Kladim Se Da Mozes

8/18/2019 Kladim Se Da Mozes

1/100


2/100


3/100

Ud rug a rodi te lja Ko rak po kora k

Vesna Vlahović-Štetić i Vlasta Vizek Vidović

KLADIM SE DA MOŽEŠ.. . .psihološki aspekti početnog poučavanja matematike

Zagreb, 1998.


4/100

Izdavač

Udruga roditelja Korak po korak

Za izdavača

Mira Kunstek, prof.

Urednik

Gorana Hitrec, prof.

Recenzenti

Prof. dr. sc. Mira Čudina-ObradovićProf. dr. sc. Mirko Polonijo

Ilustrator

Goran Sudžuka

Lektor

Majda Kunstek

Tisak

Zrinski d.d. Čakovec

Naklada

600 primjeraka

CIP - Katalogizacija u publikacijiNacionalna i sveučilišna knjižnica, Zag reb

UDK 371.32.015.3:51VLAHOVIĆ-Štet ić , Vesna

Kladim se da možeš — : psihološkiaspekti početnog poučavanja matematike /Vesna Vlahović-Štetić, Vlasta VizekVidović. - Zagreb : Ud ruga roditelja Korakpo korak, 1998. - 85 str. : ilustr. ; 24 cm

Bibliografija: str. 83-85

ISBN 953-97494-1-71. Vizek Vidović, Vlasta

980924022


5/100

Predgovor

Predgovor u rednice

Ovaj priručnik prvi je naslov iz Biblioteke "Korak po korak", kopokreće is toimena Udruga rodi tel ja , namijenivši je prvenstveno uči te l j imodgajatel j ima t rajno usm jerenim a ka s t ručnom i oso bno m usavršavanBibl ioteka je logična posl jedica pr imjene Projekta "Korak po korak"Hrvatskoj čiji su bitni ciljevi:

- potica nje djetetove m otiva cije za cjeloživ otno u čenje,- razvi janje okol ine za učenje temeljene na međusobnom poštovanj

demokra tsk im načel ima,- pošt ivanje razvojnog kont inui teta i koriš tenje razvojno pr imjerenih

toda, te- razvijanje raz nolik ih vještina u djece ka ko bi sutra uspje šno sudjelov

u životu demokratskog društva.

Projekt "Korak po korak" međunarodni je projekt koj i su 199započel i Inst i tut Otvoreno društvo i Chi ldren 's Resources Internat ionnevladina udruga iz W ashington a , s namjerom pom aganja prom jene ozovnih sustava u bivšim soci ja l is t ičkim zemljama ka demokratskom obrvanju. Svaka zemlja sudionica ima punu s lobodu pri lagodavat i Projekt j im obrazovnim tradici jama i s tandardima.

Programi razvi jeni u okri l ju projekta "Korak po korak" odnose se metode poučavanja djece od dojenačke dobi do 10-te godine, a uspjepo pu larn ost koju su stekli u zem ljam a gdje se primjenjuju po takli su a uda ih nas tave razvijati i za stari ju školsku d ob. Ov e m eto de po uč av apolaze od postavki individualnog konstrukt ivizma J . Piageta , soci ja lkonstrukt ivizma L.S. Vvgotskog, Brunerove spoznaje o važnost i govormiš l jen je , D ew ey ev e spoznaje o važ nos t i ak t ivnos t i i spoz naje MM on tess ori o razvijanju djetetove nezav isnos ti i sam outjecajn osti pusam ost aln og odlu čivanja. U njih su ugr ađe ne i no ve spoznaje o razv ojfunkcioniranju m oz ga te postav ke razvojno pr imjerenog kurik ulum a.

Projekt u Hrvatskoj, baš kao i u ostalih 25 zemalja gdje se provo

okuplja učitelje entuzijaste, koji stalno propitujući efikasnost svog poučnja i tragajući za bolj im pristupom djeci, postaju i sami cjeloživotni učeAli ne sam o njih Projekt anga žira i naše istaknu te zna nstv en ike sa željomi mi u Hrvatskoj pronađemo što efikasniju primjenu postavki i id

I


6/100

Vlahović-Štetić i Vizek Vidović: Kladim se da možeš.. .

suv rem en e psihologije i ped ago gije, koje se dan as u svijetu smatraju ma lnim a za proces učenja i poučav anja , i u našoj odgojno -obrazo vnoj p

Ovaj pr i ručnik rezul ta t je upravo takvog angažmana naših uglednih ploginja d oc. dr. V esn e Vlaho vić-Š tetić i prof. dr. Vlaste Vizek-Vidović , kojese bave psihološkim aspekt ima početnog poučavanja matematike.

Angažiranje psihologa da nešto kažu o poučavanju matematike isje naše želje da potaknemo interdisciplinarno promišljanje različi t ih prm a vezan ih uz proces učenja i poučav anja , o d kreiranja nastavn ih pro gdo izrade djeci primjerenih udžbenika, od osmišljavanja razvojno prirenih postupaka do primjene razvojno primjerenih didaktičkih materi jal

Programi "Korak po korak" vide dijete kao aktivnog pojedinca kkonstruira, mijenja i integrira svoje razumijevanje svijeta kroz međudvanje s f izičkim svijetom, raznim materi jal ima i drugom djecom. Polazeove osnovne premise, logično je i učenje matematike promatrat i kao akproc es, u ko m e djeca istražuju, konstruiraju, primjenjuju, ispituju, dokapredstavljaju, rješavaju, raspravljaju, opisuju, razvijaju, predviđaju, daktivna su m ent alno i f izički. Najvaž nij i je rezultat tog proc esa razu m i

nje m atem atičk ih odnos a, a tek po tom učen je strategija i m atem atičk ih ritama. D o razu m ijeva nja g ene raliza cija i apstrak cija, koje su ne od vo jivučenja , djeca m ogu doći sam o kon kretnim iskustvom s m no gim po m osredstvima i aktivnostima.

Upravo u ovom priručniku autorice prikazuju takve aktivnosti pomoć konkretnog mater i ja la , tzv. temeljnih kockica. Djeci vizuaprivlačne i za man ipul i ranje jednosta vne , temeljne ko ckice olakša

konkretno predstavljanje različi t ih matematičkih pojmova. Priručnik naučitelj ima o bjasnit i i približit i važ nos t i m og uć no st up orab e teme ljnih kica u postizanju što boljeg razum ijevanja m atem atičk ih odn osa.

Pokretanje bibl ioteke "K orak po ko rak " namijenjene s t ručnousa vrša van ju odgajatelja i učitelja, tek je jed na od bro jnih ak tivn ost i koUdruga roditelja pokrenula i l i će pokrenuti sa željom da se postignu ciljevi Projekta.

Gorana Hitrec

II


7/100


8/100

Vlahović-Štetić i Vizek Vidović: Kladim se da možeš.

Sadržaj

1. Uvo d: Ta teška m atem atika psihološki č inite lj i učen ja m ate-mat ike 1

1.1. Zašto se djeci čini da je m atem atik a težak školsk i pre dm et? 1.2. Za što učiti m ate m atik u u os no vn oj školi? 41.3. Psi ho lošk i činitelji koji utječu na učen je m ate m ati ke 1.4. Ka ko po m oć i djeci da postign u m ate m atič ko razum ijevanje

2. K ad prsti više nisu dovo ljni kog nitivni aspe kti zbr aja nja ioduz imanja 13

2.1. Tem eljna ma tematičk o-logička načela 142.2. R azv oj strategija zbrajanja i od uzim anj a 162.3. Stra tegi je zbraja nja 172.4. Strategije od uzim an ja 182.5. Ak tivnos ti 20

1. K olik o stane u ruk u? 202. Broj imo bub am are 233. Tra žim o pil iće 254. Sla žem o jaja 275. Izabiremo bom bon e 286. To ča n položaj 297. Ves ela tomb ola 308. Zbra jam o do 20 319. Izg rad im o zbrajanje 32

10. Pog ađa mo i mjer imo 3411. Tk o će prije do 100? 3612. Sk oči na razliku 3813. ča ro bn i kvadrat 3914. Tk o će prije do 1000 ? 41

3 . Ka d pod ijelim ima t ću više kog nitivni aspe kti m no že nja i dije-ljenja 43

3.1. Ideje o m no že nju i dijeljenju 4 43.2. Situacije u za da cim a m no žen ja i dijeljenja 47

3.3. Ra zum iju li djeca o če m u je riječ? 503.4. A ktivn osti 53

1. Izgradim o mn ožen je 532. Pom nož i po redu 55

IV


9/100

Sadržaj

3. Podi je l imo bom bon e 564. Pod i jel imo koc kice 585. Pod ijelimo lanac 596. Ne obič na tom bola 61

4. Za što djec a ne vole ba zen e koji se pu ne i pr az ne tešk oć e ur ješavanju problemskih zadataka 65

4 .1 . Pou čav at i računanje i li prob lem ske zadatk e? 664.2. Vrste prob lem skih zadataka 674.3 . Za što su pro ble m ski zada ci teški? 684.4. Ka ko poučavat i problem ske zadatke? 73

4.5. Ak tivnost i 771. Grad imo kućice 772. Ko liko kolač a im am o zajedno? 783. Do biv am o i dajemo kolač e 804. Tk o ima više kolača ? 815. Od jenim o Igora i Sanju 82

5. Li tera tura 83

V


10/100

Ovu knjigu posvećujemo našoj djeci

Marku i JakšiUni Tisi i Raši


11/100


12/100


13/100

Ta teška matemat ika

vještine koje se uče izdvojeno iz smislenog konteksta ne mogu se lako prjenit i u stvarnim životn im situacijama koje zahti jevaju m ate m atič ko -log i

rezon iranje. Primjerice Hug he s (1986.) je po kaz ao da i četve rogo dišn jm og u uspješn o rabit i m atem atič ke sim bole "+ " i "- " ako shvaćaju s vrhurazlog za uporabu matematičkih s imbola.

Velik dio teškoća u učenju matematike proizlazi iz samog ustrojgradiva koji ne poštuje u dovoljnoj mjeri postojeće preduvjete za učenrazinu djetetova intelektualno g razvoja i m atem atičk o pred znan je. P ou čamatematiku postaje znatno lakše ako upoznamo prirodu rane dječje spozn

što onda treba poslužit i kao polazište u građenju novih i složenijmatematičkih spoznaja. Primjerice, tradicionalni pristup učenju računažestoko se protivio uporabi prsti ju pri zbrajanju i oduzimanju. Međutzapaž anja razv ojnih psiho loga gov ore o tom e ka ko se pristup rješavamatematičkih problema mijenja s dobi, tako da se neke početne strategračunanja ("na prs te") s vrem eno m spontano napuštaju u koris t eko nmičn ij ih postu pak a kao što je, primjerice, do zivanje ne kih činjenica (n

tablice množenja) iz dugoročnog pamćenja.N o isto se tako ustanov ilo da se nek e strategije i nač ini m ate m atič k

rezoniran ja ne ukidaju učenjem nov ih nač ela već se primjenjuju para leovisno o prirodi zadatka. Štoviše, istraživanja su pokazala da se već učeprv og razred a (Siegler i Jenk ins, 1989.) razlikuju u "sti lov im a" rješavam atem atičk ih zada taka. "D ob ri" r ješavači rabe onu strategiju ko jom najprije doć i do rješenja i čes to se oslanjaju n a izrav no doziv anje inform a

iz dugoročnog pamćenja. Do rješenja dolaze brže od "slabih" rješavača obično rabe nezreli je strategije. No postoji i t reća skupina, tzv. "perfekonisti", koji su u izvođenju strategije uspješni kao i "d ob ri" r ješavači. B udda žele imati što manje pogrešaka, ti se učenici ne žele oslanjati na izradosjećanje nego radije primjenjuju polagane, al i sigurne metode rješavaIstraživanja poput ovog upozoravaju učitelje da moraju biti osjetljivi dječja uvjerenja i strategije koje djeca donose sa sobom, kao i na potrebu

se naprednije znanje nadograđuje na niže razine razumijevanja i iskustvjednostavnij im strategijama.

