Embed Size (px)
Citation preview
�eské Vysoké U£ení Technické
v Praze
Fakulta Jaderná a Fyzikáln¥
Inºenýrská
Katedra Fyziky
Bakalá°ská práce
Kohrani£ní lieovské bialgebry
Adam Brus
2012
�kolitel:RNDr.Ladislav Hlavatý, DrSc.
Thesis tittle: Coboundary Lie bialgebras
Author: Adam Brus
Department: Department of Physics FNSPE CTU in Prague
Branch of study: Mathematical Physics
Kind of thesis: Bachelor's Degree Project
Supervisor: RNDr. Ladislav Hlavatý, DrSc.
Abstract: We research Lie bialgebras of dimension 3 �nding which
of them are coboundary by �nding their r-matrixes. For
coboundary Lie bialgebras we apply classical Yang-Baxter
equation and �nd which of them satisfy these equations.
Keywords: coboundary Lie bialgebras, classical Yang-Baxter equation,
r-matrix
Název práce: Kohrani£ní lieovské bialgebry
Autor: Adam Brus
Katedra: Katedra Fyziky FJFI �VUT v Prahe
Obor : Matematická fyzika
Druh práce: Bakalá°ská práce
�kolitel: RNDr. Ladislav Hlavatý, DrSc.
Abstrakt: V této práci zkoumáme lieovské bialgebry dimenze 3 a
hledáme, které z nich jsou kohrani£ní tím, ºe nalezneme
zp·sob jak ur£it jejich r-matice. Pro kohrani£ní bialgebry
kontrolujeme zda nalezené r-matice spl¬ují klasické Yang-
Baxterovy rovnice.
Klí£ová slova: kohrani£ní lieovská bialgebra, klasické Yang-Baxterovy rov-
nice, r-matice
Prohlá²ení
Prohla²uji, ºe jsem svou diplomovou (bakalá°skou)práci vypracoval samostatn¥
a pouºil jsem pouze podklady( literaturu, projekty, SW atd) uvedené v p°iloºeném
seznamu.
Nemám závaºný d·vod proti uºití tohoto ²kolního díla ve smyslu �60 Zákona
£.121/2000 Sb. ,o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o
zm¥n¥ n¥kterých zákon·(autorský zákon).
V Praze dne .................... ........................................
Adam Brus
Pod¥kování
Cht¥l bych pod¥kovat vedoucímu mé bakalá°ské práce za trp¥livé vedení, kvalitní
konzultace a za kontrolu výpo£etních metod.
Obsah
1 Úvod 8
2 Lieovské bialgebry 9
2.1 Kohomologie lieovských algeber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 De�nice Lieovské bialgebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Koadjungovaná reprezentace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Symetrie lieovské bialgebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Maninovy Trojice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 P°íklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Kohrani£ní Lieovské bialgebry a r-matice. 16
3.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 �e²ení rovnice γ = δr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Klasické Yang-Baxterovy rovnice (CYBE) 19
4.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 CYBE v tenzorovém tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Vlastní výpo£et 22
5.1 Výsledky dim 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Bianchiho algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Výsledky dim 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7
Kapitola 1
Úvod
Úkolem této práce je seznámit se s pojmem lieovská bialgebra. Pomocí této
teorie zade�novat kohrani£ní lieovské bialgebry a najít podmínky, kdy je lieovská
bialgebra kohrani£ní. Dále zade�novat pojem r-matice a klasické Yang-Baxterovy
rovnice. Ukáºeme, ºe klasické Yang-Baxterovy rovnice jsou posta£ující podmínkou
pro to aby r ∈ g⊗ g byla r-matice. Tyto poznatky aplikujeme k nalezení r-matic k
lieovským bialgebrám dimenze 3 a pro nalezené r-matice ov¥°íme zda spl¬ují klasické
Yang-Baxterovy rovnice.
