Embed Size (px)
DESCRIPTION
Pimjeri sfernog kretanja
Citation preview
Svojstvo jednakosti vršnih kutova uz trenutni pol brzina, svojstvo zakrenutih brzina i jednakost projiciranih brzina koriste se u rjdavanju zadataka kinematike ravninskog gibanja.
Primjer 3.7
. Točke A i B pravokutnika gibaju se po žljebovima prema slici 3.32. Poznata je brzma VA' Odrediti brzinu točke B II položaju pravokutnika određenom kUlom !p.
. Trenutni pol brzina PI' nalazi se u sjecištu okomica na pravce gibanja točaka A I B, ~lan položaja i na njemu zadani vektor brzine v A nacrta se u mjerilu za dužine i u mjerilu za brzine. Povlačenjem spojnice od vrha brzine v A do pola Pp dobiva se kut ~, koji prenesen u istom smjeru od pravca BP, daje brzinu v. (sl. 3.32a).
Isti zadatak može se riješiti pomoću zakrenutih brzina tako da se vektor v il nacrtan u mjerilu zakreće za 90' od svog stvarnog položaja (sl. 3.32bJ. Kroz vrh zakrenute brztne povlačimo paralelu s pravcem AR Na toj paraleli leži" i vrh zakrenute brzine točke B. To je okomica BBI na smjer gibanja točke R Kada se brzina BBI zakrene II suprotnom smjeru od zakretanja vektora VA. za 90'\ dobiva se stvarna brzina VB'
B
, , , '. A V. A ~ ,,/
al bl Slika :;,32. Određivanje brzina točke B pomoću jednaJ.:osti. kula Ul pol P~ (a). zakrenutim (b) i
projiciranim brzinama (ci
Rješenje pomoću projiciranih brzina dobiva se tako da se brzina VA projicira na pravac AB. Ta projekcija prenesena II točku B ujedno je i projekcija brzine v •. Brzina va. pronalazi se podizanjem okomice iz vrha njezine projicirane brzine.
3.4. Sferno gibanje
3.4.1. Konačni i beskonačno mali kutni pomaci tijel';--
SJerno gibanje krutog tijela naslOje kad jedna točka na tijelu miruje a sve ostale gibaju se oko te nepomične točke. Takvo gibanje nastaje i kada je tijelo vezano krutom vezom uz nepomičnu točku koja ne pripada tijelu ili se mOže zamisliti da takva veza postoji. Svaka točka krutog tijela ostaje u toku gibanja na jednakoj
86
udaljenosti od nepomične točke oko koje se odvija sfemo gibanje. Stoga putanje tih točaka leže na sfernim plohama kojih je .ređište nepomična točka. Oluda i ime ,ternom gibanju. Ako se koordinatna ishodište izabere II n<pomičnoj točki oko koje se tijelo sferno giba. tada je položaj rijela određen II svakom trenutku s tri Eulerova kuta:
I/I=.p(I)
<j? = rp (t)
8=9(1).
pa tijelo pri takvom gibanju imtl: tri stupnja slobode gibanja.
(3.65)
KutOvi .p. rp i 8 predstavljaju zakrete oko tri međusobno okomite OSI. Ukupni konačni zakret nije moguće izraziti vektorskom sumom pojedinih zakreta. Pojedini konaeni zakreti nisu vektorske veličine, a konačni položaj tijela zavisi o redoslijedu pojedinih zakreta. Tako npr. tijelo na slici 3.33'; zakrenUlo je iz prvobitnog položaja za 90' oko osi x (sl. 3.33b) i zatim za isti kut oko osi y (sl. 3.330). Pobočka .tBC D dolla je u položaj paralelan. ravninom -', J'. Kada se redoslijed zakreta mijenja (.1. 3.33d i ej, pobočka ABC D paralelna je S ravninom x. z. Zakon komulacije za kutove ne vrijedi.
Svaki konačni pomak tijela iz jednog položaja II drugi može se kod sfernog ~ibanja rostići j rotacijom tijela oko određene osi za konačni kUL Ta os prolazi
t z z
y
al bl
z
y
eJ dl
Slika 3,,3). Zakret tijela lU 90( iz osnovnog pOložaja (a) oko osi x (bl i r (cl ne daje isti konačni polo:iaj kao zakrC1 najprije oko osi }' (dl i zatim oko osi :t (e)
87
kroz nepomičnu točku oko koje se tijelo giba. To je Euler- D'Alembertov kilJ('IIIlltički teOl'em, kojega se is.tinitost može pokazati pomoću slike 3.34. Kod sfernog gibanja tijela oko nepomične točke O dolazi traku I OAB kao dio tijela iz prvobitnog položaja u novi O.·fB'. Put.:mje točaka A i B krivulje su koje leže na sfernim plohama polumjera OA i OB. Obje putanje mogu biti i kružnice. Točka A može doći u .-I' po jednoj od kružnih pUlanja kao posljedica rotacije stranice DA oko bilo koje osi koja leži u ravnini I (iscrtkana ra\·nina ml slici 3.34b) i koja prolazi kroz
LJ
aJ
Slika 3.3':;. Euler-O·Akmberl(H" Ie'Mem
točku o. To isto vrijedi za točku B. Bilo koja cs kroz O koja leži u ravnini II može biti os rotacije za stranicu OB. Kod svake takve rolacije B dolazi u B' po kružnoj putanji. Istovremeno dolaze točke A u A' i B II B' samo kod rotacije tijela oko osi koja je zajednička ravninama I i II. To je sjecište tih ravnina Li. Prema tome se svaki konačni pomak iz položaja DAB tijela u položaj OA' B' kod sfernog gibanja može zamisliti da je nastao rotacijom tijela oko osi A za kut ct. (sl. 3.35). Kako je rečeno, taj kut nije moguće dobiti vektorskim zbrajanjem kutova !jJ, cp i 8. ako su njihovi iznosi konačni.
