Natuurkundig practicum 32013—2014

Kosmische muonenFolkert Nobels, Bas Roelenga

AbstractIn dit experiment is de levensduur van het muon bepaald en is er gekeken naar de intensiteit van kosmischemuonen. Door gebruik te maken van een detector kon een exponentieel verband worden gemaakt voor delevensduur van het muon. Door middel van een fit kon hier de levensduur uit worden bepaald, deze was(2.19±0.01) microseconden. Voor het meten van de intensiteit van kosmische muonen werd gekeken naar eenverband tussen intensiteit en de hoek waaronder de detector staat, dit werd gedaan doormiddel van coı̈ncidentievan ten minste 2 detectoren. Hieruit kon een cosn(θ) functie uit worden gehaald waarbij n bepaald werd. De nwaarde die gevonden was, is 2.08±0.05.

Contents

Inleiding 1

1 Theorie 1

1.1 Muonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Kosmische straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Hoekafhankelijkheid van de intensiteit van muonen

21.4 Het bepalen van de levensduur van muonen . . . 2

2 Meetopstelling 3

2.1 De detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Bepaling van de levensduur van het muon . . . . . 32.3 Bepaling van de intensiteit van de kosmische muo-

nen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3 resultaten 4

3.1 Experiment 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Experiment 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

bepaling van B

4 Conclusie 5

4.1 Experiment 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.2 Experiment 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Discussie 6

6 appendix 6

6.1 Experiment 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

References 6

Inleiding

Dagelijks komen er vele kosmische muonen onze atmosfeerbinnen. In dit experiment hebben we met behulp van eendetector gekeken naar de levensduur en intensiteit van dezemuonen.

1. Theorie1.1 MuonenEen muon is qua eigenschappen vrijwel identiek aan een elec-tron, behalve dat muonen een massa hebben die ongeveer 207keer zo groot is als die van een electron. Muonen hebbeneen massa van 106MeV/c2 en electronen hebben een massavan 511keV/c2. Muonen zijn deeltjes uit de lepton fami-lie (1), deze groep deeltjes heeft als eigenschap dat ze nietparticiperen in de sterke kernkracht en dus alleen worden bein-vloed door de zwakke kernkracht en de electromagnetischekracht. [1, 2]

[νee−

],

[νµ

µ−

],

[ντ

τ−

](1)

1.2 Kosmische stralingDeeltjes die met hoge energie van alle kanten op de aardekomen, worden kosmische straling genoemd. Kosmischestraling komt van de zon en van buiten het zonnestelsel (galac-tische kosmische straling), Deze kosmische straling bestaatvoornamelijk uit hoogenergetische protonen die botsen met demoleculen in de atmosfeer. Bij deze botsingen worden anderedeeltjes gevormd als de energie van de betreffende kosmischestraling hoog genoeg is. Kosmische straling die voldoendeenergie heeft komt voor namelijk van buiten het zonnestelsel,de galactische kosmische straling is dus hoofdzakelijk verant-woordelijk voor het produceren van deeltjes in de atmosfeer.Onze eigen zon produceert maar 1% van de hoogenergetischeprotonen die nieuwe deeltjes kunnen produceren in de atmos-feer. [1, 4]

Wanneer de hoogenergetische protonen genoeg energiehebben om pionen te vormen in het frame van het centrumvan massa, kunnen pionen gevormd worden, bij deze reactiewordt voldaan aan de behoudswetten zoals behoud van leptongetal, behoud van baryon nummer en behoud van lading. Bijde botsting kunnen 3 soorten pionen gevormd worden, π+,

Kosmische muonen — 2/7

Figure 1. Kosmische straling [3]

π0 en π−. De π0 vervallen volgens reactie 4 naar 2 fotonenvia de electromagnetische kracht. De π+ en π− vervallenvolgens, respectievelijk reactie 2 en 3. Bij het verval vandeze pionen ontstaan muonen, de pionen vervallen zo snelen participeren in de sterkekracht waardoor ze het aardopper-vlakte niet bereiken. De muonen die gevormd worden bij hetverval van de pionen boven in de atmosfeer, bereiken het aard-oppervlakte vanwege tijddilatie ten opzichte van het inertiaalstelsel op de grond, of via lengte contractie ten opzichte vande muonen zelf. Tijddilatie kan berekend worden met formule7 en lengte contractie kan berekent worden met 8