3


14/100

Vlahović-Štet ić i Vizek Vidović: Kladim se da možeš.

1.2 . Zašto uči t i matemat iku u osnovnoj škol i?

K ao što je spom en uto , učen je mate m atik e u školi odvija se čestvr lo suženom uzorku zadataka u kojem djeca najčešće ne vide svrhu tučenja i stečena znanja vrlo teško primjenjuju u svakodnevnom životu. najbolje vidi u razlici uspješnosti u rješavanju ari tmetičkih zadaizraže nih bro jka m a i razm jerne neuspje šnosti pri r ješavanju ist ih zadkad su izraženi r i ječima u obliku životnih problema. Taj raskorak izizvođenja računa , pos ebn o poč etne ar i tmetike, i r ješavanja svak odnmatematičkih problema vraća nas na promišl janje toga š to je zapravo matematičkog obrazovanja. Najkraće rečeno, na osnovnoškolskoj razinipost izanje matematičke pismenost i u suvremenom društvu. No, š to to zZnači dvije stvari (Cockroft, 1982., u Nunes i Bryant, 1996.):

"Prvi cilj je osjećaj komp etencije u razumijevanju brojeva i vještina

u izvođenju matematičkih radnji koje osobi omoguća vaju da se uspješno nosi

s praktičnim matematičkim zahtjevima svakodnevnog života (u mjerenju, pri

novčanim transakcijam a, pri procjeni vjerojatnosti i rizika i si.).

Druga stvar nužna u suvremenom društvu jest uvažavanje i razumijevanje informac ija koje su iznijete u ma tematičkim izrazima, primjerice u

obliku grafikona, tabela, postocima i si. To znači da ma tematički pismen a

osoba mora razumjeti različite načine na koje se matema tika upotrebljava

kao sredstvo komuniciranja."

Ko liko se školsko računanje i prava mate m atičk a pism eno st razl igovore rezultati istraživanja na uzorku od nekoliko stotina brucoša ko

trebali dati svoje mišljenje o sl jedećem no vin sk om izvješću (Streef1990., u Nunes i Bryant, 1996.):

"Budući da su nam potrebni neki konkretni podaci poigrajmo se

aritmetikom na primjeru Nizozemske. To je zemlja s oko 14 milijuna

stanovnika , prema 3 milijarde u SAD , što je otprilike dvjesto puta više.

Nizozemska se prostire na otprilike 40.000 kvadratnih metara, prema 81.000

kvadratnih metara koliko obuhvaćaju SAD , što je oko sto puta više.

Usporedimo li odnose tih veličina možem o reći da koeficijent nasel nosti u

Nizozemskoj iznosi jednu petinu u odnosu na SAD ."

Tu se nižu same besm isl ice Prva je pog reška broj s tanov nika SAa zat im površina zemalja u kvadratnim metr ima, koja zapravo odgo

4


15/100

Ta teška matem at ika

terenu po vršin e 20 0 x 200 , odno sno 900 x 900 m etara. P a ipak, m ed u bruc oša peda go ško g fakulteta sam o ih je 18 od m ah uočilo neto čno sti , a trećina uopće nije primijeti la ništa čudno

Drugi primjer o razdvojenosti školskog pristupa matematici i prakčnog matematičkog rješavanja problema su rezultati istraživanja u kojimauspoređuju osobe bez obrazovanja, npr. brazilska djeca ulični prodavači, sami za sebe misle da su potpuno neuspješni u školskoj matematici . Nistodo bno pri kupnji i prodaji svoje robe nevjero jatnom brz ino m izračuvaju cijenu, ostatak, i uspješ no se cjenkaju stalno prora čun ava jući svoj pfit (Saxe, 1988.).

1.3. Psihološki čini tel j i koj i ut ječu na učenje matematike

Opći psihološki činitel j i koji utječu na učenje matematike svrstavase u tri šire skupine. To su: a) senzorni i perceptivni činitelji, b) kognitivni

činitelji, te c) socijalni i emocionalni činitelji. Poznavanje t ih činitel jaom ogu ćav a nastavnicim a da razumiju i predvide uspješnost u učenju m amatike. Svaki od njih može se zamisli t i kao kontinuum koji se proteže slabe razvijenosti neke sposobnosti i l i vještine, preko prosječne do vvisoke razvi jenost i . Pod prosječnom razvi jenošću podrazumijeva se razfunkcioniranja koja je svojstvena na jvećem broju djece iste dob i. Što je vodstup anje od prosjeka u oba smjera to znač i da je po trebn a veća pri la gonastavnog programa i s t ra tegi ja poučavanja kako bi se omogućio makmalan razvoj djetetovih potencijala.

Senzorni i percep tivni činitelji

T o su čini te l ji po ve za ni s funkc ioniranjem osjetn ih orga na početnom misaonom obradom informaci ja iz okol ine. U nj ih ubrajamoštrinu vida i sluha, vidnu i slušnu percepciju, sposobnost uočavanja fi

razl ika u vidnim i zvuč nim podražaj ima, sposobno st zahvaćanja prostorodnosa, sposobnost prepoznavanja konstantnost i obl ika (bez obzira na gledanja), te slušno i vid no sekven cijsko pam ćen je. Razv ijenos t sen zorn oper cep tivn og funkcioniranja nu žan je preduvjet za odvijanje viših mis ao

5


16/100


pro ces a učenja i pam ćenja . Ti činitelj i su opći preduvjet z a svladava nje skog gradiva prikazanog u sl ikovnom il i pisanom obliku.

Kognitivni činitelji

Drugu skupinu čine kognitivni činitel j i povezani s tr i ključna kotivna proce sa: 1. održa vanjem i zadrž avan jem pa žnje, 2. ob rad om infoci ja u radn om i l i kratkoro čnom pamć enju u svrhu pohra ne u d ug oročpam ćenju, te 3 . dozivanjem informaci ja iz dug oročn og pamćen ja za po nuporabu.

Ko gnitiv ni činitel ji u pod lozi tih proc esa su brzina učenja, spo sobpamćenja, razvijenost strategije učenja, kompetentnost u govornom izvanju, sposobnost učenja simboličkih sustava, sposobnost usmjeravpažnje na bi tne elemente u gradivu, sposobnost uočavanja odnosa, spnos t odlučiv anja i zaključivanja, spos obn ost uop ćava nja i baratanja aptn im pojmovima.

Općenito govoreći, novij i pristupi u poučavanju matematike ka

ostalih prirodnih znanosti polaze od konstruktivist ičkog stajališta, pkojem je za razvoj matematičkog načina mišl jenja kl jučno neposrekonkretno iskustvo u baratanju s vel ič inama koje postupno dovodima tem atičko g razumijevanja , uopćavanja i baratanja apstraktnim povima . N e smatra se najvažnij im uvježbavanje izvođenja matem atičkih ppaka i č injenica, nego se naglašava postupno građenje mreže znanja om atem atičkim pojm ovim a i nj ihovim odno sima te f leksibi lna pr imrazličitih procedura postupaka za rješavanje problema. Drugim ri ječima,

praksi se postavlja pitanje kako pomoći djeci u školi da premoste taj rrak izm eđu predšk olsk og baratanja brojev ima i velič inam a i ško ls"formalnog" pr is tupa matematici .

Kako bi se to post iglo potrebno je najpr i je upoznat i odraspoučavatelje sa zakonitostima dječjeg kognitivnog razvoja, s postojdječj im strategi jama i mo guć nos t ima logičko g i m atem atičko g zakl jučivPost izanje razumijevanja temeljnih ma tema tičkih pojm ova i odn osa m

njima pretpostavlja: a) razvijene temeljne vještine logičkog zaključivanpoznavanje posebnog sustava matematičkih s imbola, te c) mogućnost nosa spoznaja o određe nim m atem atičkim odn osim a iz jed ne s i tuacidrugu.

6


17/100

Ta teška m atem atika

Zamisao o tome da će se ustrajnim uvježbavanjem računskih opercija (uz obrazloženje da se "to tako radi"), u određenom trenutku postićrazum ijevanje "zašto se to tako rad i" poka zala se neutem eljenom . Štovišerazini ane gd ote mo že m o nav esti slučaj s dip lom sko g ispita kad a student je u diplomskoj radnji upotri jebio vrlo složeni statist ički račun ne uspijna pa m et izrač unati kolik o iznosi 5 % od 20. K ad a ga pita m o u če m u teškoća on, otpr i like, odg ova ra s ljedeće: "N em am prob lem a s višo m sts t ikom, al i se nisam nikad mogao brzo snaći s matematikom u osnovškol i ."

U tablici 1. prikazana je prosječna dob kad se stječu pojedinm atem atič ki pojm ovi (G ood i Bro phv , 199 5.) . Iz tablice je vidljivo da djeca predškolske dobi imaju razvi jene neke predmatematičke i matematipojmove. No, sposobnost razumijevanja nekih temeljnih pojmova u ppun osti se razvija tek u razdoblju od 7 do 11 god ina, u tzv. razdob lju ko ntnih operacija. Neki od pojmova počinju se razvijati tek u učenika kojizašli u razdo blje tzv. forma lnih ope racija i apstra ktno g razmišljanja. M nistraživanja pokazuju da su teškoće u početnom učenju matematike če

pove zane s nepr imjerenim "preranim " uvođenjem nekih matem at ičk ih pojmova koji se potpuno mogu razumjeti tek u stari joj dobi, odnosno na vis tupnjevima misaonog razvoja (Reisman, 1982.)

Prim jer ice , pre m da se pojam "m jesnih v r i jedn ost i" temelj i nope raciji m no že nja (jedinice (1), dese tice (10 x 1), stotice (10 0 x 1), itkoja se uči tek u drugom i trećem razredu, sama mjesna vrijednost uvodveć u prvom razredu. To dovodi do mehaničkog razumijevanja uloge mjevrijednosti , š to se kasnije ogleda u teškoćama s "prenošenjem" vrijednpri zbrajanju i odu zim anju više zna m enk astih brojeva. Uz to, sam o obil jvanje položaja broja u višez nam enk astom broju dov odi do novih teškoNaime, na brojevnom pravcu brojevi rastu s l i jeva nadesno, dok se mjevrijednosti povećavaju u suprotnom smjeru - s desna nali jevo. Kad se pojma is todobno uvedu u prvom razredu mogu u mnoge djece izazvpril ičnu zbrku. Sljedeći izvor tešk oće jest rasko rak izm eđu fizičke pr ed odpredm eta i s imb oličke oz nake . N aim e, svaki broj od 1 do 9 m ož e se pr ika

nekim konkretnim predmetom. Ništ ica se može predoči t i samo kao niš ta , praznina, no u matematičkim simbolima ona je ipak označena kao nešto, znak "0". Teškoće u vezi s pojmom ništice očituju se najčešće pri pisamjesnih vrijednosti brojeva kao što su 101, 1001, 1010 i si.

7


18/100


19/100


Učenje dogovornog sus tava matemat ičk ih s imbola može za mladdjecu predstavl ja t i pr i l ične poteškoće budući da ne odgovara izgovoren

r i ječ ima. Naime, kad d i je te g lasno bro j i : "devet , dese t , j edanaesdvanaest . . ." , devet ga podsjeti na deset , deset na jedanaest , isto kao što sedam podsjeti na osam, osam na devet. Dijete zatim mora naučit i da serazliku od prethodnih brojeva ri ječ koja označava broj 11 bil ježi s dva znapremda još nema predodžbu o ulozi mjesnih vr i jednost i . Di je te u prvorazredu najčešće još nije usvoji lo tzv. strategiju zamjene kojom deset jenica postaje jedna desetica.

