Teknik Kendali

ANALISIS KESTABILAN ROUTH HURWITZ Kestabilan merupakan hal terpenting dalam sistem kendali linear.

Pada kondisi apa sistem menjadi tak stabil, dan bagaimana cara menstabilkannya.

Sistem stabil bila pole-pole loop tertutup terletak disebelah kiri bidang-s

Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, dapat diketahui jumlah pole loop tertutup yang terletak didaerah tak stabil tanpa

perlu mencari solusi persamaan karakteristik A(s)

Fungsi alih loop tertutup :

KRITERIA KESTABILAN ROUTH HURWITZ Kriteria ini menunjukkan adakah akar-akar tak stabil persamaan

polinom orde n (n=berhingga) tanpa perlu menyelesaikannya.

Untuk sistem kendali, ketabilan mutlak langsung dapat diketahui dari koefisien-koefisien persamaan karaktristik.

PROSEDUR: 1. Tulis persamaan orde-n dalam bentuk sbb:

Dengan koefisien-koefisien : besaran nyata dan an 0 (akar di titik asal sudah dihilangkan)

2. Bila ada koefisien yang bernilai 0 atau negatif disamping adanya

koefisien positif, maka hal ini menunjukkan ada satu akar atau akar-

akar imajiner atau memiliki bagian real positif (sistem tak stabil).

Kondisi perlu (tetapi belum cukup) untuk stabil adalah semua

koefisien persamaan polinom positif dan lengkap.

Teknik Kendali

3. Bila semua koefisien positif, buat tabel Routh sbb:

4. Kriteria kestabilan Routh : banyaknya akar tak stabil = banyaknya

perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh.

5. Syarat perlu dan cukup untuk stabil :

Semua koefisien persamaan karakteristik positif, dan

Semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif.

Teknik Kendali

CONTOH 1:

Teknik Kendali

KASUS KHUSUS (1) Bila ada suku pada kolom pertama bernilai 0 dengan suku-suku

lain tidak 0 atau tak ada lagi suku tersisa, maka suku 0 diganti

dengan bilangan positif sangat kecil , dan baris berikutnya dihitung.

CONTOH:

Mengingat koefisien diatas dan dibawah 0 sama, maka hal ini

menunjukkan adanya sepasang akar yang terletak disumbu

imajiner s = j. Bila koefisien diatas dan dibawah 0 berbeda, maka hal ini

menunjukkan ada satu perubahan tanda.

Terlihat ada 2 akar tak stabil di s = 1

Teknik Kendali

KASUS KHUSUS (2) Bila ada baris di tabel Routh bernilai 0 semua, maka hal ini

menunjukkan adanya pasangan akar yang bermagnitude sama

tetapi berbeda tanda (akar real), atau akar imajiner sekawan.

Contoh:

Teknik Kendali

APLIKASI KRITERIA ROUTH PADA

ANALISIS KESTABILAN Kriteria Routh tak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki

kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil.

Tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil.

CONTOH:

Teknik Kendali

PENALAAN PENGATURAN

Menala

Mengatur parameter pengendali agar diperoleh kualitas pengendalian

yang baik.

Kualitas pengendalian ditinjau berdasar tanggapan (c) terhadap

perubahan r atau perubahan u.

Pola Tanggapan

1. Teredam kurang (under damped)

2. Teredam lebih (over damped)

3. Teredam kritis (Critically damped)

Ada perubahan u

Over damped

- deviasi mendekati setpoint secara halus / tanpa osilasi - durasi tidak minimum

Under damped

- diviasi maksimum - tanggapan siklis/osilatoris - terjadi lonjakan - cepat (durasi minimum)

1

2 3

r lama

r baru

1

3

2

r

c

c

Teknik Kendali

Critically damped

- deviasi minimum - tanpa lonjakan

Spesifikasi tanggapan transien :

tD : waktu mati (dead time) tr : waktu bangkit (rise time) td : waktu tunda (delay time) ts : waktu endap (setting time) Mp : lonjakan maksimum (max. overshoot) tp : waktu puncak

