KONSEP DASAR METODE SAMPLING - · PDF fileNilai karakteristik yang dihitung (diestimasi) dapat berupa rata-rata, total, rasio, proporsi, persentase, ... seperti blok sensus, RT/RW,

LOGO

PERTEMUAN 1

Sensus vs Survei

Alasan Penggunaan Sampling

Konsep-konsep dalam Sampling

Kerangka sampel

Keuntungan dan kelemahan Sampling

Probability dan Nonprobability Sampling

Oleh: Adhi Kurniawan

LOGO

Tidak menggunakan kaidah peluang

dalam pemilihan sampel

Hasil surveinya tidak dapat digunakan

untuk melakukan pendugaan

(estimasi) terhadap karakteristik

populasi

Menggunakan kaidah peluang

(probability) dalam pemilihan sampel

Hasil surveinya dapat digunakan

untuk melakukan pendugaan

(estimasi) terhadap karakteristik

populasi

Mengumpulkan data dari sebagian

elemen populasi

Mengumpulkan data dari seluruh elemen

dalam populasi

Metode Pegumpulan Data

Probability sampling

Nonprobability Sampling

Pengumpulan data

Sensus Survei

(sampling)

Catatan administrasi (registrasi)

LOGO

Sensus

Pengumpulan data untuk mendapatkan informasi dari semua elemen dalam populasi

Undang-undang No.16 Tahun 1997, tentang Statistik:

Sensus Penduduk (tahun berakhiran-0)

Sensus Pertanian (tahun berakhiran-3)

Sensus Ekonomi (tahun berakhiran-6)

Dalam sensus biasanya dikumpulkan data dasar / pokok

Karakteristik yang dicakup terbatas

Penyajian sampai wilayah satuan unit kecil seperti kecamatan, desa bahkan kecil lagi

MPC1

LOGO

Keuntungan dan Kelemahan Sensus

Keuntungan

1. Dapat menyajikan data wilayah kecil

2. Dapat dijadikan kerangka sampel (frame)

Kelemahan

1. Cakupan variabel terbatas

2. Waktu lama

3. Biaya besar

4. Ketelitian kurang

MPC1

LOGO

Mengapa Sampling?

1. Sumber daya terbatas

2. Waktu yang tersedia terbatas

3. Pengamatan kadang bersifat merusak

4. Mustahil mengamati seluruh anggota populasi

bagaimana caranya dengan mengambil dan menggunakan data sampel kita dapat mengambil

kesimpulan terhadap populasi?

INI YANG KITA PELAJARI PADA MATA KULIAH INI MPC1

LOGO

Prinsip-Prinsip Sampling Theory

1. Prinsip validitas

Design sampling harus menjamin adanya estimasi yang valid dari parameter-parameter populasi.

2. Prinsip “Statistical Regularity”

Jumlah sampel yang diambil secara random dari populasi secara rata-rata akan mempunyai karakteristik yang sama/menyerupai karakteristik populasi.

3. Prinsip optimisasi.

Desain sampling (metode penarikan sampel dan estimasi):

a. Dengan tingkat ketelitian tertentu, diperlukan sumber daya yang minimum, atau

b. Dengan biaya tertentu, memberikan ketelitian yang optimum

MPC1

LOGO

Ilustrasi Populasi dan Sampel

MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi Populasi

Populasi merupakan agregasi dari seluruh elemen yang perlu ditentukan berikut isi, unit, cakupan, dan waktu.

Contoh populasi: semua penduduk yang bertempat tinggal dalam rumahtangga biasa di Kecamatan Polobangkang Selatan, Kabupaten Takalar, pada bulan September tahun 2012

Populasi dibedakan menjadi finite populaton dan infinite population, tergantung dari jumlah unitnya terbatas atau tidak terbatas

Continous population: populasi yang terdiri dari zat/benda (mass of matter) yang tidak bisa diidentifikasi/dibedakan dengan mudah dan unit atau kumpulan unitnya terbentuk secara alami. Contoh: Populasi air di danau.

Dalam praktiknya, kita akan memfokuskan hanya pada finite population saja

MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi

Populasi Target

Target populasi merupakan sub populasi dari elemen yang ada pada populasi yang berbagai indikatornya akan dicari, seperti penduduk usia 7-12 tahun.

Karakteristik

Ciri, sifat atau hal-hal yang dimiliki elemen, seperti penghasilan, pengeluaran, biaya, jumlah anggota rumahtangga.

Nilai karakteristik yang dihitung (diestimasi) dapat berupa rata-rata, total, rasio, proporsi, persentase, dan sebagainya

MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi Elemen (elementary unit)

Elemen adalah unit yang digunakan untuk mendapatkan informasi, misalnya individu, rumah tangga, perusahaan, dsb.

Unit observasi

Unit observasi adalah unit dimana informasinya diperoleh baik secara langsung maupun melalui responden tertentu.

Elemen sangat erat kaitannya dengan unit observasi.

Elemen bisa sama dengan unit observasi, sebagai contoh rumahtangga adalah selain sebagai elemen juga dapat sebagai unit observasi, misal pengumpulan data keadaan tempat tinggal.

Unit observasi bisa individu dari elemen yang mewakili sekumpulan elemen, misalnya kepala rumah tangga yang memberikan informasi mengenai anggota rumah tangganya.

MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi

Unit sampling (sampling unit)

Unit sampling adalah unit yang dijadikan dasar penarikan sampel baik berupa elemen maupun kumpulan elemen (klaster).

Contoh:

1. Unit sampling elemen: rumah tangga

2. Unit sampling klaster: kumpulan rumahtangga pada wilayah tertentu seperti blok sensus, RT/RW, bahkan desa.

Selain rumahtangga, cukup banyak unit yang bisa dijadikan unit sampling sesuai dengan tujuan survei seperti sekolah, kelas, perusahaan, dsb.

Unit analisis

Unit yang digunakan pada tahap tabulasi data, bisa berupa elemen atau kumpulan elemen.

Unit analisis tidak selalu sama dengan unit observasi

Misal: unit observasi adalah rumah tangga (atau lebih spesifik kepala rumah tangga). Unit analisisnya bisa rumah tangga itu sendiri atau anggota rumah tangga

MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi Kerangka Sampel

Kerangka sampel adalah daftar semua unit yang akan dijadikan sampling unit (sebagai dasar penarikan sampel) dan harus memenuhi persyaratan kerangka sampel yang dibentuk dari master file.

Survey period: the time period during which the required data are collected.

Reference period: the time period to which the data information should refer. It depends on the objective of the survey

MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi

Prasyarat yang harus diperhatikan:

Desain probability sampling baru dapat diaplikasikan bila tersedia kerangka sampel sesuai metode sampling yang ditetapkan.

Metode sampling yang dipilih harus dapat diaplikasikan di lapangan ditinjau dari segi unit sampling dan biaya.

Metode yang telah ditentukan harus benar-benar diikuti dan tidak boleh diubah.

MPC1

LOGO

Contoh Kasus 1:

Populasi:

semua mahasiswa STIS tahun 2012

Populasi target:

semua mahasiswa STIS tahun 2012

Kerangka sampel:

daftar mahasiswa STIS tahun 2012

Unit sampling:

mahasiswa STIS

Unit observasi:

mahasiswa STIS

Karakteristik yang diteliti:

pengeluaran sebulan

Nilai karakteristik yang diestimasi:

rata-rata

Unit analisis:

mahasiswa STIS

MPC1

Suatu survei dilakukan dengan tujuan untuk mengetahui rata-rata pengeluaran sebulan mahasiswa STIS tahun 2012. Definisikan apa yang menjadi populasi, populasi target, kerangka sampel, unit sampling, unit observasi, karakteristik yang diteliti, nilai karakteristik yang diestimasi, dan unit analisnya!

LOGO MPC1

Contoh Kasus 2: Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan total biaya produksi

dari rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012.

Populasi: semua rumah tangga di Desa Kayuwangi Mei 2012

Populasi target: semua rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura Mei 2012

Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012

Unit sampling: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura

Unit observasi: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura (kepala rumah tangga)

Karakteristik yang diteliti: biaya produksi

Nilai karakteristik yang diestimasi: total

Unit analisis: rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura

LOGO MPC1

Contoh Kasus 3:

Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan rasio murid-guru Sekolah Dasar di Provinsi DIY bulan September 2012.

Populasi: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012

Populasi target: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012

Kerangka sampel: Daftar Sekolah Dasar di Provinsi DIY September 2012

Unit sampling: Sekolah Dasar

Unit observasi: Sekolah Dasar

Karakteristik yang diteliti: jumlah murid, jumlah guru

Nilai karakteristik yang diestimasi: rasio

Unit analisis: murid, guru

LOGO MPC1

Contoh Kasus 4: Suatu survei bertujuan di Kelurahan Rawajati Mei 2012 bertujuan

untuk:

1. Memperkirakan proporsi balita dengan gizi buruk.

2. Memperkirakan rata-rata pengeluaran rumah tangga yang mempunyai balita dengan status gizi buruk

Populasi: semua rumah tangga di Kelurahan Rawajati Mei 2012

Populasi target: semua rumah tangga yang mempunyai balita di Kelurahan Rawajati Mei 2012

Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mempunyai balita di Kelurahan Rawajati Mei 2012

Unit sampling: rumah tangga yang mempunyai balita

Unit observasi: rumah tangga yang mempunyai balita

Karakteristik yang diteliti

Nilai karakteristik yang diestimasi

Unit analisis

1. Gizi buruk Proporsi Balita

2. Pengeluaran Rata-rata Rumah tangga yang memiliki balita dengan status gizi buruk

LOGO

Kerangka Sampel

Kerangka sampel harus memenuhi persyaratan:

1. Tersedia sampai dengan unit sampling

2. Batas jelas

3. Tidak tumpang tindih atau terlewat

4. Ada korelasi dengan data yang diteliti

5. Mutakhir

Persyaratan tsb diperlukan agar tidak terjadi:

1. Unit sampling yang tidak dijumpai

2. Unit sampling yang duplikasi

3. Unit sampling yang terpecah

4. Unit sampling yang tergabung

5. Unit sampling baru yang belum tercakup

MPC1

LOGO

Kerangka Sampel

Dalam bentuk daftar sampling unit/list frame (seperti daftar rumah tangga, daftar perusahaan industri besar/sedang, diretori perusahaan pertanian dsb)

Dalam bentuk peta/area frame/map frame (peta blok sensus, peta desa,dsb) menunjukkan batas geografis dari sampling unit atau kumpulan sampling unit.

Bentuk Kerangka Sampel

Konsep dan Definisi Blok Sensus:

Blok sensus biasa (B) adalah blok sensus yang sebagian besar muatannya antara 80

sampai 120 rumahtangga atau bangunan tempat tinggal atau bangunan bukan tempat

tinggal atau gabungan keduanya.

Blok sensus khusus (K) adalah blok sensus yang tertutup untuk umum. Tempat-tempat

yang biasa dijadikan blok sensus khusus antara lain asrama/barak militer, asrama

perawat, panti asuhan dengan 100 penghuni atau lebih dan lembaga pemasyarakatan

(tidak ada batasan jumlah penghuni).

Blok sensus persiapan (P) adalah blok sensus yang kosong seperti sawah, kebun,

tegal, rawa, hutan, daerah yang dikosongkan (digusur) atau bekas permukiman yang

terbakar atau daerah kosong yang dipersiapkan untuk pemukiman.

LOGO

Keuntungan Survei Sampel

1. Menghemat biaya

2. Mempercepat penyajian hasil survei

3. Cakupan materi lebih luas

4. Akurasi data lebih tinggi

MPC1

LOGO

Kelemahan Survei Sampel

Penyajian sampai wilayah kecil (seperti kecamatan atau desa) dengan sampel yang terbatas tidak akan dapat dipenuhi

Penyajian variabel langka/jarang terjadi/proporsi kecil tidak dapat dipenuhi

Bila diperlukan trend data untuk mengukur perubahan yang sangat kecil, survei sampel dari satu periode ke periode berikutnya kemungkinan tidak dapat digunakan, kecuali bila digunakan panel (sampel sama untuk beberapa periode)

Apabila tidak tersedia kerangka sampel maka probability sampling tidak akan bisa diterapkan.

MPC1

LOGO

Probability Sampling

Metode pemilihan sampelnya berdasarkan teori peluang

Setiap unit dari populasi memiliki peluang untuk terpilih sebagai sampel (besarnya peluang tidak boleh sama dengan nol)

Besarnya peluang dapat sama (equal probability) atau tidak sama (unequal probability) tergantung dari metode sampling yang digunakan

Untuk keperluan penarikan sampel diperlukan kerangka sampel

Oleh karena setiap unit dalam populasi mempunyai peluang untuk terpilih dalam sampel dan besarnya juga telah diperhitungkan, maka dimungkinkan untuk menghasilkan estimasi parameter dari populasi seperti total, rata-rata, proporsi, dan sebagainya.

MPC1

LOGO

Probability Sampling harus memenuhi 4 kriteria

1. Kita bisa mendefinisikan “the set of distinct samples” yang bisa dipilih

2. Setiap sampel mempunyai probability untuk dipilih, dan

besarnya probability diketahui 3. Terpilihnya sampel dengan proses automatic randomization,

konsisten dengan probability-nya 4. Metode untuk menghitung estimasinya harus

menggunakan sampling weight dan menghasilkan nilai estimasi yang unik.


MPC1

LOGO



Sampling Elemen

Simple Random Sampling (SRS)

Systematic sampling

PPS Sampling

Stratified Sampling

Sampling Klaster

Single Stage Cluster Sampling

Multistage Sampling

Dipelajari

di MPC 1

Dipelajari

di MPC 2

MPC1

LOGO


Sampel dipilih dengan sebuah metode non-random

Dalam memilih sampel sangat tergantung pada kebijaksanaan atau pertimbangan dari peneliti

Dapat digunakan tanpa menggunakan kerangka sampel

Kelemahan:

1. Tidak dapat melakukan generalisasi populasi berdasarkan data sampel

2. Tidak mungkin untuk mengukur tingkat ketelitian (presisi) data dari sampelnya

3. Kesalahan frame atau nonrespon tidak dapat dikenali

MPC1

LOGO


Convenience sampling

Prosedur untuk mendapatkan unit sampel menurut keinginan peneliti dengan menggunakan sampel yang paling sederhana dan ekonomis

Tidak memerlukan daftar populasi yang panjang

Seringkali menghasilkan output penelitian dengan tingkat objektivitas yang rendah

Variabilitas dan bias tidak dapat diukur atau dikontrol

MPC1

LOGO

Nonprobability Sampling Judgement (purposive) sampling

Peneliti memilih sampel berdasarkan penilaian terhadap beberapa karakteristik anggota sampel yang disesuaikan dengan tujuan penelitian

Peneliti ahli memilih sampel untuk memenuhi tujuannya, seperti meyakinkan bahwa semua populasi mempunyai karakteristik tertentu

Biasanya dilakuakn bila unit yang dipilih sedikit, misalnya melakukan studi kasus di daerah kecil

Biaya moderat, namun hasilnya bias karena sampel tidak representatif

MPC1

LOGO


Contoh Judgement (Purposive) Sampling:

Sebuah penelitian mengenai pengaruh pengumuman merger dan akuisisi terhadap return saham perusahaan target di Bursa Efek Jakarta. Sampel penelitiannya adalah semua perusahaan yang dijadikan target merger dan akuisisi pada tahun 1991-1997, dengan alasan pada akhir 1997 Indonesia dilanda krisis ekonomi yang mengakibatkan kesulitan likuiditas. Dari kriteria tsb, diperoleh 36 perusahaan yang dijadikan sampel penelitian.

