Федеральное агентство по образованию Дальневосточный государственный технический университет

(ДВПИ им. В.В. Куйбышева)

Н.А. Клещева, Е.В. Штагер

ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОНТРОЛЯ

ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ ПО ФИЗИКЕ

И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Учебное пособие

Рекомендовано Дальневосточным региональным учебно-методическим центром в качестве учебного пособия для студентов технических

специальностей

Издательство

ДВГТУ

Владивосток • 2007

УДК 53 К 48

Рецензенты: В.А. Юрченко, канд. техн. наук, проректор

по инновационной работе (ТГЭУ); И.М. Тарасова, канд. пед. наук,

доцент кафедры информатики (ДВГУ) Клещева, Н.А., Штагер, Е.В.

Дидактическое обеспечение контроля остаточных знаний по физике и тео-ретической механике: учеб. пособие / Н.А. Клещева, Е.В. Штагер; Дальнево-сточный государственный технический университет. – Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 2007. – 83 с.

ISBN 978-5-7596-0749-6 Весь материал вузовской программы курса физики структурирован на де-

вять тем, теоретической механики – на шесть тем. В каждой из них приведены основные определения и формулы, необходимые для решения задач, и сами ин-дивидуальные задания с ответами.

Пособие предназначено для преподавателей и студентов 3, 4, 5 курсов с целью проверки остаточных знаний по физике и теоретической механике, а также для оперативного контроля знаний на практических занятиях, зачетах, при допуске к экзамену, в режиме самоконтроля. ISBN 978-5-7596-0749-6 © Дальневосточный государственный технический университет, 2007

3

ВВЕДЕНИЕ Проверка остаточных знаний включена в число обязательных показателей,

составляющих систему мониторинга качества подготовки специалистов. Для высшего технического образования определен комплекс дисциплин, по кото-рым должен проводиться данный вид обобщающего контроля знаний студен-тов. В этот комплекс включены фундаментальные дисциплины, формирующие научную и учебную базу общепрофессиональной и специальной инженерной подготовки.

Курс физики является системообразующим в структуре инженерной под-готовки. Теоретическая механика также представляет собой фундаментальную естественнонаучную дисциплину, методы которой широко используются для решения обширного класса инженерных задач. Данные дисциплины изучаются на всех специальностях направления техники и технологии, поэтому представ-ляется целесообразным проводить комплексную проверку остаточных знаний по физике и теоретической механике.

Первый этап проверки остаточных знаний студентов начинается на треть-ем курсе. В качестве диагностического инструментария выбраны задачи. Имен-но решение задач является тем видом учебно-познавательной деятельности, ко-торая позволяет наиболее полно выявить уровень сформированности теорети-ческого материала и методов его использования в практических инженерных расчетах.

В пособии представлены методические указания и задачи для проведения контрольных мероприятий по оценке остаточных знаний по дисциплинам «Фи-зика» и «Теоретическая механика». Цель настоящего пособия состоит в том, чтобы предоставить в распоряжение преподавателей и студентов большое чис-ло коротких задач, условия и расчетные схемы которых достаточно просты и понятны. Для их решения не нужно выполнять сложных математических пре-образований и вычислений, но необходимо ясно и четко представлять их физи-ческий смысл. Главное требование к задачам, отбираемым для проведения кон-трольных мероприятий, состоит в том, чтобы решение каждой из них отражало практическое применение теоретического материала по основным темам, пре-дусмотренным образовательными программами. Учебное содержание курса физики структурировано на девять, теоретической механики – на шесть тем. В начале каждой темы приводятся основные формулы и определения, затем пред-лагаются задачи, индивидуальные для каждого студента. Все задачи снабжены ответами, приведенными в конце текста в скобках. Там, где это необходимо, ответ приведен словом или в виде функции.

Задачи, включенные в данное пособие, также могут широко использовать-ся в различных учебных и контрольных целях: на практических занятиях, при самостоятельной работе студентов, при проведении контрольных работ, зачетов и экзаменов.

4

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 1. Каждому студенту предлагается решить по физике шесть задач, по тео-

ретической механике три задачи. Номера задач определяются по таблицам, представленным в начале каждой части пособия. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале успеваемости.

2. Условие задачи полностью переписывать не нужно. Указывается номер задачи и записывается краткое условие по стандартной форме.

3. Если в тексте задачи какие-либо параметры или свойства физических объектов (масса, вес, трение и т.д.) не указаны, то ими следует пренебречь.

4. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями. В за-дачах, предполагающих расчетные схемы, требуется выполнить чертеж.

5. Решать задачу следует в общем виде, т.е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии.

6. Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу желательно выражать в единицах СИ.

7. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением пра-вил приближенных вычислений. Окончательный ответ следует записывать с тремя значащими цифрами.

5

Часть 1. ФИЗИКА

Индивидуальные задания

Вариант Номер задачи

1 101 211 406 601 316 806 2 102 212 407 602 317 807 3 103 213 408 603 318 808 4 104 214 409 604 319 809 5 105 215 410 605 320 810 6 201 301 505 416 706 915 7 202 302 506 417 707 916 8 203 303 507 418 708 917 9 204 304 508 419 709 918 10 205 305 509 420 710 919 11 106 216 411 606 801 716 12 107 217 412 607 802 717 13 108 218 413 608 803 718 14 109 219 414 609 804 719 15 110 220 415 610 805 720 16 206 306 510 615 901 421 17 207 307 511 616 902 422 18 208 308 512 617 903 423 19 209 309 513 618 904 424 20 210 310 514 619 905 425 21 115 316 515 701 906 811 22 116 317 401 702 907 812 23 117 318 402 703 908 813 24 118 319 403 704 909 814 25 119 320 404 705 910 815 26 120 315 405 520 711 920 27 121 312 221 712 921 516 28 123 222 313 517 713 922 29 124 223 314 518 714 923 30 125 224 314 519 715 924

6

Тема 1. Кинематика и динамика поступательного движения

Основные формулы Скорость прямолинейного движения в общем случае

dtdSV = ,

ускорение 2

2

dtSd

dtdVa == .

В случае прямолинейного равномерного движения

,consttSV == 0=a .

В случае прямолинейного равнопеременного движения

2

2

0attVS += , atVV += 0 , consta = .

При криволинейном движении полное ускорение равно:

22naaa += τ ,

где τa – тангенциальное ускорение, dtdVa =τ ; na – нормальное (центростре-

мительное) ускорение, R

Van

2

= ; V – скорость движения; R – радиус кривизны

траектории. Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением

).( VmddtFrr

= Если масса постоянна, то

amdtVdmF rr

r== ,

где ar – ускорение, приобретаемое телом массой m под действием силы Fr

.

7

Третий закон Ньютона

12 FFrr

−= ,

где 1Fr

и 2Fr

– силы, с которыми взаимодействуют две материальные точки (два тела).

Закон сохранения импульса: импульс изолированной системы есть вели-чина постоянная. В общем виде этот закон выражается формулой

∑=

=n

ii constVm

1

r,

где i – число материальных точек, входящих в рассматриваемую изолирован-ную систему.

Для двух взаимодействующих материальных точек, двигающихся по од-ной прямой, этот закон имеет вид

22112211 UmUmVmVmrrrr

+=+ ,

где 1Vr

и 2Vr

– скорости точек до взаимодействия; 1Ur

и 2Ur

– скорости точек по-сле взаимодействия.

Работа: а) постоянной силы

αcosFSA = ,

где α – угол между направлениями силы и перемещением; б) переменной силы

∫=a

b

dSFA αcos ,

где а и b – координаты начальной и конечной точек пути.

Мощность: а) средняя за время tΔ

tANΔΔ

= ,

8

б) мгновенная

dtdAN = ,

где dA – работа, совершаемая за время dt .

Кинетическая энергия точки или тела, движущегося поступательно:

2

2mVWK = .

Потенциальная энергия точки или тела, поднятого на высоту h :

mghWn = . Сила упругости

kxF −= ,

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость); x – абсолют-ная деформация.

Энергия упругодеформированного тела

2

2kxWn = .

Сила трения

NFrr

μ= ,

где μ – коэффициент трения; N – сила нормального давления. Закон сохранения механической энергии

nK WWW += .

Задачи для решения 101. Точка двигалась 15 с со скоростью 5 м/с, 10 с со скоростью 8 м/с и 6 с

со скоростью 20 м/с. Какова средняя скорость движения точки? (9 м/с)

9

102. Две материальные точки движутся согласно уравнениям x1 = 4t + 8t2 –16t3 и x2 = 2t – 4t2 + t3. В какой момент времени ускорения этих точек будут одина-ковы? Найти скорости точек в этот момент времени.

(0,235 c; 5,1 м/с; 0,286 м/с) 103. Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь S пройдёт камень за

последнюю секунду своего падения? (150 м)

104. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью

V = 5 м/с. Через 2 с мячик упал на землю. Определить высоту h балкона над землёй и скорость мячика в момент удара о землю.

(9,6 м) 105. С башни бросили камень в горизонтальном направлении. Через 2 с

камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от основания башни. Определить начальную скорость V0 и конечную скорость Vк камня.

(20 м/с; 28 м/с) 106. Пуля пущена с начальной скоростью V = 200 м/c под углом α = 60° к

плоскости горизонта. Определить наибольшую высоту H подъёма пули. (1530 м)

107. Материальная точка массой m = 2 кг двигалась под действием некото-

рой силы согласно уравнению x = 2 + 5t + t2 – 0,2t3. Найти значение этой силы в момент времени t1 = 2 c и t2 = 5 c. В какой момент времени сила равна нулю?

(-0,8 H; -8 H; 0 при t = 1,67 с) 108. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью V = 20 м/c,

остановилась через t = 40 c. Найти коэффициент трения шайбы о лёд. (0,05)

109. Шарик массой m = 300 г ударился о стенку и отскочил от неё. Опреде-

лить импульс P, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость V = 10 м/c, направленную под углом ϕ = 30° к поверхно-сти стены. Удар считать абсолютно упругим.

(3 Н·с) 110. Тело скользит по наклонной поверхности, составляющей с горизон-

том угол α = 45°. Пройдя путь S = 36,4 cм, тело приобретает скорость V = 2 м/с. Найти коэффициент трения μ тела о плоскость.

(0,2)

10

111. Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири 1 и 2 одинаковой мас-сы (m1 = m2 = 1 кг) соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол μ = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т.

(4,4 м/c2; 5,4 H)

112. При подъёме груза массой m = 2 кг на высоту h = 1 м сила совершает работу A = 78,5 Дж. С каким ускорением поднимается груз?

(29,5 м/с2) 113. Мяч, летящий со скоростью V1 = 15 м/с, отбрасывается ударом ракет-

ки в противоположном направлении со скоростью V2 = 20 м/с. Найти изменение импульса ΔР мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии ΔEк = 8,75 Дж.

(-3,5 Н·с) 114. Камень падает с некоторой высоты в течение времени t = 1,43 c. Най-

ти кинетическую Eк и потенциальную Eр энергии камня в средней точке пути. Масса камня 2 кг.

(Eк = Eр = 98,2 Дж) 115. На толкание ядра, брошенного под углом α = 30° к горизонту, затра-

чена работа A = 216 Дж. Через какое время t и на каком расстоянии Sх от места бросания ядро упадёт на землю? Масса ядра 2 кг.

(1,5 c; 19,1 м) 116. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость

движения тела массой m = 1 т от V1 = 2 м/с до V2 = 20 м/с на пути S = 10 м. На всём пути действует сила трения Fтр = 2 H.

(16020 Дж) 117. С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоро-

стью V = 15 м/с. Найти кинетическую Eк и потенциальную Ер энергии камня че-рез время t = 1 c после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг.

(32,2 Дж; 39,4 Дж) 118. Из орудия массой m1 = 5 т вылетает снаряд массой m2 = 100 кг. Кине-

тическая энергия снаряда при вылете Ек2 = 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию получит орудие Ек1 вследствие отдачи?

(150 Дж) 119. Снаряд, летевший со скоростью V = 400 м/с, в верхней точке траекто-

рии разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет

1

2

11

40 % от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью V1 = 150 м/с. Определить скорость V2 большего осколка.

(765,6 м/с) 120. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m1 = 10 г

со скоростью V = 300 м/c. Затвор пистолета массой m2 = 200 г прижимается к стволу пружиной, жёсткость которой k = 25 кH/м. На какое расстояние отойдёт затвор после выстрела?

(4,2·10-2 м) 121. С высоты h = 2 м на стальную плиту свободно падает шарик массой

m = 200 г и подпрыгивает на высоту h = 0,2 м. Определить ΔP импульса, полу-ченного шариком при ударе.

(1,92 кг·м/с) 122. Какую силу надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы ва-

гон стал двигаться равноускоренно и за время t = 30 c прошёл путь 11 м? Вес вагона P = 16·103 H. Во время движения на вагон действует сила трения, равная 0,05 веса вагона.

(1960 H) 123. Камень весом 20 H упал с некоторой высоты. Падение продолжалось

1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня в средней точке пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.

(Ер = Ек = 98,1 Дж) 124. Из орудия массой 5·103 кг вылетает снаряд весом 103 H. Кинетическая

энергия снаряда при вылете равна 7,5·106 Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

(152 Дж) 125. Шар массой m, подвешенный на нити длиной l м, отклоняют на угол

90° от вертикали и отпускают. Определить силу максимального натяжения нити. (3 H)

Тема 2. Кинематика и динамика вращательного движения

Основные формулы

Угловая скорость

ω ϕ=

ddt

.