Općeni to govoreći , pr i poučavanju matematike val ja vodi t i računa kogni t ivnim procesima na koje se oslanjaju pojedini di je lovi matematičkgradiva. Pr i tom međuovisnost pojedinih di je lova matematičkog gradivadopušta "rupe u znanju" i l i zaobilaženje nekih područja. Savladavansloženih pojmova i odnosa nemoguće je bez razumijevanja temeljnih pojmova.

Emocionalno-motivacijski činitelji

U treću skupinu psiholo ških čini te l ja ulaze em ocion alno-m otivaci jsčinitel j i koji imaju znatan utjecaj na matematičko postignuće. Emocionaodnos prema školskoj matematici povezan je s prvim doživljajima uspjehaneusp jeha u tom području te s nač inom tum ačenja u zroka koj i do vo de određenog rezul ta ta . Na motivaci ju za učenje matematike osobi to pot icadjeluje uspjeh koji dijete postiže na zadacima umjerene težine, kada shvatiuz odgovarajuće zalaganje može svladat i gradivo. No, ako di je te nema pl ike post ić i uspjeh u matematičkim zadacima te ako pr ihvat i tumačenje kse uspjeh u matem atici temelji na sposo bnost im a, i li na uro đe no m "s mis lum atem atiku ", izgubi t će sam opou zdanje i pojavi t će se osjećaj "na učebespomoćnosti" - uvjerenje da što god čini dovodi do neuspjeha. Strah neuspjeha i gubi tak samopoštovanja u pozadini su s t raha od školske mamatike koji nepovoljno utječe na postignuće. Ta vrsta t jeskobe koja ujenjuje osjećaje napetosti , neugode i straha, može bit i uzrokom, ali i posl

dicom neuspjeha. Ona može na više načina nepovol jno djelovat i na učinamatematičkim zadacima, a u neke djece osobito se snažno očituje kad suoče s prob lem skim v erbalnim za dacim a pred koj ima se po tpun o blokir(Slavin, 1997.) . An ksioz nost pov ezan a s doživl ja jem neusp jeha sreće

9


20/100


češće u slabijih učenika, ali su često i vrlo sposobni i uspješni učenici ložni takvoj t jeskobi. Tjeskoba može ometati sam ti jek učenja, jer se učviše usmjeruje na "crne misli" o tome što će mu se dogoditi ako dobije ocjenu ili na tjelesne znakove tjeskobe, glavobolju ili mučninu, pritisaprsim a, što dovod i do nedjelotvornijeg učenja i slabijeg pam ćen ja. Nnekih učenika koji uspješno samostalno uče, strah od ispitne si tuacije mdovesti do toga da pokažu mnogo slabije rezultate od onog što doista znmogu. Učitelj i mogu na razne načine djelovati na povećanje motivacisman jenje an ksiozn osti . M otivacija se ponajprije m ož e pob uditi ako učshvate svrhu učenja nekog gradiva te ako im se zadaju zadaci primje

težine u kojima vide mogućnost postizanja uspjeha. Važno je davanje ponih informacija o uspješnosti u kojim a je nag lašen a uloga zalagaAn ksio zno st se m ož e smanjit i ako se s jed ne strane učenici pou čedjelotvo rnim stategijam a sam osta lnog učenja, po seb no ka d je r i ječproblemskim zadacima te u načinu praćenja vlasti tog napredovanja. S dstrane, ispitna anksioznost se može znatno ublažit i ako se u razredu potiče su radničk a, a ma nje natjecateljska klima, ako se pazi da svi razuupute za rad te ako se ne radi pod velikim vremenskim prit iskom.

1.4 . Kako pomoći d jeci da post ignu matemat ičko razumijevanje

Uspješno poučavanje početne matematike (ali i ostalih predmepretpostavlja mo guć nos t primjene teme ljnih spoznaja o dječjem m isa o

razvoju u poučavanju. Budući da se većina djece pri ulasku u školu nalarazini tzv. konkretnog misaonog funkcioniranja, učenicima treba omogda na konkretnom materi jalu, kojim mogu slobodno baratati , provjerasvoje pretpostavke o odno sima m edu brojevima, tako da jasn o mo gu uvlasti te pog rešk e u zaključivanju i do kraja razum jeti točne od go vo re. na ko n toga t reba s l i jedi t i pov eziv anje i izraž ava nje t ih spo znmatematičkim simbolima. Budući da i sam način bil ježenja može izazdod atnu s m eteno st , važn o je pone kad nag lasi t i da i mi kao odrazamjećujemo neke od t ih nelogičnosti te naglasit i da su matematički simdogovoreni sustav znakova koji nije savršen, al i či ja uporaba ima određprednost i . U ranom poučavanju matematike vr lo djelotvornom pokazal

10


21/100


uporaba različit ih konkretnih materijala (temeljnih kockica, štapića, pikusl ičnih pomagala) .

U prilog toj tvrdnji go vo re i brojna istraživanja ko ja su u spo ređ ivauspješnost u r ješavanju m atem atičkih zad ataka sa i bez upotreb e kon kremater i ja la . Tak o se u jed no m od njih (Hug hes, 1986.) pok aza lo kako m ldjeca imaju teško ća u razum ijevanju jed no stav nih zada tak a zbrajanja i odmanja, ako su im brojevi pokazani izvan konkretne si tuacije koja bi ih učismislenima. Djeci predškolske dobi postavl jani su matematički zadacrazličit im eksperimentalnim uvjetima. Jednom je pred njima bila kuti jkojoj je bila jedna kocka. Zatim bi ispit ivač dodavao kocke u kutiju i svput bi pitao koliko je kocaka u kutiji . U drugoj situaciji od djece se tražilza m isle tak vu kutiju i u m isli m a stavljaju u nju ko ck e. U trećoj situaciji dsu zamišljala trgovinu u koju ulazi određen broj djece. U četvrtoj si tuadjeca su jed no sta vn o pitan a kolik o je 1 i 2, i si . Po ka za lo se da djeca najl je uspijevaju odgovorit i na pitanje kad je prisutna konkretna kutija, razmrno točno su odgovarala kad su morala zamišljati kuti ju i l i trgovinu, a nabije su odgovore davala kad su morala računati u si tuacij i koja im je bbe sm islen a (1 + 2 = ?).

Ti rezultati govore u prilog tzv. spiralnog modela poučavanja koji prvi predložio Bruner (1971 . , u Wood, 1995.) . Koraci u tom modelu susljedeći:

- pr ikazivanje zadatka konkretnim predmetima,

- uporaba govora kako bi se opisao način rješavanja,- prik azi va nje rješenja slik om (grafički),

- s imboličko pr ikazivanje zadatka (koj im se konkretno iskustvo uopćav

Dru gim r i ječima, kad god je m og uće g radivo t reba obradi ti tako dadjeci omogući konkretno iskustvo (promatranjem i l i pokusom), zat imopisuje i pokušava objasnit i ono što se opazilo, potom se to prikazuje sl ii l i shemom, a zat im odgovarajućim simbolima. Konkretni mater i ja l i važnza s tvaranje m atem atičkih pojm ova p oseb no u predšk olskoj d obi , jerunutarnje misaone sheme obl ikuju kroz baratanje predmetima, t j . motoričputem.

Usporedba razl ič i t ih konkretnih nastavnih sredstava pokazala je daza učenje matematike u nižim razredima osnovne škole osobi to pogodne

11


22/100


temeljne kockice - drvene i l i plastične kockice u boji dimenzije 2 x 2 x 2 c m (Balka, 1995.a , 1995.b; Co ok i sur. , 1997.). Pr i tom su plas

kocke prikladnije, jer se mogu spajati poput lego kocaka u štapiće i l i tmenzionalne oblike. Takva je vrsta materi jala pogodna iz sl jedećih razl

1. Po m oć u njih mo že se prikazati širok raspon p ojm ov a i ope racTemeljne kocke su pogodne jer se pomoću nj ih mogu pr ikazat i osn ovn e ari tmetičke operacije s prirodnim brojev ima, pojam mjeremogu se upotri jebit i pri prikazivanju problemskih zadataka. Osim prik lad ne su i za složen ije operac ije po pu t kva driran ja i ku biraupo znav anja s razlom cim a, te za upoz navan je s funkcijskim od no siračunom vjerojatnosti .

2. M og u se rabit i u predšk olskoj dobi, al i i kasnije goto vo do kraja os nškole, tako da su djeci dobro poznat materijal i s njima sigurno barat

3. Važno je i to što temeljne kockice ipak nisu konkretni predmetiomogućavaju pri jenos općih pravila u specifične si tuacije. Naime, jedm og u predstavljati kolač e, jed no m no vce , jed no m cigle, a pri tom duočavaju da s njima izvode određene procedure koje daju iste rezulta

Uz teorijske dijelove priručnika prikazat ćemo kako se u predškoldobi pomoću kockica može potaknut i razumijevanje predmatematičktemeljnih matematičkih pojmova, a zatim kako se u školi kockice mkoris titi pri učenju tem eljnih aritmetičk ih operac ija i rješavanju pr ob lemzadataka.

12


23/100

2.Kad prsti više nisu dovoljni - kognitivni

aspekti zbrajanja i oduzimanja

13


24/100


2 .1 . Tem el jna ma tema t ičko- log ička n ače la

Po jm ovi zbrajanja i odu zim anja najčešće su djeci bliski i pri je pska u školu. Tem eljni predu vjet za učenje zbrajanja i odu zim anja jest vjbrojenja, koju ve ćina djece svlad a već u dobi izm eđu 4 i 5 godina . Iakou dobi od 2 i l i 3 godine mogu ponavljati nazive brojeva poput pjesmicih još ne m og u pove zati sa sam im pojm om brojenja. K ak o bi razum jeznači broji t i djeca moraju prethodno svladati sl jedeća temeljna lonačela:

1. Nače lo pridruživanja " jedan prem a jed an " pod razum ijeva da di je te m oznat i da pr i prebrojavanju predmeta u nekom skupu svakom predmože pr idruži t i samo jedan broj . Dijete također treba shvati t i daje, premda se redosli jed brojeva pri brojenju mora poštovati , svejedno od kelementa u skupu brojenje počinje.

2. Nače lo kardinalnosti od no si se na spozn aju da je posljed nji broj koji sizgovori pri brojenju skupa predmeta kardinalni broj koji ujedno oznukupan broj predmeta u skupu. To je broj na temelju kojeg se neki predmeta uspoređuje s drugim skupovima. Za di je te možemo reći svladalo načelo kardinalnosti ako točno može odgovorit i na pitanje knečega ima u nekom skupu.

3. Načelo ordinalnosti odn osi se na spoznaju o tom e da su brojevi p ore dapr em a uzla zn om nizu ve ličine (tj. 3 je uvijek v eć e od 2, 2 ve će od 1,Dijete je usvoj i lo ovo načelo ako nam u nizu predmeta može tpokazati koji je predmet po redu prvi, drugi, treći i td. Drugi način prre shvaćanja tog pravila jest da kad imamo dva niza nekih predmpok aže m o u jed no m n izu neki predm et (pr imjer ice t reći po redu) i tražimo od djeteta da u drugom nizu odabere predmet koji odgoprvom.

4. Načelo izmjerljivosti odn osi se na shvaća nje da se poje dini p red m etmogu međusobno uspoređivat i ako se pr i usporedbi rabe is te dogovmjerne jedinice. Primjerice, dijete shvaća pravilo izmjerlj ivosti rabeći vlastiti dlan, može usporediti širinu stola i stolice i reći kodlanova su one duge.