MPC1

LOGO

Nonprobability Sampling Quota sampling

Peneliti mengklasifikasikan populasi menurut kriteria tertentu (partinent properties), menentukan proporsi sampel yang dikehendaki untuk tiap kelas, menetapkan kuota untuk setiap pewawancara

Tidak memerlukan daftar populasi lagi

Memberikan hasil klasifikasi yang bias

Penyimpangan hasil populasi tidak dapat diperkirakan karena penggunaan seleksi yang non-random

MPC1

LOGO


Haphazard sampling

Peneliti memilih sampel tanpa prosedur khusus atau tanpa mengontrol dalam pemilihan sampel

Misal: menanyakan sukarelawan untuk berpartisipasi dalam pendidikan

Cara ini mudah, murah, dan berguna hanya untuk bentuk yang kesannya umum atau secara garis besar saja

Hasilnya bias dan tidak dapat menduga nilai populasi

MPC1

LOGO

Nonprobability Sampling Snowball sampling

Peneliti memilih sampel di mana responden awal (pertama) dipilih dengan metode probabilitas, kemudian responden selanjutnya diperoleh dari informasi yang diberikan oleh responden yang pertama

Keuntungan: memungkinkan ditekannya ukuran sampel dan biaya, bermanfaat untuk pengalokasian anggota populasi yang jumlahnya sedikit

Kelemahan: hasilnya bias karena jumlah sampel tidak independen (orang yang direkomendasikan oleh responden terdahulu untuk diwawancarai memiliki kemungkinan kemiripan)

MPC1

LOGO


Identifikasi Responden Snowball

MPC1

LOGO

PERTEMUAN 2

Sampling Error dan Nonsampling Error

Parameter dan Statistik

All Possible Sample

Expected Value dan Bias

Mean Square Error

Distribusi sampling


LOGO

Error

Sampling error Kesalahan karena

faktor sampling

Non-sampling error Kesalahan bukan

karena faktor sampling

Kesalahan (Error) dalam Pengumpulan Data

Setiap pengukuran tidak akan terlepas dari kemungkinan adanya kesalahan (error)

Kesalahan dalam pengumpulan data ada 2, yaitu sampling error dan nonsampling error

MPC1

LOGO

Total Error

A B

C

Besar kesalahan (error)

Sampling error

Non sampling error

Ukuran sampel (n) A, B, dan C menunjukkan total error/kesalahan

MPC1

LOGO

Sampling Error

Kesalahan (error) timbul berkenaan dengan penarikan kesimpulan tentang populasi berdasarkan observasi terhadap sebagian unit populasi (sampel)

Error ini tidak akan muncul pada pencacahan lengkap/complete enumeration/sensus

Sampel dengan sampling error terkecil selalu dipertimbangkan sebagai representasi yang baik dari populasi

Nilai sampling error akan menurun dengan peningkatan ukuran sampel (sample size)

Penurunan nilai sampling error akan berbanding terbalik terhadap akar kuadrat dari sample size

MPC1

LOGO

Cara Mengurangi Sampling Error

Memperbesar ukuran sampel (sample size) Tetapi cara ini bisa meningkatkan nonsampling error

Sampling design yang tepat Misalnya tanpa menambah jumlah sampel, sampling error bisa ditekan dengan menggunakan stratified random sampling

MPC1

LOGO

Nonsampling Error

Kesalahan (error) yang timbul terutama pada tahap pengumpulan dan pengolahan data.

Error ini muncul di dalam pencacahan lengkap (sensus) dan survei sampel

Error ini akan meningkat seiring dengan peningkatan ukuran sampel

Error ini akan lebih besar pada pencacahan lengkap (sensus) daripada survei

MPC1

LOGO

Nonsampling Error

1. Conceptual Error

a. Error dalam penggunaan konsep, definisi , dan klasifikasi.

b. Error dalam perencanaan (kuesioner desain, frame, pelatihan petugas, instruksi dalam manual)

2. Error karena penggantian sampel

a. Kesalahan identifikasi unit sampling

b. Unit sampling tidak ditemukan

c. Unit sampling sulit dijangkau (bencana alam, faktor keamanan, faktor alam, dsb)

MPC1

LOGO

Nonsampling Error

4. Kesalahan Petugas

a. Tidak dipahaminya konsep dan definisi

b. Under/over coverage

c. Petugas kurang gigih menggali informasi responden

Dishonest

Interviewer

Daripada capek cari responden,

aku berburu saja. Nanti

kuesioner aku isi sendiri

MPC1

LOGO

Nonsampling Error

5. Error karena responden

a. Kurangnya penjelasan petugas kepada responden tentang tujuan/maksud dari survei dan maksud dari item-item pertanyaan

b. Responden tidak bisa menjawab atau menolak

c. Responden terlalu reaktif dan menghubungkan dengan hal-hal lain yang tak terkait dengan survei

Non-Response

Pergi!!! saya tidak mau diganggu

MPC1

LOGO

Nonsampling Error

6. Error Pengolahan Data

a. Error Receiving dan batching

b. Error Editing dan coding

c. Error Entry data

d. Error Validasi data

e. Error Cross-check table

MPC1

LOGO

Cara Mengurangi Nonsampling Error

Callback

Rewards and incentive

Trained interviewers

Data check (monitoring)

Questionnaire construction

MPC1

LOGO

Parameter vs Statistik

data populasi parameter pengolahan/analisis

data sampel statistik pengolahan/analisis

Statistik merupakan nilai yg dihitung dari hasil survei sample mengenai karakteristik, biasanya untuk tujuan membuat estimasi populasi.

Jika digunakan untuk membuat estimasi nilai karakteristik populasi akan disebut sebagai penduga (estimator).

MPC1

Parameter : sebuah fungsi nilai frekuensi dari seluruh N unit (populasi) Contoh: Total: 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑁 = 𝑌𝑖 = 𝑌𝑁

𝑖=1

Rata-rata: total dibagi jumlah unit, 𝑌 =1

𝑁 𝑌𝑖 =

𝑌

𝑁𝑁𝑖=1

LOGO

Estimator vs Estimate

Estimator is a statistics obtained by specified procedure for estimating a population parameter.

The estimator is a random variable as its value differs from sample to sample and the samples are selected with specified probability.

The particular value, which the estimator takes for a given sample, is known as an estimate

MPC1

LOGO

Notasi

Pada metode sampling telah disepakati adanya notasi dengan “huruf besar” menyatakan data populasi dan “huruf kecil”

menyatakan nilai sampel

No Rincian Populasi Sampel

1 Nilai karakteristik unit ke-i 𝑌𝑖 𝑦𝑖

2 Rata-rata nilai karakteristik 𝑌 𝑦 = 𝑌

3 Total nilai karakteristik 𝑌 𝑌

4 Banyaknya unit sampling 𝑁 𝑛

5 Varians 𝑆2 𝑠2

6 Proporsi 𝑃 𝑝 = 𝑃

7 Rasio 𝑅 𝑟 = 𝑅

MPC1

LOGO

Varians dan Varians Sampling

Varians (𝑠2) menunjukkan bagaimana tingkat homegenitas/heterogenitas nilai karakteristik unit dalam populasi.

Akar dari varians (𝑠2) disebut standar deviasi.

Varians sampling 𝑣(𝜃 ) , varians ini berbeda dengan varians yang dinyatakan dengan 𝑠2. Varians sampling menunjukkan tingkat keragaman dari nilai-nilai estimasi

Akar dari varians sampling disebut standard error atau sampling error 𝑠𝑒(𝜃 ).

Standar error dibagi nilai estimasi karakteristik disebut relative standar error (rse), biasanya dinyatakan dalam persen.

MPC1

LOGO

All Possible Samples

Misalkan, kita ingin memilih sebanyak 𝑛 sampel dari populasi sebanyak 𝑁 unit .

Dalam pemilihan sampel, terdapat 2 cara yaitu dengan pengembalian (with replacement/wr) dan tanpa pengembalian (without replacement/wor).

All posible sample:

With replacement (wr)--- > terdapat 𝑁𝑛 possible sample

Without replacement (wor)--- > terdapat 𝑁𝑛

=𝑁!

𝑛! 𝑁−𝑛 !

possible sample

MPC1

LOGO

All Posible Sample

Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.

Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu:

Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement

(wor) akan terdapat 32

=3!

2!(3−2)!= 3 kemungkinan

sampel yaitu:

1. AA 2. AB 3. AC

4. BA 5. BB 6. BC

7. CA 8. CB 9. CC

1. AB 2. AC

3. BC

MPC1

LOGO

Expected Value dan Bias

Misalkan, peluang terpilihnya gugus sampel ke-i adalah 𝑃𝑖 dan 𝜃 𝑖 adalah estimasi dari gugus sampel ke-i, yang merupakan penduga 𝜃 dari parameter 𝜃 (i=1,2,…,M), M adalah total dari gugus sampel yang mungkin.

Nilai harapan (expected value) atau rata-rata dari penduga 𝜃 adalah

𝐸 𝜃 = 𝑃𝑖𝜃 𝑖

𝑀

𝑖=1

Jika peluang terpilihnya tiap gugus sampel sama 𝑃𝑖 =1

𝑀,

maka

𝐸 𝜃 =1

𝑀 𝜃 𝑖

𝑀

𝑖=1

MPC1

LOGO

Expected Value, Bias, dan Consistent Estimator

Penduga 𝜃 dikatakan unbiased estimator (penduga yang tidak bias) dari parameter 𝜃 jika expected value-nya sama dengan 𝜃.

𝐸 𝜃 = 𝜃

Jika 𝐸 𝜃 ≠ 𝜃 , maka penduga 𝜃 dikatakan biased

estimator (penduga yang bias) dari 𝜃.

Bias dari 𝜃 adalah

𝐵 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃

Penduga 𝜃 dikatakan consistent estimator dari

parameter 𝜃 jika nilai 𝜃 akan mendekati 𝜃 seiring dengan peningkatan jumlah sampel

MPC1

LOGO

Suatu penduga (estimator) adalah random variabel yang juga memiliki sebaran tertentu. Sampel yang berbeda dari populasi yang

sama bisa memiliki nilai estimator yang berbeda.

Ilustrasi Gugus Sampel

populasi

ambil sampel

berukuran n

ambil sampel

berukuran n ambil sampel

berukuran n

ambil sampel

berukuran n

Gugus

Sampel

1

Gugus

Sampel

2

Gugus

Sampel

3

Gugus

Sampel

k

𝜃 1 𝜃 2 𝜃 3 𝜃 𝑘 MPC1

LOGO

Mean Square Error (MSE) Nilai estimasi berdasarkan pada observasi terhadap suatu

gugus sampel akan berbeda dengan nilai estimasi dari gugus sampel lainnya

Perbedaan antara estimasi 𝜃 𝑖 berdasarkan gugus sampel ke-i

dengan parameter 𝜃 disebut kesalahan estimasi 𝜃 𝑖 − 𝜃

Kesalahan estimasi bervariasi antara gugus sampel yang satu dengan gugus sampel yang lainnya.

Rata-rata ukuran perbedaan dari estimasi-estimasi yang berbeda dari nilai parameternya disebut Mean Square Error (MSE) yang dihitung berdasarkan nilai harapan (expected value) dari kuadrat kesalahan estimasi, yaitu

𝑀𝑆𝐸 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃2

= 𝑃𝑖

𝑀

𝑖=1

𝜃 𝑖 − 𝜃2

MSE mengukur keakuratan dari estimator

MPC1

LOGO

Varians Sampling

Varians sampling dihitung berdasarkan nilai harapan (expected value) dari deviasi nilai estimasi dengan nilai harapannya

𝑉 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝐸 𝜃 2

= 𝐸 𝜃 2 − 𝐸 𝜃 2

Varians sampling mengukur keragaman atau ketepatan dari penduga (estimator)

MPC1

LOGO

Hubungan Antara MSE dan Varians Sampling

MSE adalah jumlah dari varians sampling dan bias kuadrat, hal ini bisa dibuktikan:

𝑀𝑆𝐸 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃2

= 𝐸 𝜃 − 𝐸 𝜃 + 𝐸 𝜃 − 𝜃2

= 𝐸 𝜃 − 𝐸 𝜃 2

+ 𝐸 𝐸 𝜃 − 𝜃2

= 𝑉 𝜃 + 𝐵 𝜃 2

Untuk unbiased estimator, MSE sama dengan varians sampling

MPC1

LOGO

All Posible Sample

Berikut ini adalah data jumlah populasi siswa laki-laki dan perempuan di suatu kelas

No Kelas Laki-laki (X) Perempuan (Y)

1 A 5 2

2 B 10 5

3 C 15 3

4 D 5 2

5 E 10 4

MPC1

LOGO

All Possible Sample

MPC1

No Kelas (Xi) (Yi)

1 A 5 2

2 B 10 5

3 C 15 3

4 D 5 2

5 E 10 4

Total 𝑋 = 𝑋𝑖 = 45 𝑌 = 𝑌𝑖 = 16

Rata-rata 𝑋 =1

𝑁 𝑋𝑖 =

1

5× 45 = 9 𝑌 =

1

𝑁 𝑌𝑖 =

1

5× 16 = 3.2

Rasio 𝑅 =𝑋

𝑌 =

9

3.2= 2.8125

Nilai Parameter Populasi

LOGO

Jika dari 5 kelas tersebut, diambil 2 kelas sebagai

sampel secara wor, maka akan terdapat 52

=10

kemungkinan sampel.

MPC1

All Possible Sample

LOGO MPC1

All Possible Sample

No Sampel Laki-laki (x) Perempuan (y) Rasio

𝑹 𝒊 =𝒙 𝒊

𝒚 𝒊 𝑥𝑖1 𝑥𝑖2 𝑥 𝑖 𝑦𝑖1 𝑦𝑖2 𝑦 𝑖

1 A,B 5 10 7.5 2 5 3.5 2.1

2 A,C 5 15 10 2 3 2.5 4

3 A,D 5 5 5 2 2 2 2.5

4 A,E 5 10 7.5 2 4 3 2.5

5 B,C 10 15 12.5 5 3 4 3.1

6 B,D 10 5 7.5 5 2 3.5 2.1

7 B,E 10 10 10 5 4 4.5 2.2

8 C,D 15 5 10 3 2 2.5 4

9 C,E 15 10 12.5 3 4 3.5 3.6

10 D,E 5 10 7.5 2 4 3 2.5

Jumlah 90 32 28.7

Expected Value 9 3.2 2.87

LOGO

All Possible Sample

Expected value dari estimator vs parameter

𝐸 𝑥 =1

𝑀 𝑥 𝑖

𝑀𝑖=1 =

1

10× 90 = 9 , 𝑋 = 9 (unbiased)

𝐸 𝑦 =1

𝑀 𝑦 𝑖

𝑀𝑖=1 =

1

10× 32 = 3.2 , 𝑌 = 3.2 (unbiased)

𝐸 𝑅 =1

𝑀 𝑅 𝑖

𝑀𝑖=1 =

1

10× 28.7 = 2.87 , 𝑅 = 2.8125 (biased)

Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa estimator rata-rata adalah estimator yang unbiased, sedangkan estimator rasio adalah estimator yang biased.

Besarnya bias untuk estimator rasio adalah

B 𝑅 = 2.87 − 2.8125 = 0.0575

MPC1

LOGO

All Possible Sample

Jika diketahui populasi berukuran N=6 yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai variabel X berturut-turut adalah 6,2,8,4,2, dan 4. Sampel berukuran n=4 dipilih secara acak tanpa pengembalian (wor) dari populasi tsb.

a. Hitunglah nilai 𝐸 𝑥 , 𝐸 𝑋 dan 𝐸 𝑠2

b. Bandingkan hasil pada point (a) dengan nilai parameternya. Kesimpulan apa yang bisa diambil ?

