Konvergensi Solusi Deret

INTEGRAL, Vol. 8 No. 2, Oktober 2003

83

KONVERGENSI SOLUSI DERET PANGKAT KONVERGENSI SOLUSI DERET PANGKAT PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER

Iwan Sugiarto

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Katolik Parahyangan, Bandung.

E-mail : [email protected]

Intisari Dalam tulisan ini , dibahas metode mencari solusi deret pangkat persamaan diferensial linier orde - 2 dengan koefisien variabel, baik homogen maupun tak homogen. Selanjutnya konvergensi solusi deret pangkatnya diperlihatkan dengan menggunakan PD Cauchy - Euler sebagai pembanding.

Abstract In this paper we discuss the method of finding the power series solutions of second order linear equations with variable coeff icients. The convergence of these power series solution is also shown by using the Cauchy - Euler equation as a comparison.

Diterima : 2 Juni 2003

Disetujui untuk dipublikasikan : 21 Juli 2003 1. Pendahuluan Tinjau persamaan diferensial linier tak homogen orde dua dengan koefisien variabel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftytctytbtyta =++ '''

dengan ( ) 00 ≠ta , dimana 0t titik

ordinary PD. Banyak masalah fisika-matematika yang menggunakan persamaan diferensial di atas seperti persamaan Bessel:

( ) 022'''2 =−++ yvttyyt dengan v konstan, dan persamaan Legendre :

( ) ( ) 0121 '''2 =++−− ytyyt αα dengan α konstan. Kita sudah mengetahui bagaimana menentukan solusi persamaan diferensial di atas dengan menggunakan metode deret pangkat ([1,5]). Di sini akan dikaji ulang bagaimana metode tersebut digunakan. Selanjutnya juga akan

dibahas konvergensi solusi deret pangkat persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien variabel, baik homogen maupun tak homogen.

2. Formula Binomial Leibniz Untuk Turunan

Misalkan ( )tf dan ( )tg mempunyai turunan ke- 1 , 2, 3, ...n, maka :

( )( ) ( ) ( )knkn

k

n gfkn

fg −

=∑

=

0

.

Formula ini dikenal sebagai formula Binomial Leibniz untuk turunan ([2]).

Definisikan : ( ) ( ) ( )( )tptptpP NN 01 ,...,, −= dan

( )( ) ( ) ( )( )tytytyY NN ,...,, 1−= dengan

( )tpi memiliki turunan ke – 1,2,...n . Maka:


84

( )( ) ( ) ( )knkn

k

n YPkn

YP −

=

⋅

=⋅ ∑

0

. Formula ini mirip dengan formula sebelumnya , dimana perkalian biasa digantikan dengan hasil kali titik.

3. Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen Orde Dua Dengan Koefisien Variabel.

Tinjau persamaan diferensial linier tak homogen orde dua dengan koefisien variabel : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftytctytbtyta =++ ''' (3.1)

dengan ( ) 00 ≠ta , 0t titik ordinary PD.

Salah satu metode untuk menentukan solusi persamaan diferensial (3.1) adalah dengan menggunakan deret pangkat.

Asumsikan koefisien – koefisien ( ) ( ) ( )tctbta ,, , dan ( )tf dapat diekspansikan dalam

deret pangkat yang konvergen di sekitar 0tt = dengan jari –jari konvergensi positif dan

( ) 00 ≠ta . Misalkan ( )ty solusi persamaan diferensial (3.1) yang akan dicari, yang

berbentuk deret pangkat disekitar 0t . Dengan mendefinisikan ( )( )0tyy nn = , n =

0,1,2,3,..., maka bentuk ( )ty dapat ditulis sebagai :

( ) ( )n

n

n ttny

ty 00 !

−= ∑∞

=

(3.2)

Serupa dengan ( )ty , tulislah koefisien – koefisien ( ) ( ) ( )tctbta ,, , dan ( )tf sebagai berikut :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n

nn

n

nn

n

nn

n

n ttnf

tfttnc

tcttnb

tbttna

ta ∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−=−=−=−=0

00

00

00

0 !,

!,

!,

!

, dengan ( )( )0taa nn = , 00 ≠a , ( )( )0tbb n

n = , ( )( )0tcc nn = , ( )( )0tff n

n = .