Slika 3.35. Srerno gibanje kao ro1acija oko osi II
88
, i
i"'
Euler- D·.-\lembenov teorem vrijedi i za beskonačno male pomake. Tada se os Li naziva trenutnom osi rotacije, te se svaki beskonačno mali pomak pri sfernom gibaniu može zamislili kao beskonačno milla rotacija oko trenutne osi ..d. SIieno proll1~ltranje u\"di smo i kod ravninskog gibanja. gdje .~C s\'aki beskonačno mali pomak lijela nwže zamijeniti beskonačno malom rotacijom oko trenutnog centra rotacije. odnosno oko osi kroz pol PI' koja leZi okomito na rererentnu ravninu. Kod ra\·ninskog gibanja s\·e trenutne osi među:::l)bno su paralelne, pa se lab"o gibanje može shvatiti i kao poseban slučaj sfernog gibanja.
Za razliku \.)d konačnih kutnih pomak:! beskonačno maJi kutni pomaci zbrajaju se kao vektori i za nji~ijedi zakon komutacije. Na slici }.36 pomak točke A II
..1' kod rotacije dužine DA za kut dcp; oko osi = iznosi OA ·dcp:. što se može prikaz,ni vektorski:
(3.66)
z
y
A, SHa 3.36. Zbrajanje bcskon:t';no malih kutnih pomaka
Ako se zatim dužina OA zarotira oko osi y za kut dip}" bit će pomak točke A u A" jednak OA' . dip,., ili ,·ektorski:
AA" = d<p~. J( OA.
Ukupni pomak AAI izražen kao vektor. bil će
AA, =AA' + AA" = (dq>,+dq>,.) x OA.
S druge strane AAI = d<p x OA, tako da je
dq>=dq>,+dq>,..
(3.67)
(3.68)
(3.69)
Izraz··O.69) za zbrajanje beskonačno malih kutnih pomaka \'rijedi i za više rotacija bez obzira na to kako osi leže u prostoru. Uvijek je ukupni beskonačno mali pomak vektorska suma komponenata beskonačno malih rotacija. Os LI jest os rezultirajuće rotacije. Tako se kod sfernog gibanja oko točke O prirasti koordinata t/I. cp i:1 mogu zbroji[i u rezultirajući beskonačno mali kutni pomak dW+ d<p+d3. Vektor dlJt pokJapa 5e s osi =' (sl. 1.I l. jer je to zakret oko te osi. pa po pravilu
89
desnog vijka pripadni vektor kutnog pomaka pada u tu os. Vektor dop leži II pravcu osi ~. 3 kutni pomak rl 1/ poklapa se s čvornom linijom n.
3.4.2. Kutna brzina i kutno ubrzanje
Kako je u 3.4.1 pokazano. prirasti Eulerovih kut ov. su vektori. Izborom koordinatnog ishodišta u točki O oko koje se kruto tijelo giba (sl. 3.31) poklapaju
y
,-x n,X ....
Slika 337. Kutna brzina i kutno ubrzanje kod sfernog gibanja
se koordinatni sustavi x, YI z i x', )I', :' sa slike l.l. Vektori prirasta Eulerovih kutova dojt, dop i d II leže na osima z, ~ i ll. a podijeljeni s diferencijalom vremena dt daju kutne brzine rotacije oko tih osi*:
dojt =.j, dt
(precesija) (3.70)
dcp • (rotacija) (3.71) -=op
dt
dS li (nutacija). (3.72)
Nazivi tih komponentnih rotacija preuzeti su iz nebeske mehanike i uvriježili su se u inženjerskoj praksi.
