Mechanika

Kinematika

Alapfogalmak

• Anyagi pont• Vonatkoztatási és koordináta rendszer• Pálya, út, elmozdulás, • Vektormennyiségek: elmozdulásvektor• Helyvektor fogalma• Sebesség

Mozgások csoportosítása

• A mozgásokat csoportosíthatjuk a pályájukszerint. Így beszélhetünk egyenes vonalúmozgásokról, ahol a mozgás egyenes vonal mentén történik.

• Ha a mozgás nem egyenes, hanem valamilyen görbe mentén történik, akkor beszélünk görbe vonal mentén történő mozgásról. Ennek a mozgásnak speciális esetei a körmozgás, vízszintes vagy ferde hajítás.

Mozgások csoportosítása

• A mozgásokat csoportosíthatjuk aszerint is, hogy a mozgás során hogy változik a sebességük.

• Ha a mozgás során a sebesség állandó, akkor egyenletes mozgásról beszélünk.

• Ha a sebesség változik, akkor ezt a változást úgy kell értelmezni, hogy a sebesség mint vektor változik.

A sebesség lehetséges változásai

• Ha a sebességnagysága változikcsak, akkor egyenes vonalú változómozgásról beszélünk.

• Azt is változó mozgásnak tekintjük, ha a sebességnek mint vektornak az irányaváltozik. Az egyenletes körmozgásnál, a sebesség nagysága állandó, de az iránya pontról-pontra változik, tehát ez is változó mozgás.

Egy egyszerű mozgás:Egyenes vonalú egyenletes

mozgás

• A mozgás pályája egyenes• A test egyenlő időtartamok alatt egyenlő

utakat tesz meg.• A mozgás dinamikai feltétele: A testre ható

erők eredője nulla.

A mozgás jellemzése

• A sebesség állandó. A gyorsulás nulla.

tsv

ΔΔ

=

Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás

• Egyenletes mozgásra megismert számolási módot alkalmazva, megadhatjuk az átlagsebességet, amely azonban nem ad a mozgásról elég információt.

összes

összesátlag t

sv =

Pillanatnyi sebesség

• A pillanatnyi sebesség fogalma egy absztrakció.

• Pillanatnyi sebességen azt a sebességet értjük, amellyel a test tovább mozogna, ha a testre ható erők eredője nullára változna.

• Általánosan azt mondjuk, hogy a pillanatnyi sebességvektor az elmozdulásvektor időszerinti első deriváltja.

Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás

• Ha egy test pillanatnyi sebességének a nagysága egyenlő időtartamok alatt ugyanannyival változik, akkor a mozgás egyenletesen változó.

• Egyenes vonalú, egyenletesen változómozgás gyorsulása állandó.

• A mozgás dinamikai feltétele: a testre hatóerők eredője állandó.

Gyorsulás

• Középiskolában úgy tanultuk, hogy a gyorsulás a pillanatnyi sebesség változása, azaz annak a testnek nagyobb a gyorsulása, amelyiknek ugyanannyi idő alatt nagyobb a sebességváltozása.

tvaΔΔ

=

A gyorsulás általános megfogalmazása

• A gyorsulásvektor a sebességvektor időszerinti első deriváltja.

• A gyorsulásvektor az elmozdulásvektor időszerinti második deriváltja.

2

2

dtrd

dtdva ==

Álló helyzetből indulóegyenletesen változó mozgás:

úttörvény négyzetes

2

2tas

atvtva

dtdva

=

=⇒=⇒=

Kezdősebességgel indulóegyenletesen változó mozgás

20

0

2tatvs

atvv

+=

+=

A testek szabadesése

• A testek szabadesése, amikor csak a gravitációs mező hatása érvényesül , egyenletesen változó mozgás.

• A nehézségi gyorsulás értéke függ a földrajzi helytől, és a tengerszint feletti magasságtól. Magyarországon: 281,9

smg =

A szabadesés összefüggései

gl2T

:elsegítségév fonálinga hatómeghatároz gyorsulás nehézségi A

Π=

=

=

gtv

tgh 2

2

Függőleges hajítás

• A felemelt testet adott kezdősebességgel fölfelé vagy lefelé elhajítjuk. Az így létrejövő mozgást függőleges hajításnak nevezzük. A mozgás olyan szabadesés, tehát egyenes vonalú egyenletesen változómozgás, ahol nem nulla a kezdősebesség.

Függőlegesen felfelé hajított testek

gvhmagasságaemelkedésAz

gvtidődőtartaemelkedésAz

gtvvsebességipillanatnyAga

2:

:

:

20

01

0

=

=

−=−=

Vízszintes hajítás

• A mozgás gondolatban összetehető egy vízszintes egyenes menti egyenletes mozgásból és egy szabadesésből. A mozgás pályája parabola.

220

2

00

2:

2:

:

xvgzegyenletepályaA

tgzelmozdulásFüggőüggől

vxttvxelmozdulásVízszíntes

−=

−=

=⇒=

Periodikus mozgások

• Ha egy folyamatot jellemző fizikai mennyiségek ismétlődő változásuk közben egyenlő időközönként azonos értékeket vesznek fel, a változás periodikus.

• Az az időtartam, amely alatt egyszer játszódik le a periodikus változás ismétlődőszakasza : periódusidőJele: T Mértékegysége: s

Frekvencia• Az a mennyiség, amely megmutatja a

periodikus változások egységnyi idő alatt bekövetkező ismétlődéseinek számát a frekvencia.

• Jele: f• Mértékegysége: 1/s, azaz Hz ( hertz)

fT

Tf 11

==

Speciális periodikus mozgások

• Forgómozgás: merev test forgástengelye rögzített. A rögzített tengelyen forgó merev test minden anyagi pontnak tekinthető része ( kivéve a tengely pontjait ) a tengelyre merőleges síkú körpályán kering.

• Körmozgás: Egyetlen anyagi pont, és egyetlen körpálya van.

Periodikus mozgások

• Rögzített tengelyen forgó merev test:

Egyenletes körmozgás

• Az anyagi pont egy körpályán egyenlőidőtartamok alatt egyenlő íveket fut be.

fTrvsebességKerületi k ππ 22: ==

A kerületi sebesség mindig érintőirányú

Centripetális gyorsulás

• A kerületi sebességvektor nagysága állandó, iránya érintőirányú, tehát az iránya pontról-pontra változik. Mivel a sebességvektor iránya változik, ezért ez a mozgás is változómozgás, tehát van gyorsulása.

rvacp

2

=

A mozgás dinamikai jellemzése• Az egyenletes körmozgás gyorsulását

centripetális gyorsulásnak, a fenntartó erőt pedig centripetális erőnek nevezzük.

• Az anyagi pontot érő erők eredője mindig a kör középpontja felé mutat.

22

ωmrrvmFcp ==

A szögelfordulás fogalma

Az egyenletes forgó és körmozgás szögjellemzői

• A sugár elfordulásából meghatározható a szögelfordulás.

ω

ππϕω

rvkapcsolatasebességületiaégésszögsebessA

fTdt

dégSzögsebess

=

===

:ker

22:

Változó forgómozgás

20

0

2tt

tdtd

állandódtd

βωϕ

βωω

ωβ

ω

+=

+=

=

=

Gyorsulás• A gyorsulásvektor a kör belseje felé, de

nem a kör középpontja felé mutat.A gyorsulásvektor ezért felbontható a centripetálisgyorsulás-vektorra, és a tangenciálisgyorsulás-vektorra.

βra

aaa

t

tcp

=

+=