8
Kapitola 2
Lieovské bialgebry
2.1 Kohomologie lieovských algeber
Abychom mohli správn¥ zade�novat lieovskou bialgebru budeme pot°ebovat ná-
sledující teorii
De�nice(2.1.1):
Mnoºinu G nazveme grupou, pokud
(i) je de�nována asociativní operace G×G 3 [g, g′]→ gg′ ∈ G(ii) existuje tzv. jednotkový prvek e ∈ G takový, ºe eg = ge = g pro v²echna g ∈ G(iii) ke kaºdému g ∈ G existuje inverzní prvek g−1 spl¬ující g−1g = gg−1 = e
De�nice(2.1.2):
M¥jme mnoºinu M vybavenou dvojicí binárních operaci
ϕ1(a, b) := a+ b,
ϕ2(a, b) := ab,
pak trojici (R, ϕ1, ϕ2) nazveme okruhem, jsou-li spln¥ny následující podmínky
(i) (R, ϕ1) je komutativní grupa
(ii) ϕ1 a ϕ2 jsou distributivní operace: platí a(b + c) = ab + ac , (a + b)c = ac + bc
pro v²echna a, b, c 3 R
9
De�nice(2.1.3):
Nech´ A je vektorový prostor nad t¥lesem F . S£ítání vektor· mu dává struk-
turu komutativní grupy, zavedeme-li na A novou binární, distributivní operaci
ψ : A × A → A stane se z A okruh, který nazveme algebrou nad t¥lesem
F .
De�nice(2.1.4):
Algebru nazveme lieovskou pokud ψ(a, b) := [a, b] spl¬uje následující podmínky
(i) je antisymetrická : [a, b] = −[b, a] pro v²echna a, b ∈ A
(ii) spl¬uje Jacobiho identitu : [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 pro v²echna
a, b, c ∈ A
De�nice(2.1.5):
Nech´ Π je mnoºina vlastností a vztah· struktury X. Reprezentací struktury X
nazveme strukturu Y , která je obrazem X p°es izomor�smus zachovávající Π
De�nice(2.1.6):
Nech´ g je lieovská algebra nad t¥lesem reálných nebo komplexních £ísel aM je vek-
torový prostor reprezentace ρ na g, °íkáme, ºe g p·sobí naM ,a neboM je g−modul.Pro x ∈ g, a ∈M , pro jednoduchost zna£íme (ρ(x))(a) := x . a
De�nice(2.1.7):
Kaºdá lieovská algebra g p·sobí na sebe samu adjungovanou reprezentací, ad :
x ∈ g 7→ End g, de�novanou pro y ∈ g, jako adx(y) := [x, y]
Obecn¥ g p·sobí na jakýkoliv tenzorový sou£et g sám se sebou následovn¥, pro
rozd¥litelné prvky, y1 ⊗ · · · ⊗ yp z g⊗ · · · ⊗ g(p-krát) ,
x . (y1 ⊗ · · · ⊗ yp) = ad(p)x (y1 ⊗ · · · ⊗ yp)
= adxy1 ⊗ y2 ⊗ · · · ⊗ yp + y1 ⊗ adxy2 ⊗ y3 ⊗ · · · ⊗ yp + . . .
y1 ⊗ y2 ⊗ · · · ⊗ y(p−1) ⊗ adxyp
pro p = 2 tedy
ad(2)x (y1 ⊗ y2) = adxy1 ⊗ y2 + y1 ⊗ adxy2 = [x, y1]⊗ y2 + y1 ⊗ [x, y2]
10
De�nice(2.1.8):
Pro kaºdé nezáporné celé £íslo k, vektorový prostor antisymetrických k-lineárních
zobrazení na g do M , kde M je vektorový prostor reprezentací na g, se nazývá pro-
storem k-ko°et¥z· na g s hodnotami v M
De�nice(2.1.9):
Kohranicí k-ko°et¥zu u z g do M je (k + 1)-ko°et¥z δu do M de�nován vztahem
δu(x0, x1, . . . , xk) =∑k
i=0(−1)ixi . (u(x0, x1, . . . , x̂i, . . . , xk))
+∑i<j
(−1)i+ju([xi, xj], x0, . . . , x̂i, . . . , x̂j, . . . , xk),
pro x0, x1, . . . , xk ∈ g, kde x̂i zna£í, ºe prvek xi je vynechán.
Tvrzení(2.1.1):
δ(δu) = 0 pro kaºdý k-ko°et¥z u, k ≥ 0
De�nice(2.1.10):
k-ko°et¥z u nazveme k-kocyklem pokud δu = 0. k-ko°et¥z u nazveme k-kohrani£ní
pokud existuje (k − 1)-ko°et¥z v takový, ºe u = δv
De�nice(2.1.11):
2-lineární formu 〈, 〉 nad g⊕ g∗ spl¬ující:
〈Xi, Xj〉 = 0, 〈X̃i, X̃j〉 = 0, 〈Xj, X̃i〉 = 〈X̃i, Xj〉 = δij
kde Xi jsou prvky g a X̃i jsou prvky g∗ nazveme p°irozeným skalárním produktem.
