnes,pakKjekřivost,aneboK=

−1,0nebo+1,paka(t)je

křivost.

Fridmannovyrce

∗

DosazenímFLRWmetriky(5)doEinsteinovýchrovnic(2)získámerovnice

proexpanzníparametra(t)akřivostK.Namístoručníhovýpočtupoužijeme

algebraickýmanipulátorReduce(mat()deklarujematiciadf()provádíderivaci

funkcepodleparametru):

%%oznacenisouradnic(x^0,x^1,x^2,x^3)<=>(t,r,theta,phi)

matrixcoords(1,4);

coords:=mat((t,r,theta,phi));

6Povětroň2/2014

∗

Obr.19—Katedrosaikšte,Vilnius,Litva(LVXX01).

NabohatězdobenéfasádědomuvMnichově,vuliciSendlingersenašlomísto

prosvisléslunečníhodinyzroku1734.Vnašisoutěžisinašlymístonatřetípříčce.

NačíselníkujsouvyznačenyhodinyVI–XII–IIajakoukazateljepoužitpolos.

Obr.20—München,SendlingerStrase34,Německo(DEBA85).

∗Povětroň2/2014

27

Velmineobvykléatakézajímavéřešeníslunečníchhodinmůžemespatřitna

BaleárechvpřístavnímměstěPortAlcúdia.Sezískanýmidvanáctibodyseumís-

tilynaprvnímmístěmezizahraničnímihodinami.Jednáseosvisléjižnísluneční

hodiny,jejichžčíselníkjevynesennaválcovéploše.Kroměhodinovýchčarod6.do

18.hodinyjsouzdevynesenéidatovéčáry.Jakoukazateljepoužitatrojúhelníková

kulisa.Zapozornostzdestojíhlavnětvaryjednotlivýchdatovýchahodinových

čar,vytvořenéprojekcíčíselníkunaválcovouplochu.

Obr.18—Baleares,PortAlcúdia,Španělsko(ESBA8).

NadruhépříčceseumístilyvelicepěkněprovedenéslunečníhodinynaJJV

stěněbudovyvelkovévodskéhopalácenaKatedrálnímnáměstíveVilniusu,které

vsoučasnostisloužíjakomuzeum—ZemutinesPiliesMuziejus.Římskýmičísli-

cemiVI–XII–IV,umístěnýminastuze,jsouvyznačenéhodinyatečkaminajejím

lemupůlkyhodin.Číselníkjedoplněnrovněždatovýmičaramisvyznačením

znakůzvěrokruhu.Uhodinjepoužitkolmýukazatelsnodem.Vtakovémpřípadě

nenípataukazatelevprůsečíkuhodinovýchčar.Přiodečítáníčasuseřídíme

polohoustínunodunaplošečíselníku.

26

Povětroň2/2014

∗

procedurex(i);coords(1,i+1);

%maticeseindexujiod1,nikoliod0!

%%FLRWmetrikag_ik

a(t);Y;

%obecnafcet

g:=mat(

(-c^2,0

,0,0

),

(0,(a(t))^2/(1-K*r^2),0,0

),

(0,0

,(a(t))^2r^2,0

),

(0,0

,0,(a(t))^2r^2sin(theta)^2)

);

g_:=1/g;

%kontravariantnimetrikag^ik<=>inverznimatice

%%Christoffelovysymboly

procedureChristoffel(i,k,l);begin

scalarCh;

Ch:=0;

form:=0:3dobegin

%opetindexaceg_ik,g^ikod1

Ch:=Ch+1/2*g_(i+1,m+1)*

(df(g(m+1,k+1),x(l))+df(g(m+1,l+1),x(k))-df(g(k+1,l+1),x(m)))

end;

returntrigsimp(Ch);

%zjednodusigoniometrickefce

end;

fori:=0:3dobegin

fork:=0:3dobegin

forl:=0:3dobegin

Gamma(i,k,l):=Christoffel(i,k,l);

%ulozenidopolesetriCPUtime

if(Gamma(i,k,l)neq0)thenbegin

write"Gamma^",i,"_",k,l,"=",Gamma(i,k,l);

end;

end;

end;

end;

%%Riemannuvtenzor

procedureRiemann(i,k,l,m);begin

scalarRi,n;

Ri:=df(Gamma(i,k,m),x(l))-df(Gamma(i,k,l),x(m));

forn:=0:3dobegin

Ri:=Ri+Gamma(i,n,l)*Gamma(n,k,m)-Gamma(i,n,m)*Gamma(n,k,l);

end;

returntrigsimp(Ri);

end;

fori:=0:3dobegin

fork:=0:3dobegin

forl:=0:3dobegin

form:=0:3dobegin

Ri:=Riemann(i,k,l,m);

∗Povětroň2/2014

7

if(Rineq0)thenbegin

write"R^",i,"_",k,l,m,"=",Ri;

end;

end;

end;

end;

end;

%%Riccihotenzor

procedureRicci(i,k);begin

scalarRc,l;

