Feladatgyûjtemény

Matematika I-II.

Sáfár Zoltán

NyME-SEK2012

Tartalomjegyzék

1. Komplex számok 1

2. Számsorozatok és számsorok 32.1. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Elemi függvények, függvénytranszformációk 7

4. Függvények határértéke 10

5. Függvények folytonossága 11

6. Differenciálszámítás 136.1. L’Hospital-szabály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.2. Függvénydiszkusszió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7. Taylor-polinom 17

8. Horner-elrendezés 18

9. Lagrange-interpoláció 20

10.Newton-Raphson módszer és húrmódszer 2110.1. Newton-Raphson módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110.2. Húrmódszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11.Határozatlan integrálás 2211.1. Helyettesítéssel való integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2311.2. Parciális integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.3. Racionális törtfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511.4. Trigonometrikus integrálás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.5. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

12.Határozott integrálás 2912.1. Improprius integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3112.2. Terület-, térfogat- és felszínszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

13.Numerikus integrálás 3413.1. Newton-Cotes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.2. Érintõ-formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

i

1. Komplex számok

1.1. Definíció. Legyen a és b valós szám (a, b ∈ R), és i :=√−1. Ekkor a z = a + ib

számot komplex számnak, az a = Re z-t a z valós részének, a b = Imz-t pedig a képzetes

részének nevezzük.

Jelölés. A komplex számok halmazát C-vel jelöljük.

Megjegyzés. A kompex számokat a komplex számsíkon ábrázolhatjuk. A z = a + ibkomplex szám –ezt az alakot hívjuk algebrai (vagy kanonikus) alaknak– helyét az (a, b)ponttal adjuk meg (a derékszögû koordinátarendszerrel ellátott valós síkon).Egy ilyen pontot más adatokkal is megadhatunk, például az origótól való távolsággal (r),és a pozitív valós félegyenes (vízszintes tengely jobb oldali fele) által bezárt szögével (α).

1.2. Definíció. A z komplex szám trigonometrikus alakja:

z = r(cosα+ i sinα),

vagy rövidebben –ha használjuk az Euler-Moivre összefüggést– z = reiα, ahol r-et a zkomplex szám abszolútértékének, az α szöget pedig a z argumentumának nevezzük.

1.3. Definíció. A z komplex szám konjugáltja: z = a− ib(= re−iα), szemléletesen a z-ttükrözni kell a valós tengelyre.

Megjegyzés. A konjugált a következõ tulajdonságok miatt fontos:

zz = |z|2 = r2, z + z = 2a.

Megjegyzés. Mûveletek komplex számokkal: +,−, ·, / elvégeztehõ algebrai alakban. Ahatványozást és gyökvonást azonban célszerû trigonometrikus alakban elvégezni:

Legyen n ∈ N, akkor

zn = rneinα, n√z = n

√r(cos

α + 2kπ

n+ i sin

α + 2kπ

n

), k = 0, 1, . . . , n− 1.

A fenti összefüggésbõl már látjuk, hogy minden z számnak pontosan n darab n-edik gyökevan – amelyek szemléletesen egy origó középpontú szabályos n-szöget alkotnak.

1. Ábrázoljuk a következõ komplex számokat: 1 + 4i, −2 + 3i.

2. A komplex sík mely ponthalmazát határozza meg a 1 < |z| < 2, illetve az |z+ i| ≤ 1feltétel?

3. Adjuk meg a konjugáltakat! z1 := 8, z2 := 5i és z3 := 2 + 7i.

4. Igazoljuk, hogy tetszõleges z komplex szám esetén:

(a) z + z ∈ R,

(b) zz =: |z|2 ∈ R.

1

5. Számítsuk ki, és adjuk meg az eredményt kanonikus alakban:

(a) (6 + 2i) + (8− 4i),

(b) (5 + 2i)2,

(c) 5−2ii,

(d) 3+2i3−2i

,

(e) (3+4i)(2+i)(1+2i)(4+3i)

;

(f) z1 := 1− 5i, z2 := 3 + 4i esetén a z1z2, z1

z2, z1

z2, ( z1

z2), z1

|z2| ,

(g) eiπ6

1+i.

6. Írjuk át trigonometrikus alakba: z1 = 3, z2 = 1 + i és z3 = 4√3− 4i.

7. Alakítsuk algebrai alakra:

(a) 5(cos 60◦ + i sin 60◦),

(b) 3(cos π4+ i sin π

4),

(c) 2(cos 3π2+ i sin 3π

2).

8. Hogyan néz ki a z = 1 +√3i szám exponenciális alakja?

9. Határozzuk meg a következõ mûveletek értékét z1 = 5(cos 40 + i sin 40), z2 =3(cos 18 + i sin 18) esetén:

(a) z1 + z2,

(b) z1z2,

(c) z1z2.

10. Határozzuk meg a következõ komplex számok szorzatát, szorzatuk algebrai alakjátés algebrai alakjuk szorzatát is: z1 = 3(cos π

4+ i sin π

4), z2 = 2(cos 3π

2+ i sin 3π

2).

11. Adjuk meg az összes gyököt:

(a)√4,

(b)√−4,

(c) 4√1.

12. Határozzuk meg az összes (komplex) zérushelyét az

(a) x2 + 8x+ 17,

(b) x2 + 5 + 6x2 ,

(c) x6 + 64

polinomoknak.

2

2. Számsorozatok és számsorok

Ismétlés: Tetszõleges valós számokra (a, b ∈ R)

(a− b)(a + b) = a2 − b2, (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3.

Általánosabban, bármely természetes kitevõ esetén (n ∈ N)

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · ·+ bn−1).

2.1. Sorozatok

2.1. Definíció. Sorozat: a természetes számok halmazán értelmezett függvény.

2.2. Definíció. Egy {an} sorozat konvergál a-hoz, ha elég nagy indexre tetszõlegesenközel kerül hozzá, azaz

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 : |an − a| < ε.

Jelölés. Ha az {an} sorozat határértéke a, akkor a következõ jelölést használjuk:

limn→∞

an = a.

Jelölés. Az a elem ε(> 0) sugarú környezetét a következõképp jelöljük:

G(a, ε) = {an : |an − a| < ε}.

2.3. Definíció. Egy {an} sorozat monoton növõ (csökkenõ), ha an−1 ≤ (≥)an, azaz

an−1 − an ≤ (≥)0, vagyan−1

an≤ (≥)1.

2.4. Definíció. Egy {an} sorozat felülrõl (alulról) korlátos, ha valamely értéknél nemvesznek fel nagyobb (kisebb) értéket, azaz

∃K ∈ R : an ≤ K, (∃k ∈ R : an ≥ k).

A sorozat korlátos, ha felülrõl és alulról is korlátos: k ≤ an ≤ K.

2.5. Definíció. Egy {an} sorozat valódi divergens, ha a határértéke ∞, vagy −∞.Nem valódi divergens, ha korlátos, de nincs határértéke.

2.1. Tétel (Mûveletek és határérték). Tegyük fel, hogy c ∈ R tetszõleges szám és

lim an, lim bn < ∞, akkor

• lim(an ± bn) = lim an ± lim bn

• lim(can) = c lim an

• lim(an · bn) = lim an · lim bn

3

• ha lim bn 6= 0, akkor lim anbn

= limanlim bn

2.2. Tétel (Majoráns-minoráns kritérium). Legyenek {an}, {bn}, {cn} nemnegatív so-

rozatok.

(i) Ha lim an < ∞ és valamely indextõl kezdve bn ≤ an, akkor lim bn < ∞.

(ii) Ha lim cn = ∞ és valamely indextõl kezdve bn ≥ cn, akkor lim bn = ∞.

2.3. Tétel (Rendõrelv). Tegyük fel, hogy lim an = a = lim cn és elég nagy indexekre

an ≤ bn ≤ cn. Ekkor lim bn = a.

2.4. Tétel. Nevezetes határértékek:

(i)

limt→0

sin t

t= 1.

(ii) Jelölje e a természetes logaritmus alapját, ekkor

limn→∞

(1 +

k

n

)n

= ek

2.2. Sorok

2.6. Definíció. Sor: formális végtelen összeg.

2.7. Definíció. Legyen {an} ⊂ R. A∑

an sor konvergens, ha az sn :=n∑

k=1

an részlet-

összegek sorozata konvergens.