11
2.2 De�nice Lieovské bialgebry
De�nice(2.2.1):
Lieovská bialgebra je lieovská algebra g s lineárním zobrazením γ : g→ g⊗ g tako-
vým, ºe
(i) tγ : g∗ ⊗ g∗ → g∗ de�nuje lieovskou závorku na g∗ (spl¬ující antisymetrii a Jaco-
biho identitu)
(ii) γ je 1-kocyklem na g s hodnotami v g⊗ g, kde g p·sobí na g⊗ g adjungovanou
reprezentací ad(2)
Podmínka (ii) zna£í, ºe 2-ko°et¥z δγ = 0, tedy pro x, y ∈ g
ad(2)x (γ(y))− ad(2)y (γ(x))− γ([x, y])) = 0
Zave¤me zna£ení:
[ξ, η]g∗ :=t γ(ξ ⊗ η),
pro ξ, η ∈ g∗ tedy
〈[ξ, η]g∗ , x〉 = 〈γx, ξ ⊗ η〉
Poznámka: zobrazení γ : g → g ⊗ g spl¬ující podmínky de�nice(2.2.1) nazýváme
lieovským koproduktem.
12
2.3 Koadjungovaná reprezentace
Pro dal²í práci budeme pot°ebovat následující de�nici.
Nech´ g je lieovská algebra a g∗ je její dualní prostor, pro x ∈ g zavádíme zna£ení
ad∗x := −t(adx)
tudíº ad∗x je endomor�smus spl¬ující
〈ξ, adxy〉 = −〈ad∗xξ, y〉
De�nice(2.3.1):
Reprezentaci x 7→ ad∗x z g do g∗ nazveme koadjungovanou reprezentací na g
2.4 Symetrie lieovské bialgebry
Pomocí zápis· zavedených v p°edchozích £ástech m·ºeme podmínku (ii) z de�-
nice(1.2.1) p°epsat jako:
〈[ξ, η]g∗ , [x, y]〉+ 〈[ad∗xξ, η]g∗ , y〉+ 〈[ξ, ad∗xη]g∗ , y〉
−〈[ad∗zξ, η]g∗ , x〉 − 〈[ad∗yξ, ad∗yη]g∗ , x〉 = 0
Zavedeme-li zna£ení
adξη := [ξ, η]g∗
〈adξη, x〉 := −〈η, ad∗ξx〉
pro ξ, η ∈ g∗, x ∈ g, tudíº ξ ∈ g∗ 7→ End g∗ je koadjungovaná reprezentace na g∗ v
dual g∗ (izomorfním s g)
pouºijeme-li toto zna£ení pak vztah (ii) z de�nice(1.2.1) p°epí²eme na
〈[ξ, η]g∗ , [x, y]〉+ 〈ad∗xξ, ad∗ηy〉+ 〈ad∗xηg∗ , ad∗ξy〉 −〈ad∗yξ, ad∗ηx〉 − 〈ad∗yη, ad∗ξx〉 = 0.
odtud vidíme, ºe g∗ a g mají v struktu°e lieovské bialgebry symetrickou roli.
Tvrzení(2.4.1):
Pokud (g, γ) je lieovská Bialgebra, a µ je její lieovská závorka na g potom (g∗,t µ) je
lieovská bialgebra a tγ je lieovská závorka na g∗.
13
2.5 Maninovy Trojice
Tvrzení(1.5.1):
Nech´ (g, γ) je lieovská bialgebra s duálem (g∗,t µ), pak existuje práv¥ jedna lieovská
algebra nad vektorovým prostorem g⊕ g∗ taková, ºe g a g∗ jsou její lieovské subal-
gebry a p°irozený skalární produkt na g⊕ g∗ je invariantní.
De�nice(2.5.1):
Nech´ g je lieovská bialgebra, g⊕ g∗ s lieovskou závorkou [, ]δ de�nované jako:
pro x, y z g a η, ξ z g∗
[x, y]δ = [x, y]g
[x, η]δ = −ad∗ηx+ ad∗xη
[η, ξ]δ = [η, ξ]g∗
nazveme doublem g a zna£íme g ./ g∗ nebo δ
De�nice(2.5.2):
Maninova trojice je trojice (p, a, b), kde p je lieovská algebra s invariantní, ne-
degenerovanou, symetrickou bilineární formou, a a, b jsou její dopl¬ující se(a⊕b = p
izotropní lieovské podalgebry.
Teorém(2.5.1):
Na kone£né dimenzi existuje pro kaºdou Maninovu trojici práv¥ jedna lieovská bial-
gebra.