π+→ µ

++νµ (2)

π−→ µ

−+ ν̄µ (3)

π0→ 2γ (4)

µ+→ e++νµ + ν̄e (5)

µ−→ e−+ ν̄µ +νe (6)

Wanneer we aannemen dat de muonen 50 % kans hebbenom te vervallen kunnen we een benadering maken wat degamma factor van de muonen is (vergelijking 9). Met behulp

van s = v · t kunnen we berekenen wat de tijd in het framevan de waarnemer op aarde is. ∆t ′ = 15·103

3·108 = 5 · 10−5s. nukan met behulp van vergelijking 7 de gamma factor wordenbepaald. ∆t ′

∆t = γ ≈ 23. Met behulp van deze gamma factor envergelijking 10 kan de minimale kinetische energie van eenmuon worden uitgerekent. Ek ≈ 2.1GeV , dit geeft een ordevan grote van de minimale energie die een muon heeft welkehet aardoppervlakte kan bereiken.

∆t ′ =∆t√

1− v2

c2

= ∆t · γ (7)

l′ = l

√1− v2

c2 =lγ

(8)

γ =1√

1− v2

c2

(9)

Ek = mc2(γ−1) (10)

De muonen die het aardopppervlakte hebben gehaald, zijndus niet vervallen zijn via de verval reactie 5 of 6, welke alle-bei een halfwaarde tijd van 2.197019µs hebben. De muonendie nog niet vervallen zijn, kunnen gedetecteerd worden metbehulp van een detector. Voor het detecteren van muonenwordt gebruikt gemaakt detectoren die gevoeliger zijn voormuonen dan voor achtergrond straling zoals hoogenergetischegamma straling. [1]

1.3 Hoekafhankelijkheid van de intensiteit van muo-nen

De muonen die gevormd worden in de atmosfeer bewegen nade botsing in een willekeurige richting. Omdat de muonendie vanuit een andere hoek komen een andere afstand hebbenafgelegd, is er een verschillende in intensiteit voor de ver-schillende hoeken tenopzichte van een lijn loodrecht op hetaardoppervlakte volgens vergelijking 11. Dit is omdat muo-nen die een grotere afstand afleggen een grotere kans hebbenom te vervallen voordat ze kunnen worden gedetecteerd in dedetector.[1]

I(θ) = I(0)cosn(θ), n≈ 2 (11)

1.4 Het bepalen van de levensduur van muonenVoor het bepalen van de levensduur van muonen moet we hetgemeten spectrum fitten met formule 12

N(t) = B+N(0)e−t/τ (12)

Hierin is B een parameter die rekening houdt met achter-grond. Deze kan worden bepaald door te kijken naar wan-neer het exponentiele verband constant worden en vervolgens

Kosmische muonen — 3/7

het gemiddelde aantal tellen per kanaal uit te rekenen. Hetgemeten spectrum bestaat uit 512 kanalen, waarvan 1 kanaalongeveer 0.03 microseconden lang is. Omdat het spectrumeen exponentieel verband heeft kan deze worden omgezet naareen logaritmische schaal zodat er een lineair verband ontstaat.vergelijking 12 wordt dan vergelijking 13.

ln(N(t)) = ln(N(0))− t/τ (13)

Hierin zal de helling van het lineaire verband gelijk zijnaan− 1

τ. Voor het bepalen van een fit voor vergelijking 13 is de

kleinste kwadraten methode gebruikt die de functie y = ax+bprobeert te fitten. Vervolgens kan de levensduur van het muonbepaald worden door vergelijking 14.

τ =1

helling(14)

De fout in het gemeten spectrum is de wortel van het aantaltellen omdat we te maken hebben met een poissonverdeling.Voor het doorreken van deze fout gebruiken we vergelijking15.

Fout =

√tellen

tellen(15)

vergelijking 15 volgt uit het doorrekenen van een fout voor eenlogaritmische functie. De fout in de levensduur van het muonwordt bepaald door middel van vergelijking 16. vergelijking16 volgt meteen uit de standaard regels voor error propagatiein formules.

errt =t2

a2b2 (σ2

a

a2 +σ2

bb2 ) (16)

Hierin is σa de fout in de helling en σb de fout in b van defit. Deze zijn beide ook bepaald door het python programma.

