Upload
duongkien
View
1.183
Download
33
Embed Size (px)
Citation preview
2
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukan
peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu
komposisi transformasi
3
Transformasi
Untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada sebuah bidang dapat
dikerjakan dengan transformasi.
Transformasi T pada suatu bidang
‘memetakan’ tiap titik P pada
Bidang menjadi P’ pada bidang itu
pula.
Titik P’ disebut bayangan atau peta
titik P
4
Transformasi Invers
Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi
yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan transformasi invers
5
soal
Peta dari garis x – 2y + 5 = 0
oleh transformasi yang
dinyatakan dengan matriks
adalah…. 32
11
6
Pembahasan
A(x,y) A’(x’ y’)
Ingat: A = BX maka X = B-1.A
32
11
y
x
32
11
'
'
y
x
y'
x'
12
13
23
1
y
x
8
x = 3x’ – y’ dan y = -2x’ + y’
disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0
3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0
3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0
7x’ – 3y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya:
7x – 3y + 5 = 0
9
Komposisi Transformasi Bila T1 adalah suatu transformasi
dari titik A(x,y) ke titik A’(x’,y’)
dilanjutkan dengan transformasi T2
adalah transformasi dari titik A’(x’,y’)
ke titik A”(x”,y”) maka dua transformasi
berturut-turut tsb disebut Komposisi
Transformasi dan ditulis T2 o T1
10
Komposisi Transformasi
Dengan matriks
Bila T1 dinyatakan dengan matriks
dan T2 dengan matriks
maka dua Transformasi berturut-turut
mula-mula T1 dilanjutkan dengan T2
ditulis T2 o T1 =
dc
ba
sr
qp
sr
qp
dc
ba
11
Soal 1
Matriks yang bersesuaian dengan
dilatasi dengan pusat (0,0) dan
faktor skala 3 dilanjutkan dengan
refleksi terhadap garis y = x
adalah…
12
Pembahasan
M1= Matrik dilatasi skala 3
adalah
M2 = Matrik refleksi terhadap
y = x adalah
30
03
01
10
13
Matriks yang bersesuaian dengan
M1 dilanjutkan M2
ditulis M2 o M1 =
=
Jadi matriknya adalah
01
10
30
03
03
30
0003
3000
03
30
14
Soal 2
Bayangan segitiga ABC, dengan
A (2,1), B (6,1), C (5,3) karena
refleksi terhadap sumbu Y
dilanjutkan rotasi (0,π)
adalah…
15
Pembahasan
Refleksi sb Y: (x,y) sb Y (-x, y)
Rotasi π: (x,y) [O, π] (-x,-y)
A(2,1) sb Y A’(-2,1) (O, π) A”(2,-1)
B(6,1) sb Y B’(-6,1) (O, π) B”(6,-1)
C(5,3) sb Y C’(-5,3) (O, π) Q”(5,-3)
16
Soal 3
Luas bayangan
persegi panjang PQRS
dengan P(-1,2), Q(3,2), R(3,-1),
S(-1,-1) karena dilatasi [O,3]
dilanjutkan rotasi pusat 0
bersudut ½π adalah…
17
Pembahasan
Dilatasi: (x,y) [O,k] (kx, ky)
Rotasi ½π: (x,y) [O,½π] (-y,x)
P(-1,2) [O,3] P’(-3,6) (O,½π) P”(-6,-3)
Q(3,2) [O,3] Q’(9,6) (O,½π) Q”(-6,9)
R(3,-1) [O,3] Q’(9,-3) (O,½π) Q”(3,9)
S(-1,-1) [0,3] S’(-3,-3) (O,½π) S”(3,-3)
18
P”(-6,-3), Q”(-6,9), R”(3,9),
dan S”(3,-3) membentuk
persegi panjang P”Q”R”S”
Q”P” = 9 – (-3)
= 12
Q”R” = 3 – (-6)
= 9
Luas = 12.9 = 108 P”(-6,-3)
Q”(-6,9) R”(3,9)
S”(3,-3)
X
Y
O
19
Soal 4
T1 adalah transformasi yang
bersesuaian dengan matrik
dan T2 adalah transformasi yang
bersesuaian dengan
matrik
21
11
12
23
20
Bayangan titik A(m,n) oleh
transformasi T1 dilanjutkan T2
adalah A’(-9,7).
Nilai m - 2n sama dengan….
23
diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m
Nilai m = 7 disubstitusi ke
m + n = -9 7 + n = -9
n = -16
Jadi nilai m – 2n = 7 + 32 = 39
m
nm
7
9
24
Soal 5
Jika titik (a,b) dicerminkan
terhadap sumbu Y, dilanjutkan
dengan transformasi sesuai
matriks menghasilkan
titik (1,-8) maka nilai a + b =….
