Kompiuterinė lazerių fizika

ĮVADAS

Konspektai

http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/

Skyrelis TEACHING

Laboratoriniai

311 aud., du pogrupiai, kas antra savaitė

Matlab kalba

8 laboratoriniai – užduotys, surašytos interneto puslapyje

Istorija

LASER – light amplification by stimulated emission of radiation

Lazerio principas kilo iš maser’io principoMASER – microwave amplification by stimulated emissionMaseris buvo pasiūlytas: Basov ir Prokhorov (1954-1955) bei Townes (1954).Schalow ir Townes perkelė jo principą į matomą spinduliuotę.

Maseris – perėjimai tarp molekulinių lygmenųLaseris – perėjimai tarp atomo elektrono lygmenų.

Lazerio sandara

•Rezonatorius•Aktyvoji terpė•Kaupinimo šaltinis

Bėganti e.m. banga:Rezonatoriuje – stovinčios e.m. bangos

Rezonatoriaus ilgis lygus sveikam pusbangių skaičiui.

Lazerio sandara

Aktyvioji terpė – šuoliai tarp elektroninių lygmenų. Užpildos inversija – lazerio generacijos sąlyga.

Lygmenų schemos.

Trijų lygmenų schema: Keturių lygmenų schema:

3 3

Kaupi-nimas

Nespindulinisperėjimas 2

2Lazerinisperėjimas

1

1 0

Pvz.: rubino lazeris Pvz: neodimio stiklo lazeris

Lazerio spinduliuotės savybės:

•Didelės galios (1010 W)•Kryptingumas •Monochromatiškumas (δν/ν=10-15)•Koherentiškumas (300000 km – koherentiškumo ilgis)•Ultratrumpieji impulsai (fs)

Lygmenų išplitimas

Dėl įvairių priežasčių lazeriniai lygmenys išplitę:Lorenco (baigtinė gyvavimo trukmė)Gauso (susidurimai tarp molekulių)

Lazerio aprašymas

•Rate equations - fenomenologinė teorija.•Pusiau klasikinė teorija – atomas aprašomas kvantmechaniškai, šviesa –klasikinė, elektromagnetinė banga.•Kvantinė lazerio teorija – ir atomas, ir šviesa kvantiniai. Paaiškina spontaninįspinduliavimą.

Pradžioje panagrinėsime fenomenologines lygtis.

Lazerio aprašymas – rate equations

Dviejų lygmenų schema, neįskaitomas spontaninis spinduliavimas.

Fotonų skaičiaus kitimo greitis

Greitis, kuriuosužadintas atomasgeneruoja/sugeria fotoną

Viršutinio lygmensužpilda, priverstinisspinduliavimas

Apatinio lygmensužpilda, priverstinėsugertis

Praradimai rezonatoriuje

Lazerio aprašymas – rate equations

Tikimybė pereiti išviršutinio lygmensĮ apatinį (pvz. susidūrimai)

Viršutinio lygmens užpildos kitimo greitis

Tikimybė pereiti išapatinio lygmens į viršutinį(dėl kaupinimo)

Priverstinis spinduliavimasbei sugertis

Lazerio aprašymas – rate equations

Analogiškai apatiniam lygmeniui:

Sudėję turime

Taigi, bendras atomųskaičius – nekintantisdydis

Lazerio aprašymas – rate equations

Pažymėję

Galime išreikšti

Tuomet

Lazerio aprašymas – rate equations

Pažymime

vadinsime neįsotintaInversija (bus aišku, kodėl)

Gauname

bei

Tai yra dvi sukabintos diferencialinės lygtys. Bendru atveju analiziškaijos nesisprendžia. Panagrinėsime pradžiai stacionarius sprendinius.

Lazerio aprašymas – rate equations

Stacionarus atvejis

Matome, kodėl buvo įvestas terminas ‘neįsotinta inversija’. Kai fotonų skaičiusmažas, D lygus D_0.

Lazerio aprašymas – rate equations

Fotonų skaičiui stacionariuoju atveju turime

Ši lygtis turi du galimus sprendinius:

ir

Panagrinėkime šiuos sprendinius išsamiau.

Lazerio aprašymas – rate equations

-Nėra lazerio generacijos(neįskaitytas spontaninis spind.)

Kai , galimas tik nulinis sprendinys.

Kai

galimas sprendinys.Tai yra lazerio generacijos sąlyga.Kaupinimas turi būti pakankamas,kad būtų sukompensuoti nuostoliai.