2. Meetopstelling

2.1 De detectorDe gebruikte meetopstelling bestaat uit 3 detectoren, diebestaan uit 2 plastic plaat scintillatiedetectoren en 1 relatiefgrote plastic cylindervormige scintillatiedetector. Ioniseerendestraling die door de detector gaat verliest energie. De verlorenenergie wordt omgezet in scintillatiefotonen. Deze fotonenworden omgezet naar een electronische impuls door een foto-buis. [1]

Om te zorgen, dat vooral de muonen worden gemeten enniet achtergrondstraling (welke voornamelijk bestaat uit hoo-genergetische fotonen) wordt gebruikt gemaakt een plasticmateriaal wat. De kans dat een foton wordt beinvloed doorplastic is klein. Dit omdat plastic voornamelijk bestaat uitatomen met een laag atoomnummer zoals koolstof en water-stof. Hier tegen over staat dat een muon altijd energie afgeeft

doormiddel van interactie van de electromagnetische kracht.Verder geeft een muon tijdens het passeren van de detectorminimaal 4 MeV af, wat hoger is dan een typische achter-grondstraling foton (1.5 MeV). Als van het feit gebruik wordtgemaakt dat achtergrondstraling een energie van ongeveer 1.5MeV hebben en muonen minimaal rond de 4MeV afgeven,kan een drempel worden ingesteld om de achtergrondstralingweg te filteren. [1]

Om ons experiment uit te voeren werd de apparatuur in-gestel en gecalibreerd zoals beschreven in [1], waarna hetexperiment werd uitgevoerd. Een foto van de opstelling iste zien in figuur 2. Hier onder zullen we het principe van demeetmethode uitleggen.

Figure 2. foto van de opstelling

2.2 Bepaling van de levensduur van het muonWanneer een muon door de detector gaat en gedeeltelijk wordtafgeremd, komt er energie vrij. Sommige muonen zullen inde detector tot stil stand zijn gebracht, wanneer deze muonenin de detector vervallen komt hier weer energie bij vrij. Watwordt gedaan om de levensduur van het muon te bepalen is detijd bepalen tussen de energie die vrijkomt omdat het muonafremt en de energie die vrijkomt bij het verval. Wanneer dezetijd wordt uitgezet tegen het aantal getelde muonen krijg jeeen functie die op een exponent lijkt. [1]

2.3 Bepaling van de intensiteit van de kosmischemuonen

Met behulp van coı̈ncidentie tussen de verschillende detec-toren kan de richting van kosmische muonen worden bepaald.De opstelling werk als een telescoop die muonen uit eenbepaalde richting alleen registreert. Om de intensiteit tenopzichte van de hoek te meten werd de detector van 0 tot90 graden gedraait en werd elke 15 graden de intensiteit vande muonen gemeten met behulp van een teller. Doormiddelvan een and poort werd eerst coı̈ncidentie in detector 1 en3 gemeten daarna in detector 2 en 3, enz. tot dat alle 4 decombinaties gemeten waren.[1]

Kosmische muonen — 4/7

3. resultaten3.1 Experiment 1Het gevonden spectrum voor het bepalen voor de levensduurvan het muon is weergeven in figuur 3.

Figure 3. Het spectrum voor het bepalen van de levensduur

In figuur 3 zijn niet alle kanalen weergegeven omdat erin het begin een aantal lege kanalen zijn en de laatste paarkanalen wat ook data bevatten van kanalen na ons gemeteninterval. Om hier een lineaire functie aan te fitten moeten wedeze eerst omzetten naar een lineair verband.

De parameter B die rekening met eventuele achtergrondis ook gevonden met een python programma. De waarde dievoor B is gevonden is 6.25. Als de deze B waarde van hetaantal tellen wordt afgehaald zorgt dit ervoor dat er vanaf eenbepaald aantal kanalen het aantal tellen onder de 0 komt endit zorgt voor problemen wanneer we het omzetten naar eenlineair verband (deze verdwijnt dan). Hierdoor worden vanafeen bepaald aantal kanalen geen tellen meer gebruikt. Bij onsis de data gebruikt van de kanalen 9 tot 270. wanneer we dedata omzetten naar log-space krijgen we een linear verbanddat weergeven is in figuur 4

Door middel van de kleinste kwadraten methode hebbenwe hier een lijn met de functie y = ax+ b door heen gefit.Hiervoor hebben we een python programma gebruikt. Hetresultaat is weergeven in figuur 5.

