KOMBINATORIKA - M.I.M.-Sraga · Kombinatorika Kompletna rješenja sa postupkom ( znamenke mor način Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti 10 Slažemo troznamenkaste

Kombinatorika

KOMBINATORIKA

( ) ( ) ,

Bez ponavljanja elemenata S ponavljanjem elemenata među Redosljed Koristimo sve elenente tog razreda, od elemenata kojima ima: jednakih, s-jednakih! !PERMUTACIJE važan Da !! ! !

Redoslj

r r s

r n rn nP n n P n Pr r s

− − −

= =⋅

( ) ( ) ( ) ( )( )

Bez ponavljanja elemenata S ponavljanjem elemenataed Koristimo sve elenente tog razreda, od elemenata tog razreda, od elemenata1 !!KOMBINACIJE nije važan Ne 1

! ! 1 ! !

VARIJACIJE

r r

r n r nn rnr n K n K n

n r r n r

− − − −

+ −≤ ≤ = =

− ⋅ − ⋅

( ) ( ) ( )!važan Ne 1!

rr r

nr n V n V n nn r

≤ ≤ = =−

ZADATKE ODABRAO I RJEŠIO MLADEN SRAGA

od 1992.g.-do-2004.g.

www.mim-sraga.com 1

Kombinatorika

2

većina zadataka su originali sa prijašnjih rokova ( zadnjih 10 godina)

KOMBINATORIKA MOJ IZBOR ZADATAKA

Koliko ima troznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?

Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkam

zad.2002./ 03.g.

a?

Koliko ima sedmeroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?

6. Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva ?

7. Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva ?

505.Koliko im

3

3

zad.2002./ 03.g.

zad.2002./ 03.g.

a troznamenkastih brojeva ?101. 9000 2. 900 3. 4. 103

510.Koliko ima parnih troznamenkastih brojeva ?

51. 450 2. 900 3. 5 4.3

515.Koliko ima neparnih četveroznamenkastih b

4 5

10 5

zad.2002./ 03.g.

zad.2002./ 03.g.

rojeva?1. 9000 2. 4500 3. 5 4. 4

520.Koliko ima peteroznamenkastih brojeva?1. 90000 2. 45000 3. 5 4. 10

525.Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku

3 5

6 3

zad.2002./ 03.g.

5 ?51. 2. 648 3. 9 4. 33

530.Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 6 ?

61. 2. 3 3. 6 4. 6483

1.

2. 3. 4. 5.

Kombinatorika

www.mim-sraga.com 3

370. 375.

3

zad.2002./ 03.g.

zad.2002./ 03.g.

Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati pomoćuznamenaka 0,2,2,3,3 ?

5 5 41. 2. 5 3. 24 4.2 2 2

Koliko se različitih šesteroznamenka

−

4 6

zad.2002./ 03.g.

stih brojeva može napisati pomoćuznamenaka 0,1,1,2,3,3 ?

61. 2. 150 3. 6 4. 43

380.Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka jedinice i desetice jednak 4?

51.2

5 5 5

4 5

zad.2002./ 03.g.

zad.2002./ 03.g.

2. 2 3. 10 9 4. 4500

385.Koliko ima parnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenakajedinica i desetica jednak 4 ?1. 270 2. 450 3. 5 4. 4

390.Koliko ima neparnih četv

−

4 2

zad.2002./ 03.g.

eroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenakajedinica i desetica jednak 3 ?1. 2 2. 360 3. 3 4. 180

396.Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i zadnja

5 10

zad.2002./ 03.g.

zad.2

znamenka jednake ?51. 1000 2. 225 3. 4. 03

400.Koliko ima neparnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i zadnja znamenka jednake ?

51. 1000 2. 3. 10 4. 33

365.

3 6

002./ 03.g.Koliko se različitih željezničkih kompozicija može sastaviti od lokomotive, 3 jednaka putnička i 3 jedanka teretna vagona ?

