04 Elektromagnetines bangos

1

0.1. BANGINE ŠVIESOS PRIGIMTIS 3

Šiame skyriuje išvesime bangine lygti iš elektromagnetinio lauko Maksvelolygciu. Šviesa yra elektromagnetine banga, kurios dažnis yra optiniame diapa-zone. Panagrinesime galimus bangu superpozicijos rezultatus: mušimus ir stov-incia banga. Parodysim, kaip pereiti nuo klasikinio prie kvantmechaninio šviesosaprašymo, aptarsim fotono savoka.

0.1 Bangine šviesos prigimtis

Maksvelo lygtys laisvoje terpeje atrodo taip:

rot H = ∂D∂t,

rot E = −∂B∂t,

div B = 0,div D = 0.

(1)

Cia E, H yra elektrinio ir magnetinio lauko stipriai, B - magnetines indukcijosvektorius D - elektrinio lauko slinkties vektorius. Galioja saryšiai

D = ε0E,B = µ0H.

(2)

Cia ε0 ir µ0 elektrine ir magnetine konstantos. Paveike pirmaja (1) sistemos lygtirotoriaus operatoriumi bei pasinaudoje (2) saryšiais gauname

1µ0

rot rot B = −ε0∂

∂t(rot E). (3)

Pasinaudoje lygybe rot rot B = grad div B−∇2B, iš (3) lygties gauname

∇2B− ε0µ0∂2

∂t2B = 0. (4)

Analogiškai, iš (1) antrosios lygties gauname

∇2E− ε0µ0∂2

∂t2E = 0. (5)

Bangines lygtys (4) ir (5) atitinka bangas, kuriu sklidimo greitis lygus c = 1/√ε0µ0.1865 metais Maksvelas rado, kad šis dydis sutampa su šviesos greiciu vakuume,todel iškele prielaida, kad šviesa - tai elektromagnetine (EM) banga. Ši prielai-da buvo patvirtinta eksperimentiškai 1890 metais Vinerio. Apie ši eksperimentaskyrelyje apie stovincias bangas. Reikia pažymeti, kad elektromagnetiniu bangusklidimui nebutina terpe - jos gali sklisti ir vakuume. Bangines lygtys (4) bei (5)

4

yra nesurištos, todel galimas ju sprendinys yra B = 0, kai E 6= 0 atitinka kintantielektrini lauka. Šitoks sprendinys prieštarauja Maksvelo lygtims (1).

Pangrinekime paprasciausia EM bangu atveji - plokšciasias monochromatinesEM bangas. Iš pradžiu perrašykime Maksvelo lygtis kitokia forma:

∇×B = 1c2∂E∂t,

∇× E = − 1c2∂B∂t,

∇ ·B = 0,∇ · E = 0.

(6)

Šiu lygciu sprendinio ieškosime plokšciu bangu pavidalu

E = E0 exp[−i(ωt− kr)],B = B0 exp[−i(ωt− kr)]. (7)

Cia E0 ir B0 yra pastovus vektorinai dydžiai, ω ir k buvo ivesti 01 dalyje. r yraradius vektorius, t - laikas. Kadangi

∇ exp(ikr) = ik exp(ikr),∂∂t

exp(−iωt) = −iω exp(−iωt), (8)

tai, iraše (7) išraiškas i (6) lygtis, gauname algebrines lygtis:

−k×B = ωc2E,

k× E = ωB,k ·B = 0,k · E = 0.

(9)

Iš šiu lygciu seka, kad E ir B vektoriai statmeni tarpusavyje ir abu statmeni kvektoriui (1 paveikslelis).

Kadangi k = ω/c, tai iš antrosios (9) sistemos lygties seka

E = cB. (10)

Dydžiai k, ω ir c yra realus, taigi E ir B vektoriai laike kinta sinfaziškai. E ir Bvektoriu kitimas erdveje fiksuotu laiko momentu pavaizduotas 2 paveiksle.