12

Угловое ускорение

ε ω=

ddt

.

Угловая скорость равномерного вращательного движения

ω ϕ π π= = =t T

n2 2 ,

где T – период вращения; n – частота вращения, n Nt

= ; N – число оборотов,

совершаемых за время t . Кинематические соотношения для вращательного движения

2

2

0tt ⋅

±=εωϕ ,

ω ω ε= ± ⋅0 t .

Связь между линейными и угловыми величинами

RaRaRVRS nc2,,, ωεωϕ ==== .

Момент инерции тела относительно его оси вращения

.2∫= dmrJ Момент инерции материальной точки

2rmJ ⋅= ,

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения. Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно

оси цилиндра

2

21 mRJ = .

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, прохо-

дящей через его центр:

13

.52 2mRJ =

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его сере-

дину перпендикулярно к нему:

.121 2mlJ =

Теорема Штейнера

20 mdJJ += ,

где J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии d ; J0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей че-рез центр масс; m – масса тела.

Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела отно-сительно неподвижной оси

M dldt

= , M J ddt

J= = ⋅ω ε ,

где M – момент силы; J – момент инерции; ε – угловое ускорение.

Момент силы относительно неподвижной точки

М = [rr Fr

],

где rr – радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы; Fr

– вектор силы. Модуль момента силы

M Fl= ,

где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относи-тельно оси вращения

ωJmVrL == ,

где r – расстояние от оси вращения до отдельной частицы тела; mV – импульс этой частицы; J – момент инерции тела относительно оси; ω – его угловая скорость.

14

Закон сохранения момента импульса

L constii

n=

=∑

1.

Закон сохранения двух взаимодействующих тел

J J J J1 1 2 2 1 1 2 2ω ω ω ω+ = +' ' ' ' . Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело:

A M= ϕ ,

где ϕ – угол поворота тела. Мгновенная мощность при вращении тела

N M= ω . Кинетическая энергия вращающегося тела

T J=12

2ω .

Задачи для решения

201. Колесо, вращаясь равноускоренно, через 1 минуту после начала вра-

щения приобретает частоту n = 720 об/мин. Найти угловое ускорение ε колеса и число оборотов N колеса за это время.

(1,26 рад/с2; 360 об) 202. Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению ϕ = А + Вt + Ct2,

где А = 3 рад/с, В = -1 рад/c2, С = 0,1 рад/с3. Определить тангенциальное уско-рение aτ , нормальное и полное ускорение точек на окружности диска для мо-мента времени t = 10 с.

(1,2 м/с2; 168,2 м/c2; 168,2 м/с2) 203. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота

радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = Аt + Bt2 + Ct3, где А = 1 рад/с, В = 2 рад/с2, С = 3 рад/с3. Найти через время t = 3 с после начала движения на ободе колеса: 1) угловую скорость ω ; 2) линейную скорость V; 3) угловое ус-корение ε ; 4) тангенциальное aτ и 5) нормальное an ускорения.

(1 – 93 рад/с; 2 – 9,3 м/с; 3 – 40 рад/с2; 4 – 4 м/с2; 5 – 864,9 м/c2)

15

204. Винт аэросаней вращается с частотой n = 360 мин-1. Скорость посту-пательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью U движется один из концов винта, если R винта 1 м?

(40,5 м/с) 205. На токарном станке протачивается вал диаметром d = 60 мм. Про-

дольная подача h резца равна 0,5 мм за оборот. Какова скорость V резания, если за интервал времени Δt = 1 мин протачивается участок вала l = 12 см?

(0,754 м/с) 206. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20 рад/с

через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорениеε колеса. (3,2 рад/с2)

207 Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшило

свою частоту с n1 = 300 об/мин до n2 = 180 об/мин. Найти угловое ускорение ε и число оборотов N колеса за это время.

(0,21 рад/с2; 240 об) 208. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от

времени дается уравнением S = ct3, где с = 0,1 см/с3. Найти нормальное и танген-циальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки V = 0,3 м/с.

(4,5 м/с2; 0,06 м/с2) 209. Вентилятор вращается со скоростью 900 об/мин. После выключения вен-

тилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Работа сил тормо-жения 44,4 Дж. Найти: 1) момент инерции вентилятора; 2) момент сил торможения.

(0,01 кг·м2; 94·10-3 Н·м) 210. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого при-

вязан груз m = 10 кг. Найти момент инерции J, если известно, что груз опуска-ется с ускорением a = 2,04 м/с2.

(9,5 кг·м2) 211. Маховик, момент инерции которого J = 63,6 кг·м2, вращается с угло-

вой скоростью ω = 31,4 рад/c. Найти момент сил торможения, под действием которого маховик останавливается через некоторое время t = 20 с. Маховик считать однородным диском.

(≈ 100 Н·м) 212. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной

l = 30 см и массой m = 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину.

(3·10-3 кг·м2; 10-3 кг·м2)

16

213. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 около оси, проходящей перпен-дикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент.

(0,025 Н·м) 214. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура

привязаны грузы m1 = 100 г и m2 = 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении ничтожно мало.

(239 м/с2) 215. Обруч и диск одинаковой массы (m1 = m2 = m) катятся без скольжения

с одной и той же скоростью V. Кинетическая энергия обруча Wk1 = 40 Дж. Най-ти кинетическую энергию Wk2 диска.

(≈ 30 Дж) 216. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n = 5 об/с,

Wk = 60 Дж. Найти момент импульса вала. (3,82 кг·м/с2)

217. Медный шар радиусом R = 10 см вращается с частотой n = 2 об/с во-

круг оси, проходящей через его центр. Какую работу А надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость ω вращения шара вдвое?

(34,1 Дж) 218. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением ε = 0,5 рад/с2

и через время t1 = 15 c после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кг·м2/с. Найти кинетическую энергию Wk колеса через время t2 = 20 с после начала движения.

(490 Дж) 219. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на

стол. Какую угловую скорость ω и линейную V будут иметь в конце падения верхний конец и середина карандаша?

(ω 1 = ω 2 = 14 с-1; 1,05 см/с; 2,1 см/с) 220. Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен на горизонтальной

оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую скорость V надо сооб-щить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

(7,1 м/с) 221. Горизонтальная платформа в виде диска массой 100 кг вращается во-

круг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/мин. С какой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру?

(22 об/мин)

17

222. Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m1 = 180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n = 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой m2 = 60 кг. Какую линейную скорость V отно-сительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край плат-формы?

(15 м/c) 223. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью V = 8 м/с.

Определить коэффициент трения диска о плоскость, если он, будучи предос-тавленным самому себе, остановился, пройдя путь S = 18 м.

(≈ 0,4) 224. Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку,

вращающемуся с частотой n = 12 с-1, чтобы он остановился в течение времени Δt = 8 с. Диаметр блока D = 30 см. Массу блока m = 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.

(≈ 1,3 Н·м) 225. Шарик массой m = 60 г, привязанный к концу нити длиной l1 = 1,2 м,

вращается с частотой n1 = 2 c-1, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси до расстояния l2 = 0,6 м. С какой часто-той n2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

(8 об/с; 24 Дж)

Тема 3. Молекулярная физика и термодинамика

Основные формулы Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапейрона-Менделеева)

PV m RT=μ

, или VRTPV = .

Закон Дальтона

Р = Р1 + Р2 + . . . + Рк. Концентрация частиц

n NV

Nma= =ρ .

18

Средняя кинетическая энергия молекул

< > =ε i kT2

,

где k = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана; i – число степеней свободы.

Зависимость давления от концентрации и температуры

nkTP = . Молярная теплоемкость при постоянном давлении Cp и постоянном объе-

ме vC

RiCRiC vp 2,

22

=+

= .

Уравнение Майера

C C Rp v− = . Внутренняя энергия идеального газа

U = U m i kT=μ 2

.

Первое начало термодинамики

Q U A= +Δ . Работа расширения газа (в общем виде)

A pdVV

Vc

= ∫1

;

при изобарном процессе

A p V V= −( )2 1 ; при изотермическом процессе

A m R T VV

=μ

ln 2

1

;

19

при адиабатическом процессе

A Um

C Tv= − =Δ Δμ

, или A RT=

−1

1γ1 1

2

1

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−VV

γ

.

Задачи для решения

301. Вычислить массу одной молекулы кислорода; 2oμ = 32·10-3 кг/моль.

(5,3·10-26 кг) 302. За время t = 10 сут из стакана полностью испарилось m = 100 г воды.

Сколько в среднем молекул вылетело с поверхности воды за 1 с? (4·1018 с-1)

303. Резиновый шар содержит 2 л воздуха, находящегося при температуре

20 °С и атмосферном давлении 760 мм рт. ст. Какой объем займет воздух, если шар будет опущен в воду на глубину 10 м? Температура воды 4 °С; ρ воды = 1·103 кг/м3.

(6·10-4 м3) 304. В запаянной с одного конца узкой стеклянной трубке, расположенной

горизонтально, находится столбик воздуха длиной l 1 = 30,7 см, запертый столби-ком ртути длиной l = 21,6 см. Какой будет длины воздушный столбик, если труб-ку поставить вертикально отверстием вверх? Давление атмосферы 747 мм рт. ст. ρ воздуха = 1,29 кг/м3.

(23,8·10-2 см) 305. Сосуд, содержащий m1 = 2 г гелия, разорвался при температуре 400 °С.

Какое максимальное количество азота может храниться в таком сосуде при 30 °С при температурном запасе прочности? Heμ = 4·102,

2Nμ = 28⋅ 10-3 кг/моль. (6·10-3 кг)

306. Баллон содержит сжатый газ при 27 °С и давлении Р1 = 20 атм. Каково

будет давление, если из баллона будет выпущено k = 0,3 массы газа, а темпера-тура понизится до 12 °С?

(13,3 атм) 307. Какова разница в массах воздуха, заполняющего помещение объе-

мом V = 50 м3, зимой и летом, если летом температура помещения достигает 40 °С, а зимой падает до 0 °С? Давление нормальное. Молярная масса воздуха μ = 29·10-3 кг/моль.

(8,2 кг)

20

308. Газ находится в цилиндре под невесомым поршнем, площадь которого S = 100 см2. При температуре 7 °С на поршень положили гирю массой m = 10 кг. При этом поршень несколько опустился. На сколько нужно нагреть газ в ци-линдре, чтобы поршень оказался на прежней высоте? Атмосферное давление нормальное: Р0 = 1·105 Па.

(28 К) 309. Сколько молекул содержится в капле воды диаметром 0,1 мм при

температуре 4 °С? 2Hμ = 18·10-3 кг/моль, ρ = 103 кг/м3, NA = 6,02·1023 кг/моль.

(1,75·1016 молекул) 310. Колба вместимостью V = 0,5 л содержит газ при нормальных услови-

ях. Определить число N молекул газа, находящихся в колбе. (1,37·1023 молекул)

311. Найти полную кинетическую энергию вращательного движения одной

молекулы аммиака NH3 при температуре t = 27 °С. (6,2·10-21 Дж)

312. Определить удельные теплоемкости Ср и Сv газообразной окиси угле-

рода СО. (1,04·103 Дж/(кг⋅К))

313. Разность удельных теплоемкостей некоторого двухатомного газа

Cp – Cv = 260 Дж/(кг·К). Найти массу одного киломоля газа и его удельные теп-лоемкости.

(32 кг/кмоль; 640 Дж/(кг·К); 909 Дж/(кг·К)) 314. При температуре t = 20 °С масса m = 2,5 кг некоторого газа занимает

объем V = 0,3 м3. Определить давление газа, если удельная теплоемкость Ср = 519 Дж/(кг·К) и γ = 1,67.

(8,33·105 Н/м2) 315. Некоторый газ при нормальных условиях имеет плотность ρ = 0,0894 кг/м3.

Определить удельные теплоемкости Cp и Cv, а также назвать газ. (14560 Дж/(кг·К); 10400 Дж/(кг·К))

316. Углекислый газ массой 10 г нагрет от 20 до 30 °С при постоян-

ном давлении. Найти работу расширения газа. Удельная теплоемкость СО2 0,83·103 Дж/(кг·К). Молярная масса 44·10-3 кг/моль. R = 8,31 Дж/(моль·К).

(18,8 Дж)

21

317. Кислород О2 массой 6 г при температуре 30 °С расширяется при по-стоянном давлении, увеличивая свой объем в два раза вследствие притока теп-лоты извне. Найти работу расширения газа, если μ = 32·10-3 кг/моль.

(2,144 кДж) 318. Масса m = 2 г гелия, находящегося при t = 0 °С и давлении Р = 2·105 Н/м2,

изотермически расширяется за счет полученного извне тепла до объема V = 2 л. Найти работу, совершенную газом при расширении, количество сообщенной газу теплоты.

(1168 Дж; 0) 319. При изобарическом расширении двухатомного газа была совершена

работа А. Какое количество теплоты сообщено газу? (7/2 Дж)

320. В цилиндре под поршнем находится водород массой 0,02 кг при тем-

пературе Т1 = 300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n1 = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа умень-шился в n2 = 5 раз. Найти температуру тела в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах.

(157 К; 29,8 кДж; -21 кДж) 321. Баллон емкостью V = 20 л с кислородом при давлении Р1 = 100 атм и

температуре t1 = 7 °С нагревается до t2 = 27 °С. Какое количество теплоты при этом поглощается газом? μO2

= 32·10-3 кг/моль. (35 кДж)

322. При адиабатическом расширении азота массой 0,02 кг совершается

работа 29,8 кДж. На сколько уменьшилась внутренняя энергия азота, если его удельная теплоемкость при постоянном объеме Сv = 0,74·103 Дж/(кг·К)?