14


25/100

Kad prsti više nisu dovoljni

5. Nače lo konzervacije odn osi se na činjenicu da, bez obzira ka ko su predmeti u skupu raspoređeni, njihov broj ostaje nepromijenjen, odno

sačuvan. Tako će na stolu bit i uvijek pet bombona bez obzira jesum eđu sob no razm aknu ti 5 ili 10 cent imetara . Zam isao o očuvanju nesvojstva predmeta unatoč promjeni neke druge osobine odnosi se idruga svojstva, poput količine, težine, obujma. Primjerice, za dijete mm o reći da je shva ti lo nač elo konzerv acije k oličine ako pri preli jeva1 dcl vode iz šire u užu čašu izjavi da je, unatoč višoj razini vode u čaši , količina vode ostala nepromijenjena.

6. Načelo tranzitivnosti uzim a u obzir odno se izmeđ u više predm eta. Prem atom p ravilu slijedi ak o je nek a izmjerljiva k olič ina A ve ća od B, a Bveća od C onda slijedi da količina A mora biti veća i od C. Dijete pozuje da je svladalo to načelo ako može odredit i da je primjerice Makoji je stariji od Ivana istodobno stariji i od Ivanova mlađeg brata Jur

7. Pravilo reverzibilnosti (povratnos ti) odn osi se na spoznaju o tom e koje ćepromjene promijenit i količinu, a koje neće. No nije dovoljno znati ddoda vanjem kol ič ina pove ćava, a oduzim anjem smanjuje . Potreb noshvati t i da te promjene mogu imati povratni učinak. Neke od promjm og u ponišit i pre thod ne, np r. 5 + 2 - 2 = 5. D rug im ri ječima, djecateško svladati osnovno računanje ako ne uoče reverzibilan odnos izmzbrajanja i oduzimanja. Dijete koje to ne shvati neće razumjeti niti dskup od 7 naranči sastoji od 5 i 2 naranče (ili od 4 i 3 naranče ili od 6nara nče ), t j . neć e razum jeti adit ivnu kom poz iciju broja.

Navedena nače la možemo nazvat i opć im matemat ičko- logičknačelima. Na njih se nadovezuje skup posebnih pravila koji ovisi o određkulturi i polazi od nek ih unaprijed do gov oren ih temeljnih konv enc ija duž ina centim etra, deka dsk a baza i si .) . Poz nav anje t ih kon ven cija nu žnza svladavanje viših matematičkih tehnika. U školi se taj sustav poučavada je apsolutna datost , a ne predmet dogovora.

Nov ija istraživanja pokazuju da učenje tih ku lturn o odr eđe nih do

vora može povećat i razumijevanje općih logičkih načela . Drugim r i ječum jesto da se djeci npr. dek adsk i sustav prikazuje k ao jed ini postojeći vlo bi ih upo zorit i i na m ogu ćn ost up orab e sustava s drug im ba za m a. V ažusp ored ba izme đu usm en og i pism eno g bil ježenja brojeva . K ao što

15


26/100

Vlahović-Štet ić i Vizek Vidović: Kladim se da možeš. . .

spo m en uto pri nabrajanju i pisanju zn am en ak a niz poč injem o pisati s nad esno ( tako pišem o i s lažem o i r i ječi), no kad pišem o višez nam enbrojeve vrijednost pojedinih znamenki (mjesna vrijednost) raste s desnaj evo . Dječja zbunjenost t ime može se izbjeći ako na proturječnost upozosami.

Isto tako, pri poučavanju matematičkih simbola valja izbjegais todobno preopterećenje račun om i svladavanjem n ovih znak ova. Prrice, znakove "" valja učit i najprije u skupu brojeva u kojem se ddobro snalaze (npr. do 20), a tek kasnije u skupu većih brojeva.

I ko nač no , t reća s tvar potrebna za razumijevanje m atem atičoperac ija je situacija u kojoj se određe ni mate m atičk i pos tupa k primjeUčitelji se često žale da učenici ne znaju koji matematički postupaktehniku trebaju primijeniti u novoj situaciji. Naime, djeca uspiju svlodređe nu tehniku, primjer ice mo gu nauči t i a lgori tam za vađenje d rugo gjena, množenje razlike kvadrata i l i r ješavanje jednadžbi, al i ne znaju kpostupak dobar izbor za rješenje određenog problema.

Stoga moramo razumjet i matematičku s i tuaci ju da bismo je muspješno predočiti i r i ješit i . Drugim riječima, važno je prepoznati načela u specifičnoj si tuacij i kako bi se prepoznalo je l i neka opća proc(npr. zbrajanje) primjerena za rješavanje određenog problema. Štoviše,zadaci se mogu rješavati i na više načina koji dovode do točnog rezuPrimjer ice, problem: "Ana ima sedam bombona. Pojela je dva, kol iko ost alo ?" petog odišnje dijete neć e znati r i ješiti postavljajući raču nsku ociju 7 - 2 = 5. N o ipak će m oć i doći do rješenja oslanjajući se na un az

brojenje vlastitih prstiju. Može podići 7 prstiju te sakriti dva i prebrostatak. Dijete je shvati lo osnovno pravilo da će se sve ono što se dogodbrojav anjem prsti ju dogo diti i s bo m bo nim a. I u složenijim zad apronalaženje točnog rezultata zapravo znači da smo u toj konkretnoj si tprepoznal i mogućnost pr imjene nekog općeg načela .

2.2 . Razvoj s t ra tegi ja zbra janja i oduzimanja

Pod pojmom strategi je podrazumijevamo namjerni postupak pomkojeg želimo ostvarit i neki cilj, odnosno ri ješit i problem (Siegler i Jenkins,

16


27/100


1989.) . Za razl iku od nestrate škog pon ašanja , kao š to je na su m ičnpog ađa nje r ješenja , i l i pak auto m atsk o poz ivanje ne ke č in jenice dugoročnog pamćenja, s t ra teško ponašanje ukl jučuje prepoznavanje ci l jizbor sredstava kojima se taj cilj može ostvariti.

Razvoj strategija zbrajanja i oduzimanja kreće se u dva pravca. jed ne se s t rane pov ećav a faktičko i po jm ovn o znanje . M i zna m o da5 + = 12 i s vremenom postajemo sve sigurniji i točniji pri dosjećanju ili postajemo sve sigurnij i u načelo komutativnosti zbrajanja. Pokazalo se dčinjenično znanje utvrđuje ovisno o m eh an izm im a koj i učvršćuju asjativnu vezu među činjenicama. Tako će dijete, budući da se češće srećza da cim a tipa n + 1, jer počivaju na brojenju, bolje zapa m tit i rezu ltate tazadataka. Isto se tako lakše pamti pribrajanje ist ih pribrojnika.

Pove ćanje činjeničnog znanja smanjuje po trebu za up ora bo m stragija. Jed no m kad dijete z ap am ti da je 3 + 3 = 6, ne m a više po treb u koristrategiju prebrojavanja prsti ju. S druge strane u zadacima koje ne mri ješi t i dozivanjem rezul tata iz dugoročnog pamćenja uočavaju se promu postu pcim a koj im a se do rezul tata dolazi u smislu sve već e eko nom ičnPri tom se pokazalo da ni djeca ni odrasli sustavno ne rabe samo jednu stgiju.

Primjer ice, ako računamo pod vremenskim pri t iskom više ćemo oslanjat i na dosjećanje gotovih činjenica r iskirajući pogrešku usl i jmogućeg zaboravl janja točnog odgovora. Ako nam je pak važno da dođdo što točnijeg rezultata, ponašat ćemo se drukčije - uporabit ćemo stratju računanja za koju smo posve sigurni da će nas dovesti do točnog rezu(za djecu je to često strategija prebrojavanja), iako je vremenski neenomična .

2.3 . St ra tegi je zbra janja

Bu duć i da je č injenično znanje predšk olske djece ogran ičen o, onapri brojenju i jedn osta vn om računanju m oraju korist i ti jed no stav nim strgijama koje počivaju na brojenju unaprijed. Strategije zbrajanja u djpredškolske i rane školske dobi su sl jedeće:

17


28/100


1. Pre bro java nje svih član ov a u sku pu. D a bi riješilo zada tak 3 + 5 po diž e tri prsta, za tim pe t i broji izgo varaju ći: " 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2. Nastavljanje brojenja od prvog pribrojnika. Dijete rješava isti za(3 + 5) tako da od m ah dign e tri prsta i nasta vi pod izat i jo š pet prstijedan uz odbrojavanje: "4, 5, 6, 7, 8".

3. Strategi ja "pr ibrajanje m an jeg" . Ov a s t ra tegi ja pred stavl ja znnapredak u smislu sve veće ekonomičnosti računanja. Zadatak 3 + 5koje rabi ovu strategiju riješit će tako da digne 5 prstiju, tj. počinvećeg pribrojnika i nastavlja dodavati još tri prsta odbrojavajući: "6,

Primjena ove strategije pok azuje da je dijete shva ti lo nač ela kard inai reverzibilnosti .

4. Ko m bina cija dosjećanja i strategije. Ka d se pri jeđe na račun anje s brojevima, istodobno se koriste i činjenično znanje i strategije.. Primdjeca i od rasli po ne ka d zbrajaju 7 + 9 tako da je da n pribrojn ik ra sta7 + 2, a uto m atsk i iz sjećanja po vu ku rezulta t 7 + 7 = 14 i zatim , rstrategiju pribrojavanja manjeg, dodaju 2.

5. Strategija dosjećanja u kojoj se doz ove inform acija iz du go ropamćenja. Primjerice, dijete odmah odgovori da je 7 + 9 = 16.

2.4 . Strategije oduzimanja

Kod oduzimanja početne strategije oduzimanja oslanjaju sem og uć no st i razum ijevanje brojenja unazad . Ko d brojenja unaz ad mo gsljedeće strategije:

1. Strategija um anjiva nja. O va se strategija sastoji u odb rojava nju umtelja od po če tne ve ličine . Ta ko će dijete izraču nati ko liko je 7 - 5 tadigne sedam prstiju i od njih odbroji 5.

2. Strategija uveć avanja. O vo m strategijom se zada tak 7 - 5 r ješava tase krene od manjeg broja i broje prsti dok se ne stigne do većeg bDijete digne pet prstiju i zatim još odbrojava: "6, 7", te konstatira: mi trebaju još 2 prsta".

3. Izborna strategija. Izborna strategija zapravo znači da dijete, ovisprirodi zadatka, izabire jednu od dvije gore opisane strategije, ovi

18


29/100


tome koji postupak zahti jeva manji broj odbrojavanja. Tako će za zada7 - 2 upo trijebiti strategiju um anjiv anja, a za zad ata k 7 - 5 strategi

uvećavanja .4. Strategija dosjećanja pri l iko m koje se od m ah do zov e informa cija po h

njena u dug oroč nom pam ćenju.

Većina autora se slaže da početno vježbanje s različi t im oblicimodbrojav anja una zad i unap rijed bitno prido nosi razum ijevanju zbrajanjodu zim anja ka o suprotnih operacija (Nu nes i Bry ant, 1996.) .

Istraživanja su pokazala da se većina djece do 9 godina najčešće pzbrajanju služi strategijama pribrojavanja m anjeg broja, a pri odu zim aizbornom strategijom. Pritom se pokazalo da te strategije ovise o poznavaključnih načela po vez anih s nač elom reverz ibilnosti . Strategija pribrojavm anjeg ovisi o shvaća nju ad it ivne kom poz icije broja i nač ela ko m uta tivsti, dok izborn a strategija ovisi o prepo znav anju ko m ple m en tarn os ti zbranja i oduzim anja. O ba načela m og u se podv est i pod opću logičku she

odnosa dijelova i cjeline.Većini djece su ove strategije pri ulasku u školu dostupne, što zna

da ih rabe spontano i l i ih mogu bez većih poteškoća primijenit i kad ih seto upo zori (Asch kraft , 1990.) . Zn atnu po m oć u pred očav anju takvih z ada tpruža uporaba prsti ju pri računanju. No, prve teškoće u računanju javljajuveć kad se počinje radit i s pribrojnicim a v ećim od 5. N aim e, kad dijete trpribrojiti 7 i 2, ne može se uvijek lako odlučiti kako će pomoću prst

prikazati broj 7 koji nadmašuje prste jedne ruke, te kako će mu zatim pbroji t i 2. Upravo kad naiđe na takve teškoće valja imati u pripremi konktan materi jal , popu t temeljnih kock ica, koji će omog ućit i da se jed no sta vnlako prikaž u m atem atičk i zad aci koji uključuju rač unan je s broje vim a veod 10.