2.6 P°íklad
M¥jme lieovskou algebru g = (so(3)) s bází X1, X2, X3 s lieovskou závorkou
[Xi, Xj]g = akijXk se strukturními koe�cienty
a312 = a123 = a231 = 1 a321 = a132 = a213 = −1
a její dualní lieovskou algebru s bází X̃1, X̃2, X̃3 a podle de�nice p°irozeného ska-
lárního produktu 〈X̃ i, Xj〉 = δij.
Uvaºujme lieovskou závorkou na g∗ de�novanou, jako [X̃ i, X̃j]g∗ = bkijX̃k se struk-
turními koe�cienty
b313 = b312 = −2, b321 = b331 = 2.
14
Nyní vybudujeme lieovskou algebru na g⊕ g∗ zna£enou jako g ./ g∗ kde g a g∗ její
lieovské subalgebry.
Díky p°irozenému skalárnímu produktu, který je ad-invariantní m·ºeme ur£it koe�-
cienty f̃kij, fkij, které ur£ují lieovskou závorku [Xi, X̃j] :
〈f̃kijX̃k + fkijXk, Xk〉 = 〈[Xi, X̃j], Xk〉 = −〈X̃j, [Xi, Xk]〉 = −〈X̃j, alikXl〉 = −δjl .
Odtud
f̃kij = −ajik.
Dále
〈X̃k, [Xi, X̃j]〉 = 〈[X̃k, X̃j], Xi〉 = 〈blkjX̃ l, Xi〉 = δil .
Odtud
fkij = bikj.
a tedy
[Xi, X̃j] = f̃kijX̃k + fkijXk = −ajikX̃k + bikjXk.
Proto
[X1, X̃1] = −a11kX̃k + b1k1Xk = 0
[X1, X̃2] = −a21kX̃k + b1k2Xk = X̃k
[X1, X̃3] = −a31kX̃k + b1k3Xk = −X̃2
[X2, X̃1] = −a12kX̃k + b3k1Xk = −X̃3 + 2X3
[X2, X̃2] = −a22kX̃k + b2k2Xk = 0
[X2, X̃3] = −a32kX̃k + b2k3Xk = X̃1
[X3, X̃1] = −a13kX̃k + b3k1Xk = X̃2 + 2X2
[X3, X̃2] = −a23kX̃k + b3k2Xk = −X̃1 − 2X1
[X3, X̃3] = −a33kX̃k + b3k3Xk = −2X1
15
Kapitola 3
Kohrani£ní Lieovské bialgebry a
r-matice.
V této kapitole se seznámíme s pojmy kohrani£ní lieovská bialgebra a r-matice.
Ukáºeme si, jak poznat, kdy je lieovská bialgebra kohrani£ní a jak najít r-matici,
jejiº kohranice de�nuje lieovský koprodukt lieovské bialgebry.
3.1 Teorie
De�nice(3.1.1):
Lieovskou bialgebru s lieovskou algebrou g s lieovským koproduktem γ takovým, ºe
γ = δr,kde r je 0-ko°et¥z nazveme kohrani£ní lieovskou bialgebrou.
Na koprodukt γ v de�nici lieovské bialgebry jsme kladli 2 podmínky
(i) tγ : g∗ ⊗ g∗ → g∗ de�nuje lieovskou závorku na g∗
(ii) γ je 1-kocyklem na g s hodnotami v g⊗ g, kde g p·sobí na g⊗ g adjungovanou
reprezentací ad(2)
pokud γ = δr pak je podle tvrzení(2.1.1) automaticky kocyklem a tudíº musíme
ov¥°ovat pouze vlastnosti lieovské závorky tγ:
(i) δr musí nabývat hodnot z∧2 g(zaji²´uje antisymetrii lieovské závorky na g∗)
(ii) lieovská závorka na g∗ musí spl¬ovat Jacobiho identitu.
Zavedeme-li zna£ení a pro antisymetrickou £ást a s pro symetrickou £ást r. Pak
r = a+ s kde a ∈∧2 g, s ∈ S2g.
kaºdému r z g⊗ g p°i°adíme zobrazení r : g∗ → g de�nované jako
r(η)(ξ) = r(η, ξ)
16
Nech´ tr : g∗ → g je transpozicí r pak
a =1
2(r −t r), s =
1
2(r +t r)
Nyní nech´ γ = δr pak dle de�nice
γ(x) = ad(2)x r = (adx ⊗ 1 + 1⊗ adx)(r) = rij(adxei ⊗ ej + ei ⊗ adxej)
kde (ei) je bázi g a r = rijei ⊗ ej Pro η, ξ ∈ g∗ máme [ξ, η]g∗ =t γ(ξ ⊗ η) nyní, kdyº
γ = δr budeme uºívat zna£ení [ξ, η]r místo [ξ, η]g∗ . Podmínka na antisymetrii lieovské
závorky je spln¥na práv¥ tehdy kdyº δs = 0, tedy s je invariantní v adjungované
reprezentaci (ad-invariant).