Rc:=0;

forl:=0:3dobegin

Rc:=Rc+Riemann(l,i,l,k);

end;

returntrigsimp(Rc);

end;

matrixR_ik(4,4);

fori:=0:3dobegin

fork:=0:3dobegin

R_ik(i+1,k+1):=Ricci(i,k);

write"R_",i,k,"=",R_ik(i+1,k+1);

end;

end;

%%Riccihoskalar

procedureR();begin

scalarR,i,k;

R:=0;

fori:=0:3dobegin

fork:=0:3dobegin

R:=R+g_(i+1,k+1)*R_ik(i+1,k+1);

end;

end;

returntrigsimp(R);

end;

write"R=",R();

%%tenzorenergieahybnostiT^i_kprotekutinu

T__ik:=mat(

(rho*c^2,0,0,0),

(0,p,0,0),

(0,0,p,0),

(0,0,0,p)

);

T_ik:=g*T__ik;

%kovariantniT_ik

8Povětroň2/2014

∗

PracovnírozsahhodinjeVI–XII–IV,sdělenímpocelýchhodinách,kteréjsou

vyznačenyřímskýmičísliceminastuze.Jakoukazatelsloužípolos;azimuthodin

je−16

◦.JejichautoremjeAdolfPoduška.S20získanýmibodysedostalyna

prvnímísto.

Pozornostsizasloužilytakéslunečníhodinyumístěnénavěžinadvchodemdo

kaplevDolanechapodleohlasůzískaly8bodů,atímdruhémísto.Jednáseove-

licepěknéprovedeníslunečníchhodinnastěněorientovanépřibližněkvýchodu.

Tétoorientacinasvědčujítakétéměřrovnoběžnéhodinovéčáry.Zesnímkunení

patrno,jakýukazateljezdepoužit.Vtomtopřípadějemožnopoužítukazatel

kolmýnebovetvaruskoby.

Obr.16—DolanyuKlatova(KD57).

NatřetímmístěsesešestibodyumístilysvisléslunečníhodinyzPrusinovic.

Hodinyjsougnómonickybohaté.Zazmínkuzdestojípřesnévyneseníhyperbol.

Velicečastojsoutotižtytodatovéčárylomenénebopřehnanězakřivené.Jednot-

livédatovéčáryjsouoznačenésymbolyzvěrokruhu.Vhorníčástijsouohraničené

přímkouhorizontu.HodinovýrozsahjeVIII–XII–XVIIsdělenímpojednéhodině.

Jakoukazateljepoužitzkrácenýpolos,kterýukazujedatumkoncemsvéhostínu.

AutoremhodinjeVilémLev.

Obr.17—Prusinovice,Přerovská125(KM32).

∗Povětroň2/2014

25

Obr.14—ZávěrečnýpohlednaŽebrák.

Slunečníhodinyprvníhokvartáluroku2014

JaromírCiesla

Zaprvníkvartálroku2014přibylodokataloguslunečníchhodin45nových

záznamů.Ztohotopočtujich33pocházízezahraničí.

JižzdálkyjsoudobřevidětsvisléslunečníhodinynafasáděObecníhoúřaduve

StaréVráži.Vestředučíselníkusenacházíznakobce.Veznakuobcejesvatovác-

lavskáorlicejakosymbolzasvěcenímístníkapličkySvatémuVáclavovi.Použitá

červenáabílábarvajesymbolemčeskéstátnostiaklínvetvaruVznačíVráž.

Podlepozadí,nakterémjeznakumístěn(královskýplášťskorunou),bysedalo

usuzovat,žesejednáokrálovskésídlo.

Obr.15—HodinyveStaréVráži(ev.č.PI70).

24

Povětroň2/2014

∗

%%Einsteinovyrcepole

write"EFE:",R_ik-1/2*R()*g-Lambda_*g,"=",(8*pi*capG/c^4)*T_ik;

bye; Výslednásložka00EinsteinovýchrovnicsenazýváFridmannovarovnice:

ȧ2+Kc2=8p

G 3

(

ρ+

≡ρΛ

︷︸︸︷

Λc2

8pG

)

a2.

(6)

ZestopyEFEvycházíještědruháFridmannovarovnice:

ä+

ȧ2+

Kc2=

−4p

G 3

(

ρ+3p c2+Λc2

2pG

)

a2.

Zapředpokladuplatnostirovnicekontinuity:

d(ρa3)

dt=

−p c2d(a3)

dt

lzeodvoditijinýužívanýtvarFridmannovyrovnice(6);nejprvejinásobímea:

ȧ2a+

Kc2a=8p

G 3ρa3,

pakderivujemepodlečasu:

2ȧäa+

ȧ2ȧ+

−ȧ2+8

pG 3ρa2

︷︸︸︷

Kc2

ȧ=8p

G 3

−p c2

d(a3)

dt

︷︸︸︷

d(ρa3)

dt

,

odkudihnedplynerovniceprozrychlení:

ä=

−4p

G 3

(

ρ+3p c2

)

a.

Abychommohlivypočítatkonkrétníprůběh

a(t),potažmoρ(t),musímeznát

ještěstavovérovnice,respektivezávislosti

ρ(a)prorůznésubstance,cožshrnuje

následujícítabulka:

hmota(prach):

pm=0

ρm=

ρm0a−3

(7)

záření,neutrina:

prel=1 3ρrelc2

ρrel=

ρrel0a−4

(8)

Λ(temnáenergie):

pΛ=

−ρΛc2

ρΛ=

ρΛ0=konst.