(195 К) 323. Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу Карно,

отнимает от охлаждаемого тела с температурой -10 °С 2,8 кДж теплоты и пере-дает телу с температурой +17 °С. Определить КПД цикла, количество теплоты, переданное теплому телу за один цикл.

(9,3 %; 3,1 кДж) 324. Определить КПД тепловой машины, если известно, что за один цикл

была произведена работа 3 кДж и холодильнику передано 16 кДж энергии. (16 %)

22

325. Газ, совершающий цикл Карно, за счет каждых 2 кДж энергии, полу-ченной от нагревателя, производит работу 300 Дж. Каков КПД этого цикла? Во сколько раз абсолютная температура нагревателя больше абсолютной темпера-туры холодильника?

(0,15 %; 1,18)

Тема 4. Электростатика и постоянный ток

Основные формулы Закон Кулона

F q qr

=1

4 0

1 22π ε ε .

Напряжённость

rЕ электростатического поля

r

r

Е Fq

= .

Напряжённость поля точечного заряда

E qr

=1

4 02π ε ε ,

где q – заряд, создающий поле; r – расстояние до точки, в которой определяется напряжённость.

Напряжённость поля системы зарядов

r r r r rE E E E EN i

i

N

= + + + ==∑1 2

1... ,

где

rEi – напряжённость поля, создаваемого отдельным зарядом в данной точке. Если электростатическое поле создаётся в данной точке двумя точечными

зарядами, модуль вектора напряжённости результирующего поля равен

E E E E E= + +12

22

1 22 cosα ,

где α – угол между векторами rЕ1и

rЕ2 .

Напряжённость поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заря-женной нитью (тонким стержнем, цилиндром) на расстоянии r от ее оси:

23

Er

=τ

π ε ε2 0

,

где τ = qe

– линейная плотность заряда q.

Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью:

E =

σεε2 0

,

где σ =qS

– поверхностная плотность заряда q .

Потенциал поля точечного заряда

ϕπ ε ε=1

4 0

qr

,

где q – заряд, создающий поле (если q < 0, то ϕ < 0); r – расстояние от заряда до точки поля, в которой находится потенциал.

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки поля, имеющей потенциал ϕ1 , в точку, имеющую потенциал ϕ2 , равна

A q= −( )ϕ ϕ1 2 .

Разность потенциалов с напряжённостью поля связана соотношением

ϕ ϕ1 21

2

− = ∫ E dll ,

где El – проекция вектора напряжённости на направление перемещения; dl – перемещение.

Электрическая емкость плоского конденсатора

C Sdl

=ε ε 0 ,

где S – площадь пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; ε 0 – электрическая постоянная (ε 0 = 8,85·10-12 Ф/м).

24

Энергия заряженного конденсатора

W CU qC

qU= = =

2 2

2 2 2.

Объёмная плотность энергии заряженного конденсатора

ωε ε

= 02

2E ,

где E – напряжённость электростатического поля.

Напряжённость поля Е заряженного плоского конденсатора

E =σε ε 0

,

где σ – поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора.

Сила тока

.dldqI =

Плотность тока

j dIdS

= .

Закон Ома для однородного участка цепи (в интегральной форме)

I UR R

= =−ϕ ϕ1 2 .

Сопротивление участка цепи

R lS

= ρ ,

где ρ – удельное сопротивление; l – длина проводника; S – поперечное сечение проводника.

Закон Ома для однородного участка цепи (в дифференциальной форме)

25

j E E= =1ρ

σ ,

где j – плотность тока; ρσ 1= – удельная электропроводность; E – напряжён-

ность поля кулоновских сил. Закон Ома для неоднородного участка цепи (в интегральной форме)

.)( 21

RI i∑+−=

εϕϕ

Закон Ома для замкнутой цепи

IR r

=+ε .

Работа электрического тока на участке цепи

A IUt I Rt UR

t= = =22

.

Полная мощность, выделяемая в цепи:

P I= ε . Мощность, выделяемая на участке цепи:

P IU I R UR

= = =22

.

Мощность, выделяемая на внешнем участке замкнутой цепи:

P RR r

=+ε 2

2( ).

Мощность, выделяемая на внешнем участке замкнутой цепи, максимальна

(P = Pmax) при условии R = r. Ток короткого замыкания (R = 0)

Irк з. . =ε .

26

Для разветвленных цепей используются правила (законы) Кирхгофа. I закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

I ii

=∑ 0 ;

II закон Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма падений

напряжений на отдельных участках равна алгебраической сумме ЭДС, входя-щих в контур:

I Ri i i= ∑∑ ε .

Задачи для решения

401. Точечные заряды q1 = 20 мкКл и q2 = -10 мкКл находятся на расстоя-

нии d = 5 см друг от друга. Определить силу F, действующую на точечный за-ряд q = 1 мкКл, расположенный на расстоянии r1 = 3 см от первого заряда и на r2 = 4 см от второго.

(207 Н) 402. На расстоянии d = 20 см находятся два точечных заряда q1 = -50 нКл и

q2 = 100 нКл. Определить силу F, действующую на заряд q3 = -10 нКл, удалён-ный от обоих зарядов на одинаковое расстояние d.

(10-5 Н) 403. Тонкий стержень длиной l = 10 см равномерно заряжен. Линейная

плотность заряда t = 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд q = 100 нКл. Оп-ределить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

(1,53·10-3 Н) 404. Тонкая бесконечно длинная нить заряжена равномерно с линейной

плотностью t = 10 нКл/м. На расстоянии а = 10 см от нити, против её середины, находится точечный заряд q = 1 нКл. Вычислить силу F, действующую на этот заряд со стороны заряженной нити.

(18·10-7 м) 405. Расстояние d между двумя точечными зарядами q1 = 8 нКл и q2 = -5 нКл

равно 40 см. Вычислить напряжённость Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами.

(2,9·10-3 В/м) 406. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными

пластинами, несущими равномерно распределённый заряд с поверхностными

27

плотностями S1 = 1 нКл/м2 и S2 = 3 нКл/м2. Определить напряжённость Е поля между пластинами.

(113 В/м) 407. Эбонитовый шар радиусом R = 5 см несёт заряд, равномерно распре-

делённый по объёму, с объёмной плотностью r = 10 нКл/м2. Определить напря-жённость Е поля на расстоянии r = 10 см от центра шара.

(4,7 В/м) 408. Заряды q1 = 1 мкКл и q2 = -1 мкКл находятся на расстоянии d = 10 см

друг от друга. Определить потенциал ϕ поля в точке, лежащей на прямой, со-единяющей заряды, и удалённой от первого заряда на расстояние r = 10 см.

(45 кВ) 409. Тонкий стержень длиной l = 10 см несёт равномерно распределённый

заряд q =1 нКл. Определить потенциал ϕ электрического поля в точке, лежа-щей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца.

(99 В)

410. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несёт равномерно распреде-лённый по длине нити заряд с линейной плотностью t = 10-8 Кл/м. Определить разность потенциалов Δϕ двух точек поля, удалённых от нити на r1 = 2 см и r2 = 4 см. Точки находятся по одну сторону от нити.

(126 В) 411. Точечные заряды q1 = 1 мкКл и q2 = 0,1 мкКл находятся на расстоянии

r1 = 10 см друг от друга. Какую работу А совершат силы поля, если второй за-ряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на расстояние r2 = 10 м?

(8,9 мДж) 412. Какое количество теплоты Q выделится при разряде плоского конден-

сатора, если разность потенциалов между пластинами равна U = 15 кВ, рас-стояние d = 1 мм, диэлектрик – слюда, площадь каждой пластины S = 300 см2, ε = 7 В?

(14 мкДж) 413. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 1 кВ. Рас-

стояние между пластинами d = 1 см. Диэлектрик – стекло. Определить объём-ную плотность энергии поля конденсатора; ε = 7 В.

(0,309 Дж/м3) 414. Ток в проводнике изменяется с течением времени t по закону I = 4 + 2t.

Какой заряд q проходит через поперечное сечение проводника за время от t1 = 2 с до t2 = 6 с?

(48 Кл)

28

415. Определить плотность тока j в медной проволоке длиной l = 10 м, если разность потенциалов на её концах ϕ ϕ1 2− = 12 В. Удельное сопротивление ме-ди r = 1,7·10-8 Ом·м.

(7·107 А/м2) 416. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен веществом

с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 7 и удельным сопро-тивлением r = 1·1011 Ом·м. Ёмкость конденсатора С = 3·109 Ф. Найти ток утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U = 2·103 В.

(0,96 мкА) 417. Элемент с ЭДС ε = 2 В имеет внутреннее сопротивление r = 0,5 Ом.

Найти падение потенциала U2 внутри элемента при силе тока в цепи I = 0,25 А. Каково внешнее сопротивление R цепи при этих условиях?

(0,125 В; 7,5 Ом) 418. Определить ЭДС и внутреннее сопротивление гальванического эле-

мента, если при замыкании на сопротивление R1 = 1,8 Ом он даёт ток I1 = 0,7 А, а при замыкании на сопротивление R2 = 2,3 Ом – ток I2 = 0,56 А. Чему будет ра-вен ток короткого замыкания Iк.з.?

(1,4 В; 7 А) 419. Два одинаковых элемента с ЭДС ε = 1,2 В и внутренним сопротивле-

нием r = 0,4 Ом соединены разноименными полюсами. Оп-ределить силу тока I в цепи.

(3 A)

420. Два одинаковых источника с ЭДС ε = 1,5 В и внутренним сопротив-лением r = 0,6 Ом соединены одноименными полюсами. Оп-ределить силу тока I в цепи.

(-1,5 A)

421. Батарея с ЭДС ε = 240 В и внутренним сопротивлением r = 10 Ом замк-нута на внешнее сопротивление R = 23 Ом. Найти полную мощность Р, полную мощность РR и КПД батареи.

(2400 Вт; 2300 Вт; 0,93)

A

− + ε

B

+ − ε

A

− + ε

B+

ε+−

29

422. ЭДС батареи аккумуляторов ε = 12 В, сила тока короткого замыкания Iк.з. = 5 А. Какую наибольшую мощность Рmax можно получить во внешней цепи, соединённой с такой батареей?

(15 Вт)

423. Разность потенциалов между точками А и В равна U = 9 B. Сопротив-ления проводников равны R1 = 5 Ом и R2 = 3 Ом. Най-ти количество теплоты Q, выделяющееся в каждом проводнике в единицу времени.

(6, 05 Дж; 3,63 Дж) 424. Две батареи аккумуляторов ε 1 = 10 В, r1 = 2 Ом; ε 2 = 8 B, r2 = 2 Ом и

реостат R = 6 Ом соединены, как показано на рисунке. Най-ти силу токов в батареях и реостате.

(6,4 А; 5,8 A; -0,6 A) 425. Два источника тока ε 1= 8 В, r1 = 2 Ом; ε 2 = 6 В, r2 = 1,5 Ом и реостат

R = 10 Ом соединены, как показано на рисунке. Найти силу тока I, текущего через реостат.

(3,23 А)

Тема 5. Электромагнетизм

Основные формулы Закон Био-Савара-Лапласа

20

4)^sin(

rrdldlI

dBπ

μμ= ,

где μ – относительная магнитная проницаемость среды; μ π0 4 1= ·10-7 Гн/м – магнитная постоянная; r – расстояние от элемента тока до точки, в которой оп-ределяется индукция.

A BR1 R2

R

− + ε1

+ − ε 2

R

− + ε1

− + ε2

30

Принцип суперпозиции r r

B Bi= ∑ . Индукция, создаваемая проводниками различного вида:

BI

r=μ μπ

0

2 – бесконечный прямолинейный;

BI

r= −μ μπ

α α01 24

(cos cos ) – конечный прямолинейный;

BI

r=μ μ0

2 – круговой в центре;

BI R

R h=

+

μ μ02

2 2232( )

– круговой на оси.

Связь магнитной индукции с напряжённостью

B H= μ μ0 . Поток магнитной индукции

Ф B dS n BL

= ∫ cos( ^ ) .

Закон полного тока

B dl I kL

= ∑∫ μ 0 .

Индукция, создаваемая бесконечно длинным соленоидом:

B n I= μ μ0 . Индукция, создаваемая соленоидом конечной длины:

BI n

= −μ μ

α α01 22

(cos cos ) ,

где n – число витков на единицу длины.

Сила Ампера: F IBl l B= sin( ^ ) – сила, с которой действует поле на проводник с током;

31

FI I ld

=μ μ

π0 1 2

2 – сила, с которой взаимодействуют два параллельных

проводника. Сила Лоренца

F qVB V B= sin( ^ ) . Магнитный момент контура с током

P IS= ,

где S – площадь контура с током. Механический момент, действующий на контур с током в магнитном поле:

M PB P B= sin( ^ ) . Работа по вращению контура с током в магнитном поле

A Md= ∫ ϕϕ

.

Работа по поступательному перемещению проводника и контура с током в

магнитном поле

A IdФФ

= ∫ ,

где dФ – поток, пронизываемый при своём движении проводником, или изме-нение потока, пронизываемого контуром.

Закон Фарадея

dtdФ

i −=ε . ЭДС самоиндукции

dtdIL−=1ε ,

где L ФI

= – коэффициент самоиндукции.

ЭДС взаимной индукции

dtdIM−=2ε .