Konvergenciakritériumok:

2.5. Tétel (Szükséges feltétel). Ha∑

an konvergens, akkor lim an = 0.

2.6. Tétel (Cauchy-féle belsõ). Egy∑

an sor pontosan akkor konvergens, ha a vég-

szeletek összege tetszõlegesen kicsi, azaz

∀ε > 0, ∃n0, ∀n ≥ n0, ∀k ∈ N : |sn+k − sn| =∣∣∣n+k∑

l=n

al

∣∣∣ < ε.

2.7. Tétel (D’Alambert-féle hányados). Legyen an > 0. Ha

limn→∞

an+1

an= q

{ < 1, akkor a sor konvergens,

= 1, nem tudjuk használni ezt a kritériumot,

> 1, akkor a sor divergens.

2.8. Tétel (Cuachy-féle gyök). Legyen an > 0. Ha

limn→∞

n√an = q,

{ < 1, akkor a sor konvergens,

= 1, nem tudjuk használni ezt a kritériumot,

> 1, akkor a sor divergens.

4

2.9. Tétel (Leibniz). Ha an váltakozó elõjelû, és lim an = 0, akkor a∑

an sor –feltételesen–

konvergens.

2.10. Tétel. Nevezetes sorösszegek:

(i) Mértani sor összege: ha q < 1, akkor

∞∑

n=0

qn =1

1− q.

(ii)∞∑

n=0

1

n!= e.

13. A konvergencia definiciója alapján bizonyítsuk be, hogy a megadott {an} sorozat a-hoz konvergál (adjunk meg n0 küszöbindexet). Hányadik elemtõl (n1) kezdve esneka sorozat elemei az a szám r sugarú környezetébe?

(a) an = 2n−12n+1

, a = 1, r = 10−2,

(b) an = 4n

3·4n+1, a = 1

3, r = 1

3,

(c) an = n2

n+1, a = ∞, r = 1

20.

14. Vizsgáljuk meg a következõ sorozatokat monotonitás, korlátosság és konvergenciaszempontjából:

(a) an = 2n+43n−3

,

(b) bn = 3n+1n−1

,

(c) cn = n−15n+1

,

(d) dn = 2n2+32n2−n−21

,

(e) en = (1 + 2n)10.

15. Igazolja, hogy a cn = n−15n+1

sorozatnak a 24125

nem határértéke!

16. Igazoljuk, hogy

√n + 1−

√n− 1 → 0 és

√n(√n+ 1−

√n) → 1

2

amint n tart végtelenbe.

17. Határozzuk meg a határértékeket:

(a) limn→∞

2n2+123−n−3n2 ,

(b) limn→∞

√1+2n

1+√n

,

(c) limn→∞

( 3√n+ 1− 3

√n− 1),

5

(d) limn→∞

n√8−1n√2−1

,

(e) limn→∞

n√n2+1

,

(f) limn→∞

n(√

(n+ a)(n+ b)− n),

(g) limn→∞

n√n3 + 3n,

(h) limn→∞

n√3n + 2n,

(i) limn→∞

(1 + 12n)n,

(j) limn→∞

(1− 1n2 )

n,

(k) limn→∞

(1− 1n2 )

n,

(l) limn→∞

(n2+1

n2−2)n

2

,

18. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi sorok konvergensek, és határozzuk meg a sorokösszegét!

(a) 1− 12+ 1

4− 1

8+ · · ·+ (−1)n−1

2n−1 + . . . ,

(b) 11·2 +

12·3 +

13·4 + · · ·+ 1

n(n+1)+ . . . ,

(c)∞∑k=0

110k

,

(d)∞∑k=0

2010k

,

(e)∞∑k=0

152k+1 ,

(f)∞∑k=0

( 15k

− 15k+1 ),

(g)∞∑k=0

1k(k+1)

.

19. Konvergensek-e a következõ sorok:

(a)∞∑k=1

k−1k!

,

(b)∞∑k=1

1√k,

(c)∞∑k=1

(−1)k 1√k,

(d)∞∑k=1

12k

,

(e)∞∑k=1

12k−1

,

6

(f)∞∑k=2

1ln k

,

(g)∞∑k=2

11−k2

,

(h)∞∑k=1

(1− 1k)k,

(i)∞∑k=1

(k+13k

)k,

(j)∞∑k=1

(2k+13k+1

)4k+1,

(k)∞∑k=0

1+(−1)k

2k.

3. Elemi függvények, függvénytranszformációk

Ismételjük át az elemi függvények (hatvány-, gyök-, exponenciális, logaritmus és trigono-metrikus függvények) grafikonját!

3.1. Definíció. Az f függvény értelmezési tartománya (jelölése: Df) azon x ∈ R pontokhalmaza, amelyek az f függvénybe helyettesíthetõk.

Megjegyzés. "Kikötést" vagy "feltételt" akkor kell tenni, ha látunk

• törtet: 0-val nem osztunk,

• páros kitevõs gyökjelet: 2n√x esetén x ≥ 0 lehet csak,

• logaritmus függvénynél: loga x esetén x > 0 és 0 < a 6= 1,

• szögfüggvényeknél: tanx esetén x 6= π/2 + kπ, cot x esetén x 6= kπ, ahol k ∈ Z,

• arkusz függvényeknél: arcsin x, arccos x esetén −1 ≤ x ≤ 1.

Megjegyzés. Függvénytranszformációk: legyen adott az f(x) függvény grafikonja ésc ∈ R, ekkor

• f(x) + c grafikonja: f(x) függvény grafikonját toljuk c-vel az y-tengely mentén

• f(x+ c) grafikonja: f(x) függvény grafikonját toljuk −c-vel az x-tengely mentén

• cf(x) grafikonja: f(x) függvény grafikonját nyújtuk c-szeresre az y-tengely mentén

• f(cx) grafikonja: f(x) függvény grafikonját nyújtuk 1/c-szeresre az x-tengely men-tén

• 1/f(x) grafikonja: f(x) függvény grafikonját tükrözzük az y = 1-re (a 0 < x ≤ 1képe x ≥ 1 és fordítva)

7

• f(1/x) grafikonja: f(x) függvény grafikonját tükrözzük az x = 1-re (a 0 < y ≤ 1képe y ≥ 1 és fordítva)

3.2. Definíció. Az f függvény inverzfüggvénye g, ha

• Dg = Rf , ahol Rf az f függvény értékkészlete,

• Rg = Df ,

• ∀x ∈ Df : g(f(x)) = x és ∀x ∈ Dg : f(g(x)) = x.

Megjegyzés. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az f függvény grafikonját tükrözni kellaz y = x egyenesre.

Meghatározása: az y = f(x) egyenletbõl kifejezzük x-et.

3.3. Definíció (Paritás). Azt mondjuk, hogy az f függvény páros, ha

f(−x) = f(x),

a grafikonon ez azt jelenti, hogy az f szimmetrikus az y-tengelyre.Az f páratlan, ha

f(−x) = −f(x),

az f az origóra szimmetrikus.

20. Határozzuk meg az f(−1), f(π2), f(2π

3), f(4) és f(6) helyettesítési értékeket, ha

f(x) =

{3−x − 1, −1 ≤ x < 0;tan x

2, 0 ≤ x < π;

xx2−2

, π ≤ x ≤ 6.

21. A 2 oldalú ABCD négyzetet messük el az AC átlóra merõleges e egyenessel. Legyenaz A csúcs és az e egyenes távolsága x. Írjuk fel az A csúcsot is tartalmazó lemetszettsíkidom területét x függvényeként. Határozzuk meg a területet, ha x =

√22

illetvex = 2.

22. Határozzuk meg az f(x) = ax3+bx2+cx+d racionális egész függvény együtthatóit,ha f(−1) = 0, f(0) = 2, f(1) = −3 és f(2) = 5.

23. Milyen a érték mellett lesz az f(x) = x3+ax2+2x2x−1

függvény az x = 12

hely kivételévelegyenlõ egy másodfokú függvénnyel?

24. Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát:

(a) x2

1+x,

(b)√5− 2x,

(c) 3

√2x

x2−2x+2,

(d) log2 log3 log4 x,

8

(e) lg x2−5x+6x2+4x+6

,

(f) ln(sin(ln x)),

(g) 1− cotx,

(h)√3x− x3,

(i) arcsin 2x1+x

,

(j) lg(sin πx).

25. Mi az értelmezési tartománya a következõ függvényeknek, ha Df = [0, 1]?

(a) f(x− 5),

(b) f(4x),

(c) f(−x),

(d) f(sin x),

(e) f(tanx).

26. A függvénytranszformációk segítségével ábrázoljuk az alábbi függvényeket!

(a) f(x) =

{sin x, −π ≤ x ≤ 0,2, 0 < x ≤ 1,1

x−1, 1 < x ≤ 4.

(b) sin2 x,

(c) 2x+5x+1

,

(d) 3 cosx−√3 sin x,

(e) ||x| − 1|.

27. Határozzuk meg azokat az x értékeket, amelyekref(x) = 0, f(x) > 0 és f(x) < 0:

(a) x− x3,

(b) (x+ |x|)(1− x),

(c) sin πx.

28. Határozzuk meg az f(x) függvényt, ha f(x+ 1x) = x2 + 1

x2 .

29. Keressük meg az alábbi függvények monotonitási tartományait:

(a) ax+ b,

(b) ax2 + bx + c,

(c) ax+bcx+d

,

(d) ax, (a > 0).

30. Lehet-e egyenlõtlenséget logaritmálni?

9

31. Határozzuk meg az alábbi függvények inverzét a megadott intervallumokon.

(a) 2x+ 3, (−∞,∞),

(b) x2, (−∞, 0),

(c) 1−x1+x

, x 6= −1.

32. Adjuk meg a következõ függvények paritását.

(a) 3x− x3,

(b) ln 1−x1+x

,

(c) ax + a−x, (a > 0).

33. Rajzoljuk fel az ln(−x) és − ln x függvények grafikonját!

4. Függvények határértéke

4.1. Definíció. Az f függvénynek x0-ban c a határértéke, ha az x elég közel van x0-hoz,akkor az f(x) függvényértékek tetszõlegesen közel kerülnek c-hez, vagyis

∀ε > 0, ∃δ(ε, x0), ∀x, x0 6= x ∈ G(x0, δ) : f(x) ∈ G(c, ε).

Megjegyzés. Mûveleteket, rendõrelvet és további tulajdonságokat lásd a 2.1, 2.3. és . . .Tételekben.

34. Definíció szerint határozzuk meg az adott függvény határértékét az adott helyen!Adjunk δ-t az ε értékhez!

(a)√x, x0 = 1, ε = 1

4,

(b)√1− x2, x0 = 0, ε > 0 tetszõleges,

(c) 1x2 , x0 = −2, ε > 0 tetszõleges,

(d) 1x2 , x0 = −∞, ε > 0 tetszõleges,

(e) 4x+2x3+2x2+7x

, x0 = 0, ε > 0 tetszõleges.

35. Számítsuk ki a következõ határértékeket:

(a) limx→8

√x2 + 3x+ 12,

(b) limx→0

x2−12x2−x−1

,

(c) limx→∞

4x2+3x−12x2−x+1

,

(d) limx→∞

x√x2+1

,

(e) limx→1

x3−x2−x+1x3+x−2

,

(f) limx→3

x2−2x−3x2−5x+6

,

10

(g) limx→1

x4−3x+2x5−4x+3

,

(h) limx→1

xn−1x−1

,

(i) limx→0

√1+x2−12x

,

(j) limx→5

√x−1−2x−5

,

(k) limx→5

2−√x−1

x2−25,

(l) limx→0

1−cos xx2 ,

(m) limx→0

sin 3xx

,

(n) limx→0

sin 2x3x

,

(o) limx→0

tan xx

,

(p) limx→0

x cot 3x,

(q) limx→∞

(x+2x−1

)1+2x,

(r) limx→∞

(2x+31+2x

)x+2,

(s) limx→0

(1 + 3 tanx)cot x,

(t) limx→∞

x sin πx,

(u) limx→∞

√x+ 3

√x+ 4

√x√

2x+1,

(v) limx→−1−

21/(x+1),

(w) limx→−1+

21/(x+1),

(x) limx→0

x2−1|x−1| ,

(y) limx→a

sinx−sinax−a

.

5. Függvények folytonossága

5.1. Definíció (Cauchy-féle). Azt mondjuk, hogy az f függvény folytonos az x0 pont-

ban, ha∀ε > 0, ∃δ(ε, x0), ∀x ∈ G(x0, δ) : f(x) ∈ G(f(x0), ε).

Az f függvény folytonos (a, b) intervallumon, ha folytonos minden x0 ∈ (a, b) pontban.

5.1. Tétel. Az f függvény pontosan akkor folytonos az x0 pontban, ha

∃ limx→x0

f(x) = f(x0).

11

5.2. Definíció. Az f függvény balról (jobbról) folytonos az x0 pontban, ha

limx→x0−(+)

f(x) = f(x0).

5.3. Definíció. Ha az f függvény nem folytonos x0 pontban, akkor szakadási helye van.Ezek típusa:

• megszûntethetõ, ha ∃ limx→x0−

f(x), ∃ limx→x0+

f(x), de limx→x0−

f(x) 6= limx→x0+

f(x),

• elsõrendû pólus, ha legalább az egyik féloldali határérték nem létezik,

• lényeges szingularitás, ha egyik féloldali határérték sem létezik.

36. Az értelmezési tartományuk mely pontjában folytonosak az alábbi függvények?

(a) f(x) ={ 2x− 1, x ≤ 1,x2 − 5x, x > 1,

(b) f(x) =

{sin πx, x < 2,2, x = 2,1

x−2, x > 2,

(c) f(x) = limn→∞

11+xn , x ≥ 0,

(d) f(x) ={ sinx

|x| , x 6= 0,

1, x = 0,

(e) f(x) ={| sinx

x|, x 6= 0,

1, x = 0,

(f) f(x) ={ 1

1+e1

x−1

, x 6= 1,

tetszõleges, x = 1.

37. Határozzuk meg – ha lehetséges – az a és b paraméterek értékét úgy, hogy a függvénymindenütt folytonos legyen.

(a) f(x) =

{ −x2 − ax+ 4, x− < 2,6, x = −2,

−2x+ b, x > −2,

(b) f(x) =

{ −x2 − 6x+ 4, x− < 2,ax+ b, −2 ≤ x ≤ 3,√2x+ 3, x > 3,

(c) f(x) ={x sin 1

x, x 6= 0,

a, x = 0,

(d) f(x) ={ cosx, x ≤ 0,a(x− 1), x ≥ 0.

38. • Lehetséges-e, hogy nem folytonos függvények összege, illetve szorzata folyto-nos?

12

• Adjunk olyan függvényt, amely sehol sem folytonos, a négyzete azonban min-denütt az R valós számegyenesen.

• Igaz-e, hogy ha f folytonos, g nem folytonos, akkor f + g és fg biztosan nemfolytonos?

39. Vizsgáljuk meg a következõ függvényeket, hogyan viselkednek a szakadási helyekkörnyezetében és a végtelenben. (Számítsuk ki a megfelelõ – féloldali – határértéke-ket!) Osztályozzuk a szakadási helyek típusát!

(a) x2+2x−3x2+5x+6

,

(b) 1x2−9

,

(c) 3x−1

,

(d) 31/(x+1),

(e) | |x−3|x−3

|,(f) (x−2)2

x2−5x+6,

(g) 1sin 2x

,

(h) xsinx

,

(i) arctan 1x.

40. • Van-e valós megoldása a sin x− x+ 1 = 0 egyenletnek?

• Bizonyítsuk be, hogy van legalább egy valós megoldása az a0x2n+1 + a1x

2n +· · ·+ a2nx+ a2n+1 = 0 egyenletnek, ahol ak ∈ R, a0 6= 0.

6. Differenciálszámítás

Ismétlés: Negatív- és törtkitevõ:Legyen q ∈ R, ekkor

a−q = 1/aq és q√a = a1/q.

A logaritmus függvény egy azonossága:Legyen 0 < a, b, c 6= 1, ekkor

loga b =logc b

logc a.