Misalkan ( )ty solusi persamaan diferensial (3.1) dengan syarat awal

( ) ( ) 10'

00 , ytyyty == , maka :

0

001002

0001020

aycybf

y

fycybya−−

=

=++

Diferensialkan persamaan diferensial (3.1) di titik 0tt = , maka diperoleh :

( ) ( ) ( )

0

011011202113

1011011202130

aycycybybyafy

fycycybybyaya−−−−−=

=+++++

Langkah diferensiasi ini dilanjutkan terus menerus sampai langkah ke – n, sehingga diperoleh hubungan menurut formula Binomial Leibniz sebagai berikut:


85

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]

( ) 1,

,

101

220

00

1

00

2

≥=+∑

+∑

+

=∑

+∑

+∑

−−+==

−++

=−

=

−+

==

−+

nfycybkn

yakn

ya

ataufyckn

ybkn

yakn

nknkknk

n

k

n

kknkn

ttnknk

n

k

knkn

k

n

k

knk

(3.3)

Dari relasi rekursif (3.3) , diperoleh solusi deret pangkat (3.2).

Contoh Tinjau PD Airy : 0'' =− tyy dengan syarat awal ( ) ( ) 10,00 ' == yy .

Perhatikan bahwa : ( ) ( ) ( ) ttctbtayy −===== ,0,1,1,0 10 , sehingga :

≠

==

0,0

0,1

kk

ak

,...2,1,0,0 =∀= kbk

≠

=−=

1,0

1,1

kk

ck

Ini memberikan : 00

00102 =

−−=

aycyb

y dan dari relasi rekursif (3.3) dengan 0=nf ,

nilai –nilai ,...,, 543 yyy dapat ditentukan dari hubungan rekursif :

( ) 01 112 =

+ −+ nn yc

ny atau 1,012 ≥=− −+ nnyy nn .

Untuk n = 1 : 00 303 =→=− yyy

Untuk n = 2 : 202 414 =→=− yyy

Untuk n = 3 : 003 525 =→=− yyy

Untuk n = 4 : 004 636 =→=− yyy

Untuk n = 5 : 5205 747 xyyy =→=−

Untuk n = 6 : 006 858 =→=− yyy

Untuk n = 7 : 007 969 =→=− yyy

Untuk n = 8 : 85208 10710 xxyyy =→=−

dan seterusnya. Ini berarti 0... 23398653 ======== +nn yyyyyyy dan

( )13...852...,,52,2 1374 −=== + nxxxxyxyy n .

Jadi solusi persamaan diferensial Airy adalah :

( ) ( )n

n

n ttny

ty 00 !

−= ∑∞

=

( )( ) ...

!1313..52

...!7

10!4

2 1374

++

−++++=+

ntnxxxttt

n


86

4. Kekonvergenan Solusi Deret PD Linier Homogen Orde Dua Dengan Koefisien Variabel

Tinjau persamaan diferensial linier homogen orde 2 dengan koefisien variabel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0''' =++ tytctytbty

Misalkan ( )ty solusi persamaan diferensial di atas yang diekspansikan dalam deret

pangkat disekitar 00 =t sebagai berikut : ( ) n

n

n tny

ty ∑∞

=

=0 !

Tanpa mengurangi perumuman, misalkan ( ) n

n

n tnb

tb ∑∞

=

=0 !

dan ( ) n

n

n tnc

tc ∑∞

=

=0 !

konvergen untuk 1<t . Masalahnya bagaimana menunjukkan solusi deret pangkat

konvergen untuk 1<t .

Karena deret – deret untuk ( )tb dan ( )tc konvergen, maka koefisien-koefisiennya

terbatas. Jadi : ,...2,1,0;!

;!

=≤≤ nCnc

Bnb nn

untuk suatu B dan C konstanta positif.

Tinjau fungsi-fungsi berikut : ∑∞

=

=− 01 n

nBtt

Bdan

( )( )∑

∞

=

+=− 0

2 11 n

ntnCt

C untuk 1<t

Definisikan : !nBbn = dan ( )!1+= nCcn , maka diperoleh :

1. nn bnBb =≤ !

2. ( ) nn cnCnCc =+<≤ !1!