ad(2)x s = 0
Tvrzení(3.1.1):
Kdyº r je antisymetrická, pak [ξ, η]r = ad∗rηξ − ad∗rξη
Nyní zkoumejme podmínku na spln¥ní Jacobiho identity na g∗. Zave¤me alge-
braickou Schoutenovu závorkou prvku r ∈∧2 g sama se sebou, zna£enou jako Jr, rK,
coº je prvek∧3 g de�novaný jako
Jr, rK(η, ξ, ζ) = −2 〈ζ, [rη, rξ]〉,
kde zna£í rotace prvk· η, ξ, ζ.
Tvrzení(3.1.2):
Nutnou a posta£ující podmínkou pro γ = δr, r ∈∧2 g aby de�novalo lieovskou
závorku na g∗ je aby Jr, rK ∈∧3 g byl ad-invariant.
De�nice(3.1.2):
Nech´ r je prvkem g⊗ g, s symetrickou £ásti s a antisymetrickou £ástí a pokud s a
Ja, aK jsou ad invariant, pak r nazýváme klasickou r-maticí. Pokud r je antisymet-
rická a Jr, rK = 0, pak r nazýváme trojúhelníkovou r-maticí.
Poloºíme-li si otázku: kdy je lieovská bialgebra s koproduktem γ kohrani£ní, pak
musíme najít r-matici r, vy°e²ením rovnice γ = δr resp. ukázat, ºe takováto r-matice
neexistuje a tudíº lieovská bialgebra není kohrani£ní.
17
3.2 �e²ení rovnice γ = δr
Nech´ Ti je báze g. Zavedeme-li tenzorový zápis
γ(Ti) = f̃ jki Tj ⊗ Tk
r = rklTk ⊗ Tl
a f je lieovská závorka na g tudíº
f(Ti ⊗ Tj) = fkijTk,
pak
γ(Ti) = δr(Ti) = Ti . r =
= Ti . (rklTk ⊗ Tl) =
= rkl((Ti . Tk)⊗ Tl + Tk ⊗ (Ti . Tl)) =
= rkl((fmikTm)⊗ Tl + Tk ⊗ (fnilTn)) =
= rklfmikTm ⊗ Tl + rklfnilTk ⊗ Tn.
Odtud
f̃ jki Tj ⊗ Tk = rklfmik (Tm ⊗ Tl) + rklfnil (Tk ⊗ Tn)
Nyní p°ejmenujeme indexy
f̃pqi Tp ⊗ Tq = rkqfpik(Tp ⊗ Tq) + rplf qil(Tp ⊗ Tq)
Jelikoº Ti je bází g pak Ti ⊗ Tj je bází g⊗ g a tudíº strany se rovnají práv¥ tehdy,
kdyº se rovnají koe�cienty u bázových vektor· a odtud získáváme podmínky pro
koe�cienty r-matice:
f̃pqi =∑k,l
rkqfpik + rplf qil
Toto je v dimenzi 3 soustava 27 rovnic pro 9 £lenu (resp. v dimenzi 2 soustava 8
rovnic pro 4 £leny) 0-ko°et¥zu r = rklTk ⊗ Tl v bázi Ti
18
Kapitola 4
Klasické Yang-Baxterovy rovnice
(CYBE)
Nyní si zavedeme klasické Yang-Baxterovy rovnice a ukáºeme, ºe pro kohrani£ní
lieovské bialgebry jsou ekvivalentní podmínkám kladených na její lieovský kopro-
dukt v kapitole 3.
4.1 Teorie
Nech´ r je prvkem g⊗ g zave¤me zobrazení 〈r, r〉 :∧2 g∗ → g de�nované jako
〈r, r〉(ξ, η) = [rξ, rη]− r[ξ, η]r
a
〈r, r〉(ξ, η, ζ) = 〈ζ, 〈r, r〉(ξ, η)〉
zobrazení 〈r, r〉 je ur£eno prvkem 〈r, r〉 ∈∧2 g⊗g.Dále ukáºeme, ºe kdyº symetrická
£ást r je ad-invariant pak 〈r, r〉 je z∧3 g.