61. 6 2. 3 3. 4. 3!3

Kombinatorika

4

14.

zad.1998./99.g

zad.1998.

Test se sastoji od 5 pitanja na koja se odgovara zaokruživanjem odgovora A,B ili C.Na koliko načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja ?1. 10 2. 120 3. 243 4. 125

34. /99.g

zad.1998./99.g

Koliko se različitih sedmeroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 0007789 ?1. 240 2. 420 3. 5040 4. 384

54.Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 0

zad.1998./99.g

0223 ?1. 12 2. 18 3. 30 4. 120

74.Test se sastoji od 6 pitanja na koja se odgovara zaokruživanjem odgovora A ili B.Na koliko načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja ?1. 15 2. 36 3.

zad.1998./99.g

zad.1998./99.g

64 4. 720

94.Na koliko načina možemo 12 različitih igračaka razdjeliti na troje djece, svakompo 4 igračke ?1. 34650 2. 12! 3. 495 4. 1728

114.Koliko se različitih peteroznamenkastih b

zad.1998./99.g

zad.1998./99.g

rojeva može napisati znamenkama 55400 ?1. 30 2. 120 3. 18 4.

134.Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 007899 ?1. 240 2. 420 3. 5040 4. 384

154.Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 004456 ?

Kombinatorika

Kompletna rješenja sa postupkom

( znamenke mor

načinImamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti

10Slažemo troznamenkaste brojever 3

Ne koristimo sve elementeVažan nam je redoslijedNesmijemo ponavljati brojeve

I

n =

=

aju biti različite)

zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata

Broj traženih troznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA trećeg razreda od de

( )

( ) ( )10 9

3 2

set elemenata umanjenih za broj varijacija drugog razreda od devet elemenata( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...)

!!

7! 8 9 10 7! 8 910! 9! 10! 9!10 3 ! 9 2 ! 7! 7! 7! 7!

nr

nVn r

V V

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − = − = −

− −

( jer to tada ne bi bio troznamenkast

8 9 10 8 9 720 72 648

načinNa prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu tisučice ne može stajati 0

II

= ⋅ ⋅ − ⋅ = − =

i broj)

( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva

9 9 8 9 9 8 648= ⋅ ⋅ =I II III mjesto-

1.

www.mim-sraga.com 5

Kombinatorika

6

2. Koliko ima četveroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?


10Slažemo četveroznamenkaste brojever 4

Ne koristimo sve e

I

n =

=

( znamenke moraju biti različite)

lementeVažan nam je redoslijed

zaključak: radi se o VARIJACIJI bez ponavljanja elemenata Nesmijemo ponavljati brojeve

Broj traženih četveroznamenkastih brojeva

sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA četvrtog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija trećeg razreda od devet elemenata( zato što na prvom mjestu ne može biti zname

( )

( ) ( )10 9

4 3

nka nula...)

!!

6! 7 8 9 10 6! 7 8 910! 9! 10! 9! 7 8 9 10 7 8 9 5040 504 453610 4 ! 9 3 ! 6! 6! 6! 6!

načinNa prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9

nr

nVn r

V V

II

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − = − = − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − =

− −

( jer to tada ne bi bio broj)),

na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 četveroznamenkastina drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možem ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)

I II III IV mjesto

o staviti jedan od preostalih 8 brojeva na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojeva

9 9 8 7 9 9 8 7 4536- = ⋅ ⋅ ⋅ =

Kombinatorika

www.mim-sraga.com 7

3. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?


10Slažemo peteroznamenkaste brojever 5

Ne koristimo sve ele

I

n =

=


menteVažan nam je redoslijed


Broj traženih peteroznamenkastih brojeva sa

svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA petog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija četvrtog razreda od devet elemenata( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka

( )

( ) ( )10 9

5 4

nula...)

!!

5! 6 7 8 9 10 5! 6 7 8 910! 9! 10! 9!10 5 ! 9 4 ! 5! 5! 5! 5!

