Kombinatoryka - Politechnika Gdańska · Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Wykªad Magdalena Lema«ska, [email protected]. Ci¡gi oPdzbiory Symbol Newtona Zasada szu adkao Dirichleta

Ci¡gi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szu�adkowa Dirichleta Zasada wª¡czania i wyª¡czania. Ilo±¢ najkrótszych dróg.

Kombinatoryka

Magdalena Lema«ska

Wykªad Magdalena Lema«ska, [email protected]


Zasady zaliczenia przedmiotu

Maksymalna ilo±¢ punktów to 100 punktów = 100 procent.

Dwa kolokwia, ka»de trwa przez caªe zaj¦cia. Na ka»dym kolokwium mo»nazdoby¢ do 25 punktów

Przedmiot ko«czy si¦ egzaminem. Na egzaminie mo»na zdoby¢ do 45 punktów.

Pozostaªe 5 punktów zdobywa si¦ za aktywno±¢ na zaj¦ciach. Rodzaj aktywno±ciokre±la prowadz¡cy ¢wiczenia.

Aby uzna¢ ¢wiczenia za zaliczone, nale»y zdoby¢ co najmniej 25 punktów.

Aby zaliczy¢ przedmiot, nale»y zdoby¢ co najmniej 50 punktów, przy czym nieprzewidywane s¡ zwolnienia z egzaminu.

Jest mo»liwo±c podwy»szenia oceny przez uzyskanie extra-punktów za wykonaniepewnych zada« dodatkowych zaproponowanych przez wykªadowc¦. Szczegóªytych zada« b¦d¡ podane na którym± z kolejnych wykªadów. Te punkty mog¡zosta¢ dodane jedynie w przypadku zaliczenia przedmiotu (tzn. sªu»¡ doPODWY�SZENIA oceny, a nie do uzyskania zaliczenia).

Nie ma mo»liwo±ci poprawiania kolokwiów. Ostatni wykªad b¦dzie przeznaczonyna pisanie kolokwium (pierwszego lub drugiego) przez osoby, które b¦d¡nieobecne na którym± z tych kolokwiów i przynios¡ mi zwolnienie lekarskie lubinny dokument usprawiedliwiaj¡cy nieobecno±¢.

Na ¢wiczeniach mo»na mie¢ trzy nieusprawiedliwione nieobecno±ci. Przy czwartejskre±lam dan¡ osob¦ z listy studentów i wysyªam odpowiedni¡ informacj¦ dodziekanatu.















































































































Literatura

'Matematyka Dyskretna' Andrzej Szepietowski

http://wazniak.mimuw.edu.pl/

'Discrete Mathematics' Seymour Lipschutz, Marc Lipson

'Aspekty kombinatoryki' Victor Bryant

'Combinatorics' V.K. Balakrishnan



Ci¡gi dªugo±ci k

Ile ci¡gów dªugo±ci k mo»na utworzy¢ z elementów zbioru zawieraj¡cego n symboli?

1 Je±li zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to mo»na utworzy¢ dwa ci¡gidªugo±ci jeden:

(a); (b)

i cztery ci¡gi dªugo±ci dwa:

(a, a); (a, b); (b, a); (b, b).

2 Aby uzyska¢ ci¡gi dªugo±ci trzy, post¦pujemy w nast¦puj¡cy sposób: bierzemycztery ci¡gi dªugo±ci dwa i najpierw do ka»dego z nich dopisujemy na pocz¡tku a.Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b).

3 Potem do tych samych czterech ci¡gów dªugo±ci dwa dopisujemy na pocz¡tkusymbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b).

4 Komplety te s¡ rozª¡czne i oba zawieraj¡ ró»ne ci¡gi. Razem tworz¡ zbiórwszystkich ci¡gów dªugo±ci trzy.

Twierdzenie

Liczba ci¡gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru {a, b} wynosi 2k .



Ci¡gi dªugo±ci k



(a); (b)


(a, a); (a, b); (b, a); (b, b).




Twierdzenie




Ci¡gi dªugo±ci k



(a); (b)


(a, a); (a, b); (b, a); (b, b).




Twierdzenie




Ci¡gi dªugo±ci k



(a); (b)


(a, a); (a, b); (b, a); (b, b).




Twierdzenie




Ci¡gi dªugo±ci k



(a); (b)


(a, a); (a, b); (b, a); (b, b).




