Karekök Yayınları Geometri 1

BÖLÜM 1Geometrik KavramlarKÖSETASi KAZANiMLAR

i. Dogru, isin, dogru parçasi, yari açik dogru parçasi, açik dogru parçasini tanimlar.

2. Geometrik sekillerin birer noktalar kümesi oldugunu kavratir.

3. n farkli dogrunun bir düzlemI ayirdigi bölgelerin sayisini bulur.

4. Üçgen ve açi kümelerini tanimlar.

5. Bir dogru parçasinin uzunlugunu tanimlar, dogru orantiyla ya da ters orantiyla ifade edilen uzunluklari seklin üzerine aktarmayi kavratir.

6. Bilesik orantiyla verilen uzunluklari seklin üzerine aktarmayi kavratir.

7. Bilesik orantiyla verilen uzunluklari seklin üzerine aktarmayi kavratir.

geometrik kavramlar

~

oli i•• AB dogrusuAB

~

• i•• [AB isiniAB

~

• •[AB] dogru parçasiA

B

~

• o[AB[ yari açik dogru parçasiAB

~ o o]AB[ açik dogru parçasiA

B

~

•• •• d1d ri d = 0 ise d II d1 2 1 2ol

•• d2

~ +' d1 .l d2d2

~ n farkli dogru bir düzlemi

en az n + 1

en çok n(n+1) +12

bölgeye ayirir .

••.•........

ABC = [BA u [BC

..o..ABC = [AB] u [BC] u [CA]

IABI = m => IABI = mk ve IACI = nkIACI n

mlABI = nlACI => IABI = nk ve IAci = mk

12

kösetasigeometrik kavramlar

i. L-..JL Açik dogru parçasidir, (AB) ile gösterilir.

ii. ~ ~ Yari açik dogru parçasidir, [AB) ile gösterilir.

iii. ABIsindir, [AB) ile gösterilir.• i•

LV.

011 i.Dogrudur, AB ile gösterilir.A

B

V.

• •Dogru parçasidir, ]AB[ ile gösterilir.A

B

Önermelerinden hangileri dogrudur?

açiklamali çözümNokta: Geometride tanimsiz kabul edilir. Ne oldugu bilinir, sezilir, ancak açik bir tanimi yoktur. Bir bilgisayarin ekranindaki sekiller noktalardan olusturulur. Ekranda büyütme yaptikça sekli olusturan noktalar belirgin hale gelir ancak görüntübozulur. Teknoloji gelistikçe ekranda var olan nokta sayisi artirilarak görüntü kalitesi artirilmaktadir. Ekrani olusturan noktalara iste "bu noktadir" denilememesinin sebebi nokta zannedilen in de teknoloji gelistikçe bir çok noktadan olusturulabilmesidir. Nokta büyük harfle gösterilir. Geometrik sekiller noktalarin olusturdugu kümelerdir.

Kösetasinda verilenlerden I, ii, IV dogrudur. iii yanlistir, çünkü isin [AB ile gösterilir. V yanlistir, çünkü dogru parçasi [AB]ile gösterilir.

~ ~ ~ sekli bir isin olup okun yönünde çizgi uzatildiginda üzerinden geçilen her noktayi içerir. A noktasi isinin bas-langiç noktasidir.

L-...jjl bir yari açik dogru parçasi olup A noktasiyla A ve B arasindaki noktalari içerir. B noktasini içermez.

1. A•

Bo

3. ol iA

iB

iC

i • dD

Yukaridaki sekli asagidakilerden hangisi ifade eder?Asagidakilerden hangisi yanlistir?

A)[AB

D) {A. B}

B) [AB[

E)]AB

C) ABA)A E d

D) B E ]CD

B) B E AC

E) D E ]AB

C) B E CD

2. A B\C

Yukaridaki sekli asagidakilerden hangisi gösterir?

A) [AC] i {AB}

C) [AB[ u ]BC]

B) [AB[ u [Bc[

D) [AC] ri [BC]

4. Baslangiç noktasi A noktasi olan ve B noktasindan

geçen isin asagidakilerden hangisi ile gösterilir?

E) ABCA)[AB] B) [AB) C) [AB D) [BA E)AB

13

köset'asigeometrik kavramlar

A

Yanda verilen sekle göre, asagidakilerden hangileri dogrudur?

i. d II [AD

ii. C E [AB)

iii. [Oc] cd

LV.{A} = [AB[ n [AD

açiklamali çözüm

..

Biz en çok üç boyut algilayabiliyoruz. Tek boyutta ki çalisma alanina dogru, iki boyutiu çalisma alanina düzlem, üç boyut

lu çalisma alanina uzay diyoruz. Viraji olmayan bir demir yolunda tren tek boyutlu hareket yapar. Deniz yüzeyinde bir gemi

iki boyutlu hareket eder. Havadaki uçak ise üç boyutlu hareket eder. Uçak ileri - geri. saga - sola gidebilecegi gibi asagi

- yukari da hareket edebilir. Bu kitapta düzlem geometri çalisilacaktir. Ucu bucagi olmayan sinirsiz düz bir kagidin

üzerindeki noktalar kullanilarak sekiller üretilecektir. Su anda gördügünüz harfler gibi, ancak daha basit sekillerle çalisa

cagiz. Kullanacagimiz sekiller dogru parçalarindan olusacaktir.

i nolu önerme yanlistir. Çünkü iki dogrunun paralelolmasi onlarin ortak noktalarinin olmamasi demektir.

II. III, LV nolu önermeler dogrudur.

C nin bir eleman gibi, [OC], [AB) ve d nin ise bir küme gibi algilandigina dikkat ediniz .

Yukaridaki sekle göre, ]BD v ]BA kümesi asagidaki

lerden hangisine esittir?

D) [AD) \ )BC[

Yukarida verilenlere göre,

i. d1 ii d2

ii. d1 n AB = {A}

iii. AB \d2 = AB \ {B}

önermelerinden hangileri dogrudur?

::~Ai

ZLs:

3.

C) d \ {B}

E) {D, A}

iC

B) d

iB

oc iA

A) [ACi

1.

A) Yalniz i B) Yalniz ii C) Yalniz 1/1

D) i ve iii E) I, ii ve iii

Yukaridaki sekle göre, [AB] \ [BC] kümesi asagidaki


2. IIi iii~d

A

BCD

Yukaridaki sekle göre,~i. B E CD ~II.A E [CD~4.iii. BC c [Bc]

önerrnelerinden hangileri dogrudur?A) Yalniz i

B) Yalniz iiC) Yalniz iii,

D) i ve ii

E) i ve iii

14

A) {B}

II iA

B) [AB[

iS

C)AC[

i ~C

D))AB E) [AB

geometrik kavramlarkösetasi ------------------------,4 farkli dogru, bir düzlemi;

1) en az kaç bölgeye ayirir?

2) en çok kaç bölgeye ayirir?


1)

(i) ci) @ ®

Dört farkli dogru birbirine paralel çizilirsedüzlem en az 5 bölgeye ayrilir.

HELE BAK SU FORMOLLERE

n farkli dogru bir düz/emi

en az n + 1

en çok n(n+1) +12

M/geye ayirir.

2) Dogrular paralelolmadiginda ve farklinoktalarda kesistirildiginde düzlem ~11 bölgeye ayrilir.

1. 3 farkli dogru bir düzlemi en cok kaç bölgeye ayirir? 3. 3 dogru bir düzlemi M.Y kaç bölgeye ayirir?

A) 4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8 A)2 B) 3 c)4 0)5 E)6

(2. soru ile 3. sorunun farkini fark ettiniz mi?)

4.

I. bölgedeki P noki:aiinin dz dogrusuna göre simetri·gi hangi bölgelerde 2.!i!:nn?

2. 3 farkli dogru bir düzlemi en az kaç bölgeye ayirir?

A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6

A) Yalniz ii

D) i ve ii

B) Yalniz III

E) ii ve iii

C) Yalniz iV

15


B. C. D noktalari dogrusal

D. E. F noktalari dogrusal

ABC üçgen

A

L dYukarida verilenlere göre, asagidaki kümelerin esitini bulunuz.

1)driABC 2)driASC 3)ABCriASC 4) ABC riASCri d

5) iç(ABC) n d 6) d \ lç(ABC) 7) d \ lç(AOC)

açiklamali çözümBu bölümde geometrik sekillerin birer noktalar kümesi oldugu sikça vurgulandi. Kümelerdeki islemlerin geometrik sekiller-

..o..de nasil gerçeklestirildigini kavratma çabasi içindeyiz. ABC üçgeni. ABC = [AB] u [Bc] u [AC] kümesine karsilik gelir. ABC

. ..o..üçgeninin iç bölgesi lç(ABC) kümesi olup üçgenin içindeki noktalari içerir .

.---...

ABC açisi. ABC = [BA u [BD kümesine karsilik gelir. B noktasi ABC açisinin kösesi. [BC ve [BD isinlari da açinin kol-laridir.

- -3. ABD ri ABC kümesi asagidakilerden hangisine esit-

tir?

1. - 3. sorulari asagidaki sekle göre yanitlayiniz.

...c.. .---...3) ABC ri ABC = [AB] u [B C]

6) d \ lç(ABC) = [FK u [EL

c) [BC..o..

E) ABC

B)[BA.---...

D)DBC

A)[BD

.---...

2) d ri ABC = {F. D}

..o..5) lç(ABC) u d = (FE) = ]FE[

B

...c..

1) d ri ABC = {F. E}

4) ABC ri ABc ri d = {F}

7) d \ iç(ASC) = [FK u [DL

- """"'-

1. ABD ri ABC kümesi asagidakilerden hangisine esit-

tir?

D) {B} u {D}.---...

E)DBCc

4.

C) [AB] u [BD]B) [AB] u{D}A) [AB] u [AD]

Çemberin iç bölgesiyle ABC üçgeninin kesisimi asa

gidakilerden hangisine esittir?

A)[AB] B) III nolu bölge

E) (AD) u (AB) u (BE)

A) [Dc]..o..

D) DBC

B) {D. C} C) {D}

E) [BD u {c}

C) III ve V nolu bölgeler D) [AD] u [AB] u [BE]

16


A

c D

IABI + IBCI = 50

21ABI = 31BCI

IBCI=~ICDI 6

Yukarida verilenlere göre, ICDI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümIABI ifadesi [AB] dogru parçasinin uzunlugunu belirtir. Geometri sorularinda uzunluklar arasindaki iliski ters orantili veyadogru orantili olarak sikça verilecektir. Bu iliskiyi seklin üzerine aktarabilmek önemlidir.

21ABI = 31BCI ters orantili olup "IABI = 3k ise, IBCI = 2k dir." anlamina gelir.

i~~:=~ dogru orantili olup "IBCI = 5n ise, ICDI = 6n dir" anlamina gelir.

Buna göre, IABI + IBCI = 3k + 2k = 50

5k = 50

k = 10

k = 10 ise, IBCI = 2k = 20 dir.

IBCI=5n=20 ~ n=4

n = 4 ise, ICDI = 6n = 24 cm dir.

B E

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç cm dir?E) 18D) 15

21DCI = 31ADI

IADI = IBCI

IABI = IDCI + IBCI

C)12B) 9

A B

Çevre(ABCD) = 36 cm olduguna göre, IABI kaç cm

dir?

A)6

3.ICDI + ICEI = 56 cm

31CEI = 41CDI

IDCI=~IABI 7

DA1.

A) 35 B) 40 C) 42 D) 49 E) 56

2. B IBCI=~4. BIAEI = 31ECIAIDEI 2 IABI=~IDEI =~

~ ICDI3IABI 8

~IEFI =~

""

IDEI = 6 cm

l:l..i:c ICDI3

E

FIACI -IABI = 12 cm

A

Yukarida verilenlere göre, IABI - IBCI kaç cm dir?C'------D

Yukarida verilenlere göre, IAEI - IDCI kaç cm dir?

A)5 B)4 C)3 D) 2 E) 1

17

A)9 B)8 C)6 D) 4 E) 3

~


A ABC üçgeninde,

IABI=~IBCI 4

21BCI = 51ACI

B cABC üçgeninin çevresi 86 cm olduguna göre, IABI = x kaç cm dir?

açiklamah çözüm

IABI =~ ifadesinden IAB I = 3k, IBCI = 4k sonucu çikar.IBCI 4

21BCI = 51ACI ifadesinden IBCI = 5n, iACi = 2n sonucu çikar.

Yukaridaki iki orantida da var olan uzunluk iBCi olup IBCI :: 4k = 5n dir. 4 ve 5 sayilarinin ortak katlarindan biri 20 oldugundan IBCI = 4k = 5n = 20m denebilir. Yani k = 5m ve n = 4m olacaktir. Tüm uzunluklari artik m türünden ifade edebiliriz.

IABI = 3k = 15m

IBCI = 5n = 20m

iACi = 2n = 8m

Çevre(ABC) = IABI + iBCi + IACI = 15m + 20m + 8m = 43m

86 = 43m => 2 = m

m = 2 ise, IABI = 15m = 30 cm

....o..Yukarida verilenlere göre, ÇevrelABC) kaç cm dir?

ABC ve ADC üçgen

51ACI = 41ABI

IACI=~IADI 2

IABI + IADI = 46 cm

D

A

B

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç cm dir?

3.

31ACI = 41ABI

31ABI = 51BCI

iACi - IAB i = 20 cm

ABC üçgeninde

c

A

B

1.