MPC1

Petunjuk: Untuk gugus sampel ke-i: 𝑋 𝑖 = 𝑁𝑥 𝑖

𝑠𝑖2 =

1

𝑛−1 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥 𝑖

2𝑛𝑗=1 , j=1,2,…, n

LOGO

Koefisien Korelasi

Mengukur keeratan/kekuatan hubungan antara dua variabel

Korelasi bisa bernilai positif atau negatif

Semakin besar nilai koefisien korelasi menandakan bahwa hubungan dua variabel tersebut semakin kuat

Rumus:

𝜌 =𝑐𝑜𝑣 𝜃 1, 𝜃 2

𝑣 𝜃 1 × 𝑣 𝜃 2

=𝐸 𝜃 1 − 𝜃1 𝜃 2 − 𝜃2

𝐸 𝜃 1 − 𝜃12

× 𝐸 𝜃 2 − 𝜃22

MPC1

LOGO

Distribusi Sampling

Dari hasil estimasi yang didapat dari satu gugus sampel akan menghasilkan suatu estimasi titik (point estimate).

Sebenarnya setiap gugus sampel dari seluruh kemungkinan gugus sampel mempunyai nilai estimasi yang kemungkinan akan berbeda dengan nilai sebenarnya (true value).

Seluruh nilai point estimate dari setiap gugus sampel dapat diperkirakan dengan menggunakan estimasi selang (interval estimate) atau confidence interval (1-𝛼)%, dengan rumus:

𝜃 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝜃 < 𝜃 < 𝜃 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝜃

Interpretasi confidence interval (1-𝛼)%: jika kita melakukan pemilihan n sampel secara berulang sebayak 100 kali maka kita akan terdapat 100 selang kepercayaan dan harapannya sebanyak (1-𝛼) selang kepercayaan akan memuat nilai parameter, sedangkan sebanyak 𝛼 selang kepercayaan tidak memuat nilai parameter. MPC1

LOGO

Distribusi Sampling

𝐸(𝑦 )

-2se(𝑦 ) +se(𝑦 ) +2se(𝑦 ) -se(𝑦 )

𝑦 𝑌 𝑌 𝑡𝑟𝑢𝑒

SB NSB

TB

Total Error

Peluang

Keterangan: SE: sampling error SB: sampling bias NSB: nonsampling bias TB: total bias

MPC1

SE

LOGO

Akurasi, Efisiensi, dan Presisi

Akurasi diukur dari nilai total error, yaitu perbedaan antara nilai estimasi dengan nilai sebenarnya (true value). Semakin kecil nilai total error, suatu estimator dikatakan semakin akurat.

Efisiensi diukur dari besarnya mean square error (MSE). Semakin kecil nilai MSE, suatu estimator akan semakin efisien.

Presisi diukur dari besarnya varians sampling. Semakin kecil nilai varians sampling, suatu estimator akan semakin precise.

MPC1

LOGO

𝑅𝐸𝑐 𝜃 1|𝜃 2 =𝑀𝑆𝐸 𝜃 1 × 𝐶 𝜃 1

𝑀𝑆𝐸 𝜃 2 × 𝐶 𝜃 2

Estimator 𝜃 1 dikatakan lebih efisien daripada estimator 𝜃 2 jika 𝑀𝑆𝐸 𝜃 1 <

𝑀𝑆𝐸 𝜃 2 , besarnya Relative Efficiency (RE) dirumuskan:

𝑅𝐸𝑠 𝜃 1|𝜃 2 =𝑀𝑆𝐸 𝜃 1

𝑀𝑆𝐸 𝜃 2

Estimator 𝜃 1 dikatakan lebih precise daripada estimator 𝜃 2 jika V 𝜃 1 <

𝑉 𝜃 2

Relative Efficiency

Efficiency

Sampling efficiency

Cost efficiency

MPC1

LOGO

PERTEMUAN 3

Pengertian

Keuntungan dan Kelemahan

SRS WR dan SRS WOR

All Possible Sample

Estimasi Rata-rata, Total

Estimasi Varians


LOGO

Pengertian

Simple Random Sampling/SRS (Penarikan Sampel Acak Sederhana/PSAS) adalah suatu metode memilih sampel dengan peluang setiap unit populasi untuk terpilih di dalam sampel adalah sama.

Keuntungan: cara pengambilan sampel dan teknik estimasi parameternya sederhana

Kelemahan:

hanya cocok untuk populasi yang relatif homogen,

hanya cocok untuk cakupan survei yang tidak terlalu luas, karena membutuhkan kerangka sampel sampai elemen,

biaya tinggi untuk populasi yang besar

MPC1

LOGO

SRS WR dan SRS WOR

MPC1

Ada 2 tipe penarikan sampel secara SRS:

SRS WR

Setiap unit yang sudah terpilih sebagai sampel, dikembalikan lagi ke dalam populasi, sehingga terjadi kemungkinan terpilih kembali pada pengambilan sampel berikutnya

SRS WOR

Suatu unit hanya terpilih satu kali sebagai sampel, unit yang sudah terpilih tidak dikembalikan ke dalam populasi.

LOGO

All Possible Samples

Misalkan, kita ingin memilih sebanyak 𝑛 sampel dari populasi sebanyak 𝑁 unit .

All posible sample:

SRS with replacement (wr)--- > terdapat 𝑁𝑛 possible sample

SRS without replacement (wor)--- > terdapat 𝑁𝑛

=𝑁!

𝑛! 𝑁−𝑛 ! possible sample

MPC1

LOGO

All Posible Sample

Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.

Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu:

Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement

(wor) akan terdapat 32

=3!

2!(3−2)!= 3 kemungkinan

sampel yaitu:

1. AA 2. AB 3. AC

4. BA 5. BB 6. BC

7. CA 8. CB 9. CC

1. AB 2. AC

3. BC

MPC1

LOGO

Inclusion Probability 𝝅𝒊

MPC1

Ketika mengambil satu unit sebagai sampel, peluang unit ke-i

untuk terpilih sebagai sampel adalah 𝑝𝑖 =1

𝑁

Misalkan kita mengambil sampel sebanyak n kali, maka peluang unit ke-i untuk terpilih dalam sampel (inclusion probability) adalah penjumlahan dari peluang terpilihnya unit tersebut pada pengambilan yang pertama, kedua, ketiga, dst sampai dengan pengambilan ke-n.

Pada SRS WR

𝜋𝑖 =1

𝑁+

1

𝑁+ ⋯ +

1

𝑁=

1

𝑁=

𝑛

𝑁

𝑛

𝑖=1

Pada SRS WOR

𝜋𝑖 =1

𝑁+

𝑁 − 1

𝑁∙

1

𝑁 − 1+ ⋯ +

𝑁 − 𝑛

𝑁∙

1

𝑁 − 𝑛=

𝑛

𝑁

LOGO

Prosedur Pemilihan Sampel

Lottery Method

Menggunakan tabel angka random

1. Independent Choice Of Digits

2. Pendekatan Sisa (Remainder Approach)

3. Pendekatan hasil bagi (Quotient Approach)

Menggunakan angka random yang di-generate dari program komputer

MPC1

LOGO

Independent Choice Of Digits

Tentukan baris, kolom, dan halaman Tabel Angka Random (TAR) yang digunakan untuk memulai penelusuran angka random

Jika jumlah populasi sebanyak N unit dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka telusuri 𝑟 digit angka dari baris dan kolom permulaan.

Jika angka random (AR)≤ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.

Jika angka random (AR)=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel

Jika angka random (AR)>N, maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.

Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi

Jika sudah sampai pada kolom terakhir dan belum mendapatkan angka random sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

MPC1

LOGO

Independent Choice Of Digits

Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS n=6 dari populasi N=60. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 1.

N=60, 𝑟=2 (jumlah digit populasi)

Sampel terpilih:

SRS WR:

57, 57, 26, 48, 22,19

SRS WOR:

57, 26, 48, 22,19, 46

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

6 89127

7 26519

8 48045

9 22531

10 84887

11 72047

12 19645

13 46884

14 92289

MPC1

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

6 89127

7 26519

8 48045

9 22531

10 84887

11 72047

12 19645

13 46884

14 92289

SRS WR SRS WOR

LOGO

Remainder Approach Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka

tentukan nilai 𝑁′ yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama. 𝑁′ adalah batas atas dari angka random yang akan dipilih.

Misal: N=32, 𝑟=2, 𝑁′=96

Jika AR≤ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.

Jika AR=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel

Jika N<AR≤ 𝑁′, maka lakukan operasi pembagian: 𝐴𝑅

𝑁= 𝑘 (𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑠)

Unit dengan nomor urut=s terpilih sebagai sampel.

Jika s=0, unit ke-N (terakhir) terpilih sampel

Jika AR > 𝑁′, maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.


Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

MPC1

LOGO

Remainder Approach

Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan remainder approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2.

N=36, 𝑟=2, 𝑁′ = 72

Angka random:

• 83 tolak, karena lebih dari 𝑁′

• 71 71

36= 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 35 (unit ke-35 terpilih sampel)

• 46 46





• 65 65


Sampel terpilih: 35, 10, 29

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

6 89127

7 26519

8 48045

9 22531

10 84887

11 72047

12 19645

13 46884

14 92289

MPC1

LOGO

Quotient Approach

Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka tentukan nilai 𝑁′ yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama.

Misal: N=32, 𝑟=2, 𝑁′=96

Hitung nilai 𝑞 =𝑁′

𝑁

Angka random (AR) yang diambil adalah mulai dari 0 sampai (𝑁′ − 1)

Hitung 𝑡 =𝐴𝑅

𝑞 (pembulatan ke bawah)

Sampel terpilih=unit dengan nomor urut (t-1)


Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

MPC1

LOGO

Quotient Approach

Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan quotient approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2.

N=36, 𝑟=2, 𝑁′ = 72, (𝑁′−1) = 71, 𝑞 =72

36= 2

Angka random:

• 83 tolak, karena lebih dari 𝑁′ − 1

• 71 t =71

𝑞=

71

2= 35 (unit ke-34 terpilih sampel)

• 46 t =46

𝑞=

46





• 65 t =65

𝑞=

65


Sampel terpilih: 34, 22, 31

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

6 89127

7 26519

8 48045

9 22531

10 84887

11 72047

12 19645

13 46884

14 92289

MPC1

LOGO

Estimasi

Nilai yang diestimasi

SRS

WR WOR

Rata-rata 𝑦 =1

𝑛 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

Varians rata-rata 𝑣 𝑦 =𝑠2

𝑛 𝑣 𝑦 =

𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛

Total 𝑌 =𝑁

𝑛 𝑦𝑖 = 𝑁𝑦

𝑛

𝑖=1

Varians Total 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙𝑠2

𝑛= 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦

𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛= 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦

MPC1

LOGO

Estimasi Rata-rata

Estimasi rata-rata 𝑦 adalah estimasi yang unbiased dari parameter 𝑌 .

Bukti:

𝐸 𝑦 = 𝐸1

𝑛 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛 𝐸 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛 𝑝𝑖𝑌𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛

𝑌𝑖

𝑁

𝑁

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛 𝑌 =

1

𝑛𝑛𝑌

𝑛

𝑖=1

= 𝑌

MPC1

LOGO

Varians Rata-rata (1)

Varians rata-rata adalah:

𝑉 𝑦 =𝑁−𝑛

𝑁∙

𝑆2

𝑛

Bukti:

𝑉 𝑦 = 𝐸 𝑦 − 𝑌 2 = 𝐸1

𝑛 𝑦𝑖 − 𝑌

𝑛

𝑖=1

2

=1

𝑛2𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌

𝑛

𝑖=1

2

=1

𝑛2𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2 + 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌

𝑛

𝑖≠𝑗

𝑛

𝑖=1

MPC1

LOGO

Varians Rata-rata (2)

𝑉 𝑦 =1

𝑛2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2 +

1

𝑛2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌

𝑛

𝑖≠𝑗

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛2

1

𝑁𝑦𝑖 − 𝑌 2

𝑁

𝑖=1

+1

𝑛2

1

𝑁∙

1

𝑁 − 1∙ 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌

𝑁

𝑖≠𝑗

𝑛

𝑖≠𝑗

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛2 𝜎2

𝑛

𝑖=1

+1

𝑛2∙1

𝑁∙

1

𝑁 − 1∙ 𝑦𝑖 − 𝑌

𝑁

𝑖=1

2

− 𝑦𝑖 − 𝑌 2

𝑁

𝑖=1`

𝑛

𝑖≠𝑗

=1

𝑛2𝑛𝜎2 +

1

𝑛2∙1

𝑁∙

1

𝑁 − 1∙ − 𝑦𝑖 − 𝑌 2

𝑁

𝑖=1

𝑛

𝑖≠𝑗

=𝜎2

𝑛−

1

𝑛2∙1

𝑁∙

1

𝑁 − 1∙ 𝜎2

𝑛

𝑖≠𝑗

=𝜎2

𝑛−

1

𝑛2∙1

𝑁∙

1

𝑁 − 1∙ 𝑛 𝑛 − 1 𝜎2 =

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1∙𝜎2

𝑛

𝑽 𝒚 =𝑵 − 𝒏

𝑵∙𝑺𝟐

𝒏(𝒓𝒖𝒎𝒖𝒔 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒔 𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑶𝑹) MPC1

LOGO

Varians Rata-rata (3) Rumus Varians Untuk SRS WOR

𝑉 𝑦 =𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑆2

𝑛

= 1 −𝑛

𝑁∙𝑆2

𝑛

= 1 − 𝑓 ∙𝑆2

𝑛

Keterangan:

𝑁−𝑛

𝑁 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐)

𝑓 =𝑛

𝑁 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

Jika sampel diambil dengan SRS WR, 𝑦𝑖 dan 𝑦𝑗 saling statistically

independent, sehingga 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 = 0 dan

𝑉 𝑦 =1

𝑛2 ∙ 𝑛𝜎2

=𝜎2

𝑛(𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑆𝑅𝑆 𝑊𝑅)

MPC1

LOGO

Sample Varians 𝒔𝟐

𝑠2 adalah unbiased estimator dari parameter 𝑆2 dan 𝜎2.