3. ∑∞

=

=− 0 !1 n

nn tnb

tB

4. ( ) ( ) ( ) ∑∑

∞

=

∞

=

=++

=− 00

2 !1

!11 n

nn

n

nn tnc

tnn

ct

C

Tinjau persamaan diferensial Cauchy-Euler :

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 1'

02''' 0,0;0

11yYyYtY

tCtY

tBtY ===

−−

−−

Solusi yang dicari berbentuk : ( ) ( ) rttY −−= 1 , 1<t .

Perhatikan bahwa : ( ) ( ) 1' 1 −−−= rtrtY dan ( ) ( )( ) 2'' 11 −−−+= rtrrtY .

Jika ( ) ( ) ( )tYtYtY ''' ,, disubstitusikan ke persamaan diferensial Cauchy Euler di atas,

maka diperoleh : ( )( ) ( )( )

( ) 011

11

112

12 =−−

−−−

−−+ −−−−− rrr tt

Ctrt

Btrr

( ) ( )( ) 011 2 =−−+− −− CBrrrt r


87

Karena 1<t maka ( ) 01 2 ≠− −− rt , sehingga didapat : 0)1(2 =−−− CrBr . Akar

akarnya adalah : ( ) CBB

r 412

1

2

1 22,1 +−±

−= . Karena 21 rr ≠ maka solusi

umumnya : ( ) ( ) ( ) 21 11 21rr tttY −− −+−= αα , dengan 21,αα konstanta sebarang.

Dengan menggunakan syarat awal : ( ) ( ) 1'

0 0,0 yYyY == , kita dapat mencari 21,αα ,

sehingga diperoleh solusi ( )tY .

Tulislah : ( ) ∑∞

=

=0 !n

nn tny

tY dengan ( ) ( )0nn Yy = .

Dengan menggunakan (3.3), mengingat koefisien ''Y adalah 1, maka didapat :

( ) 1;00

12 ≥=+

− ∑

=−−++ nycyb

kn

yn

kknkknkn .

Perhatikan bahwa : jika ,0,0 10 ≥≥ yy maka nyn ∀≥ ,0 , karena 0>kb dan

kck ∀> 0

Akan ditunjukkan bahwa nyy nn ∀≤ , .

Ambil 1100 , yyyy == .

Maka 00102 ycyby −−= dan 20010001000102 yycybycybycyby =+≤+≤+=

Dengan menggunakan (3.3) dan mengingat ( ) 1=ta , maka :

Jadi nyy nn ∀≤ , .

Menurut uji banding ([3,4]), ( ) n

n

n tny

ty ∑∞

=

=0 !

konvergen untuk 1<t

5. Kekonvergenan Solusi Deret PD Linier Tak Homogen Orde Dua Dengan Koefisien Variabel

Tinjau persamaan diferensial linier tak homogen orde 2 dengan koefisien variabel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(''' tftytctytbty =++ (5.1)

Misalkan ( )ty solusi persamaan diferensial di atas yang diekspansikan dalam deret

pangkat disekitar 00 =t sebagai berikut :

( ) n

n

n tny

ty ∑∞

=

=0 !

( ) ( ) 2100

12 +−−+==

−−++ =+

≤+

= ∑∑ nknkknk

n

k

n

kknkknkn yycyb

kn

ycybkn

y


88

Tanpa mengurangi perumuman, misalkan ( ) n

n

n tnb

tb ∑∞

=

=0 !

, ( ) n

n

n tnc

tc ∑∞

=

=0 !

,

( ) n

n

n tnf

tf ∑∞

=

=0 !

masing-masing konvergen untuk 1<t . Masalahnya bagaimana

menunjukkan solusi deret pangkat diatas konvergen untuk 1<t .

Karena deret – deret untuk ( )tb , ( )tc , dan ( )tf konvergen, maka koefisien-koefisiennya terbatas. Jadi :

,...2,1,0,!

;!

;!

=≤≤≤ nFnf

Cnc

Bnb nnn

(5.2)

untuk suatu B , C , dan F konstanta – konstanta positif.

Ambil B , C , dan F , sehingga ( ) ( )

2

411 2 FCBBr

++−+−= merupakan

bilangan bulat positif. Hal ini dimungkinkan kerena B, C, dan F dapat diperbesar sehingga ketaksamaan (5.2) berlaku. Maka r salah satu akar dari persamaan :

0)()1( =+−−+ FCBrrr . Misalkan : ( ) ( ) rttY −−= 1 ; 1<t .