32

Энергия магнитного поля

W LI=12

2 .

Задачи для решения

501. Индукция магнитного поля в центре кругового витка радиусом 4 см

равна 36 мкТл. Определить индукцию на расстоянии 3 см от центра (1,8·10-8 Тл)

502. По контуру в виде равностороннего треугольника течёт ток 30 А. Сто-

рона треугольника составляет 40 см. Определить магнитную индукцию в точке пересечения высот.

(1,35·10-4 Тл) 503. Два круговых витка радиусом 5 см каждый расположены в параллель-

ных плоскостях на расстоянии 10 см друг от друга. По ним текут одинаковые токи 500 мA. Найти индукцию магнитного поля на оси витков, на равном рас-стоянии от них, если токи текут в одном направлении.

(2,2·10-9 Тл) 504. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных

плоскостях так, что центры их совпадают. Найти индукцию магнитного тока в центре, если радиус каждого витка 3 см, а ток в витках 900 мА.

(2,96·10-5 Тл) 505. Два длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 5 см

друг от друга. По ним текут в одном направлении одинаковые токи 8 А. Опре-делить индукцию магнитного поля в точке, удалённой от первого проводника на 3 см, а второго на 4 см.

(6,7·10-6 Тл) 506. Определить индукцию магнитного поля внутри бесконечной длинной

цилиндрической полости, сделанной в бесконечном длинном проводнике, вдоль которого течёт постоянный электрический ток плотностью 100 кА/м2, равномерно распределённый по сечению проводника. Расстояние между осями провода и полостью d = 5 см.

(3,14·10-2 Тл) 507. Замкнутая цепь с током 20 А включает в себя прямолинейный участок

длиной 60 см. Найти магнитную индукцию в точке, лежащей на конце перпен-дикуляра, проведённого к середине участка. Длина перпендикуляра 40 см.

(6·10-6 Тл)

33

508. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 15 см друг от друга. По ним текут токи в разных направлениях: 10 А и 20 А. Какую работу на единицу длины надо совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния 30 см?

(2,82·10-5 Дж) 509. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с

длинным прямым проводом так, что две её стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи 200 А. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на рас-стоянии, равном её длине.

(2·10-5 Н) 510. В магнитном поле с индукцией 500 мТл со скоростью 2 м/с движется

перпендикулярно силовым линиям проводник длиной 10 см. По нему течёт ток 2 А. Найти работу по перемещению проводника за время 10 с.

(2 Дж) 511. Прямой проводник длиной 20 см и массой 3 г подвешен горизонталь-

но на двух нитях, перпендикулярных силовым магнитным линиям вертикально-го магнитного поля. Определить силу натяжения нитей, если индукция поля 100 мкТл, а сила тока 1А.

(3,56·10-2 Н) 512. Плоский квадратный контур со стороной 2 см, по которому течёт ток

120 А, свободно устанавливается в однородном магнитном поле с индукцией 900 мТл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, под углом 90°.

(69 Дж) 513. Найти удельный заряд частицы, если она, влетая со скоростью 106 м/с

в однородное магнитное поле с индукцией 250 мТл, движется по дуге окружно-сти радиусом 8 см. Направление движения частицы перпендикулярно силовым линиям индукции.

(5·107 Кл/кг) 514. Серпуховский ускоритель протонов ускоряет эти частицы до кинети-

ческой энергии 7,6·1010 эВ. Ускоренные протоны движутся по окружности ра-диусом 240 м и удерживаются на ней магнитным полем, перпендикулярным плоскости орбиты. Найти величину магнитной индукции.

(0,166 Тл)

34

515. Частица, несущая два элементарных заряда, влетела в однородное магнитное поле с индукцией 100 мТл. Определить момент импульса частицы, если радиус траектории ее движения равен 5 мм.

(4·10-28 кг·м2/с) 516. Заряженная частица с зарядом 3 кэВ, движется в однородном магнит-

ном поле по окружности радиусом 5 м. Определить силу Лоренца, действую-щую на частицу.

(1,92·10-19 Н) 517. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 400 В, движется па-

раллельно прямолинейному длинному проводнику на расстоянии 5 см от него. Какая сила действует на электрон, если по проводу пустить ток силой 10 A?

(2,4·10-16 Н) 518. Протон движется в магнитном поле с индукцией 600 мТл по окружно-

сти радиусом 2 см. Какова кинетическая энергия электрона? (14·10-15 Дж)

519. В однородном магнитном поле, индукция которого 100 мТл, движется

проводник длиной 20 см. Скорость проводника 25 м/с направлена под углом 30° к магнитному полю. Чему равна индуцированная в проводнике ЭДС?

(0,25 В) 520. Скорость самолёта равна 900 км/ч. Найти значение вертикальной со-

ставляющей магнитного поля Земли, если на крыльях длиной 13 м возникает разность потенциалов 170 мВ.

(41,6 А/м) 521. На горизонтальных рельсах, расположенных в вертикальном магнит-

ном поле с индукцией 10 мТл, скользит проводник длиной 50 см с постоянной скоростью 10 м/с. Концы рельсов замкнуты на сопротивление 30 Ом. Опреде-лить количество теплоты, выделившейся в сопротивлении за 6 с. Сопротивле-нием рельса и проводника пренебречь.

(0,05 Дж) 522. По П-образному контуру без трения скользит вертикально вниз ме-

таллическая перемычка. Плоскость контура составляет с магнитным полем прямой угол и в ней наводится ток 2 А. Она движется со скоростью 1,0 м/с и имеет массу 5 г. Какая ЭДС наводится в нём?

(4,9·10-3 В) 523. С какой угловой скоростью нужно вращать прямой проводник вокруг

одного из его концов в однородном магнитном поле в плоскости, перпендику-

35

лярной силовым линиям поля, чтобы в проводнике возникла ЭДС 150 мВ, если длина проводника 20 см, а индукция магнитного поля 100 мТл?

(75 рад/с) 524. Квадратная проводящая рамка сопротивлением 0,5 Ом помещена в

однородное поле 200 мТл так, что ее площадь перпендикулярна силовым лини-ям. Определить ток, возникающий в цепи, если квадрат трансформировать в линию в течение 0,2 с. Сторона квадрата 5 см.

(5·10-3 А) 525. Рамка, состоящая из 30 витков, вращается около горизонтальной оси,

лежащей в её плоскости и перпендикулярной плоскости магнитного меридиана, с частотой 600 об/мин. Индукция магнитного поля Земли 500 мкТл. В рамке индуцируется ЭДС 10 мВ. Найти площадь рамки.

(0,1 м2)

Тема 6. Колебания

Основные законы и формулы Уравнение гармонических колебаний

Х А= −cos( );ω ϕ0 , T

= =ω π πν2 2 .

Скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания:

dxdt

A t A t= − + = + +ω ω ϕ ω ω ϕ π0 0 0 0 2

sin( ) cos( ) ,

d xdt

A t x2

22

0 02

0= − + =ω ω ϕ ωcos( ) .

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m

T m mAt= = +

υ ωω ϕ

2 20 2

02 2( ) sin ( ) .

Потенциальная энергия

ПmA

t= −( ) cos ( )2

0 202

ωω ϕ .

36

Полная энергия

ЕmA

=2

0

2ω

.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний точки массой m

mx kx′′ = − , или x x′′ + =ω 20 0 , k =ω 2

0 m. Период колебаний пружинного маятника

T mk

=2π .

Период колебаний физического маятника

T ImgL

Lg

= =2 2π π .

Период колебаний математического маятника

T Lg

= 2π .

Формула Томпсона

T LC= 2π . Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда

в контуре и его решение

′′ + =q qLC

0, = +q q tm 0cos( )ω ϕ , =LC1

0ω .

Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении

двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

A A A A A212

22

1 2 1 22= + + −cos( )ϕ ϕ . Начальная фаза результирующего колебания

37

tgg A AA A

ϕϕ ϕϕ ϕ

=++

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sincos cos

.

Уравнение траектории движения точки, участвующей в двух взаимно пер-

пендикулярных колебаниях одинаковой частоты:

xA

xyAB

yB

2

2

2

222

+ + =cos sinϕ ϕ .

Уравнение затухающих колебаний при наличии силы сопротивления

rVdtdxrFc −=−= ,

где r – коэффициент сопротивления,

d xdt

dxdt

x2

2 022 0+ + =β ω ;, X A e tt

0 0= +− ω ϕβ sin( ) ,

где A A e t= −

0β – убывающая амплитуда колебаний; β – коэффициент затуха-

ния; β =rm2

– для механических систем; β =RL2

– для электрических цепей;

R – активное сопротивление цепи; L – индуктивность. Циклическая частота и период затухающих колебаний

ω ω β= −02 2 , π

ω=

2 .Т

Логарифмический декремент затухания

λ = ln AA

1

2

, λ β= ,T

где А1 – амплитуда в момент времени t; А2 – амплитуда в момент времени (t + T).

Вынуждающая сила, вынуждающее напряжение

F F t= 0 cosω , U U t= 0 cos .ω Уравнение вынужденных колебаний для механических систем

38

d xdt

dxdt

xFm

t2

2 02 02+ + =β ω ωcos .

Решение дифференциального уравнения

X A t= +cos( )ω ϕ ,

где AF

m=

− +0

02 2 2 24( )ω ω β ω

– амплитуда вынужденных колебаний; ω –

циклическая частота вынужденных колебаний, равная циклической частоте вы-нужденной силы.

Начальная фаза вынужденных колебаний рассчитывается по формуле

tg ϕβω

ω ω=

−2

02 2 .

Уравнение вынужденных электромагнитных колебаний заряда на обклад-

ках конденсатора в электрической цепи

d qdt

dxdt

xUL

t2

2 02 02+ + =β ω ωcos ,

его решение

q q t= −0 cos( )ω ϕ .

Сила тока, напряжение на ёмкости и индуктивность рассчитываются по

формулам

i dqdt

= , U qcC = , U L di

dtL = − .

Резонансная частота вынужденных колебаний, резонансная амплитуда

ω ω βр .ез = −02 22

β ω βр . .езА

Х=

−0

02 22

Добротность системы

λπ

=Q .

,

39

Задачи для решения 601. Через какое времени от начала движения точка, совершающая гармо-

нические колебания, сместится от положения равновесия на половину ампли-туды? Период колебания равен 24 с, начальная фаза равна нулю.

(t = T/12 = 2 c) 602. Начальная амплитуда колебаний механической системы А1 = 20 см,

амплитуда после десяти полных колебаний А2 = 1 см. Определить логарифми-ческий декремент затухания.

(0,06) 603. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если

максимальное ускорение точки 49,3 см/с2, период колебаний 2 с, а смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

( X t= +26

sin( )π π )

604. Гиря массой m = 0,5 кг подвешена к пружине жёсткостью k = 32 Н/м и

совершает затухающие колебания. Определить период затухающих колебаний, если за время двух колебаний амплитуда уменьшилась в 20 раз.

(0,81 с) 605. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное

движение, равна 3·10-5 Дж. Максимальная сила, действующая на тело, равна 1,5·10-3 Н. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний ра-вен 2 с и начальная фаза 60°.

( X t= ⋅ +−4 9 103

2, sin( )π π )

606. Чему равен логарифмический декремент затухания математического

маятника, если за 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза? Длина ма-ятника 1 м.

(0,023) 607. К пружине подвешен груз m = 10 кг. Зная, что пружина под влиянием

силы 9,8 Н растягивается на 1,5 см, определить период вертикальных колеба-ний груза.

(7,8 с) 608. Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиу-

сом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска. (1,56 с)

40

609. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 мин?

(в 8 раз) 610. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со време-

нем даётся в виде I t= −0 02 400, sin( )π . Индуктивность контура L = 1 Гн. Найти ёмкость контура С.

(0,63 мкФ) 611. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного кон-

тура qm = 10-6 Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре Im = 10-3 A. Опре-делить период колебания.

(6,3·10-3 с) 612. Под действием внешней силы F F t= ⋅0 cosω материальная точка совер-

шает вынужденные колебания, описываемые уравнением )cos(0 ϕω +⋅= tXX . Определить работу силы за период колебаний.

( A F X= − ⋅ ⋅ ⋅0 π ϕsin ) 613. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

X t= sinπ и Y t= +4sin( )π π . Найти траекторию результирующего движения точки.

(-4 X) 614. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

X t= 2sinω и Y t= 2cosω . Найти траекторию движения точки.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+ 1

44

22 YХ в

615. За время, в течение которого система совершает N = 50 полных коле-

баний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить добротность системы. (227)

616. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на

600 г, то период колебаний груза возрастёт в 2 раза. Определить массу первона-чально подвешенного груза.

(0,2 кг) 617. Цепь переменного тока образована последовательно включенным ак-

тивным сопротивлением R = 800 Ом, индуктивностью L = 1,27 Гн и ёмкостью С = 1,59 мкФ. На зажимы подано 127 В 50-периодного действующего напряже-

41

ния. Определить действующее значение силы тока в цепи и сдвиг фаз между током и напряжением.

(71 мА; -63°) 618. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,025 мкФ и

катушки индуктивностью 1,015 Гн. Омическим сопротивлением цепи пренебречь. Конденсатор заряжен количеством электричества 2,5·10-6 Кл. Написать для данного контура уравнение (с числовыми коэффициентами) силы тока в цепи в зависимости от времени.

( ( )I t= − −15 7 2 10 3, sin π ) 619. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обклад-

ках конденсатора в колебательном контуре дано в виде ( )tU π310cos50= . Ёмкость конденсатора С = 107 Ф. Найти: 1) период колебаний; 2) индуктив-ность контура; 3) закон изменения сила тока в цепи со временем.