𝐸 𝑠2 = 𝜎2 jika sampel diambil secara SRS WR

𝐸 𝑠2 = 𝑆2 jika sampel diambil secara SRS WOR

Bukti:

𝑠2 =1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑌 2 − 𝑛 𝑦 − 𝑌 2

𝑛

𝑖=1

𝐸 𝑠2 =1

𝑛 − 1𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2

𝑛

𝑖=1

− 𝐸 𝑛 𝑦 − 𝑌 2

MPC1

LOGO


𝐸 𝑠2 =1

𝑛 − 1𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2

𝑛

𝑖=1

− 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐

MPC1

𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐

𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑹: 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐 = 𝒏 ∙𝝈𝟐

𝒏= 𝝈𝟐 … (𝟐𝒂)

𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑶𝑹: 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐 = 𝒏 ∙𝑵 − 𝒏

𝑵∙𝑺𝟐

𝒏

=𝑵 − 𝒏

𝒏∙ 𝑺𝟐 … (𝟐𝒃)

𝑬 𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝑬 𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐 = 𝟏

𝑵𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐

𝑵

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

=𝟏

𝑵∙ 𝒏 ∙ 𝑵 − 𝟏 ∙ 𝑺𝟐 … (𝟏)

LOGO

SRS WR

Dari persamaan (1) dan (2a) diperoleh:

𝐸 𝑠2 =1

𝑛−1

𝑛(𝑁−1)

𝑁𝑆2 − 𝜎2 = 𝜎2 (terbukti)

SRS WOR

Dari persamaan (1) dan (2b) diperoleh:

𝐸 𝑠2 =1

𝑛−1

𝑛(𝑁−1)

𝑁𝑆2 −

𝑁−𝑛

𝑁𝑆2 = 𝑆2 (terbukti)

MPC1


LOGO

Varians Sampling Untuk penduga Rata-rata 𝒗 𝒚

Dengan men-substitusikan 𝑠2 untuk 𝜎2 (SRS WR) dan 𝑆2 (SRS WOR), kita akan memperoleh unbiased estimasi varians sampling untuk penduga rata-rata, yaitu:

𝑣 𝑦 =𝑠2

𝑛 (SRS WR)

𝑣 𝑦 =𝑁−𝑛

𝑁∙

𝑠2

𝑛 (SRS WOR)

MPC1

LOGO

Estimasi Total Karakteristik (𝒀 )

Estimasi total karakteristik 𝑌 = 𝑁𝑦

Penduga total di atas adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌, dapat dibuktikan:

𝐸 𝑌 = 𝐸 𝑁𝑦 = 𝑁 ∙ 𝐸 𝑦 = 𝑁𝑌 = 𝑌

Estimasi varians dari penduga total karakteristik:

𝑣 𝑌 = 𝑣 𝑁𝑦 = 𝑁2 ∙ 𝑦

SRS WR: 𝑣( 𝑌 = 𝑁2 ∙𝑠2

𝑛

SRS WOR: 𝑣( 𝑌 = 𝑁2 ∙𝑁−𝑛

𝑁∙

𝑠2

𝑛

MPC1

LOGO

Estimasi Rata-rata


SRS

WR WOR

Rata-rata 𝑦 =1

𝑛 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

Varians rata-rata 𝑣 𝑦 =𝑠2

𝑛 𝑣 𝑦 =

𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛

Standar error 𝑠𝑒 𝑦 = 𝑣 𝑦

Relative standar error (RSE)

𝑟𝑠𝑒 𝑦 =𝑠𝑒(𝑦 )

𝑦 × 100%

1 − 𝛼 % Confidence Interval

𝑦 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑌 < 𝑦 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

MPC1 𝑠2 =

1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2

𝑛

𝑖=1

Catatan:

𝑁−𝑛


𝑓 =𝑛


LOGO

Estimasi Total


SRS

WR WOR

Total 𝑌 =𝑁

𝑛 𝑦𝑖 = 𝑁𝑦

𝑛

𝑖=1

Varians total 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙𝑠2

𝑛= 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦

𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛= 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦

Standar error 𝑠𝑒 𝑌 = 𝑣 𝑌

Relative standar error (RSE) 𝑟𝑠𝑒 𝑌 =

𝑠𝑒(𝑌 )

𝑌 × 100%


𝑌 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 < 𝑌 < 𝑌 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌

MPC1

LOGO

Contoh 1

Sebuah sampel acak sederhana yang terdiri dari 20 rumah tangga dipilih dari blok sensus X yang mempunyai muatan sebanyak 150 rumah tangga. Jumlah ART dari rumah tangga sampel sebagai berikut:

a. Perkirakan rata-rata jumlah ART dan total penduduk di blok sensus tersebut beserta standar error dan rse-nya !

b. Dengan tingkat kepercayaan 95%, buatlah selang kepercayaan untuk estimasi rata-rata jumlah ART dan total penduduk !

c. Interpretasikan hasil penghitungan di atas !

No ruta sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jumlah ART 4 2 3 5 4 6 3 4 5 7

No ruta sampel 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Jumlah ART 3 4 6 2 1 2 3 4 6 4

MPC1

LOGO

Penyelesaian (1)

Diketahui: 𝑁 = 150, 𝑛 = 20

Estimasi rata-rata:

𝑦 =1

𝑛 𝑦𝑖 =

1

204 + 2 + 3 + ⋯ + 6 + 4 =

1

20∙ 78 = 3,9

𝑛

𝑖=1

Varians dari estimasi rata-rata:

𝑣 𝑦 =𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛=

150 − 20

150∙2,515

20= 0,109

Standar error dari estimasi rata-rata:

𝑠𝑒 𝑦 = 𝑣 𝑦 = 0,109 = 0,330

Relative standar error (RSE):

𝑟𝑠𝑒 𝑦 =𝑠𝑒(𝑦 )

𝑦 ∙ 100% =

0,330

3,9∙ 100% = 8,46%

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%: 𝑦 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑌 < 𝑦 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

3,9 − 1,96 ∙ 0,330 < 𝑌 < 3,9 + 1,96 ∙ 0,330 3,253 < 𝑌 < 4,547

MPC1

LOGO

Interpretasi:

Estimasi rata-rata anggota rumah tangga di blok sensus X adalah 3,9 orang per rumah tangga dengan perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error) sebesar 0,33 dan relative standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai populasi rata-rata anggota rumah tangga akan berada pada interval antara 3,253 sampai 4,547 orang per rumah tangga.

MPC1

Penyelesaian (2)

LOGO

Penyelesaian (3)

Estimasi total: 𝑌 = 𝑁𝑦 = 150 ∙ 3,9 = 585

Varians dari estimasi rata-rata:

𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 = 1502 ∙ 0,109 = 2452,895

Standar error dari estimasi rata-rata:

𝑠𝑒 𝑌 = 𝑣 𝑌 = 2452,895 = 49,526

Relative standar error (RSE):

𝑟𝑠𝑒 𝑌 =𝑠𝑒(𝑌 )

𝑌 ∙ 100% =

49,526

585∙ 100% = 8,46%

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%:

𝑌 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 < 𝑌 < 𝑌 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌

585 − 1,96 ∙ 49,526 < 𝑌 < 585 + 1,96 ∙ 49,526 487,92 < 𝑌 < 682,07

MPC1

LOGO

Interpretasi:

Estimasi total penduduk di blok sensus X adalah 585 orang dengan perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error) sebesar 49,526 orang dan relative standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai populasi total penduduk akan berada pada interval antara 487,92 sampai 682,07 orang.

MPC1

Penyelesaian (4)

LOGO

PERTEMUAN 4

Proporsi

Presisi

Penentuan Ukuran Sampel

All Possible Sample


LOGO

Proporsi Populasi 𝑷

Proporsi adalah special case dari rata-rata ketika variabel/karakteristik yang diteliti 𝑌𝑖 hanya bernilai 0 dan 1.

Misalkan, kita ingin mengetahui proporsi mahasiswa yang suka terhadap mata kuliah MPC di kelas 2KS1, maka

𝑌𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC

𝑌𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC

Maka proporsi populasi mahasiswa yang suka MPC di 2KS1:

𝑃 =1

𝑁 𝑌𝑖

𝑁

𝑖=1

MPC1

LOGO

Estimasi Proporsi (𝒑)

Jika 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 adalah random sampel dengan ukuran 𝑛 yang diambil dari populasi sebanyak N, maka estimasi proporsi:

𝑝 =1

𝑛 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

Keterangan:

𝑦𝑖 harus bernilai 0 atau 1

Estimasi proporsi 𝑝 adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑃, hal ini dibuktikan:

𝐸 𝑝 = 𝐸1

𝑛 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛 𝐸 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛∙ 𝑛 ∙

𝑌𝑖

𝑁

𝑛

𝑖=1

= 𝑃

MPC1

LOGO

Varians Populasi dari 𝒀𝒊 (𝒀𝒊=0 atau 1)

Misalkan dari sebanyak N populasi mahasiswa, terdapat A mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga:

𝑌𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC

𝑌𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC

Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan:

𝑌𝑖 = 𝐴

𝑁

𝑖=1

dan 𝑃 =𝐴

𝑁 , 𝑄 = 1 − 𝑃

Varians dari 𝑌𝑖 dapat dirumuskan:

𝑆2 =1

𝑁 − 1 𝑌𝑖 − 𝑌 2 =

1

𝑁 − 1 𝑌𝑖

2 − 𝑁𝑌 2

𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑖=1

Karena 𝑌𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1, maka:

𝑌𝑖2 = 𝐴 = 𝑁𝑃

𝑁

𝑖=1

𝑑𝑎𝑛 𝑌 2 = 𝑃2

𝑆2 =1

𝑁 − 1𝑁𝑃 − 𝑁𝑃2 =

𝑁

𝑁 − 1𝑃𝑄

MPC1

LOGO

Varians Sampel dari 𝒚𝒊 (𝒚𝒊=0 atau 1)

Misalkan dari sebanyak n sampel mahasiswa, terdapat a mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga:

𝑦𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC

𝑦𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC


𝑦𝑖 = 𝑎

𝑛

𝑖=1

dan 𝑝 =𝑎

𝑛 , 𝑞 = 1 − 𝑝

Varians dari 𝑦𝑖 dapat dirumuskan:

𝑠2 =1

𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2 =

1

𝑛 − 1 𝑦𝑖

2 − 𝑛𝑦 2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Karena 𝑦𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1, maka:

𝑦𝑖2 = 𝑎 = 𝑛𝑝

𝑛

𝑖=1

𝑑𝑎𝑛 𝑦 2 = 𝑝2

𝑠2 =1

𝑛 − 1𝑛𝑝 − 𝑛𝑝2 =

𝑛

𝑛 − 1𝑝𝑞

MPC1

LOGO

Varians Sampling dari Estimasi Proporsi

Untuk SRS WR

𝑣 𝑝 =𝑠2

𝑛=

1

𝑛∙

𝑛

𝑛 − 1𝑝𝑞

=𝑝𝑞

𝑛 − 1

Untuk SRS WOR

𝑣 𝑝 =𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛=

𝑁 − 𝑛

𝑁∙1

𝑛∙

𝑛

𝑛 − 1𝑝𝑞

=𝑁 − 𝑛

𝑁∙

𝑝𝑞

𝑛 − 1

MPC1

LOGO

Estimasi Total dari Proporsi

Misalkan dari populasi sebanyak N mahasiswa diambil sampel sebanyak n mahasiswa. Dari sampel tersebut, terdapat sebanyak 𝒂 mahasiswa yang suka MPC.

𝑦𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC

𝑦𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC


𝑦𝑖 = 𝒂

𝑛

𝑖=1

Estimasi proporsi mahasiswa yang suka MPC:

𝑝 =𝒂

𝑛

Estimasi total mahasiswa yang suka MPC: 𝐴 = 𝑁𝑝

Estimasi varians total:

𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑝

MPC1

LOGO

Estimasi Proporsi


SRS

WR WOR

Rata-rata 𝑝 =1

𝑛 𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

Varians rata-rata 𝑣 𝑝 =𝑝𝑞

𝑛 − 1 𝑣 𝑝 =

𝑁 − 𝑛

𝑁∙

𝑝𝑞

𝑛 − 1

Standar error 𝑠𝑒 𝑝 = 𝑣 𝑝

Relative standar error (RSE)

𝑟𝑠𝑒 𝑝 =𝑠𝑒(𝑝)

𝑝× 100%


𝑝 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝

MPC1

Catatan: 𝑦𝑖 = 0 atau 1 𝑞 = 1 − 𝑝

𝑁−𝑛


𝑓 =𝑛


LOGO

Estimasi Total


SRS

WR WOR

Total 𝐴 = 𝑁𝑝

Varians total 𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙𝑝𝑞

𝑛 − 1 𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙

𝑁 − 𝑛

𝑁∙

𝑝𝑞

𝑛 − 1

Standar error 𝑠𝑒 𝐴 = 𝑣 𝐴

Relative standar error (RSE) 𝑟𝑠𝑒 𝐴 =

𝑠𝑒(𝐴 )

𝐴 × 100%


𝐴 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝐴 < 𝐴 < 𝐴 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝐴

MPC1

LOGO

Contoh 1:

Dari populasi sebanyak 50 pegawai di perusahaan X, dipilih 10 orang sebagai sampel secara SRS WOR. Data yang diperoleh sebagai berikut:

Tentukan:

a. Estimasi proporsi pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun

b. Estimasi total/jumlah pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun

c. Estimasi proporsi pegawai yang pendidikan terakhir S1

d. Estimasi jumlah pegawai yang pendidikan terakhir S1

MPC1

No Umur Pendidikan terakhir


1 24 S1 6 50 D3

2 35 D3 7 27 SMA

3 42 SMA 8 52 SMA

4 31 S1 9 46 S2

5 29 S1 10 39 S1

LOGO

Penyelesaian:

MPC1


Kode Umur (<30=1,

30 ke atas=0)

Kode Pendidikan

Terakhir (S1=1, bukan S1=0)

1 24 S1 1 1

2 35 D3 0 0

3 42 SMA 0 0

4 31 S1 0 1

5 29 S1 1 1

6 50 D3 0 0

7 27 SMA 1 0

8 52 SMA 0 0

9 46 S2 0 0

10 39 S1 0 1

Jumlah dari sampel (𝑎) 3 4

Estimasi proporsi (𝑝) 3/10=0,3 4/10=0,4

LOGO

Penyelesaian: Estimasi Proporsi

MPC1

Statistik Rumus Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)

Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan

S1=0)

Proporsi 𝑝 =𝑎

𝑛 𝑝1 =

3

10= 0,3 𝑝2 =

4

10= 0,4

Varians proporsi

𝑣 𝑝 =𝑁 − 𝑛

𝑁

∙𝑝𝑞

𝑛 − 1

𝑣 𝑝1 =50 − 10

50∙0,3 ∙ 0,7

9

= 0,0186

𝑣 𝑝2 =50 − 10

50∙0,4 ∙ 0,6

9

= 0,0213

Standar Error

proporsi

𝑠𝑒 𝑝 = 𝑣(𝑝) 𝑠𝑒 𝑝1 = 0,0186 = 0,136 𝑠𝑒 𝑝2 = 0,0213 = 0,145

RSE 𝑟𝑠𝑒 𝑝

=𝑠𝑒(𝑝)

𝑝× 100%

𝑟𝑠𝑒 𝑝1 =0,136

0,3× 100%

= 45,33%

𝑟𝑠𝑒 𝑝2 =0,145

0,4× 100%

= 36,25%

95%CI [𝑝 − 𝑍𝛼

2∙ 𝑠𝑒 𝑝 ;

𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 ]

[0,033; 0,567] [0,116; 0,684]

LOGO

Penyelesaian: Estimasi Total

MPC1

Statistik Rumus Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0)

Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan

S1=0)

Total 𝐴 = 𝑁𝑝 𝐴 1 = 50 ∙ 0,3 = 15 𝐴 2 = 50 ∙ 0,4 = 20

Varians proporsi

𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙ 𝑣(𝑝) 𝑣 𝐴 1 = 502 ∙ 0,0186

= 46,5

𝑣 𝐴 2 = 502 ∙ 0,0213

= 53,25

Standar Error

proporsi

𝑠𝑒 𝐴 = 𝑣(𝐴 ) 𝑠𝑒 𝐴 1 = 46,5 = 6,819 𝑠𝑒 𝐴 2 = 53,25 = 7,297

RSE 𝑟𝑠𝑒 𝐴

=𝑠𝑒(𝐴 )

𝐴 × 100%

𝑟𝑠𝑒 𝐴 1 =6,819

15× 100%

= 45,33%

𝑟𝑠𝑒 𝐴 2 =7,297

20× 100%

= 36,25%

95%CI [𝑝 − 𝑍𝛼

2∙ 𝑠𝑒 𝑝 ;

𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 ]

[1,635; 28,365] [5,698; 34,302]

LOGO

Presisi (d)

Presisi (margin of error) menunjukkan besarnya toleransi kesalahan (error) dari suatu penduga (estimator).

Semakin kecil nilai margin of error maka suatu penduga/estimator akan semakin precise/reliable.