(9)

∗Povětroň2/2014

9

Hmota(aťužveforměhvězd/galaxiínebojakotemnáhmota),jestrhávaná

rozpínajícímseprostoremajejíhustotapřirozeněklesájako1/

a3.Profotonyse

všakkroměpoklesujejichkoncentraceuplatňujeještěprodlužovánívlnovédélky,

kteréovlivňujeenergiipodlevztahu

E=

hc/λ,takževýslednáúměraje1/

a4.

Hustotaodpovídajícíkosmologickékonstantěnaopakzůstávákonstantní;pokud

jipřevedemenapravoustranuEFEhovořímetéžotemnéenergii.

Propopisrozpínánísekroměexpanzníhoparametru

a(t)používátakéHubbleův

parametr:

H(t)≡

ȧ a.

(10)

Prodnešek(zblízkýchobjektů)jezměřenahodnotaH0

. =71km

·s−1·Mpc−1,

což„numerologickyÿzhrubaodpovídárychlostivzdalováníMěsíceodZemě.Dále

zavedemedeceleračníparametr:

q(t)

≡−äa ȧ2

(11)

proposouzenítoho,kdyserozpínánízpomaluje(q

>0)akdyzrychluje(q

<0).

Měřitelnouveličinoujerudýposuv(angl.redshift),jehodefiniceavztahka(t)je:

z≡

λdnespozorované−λemitované

λemitované

,1+z=

a0 a.

(12)

Zdůvodů,kterébudouzřejmézáhy,zavedemekritickouhustotujako:

ρc=3H

2

8pG

.(13)

ProvýpočetníúčelyFridmannovurovnici(6)upravímesvyužitímstavových

rovnic:

ȧ2+Kc2=

=H2 0

ρc0

︷︸︸︷

8pG 3

(ρm0

a3+

ρrel0

a4+ρΛ0

)

a2,

definujemebezrozměrnéveličinyΩjako:

Ω≡

ρ ρc,

pak

ȧ2+Kc2=

H2 0

(Ωm0

a+Ωrel0

a2+ΩΛ0a2

)

10

Povětroň2/2014

∗

Obr.13—DalekohledNewton350mm.

dnes.Jsouzdepořádanézajímavéakce,kterýmisesdruženípozitivnězviditelňuje

vočíchveřejnosti.Mezioblíbenéakcepatřípodzimnídrakiády,účastinamuzej-

níchnocích,veřejnápozorovánízhraduTočník,výšlapypostopáchmeteoritu,

přednáškyvmuzeuadalší.Aktuálníinformaceoaktivitěhvězdárnylzenaléztna

přehledněvedenýchwebovýchstránkách〈http://www.hvezdarnazebrak.cz〉.

Napozemkuhvězdárnysenacházímeteorologickástanicesledujícípočasí.Na-

měřenádatajsoupřenášenáprostřednictvíminternetu.Nabudovějeumístěna

webovákamera,kterápřenášíonlinepohlednaměstoŽebrák.

Hlavnímplánemhvězdárnydobudoucnajepřístavbahvězdárnyadokoncevy-

budováníplanetária.Prvnízdárnékrokymájižhvězdárnazasebou.Vespolupráci

sarch.JosefemPánkembylvypracovánprojekt,kterýprošelpřipomínkovýmří-

zením.Vdohlednédoběbytakzdemohlovzniknoutpřírodovědnéainformační

centrum,kterébyposkytlodostatečnéprostoryprodůstojnoupopularizacivědy

jakozdrojvzdělávání,poučeníazábavynaBerounsku.

Závěremděkujimémuprůvodci,kterýmbylVáclavKeberle.

∗Povětroň2/2014

23

Obr.11—Přednáškovámístnost.

Obr.12—Schodypodkopuli.

Vpřízemíbudovyopůdorysuasi6

×6msenacházímalápřednáškovámístnost

pro16lidí,vybavenámoderníaudiovizuálnítechnikou.Podřevěnémschodišti

sevstupujedoprostorukopule,kterámáprůměr5,5m.Zdesenacházíhlavní

dalekohledhvězdárny,kterýmjeNewtonsprůměremhlavníhozrcadla350mm

oohniskovévzdálenosti2150mm.Jelikožbylakvalitapůvodníhozrcadlanevy-

hovující,bylonejdřívevroce2005přebroušenoanakonecvroce2007vyměněno

zanové.Dalekohledjeusazenvparalaktickévidlicovémontáži,ukterésekon-

struktéřinechaliinspirovatvtédoběnejvětšímdalekohledemnasvětě,ataksvou

stavbounápadněpřipomínávelkýpětimetrovýdalekohlednahořeMt.Palomar

vUSA.Ovšemvmnohemmenšímměřítku.

Pohondalekohledubyldoplněnelektronikou,čilinedělávelkétěžkostizaměření

napozorovanýobjektataképlynulésledovánípoobloze.Součástídalekohledu

bylaifotokomora,kterásenynírekonstruuje.Plánujesezakoupeníslunečního

dalekohledu.