Teorém(4.1.1):
(i) nech´ a ∈ g⊗ g je antisymetrická, pak 〈a, a〉 je z∧3 g a
〈a, a〉 = −1
2Ja, aK,
(ii) nech´ s ∈ g ⊗ g je symetrická a ad-invariant. Pak 〈s, s〉 je ad-invariantní prvek∧3 g a
〈s, s〉(ξ, η) = [sξ, sη],
19
(iii) Pro r = a + s, kde a je antisymetrická a s symetrická ad-invariant, 〈r, r〉 je z∧3 g a
〈r, r〉 = 〈a, a〉+ 〈s, s〉
Tvrzení(4.1.1):
Nech´ r ∈ g⊗g, r = a+s, kde a je antisymetrická £ást a s symetrická a ad-invariant
£ást. Posta£ující podmínkou proto aby Ja, aK byl ad-invariant je
〈r, r〉 = 0.
tedy prvek r ∈ g⊗ g s ad-invariant symetrickou £ástí spl¬ující 〈r, r〉 = 0 je klasická
r-matice.
De�nice(4.1.1):
Podmínku 〈r, r〉 = 0. nazýváme klasickou Yang-Baxterovou rovnicí. r-matice spl¬u-
jící klasickou Yang-Baxterovou rovnici nazýváme kvazi-trojúhelníkovou.
20
4.2 CYBE v tenzorovém tvaru
Nech´ (Ti) je bazí g a r =∑rijTi⊗ Tj zave¤me r12, r13, r23 jako prvky g⊗ g⊗ g
jako
r12 = r ⊗ 1 =∑
rijTi ⊗ Tj ⊗ 1,
r23 = 1⊗ r =∑
rij1⊗ Ti ⊗ Tj,
a
r13 =∑
rijTi ⊗ 1⊗ Tj
Nyní na g⊗ g⊗ g de�nujme
[r12, r13] = [∑
rijTi ⊗ Tj ⊗ 1,∑
rklTk ⊗ 1⊗ Tl] =∑
rijrkl[Ti, Tk]⊗ Tj ⊗ Tl
=∑
rijrklf gikTg ⊗ Tj ⊗ Tl,
[r12, r23] = [∑
rijTi ⊗ Tj ⊗ 1,∑
rkl1⊗ Tk ⊗ Tl] =∑
rijrklTi ⊗ [Tj, Tk]⊗ Tl
=∑
rijrklf gjkTi ⊗ Tg ⊗ Tl,
[r13, r23] = [∑
rijTi ⊗ 1⊗ Tj,∑
rij1⊗ Ti ⊗ Tj] =∑
rijrklTi ⊗ Tk ⊗ [Tj, Tl]
=∑
rijrklf gjlTi ⊗ Tk ⊗ Tg,
Tvrzení(4.2.1):
V tenzorovém tvaru mají klasické Yang-Baxterovy rovnice tvar :
[r12, r13] + [r12, r23] + [r13, r23] = 0
Máme tedy∑rijrklf gikTg ⊗ Tj ⊗ Tl +
∑rijrklf gjkTi ⊗ Tg ⊗ Tl +
∑rijrklf gjlTi ⊗ Tk ⊗ Tg = 0
kdyº (Ti) je báze g pak (Ti ⊗ Tj ⊗ Tk) je bazí g ⊗ g ⊗ g a levá strana je rovna 0
prav¥ tehdy, kdyº se koe�cienty u kaºdého £lenu báze se rovnají 0. Zam¥níme proto
indexy a tedy∑rgjrklf igkTi ⊗ Tj ⊗ Tl +
∑rigrklf jgkTi ⊗ Tj ⊗ Tl +
∑rijrkgf ljgTi ⊗ Tj ⊗ Tl = 0
odtud máme 27 (resp. 8) rovnic pro pevné i,j,l∑rgjrklf igk + rigrklf jgk + rijrkgf ljg = 0
21
Kapitola 5
Vlastní výpo£et
5.1 Výsledky dim 2
Existují pouze následující typy neizomorfních 4 dimenzionálních Maninových
trojic. Pro výpo£et r-matic a klasických Yang-Baxterových rovnic jsem uºil program
Matlab.