Az ex és ln x függvények egymás inverzei, azaz

q = eln q, ∀q > 0.

6.1. Definíció. Egy valós f függvény (f : R → R) differenciálhányadosát egy x0(∈ Df)pontban a

limx→x0

f(x0)− f(x)

x0 − x= lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

határértékkel definiáljuk, és f ′(x0)-lal jelöljük.Az f függvény deriváltfüggvényét minden olyan pontban értelmezzük, ahol ∃f ′(x0), és

értékének f ′(x0)-lal adjuk meg.

13

6.1. Tétel. Alapfüggvények deriváltja:

• (xq)′ = qxq−1 bármely q ∈ R számra;

• (sin x)′ = cosx, (cosx)′ = − sin x,

• (ex)′ = ex,

• (lnx)′ = 1/x.

6.2. Tétel (Deriváltfüggvény és mûveletek). Legyen c ∈ R és f, g differenciálható

függvény valamely intervallumon. Ekkor

• (f ± g)′ = f ′ ± g′,

• (cf)′ = c · f ′,

• (fg)′ = f ′g + fg′,

• (f/g)′ = (f ′g − fg′)/g2,

• (f−1)′ = 1f ′(f−1)

.

• Ha g differenciálgató x-ben, és f differenciálható g(x)-ben, akkor az összetett függ-

vényre:

(f(g(x)))′ = f ′(g(x)) · g(x) láncszabály.

Megjegyzés. További függvények differenciálhányadosa:

• (arcsin x)′ = 1√1−x2

• (arctanx)′ = 11+x2

• tipikus hiba: (ef(x))′ 6= ef(x)!!! (ef(x))′ = ef(x) · f ′(x), tehát összetett függvénykéntderiváljuk (jelölés: exp(x) = ex).

41. A definíció alapján határozza meg a következõ függvények differenciálhányadosát azadott pontokban.

(a) f(x) = x2, x0 = 2,−3, a,

(b) g(x) =√x, x0 = 2,−3, a(> 0),

(c) h(x) = 2x−1x−3

, x0 = 2,−3, a( 6= 3),

(d) i(x) = 1x, x0 = 2, a.

42. Határozza meg az a, b, c paraméterek értékét úgy, hogy a függvény mindenütt diffe-renciálható legyen.

f(x) =

{ −x2 + ax+ b, x < 2,2, x = 2,

2ax2 − 12x+ c, x > 2.

14

43. Deriváljuk a következõ függvényeket.

(a) x+√x+ 3

√x,

(b)√√√

x,

(c) x sin x,

(d) 6x+34x−3

,

(e) (2−x2)(3−x3)(1−x)2

,

(f) sinn x cosnx,

(g) ln 1√x,

(h)√

x+√x,

(i) tan x2− cot x

2,

(j) sin(sin(sin x)),

(k) e3x−7,

(l) 2x+3√x,

(m) x55x,

(n) log3 ln x,

(o) xx,

(p) eex,

(q) ln√

1+x1−x

,

(r) (sin x)cos x,

(s) sin xcos x,

(t) logsinx cosx.

6.1. L’Hospital-szabály

6.3. Tétel. Legyen f és g két olyan függvény, melyre limx→x0

f(x) = 0 = limx→x0

g(x) valamely

x0 pontban és g′(x) 6= 0. Ekkor

limx→x0

f(x)

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g′(x).

Megjegyzés. A fenti tételt általában "0 · ∞" típusú határérték esetében alkalmazzuk.Azonban a tétel csak hányadosra alkalmazható!

44. Határozzuk meg a következõ határértékeket.

(a) limx→2

x2−5x+6x3−2x2−x+2

,

15

(b) limx→0

ex−e−x

x,

(c) limx→∞

lnxx

,

(d) limx→0+

x ln x,

(e) limx→∞

xe−x,

(f) limx→1

( 1lnx

− 1x−1

),

(g) limx→0+

xx.

6.2. Függvénydiszkusszió

Lépései:

• Df

• ZHf és TPf

• paritás

• határértékek (a Df határpontjaiban)

• f ′, Df ′, ZHf ′

• f ′′, Df ′′, ZHf ′′

• táblázat

• grafikon

• Rf

45. Ábrázoljuk a következõ függvényeket.

(a) f(x) = x3 − 4x2 + 4x,

(b) g(x) = x1+x2 ,

(c) h(x) = x+ 1x,

(d) i(x) = xx2−1

,

(e) j(x) = x2

(x−1)2,

(f) k(x) = xe−x,

(g) l(x) = x2 ln |x|,(h) m(x) = x

ex(x−1),

(i) n(x) = 3√(x− 2)2 − 1.

16

7. Taylor-polinom

7.1. Definíció. Egy f függvény x0 pont körüli Taylor-sora:

Tf (x0) =

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n.

Megjegyzés. Taylor-polinom: véges Taylor-sor.

7.1. Tétel. Nevezetes 0-körüli Taylor-sorok:

• ex =∞∑n=0

xn

n!,

• sin x =∞∑n=0

x2n+1

(2n+1)!,

• cosx =∞∑n=0

x2n

(2n)!,

• 11−x

=∞∑n=0

xn, ha |x| < 1,

• ln(1− x) =∞∑n=1

xn

n, ha |x| < 1.

46. Adjuk meg a nevezetes Taylor-sorokat! ( 11−x

, ln(1− x), ex, sin x, cosx)

47. Írjuk fel a P (x) = 1+3x+5x2−2x3 polinomot x+1 hatványai szerint (nemnegatívegész kitevõkkel).

48. Írjuk fel az alábbi függvényeket olyan kifejezések alakjában, amelyek a megadottfokú tagig bezárólag az x változó nemnegatív egész kitevõs hatványait tartalmazzák.

(a) xex−1

, x4,

(b) ln cosx, x6,

(c) tan x, x5,

(d) ln sinxx, x6.

49. Fejezzük ki az f(x) =√x függvényt x − 1 hatványaiból álló háromtagú összeg

segítségével.

50. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi kifejezések értékét, becsüljük meg a hibát is.

(a) 3√30,

(b) 5√250,

(c)√e,

(d) ln 1, 2,

17

(e) arctan 0, 8,

(f) 1, 11,2.

51. Számoljuk ki a megadott függvényértéket az adott pontossággal.

(a) e, 10−9,

(b) sin 1◦, 10−8,

(c) lg 11, 10−5.

52. Határozzuk meg a határértékeket.

(a) limx→0

cos x−e−x2/2

x4 ,

(b) limx→0

ex sinx−x(1+x)x3 ,

(c) limx→0

ax+a−x−2x2 , (a > 0),

(d) limx→0

( 1x− 1

sinx),

(e) limx→0

1x( 1x− cot x),

(f) limx→0

1−(cos x)sin x

x3 .

8. Horner-elrendezés

Ha ki akarjuk számolni egy

p(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an

polinom helyettesítési értékét valamely c pontban, akkor általában a

p(c) = (. . . (((a0c+ a1)c+ a2)c+ a3)c+ · · ·+ an−1)c+ an

módszerrel számolunk, mert ez csak n szorzással és n összeadással jár, vagyis az egyikleggyorsabb.

A Horner-eljárás felhasználható polinomok lineáris függvénnyel való osztására, diffe-renciálásra és polinomok átrendezésére x− c hatványai szerint. Ezekhez szükségünk lesza következõ táblázatra:

a0 a1 . . . an−2 an−1 an cb0 b1 . . . bn−2 bn−1 bn cc0 c1 . . . cn−2 cn−1 . cd0 d1 . . . dn−2 . . c...

......

......

......

18

• A táblázat elsõ sora adott, hiszen {ak : k = 0, 1, . . . , n} a p(x) polinom együtthatói,c pedig a lineáris függvény zérushelye, ami ismert.

• A táblázat elsõ oszlopát számolás nélkül kitölthetjük, mert mindenhová az a0 értéketkell írni, tehát b0 = c0 = · · · = a0.

• A bk (k = 1, 2, . . . , n) értékek kiszámítása: bk = bk−1c+ ak.

• A ck (k = 1, 2, . . . , n− 1) értékek kiszámítása: ck = ck−1c+ bk.

• A dk (k = 1, 2, . . . , n− 2) értékek kiszámítása: dk = dk−1c+ ck.