A) 180 B) 176 C) 168 D) 156 E) 144 A)8 B) 12 c) 16 D) 24 E) 26

B D cIADI + IBEI = 48 cm olduguna göre, IBEI kaç cm dir?

IABI=~ICBI 5

ICBI = 21DCI

IADI = IDCI

B

cD

A

Çevre(ABCD) = 108 birim olduguna göre, IABI kaç bi·

rimdir?

4.ABC üçgeninde

IADI = 31FDI

51FEI = 21BEI

IBEI =~IADI 3

A20

A) 21 B) 24 C) 28 D) 30 E) 36 A) 32 B) 40 c) 48 D) 56 E) 64

18

köse/asigeometrik kavramlar

ABC üçgeninde

21ADI = 31BDI = 41DCI

51DCI = 21ACI

IADI + IBCI = 39 cm

B D C

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir?

açiklamali çözüm21ADI = 31BDI = 41DCI ifadesindeki katsayilar olan 2, 3, 4 sayilarinin ortak kati olan bir sayi bulunur. Genellikle ortak katlarin en küçügü ile çalisilir. 2, 3, 4 sayilarinin OKEK'j 12 oldugundan 21ADI = 31BDI = 41DCI = 12k esitliginden

IADI = 6k

IBDI = 4k

IDCI = 3k

elde edilir.

IADI + IBCI = 6k + 4k + 3k = 39 :::> k = 3

k = 3 ise, IDCI = 3k = 9 cm

51DCI = 21ACI :::> 45 = 21ACI :::> IACI = 22,5 cm

1. A ABC üçgeninde 3. A ABC üçgeninde

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç birimdir?

[AE] ri [BD] = {F}

IAEI = 21BFI = 31FDI

41AEI = 31BCI

CB E

IAEI + IBOI = 44 cm olduguna göre, IBCI kaç cm dir?

41ABI = 51ACI = 31BCI

Çevre(ABC) = 94 birim

CB

A) 18 B) 24 C) 32 D) 36 E) 48 A)24 B) 28 C) 32 D) 36 E) 40

....o.. ....o..Çevre(BOC) = 36 cm olduguna göre, Çevre(ABC) kaç

cm dir?A B

Yukarida verilenlere göre, IACI + IBDI kaç cm dir?

21ADI = 31DCI = IBCI

71ACI = 41BDI = 141DCI

iDCi = 6 cm

C4.41ABI = 61ACI = 91BCI

IBDI + IDCI = 21BCI ~~~

ABC ve DBC üçgen

C

A

B

2.

A) 44 B) 48 C) 51 D) 57 E) 60

19

A) 24 B) 30 C)33 D) 42 E) 45

~

geometrik kavramlar

1. [AB[ \ {C} ifadesi asagidakilerden hangisini ifade

eder?

-...A C B

Yukarida verilenlere göre, ICDI kaç cm dir?

E) 160)15

41ACI = 31BCI

IBCI =~ICDI 2

IABI = 42 cm

B

C)12

D

B) 8

A

A)6

5.

B)~B

D)~

E)

C)~A C B

A) o---<>-----<>A B C

2. •• iA

iB

iC

iD

i • dE

Yukarida verilen d dogrusunda [DA ri [BE ifadesi

asagidakilerden hangisine esittir?

A) (AD] B) (BD) C) (AE) 6. A ABC üçgeninde

3. n farkli dogru bir düzlemi ~ 16 bölgeye ayirdigi

na göre, en az kaç bölgeye ayirir?

D) [BD] E) [BE] 21ECI = 31DEI

31BDI = IDCI

IBDI + lEq -IDEI = 24 cm

B D E C

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç cm dir?

A)4 B) 5 C)6 0)7 E) 8A)60 B) 54 C) 48 0)45 E) 36

4. A

B C

ABC üçgeni ile EFGD dörtgeninin kesisim kümesi .::i::

asagidakilerden hangisinde dogru verilmistir? ~~

A) KLMH dörtgeni ~

~) [HM] u [KL]

C) [HK] ri [ML]

D) KLMH dörtgeninin iç bölgesi

E) {H, M, L, K}

...o.. ...o..Çevre(ABC) + Çevre(DEF) = 27 cm olduguna göre,

IBCI + IEFI kaç cm dir?

E) 180)15

ABC üçgeninde

31BCI = 41ACI = 61ABI

41DFI = 61DEI = 31EFI

C

C) 12

A

B) 10A)6

7.

F

G

E

D

20

geometrik kavramlar

Yukarida ifade edilen geometrik sekillerin kaç tanesi

A noktasini içermektedir?

1. i.(AB)

A) 1

ii. [BA]

B) 2

iii. ]AB]

C)3

IV.[BA

D)4

V. (BA)

E) 5

6.

2. II i i • dA B C D E

Sekilde verilen d dogrusuna göre, asagidakilerden

hangisi dogrudur?

d1 1/ dz olmak üzere, d1, dz' d3, d4 dogrulari düzlemikaç bölgeye ayirmaktadir?

A) {A, B, c} E d B) [CD] E d C) [Bc] c [AEA)13 B) 12 C) 11 D)10 E) 9

D) [CD] c [BD) E) {B, c} c [BC)

..................Yukaridaki sekle göre, BAC n HDK ifadesi asagidaki-


D) {B, c)

C) [EB] n [FC]

K

E) BCFE dörtgeni

B) [EF] n [BC]

D

A) {E, F, B, C}

7.

Yukarida verilen sekle göre, asagidakilerden hangi

leri dogrudur?

i. di n di = {A}

ii. B E (d1 n di)

iii. [AB]cdi

A) Yalniz i B) Yalniz ii C) Yalniz iii

3.

D) i ve iii E) ii ve III 8. A

4. 4 farkli dogru, düzlemi en çok x, en az y bölgeye ayir

digina göre, x + y kaçtir?

A) 11 B) 13 C)15 D) 16 E) 18B c

~5. Ayni düzlemde bulunan farkli d ,d ve d dogrulari bir ~i i 3 •••

noktada kesismektedir. Ayni düzlemde bulunan farkli d4 JJdogrusu, bu üç dogru ile farkli noktalarda kesismektedir.

Buna göre, d1, dz' d3, d4 dogrulari düzlemi kaç bölge-ye ayirmaktadir?

A)8 B) 9 c) 10 D) 11 E) 12

• .c::>.. ••••..•..

Yukarida verilenlere göre, lç(ABC) n HDG ifadesi ile

asagidakilerden hangisi elde edilir?

A) Dörtgen

B) 3 farkli nokta

C) 4 farkli nokta

D) Paralel iki dogru parçasi

E) Kesisen iki dogru parçasi

21

geometrik kavramlar

.-.. .-..Yukaridaki sekle göre, DEF \ ABC ifadesi asagidaki-


Yukarida verilenlere göre, IDCI kaç cm dir?

E) 6D)8

ABC üçgeninde

51DCj = 21ACI

IACI =.!E.IABI 7

IABI = 28 cm

c

c) 10

A

B) 12

B

A) 16

13.E

c

A

B

D9.

"""'-

A) DEF \ {A, G, H, K, L}

C) [AG] ri [AH]

"""'-

B) DEF \ ([AH] ri [AG])"""""-

D) ABC \ {A, G, H, K, L} 14. A ABC üçgeninde

E) [KL]

10. AB dogru parçasi üzerinde 21ACj = 31BCj olacak sekilde

bir C noktasi aliniyor.

IADI =2IAEI

IBCj = 31DCj

IADI=~IBCI 4

IABI = 20 cm olduguna göre, IBCI kaç cm dir?

A)4 B) 6 C)8 D)10 E) 12

IAEI + IDCI = 34 cm olduguna göre, IADI + IBCI kaç

cm dir?

A) 84 B) 80 C) 74 D) 1,)8 E) 64

A B

Yandaki verilenlere göre, IBCI + ICDI kaç cm dir?

IABI = 21CDI

21BCI = 31DEI

IABI + IBCI = 13 cm

E ICDI + IDEI = 8 cm

31BCI = 41ADI = 61EFI

IAEI = IECI = 21EFI

!ADI+ IEFI+ IBCI= 54 an

c ABD ve ,ABC üçgen

F


15.

E) 11D) 10C)9

c

B) 8A)7

11.

A) 36 B) 38 C) 42 D) 48 E) 54

Yukarida verilenlere göre, IBDI + IDFI kaç cm dir?

ABC üçgeninde

IABI = 31ADI

IBEI = 21DEI

IADI + IDEI = 6 cm

B C

Yukarida verilenlere göre, IBDI +IBEI kaç cm dir?

16.ABC ve DBE üçgen

41DFI = 31FEI

IADI=iIABI 7

IADI + IEFI = 16 cm

E

A

B

12.

A) 14 B) 12 C)10 D)8 E) 6 A)6 B) 8 C)12 D) 16 E) 18

22

BÖLÜM

AçilarKÖSETASi KAZANiMLAR

1. Tam açiyi ve açi ölçü birimlerini tanimlar.

2. Derecenin alt birimlerini tanimlar.

3. (Derece, dakika, saniye) biçiminde verilen ölçülerde toplama ve çikarma islemi yapar.

4. Dar açi, dik açi, genis açi, dogru açiyi tanimlar.

5. Bütünler açi, tümler açi, komsu açiyi tanimlar.

6. Açiortayi tanimlar.

7. ÖkIit'in iki paralel- bir kesen aksiyomunu kavratir.

8. Yöndes açiyi tanimlar ve uygulama yaptirir.

9. Iç ters açiyi tanimlar ve uygulama yaptirir.

10. Paraleller çizerek Öklit'in iki paralel- bir kesenini elde ettirir.

11. di II di dogrulari arasinda kalan ve kesenin ayni tarafindaki iki açinin bütünler oldugunu gösterir.

12. Iki paralel- bir kesenin bir uygulamasini gösterir.

13. Bir üçgenin iç açilarinin ölçüleri toplaminin 180° oldugunu kavratir.

14. Bir üçgende bir dis açinin ülçüsÜllün kendisine komsu olmayan iki iç açinin ölçüleri toplamina esitoldugunu kavratir.

15. Üçgende dis açinin bir uygulamasini yapar.

16. Bir üçgenin dis açilarinin ölçüleri toplaminin 360° oldugunu kavratir.

17. Dar açili üçgeni, dik üçgeni, genis açili üçgeni tanimlar.

18. Çesitkenar üçgeni, ikizkenar üçgeni, eskenar üçgeni tanimlar.

19. Bir dörtgenin iç açilarinin ölçüleri toplaminin 360° oldugunu kavratir.

20. Tamamlayici açilar yardimiyla açi ölçüsü bulur.

21. Özel üçgenlerde açi ölçüsü bulur.

22. Kareyi tanimlar, açi ölçüsü bulur.

23~ Paralel dogrular arasindaki paralel dogru parçalarinin uzunluklarinin esitligini gösterir.

24. Iki iç açiortayin arasindaki açinin ölçüsünü hesaplar.

25. Iki dis açiortayin arasindaki açinin ölçüsünü hesaplar.

26. Bir iç, bir dis açiortayin arasindaki açinin ölçüsünü hesaplar.

'},7. ~.~rr..d*-~y'gt;nd~.~ip'~~~nü~~,ait olan kenar,oi:tay1ll.~lugunun, hipotenüs uzunlugunun yarisinaesitligini gösterir.

28. Orta tabani tanimlar.

29. Açilari 30°, 60°, 90° olan üçgenin kenarlari arasindaki bagintilari verir.

30. Bir üçgende bir köseye ait açiortay ile yüksekligin arasindaki açinin ölçüsünü bulur.

8-~ D R G-=-=--

180 n 200

Tam açi = 360· = 2n radyan = 400 grad

açilar

~ 1 derece = 60 dakika = 3600 saniye

~

AL L~O B

O BO B

DikaçiDar açiGenis açi

"= 90·"< 90·"> 90·

~ Tümler açi: Ölçüleri toplami 90· olan iki açi için "tOmler açilardir" denir.

~ Bütünler açi: Ölçüleri toplami 180· olan iki açi için "bütünler açilardir" denir.

"1 = "2 = "3 = "4 = "

"1 ve "2 ters açilar

"1 ve "3 yöndes açilar

"2 ve "3 iç ters açilar

"1 ve "4 dis ters açilar

ci + J}= 180·

Bir üçgenin iç açilari toplami 180· dir.

Bir dörtgenin iç açilari toplami 360· dir:

Bir besgenin iç açilari toplami 540· dir.

Bir n kenarli çokgenin iç açilari toplami (n - 2).180· dir.

Bir üçgenin ve tüm konveks çokgenlerin dis açilari toplami 360· dir.

25

açilarA

Bir üçgende bir dis açi kendine komsu olmayan ikiiç açin in toplamina esittir.

C

m(D)", m(A)2

BD

m(D) '" 900 _ m(A)2

B C

m(O) '" 900 + m(A)2

A

d=a+b+cB

C

~

d1

d

11/ d2 ise,

a+c+e=b+d

d2't

A, O, E dogrusalB'\ ...

..-.......-.....

.......... ~

m(COO) = m(OOE)..-.....

..-......•.. m(AOB) = m(BOC) ise BO .l.. 00~ A

OE

A

A D

B

A

C B B

A

C

Eskenar üçgen Ikizkenar üçgen

A A Am(A) "* m(B) "* m(C) ise,ABC çesitkenar üçgen

26

açi/arkösetasi ------------------------,Ölçüsü 150· olan bir açiyi radyan ve grad cinsinden yaziniz.