Budući da se prir.sti kutova !/I. rp i 8 mogu vektorski zbrojiti tl rezult.ntni kUloi pomak dojt+dop+d9. nakon dijeljenja s dl dobiva se
dojt d", d II __ . 0>=-+-+
dt dt dr iH skraćeno
o> =.j,+ <i> + !l. (3.73)
.- Ovdje treba uočiti da !sc kU10vi deriviraju kao skalari, a z.alim uzimaju kao vektori. 1e se OZJlake 4-, q itd. tle smiju poistovjetiti s derivacijama vektora. jer kutovi to nisu,
90
I
I
Taj rezultantni vektor jeste kutna brzina rotacije tijela oko trenutne osi Li koja sc poklapa s vektorom {!l. Svakom nov~ryt .lrenut~u pri~da nova tr:nutna os .rot~ije A. tako da '" ima prirast kako po VelIČinI tako I po smjeru. UkupnI vektorskI pnras! kutne brzine (O jeste kutno ubrzanje .E:
dID • 4 "=-=ro, (3.1 l
dt
koje zbog prirasta vektora (t) po smjeru ne leži na trenutnoj osi rotacije,
Vektori kutne baine o} i kutnog ubrzanja t prikazuju se II jednom od koordinatnih sustava. Koordinatni sustav x, )I~ z nepomičan je i ima jedinične vekrore i. j i li.. pa se projiciranjem vektora ~j q,. j. na osi x. y, t dobiva:
wx=~ sin,9 sin !/t + geos",
"', = ~ ip sin 9 cos >/I +,9 sin >/I
OJ,=ifJ+q,cos9.
(3.75)
(3.76)
(3.77)
Ponekad je zgodnije promatrati vektor oo u~, '1,;; koordinatnom sustavu. Taj je susta v vezan uz tijelo. pomičan je, a jedinični vektori su. mu c{O c'1 ic;. Komponente vektora CI) u tom sustavu dobivaju se projicif'dnjem t~ <p i 9:
(I)~= tfr sin:). sin tp + iJ COS(/)
{iJ'1=1jJ sin 9 cos cp - 8: sin cp
{JJ,=ifJcos iJ +q,.
(3.781
(3.79)
(3.80)
Koordinatni sustav koji u 1. poglavlju nije spomenut jest sustav X, Y, Z On je samo djelomično vezan uz tijelo. Kada su kutovi", i :1 konstantni, sustav X, Y, Z miruje jer promjena kuta cp ne utječe na kutni pomak ni jedne osi. Taj sustav poseb~o je pogodan za opisivanje tehničkih problema, jer je rotacija tijela fP odvojena od preostala dva gibanja. Jedinični vektori tog sustava su ex' el' l CZ' a komponente vektora (I) glase:
{JJx=!}
(JJ). = ifJ sin .9
wz=ip+ifJ cos lJ.
(3.81 )
(3.82)
(3.83)
Vektor 0)' kojim se giba sustav X. Y, Z ne sadrži rotaciju~ pa su mu komponente
ID' =exi!+ <rifJ sin 3 +ezifJcosiJ.
Iznos kutne brzine (!) dobiva se pomoću komponenata u bilo kojem od navedenih koordinatnih sustava: _'.
w=v'w! + ai, +w; -v'CO:+W;+wj -Jwi+"'~+w~ Rezultat je uvijek isti:
(3.84)
(3.85)
91
Komponente kutnog ubrzanja .[ dobivaju se deri\'iranjem vektora «J prema (3.74). U koordinatnom sustavu x, y,: .[=cv)+cvj+cr).k. Jedinični vektori i, j, k konstantni su. tako da je '[=w,..,i+w)+co:k, odnos~o .
E =W x x
e: =cv:_
(3.86)
U koordinatnom sustavu ~. fl. e ro=wi;e.::+cv"ell+cv;e;. Jediriični vektori e.::, e" i e~ pomični su, gibaju se sa sustavom ~, 'I. e vezanim uz tijelo, pa je njihovo gibanje sterno s kutnom brzinom «J. Vidjeli smO da je kod rotacije krutog tijela derivacija vektora položaja r neke točke na tijelu jednaka r=ro x r. Potpuno isto vrijedi i ovdje za jedinične veklore, koji također nemaju priraste po veličini. te Je e.=oo x eo!. eli =ro x eli i e;=ro x e~. Kutno ubrzanje je prema tome u tom susta\'u ~
E: =w=cv.:C.::+(o"e" +w,e;+oo x (w.::e.::+w"e" +w~e~l, Kako je zagrada na desnoj strani jednaka vektoru oo, te kako je oo x oo = O, i ovdje je E: =(v~e.:-+rolle" +ro~e~, ili
e.:=W.:
E"=W,,
E;=W,.
(3.87)
U sustavu X, Y, Z, koji se giba s oo', derivacije su jediničnih vektora: ex =00' x ex, fr=OO' x er i fz=oo' x ez. Kutno ubrzanje
Kada se vektorski produkt napiše u komponentama, dobiju se komponente vek-tora E::
Primjer 3.8
EX=WX+W~.wz-w~wr
Er=Wy+WZwx-w~z
ez=Wz+w~\.wr -WYWx·
(3.88)
Kružna ploča s osovinom rotira oko vlastite osi, konstantnom brzinom vrtnje n = 240 min -I, a oko osi z brzinom nl = 60 min -I (vidi sliku 3.38), koja je također konstantna. Za vrijeme gibanja nagib osi tijela prema osi:: je stalan i imosi 8 = 60°. Odrediti vektore (t) i E: pomoću sustava X, Y. Z.