1. abelovská Maninova trojice
[X1, X2] = 0
[X̃1, X̃2] = 0
r = lib.
spl¬uje CYBE
2. semiabelovská Maninova trojice
[X1, X2] = 0
[X̃1, X̃2] = X̃2
r − neexistuje
22
3. semiabelovská Maninova trojice
[X1, X2] = X2
[X̃1, X̃2] = 0
r =
(0 0
0 0
)spl¬uje CYBE
4. neabelovská Maninova trojice typu A
[X1, X2] = X2
[X̃1, X̃2] = bX̃2, b 6= 0
r − neexistuje
5. neabelovská Maninova trojice typu A
[X1, X2] = bX2, b 6= 0
[X̃1, X̃2] = X̃2
r − neexistuje
6. neabelovská Maninova trojice typu B
[X1, X2] = X2
[X̃1, X̃2] = X̃1
r =
(0 1
−1 0
)spl¬uje CYBE
23
7. neabelovská Maninova trojice typu B
[X1, X2] = X1
[X̃1, X̃2] = X̃2
r =
(0 −1
1 0
)spl¬uje CYBE
24
5.2 Bianchiho algebry
Kaºdou t°í-dimenzionální lieovskou algebru je moºné p°evést na jeden z 11 vy-
psaných tvar· zm¥nou báze. Tyto tvary reprezentují neizomorfní lieovské algebry a
jsou známy jako Bianchiho algebry.
9 : [X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2 (so(3)),
8 : [X1, X2] = −X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2 (sl(2,öR),
7a : [X1, X2] = −aX2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3, a > 0,
70 : [X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2
6a : [X1, X2] = −aX2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3, a 6= 1
60 : [X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = −X2
5 : [X1, X2] = −X2, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X3
4 : [X1, X2] = −X2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X3
3 : [X1, X2] = −X2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 +X3
2 : [X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = 0
1 : [X1, X2] = 0, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = 0
25
5.3 Výsledky dim 3
V této £ásti uvádím pouze kohrani£ní lieovské bialgebry (tudíº pokud Bialgebra
není uvedena pak r-matice k ní neexistuje a tedy není kohrani£ní). Budu uºívat zápis
Maninových trojic (a|b) kde a a b jsou dopl¬ující se izotropní Lieovské podalgebry
1. Maninova trojice (9|1):
[X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
c 0 0
0 c 0
0 0 c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
2. Maninova trojice (9|5|b):
[X1, X2] = X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = −bX̃2, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = bX̃3, b > 0.
r =
c 0 0
0 c b
0 −b c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
26
3. Maninova trojice (8|1):
[X1, X2] = −X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
c 0 0
0 c 0
0 0 −c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
4. Maninova trojice (8|5.i|b):
[X1, X2] = −X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = −bX̃2, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = bX̃3, b > 0.
r =
c 0 0
0 c b
0 −b −c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
5. Maninova trojice (8|5.ii|b):
[X1, X2] = −X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = bX̃2, [X̃3, X̃1] = −bX̃1, b > 0.
r =
c −b 0
b c 0
0 0 −c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
27
6. Maninova trojice (8|5.iii):
[X1, X2] = −X3, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = X̃2, [X̃2, X̃3] = X̃2, [X̃3, X̃1] = −(X̃1 + X̃3).
r =
c −1 0
1 c −1
0 1 −c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
7. Maninova trojice (7a|1):
[X1, X2] = −aX2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
spl¬uje CYBE
8. Maninova trojice (7a|2.i):
[X1, X2] = −aX2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = X̃1, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 −12a
0 12a
0
spl¬uje CYBE
28
9. Maninova trojice (7a|2.ii):
[X1, X2] = −aX2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = −X̃1, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 12a
0 −12a
0
spl¬uje CYBE
10. Maninova trojice (70|1):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
c1 c2 0
−c2 −c1 0
0 0 0
spl¬uje CYBE
11. Maninova trojice (70|5.i):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = X2.
[X̃1, X̃2] = −X̃2, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = X̃3.
r =
c1 c2 0
−c2 −c1 1
0 −1 0
spl¬uje CYBE
29
12. Maninova trojice (6a|1):
[X1, X2] = −aX2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3, a > 0, a 6= 1.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
spl¬uje CYBE
13. Maninova trojice (6a|2):
[X1, X2] = −aX2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3, a > 0, a 6= 1.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = X̃1, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 −12a
0 12a
0
spl¬uje CYBE
14. Maninova trojice (6a|61/a.ii):
[X1, X2] = −aX2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3, a > 0, a 6= 1.
[X̃1, X̃2] = X̃1, [X̃2, X̃3] = a+1a−1(X̃2 + X̃3), [X̃3, X̃1] = X̃1.
r =
0 −1a−1
1a−1
1a−1 0 0−1a−1 0 0
spl¬uje CYBE
30
15. Maninova trojice (6a|61/a.iii):
[X1, X2] = −aX2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 + aX3, a > 0, a 6= 1.