~ D noktasindan sabitlenmis olan DA çubugunun tam bir tur attiginda taradigi açiya tam açi denir. A nok-Q---A tasinin geçtigi tam çember yayi (çemberi n çevresi) eger;

360 es parçaya ayrilirsa bu par

çalardan birini gören merkez açi

nin ölçüsü 1 derecedir.

1 tam açi = 360·

D G R-=-=-180 200 n

Kösetasinin çözümü:

400 es parçaya ayrilirsa bu

parçalardan birini gören merkez

açinin ölçüsü 1 graddir.

1 tam açi = 400G

Yariçapi uzunlugundaki parçala

ra ayrilirsa bu parçalardan birini

gören merkez açinin ölçüsü 1

radyandir.

1 tam açi = 2n radyan

(Neden?: r yariçapli çemberin

çevresi 2n r dir.)

~=~=~ => G= 500 ve R= Sn180 200 n 3 6

( )GYani, 150° = 5~0 = 56n radyan

1. 72· lik açi kaç graddir?

A) 36 B) 45 C) 60 D) 80 E) 90

5n3. 8 radyan kaç graddir?

A) 85 B) 105 C) 125 D) 150 E) 175

2. Ölçüsü 53n radyan olan açinin derece cinsinden öl·

çüsü asagidakilerden hangisidir?

2n GA)-rad=120° 8)150 =135°3

A) 330 B) 300 C) 270 D) 240 E) 210

27

Asagidakilerden hangisi yanlistir?

C) 100G =~ rad2

4nE) 144°=- rad5

5n GD)- rad=50

18

kösetasiaçi/ar

78280 saniyelik açi kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir?

açiklamali çözümBir tam çember yayinin 360 es parçasindan birini gören merkez açininölçüsüne 1 derece denir ve "i o" ile gösterilir.

1 derecenin ....!.. ina 1 dakika denir, (') ile gösterilir.60

1 dakikanin ....!.. ina 1 saniye denir, (") ile gösterilir.60

Yani; 1° = 60', i' = 60",1° = 3600" dir.

Örnegin, 10° 15' 36" = 10. + (~)O+ (~)O = 10,26° olur.60 3600

Kösetasininçözümü:

78280 16o

~O [136416o182 120 ~ =:> 78280° = 21° 44' 40"180 104~O 60

_240 ~

4Q7T

SASJRMA YA LiM

(1,2W = 1° 15' = 751

OLUR DEGIL Mi?!

1. 64187 saniyelik açin in derece, dakika, saniye türün

den esitiasagidakilerden hangisidir?

3. (16,02)" lik açi kaç saniyedir?

A) 16° 20' 45" B) ir 49' 47" c) 19° 20' 31"

A) 56410

D) 58692

B) 56812

E) 58992

C) 57672

D) 21° 17' 45" E) 23° 21' 30"

2. 20° 12' 45" lik açi kaç saniyedir? 4. 42° 24'18" lik açi kaç derecedir?

A) 68702

D) 72765

B) 68772

E) 72798

C) 70612 A) 42,04

D) 42,405

B) 42,102

E) 42,45

C) 42,205

28

kösefasiAsagidaki islemleri yapiniz.

1) 17° 41' 25"32° 47' 51"

+

2) 28° 38' 20"19° 44' 33"

açilar


1.

1) 17° 41' 25"32°47'51"

+49° 88' 76"

"-./49° 89' 16""-./

50° 29' 16"

~2) 28° 38' 20"

19° 44' 33"

~28° 37' 80"

19° 44' 33"

27° 97' 80"

19° 44' 33"

8° 53' 47"

41° 20' 39"

77" 48' 30"+

(1' = 60/1 ve 76/1 = 60/1+ 16/1= l' + 16/1oldugundan l' yi 88' ya ekleyelim)

(1 ° = 60' ve 89' = 60' + 29' = 1° + 29' oldugundan 1° yi 49° ye ekleyelim)

(20/1 den 33/1 çikmaz. 38' dan l' = 60/1 alip 20/1ye ekleyelim. 60/1 + 20/1 = 80/1)

(37' dan 441 çikmaz. 28° den 1° = 601 alip 37' ya ekleyelim. 601 + 37' = 97')

3. m(A) = 20° 40' 13" ve m(S) = 36° 51' 27" olmak üzere,... ...2.m(A) + 3.m(B) asagidakilerden hangisine esittir?

Yukarida verilen toplama isleminin sonucu kaçtir?

A) 117° 10' 1·9/1

C) 118° 19' 22/1

E) 119° 9' 19/1

B) 118° 9' 9/1

D) 119° 9/9/1

A) 148° 10' 8/1

C) 151° 54' 47/1

B) 150° 50' 42/1

D) 155° 37' 20/1

E) 159° 40' 17/1

~~

••• ••• a...

2. m(A) = 80°12' 32" ve m(B) = 12° 25' 20" olduguna ~... ...göre, m(A) - m(B) asagidakilerden hangisidir?

4. m(A) = 12° 20' 35" olduguna göre, m(A) asagidakiler-

den hangisine esittir? 5

A) 67° 47/12/1

C) 65° 371 25"

E) 64° 40' 18/1

B) 67" 42'20/1

D) 64° 4t 20"

29

A) 1° 50' 47"

C) 2° 281 7/1

E) 2° 52/18/1

B) 2° 8' 17/1

D) 2° 48/7/1

kösetasiaçilar

A dar açi olmak üzere,

m(A) + m(s) = 220' esitligini saglayan m(S) nin en kücük tamsayi degeri kaç derecedir?

açiklamali çözümAçi çesitleri:

180'~ o •o

1) Dar açi: Ölçüsü O· ile 90· arasinda olan açilardir.

O· < ci. < 90·

2) Dik açi: Ölçüsü 90· olan açilardir. Iki dogrunun dikligi ".1" ile gösterilir.

AB.l BC

3) Genis açi: Ölçüsü 90· ile 180· arasinda olan açilardir.

90· < ci. < 180·

4) Dogru açi: Ölçüsü 180· olan açilardir.

5) Tam açi: Ölçüsü 360· olan açilardir.&360'


m(A) + mIS) = 220· toplaminda m(S) nin en küçük tamsayi degerini bulmak için, m(A) nin en büyük tamsayi degerini alalim.

m(A) dar açinin ölçüsü oldugundan en fazla 89· olabilir. 89· + m(l3) = 220· =:> mIS) = 131· olur.

3. A dik açi, B dogru açi ve C tam açi olmak üzere,A A A

m(C) - 2.m(A) + m(B) isleminin sonucu kaç derece-dir?

1. A genis açi olmak üzere,

m(A) + m(S) = 270·A

esitligini saglayan mIS) nin en büyük tamsayi degeri

kaç derecedir? A)180 B) 270 C) 360 D) 450 E) 540

A) 176 B) 177 C) 178 D) 179 E) 180

2. A dik açi, B dar açi olmak üzere,

m(A) + m(S) + m(C) = 330·A

esitligini saglayan m(C) nin en küçük tamsayi degeri

kaç derecedir?

4. i. Dik açi ~ 90·~.:.: ii. Tam açi ~ 180·

:.: iii. Dogru açi ~ 360·JJ

iV. Dar açi ~ 20·

V. Genis açi ~ 80·

Yukarida verilen açi çesitleri ve örnekleri arasindaki

iliskilerden kaç tanesi dogrudur?

A) 149 B) 150 C) 151 D) 152 E) 153

30

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

kösetasiaçilar

Tümleri ile bütünlerinin toplami 200· olan açi kaç derecedir?

açiklamali çözümBütünler açi: Ölçüleri toplami 180· olan açilardir. Örnegin; 30· lik açinin bütünleri 150· dir.

Tümler açi: Ölçüleri toplami 90· olan açiiardir. Örnegin; 27" lik açinin tümleri 63· dir.

Komsu açilar: Birer kollari ortak ve iç bölgeleri ayri k olan açilardir.

D A cc

......... .

AOB ile BOC komsu açilardir.".........., ...-...... ....-.... .........••••..

AOB ile BOC komsu bütünler açilardir. AOB ile BOC komsu tümler açilardir.

(A, D, C dogrusal)


Aradigimiz açi x olsun.

x in tümleri 90· - x, bütünleri 180· - x olur.

90· - x + 180· - x = 200· => x = 35·

1. 52· lik bir açinin bütünleri ile tümlerinin toplami kaç

derecedir?3. Tümlerinin bütünlerine orani ~ olan açi kaç derece-

dir? 3

A) 150 B) 154 C) 166 D) 176 E) 192A)60 B) 55 C) 50 D)45 E) 40

2. Bütünler iki açidan biri, digerinin 3 katindan 40· fazladir.

Buna göre, küçük açi kaç derecedir?

4. EA..L EC

m(cEO) = 2x + 40·

m(BEC) = 3x + 20·

D......... .

AEB ile CEO tümler olduguna göre, x kaç derecedir?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

31

A)15 B) 20 C)25 D) 30 E) 35

~

kösetasiaçilar

A c

A, B, C dogrusal noktalardir.- -ABD nin açiortayi ile DBC nin açiortayi arasinda kalan açi kaç derecedir?


c

Açiortay: Bir açiyi iki es açiya ayiran isindir.

/'.. /'..Sekilde BD açiortaydir. m(ABD) = m(DBC)

A

.".~

.••••••••••••••.•F

c


Açi sorularinda açiortay varsa genellikle harflendirme yapilir. Buna göre,

EB ve BF açiortaylarini çizelim .

2a + 2b = 180·

2(a + b) = 180· ~ a + b = 90· ~ m(EBF) = 90· olur.

- -ABD nin açiortayi ile DBC nin açiortayi arasinda ka-

lan açi kaç derecedir?

A B C -Yukarida verilenlere göre, m(DBE) kaç derecedir?

D) 100 E) 110

A, B, C dogrusal

m(FBK) = 40·/'.. /'..

m(DBF) = m(EBC)

m(ABD) = m(KBE)

C) 90B) 80A) 70

3.

AB J. BC

c

A

1.

A) 30 B) 45 C) 50 D) 60 E) 75

-Yukarida verilenlere göre, m(FBK) kaç derecedir?

2.

A c

A, B, C dogrusal

DB J. BE, ~.•.••.... ~

[BF, ABD nin; ~.•.••.... ~

[BK, EBC nin açiortayi

4. A, B, C dogrusal

m(ABK) = 50·/'..

[BF, NBC nin açiortayi/'..

[BD, KBN nin açiortayi

A B C-Yukarida verilenlere göre, m(DBF) kaç derecedir?

A) 145 B) 140 C) 135 D) 130 E) 125

32

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 70

~

kösetasiaçilar

Sekildeki açilar derece !üründen verilmistir.

Buna göre, x kaç derecedir?


d1 II d2 olup d dogrusu bu dogrularin kesenidir.

a1 = a2 = a3 = a4 = a ve b1 = b2 = b3 = b4 = b

Açilarin en temel teoremidir. Bu temel sekli olusturabilmek için soru çözümlerinde paralel çekme ihtiyaci duyariz. a + b = 180° oldugunu fark ediniz.

a1 ve a2 ters açilar

a1 ve a3 yöndes açilar

a1 ve a4 dis ters açilar

a2 ve a3 iç ters açilar

Yukaridaki teoreme göre,

3a + 27 = 5a + 3 =:> 24 = 2a =:> a = 12°

x + 3a + 27" = 180° =:> x = 117"

1. Yandaki sekilde açilar

derece cinsinden ve

rilmistir.

3. Sekilde açilar derece

d1 cinsinden verilmistir.

d1 II d2

d1 if d2 olduguna göre, y kaç derecedir? Buna göre, x kaç derecedir?

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35 A) 32 B)40 C) 44 D) 50 E) 60

Buna göre, x, y, z nin dogru siralanisi asagidakiler

den hangisidir?

d1 II d2 olmak üzere,

d1 asagidakilerden hangisi ~ olabilir?

_~ 4.~

]C) z < x < y

Sekilde 3x, 5y, 4z de

rece cinsinden veril

mistir.

B) z < y < xA) x < Y < z

2.

D) Y < x < z E) y < z < x A) e = c B) h = b C) d = e D) f = d E) a = e

33

kösetasiaçilar

-----m(DAE) = 55°

m(FCK) = 45°

-----olduguna göre, m(ABC) kaç derecedir?


B

Ddi

E

Paralel iki dogru ( d1 ii dz)' bir kesen (AB dogrusu) ile kesildiginde paralel dogrularin ayni yönünde ve kesenin ayni tarafinda kalan a ve ~ açilarina yöndes açilar

denir ve a = ~ dir.

TAKTiK: Yöndes açilarin var olabilmesi için birbirine paralel dogrularin olmasi

gerektiginden, paralel dogru çizmek ya da dogru parçasini uzatmak temel soru

çözüm yöntemlerindendir.


d II d1 II dz olacak sekilde bir d çizelim.

a = 55° (yöndes)

~ = 45° (yöndes)

m(ABC) = a + ~ = 55° + 45° = 100° bulunur.

-----Yukarida verilenlere göre, m(DBC) = x kaç derecedir?

c

d1 II dz

m(FDE) = 20°

----- ----- -----3.m(ABH) = 2.m(ACE) olduguna göre, m(ACE) kaç

derecedir?E) 20

3.