Rumus: 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

= 𝑦 − 𝑌

=1

2∙ 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙

Keterangan:

𝑍𝛼/2 : koefisien reliability

𝑠𝑒 𝑦 : standar error

MPC1

LOGO

Presisi dan Confidence Interval

𝒚 − 𝒁𝜶𝟐

∙ 𝒔𝒆 𝒚 < 𝒀 < 𝒚 + 𝒁𝜶𝟐

∙ 𝒔𝒆 𝒚

MPC1

Koefisien reliability

Koefisien reliability

Standar error

Standar error

× ×

Presisi 𝒅 Presisi 𝒅

Lower bound (lb) Upper bound (up)

𝑷𝒂𝒏𝒋𝒂𝒏𝒈 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍 = 𝒖𝒑 − 𝒍𝒃 = 𝟐 × 𝒅

LOGO

Penentuan Ukuran Sampel (Sample Size)

Jika diketahui nilai sample varians dari penelitian terdahulu:

SRS WR

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒔𝟐

𝒅𝟐

SRS WOR

𝒏 =𝑵 𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒔𝟐

𝑵𝒅𝟐 + 𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒔𝟐

Keterangan:

𝑠2 : sample varians dari dari penelitian terdahulu

𝑑 : presisi/margin of error yang ditetapkan

MPC1

𝒏 =𝒏𝟎

𝟏 +𝒏𝟎𝑵

LOGO

Bukti:

SRS WR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙𝑠2

𝑛0

𝑑2 = 𝑍𝛼/22 ∙

𝑠2

𝑛0

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒔𝟐

𝒅𝟐

SRS WOR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛

𝑑2 = 𝑍𝛼/22 ∙

𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑠2

𝑛

𝑛𝑁𝑑2 = 𝑍𝛼/22𝑁𝑠2 − 𝑍𝛼/2

2𝑛𝑠2

𝑛𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/22𝑛𝑠2 = 𝑍𝛼/2

2𝑁𝑠2

𝑛 𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/22𝑠2 = 𝑍𝛼/2

2𝑁𝑠2


𝟐∙ 𝒔𝟐


𝟐∙ 𝒔𝟐

MPC1

LOGO

Bukti: Hubungan 𝒏𝟎 dan 𝒏

SRS WR

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒔𝟐

𝒅𝟐↔ 𝑠2 =

𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑍𝛼/2

2

SRS WOR


𝟐∙ 𝒔𝟐


𝟐∙ 𝒔𝟐

MPC1

𝑛 =𝑁 𝑍𝛼/2

2∙ 𝑠2

𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/2

2∙ 𝑠2

↔ 𝑛 =

𝑁 𝑍𝛼/22

∙𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑍𝛼/2

2


2∙

𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑍𝛼/2

2

𝑛 =𝑁 ∙ 𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑁𝑑2 + 𝑛0 ∙ 𝑑2 ↔ 𝑛 =𝑑2(𝑁 ∙ 𝑛0)

𝑑2(𝑁 + 𝑛0)

𝑛 =𝑁 ∙ 𝑛0

𝑁 + 𝑛0∙1

𝑁

1𝑁

𝒏 =𝒏𝟎

𝟏 +𝒏𝟎𝑵

LOGO


Jika diketahui nilai presisi relative (persentase margin of error) dan koefisien variasi dari penelitian terdahulu:

SRS WR

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝑪𝟐

𝒅′ 𝟐

SRS WOR


𝟐∙ 𝑪𝟐

𝑵 𝒅′ 𝟐 + 𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝑪𝟐

Keterangan:

𝐶 : koefisien variasi dari dari penelitian terdahulu

𝑑′ : presisi relatif/persentase margin of error yang ditetapkan

MPC1

𝒏 =𝒏𝟎

𝟏 +𝒏𝟎𝑵

LOGO

Bukti:

SRS WR

𝑛0 =𝑍𝛼/2

2∙ 𝑠2

𝑑2

𝑛0 =𝑍𝛼/2

2∙ 𝐶𝑥 2

𝑑′𝑥 2

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝑪𝟐

𝒅′ 𝟐

SRS WOR


2∙ 𝑠2


2∙ 𝑠2


2∙ 𝐶𝑥 2

𝑁 𝑑′𝑥 2 + 𝑍𝛼/2

2∙ 𝐶𝑥 2


𝟐∙ 𝑪𝟐

𝑵 𝒅′ 𝟐 + 𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝑪𝟐

MPC1

𝑑′ =𝑑

𝑥 ↔ 𝑑 = 𝑑′ ∙ 𝑥

𝐶 =𝑠

𝑥 ↔ 𝑠 = 𝐶 ∙ 𝑥

LOGO

Bukti: Hubungan 𝒏𝟎 dan 𝒏

SRS WR

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒔𝟐

𝒅𝟐↔ 𝑠2 =

𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑍𝛼/2

2

SRS WOR


𝟐∙ 𝒔𝟐


𝟐∙ 𝒔𝟐

MPC1


2∙ 𝑠2


2∙ 𝑠2

↔ 𝑛 =

𝑁 𝑍𝛼/22

∙𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑍𝛼/2

2


2∙

𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑍𝛼/2

2

𝑛 =𝑁 ∙ 𝑛0 ∙ 𝑑2

𝑁𝑑2 + 𝑛0 ∙ 𝑑2 ↔ 𝑛 =𝑑2(𝑁 ∙ 𝑛0)

𝑑2(𝑁 + 𝑛0)

𝑛 =𝑁 ∙ 𝑛0

𝑁 + 𝑛0∙1

𝑁

1𝑁

𝒏 =𝒏𝟎

𝟏 +𝒏𝟎𝑵

LOGO


Jika dari penelitian terdahulu, diketahui nilai proporsi kejadian dari indikator tertentu.

SRS WR

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒑𝒒

𝒅𝟐

SRS WOR


𝟐∙ 𝒑𝒒


𝟐∙ 𝒑𝒒

Keterangan:

𝑝 : proporsi variabel/indikator tertentu

𝑑 : presisi/margin of error yang ditetapkan

MPC1

𝒏 =𝒏𝟎

𝟏 +𝒏𝟎𝑵

LOGO

Bukti:

SRS WR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙𝑝𝑞

𝑛0 − 1

Untuk tujuan praktis, 𝑛0 − 1 ≈ 𝑛0

𝑑2 = 𝑍𝛼/22 ∙

𝑝𝑞

𝑛0

𝒏𝟎 =𝒁𝜶/𝟐

𝟐∙ 𝒑𝒒

𝒅𝟐

SRS WOR 𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦

𝑑 = 𝑍𝛼/2 ∙𝑁 − 𝑛

𝑁∙

𝑝𝑞

𝑛 − 1

Untuk tujuan praktis, 𝑛 − 1 ≈ 𝑛

𝑑2 = 𝑍𝛼/22 ∙

𝑁 − 𝑛

𝑁∙𝑝𝑞

𝑛

𝑛𝑁𝑑2 = 𝑍𝛼/22𝑁𝑝𝑞 − 𝑍𝛼/2

2𝑛𝑝𝑞

𝑛𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/22𝑛𝑝𝑞 = 𝑍𝛼/2

2𝑁𝑝𝑞

𝑛 𝑁𝑑2 + 𝑍𝛼/22𝑝𝑞 = 𝑍𝛼/2

2𝑁𝑝𝑞


𝟐∙ 𝒑𝒒


𝟐∙ 𝒑𝒒

MPC1

LOGO

Contoh 2

Suatu survei akan memilih beberapa rumah tangga sebagai sampel untuk meneliti pengeluaran makanan sebulan. Margin of error (presisi) yang diinginkan sebesar ±𝑅𝑝 40.000,00. Jika dari survei pendahuluan diperoleh standar deviasi sebesar Rp 120.000,00, dengan tingkat kepercayaan 95% tentukan:

a. Jumlah sampel minimum yang diperlukan jika pengambilan secara SRS WR ?

b. Jika jumlah populasi N=2000 rumah tangga dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?

MPC1

LOGO

Penyelesaian

Diketahui : 𝑑 = 40.000, 𝑠 = 120.000, 𝑍𝛼/2 = 1,96

a. SRS WR

𝑛0 =𝑍𝛼/2

2∙ 𝑠2

𝑑2=

1,962 ∙ 1200002

400002= 34,57 ≈ 35

b. SRS WOR (N=2000)


2∙ 𝑠2


2∙ 𝑠2

=2000 ∙ 1,962 ∙ 1200002

2000 ∙ 400002 + 1,962 ∙ 1200002= 33,98 ≈ 34

MPC1

LOGO

Contoh 3

Suatu survei dilaksanakan di suatu sekolah untuk meneliti rata-rata berat badan siswa. Persentase margin of error (presisi relative) yang diinginkan sebesar ±5% dari rata-ratanya. Jika dari survei pendahuluan diperoleh koefisien variasi sebesar 0,1, maka dengan tingkat kepercayaan 95% tentukan:


b. Jika jumlah populasi N=100 siswa dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?

MPC1

LOGO

Penyelesaian

Diketahui :

Presisi relative:

𝑑′ =𝑑

𝑥 = 5% = 0,05

Koefisien variasi:

𝐶 =𝑠

𝑥 = 0,1

Reliability=95% 𝑍𝛼/2 = 1,96

a. SRS WR

𝑛0 =𝑍𝛼/2

2∙ 𝑠2

𝑑2=

𝑍𝛼/22

∙ 𝐶𝑥 2

𝑑′𝑥 2=

𝑍𝛼/22

∙ 𝐶2

𝑑′ 2

=1,962 ∙ 0,12

0,052= 15,36 ≈ 16

MPC1

LOGO

Penyelesaian

a. SRS WOR (N=100)


2∙ 𝑠2


2∙ 𝑠2

=𝑁 𝑍𝛼/2

2∙ 𝐶𝑥 2

𝑁 𝑑′𝑥 2 + 𝑍𝛼/22

∙ 𝐶𝑥 2

=𝑁 𝑍𝛼/2

2∙ 𝐶2

𝑁 𝑑′ 2 + 𝑍𝛼/22

∙ 𝐶2

=100 ∙ 1,962 ∙ 0,12

100 ∙ 0,052 + 1,962 ∙ 0,12= 13,31 ≈ 14

MPC1

LOGO

Contoh 4

Dari penelitian terdahulu diperoleh informasi bahwa persentase siswa laki-laki yang merokok sebesar 60%. Dengan tingkat kepercayaan 95% dan presisi 5%, tentukan:


b. Jika jumlah populasi N=4000 siswa laki-laki dan pengambilan secara SRS WOR, berapa jumlah minimum sampel yang dibutuhkan ?

MPC1

LOGO

Penyelesaian

Diketahui : 𝑝 = 60% = 0,6 ; 𝑑 = 5% = 0,05 ; 𝑍𝛼/2 = 1,96

a. SRS WR

𝑛0 =𝑍𝛼/2

2∙ 𝑝𝑞

𝑑2=

1,962 ∙ 0,6 ∙ 0,4

0,052= 368,79 ≈ 369

b. SRS WOR (N=4000)


2∙ 𝑝𝑞


2∙ 𝑝𝑞

=4000 ∙ 1,962 ∙ 0,6 ∙ 0,4

4000 ∙ 0,052 + 1,962 ∙ 0,6 ∙ 0,4= 337,66 ≈ 338

MPC1

LOGO

Contoh 5

Misalkan, dari N=100, ingin diambil sejumlah sampel dengan tingkat kepercayaan 95% (𝑍𝛼/2 = 1,96). Beberapa kemungkinan besar sampel

(n) untuk nilai proporsi dan presisi tertentu sebagai berikut:

MPC1

No Proporsi

Presisi

0.01 0.02 0.05 0.07 0.1

1 0.1 97 90 58 41 26

2 0.2 98 94 71 56 38

3 0.3 99 95 76 62 45

4 0.4 99 96 79 65 48

5 0.5 99 96 79 66 49

6 0.6 99 96 79 65 48

7 0.7 99 95 76 62 45

8 0.8 98 94 71 56 38

9 0.9 97 90 58 41 26

Kesimpulan:

Semakin precise suatu

penelitian, jumlah sampel

yang dibutuhkan akan

semakin besar

LOGO

Grafik

MPC1

LOGO

PERTEMUAN 5

Pengertian

Skema Pembentukan Strata

Estimasi Rata-rata, Total

Estimasi Varians


LOGO

Pengertian

Populasi sebanyak 𝑁 unit dikelompokkan menjadi 𝐿 subpopulasi, masing-masing subpopulasi terdiri dari 𝑁1, 𝑁2, …, 𝑁𝐿 unit

Subpopulasi yang terbentuk tidak boleh saling tumpang tindih (overlapping).

Jumlah unit dari semua subpopulasi sama dengan jumlah populasi, sehingga:

𝑁1 + 𝑁2 + ⋯ + 𝑁𝐿 = 𝑁

Subpopulasi ini disebut strata.

Penarikan sampel dilakukan untuk setiap strata, dan bersifat independent antara strata satu dengan strata lainnya.

𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝐿 = 𝑛

Jika penarikan sampel di setiap strata dilakukan secara SRS, prosedur ini disebut stratified random sampling.

MPC1

LOGO

Keuntungan Meningkatkan efisiensi desain/presisi estimasi karakteristik

populasi.

Prinsip:

1. Unit/elemen yang karakteristiknya hampir sama dikelompokkan dalam satu strata.

Unit-unit dalam strata (within stratum) -- > homogen

2. Perbedaan rata-ratakarakteristik antarstrata dibuat sebesar mungkin.

Unit-unit antar strata (between stratum) -- > heterogen

Masing-masing strata bisa dianggap sebagai populasi tersendiri sehingga bisa diterapkan desain sampling yang berbeda.

Estimasi bisa dilakukan untuk penyajian sampai level strata.

Untuk kemudahan administratif.

MPC1

LOGO

Skema Pembentukan Strata

MPC1

♦ ♠ ♦ ♥ ♥ ♠ ♥ ♣ ♦ ♠ ♦ ♣ ♠ ♦ ♠ ♣ ♠ ♥ ♠ ♦ ♠ ♠ ♣ ♠ ♣ ♥ ♣ ♦ ♣ ♦ ♣ ♥ ♣ ♣ ♥ ♦ ♥ ♣ ♥ ♠ ♥ ♣ ♥ ♥ ♠ ♦ ♥ ♥

♦ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥ ♦ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥♥ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥♥ Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4

POPULASI

STRATIFIKASI POPULASI

LOGO

Pembentukan Strata Untuk Meningkatkan Presisi

Untuk membentuk strata diperlukan variabel pendukung untuk mengelompokkan unit sampling sehingga varians dari nilai variabel di dalam strata menjadi lebih homogen.

Bila memungkinkan lebih baik lagi bila dapat diusahakan agar perbedaan rata-rata nilai karakteristik antar strata dibuat sebesar mungkin.

Untuk meningkatkan presisi maka perlu dipilih suatu variabel yang diperkirakan mempunyai korelasi dengan data yang akan dikumpulkan.

Contoh: variabel yang baik untuk dasar stratifikasi survei sosial ekonomi nasional antara lain pengelompokan wilayah elit dan non elit, atau daerah perkotaan dan daerah pedesaan.