[X̃1, X̃2] = X̃1, [X̃2, X̃3] = a−1a+1
(−X̃2 + X̃3), [X̃3, X̃1] = −X̃1.
r =
0 −1a+1
−1a+1
1a+1
0 01
a+10 0
spl¬uje CYBE
16. Maninova trojice (61/a.iii|6a):
[X1, X2] = X1, [X2, X3] = a−1a+1
(−X2 +X3), [X3, X1] = −X1.
[X̃1, X̃2] = −aX̃2 − X̃3, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = X̃2 + aX̃3, a > 0, a 6= 1.
r =
0 a+12
a+12
−a−12
0 0−a−1
20 0
spl¬uje CYBE
17. Maninova trojice (60|1):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = −X2.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
c1 c2 0
−c2 −c1 0
0 0 0
spl¬uje CYBE
31
18. Maninova trojice (4.ii|60):
[X1, X2] = (−X1 +X2 +X3), [X2, X3] = X3, [X3, X1] = −X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = X1, [X̃3, X̃1] = −X2.
r =
0 0 12
0 0 12
−12
−12
0
spl¬uje CYBE
19. Maninova trojice (60|5.i):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = −X2.
[X̃1, X̃2] = −X̃2, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = X̃3.
r =
c1 c2 0
−c2 −c1 1
0 −1 0
spl¬uje CYBE
20. Maninova trojice (60|5.ii):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = −X2.
[X̃1, X̃2] = −X̃1 + X̃2, [X̃2, X̃3] = X̃3, [X̃3, X̃1] = −X̃3.
r =
c1 c2 −1
−c2 −c1 −1
1 1 0
spl¬uje CYBE
32
21. Maninova trojice (5.ii|60):
[X1, X2] = −X1 +X2, [X2, X3] = X3, [X3, X1] = −X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = X̃1, [X̃3, X̃1] = −X̃2.
r =
0 0 12
0 0 12
−12
−12
0
spl¬uje CYBE
22. Maninova trojice (5|1):
[X1, X2] = −X2, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
spl¬uje CYBE
23. Maninova trojice (5|2.i):
[X1, X2] = −X2, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = X̃1, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 −12
0 12
0
spl¬uje CYBE
33
24. Maninova trojice (4|1):
[X1, X2] = −X2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
spl¬uje CYBE
25. Maninova trojice (4|2.ii):
[X1, X2] = −X2 +X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = −X̃1, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 0 12
0 −12
0
spl¬uje CYBE
26. Maninova trojice (3|1):
[X1, X2] = −X2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 +X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 c −c0 −c c
spl¬uje CYBE
34
27. Maninova trojice (3|2):
[X1, X2] = −X2 −X3, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = X2 +X3.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = X̃1, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
0 0 0
0 c −c− 12
0 −c+ 12
c
spl¬uje CYBE
28. Maninova trojice (3.ii|3):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X2 +X3, [X3, X1] = 0.
[X̃1, X̃2] = −X̃2 − X̃3, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = X̃2 + X̃3.
r =
c 1 1
−1 0 0
−1 0 0
spl¬uje CYBE
29. Maninova trojice (3.iii|3):
[X1, X2] = X1, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = −X1.
[X̃1, X̃2] = −X̃2 − X̃3, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = X̃2 + X̃3.
r =
0 1 1
−1 c −c−1 −c c
pro c = 0 spl¬uje CYBE
pro c 6= 0 nespl¬uje CYBE
35
30. Maninova trojice (2|1):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = X1, [X3, X1] = 0.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r =
c1 c2 c3
−c2 0 0
−c3 0 0
spl¬uje CYBE
31. Maninova trojice (1|1):
[X1, X2] = 0, [X2, X3] = 0, [X3, X1] = 0.
[X̃1, X̃2] = 0, [X̃2, X̃3] = 0, [X̃3, X̃1] = 0.
r = lib.
spl¬uje CYBE
36
Literatura
[1] L. Hlavatý and L. �nobl, Classi�cation of six-dimensional real drinfeld doubles,
International Journal of Modern Physics A, Vol. 17, No. 28 (2002) 4043-4067.
[2] L. Hlavatý and L. �nobl, Classi�cation of Poisson-Lie T-dual models with two
dimensional targets, Mod.Phys.Lett. A17 (2002) 429-434.
[3] Y. Kosmann-Schwarybach , Lie bialgebras, Poisson Lie groups and dressing
transformations, Lectures Notes in Physics 638, Springer 2004, pp. 107�173.
[4] A.O. Barut, R. Raczka, Theory of group representation and applications, PWN
Warszawa, 1977
[5] J. Blank, P Exner and M. Havlí£ek, Lineární operátory v kvantové fyzice, Ka-
rolinum, 1993
[6] Program Matlab verze R2011b
37