( ( )I t= −157 103sin π ) 620. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со време-

нем даётся в виде tI π400sin02,0−= . Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) ёмкость контура; 3) максимальную разность потенциа-лов на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля.

(1 – 5·10-3 с; 2 – 6,3·10-7 Ф; 3 – 25,2 B; 4 – 2.10-4 Дж; 5 – 2.10-4 Дж)

621. Индуктивность L = 2,26·10-2 Гн и активное сопротивление R включены

параллельно в цепь переменного тока с частотой n = 50 Гц. Найти величину со-противления R, если сдвиг фаз между напряжением и током равен 60°.

(12,3 Ом) 622. В колебательном контуре напряжение на конденсаторе изменяется по

закону tU c πsin01,0= . Найти мгновенное значение напряжения на конденса-торе и катушке через время t = 1/6 Т, если ёмкость конденсатора С = 0,02 мкФ, а индуктивность катушки L = 10 мГн.

(Uc = UL = 8,6·10-3 В) 623. Активное сопротивление R и индуктивность соединены параллельно и

включены в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой n = 50 Гц. Найти активное сопротивление R и индуктивность, если известно, что мощ-ность, поглощаемая в этой цепи, равна 4048 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен 60°.

(40 Ом; 0,074 Гн)

42

624. Индуктивность колебательного контура L = 1 Гн, ёмкость конденсато-ра С = 0,63 мкФ. Определить максимальную разность потенциалов на обклад-ках конденсатора, если уравнение для силы тока имеет вид: I t= −0 02, sinω .

(25,2 B) 625. Частота свободных колебаний в контуре n = 106 Гц. Какова индуктив-

ность катушки контура, если в контуре соединены параллельно два конденса-тора ёмкостью С1 = 200 пФ и С2 = 50 пФ?

(0,1 мГн)

Тема 7. Оптика. Атомная и ядерная физика

Основные формулы Условие максимального усилия света при интерференции

Δ = ± =к кλ ( 0, 1, 2, … . Условие максимального ослабления света

Δ = ± +( )2 12

к λ ,

где Δ – разность хода световых волн.

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой плёнки:

Δ = − ±22

2 2b n isin λ ,

где b – толщина плёнки; n – показатель преломления; i – угол падения света.

Радиус светлых колец Ньютона в отражённом свете (или тёмных в про-ходящем)

r k Rk = −( )2 12λ ,

где k – номер кольца (k = 1, 2, 3, ...); R – радиус кривизны поверхности линзы, соприкасающейся с плоскопараллельной стеклянной пластиной.

Радиусы тёмных колец в отражённом свете (или светлых в проходящем)

rk = KRλ .

43

Условие максимума интенсивности света при дифракции на одной щели

2)12(sin λϕ += ka ;

условие минимума

a ksinϕ λ= ,

где a – ширина щели; ϕ – угол дифракции; k = 1, 2, 3, ...

Условие главных максимумов при дифракции света на дифракционной решётке

d ksinϕ λ= ,

где d – период дифракционной решётки:

dN

=1

0

;

k = 0, 1, 2, 3, ...; N0 – число щелей на единицу длины.

Разрешающая способность дифракционной решётки

R kN= =λλΔ

,

где Δλ – наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (λ и λ λ+ Δ ), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решётки; N – полное число щелей решётки.

Закон Брюстера

tg nBε = 21 ,

где εB – угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полно-стью поляризован; n21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Малюса

I I= 02cos α ,

где I0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность этого света после анализатора; a – угол между направлением

44

колебаний электрического вектора света, падающего на анализатор, и плоско-стью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора па-дающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное вещество

ϕ = ad (в твёрдых телах),

где а – постоянная вращения; d – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе;

или ϕ = [ ]a cd ,

где [a] – удельное вращение; с – массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.

Закон радиоактивного распада

N N e t= −0

λ ,

где N – число ядер (не распавшихся) в данной массе препарата к моменту вре-мени t; N0 – число ядер препарата в начальный момент; λ – постоянная распада.

Число ядер, распавшихся за время t:

ΔN N N N e t= − = − −0 0 1( )λ .

Если интервал времени Δ t , за который определяется число распавшихся

ядер, много меньше периода полураспада Т 12, то

Δ ΔN N t= λ .

Зависимость периода полураспада от постоянной радиоактивного распада

Т 12

2 0 693= =

ln ,λ λ

.

Активность А радиоактивного препарата

A dNdt

N= = λ , или A N e A et t= =− −λ λ0 0 ,

45

где dN – число ядер, распадающихся за интервал времени dt; А0 – активность изотопа в начальный момент времени.

Число ядер N, содержащихся в радиоактивном изотопе:

ANmNμ

= ,

где m – масса изотопа; μ – молярная масса; NА – постоянная Авогадро.

Массовое число ядра изотопа

M = Z + N,

где Z – зарядовое число, равное числу протонов в ядре и порядковому номеру в таблице Д.И. Менделеева; N – число нейтронов в ядре.

Энергия связи ядра

Е m cсв. = ⋅Δ 2 ,

где mΔ – дефект массы ядра:

Δm Zm M Z m mp n я= + − −[ ( ) ] ;

с – скорость света в вакууме; mp – масса протона; mn – масса нейтрона; mя – масса ядра.

Масса ядер иногда измеряется в атомных единицах массы (а.е.м.):

1 а.е.м. = 1,66 · 10-27 кг. Энергия, выделяемая или поглощаемая при ядерной реакции (тепловой

эффект ядерной реакции):

Q c m m= − ∑∑21 2( ) ,

где m1∑ – сумма масс покоя всех частиц и ядер до реакции; m2∑ – после реакции.

Правила смещения ядер при радиоактивных распадах

,, 011

42

42 eYXHeYX A

ZAZ

AZ

AZ −+

−− +→+→

где Х – элемент распада; Н – его продукт после распада.

46

Задачи для решения 701. Установка для получения колец Ньютона освещается монохромати-

ческим светом. Радиусы двух соседних тёмных колец равны соответственно 4 и 4,38 мм. Найти длину волны падающего света.

(5·10-7 м) 702. При наблюдении интерференции света от двух мнимых источников

монохроматического света с l = 520 нм на длине экрана в 4 см наблюдается 8,5 полосы. Определить расстояние между источниками света, если от них до экрана 2,75 м.

(0,3 мм) 703. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохромати-

ческим светом с длиной волны l = 0,6 мкм, падающим параллельно. Найти тол-щину воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в месте наблю-дения пятого тёмного кольца в отражённом свете.

(1,5 мкм) 704. На мыльную плёнку (n = 1,33 мкм) падает белый свет под углом 45°.

При какой наименьшей толщине плёнок отражённые лучи будут окрашены в жёлтый цвет (l = 6·10-5 см)?

(0,13 мкм) 705. Установка для изучения колец Ньютона освещается монохроматиче-

ским светом, падающим по нормалям к поверхности пластинки. Радиус кривиз-ны линзы R = 15 м. Наблюдение ведётся в отражённом свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона 9 мм. Найти длину вол-ны монохроматического света.

(675 мм) 706. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического

света с длиной волны l. Ширина щели равна 6 l. Под каким углом будет наблю-даться третий дифракционный минимум света?

(30°) 707. Сколько штрихов на 1 мм длины имеет дифракционная решётка, если

зелёная линия ртути (λ = 5461 °А) в спектре первого порядка наблюдается под углом 19°18´?

(600 мм-1) 708. На дифракционную решётку нормально падает пучок света. Угол ди-

фракции для натриевой линии ( À5890=λ °А) в спектре первого порядка был

47

найден равным 17°18´. Некоторая линия даёт в спектре второго порядка угол дифракции, равный 24°12´. Найти длину волны этой линии и число штрихов на 1 мм решётки.

(40900 °А; 500 мм-1) 709. Чему равна постоянная дифракционной решётки, если эта решётка

может разрешать в первом порядке линии спектра калия 1λ = 4044 °А и 2 =λ 4047 °А? Ширина решётки 3 см.

(22 мкм) 710. Постоянная дифракционной решётки шириной 2,5 см равна 2 мкм.

Какую разность длин волн может разрешить эта решётка в области жёлтых лу-чей ( 5106 −⋅=λ см) в спектре второго порядка?

(2,4 нм) 711. Пучок естественного света падает на полированную поверхность

стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отражённый от пластины пу-чок света образует угол ϕ = 97° с падающим пучком. Определить показатель преломления n1 жидкости, если отражённый свет максимально поляризован.

(1,33) 712. Частично поляризованный свет проходит через николь. При повороте

николя на 60° от положения, соответствующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в 2 раза. Пренебрегая поглощением света в николе, опреде-лите отношение интенсивностей естественного и плоскополяризованного света.

(1) 713. Два николя расположены так, что угол между их плоскостями пропус-

кания составляет a = 60°. Определите, во сколько раз уменьшится интенсив-ность Io естественного света при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе К = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

(8,86) 714. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм поместили между параллельны-

ми николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повернулась на угол 53°. Какой наименьшей толщины dmin надо взять пла-стинку, чтобы поле зрения поляриметра стало совершенно тёмным?

(3 мм) 715. При прохождении света через трубку длиной l1=20 см, содержащую

раствор сахара концентрацией С1 = 10 %, плоскость поляризации света повер-нулась на угол ϕ 1 = 13,3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной

48

l2 = 15 см, плоскость повернулась на угол ϕ 2 = 5,2°. Определите концентрацию С2 второго раствора.

(5,2 %) 716. Через сколько лет от 8 мг радия останется 0,5 мг? Период полураспада

радия Т = 1600 лет. (6400 лет)

717. Радиоактивный натрий Na24

11 распадается, выбрасывая b-частицы. Пе-риод полураспада натрия 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 ч.

(9,3·1018) 718. Определить период полураспада радона, если за 1 сутки из 1 млн ато-

мов распадается 175000 атомов. (3,3·105 с)

719. Активность А некоторого изотопа за время t = 10 сут уменьшилась на

20 %. Определить период полураспада данного изотопа. (31 сут)

720. Определить массу изотопа I131

53 , имеющего активность А = 37 ГБк = = 37·109 Бк.

(7,8·10-9 кг) 721. Найти энергию связи ядра изотопа лития Li7

3 . (6,2·10-12 Дж)

722. Вычислить энергию ядерной реакции: 3

724

510

01Li He B n+ → + . Освобож-

дается или поглощается эта энергия? (-2,7 МэВ)

723. Какую массу воды можно нагреть от 0° до кипения, если использовать

всё тепло, выделяющееся при реакции 37 Li P( , )α при полном разложении массы

m = 1 г лития? (570103 кг)

724. Определить энергию реакции 10 7В n Li( , )α , протекающей в результате

взаимодействия весьма медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора. Найти также кинетические энергии продуктов реакции.

(2,8 МэВ; 1,02 МэВ; 1,78 МэВ)

49

725. Уран U238206 после ряда α - и β -распадов превращается в свинец Pb206 .

Какое число α - и β -распадов претерпевает уран, превращаясь в свинец? (8; 6)

Тема 8. Квантовая природа излучения

Основные формулы

Энергия фотона (кванта света)

ε ν ωλ

= = =h hch ,

где h = 6,626·0-34 Дж⋅с – постоянная Планка; h = h2π

; ν – частота излучения; ω

– круговая частота. Импульс и масса фотона

Р = hcν , m = h

cν2 ,

где с = 3·108 м/с – скорость света в вакууме.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

h A mVвыхν = max

2

2.

Если фотон обладает большой ( hν = 5 кэВ) энергией, то кинетическая

энергия фотоэлектрона

Wкин = (m – m0) с2, Wкин = m0с2 1

11

−−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟V

cmax

.

Изменение длины волны Δλ фотона при рассеянии его на электроне на

угол ϕ

( )Δλ λ λ ϕ= ′ − = −0 1hmc

cos , или Δ Λλ ϕ= 2

22sin ,

50

где m – масса электрона отдачи; ϕ – угол рассеяния; mch

=Δ – комптоновская

длина волны.

Задачи для решения 801. Найти частоту света, вырывающего из поверхности металла электро-

ны, полностью задерживающиеся обратным потенциалом 2 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света крV = 5,6·1014 с-1. Найти работу выхода электрона из этого металла.

(2,48 эВ) 802. Красная граница фотоэффекта для вольфрама крλ = 275 нм. Найти ве-

личину задерживающего потенциала, если на вольфрам падает излучение с λ = 175 нм.

(463 В) 803. Какую скорость получают вырванные из калиевого фотокатода элек-

троны при облучении его фиолетовым светом с длиной волны λ = 420 нм? Ра-бота выхода Авых = 2 эВ.

(0,575·106 м/с) 804. Определить угол Θ , на который был рассеян γ -квант с энергией

ε = 1,53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона от-дачи Т = 0,51 МэВ.

(60°) 805. Энергия рентгеновских лучей ε = 0,6 МэВ. Найти We электрона отда-

чи, если длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния изменилась на 20 %.

(0,167 МэВ) 806. Найти частоту света, вырывающего из поверхности металла электро-

ны, полностью задерживающиеся обратным потенциалом 4 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света крV = 6·1014 с-1. Найти работу выхода электрона из этого металла.

(15,5 с-1; 2,48 эВ) 807. Определить красную границу фотоэффекта для цезия, если при осве-

щении его излучением с длиной волны λ = 0,35 мкм задерживающий потенци-ал равен 1,47 В.