6 7 8 9 10 6 7 8 9 30240 3024 27216

načinNa prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5

nr

nVn r

V V

II

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − = − = − =

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − =

( jer to tada ne bi bio broj),6,7,8,9),

na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 peteroznamenkastina drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0),na treće ( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojevana peto mjesto možemo staviti jedan od preosta

I II III IV V mjesto

lih 6 brojeva

9 9 8 7 6 9 9 8 7 6 27216- = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Kombinatorika

8

4. Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?


10Slažemo šesteroznamenkaste brojever 6

Ne koristimo sve e

I

n =

=




Broj traženih šesteroznamenkastih brojeva

sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA šestog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija petog razreda od devet elemenata( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka

( )

( ) ( )10 9

6 5

nula...)

!!

4! 5 6 7 8 9 10 4! 5 6 7 8 910! 9! 10! 9!10 6 ! 9 5 ! 4! 4! 4! 4!

5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 151200 15120 136080

načinNa prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživih brojev

nr

nVn r

V V

II

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − = − = − =

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − =

( jer to tada ne bi bio šesteroznamenkasti broj)

a (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu stotisućice ne može stajati 0 na drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada može i 0

( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)),

na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojevana peto mjesto možemo staviti jedan

I II III IV V VI mjesto

od preostalih 6 brojevana šestom mjest možemo staviti jedan od preostalih 5 brojeva

9 9 8 7 6 5 9 9 8 7 6 5 136080- = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Kombinatorika

www.mim-sraga.com 9

5. Koliko ima sedmeroznamenkastih brojeva sa svim različitim znamenkama?


10Slažemo sedmeroznamenkaste brojever 7

Ne koristimo sve e

I

n =

=




Broj traženih sedmeroznamenkastih brojeva

sa svim različitim znamenkama jednak je broju VARIJACIJA sedmog razreda od deset elemenata umanjenih za broj varijacija šestog razreda od devet elemenata( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenk

( )

( ) ( )10 9

7 6

a nula...)

!!

3! 4 5 6 7 8 9 10 3! 4 5 6 7 8 910! 9! 10! 9!10 7 ! 9 6 ! 3! 3! 3! 3!

4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 604800 60480 544320

načinNa prvom mjestu može stajati jedan od 9 raspoloživ

nr

nVn r

V V

II

=−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− = − = − = − =

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − =

( jer to tada ne bi bio broj)

ih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu stotisućice ne može stajati 0 sedmeroznamenkastina drugo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 9 brojeva ( sada

( dva smo iskoristili na prva dva mjesta)

može i 0),na treće mjesto možemo staviti jedan od preostalih 8 brojeva na četvro mjesto možemo staviti jedan od preostalih 7 brojevana peto mjesto možemo stav

I II III IV V VI VII m

iti jedan od preostalih 6 brojevana šesto mjesto možemo staviti jedan od preostalih 5 brojevana sedmo mjesto možemo staviti jedan od preostalih 4 brojeva

9 9 8 7 6 5 4 9 9 8 7 6 5 4 544320- = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

jesto

Kombinatorika

10

6.

Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva ?

Za drugo i treće mjesto možemo koristiti sve brojeve, za prvo nemožemo koristiti nulu...za zadnje mjesto , mjesto jedinice možemo koristiti samo nepa


rne brojeve ( 1,3,5,7,9 )

Na prvo mjesto možemo staviti 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 četveroznamenkastina drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na četvro mjesto možemo staviti brojeve ( 1,3,5,7,9 ) dakle pet

I II III IV mjesto

brojeva

9 10 10 5 9 10 10 5 4500-

7. Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva ?

Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može

= ⋅ ⋅ ⋅ =

( jer to tada ne bi bio peteroznamenkast broj)istajati 0 na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na

I II III IV V mjesto

četvrto mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na peto mjesto možemo staviti brojeve ( 0,2,4,6,8 ) dakle pet brojeva

9 10 10 10 5 9 10 10 10 5 45000- = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Kombinatorika

www.mim-sraga.com 11

505. 3

zad.2001./02.gKoliko ima troznamenkastih brojeva ?

101. 9000 2. 900 3. 4. 103

Za svako mjesto možemo koristiti sve brojeve, osim za prvo gdje nemožemo koristiti nulu...

Na prvo mjesto možemo staviti

( jer to tada ne bi bio broj) 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),

na prvom mjestu mjestu stotice ne može stajati 0 troznamenkastina drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može

3

zad.2001./02.g

I II III mjesto

i 0),na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )

9 10 10 9 10 10 900-

510.Koliko ima parnih troznamenkastih brojeva ?

51. 450 2. 900 3. 5 4.3

Na prv

= ⋅ ⋅ =

( jer to tada ne bi bio broj)o mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9),

na prvom mjestu mjestu stotice ne može stajati 0 troznamenkastina drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva (

zad.2001./02.g

I II III mjesto

sada može i 0),( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na treće mjesto možemo staviti ( 0,2,4,6,8 ) dakle pet brojeva -jer broj morabiti paran

9 10 5 9 10 5 450-

515.Koliko ima neparnih četvero

= ⋅ ⋅ =

4 5

znamenkastih brojeva?1. 9000 2. 4500 3. 5 4. 4

Za drugo i treće mjesto možemo koristiti sve brojeve, za prvo nemožemo koristiti nulu...za zadnje mjesto , mjesto jedinice možemo koristiti samo neparne brojev


e ( 1,3,5,7,9 )

Na prvo mjesto možemo staviti 9 raspoloživih brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 četveroznamenkastina drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na četvro mjesto možemo staviti brojeve ( 1,3,5,7,9 ) dakle pet brojeva

9 1I II III IV mjesto

0 10 5 9 10 10 5 4500- = ⋅ ⋅ ⋅ =

Kombinatorika

12

520.

10 5

zad.2001./02.gKoliko ima peteroznamenkastih brojeva?1. 90000 2. 45000 3. 5 4. 10

Za svako mjesto možemo koristiti sve brojeve, osim za prvo gdje nemožemo koristiti nulu...

Na prvo mjesto možemo staviti ( jer to tada ne bi bio broj)

9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 troznamenkastina drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na četvrto mjesto možemo staviti svih deset brojeva na peto mjesto možemo staviti svih deset brojeva 9 10 10 10 10 9 10 10 10 10 9000= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

3 5

zad.2001./02.g

I II III IV V mjesto0

-

525.Koliko ima troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 5 ?

51. 2. 648 3. 9 4. 33

Na prvo mjesto možemo staviti 8 brojeva (1,2,3,4,6,7,8,9), nemo

( jer to tada ne bi bio broj)niti broj pet jer zadano je da troznamenkasti broj nesmije sadržavati znamenku 5

že ( 0 i 5 )na prvom mjestu mjestu tisućice ne može stajati 0 troznamenkasti

na drugo mjest

zad.2001./02.g

I II III mjesto

o možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 5na trećem mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 5

8 9 9 8 9 9 648-

530.Koliko i

= ⋅ ⋅ =

6 3

ma troznamenkastih brojeva koji u svom zapisu ne sadrže znamenku 6 ?61. 2. 3 3. 6 4. 6483

Na prvo mjesto možemo staviti 8 brojeva (1,2,3,4,6,7,8,9), nemože ( 0 i 6 )na prvom mjestu mjestu tisućice

( jer to tada ne bi bio broj)niti broj pet jer zadano je da troznamenkasti broj nesmije sadržavati znamenku 6

ne može stajati 0 troznamenkasti

na drugo mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6

I II III mjesto

,7,8,9 ) nemože broj 6na trećem mjesto možemo staviti devet brojeva ( 0,1,2,3,4,6,7,8,9 ) nemože broj 6

8 9 9 8 9 9 648- = ⋅ ⋅ =

Kombinatorika


370.