• és így tovább...

Ha a feladatunk lineáris függvénnyel való osztás volt, akkor

p(x) = q(x)(x− c) + bn, ahol q(x) = b0xn−1 + b1x

n−2 + · · ·+ bn−1.

Tehát a táblázat második sora a hányados polinom együtthatóit, illetve az osztás mara-dékát adja.

A p(x) polinom x − c hatványai szerinti átrendezéshez úgy jutunk, hogy a q(x) há-nyadospolinomot újra elosztjuk x− c-vel, és ezt az eljárást folytatjuk egészen addig, amíga hányadospolinom kitevõje 0-nál nagyobb. Azonban a fenti táblázatunkkal ez is sokkalegyszerûbb. Most már szükségünk lesz a ck, dk, . . . értékekre is. A p(x) polinom alakja akövetkezõ alakot ölti átrendezés után:

p(x) = bn + cn−1(x− c) + dn−2(x− c)2 + . . . ,

tehát a táblázat mellékátlójában lévõ értékeket használjuk. Figyeljük meg, hogy az elõzõösszefüggéssel lényegében a p(x) polinom Taylor-sorát kaptuk, ami egyértelmû, és együtt-hatóit a

Tp(x) =n∑

k=0

p(k)(c)

k!(x− c)k

összefüggéssel kapjuk.Most már könnyen meg tudjuk határozni a p(x) polinom tetszõleges rendû deriváltjá-

nak helyettesítési értékét a c helyen:

p′(c) = 1!cn−1, p′′(c) = 2!dn−2, . . .

53. Legyen p(x) = 2x4 − x3 − 8x2 + 3x+ 3.

(a) Számítsuk ki a p(x) polinom helyettesítési értékét a c = 1 és a c = 2 helyeken.

(b) Határozzuk meg a p(x) és x − 1, illetve x− 2 polinomok hányadosát és adjukmeg az osztás maradékát is.

(c) Rendezzük át a p(x) polinomot x− 1, illetve x− 2 hatványai szerint.

(d) Számítsuk ki a p(x) polinom elsõ négy differenciálhányadosát a c = 1 és c = 2helyeken.

19

54. Legyen p(x) = 3x4 + 5x3 − 2x2 + x− 2.

(a) Számítsuk ki a p(x) polinom helyettesítési értékét a c = 1 és a c = 2 helyeken.

(b) Határozzuk meg a p(x) és x − 1, illetve x− 2 polinomok hányadosát és adjukmeg az osztás maradékát is.

(c) Rendezzük át a p(x) polinomot x− 1, illetve x− 2 hatványai szerint.

(d) Számítsuk ki a p(x) polinom elsõ négy differenciálhányadosát a c = 1 és c = 2helyeken.

55. Legyen p(x) = x4 + 2x3 + 2x2 − 2x− 3.

(a) Számítsuk ki a p(x) polinom helyettesítési értékét a c = 1 és a c = 2 helyeken.

(b) Határozzuk meg a p(x) és x − 1, illetve x− 2 polinomok hányadosát és adjukmeg az osztás maradékát is.

(c) Rendezzük át a p(x) polinomot x− 1, illetve x− 2 hatványai szerint.

(d) Számítsuk ki a p(x) polinom elsõ négy differenciálhányadosát a c = 1 és c = 2helyeken.

9. Lagrange-interpoláció

Korábban foglalkuztunk már függvények közelítésével. Ha azt szeretnénk, hogy egy po-linom –a függvény értelmezési tartományán belül– valamely pontban közelítse az adottfüggvényünket, akkor fel kell írni a függvény adott pont körüli Taylor-polinomját. Haazonban olyan polinomot keresünk, amelynek elõre adott pontokban meg kell egyezniea függvényértékekkel, akkor már interpolálni kell a függvényt. Egy ilyen, minimális fok-számú polinomot kapunk a Lagrange-interpoláció segítségével.

Legyen f(x) tetszõleges függvény és x0, x1, . . . , xn ∈ Df az úgynevezett alappontok,amelyekben az egyenlõséget szeretnénk. Elõször olyan polinomot fogunk felírni, amelypontosan az egyik alappontban 1 értéket vesz fel, az összes többi alappontban pedigeltûnik (vagyis 0 értéket vesz fel):

lk(x) :=

n∏

j:k 6=j=0

x− xj

xk − xj, k = 0, 1, . . . , n,

ahol a∏

a∑

megfelelõje összeadás helyett szorzásra, amit produktumnak ejtünk. Fi-gyeljük meg, hogy ha x = xk akkor a szorzat minden tényezõje 1, hiszen a számláló és anevezõ megegyezik, ha x = xl, ahol l 6= k, akkor lesz olyan tényezõ, aminek a számlálójanulla, és ezért az egész szorzat is 0.

Ezen elõkészület után a p(x) interpolációs polinom alakja:

p(x) =n∑

k=0

f(xk)lk(x).

20

56. Adjuk meg azt a (legfeljebb) harmadfokú polinomot, amely megegyezik a√x függ-

vénnyel a 0, 1, 4 és 9 pontokban.

57. Határozzuk meg azokat a (legfeljebb) harmadfokú polinomokat, amelyek megegyez-nek a sin x, illetve cosx függvénnyel a 0, π/2, π és 2π pontokban.

58. Adjuk meg azt a (legfeljebb) negyedfokú polinomot, amely megegyezik az arctan xfüggvénnyel a −

√3,−1/

√3, 0, 1/

√3 és

√3 pontokban.

10. Newton-Raphson módszer és húrmódszer

A címben jelzett két eljárás függvények zérushelyének közelítésére szolgál. A másod-fokú polinomok megoldóképletét már középiskolában megtanulja mindenki. A harmad-és negyedfokú polinomra is ismertek megoldóképletek, azonban azt is tudjuk, hogy en-nél magasabb fokszám esetében már nem létezik általános megoldóképlet. Tehát márpolinomok esetében sem tudjuk pontosan meghatározni a zérushelyeket.

10.1. Newton-Raphson módszer

Egy f függvény valamely c zérushelyének közelítését így határozhatjuk meg (ε pontoság-gal): Kiindulva egy c0 számból addig képezzük a

ck+1 = ck −f(ck)

f ′(ck), k = 0, 1, 2, . . .

számsorozat elemeit, amíg |ck − ck−1| > ε.Szemléletesen úgy kapjuk a ck pontból a ck+1-et, hogy a függvényhez érintõt húzunk

a ck pontban, és ennek az egyenesnek határozzuk meg az x-tengellyel vett metszetét.Ha az f függvény kétszer differenciálható, akkor meg tudjuk mondani a közelítésünk

hibáját is. Tegyük fel, hogy f(c) = 0, f ′(ck) 6= 0 és ∃f ′′(x) a c és ck pontok között, ekkor

ck+1 − c =f ′′(ξ)

2f ′(ck)(ck − c)2,

ahol ξ a c és ck között van.Megjegyzés. Ha az f függvény xn − a alakú, akkor lényegében az n

√a értékeit hatá-

rozzuk meg az eljárásunkkal. A meglepõ, hogy tetszõleges szám összes n-edik gyökét megtudjuk határozni, tehát a komplexeket is. A módszer iterációs lépése ekkor a következõalakot ölti:

ck+1 =(1− 1

n

)ck +

a

ncn−1k

.

59. Legyen f(x) = x3+3x2+x−4 és c0 = 1. A Newton-Raphson módszerrel határozzukmeg a c1 és c2 közelítéseket. Becsüljük meg c2 hibáját.

60. Legyen f(x) = x5 + x − 0, 5 és c0 = 0, 5. Bizonyítsuk be, hogy a ck számsorozat afüggvény valós gyökéhez konvergál.

61. Határozzuk meg az x4− 4x3+2x2− 7x+4 = 0 egyenlet komplex gyökeit. Kezdõér-téknek vegyük c1 = 0, 4 + 0, 8i és d1 = 1, 4 + 1, 3i komplex számokat.