D

D) 25

-----m(fHE) = 25°

-----m(CAE) = 60°

C) 30

A

B) 35A)40

1.

A) 70 B) 65 C) 60 D) 55 E) 50

2.

D

di m(CFE) = 200°

200'

-----Yukarida verilenlere göre, m(ABO) = x kaç derecedir?

4. d1 II d2

d3 II d4-----

m(DEf) = 60°-----

m(CBf) = 2y - 20°

m(DAH) = x + 10°

A H d2

Yukarida verilenlere göre, x + y kaç derecedir?

A)50 B) 60 C) 65 D) 70 E)75 A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110

34

------,,- .. _--- ----~--------- ------

kösetasiaçilar

D

E

d1 ii d2

m(DAB) = 30·

m(BCE) = 70·..•.......

olduguna göre, m(ABC) = li kaç derecedir?

açiklamali çözümc

D

Paralel iki dogru (d111 d2), bir kesen (AB dogrusu) ile kesildiginde paralel dogrularin arasin

da ve kesenin ters taraflarinda kalan a ve 13 açilarina iç ters açilar denir ve a = 13 dir.


B noktasindan d1 ve d2 dogrulari na bir paralel çizelim d II d1 II d2 olsun.

x = 30· (iç ters)

y = 70· (iç ters)

m(ABC) = a = x + y = 30·+ 70· = 1DO· bulunur.

d1 II d211 d3

m(BAC) = 70·

F dz m(ACE) = m(ECD) = 10·

m(FED) = 30·

..•.......

Yukarida verilenlere göre, m(EOC) kaç derecedir?

..•.......

m(BCD) =y

x

d3 F C

Yukarida verilenlere göre, x - y kaç derecedir?

1. Ad1 II d2 II d3 3.d1B d1..•.......m(ABC) = 50·

E

..•.......

dzm(EDC) = x

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 50 A) 55 B) 60 C) 70 D) 80 E) 85

2. A 4. d1 II d2

[AD] ve [CD] açiortay

m(ABC) = 100·

..•.......

d1 ii d2 olduguna göre, m(BCO) = x kaç derecedir?..•.......

Yukarida verilenlere göre, m(AOC) = x kaç derecedir?

A) 50 B) 55 C) 60 D) 65 E) 75

35

A)90 B) 100 C) 110 D) 120 E) 130

~

kösetasiaçilar

c

d1 II dz

(AC] ve [BC] açiortay

m(ADB) = 100°••..••..•..

olduguna göre, m(ACB) = x kaç derecedir?

açiklamali çözümNEDEN?

dili dzll d311 d4 olacak biçimde d3

ve d4 dogru/an çizilirse, saga bakanaçi/ann top/ammln sola bakan

açi/ann top/amma esit oldugu

görülür.

a+c=b+d

a + b = 50°

x = a + b = 50°


2a + 2b = 100°

di II dz

B

c

Paralel dogrular kirik çizgilerle kesilmisse sola bakanlarin toplami saga bakanlarin toplamina esittir.

A

1.d1 II dz

.•..••..•.. -m(EAC) = m(DBC)

m(MC) = m(CSf)

m(ADB) = 120°

3.di

d1 II dz

[AE] ve [CE] açiortay-E

m(ABC) = 100°-m(CDf) = 40°CF

dz

••..••..•..

Yukarida verilenlere göre, m(ACB) = x kaç derecedir?••..••..•..

Yukarida verilenlere göre, m(AEC) = x kaç derecedir?

A) 30 B)40 c) 50 D) 60 E) 80 A)30 B)40 C) 50 D) 60 E) 70

2. F d1 II dz4.di

--m(ABC)= 2.m(CDE) ~

B

-~m(fAB) = 55° - ~

m(BCD) = 35°

D E dz

Yukarida verilenlere göre, m(CDE) = x kaç derecedir?

did1 II dz

AB.L d1-m(BCD) = 50°-m(CDE) = 30°

E

Ddz

••..••..•..

Yukarida verilenlere göre, m(ABC) = x kaç derecedir?

A)25 B) 30 C) 35 0)40 E) 45

36

A) 130 B) 120 C) 115 D) 110 E) 100

@JBIAIDI

kösetasiaçilar

A

E

d1 II d2

m(ABC) = 100°

m(CDE) = 110° -olduguna göre, m(BCO) = a. kaç derecedir?

açiklamali çözümd d1 II d2 ise

d1 x + y = 180° dir.

d1 ile d2 nin arasinda kalan ve kesenin (d dogrusunun) ayni tarafindaki iki açi bütünlerdir.


d1 II d2 II d3 olacak sekilde d3 çizelim.

x + 110° = 180° (bütünler) => x = 70°E

100°A

a y + 100° = 180° (bütünler) => y = 80°

...................} 'c' .~ _.._ _ ~d3 a + x + y = 180° => a = 30°

D

B d1 II d2

[BD] açiortay

m(OCA) =70°

...-... .......•..•..

m(EAO) = m(OAC) = m(CAB) olduguna göre, m(BAC)

kaç derecedir?

3.

E) 80D) 70C) 60B) 50

Yukaridaki sekilde verilen açilara göre, a. kaç derece

dir?

A)40

1.

A)30 B) 35 C) 40 0)45 E) 50

2.

d1 II di olduguna göre, x - y kaç derecedir?

Sekildeki açilarin ölçüleri tamsayi olduguna göre,

CBE açisinin ölçüsü en cok kaç derece olabilir?

A) 50 B) 40 C) 30 0)20 E) 10 A) 33 B) 34 c) 35 D) 36 E)37

37 ICIDICIBI

kösetasiaçi/ar

X, y, z açilarinin ölçüsü sirasiyla 2, 3, 4 ile orantilidir.

Buna göre, y kaç derecedir?


d1 II di => a + b + c = 360· dir.


x = 2k, Y = 3k, z = 4k olsun.

2k + 3k + 4k = 360·

9k = 360·

k = 40·

Y = 3k = 120· olur.

NEDEN?

d II dt II d2 çizelim

a + x = 180·Y + c = 180·

±

a+~~+c= 360·a +b+c = 360·

Yukarida verilenlere göre, J3 kaç derecedir?

d1 1/ di

[CB) açiortay

ED -l d1.......•.

m(DEC) = 130·

- -m(OAB) = m(ABC) = a olduguna göre, a kaç derece-

dir?

3.

A ve C açilarinin ölçü

leri a ve ~ dir.

2.a= 3.~

D

E

1.

A) 92 B) 96 C) 98 D) 100 E) 108A)100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120

-Yukarida verilenlere göre, m(ABC) kaç derecedir?

Ad1

d1 1/ di

.......•.

.......•.4.Fd1 1/ di 1/ d3

m(ABE) = m(CDE)d1.......•.

.......•.

.......•.~ m(BAF) = 160·m(CBE) = m(EDF) ]

.......•.

.......•.

B m(CDE) = 140·

m(BCO) = 160·E

.......•........•.

d2

d2m(ABC) = m(BCD)

F

Yukarida verilenlere göre, m(BED) = x kaç derecedir?

2.

A)96 B) 100 C) 110 D) 114 E) 120

38

A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

~

açilarkosetasi ----------.,.--------.,.---------------,Bir üçgen in iç açilari 3, 4, 5 ile orantili olduguna göre, en büyük açi kaç derecedir?

açiklamali çözümA Bir üçgende iç açilarin toplami 180° dir. NEDEN?

c


m(A) = 3k, m(S) = 4k, m(C) = 5k

3k + 4k + 5k = 180°

12k = 180°

k = 15°

En büyük açi: 5k = 75° olur.

BC II d olacak sekilde d çizelim./'..m(EAB) = b (iç ters)

m(DAc) = c (iç ters)

a + b + c = 180° (dogrusal)

1. Bir üçgenin iç açilarinin ölçüleri 5 ile bölünebilen ardisik

tamsayilardir.

Buna göre, en küçük açi kaç derecedir?

A)65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45

3. ABC üçgeninde

a+b+c=212°

c

Yukarida verilenlere göre, c kaç derecedir?

A) 16 B) 20 C) 26 D) 30 E) 32

2.d1 ii d2

[AD] ve [BD] açiortay

m(ADB) = 70°

D

-.Yukarida verilenlere göre, m(BCE) = x kaç derecedir?

4. d1 ri d2 = {M}

m(B) = bO

m(C) = CO

b, c E z+

B C d2

Yukarida verilenlere göre, c - b ifadesinin en büyük

degeri kaçtir?

A)35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

39

A)97 B) 98 C) 99 D) 100 E) 101

kösetasiaçilar

B

m(ABD) = m(AED)

m(BDE) = 40· -D olduguna göre, m(BAE) kaç derecedir?

E

açiklamali çözümBir Oçgende kenarlardan birinin uzantisi ile üçgenin bir kenarinin olusturdugu açiyaüçgende dis açi denir. ABC üçgeninde ACD dis açidir. Bir üçgende bir dis açi, kendi·sine komsu olmayan iki iç açin in toplamina esittir.

Sekilde m(ACD) = m(A) + m(S) dir.

A

B

E


m(ABD) = m(AED) = x·, m(8AE) = y. olsun

_ ..a...

m(ACD) = x + 40· (CDE nde dis açi)

_ ..a...

D m(ACD) = x + y (ABC nde dis açi)

x + y = x + 40·

y = 40·

-Yukarida verilenlere göre, m(OAC) kaç derecedir?

-Yukarida verilenlere göre, m(AOC) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

m(EBC) = m(DCB)

m(ABC) = m(ACB)

m(AEB) = 70·

A

B

3.ABC üçgeninde

m(ACB)=40·

2.m(D"AC) = 3.m(6BC)

cB

1.

A) 120 B) 110 c) 100 D) 90 E) 80 A) 50 B)60 c) 70 D) 80 E) 90

Yukarida verilenlere göre, m(BAO) = x kaç derecedir?

2.

B

A

c

ABC üçgeninde

m(AED) = m(ADE)

m(ACB) = m(ABC) ~

m(EDC) = 20· ]

4. A, B, C, D dogrusal

Sekilde verilenlere göre, y kaç derecedir?

A)20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40 A) 36 B) 32 C) 28 D) 24 E) 20

40

kösetasiaçilar

B

/'-.m(ABC) = 30·

/'-.m(AOC) = 20·

/'-. /'-.m(BCO) = 2.m(BAO)

/'-.olduguna göre, m(BAO) kaç derecedir?

açiklamali çözümNEDEN?

A

B C

Yukarida verilenlere göre, y kaç derecedir?

Yandaki gibi sekillerde

x=a+b+c

C

Yukarida verilenlere göre, m(B) kaç derecedir?

B D

B

BC uzat/I/rsa

/'-.""""'"

Kösetasinin çözümü:m(CEO) = a + b (ABE nde dis açi)

/'-.""""'"

2x = x + 30· + 20·m(BCO) = a + b + d (CEO nde dis açi)

x = 50·B

D

1.

AA3. x ve y bütünler açilarA

m(B) = m(E) Aro.m(A) = 30·Am(B) = 70·

B

E

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40A) 25 B) 30 C) 35 0)40 E) 50

m(A) = 50·

m(S) = 30·

m(BCO) = 3.m(ADC)

D

A

B

Yukarida verilenlere göre, m(ADC) kaç derecedir?

4.

[CB)J...[AB)

A

C E/'-.

Yukarida verilenlere göre, m(COE) = x kaç derecedir?

2.

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120 A) 40 B)35 c) 30 0)25 E)20

41 IDlcIDjA\

kösetasiaçilar


Sekilde verilenlere göre, x + y + Z + k kaç derecedir?

Bir üçgenin dis açilarinin ölçüleri toplami 360° dir. Sekilde x + y + Z = 360° dir.

Çünkü, a + x + b + y + c + z = 3.180° = 540°

a + b + c = 180° oldugundan x + y + Z = 360° dir.


x açisi ABC üçgeninde b:r dis açi oldugundan kendisine komsu olmayan iki iç açinin

toplamina esittir.

Sekilde,

x=b+c..:::::..

ECF nin dis açilan oldugundan c + z + k = 360°

x+y+z+ktb+c

= (b + c) + y + z + ktr= (b + y) + (c + z + k)

JJ JJ

= (180°) + (360°)= 540°

1.

C

ABC üçgeninde

x ve y dis açilar

3x = 2y..•..••....

m(ACB) = 50°

3. A ABC dik üçgenA [ABJl.[AC]

..•..••.... ..•..••....

3.m(ABD) = 2.m(ACE)

ll' ,~D B C E

..•..••....

Yukarida verilenlere göre, m(ABO) kaç derecedir?

Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir? A) 100 B) 102 C) 108 0)110 E)112

A) 84 B) 86 C) 90 D) 92 E) 96

2. ABC üçgeninin A, B, C

köselerindeki dis açi-

lar sirasiyla 2, 3, 4 sa- ~yilariyla orantilidir. ~

~

.-...Yukarida verilenlere göre, m(OAB) kaç derecedir?

4.

Yukarida verilenlere göre, a + b + c kaç derecedir?

A)60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80

42

A) 370 B) 360 C) 350 0)310 E) 290

@JElcIA\

açilarkösetasi ---------------------------iABC iç açilarinin ölçüsü tamsayi olan bir dar açili üçgendir.

Buna göre, m(J\) + m(B) - m(C) ~ kaç derecedir?

açiklamali çözüm1. Dar açii! üçgen:

Tüm iç açilari 90° den küçüküçgenlerdir.