19


30/100

Vlahović-Š tet ić i Vizek V idović: Kladim se da može š. . .

2.5. Aktivnost i

1. Koliko stane u ruku?

G R A D IV O : Usporedb a količ ina i početno mjerenje

UZRAST: Predškolska dob (predznanje o brojenju)

SV R H A : Raz voj m atem atičkog jezika i razumijevanje mjerenja

BROJ DJECE: Vrtićka grupa (do 10 djece)

PRIBOR: Parovi dlanova izrezani iz raznobojnog papira (različite bsva ko dijete) i jed an par za odga jateljicu (slika je u pril og u vjeDvije kuti je s ko ck ica m a različite boje. Ko ck ice su rasp ore đe neda u jedn oj kuti j i ima 40 pojedina čnih koc kica, a u drugoj su kutijjene u parove (20 parova).

UPUTE: Svako dijete dobije svoj par dlanova od papira. Djeci se kazamisle kako su kockice različite vrste bombona. Iz prve kutije

jatelj ica zagrabi jednom rukom što više može kockica i stavi ih npapirnat i dlan. Djeca prebrojavaju kol iko je kockica (bombučitelj ica izvadila. Zatim moraju pogoditi koliko kockica će izdrugom rukom iz iste kuti je. Svoje predviđanje trebaju obrazlZatim odgajatelj ica zagrabi kockice iz druge kutije i stavi ih na papirnati dlan. Djecu pita: "Kojom rukom sam izvadila više b o n a ? " Djeca prebrojavaju "b om bo ne " na jed no m i dru gom dlanu

Kockice se vrate u odgovarajuću kutiju i zatim svako dijete pvl ja postupak. Najpri je vadi manje bombone (pojedinačne kockstavlja ih na svoj papirnati dlan, prebrojava ih i vraća u kutiju. predviđa koliko će izvaditi drugom rukom iz iste kuti je i to čini .obrazložit i svoje predviđanje. Kockice ostaju na papirnatom dlan

Ka d su sva djeca obav ila prvi dio aktivnosti prilazi se vađe nju bona iz druge kutije. Dijete vadi iz druge kutije, stavlja na papdlan, prebrojava ih i uspoređuje na kojem je dlanu više.

Dječja obrazloženja o tome koliko će bombona zagrabiti pokazrazumijevanje odnosa "što manja jedinica (predmet) to više stadlan (količina)" (odnosno što veći dlan to više bombona stane u n

20


31/100


VARIJACIJE ZADATKA: Djeca mogu uspoređ iva t i ko l iko su bomboizvadi la l i jevom i l i des no m rukom , odn osno u dru go m pokušaju kol i

većih i manjih bombona, tako da ih poredaju u dva paralelna nizauoče pojam "razl ike" kao važan element oduzimanja.

U istu kuti ju se mogu pomiješati veći i manji bomboni i zatimuspoređivat i kol iko se izvadi lo l i jevom i desnom rukom.

21


32/100

Vlahović-Š tet ić i Vizek Vidov ić: Kladim se da mož eš.


33/100


2 . Brojimo bubamare

GRADIVO: Usporedba kol ič ina (pojmovi "v iše" , "manje" , " jednako")UZRAST: Predškolska dob (predznanje o brojenju)

SV RH A: Razvoj matem at ičkog jez ika i razumijevanje o dnosa medu brovima

BROJ DJECE: Vrt ićka grupa (do 10 djece)

PRIBOR: Iz tkanine i l i krep-papira (veličine A-4) izrezani raznobojni l ist(po jedan za svako dijete i odgajatelj icu, sl ika je u prilogu vježbeSv ak o dijete dobije uz svoj l ist i šest poje dina čnih ko ck ica iste boje. su njegove bubamare.

UPUTE: Svako dijete (i odgajatelj ica) stavi svoje bubamare na svoj l iDjeca provjeravaju koliko se bubamara nalazi na l istu. Svi se trebauvjerit i da imaju ist i broj bubamara.

Za tim od gajatelj ica stavi dvije bu ba m are isp od l ista i pita djecmogu li reći koliko je bubamara ispod l ista?

Nakon toga djeca potajno sakriju koliko žele svojih bubamara ispolista. Grupa treba za svako dijete pogoditi koliko se bubamara sakriispod l ista. Svoje odgovore trebaju obrazložit i .

Na temelju te aktivnosti djeca će steći znanje o brojanju do 6, trazumijevanje adit ivne kompozicije broja 6.

VARIJACIJE ZADATKA: Djeca mogu i s t raž i t i na koje se sve nač ine še

bubamara može rasporediti na l istu i ispod njega.Broj buba m ara s koj ima se barata mož e se pov ećav at i (dok s tanu n

list).

23


34/100

4


35/100


3 . Tražimo piliće

GRADIVO: Usporedba kol ič ina , početno zbra janjeUZRAST: Predškolska dob (predznanje o brojenju, načelo kardinalnos

konzervaci je broja)

SVRHA: Razvoj matematičkog jezika, razumijevanje odnosa zbrajanjoduzimanja


PR IB O R: Iz tkanine i li krep-pa pira načini se m ode l kokoši s pok retn im kma (slika kokoši je u prilogu vježbe). Pet žutih kockica predstavlja pilića.

UPUTE: Najprije djeca glasno prebroje pil iće. Odgajatelj ica zakloni t i jekokoš i stavi tr i kockice pod jedno krilo i tr i pod drugo. Pokaže djpil iće ispod jednog krila i pita ih koliko pil ića ima ispod drugog kri

Sada svako dijete zaklonjeno od drugih raspoređuje pil iće po

jedno i drugo krilo. Dijete koje ih je sakrilo pokazuje koliko pil ića iispod jednog krila, a ostali moraju pogađati koliko ih ima ispod dgog-

Dijete koja pogađa mora obrazložit i svoj odgovor.

V A RI JA CI JE ZA D A T K A : Bro j p i l ića s ko j ima se ba ra ta m ož e povećavat i .

25


36/100


37/100


4. Slažemo jaja

G R A D IV O : Razvrs tavanje i komb ini ranje , graf ičko predočavanje

UZRAST: Predškolska dob (predznanje brojenja)

SVRHA: Razvoj matemat ičkog jez ika , uočavanje obrazaca i nače la kobiniranja, sustavan pristup razvrstavanju


PR IB O R : S vak o dijete dobije kutiju za jaja sa 6 ud ub ina i 2 ko ck ice kpredstavljaju jaja, olovku i l ist papira s nekoliko shematski nacrtankutija za jaja (slika u prilogu vježbe).

U PU T E : Najprije se od djece zatraži da je dn o jaje stave u kutiju. Posta vim se pitanje: "Na koliko različit ih načina možeš jedno jaje stavit i kut i ju?". Raspravi te kako su pronašl i na kol iko razl ič i t ih načina mospremiti jedno jaje u kuti ju.

Zatim uzmite dvije kockice i pitajte na koliko se različit ih načinm og u d va jaja stavit i u kuti ju. N a pap iru neka nacrtaju sv oje pok ušaHoće l i bit i više i l i manje načina ako se uporabe dva jaja?

VA RI JA CIJ E ZA D A T K A : Kombini ranje s tri j aja; kombini ranje s draznobojna jaja.

27


38/100


5. Izabiremo bombone

GRADIVO: Usporedba kol ič ina, početno zbrajanjeU ZR A ST : Predškolska dob (predznanje o razvrstavanju, prepoz na

zajedničkih svojstava)

SVRHA: Razvoj matematičkog jezika, uočavanje obrazaca i načela fikacije

BROJ DJECE: Vrtićka grupa (do 10 djece)

PRIBOR: Jedan veliki papirnati tanjur i za svako dijete mali papirnati t10 puta po 4 istobojne koc kice koje predstavljaju bo m bo ne .

UPUTE: Najprije odgajatelj ica odabere iz velikog tanjura 4 crvene kostavi ih na svoj tanjur. Zatim djeca trebaju opisati taj skup.

Djeca naizmjence uzimaju po 4 kockice i opisuju kako su odabaš takav skup.

VA RIJ AC IJE ZA D A TK A : Bom boni se mog u sas tav it i i od dvije ko

istih ili različitih boja, tako da se kockice mogu odabirati prrazliči tim nače lima (manje i veće , jedn obo jne, raz nob ojne i td.)

28


39/100


40/100


41/100


8. Zbrajamo do 20

GRADIVO: Zbra janje

R A ZR ED : P rv i

SVRHA: Uvježbavanje računanja napamet

BROJ DJECE: Skupine od po 4 djece

PR IB O R : Za sv ako dijete pod loga s 12 polja (3 x 4) u koja su upisa ni brod 1 do 12. Sv ako dijete dobije 12 ko ck ica jed ne boje.

Skupina zajednički dobije dvije kocke za igranje igre "Čovječeljuti se".

UPUTE: Djeca redom bacaju kocke. Svako di je te odjednom baca dkocke i izračuna zbroj . Na svojoj podlozi pokriva polje s t im brojem.Zatim na red dolazi sl jedeći igrač. Ako se dogodi da dijete pogrijna redu je drugo dijete.

Ako se neki zbroj ponovi , di je te čeka dok na njega ponovno d

red za bacanje. Pobjednik je dijete koje je prvo ispunilo svoju kartVARIJACIJA ZADATKA: Neka pol ja na kar t ic i mogu se oboj i t i , pa

pobjednik dijete koje prvo pokrije obojenu površinu.


42/100


9. Izgradimo zbrajanje

GRADIVO: Zbrajanje brojeva do 10RAZRED: P rv i

SV R H A : Raz um ijevanje zbrajanja - vizualizacija zbrajanja kro z rad s kcama

B R O J UČ EN IK A : Svaki učenik radi pojedinačno - m ože is tovreme no razred i l i samo jedna skupina

PRIBOR: 30 temeljnih kockica jedne boje i 30 kockica druge boje, pods 10 x 10 mjesta za kockice, tri numeričke rečenice (npr. 4 + 5 = ), pu ta po tri pra zna papirić a za rezultat (to je pribo r za svak og po jedučenika). (Slika prikazuje podlogu s točno poslaganim kockicamnumeričke izraze na koje još valja upisati odgovor).

UPUTA: Svaki učenik dobije svoju podlogu na koju mu treba složit i njetr i numeričke rečenice. Valja pripazit i da ima dovoljno mjesta za ganje kockica, t j . da jeda n red izm eđu složen ih kock ica ostaje praz

Uputa za djecu glasi: "Sad ćemo zbrajati Petrove i Anine bomboPetrovi bomboni su jedne, a Anini druge boje. Svatko od vas trebasvojoj podlozi pomoću kockica složit i Petrove i Anine bombone. Pbroj u zadatku predstavlja Petrove, a drugi Anine bombone. To monapraviti ovako - npr. ako je zadatak 2 + 3 to znači dvije kockice jeboje, za Petrove bombone, i do njih tr i kockice druge boje, za Anbombone (nacrtat i na ploči) . Kad složite neki zadatak prebroji te kkice i upišite rješenje zadatka na papirić. Taj papirić stavite na podliza zna ka = . Tak o napravite za svaki zadatak , a kad ste gotovi poz ome da pogledam kako ste to riješili ."

Kad su djeca gotova pokupite njihove numeričke izraze i dajte tr i nova zadatka (od nekog drugog učenika). Neka ovaj put sve slsami.