3

zad.2001./ 02.g

Koliko se različitih peteroznamenkastih brojeva može napisati pomoćuznamenaka 0,2,2,3,3 ?

5 5 41. 2. 5 3. 24 4.2 2 2

Važan nam je redosljed, koristimo sve elemente među koj

−

( ) ( )

Zaključak: radi se o PERMUTACIJI s ponavljanjem elemenataskupa od elemenata među kojima ima jednakih i jednakihima imamo i istih

zadano: 0,2,2,3,3 5

2 isti su 2,2 2 isti su 3,3

Formul

n rr s

nr s

−

== =

( ),

a za: Broj permutacija skupa od elemenata među kojima ima jednakih i jednakih!

! !

Broj traženih peteroznamenkastih brojeva ( ) jednak je broju permutacija od pet elemenata među kojima im

r s

n r snP nr s

N

=⋅

a 2 i 2 jednakih, umanjenih za broj permutacija od četri elementa među kojima ima 2 i 2 jednakih( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...) Dakle od ukupnog broja permutacija , m

r sr s

= == =

( ) ( ), ,

( nula se na prvom mjestu ne računa)oramo odbiti broj onih kojima je nula na prvom mjestu

jer to nisu peteroznamenkasti brojevi već četveroznamenkasti brojevi

5 45! 4! 1 2 3 4 5

2! 2! 2! 2! 1

r s r sN P P

N

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − =⋅ ⋅ ⋅

rješenje br.3.1 2 3 4 3 2 5 3 2 30 6 24

2 1 2 1 2 1 2⋅ ⋅ ⋅

− = ⋅ ⋅ − ⋅ = − =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

s

Kombinatorika

14

4 6

zad.2002./ 03.g.375.

Koliko se različitih šesteroznamenkastih brojeva može napisati pomoćuznamenaka 0,1,1,2,3,3 ?

61. 2. 150 3. 6 4. 43

Važan nam je redosljed, koristimo sve elemente među kojima imamo

( ) ( )

Zaključak: radi se o PERMUTACIJI s ponavljanjem elemenataskupa od elemenata među kojima ima jednakih i jednakih i istih

zadano: 0,1,1,2,3,3 6

2 isti su 1,1 2 isti su 3,3

Formula za: Br

n rr s

nr s

−

== =

( ),

oj permutacija skupa od elemenata među kojima ima jednakih i jednakih!

! !

Broj traženih šesteroznamenkastih brojeva ( ) jednak je broju permutacija od šest elemenata među kojima ima 2

r s

n r snP nr s

Nr

=⋅

= i 2 jednakih, umanjenih za broj permutacija od pet elementa među kojima ima 2 i 2 jednakih( zato što na prvom mjestu ne može biti znamenka nula...) Dakle od ukupnog broja permutacija , moramo od

sr s

== =

( ) ( ), ,

( nula se na prvom mjestu ne računa)biti broj onih kojima je nula na prvom mjestu

jer to nisu peteroznamenkasti brojevi već četveroznamenkasti brojevi

6 51 2 3 4 5 66! 5!

2! 2! 2! 2! 1 2 1 2

r s r sN P P

N

= −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= − = −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 3 4 5 3 2 5 6 3 2 5 180 30 1501 2 1 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − =⋅ ⋅ ⋅

s

Kombinatorika


380.

5 5 5

zad.2002./ 03.g.Koliko ima peteroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenaka jedinice i desetice jednak 4?

51. 2. 2 3. 10 9 4. 45002

Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

−

( jer to tada ne bi bio broj)peteroznamenkasti ,

na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),na treće mjesto možemo stavit

( ) ( ) ( ) ( ) ( )znamenke jedinice i desetice možemo napi

i svih deset brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 )na četvrto i moramo staviti brojeve kojima je zbroj jednak 4na peto mjesto

a to su brojevi 2,2 , 1,3 , 3,1 , 0,4 , 4,0

sati na 5-načina da njihov zbroj bude 4

zad.2002./ 03.g.