Toliau pateiksime koda Matlab programos, modeliuojancios E ir B vektoriukitima laike.

1 N=50; X = linspace(0,12.4,N); Y = 0*X; Z2= 0*X;2 mov=avifile('mult1.avi');3 for it=1:1004 Z = cos(X−it*0.1);5 Y2=cos(X−it*0.1);

0.1. BANGINE ŠVIESOS PRIGIMTIS 5

1: E, B ir k vektoriai.

2: E ir B vektoriu kitimas erdveje begancios plokšcios monochromatines bangosatveju.

6

7 stem3(X,Y,Z,'r','fill')8 hold on9 stem3(X,Y2,Z2,'k','fill')

10 hold on;

6

11 line(X,Y,Z2);12

13 for ix=1:N14 hold on;15 plot([X(ix) X(ix)],[0 Y2(ix)],'k');16 end;17

18 hold off19 view(−25,30);20 axis off21 set(gcf,'Color',[1 1 1])22

23 F=getframe(gcf);24 mov=addframe(mov,F);25 end;26 mov=close(mov);

0.2 Elektromagnetines bangos energija ir judesio kiekis

Pasinaudosime matematine lygybe

∇(B× E) = E(∇×B)−B(∇× E). (11)

Iš dvieju pirmu Maksvelo lygciu (6) seka

Ec2(∇×B) = E∂E∂t,

Bc2(∇× E) = −c2B∂B∂t.

(12)

Iš pirmosios (12) lygties ateme antraja bei pasinaudoje (11) saryšiu, gauname lygti

dw

dt= −div S. (13)

Ciaw = ε0

2 (E2 + c2B2) (14)

yra elektromagnetines bangos energijos tankis, o

S = ε0c2E×B (15)

yra Pointingo vektorius. (13) lygtis yra tolydumo lygtis, iš jos seka energijos tver-mes desnis: jeigu nera Pointingo vektoriaus srauto per tam tikra uždaro paviršiausplota, tai energijos tankis to paviršiaus gaubiamajame turyje nekinta.

Plokšciosios monochromatines bangos atvejuB = E/c, žr. (10) lygti. Tuometiš (15) seka

S = ε0cE2. (16)

0.3. ELEKTROMAGNETINIU BANGU SUPERPOZICIJA 7

(7) formuleje elektrinio lauko stipris užrašytas kompleksineje formoje. Šitaipgalejome rašyti, nes Maksvelo lygtys vakuume yra tiesines. Tikrasis elektriniolauko stipris gaunamas, pridejus kompleksiškai sujungtine dali:

E = E0 cos(ωt+ ϕ) = 12(E0ke

iωt + E∗0ke−iωt) , (17)

cia E0k = E0eiϕ, kur i E0 ieina ir kitimas erdveje. Šviesos banga laike kinta apie

1015 Hz dažniu, ir jutikliai tokio greito kitimo neužregistruoja. Realiai registruo-jami dydžiai yra suvidurkinti laike. I (16) iraše (17) išraiška ir atlike vidurkinimalaike, gauname

〈S〉 = ε0c〈E2〉 = 12ε0c|E2

0k|. (18)

Tai reiškia, kad energijos srauto tankis, intensyvumas yra proporcingas kompleksinesamplitudes modulio kvadratui.

0.3 Elektromagnetiniu bangu superpozicija

Maksvelo lygtys (1) yra tiesines, todel, jei E1, B1 ir E2, B2 yra ju sprendiniai,tai E1 + E2, B1 + B2 taip pat bus šiu lygciu sprendiniai. Šiame skyrelyje pana-grinesime ivairias galimas plokšciu monochromatiniu elektromagnetiniu bangusuperpozicijas.