(4,67·1014 Гц)

51

808. Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра γ -излучением с длиной волны 2,47 пм.

(226·106 м/с) 809. Фотон с энергией ε = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под

углом ϕ = 60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до со-ударения пренебрежимо малы, определить энергию рассеянного фотона ′ε .

(0,43 МэВ) 810. Определить угол Θ рассеяния фотона, испытавшего соударение со сво-

бодным электроном, если изменение длины волны при рассеянии Δλ = 3,63 пм. (120°)

811. Найти частоту света, вырывающего из поверхности металла электро-

ны, полностью задерживающиеся обратным потенциалом 3,5 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света крV = 7·1014 с-1. Найти работу выхода электрона из этого металла.

(15,5·1014 с-1; 4,14 эВ) 812. Определите длину волны света, которым освещается поверхность ме-

талла, если фотоэлектроны имеют кинетическую энергию Wк = ⋅ −4 5 10 20, Дж, а работа выхода из металла равна 4,75 эВ.

(0,247 мкм) 813. Излучение с длиной волны 3,0·10-7 м падает на вещество, для которого

красная граница фотоэффекта крV = 4,3·1014 Гц. Чему равна кинетическая энер-гия фотоэлектронов?

(2,215 эВ) 814. Фотон с энергией ε = 0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне

под углом ϕ = 60°. Определить кинетическую энергию электрона отдачи. (0,32 МэВ)

815. Фотон с длиной волны λ1 = 15 пм рассеялся на свободном электроне.

Длина волны рассеянного фотона λ2 = 16 пм. Определить угол Θ рассеяния. (54°)

816. Найти частоту света, вырывающего из поверхности металла электро-

ны, полностью задерживающиеся обратным потенциалом 5 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте падающего света крν = 7·1014 с-1. Найти работу выхода электрона из этого металла.

(19·1014 Гц)

52

817. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность серебра на-править ультрафиолетовое излучение с длиной волны λ = 300 нм? Ответ обос-новать расчетом.

(Не будет) 818. Найти скорость фотоэлектронов, вылетевших из цинка, при освеще-

нии его ультрафиолетовыми лучами с длиной волны 300 нм, если работа выхо-да из цинка равна 4 эВ.

(0,21·106 м/с) 819. Какова была длина волны 0λ рентгеновского излучения, если при

комптоновском рассеянии этого излучения графитом под углом 60° длина вол-ны рассеянного излучения оказалась равной λ = 25,4 пм?

(24,2 пм) 820. Длина волны λ фотона равна комптоновской длине электрона. Опре-

делить импульс фотона. (2,7·10-22 кг·м/с)

821. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вырывания элек-

трона, если красная граница фотоэффекта λк = 307 нм, а максимальная кинети-ческая энергия фотоэлектрона 1 эВ?

(0,8) 822. Какова красная граница ν к фотоэффекта, если работа выхода электро-

на из металла Авых = 3,3·10-19 Дж? (0,5·1015 Гц)

823. Определите наибольшую скорость электрона, вылетевшего из цезия

при освещении его светом с длиной волны λ = 3310 °А. Работа выхода 2 эВ. Масса электрона 9,11·10-31 кг.

(25·106 м/с) 824. Длина волны λ фотона равна комптоновской длине электрона. Опре-

делить энергию фотона. (0,511 МэВ)

825. Определить изменение длины Δλ фотона при рассеянии его на элек-

троне на угол Θ = 120°. (1,2 пм)

53

Тема 9. Квантовая механика

Основные формулы Формула де Бройля

λ =hP

,

где λ – длина волны де Бройля; h = 6,62·10-34 Дж·с – постоянная Планка; P – импульс частицы.

Связь импульса частицы с её кинетической энергией Т: а) классический случай (скорость частицы v << c)

P m T= 2 0 ; б) релятивистский случай (скорость частицы соизмерима со скоростью света)

Pc

E T T= +1 2 0( ) ,

где m0 – масса частицы; Т – кинетическая энергия частицы; Е0 – энергия покоя частицы; с = 3·108 м/с – скорость света в вакууме.

Энергия покоя частицы

E0 = m0c2,

где m0 – масса покоя частицы. Формула Вульфа-Брэгга

2d ksinθ λ= ,

где d – период решётки кристалла; θ – угол скольжения (угол между направле-нием движения пучка электронов и кристаллографической плоскостью); k – по-рядок максимума; λ – длина волны де Бройля.

Соотношение неопределённостей

Δ Δx px⋅ ≥ h ,

Δ ΔE ⋅ ≥τ h ,

где Δ px – неопределённость проекции импульса на ось Х; Δ х – неопределён-ность координаты; Δ Е – неопределённость энергии; Δ τ – неопределённость

времени; h = h2 π

= 1,05·10-34 Дж·с – постоянная Планка.

54

Энергия фотона

ε ν ω= =h h ,

где πνω 2= – частота излучения. Энергия частицы, находящейся в одномерном потенциальном ящике с бес-

конечно высокими непроницаемыми стенками:

E h nmln =2 2

28,

где m – масса частицы; l – ширина ящика; n = 1, 2, 3, ... – квантовое число.

Энергия фотона, испускаемого электроном при переходе с более высокого энергетического уровня на низкий:

ε ν= = −h E Ei k ,

где Ei – энергия электрона на уровне n = i; Ek – энергия электрона на уровне n = k.

Длина волны излучения

λν

πω

= =с с2

.

Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерном пря-

моугольном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками:

Ψn xl

nl

x( ) sin=2 π

,

где l – ширина ящика; n – квантовое число.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2

ω = ∫ Ψ2

1

2

dxx

x

.

Энергия Ферми при температуре Т = 0 К

Еm

nФ =h 2

223

23( )π ,

где m – масса электрона; n – концентрация свободных электронов (число сво-бодных электронов в единице объёма металла).

55

Функция распределения Ферми-Дирака, определяющая вероятность нахо-ждения электрона в состоянии с энергией Е:

1

1)(

+

=−

kTФEE

e

f ,

где ЕФ – энергия Ферми; k – постоянная Больцмана, равная 1,38·10-23 Дж/К.

Средняя кинетическая энергия свободных электронов в металле при Т = 0 К

< >=E EФ035

.

Число свободных электронов в металле при Т = 0 К с энергией, лежащей в

интервале от Е1 до Е2:

ΔNV

hm EdE

E

E

= ∫4

23

32

1

2π( ) ,

где m – масса электрона; V – объём металла.

Полное число свободных электронов в металле объёмом V при Т = 0 К

NV

hE mФ=

83

23

32

32π

( ) .

Задачи для решения

901. Определить длину волны де Бройля электрона, скорость которого 2 м/с.

(0,364 нм) 902. Определить длину волны де Бройля электрона, прошедшего разность

потенциалов 700 кВ. (1,13 нм)

903. Если угол скольжения пучка электронов к грани кристалла никеля 64°,

то наблюдается максимальное отражение, соответствующее максимуму первого порядка. Определить скорость электронов, если период решётки кристалла 2 °А.

(2 нм·с) 904. Найти длину волны де Бройля для атома водорода, движущегося со

средней квадратичной скоростью при температуре 300 К. (1,64 °А)

905. Определить массу частицы, если её скорость 9,97 км/с, а длина волны

де Бройля 10 пм. (6,64·10-27 кг)

56

906. Вычислить длину волны де Бройля для протона, движущегося со ско-ростью V = 0,6 С, где С – скорость света в вакууме.

(2 Фм) 907. Какую ускоряющую разность потенциалов прошёл электрон, если его

длина волны 1 °А? (15,05 В)

908. Оценить неопределённость координаты электрона, если неопределён-

ность его скорости 1,16·105 м/с. (1 нм)

909. Какова неопределённость в нахождении скорости протона, координа-

та которого установлена с неопределённостью 1 мкм? Масса протона равна 1,67·10-27 кг.

(63 мм/с) 910. Оценить уширение энергетического уровня электрона в атоме водоро-

да ΔE . Электрон находится в основном состоянии. (0)

911. Оценить уширение энергетического уровня электрона в атоме водоро-

да ΔE . Электрон находится в возбуждённом состоянии. (60 Н·эВ)

912. Оценить уширение спектральной линии атома водорода νΔ (n > 1).

(108 с-1) 913. Оценить относительное уширение спектральной линии ννΔ , если из-

вестны время жизни атома в возбуждённом состоянии ( 810 −≅Δτ с) и длина волны излучения (λ = 0,6 мкм).

(3·10-8) 914. Электрон находится в одномерном прямоугольном потенциальном

ящике с непроницаемыми стенками на втором энергетическом уровне. Како-ва частота излучения, которое может испустить электрон, если ширина ящи-ка 3°А?

(3·1015 с-1) 915. Какова ширина одномерной потенциальной ямы с бесконечно высо-

кими стенками, если при переходе электрона со второго энергетического уров-ня на первый излучается энергия 1 эВ?

(1,06 нм)

916. Электрон находится в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Какую длину волны имеет излучение, которое может испустить электрон при переходе с третьего энергетического уровня на первый? Ширина ящика 1 нм.

(41 мкм) 917. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике с непрони-

цаемыми стенками. Вычислить вероятность того, что в возбуждённом состоя-нии электрон будет обнаружен в средней трети ящика; n = 2.

(0,195) 918. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике с непроницае-

мыми стенками. Найти вероятность пребывания частицы в области 0 ≤ х ≤ l/3, где l – ширина ящика. Электрон находится в основном состоянии.

(0,195) 919. Электрон находится в возбуждённом состоянии (n = 2) в одномерном

потенциальном ящике с непроницаемыми стенками. Какова вероятность пре-бывания электрона в первой четверти ящика?

(0,25) 920. Вычислить энергию Ферми для электронов в меди (на каждый атом

кристалла приходится один свободный электрон). Температура меди Т = 0 К, плотность ρ = 8,9·10 3 кг/м3, молярная масса μ = 64·10-3 кг/моль. Число Аво-гадро NА = 6,02·1023 моль-1.

(7 эВ) 921. Какова вероятность того, что электрон в металле при температуре

Т = 27 °С займёт состояние, лежащее на 0,1 эВ выше уровня Ферми? (0,0198)

922. Определить вероятность того, что электрон в металле займёт энерге-

тический уровень, находящийся в интервале ΔЕ = 0,05 эВ ниже уровня Ферми при температуре Т = 290 К.

(0,883) 923. Вычислить среднюю кинетическую энергию <Eo> электронов в ме-

талле при Т = 0 К, если уровень Ферми ЕФ = 7 эВ. (4,2 эВ)

924. Найти максимальную скорость электронов в металле при температуре

Т = 0 К, если энергия Ферми ЕФ = 5 эВ. Масса электрона 9,1·10-31 кг. (1,314 м/c)

925. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определить относительное чис-

ло электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более чем на 20 %. (0,03)

58

Часть 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Индивидуальные задания

Вариант

Номер задачи

1 101 401 601 2 102 402 602 3 103 403 603 4 201 404 501 5 202 405 502 6 203 406 503 7 104 407 604 8 105 401 605 9 106 402 606

10 204 403 607 11 205 404 504 12 206 405 505 13 207 406 506 14 301 407 507 15 302 401 501 16 303 402 502 17 107 403 601 18 201 404 602 19 202 405 603 20 102 406 604 21 103 407 605 22 304 401 503 23 305 402 504 24 306 403 505 25 307 404 506 26 202 405 601 27 202 407 602 28 107 401 603 29 105 402 504 30 302 403 601

59

Тема 1. Кинематика точки

Основные понятия и формулы Способы задания движения точки 1. Векторный способ задания движения

)(trr rr = ,

где rr – радиус-вектор точки.

2. Координатный способ задания движения

),(),(),( 321 tfztfytfx ===

где х, у, z – декартовы координаты точки. 3. Естественный способ задания движения

S = f (t),

где S – закон движения точки вдоль траектории, или закон изменения дуговой координаты точки.

Скорость точки есть производная по времени от радиуса-вектора rr , оп-ределяющего ее положение на плоскости или в пространстве. Скорость точки характеризует изменение ее положения во времени:

.dtrdVrr

=

Проекции скорости на оси неподвижных декартовых координат

,xdtdxVx &== ,y

dtdyVy &== .z

dtdzVz &==

Модуль скорости определяется формулой

.222zyx VVVV ++=

Скорость направлена по касательной к траектории движения. Ускорение точки есть производная от скорости по времени, или вторая

производная от радиуса-вектора rr по времени. Ускорение точки является ме-рой, характеризующей быстроту изменения скорости:

60

.2

2

dtrd

dtVda

rrr ==

Проекции ускорения на неподвижные декартовы оси координат

,xVa xx &&& == ,yVa yy &&& == zVa zz &&& == . Модуль полного ускорения вычисляется по формуле

.222zyx aaaa ++=

Если уравнение движения задано в естественной форме, то скорость точки

,ττ τrrr⋅=⋅= V

dtdSV

где τr − орт касательной, направленный в сторону увеличения S; τV – проекция скорости на касательную:

.SdtdSV &==τ

При естественном способе задания движения ускорение определяется че-

рез проекции на естественные оси координат, образуемые касательной, на-правленной в сторону возрастания дуговой координаты; главной нормалью, направленной в сторону вогнутости траектории; бинормалью, направленной так, чтобы три оси составляли правую систему координат. Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, образуемой касательной и главной нор-малью, и определяется как векторная сумма касательного и нормального ус-корения точки:

.naaa rrr += τ

Проекция ускорения на касательную определяется по формуле

.dt

dVa ττ =

Модуль нормального ускорения

61

,2

ρVan =

где ρ − радиус кривизны траектории.