Metode Penalaan

Coba-coba agar memenuhi kriteria :

1. Stabil 2. Quarter Amplitude Response

(tanggapan amplitudo)

1

0,5

0,1

0,9

Mp

td

tS tp

tD

tr

batas toleransi :

a1

a2=1/4 a1 a3=1/4 a2

r

Teknik Kendali

Metode tanggapan transien /reaksi proses

- Oleh Ziegler dan Nichols Stabil

- dimodifikasi oleh Cohen dan Coon Quarter Amplitude

Langkah

1. Kontroler ke manual 2. Ubah m1 sebesar m1 % (mV %) 3. Rekam tanggapan C (PV) %

4. Catat : L = lag time (menit)

T = proses reaction time (menit)

5. Temukan :

menitperT

PN V %

(N = pesat reaksi / reaction rate)

6. Temukan :

VP

NLR

; (R = lag ratio)

Kontroler Unsur

Kendali

akhir

Proses

manual (kontroler off)

menjadi open loop

Saat m1 diubah

Titik infleksi

L T

PV (%)

Garis singgung

Analisa grafis

Teknik Kendali

7. Atur parameter controller sbb :

Reaksi proses Table 1

Kp Ti TD

P

VM

NL

- -

11

3V

V

M NL

NL P

- -

PI

0,9 VM

NL

3,33 L -

21 40,9

12 2VM b b acR

NL a

LR

R.

209

330

-

PID

1,2 VM

NL

2L 0,5 L

1.334

VM R

NL

L

R

R.

813

632

RL

211

4

Contoh soal :

Suatu proses yang diset pada 9 % perubahan variable pengendali PID

mempunyai grafik reaksi proses sebagai berikut :

Dengan menggambar titik infleksi pada grafik, dapat diperoleh L=2,4 menit, waktu reaksi proses 4,8 menit.

kriteria

stabil

kriteria

amplitudo

erro

r (%

)

Garis singgung

reaksi proses

1

1

2

2 3

3

4

4 5 6 7 8 t (min)

(min)5

Teknik Kendali

Maka laju reaksi (N) = menit

menitT

P %8125,0

.8,4

%9,3

Setting kendali diperoleh dari rumus :

54,54,28125,0

%92,12,1

NL

MKP

Atau suatu band proportional

%1854,5

100100

PK

menitLTI 8,44,222

menitLTD 2,14,25,05,0

Carilah setting 3 mode untuk tanggapan amplitude untuk soal di atas

Dengan menerapkan

5,09,3

4,28125,0

VP

NLR

433,1

R

NL

MKP

72.64

5,033,1

4,28125,0

9

menitR

RLTI 94,4

)5,0(813

)5,0(6324,2

813

632

menitR

LTD 8,0)5,0(211

44,2

211

4

Metode Ziengler Nichols (Ultimate Cycle Methode)

Langkah :

- kurangi aksi integral mulai menambah dan derivatif sampai minimum

- secara gradual mulai menambah gain proporsional, dan menambah sedikit gangguan pada proses.

Teknik Kendali

- Catat nilai gain kritis (Kc), saat mulai menghasilkan siklus (osilasi disekitar setpoint)

- Catat periode kritis (Tc) pada osilasi dalam menit.

Setting pengendali Table 2

Kp TI TD

P 0,5 Kc - -

< Kc - -

PI 0,45 Kc

2,1CT -

Coba-coba Tc -

PID

0,6 Kc 2

CT 8

CT

Coba-coba 5,1

CT 6

CT

Suatu proses mulai berosilasi pada band proporsional 30 % dengan

periode 11,5 menit. Tentukan nominal seting pengendali tiga mode

dengan metode Ziengler Nichols

30 % PB berarti 33,330

100100

PBKC

Dari ketentuan seting : 233,36,06,0 CP KK menit

75,52

5,11

2 CI

TT menit

44,18

5,11

8 CD

TT menit

PENALAAN UNTUK PENGENDALI PID

kriteria

siklis/osilatory

kriteria quarter

amplitude

Teknik Kendali

o Bila pemodelan matematis plant sulit dilakukan, penalaan PID (penentuan Kp, Ti dan Td) dilakukan secara eksperimental.