Lazerio aprašymas – rate equations

Stacionarųjį sprendinį

Galima apytiksliai perrašyti

Tardami, kad D lėtai kintair įrašę į:

Gauname

arba

Lazerio aprašymas – rate equations

Startuodami iš bet kokios pradinės sąlygos,sprendinys suvažiuoja į nulį

Sprendinys artėja link n_0

Užduotis: sumodeliuoti šią lygtį Runge-Kutta metodu abiem atvejaisesant skirtingom pradinėm sąlygoms.

Lazerio aprašymas – rate equations

a=1b=1

a=-1b=1

Oilerio metodai

I Oilerio metodas

Teiloro eilutė iki pirmos eilės išvestinės

Oilerio metodai

II Oilerio metodas

Tarpinė reikšmė:

Galutinė

Tai atitinka Teiloro eilutės skleidinį iki antros eilės išvestinės.

Oilerio metodai

II Oilerio metodas

Įrodymas

Oilerio metodai

Runge-Kutta metodas

Tai atitinka Teiloro eilutės skleidinį iki ketvirtos eilės išvestinės.

Oilerio metodai

Runge-Kutta metodas

Įrodymas

Oilerio metodai

Runge-Kutta metodas

Įrodymas

Paliekami nariai tiktai iki ketvirtos eilės mažų narių.

Oilerio metodai

Runge-Kutta metodas

Įrodymas

Oilerio metodai

Runge-Kutta metodas

Įrodymas

Oilerio metodaiRunge-Kutta metodas

Įrodymas

Sudėjus

Oilerio metodai

RK 4 metodo įrodymo nereikės per egzaminą.

Runge Kutta metodas su Matlab

Funkcija [t,y]=ode45(@func, [tprad tgal],[y0]);

Funkcija func aprašoma to paties pavadinimo faile func.mMatlab Help:ODE::defined

Piesimas:

plot(t,y);

Paviršinė vandens banga = išilginė b.+ skersinė b.

Bangų matematinis aprašymas

Kaip aprašyti bangą matematiškai?

atsilenkimas nuo pusiausvyros padėtiesξPažymėkime:

Dabar nesvarbu, ar tai atsilenkimas išilgai bangos sklidimo krypties (išilginė banga),ar statmenai bangos sklidimo krypties (skersinė banga).

Jei yra bet kokia funkcija f nuo argumento:

vxt /− vxt /+arba

tai ji nusako bangos sklidimą greičiu v, X ašies kryptimi arba priešinga kryptim.t – laikas.

ξ

Iš tikrųjų: vdtdxconstxvt =⇒=− /

Kodėl v yra bangos greitis?

(Kai funkcijos argumentas pastovus, tai ir funkcijos reikšmė pastovi.)

Bangų matematinis aprašymas

Taigi, funkcijos

)/(),()/(),(

vxtftxvxtftx

+=−=

ξξ aprašo bangos sklidimą X ašies kryptimi

aprašo bangos sklidimą prieš X ašį

Harmoninės bangos

])/[cos(),( vxtatx −= ωξ ω - ciklinis dažnis

Iš periodiškumo sąlygų:

- periodasTωππω /22 =⇒=∆ Tt

- bangos ilgisvTvvx ==⇒=∆ ωπλπω /22/ λ

Kadangi ν/1=T - virpesių dažnisν

tai νλ /v=

Bangų matematinis aprašymas

Užrašysime kosinuso argumentą simetrine forma:

kxtvxt −=− ωωω /

ČiaTvvk /2/ πω ==

arbaλπ /2=k - banginis skaičius

Taigi harmoninė banga gali būti užrašyta taip:

)cos( kxta −= ωξ

Bangų matematinis aprašymas

)cos( kxta −= ωξ

Bangų matematinis aprašymas

Šios funkcijos aprašo plokščias bangas: bangos frontas (vienodos fazės paviršius) yra plokštuma, statmena X ašiai. Banga, sklindantibet kokia pasirinkta kryptimi, aprašoma tokia lygtim:

)/( vnrtf vr−=ξ

nr - vienetinis vektorius, aprašantis bangos sklidimo kryptį

Harmoninės bangos atveju

)cos( rkta vv−= ωξ

kr

- banginis vektorius

Bangų matematinis aprašymas

Banginės lygtys

Turėjome

)/(),( vxtftx −=ξ

Pažymėkime fazę: vxt /−=ϕ

Raskime išvestines pagal laiką ir koordinatę:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−•

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

•∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

vxx

tt1

1

ϕξϕ

ϕξξ

ϕξϕ

ϕξξ

Iš čia seka

tvx ∂∂

−=∂∂ ξξ 1 Tai yra pati paprasčiausia

banginė lygtis

Bangų matematinis aprašymas

Bangai, sklindančiai priešinga kryptimi, atliksime pakeitimą

vv −⇒

Tuomet

tvx ∂∂

=∂∂ ξξ 1

Taigi, kiekviena iš dif. lygčių aprašo bangą, sklindančią viena arbapriešinga kryptim. Išvesime diferencialinę lygtį, kurios sprendiniai bus dviejų tokių bangų superpozicija.