2. Dik üçgen:

Bir iç açisi 90° olan üçgenlerdir.

3. Genis açii! üçgen:

Bir iç açisi 90° den büyükolan üçgenlerdir.

B c

A

c


m(A) + m(S) - m(C) ifadesinin en büyük degerini bulmak için,

m(A) ve m(B) yi en büyük; m(C) yi en küçük seçelim.

ABC dar açi li üçgen oldugu için,

m(A) = 89° . m(B) = 89°. m(C) = 2° olur.

89° + 89° - 2° = 176°

""""'" ..--...

1. ABC nde [AB].L [AC] olduguna göre, m(ABC) nin ala-

bilecegi en büyük tamsayi degeri kaç derecedir?

3. Genis açii! bir üçgenin en bUyük açisinin alabilecegi

en kücük tamsayi degeri kaç derecedir?

A)44 B) 51 c) 88 0)89 E) 91 A) 89 B) 91 C) 100 D) 101 E) 121

B C..--...

ABC dar açii! üçgen olduguna göre, m(BAC) nin inhi&WS tamsayi degeri kaç derecedir?

2. A ABC üçgeninde..--...

m(ABC) = 3xo

m(ACB) = 2xo

X E z+

4. iç açilarinin ölçüleri birer tamsayi olan ABC dik üçge-..--.....--... ..--...

ninde 11.m(BAC) = 7.m(ABC) olduguna göre, m(ABC)

kaç derecedir?

A) 30 B) 34 C) 35 D) 38 E) 42 A) 35 B) 38 C)45 D) 52 E) 55

43

kösetasiaçi/ar

ABC üçgeninde

IADI = IBDI

IAEI = IECI

m(DAE) = 20°

Yukarida verilenlere göre, m(BAC) kaç derecedir?

açiklamali çözüm1. Çesitkenar üçgen:

Üç kenarinin uzunlugu dafarkli olan üçgenlerdir.

Ba

a;tb;tc

m(A) ;t m(S) ;t m(C)

2. ikizkenar üçgen:

Iki kenarinin uzunlugu esit olanüçgenlerdir. ikizkenar üçgenlerdeesit kenarlar karsisinda esit açilarbulunur.

A

ca

m(E3)= m(C)

3. Eskenar üçgen:

Üç kenar uzunlugu da esit olanüçgenlerdir. Eskenar üçgenleriniç açilarinin herbiri 60° dir.

A

Ba

m(A) = m(B) = m(C) = 60°

A

~

00

x yB~C


Esit açilarin ölçüleri x ve y ile gösterilmistir.""""-

ABC de 2x + 2y + 20° = 180° => x + y = 80°.•.........

m(BAC) = x + y + 20° = 80° + 20° = 100°

a < b < c olduguna göre, a nin alabilecegi en büyük

tamsayi degeri kaçtir?

3. Çevresi 36 cm olan bir çesitkenar üçgeninde kenar uzun

luklari a, b, c cm dir.

1. ABC üçgeninde

IBAI = IBEI

ICAI = ICDI.•.........

m(DAE) = 20°

A) 12 B) 11 C) 10 0)9 E) 8.•.........


.•.........

Yukarida verilenlere göre, m(AED) kaç derecedir?

~B E C

ABC üçgeninde ~..::c

[AE] açiortay ~c::

IBDI = IDEI = IAEI = IACI ..::c

ABC eskenar üçgen

m(6BC) = 36°

IBDI = IACJ

c

A

B

.•.........

Yukarida verilenlere göre, m(CAO) kaç derecedir?

4.E) 140D) 130C) 120B) 110A) 100

2.

A)40 B) 45 C) 50 0)60 E) 90 A) 16 B) 18 C)20 0)22 E) 24

44

kösetasiaçilar

CA J..AB

DEJ.. BF

m(DCE) = 90·

/'-.m(ABF) = 70·

E -Yukarida verilenlere göre, m(DEC) kaç derecedir?

açiklamali çözümA

D

B

Dörtgenin iç açilari toplami 360· dir.

a + b + c + d = 360·

Not: Bir besgenin iç açilari toplami 540· dir.

Bir n kenarli çokgenin iç açilari toplami

(n - 2).180· dir.D

NEDEN?

cc


ABHC dörtgeninde

m(A) + m(B) + m(H) + m(C) = 360·

90· + 70· + x + 90· = 360·

x = 110·/'-. /'-. ~

X = m(EFH) + m(FEC) (FEH de dis açi)

110· = 90· + m(FEC)/'-.

m(FEC) = 20·

ABCD dörtgeninde B ve D noktalanm birlestirelim.

~a + b + c = 180· (ABD iç açilar)~

+ d + e + f = 180· (BDC dis açilar)a + b + c + d + e + f = 360·

1. ABJ..BH

ACJ..DC

HF J.. BD

m(HFC) = 140·

3.

D

d1 /i d2

AB J.. d1

m(DCA) = 100·

m(CDE) = 40·

E

Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir?

A) 40 B) 45 C) 50 D) 60 E) 70

/'-.Yukarida verilenlere göre, m(CAB) = x kaç derece-

dir?

A)40 B) 50 C) 55 D)60 E) 65

2.

D

d1 II d2

ABJ..AD

BCJ..CD

4. EH did1 II d2

~~

CDJ..AB

/'-.

/'-.~m(DCF) = m(CEH) = x..:.:

Am(B) = 40·

B

di

Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir? Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir?

A) 80 B) 90 C) 100 D) 110 E) 120

45

A) 115 B) 110 C) 105 D) 100 E) 95

~

kösetasiaçilar

A ABC üçgeninde

c

iACi = iBCi

/'.. /'..m(DBC) = m(ACD)

m(BDC) = 100·

/'..olduguna göre, m(BAC) = x kaç derecedir?


B c

DBC üçgeninde ci + ~ = 180· - 100· = 80·

m(ACB) = ci + ~ = 80·

IACI = ICBI ise, m(A) = m(ABC) = x·

ABC üçgeninde 2x + 80· = 180·

x = 50· bulunur.

1.

B

ABC ikizkenar üçgen

IABI = IACI

m(BAC) = 40·/'.. /'..

m(ABD) = m(BCD)

3. A

c

ABC üçgeninde

m(ABE) = m(BCD)

IABI = IBCI

m(BDC) = 120·

/'..Yukarda verilenlere göre, m(BOC) kaç derecedir? Verilenlere göre, asagidakilerden hangisi ~?

A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) ABC eskenar üçgendir.

C) IACI > IBCI

E) m(BAc) = m(EDC)

/'..B) m(BEC) > 60·

D) m(ABC) = 60·

ABC ve ADE üçgen/'..

m(ACB) = 70"

E

A

B

........•.•. .......•...•••.

m(AOE) = m(DFB) + m(AEO) olduguna göre, m(AOE)

kaç derecedir?

4.ABC ve ADE üçgen/'.. /'..

m(EAC) = m(DAB)/'.. /'..

m(ABC) = m(ADE)/'..

m(ACB) = 20·

/'..Yukarida verilenlere göre, m(AEO) kaç derecedir?

2.

A)40 B) 35 C) 30 D) 25 E) 20 A)40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

46

kösetasiaçi/ar

A ABC eskenar üçgen

D, B, E, C dogrusal

~ ~m(DAB) = m(BAE)



A

L:>.ABC eskenar üçgen

m(ABC) = 60·

x + ct = 60· (ABD üçgeninde dis açi)

x=60-a

y = 60 + ct (ABE üçgeninde dis açi)

C x + y = 60 - ct + 60 + a

x+y=120·

D) 130 E) 120

ABC üçgeninde

BD.l CA~ ~

m(ABD) = m(EBC)~

m(ACB) = 20·

C) 140B) 150


A) 160

3.

D) 110 E) 120

ABC dik üçgen

m(BAC) = 90·

IABI = IACI~ ~

m(DAB) = m(BAE)

C) 100

A

B) 90

D


A) 80

1.

B E

A, D, C, E noktalari dogrusalolduguna göre, x + y kaç

derecedir?


IABI = iACi

IDBI = IDEI

m(EBC) = 40·

CB

Yukarida verilenlere göre, m(AEo) = x kaç derecedir?

4.


IABI = IACI

m(BAC) = 40·~ ~

m(DBC) = m(CBE)

A2.

A)70 B) 80 C) 120 D) 130 E) 140

47

A)50 B) 60 C) 70 D) 75 E) 80

~

kösetasiaçilar

ABCD kare

""""-

ABE eskenar üçgen

/'-..Buna göre, m(ADE) kaç derecedir?

açiklamali çözümKarenin kenarlari esit ve açilari 90° dir.

IAB I = IAEI (ABE eskenar»)

=> IAE i = IADI olur.

IAB i = IADI (ABCD kare)/'-.. /'-..

m(ADE) = m(AED) = x

m(ME) = 90° - 60° = 30°

ADE üçgeninin iç açilari toplamindan 2x + 30° = 180° => x = 75°

-Yukarida verilenlere göre, miDFS) = x kaç derecedir?

-Yukarida verilenlere göre, m(DFE) = x kaç derecedir?

E) 75

ABCD kare

ADE ve DFC eskenar

üçgen

D) 70C) 60B) 45

E

A)30

3.ABCD kare

BCE eskenar üçgen

D) 110 E) 115C) 105B) 100A) 95

1.

2.

E

c ABCD kare

ADE eskenar üçgen ~

~JJ

B

ABC D kare

IAEI = IABI

m(EAB) = 40°

-Yukarida verilenlere göre, m(CEA) = x kaç derecedir?

/'-..Yukarida verilenlere göre, m(AED) = x kaç derecedir?

A)30 B) 35 C) 40 0)45 E) 50 A)45 B) 50 C) 55 0)60 E)65

48

kösetasiaçi/ar

A

[Oc] ii [AB]

----- -----m(DCB) = 2.m(DAB)

IAB i = 6 br ve IBCI = 4 br

B olduguna göre, IDCI kaç br dir?

açiklamali çözümParalel dogrular arasindaki paralel dogru parçalarinin uzunluklari esittir.

d, d1 II d2 ve [AB] ii [CD] ise

IABI = ICDI ve IACI = IBDI dir.

c

d,Kösetasinin çözümü:

[CE] ii [AD] olacak sekilde [CE] çizilirse

m(ôCB) = 2.m(MB) oldugundan

A

----- -----m(DAB) = a . m(DCB) = 2a

....-..... A .....-... .••••••••••••••m(CEB) = m(A) = a (yöndes) ve m(DCE) = m(CEB) = a (iç ters)...o..

EBC ikizkenar oldugundan IBEI = IBCI = 4 br

[CE]II[AD]}B => IDCI = IAEI = x

[DC]II[AE]

IABI = x + 4 => 6 = x + 4 => x = 2 br

....•....•.

Yukarida verilenlere göre, m(OAB) kaç derecedir?

[Oc] ii [AB]

[CE] ile [BE] açiortay

m(AEC) = 140°

A

....•....•.

Yukarida verilenlere göre, m(AEB) kaç derecedir?

3.[OC] II [AB]----- -----

m(DAB) + m(CBA) = 90°----- -----

m(DCB) = 3.m(DAB)

B

c

A

1.

A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E)75A) 140 B) 135 C) 130 D) 125 E) 120

2.

A

[Oc] ii [AB]----- -----

m(DAB) = 2.m(ABC)----- -----

m(DAB) + m(DCB) = 220°

B A B

OC /i AB

m(D) = 2.m(S)

m(C) = 3.m(A)

-----Yukarida verilenlere göre, m(OAB) kaç derecedir? Yukarida verilenlere göre, m(A) kaç derecedir?

A)40 B) 50 C) 60 0)70 E) 80 A) 36 B) 40 c) 44 0)60 E) 72

49

kösetasiaçilar

A

8

ABC üçgeninde


m(BAC) = 2x - 20°

.•....••.•

m(BDC) = 2x + 20°

olduguna göre, x kaç derecedir?C

açiklamali çözümA ABC üçgeninde

NEDEN?A

8

8

A

.•....••..

. .•........ m(BAC)[BD] ve [CD] açiortay ise, m(BDC) = 90°+--2-


ABC üçgeninde açiortaylar bir noktada kesiseceginden

[CD] açiortayolur.

m(BDc) = 900+ m(BAC)2

2x + 20° = 90° + 2x-20° :::} x = 60°C 2

B C

ABC üçgeninde iç açilar toplammdan

a + 2m + 2n = 180°2m + 2n = 180°- a

m + n = 90°-::'2

KBC üçgeninde iç açilar toplammdan

? + m + n = 180°a

? + 90 -"2 = 180°

? = 900 +E..2

Yukarida verilenlere göre, m(DEC) = x kaç derecedir?Yukarida verilenlere göre, m(ACB) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[BF dis açiortay

BE J. BF

m(BAC) = 70°

m(BEC) = 100°

A3.ABC dik üçgen

[BD] ve [CE] açiortay

A

B

1.

A) 30 B) 40 C) 45 0)50 E) 55A)40 B) 50 C) 55 0)60 E) 65

2.

B

A

C

ABC üçgeninde

[AD] ve [BD] açiortay ~~

IAB~IACI ~m(ADB) = 100°

4.

B C

ABC üçgeninde

[AE] ve [BD] açiortay.•.•..••.. .•....••..

m(BDE) = m(ACB)

Yukarida verilenlere göre, m(OAC) kaç derecedir?.•....••.•

Yukarida verilenlere göre, m(ACB) kaç derecedir?