o Aturan Ziegler & Nichols berdasarkan pada langkah tanggapan eksperimental atau berdasarkan pada nilai Kp yang dihasilkan

dalam kestabilan marginal bila hanya aksi kendali proporsional

yang digunakan.

o Ziegler - Nichols mengusulkan aturan untuk menentukan nilai Kp, Ti dan Td berdasarkan pada karakteristik tanggapan peralihan dari

plant yang diberikan.

o Ada dua metoda penalaan Ziegler - Nichols yang bertujuan mencapai overshoot = 25%

METODA PERTAMA ZIEGLER NICHOLS o Jika plant mengandung integrator atau pole-pole kompleks

sekawan dominan, maka kurva tanggapan undak satuan terlihat

seperti kurva berbentuk S.

o Jika tanggapan tidak berbentuk kurva S, metoda ini tidak dapat diterapkan.

o Fungsi alih dapat didekati dengan sistem orde pertama:

Teknik Kendali

1)(

)(

Ts

LseKsR

sC

o Ziegler - Nichols menentukan nilai Kp, Ti, dan Td :

Pengendali PID yang ditala dengan metoda pertama ini memberikan

METODA KEDUA ZIEGLER - NICHOLS Anggap :Ti = dan Td = 0.

Dengan hanya menggunakan aksi kendali proporsional, kenaikan Kp dari

0 ke suatu nilai kritis Kcr akan menghasilkan tanggapan yang berosilasi.

Teknik Kendali

Secara umum, untuk plant dinamis tanpa integrator, dapat diterapkan

aturan penalaan Ziegler - Nichols.

Bila plant mengandung integrator, dalam beberapa kasus, aturan ini tidak dapat diterapkan.

Contoh 9-1: Suatu sistem kendali umpanbalik satuan:

Teknik Kendali

51

3)2()(

sss

sssG

Plant mengandung integrator, maka metoda pertama tidak dapat

diterapkan.

Jika metoda kedua diterapkan, maka sistem lup tertutup dengan suatu

pengendali proporsional tidak akan berosilasi terus-menerus

berapapun nilai Kp yang diambil.

Persamaan karakteristik:

Sistem stabil untuk semua nilai Kp positif. Jadi sistem tidak berosilasi :

nilai penguatan kritis Kcr tidak ada. Dengan demikian metoda kedua tidak

dapat diterapkan.

Contoh 9-2: Suatu sistem dengan pengendali PID sbb:

Gunakan aturan penalaan Ziegler - Nichols untuk menentukan nilai parameter

Kp, Ti, dan Td agar diperoleh tanggapan step dengan overshoot sekitar 25%.

Solusi:

Karena plant mengandung integrator, gunakan metoda kedua (Ti = dan

Teknik Kendali

Td = 0):

Menentukan nilai Kcr :

Teknik Kendali

Diperoleh Mp = 62%. Untuk memperkecil Mp , lakukan fine adjustment

parameter-parameter pengendali.

maka kecepatan tanggapan naik, overshoot naik menjadi sekitar 28%.

Teknik Kendali

Teknik Kendali

TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

(ROOT LOCUS)

Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat

ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya).

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah.

Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s.

Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan.

Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation.

Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.

(Alternatif: gunakan MATLAB ?!)

W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus.

Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.

Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop

terbuka.

Persamaan karakteristik

0)().(1 sHsG

Andaikan 0)(1)().(11

sKGsHsG

1)(1

sKG

Memenuhi kriteria

1. magnitude : 1)(1

sKG

2. sudut :

ganjilsKG )(

1

keadaan ekstrim :

K G

1 H

Teknik Kendali

0K akar karakteristik = kutub )(1

sG

K akar karakteristik = nol )(1

sG

Ilustrasi

Persamaan karakteristik :

0)1(

1

ss

K

02 Kss

Ks 4121

21

1

Ks 4121

21

2

Aturan Penggambaran TKA

(persamaan karakteristik : 1+KG(s) = 0 )