Twierdzenie




Ci¡gi dªugo±ci k



(a); (b)


(a, a); (a, b); (b, a); (b, b).




Twierdzenie




Uogólnienie

Je±li zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzaj¡c powy»sze rozumowaniemo»emy si¡ przekona¢, »e istnieje n ci¡gów dªugo±ci jeden, n2 ci¡gów dªugo±ci dwa iogólnie ci¡gów dªugo±ci k + 1 jest n razy wi¦cej ni» ci¡gów dªugo±ci k. Zachodzizatem twierdzenie.

Twierdzenie

Liczba ci¡gów dªugo±ci k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi nk .

Funkcje

Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B.

Funkcja jako ci¡g

Ka»d¡ funkcj¦ f : A→ B mo»na przedstawi¢ jako ci¡g (f (1), f (2), . . . , f (k)).

Ci¡g ten jest dªugo±ci k, a jego elementy s¡ wzi¦te ze zbioru B.



Uogólnienie


Twierdzenie


Funkcje


Funkcja jako ci¡g





Uogólnienie


Twierdzenie


Funkcje


Funkcja jako ci¡g





Uogólnienie


Twierdzenie


Funkcje


Funkcja jako ci¡g





Uogólnienie


Twierdzenie


Funkcje


Funkcja jako ci¡g





Zauwa»my, »e ka»dej funkcji odpowiada jeden ci¡g i na odwrót, ka»dy ci¡g (b1, . . . , bk )opisuje jedn¡ funkcj¦: tak¡, która dla ka»dego 1 ≤ i ≤ k przypisuje warto±¢ f (i) = bi .

W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ci¡gów dªugo±cik = |A| z elementami ze zbioru B. Udowodnili±my wi¦c poni»sze twierdzenie.

Twierdzenie

Je±li zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji zezbioru A w zbiór B wynosi nk .

Zadanie

Wypisz wszystkie funkcje F : X → Y , gdzie:

X = {1, 2, 3},Y = {a, b}X = {a, b},Y = {1, 2, 3}.

Zrobi¢ to samo z dodatkowym warunkiem, »e funkcje s¡ ró»nowarto±ciowe.

Zadanie

Ile jest funkcji f ze zbioru {1, . . . , n} w zbiór {a, b, c}? Ile spo±ród nich speªniawarunek f (1) = a? Ile speªnia warunek f (1) 6= f (2)?





Twierdzenie


Zadanie


X = {1, 2, 3},Y = {a, b}X = {a, b},Y = {1, 2, 3}.


Zadanie






Twierdzenie


Zadanie


X = {1, 2, 3},Y = {a, b}X = {a, b},Y = {1, 2, 3}.


Zadanie






Twierdzenie


Zadanie


X = {1, 2, 3},Y = {a, b}X = {a, b},Y = {1, 2, 3}.


Zadanie






Twierdzenie


Zadanie


X = {1, 2, 3},Y = {a, b}X = {a, b},Y = {1, 2, 3}.


Zadanie




Ci¡gi bez powtórze«

Policzmy teraz, ile jest ci¡gów bez powtórze«, czyli ci¡gów r o»nowarto±ciowych. Je±lielementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to mo»emy utworzy¢:trzy ci¡gi jednoelementowe:

(1), (2), (3)

sze±¢ ci¡gów dwuoelementowych:

(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

oraz sze±¢ ci¡gów trójelementowych:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

Przykªad

Ile ró»nowarto±ciowych ci¡gów dªugo±ci cztery mo»na stworzy¢ dla zbiorusiedmioelementowego?



Ci¡gi bez powtórze«

Policzmy teraz, ile jest ci¡gów bez powtórze«, czyli ci¡gów r o»nowarto±ciowych. Je±lielementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to mo»emy utworzy¢:trzy ci¡gi jednoelementowe:

(1), (2), (3)

sze±¢ ci¡gów dwuoelementowych:

(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)

oraz sze±¢ ci¡gów trójelementowych:

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

Przykªad

Ile ró»nowarto±ciowych ci¡gów dªugo±ci cztery mo»na stworzy¢ dla zbiorusiedmioelementowego?



Twierdzenie

Je±li elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ci¡gówk-elementowych bez powtórze«, które mo»na wybra¢ z tego zbioru, wynosin(n − 1) . . . (n − k + 1).

Zadanie

Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesi¦tnym, trójkowym i dwójkowym?

Zadanie

Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych, w których zapisie nie wyst¦puje cyfrazero? Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych takich, w których cyfra setek jest 5?