92
Komponente vektora kutne brzine oo prema zadatku iznose:
1/1= nl 1t =21[5- 1
30
. mr cp=-=81[ S-I
30
9=0.
:.-,
.
';.: .• , ,e
zi l ~,
U sustavu X, Y. Z bit će prema (3.81) do (3.83)
0)\.=3=0
C~r=!jJ sind=7rv'3=5,441 S-I
(V Z = ip + <it cos 9 =9" = 28.274 S-l.
, z
~.z
y
x v' ............... -.... ........................ ..,....
n,X Slika ~}S_ Sferna gibanje kružne ploče konstantnim brzinama vrtnje II i 111
Vektor ro=roye}-+wzez (sl. 3.39a) ima konstantan iznos
eJ =.Jr}J' +ip' + 2J/tip cos 9 =.JeJ~ +wi =28,793 S-l
a leži u ravnini Z. Y pod kutom :x prema osi Z:
lUf . o=arctan -= 10,893·.
lUZ
LI r o~ _____ ~ ____ ~Y
w y
z ...........................
n.X
x
a) o bl Slika 3.39. Vektor kutne brzine e; {al i kutDog ubrzanja t (bl
Komponente kutne brzine konstantne su po iznosu, pa je kutno ubrzanje e=Ol'xOl. Kutna brzina sustava X, Y, Z 0l'=eyl}!sin9+ezl}!cos9=-V, paje iznos kutnog ubrzanja
e=lU'w sin(9- 0)= 136,7575- 2.
93
Kutno ubrzanje leži okomito na ravninu vektora ~ i ro, znači u pravcu osi X (sl. 3.39bJ. Kut prema osi x promjenljiv je i iznosi ifJ=27tt,jer je ifJ =2n= konst. Položaj vektora ro i E prikazan je na slici 3.40. na kojoj se vidi i trenutna os rotacije LI.
z
y
x x Slika 3.40. Položaj vektora e;; i -;
3.4.3. Brzina i ubrzanje točke na tijelu
Brzina neke točke A na tijelu jednaka je prvoj derivaciji vektora položaja r (sl. 3.41 aj. Budući da kod sfernog gibanja, jednako kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi, vrijedi, da je r=ro x r, brzina" točke A odredena je Eulerovom formulom:
v=roxr.
Vektor brzine okomit je na ravninu ro i r, a iznos mu je
v=wl'siny=wb.
(3.89)
(3.90)
Vidi se da je iznos i položaj vektora" u odnosu na trenutnu os rotacije L1 isti kao i kod rotacije tijela oko nepomične osi.
Ubrzanje a dobiva se derivir2.njem vektora brzine y:
a=v=roxr+roxr.
Kako je 00= E, a r= "=0) x r, ubrzanje je
a=Exr+rox(coxr). (3.91)
Taj izraz analogan je izrazu (3.21) kod rotacije tijela oko nepomične osi, oo ovdje je značenje komponenti na desnoj strani drugačije. Komponenta 8 1 = E X r (sl. 3.41 b) ima iznos
(3.92)
Komponenta 3 1 okomita je na ravilTiiU vektora E i r, 'ne pokiapa:' se po pravcu s vektorom brzine v, te se prema tome razlikuje od tangeocijalne komponente ubrzanja točke A. Komponenta 3 2 =00 X (ro x r)=oo x y poklapa se s pravcem b i gleda prema osi LI. Ta komponenta iznosi
(3.93)
94
U 'općem slučaju komponente 3 1 i 3 2 nisu međusobno okomite. Komponenta 3 Z okomita je na \'ektor brzine v, tako da samo komponenta 3 1 ima projekciju na pravac brzine. Ta projekcija ai. =3T odgovara tangencijalnoj komponenti giban~a točke A. Drugi dio a;' zajedno s a2 tvori nonnalnu komponentu ubrzanja 3N = a~ + a~. Vidi s-e da nonnalna komponenta nije okomita na trenutnu os rotacije LI, te u tom smi5-lu nema analogije između te osi i nepomične osi rotacije tijela. Polumjer zakrivljenosti putanje točke A ne leži kod sfernog gibanja na pravcu okomitom na trenutnu os rotacije LI. što znači da udaljenost b u općem slučaju ne leži u oskulatom()j ravnini T, N.
z z
y
x a) b)
Slik:!. 3.41. Vd':1:0r brzlne r (a) i komponente a: i ~ vektora ubrzanja kod sfernog. gibanja
Primjer 3.9
Za sferno gibanje zadano u primjeru 3.8 odrediti brzinu i ubrzanje točke A (sl. 3.42). Polumjer kružne ploče Ro = 100 mm, a udaljenost njezinog središta od nepomične točke O iznosi h=3R=300mm. Zadatak riješiti za položaj 1/1=90°, 9 = 60' u koordinatnom X. Y, Z sustavu.
z
y
y,X
x
Slika 3.42. Brzina i ubrzanje točke A kod sfernog gibanja
95
Brrina točke A prema (3.89) jeste v =m x r. Položaji vektora r točke A ivektoru m prema primje.ru 3.8 prikazani su na slici 3.43a. Oba vektora leže u ravnini Y. Z. Točka A uda~ien. je od trenutne osi rotacije za b=l"sin(~+f!). Kako je {I=arct.n(R/h.'= 18,435\ za udaljenost b dobiva se
b=sin(x+f!h/R~+h' =0.155 m,
tako da je brzina
r=hO)=O.155· 28.793=4A60m s -j.