21

10.2. Húrmódszer

Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos az [a, b] véges és zárt intervallumon (jelben:f ∈ C([a, b])). Ekkor a függvénynek van zérushelye az adott intervallumban, amit akövetkezõ iterációval tudunk közelíteni:

ck+1 = ck − f(ck)ck − ck−1

f(ck)− f(ck−1), k = 1, 2, . . . ,

ahol kezdetben c0 = a, c1 = b. Ha meghatároztuk a c2 értékét és f(c2) 6= 0, akkor akövetkezõ iterációhoz úgy választjuk meg c1-et az a és b közül, hogy f(c1) és f(c2) elõjeleellenkezõ legyen.

Szemléletesen tehát úgy kapjuk a ck+1 értéket, hogy meghatározzuk az f(ck−1) és f(ck)pontokat összekötõ húr metszetét az x-tengellyel.

62. Legyen f(x) = x3 + 3x2 + x − 4 és a = 0, b = 1. Határozzuk meg a c2 és c3közelítéseket.

63. Az f(x) = x5+x−0, 5 polinom egyetlen valós zérushelyét közelítsük az a = 0, b = 1értékekbõl kiindulva. Adjuk meg a c2 és c3 számokat.

11. Határozatlan integrálás

A határozatlan integrált gyakran nevezik antideriváltnak is.

11.1. Definíció. Egy (a, b) ⊂ R intervallumon értelmezett f(x) függvény primitív függ-

vényének nevezzük azt az F (x) függvényt, amelyre F ′(x) = f(x) teljesül minden x ∈ (a, b)esetén.

Megjegyzés. Az f függvény primitív függvényei konstansban térnek el.

11.2. Definíció. Az f függvény határozatlan integrálja: az F primitív függvények hal-maza.

Jelölés. Az f határozatlan integrálja:∫

f(x)dx = F (x) + c,

ahol c ∈ R tetszõleges. Az f(x)-et integrandusnak nevezzük.

11.1. Következmény. Ha egy deriváltfüggvényt határozatlanul integrálunk, akkor azeredeti függvény konstanssal való eltoltjait kapjuk:

∫F ′(x)dx = F (x) + c.

11.1. Tétel. Alapfüggvények integrálja:

•∫xqdx = xq+1

q+1+ c minden q ∈ R\{−1}-re

22

•∫

1xdx = ln |x|+ c, ha x 6= 0

•∫sin xdx = − cos x+ c

•∫cosxdx = sin x+ c

•∫exdx = ex + c

•∫

1√1−x2

dx = arcsin x+ c

•∫

11+x2 dx = arctanx+ c

Megjegyzés. Ha ez nem okoz félreértést, akkor –a differenciáláshoz hasonlóan– az xargumentumot és a dx-et sem írjuk ki.

11.2. Tétel (Mûveletek és integrálás). Legyen c ∈ R és f, g integrálható függvény.

Ekkor

•∫f + g =

∫f +

∫g

•∫c · f = c

∫f

11.1. Helyettesítéssel való integrálás

Ezt a módszert akkor alkamlazzuk, ha az integrandusban egy adott függvény, és annakderiváltja is megtalálható.Megjegyzés. Emlékeztetünk az összetett függvény differenciálási szabályára:

(f(g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x).

Ha most az egyenlõség mindkét oldalát integráljuk, akkor megkapjuk a helyettesítésselvaló integrálás szabályát:

∫f ′(g(x)) · g′(x)dx =

∫f ′(y)dy = f(y) + c,

aholy = g(x), dy = g′(x)dx

Megjegyzés. Jegyezzük meg az alábbi összefüggéseket:∫

f qf ′ =f q+1

q + 1+ c, q 6= −1

∫f ′

f= ln |f |+ c

64. Határozzuk meg a következõ integrálokat.

(a)∫

dxx+a

,

23

(b)∫(2x− 3)10 dx,

(c)∫

3√1− 3x dx,

(d)∫

dx(5x−2)5/2

,

(e)∫ 5

√1−2x+x2

1−xdx,

(f)∫(e−x + e−2x) dx,

(g)∫

dx1−cos x

,

(h)∫

dx1+cos x

,

(i)∫

dx1+sinx

,

(j)∫

dx(1+x)

√x,

(k)∫xe−x2

dx,

(l)∫

dxx√x2+1

,

(m)∫

dxx√x2−1

,

(n)∫

x(x2+1)3/2

dx,

(o)∫tan x dx,

(p)∫

ln2 xx

dx,

(q)∫

11−x2 ln

1+x1−x

dx,

(r)∫

cos3 xsinx

dx.

65. Az x = a sin t, x = a tan t, x = a sin2 t, . . . trigonometrikus helyettesítések segítsé-gével határozzuk meg a következõ integrálokat:

(a)∫

1(1−x2)3/2

dx,

(b)∫

x2√x2−2

dx,

(c)∫ √

c2 − x2dx, ahol c > 0,

(d)∫

1(x2+c2)3/2

dx, ahol c > 0,

(e)∫ √

c+xc−x

dx, ahol c > 0,

(f)∫ √

(x− c)(x− d)dx, ahol c, d > 0.

11.2. Parciális integrálás

Ezt a módszert akkor használhatjuk, ha az integrandus szorzat alakú.Megjegyzés. Emlékeztetünk a szorzatfüggvény differenciálási szabályára:

(fg)′ = f ′g + fg′

24

Mindkét oldal integrálásával, és egy egyszerû egyenletrendezéssel kapjuk az∫

f ′g = fg −∫

fg′ + c

összefüggést.

66. Adjuk meg a következõ intégrálok értékét.

(a)∫ln x dx,

(b)∫xn ln x dx,

(c)∫( lnx

x)2 dx,

(d)∫xe−x dx,

(e)∫ √

x ln2 x dx,

(f)∫x cos x dx,

(g)∫x2 sin 2x dx.

11.3. Racionális törtfüggvények

Legyen a(x) és b(x) két tetszõleges polinom, ekkor az∫ a(x)

b(x)dx értékének meghatározása:

1. ha a∗ ≥ b∗, akkor alkalmazzunk polinomosztást (, ahol a∗ az a polinom fokszáma),

2. ha a∗ < b∗, akkor tekintsük a b polinomot,

(a) ha b-nek van zérushelye, akkor hozzuk szorzat alakra (, ahol a tényezõk elsõ-fokú, és valós gyökkel nem rendelkezõ másodfokú polinomok), majd az integ-randust írjuk fel összeg alakban,

(b) b∗ = 2 és nincs valós zérushelye.

67. Számítsuk ki a következõ integrálok értékét összegre bontás segítségével.

(a)∫

x2

x+1dx,

(b)∫ (1+x)2

1+x2 dx,

(c)∫

1(x−1)(x+3)

dx,

(d)∫

1x2+x−2

dx,

(e)∫

1(x2+1)(x2+2)

dx,

(f)∫

x(x+2)(x+3)

dx,

(g)∫

1sin2 x cos2 x

dx,

(h)∫

x10

x2+x−2dx,

(i)∫

x3+1x3−5x2+6x

dx,

(j)∫

xx3−1

dx,

(k)∫

1x4−1

dx.

25

11.4. Trigonometrikus integrálás

Asin(x+ y) = sin x cos y + cosx sin y, cos(x+ y) = cos x cos y − sin x sin y

addiciós képletek és asin2 x+ cos2 x = 1

Pitagorasz tétel segítségével egy szorzatot mindig át tudunk írni összeg alakra, és fordítva.Megjegyzés. Az

∫sinm x cosn xdx integrál rekurzióval is könnyen számolható.

11.3. Tétel. Jelöljön R(u, v) egy racionális függvényt. Ekkor az

∫R(sin x, cosx)dx

integrál visszavezethetõ racionális függvény integrálására a

tanx

2= t

helyettesítéssel.

Megjegyzés. A fenti helyettesítés esetén

sin x =2t

1 + t2, cosx =

1− t2

1 + t2és dx =

2

1 + t2dt.

68. Számítsuk ki a következõ integrálokat:

(a)∫cos5 xdx,

(b)∫sin6 xdx,

(c)∫sin2 x cos4 xdx,

(d)∫sin4 x cos5 xdx,

(e)∫sin5 x cos5 xdx,

(f)∫

sin3 xcos4 x

dx,

(g)∫

cos4 xsin3 x

dx,

(h)∫

1cos3 x

dx,

(i)∫

1sin4 x

dx,

(j)∫

1sin4 x cos4 x

dx,

(k)∫

1sin3 x cos5 x

dx,

(l)∫

1√sin3 x cos5 x

dx,

(m)∫tan5 xdx,

(n)∫

1tan6 x

dx,

(o)∫

1√tan x

dx,

26

(p)∫

13√tan x

dx.

