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Klassen von Flächen
Costa-Fläche
Benedikt Türk, Lukas Bäcker - 7.1.2015
2Benedikt Türk, Lukas Bäcker - 7.1.2015
• Regelflächen• Minimalfläch
en• Drehflächen• Röhrenfläche
n
Klassen von Flächen
Für das Rechnen mit Flächen (hier vor allem Minimalflächen)wichtig: Integration von Funktionen auf S
3Benedikt Türk, Lukas Bäcker - 7.1.2015
Klassen von Flächen -
Integration
Def (integrierbar): Eine Funktion mit
heißt (Lebesgue-) integrierbar, falls die Funktion
(Lebesgue-) integrierbar ist. Der Wert des Integrals ist
, wobei man den folgenden formalen Ausdruck als Flächenelement bezeichnet:
Integration
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Integration
„Punkt auf der Karte“ ( ∈ U )
F: U → S ∩ Vf: S → R(f ist skalar)
Verzerrungsfaktor
Beispiel: Flächeninhalt der Sphäre
Integration
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Regelflächen
Idee: Sei I R ein offenes Intervall und sei eine parametrisierte Raumkurve. Hefte nun an jedem Punkt dieser Kurve eine Gerade an, um so eine Fläche zu erhalten. Sei dazu eine glatte Abbildungmit für alle t ∈ I.Sei J R ein weiteres offenes Intervall. Wir setzen mit
Regelflächen
Def(Regelfläche): Eine reguläre Fläche S R³, die durch obige Parametrisierungüberdeckt werden kann, heißt Regelfläche .
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Regelflächen
Beispiele
Zylinder? JA
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Regelflächen
Beispiele
Kegel? JA
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Regelflächen
Beispiele
EinschaligesHyperboloid?
JA
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Regelflächen
Satz (Gauß-Krümmung): Sei S R³ eine Regelfläche. Dann gilt für die Gauß-Krümmung
Satz
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Minimalflächen
MinimalflächenErinnerung (Diverse Krümmungsbegriffe): Sei S R³ eine reguläre Fläche.Für einen Punkt p ∈ S nennt man
Gauß-Krümmung und
Mittlere Krümmung von S in p. Häufig betrachtet man das mittlere Krümmungsfeld,das folgendermaßen definiert ist (N ist Normalenfeld):
Sätze
!
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Minimalflächen
MinimalflächenDef (Minimalfläche): Eine reguläre Fläche S R³ heißt Minimalfläche, falls
(entspricht der Bedingung H , falls S orientierbar )
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Minimalflächen
Beispiele
Ebene? JA
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Minimalflächen
Beispiele
Helikoid? Beispiel
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Minimalflächen
Satz
Satz (Krümmungen): Für jede reguläre Fläche gilt
Insbesondere gilt für die Gaußkrümmung von Minimalflächen
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Minimalflächen
Beispiele - Enneperfläche
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Minimalflächen
Beispiele – Flächen aus Enneper-Flächen
Richmond-Minimalfläche
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Minimalflächen
Beispiele – Flächen aus Enneper-Flächen
Chen-Gackstatter-Minimalfläche
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Minimalflächen
Beispiele – Katenoid
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Minimalflächen
Beispiele
Mischung aus Helikoid und Katenoid
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Drehflächen
Idee: Wähle eine ebene Kurve in der x-z-Ebene und lasse diese um die z-AchseRotieren. Ist r(t) eine ebene Kurve, so erhalten wir eine lokale Parametrisierung derZugehörigen Drehfläche durch
Drehflächen
Wählt man z.B. einmal und einmal , so erhält man zwei lokaleParametrisierungen, die die ganze Drehfläche überdecken
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Drehflächen
Durch die Darstellung
Lassen sich explizit die beiden Fundamentalformen (in Abhängigkeit von r(t)) bestimmen undman erhält für die Weingarten-Abbildung:
In weiterer Folge ließen sich die Gauß-Krümmung H sowie die mittlere Krümmung K explizitDarstellen.
Bemerkung
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Drehflächen
Beispiele – Katenoid „zum Zweiten“
Das Katenoid ist die einzige Fläche, die zugleichMinimalfläche UND Drehfläche ist.
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Drehflächen
Beispiele
Rotationsparaboloid
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Drehflächen
Beispiele
Traktrix
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Röhrenflächen
RöhrenflächenIdee: Sei eine nach Bogenlänge parametrisierte Kurve mit nicht verschwindenderKrümmung, für alle . Dann sind die Windung und dasFrenet-Dreibein definiert. Sei , dann betrachten wir folgende Parametrisierung:
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Röhrenflächen
Beispiele
Torus