VARIJACIJE ZADATKA: Možete pr i redi t i zadatke s manj im i l i većimbrojnicima, ovisno o gradivu koje su djeca svladala.

Konstruirajte numeričke izraze koji pokazuju svojstvo zamjemjesta pribrojnika (5 + 3 = 8 i 3 + 5 = 8) (kom utativn ost) , pa nek a dprikažu te izraze pomoću kockica.

32


43/100


3 3


44/100


10. Pogađamo i mjerimo

GRADIVO: Mjerenje dužina i oduzimanjeRAZRED: Prvi i drugi

SV R H A : Upo znavanje s pojm om mjerenja, vježbanje oduzim anja

BROJ UČENIKA: Radi cijel i razred zajedno s učitelj icom

PR IB O R : Sva ki učenik dobije 50 kock ica i l ist za mjerenje i pog ađa njkockica varira s obzirom na veličinu predmeta koji će se mjerit i)

UPUTA: Učitelj ica priredi popis predmeta koje će učenici mjerit i . Timeti mogu biti olovka, prijateljeva cipela, pernica, visina i šudžbenika, ravnalo, šir ina naslona stolice, visina noge klupe, duvlastitog dlana i si.

Uč itelj čita pre dm ete s po pisa , a uče nici najprije upisuju naz iv meta koji trebaju izmjeriti , zatim pokušavaju procijeniti kolika mdužina u kockicama i to upisuju u odgovarajući stupac.

Nakon toga mjere zadani predmet slažući kockice u niz i zapizmjerenu dulj inu predmeta u sl jedeći stupac. Zatim izračunavajuliku između pogađane i izmjerene veličine i to upisuju u posljednpac (te razlike su veličine pogreške u procjeni, pa je svejedno dulj ina predmeta podcijenjena i l i precijenjena). Na koncu učenicijaju razlike. Pobjednik je onaj učenik koji ima najmanju sumu ra

VARIJACIJE ZADATKA: Možete mjer i t i predmete razl ič i t ih dul j ina

kratke ili vrlo duge. Raspravite s djecom kad više griješe i zašto.Možete radit i i u skupinama po 4 učenika, pa da djeca u sku

zajednički mjere.

34


45/100


LIST ZA POGAĐANJE I MJERENJE

Predmet mjerenja Pogađanje Mjerenje Razlika

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Zbroj

35


46/100


1 1 . Tko će prije do 100?

GRADIVO: Mjesne vri jednosti do 100 i zbrajanjeRAZRED: Drug i

S V R H A : Uvježb avanje zbrajanja i prenošenja desetica

BROJ DJECE: Skupine od po 4 djece

P R IB O R : Sva ko dijete dobija pod logu s mjesnim vrijednostim a za jed indesetice (dva stupca po deset polja). Kocka za igranje i žeton na koje s je dn e strane napisa no 1, a s drug e 10. De set kock ica cr ve ne bza desetice i 20 kockica zelene boje za jedinice.

UPUTA: Prvi igrač najpri je baci žeton, a zatim kocku. Broj na žetonukaz uje ra čun a li s jed inic am a ili des eticam a. Broj od 1 do 6 p oka zkoliko kockica mora uzeti .

Nap rimjer, ako se na žetonu pok aže 1, znači da m ora kock ice stljati na stupa c s jed inic am a. Zati m baci ko ck u na kojoj se po ka žeU zim a 6 zelenih kockica i pokr iva odgovara jući broj polja u stupcujedinice. Ako je, primjerice, tamo već 5 polja pokriveno, sa svojipo kr iva stupac do kraja. 10 zelenih kock ica mijenja za jed nu cr venstavlja je u stupac za desetice, a preostalu zelenu stavlja u stupajedinicama.

Pobjednik je onaj igrač koji prvi stigne do ili prede preko 100.

V A RI JA C IJE Z A D A T K A : Račun se svaki put m ože zapisat i i provjeripapiru tako da se zbroji stanje s novim brojem koji se pridodaje.

Učenici se mogu natjecati sami sa sobom, tako da igraju npr. 5 pi utvrde u kojoj im je igri trebao najmanji broj bacanja da postignu Međusobno mogu usporedi t i rezul ta te .

36


47/100


37


48/100

Vlahović-Štet ić i Vizek Vidović: Kladim se da možeš. . .

12. Skoči na razliku

GRADIVO: Oduzimanje bro jeva do 100

R A Z R E D : D r u g i

SVRHA: Vježbanje oduzimanja kroz igru

BROJ UČENIKA: Podi je l i te učenike u skupine po 4

PRIBOR: Svaki igrač dobije 20 kockica jedne boje (dakle 4 različi teko ckic a za skup inu), jed na podlog a s upis anim b rojev im a od 1 do(10 x 10), pap irna ta vrećic a s kar tica m a bro jeva o d 1 do 100 (izrih iz ka rto na i nap išite na svaku po jeda n broj od 1 do 100).

UPUTA: Prvi igrač izvuče iz vrećice dvi je kar t ice . Oduzme napamet broj od većeg. Na ko n što je to učinio stavi koc kicu svoje boje na logu tamo gdje je upisan broj jednak razlici (skoči na razliku). Ntoga vrati kart ice u vrećicu, promiješa ih i doda sl jedećem igračuje pogrešno izračunao mora povući svoju kockicu, a igrač kojsljedeći na redu i točno je izračunao može staviti svoju kockicu na

logu. A ko je broj na pod lozi već pok riven u pri jašnjim izvlače nigrač slaže svoju kockicu povrh nje.

Pobjednik je igrač koji ima pokrivena tr i polja u nizu (vodoraokomito i l i po dijagonali , a moguća je i vari janta tr i kockice jedndrugoj) .

VA RIJ AC IJE ZA D A T K A : Igra se m ože produži ti zah tjevom da pobjmora imati pet pokrivenih polja u nizu.

Oduzimanje se može izračunavat i i p ismeno.

Ista igra može se igrati i za zbrajanje, ali onda rabite samo kado 50.

38


49/100


13. Čarobni kvadrat

GRADIVO: Zbra jan je do 15

RAZRED: Prvi , drugi , t reći

SVRHA: Razumijevanje razl ič i t ih kombinaci ja pr ibrojnika u zbroju

BROJ UČENIKA: Male skupine do 4 učenika

PR IB OR : Sva ka skupina dobi je 45 kockica i dva lis ta s čarobn im kv ad ratokoji ima 3 x 3 polja ( jedan l ist veličine A-3 i drugi veličine A-4 ).

UPUTA: Zadatak učenika jes t da rasporede kocke po pol j ima čarobnokvadrata tako da se u svakom polju nalazi različi t broj kockica (od do 9), te da zbroj kockica u svakom stupcu i redu iznosi 15. Kockicraspoređuju na l istu veličine A-3, a odgovarajući rezultat upisuju nlist A-4.

N a kraju sku pine m eđu sob no provjeravaju i uspoređuju čaro bnekvadrate .

VARIJACIJE ZADATKA: Moguće je odmah s lož i t i raznobojne s tupce oddo 9 pa stupce raspoređivati u čarobni kvadrat .

3 9


50/100


40


51/100


1 4. Tko će prije do 1000?

G R A D IV O : M jesne vr i jednost i i zbrajanje do 1000

RAZRED: Treć i i če tvr t i

SV RH A : Razu mijeva nje m jesnih vri jednost i i "pren ošen ja" vr i jednost i zbrajanja

BROJ UČENIKA: Radi se u mal im skupinama po 4 do 5 učenika

PRIBOR: Svaki igrač dobi je 3 skupine po 20 kockica (svaka skupina odkockica različite je boje, pri čemu jedna boja predstavlja jedinicdruga desetice, a treća stotice), podlogu s mjesnim vrijednostima prilog u vježbe) i praz an l ist pap ira za pism en u provjeru . Sv ak a sk updjece do biv a i pap irnatu vreć icu s kar ticam a brojev a od 1 do 1(izrežite ih iz kartona i napišite na svaku po jedan broj od 1 do 100

U PU T A : Vrećica s kar t ica ma stavi se na sredinu s tola m eđu igrače. S vigrač izvlač i jed nu k artu, proč ita je i stavi odg ovara jući b roj koc kic asvoju podlogu s mjesnim vrijednostima. Karta se vrati u vrećicu

sljedeći igrač izvlači svoju kartu. Sljedeći put igrač pribraja izvučbroj na onaj već postojeći , al i to radi slažući kockice na podlogumjesnim vri jednost ima.

Kako se igra razvija bit će potrebno mijenjati deset jedinica zjed nu d eseticu , deset desetica za jed nu stoticu. A ko , prim jerice, igima na svojoj podlozi složeno 268 i izvuče broj 79, to znači da mo rat i obavi t i dva prenošenja . U kolon i s jedin icam a ima t će 17 je

nica (a treba imati sam o 9), pa će 10 jedin ica zam ijenit i je dn om desco m , a u stupcu s jed inic am a ostat će m u 7 ko ckic a. No , i u stupcudese t icam a ima već s loženo 13 kock ica i još jedn u koja je zam jekockica iz stupca jedinica. Stupac s deseticama je prepunjen, pa igrač zamijenit i 10 desetičnih kockica jednom stoticom. Stanje s tupcima izgleda ovako: 3 kockice jedne boje u s tupcu sa s tot icamakockice druge boje u stupcu s deseticama i 7 kockica treće bojestupcu s jedin icam a. Trenu tni broj koj im igrač raspo laže je 34

Pobjednik je igrač koji prvi postigne 1000 il i više.VARIJACIJE ZADATKA: U sv rhu p rov je re učen ic i mogu na p razno

papiru pismenim putem izračunat i rezul tat .

41


52/100


53/100

3.Kad podijelim imat ću više - kognitivni

aspekti množenja i dijeljenja

43


54/100


3 .1 . Ideje o množenju i di jel jenju

Ka d većin a djece uspješno svlada zbrajanje i odu zim anje zapopo uk a iz mn ože nja i dijel jenja. U obič ajena je za m isa o ka ko su m atem atič ke operacije logičan nastav ak pouk e o zbrajanju i od uzim anda za uspješn o usvajanje m nože nja i dijel jenja nisu po treb ne veće prou dječjem način u razmišljanja. Pouča van je mn ožen ja najčešće zapprikazom mno ženja kao skraćenog zbrajanja , t j . mn oženje je "uz aszbra jan je i s t ih pr ibro jn ika" . Ta ko je 4 x 3 u takvoj po uc i je dn3 + 3 + 3 + 3. Objašnjavanje dijel jenja po m oć u odu zim anja neš to je r je

Pojm ovi m nože nja i dijel jenja m og u se objašnjavati i na drnač ine, npr. dijel jenje k ao podjela na jed na ke dijelove i li po m oć u m no

No neke ideje o množenju i dijeljenju zajedničke su velikom bdjece i odraslih: ideja da množenje "povećava" i ideja da dijel jenje njuje".

Te su ideje pos ljedica po vez ivan ja mn ož en ja i zbrajanja, te dije

i oduzimanja. Relativno brzo i lako djeca nauče kako je množenje skzbrajanje. Ukoliko tu ideju razvijamo dalje to znači da ćemo množdobiti veći rezultat nego što su faktori koje smo pomnožili , jer i zbrajdo bije m o ve ći rezu ltat ne go što je broj od koje g sm o kre nu li (djecsvladala ove operacije u skupu prirodnih brojeva).