MPC1

LOGO

Dasar-dasar Pembentukan Strata

Dasar pembentukan strata tergantung dari tujuan pembentukan strata dan sifat-sifat variabel yang akan dijadikan dasar pembentukan strata, contohnya:

a. Unit sampling itu sendiri, misalkan mahasiswa laki-laki dan mahasiswa perempuan

b. Variabel wilayah administrasi,misalnya desa perkotaan dan desa pedesaan.

c. Variabel letak geografis, misalnya desa pantai dan desa bukan pantai.

d. Variabel lainnya misalnya kepadatan penduduk, jenis lapangan usaha (daerah pertanian dan non pertanian).

e. Perusahaan/usaha bisa dibedakan usaha skala besar, sedang, dan kecil, misalnya berdasarkan omzet atau jumlah tenaga kerja.

f. Sekolah, bisa sekolah negeri dan sekolah swasta. MPC1

LOGO

Skema Penarikan Sampel (1)

MPC1

TAR halaman 1, baris 1, kolom 1, remainder approach

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

6 89127

7 26519

8 48045

9 22531

10 84887

11 72047

12 19645

13 46884

14 92289

1. ♠ 5. ♠ 9.♠ 2. ♠ 6. ♠ 10.♠ 3. ♠ 7. ♠ 11.♠ 4. ♠ 8. ♠ 12.♠

STRATA 2

𝑵𝟐 = 𝟏𝟐

1. ♠ 5. ♠ 9.♠ 2. ♠ 6. ♠ 10.♠ 3. ♠ 7. ♠ 11.♠ 4. ♠ 8. ♠ 12.♠

STRATA 2

𝒏𝟒 = 𝟑

𝑁2 = 12, 𝑁2

′ = 96

•74/12 sisa 2 •68/12 sisa 8 •57/12 sisa 9

1.♦ 5.♦ 9.♦ 2.♦ 6.♦ 10.♦ 3.♦ 7.♦ 4.♦ 8.♦

STRATA 1

𝑵𝟏 = 𝟏𝟎

1.♦ 5.♦ 9.♦ 2.♦ 6.♦ 10.♦ 3.♦ 7.♦ 4.♦ 8.♦

STRATA 1

𝒏𝟏 = 𝟐

𝑁1 = 10, 𝑁1

′ = 90

•88/10 sisa 8 •57/10 sisa 7

POPULASI SAMPEL

LOGO

Skema Penarikan Sampel (2)

MPC1

Baris Kolom

(1-5)

1 88347

2 57140

3 74686

4 68013

5 57477

6 89127

7 26519

8 48045

9 22531

10 84887

11 72047

12 19645

13 46884

14 92289

1.♥ 5.♥ 9.♥ 2.♥ 6.♥ 10.♥ 3.♥ 7.♥ 11.♥ 13.♥ 4.♥ 8.♥ 12.♥ 14.♥

STRATA 4

𝑵𝟒 = 𝟏𝟒

𝑁4 = 14, 𝑁4

′ = 98

•22/14 sisa 8 •84/14 sisa 0 •72/14 sisa 2 •19/14 sisa 5

1.♥ 5.♥ 9.♥ 2.♥ 6.♥ 10.♥ 3.♥ 7.♥ 11.♥ 13.♥ 4.♥ 8.♥ 12.♥ 14.♥

STRATA 4

𝒏𝟒 = 𝟒

1.♣ 5.♣ 9.♣ 2.♣ 6.♣ 10.♣ 3.♣ 7.♣ 11.♣ 4.♣ 8.♣ 12.♣

STRATA 3

𝑵𝟑 = 𝟏𝟐

𝑁3 = 12, 𝑁3

′ = 96

•89/12 sisa 5 •26/12 sisa 2 •48/12 sisa 0

POPULASI SAMPEL

1.♣ 5.♣ 9.♣ 2.♣ 6.♣ 10.♣ 3.♣ 7.♣ 11.♣ 4.♣ 8.♣ 12.♣

STRATA 3

𝒏𝟑 = 𝟑

LOGO

Notasi 𝑦ℎ𝑖 : nilai karakteristik unit ke-i strata ke-h

𝑁 : jumlah populasi

𝑁ℎ : jumlah populasi di strata ke-h

𝑁ℎ = 𝑁

𝐿

ℎ=1

𝑊ℎ : penimbang strata ke-h (stratum weight)

𝑊ℎ =𝑁ℎ

𝑁

𝑛 : jumlah sampel

𝑛ℎ : jumlah sampel di strata ke-h

𝑛ℎ = 𝑛

𝐿

ℎ=1

𝑓ℎ : fraksi sampling strata ke-h

𝑓ℎ =𝑛ℎ

𝑁ℎ

MPC1

LOGO

Rata-rata Populasi

Rata-rata karakteristik populasi di strata ke-h

𝑌 ℎ =1

𝑁ℎ 𝑌ℎ𝑖

𝑁ℎ

𝑖=1

Rata-rata karakteristik populasi

𝑌 =1

𝑁 𝑌ℎ𝑖 =

1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑌 ℎ = 𝑊ℎ ∙ 𝑌 ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

𝑁ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Varians Populasi

Varians karakteristik populasi di strata ke-h

𝜎ℎ2 =

1

𝑁ℎ 𝑌ℎ𝑖 − 𝑌 ℎ

2𝑁ℎ

𝑖=1

𝑆ℎ2 =

1

𝑁ℎ − 1 𝑌ℎ𝑖 − 𝑌 ℎ

2𝑁ℎ

𝑖=1

Varians karakteristik populasi

𝜎2 =1

𝑁 𝑌𝑖 − 𝑌 2

𝑁

𝑖=1

MPC1

LOGO

Estimasi Rata-rata Estimasi rata-rata karakteristik di strata ke-h

𝑦 ℎ =1

𝑛ℎ 𝑦ℎ𝑖

𝑛ℎ

𝑖=1

Estimasi rata-rata karakteristik populasi:

𝑦 𝑠𝑡 =1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑦 ℎ = 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

Estimator rata-rata di atas merupakan unbiased estimator, dibuktikan:

𝐸 𝑦 𝑠𝑡 = 𝐸1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑦 ℎ

𝐿

ℎ=1

=1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝐸 𝑦 ℎ =

1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑌 ℎ = 𝑊ℎ ∙ 𝑌 ℎ = 𝑌

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Sampling Varians

𝑉 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑉 𝑊ℎ

𝐿

ℎ=1

∙ 𝑦 ℎ = 𝑊ℎ2 ∙ 𝑉(𝑦 ℎ)

𝐿

ℎ=1

Jika masing-masing strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR, maka:

𝑉 𝑦 ℎ = 1 − 𝑓ℎ ∙𝑆ℎ

2

𝑛ℎ

𝑉 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙

𝑆ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

Unbiased estimator dari 𝑆ℎ2 adalah 𝑠ℎ

2 sehingga unbiased estimator dari sampling varians adalah

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙

𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Estimasi Total Estimasi total karakteristik di strata ke-h

𝑌 ℎ =𝑁ℎ

𝑛ℎ 𝑦ℎ𝑖

𝑛ℎ

𝑖=1

= 𝑁ℎ ∙ 𝑦 ℎ

Varians estimasi total karakteristik di strata ke-h

𝑣 𝑌 ℎ = 𝑁ℎ2 ∙ 𝑣 𝑦 ℎ

Estimasi total karakteristik populasi:

𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁𝑦 𝑠𝑡 = 𝑁ℎ ∙ 𝑦 ℎ

𝐿

ℎ=1

Varians estimasi total karakteristik:

𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑠𝑡

MPC1

LOGO

Estimasi Rata-rata

MPC1

Estimasi Domain

Strata ke-h Populasi

Rata-rata 𝑦 ℎ =1

𝑛ℎ 𝑦ℎ𝑖

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑦 𝑠𝑡 = 𝑁ℎ

𝑁∙ 𝑦 ℎ= 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

Varians rata-rata

𝑣 𝑦 ℎ = 1 − 𝑓ℎ

𝑠ℎ2

𝑛ℎ 𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ

2 ∙ 𝑣(𝑦 ℎ)

𝐿

ℎ=1

Standar Error

𝑠𝑒 𝑦 ℎ = 𝑣 𝑦 ℎ 𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑣 𝑦 𝑠𝑡

RSE 𝑅𝑆𝐸 𝑦 ℎ =𝑠𝑒 𝑦 ℎ

𝑦 ℎ× 100% 𝑅𝑆𝐸 𝑦 𝑠𝑡 =

𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡

𝑦 𝑠𝑡× 100%

1 − 𝛼 % Confidence interval

𝑦 ℎ − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑦 ℎ ;

𝑦 ℎ + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑦 ℎ

𝑦 𝑠𝑡 − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡 ;

𝑦 𝑠𝑡 + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡

LOGO

Estimasi Total

MPC1

Estimasi Domain


Total 𝑌 ℎ = 𝑁ℎ ∙ 𝑦 ℎ 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑌 ℎ

𝐿

ℎ=1

Varians Total

𝑣 𝑌 ℎ = 𝑁ℎ2 ∙ 𝑣 𝑦 ℎ 𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑣(𝑌 ℎ)

𝐿

ℎ=1

Standar Error

𝑠𝑒 𝑌 ℎ = 𝑣 𝑌 ℎ 𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑣 𝑌 𝑠𝑡

RSE 𝑅𝑆𝐸 𝑌 ℎ =𝑠𝑒 𝑌 ℎ

𝑌 ℎ× 100% 𝑅𝑆𝐸 𝑌 𝑠𝑡 =

𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡

𝑌 𝑠𝑡

× 100%


𝑌 ℎ − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑌 ℎ ;

𝑌 ℎ + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑌 ℎ

𝑌 𝑠𝑡 − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡 ;

𝑌 𝑠𝑡 + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡

LOGO

Latihan 1. Buktikan bahwa:

a. 𝑌 ℎ = 𝑁ℎ ∙ 𝑦 ℎ adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌ℎ

b. 𝑌 = 𝑁 ∙ 𝑦 𝑠𝑡 adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑌

c. 𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑠𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁ℎ 𝑁ℎ − 𝑛ℎ

𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

d. 𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑠𝑡 dapat dinyatakan dalam bentuk

𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑣(𝑌 ℎ)

𝐿

ℎ=1

2. Buktikan bahwa 𝜎2 =1

𝑁 𝑌𝑖 − 𝑌 2𝑁

𝑖=1 bisa dinyatakan dalam:

𝜎2 = 𝜎𝑤2 + 𝜎𝑏

2

Keterangan:

𝜎𝑤2 =

1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝜎ℎ

2

𝐿

ℎ=1

(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑤𝑖𝑡ℎ𝑖𝑛)

𝜎𝑏2 =

1

𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑌 ℎ − 𝑌 2 (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛)

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

PERTEMUAN 6

Estimasi Proporsi

Alokasi Sampel


LOGO

Proporsi Populasi

Misalkan, populasi sebanyak N unit dibagi menjadi L strata sehingga sehingga banyaknya unit untuk strata ke-h adalah 𝑁ℎ .

𝑌ℎ𝑖 adalah nilai karakteristik dari variabel kategorik (bernilai 0 atau 1) untuk unit ke-i strata ke-h, sehingga jumlah kejadian untuk variabel tsb di strata ke-h adalah:

𝐴ℎ = 𝑌ℎ𝑖

𝑁ℎ

𝑖=1

Proporsi populasi di strata ke-h:

𝑃ℎ =1

𝑁ℎ 𝑌ℎ𝑖 =

𝐴ℎ

𝑁ℎ

𝑁ℎ

𝑖=1

Proporsi populasi:

𝑃 = 𝑁ℎ

𝑁∙ 𝑃ℎ = 𝑊ℎ ∙ 𝑃ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Estimasi Proporsi

Jika 𝑦ℎ1, 𝑦ℎ2, … , 𝑦ℎ𝑛ℎ adalah random sampel dengan

ukuran 𝑛ℎ yang diambil dari populasi sebanyak 𝑁ℎ , maka estimasi proporsi di strata ke-h:

𝑝ℎ =1

𝑛ℎ 𝑦ℎ𝑖 =

𝑎ℎ

𝑛ℎ

𝑛ℎ

𝑖=1

Keterangan:

𝑦ℎ𝑖 harus bernilai 0 atau 1

𝑦ℎ𝑖 = 𝑎ℎ

𝑛ℎ

𝑖=1

Estimasi proporsi populasi:

𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Varians Estimasi Proporsi

Sampling varians dari estimasi proporsi:

𝑉 𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙

𝑃ℎ ∙ 𝑄ℎ

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑟)

𝑉 𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙

𝑃ℎ ∙ 𝑄ℎ

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑜𝑟)

Unbiased estimator dari sampling varians di atas:

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙

𝑝ℎ ∙ 𝑞ℎ

𝑛ℎ − 1

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑟)

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙ 1 − 𝑓ℎ ∙

𝑝ℎ ∙ 𝑞ℎ

𝑛ℎ − 1

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑜𝑟)

MPC1

LOGO

Proporsi

MPC1

♦ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥♥♥ ♦ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥♥♥ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥♥♥♥ ♦ ♦ ♠ ♠ ♠ ♣ ♣ ♣ ♥♥♥♥

Strata 1 Strata 2 Strata 3 Strata 4

POPULASI

♦ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥ ♦ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♥ ♥ ♦ ♠ ♠ ♣ ♣ ♥ ♥

Strata 1

Strata 2

Strata 3

Strata 4

SAMPEL

𝑁1 = 10 𝑛1 = 5 𝑛2 = 6 𝑁2 = 12 𝑁3 = 12 𝑁4 = 14 𝑛3 = 6 𝑛4 = 8

𝐴1 = 4 𝐴2 = 4 𝐴3 = 5 𝐴4 = 7 𝑎1 = 2 𝑎2 = 2 𝑎3 = 2 𝑎4 = 4

𝑃1 = 4/10

𝑃2 = 4/12

𝑃3 = 5/12

𝑃4 = 7/14

𝑝1 = 2/5

𝑝2 = 2/6

𝑝3 = 2/6

𝑝4 = 4/8

𝑃 =10 ∙

410

+ 12 ∙412

+ 12 ∙512

+ 14 ∙714

10 + 12 + 12 + 14=

23

48 𝑝𝑠𝑡 =

10 ∙25

+ 12 ∙26

+ 12 ∙26

+ 14 ∙48

(10 + 12 + 12 + 14)=

19

48

Misalkan, kita ingin menghitung proporsi unit yang bewarna merah

LOGO

Estimasi Proporsi

MPC1

Estimasi Domain


Proporsi 𝑝ℎ =1


𝑎ℎ

𝑛ℎ

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑝𝑠𝑡 = 𝑁ℎ

𝑁∙ 𝑝ℎ= 𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

Varians proporsi

𝑣 𝑝ℎ = 1 − 𝑓ℎ

𝑝ℎ𝑞ℎ

𝑛ℎ − 1 𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ

2 ∙ 𝑣(𝑝ℎ)

𝐿

ℎ=1

Standar Error 𝑠𝑒 𝑝ℎ = 𝑣 𝑝ℎ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 = 𝑣 𝑝𝑠𝑡

RSE 𝑅𝑆𝐸 𝑝ℎ =𝑠𝑒 𝑝ℎ

𝑝ℎ× 100% 𝑅𝑆𝐸 𝑝𝑠𝑡 =

𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡

𝑝𝑠𝑡× 100%


𝑝ℎ − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑝ℎ ;

𝑝ℎ + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑝ℎ

𝑝𝑠𝑡 − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 ;

𝑝𝑠𝑡 + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡

𝑦ℎ𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 𝑞ℎ = 1 − 𝑝ℎ 𝑎ℎ = 𝑦ℎ𝑖

𝑛ℎ

𝑖=1

LOGO

Estimasi Total (jika diketahui proporsi)

MPC1

Estimasi Domain


Total 𝐴 ℎ = 𝑁ℎ ∙ 𝑝ℎ 𝐴 𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑝𝑠𝑡 = 𝐴 ℎ

𝐿

ℎ=1

Varians Total

𝑣 𝐴 ℎ = 𝑁ℎ2 ∙ 𝑣 𝑝ℎ 𝑣 𝐴 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 𝑣(𝐴 ℎ)

𝐿

ℎ=1

Standar Error

𝑠𝑒 𝐴 ℎ = 𝑣 𝐴 ℎ 𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡 = 𝑣 𝐴 𝑠𝑡

RSE 𝑅𝑆𝐸 𝐴 ℎ =𝑠𝑒 𝐴 ℎ

𝐴 ℎ× 100% 𝑅𝑆𝐸 𝑌 𝑠𝑡 =

𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡

𝐴 𝑠𝑡

× 100%


𝐴 ℎ − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝐴 ℎ ;

𝐴 ℎ + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝐴 ℎ

𝐴 𝑠𝑡 − 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡 ;

𝐴 𝑠𝑡 + 𝑍𝛼2

∙ 𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡

LOGO

Alokasi Sampel

Alokasi sembarang --> jarang digunakan

Alokasi sama (equal)

Alokasi sebanding (proportional)

Alokasi Neyman

Alokasi optimum

MPC1

LOGO

Alokasi Sama (Equal) Alokasi ini sering digunakan jika varians strata 𝑆ℎ

2 hampir

sama.