Propozorováníjepoužívánoiněkolikpřenosnýchdalekohledů,knimžpatří

refraktorMeadenaazimutálnímontážisautomatickýmnaváděnímazrcadlový

Newton150mmnaněmecképaralaktickémontáži.

Nahvězdárněsepravidelněkonajíastronomicképřednáškyapozorovánípro

veřejnost,scházísezdeastronomickýkroužekajevydávánzpravodajAstronomie

22

Povětroň2/2014

∗

ačlen

Kc2vyloučímepomocítéžerovnice,alenapsanépročast=

t 0,kdyje

a0=1,

ȧ0=

H0a0=

H0:

H2 0+Kc2=

H2 0(Ωm0+Ωrel0+ΩΛ0),

čili:

ȧ2=

H2 0

(Ωm0

a+Ωrel0

a2+ΩΛ0a2+1−Ωm0−Ωrel0−ΩΛ0

)

,(14)

cožjeobyčejnádiferenciálnírovnice1.řáduproa(t),kteroumůžemesnadnořešit

numericky(vizpodstatnoučástkóduprogramufridmannveFortranu77):

cpocatecnipodminky

t=0.d0

a=a_0

tout=t

chlavnicyklus

dowhile((t.lt.tstop).and.(a.gt.0d0))

cstavoverovniceprohmotu(prach),zareniavakuum=>skalovanihustot

Omega_m=Omega_m0/a

Omega_rel=Omega_rel0/a**2

Omega_lambda=Omega_lambda0*a**2

crudyposuv

z=a_0/a-1.d0

cstandardnivystup

if(t.ge.tout)then

write(*,*)(t_0+sign*t)/Gyr,a,z,Omega_m,Omega_rel,

:Omega_lambda

tout=t+dtout

endif

cFridmannovarovnice

da_dt=sqrt(H_0**2*(Omega_m+Omega_rel+Omega_lambda

:+1.d0-Omega_m0-Omega_rel0-Omega_lambda0))

cjednoduchyEuleruvintegrator

a=a+da_dt*dt*sign

t=t+dt

enddo

Některéhypotetickévesmírypochopímeibezprogramu:

1.proprázdnývesmír(T

ik=0,bezΛ)vycházíȧ2=0,

a=konst.,H=0,

K=0,

čilijevněmstatickýMinkowskéhoplochýčasoprostor(g

µν=

η µν).

2.deSitterůvvesmír(T

ik=0,pouzeΛ>0)sevyznačujeexponenciálnímrozpí-

náním

a(t)∝expχt.

∗Povětroň2/2014

11

3.proprachaplynexistujekritickáhustotaρc(viz(13));je-li

ρ=

ρc⇒

K=0,tzn.vesmírjeplochý;

ρ>

ρc⇒

K>0,jeuzavřený,mákulovougeometrii;

ρ<

ρc⇒

K<0,jeotevřený,geometriejehyperbolická.

Propodkritickýhmotouvyplněnývesmírplatíúměraa∝

t2/3.

4.vesmírvyplněnýzářenímserozpínájako

a∝

t1/2

5.nášpozorovanývesmírmápočátečnípodmínky(včase

t=

t 0)přibližněΩm0=

0,27,Ωrel0=8,24

·10−5,ΩΛ0=0,73.Naobr.3a4vidímejehovývojspočtený

výšeuvedenýmprogramem.MůžemeznějodečístokamžikVelkéhotřesku

t BB=

−13

,7Gyr,kdyje

a=0,začátekzrychlovánívčase

t=

−6,7Gyr,nebo

trváníéryzáření(ρrel>

ρm)asi55000rokůodVelkéhotřesku

Vdalšíkapitolevysvětlíme,zčehoseodvozujívýšeuvedenéhodnotyΩ.

Jakseměřívesmír?

∗

Parametrynašehovesmírujsouomezenépředevšímdvěmapozorováními:i)mě-

řenímfluktuacíkosmickéhomikrovlnnéhozáření(CMB);ii)fotometriíaspek-

troskopiísupernovtypuIa.

Změřenéintenzitykosmickéhomikrovlnnéhozářenísevypočítáváprostorové

spektrumfluktuací(přičemžseodečtedipólnísložkaarušeníMléčnoudráhou)

atasefitujekosmologickýmimodely(vizobr.5).Nenítojednoduchýhomogenní

model,tobychompochopitelněnedostaližádnéfluktuaceCMB.1,2

LuminozitnívzdálenostisupernovIajsouurčovanénezávislepomocícefeid

neboTullyho–Fisherovýmvztahemaporovnávajísesrudýmposuvemmateř-

skýchgalaxií(vizobr.6).3

1Totozářenívznikloasi380000rokůpoVelkémtřesku,kdyždošlokrekombinaci,čilizáření

seodděliloodlátkyavesmírsestalprůhledný.Jednásevlastněonejvzdálenějšíobjekt,který

můžemepozorovat.Pozor,nenímožnétvrdit,ževzdálenostCMBje13,7Gly!Vokamžiku,

kdydošlokemisifotonů,bylzdrojodnás(budoucíZemě)vzdálenjen40Mly.Totozáření

pakcestovalo13,7Gyrskrzrozpínajícíseprostor,takžesouhybnávzdálenostněkdejšíhozdroje

(dnesnějakégalaxie)odsoučasnéZeměje48,5Gly.