Ova ideja je prema Fischbeinu i suradnicima u suglasju s našim it ivnim shv aćanjem mn ože nja (Fischbein i sur., 198 5.) . On i su isp

dječji odabir matematičke operacije u problemskim zadacima, pri čedjeca trebala samo odabrati operaciju ali ne i računati . U zadacima p"Svako od troje djece ima po 4 naranče. Koliko imaju zajedno?", pro blem sem ož e riješiti k ao 4 + 4 + 4. Isto pravi lo m ož e se pren ijeti i na z ad atk"Svako od troje djece ima vrč s 2.8 litara soka. K oliko imaju zajedno?". Ovizadaci množenja mogu se bez ikakvih poteškoća tumači t i kao zadacijanja i većina djece to čini . Takva interpretacija u skladu je s našim "tivnim, intuit ivnim" razumijevanjem množenja kao skraćenog zbrajan

N o mn ožitelj i m nož enik m og u bit i razlo mc i il i dec ima lni brojevdodatno otežava r ješavanje zadatka. Zadaci u koj ima se rabe potpuno ki brojevi mogu bit i različi to teški. Tako je Greer (1992.) pokazao

44


55/100

Kad podijelim imat ću više

zadatak: "Raketa leti brzinom od 16 milja u sekundi. Koliko daleko je otputovala u 0.85 sekundi " teži od zad atka: "Raketa leti brzinom od 0.85 milja u

sekundi. Koliko daleko je otputovala u 16 sekundil". Iako je toč no rješenjeoba zadatka 16x0.85, u prvom zadatku mnoga djeca pretpostavl ja ju da točno rješenje dob iva dijeljenjem 1 6 :0 .8 5 . Na lazi istraživanja p oka zukako je veličina množitelja od presudne važnosti za težinu zadatka, dok množenik manje bi tan.

U prva četir i razreda osnovne škole još nema tako "teških" zadatakmeđutim već u petom razredu pojavljuju se decimalni brojevi. U situacijakoje zahti jevaju množenje s decimalnim brojevima djeca znatno češgriješe u odabiru točne operacije i u izvedbi algoritma, a situacija je još tuko liko je mn ožitelj d ecim alni broj manji od 1 a veći od 0. U slučaju takvmnožitelja umnožak će bit i manji od množenika (npr. 20 x 0.5 = 10). Rezuje u suprotnost i s uvri ježeno m idejom da mn oženje " po ve ća va " - nakmno ženja im am o manje nego u početku. Mn og a djeca ne uviđaju svopog rešk e pri mn ožen ju s brojem ma njim od 1, a ve ćim od 0 (0 < x < 1) ukliko dobiju rezultat veći od mno žen ika. Zb og ideje da je mno žen je skra će

zbrajanje on a i oče kuju ve ći broj.Fischbein i suradnici smatraju kako za dijel jenje postoje dva "primit

vna, intuit ivna" modela (Fischbein i sur. , 1985.) . Jedan nazivaju "podjelaon se odnosi na dijel jenje na jednake količine, npr. : "Ivan želi 10 jabukapodijeliti petorici svojih prijatelja. Koliko će dobiti svaki?". Dru gi m odel je"ra zm jern o" dijeljenje ko je govo ri kolik o se pod količ ina od ređ en e veličnalazi u zadanoj količini , npr. : "Koliko čaša od 2 dl tekućine treba da bi napunila posuda od 8 dl?". Kod podjele djeca, al i i odrasli ispitanici , imideju kako djeljenik mora biti veći od djelitelja. Situacija im je puno lakukoliko je djelitelj prirodni broj , a očekuju i da će količnik biti manji oddjeljenika (pogreška "dijeljenje smanjuje"), što naravno nije točno u slučavim a ka d je djelitelj broj izm eđ u 0 i 1. U zada cim a razm jern og dijeljenjavlja se očekivanje da djeljenik mora biti veći od djelitelja (pogreška "vse dijel i s manjim"). Fischbein i suradnici (1985.) drže kako je podjela ornalni intuitivni model dijeljenja, dok se razmjerni model usvaja kasnije k

školovanje.Sa sigurnošću se može tvrdit i kako djeca neke si tuacije množenja

dijel jenja upozn aju i pri je škole. M eđu tim njihovo iskustv o je ogra nič en ocijele brojeve, a i rano školsko poučavanje ograničava se na te slučajev

45


56/100

Vlahović-Š tet ić i Vizek V idović: Kladim se da može š. . .

Podrazumijevamo da će djeca "shvati t i" o čemu je ri ječ pa im ti jškolske po uke ne ukazu jemo k ako postoje slučajevi u koj im a m nož

dobivamo manje, a dijeljenjem više. U trenutku kad se poučava množdijeljenje d ecim aln im brojevim a m anjim a od 1, oče kuje m o da djeca miju pravi la i proced ure računanja. No , ne smatram o nužn im s d jraspraviti nove situacije i nova rješenja koja nisu u skladu s tzv. "intuitprimitivnim modelima" množenja i dijeljenja.

Na žalost , u poučavanju matematike premalo vremena posvećuraspravi o dječj im očekivanj ima i hipotezam a. Školsko gradivo usm jerna poučavanje postupaka uz pretpostavku da djeca razumiju i l i će kroz postupka sama shvat i t i pojmove o koj ima je r i ječ . Matematika je predkojem se tzv. procedu ralno i konc eptualno znanje isprepliću. Pro ced uznanje odnos i se na poznav anje m atem at ičko g pos tup ka , poz navpravilnog izvođenja algoritma. Većina djece uspješno će svladati posnužne u osnovnoškolskoj matematici . U početku će griješit i pri množdijeljenju višeznamenkastih i l i decimalnih brojeva. No takve pogrešuob ičajen e i razm jerno lako se uočava ju, te prim jereno m vježb om

vljaju.Međutim, postupak uvježban do savršenstva, dakle usvojeno pr

duralno znanje, još uvijek nije znak da dijete razumije matematički pokojem je riječ (npr. množenje ili dijeljenje). Pitanje je razumiju li djecate proc edu re i š to one stvarno predstavl ja ju? Ko ncep tualno znanje podmijeva povez an sustav poda taka (znanja) s jasnim m eđu sob nim odn oN ov o znanje il i nov i pojam se razum ijevanjem pov ezuju u posto jeći sBez konceptualnog znanja, t j . bez stvarnog razumijevanja pojmova, može znati izvesti proceduru (npr. pomnožiti i l i podijeli t i dva broja), alznati kad tu proceduru valja primijenit i (u kojim situacijama treba brpom nož i t i , a kad ih val ja podi jel it i ). U metod ičkim priruč nicim audžbenike matematike ist iče se kako je lakše djecu poučiti praviizvođenja postupaka nego razvi t i razumijevanje pojmova. No bez razuvanja matematičkih pojmova nema razumijevanja matematike. Procedi ko nc ep tua lno znan je se isprepliću, ali valja istaknuti važ nos t po uča

pojmova - bez njih su postupci samo znanja s kojima ne znamo što bzapočeli u stvarnom životu.

46


57/100

Kad podi je l im imat ću više

3.2 . Si tuaci je u zadacima množenja i d i je l jenja

Prije po uk e o m no žen ju i dijeljenju djeca su već svla da la zbrajan joduzimanje. Upoznala su si tuacije u kojima je bilo ri ječi o udruživanod no sno razdvajanju dva sku pa - jed an skup pridružio se il i izdvojio podskup iz drugog skupa i l i su se skupovi međusobno uspoređival i . sp om en ute si tuacije specifične su za zbrajanje i odu zim anje. Njihov o povanje nije jamstvo da su djeca spremna za pouku novih matematičoperacija. Iako se neke si tuacije množenja mogu prepoznati kao si tuazbrajanja, u m no žen ju i dijeljenju p ostoji čitav niz no vih , djeci n ep oz nsi tuacija i odnosa. Poučavan je pojmova (konceptua lnog znanja) p odra zujev a i po uča van je t ih situacija, a ne sam o pos tupa ka računanja.

Međutim, broj različi t ih si tuacija u zadacima množenja i dijel jenvrlo je velik i u psihologijskoj literaturi još ne postoji njihova jedinstvklasifikacija. U uporabi su razne klasifikacije zadataka (Greer, 199Nesher, 1992. ; Vergnaud, 1988.) , no za početno poučavanje matematike na m se najprikladnijom razm jerno jedn osta vn a klasifikacija koju daju N

i Bryant (1996.) . Njihova klasifikacija razlikuje tr i osnovne skupine si tukoje se javljaju u z ad ac im a:

1. pridruživanje "jedan prema više",2. is todobnu promjenu dviju veličina,3. podjelu i dijeljenje.

Ovdje je riječ o novim značenjima brojeva koje valja razumjeti da

se zad aci uspješno ri ješil i . No vi odno si su složeni i pod razum ijevaju pojanje ili razvoj nekih novih znanja.

Pridruživanje jedan prema više

Djeci je odnos "jedan prema jedan" poznat još iz brojenja, a kasnsu ga rabili pri rješavanju za da tak a zbrajanja i od uz im anj a. N o sadpojavljuje odnos "jedan prema više", npr. "jedan prema dva" (jedan dj

ima dva uha), "jedan prema četir i" ( jedan stol ima četir i noge), "jedan prsedam" (jedan kamion preveze sedam tona ugljena), i td. Pri tom je r i jediskon t inuiranim v ari jablama, t j . skupo vima koj i sadrže razdvo jene elem(matematički rečeno diskretnim elementima) .

47


58/100


U n ovim situacijama omjer p ridruživanja j e stalan (1 : x ). O nnepromjenlj iv i ako ga se želimo pridržavati svaki put kad npr. pove

broj stolova za jedan povećat ćemo broj nogu za četir i . Sad skupovimpridružujemo jednak broj elemenata kao što smo to radil i pri odpridruživa nja "jedan pre m a jed an ", već poštu jemo za dani om jer ("jprema četir i") .

N un es i Bry ant (1996.) nav od e kak o operacija koja održ ava omstalnim nije više pridruživanje i l i razdvajanje skupova već ponavljpreslikav anje skup a il i ponavljanju suprotna operacija (npr. ako iz s

stolova izdvojimo jedan stol iz skupa nogu moramo izdvojit i četir i nO m jer o staje stalan i kad se broj stolova i no gu m ijenja (3 stola i 12 no gstolova i 40 no gu.. .) , jer on ne opisuje broj elem ena ta u skup ov im a,odnos medu skupovima.

U pridruživanju " jedan pre m a vi še " uvo di se još jed an nov i poja- broj koliko puta je izvršen a operacija ponavljanja (preslikavanja) skuAko je r i ječ o stolovima i nogama, u početku imamo jedan stol i četir i

Ako početno stanje ponovimo 5 puta imat ćemo 5 stolova i 20 nogu, prije 5 broj ponavljanja skupova. Da bi omjer elemenata ostao stalan, istponavljanja valja primjeniti na oba skupa.

Ta ko razum ijevanje pridruživanja "jeda n pre m a viš e" zahti jevadjece razumijevanje dva nova značenja brojeva: značenje omjera i znabroja koji definira količinu ponavljanja skupova.

Istodobna promjena dviju veličina

Sasvim nove odnose i nova značenja brojeva možemo naći u s i tuja m a u kojim a je ri ječ o istodobn oj promjeni dviju veličina (kov ariranjujabli) . Dvije varijable mogu kovarirati kao posljedica dogovora i l i uzroč no-p osljedič nih odn osa. Uko liko je ri ječ o dog ovo ru on m ož ena kn ad no promijenjen, ali dok vrijedi do gov or vri jedi i način istodpromjene dviju veličina. Primjer dogovorne istodobne promjene je c

nek og pro izvo da (npr. ako je cijena 1 kg šećera 6 kn o nd a je cijena šećera 18 kn). Uzročno-posljedična istodobna promjena znači da jprom jenlj iva veličina utječe na drugu (npr. ako 10 kg tereta istegn e op10 cm onda će je 20 kg istegnuti 20 cm).

48


59/100


Pri istodobnoj promjeni r i ječ je o kontinuiranim varijablama, a ne diskont inuiranim elementima u skupovima. Ta činjenica omogućava po

vljivanje novog pojma - razlomka. Moguće je zapitati koliko stoji 1/2 šećera ili koliko će oprugu istegnuti za 1/4 lakši teret. Kad smo govorilidiskont inuiranim elementima takva pi tanja baš nisu imala puno smisPrimjerice, nije smisleno zapitati koliko nogu ima 1/5 stola i l i koliko tougljena mogu prevesti 4 1/2 kamiona.