0.3.1 Mušimai

Tegu dvieju bangu k vektoriai nukreipti išilgai z ašies, o ju elektrinio lauko stipriaiE1, E2 nukreipti išilgai x ašies. Jei ju dažniai skiriasi: ω1 6= ω2, tuomet skiriasiir ju banginiai skaiciai: k1 6= k2, nes k1 = ω1/c, k2 = ω2/c. Šiu dvieju banguelektriniu stipriu superpozicija, esant vienodom amplitudem E0, užrašoma taip:

E1x + E2x = E0 cos(ω1t− k1z) + E0 cos(ω2t− k2z)= 2E0 cos

(ω1−ω2

2 t− k1−k22 z

)cos

(ω1+ω2

2 t− k1+k22 z

).

(19)

Pasinaudoje saryšiais tarp kj ir ωj , iš (19) formules gauname

E1x + E2x = 2E0 cos[(ω1 − ω2)(t− z/c)/2] cos[(ω1 + ω2)(t− z/c)/2]. (20)

Jeigu bangu dažniai skiriasi nedaug, t. y.

|ω1 − ω2| (ω1 + ω2), (21)

8

0 5 10 15−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

z

(E1x

+E

2x)/

2E0

3: Mušimai. ω1 = 10, ω2 = 11.

tuomet (20) formule aprašo greitai kintancius harmoninius svyravimus su letaikintancia amplitude. Toks reiškinys vadinamas mušimais. Iš (20) išraiškos seka,kad mušimu dažnis

Ω = |ω1 − ω2|. (22)

Elektrinio lauko stiprio kitimas erdveje esant mušimams pavaizduotas 3 paveik-slelyje.

0.3.2 Stovinti banga

Kitas svarbus bangu superpozicijos pavyzdys - stovinti banga. Ji susidaro, kai dvivienodu dažniu bei amplitudžiu bangos sklinda priešingom kryptim. Tegu abiejuplokšciu monochromatiniu bangu E vektoriai nukreipti išilgai x ašies, pirmojisklinda z ašies teigiama kryptimi, antroji - neigiama z ašies kryptimi. Tuomet

E1x + E2x = E0 cos(ωt− kz) + E0 cos(ωt+ kz − δ) =2E0 cos(kz + δ/2) cos(ωt+ δ/2). (23)

Cia δ yra fazes postumis tarp dvieju susidedanciu bangu. Užrašysime stovinciosbangos magnetine indukcija:

B1y +B2y = E0/c cos(ωt− kz)− E0/c cos(ωt+ kz − δ) =2E0/c sin(kz + δ/2) sin(ωt+ δ/2). (24)

0.3. ELEKTROMAGNETINIU BANGU SUPERPOZICIJA 9

Minuso ženklas prieš antraji demeni rašomas del to, kad E, B ir k vektoriaiplokšcios bangos sudaro vektoriu trejeta, kaip pavaizduota 1 paveikslelyje. Todel,jeigu apsuksim k vektoriu, o E vektorius palieka tos pacios krypties, tuomet Bvektorius keicia krypti. Iš (23) ir (24) formuliu matome, kad E ir B vektoriaikinta su fazes postumiu π/2: elektrine energija virsta magnetine, o po to vykstaatvirkštinis procesas.

Stovincios bangos suvaidino svarbu vaidmeni šviesos kaip elektromagnetinesbangos teorijoje. 1890 metais Vyneris (Wiener) atliko eksperimenta, patvirtinantišia teorija. Apšvitinus fotoemulsija stovincia banga, tose vietose, kur elektriniolauko stipris mažiausias (mazguose), paliks ryškios vietos; tuo tarpu elektriniolauko stiprio maksimuose (pupsniuose) atsiras tamsios demes. Reikia pastebeti,kad fotoemulsijos patamsejima itakoja tik elektrinis laukas. Atstumas tarp mazguyra lygus λ/2, ir šviesai tai yra mikronu eiles dydis. Vyneris apšvitino fotoemulsi-ja kampu, kaip parodyta 4 paveiksle. Kai fotoemulsijos polinkio kampas pakanka-mai mažas, atstumai tarp šviesiu bei tamsiu demiu yra pakankamai didelis.