Vektor brzine p.oklapa se po smjeru s osi X.
al
z
z y
bi Slika 3.43. Položaj toi::ke A (a) iveklora ubt:l::.mja lb}
,
y
Do iSIOg rezultata može se doči vektorski. U primjeru 3.8 dobiven je vektor w s komponentama
w 5,441.,. t 28.274., s .j •
Vektor r prema zadatku ima komponente
r= -O,lor+O,3ez m.
Vektorskim množenjem (J) x: r dobiva se vektor brzine
,=4,460., ms".
Ubrzanje točke A prema (3.91) o=exr+wx(.,xr)=exr+wxv. Vektor kutnog ubrzanja iz primjera 3.8 &= 136,757 exs", tako da je ubrzanje' • nakon množenja
0=85,0750,- 37,9430z m s".
Iznos vektora ubrzanja i kut rt. (sl. 3A3b) jesu:
96
a=,jo~+ai:=93,153 m S'2
ar ". = arc tan -=65,963'.
az
1 'i;
'i
j
3.4.4. Aksaide
Za vrijeme srernog gibanja tijela trenutna os mladje J mijenja $voj položaj u prostoru, no uYijek prolazi kroz nepomičnu totku O oko koje se gibanje odvija, Promatrano iz nepomičnog kODrdinatnog sustava ,\", r. :, os .:1 opisuje čunjastu plohu $ vrhom tl točki O __ Ta je ploh_~ geymttrijsko mjesto svih poloiaja trenutnih
.osi rotacije. a luziva st' 1lt'pomii'nom aks(lidom •. na"' {slika 3.44}. Jednadžba ncpo-
z
mične aksoide ::lijedi iz uvjeta da je trenutna os rotacije niz ločaka na pm\'cu koje II
promatranom trenutku imaju brzinu jednaku nuli. Prema tome. vektorska je jednad7ba trenutne osi
(()xr:;;:O. (3.94)
U koordinatnom sustavu x, .v, .: w=m.>"i +O)rj+(!):;k i r=xi+ yi + :k. tako da je
(aJ,.: -Q),),)i+ (w,x- w,=Ji+ (w.,.\' -aJ,.x) k =0.
Da bi ta jednadžba bila zadovoljena, mora biti svaka od zagrada jednaka nuli, što daje jednadžbu trenutne osi rotacije Ll:
x r z -:;;;-;;:::::- (3.95)
Eliminacijom parametra t iz gornjih jednakosti može se preuređenjem dobiti jednadžba nepomične aksoide oblika F(x . .\', z)=O.
Promatrano iz pomičnog koordinatnog sustava e. JJ.~. koji se giba zajedno s tijelom: os .1 opisuje plohu vezanu uz tijelo pomičnu aksoidu. Kako je u tom
97
sustavu (!)=:w~~C/-w"e,,~w,e, i r=~e.:':r '1e"+~e,, uvrslenj"em u (3.94) dobiva se nakon mnozenJa Jednadzba trenutne OSI .ti u sustavu ~. 'I. ~:
(3.961 W.: (!J" (0;
iz čega se može dobiti jednadžba cP(~. 'I. ()=o pomične aksoide.
Pri sfernom gibanju pomična i nepomična aksoida dodiruju se II izyodnici koja je zapravo os L1. U geometrijskom smislu dovoljno je pozna .... ati obje aksl.)ide, pa se tada gibanje može reproducirati kao kotrljanje pomične po nepomičnoj aksoidi bez međusobnog klizanja. U praksi se dijelovi mehanizama izrađuju kao pomične i nepomične aksoide, čime se ostvaruju različita sferna gibanja. To je npr. slučaj sa stožastim zupčanicima. planetarnim prijenosnicima gibanja i slično. DJ bi bila potpuno određena i kinemalika takva gibanja potrebno je poznavati kutnu brzinu kojom se odvija kotrljanje pomične aksaide. Kad je nepomična točka u beskonacnosli, aksaide prelaze u plohe s paralelnim izvodnicama; gibanje je ranlinsko. a presjeci ploha s bilo kojom ra .... ninom okomitom na izvodnice daju pomičnu i nepomičnu poloidu. I u tom smislu ravninsko je gibanje samo poseban slučaj sfernoga gibanja. .