I II III IV V mjesto9 10 10 5 9 10 10 5 4500

-

385.Koliko ima parnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenakajedinica i desetica jedna

inačina

=

− = ⋅ ⋅ ⋅ =

4 5

( jer to tada ne bi bio četveroznamenkasti broj)

k 4 ?1. 270 2. 450 3. 5 4. 4

Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9), na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),

na treće i moramo staviti brojeve kojima je zbroj jednak 4, i na mjestu jedinice mora biti paran broj na četvrto mjesto

a t

( ) ( ) ( )znamenke jedinice i desetice možemo napisati na 3-načina da njihov zbroj bude 4

I II III IV mjesto

o su brojevi 2,2 , 0,4 , 4,0

9 10 3 9 10 3 270- i

načina=

− = ⋅ ⋅ =

Kombinatorika

16

4 2

zad.2002./ 03.g.Koliko ima neparnih četveroznamenkastih brojeva kojima je zbroj znamenakajedinica i desetica jednak 3 ?1. 2 2. 360 3. 3 4. 180

Na prvo mjesto možemo staviti 9 brojeva (1,2,3,4,5,6,7,8,9)( jer to tada ne bi bio broj)četveroznamenkasti

, na prvom mjestu mjestu desettisućice ne može stajati 0 na drugo mjesto možemo staviti svih deset brojeva ( sada može i 0),

na treće i na četvrto mjest

( ) ( )znamenke jedinice i desetice možemo napisati na 2-načina da

moramo staviti brojeve kojima je zbroj jednak 3, i na mjestu jedinice mora biti neparan broj o

a to su brojevi 2,1 0,3i

njihov zbroj bude 3

zad.2002./ 03.g.

I II III IV mjesto9 10 2 9 10 2 180

-

396.Koliko ima parnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i zadnja znamenka jednake ?

51. 1000 2. 225 3.3

inačina

=

− = ⋅ ⋅ =

4. 0

Da bi broj bio djeljiv sa 5 mora mu zadnja znamenka biti 0 ili 5, kako je još zadano da taj broj mora biti paran broj zadnja znamenka jedino može biti 0. To dalje povlaći za sobom da i prva znamenka mora biti nula ( jer prva i zadnja znamenka moraju biti jednake).Ako je nula na prvom mjestu to nije peteroznamenkasti broj već četveroznamenkasti pa zaključimo da ne postoji takav broj ili da ih im

5 10

zad.2002./ 03.g.

a nula- odgovor pod br.4.

400.Koliko ima neparnih peteroznamenkastih brojeva djeljivih sa 5 kojima su prva i zadnja znamenka jednake ?

51. 1000 2. 3. 10 4. 33

Da bi broj bio djeljiv sa

5 mora mu zadnja znamenka biti 0 ili 5, kako je još zadano da taj broj mora biti neparan broj zadnja znamenka jedino može biti 5. To dalje povlaći za sobom da i prva znamenka mora biti pet ( jer prva i zadnja znamenka moraju biti jednake).

Pa imamo ovakav događaj: 5 5 prva i zadnja znamenka moraju biti 5, dakle jedina mogučnost na drugo, treće i četvrto mjesto možemo staviti bilo koj broj od 0-do-9

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

I II III IV V mjesto1 10 10 10 1 1 10 10 10 1 1000

- = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

390.

Kombinatorika


365.

3 6

zad.2002./ 03.g.Koliko se različitih željezničkih kompozicija može sastaviti od lokomotive, 3 jednaka putnička i 3 jedanka teretna vagona ?