A) 25 B) 30 C) 50 0)60 E) 70 A)30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60

50

----------------- -----

kösetasiaçilar

A

B

ABC üçgeninde

[CD] dis açiortay

/'-. /'-.m(ABD) = m(DBC) = a

/'-.m(ADC) = 2a + 54°

olduguna göre, m(ABC) kaç derecedir?

açiklamah çözümNEDEN?

B

B

D

ABC üçgeninde

[AD] ve [CD] dis açiortaylari arasindaki açi/'-.

m(ADC) = 900 _ m(ABC)2


Bir iç açiortay ile iki dis açiortay bir noktadakesiseceginden [AD], ABC üçgeninde disaçiortayolur.

m(ADC) = 900 _ m(ABC)2

2a + 54° = 90° - a

3a = 36°

a = 12°

/'-.m(ABC) = 2.12° = 24°

B

ABC üçgeninde iç açilar toplamindana + 1800-2m + 180°- 2n = 180°

180° + a = 2m + 2n

90° +:!:.. = m+n2

ADC üçgeninde iç açilar toplamindan

m + n +? = 180°

90° + :!:.. + ? = 180°2

? =90° - 5!..2

1. AABC dik üçgeninde3. ABC üçgeninde

D~

[BD] dis açiortay[AD] dis açiortay

/'-.D

m(DAB) = 45°[BD] iç açiortay.i~ /'-.

m(ADB) = x + 40° IABI = IADIE

B C/'-. /'-.m(ACE) = 2x m(BDC) = 24°/'-.

B

Yukarida verilenlere göre, m(ABC) kaç derecedir? /'-.A) 40B) 45C) 50D) 55E) 60 Yukarida verilenlere göre, m(AOB) = x kaç derecedir?

A) 30

B) 33c) 35D) 36E) 40

2.

E

ABC üçgeninde4.A ABC dik üçgen

[CD] açiortay~

AB .LAC

[CE].L [CD] ] [BD] ile [CD] dis açiortay/'-. m(BAC) = 50°/'-./'-.

m(BCD) = m(CBD) + 15°B m(cA'E) = 65°/'-.

/'-. /'-.m(ABC) = 2.m(AEC)

olduguna göre, m(OBC)/'-.

kaç derecedir?

Yukarida verilenlere göre, m(AEC) kaç derecedir?D

A) 30

B) 35C) 40D) 45E) 50 A) 45B) 50C) 60D) 70E) 75

51

~

kösetasiaçilar

DA ABC üçgeninde [CD] açiortay

/'-..m(BAC) = 100°

/'-..m(DAB) = 40°

c /'-..olduguna göre, m(BOC) = x kaç derecedir?

NEDEN?

mA!~B C

ABC üçgeninde iç açilan toplammdan

a + 2m + 180° - 2n = 180°

2m - 2n =- aa

m-n=--2

KBC üçgeninde iç açilar toplammdan

? + m + 180° - n = 180°

? + 180°-% = 180°

? = !!:.. 2

Kösetasinin çözümü:/'-..

Sekilde [CA uzatilirsa m(EAD) = 40° bulunur ve [AD] dogruparçasi, ABC üçgeninde dis açiortayolur. [CD] iç açiortayoldugundan,

[BD] de ABC üçgeninde dis açiortayolur.

[BD] ile [CD] arasindaki açi x = m(BJ\C) = 100° = 50°2 2

m(ô)=m(A)2

2) Bir üçgende bir kösedeki iç açiortay ile diger köselerdeki dis açiortaylar bir noktada kesisir.

1) Bir üçgende bir kösedeki iç açiortay ile bir kösedeki disaçiortayarasindaki açi üçgenin üçüncü kösesindeki açin inyarisina esittir. Sekildeki ABC üçgeninde C kösesindeki içaçiortay ile B kösesindeki dis açiortayarasindaki BDCaçisi BAC açisinin yarisina esittir.

D

açiklamali çözüm(1)

D

D/'-..

Yukarida veri/enlere göre, m(AOB) = x kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[AD] açiortay/'-..

m(ACB) = 40°/'-..

m(BCD) = 70°

E) 55D) 50


IABI = IAci

[BD] iç açiortay

[CD] dis açiortay

m(BAC) = 40°

C)45B)40

B

Yukarida veri/enlere göre, m(ADB) = x kaç derecedir?

A)35

3.

E)40D) 30C) 25B) 20

B

A) 15

1.

2. DABC üçgeninde

[BD] iç açiortay[CD] dis açiortay/'-..m(BDC) = 35°

B

E

4.

E

B

ABC üçgeninde

D [AD] ii [BC]

m(EDB) = 40°

[BD] iç açiortay

[AE dis açiortay

/'-..Yukarida verilenfere göre, m(OAC) kaç derecedir?

•.•••..•..

Yukarida veri/enlere göre, m(BAC) = x kaç derecedir?

A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) 55

52

A)20 B)40 c) 50 D) 60 E) 80

~

kösetasiaçilar

A

~B D C

ABC üçgeninde [DA]l. [AC]

IDCj = 2.IABI ve m(ACB) = 20°

•.•.•....

olduguna göre, m(ABC) kaç derecedir?

açiklarnaIi çözüm

B

A

c

Bir dik üçgende hipotenüse ait olan kenarortayin uzunlugu hipotenüs uzunlugununyarisina esittir. [AD], [BD], [OC] üçlüsüne akilda kalsin diye ögretmenlerimiz muhtesemüçlü ismini vermisler.

Sekilde IADI =IBDI=IDCI = IBCI dir.2

B

A

c

Not: Hipotenüs üzerindeki bir noktanin dik açi kösesine uzakligi, hipotenüsün bir köse

sine uzakligina esitse bu nokta yine hipotenüsün orta noktasi olmak zorundadir. ABC

dik üçgen

m(BAC) = 90° ve IDAI = IDCI ise IBDI = IDCj olur.

B

A


IDEI = IECI alalim. IDCI = 2.IABI => IABI = IDEI = IECI olur. IAEI = IDEI = IECI

oldugundan IABI = IAEI bulunur.

Buna göre, m(EAC) = m(C) = 20°, m(AEB) = 20° + 20° = 40° (AEC de dis açi)

C m(AB'E) = m(AEB) = 40° bulunur.

•.•.•....

Yukarida verilenlere göre, m(AEO) kaç derecedir?

ABC dik üçgen

[AB]l. [AC]

IBDI = IDCj = IAEI

m(EAC) = 30°

C m(ACS) = 20°

E) 45D) 40

c

C) 35B) 30

A ABC dik üçgen

IADI = IBEI = IECj•.•.•....

m(ABC) = 60°

B

Yukarida verilenlere göre, m(OEC) = a kaç derecedir?

A) 25

3.

E) 650)60C) 55B) 50

B

A)45

1.

•.•.•....

Yukarida verilenlere göre, m(OEC) kaç derecedir?

2.

E

A

c

ABC dik üçgen

IEBI = IADI = IDCj

m(ACE) = 70°4.

~

]ABC dik üçgen

IBDI = IDCI = IDEI

m(ACB) = 40°

m(AED) = 70°

•.•.•....

Yukarida verilenlere göre, m(EAC) kaç derecedir?

A)25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 A)30 B) 25 C) 20 D) 15 E) 10

53

kösetasiaçi/ar

A ABC üçgeninde IAEI = IECI

B

/'..m(ABC) = 40°

IBCI = 6 br

IADI = 2 br

IDBI = 8 br

/'..olduguna göre, m(BDE) = x kaç derecedir?


B

A

c

Orta taban: Bir üçgende iki kenarin orta noktalarini birlestiren dogru parçasidir.

D ve E kenarlarin orta noktalari ise, [DE] orta tabandir. [DE] /i [BC] ve IDEI = IBCI2

Bir üçgende orta taban, tabana paralel ve uzunlugu taban uzunlugunun yarisina esittir.


A

/'.. /'..[KE] /i [Bc] çizelim. m(AKE) = m(ABC) = 40° (yöndes)

B

IBCI 6iKE i = -- = - = 3 br2 2

10IKBI =IKAI = - =5 br

2

IKDI =IKAI-IADI =5 - 2 = 3 br

IKDI = IKEI = 3 br ise

KDE ikizkenar üçgen oldugundan taban açilari esittir.

2x + 40° = 180°

x = 70° bulunur.

/'..Yukarida verilenlere göre, m(ABE) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

IAEI = IECI

IABI = 2·IBEI

m(ABC) = 100°

E) 600)55C) 50B) 45

A

A)40

ABC üçgeninde

IBDI = IDCI

IAEI = 8 br

IECI = 2 brB C

IABI = 6 br/'.. /'..

miBACi = 100° olduguna göre, m(AED) = x kaç derece-

dir?

3.

E) 40D) 30

C

C)25B) 20A) 10

1. A

/'..Yukarida verilenlere göre, m(EOC) kaç derecedir?

2. A

A) 30

ABC dik üçgen4.

IAEI = IECI

~IADI =·7 br

~lo;;IDBI = 1 br

~

IBCI = 6 br

/'..olduguna göre m(AOE)C

kaç derecedir?

B) 40

C) 45D) 50E) 60

54

B

A)40

A

B) 30 C) 25

ABC üçgeninde

IADI = IDCI/'..

miBACi = 80°/'..

m(ACB) = 40°

IABI= 6 brC

IDEI = 3 br

D) 20 E) 15

~

kösetasiaçilar

A ABC dik üçgen

~E IBDI= iDC!

IABI = IEDI

50' m(EDB) = 50°___________ x__ /'..B~ C olduguna göre, m(ACB) = x kaç derecedir?


~B 2n C

~

2 30 H2 ;.

'1so:jx

B D C

Bir dik üçgende 30° nin karsisindaki kenar hipotenüsün yarisina esittir. Buna göre,

1. Bir dik üçgende dik kenarlardan biri hipotenüsün yarisina esitse bu üçgenin 30°,60°,90° üçgeni oldugunuanlamaliyiz.

2. Bir üçgende bir açinin 60° oldugu verilmis ve bu açiya bitisik kenarlardan biri digerinin yarisina esitse, yine bir 30°, 60°, 90° üçgenidir.


IABI = IDEI = 2 br diyelim ve [DH].l [Aci seklinde [OH]çizelim.

[DHI = I~BI = f = 1 br (orta taban)

[DHI = IEDI => m(DEH) = 3002

x + 30° = 50° (EDC üçgeninde dis açi)

x = 20°

Eskenar üçgen yüksekli

gine göre simetriktir.

A

ABC dik üçgen

IBDI = iDC!

IABI = IDEI

m(EDC) = 5°

A

C

Yukarida verilenlere göre, m(ACB) = x kaç derecedir?

3.ABC dik üçgen

IDBI = IDC! = ICEI

IABI = IADI

/'..Yukarida verilenlere göre, m(AOE) = x kaç derecedir?

1.

A) 15 B) 30 C) 45 D) 50 E) 60A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 35

2. ABC dik üçgen

IABI = IAEI

IBDI = IDC!

IBC! = 2·IABI

~ 4.

]~

B D C

ABC dik üçgen

m(AED)= 90'

IBDI = IDC! = 2·IAEj

m(ACB) = 20°

Yukarida verilenlere göre, m(BEO) = x kaç derecedir? Yukarida verilenlere göre, m(EAC) kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 35 0)40 E) 45 A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 40

55 lelBlelEI

kösetasiaçilar

B

A ABC üçgeninde

[AD] açiortay

m(S) - m(C) = 50°

C olduguna göre, m(ADC) = x kaç derecedir?


B

A

C

[AH] yükseklik, [AD], BAC açisinin açiortayi ise,

m(HAD) = i m(S) - m(C) i dir.2

B

NEDEN?A

E

B

A


m(ADC) = x = 90° + 25°

= 115°

m(B) > m(C) o/sun

Üçgen üzerindeki açi/an harf/endirelim"""""

a - x + b + 90° = 180° (ABH iç açi/an)"""""

_ a + x + c + 90° = 180° (AHE iç açi/an)

-2x + b- c= Ob-c=2x

m(HA.D) = m(8) - m(C)2

1. A ABC üçgeninde

[AD] açiortay

m(S) - m(C) = 40°

3.

B

A ABC üçgeninde

[AD] açiortay

[BH] l- [AD]..-.-.-... ..-.-.-...

m(ABC) - m(ACB) = 40"

B C..-.-.-...

Yukarida verilenlere göre, m(HBO) kaç derecedir?..-.-.-...

Yukarida veri/enlere göre, m(AOB) = x kaç derecedir? A) 10B) 15c) 20D) 30E)40

A) 40

B) 50C) 60D) 70E) 80

2.

AABC üçgeninde

4.ABC üçgeninde

[BH]l- [Aci..-.-.-...

..-.-.-...

..-.-.-...

..-.-.-...

~ m(ABD) = m(DBC)

m(ABD) = m(CBD)..-.-.-...

..-.-.-...~ m(HBD) = 10°

m(DBH) = 16" ~..-.-.-.....-.-.-...

..-.-.-...

..-.-.-... 2.m(BAC) = 3.m(ACB)

m(ACB) = 2.m(BAC)

B

C BC

..-.-.-...

..-.-.-...

Yukarida verilenlere göre, m(BAC) kaç derecedir?Yukarida verilenlere göre, m(ACB) kaç derecedir?

A) 24

B)28C) 32D) 36E) 40 A) 30B) 40C) 42D) 44E) 46

56

~

açilar

5. Bütünleri ile tümlerinin toplami kendisinin 3 katina

esit olan açi kaç derecedir?