Perhatikan : ( ) ( ) 1' 1 −−−= rtrtY dan ( ) ( )( ) 2'' 11 −−−+= rtrrtY . Maka :

( ) ( )( )

( )

( )( )

2

2

212

2'''

)1(

)1()1(

)1(1

)1(1

)1)(1(

11

+

−−

−−−−−

−=

−−+−=

−−

−−−

−−+=

−−

−−

r

r

rrr

tF

CBrrrt

tt

Ctr

tB

trr

tYt

CtYt

BtY

Jadi )(tY memenuhi persamaan : ( ) ( )( )

( ) 22'''

)1(11 +−=

−−

−− rt

FtY

tC

tYt

BtY

Tulislah : ∑∞

=

=− 01 n

nBtt

B

( )( )∑

∞

=

+=− 0

2 11 n

ntnCt

C

( )( )∑

∞

=+

++=− 0

2 !1

1 n

nr t

nrnF

tF

Definisikan : !nBbn = , ( )!1+= nCcn , dan ( )!1++= rnFf n Maka diperoleh :

1. nn bnBb =≤ !

2. ( ) nn cnCnCc =+<≤ !1!

3. ( ) nn frnFnFf =++<≤ !1!


89

4. ∑∞

=

=− 0 !1 n

nn tnb

tB

5. ( ) ( ) ( ) ∑∑

∞

=

∞

=

=++

=− 00

2 !1

!11 n

nn

n

nn tnc

tnn

ct

C

6. ( ) ∑∑

∞

=

∞

=+

=++=− 00

2 !!)!1(

1 n

nn

n

nr

tnf

tnrnF

tF

Tulislah : ( ) ∑∞

=

=0 !n

nn tny

tY , dengan ( ) )0(nn Yy = .

Akan ditunjukkan bahwa nn yy ≤ , n∀ .

Ambil 1100 , yyyy == , maka 001002 ycybfy −−= dan

20010000100001002 yycybfycybfycybfy =++≤++≤++≤

Dengan menggunakan (3.3) dan mengingat ( ) 1=ta ,, maka :

( ) nknkknk

n

kn fycyb

kn

y =+

+ −−+

=+ ∑ 1

02

Jadi nyy nn ∀≤ , .

Menurut uji banding ([3,4]), ( ) n

n

n tny

ty ∑∞

=

=0 !

konvergen untuk 1<t .

6. K esimpulan Berdasarkan pembahasan sebelumnya dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : 1. Untuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan koefisien variabel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0''' =++ tytctytbty , konvergensi solusi deret disekitar 0=t dibandingkan dengan solusi deret persamaan diferensial Cauchy-Euler :

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) 1'

02''' 0,0;0

11yYyYtY

tCtY

tBtY ===

−−

−−

dimana solusi berbentuk : ( ) ( ) rttY −−= 1 , 1<t .

2. Untuk persamaan diferensial linier tak homogen orde 2 dengan koefisien variabel :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(''' tftytctytbty =++ , konvergensi solusi deret disekitar 0=t dibandingkan dengan solusi deret persamaan diferensial Cauchy-Euler :

( )

( ) 210

012

+−−+=

=−−++

=+

+≤

+

+≤

∑

∑

nknkknk

n

kn

n

kknkknknn

yycybkn

f

ycybkn

fy


90

( ) ( )( )

( )22

'''

)1(11 +−=

−−

−−

rtFtY

tCtY

tBtY

dengan r memenuhi persamaan : 0)()1( =+−−+ FCBrrr dan ( ) ( ) rttY −−= 1 ,

1<t .

7. Daftar Pustaka [1] Wiliam E. Boyce and Richard

DiPrima, “Elementary Differential Equation”, Seventh edition, John Wiley & Sons,Inc. , 2001.

[2] Carl B.Boyer and Uta C. Merzbach , “A History of Mathematics”, Second edition, John Wiley & Sons,Inc. , 1989.

[3] Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert, “Introduction to Real

Analysis”, Second edition, John Wiley & Sons,Inc. , 1994.

[4] Goldberg, Richard R., “Methods of Real Analysis”, Second edition, John Wiley & Sons,Inc. , 1976.

[5] Michael Mezzino & Mark Pinsky, ”Leibniz’s Formula, Cauchy Majorants, and Linear Differential Equations “ , Mathematics Magazine , Vol 71. No. 5, Desember 1994.

Documents

Konvergensi Solusi Deret