Модуль полного ускорения точки

.22naaa += τ

Задачи для решения

101. Даны уравнения движения точки х = t 2 , ty πsin= , tz πcos= . Опре-

делить модуль скорости точки в момент времени t = 1 c. (3,72 м/с)

102. Дано уравнение движения точки по траектории 26,0 tS = . Определить

нормальное ускорение точки в момент времени, когда её координата S = 30 м и радиус кривизны траектории 15=ρ м.

(4,8 м/с2) 103. Заданы уравнения движения точки tx 1,0sin21+= , y = 3t. Определить

координату точки в момент времени, когда её координата y = 12 м. (1,78 м)

104. Даны уравнения движения точки 22 2,5,1 tytx == . Определить ско-

рость и ускорение точки в момент времени t = 1 c. (5 м/с; 0,5 м/с2).

105. Даны уравнения движения точки tytx ππ sin,cos == . Определить мо-

дуль ускорения в момент времени t = 1 c. (9,87 м/с2)

106. Дано уравнение движения точки по траектории S = 5t. Определить ра-

диус кривизны траектории, когда нормальное ускорение точки 3=nа м/с2. (8, 33 м)

107. Даны нормальное 5,2=nа м/с 2и касательное 5,1=τa м/с2 ускорения

точки. Определить полное ускорение точки. (2,92 м/с2)

62

Тема 2. Поступательное и вращательное движение твердого тела

Основные понятия и формулы Поступательным движением твердого тела называется такое движение,

при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения параллельной своему первоначальному положению.

Траектории точек при этом движении представляют собой одинаковые кривые, которые могут быть получены одна из другой путем параллельного смещения. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент геометрически равны. Значит, при исследова-нии поступательного движения твердого тела достаточно определить движение какой-либо одной точки тела. Таким образом, задача о поступательном дви-жении твердого тела сводится к задаче кинематики точки.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Проходящая через эти точки прямая называется осью вращения.

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

),(tϕϕ =

где ϕ − угол поворота твердого тела вокруг оси, рад. Угловая скорость твердого тела характеризует быстроту изменения угла

поворота твердого тела

.ϕϕω &==dtd

При отсчете угла поворота в радианах и измерении времени в секундах уг-

ловая скорость измеряется в рад/с. В технике угловую скорость часто опреде-ляют числом оборотов в минуту (n [об/мин]). Связь между этими единицами измерения дается формулой

.3060

2 ππω ⋅=⋅=

nn

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости во

времени

.2

2

dtd

dtd ϕωε ==

63

Если угловая скорость ω постоянна, то вращение называется равномер-ным и происходит по закону

.0 t⋅+= ωϕϕ

Если угловое ускорение ε – величина постоянная, то вращение называется

равнопеременным и происходит согласно уравнениям

,0 t⋅+= εωω

.2

2

0tt ⋅+⋅+= εωϕϕ

Зная угловую скорость и угловое ускорение твердого тела, можно опреде-

лять скорости и ускорения отдельных точек тела, вращающегося вокруг непод-вижной оси.

Линейная скорость точки вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вра-щения h:

hV ⋅= ω .

Ускорение точки вращающегося тела складывается из нормального и ка-

сательного ускорения. Нормальное ускорение направлено от точки по перпендикуляру к оси вра-

щения в сторону этой оси, а его модуль

.22

hVan ⋅== ωρ

Радиус кривизны ρ траектории точки твердого тела при его вращении во-

круг неподвижной оси равен длине перпендикуляра, опущенного из точки на ось вращения:

h=ρ .

Касательное ускорение направлено по касательной к траектории, а его

проекция на касательную

hdt

dVa ⋅== εττ .

64

ϕ ϕС

D

A B

1OO

y

x

Модуль полного ускорения точки

.22τaaa n +=

Задачи для решения

201. При вращении кривошипа 16,01 == BOOA м угол ϕ меняется по зако-

ну tπϕ = . Определить радиус кривизны траек-тории точки D полукруга ABD при 2=t с, ес-ли 25,0=AB м.

(0,16 м)

202. Тело 3, установленное на двух цилиндрических катках 1 и 2, соверша-

ет поступательное движение. Чему равно ус-корение точки С, если ускорение точки А рано 2 м/с 2 , причем 2=ВС , 1=AB м?

(2 м/с2)

203. Груз 1 поднимается с помощью лебедки, барабан 2 которой вращается

согласно закону 325 t+=ϕ . Определить скорость точки М барабана в момент времени 1=t с, если диа-метр 6,0=d м.

(1,8 м/с)

204. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону 22t=ϕ . Оп-ределить нормальное ускорение точки тела на расстоянии 2,0=r м от оси вра-щения в момент времени 2=t с.

(12,8 м/с2)

→

Aa

A

2 1

3B C

M

d

2

1

65

205. Угловая скорость тела изменяется по закону 32t=ω . Определить каса-тельное ускорение точки этого тела на расстоянии 2,0=r м от оси вращения в момент времени 2=t с.

(4,8 м/с2) 206. Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону 32t=ϕ . В

момент времени 2=t с определить касательное ускорение точки тела на рас-стоянии от оси вращения 2,0=r м.

(4,8 м/с2) 207. Нормальное ускорение точки М диска, вращающегося вокруг непод-

вижной оси, равно 6,4 м/с2. Определить угловую скорость ω этого диска, если его радиус 4,0=R м.

(4 рад/с)

Тема 3. Плоскопараллельное движение твердого тела

Основные понятия и формулы Плоским (плоскопараллельным) называется движение твердого тела, при

котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных некото-рой неподвижной плоскости.

Уравнения плоского движения твердого тела

⎭⎬⎫

==

)()(

2

1

tfytfx

A

A − координаты точки,

принятой за полюс; )(3 tf=ϕ − угол между непод-

вижной осью х и осью Ах, неизмен-но связанной с полюсом.

Плоское движение состоит из

поступательного движения, при кото-ром все точки тела движутся так же, как и полюс, и вращательного движе-ния вокруг полюса.

Мn

ма→

ω

R

y

x

Ay

Ax

A

B 1x1y

66

Основные кинематические характеристики плоского движения AVr

, Aar − скорость и ускорение полюса (поступательное движение);

ϕϕω &==dtd − угловая скорость вращательного движения тела вокруг

полюса;

ϕωε &&==dtd − угловое ускорение вращательного движения тела вокруг

полюса. Основные методы определения скоростей точек тела 1. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела: проекции скоростей

двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

.coscos βα ⋅=⋅ BA VV

2. Мгновенный центр скоростей (МЦС) и определение скоростей точек

тела с помощью МЦС. При непоступательном движении плоской фигуры в каждый данный мо-

мент времени существует точка тела, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей.

Для определения МЦС (точка Р на рисунке) надо знать только направле-ния скоростей каких-нибудь двух точек тела. МЦС находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к скоростям этих точек.

B

P

A AVr

BVrω

BA

AVr

α βBVr

67

Поле скоростей точек плоской фигуры в этом случае представляет собой поле вращательных скоростей относительно МЦС.

CPVBPVAPV

C

B

A

⋅=⋅=⋅=

ωωω

Здесь ω − угловая скорость вращения тела (не зависящая от выбора полю-

са); АР, ВР, СР – мгновенные радиусы точек А, В, С. Если известны скорость одной из точек фигуры (например, точки А) и положение МЦС, то скорость других точек можно найти из соотношений

APBP

VV

A

B = , .APCP

VV

A

C =

Угловая скорость тела .APVA=ω

Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей 1. Плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой.

МЦС (точка Р) находится в точке соприкосновения фигуры с кривой. 2. Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны друг другу и не

перпендикулярны к отрезку, соединяющему обе точки.

B

P

A AVr

BVrω

C

CVr

P

68

МЦС в данный момент не существует (находится в бесконечности). Угло-

вая скорость плоской фигуры равна нулю, движение называется мгновенно-поступательным, скорости всех точек плоской фигуры в этот момент равны.

3. Если скорости двух точек плоской фигуры параллельны друг другу и перпендикулярны отрезку, соединяющему обе точки.

В этом случае необходимо знать модули векторов скоростей данных точек.

МЦС находится на пересечении прямой, проведенной через концы векторов скоростей точек (отложенных в выбранном для решения задачи масштабе), с отрезком, соединяющим эти точки.

Определение ускорений точек тела в плоском движении осуществляется на основании теоремы о сложении ускорений

,τ

BAnBAAB aaaa rrrr ++=

где Bar − ускорение точки В (любая точка тела); Aar − ускорение полюса;

⎭⎬⎫

τBA

nBA

aar

r

− касательная и нормальная составляющие ускорения точки В в ее вра-

щении вместе с телом вокруг выбранного полюса.

A

B BVr

AVr

A

B BVr

AVr

P

0==

ωBA VVrr

69

Задачи для решения 301. Диск радиусом 50=R см катится по плоскости. Определить расстоя-

ние от геометрического центра диска до мгновенного центра скоростей. (0,5 см)

302. В данном положении механизма точка Р является мгновенным цен-

тром скоростей звена АВ. Определить расстояние ВР, если скорости точек А и В равны соответст-венно 10=АV м/с, 15=ВV м/с, а расстояние АР = 60 см.

(0,9 см) 303. Определить угловую скорость шатуна АВ кривошипно-ползунного

механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость 3=АV м/с. Длина шатуна АВ = 1 м.

(1,73 рад/с) 304. Определить угловую скорость шатуна АВ кривошипно-ползунного

механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость 3=АV м/с, а длина шатуна АВ = 3 м.

(1,15 рад/с) 305. Определить угловую скорость кривошипа ОА в указанном положении,

если скорость ползуна 2=ВV м/с, а длина кри-вошипа ОА = 0,1 м.

(20 рад/с)

→

Аν

→

Вν

А

В

1О

О

Р

060030

ωА

В

ωО

А

В

ω

А030 В

О

70

306. Цилиндр 1 радиусом 13=r см катится по неподвижному цилиндру 2 радиусом 20=R см. Определить расстояние от центра цилиндра О до его мгновенного центра скоростей.

(0,13 см)

307. Кривошип ОА механизма, вращаясь равномерно, образует в данный

момент времени с направлением ОВ угол 090=ϕ . Определить расстояние от мгновенного центра скоростей шатуна АВ до ползуна В.

(∞ )

Тема 4. Определение параметров прямолинейного и криволинейного

движения точки по заданным силам

Основные понятия и формулы Основная форма дифференциальных уравнений динамики материальной

точки Ускорение ar материальной точки массой m, движущейся под действием

приложенных к ней сил 1Fr

, 2Fr

, …, nFr

, определяется с помощью основного за-кона динамики в сочетании с законом независимости действия сил:

nFFFamrrrr +++= ...21 .

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях

на оси неподвижных декартовых координат имеют вид ∑= kxFxm && , ∑= kyFym && , ,∑= kzFzm && (*)

где x&& , y&& , z&& − проекции ускорения ar ; kxF , kyF , kzF − проекции силы на соответ-ствующие оси декартовых координат.

1

2

rR

0

0

→

ν

А

ωВ

ϕО

71

С помощью данных уравнений решается основная (обратная) задача ди-намики материальной точки – определение закона движения по заданным силам. Для этого необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений движения точки (*). Интегрирование производится методами, из-вестными из курса высшей математики и зависящими от вида правой части уравнений (*). В общем случае действующие на точку силы могут быть по-стоянными и переменными, зависящими от времени, от положения точки и от ее скорости. Поэтому правые части уравнений (*) могут содержать время t, координаты точки x, y, z и проекции ее скорости x& , y& , z& . В результате ин-тегрирования этой системы определяют закон движения точки в декартовых координатах, т.е.

).(),(),( 321 tfztfytfx ===

Поскольку система (*) состоит из трех дифференциальных уравнений вто-

рого порядка, то при ее интегрировании появляются шесть постоянных интег-рирования С1 – С6. Для их определения используют так называемые начальные условия движения.

Начальные условия движения материальной точки характеризуют ее по-ложение и скорость в начальный момент времени и имеют вид:

при t = 0 0xx = , 0yy = , 0zz = – начальное положение точки; 0xx && = , 0yy && = , 0zz && = – начальная скорость точки. В результате подстановки начальных условий движения в первые и вторые

интегралы системы (*) образуется шесть уравнений для «поиска» шести неиз-вестных С1 – С6. Определив конкретные значения постоянных интегрирования, находят частные решения уравнений (*).

Если материальная точка движется прямолинейно, то при направлении оси x вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

∑=⋅ kxFxm &&

и два начальных условия: при t = 0 0xx = , .0VVx =

Тогда закон прямолинейного движения точки будет иметь вид

),,( 00 Vxtfx = . В случае криволинейного движения точки в плоскости xy число дифферен-

циальных уравнений движения равно двум и имеет вид

∑=⋅ kxFxm && , ∑=⋅ kyFym && ,

72

→

F

025

а число начальных условий – четыре: при t = 0 0xx = , 0yy = , 0xx VV = ,

.0yy VV =

В результате интегрирования дифференциальных уравнений криволиней-ного движения точки в плоскости определяют закон движения в координатной форме: ),,(

00 xVxtfx = , ),,(00 yVxtfy = .

Имея уравнения движения точки, методами кинематики находят все ха-рактеристики и параметры исследуемого движения: траекторию точки, гори-зонтальную дальность, высоту траектории, время движения, скорость точки в любой момент времени и т.д.