1. 50 grad kaç radyandir?

A) 3.2:. B) .::. c) .::.3 2 3

D)'::'4

E) .::.6

A) 38 B) 45 C) 50 D) 54 E)62

2. 27064 saniyelik açi kaç derece, kaç dakika ve kaç sa

niyedir?

D) 7° 10' 40".....--..

Yukarida veri/enlere göre, m(BOF) kaç derecedir?

A, B, C dogrusal.....--.. .....--..

m(ASD) = m(ESF).....--.. .....--..

m(DSE) = m(FSC).....--..

m(SFD) = 35°

cA

D

6.

C) 7° 12'14"

E) 7° 31' 14"

B) 7° 31' 4"A) 7" 10' 4"

A)45 S) 50 C) 55 0)60 E)65

3. m(A) = 12° 21'32" ve m(S) = 20° 18' 21" olduguna göre,A A

2.m(A) - m(B) ifadesi asagidaki/erden hangisine esit-

tir?

7. d1 II dz

d1 2x + 3y = 410°

A) 3° 52' 33" B) 4° 12' 40" C) 4° 24' 43"Sekilde veri/enlere göre, x kaç derecedir?

D) 4° 44' 32" E) 5° 46' 7" A) 50 S) 52 C) 60 D) 72 E) 82

4. A dogru açi, B tam açi, C dik açidir.

8.

B

A A ABuna göre, m(A) + m(B) + m(C) kaç derecedir?

.....--..

Yukarida veri/enlere göre, m(ABC) = x kaç derecedir?

A) 720 B) 630 c) 600 D) 570 E) 540 A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110

57

açilar

13. Bir ABC üçgeninde,

m(!3) = m(A) = m(C)342

Aolduguna göre, m(A) kaç derecedir?

9. F

E

A

c

dj II d2

[CB], DCE nin açi orta

yi

m(FAB) = 40°

m(ABC) = 70°A) 80 8)70 C) 60 D) 50 E) 40-

Yukarida verilenlere göre, m(ADC) = x kaç derecedir?

c

DBC üçgeninde

m(DBC) = 40°...--...

m(DCB) = 70°

IADI = IDEI

A

B

...--...

A, D, B dogrusalolduguna göre, m(BAE) = x kaç de-

recedir?

14.D) 120 E) 130

-/ d1//d2

DE 1- d2

C) 110B) 100A) 90

10. d 1

D

Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir?A)25 B) 30 C)35 D) 40 E) 50

A)20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

-Yukarida verilenlere göre, m(BAC) = x kaç derecedir?

11. AB ii CD

[CF] açiortay-m(CFD) = 110°

c...-... ,........"" ...-... ...-...

m(CAE) = m(EAD) = m(DAB) ise, m(ADC) kaç derece-dir?

15.

B

A)70

A

B) 80

c

C) 90

...--... ...--...

3.m(BAC) = 2.m(BDC)

m(ABD) =20°

m(ACD) = 30°

D) 100 E) 110

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60


iACi = IABI

x ve y, ABC üçgeninin

dis açilarinin ölçüleri

3x = 4y

cE

16.d1 ii d2

[AD] açiortay...--... ...--...

m(ABC) = miBCD)

m(ADC) = 50°


12.

A) 110 B) 115 C) 120 D) 125 E) 130 A) 62 B) 66 C) 68 D) 70 E)72

58

açilar

17. Dar açi h bir üçgende bir açin in alabilecegi en büyük

tamsayi degeri kaç derecedir?

A) 79 B) 81 C) 89 D) 91 E) 99

21.

B

A

c

ABC üçgeninde

m(BAO) = m(EAC)-m(BAE) = 70·-m(ADC) = 60·

-Yukarida verilenlere göre, m(CDE) kaç derecedir?


B, C, E dogrusal

ICAI = ICBI

10BI = 10EI-m(ABO) = 15·-m(ACB) = 70·

E) 600)55

ABCD kare

ABE eskenar üçgen

C) 50B) 45

..•..••...

Yukarida verilenlere göre, m(ACE) = x kaç derecedir?

A)40

E) 35D) 30

E

C) 25B) 20

A

B

A)15

18.

..•..••...

Yukarida verilenlere göre, m(CFA) = x kaç derecedir?

A)120 B) 130 C) 135 D) 145 E) 150

-Yukarida verilenlere göre, m(BEO) = x kaç derecedir? ..•..••... ..•..••... ..•..••...

2.m(BAO) = 3.m(ABC) = 6.m(BCD) olduguna göre,..•..••...

m(AOC) kaç derecedir?

[AD]!! [BC]

cB

23.

E) 40D) 30

[BC]J..[AC]

[BO]J..[AO]

[BE] açiortay-m(CAO) = 40·

C) 25B) 20

A

A) 15

19.

A) 108 B) 124 C) 136 D) 140 E) 144

B C~ ...-............. .

m(ABD) = m(OBC) = m(ACO) olduguna göre, m(OCB)

kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[AD] ve [BD] açiortay- -m(ADB) = 2.m(ACB)

c

A

B

..•..••...


24.ABC dik üçgen-m(BOC) = 120·

A20.

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60A)30 B) 40 c) 50 D) 60 E) 70

59

açilar

25.

B

E ABC üçgeninde

[BE] iç açiortay

[CE] dis açiortay

IABI = IAEI

m(AEC) =70·


IADI = IDBI

IAEI = 12 br

IECI = 2 br

IBCI = 10 br

c m(ACB) = 40°

.•...•....

Yukarida verilenlere göre, m(EAC) kaç derecedir?

.•...•....

Yukarida verilenlere göre, m(AED) kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 A)10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

26.

B

A ABC üçgeninde

[AE] iç açiortay

[CE] dis açiortay.•..•••...

m(AEC) = 20·

29. ABC dik üçgen

[AE].L [ED]

IBDI = IDCI = 2·IDEI

m(ACB) = 10·

.•...•....

Yukarida verilenlere göre, m(EAC) kaç derecedir?.•...•....

Yukarida verilenlere göre, m(ABC) kaç derecedir? A)10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40

.•...•....

Yukarida verilenlere göre, m(AEO) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

[AH].L [BC]

m(ABC) = 2.m(ACB)/'-.

m(HAD) = 20·

A

B H D C.•...•....

Yukarida verilenlere göre, m(AC8) kaç derecedir?

30.ABC dik üçgen

IBDI = IDCI = IAEI.•..•••...

m(ACB) = 30·

cB

27.

A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 80 A)15 8)20 C) 25 D) 30 E) 40

60

açilar

B C E


ABC üçgeninde

m(BAC) = 50°

m(8Dc) = 2.m(A8D)

ABC D kare

ABE eskenar üçgen

D, F, B dogrusal

Yukarida verilenlere göre, m(AFB) = x kaç derecedir?

5.

E) 500)40

.---....

m(ACE) 3----::::::::::-= -m(BDC) 2

C) 35B) 30

A

A) 25

1.

A)65 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85

B

Yukarida verilenlere göre, m(ABc) kaç derecedir?

B C

Yukarida verilenlere göre, m(BAc) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

rABI = IACI

ICDI = ICBI.---....

m(ACD) = 24°

A6.d1 II d2

m(EAB) = 50°.---....

m(BCF) = 100°

d,

F

E

A)30 B) 40 c) 50 0)60 E) 70 A) 32 B) 36 C) 40 0)42 E) 44

ABC üçgeninde

IABI = IADI.---.... .---....

m(BAD) = m(DAC).---....

m(ACB) = 42°

C

A

B

7.ABC üçgeninde

[CD] iç açiortay

[BD] dis açiortay

m(MB) = 50°

A

D

B C

Yukarida verilenlere göre, m(BDC) = x kaç derecedir?

3.

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 50 Yukarida verilenlere göre, m(BAc) kaç derecedir?

A)44 B) 64 C) 66 0)70 E) 72

d1 /i d2

[B C] açiortay

IBCI = IBDI.---.... .---....

m(BDC) = 2.m(ABC)

K

Yukarida verilenlere göre, m(BAK) kaç derecedir?

8.ABC üçgeninde

IABI = IBDI = IDEI = lEq.---....

m(ABC) = 80°

A

C

Yukarida verilertlere göre, m(ACB) kaç derecedir?

4.

A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 A) 108 B) 110 C) 112 D) 114 E) 116

61

açi/ar

9.

BF

di II d213.

d1/'.[AC], BAE nin açiortayi/'.[BC], ABF nin açiortayi/'.D [AD], CAE nin açiortayi/'.[BD], CBF nin açiortayi

d2

AF i! ED/'. /'.m(CBD) = m(DBF)

ICAI = ICBI

m(BDE) = 65°

A, C, E dogrusal

/'.Yukarida verilenlere göre, m(AOB) kaç derecedir?

/'.Yukarida verilenlere göre, m(BCE) kaç derecedir?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 A) 80 B) 85 C) 90 D) 95 E) 100

ABC üçgeninde

[BE] ve [ED] açiortay/'.m(BAC) = 50°

IDEI = IDBI

c

A

B D.••......


14.A, B, C dogrusal/'. /'.m(EBD) = m(DBC)

m(ABE) = 40° 24' 36/1

A

Yukarida verilenlere göre, m(EBO) asagidakilerden

hangisidir?

10.

A) 69° 47' 42/1 B) 68° 47' 42/1 C) 67° 47' 42/1 A)25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

D) 66° 47' 42/1 E) 65° 47' 42/1

Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir?

11.

D

A ABC ikizkenar üçgen

IABI = iACi

DE.lAC/'.m(EDC) = 20°

15. di

Yukarida verilenlere göre, m(BAC) kaç derecedir? A)90 B) 100 C) 105 D) 110 E) 120

A) 30 B) 40 C) 45 0)50 E) 70

/'.Yukarida verilenlere göre, m(ABO) kaç derecedir?

[OC] i! [AB]

iDCi = 4 br

IBCI = 6 br

A/'. .••......

2.m(OAB) + m(ABC) = 180° olduguna göre, IABI kaçbr dir?

16.ABC üçgeninde

IABI = iACi = IBOI/'.m(DBC) = 15°

A

B

12.

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

62

açilar

-Yukarida verilenlere göre, m(BCO) = x kaç derecedir?

1. B

D

[AE II [CD

m(ABC) = 50°

m(BAE) = 1W

5. ABC üçgeninde

[DH]l- [BC]

IBHI = IHCI

IAEI = IACI

m(ECB) = 20°

B -Yukarida verilenlere göre, m(ACO) kaç derecedir?

A) 100 B) 105 C) 110 D) 115 E) 120A)20 B) 30 C) 40 0)50 E) 60

2. DE ii FK

m(ADE) = 50°-m(ABC) = 120°

-Yukarida verilenlere göre, m(CFK) kaç derecedir?

6.

B

ABC üçgeninde

[AD] açiortay----- -----

m(ABC) = m(ACE)

m(ECB) =40°

A) 40 "' •... B) 50 C) 60 0)70 E) 80-


A) 30 B) 40 C) 50 0)60 E) 70

-Yukarida verilenlere göre, m(BAC) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[CD] açiortay

IBDI = IBEI-m(EDC) = 30°

ABC üçgeninde

m(A8C) = m(ACD)

[CE], DCB nin açiortayi

m(ACE) = 50°

c

A

B -Yukarida verilenlere göre, m(AEC) kaç derecedir?

7.

E) 80D) 70C) 60

A

B) 50A)40

3.

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

c

Yukarida verilenlere göre, x kaç derecedir?-

Yukarida verilenlere göre, m(BAO) kaç derecedir?

4. AABC üçgeninde

8. [AE II [OFEIABI = iACi

A-----m(EAB) = 30°

IADI = IAEI~

[AB]l- [B C]-----

~m(EDC) = 30°

lo;,

x+y= 160°~ F

A) 30 B) 40 C) 50 0)60 E) 70 A)100 B) 105 c) 110 D) 115 E) 120

63

açilar

.....•.••.•


9.

B

D

A

c

.....•.••.• .....•.••.•

m(BAD) = m(BCD).....•.••.•

m(ADC) = 50°.....•.••.•

m(ACB) = 30°

13. ABC üçgeninde

IABI = iACi

IBCI = IBDI + IBAI

m(ADB) = 105°

.....•.••.•


A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110A) 25 B) 30 D) 35 D) 40 E) 45

.....•.••.•


10......•.••.•

[AC], BAD nin açiortayi

[AD]l. [DE]

[AB]l. [BC]

m(SCA) = 25°

.....•.••.•

Yukarida verilenlere göre, m(BEO) = x kaç derecedir?

14.

B

A

c

ABC dik üçgen

IBDI = IDCI

IAEI = IEDI

iEC! = 2·IAEI

A)40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 75A) 15 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

.....•.••.•

Yukarida verilenlere göre, m(AOC) = x kaç derecedir?

.....•.••.•

Yukarida verilenlere göre, m(BAO) = x kaç derecedir?

E)40D) 50

ABC üçgeninde

ICAI = ICBI

IEAI = IEDI.....•.••.•

m(EDC) = 80°

C) 60B)70A)80

15.ABC üçgeninde

IADI = IAEI = iACi.....•.••.•

m(DEB) = 40°

A11.

A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

12.

B c

ABC üçgeninde

IBAI = IBEI

ICAl = ICDI.....•.••..

m(BAC) = 100°

16.