Twierdzenie


Zadanie


Zadanie




Twierdzenie


Zadanie


Zadanie




Permutacje

Permutacje to ci¡gi bez powtórze« dªugo±ci n, wybierane ze zbioru n-elementowego.

Przykªad

Na przykªad, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sze±¢permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

Ilo±¢ permutacji

Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilo±¢ permutacji w zbiorze n-elementowymwynosi n(n − 1) . . . 1, czyli jest równa n!.

Zadanie

Rodzina sze±cioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia si¦ w szeregu do zdj¦cia. Ileró»nych fotogra�i mo»na otrzyma¢, je±li: a) ka»dy mo»e sta¢ obok ka»dego; b)rodzice stoj¡ na dwóch ko«cach szeregu?

Zadanie

Na egzaminie posadzono w sposób losowy w jednym rz¦dzie dziesi¦ciu zdaj¡cych, wtym dwóch z jednej szkoªy. Na ile sposobów mo»na rozsadzi¢ zdaj¡cych tak, by: a)znajomi z jednej szkoªy nie siedzieli obok siebie; b) siedzieli na przeciwnychko«cach rz¦du; c) mi¦dzy nimi siedziaªy dokªadnie trzy inne osoby?



Permutacje


Przykªad


Ilo±¢ permutacji


Zadanie


Zadanie




Permutacje


Przykªad


Ilo±¢ permutacji


Zadanie


Zadanie




Permutacje


Przykªad


Ilo±¢ permutacji


Zadanie


Zadanie




Permutacje


Przykªad


Ilo±¢ permutacji


Zadanie


Zadanie




Inna de�nicja permutacji

Czasami u»ywa si¦ innej de�nicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa todowolna funkcja ró»nowarto±ciowa ze zbioru {1, 2, . . . , n} na ten sam zbiór.

Oznaczenia

Na oznaczenie permutacji u»ywa si¦ zapisu:(

1...nπ(1)...π(n)

)Skªadanie permutacji

Dwie permutacje n-elementowe mo»na skªada¢ tak, jak skªada si¦ funkcje. Zªo»eniepermutacji okre±lone jest wzorem:

π1 ◦ π2(x) = π1(π2(x)).

Wªasno±ci permutacji

Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze {1, 2, . . . , n} z dziaªaniem zªo»enia manast¦puj¡ce wªasno±ci:





Oznaczenia


1...nπ(1)...π(n)

)

Skªadanie permutacji


π1 ◦ π2(x) = π1(π2(x)).







Oznaczenia


1...nπ(1)...π(n)



π1 ◦ π2(x) = π1(π2(x)).







Oznaczenia


1...nπ(1)...π(n)



π1 ◦ π2(x) = π1(π2(x)).






Zªo»enie permutacji jest ª¡czne, tzn. dla ka»dych trzech permutacji π, σ, ρ : jest

π ◦ (σ ◦ ρ) = (π ◦ σ) ◦ ρ.

W±ród permutacji istnieje identyczno±¢ id , czyli permutacja, która ka»demu x zdziedziny przypisuje warto±¢ id(x) = x . Identyczno±¢ jest elementem neutralnymskªadania permutacji, poniewa» dla ka»dej permutacji π,

id ◦ π = π ◦ id = π.

Dla ka»dej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π−1, speªniaj¡ca warunek

π ◦ π−1 = π−1 ◦ π = id .

Zadanie

Obliczy¢ π1 ◦ π2, π2 ◦ π1, π−1

1, π−1

2, je±li π1 =

(12345

25431

), π1 =

(12345

15432

).





π ◦ (σ ◦ ρ) = (π ◦ σ) ◦ ρ.


id ◦ π = π ◦ id = π.


π ◦ π−1 = π−1 ◦ π = id .

Zadanie


1, π−1

2, je±li π1 =

(12345

25431

), π1 =

(12345

15432

).





π ◦ (σ ◦ ρ) = (π ◦ σ) ◦ ρ.


id ◦ π = π ◦ id = π.


π ◦ π−1 = π−1 ◦ π = id .

Zadanie


1, π−1

2, je±li π1 =

(12345

25431

), π1 =

(12345

15432

).





π ◦ (σ ◦ ρ) = (π ◦ σ) ◦ ρ.


id ◦ π = π ◦ id = π.


π ◦ π−1 = π−1 ◦ π = id .