2Tvarprostorovéhospektrasevysvětlujeakustickýmioscilacemivplazmatutvořenémbary-

onyafotony.Největšíamplitudaokoloℓ≃200,čemužodpovídáúhelnaobloze

ϕ=180◦

/ℓ≃1◦,

seprotonazýváakustickývrchol.Dalšímijevy,kteréfotonyCMBovlivňují,jsoudifúznítlu-

mení(téžSilkovo;jdeovyrovnávánífluktuacíhustotyfotonyběhemrekombinace),Sunyaevův–

Zéldovičůvjev(tj.změnatvaruspektraCMBrozptylemnaenergetickýchelektronech),Sachsův–

Wolfůvjev(gravitačnírudýnebomodrýposuvfotonůCMB).

3Kextinkcizářenídocházízejménavhostitelskégalaxii,nikolivmezigalaktickémprostoru,

protojsourůzněvzdálenésupernovyzeslabenystejně.Ostatněsenepozorujeanivýraznézčer-

venáníspektervzdálenýchsupernov.

12

Povětroň2/2014

∗

Významnýmdatembyl24.říjenroku1824.Tendenbylkolemosméhodiny

zaznamenánletmeteoru.Tentojevbyldoprovázenhlasitýmizvukovýmiefekty.

Krátcepředdopademsemeteoroidrozpadlnaněkolikúlomků,kterédopadly

voblastimeziŽebrákemaPraskolesy.

Událostvyvolalaznačnýzájemmeziobčany,ataknenídivu,žekrátcepo

pádubylynalezenyhneddvanejvětšíúlomkykamennéhometeoritu(chondritu)

ocelkovéhmotnosti1873g.JejichnálezcembylžebráckýobčanF.Kolben.Oba

nalezenékusyodkoupilhraběEugenzVrbna.Jedenznichdarovaldosbírek

VlastivědnéhomuzeavPraze.Dnesmůžemetentokusohmotnosti861gspatřit

vesbírkáchNárodníhomuzea.DalšíkusysenacházejívesbírkáchMuzeapřírodní

historieveVídniavBudapešti.Množstvídrobnýchúlomkůohmotnostech1až

14gjepakrozesetovesbírkáchmuzeípocelémsvětě.

Přibližněpadesátletpotétoudálostisezdezačínáscházetskupinazájemců

oastronomii.Počasepřišlisnávrhemnastavbuhvězdárny,kterýsenakonec,

ikdyžjenvpolovičnímrozsahu,podařiloprosadit.Stavbahvězdárnynasnadno

dostupnémmístěnakopcinadměstemprobíhalavakci„Zÿzaúčastičlenůast-

ronomickéhokroužkupřiZKTOSaobčanůměsta.

Obr.10—Modelplánovanéhvězdárny.

Hvězdárnabylaslavnostněotevřenavroce1954.Nahvězdárněsescházelast-

ronomickýkroužek,bylaprováděnaastronomickápozorování,např.proměnných

hvězdaslunečníchskvrn.Poněkolikaletechaktivníhopůsobenívšakjejíčinnost

postupněupadá,ažnakonecdocházíkuzavřeníhvězdárny.

Začátkem21.stoletísinevyužitéhvězdárnyvšímáskupinaastronomůama-

térů,kteréjejístavnenílhostejný.Ztohodůvoduzakládajívroce2004Sdružení

HvězdárnaŽebrák,kteréseaktivnězapojujedokulturníhoděníměsta.Svojíčin-

nostísetěšínejenvelkémuzájmuobčanů,aleivýznamnýchosobností,kterétuto

hvězdárnunavštívily.

∗Povětroň2/2014

21

[5]SupernovaCosmologyProject[online].[cit.2012-01-27].〈http://supernova.lbl.gov/〉.

[6]WeinbergS.Cosmology.Oxford:OxfordUniversityPress,2008.ISBN0198526822.

[7]Wright,E.CosmologyCalculator.[online][cit.2012-01-31].

〈http://www.astro.ucla.edu/~wright/CosmoCalc.html〉.

HvězdárnaŽebrák

JaromírCiesla

Nakoncidubna2014jsemnavštíviljednuzmalýchadneszaseživýchhvězdá-

ren,hvězdárnuvŽebráku.Jelikožjsemprojíždělkolemmimonávštěvnídobu,

obrátiljsemsevpředstihunačlenySdruženíHvězdárnaŽebrák.Obratemmi

bylanabídnutamožnostprohlídkyhvězdárnyvevhodnémčase.

Obr.9—HvězdárnaŽebrák.

Kroměhvězdárnysamotnéjezajímaváihistoriemísta,kdesenacházíkrálovské

komorníměstoŽebrák.PrvnípísemnézprávyoŽebrákupocházejízroku1280,

avšakarcheologickévykopávkydokládajíosídleníjižpředsedmitisícilety,kdyse

zdenacházelarozsáhláosada.Jedocelamožné,žejižtehdysezdenašlijedinci,

kterýmjasnáoblohaposetátisícihvězdaminedalavnocispát.