Jumlah sampel untuk setiap strata sama.

Ukuran sampel untuk strata ke-h

𝑛ℎ =𝑛

𝐿



𝐿 : jumlah strata

Ukuran sampel keseluruhan:

𝑛 =𝐿 𝑁ℎ

2 ∙ 𝑆ℎ2𝐿

ℎ=1

𝑁2𝐷2 + 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ2𝐿

ℎ=1

Keterangan:

𝐷 =𝑑

𝑍𝛼/2

MPC1

LOGO

Contoh 1

Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur (WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:

Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara equal alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.

MPC1

No Strata Populasi rumah tangga

𝑵𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah tangga

𝒚 𝒉

Standar deviasi 𝒔𝒉

1 Desa A 1200 1.5 0.5

2 Desa B 800 1.25 0.4

3 Desa C 600 1.2 0.32

4 Desa D 400 0.8 0.18

LOGO

Contoh 1

𝑍𝛼/2 = 1,96 , 𝑑′ = 5% = 0,05

𝐷 =𝑑

1,96=

𝑑′ ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 1,28

1,96= 0,03265

𝑛 =𝐿 𝑁ℎ

2 ∙ 𝑆ℎ2𝐿

ℎ=1


ℎ=1

=4 ∙ 504448

30002 ∙ 0,032652 + 502,4= 199,813 ≈ 200

𝑛ℎ =𝑛

𝐿=

200

4= 50

MPC1

No Strata 𝑵𝒉 𝒚 𝒉 𝒔𝒉 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ2 𝑁ℎ

2𝑠ℎ2

1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 300 360000

2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 128 102400

3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 61,44 36864

4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 12,96 5184

Jumlah 3000 1,28 502,4 504448

LOGO

Alokasi Sebanding (Proportional)

Alokasi ini sering digunakan jika varians strata 𝑆ℎ2 tidak

berbeda signifikan antara strata yang satu dengan strata yang lainnya.

Jumlah sampel untuk setiap strata sebanding dengan ukuran populasi di strata tsb.

Ukuran sampel strata ke-h

𝑛ℎ =𝑁ℎ

𝑁∙ 𝑛



𝑁 : jumlah populasi

𝑁ℎ : jumlah populasi di strata ke-h


𝑛 =𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ

2𝐿ℎ=1


ℎ=1

MPC1

LOGO

Alokasi Sebanding (Proportional)

Fraksi sampling sama untuk setiap strata

𝑓ℎ =𝑛ℎ

𝑁ℎ=

𝑛

𝑁= 𝑓

Dengan menggunakan alokasi proportional, akan membentuk selfweighting design (desain yang tertimbang otomatis), hal ini dibuktikan:

𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ = 𝑁ℎ

𝑁∙

1


1

𝑛 𝑦ℎ𝑖

𝑛ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙

1 − 𝑓ℎ

𝑛ℎ∙ 𝑠ℎ

2

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ

2

𝑁2∙1 − 𝑓

𝑛ℎ∙ 𝑠ℎ

2 =1 − 𝑓

𝑛 𝑊ℎ ∙ 𝑠ℎ

2

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Contoh 2


Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara proportional alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.

MPC1


𝑵𝒉


𝒚 𝒉


1 Desa A 1200 1.5 0.5

2 Desa B 800 1.25 0.4

3 Desa C 600 1.2 0.32

4 Desa D 400 0.8 0.18

LOGO

Contoh 2 𝑍𝛼/2 = 1,96 , 𝑑′ = 5% = 0,05

𝐷 =𝑑

1,96=

𝑑′ ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 1,28

1,96= 0,03265

𝑛 =𝑁 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ

2𝐿ℎ=1


ℎ=1

=3000 ∙ 502,4

30002 ∙ 0,032652 + 502,4= 149,2513 ≈ 150

𝑛1 =𝑁1

𝑁∙ 𝑛 =

1200

3000∙ 150 = 60, 𝑛3 =

𝑁3

𝑁∙ 𝑛 =

600

3000∙ 150 = 40

𝑛2 =𝑁2

𝑁∙ 𝑛 =

800

3000∙ 150 = 30, 𝑛4 =

𝑁4

𝑁∙ 𝑛 =

400

3000∙ 150 = 20

MPC1

No Strata 𝑵𝒉 𝒚 𝒉 𝒔𝒉 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ2

1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 300

2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 128

3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 61,44

4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 12,96

Jumlah 3000 1,28 502,4

LOGO

Alokasi Neyman

Jika ada variabel pendukung yang bisa digunakan untuk mengetahui

nilai varians strata 𝑆ℎ2 atau 𝑠ℎ

2 , maka alokasi Neyman akan

meningkatkan presisi dari metode sampling.

Biaya setiap strata diasumsikan sama.

Dalam metode ini sampel dialokasikan ke dalam setiap strata agar diperoleh standar error sekecil mungkin dan dengan memperhatikan besarnya varians.

Makin besar varians strata, maka jumlah sampel yang dialokasikan ke dalam strata tsb akan semakin besar.

Ukuran sampel strata ke-h:

𝑛ℎ =𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ

𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ𝐿ℎ=1

∙ 𝑛


𝑛 = 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ

𝐿ℎ=1

2


ℎ=1

MPC1

LOGO

Contoh 3


Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara Neyman alocation, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ) ? Diketahui tingkat kepercayaan 95% dan persentase margin ef error 5% dari nilai rata-ratanya.

MPC1


𝑵𝒉


𝒚 𝒉


1 Desa A 1200 1.5 0.5

2 Desa B 800 1.25 0.4

3 Desa C 600 1.2 0.32

4 Desa D 400 0.8 0.18

LOGO

Contoh 3

𝑍𝛼/2 = 1,96 , 𝑑′ = 5% = 0,05

𝐷 =𝑑

1,96=

𝑑′ ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 1,28

1,96= 0,03265

𝑛 = 𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ

𝐿ℎ=1

2


ℎ=1

=11842

30002 ∙ 0,032652 + 502,4= 138,8196 ≈ 139

MPC1

No Strata 𝑵𝒉 𝒚 𝒉 𝒔𝒉 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ2

1 Desa A 1200 1.5 0.5 0,600 600 300

2 Desa B 800 1.25 0.4 0,333 320 128

3 Desa C 600 1.2 0.32 0,240 192 61,44

4 Desa D 400 0.8 0.18 0,107 72 12,96

Jumlah 3000 1,28 1184 502,4

𝑛1 =𝑁1𝑆1

𝑁ℎ𝑆ℎ4ℎ=1

𝑛 =600

1184∙ 139 = 70

𝑛2 =𝑁2𝑆2


𝑛 =320

1184∙ 139 = 38

𝑛3 =𝑁3𝑆3


𝑛 =192

1184∙ 139 = 23

𝑛4 =𝑁4𝑆4


𝑛 =72

1184∙ 139 = 8

LOGO

Alokasi Optimum

Sampel yang berukuran n dialokasikan ke dalam setiap strata sedemikian rupa sehingga diperoleh varians sekecil mungkin dengan biaya yang tersedia atau meminimumkan biaya dengan varians tertentu.

Fungsi biaya:

𝐶 = 𝐶0 + 𝑐ℎ𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

Ukuran sampel strata ke-h:

𝑛ℎ =𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

𝑁ℎ ∙ 𝑆ℎ/ 𝑐ℎ𝐿ℎ=1

∙ 𝑛

Keterangan:

𝐶 : total biaya

𝐶0 : biaya tidak dipengaruhi desain dan metode sampling

𝑐ℎ : biaya per elemen untuk strata ke-h

MPC1

LOGO

Alokasi Optimum

Bukti:

Untuk menentukan nilai optimum 𝑛ℎ maka kita definisikan terlebih dahulu sebuah fungsi:

ψ = 𝑉 𝑦 𝑠𝑡 + λ𝐶

λ : konstanta

Dengan menggunakan Lagrange multipliers, kita bisa menentukan nilai 𝑛ℎ dan λ yang meminimumkan ψ.

𝑑ψ

𝑑𝑛ℎ= 0

−𝑊ℎ

2𝑆ℎ2

𝑛ℎ2 + λ𝑐ℎ = 0

𝑛ℎ =𝑊ℎ𝑆ℎ

λ𝑐ℎ

𝑛 = 𝑊ℎ𝑆ℎ

λ𝑐ℎ

𝐿

ℎ=1

MPC1

𝒏𝒉 =𝑵𝒉𝑺𝒉/ 𝒄𝒉

𝑵𝒉𝑺𝒉/ 𝒄𝒉𝑳𝒉=𝟏

𝒏

LOGO

Alokasi Optimum


1. Meminimumkan biaya dengan varians tertentu

𝑛 = 𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑐ℎ

𝐿ℎ=1 𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿ℎ=1

𝑁2𝐷2 + 𝑁ℎ𝑆ℎ2𝐿

ℎ=1

2. Meminimumkan varians dengan biaya tertentu

𝑛 =𝐶 − 𝐶0 𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿ℎ=1

𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑐ℎ𝐿ℎ=1

MPC1

LOGO

Contoh 4 Suatu survei dilakukan untuk mengetahui karakteristik wanita usia subur

(WUS) di suatu kecamatan dengan menggunakan desa sebagai strata. Dari survei terdahulu, diperoleh rata-rata WUS beserta standar deviasinya.:

Jika alokasi sampel untuk survei di atas dilakukan secara Optimum alocation, dengan tingkat kepercayaan 95%, berapakah ukuran sampel (𝑛) dan ukuran sampel tiap desa (𝑛ℎ) jika

a. Persentase margin of error yang diinginkan adalah 5% (dari nilai rata-ratanya).

b. Biaya yang disediakan 20 juta, biaya tetapnya 4 juta.

MPC1


𝑵𝒉

Rata-rata jumlah WUS per rumah

tangga 𝒚 𝒉


Biaya pencacahan per rumah tangga 𝒄𝒉

1 Desa A 1200 1.5 0.5 Rp 40.000,00

2 Desa B 800 1.25 0.4 Rp 22.500,00

3 Desa C 600 1.2 0.32 Rp 22.500,00

4 Desa D 400 0.8 0.18 Rp 62.500,00

LOGO

Contoh 4

a. Varians ditentukan, meminimumkan biaya

𝐷 =𝑑

1,96=

𝑑′ ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 1,28

1,96= 0,03265

𝑛 = 𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑐ℎ

𝐿ℎ=1 𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿ℎ=1

𝑁2𝐷2 + 𝑁ℎ𝑆ℎ2𝐿

ℎ=1

=214800 ∙ 6,701

30002 ∙ 0,032652 + 502,4= 143

MPC1

No Strata 𝑵𝒉 𝒚 𝒉 𝑺𝒉 𝑐ℎ 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ 𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑁ℎ𝑆ℎ2 𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑐ℎ 𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

1 Desa A 1200 1.5 0.5 40000 0,600 600 300 120000 3,000

2 Desa B 800 1.25 0.4 22500 0,333 320 128 48000 2,133

3 Desa C 600 1.2 0.32 22500 0,240 192 61,44 28800 1,280

4 Desa D 400 0.8 0.18 62500 0,107 72 12,96 18000 0,288

Jumlah 3000 1,28 1184 502,4 214800 6,701

𝑛1 =𝑁1𝑆1/ 𝑐1

𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ4ℎ=1

𝑛 =3,000

6,701∙ 143 = 64

𝑛2 =𝑁2𝑆2/ 𝑐2


𝑛 =2,133

6,701∙ 143 = 46

𝑛3 =𝑁3𝑆3/ 𝑐3


𝑛 =1,280

6,701∙ 143 = 27

𝑛4 =𝑁4𝑆4/ 𝑐4


𝑛 =0,288

6,701∙ 143 = 6

LOGO

Contoh 4

b. Biaya ditentukan, meminimumkan varians

𝐷 =𝑑

1,96=

𝑑′ ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 𝑦

1,96=

0,05 ∙ 1,28

1,96= 0,03265

𝑛 = 𝑛 =𝐶 − 𝐶0 𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿ℎ=1

𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑐ℎ𝐿ℎ=1

=(20000000 − 4000000) ∙ 6,701

214800= 500

MPC1

No Strata 𝑵𝒉 𝒚 𝒉 𝑺𝒉 𝑐ℎ 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ 𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑁ℎ𝑆ℎ2 𝑁ℎ𝑆ℎ 𝑐ℎ 𝑁ℎ𝑆ℎ/ 𝑐ℎ

1 Desa A 1200 1.5 0.5 40000 0,600 600 300 120000 3,000

2 Desa B 800 1.25 0.4 22500 0,333 320 128 48000 2,133

3 Desa C 600 1.2 0.32 22500 0,240 192 61,44 28800 1,280

4 Desa D 400 0.8 0.18 62500 0,107 72 12,96 18000 0,288

Jumlah 3000 1,28 1184 502,4 214800 6,701

𝑛1 =𝑁1𝑆1/ 𝑐1


𝑛 =3,000

6,701∙ 500 = 224

𝑛2 =𝑁2𝑆2/ 𝑐2


𝑛 =2,133

6,701∙ 500 = 159

𝑛3 =𝑁3𝑆3/ 𝑐3


𝑛 =1,280

6,701∙ 500 = 96

𝑛4 =𝑁4𝑆4/ 𝑐4


𝑛 =0,288

6,701∙ 500 = 21

LOGO

Kesimpulan

Ukuran sampel pada suatu strata akan lebih besar dari strata lainnya jika:

1. Jumlah populasi di strata tsb lebih besar

2. Varians strata lebih besar

3. Biaya lebih murah pada strata yang bersangkutan

MPC1

LOGO

Latihan Untuk meneliti perilaku kenakalan remaja, dilakukan suatu survei di suatu SMA.

Siswa di SMA tersebut dibagi menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Setiap strata dilakukan penarikan sampel secara SRS WOR. Indikator yang digunakan untuk menentukan besar sampel adalah proporsi siswa yang pernah membolos yang diperoleh dari penelitian terdahulu.

a. Diketahui biaya untuk tiap siswa laki-laki adalah Rp 16.900,00 dan siswa perempuan sebesar Rp.28.900,00, sedangkan biaya tetapnya sebesar Rp 200.000,00, berapakah jumlah sampel optimum jika biaya survei yang tersedia sebesar Rp 2.200.000,00. Alokasikan sampel tersebut ke setiap strata dan hitunglah perkiraan variansnya untuk proporsi siswa yang pernah membolos.

b. Dengan jumlah sampel yang sama dengan point (a), alokasikan sampel tsb ke dalam tiap strata dengan metode alokasi neyman, proportional, dan equal. Perkirakan nilai variansnya dan bandingkan dengan hasil pada point (a) dan varians SRS (unstratified).

c. Hitung biaya survei untuk masing-masing alokasi.

d. Interpretasikan hasil di atas !