69. Az addiciós képletek segítségével számítsuk ki az alábbi integrálokat:

(a)∫sin 5x cosxdx,

(b)∫cosx cos 2x cos 3xdx,

(c)∫sin x sin x

2sin x

3dx,

(d)∫cos2 cx cos2 dxdx, ahol c, d ∈ R,

(e)∫sin3 2x cos2 3xdx.

70. Határozzuk meg a következõ integrálokat:

(a)∫

12 sinx−cos x+5

dx,

(b)∫

1(2+cos x) sinx

dx,

(c)∫

sin2 xsinx+2cos x

dx,

(d)∫

sin2 x1+sin2 x

dx,

(e)∫

sinx cos xsinx+cosx

dx,

(f)∫

sinxsin3 x+cos3 x

dx,

(g)∫

1sin4 x cos4 x

dx,

(h)∫

sin2 x−cos2 xsin4 x+cos4 x

dx,

(i)∫

sinx cos x1+sin4 x

dx.

11.5. Vegyes feladatok

71. Vezessük vissza alapintegrálokra a következõ kifejezéseket.

(a)∫(3− x2)3 dx,

(b)∫x2(5− x)4 dx,

(c)∫(1−x

x)2 dx,

(d)∫

x+1√xdx,

(e)∫(1− 1

x2 )√

x√x dx,

(f)∫

x2

1+x2 dx,

(g)∫

x2

1−x2 dx,

(h)∫(2x + 3x)2 dx,

(i)∫ √

1− sin 2x dx,

(j)∫tan2 x dx,

(k)∫

1x2+x+1

dx,

27

(l)∫

1x2−x+2

dx,

(m)∫

xx4−2x2−1

dx,

(n)∫

x+1x2+x+1

dx,

(o)∫

xex

(x+1)2dx,

(p)∫

x5

x6−x3−2dx,

(q)∫

13 sin2 x−8 sinx cos x+5 cos2 x

dx,

(r)∫

1√x+x2

dx,

(s)∫

x√5+x−x2

dx,

(t)∫

cos x1+sinx+cos2 x

dx.

72. Egy alkalmas változó racionális függvényeire visszavezetve oldjuk meg:

(a)∫

11+

√xdx,

(b)∫

x 3√2+x

x+ 3√2+x

dx,

(c)∫

1− 3√1+x

1+ 3√1+x

dx,

(d)∫ √

x+1−√x−1√

x+1+√x−1

dx.

73. Számítsuk ki az alábbi integrálokat:

(a)∫

1(1+ex)2

dx,

(b)∫

e2x

1+exdx,

(c)∫

1√ex−1

dx,

(d)∫ √

ex−1ex+1

dx,

(e)∫x3e3xdx,

(f)∫(x2 − 2x+ 2)e−xdx,

(g)∫x5 sin 5xdx,

(h)∫xex sin xdx,

(i)∫lnn xdx,

(j)∫x3 ln2 xdx,

(k)∫( lnx

x)3dx,

(l)∫x arctan(x+ 1)dx,

(m)∫arcsin

√xdx,

(n)∫x ln 1+x

1−xdx.

28

12. Határozott integrálás

12.1. Definíció. Egy az (a, b) ⊂ R intervallumon értelmezett függvény határozott integ-rálján a görbe alatti –elõjeles– terültet értjük.

Jelölés. Az f függvény határozott integrálja az (a, b) intervallumon:

∫ b

a

f(x)dx.

12.1. Tétel (Newton-Leibniz formula). Ha az f függvény folytonos az (a, b) inter-

vallumon, és F ′(x) = f(x), akkor

∫ b

a

f(x)dx =[F (x)

]bx=a

= F (b)− F (a).

12.2. Tétel (Parciális integrálás). Ha f, g ∈ C(a, b), akkor

∫ b

a

fg′ =[fg

]ba−∫ b

a

f ′g

12.3. Tétel (Helyettesítéses integrálás). Tegyük fel, hogy

• f ∈ C(a, b),

• ϕ(t), ϕ′(t) ∈ C(α, β) és ϕ(a) = α, ϕ(b) = β,

• f(ϕ(t)) ∈ C(α, β),

ekkor ∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f(ϕ(t))ϕ′(t)dt.

74. Számítsuk ki a következõ határozott integrálokat és rajzoljuk fel a megfelelõ görbévelhatárolt területeket:

(a)8∫

−1

3√xdx,

(b)π∫0

sin xdx,

(c)1/

√3∫

√3

11+x2 dx,

(d)−1/2∫1/2

1√1−x2

dx,

(e)2∫0

|1− x|dx.

29

75. Keressük meg a következõ határértékeket:

(a) limn→∞

(1n2 +

2n2 + · · ·+ n−1

n2

),

(b) limn→∞

(1

n+1+ 1

n+2+ · · ·+ 1

2n

),

(c) limn→∞

(n

n2+1+ n

n2+4+ · · ·+ n

2n2

),

(d) limn→∞

(sin π

n+ sin 2π

n+ · · ·+ sin (n−1)π

n

),

(e) limn→∞

(1p+2p+···+np

np+1

), ahol p > 0.

76. Parciális integrálással számítsuk ki az alábbi integrálokat:

(a)ln 2∫0

xe−xdx,

(b)π∫0

x sin xdx,

(c)2π∫0

x2 cosxdx,

(d)e∫

1/e

| lnx|dx,

(e)

√3∫

0

arctan xdx.

77. Helyettesítéssel határozzuk meg az integrálok értékét:

(a)1∫

−1

x√5−4x

dx,

(b)a∫0

x2√a2 − x2dx,

(c)3/4∫0

1(x+1)

√x2+1

dx,

(d)ln 2∫0

√ex − 1dx,

(e)1∫

−1

1+x2

1+x4 dx (segítség: itt legyen t = x− 1x).

78. Számítsuk ki:

(a)1∫0

x(2 − x2)12dx,

30

(b)1∫

−1

xx2+x+1

dx,

(c)e∫1

(x ln x)2dx,

(d)9∫1

x 3√1− xdx,

(e)3∫0

arcsin√

x1+x

dx,

(f)2π∫0

1(2+cos x)(3+cos x)

dx,

(g)π/2∫0

sin x sin 2x sin 3xdx,

(h)π∫0

(x sin x)2dx,

(i)π∫0

ex cos2 xdx.

12.1. Improprius integrál

12.2. Definíció. Ha az (a, b) intervallumon az f(x) függvény nem korlátos, vagy az in-tervallum hossza végtelen, esetleg mindkettõ egyszerre teljesül, akkor az

∫ b

a

f(x)dx

integrált improprius integrálnak hívjuk.

Megjegyzés. Kiszámítása: visszavezetjük a szokásos határozott integrálra:

• Ha a függvény nem folytonos az (a, b)-on, akkor legyen c a szakadási helye, és hasz-náljuk, hogy az integrálás additív, vagyis

∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f,

ekkor a jobboldalon álló két integrál értékét már meg tudjuk határozni.

• Ha az intervallum végtelen, akkor az F (∞) értelmetlen kifejezés helyett a limx→∞

F (x)

határértéket kell írni és kiszámolni (, ahol F az f egy primitív függvénye).

12.3. Definíció. Ha az integrál véges, akkor konvergensnek, ha végtelen, akkor diver-gensnek nevezzük.

Megjegyzés. Az∫ a(x)

b(x)dx integrál csak akkor konvergens valamely végtelen intervallu-

mon, ha b∗ − a∗ > 1.

31

79. Állapítsuk meg, hogy az alábbi integrálok konvergensek-e, és ha igen, határozzukmeg az értéküket.