Zadanie


1, π−1

2, je±li π1 =

(12345

25431

), π1 =

(12345

15432

).





π ◦ (σ ◦ ρ) = (π ◦ σ) ◦ ρ.


id ◦ π = π ◦ id = π.


π ◦ π−1 = π−1 ◦ π = id .

Zadanie


1, π−1

2, je±li π1 =

(12345

25431

), π1 =

(12345

15432

).



Podzbiory

Policzmy teraz, ile podzbiorów ma sko«czony zbiór n-elementowy.Je±li zbiór skªada si¦ z trzech elementów: {a, b, c}, to mo»emy ªatwo wypisa¢wszystkie jego podzbiory:

∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Rozwa»my teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2, . . . , n}. Z ka»dym zbioremA ⊆ {1, 2, . . . , n} zwi¡zana jest jego funkcja charakterystyczna, okre±lona wzorem:χA(i) = 1, i ∈ A,χA(i) = 0, i /∈ A.

Dziedzin¡ funkcji jest zbiór {1, 2, . . . , n}, a przeciwdziedzin¡ zbiór {0, 1}. Zauwa»my,»e ka»demu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna i na odwrót, je±liwe¹miemy dowoln¡ funkc¦ χ : {1, 2, . . . , n} → {0, 1}, to wyznacza ona zbiórA = {i : χ(i) = 1}.



Podzbiory


∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.





Podzbiory


∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.





Z powy»szych rozwa»a« wynika, »e liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jestrówna liczbie funkcji ze zbioru {1, 2, . . . , n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawiewcze±niejszego twierdzenia o funkcjach mamy:

Twierdzenie

Ka»dy zbiór n-elementowy ma 2n podzbiorów.



Z powy»szych rozwa»a« wynika, »e liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jestrówna liczbie funkcji ze zbioru {1, 2, . . . , n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawiewcze±niejszego twierdzenia o funkcjach mamy:

Twierdzenie

Ka»dy zbiór n-elementowy ma 2n podzbiorów.



Podzbiory k-elementowe

Zastanowimy si¦ teraz nad podzbiorami okre±lonej mocy.

Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty(zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sze±¢podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; czterypodzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiórczteroelementowy: {1, 2, 3, 4}.

Liczb¦ podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza si¦ przez(nk

).

Wªa±nie pokazali±my, »e(40

)= 1,

(41

)= 4,

(42

)= 6,

(43

)= 4,

(44

)= 1.







).


)= 1,

(41

)= 4,

(42

)= 6,

(43

)= 4,

(44

)= 1.







).


)= 1,

(41

)= 4,

(42

)= 6,

(43

)= 4,

(44

)= 1.







).


)= 1,

(41

)= 4,

(42

)= 6,

(43

)= 4,

(44

)= 1.



Twierdzenie

Dla 0 < k ≤ n mamy: (nk

)=(n − 1k − 1

)+(n − 1

k

).

Je±li 0 ≤ k ≤ n, to symbol Newtona mo»na obliczy¢ ze wzoru:(nk

)=

n!

k!(n − k)!.

Twierdzenie

Dla ka»dej liczby rzeczywistej t oraz liczby caªkowitej n ≥ 0 zachodzi wzór(1+ t)n =

∑nk=0

(nk

)tk .

Wniosek

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby caªkowitej n ≥ 0 zachodzi wzór(a+ b)n =

∑nk=0

(nk

)an−kbk .

Je±li podstawimy t = 1 do wzoru z twierdzenia, to otrzymamy 2n =∑n

k=0

(nk

), co

potwierdza jeszcze raz, »e wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest 2n.



Twierdzenie


)=(n − 1k − 1

)+(n − 1

k

).


)=

n!

k!(n − k)!.

Twierdzenie


∑nk=0

(nk

)tk .

Wniosek


∑nk=0

(nk

)an−kbk .


k=0

(nk

), co




Twierdzenie


)=(n − 1k − 1

)+(n − 1

k

).


)=

n!

k!(n − k)!.

Twierdzenie


∑nk=0

(nk

)tk .

Wniosek


∑nk=0

(nk

)an−kbk .


k=0

(nk

), co




Twierdzenie


)=(n − 1k − 1

)+(n − 1

k

).


)=

n!

k!(n − k)!.

Twierdzenie


∑nk=0

(nk

)tk .

Wniosek


∑nk=0

(nk

)an−kbk .


k=0

(nk

), co




Twierdzenie


)=(n − 1k − 1

)+(n − 1

k

).