4: Vynerio eksperimentas.

0.3.3 Elipsine poliarizacija

Iki šiol buvo nagrinejamos tiesines poliarizacijos bangos. Sudejus dvi statmenaipoliarizuotas bangas, tarp kuriu faziu postumis π/2, gaunama banga, kurio E vek-torius sukasi pagal elipses lygti. Iš tikruju, jei pirmos ir antros bangos elektrinio

10

5: Elipsiškai poliarizuotos bangos elektrinio lauko stiprio vektorius.

lauko stipriaiE1x = E10 sin(ωt− kz),E2y = E20 cos(ωt− kz), (25)

tai galima parodyti, kadE2

1xE2

10+ E2

2xE2

20= 1. (26)

Tai yra elipses lygtis. Sumodeliuotas elektrinio lauko stiprio kitimas erdvejepavaizduotas 5 paveikslelyje.

0.4 Kvantmechaninis šviesos aprašymas

Panagrinekime bangos sklidima ilgio L, turio V rezonatoriuje. Rezonatoriujesusidaro stovinti banga, todel elektrinio lauko stiprio išraiška galime ieškoti kaipstovinciu bangu superpozicija. Laikysime, kad bangos vektorius nukreiptras išil-gai z ašies, E vektorius išlgai x, o H - išlgai y ašies. Tuomet

Ex(z, t) =∑

j

Ajqj(t) sin(kjz). (27)

Dydis kj randamas iš salygos

sin(kj0) = sin(kjL) = 0. (28)

0.4. KVANTMECHANINIS ŠVIESOS APRAŠYMAS 11

Iš šios salygos gauname j-osios rezonatoriaus modos bangini skaiciu kj = jπ/L,j = 1, 2, 3, .... Dydis qj yra modos amplitude, Aj =

√2ω2

jmj/V ε0, kur mj masesdimensijos konstanta, ωj = jπc/L - j-osios modos ciklinis dažnis. Pasinaudojepirmuoju (2) saryšiu bei pirmaja Makvelo (1) lygtimi, magnetinio lauko stipriuigauname

Hy(z, t) =∑

j

Ajε0

kj

∂qj∂t

cos(kjz). (29)

Iraše (27) bei (29) išraiškas i klasikine energijos išraiška

H = 12

∫

VdV (ε0E

2x + µ0H

2y ) (30)

(žr. (14) formule), gauname

H = 12∑

j

mjω

2j q

2j +mj

(∂qj∂t

)2 . (31)

Šioje išraiškoje energija užrašyta kaip nepriklausomu modu energiju suma; kiekvienamoda ekvivalenti harmoniniam osciliatoriui. Osciliatoriaus judesio kiekis pj =mj

∂qj∂t

. Pereisim prie kvantmechaninio aprašymo. Tuo tikslu pasinaudosime ži-nomu komutaciniu saryšiu

[qj, pj] = i~. (32)

Ivesime naujuosius kintamuosius aj ir a+j , kurie su qj bei pj susije tokiais saryši-

ais:aje−iωjt = 1√

2mj~ωj(mjωjqj + ipj),

a+j e

iωjt = 1√2mj~ωj

(mjωjqj − ipj). (33)

Šiems naujiems kintamiesiems galioja komutacinis saryšis

[aj, a+j ] = 1, (34)

kuris seka iš (32) komutacinio saryšio. Tuo tarpu iš (31) energijos išraiškos seka

H =∑

j

~ωj(a+j aj + 1

2

). (35)

Pasinaudoje vien tik (34) komutaciniu saryšiu galime irodyti, kad kvantmechani-nis operatorius a+

j aj turi šviesos kvantu - fotonu - skaciaus operatoriaus prasme,o a+

j ir aj yra atitinkamai fotonu atsiradimo ir išnykimo operatoriai. Iš (35) for-mules matome, kad vieno kvanto energija lygi ~ωj , t. y. susijusi su banginiamešviesos aprašyme naudojamu dydžiu - cikliniu dažniu. 6 paveikslelyje parodytakaip matomosios šviesos spalva priklauso nuo bangos ilgio.

