www.matematiranje.com

1

KOMBINATORIKA BEZ PONAVLJANJA 1) Permutacije od n elemenata : P(n)= n != n(n-1)(n-2)3 2 1 jo vai po definiciji : 0!=1 2) Varijacije k-te klase od n elemenata V nk =n(n-1)(n-2)(n-k+1)

3) Kombinacije k-te klase od n elemenata C nk =(nk )= !k

V nk =!

)1)...(1(k

knnn + jo vai: ( n0 )=(

nn )=1 , (

n1 )=(

nn 1 )=n , (

nk )=(

nkn )

SA PONAVLJANJEM

1) Broj permutacija od n elemenata od kojih je k jednako medjusobno je Pk(n)= !!kn

2) Varijacije k-te klase od n elemenata nkV =nk

3) Kombinacije nkC = (1+kn

k ) Sa n obeleavamo broj elemenata, a sa k klasu elementa. PRVI PRINCIP ODBROJAVANJA: Ako jedan dogaaj moe da se realizuje na m naina, a neki drugi na n naina, tada jedan od njih moe da se realizuje na m+n naina DRUGI PRINCIP ODBROJAVANJA: Ako jedan dogadjaj moe da se realizuje na m naina , a neki drugi dogadjaj na n naina, tada se oba dogadjaja mogu istovremeno realizovati na mn naina KAKO PREPOZNATI DA LI SU P , V ILI C ? Neka je dat skup S sa n razliitih elemenata. Ako radimo sa svih n elemenata, odnosno pravimo sve mogue razliite rasporede tih n elemenata , onda emo upotrebiti permutacije. Ako trebamo formirati sve njegove podskupove od po k razliitih elemenata gde nam je bitan redosled elemenata, onda cemo koristiti VARIJACIJE. Ako trebamo formirati podskupove gde nam nije bitan redosled elemenata , onda emo upotrebiti KOMBINACIJE. Dve kombinacije k-te klase su jednake, ako imaju iste elemente, bez obzira kako su uredjene. Na primer : abcd=acdb==dcba. Kod kombinacija je svejedno kako piemo elemente u jednom slogu, dok kod varijacija o tome moramo voditi rauna.

www.matematiranje.com

2

1) Koliko se morzeovih znakova moe formirati iz oba osnovna znaka . i -, ako se jedan znak sastoji najvie od pet elementarnih znakova? Razmiljamo:

- Imamo dva znaka : i (taka i crta) pa je sigurno 2=n - Poto kae da se jedan znak sastoji najvie od 5 elementarnih znakova

razlikovaemo 5 situacija:

1) Ako imamo samo 1 znak 2

1

_V

2) Ako ima 2 znaka 2

2

_V

3) Ako ima 3 znaka 2

3

_V

4) Ako ima 4 znaka 2

4

_V

5) Ako ima 5 znaka 2

5

_V

Pa je konano reenje:

62321684222222 54321

2

5

_2

4

_2

3

_2

2

_2

1

_

=++++++++++++ VVVVV

2) Odrediti broj razliitih prirodnih brojeva od 10 000 koji se mogu formirati od cifara 0, 1, 2, 3, 4, 5. Razmiljamo: Traeni brojevi mogu biti:

1) Jednocifreni 2) Dvocifreni 3) Trocifreni 4) etvorocifreni 5) Petocifreni

Imamo 6 brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i cifre se mogu ponavljati, pa su u pitanju varijacije sa ponavljanjem. Moramo paziti da 0 nije na prvom mestu!!! Zato emo nai sve mogunosti pa oduzeti broj mogunosti kada je 0 na prvom mestu!!!

www.matematiranje.com

3

1) Jednocifreni to su brojevi 1, 2, 3, 4, 5 to jest 5

1

_V

2) Dvocifreni 3066 126

1

_6

2

_ ==VV 3) Trocifreni 18066 23

6

2

_6

3

_ ==VV 4) etvorocifreni 108066 34

6

3

_6

4

_ ==VV 5) Petocifreni 648066 45

6

4

_6

5

_ ==VV Dakle konano reenje je: 777564801080180305 =++++ 3) U ravni je dato 10 razliitih taaka od kojih ni jedna trojka nijje kolinearna. Odrediti broj svih pravih koje su odredjene datim takama. Poto je prava odredjena dvema razliitim takama, znai da od 10 biramo po 2. Poto redosled taaka nije bitan u pitanju su kombinacije.

4512910

21010

2 ==

=C

4) Koarlaki tim sainjavaju 5 bekova, 4 centra i 3 krila. Na koliko naina se moe od njih sastaviti petorka ako u njoj moraju da bar 2 beka i bar jedan centar? Razmiljamo: Poto u zadatku kae da moraju u petorci igrati bar 2 beka i 1 centar to nam daje vie mogunosti

1) 2 beka, 1 centar, 2 krila 324

152 CCC

2) 2 beka, 2 centra, 1 krilo 3142

52 CCC

3) 2 beka, 3 centra 4352 CC

4) 3 beka, 1 centar, 1 krilo 314

153 CCC

5) 3 beka, 2 centra 4254 CC

6) 4 beka, 1 centar 4154 CC

Sad je broj svih mogunosti:

=+++++ 415442533141534352314252324152 CCCCCCCCCCCCCCC 540

14

45

24

35

13

14

35

34

25

13

24

25

23

14

25 =

+

+

+

+

+

mogunosti

www.matematiranje.com

4

5) Na koliko razliitih naina se moze raspodeliti 5 deaka i 5 devojica u bioskopskom redu od 10 stolica tako da dva deaka nikad ne sede jedan pored drugog? Razmiljamo: Poto ima 10 mesta a 2 deaka ne smeju biti jedan do drugog, to znai da raspored ide jedan deak jedna devojica.

De. Dev. De. Dev. De. Dev. De. Dev. De. Dev.

- Mogunost za deake je 5! - Mogunost za devojice je 5!

Ali moramo razmiljati da na prvom mestu moe biti i devojica. Dev. De. Dev. De. Dev. De. Dev. De. Dev. De. Pa broj svih mogunosti:

28800120120212345123452!5!52 === 6) Na koliko naina etiri osobe mogu da stanu u krug? Najbolje da mi to nacrtamo

A

D B

C

A

D C

B

A

C D

B

A

C B

D

A

B C

D

A

B D

C

www.matematiranje.com

5

Dakle ima 6 mogunosti!!! 7) Koliko ima etvorocifrenih brojeva koji poinju sa 2 a zavravaju se sa 7? To su brojevi 2 7, gde umesto kvadratia mogu biti brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Znai, brojevi mogunosti je:

100101010221 ===V

8) Koliko ima trocifrenih brojeva koji su deljivi sa 5? Trocifreni brojevi su od 100 do 999. Znai ima 900 broja Poto je svaki peti deljiv sa 5 poevi od 100 to takvih brojeva ima 900:5=180 9) Koliko ima brojeva izmedju 3000 i 6000 koji se zavravaju sa 3 ili 7? Brojevi koji poinju sa 3 su

3 3 10010210

2

_ ==V 3 7 100102

10

2

_ ==V Brojevi koji poinju sa 4

4 3 10010210

2

_ ==V 4 7 100102

10

2

_ ==V Slino je i: 5 3 100 broja 5 7 100 broja 6 3 100 broja 6 7 100 broja Dakle, ukupno ima 1006=600 broja