Bangų matematinis aprašymas

Tuo tikslu raskime antrąsias išvestines:

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

111ϕξϕ

ϕξ

ϕξξ

ϕξ

ϕξξξ

∂∂

=∂∂

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−=∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

vxvxvx

tttt

Iš čia gauname banginę lygtį:

2

2

22

2 1tvx ∂

∂=

∂∂ ξξ

Jos bendrasis sprendinys

)/()/( 21 vxtfvxtf ++−=ξ

Bangų matematinis aprašymas

Trimačiu atveju banginė lygtis atrodo taip:

2

2

2

1tv ∂

∂=∆

ξξ

Sferinėje koordinačių sistemoje, jeigu sprendinys nepriklauso nuo erdviniųkampų, ši lygtis atrodo taip:

)(1)( 2

2

22

2

ξξ rtv

rr ∂

∂=

∂∂

Jos bendrasis sprendinys:

rvtrf

rvtrf )()( 21 +

+−

=ξ

Tai yra išsieinančios ir susieinančios sferinių bangų superpozicija.

Bangų matematinis aprašymas

Kompleksinis atvaizdavimas.

Pagal Eulerio formulę:

)sin()cos()exp( ααα ii +=

Skaičiavimuose patogu plokščią bangą atvaizduoti kompleksinėjeformoje:

])[exp( ϕωξ −−−= rktiA

amplitudė fazė

Animacijų kurimas su Matlab

Animacija

Animacijų kurimas su Matlab

Matlab kodas

Banginės lygties modeliavimas

xv

t ∂∂

−=∂∂ ξξ

Banginės lygties modeliavimas

Diskretizavimas:

),(),( tjxitx ∆∆⇒ ξξ

i, j – sveikų skaičių seka

ji ttjxxi =∆=∆ ,Pažymime:

)()0,( 0 xtx ξξ ==Mes turime pradinę sąlygą:

,...,, 321 tttUždavinys: rasti bangos pavidalą sekantiems laiko momentams:

jt

tt j ∆+

0 x∆ x∆2 Nxx

Banginės lygties modeliavimas

Žinodami , galima rasti pagal Teiloro formulę:),( jtxξ ),( 1+jtxξ

ij xxttjiji t

ttxttx==∂

∂∆+=∆+

,

),(),( ξξξ

Teiloro eilutėje įskaitomi tik du pirmieji skkleidimo nariai,toks artinys vadinamas pirmuoju Oilerio metodu.

Išvestinę paimam iš banginės lygties:ij xxttt ==∂

∂

,

ξ

ijij xxttxxtt xv

t ==== ∂∂

−=∂∂

,,

ξξ

Banginės lygties modeliavimas

ij xxttx ==∂∂

,

ξ radimas

2

22

,

2

22

,

2)(),(),(

2)(),(),(

xx

xxtxtxx

xx

xxtxtxx

ij

ij

xxttjiji

xxttjiji

∂∂∆

+∂∂

∆−=∆−

∂∂∆

+∂∂

∆+=∆+

==

==

ξξξξ

ξξξξ

Iš pirmo lygties atimam antrąją, gauname

)2/()},(),({,

xtxxtxxx jiji

xxtt ij

∆∆−−∆+=∂∂

==

ξξξ

Banginės lygties modeliavimas

Taigi, gauname

)2/()},(),({),(),( xtxxtxxtvtxttx jijijiji ∆∆−−∆+∆−=∆+ ξξξξ

Kraštinės sąlygos.

Kai , mes nežinome, kam lygusmaxii = ),( max ji txx ∆+ξ

Kai , mes nežinome, kam lygusminii = ),( min ji txx ∆−ξ

Banga sklinda teigiama X ašies kryptimi, todėl kairiajame krašte reikia užduotišaltinį, pavyzdžiui sinuso funkciją. Dešiniajame krašte užrašome:

xtxtxxtvtxttx jijijiji ∆−∆−∆+=∆+ /)},(),({),(),( maxmaxmaxmax ξξξξ