(a)2∫0

1√4−x2

dx,

(b)0∫

−3

15√

(x+2)4dx,

(c)2∫0

3√2x−1/3dx,

(d)1∫

−1

x−2/3dx,

(e)3√2∫

0

3x2

7√

(x3−1)2dx,

(f)1∫0

arcsin√x√

1−xdx,

(g)∞∫0

e−xdx,

(h)∞∫

−∞

1√1+x2

dx,

(i)0∫

−∞e2xdx,

(j)∞∫0

xe−xdx,

(k)∞∫2

1ln2 x

dx,

(l)∞∫0

11+x

dx,

(m)2∫1

1√(x−1)3

dx,

(n)1∫0

1√1−x

dx,

(o)1∫

−1

1x2dx,

12.2. Terület-, térfogat- és felszínszámítás

12.4. Tétel. Az (y1 =)f1(x), (y2 =)f2(x), x = a és x = b görbék által határolt síkidom

területe:

T =

∫ b

a

f2 − f1.

32

Megjegyzés. Szemléletesen, az f2 alatti területbõl elvesszük azt a részt, ami az f1 alattis van.

12.5. Tétel. Az y = f(x) (folytonosan differenciálható) görbe ívhossza (az a ≤ x ≤ bintervallumon):

I =

∫ b

a

√1 + (y′)2.

12.6. Tétel. Tegyük fel, hogy valamely testnek létezik a térfogata, és legyen T (x) annak a

keresztemetszetnek a területe (a ≤ x ≤ b), amit az x pontban emelt, x-tengelyre merõleges

sík kimetsz a testbõl. Ekkor a test térfogata:

V =

∫ b

a

T.

12.1. Következmény (Forgástest térfogata). Ha y1 és y2 nemnegatív függvény az[a, b] intervallumon. Az y1 ≤ y ≤ y2 tartomány x-tengely körüli megforgatásával keletkezõtest térfogata:

V = π

∫ b

a

y22 − y21.

12.7. Tétel. Az AB sima görbeív x-tengely körüli megforgatásával keletkezõ felület fel-

színe:

P = 2π

∫ B

A

|y|ds,

ahol ds az ívhosszmérték.

Megjegyzés. A fenti felszínt tehát a

2π

∫ b

a

y√1 + (y′)2

integrállal határozhatjuk meg.Megjegyzés. Ha egy függvénygrafikont az y-tengely körül forgatunk meg, akkor is hasz-nálhatóak a fenti összefüggések, annyi különbséggel, hogy az y = f(x) összefüggésbõl kikell fejezni x-et, és a megadott képletekben is el kell végezni az x y cserét.

80. Határozzuk meg az alábbi derékszögû koordinátákkal felírt görbékkel határolt ido-mok területét:

(a) ax = y2, ay = x2,

(b) y = x2, x+ y = 2,

(c) y = 2x− x2, x+ y = 0,

(d) y = | lg x|, y = 0, x = 0, 1, x = 10,

(e) y = 2x, y = 2, x = 0,

(f) y = (x+ 1)2, x = sin πy, y = 0 (0 ≤ y ≤ 1),

33

(g) x2

a2+ y2

b2= 1, ahol a, b > 0,

(h) y = e−x| sinx|, y = 0 (x ≥ 0).

81. Milyen arányban osztja ketté az y2 = 2x egyenletû parabola az x2+y2 = 8 egyenletûkör területét?

82. Számítsuk ki a következõ görbék ívhosszát:

(a) y = x3/2 (0 ≤ x ≤ 4),

(b) y = ex (0 ≤ x ≤ x0),

(c) x = 14y2 − 1

2ln y (1 ≤ y ≤ e),

(d) y = ln cos x (0 ≤ x ≤ a < π2).

83. Forgassuk meg a felsorolt görbéket a megadott tengelyek körül és számítsuk ki azígy keletkezõ felületekkel határolt testek térfogatát:

(a) y = (x/a)2/3 (0 ≤ x ≤ a), x-tengely körül,

(b) y = 2x− x2, y = 0, x-tengely körül,

(c) y = 2x− x2, y = 0, y-tengely körül,

(d) y = e−x, y = 0 (0 ≤ x < ∞), x-tengely körül,

(e) y = e−x, y = 0 (0 ≤ x < ∞), y-tengely körül,

(f) y = e−x√sin x (0 ≤ x < ∞), x-tengely körül.

84. Határozzuk meg az alábbi görbék megadott tengely körül való megforgatásával nyertfelületek felszínét:

(a) y = x√

xa

(0 ≤ x ≤ a), x-tengely körül,

(b) y = tanx (0 ≤ π4, x)-tengely körül,

(c) x2

a2+ y2

b2= 1 (0 < b ≤ a), x-tengely körül,

(d) x2

a2+ y2

b2= 1 (0 < b ≤ a), y-tengely körül,

(e) x2 + (y − b)2 = a2 (b ≥ a), x-tengely körül,

(f) x2/3 + y2/3 = a2/3, x-tengely körül.

13. Numerikus integrálás

Nagyon sok függvénynek (pl. sin x/x, 1/ lnx,√1 + x3, exp(x2), . . . ) nem tudjuk meg-

határozni a primitív függvényét. Ezekben az esetekben közelítjük a határozott integrálokértékét.

Az numerikus integrálás az∫ b

a

f ≈n∑

k=0

ckf(xk)

kvadratúra-képlettel történik, ahol n ∈ N, ck valós együtthatók és a = x0 < x1 < · · · <xn = b.

34

13.1. Newton-Cotes formula

Az f függvényt közelíthetjük a p(x) Lagrange-féle interpolációs polinommal. Ekkor∫ b

a

f ≈∫ b

a

p,

vagyis a kvadratúra-képlet ck együtthatókat a Lagrange-féle interpolációs alappolinomintegráljaként definiáltuk:

ck =

∫ b

a

lk,

ahol az lk(x) polinomot a 9. fejezetben definiáltuk.Ha az elõzõ formulát az n = 1 esetre felírjuk, akkor megkapjuk az

∫ b

a

f ≈ b− a

2(f(a) + f(b))

trapéz-formulát.Ha az n = 2 esetre írjuk fel, akkor az

∫ b

a

f ≈ b− a

6

(f(a) + 4f

(a+ b

2

)+ f(b)

)

Simpson-formulát kapjuk.

85. Írjuk fel a Newton-Cotes formulát az

(a) n = 1,

(b) n = 2

esetben.

86. Számoljuk ki az2∫1

1/xdx elsõ öt

(a) trapézösszegét,

(b) Simpson-összegét.

87. A Simpson-formula segítségével számoljuk ki a

(a)1∫0

√1 + x3 dx,

(b)1∫0

ex2

dx,

(c)9∫3

1lnx

dx,

(d)10∫0

1x10+x+1

dx

integrálok közelítõ értékét.

35

13.2. Érintõ-formula

13.1. Definíció. Az [a, b] intervallum egy beosztását ekvidisztánsnak nevezzük, ha azosztópontok közötti távolság állandó, h = b−a

n.

Egy függvényt közelíthetünk a Taylor-polinomjával is. Ekvidisztáns beosztás és elsõ-rendõ Taylor-polinom esetén az

∫ b

a

f ≈ hn∑

k=1

f(xk)

érintõ-formulát kapjuk.

88. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi integrálokat a trapéz-, a Simpson-formulával ésaz érintõ módszerrel is. (A feladat után zárójelben lévõ számok az ekvidisztánsosztópontok számát adják meg.)

(a)4∫0

14+x3dx, (4),

(b)2∫0

√1 + x3dx, (4),

(c)5∫1

√126− x3dx, (4),

(d)8∫0

x3√4+x2

dx, (6),

(e)10∫0

3√125− x2dx, (6),

(f)1∫0

√1− x3dx, (10),

(g)1∫0

√1 + x4dx, (10),

(h)5∫2

1lnx

dx, (6),

(i)π/3∫0

√cos xdx, (10),

(j)π/3∫0

sinxxdx, (10),

(k)1∫0

arctan xx

dx, (10),

(l)9∫0

√xdx, (4),

36

(m)π∫0

√3 + cosxdx, (6),

(n)1∫0

xln(1+x)

dx, (6),

(o)1∫0

11+x

dx, (8),

(p)π/2∫0

√1− 1

4sin2 xdx, (6),

(q)1∫0

11+x3dx, (12).

P.S. Kérek mindenkit, hogy ha talál hibát, még a legegyszerûbbet is, jelezze a

safar.zoltan@ttk.nyme.hu címemre.

37