U tehnici je posebno \'ažno sferno gibanje pri kojemu su aksoide kružni čunjevi. Takvo gibanje naziva se precesijol/!, a jaVlja se uvijek kada se za vrijeme gibanja npr. kut nutacije 9- ne mijenja. Ako se za vrijeme takva gibanja preostala dva kuta mijenjaju jednoliko (npr. tjJ i CP imaju konstantne vrijednosti. 3=0). precesija je regularna, a prema položaju pripadnih vektora kutnih brzina ~ i CP može bili progresivna iii retrogradna precesija (sl. 3.45). Pri progresivnoj precesiji kotrlja se pomična aksoida sa svojom \'anjskom plohom po vanjskoj plohi nepomične aksoide. Retrogradna precesija ima za posljedicu kotrljanje pomične aksoide po unutrašnjoj plohi nepomične.
z
z
o
aj
Slika 3.45. Progresi"na (a) i retrogradna (b) precesija
98
Promatranje gibanja preko aksoida olaksava predodžbu o geometriji srernog gibanja. Također je u nizu slučaje\"J jednostavnije ostvariti srerno gibanje pomoću fizički izvedenih aksoirla. Manja je njihova prednost kod proračuna brzina pojedinih točaka tijela, dok se ubrzanja promatranjem aksoida ne mogu odrediti. Slično smo vidjeli kod ravninskih gibanja. za što nJm služe trenutni pol brzina i poloide.
Primjer 3.10
Za clemente srernog gibanja iz primjera 3.8 odrediti pomičnu l nepomičnu aksoidu.
U- primjeru 3.8 pronađen je položaj trenuIne osi rotacije .d. Nagib te osi prema osi ~ ili Z slalan je i iznosi a= 10.893". Taj kut ujedno je i polovica vršnog kuta pomične aksoide (sl. 3.46). Nagib osi L1 prema nepomičnoj osi; lakođer je stalan i iznosi 9-- :,,;=60°-10,893°=49,107.', što je polovica vršnog kuta nepomične
aksaide.
I' I
cb n,
na
Slika 3.46. Progresivna precc$ija. Pomien;] .. pa·· i nepomiČ1la .. na" aksoida
Aksoide su kružni čunjevi pa je gibanje precesijsko. Po zadatku su ~ = n1n/30 i rP = nlt/30 konstantni te je precesija regularna. a kako se pomična aksoida kotrlja po vanjskom plaštu nepomične aksoide. pored toga je i progresivna.
3.5. Opće gibanje slobodnog tijela
Slobodno tijelo u prostoru ima šest stupnjeva slobode gibanja. Položaj tijela, kako je II uvodu rečeno, može se odrediti pomoću koordinata položaja neke odabrane točke A tijela i pomoću tri Eulerova kuta. Svih šest koordinata položaja kod općeg.gibanja slobodnog tijela funkcije su vremena:
XA =XA (c)
YA=YA(l)
ZA =ZA (Il
1/1=1/1 (r) lp = lp (I)
11=11(1). (3.97)
99
Kod opt<g gibanja može se zamisliti da pomak tijela iz jednog položaj. li drugi nastaje istovremenim odvijanjem jednostavnijih gibanja. Za takvu predodžbu postoji više načina opisivanja. Najbliži je ~ibai1jima koja smo dosada upoznali opis pomoću tzv. Cllo/eSotla (Sa/ova) teorenll1. Prema tom teoremu može se zamisliti da svako opće gibanje slobodnog krutog rijela nastaje istovremenom translacijom tijela s nekom odabranom točkQm i s/ernim gihanjem oko te točke. Slično razmatranje uveli smo kod ravninskog gibanja gdje je translacija bila ravninska. a umjesto sfernog gibanja imali smo rotaciju pre~ieka tijela oko točke.
Odabere li se točka A kao referentna točka la translaciju. tada se sferno gibanje odvija oko te točke. Ishodište pomičnog koordinatnog sustava ;. 'I. { jest točka A (sl. JA7). pa se sva tumačenja tr.oslacije i sfernog gibanja mogu ovdje primijeniti.
z
y
Slik<t ~.-r'. Translacija s loi:'k~'n~ A i srema gibanje oko te točk~
Brzina i ubrzanje točke A dobivaju se deriviranjem vektora t:.:
(3.98) aA::::::: \e'A == fA'
Kada su koordinate točke A zadane. npr. Descaf1esove XA=XA(l}1 YA:=y ... (t} i =., =ZA (l), poznata je translacija tijela. jer sve točke imaju jednake vektore brzina i ubrzanja (3.98).
Sferno gibanje oko točke A određeno je kada su poznati Eulerovi kutovi !jJ =I/I(r), tp= tp(f) i 9= 9(1). Vektori fl) i" pronalaze se na način kako je 10 opisano u3.4.
Brzina bilo koje druge točke B prema definiciji brzine jeste
"B=ra. (3.99)
···Akosc.uvede"",ktor AB koji r"di krutosti tijela ima prirast samo zbog promjene smjera, bit će r.=r, + AB pa je
v»=r,,+AB, Prvi član desne strane jest bq:ina točke A, te je to komponenta brzine zbog translacije tijela. Drugi je član AB=(i) z !1.8, kako smo to vidjeli već II ,'iše navrata.