OsadaŽebrákbylazaloženaasive12.stoletíaodstoletí13.bylarušným

tržištěmnaobchodnícestěmeziPrahouaPlzní.Vroce1396bylaobecŽebrák

povýšenadekretemkráleVáclavaIV.naměsto.Dominantouměstajezřícenina

hraduTočník,kterýbylzaloženvroce1390králemVáclavemIV.Kousekpodním

senacházejízbytkyhraduŽebrák,kterýbylpostavenkolemroku1280Oldřichem

ZajícemzValdeka.Hradjeodroku1552opuštěnadodnešnídobysezněj

dochovalapouzeválcovávěž,zekteréjepěknávyhlídka.

20

Povětroň2/2014

∗

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

0

ΩΛ

0

Ωre

l ≈ 0

(em

pty

)

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 0

.5 (

open)

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 1

.0 (

critical)

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

ΩΛ =

0.5

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 0

.5,

ΩΛ =

0.5

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 1

.0,

ΩΛ =

0.5

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

ΩΛ =

1.0

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 0

.5,

ΩΛ =

1.0

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 1

.0,

ΩΛ =

1.0

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 2

.0 (

clo

sed)

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωre

l = 1

.0 (

radia

tion)

0

0.5 1

1.5

-15

-10

-5 0

5

a(t)

t / G

yr

Ωm

= 0

.73

ΩΛ =

0.2

7(o

bserv

ed)

t BB =

-13.7

Gyr

t 0

q =

0

Obr.3—Vývojexpanzníhoparametru

a(t)prorůznéhodnotyΩm0,ΩΛ0,Ωrel0.Hodnota

HubbleovaparametrujevevšechpřípadechH0=70

,9km

·s−1·Mpc−1.

10

-6

10

-4

10

-21

10

2

10

4

10

6 -1

4-1

2-1

0-8

-6-4

-2 0

Ωm0/a, Ωrel0/a2, ΩΛ0a

2t

/ G

yr

t BB

t 0

ΩΛ

Ωm

Ωre

l

t − t

BB /

Gyr

ΩΛ

Ωm

Ωre

l

0 0

.00

05

0.0

01

matter

era

radiation era

Obr.4—ČasovézávislostirelativníchhustotΩ

′=

ρρc0pronášpozorovanývesmír.Rozlišujeme

přitompříspěvkyodkosmologickékonstanty,temnéhmoty+baryonůaodzáření.Nadetailu

vpravojepatrnéobdobíodVelkéhotřeskudo1Myr.

∗Povětroň2/2014

13

LuminozitnívzdálenostdLjedefinovánajako:

d2 L≡

L

4pF

,(15)

kdeLoznačujeluminozituzdrojeaFměřenýtok.Předpokládejme,žezdrojjevpočátkusou-

hybnésouřadnicovésoustavyaemitujefotonydosféryopoloměrur.Plochasféryje4p[a(t)r]2

(ikdyža(t)rnenípoloměrpři

K6=0).

Tokjevšakkroměobvykléhozákonačtvercůovlivněndalšímidvěmajevy:i)fotonymají

kvůliexpanzimenšíenergiiE

γ=

hcλ,λ∝

a(t);ii)fotonykvůlidilatacičasupřicházejísvětšími

„přestávkamiÿ.Obaseprojevífaktorem1/(1+

z):

F=

L

4pr2

1

1+

z

1

1+

z,

cožpodosazenído(15)dávávztah:

dL=

r(1+

z).

(16)

Souhybnésouřadnicerlze(bezdůkazu)vypočítatjako:

r(z)=

c H0S(z),

(17)

kdefunkce:

S(z)=

I(z)proΩ0=1,

=1

√Ω0−1sin[

I(z)√Ω0−1]

proΩ0>1,

=1

√1−Ω0sinh[

I(z)√1−Ω0

]

proΩ0<1,

(18)

aintegrál:

I(z)=

H0

∫z

0

dz′

H(z

′),

(19)

kterýlzepočítatnumerickyzvýstupuprogramufridman.

ParametryvesmíruajejichnejistotyodvozenézdatWMAP,SNIaaSDSS

(Spergelaj.2006)jsouuvedenyvtab.1.

Vsoučasnostijekritickáhustotarovnaρc0=3H2 0

8pG

. =10

−26kg

·m−3≃6protonů·

m−3,alenejsoutoprotony!Většinuobsahuvesmírutvoříkosmologickákonstanta

aliastemnáenergie,zbytektemnáhmotaa„zanedbatelnouÿmenšinu(4%)ba-

ryony.Oleptonech,fotonechneboneutrinechaninemluvě.Natitulnímobrázku

vidíme,jakdůležitéjepozorovánírůznýmimetodami,protožekaždámájinéne-

jistoty,přičemžvýšeuvedenépřesnéhodnotyΩjsouvjejichprůsečíku.

14

Povětroň2/2014

∗

Mějmejednuvirtuálníčásticiohmotnosti

m≃∆

Ec2vboxuorozměruL

≃∆x.Jejíživotní

dobaplynezHeisenbergovaprincipuneurčitosti:

∆t≃

h̄

∆E

≃h̄

mc2

.