Задачи для решения

401. Материальная точка М массой m движется по горизонтальной оси 0x

под действием силы F = 2m(x+1). Определить ускорение точки в момент време-ни, когда ее координата x = 0,5 м.

(3 м/с2) 402. Материальная точка массой m = 50 кг из состояния покоя движется по

гладкой горизонтальной направляющей под действием силы F = 50 Н, вектор которой образует постоянный угол α = 20° с направляющей. Определить путь, прой-денный точкой за время 20=t с.

(188 м)

403. Тело массой 200=m кг из состояния покоя движется вверх по глад-

кой наклонной плоскости под действием силы 1=F кН. Определить время, за которое тело переместится на рас-стояние 8 м.

(4,33 с)

404. Материальная точка массой 25=m кг начала движение из состояния покоя по горизонтальной прямой под действием силы tF 20= , которая направ-лена по той же прямой. Определить путь, пройденный точкой за 4 с.

(8,53 м) 405. Материальная точка массой 10=m кг движется по криволинейной тра-

ектории под действием силы tF 4,0= . Определить касательное ускорение точки в момент времени 40=t с, когда угол между силой и вектором скорости равен 30°.

(1,39 м/с)

y

x

→

F

x

M0

73

406. Материальная точка М движется по параболе S – S в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Определить скорость точки в положении В, если в положении А ее скорость 30=AV м/с, а высота ОА = 600 м.

(113 м/с) 407. Материальная точка М движется в вертикальной плоскости под дей-

ствием силы тяжести. Определить максимальную высоту подъема h, если в начальный момент ско-рость точки 6000 =V м/с.

(16200 м)

Тема 5. Равновесие произвольной плоской системы сил

Основные понятия и формулы Связи – тела, ограничивающие движение данного тела в некоторых на-

правлениях (несвободное твердое тело). Реакции связей – силы, с которыми связи действуют на твердое тело. Равновесие несвободных тел изучается в статике на основании принципа

освобождаемости от связей: несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей и заменить их действие соответствующими реакциями связей.

Равнодействующая сила – сила, эквивалентная системе сил. Обозначается Rr

и определяется как векторная сумма слагаемых сил:

....1 ∑=++= kn FFFRrrrr

Равнодействующую имеет только система сходящихся сил (приводится к

равнодействующей).

0

→

0V

→

V

→

gm070

h

sA

s

B

→

ν A

x

y

→

gm

M

O

М

74

Главным вектором называется векторная сумма сил, приложенных к твер-дому телу. Обозначается и определяется так же, как равнодействующая:

.∑= kFR

rr

Аналитически величина главного вектора ищется через его проекции на

оси декартовых координат, равные алгебраическим суммам проекций слагае-мых сил на соответствующие оси:

∑= kxx FRrr

, .∑= kyy FRrr

Модуль главного вектора .22

yx RRR +=

Момент силы Frотносительно точки О, который записывается в виде

)F(mr

0 , для плоской системы сил равен количественно взятому с соответст-

вующим знаком произведению модуля силы Fr

на кратчайшее расстояние h от точки О до линии действия силы F

r, называемое плечом:

.)(0 hFFm ⋅±=

r

Если сила F

r стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часо-

вой стрелки, то момент силы положителен, если же по ходу часовой стрелки, то отрицателен.

Главным моментом плоской системы сил относительно центра О называ-ется алгебраическая сумма моментов сил, приложенных к твердому телу, отно-сительно этого центра:

.)(00 ∑= kFmm

r

Пара сил – система двух параллельных, равных по модулю и направлен-

ных в разные стороны сил. Расстояние между линиями действия этих сил назы-вается плечом пары.

21 FFrr

−=

h2Fr

1Fr

75

Мерой действия пары является алгебраическая величина, называемая ее мо-ментом. Момент пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на плечо:

.1 hFm ⋅±=

Если пара стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, момент

пары положителен (и наоборот). В результате приведения сил, произвольно расположенных на плоскости, к

одному центру О система сил преобразуется к приложенной в этом центре си-ле, равной главному вектору R

r, и паре сил, момент которой равен главному

моменту .m0 Условия равновесия произвольной плоской системы сил

ОR =r

, Оm =0 ,

где О – любая точка плоскости. Основная форма уравнений равновесия произвольной плоской системы сил,

приложенных к твердому телу: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на произвольно выбранные оси декартовых координат х и y и сумма моментов этих сил относи-тельно произвольно выбранной точки О равнялись нулю:

∑ = ОFkx

r, ∑ = ОFky

r, .)(0 ОFm k =∑

r

Общая процедура решения задач на равновесие твердого тела,

находящегося под действием различных систем сил 1. Выделить твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть для оты-

скания неизвестных величин. 2. Изобразить активные силы. 3. Для несвободного твердого тела применить принцип освобождаемости

от связей и приложить к нему соответствующие реакции связей. 4. Рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела как сво-

бодного, находящегося под действием активных сил и реакций связей. 5. Использовать соответствующие приложенной системе сил аналитиче-

ские уравнения равновесия и определить искомые величины.

Задачи для решения 501. На закрепленную балку действует произвольная плоская система сил.

Сколько независимых уравнений равновесия балки можно составить? (3)

76

502. Определить реакцию опоры D, если 6,841 =F Н, 2082 =F Н, АВ = 1 м, ВС = 3 м, СD = 2 м.

(130 Н)

503. На балку длиной 3=l м действуют пары сил с моментами

М1 = 2 кН·м и М2 = 8 кН·м. Определить модуль реакции опоры В.

(20 кН)

504. На консольную балку АВ, заделанную в стену, действуют сила F = 4 Н

и пара сил с моментом М = 2 Н·м. Определить мо-мент в заделке, если длина АВ = 4 м.

(14,0 Н·м)

505. Консольная балка нагружена парами сил с моментами 17901 =М Н·м и

21352 =М Н·м. Определить момент в заделке. (-345 Н·м)

506. На балку АВ действуют распределенная нагрузка интенсивностью

q = 2 Н/м и сила F = 6 Н. Определить реакцию опоры В, если длина АС = АВ

31 , угол α = 45°.

(4,08 Н)

ВА

СD

→

1F→

2F

А В1М 2М

l

→

F

А В

1М2М

CАα

B

→

q

30° 60°

М

F

77

507. Определить момент в заделке А, если 501 =F Н, 1002 =F Н, АВ = ВС = 2 м.

(446 Н·м) Тема 6. Равновесие произвольной пространственной системы сил

Основные понятия и формулы Момент )(0 Fm

rr силы Fr

относительно точки О в пространстве определяют как векторное произведение Fr)F(m

rrrr ×=0 , где rr − радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Таким образом, вектор )F(m

rr0 направлен

перпендикулярно плоскости, содержащей линию действия силы и точку О, так, что сила с конца его видна направленной вокруг точки против хода часовой стрелки.

Модуль вектора )(0 Fm

rr равен произведению модуля силы на расстояние

от точки до линии действия силы (плечо) :

.)(0 hFFm ⋅= Моментом силы относительно оси )(Fmz

rr называется скалярная величи-

на, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, от-носительно точки пересечения оси с плос-костью:

.)()( 0 hFFmFm xyxyz ⋅±==

o90 hrr

)F(mrr

0

0

Fr

CА

060

B

1→

F 2→

F

)xy( xyFrh

z

Fr

78

Момент считается положительным, если с положительного конца оси z по-ворот, который сила xyF

r стремится совершить, виден происходящим против

хода часовой стрелки (и наоборот). Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси, необходимо: 1) провести плоскость, перпендикулярную к оси (в любом месте); 2) спроектировать силу F

r на эту плоскость и вычислить величину проекции;

3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направление проекции силы и найти его длину h;

4) вычислить величину момента силы по приведенной выше формуле. Главный момент 0mr пространственной системы сил относительно центра

О равен векторной сумме моментов всех сил относительно этого центра:

.)(00 ∑= kFmmrr

Проекции главного момента 0mr на оси декартовых координат называются

главными моментами xm , ym , zm относительно соответствующих осей и определяются так:

∑= )( kxx Fmm , ∑= )( kyy Fmm , ∑= )( kzz Fmm .

В результате приведения сил, произвольно расположенных в пространст-

ве, к одному центру система сил оказывается эквивалентной силе, приложенной в центре приведения О и равной главному вектору R

r, и паре сил, момент кото-

рой векторно равен главному моменту 0mr . Основная форма уравнений равновесия произвольной пространственной

системы сил, приложенных к твердому телу: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех данных сил на произвольно выбранные оси декартовых координат x, y, z и суммы моментов всех сил относительно этих осей равня-лись нулю:

∑ = 0kxF , ∑ = 0kyF , ;0∑ =kzF

∑ = 0)F(m kx

r, ∑ = 0)F(m ky

r, ∑ = 0)F(m kz

r.

Решение задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием

произвольной пространственной системы сил, осуществляется на основании общей процедуры, представленной в теме 5.

79

Задачи для решения 601. К точке А прямоугольного параллелепипеда приложена сила F = 4 кН.

Определить момент этой силы относительно оси Оу, если a = 10 м, b = 6 м, c = 20 м.

(-8·104 Н·м) 602. Определить момент силы F относительно оси Ох, если сила F = 20 Н

пересекает оси Ох и Оу на расстояниях а = 2 м и b = 3 м.

(0 Н·м)

603. К кубу приложены силы →→→→

4321 ,,, FFFF , которые уравновешены си-

лой →

R . Определить расстояние b силы →

R от плоскости Oxz, если ребро куба а = 1 м,

Н5,Н15 4321 ==== FFFF и R = 40 Н. (0,25 м)

604. Момент силы

→

F относительно центра О равен мН100)(0 ⋅=→FМ и

расположен в пространстве так, что углы °= 30γ и °= 30ϕ . Определить момент этой си-

лы относительно оси Оy. (25 Н·м)

z

x

ya

b

c

→

F

OA

z

x

ya

b

В→

F

OA

z

x

y

ab

O1

→

F

2

→

F3

→

F

4

→

F

→

R

ВA

z

x

yϕ

γ

O

→

F

)(0

→→

FM

80

605. К коленчатому валу ОА в точке В под углом °= 60α к горизонту при-ложена сила F = 10 Н, которая уравновешива-ется парой силой с моментом М. Определить

модуль момента, если сила →

F || Oxz и b = 0,9 м. (7,79 Н·м)

606. На куб с ребром а = 2 м действует сила F = 0,5 кН и пара сил с момен-

том М = 5 кН·м. Определить главный мо-мент данной системы сил, приняв за центр приведения точку О.

(6,08 кН·м)

607. Определить момент силы →

F относительно оси Ох, если ее значение F = 16 Н, ребро куба а = 0,75 м.

(-8,49 Н·м)

М

z

x

y

a→

FO

z

x

y

a

→

F

O

a

a

В

A

z

x

yМ

α

b

→

F

О

81

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в

примерах и задачах: Учеб. пособие. М., 1984. 2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики:

В 2 т. М., 1985. 3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М., 1992. 4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М., 2000. 5. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учеб-

ник. М., 1983. 6. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: Учеб. посо-

бие. М., 1983. 7. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учеб. посо-

бие. М., 1986 (и другие издания). 8. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб.

пособие / Под ред. А.А. Яблонского. М., 1985 (и другие издания). 9. Старжинский В.М. Теоретическая механика: Учебник. М., 1980. 10. Трофимова Т.И. Курс физики. М., 1999. 11. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: Учеб. пособие. М.,

1981. 12. Яблонский А.А., Никифорова В.А. Курс теоретической механики:

Учебник: В 2 т. М., 1999.

82

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение............................................................................................................... 3 Методические указания к решению задач........................................................ 4 Часть 1. Физика ................................................................................................... 5 Тема 1. Кинематика и динамика поступательного движения ......... 6 Тема 2. Кинематика и динамика вращательного движения .......... 11 Тема 3. Молекулярная физика и термодинамика ........................... 17 Тема 4. Электростатика и постоянный ток...................................... 22 Тема 5. Электромагнетизм ................................................................ 29 Тема 6. Колебания .............................................................................. 35 Тема 7. Оптика. Атомная и ядерная физика.................................... 42 Тема 8. Квантовая природа излучения............................................. 49 Тема 9. Квантовая механика ............................................................. 53 Часть 2. Теоретическая механика .................................................................... 58 Тема 1. Кинематика точки................................................................. 59 Тема 2. Поступательное и вращательное движение твердого тела......................................................................... 62 Тема 3. Плоскопараллельное движение твердого тела .................. 65 Тема 4. Определение параметров прямолинейного и криволинейного движения точки по заданным силам ..... 70 Тема 5. Равновесие произвольной плоской системы сил .............. 73 Тема 6. Равновесие произвольной пространственной системы сил........................................................................... 77 Библиографический список ............................................................................. 81

Учебное издание

Дидактическое обеспечение контроля остаточных знаний

по физике и теоретической механике

Учебное пособие

Клещева Нелли Александровна Штагер Елена Васильевна

Редактор Р.С. Слободнюк Электронная верстка А.А. Устьянцевой

Подписано в печать 03.12.07. Формат 60х84/16. Гарнитура Times New Roman PS MT, Century Gothic.

Усл. печ. л. 4,88. Уч.-изд. л. 4,27. Тираж 100 экз. Заказ 4799. Издательство ДВГТУ. 690950, Владивосток, ул. Пушкинская, 10.

КГУП «Типография № 1». 690017, г. Владивосток, ул. Коммунаров, 21