12

6: Matomos šviesos spalvos nuo bangos ilgio (nm).

’Silpna’ kvantmechaninio aprašymo vieta - tai antrasis demuo 1/2 skliaustu-ose (35) formuleje. Jeigu fotonu skaicius lygus nuliui, tai energija vis tiek yrabegaline. Ji dar vadinama vakuumo energija. Taciau nera busenos su -1 fotonu,del to nera perejimo iš vakuumo busenos i žemesni lygmeni ir ta energija neišsi-laisvina.

0.4.1 Operatoriai a, a+, a+a

Remdamiesi (34) formule parodysim, kad operatoriai a, a+ yra fotono atsiradimobei išnykimo operatiriai, o operatoriusN = a+a turi fotonu skaiciaus operatoriausprasme. Pažymekime šio operatoriaus tikrine funkcija |n〉, o tikrine verte n:

a+a|n〉 = n|n〉. (36)

Paveikime šia lygybe operatoriumi a:

aa+a|n〉 = na|n〉. (37)

Pasinaudoje komutaciniu saryšiu aa+ − a+a = 1, galime parašyti

(a+a+ 1)a|n〉 = na|n〉 (38)

arba(a+a)a|n〉 = (n− 1)a|n〉. (39)

Taigi parodeme, kad, jeigu funkcija |n〉 yra tikrine operatoriaus N funkcija, taifunkcija a|n〉 yra taip pat N tikrine funkcija, atitinkanti vienetu mažesne tikrineverte. Analogiškai, galime parodyti, kad

(a+a)a+|n〉 = (n+ 1)a+|n〉, (40)

t .y. operatorius a+ didina tikrine operatoriaus a+a verte vienetu.

0.5 Maksvelo lygtys

Šiame skyrelyje pateiksime pavyzdžius, kokie desniai seka iš Maksvelo lygciu,kurias užrašysime, laikydami, kad yra laisvu kruvininku ir sroviu. Viena pora

0.5. MAKSVELO LYGTYS 13

lygciu užrašoma tuomet taip:

div E = ρ/ε0,c2rotB = ∂E

∂t+ j/ε0.

(41)

Cia ρ yra laisvuju kruviu tankis, j - sroves tankis. Pasinaudoje Gauso-Ostrogradskioformule ∫

Vdiv EdV =

∮

SEdS, (42)

iš pirmosios (41) lygties gauname∮

SEdS = 1

ε0

∫

VρdV. (43)

Tai yra Gauso desnis, kuris elektrostatikoje gaunamas iš Kulono desnio. Be to,paveike antraja (41) lygti div operatoriumi, gauname

− ∂

∂tdiv E = 1

ε0divj. (44)

Pasinaudoje pirmaja (41) lygtimi, gauname tolydumo lygti:

∂

∂tρ+ div j = 0. (45)

Ji atitinka kruvio tvermes desni.Antra Maksvelo lygciu pora atrodo taip:

div B = 0,rot E = −∂B

∂t.

(46)

Pasinaudoje Gauso-Ostrogradskio formule iš pirmosios (46) lygties gauname∮

SBdS = 0. (47)

Matome, kad magnetines induksijos srautas per uždara paviršiu lygus nuliui, taireiškia, kad B vektoriaus linijos yra uždaros kreives. Iš Stokso teoremos

∫

Srot EdS =

∮

LEdl (48)

bei antrosios (46) lygties gauname∮

LEdl = − d

dt

∫

SBdS. (49)

Tai yra Faradejaus desnis.

14

0.6 Užduotys

Sumodeliuoti stovincios elektromagnetines bangos elektrinio lauko stipri beimagnetine indukcija.

Sumodeliuoti mušimus.Sumodeliuoti elipsiškai poliarizuotos bangos elektrinio lauko stiprio vektoriu.