De functie die in figuur 5 wordt geplot is y = −0.47x+5.46, dus de helling is de -0.47 en hieruit volgt dat de lev-ensduur van het muon het volgende is τ = 1

−0.47 = (2.19±0.01)µs.

Het aantal toevallige coı̈ncidenties word gegeven doorvergelijking 17.

Itoeval = I2totaal ∗∆t (17)

Hierin is I totaal de telsnelheid van de detector en deltat de range van de THCP. De telsnelheid was 29.92 muonen

Figure 4. Het spectrum voor het bepalen van de levensduurin log-space

Figure 5. Het spectrum voor het bepalen van de levensduurin log-space

per seconde en de range van de THCP was 0.2 microsecon-den. Het aantal toevallige coı̈ncidenties is dus 1.79 ·10−4 perseconde. De gevonden waarde voor B was 6.25 dus deze isdus veel groter dan die uit de voorafgaande formule.

De intensiteit van de muonen die in de detector is gestoptkan worden bepaald door alle tellen bij elkaar op te tellen.Dit gaf een intensiteit van 1.63 · 104 muonen. Onze tellertelde 29.92 muonen per seconde. De tijd waarover we haddengemeten was 1.52 ·105 seconden. Dit houdt in dat er in hettotaal 4.55 ·106 muonen zijn geteld. De fractie van muonenis dus 0.4%.

3.2 Experiment 2Volgens de theorie is er een verband tussen de intensiteit vande muonen en de hoek volgens vergelijking 11. Om te bepalenwelke waarde n heeft, werd een python script geschreven. Ditpython script bewerkt eerst de data zodat de waarde van θ = 0ten opzichte van de grond, gelijk werd gesteld aan 0. Dit isgedaan omdat wij ervan uitgaan dat de intensiteit, volgens

Kosmische muonen — 5/7

vergelijking 18 afhankelijk is van de hoek ten opzichte vaneen loodrechte lijn op de grond.

I(θ) = I(0)cosn(θ)+B, n≈ 2 (18)

Nadat dit python script de B van alle waarde had afgetrokken,werd door alle punten een derde graads polynoom gefit. Hi-erna werd deze polynoom vergeleken met cosn(θ), waarbij ntussen de 1 en 3 was. De cosinus die de kleinste afwijking hadtenopzichte van de derde graads polynoom werd geaccepteerd.Deze manier van fitten levert een gemiddelde voor n van 2.18op, de verschillende waarden van n zijn weergeven in tabel 1.

Table 1. Gevonden waarden voor n met het programmaopstelling Detector 1 Detector 2 Detector 3 n

1 ja nee ja 1.952 ja ja nee 1.913 nee ja ja 2.534 ja ja ja 2.32

De gevonden waarde van het programma gaan goed doorde fouten heen en de gevonden n is een goede fit, maar erzijn nog andere waarden van n mogelijk. Daarom ontstaater interval van n’en die mogelijk zijn. Het bepalen van ditinterval werd gedaan doormiddel van het slim gokken vaneen waarde van n, tot dat die waarde het zelfde resultaatopleverde als de bepaalde waarden in tabel 1. Dit leverde defits weergeven in figuur 6 en de waardes van n weergeven intabel 2.

Figure 6. Intensiteit tegen hoek, met gefiten functies zoals invergelijking 11. vergrote grafieken zijn te vinden in deappendix

Table 2. Gevonden intervallen voor nopstelling begin n eind n waarde van n

1 1.95 2.05 2.00±0.052 2.25 2.80 2.53±0.283 1.75 2.53 2.14±0.394 2.32 2.55 2.44±0.12

Wanneer de gegevens uit tabel 2 worden gebruikt, kanhet gewogen gemiddelde van n worden bepaald doormiddel

van vergelijking 19 en 20. wanneer dit gedaan wordt voor degegevens in 2 geeft dit n = 2.078

〈n〉= ∑Ni wini

∑Ni wi

(19)

wi =1

σ2i

(20)

Met behulp van de weegfactoren in vergelijking 20, kanook de fout n in worden bepaald volgens vergelijking 21.wanneer dit wordt gedaan voor de data in tabel 2, dit leverteen fout van 0.045≈ 0.05 op.