MPC1

Jenis Kelamin Jumlah Proporsi siswa yang pernah membolos

Laki-laki 400 0,64

Perempuan 600 0,18

LOGO

PERTEMUAN 7

Penjabaran Rumus Varians Untuk berbagai Tipe Alokasi

Relative Efisiensi


LOGO

Varians Untuk Alokasi Equal

Alokasi sama (equal)

𝑛ℎ =𝑛

𝐿

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 1 − 𝑓ℎ

𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑊ℎ2 1 − 𝑓ℎ

𝑠ℎ2𝐿

𝑛

𝐿

ℎ=1

=𝐿

𝑛 𝑊ℎ

2 1 − 𝑓ℎ 𝑠ℎ2

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑜𝑟)

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 =𝐿

𝑛 𝑊ℎ

2𝑠ℎ2

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑟)

MPC1

LOGO

Varians Untuk Alokasi Proporsional

Alokasi proporsional 𝑛ℎ

𝑛=

𝑁ℎ

𝑁


𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ

𝑁

2

1 −𝑛ℎ

𝑁ℎ

𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ

𝑁

𝑁ℎ

𝑁

1

𝑛ℎ1 −

𝑛

𝑁𝑠ℎ

2

𝐿

ℎ=1

=1 − 𝑓

𝑁𝑛 𝑁ℎ𝑠ℎ

2

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑜𝑟)

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 =1

𝑁𝑛 𝑁ℎ𝑠ℎ

2

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑟)

MPC1

LOGO

Varians Untuk Alokasi Neyman

Alokasi Neyman

𝑛ℎ =𝑁ℎ ∙ 𝑠ℎ

𝑁ℎ ∙ 𝑠ℎ𝐿ℎ=1

∙ 𝑛


𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ

𝑁

2

1 − 𝑓ℎ

𝑠ℎ2

𝑛𝑁ℎ𝑠ℎ∙ 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

=1

𝑁2𝑛 1 − 𝑓ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

∙ 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

(𝑤𝑜𝑟)


𝑁2𝑛 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

2

(𝑤𝑟)

MPC1

LOGO

Varians Untuk Alokasi Optimum

Alokasi Optimum

𝑛ℎ =𝑁ℎ𝑠ℎ/ 𝑐ℎ

𝑁ℎ𝑠ℎ/ 𝑐ℎ𝐿ℎ=1

∙ 𝑛


𝑠ℎ2

𝑛ℎ

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ

𝑁

2

1 − 𝑓ℎ

𝑠ℎ2

𝑛𝑁ℎ𝑠ℎ/ 𝑐ℎ∙ 𝑁ℎ𝑠ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

=1

𝑁2𝑛 1 − 𝑓ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿

ℎ=1

∙ 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

/ 𝑐ℎ (𝑤𝑜𝑟)


𝑁2𝑛 𝑁ℎ𝑠ℎ/ 𝑐ℎ

𝐿

ℎ=1

2

(𝑤𝑟)

MPC1

LOGO

Relative Efisiensi

Jika finite population correction (fpc) diabaikan, maka: 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ≤ 𝑉𝑠𝑟𝑠

Bukti:

𝑉𝑠𝑟𝑠 = 1 − 𝑓𝑆2

𝑛

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 =(1 − 𝑓)

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

2 =1

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

2 −

𝐿

ℎ=1

1

𝑁 𝑊ℎ𝑆ℎ

2

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

𝑉𝑜𝑝𝑡 =1

𝑁2𝑛 1 − 𝑓ℎ 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

∙ 𝑁ℎ𝑠ℎ

𝐿

ℎ=1

=1

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

𝐿

ℎ=1

2

−1

𝑁 𝑊ℎ𝑆ℎ

2

𝐿

ℎ=1

MPC1

LOGO

Relative Efisiensi Analisis Varians untuk Stratified Sampling

𝑁 − 1 𝑆2 = 𝑦ℎ𝑖 − 𝑌 2

𝑁ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

= 𝑦ℎ𝑖 − 𝑌 ℎ2 + 𝑁ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2

𝐿

ℎ=1

𝑁ℎ

𝑖=1

𝐿

ℎ=1

= 𝑁ℎ − 1 𝑆ℎ2 + 𝑁ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

𝑆2 = 𝑊ℎ𝑆ℎ2 + 𝑊ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

Sehingga:

𝑉𝑠𝑟𝑠 =(1 − 𝑓)

𝑛𝑆2 =

1 − 𝑓

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

2 +1 − 𝑓

𝑛

𝐿

ℎ=1

𝑊ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2

𝐿

ℎ=1

𝑉𝑠𝑟𝑠 = 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 +(1 − 𝑓)

𝑛 𝑊ℎ 𝑌 ℎ − 𝑌 2

𝐿

ℎ=1

→ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ≤ 𝑉𝑠𝑟𝑠 … (1) MPC1

LOGO

Relative Efisiensi

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 =1

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

2 −

𝐿

ℎ=1

1

𝑁 𝑊ℎ𝑆ℎ

2

𝐿

ℎ=1

𝑉𝑜𝑝𝑡 =1

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

𝐿

ℎ=1

2

−1

𝑁 𝑊ℎ𝑆ℎ

2

𝐿

ℎ=1

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 − 𝑉𝑜𝑝𝑡 =1

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

2 −1

𝑛 𝑊ℎ𝑆ℎ

𝐿

ℎ=1

2

=1

𝑛 𝑊ℎ 𝑆ℎ − 𝑆 2

𝐿

ℎ=1

𝐿

ℎ=1

𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝑉𝑜𝑝𝑡 +1

𝑛 𝑊ℎ 𝑆ℎ − 𝑆 2

𝐿

ℎ=1

→ 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 … (2)

Keterangan:

𝑆 = 𝑊ℎ𝑆ℎ

𝐿

ℎ=1

Dari (1) dan (2) diperoleh 𝑉𝑜𝑝𝑡 ≤ 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑝 ≤ 𝑉𝑠𝑟𝑠

MPC1

LOGO

Contoh

Dari 36 mahasiswa kelas 2KS1, dikelompokkan menjadi 2 strata berdasarkan jenis kelamin. Jumlah mahasiswa laki-laki adalah 19 orang, perempuan 17 orang. Dari masing-masing strata diambil sejumlah sampel secara SRS WOR untuk meneliti jam belajar per minggu dan keikutsertaan dalam kegiatan UKM. Data yang diperoleh sbb:

MPC1

Laki-laki Perempuan

No Jam

belajar UKM No

Jam belajar

UKM

1 7 Ya 1 14 Tidak

2 10 Tidak 2 18 Ya

3 3 Ya 3 21 Tidak

4 6 Ya 4 10 Tidak

5 14 Tidak 5 16 Ya

6 5 Ya

a. Perkirakan rata-rata dan total jam belajar mahasiswa kelas 2KS1

b. Perkirakan proporsi dan total mahasiswa 2KS1 yang mengikuti kegiatan UKM.

Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, 95%CI dan relatif efisiensi (RE)-nya terhadap SRS !

LOGO

Estimasi Rata-rata dan Total Jam Belajar (1)

MPC1

𝒉 𝑁ℎ 𝑛ℎ 𝑓ℎ 𝑊ℎ 𝑦ℎ𝑖 𝑠ℎ2

Rata-rata Total

𝑦 ℎ 𝑊ℎ𝑦 ℎ 𝑣(𝑦 ℎ) 𝑊ℎ2 ∙ 𝑣 𝑦 ℎ 𝑌 ℎ 𝑣 𝑌 ℎ

1 19 6 0,316 0,528

7,

10,

3,

6,

14,

5

15,5 7,5 3,96

1,767

0,493 142,5 637,89

2 17 5 0,294 0,472

14,

18,

21,

10,

16

17,2

15,8

7,46

2,429

0,541 268,6 701,98

Jumlah 36 11 1 11,42 1,034 411,1 1339,87

N 𝑛 𝑦 𝑠𝑡 𝑣(𝑦 𝑠𝑡) 𝑌 𝑠𝑡 𝑣(𝑌 𝑠𝑡)

LOGO

Estimasi Rata-rata Jam Belajar

𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ = 3,96 + 7,46 = 11,42

𝐿

ℎ=1

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙ 𝑣(𝑦 ℎ)

𝐿

ℎ=1

= 0,493 + 0,541 = 1,033

𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡 = 𝑣(𝑦 𝑠𝑡) = 1,033 = 1,0163

𝑟𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡 =𝑠𝑒(𝑦 𝑠𝑡)

𝑦 𝑠𝑡× 100 =

1,0163

11,42× 100% = 8,9%

Confidence Interval 95%: 𝑦 𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡 < 𝑌 < 𝑦 𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 𝑠𝑡

11,42 − 1,96 ∙ 1,0163 < 𝑌 < 11,42 + 1,96 ∙ 1,0163 9,4 < 𝑌 < 13,41

MPC1

LOGO

Estimasi Total Jam Belajar

𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑦 𝑠𝑡 = 36 ∙ 11,42 = 411,12

𝑣 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 362 ∙ 1,034 = 1339,87

𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡 = 𝑣(𝑌 𝑠𝑡) = 1339,87 = 36,604

𝑟𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡 =𝑠𝑒(𝑌 𝑠𝑡)

𝑌 𝑠𝑡

× 100 =36,604

411,12× 100% = 8,9%

Confidence Interval 95%:

𝑌 𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡 < 𝑌 < 𝑌 𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 𝑠𝑡

411,12 − 1,96 ∙ 36,604 < 𝑌 < 411,12 + 1,96 ∙ 36,604 339,38 < 𝑌 < 482,86

MPC1

LOGO

𝑅𝐸 =𝑣(𝑦 𝑠𝑡)

𝑣(𝑦 𝑠𝑡)𝑠𝑟𝑠× 100%

=1,033

2,113× 100%

= 48,89%

Estimasi Rata-Rata Jam belajar(Menghitung RE)

MPC1

𝒉 𝑁ℎ 𝑛ℎ 𝑓ℎ 𝑊ℎ 𝑦ℎ𝑖 𝑠ℎ2

Rata-rata

𝑾𝒉 ∙ 𝒔𝒉𝟐 𝑾𝒉 ∙ 𝒚 𝒉 − 𝒚 𝒔𝒕

𝟐 𝑦 ℎ 𝑊ℎ𝑦 ℎ

1 19 6 0,316 0,528 7, 10, 3, 6,

14, 5 15,5 7,5 3,96 8,184 8,113

2 17 5 0,294 0,472 14, 18,

21, 10, 16 17,2

15,8 7,46 8,118 9,055

Jumlah 36 11 1 11,42 16,302 17,168

N 𝑛 𝑦 𝑠𝑡

𝑣(𝑦 𝑠𝑡)𝑠𝑟𝑠 =1

𝑛−

1

𝑁 𝑊ℎ ∙ 𝑠ℎ

2 + 𝑊ℎ ∙ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑠𝑡2

𝑛ℎ

ℎ=1

𝑛ℎ

ℎ=1

=1

11−

1

3616,302 + 17,168 = 2,113

𝑣 𝑦 𝑠𝑡 = 1,033

LOGO

Estimasi Proporsi Mahasiswa Yang Ikut UKM

MPC1

𝒉 𝑁ℎ 𝑛ℎ 𝑓ℎ 𝑊ℎ 𝒂ℎ 𝑠ℎ2

Rata-rata Total

𝑝ℎ 𝑊ℎ𝑝ℎ 𝑣(𝑝ℎ) 𝑊ℎ2 ∙ 𝑣 𝑝ℎ 𝐴 ℎ 𝑣 𝐴 ℎ

1 19 6 0,316 0,528 4 0,221 0,67 0,353 0.025 0.00705 12,73 9.148

2 17 5 0,294 0,472 2 0,240 0,40 0,188 0.034 0.00756 6,8 9.792

Jumlah 36 11 1 0,541 0.01461 19.46 18.940

N 𝑛 𝑝𝑠𝑡 𝑣(𝑝𝑠𝑡) 𝐴 𝑠𝑡 𝑣(𝐴 𝑠𝑡)

LOGO

Estimasi Proporsi

𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ = 0,353 + 0,188 = 0,541

𝐿

ℎ=1

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 𝑊ℎ2 ∙ 𝑣(𝑝ℎ)𝐿

ℎ=1 = 0,00705 + 0,00756 = 0,01461

𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 = 𝑣(𝑝𝑠𝑡) = 0,01461 = 0,1208

𝑟𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 =𝑠𝑒(𝑝𝑠𝑡)

𝑝𝑠𝑡× 100 =

0,1208

0,541× 100% = 22,35%

Confidence Interval 95%: 𝑝𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡 < 𝑃 < 𝑝𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝑝𝑠𝑡

0,541 − 1,96 ∙ 0,1208 < 𝑃 < 0,541 + 1,96 ∙ 0,1208 0,304 < 𝑃 < 0,777

MPC1

LOGO

Estimasi Total

𝐴 𝑠𝑡 = 𝑁 ∙ 𝑝𝑠𝑡 = 36 ∙ 0,541 = 19,46

𝑣 𝐴 𝑠𝑡 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 362 ∙ 0,01461 = 18,94

𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡 = 𝑣(𝐴 𝑠𝑡) = 18,94 = 4,325

𝑟𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡 =𝑠𝑒(𝐴 𝑠𝑡)

𝐴 𝑠𝑡

× 100 =4,325

19,46× 100% = 22,35%

Confidence Interval 95%:

𝐴 𝑠𝑡 − 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡 < 𝐴 < 𝐴 𝑠𝑡 + 1,96 ∙ 𝑠𝑒 𝐴 𝑠𝑡

19,46 − 1,96 ∙ 4,325 < 𝐴 < 19,46 + 1,96 ∙ 4,325 10,936 < 𝐴 < 27,997

MPC1

LOGO

𝑅𝐸 =𝑣(𝑝𝑠𝑡)

𝑣(𝑝𝑠𝑡)𝑠𝑟𝑠× 100%

=0,01461

0,0156× 100%

= 93,68%

Penyelesaian (Menghitung RE)

MPC1

𝒉 𝑁ℎ 𝑛ℎ 𝑓ℎ 𝑊ℎ 𝒂ℎ 𝑠ℎ2

Rata-rata

𝑾𝒉 ∙ 𝒔𝒉𝟐 𝑾𝒉 ∙ 𝒑𝒉 − 𝒑𝒔𝒕

𝟐 𝑝ℎ 𝑊ℎ𝑝ℎ

1 19 6 0,316 0,528 4 0,221 0,67 0,353 0,1167 0,0086

2 17 5 0,294 0,472 2 0,240 0,40 0,188 0,1133 0,0096

Jumlah 36 11 1 0,541 0,2300 0,0182

N 𝑛 𝑝𝑠𝑡

𝑣(𝑝𝑠𝑡)𝑠𝑟𝑠 =1

𝑛−

1

𝑁 𝑊ℎ ∙ 𝑠ℎ

2 + 𝑊ℎ ∙ 𝑝ℎ − 𝑝𝑠𝑡2

𝑛ℎ

ℎ=1

𝑛ℎ

ℎ=1

=1

11−

1

360,2300 + 0,0182 = 0,0156

𝑣 𝑝𝑠𝑡 = 0,01461

LOGO

Latihan Dari Data 1, misalkan dari populasi 100 rumah tangga di desa X

dikelompokkan menjadi 3 strata berdasarkan blok tempat tinggal, yaitu blok A, blok B, dan blok C.

a. Dengan menggunakan TAR halaman 2 baris 1 kolom 1, lakukan penarikan sampel secara SRS WOR independen untuk setiap strata. Pengambilan angka random dengan pendekatan independent choice of digits.

b. Perkirakan rata-rata ART, jumlah penduduk, proporsi dan total rumah tangga yang lantai terluasnya bukan tanah. Lengkapi dengan nilai standar error, RSE, 95%CI, dan relatif efisiensinya jika dibandingkan dengan SRS ! Interpretasikan hasil yang diperoleh !

MPC1

Blok Populasi Sampel

A 30 8

B 48 12

C 22 5

Jumlah 100 25

LOGO MPC1

Have a nice sampling

Documents

KONSEP DASAR METODE SAMPLING - · PDF fileNilai karakteristik yang dihitung (diestimasi) dapat berupa rata-rata, total, rasio, proporsi, persentase, ... seperti blok sensus, RT/RW,