61. 6 2. 3 3. 4. 3!3

Pretpostavimo da bi lokomotiva uvjek

njih preslagujemo

trebala biti prvanju fiksiramo na prvo mjesto

lokomotiva 3 3

3 putnička 3-teretna

633

Koristimo sve elemente, važan je redosljed , iz toga zakljućujemo da se radi o p

nrs

↓

↓

↓ ↓−

===

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,

3,3

3,3

3,3

3,3

Pogledajmo ponuđene odgovore pod

ermutaciji sa ponavljanjem elemenata među kojima ima 3 3 istih

!! !

6!63! 3!

3! 4 5 663! 1 2 3

6 4 5

6 20

3! 4 56 6! 6!: 3.3 6 3 ! 3! 3! 3!

r s

r i s

nP nr s

P

P

P

P

= =

=⋅

=⋅

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅ = = = − ⋅ ⋅

6 4 5 203! 1 2 3

Dakle rješenje je odgovor broj 3.

= ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

Kombinatorika

14. zad.1998./99.g

Test se sastoji od 5 pitanja na koja se odgovara zaokruživanjem odgovora A,B ili C.Na koliko načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja ?1. 10 2. 120 3. 243 4. 125

Zadatak rješ

način

imo na dva načina:

I Na prvo pitanje možemo odgovoriti na tri načinaNa drugo pitanje možemo odgovoriti na tri načinaNa treće pitanje možemo odgovoriti na tri načinaNa četvrto pitanje možemo odgovo

5

način

riti na tri načinaNapeto pitanje možemo odgovoriti na tri načinaDakle: 3 3 3 3 3 3 243

II Zadatak rješimo primjenom formula:Za svaki zadatak koristimo tri odgovora 3Imamo pet zadataka dakl

n⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =

=

( )( )( )

55

5 na 243 načina možemo riješiti test ako odgovorimo na sva pitanja

e razred je 5 5Radi se o VARIJACIJI sa ponavljanjem elemenata

3 3

3 243 .

rr

r

V n n

V

V

⇒ =

=

=

= ⇒

18

Kombinatorika

34.

( )( )

zad.1998./99.g

Koliko se različitih sedmeroznamenkastih brojeva može napisati znamenkama 0007789 ?1. 240 2. 420 3. 5040 4. 384

00077898 7 koristimo 7 elemenata3 nule ima ih tri

2 sedmice ima ih dvije

Ovd

nr

s

⇒ =

= −

= −

( )

( )

,

3,2

je koristimo sve elemente među kojima je i istih elemenatadakle radi se o permutaciji s ponavljanjem elemenata

!! !

3! 4 5 6 77!7 2 5 6 7 4203! 2! 3! 1 2

Sada smo izračunali broj svih p

r s

r s

nP nr s

P

=⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

( )ermutacija 420 - u tom broju sadržane su i permutacije kada je nula na prvom mjestu ...Brojevi koji počinju sa nulom na prvom mjestu nisu sedmeroznamenkasti brojevi ....treba izračunati koliko ima takvih brojeva i oduzeti ih od 420 i to je stvarni broj sedmeroznamenkastih brojeva koje može napisati znamenkama 0007789.

ove znamenke mjenjamo tj. permutiramo 6

0

nulu fiksiramo

n↑

=

↓

( )

( )

( ) ( )

2,2

2,2

3,2 2,2

broj sedmeroznamenkastih brojeva koje može napisati znamenkama 0007789.

na prvo mjesto622

2! 3 4 5 66!6 3 2 5 6 1802! 2! 2! 1 2

6 180

7 6 420 180 240

nrs

P

P

NN P P

===

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅

=

=

= − = − =


Kombinatorika

20

Kombinatorika

www.mim-sraga.com

21

Kombinatorika

22

Kombinatorika

www.mim-sraga.com

23

Kombinatorika

24

Kombinatorika


Documents

KOMBINATORIKA - M.I.M.-Sraga · Kombinatorika Kompletna rješenja sa postupkom ( znamenke mor način Imamo 10 brojeva ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) koje možemo koristiti 10 Slažemo troznamenkaste