100
\10 to je brzina točke B zbog st~rnog gibanja oko A. Ako se U\'~de da je {u x AB = "9'A (brzina točke B zbog ~,i't"rnog gibanja oko A). bit će
\'"·=\".t+"B i' (3.1001
Prema tOI1!e se brzina neke točk;: ll;i lijelu dl.lbiva kod općeg gibanja zbrajanjem brzine v;. zbog translacije s h."iCkom A i brzine \-/> ,. koja j~ posljedica sfernl.;g gibanja tijefa oko ... L
Ubrzanje točke B dobiya se deri\'iranjem \-eklOfa brzine Vs po vremenu:
aa="8' (3.101 ,
l:vrštavanjem izraza (3.1001 u (3.10; I bit će as = l'A + \'1'.~ odnosno
as= 'A-i· m x AB+(l} x AB.
Prvi čJan desne strane odgoyara ubrzanju lotke A. Ta komponema ubrzanja dolazi od translacije tijela s točkom A_ U drugom elanu 0..=&. a u trećem AB=<o x AR. rako da je
(3.1021
Drugi i treći član odgovaraju komponentama al i al zbog sfernog gibanja. Ovdje cemo ih označiti, slično kao i komp,;nf!ntu brzine, s indeksom B A tako da je
(aa_i)1 =txAB
(aB _4. h =(0"'; (O) X AB)=ro x '-8,~'
LTz (aDiA)j +(8BiA h=as .--I dQbiva se
(3.103)
'.~'A+' •. ,. (3.104'
Premda se fizikalno značenje komponenti u (3.100) i (3.104) razlikuje od istoimenih veličina ravninskog gibanja. u principu su to iste jednadžbe kao i kod ravninskog gibaI!ja. koje je samo jedan od posebnih slučajeva općeg gibanja tijela Jednako su tako translacija. rotacija ili sferno gibanje samo posebni slučajevi općeg gibanja. Već je rečeno da opee gibanje: slobodnog tijela rijetko dolazi tl praksi. pa ovdje nećemo ulaziti II podrobnija razmatranja,
Zadaci uz poglavlje 3
L Kut zakreta oscilirajuće poluge određen je jednadžbom
tp =0.75 005(0,2"1).
gdje je '{I kut u radijanima, a , vrijeme u sekundama. Argument trigonometrijske runkoije je u radijanima. Odrediti maksimalnu kutnu brzinu i maksimalno kutno
""""ubrzanje po'luge. '." ":'- ": .. :-.::.;· .. L>~~ ~.
Rješenje: wm,,=O,4712s-'. ,",,,=0.2961
2. Kutno ubrzanje rotora stroja koji je uronjen II uljnu kupku mijenja se prema jednadžbi
e=; - k(:.l-.
101
gdje je k konsUlnmll velIčina. Ako se kutna brzina rotora smanji s %= 300 radls u počt;:ll1om trenutku (f=O} na polovinu le- brzine lj trenutku tl =55. odrediti kutno ubrzanje- (!lOm j njegovu kutnu brzinu u trenutku '2= lOs.
Rješenj<: '" = l OO radls. f. = - 6.6667 rad s'.
,3, Maleni hto k A miruje na horizontalnoj podlozL koja može rotirati oko vertikalne os; l'!. 3.481. Statičko trenje između bloka i podloge toliko je da će blok početI kHziti teb. kad njegovo ubrzanje bude jednako 2 m, Sl, U trenutku t ~~ podloga počinje rotirati koost<!oloim kuminl ubrzanjem c= 2 rad:s~. Odredlti trenutak kadu će blok početi klizili ako je 1'=0.2 n1. Kolika Će biti brzina bloka u lOm trenutku?
Rješen.ll.': 1= 1.)(') $. r =0.625 mis,
5. Gibanje stapa počinje iz stanja mirovanja. Njegovo središte počinje se gibati po pr:m:u konstantnim ubrzanjem (lc=4m/s2, a š1ap istovremeno započinje rotirati oko ,,1si okomite na ra\ninu crteža konstantnim ;kutnim ubr7..anjem I: = 16 rad S2. tj polQžaju kada je cp=1f.!4 (st 3.50) potrebn:) je odrediti brzine i ubrzanja toćaka A i B ;tapa. Duljina štapa je AB=O,6m.
A
Sliku 3.50
, 6. Odrediti brzine i ubrzanja točaka A i B mehanizma z.a pribJlin"l pravocnno
vođenje (\VaClOY meh.mizam) prikazanog na slici 3.51. POl!onski član rotira kUlnom brzinom 00=105- 1 i kutnim ubrzanjem l:~50s;, ZadJno: O,.I~O,I m. AB = 0,075 m, BO: 0.1501.
RjeSenje: t'A= I m/s. t'B=O.85 mis.
d A =II,25m,sl. 118::::.7m Sl.
4. Odrediti brzinu i ubrzanje točke A štapa oblika prema slici 3.49 ako on rotira oko osovine OO' kutnom brzinom <:J=IOs- t j kutnim ubrzanjem c=40s- z. 210 mm Ravni dijelovi šlapa paralelni su s koordinatnim osima x. r. z, fl dimenzije su kotirane u metrima.
