Tartalomjegyzék

1. Műveletek valós számokkal ................................ 1 1.1. Gyökök és hatványozás ................................................................ 1 1.1.1. Hatványozás ............................................................................... 1 1.1.2. Gyökök ...................................................................................... 1 1.2. Azonosságok ................................................................................. 2 1.3. Egyenlőtlenségek .......................................................................... 3

2. Függvények .......................................................... 5 2.1. A függvény fogalma ..................................................................... 5 2.2. Injektív, szürjektív függvények .................................................... 6 2.3. Függvények összetétele ................................................................ 7 2.4. Inverz függvény ............................................................................ 7

3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek ........... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek ..................................................................... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke ........................................................ 10

4. Másodfokú függvény ......................................... 11

5. Komplex számok ............................................... 13 5.1. Algebrai alak ............................................................................... 13 5.2. Az i hatványai ............................................................................. 14 5.3. A z konjugáltja ............................................................................ 14 5.4. Komplex szám abszolút értéke ................................................... 15 5.5. Trigonometriai alak .................................................................... 16 5.6. Moivre-képlet ............................................................................. 17 5.7. Exponenciális alak ...................................................................... 17 5.8. Binom egyenlet ........................................................................... 18

6. Haladványok ...................................................... 18 6.1. Számtani sorozatok ..................................................................... 18 6.2. Mértani sorozatok ....................................................................... 19 6.2.1. Egy alkalmazás ........................................................................ 20

7. Logaritmusok ..................................................... 21 7.1. Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek ......................... 23 7.2. Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek ................... ........................................................................................................... 24

8. Mértan ................................................................ 24 8.1. Vektorok ..................................................................................... 24 8.1.1. Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek ................. 30 8.2. Analitikus mértan térben, síkban ................................................ 34 8.2.1. Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete . 35 8.2.2. Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete . 36 8.2.3. A sík tengelymetszetes egyenlete ............................................ 37 8.2.4. A sík általános egyenlete ......................................................... 38 8.2.5. A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei .. 38

8.3. Egyenesek egyenletei ...................................... 39 8.3.1. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete ... 41 8.3.2. Az egyenes általános egyenlete ............................................... 41 8.3.3. Síkbeli egyenesek egyenletei ................................................... 41 8.3.4. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete ... 42 8.3.5. Két térbeli egyenes szöge ........................................................ 43 8.4. Pont távolsága egyenestől (síkban) ............................................ 44 8.4.1. Szögfelezők egyenletei (síkban) .............................................. 44 8.5. Pont távolsága egyenestől (térben) ............................................. 45 8.6. A kör ........................................................................................... 46 8.7. Az ellipszis ................................................................................. 46

9. A hiperbola ........................................................ 47 9.1. Parabola ...................................................................................... 48 9.2. Skaláris szorzat további alkalmazásai ........................................ 49

10. A matematikai indukció módszere ................. 50 10.1. A Peano-féle axiómák .............................................................. 50 10.2. A matematikai indukció módszere ........................................... 51 10.3. A matematikai indukció módszerének egy változata ............... 51

11. Kombinatorika ................................................ 52 11.1. Permutációk .............................................................................. 52

11.2. Variációk................................................................................... 52 11.3. Kombinációk ............................................................................ 53 11.4. Newton binomiális képlete ....................................................... 54 11.5. Azonos hatványösszegek .......................................................... 55

12. Polinomok ........................................................ 56 12.1. Egy polinom algebrai alakja ..................................................... 56 12.2. Polinomok oszthatósága ........................................................... 56 12.3. Irreducibilis polinomok ............................................................ 57 12.4. Polinomok gyökei ..................................................................... 58 12.5. Algebrai egyenletek .................................................................. 59 12.6. Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak ................. 59

13. Permutációk, mátrixok és determinánsok ..... 60 13.1. Permutációk .............................................................................. 60 13.2. Mátrixok ................................................................................... 61 13.3. Műveletek mátrixokkal ............................................................. 62 13.4. Determinánsok .......................................................................... 64 13.5. Mátrix inverse ........................................................................... 65 13.5.1. A mátrix nyoma, Tr(A) .......................................................... 66 13.6. További képletek ...................................................................... 66

14. Lineáris rendszerek ......................................... 68 14.1. Jelölések .................................................................................... 68 14.2. Összeférhetőség ........................................................................ 68