Neki zadaci kovariranja mogu se svesti na pridruživanje "jedaprem a više" . Presl ikavanjem elem enata mo gu će je r iješi ti zadatak: "Ako 1 kgšećera stoji 6 kn, koliko stoji 5 kg šećera?". No , ako zadatak glasi : "Ako 1 kgšećera stoji 6 kn, koliko stoji 0.72 kg šećera?" nije ga m og uć e ri ješiti pres likava njem (ponavl janjem) e lem enata iz zadan ih skupov a. U takvim zad acpojavljuju se brojev i s no vim znač enjem , a to je cijena po jed inici mje(cijena šećera po kilo gra m u). Be z razum ijevanja znače nja te jed inič ne cijdijete ne može odgovorit i na pitanje: "Je li isplativije kupiti 5.5 kg šećera pocijeni od 31.9 kn ili 6.2 kg šećera po cijeni od 35.34 kn?".

Raz um ijevanje z adatak a s is todobn om prom jeno m vel ičina od djetta zahti jeva razumijevanje ideje razlomka, odnosno dijelova cjeline, karazumijevanje značenja broja koji govori o odnosu između dvije varijabl

Podjela i dijeljenje

Tr eć a sku pina si tuacija odn osi se na dijeljenje. M no ga djeca imajiskustv a s pod jelom , n pr. ka ko podijelit i bo m bo ne seb i i pri jatelj ima, a

pr i tom svatko dobi je jednak broj bombona. Nunes i Bryant (1996.) kažuodrasli mogu tu si tuaciju vidjeti kao pridruživanje "jedan prema više", al ije djeca vide ka o po se bn u situaciju dijeljenja.

Naime, dvije su specifičnosti ove situacije. Kao prvo, r i ječ je raspodjeli koja se do ga đa u ov om trenu tku i nije una prijed po zn at ompridruživanja. Drugo važno obilježje si tuacije dijeljenja jest da valja istodno voditi računa o tr i varijable koje su u igri: ukupnom broju bombona, brdjece i broju bombona po djetetu. Jednostavna situacija podjele postaje prs i tuaci ja di je l jenja kad djeca shvate međusobnu povezanost navedenih vjabli . Ta ko djeca moraju razum jeti da ako je broj bo m bo na stalan, a m ijese broj djece (npr. raste) nu žn o se mijenja i broj bo m bo na p o djetetu (op aIsto tako, ako je broj djece stalan, a mijenja se broj slatkiša (npr. rast

49


60/100


tak ođ er se m ijenja i broj slatkiša po djetetu (ras te).

O va kv o dijeljenje m og uć e je izvoditi i s ko ličin am a koje zahtijerazu m ijevan je brojeva m anjih od 1, tj . u situacijam a dijeljenja č esto sevljuju i raz lom ci ("Četiri prijatelja trebaju podijeliti 10 čo ko lad a. Ko lidobit i svaki?").

Ra zm isli te l i po no vn o o pojm ov im a m noženja i di jel jenja vjerojvam se sve čini mnogo složenije nego u početku. Učitelji najbolje znase djecu može naučiti postupcima množenja i dijeljenja, ali može li poučiti svim tim složenim situacijama o kojima je bilo riječi i ima li tola? Ako tvrdimo da djeca trebaju razumjeti pojmove (konceptualno zna ne samo postupke (proceduralno znanje) onda takva pouka ima smiszahtjevi koje nove situacije postavljaju pred djecu složeni su i s pravopita m o mo gu li ih djeca raz um jeti i u kojoj dob i? T raž im o li, m ož da opreviše ili/i prerano?

3.3. Razumiju li djeca o čemu je ri ječ?

Piag et je sma trao da opera cije mn ože nja i dijeljenja preds tavlkvalitativnu promjenu u dječjem mišljenju. Ispitivanja su pokazala da razumijevanje ovih pojmova nije nužno nastavak razumijevanja zbrajaoduzimanja. Naime, već u dobi od 5 godina djeca razumiju si tuacije privanja "jedan prema više" (Piaget, prema Nunes i Bryant, 1996.) .

Slične rezultate iznose Frydman i Bryant (1988.) . U njihovom isvanju četvero god išnjac i i petog odišn jaci dijelili su zam išljene ko lač iće kice) dvjema lutkama. Ukoliko je kolačić bio predstavljen jednom kocdjeca su bez poteškoća pridruživanjem "jedan prema jedan" raspodijel ikolačiće. Nakon toga rečeno im je kako jedna lutka voli dobivati kolsložene kao dvije kockice jedna na drugoj, a druga voli dobivati kolačobliku jedne kockice. Zadatak je opet bio podijeliti jednak broj slatkišama lutkama. Ovakav zadatak uspješno je r i ješi lo 70 % petogodišnjaka, al i

sam o 4 % četverogodišnjaka. N aim e, četverogodišnjaci su istodobn o jlutki davali po dvije složene kockice, a drugoj lutki samo po jednu koKako bi ispitali zbog čega djeca griješe, Frydman i Bryant organiziradodatno ispitivanje. Dječji zadaci bili su jednaki kao u prethodnom i

50


61/100

Kad podijel im imat ću više

vanju, a li je između nj ih um etnu t novi zadatak. U um etn uto m za datku uvdene su kockice različi te boje (žute i plave). Djeci je rečeno kako jedna lu

voli kolačiće složene kao dvije kockice jedna na drugoj, al i tako da jedkockica bude žuta, a druga plava. Za drugu lutku rečeno je da voli kolaču obliku jedne kockice. U tom zadatku djeca su bila uspješna, t j . kad bi jnoj lutki dala slatkiš složen od žute i plave kockice drugoj lutki bi dala jed nu žutu i jed nu p lavu ko ckic u. Ist i način raspodjele djeca su rabila iponov l jenom zadatku s jednob ojn im kockicam a i s lakoć om svladazadatak. Autori zakl jučuju kako petogodišnjaci spontano, a četverogdišnjaci nakon male intervenci je razumiju pr idruživanje " jedan prema višNo to još uvijek ne znači da su sposobni r i ješi t i zadatke s brojevima.

Rezultati ispit ivanja pokazuju da su tek s 8 do 9 godina djeca spremna izvesti pridruživanje "jedan prema više" u zadacima u kojima se trabrojčani odgovor. Pri tom uspješnost r ješavanja ovisi o vrsti zadatka i dotupnim po m aga l ima . Bryan t i suradnici (prem a N une s i Bry ant , 1996zadaval i su skupini osm ogod išnjaka i skupini devetogodišnjaka dvi je v rzada taka mn oženja . Jedn u vrstu predstavlja l i su jedno stavn i zadaci pr idru

vanja "jedan prema više" (npr. : "Jedan kamion preveze 4 tone ugljena.Koliko prevezu 3 takva kamiona?"), a drugu vrstu složenij i zad aci koji predstavljaju tzv. Kartezijev produkt (npr: "Djevo jčica ima 4 bluze i 3 suknje. Nakoliko različitih načina se može odjenu ti?"). Pri r ješavanju zad atak a djeca surabi la kockice . U polovici zadataka bi le su im dostupne sve koc kice potreza rješavanje zadataka, a u drugoj polovici samo kockice nužne da se zadapostavi, a do rješenja su morala doći računanjem. Rezultati pokazuju da devetogo dišnjaci uspješni j i od osm ogodišnjaka , a jedn ostav ni zadaci lakbez obzira na dostupna pomagala . U teškim zadacima (Kartezi jev produdjeca imaju više uspjeha ukoliko su im dostupne sve potrebne kockice,osmogodišnjaci ni ne mogu ri ješit i ove zadatke bez svih kockica. Oni kojiKartezijev produkt tumačili kao pridruživanje "jedan prema više" bil i uspješniji, ali autori sugeriraju kako djeca moraju sama otkriti taj odnos.

Ispit ivanja pokazuju da djeca razmjerno rano, u dobi od 6 do 7 godna, razu m iju i situacije podjele i dijeljenja. Dje ca su u stanju pred vid jeti kće u situaciji u kojoj je više zečića na zabavi svaki zečić dobiti manje hrnego ako je uz istu količinu hrane prisutno manje zečića (Correa, premN un es i Bry ant, 19 96.) . Pou čav anje rješavanja zad atak a sa si tua cijamdijeljenja valja po ve ziv ati s dječjim isk us tvo m , pa će djeca biti u spje šnija

51


62/100

Vlahović-Šletić i Vizek Vidović: Kladim se da možeš.. .

Zadatke kovariranja koji se mogu predstavit i kao pridruživ"jedan prema više" mogu uspješno ri ješit i i djeca mlada od 10 godina.

Međutim, ukoliko je za rješenje nužno razumjeti funkcionalan odnoscijenu po jedinici proizvoda) takvi su zadaci djeci teški i mlađa djecamogu riješiti . No, kao i u situacijama dijeljenja, djeca su uspješnija zadaci odnose na njihovo stvarno životno iskustvo (Baranes i sur. , Saxe, 1988.) .

Možemo zaključit i kako djeca razmjerno rano (u dobi od 4 do 5ina) razum iju pridruživanje "jedan prem a više", ali su za rješavanje za

spremna tek kasnije. Gotovo isto tako rano djeca razumiju o čemu je u situacijama dijeljenja, ali, naravno, ne mogu još računati. Najterazumljive si tuacije istodobne promjene dviju veličina, pogotovo akomogu svesti na djeci dostupno pridruživanje "jedan prema više". Njihmogu uspješno rješavati tek u višim razredima osnovne škole.

Prije rješavanja zad atak a valjalo bi s djec om raspra vljati o od nou zadacima, posebno kad je r i ječ o teškim zadacima. Dostupnost pom

ma terijala (npr. kock ica) olakšava razum ijevanje i r ješavanje z ada tanakon uvježbavanja može se radit i i sa djelomičnim materi jalom, t j . mjalom dostatnim da se zadatak samo postavi.

52


63/100


64/100


54


65/100


2. Pomnoži po redu

G R A D IV O : M noženje s fak tor ima do 6

R A Z R E D : D r u g i

SVRHA: Uvježbavanje množenja i zbrajanja

BROJ UČENIKA: Podijel i te učenike u male skupine od po 4 djeteta

PRIBOR: Za svaku skupinu učenika jedna kocka iz igre "Čovječe ne l jse". Po jedan bijeli papir za svakog učenika na koji će upisati izraze

lx =2x =3x =4x =5x =

UPUTA: Djeca redom bacaju kockicu. Pr i tom broj koj i su dobi la bacankockice upisuju uz redni broj bacanja i izračunaju umnožak. Tako

dijete koje je prvi put bacilo kockicu i dobilo npr. 4 upisati u izr1 x 4 = 4. Na ko n toga kockicu baca s l jedeći igrač. Ka d je pon ov no redu prvi igrač on baca kockicu i dobiveni broj (npr. 6) upisuje udrugo bacanje: 2 x 6 = 1 2 . Nak on što sv i igrač i završe svojih 5 bacanizračunati umnošci se zbroje i pobjednik je onaj igrač koji ima najvrezultat.

VARIJACIJE ZADATKA: Moguće je da d i je te pr i svakom bacanju s lobno odluči uz koji broj će upisati broj dobiven bacanjem (tako ako niz prv og b acanja dobije 6 m ož e odlučit i taj broj upisati uz faktor 5 k abi dobilo što bolj i konačni rezultat) . Naravno svaki put mora dobivebroj upis ati uz je da n od brojev a od 1 do 5.

Moguće je izvodi t i 5 puta po dva bacanja u koj ima val ja međusb

Documents

Kladim Se Da Mozes