21
12
25
Pembahasan Matriks pencerminan terhadap
sumby Y: T1 =
T2 =
T2 o T1 =
10
01
21
12
21
12
10
01-
21
12
26
21
12
10
01-
21
12
8
1
b
a
21
12
8
1
21
12
)1(4
1
b
a
3
2
161
82
5
1
b
a
b
a
Jadi : a + b = 2 + (-3) = -1
27
Soal 6
Persamaan peta
garis x – 2y + 4 = 0
yang dirotasikan
dengan pusat (0,0) sejauh +900,
dilanjutkan dengan pencerminan
terhadap garis y = -x adalah….
28
Pembahasan
Rotasi +90o: (x,y) [O,+90o] (-y, x)
Refleksi y = -x: (-y,x) y = -x (-x,y)
Sehingga x” = -x → x = -x”
dan y” = y → y = y”
disubstitusi ke x – 2y + 4 = 0
diperoleh (-x”) – 2y” + 4 = 0
Jadi petanya: x + 2y – 4 = 0
29
Soal 7
Persamaan peta
kurva y = x2 - 3x + 2
karena pencerminan terhadap
sumbu x dilanjutkan dilatasi
dengan pusat 0 dan
faktor skala ⅓ adalah…
30
• Pembahasan
Refleksi terhadap sumbu x
x’ = x
y’ = -y
Dilanjutkan dengan dilatasi: [O,⅓]
x” = ⅓x’ = ⅓x
y” = ⅓y’ = -⅓y
31
dari x” = ⅓x dan y” = -⅓y
diperoleh x = 3x” dan y = -3y”
kemudian disubstitusi ke
y = x2 – 3x + 2
-3y” = (3x”)2 – 3(3x”) + 2
-3y” = 9(x”)2 – 9x” + 2
Jadi petanya: y = -3x2 + 3x - ⅔
32
Soal 8
Persamaan peta suatu kurva
oleh refleksi
terhadap sumbu X,
dilanjutkan translasi
adalah y = x2 – 2. Persamaan
kurva semula adalah….
3
2
33
Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x
x’ = x
y’ = -y
Dilanjutkan dengan translasi:
x” = x’ + 2 = x + 2
y” = y’ + 3 = -y + 3
3
2
34
x” = x + 2 dan y” = -y + 3
disubtitusikan ke: y” = (x”)2 – 2
-y + 3 = (x + 2)2 – 2
-y = x2 + 4x + 4 – 2 – 3
-y = x2 + 4x – 1
Jadi persamaan kurva
semula: y = -x2 – 4x +1
35
Soal 9
Persamaan peta garis
3x – 4y = 12 karena refleksi
terhadap garis y – x = 0,
dilanjutkan oleh transformasi
yang bersesuaian dengan
matriks adalah….
11
53
36
Pembahasan 3x – 4y = 12 3y – 4x = 12
Dilanjutkan transformasi:
→
x’ = -3x + 5y
y’ = -x + y
y = x
y
x
11
53
y'
x'
yx
yx 53
y'
x'
x 1
x 3
x’ = -3x + 5y
3y’ =-3x + 3y
11
53
37
x’ = -3x + 5y
3y’ = -3x + 3y
x’ -3y’ = 2y diperoleh:
Disubstitusi ke 3y – 4x = 12 2
5'dan x
2
'3' yxyxy
38
Disubstitusi ke: 3y – 4x = 12
diperoleh:
ruas kiri dan kanan dikali 2
3x’ – 9y’ – 4x’ + 20y’ = 24
-x’ + 11y = 24
Jadi petanya adalah 11y – x = 24
122
'5'4
2
'3'3
yxyx
39
Soal 10
Parabola dengan titik puncak (1,2)
dan fokus (1,4) dicerminkan terhadap
garis x = 5, kemudian dilanjutkan
dengan transformasi putaran dengan
pusat O(0,0) sejauh 90o berlawanan
arah jarum jam. Persamaan peta
kurva tersebut adalah….
40
Pembahasan
(x,y) (2m – x,y) (-y, 2m –x)
Pusat (1,2)
(1,2) P’(9 ,2) P”(-2,9)
Fokus (1,4)
(1,4) F’(9,4) F”(-4,9)
Kurva tersebut puncaknya di
P”(-2,9) dan fokusnya di F”(-4,9)
M x = m R +90o
M x = 5 R +90o
M x = 5 R +90o
41
Kurva yang puncaknya di P”(-2,9)
dan fokusnya di F”(-4,9)
adalah parabola yang terbuka ke
kiri dan p = jarak puncak ke fokus
= 2, sehingga persamaanya
(y – b)2 = -4p(x – a)
(y – 9)2 = -4.2(x – (-2))
(y – 9)2 = -8(x + 2) Jadi persamaanya: y2 – 18y + 8x + 97 = 0