)=

n!

k!(n − k)!.

Twierdzenie


∑nk=0

(nk

)tk .

Wniosek


∑nk=0

(nk

)an−kbk .


k=0

(nk

), co




Zasada szu�adkowa Dirichleta


Je»eli n obiektów jest rozmieszczonych w m szu�adach i n > m, to istnieje co najmniejjedna szu�ada z przynajmniej dwoma obiektami.

Przykªad

Na sali znajduje si¦ 47 osób. Pokaza¢, »e na sali znajdzie si¦ siedem osób urodzonychtego samego dnia tygodnia.

Przykªad

Spo±ród liczb {1, 2, . . . , 9} wylosowano sze±¢. Udowodni¢, »e spo±ród wybranych liczbmo»na wybra¢ dwie, które sumuj¡ si¦ do 10.

Przykªad

Pewna grupa osób wita si¦, podaj¡c sobie r¦ce. Nikt nie wita si¦ z samym sob¡ i»adna para osób nie wita si¦ podwójnie. Czy musz¡ by¢ dwie osoby, które witaªy t¡sam¡ liczb¦ osób?






Przykªad


Przykªad


Przykªad







Przykªad


Przykªad


Przykªad







Przykªad


Przykªad


Przykªad




Zasada wª¡czania i wyª¡czania.

Zadanie

W klasie licz¡cej 33 osoby, 17 uczniów uczy si¦ wªoskiego, 17 hiszpa«skiego i 15portugalskiego. W±ród nich 7 uczniów uczy si¦ hiszpa«skiego i wªoskiego, 9 wªoskiegoi portugalskiego, 6 hiszpa«skiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy si¦ wszystkichtrzech j¦zyków. Ilu uczniów nie uczy si¦ »adnego j¦zyka?

Zadanie

Do pracy zgªosiªo si¦ 16 tªumaczy znaj¡cych rosyjski, hiszpa«ski lub angielski. 12znaªo rosyjski, 15 hiszpa«ski, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpa«skijednocze±nie. Ilu znaªo hiszpa«ski i angielski, ale nie znaªo rosyjskiego, je±li wiadomo,»e 8 znaªo rosyjski i angielski?

Zasada wª¡czania i wyª¡czania

Dla zbiorów A1, . . . ,An, sko«czonych i parami rozª¡cznych:

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1|+ |A2|+ . . .+ |An|.




Zadanie


Zadanie




|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1|+ |A2|+ . . .+ |An|.




Zadanie


Zadanie




|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1|+ |A2|+ . . .+ |An|.




Zadanie


Zadanie




|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1|+ |A2|+ . . .+ |An|.





Dla zbiorów sko«czonych A1, . . . ,An zachodzi:

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1|+ |A2|+ . . .+ |An−2|+ |An−1|+ |An|

−|A1 ∩ A2| − |A1 ∩ A3| − . . .− |An−2 ∩ An| − |An−1 ∩ An|

+|A1 ∩ A2 ∩ A3|+ . . .+ |An−2 ∩ An−1 ∩ An|

+ . . .+ (−1)n+1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An|.



Ilo±¢ najkrótszych dróg

Ile jest najkrótszych dróg z A do B?



Mamy 9 skrzy»owa«, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na którychidziemy na póªnoc. Mamy wi¦c

(9

3

)=(9

6

)= 94.

Ogólnie, dla kratki m × n rysujemy m + n odcinków, a wi¦c ilo±¢ najkrótszych dróg to(m+nm

)=(m+n

n

).

Przykªad

Ile rozwi¡za« ma ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 7, gdzie xi s¡ liczbami caªkowitymi?

Przykªad

Ile rozwi¡za« ma ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 17, gdziex1 ≥ 0, x2 ≥ 2, x3 = 3, x4 ≥ −2, x5 ≥ 3?




(9

3

)=(9

6

)= 94.


)=(m+n

n

).

Przykªad


Przykªad





(9

3

)=(9

6

)= 94.


)=(m+n

n

).

Przykªad


Przykªad





(9

3

)=(9

6

)= 94.


)=(m+n

n

).

Przykªad


Przykªad



Documents

Kombinatoryka - Politechnika Gdańska · Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Wykªad Magdalena Lema«ska, [email protected]. Ci¡gi oPdzbiory Symbol Newtona Zasada szu adkao Dirichleta