1. TKA berangkat (K = 0) dari kutub-kutub G(s) dan berakhir

K di nol-nol (zero ) G(s)

2. cacah atau jumlah cabang TKA = orde tertinggi G(s)

3. TKA selalu simetri terhadap sumbu real 4. Sudut asimptot cabang yang berasal dari (menuju ke) adalah

mn

kk

)12( ; 1,,1,0 mnk

dimana mn : selisih orde penyebut dan pembilang G(s)

n : cacah kutub

m : cacah zero

s

K

1s

1

C

c

r

c +

K

K

Im

Re 0S

1 1

2S

41K

Teknik Kendali

5. Titik potong asimptot dengan sumbu real (centroid) = c

mn

berhingganolberhinggakutubc

6. TKA di sumbu real berada pada ruas yang : cacah kutub ditambah cacah nol G(s) disebelah kanannya adalah ganjil.

7. Sudut berangkat dari suatu kutub G(s) (=b

) atau sudut datang

ke suatu nol G(s)

d

ganjilsG )(

bpppzsG

3211)(

ganjil

32121)(

pppzzdsG

ganjil

Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 (jumlah sudut vektor- vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-

vektor dari zerozero ke pole kompleks tsb).

Teknik Kendali

Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 (jumlah sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-

vektor dari polepole ke zero kompleks tsb).

8. Titik potong TKA dengan sumbu imajiner ditemukan memakai uji Routh.

9. Titik pisah (breakaway point) atau titik pelana (saddle point) =

b , memenuhi

0

bsds

dK

dengan

)(

1

sGK

berarti 0)(0 sGds

d

ds

dK

secara praktis dengan cara coba-coba.

CONTOH :

Persamaan karakteristik :

0

2265

)3(1)(1

2

sssss

sKsKG

1. Nilai kutub (pole) dan zero K = 0 s = 0, -5, -6, -1+j, -1-j

K = s = -3, , , ,

2. Jumlah cabang TKA = 5 (orde tertinggi G(s))

3. TKA simetris dengan sumbu real

Teknik Kendali

4. Sudut asimptot

47,

45,

43,

4151212

kmn

kk

5. Titik potong asimptot dengan sumbu real

5,2

15311650

jjc

6. Cabang TKA di sumbu real : s = 0 s = -3 ; s = -5 s = -6

7. Sudut berangkat dari s = -1 + j

1801653 ganjilb

jsssss

8,4377,43

180903,11036,14135565,26

b

b

-6 -5 -3 -2 -1 -4

4

1

4

3

4

5

4

7

c X X X

-6 -5 -3 -2 -1 -4 X X X

X

X

j

j

j

-j

Teknik Kendali

8. Titik potong TKA dengan sumbu imajiner Memakai pertolongan uji Routh atas :

03)60(825413 2345 KsKssss

Tabel Routh dengan penyederhanaan

5

4

3

2

1 2

0

: 1 54 60

: 13 82 3

: 62 78

: 4070 13 186

: 652 24420

: 3

s K

s K

s K

s K K

s K K

s K

0 0 0s K

1: 24420 24420 0 0s s s

5,355,6870244206522 atauKKK

66035,3608:

0:2

1

s

s

j1,35s 066035,3608 2s

Dari analisa Tabel Routh juga didapatkan bahwa sistem stabil

untuk 5,350 K

-6 -5 -3 -2 -1 -4

4

1

4

3

4

5

4

7

c X X X

j

X

X

j1,35

-j1,35

Teknik Kendali

9. Break-away point : b

0

3

226)5( 2

s

sssss

ds

d

53,5

468,0656,0

468,0656,0

024,133,3

024,133,3

s

js

js

js

js

-6 -5 -3 -2 -1 -4

4

1

4

3

4

5

4

7

c X X X

j

X

X

j1,35

-j1,35

-5,53

break

away

-2,5

Teknik Kendali

Penambahan Kutub dan Nol

Penambahan kutub dan nol akan mendorong TKA ke kanan

Penambahan nol akan menarik TKA ke kiri

X X X X X

X X