Protoženejistotahybnosti∆p≥0ihybnostp≥0,musíminimálníhodnotahybnostibýtřádu

pmin

≃∆p.Zprincipuneurčitostivímezároveň,že:

∆p≃

h̄ ∆x,

takžerychlostčásticevyjádřímejako:

v≃

pmin

m≃

h̄

mL

.

Největšívzdálenost,kteroučásticemůžeproletět,abynevyletělazboxu,je

L=

v∆t.Podosa-

zení:

L=

h̄

mL

h̄

mc2

,L2=

h̄2

m2c2

,L

≃h̄ mc.

Abychomvytvořilipárvirtuálníchčástic,musíhustotaenergievakuabýt:

uvac≃2m

c2

L3

≃2m4c5

h̄3

.

Největšíhmotnost,kterápřicházívúvahu,jePlanckovahmotnost:

mp=

√

h̄c G≃1019GeV

,

odkudplyne:

uvac≃2m4 pc5

h̄3

≃2c7

G2h̄

≃10114J·m

−3.

Přesnějšíteoriedáváuvac≃10111J·m

−3.Tojevpříkrémrozporusměřenouhodnotou:

uΛ=

ρΛc2=

ρcΩΛc2=6,22

·10−10J·m

−3.

Nelzevyloučitmožnost,ževevesmíruexistujenějakédalšískalárnípole,jako

jezmiňovanákvintesence.

[1]CarrolS.M.ANo-NonsenseIntroductiontoGeneralRelativity[online].[cit.2010-03-

08].〈http://preposterousuniverse.com/grnotes/grtinypdf.pdf〉.

[2]CarrolB.W.,OstlieD.A.AnIntroductiontoModernAstrophysics.SanFrancisco:

Pearson,AddisonWesley,2007.ISBN0321442849.

[3]NolletK.M.,BurletS.Estimatingreactionratesanduncertaintiesforprimordial

nucleosynthesisPhys.Rev.D,61,123505,2000.

[4]Reduce.[online][cit.2010-03-08].〈http://www.reduce-algebra.com/〉.

∗Povětroň2/2014

19

Oblakahorkéhomezigalaktickéhoplynuzářícíhovrentgenovémoboru,která

sepozorujívkupáchgalaxií,sevyznačujívelkourychlostíemitujícíchčástic,jež

přesahujerychlostúnikovou(počítanouzesvítícílátky).Protožeplynnavzdory

tomupozorujeme,musíbýtkupycelkověasi10kráthmotnějšínežsvítícílátka.

Temnouhmotounemohoubýtstelárníčernédíry,tybylyvyvrácenynegativním

pozorovánímgravitačníchčočekveVelkémMagellanověmračnu.

Temnáhmotamusíbýtnebaryonická,protožejinakbynukleosyntézapoVel-

kémtřeskuproběhlaodlišně,bylabypřekonánaberyliovábariéraavznikloby

mnohoprimordiálníhoželeza(vizobr.8).Nesmíaniinteragovatelektromagne-

ticky,protožebyseprozradilanějakýmzářením.

Protoseuvažujeohmotnýchneutrálníchelementárníchčásticíchinteragujících

pouzeslaběagravitačně.Mimojinébylynavrhoványaxionyneboneutralina

(superpartneřineutrinvsupersymetrickýchteoriích),nicménězatímneexistuje

experimentálnípotvrzenítěchtohypotéz.

Obr.8—Schematickéznázorněníjadernýchreakcí,kteréseuplatňovalyběhemnukleosyntézy

poVelkémtřesku.Převzatoz[3].

Cojezdrojemtemnéenergie?

∗

Nejjednoduššímvysvětlenímbymohlobýt,ževEinsteinovýchrovnicíchprostě

musíbýtuvedenakosmologickákonstantaΛ,nicméněneníuspokojivé,kdyžne-

mámeteoriivysvětlujícíjejívelikost.

Přirozenýmvysvětlenímbybylaenergievakua,nanežvkvantovémechanice

nahlížímejakonaprostorplnývirtuálníchčástic.Problémje,žezkvantovéteorie

vycházío120řádůvětšíhodnotanežpozorovanáρΛ!Těžkopaktakovéinterpre-

tacivěřit.

18

Povětroň2/2014

∗

Obr.5—Vlevofluktuaceintenzitymikrovlnnéhozářeníznázorněnébarevnouškálounamapě

oblohy.Vpravoodpovídajícíprostorovéspektrum,čilizávislostamplitudynaprostorovéfrek-

venci(multipólovémmomentu

ℓ).Největšíamplituduvykazujífluktuacesúhlovýmrozměrem

okolo1◦.

Obr.6—Vztahmezimodulemvzdálenostiarudýmposuvemprovelkývzoreksupernov

typuIa.Převzatoz[5].

PozorujemetedyΩ=ΩΛ+ΩCDM+Ωbaryonů+(nepatrnépříspěvkye−,γ,ν)=

(1,00±0,04),čiliplochývesmírjevsouladuspozorováním.Uvědommesiale,že

vprincipunelzenikdyprokázatpřesnouplochost!