σn =1√

∑Ni wi

(21)

Dus dit betekent dat n = 2.08±0.05

3.2.1 bepaling van Bvoor het bepalen van de genormaliseerde B doen we het vol-gende we delen de waarde van de hoek van 90 graden door dewaarde op 0 graden min de waarde op 90 graden (vergelijking22). De fout van B werd bepaald door de genormaliseerde foutvan B te gebruiken. De verkregen waarden zijn weergeven intabel 3.

B =n0

n90−n0(22)

Table 3. Gevonden waarde van Bopstelling waarde vam B

1 0.096±0.0122 0.562±0.0353 0.661±0.0454 0.092±0.033

Wanneer het gewogen gemiddelde wordt bepaald van tabel3, volgt hier uit dat B = 0.16±0.02. Echter deze waarde isniet geheel betrouwbaar omdat bij opstelling 2 en 3 de inval-shoek ongeveer 2 keer zo groot is als die bij opstelling 1 en 4.De hoek van opstelling 1 en 4 is 1

2 θ ≈ arctan( 3050 )→ θ ≈ 60◦

en die van 2 en 3 is op een vergelijkbare manier te bepalen,12 θ ≈ arctan( 30

25 ) → θ ≈ 100◦. Dit betekent dat voor hetbepalen van B het best gebruik gemaakt kan worden vanopstelling 1 en 4. Dit geeft B = 0.10±0.02.

Dit alles leidt er toe dat voor de intensiteit van de muonen hetvolgende geld: n = 2.08±0.05 en B = 0.10±0.02 wanneerervan uit wordt gegaan dat de intensiteit vergelijking 18 volgt.

4. Conclusie

Kosmische muonen — 6/7

4.1 Experiment 1We komen tot de conclusie dat muonen een halfwaarde tijd van(2.19±0.01)µs hebben. Verder komen we tot de bevindingdat van 0.4 % van de muonen die door de detector gaat dehalfwaardetijd gemeten wordt.

4.2 Experiment 2Wij komen tot de conclusie dat de beste fit voor de intensiteitals functie van hoek, welke vergelijking 18 volgt, de volgenden en B waarden heeft n = 2.08± 0.05 en B = 0.10± 0.02.Verder valt ons op dat Het verschil tussen het observeren vaneen grotere hoek en een kleinere hoek duidelijk merkbaar, eenkleinere hoek leidt tot betere data. Verder valt ons ook op datde intensiteit bij 90 graden niet naar nul gaat maar naar eenconstante.

5. DiscussieDe onzekerheid in onze meetwaarde kan verkleint wordendoor het experiment langer muonen te laten meten. Verderkan experiment 2 nauwkeuriger worden uitgevoerd als er eenopstelling wordt gebruikt waarbij detector 1 en 3 verder vanelkaar afstaan waardoor er een kleinere hoek van de atmos-feer wordt waargenomen, natuurlijk moet het experiment danwel langer muonen meten omdat er minder muonen wordenwaargenomen per tijds eenheid.

6. appendix

In het bijlage bestand is onze gebruikte code weergeven.

6.1 Experiment 2Als bijlage bij experiment 2 zijn de grafieken 7, 8, 9, 10 en 11bijgevoegd.

Figure 7. Intensiteit tegen hoek, met gefiten functies zoals invergelijking 11. Opstelling 1

Figure 8. Intensiteit tegen hoek, met gefiten functies zoals invergelijking 18. Opstelling 1

Figure 9. Intensiteit tegen hoek, met gefiten functies zoals invergelijking 11. Opstelling 2

References[1] Kosmische muonen. Nestor, nov. 2008.[2] J. C. Morrison. Modern Physics for Scientists and Engi-

neers. Elsevier, Inc.[3] America Space. Cosmic rays, mei 2014.[4] NASA. Cosmic rays, 2014.

Kosmische muonen — 7/7

Figure 10. Intensiteit tegen hoek, met gefiten functies zoalsin vergelijking 11. Opstelling 3

Figure 11. Intensiteit tegen hoek, met gefiten functies zoalsin vergelijking 11. Opstelling 4