15. Trigonometria .................................................. 69 15.1. Trigonometriai képletek ........................................................... 69 15.2. Trigonometria alkalmazása a mértanban .................................. 72

16. Matematikai analízis ....................................... 75 16.1. Rekurziók .................................................................................. 75 16.1.1. Elsőrendű rekurziók ............................................................... 75 16.1.2. Másodrendű rekurziók ........................................................... 75 16.2. Sorozatok határértéke ............................................................... 75 16.2.1. Általános határértékek, konvergencia kritériumok ............... 77 16.3. Függvényhatárértékek .............................................................. 81 16.3.1. Műveletek függvényhatárértékekkel ..................................... 82 16.4. Alaphatárértékek ....................................................................... 82

16.5. Függvények folytonossága ....................................................... 84 16.5.1. Folytonosságra vonatkozó tételek ......................................... 85 16.6. Deriválható függvények ........................................................... 87 16.6.1. Derivált értelmezése egy pontban ......................................... 87 16.6.2. Deriválási szabályok .............................................................. 88 16.6.3. Néhány függvény deriváltja .................................................. 89 16.6.4. Összetett függvény deriváltja ................................................ 90 16.6.5. Magasabbrendű deriváltak ..................................................... 91 16.6.6. Deriválható függvények tulajdonságai .................................. 92 16.7. Integrálok .................................................................................. 93 16.7.1. Határozatlan integrálok ......................................................... 93

17. Primitiválhatósága ........................................... 93 17.1. Racionális függvények primitívje............................................. 93 17.2. Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x2 + a2)1/2 .................. 96 17.3. Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x2 – a2)1/2 .................. 98 17.4. Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a2

– x2)1/2 ..................... 99

17.5. Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax2 + bx + c)1/2 ...... 100

17.6. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák ... 101 17.7. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák .. 102 17.8. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák ... 103 17.9. Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t .. 103 17.10. Logaritmikus integrálok ....................................................... 104 17.10.1. A határozott integrál tulajdonságai .................................... 105 17.10.2. Integrálok additivitása intervallumokon ............................ 106 17.10.3. Fundamentális tétel (Alaptétel) ......................................... 106 17.10.4. Egyenlőtlenségek ............................................................... 107 17.11. Más tételek ............................................................................ 110 17.11.1. Primitiválható függvények ................................................ 110 17.11.2. Integrálható függvények .................................................... 111

18. Algebrai struktúrák ...................................... 111 18.1. Csoportok ................................................................................ 111 18.1.1. Tulajdonságok és nevezetes tételek ..................................... 112 18.2. Monoidok ................................................................................ 114 18.3. Gyűrűk .................................................................................... 115 18.4. Testek ...................................................................................... 117 18.5. Vektorterek ............................................................................. 118

1 Muveletek valós számokkal

1.1 Gyökök és hatványozás

1.1.1 Hatványozás

1. am·n = am · an

2. am · bm = (a · b)m

3. am : an

= am−n

4. am : bm

= (a : b)m

5. a−m =1

am

6. (am

)n

= amn.

A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, ir-racionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével.Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonsá-gokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok.

1.1.2 GyökökAz alábbi képletekben értelemszerűen az n,m ≥ 2, vala-mint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre azadott kifejezéseknek van értelme:

1. n√a = a

1n , a > 0;

2. n

√1

a=

1n√a

= a− 1n ;

3. ( n√a)n

= a;4. n√a · n√b =

n√ab;

5.

(n

√1

a

)n=

1

a;

1

6. n√a · n√b · n√c =

n√abc;

7. n√a :

n√b = n

√a

b;

8. m√a · n√a =

nm√an+m;

9. m√a : n√a =

nm√an−m;

10. n√anm = a

m;11. m√

an = anm ;

12. mn√amp =

n√ap;

13. m√ap · n

√bq =

nm√apn · bqm;

14. m√

n√a = nm

√a;

15.√a2 = |a|;

16. 2n+1√−a = − 2n+1√a;

17.√a±√b =

√a+ c

2±√a− c

2ahol a c

2= a

2 − b

egynlőségből határozzuk meg a c értékét.

Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egysz-

erűbb alakra√

3 +√

8 kifejezést. Ebben az esetben ne-héz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni,ezért folyamodunk a fenti képlethez: c2 = 3

2 − 8 = 1,tehát √

3 +√

8 =

√3 + 1

2+

√3− 1

2=√

2 + 1.