Poznamenejme,žeΛpřispívásvouhustotoukezpomalovánírozpínání(avyrov-

návájehokřivostnanulu),alezároveňsvýmzápornýmtlakemrozpínánízrych-

luje.Existujísamozřejměijinéhypotézy,hovořísenapříkladokvintesenci,která

máodlišnoustavovourovnici,proměnnouvčase.Parametrykosmologickéhomo-

delubysepakdojistémíryzměnily.

∗Povětroň2/2014

15

H0

=70

,9+2,4

−3,2km

·s−1·Mpc−1Hubbleůvparametr

ρ0

=0,94+0,06

−0,09·10−26kg

·m−3kritickáhustota

Ωb

=0,0444+0,0042

−0,0035

hustotabaryonů

ΩCDM+b=0,266+0,025

−0,040

hustotatemnéhmoty+baryonů

ΩΛ

=0,732+0,040

−0,025

hustotatemnéenergie

z ion

=10

,5+2,6

−2,9

rudýposuvreionizace

τ=0,079+0,029

−0,032

optickáhloubkareionizace

t 0=13

,73+0,13

−0,17Gyr

stářívesmíru

Tab.1—ParametryvesmíruajejichnejistotyodvozenézdatWMAP,SNIaaSDSS(Spergel

aj.2006).

Teplotazáření

∗

Spektrumkosmickéhopozaďovéhozářeníjeplanckovské,cožsvědčíotom,že

zářeníje(bylo)vtermodynamickérovnováze.Zarovnovážnéhostavumámeovšem

podleStefanova–Boltzmannovazákonahustotuenergiezářenírovnu:

u=

σ 4cT4.

(20)

Prozářenízároveňplatíkosmologickéškálováníρrel=

ρrel0a−4,tudíž:

σ 4cT4=

σ 4cT4 0a−4,

odkudsnadnovyjádřímezávislostteplotynaexpanznímparametru:

T(t)=

T0

a(t).

(21)

Dosadíme-lipozorovanouhodnotuT0=2,7K,můžemeodhadovatteplotuzáření

vminulosti(vizobr.7).Véřezáření(ipředrekombinací)navíclzepředpokládat,

žeilátkabylavrovnovázesezářením,čilimělastejnouteplotu.

Zásadnímpoznatkemje,ženukleosyntézavehvězdáchneníschopnavysvětlit

pozorovanývelkýobsahheliavevesíru(Y

≃0,25),vzhledemkrelativněmalému

obsahuuhlíkunebokyslíku(Z

≃0,02).Syntézaheliapřitomvyžadujeteploty

řádově

T≃109K,abymohlabýtpřekonánacoulombickábariéra(spomocítu-

nelovéhojevu).

16

Povětroň2/2014

∗

Budeme-litedypředpokládat,že„nadbytečnéÿheliumbylsyntetizovánovhor-

kémranémvesmíru,vtudobumuselobýta(t)=

T0 Ta0≃3·10−9.Zprůběhua(t)

pakvyplývá,ženukleosyntézamuselaprobíhatvprvníchminutáchpoVelkém

třesku,alenedříve,protožebydocházelokfotodisintegracijader.

Atomyvzniklyažmnohempozději,kdyžteplotazářeníaodpovídajícíenergie

fotonůbylanižšínežionizačníenergieatomů.Výpočetmůžemeprovéstpomocí

Sahovyrovnice:

X2

1−X

ne=

(2p

mekT

h2

)3 2

exp(

−χ kT

)

,(22)

kdeX

≡ne noznačujeionizačnístupeň,nekoncentracielektronů(odvozenou

zρb=

ρb0a−3),

mehmotnostelektronu,

kBoltzmannovukonstantu,

hPlanc-

kovukonstantuaχionizačníenergiiatomu.Období,kdyprobíhalarekombinace,

vycházípřibližněod210000roků(X=0,99)do420000roků(X=10

−3)po

Velkémtřesku.

T / K

X

t − t

BB /

yr

t − t

BB /

s

2.7

K

tem

pe

ratu

re

ion

isa

tio

nle

ve

l

1

100

10

4

10

6

10

8

10

10 1

0-6

10

-41

0-2

11

00

10

41

06

10

81

01

000.5

1.0

100

10

00

01

06

10

81

01

01

01

21

01

41

01

6

nucleosynthesis

recombination

Obr.7—TeplotazářenívzávislostinačaseastupeňionizacevypočtenýdleSahovyrovnice.

Úvahyoprůběhuteplotyvevelmiranémobdobí(T

>1010K)jsousložitější,

protožedocházíkfázovýmpřechodům(např.anihilacipárů,odděleníneutrin)

nebojerychlostexpanzetakvelká,žeprocesyprobíhajínerovnovážně.

Cojezdrojemtemnéhmoty?

∗

Proexistencitemnéhmotysvědčípozorovánínezávislánajakýchkolikosmo-

logickýchmodelech.Jdezejménaonekeplerovskourotacivnějšíchčástígalaxií

(plochárotačníkřivka

v(r)),způsobenáhalemnesvítícíhmoty.

∗Povětroň2/2014

17