Rješenje: VA = -i+3jm s, VA 3.1623m/5. 80
Y B
z
102
Slika 3,51
7. Štap OB mehanizma prema ,lici 3.52 rotira konstantnom kutnom brzinom '" ~ 50 rad s. Pomoću plana brzina i ubrzanja odredili brzine i ubrzanja svih točaka mehanizma ako je zadano: OB=BC=O,30m, AB=CD=O,D=0,90m,
-~~'= . 11= 1;10 m, ,,=30",1=0,9 m.
RjeSenje: t:B=15mjs, v,,=9.6m/s, vc=18,6m/s,
fv= 17,4m:s, «. = 750 m/s', "A=7S0m s'.
(fc=790m,s'1, (lD=~Om/s:2.
h
8. Odrediti jednadžbe pomične i nepomične poloide člana AB jednostavnog motornog mehanizma prikazanog na slici 3.53. Zadano: 0.4 = AB L.
Rješenje: X'+,\2=.lL' (".'1. f+<q-LI' L' (pp).
z
y
W,
x
Slika ),53 Slika 3.54 y
9. Radarska antena sferno se giba oko točke O, a II prikazanom položaju rotira konstantnom kutnom brzinom O)i oko horizontalne osi x, te istovremeno konstantnom kumom brzinom (JJ, oko venikalne osi z. Odrediti vektore kutne brzine i kutnog ubrzanja an!ene, le brzinu i ubrzanje točke A u položaju koji je prikazan na slici 3,54. Zadano: OA = 2 m. <ill = I rad!s, (JJ, =0,5 rad!s.
104
Rješenje: ro=i +O,5k rad 's, .=0,
v.= O.8660i-j+ 1.7321km 's.
aA =O.5i- 2.165lj- k m/sl,
4. KINEMATIKA SLOŽENOG GIBANJA
Gibanje točke ih tijela promatra se tl kincmatki rel&tl\'no s obzirom na neko drugo kruto tijelo za kOJe se pretpostaslja da miruje. te se uz njega vezuje koordinatni sustav koji je lada također nepomičan. Taka\' koordinatni SUSLav pri rjdavanju tehničkih problema vezan je uz postolje nekog stroja, temelje neke konsirukcije ili uz tijela koja s obzirom na Zemlju miruju. To je min.)\'anje SamO prividno, jer se i ta tijela zajedno sa Zemljom gibaju, a rezultati :su proracuna II
takvim koordinatnim sustavima približni i ne bi se poklapali 5- precizno iz\-.edenim mjerenjima. Međutim. odstupanja od ispravnih rezultata toliko su mala da se u in.i:enjerskoj praksi zanemaruju, pa se cijela tehničb kinematika zasniva na "akvoj pretpostavci o mirovanju. Kad se neko 1ijelo ili tv.!ka giba s obzirom n2- neko referentno tijelo koje se s obzirom na mirujući kO\..'Irdinalni sustav takode:- giba {npr, pokr'l!tni dijelovi strojeva n:.l brodu. česticu \'ode na lopatici turbine, ptltnik koji hoda u vlaku). mora se uzeti u Qbzir gibanje referentnog tijela kada se donose zaključci o ukupnom gibanju promatranog tijela i točke. Gibanje s obzirom na referentno tijelo uz koje se vezuje pomični koordinatni sustav zcvc se rt!iath'110
gibanje. Gibanje pomičnog koordinatnog sustava 5 obzirom na mirujući naziva se prijel:asnil1l giba/ljem, a gibanje koje je rezultanta obaju gibanja promatranog tijela ili čestice daje {IpSO/UlilO gibalIje. Apsolutno gibanje. prema tome, nastaje sastavlja~ njem relativnog i prijenosnog, ali se ne mora svako apsolutno gibanje tako matematički i opisivati. Već prema tome što je jednostavnije, složeno gibanje možemo promatrati preko PQjedinih komponen!nih gibanja ili ćemo promatrati direktno rezultantno (apsolutno) gibanje, Često je matematički jednostavnije, a i razumljivije promatrati pojedina gibanja zasebno i ;Iagati ih u cjelinu, pa ćemo taj pristup, koji se u inženjerskoj praksi gotovo iskljućivo koristi, pobliže opisati u narednim poglavljima.
Složeno gibanje točke, koje nastaje gibanjem točke unutar nekog prostora pri tomu se i taj prostor giba, često je li tehničkoj praksi. Za takvo gibanje odredit ćePlo brzjnu i ubrzanje točke. Od svih mogućih složenih gibanja tijela bi! će protumačena samo dva koja su važna u tehnici. To su gibanja koja nastaju kada je rela!i.-no i prijenosno gibanje rotacija te kada apsolutno gibanje nastaje zbog jedne rotacije i translacije. U većini tehničkih proračuna do\"oljno je poznavati samO brzine točaka na tijelu, jer se obično radi o promatranju stacionarnih gibanja bez ubrzavanja, pa će kod složenog gibanja tijela biti objašnjeno određivanje s.mO brzina.
105