1.2 AzonosságokBármely x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R és n ∈ N esetén:

1. a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

2. (a2

+ b2)(x

2+ y

2) = (ax− by)

2+ (ay + bx)

2

2

8.2.1 Egy pont és két nem párhuzamos irányáltal meghatározott sík egyenlete

Tekintjük az A(x0, y0, z0) ∈ S rögzített pontot és a

~d1(p1, q1, r1)

~d2(p2, q2, r2) ∈ V

egymással nem párhuzamos vektorokat.Jelölje a és b a ~d1 illetve a ~d2vektorok tartóegyene-

seit. Ekkor létezik egy és csakis egy a′ egyenes úgy, hogya ‖ a′, A ∈ a′ és létezik egy és csakis egy b′ egyenes úgy,hogy b ‖ b′, A ∈ b

′. Ekkor dir a′ = dir ~d1 és dir b′ =

dir ~d2. Mivel a′ ∩ b′ = {A} kapjuk, hogy az (a′, b′) =

α sík jól meghatározott. Tehát egy sík egyértelműenmeghatározott egy pont és két nem párhuzamos irányáltal.

Egy sík egyenlete meghatározott, ha bármelyM pon-tjának ismerjük a helyzetvektorát. Legyen M egy tet-szőleges pont az A pont valamint a ~d1, ~d2 vektorok általmeghatározott α síkban. Felírható, hogy ~rM = ~rA+

−−→AM .

Mivel az−−→AM vektor koplanáris a ~d1, ~d2 vektorokkal,

léteznek a λ, µ ∈ R valós számok úgy, hogy

−−→AM = λ · ~d1 + µ · ~d2.

Tehát a sík vektoriális egyenlete:

~rM = ~rA + λ~d1 + µ~d2, λ, µ ∈ R. (12)

Az alábbi egyenletrendszert tekintve{x = x0 + λ · p1 + µ · p2y = y0 + λ · q1 + µ · q2z = z0 + λ · r1 + µ · r2, λ, µ ∈ R

35

megkapjuk sík paraméteres egyenleteit.{λ · p1 + µ · p2 = x− x0λ · q1 + µ · q2 = y − y0λ · r1 + µ · r2 = z − z0

.

Ennek az egyenletrendszernek a λ és µismeretlenekkel akkor van megoldása, ha:p1 p2 x− x0q1 q2 y − y0r1 r2 z − z0

= 0,

vagy átírva

x− x0 y − y0 z − z0p1 q1 r1p2 q2 r2= 0. (13)

Az így kapott egyenletet a sík algebrai vagy kanon-ikus egyenletének nevezzük. Ha a determinánst az elsősora szerint kifejtjük, akkor az

A(x− x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 (14)

egyenletet kapjuk, ahol

A = q1 r1q2 r2

B = r1 p1r2 p2

C = p1 q1p2 q2

8.2.2 Három nem kollineáris pont általmeghatározott sík egyenlete

Legyen R = {O,~e1, ~e2, ~e3} egy Descartes koordináta-rendszer és

M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2),M3(x3, y3, z3) ∈ S

három nem kollineáris pont. Ekkor az M1,M2,M3 pon-tok

36

egyértelműen meghatároznak egy (M1M2M3) = α síkot.Hasonlóan, mint a fentiekben, kapjuk, hogy{

x = (1− λ− µ)x1 + λx2 + µx3y = (1− λ− µ)y1 + λy2 + µy3z = (1− λ− µ)z1 + λz2 + µz3,

ahol λ, µ ∈ R amelyet a sík parametrikus egyenleténeknevezünk.

Ha átrendezzük a fenti rendszert kapunk λ, µ -benegy két ismeretlenes egyenletrendszert:{

x− x1 = λ(x2 − x1) + µ(x3 − x1)y − y1 = λ(y2 − y1) + µ(y3 − y1)z − z1 = λ(z2 − z1) + µ(z3 − z1)

Rouché tételből következik, hogy az egyenletrendsz-ernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha:

x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

= 0. (15)

Ezt az egyenletet nevezzük a három nem kollineáris pon-ton áthaladó sík algebrai egyenletének. Ez az egyenletmég átírható a következő alakba:∣∣∣∣∣∣

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣ = 0. (16)

8.2.3 A sík tengelymetszetes egyenlete

Legyenek az A(a, 0, 0), B(0, b, 0) és aC(0, 0, c) pontok a térben. Ekkor az (ABC) sík egyen-lete:

x− a y z−a b 0−a 0 c

= 0.

37

Kiszámolva a determinánst és átrendezve az egyenletetmegkapjuk a sík tengelymetszetes egyenletét :

x

a+y

b+z

c= 1. (17)

8.2.4 A sík általános egyenleteTétel 8.5. A sík általános egyenlete

Ax+ By + Cz +D = 0 (18)

alakú, aholA,B,C,D ∈ R úgy, hogyrang[A,B,C] = 1.

Mivel rang[A,B,C] = 1 következik, hogy az Ax +By + Cz +D = 0 egyenletnek létezik legalább egy

(x0, y0, z0) ∈ R3

megoldása, vagyis

Ax0 + By0 + Cz0 +D = 0. (19)

AzA(x− x0) + B(y − y0) + C(z − z0) +D = 0,amely egy síkot ábrázol, amely áthalad az (x0, y0, z0)ponton. Adott ponton átmenő adott normálvektorú síkegyenlete.

8.2.5 A koordináta-rendszerhez viszonyítvasajátos helyzetu síkok egyenletei

Azt vizsgáljuk, hogy amennyiben a sík

Ax+ By + Cz +D = 0

38

8.5 Pont távolságaegyenestol (térben)

Legyen R{O,~i,~j,~k} egy descartes félekoordináta-rendszer, M0(x0, y0, z0) egy rögzített pont és

e :x− x1

p=y − y1

q=z − z1r

egy egyenes. Legyen pre(M0) = M . Ekkor az M0 ponte egyenestől való távolságán az alábbi számot értjük

d(M0, e) =‖−−−→M0M ‖ .

Legyen M1(x1, y1, z1) és A két pont az e egyenesről úgy,hogy

−−−→M1A = ~d(p, q, r), ahol ~d vektorral az e egyenes

irányvektorát jelöltük. Ekkor az M1M0A háromszögterületét kétféleképpen felírva a következő egyenlőséghezjutunk:

σ(M0M1A) =1

2‖−−−→M0M ‖ · ‖

−−−→M1A ‖=

=1

2‖−−−−→M1M0 × ~d ‖ .

Ha ebből a képletből kifejezzük az‖−−−→M0M ‖= d(M0, e) számot kapjuk, hogy:

d(M0, e) =‖−−−−→M1M0 × ~d ‖‖ ~d ‖

, (34)

45

8.6 A körLegyen M0 egy rögzített pont a P síkban és legyen r > 0egy rögzített szám.

Értelmezés 8.11. AzM0 középpontú és r sugarú C kör azonM pon-tok mértani helye a síkból, amelyeknek az M0 ponttól vett távolságaállandó és egyenlo r-rel, vagyis

C(M0, r) = {M ∈ P : |MM0| = r.} (35)

Tétel 8.7. AzM(x, y) pont akkor és csakis akkor van azM0(x0, y0)középpontú, r sugarú körön, ha

(x− x0)2

+ (y − y0)2

= r2. (36)

Tétel 8.8. Az (x− x0)2

+ (y − y0)2

= r2 egyenletu kör

M1(x1, y1) pontjában szerkesztett érinto egyenlete:

(x− x0)(x1 − x0) + (y − y0)(y1 − y0) = r2,

amelyet még a kör duplázott egyenletének is nevezünk azM1(x1, y1) pontban.

8.7 Az ellipszisÉrtelmezés 8.12. Azon pontok mértani helyét a síkból, amelyeknek kétrögzített ponttól mért távolságuk összege állandó, ellipszisnek nevez-zük.

Legyen c > 0 és F, F ′ két rögzített pont a síkbanúgy, hogy |FF ′| = 2c és legyen a > c. A sík azon M

pontjainak mértani helyét, amelyre |MF |+ |MF′| = 2a,

ellipszisnek nevezzük:

E = {M ∈ P : |MF |+ |MF′| = 2a}.

46

vagy

limh→0,x0+h∈A

f(x0 + h)− f(x0)

h.

Ekkor értelmezhető

f′s(x0) = lim

x→x0x<x0

f(x)− f(x0)

x− x0

és

f′d(x0) = lim

x→x0x>x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Ekkor f ′(x0) létezik ha

f′s(x0) = f

′d(x0),

ésf′(x0) = f

′s(x0) = f

′d(x0).

16.6.2 Deriválási szabályokTétel 16.24. Legyenek f, g : A → R f, g deriválhatóak az x ∈ Apontban. Ekkor

1. (f + g)′(x) = f

′(x) + g

′(x);

2. (cf)′(x) = cf

′(x)

3. (f · g)′(x) = f′(x) · g(x) + g

′(x) · f(x)

4. Ha g(x) 6= 0, (f(x)

g(x)

)′(x)

=f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)

g2(x)

88

5. Ha f : I → J , g : J → R, f deriválható az x0 ∈ I-ben és gderiválható y0 = f(x0), akkor

(g ◦ f)′(x0) = g

′(y0)f

′(x0)

6. Ha f : I → J folytonos, bijektív, deriválható x0 pontban úgy,hogy f ′(x0) 6= 0, akkor

f−1

: J → I

deriválható az y0 pontban, y0 = f(x0) és

(f−1)′

(y0) =1

f ′(x0)

.

16.6.3 Néhány függvény deriváltja

1) f(x) = c⇒ f′(x) = 0;

2) f(x) = xn, n ∈ N⇒ f

′(x) = nx

n−1;

3) f(x) = xr, r ∈ R, x > 0⇒ f

′(x) = rx

r−1;

4) f(x) =√x, x > 0⇒ f

′(x) =

1

2√x;

5) f(x) = ln(x), x > 0⇒ f′(x) =

1

x;

6) f(x) = ax, a 6= 1, a > 0, x > 0⇒ f

′(x) = a

xln(a);

7) f(x) = ex ⇒ f

′(x) = e

x;

8) f(x) = sin(x)⇒ f′(x) = cos(x);

89

9) f(x) = cos(x)⇒ f′(x) = − sin(x);

10) f(x) = tan(x), x 6= (2k + 1)π

2, k ∈ Z ⇒ f

′(x) =

1

cos2(x);

11) f(x) = cot(x), x 6= kπ, k ∈ Z⇒ f′(x) =

−1

sin2(x);

12) f(x) = arcsin(x), x ∈ [0, 1]⇒

f′(x) =

1√

1− x2;

13) f(x) = arccos(x), x ∈ [0, 1]⇒

f′(x) =

−1√

1− x2;

14) f(x) = arctan(x)⇒ f′(x) =

1

1 + x2.

16.6.4 Összetett függvény deriváltja

1) f(u) = c⇒ f′(u) = 0;

2) f(u) = un, n ∈ N⇒ f

′(u) = nu

n−1 · u′;

3) f(u) = ur, r ∈ R, u > 0⇒ f

′(u) = ru

r−1 · u′;

4) f(u) =√u, u > 0⇒ f

′(u) =

1

2√u· u′;

5) f(u) = ln(u), u > 0⇒ f′(u) =

1

u· u′

6) f(u) = au, a 6= 1, a > 0, u > 0⇒ f

′(u) = a

uln(a)·u′;

7) f(u) = eu ⇒ f

′(u) = e

u · u′;

90

8) f(u) = sin(u)⇒ f′(u) = cos(u) · u′;

9) f(u) = cos(u)⇒ f′(u) = − sin(u) · u′;

10) f(u) = tan(u), cos(u) 6= 0,⇒

f′(u) =

1

cos2(u)· u′;

11) f(u) = cot(u), sin(u) 6= 0⇒

f′(u) =

−1

sin2(u)· u′;

12) f(u) = arcsin(u), u ∈ [0, 1]⇒

f′(u) =

1√

1− u2· u′;

13) f(u) = arccos(u), u ∈ [0, 1]⇒

f′(u) =

−1√

1− u2· u′;

14) f(u) = arctan(u)

f′(u) =

1

1 + u2· u′.

16.6.5 Magasabb rendu deriváltak

1) f(x) = xm,m ∈ N,m ≥ n⇒ f

(n)(x)

= m(m− 1)(m− 2)...(m− n+ 1)xm−n

;

2) f(x) = ex ⇒ f

(n)(x) = e

x;

3) f(x) = ax, f

(n)(x) = (ln(a))

nax;

4) f(x) = ln(x)⇒

91