B

A

c

ABC üçgeninde

IAEI = IACI

IDBI = IDCI

m(MC) = 80°

.....•.••.•

Yukarida verilenlere göre, m(OAE) kaç derecedir?.....•.••.•

Yukarida verilenlere göre, m(AFC) = x kaç derecedir?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 70 B) 80 C) 90 D) 100 E) 110

64

açllar

E) 36D) 35C) 34B) 33A) 32

'"bagintisi olduguna göre, m(B) nin alabilecegi en bü·

tii!s tamsayi degeri kaçtir?

5. Bir ABC üçgeninde A, B, C açilari arasinda,

4.m(S) - m(C) < m(A)

d1 II d2

iBCi = ICEI...-.... ...-....

m(ABE) + m(ECD) = 70°

d,A

E

d,D

..-...Yukarida verilenfere göre, m(BCE) = x kaç derecedir?

1.

E)100)20

ABC üçgeninde...-....

m(ABC) = 70°

IAEI = IDEI

IECI = IEFI

C

C) 30B) 40

..-...Yukarida verilenfere göre, m(DEF) = x kaç derecedir?

A) 50

6.E) 60

D) 128 E) 120

D) 50

...-....

Sekilde ABD nin açi-...-....

ortayi ile DBC nin açi-

ortayi arasindaki açi

64° dir.

C) 132

C) 40B) 30

B) 140

c..-...

Buna göre, m(ABC) kaç derecedir?

A)20

A) 144

2.

B C

Yukarida verilenlere göre, a, b, c nin dogru siralanisi

asagidakilerden hangisidir?..-...

Yukarida verilenlere göre, m(AFC) = x kaç derecedir?

ABC üçgeninde

...-....

m(ABC) = 40'

[AD] ve [EC] açiortay

[AD] i- [BC]

C

A

B

7.ABC üçgeninde

m(ACB) = CO

m(ADB) = aO

m(AEB) = bO

A3.

A) c < a < b B) c < b < a C) b < a < c A) 140 B) 130 C) 120 D) 110 E) 100

D) b < c <a E) a < b < c

4.d1 ii d2

m(BAH) = 55°...-....

m(DCH) = 20°

m(DEF) = 10°


[DE] ii [AB]

m(ABE) = 50'

IDEI = iECi = IBEI

..-...Yukarida verilenlere göre, m(EDC) = x kaç derecedir?

B C


A) 70 B) 75 C) 85 D) 95 E) 110 A)65 B) 60 c) 55 D) 50 E)45

65

açi/ar

...-...

Yukarida verilenlere göre, m(CAB) kaç derecedir? ...-...

Yukarida verilenlere göre, m(ABD) = x kaç derecedir?

ABC ve DBC üçgen

m(DCA) = 30°

IBCI = iACi = IDCI

A

B

13.ABC üçgeninde

IAEI = iACi

IBDI = IDCI

m(DFE) = 100°

c

A9.

A)50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90A)5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

...-...

Yukarida verileniere göre, m(EDC) kaç derecedir?...-...

Yukarida verilenlere göre, m(BAD) = x kaç derecedir?

.........

m(ACB) = 20°

IDCI = 2·IABI

ABC üçgeninde.........

m(ADB) = 110°

c

A

B

14.ABC üçgeninde

IABI = IACI

IADI = IAEI..................

m(Bt\D) + m(8JC) = 108°

cB

10.

A)26 B) 30 C) 36 D) 42 E) 45 A)35 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15

B C...-...

Yukarida verilenlere göre, m(ADB) = x kaç derecedir?...-...

Yukarida verilenlere göre, m(ADE) = x kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[AB) J.. [BC)

m(ACB) = 50°

IADI = IDCI = IBEI

C

15. A

D) 125 E) 130

ABC üçgeninde

[AD) ve [BD) açiortay.........

m(ACD) = 20°

C) 120

A

B) 115A) 110

11.

D) 135 E) 120


m(BAC) = 110°

m(ABC) = 60°

IABI = IBDI = IDEI

c

A) 165B) 155C) 140

12.

AABC üçgeninde

.........

.........

m(ACB) = m(DAE) = 28° 16.AIBDI = iECi ol(:~IBEI = IACI 1

~B

C B

...-...

Yukarida verilenlere göre, m(ABC) kaç derecedir?...-...

Yukarida verilenlere göre, m(EDC) = x kaç derecedir?

A) 14 B) 20 c) 28 D) 32 E) 36 A)10 B) 20 C) 30 0)40 E) 50

66

BÖLÜM 3••

Uçgende Açi .. Kenar BagintilariKÖSETASi KAZANiMLAR

1. Üçgen olabilme kosulunu kavratir.

2. Üçgen esitsizligini uygular.

3. Iki üçgenin ortak kenarinin alabilecegi degerleri bulur.

4. Açi - kenar iliskisini kavratir.

5. Açi - kenar iliskileriyle açi ya da kenar bulur.

6. Açi - kenar iliskisi ile mutlak deger bulur.

7. Ikili toplamlardan siralama yapar.

8. Üçgen esitsizligi ile kenarlarin kendi arasindaki siralamadan elde edilen esitsizligi kesistirir.

9. Iki kenar arasindaki iliski verildiginde üçgen esitsizligi çözer.

10. Uzunluklarin degerinin tamsayi ya da reel sayi olma durumunu inceler.

11. Orta taban çizerek kenarortay uzunlugunun alabilecegi degerleri bulur.

12. Genis açinin karsisindaki kenarin alabilecegi degerleri bulur.

13. Genis açi oldugu açikça belirtilmeyen açilarin karsisindaki kenarin alabilecegi degerleribulur.

14. Çevrel çemberin merkezinin yeri ile üçgenin açilarinin iliskisini kavratir.

15. Kosinüs teoremini kavratir.

16. Dik üçgende bir açinin kosinüs degerini okutur.

17. Özel bir açi ile sinirlandirilan açilarin karsisindaki kenarin alabilecegi degerleri bulur.

18. Bir üçgenin iç bölgesindeki noktanin, üçgenin iki kösesine uzakliklari toplaminin alabilecegidegerleri hesaplar.

19. Bir üçgenin iç bölgesindeki noktanin, üçgen in üç kösesine uzakliklari toplaminin alabilecegidegerleri hesaplar.

20. Bir üçgen in bir kösesinden karsi kenara çizilen dogru parçasinin uzunlugunun alabilecegidegerleri hesaplar.

21. Açi ölçüleri ile yardimci elemanlarin büyüklükleri arasindaki iliskiyi gösterir.

22. Bir köseye ait yükseklik, açiortay, kenarortay arasindaki siralamayi belirtir.

23. Iki kenari üçgenin kenarlari üzerinde olan ve bu üçgenin iç bölgesindeki paralelkenarinçevresinin alabilecegi degerleri hesaplar.

24. Üçgen belirtme durumlarini inceler.

A. A. A.~ m(A) < m(B) < m(C) ise

v >V >Va b c

üçgende açi - kenar bagintilariA

c

A

~ ib - ci < a < b + c (üçgen esitsizligi)

c

~ m(A) = 90° ise a = ~b2 + c2 (Pisagor teoremi)

m(A) < 90° ise ib - ci < a < ~b2 +c2

ise ~b2 + c2 < a < b + cB

A

c

A

~ Kosinüs teoremi:

a2 = b2 + c2 - 2bc . cosA

A

~ [DE]ortataban

IDEI = IBCI2

76

c

A

üçgende açi - kenar bagintilari

~ Bir üçgende

h <n <Va a a

B

A

~ D üçgenin iç bölgesinde ise

a<x+y<b+c

B c

A

~ Çevre(ABC) = 2u ise

u < x + y + z < 2u

77

B c

, kösetasiüçgen de açi - kenar bagintilari

A ABC üçgeninde

IABI = 7 br

IACI = 3 br

IBCI = x br, x E N

olduguna göre, x'ln alabiiecegi en küçük deger ile en büyük degerin toplamikaçtir?

açiklamali çözümAsagidaki sekilde uzunluklari a ve b olan çubuklar C noktasindan duvara çivilenmistir. a ve b çubuklarinin uçlarina biresnek lastigin iki ucu baglanmistir. Ilk durumdan son duruma dogru lastigin boyunun (gerilmesinin) arttigi anlasiliyor.

c CCb b

Cb

f:' ",/0lastik = a + b

aa

,/ ii alastik = a - b

/~./ .$

i. Sekil

II. Sekiliii. SekiliV. SekilV. Sekil

i. ve V. sekillerde üçgen olusmamistir. i. sekilde lastigin boyu a - b, V. sekilde ise a + b dir. Üçgen olusan durumlarda

lastigin boyu (ayni zamanda lastik, üçgenin bir kenaridir) a - b ile a + b arasinda olmustur. iii. sekilde ise, çubuklar arasin

daki açi dik oldugundan Pisagor teoreminden lastigin boyu Ja2 + b2 olarak bulunur. Bu sekillerden çikarilabilecek sonuçlar:

1) Üçgen olusabilmesi için La- bi < lastik < a + b olmalidir.

2) m(C) < 90· ise a - b < lastik < Ja2 + b2

3) m(C)\> 90· ise ~a2 + b2 < lastik < a + b

Kösetasinin çözümüne gelinirse;

Yukarida "bir üçgende bir kenarin uzunlugu diger iki kenarin uzunluklari toplamindan küçük, farkinin mutlak degerindenbüyüktür" kurali çikarilmistir. Problem çözümlerinde kenar uzunluklari belli ise mutlak deger kullanmamak için hep büyükkenardan küçük kenar çikarilir.

7 - 3 < x < 7 + 3 => 4 < x < 10 => x in alabilecegi tamsayi degerleri: 5, 6, 7, 8, 9 olup en küçügü 5, en büyügü 9 olur.

1. Denizdeki üç balikçi teknesinin dogrusal konumda

olmadigi biliniyor.

Teknelerdeki Ali ile Ahmet arasindaki mesafe 5 mil,

Ahmet ile Mehmet arasindaki mesafe 2 mil ise Ali ile

Mehmet arasindaki mesafe (tamsayi olarak) ~

kaç mil olabilir?

E) 9

~

D) 8

D) 4 E) 5

ABC üçgeninde

iACi = 7 br

IABI = 2 br

IBCI = 2x - 1 br

Sekildeki konumda

görünen A, B, C köylerinden B ile C ara

sindaki uzaklik 6 km

olduguna göre, BAC

yolu en az kaç kmolabilir?

A

2~B 2x-1 C

Yukarida verilenlere göre, x in tamsayi degeri kaç brdir?

3.

A) 1B) 2C)3

~

4. A~

~

•.. ~

B

6C

A)5

B) 6C)7

78

E) 7

E) 8D) 7

D) 6

ABC üçgeninde

IABI = 1 br

IBCI = 6br

IACI = x br,

C)6

C)5

B) 5

B)4

A

~B 6 cXEN

Yukarida verilenlere göre, x kaç br dir?

A)3

A)4

2.

IABI = 2x br

IACI = x + 2 br

IBCI = 6 br

olduguna göre, x kaç farkli deger alabilir?

kösetasi

B

A

c

ABC üçgeninde

XEZ

üçgen de açi - kenar bagintilari

L

açiklamali çözüm4

i. 2x + (x + 2) > 6 => 3x > 4 => x >"3 buradan x <: 2 bulunur.

ii. 12x - (x + 2)1 < 6 => ix - 21 < 6

mutlak deger denkleminin çözümünden

-6<x-2<6 => -4<x<8burada üst sinir x :o; 7 dir.

A YNi TURDEN OLANLAR

TOPLANiP ÇIKARILiYOR

Ege::~7~B x+1 C

7-4<x+1<7+4

i de x <: 2 olacagindan ii deki x > - 4 ise yaramayacaktir. i ve ii nin ortak bölgesi2:0; x:o; 7 dir.

x E {2, 3, ... , 7} kümesinin eleman sayisi 6 dir.

Eg:~X+2LSB 6 C

12x - (x +2)1 < 6 < 2x + x + 2

5

Buna göre, x ~ kaç olabilir?

Üçgenin kenar uzun

luklari tamsayi olmak

üzere sekilde veril

mistir.

c

ABC çesitkenar üçgen

IABI = (2x - 4) br

IACI = (x + 3) br

IBCI = 3 br

XEZ

A

B3

Buna göre, x in alabilecegi degerlerin toplami kaç

tir?

3.

E) 8D) 7

c

c)6

A

B) 5A)4

B

1.

A) 13 B) 23 c) 26 D) 28 E) 35

12

ABC üçgeninin çevre uzunlugunun en kücük tamsayi

degeri kaçtir?

IABI = 2x br

IACI = 3x br

IBCI = 12 br ise

Dogrusalolmayan A, B, C köylerinden B ile C arasin

daki uzaklik 9 km, ~, ile B arasindaki uzaklik, A ile C

arasindaki uzakliktan 1 km fazla ve köyler arasindaki

uzakliklar km cinsinden tamsayi ise üç köy arasinda

ki uzakliklarin toplami ~ kaç km olabilir?E)23D) 24

c

C) 25

A

B) 26

B

A)27

2.

(Dikkat i:x in tamsayi olmasi gerekmiyor, çevre tamsayi olsa yeter.)

79

A) 21 B) 20 C) 19 D) 18 E) 17

~

kösetasiüçgende açi - kenar bagintilari

3 olduguna göre, x kaçtir?

A

B D

Sekilde kenar uzunluklari verilmistir.

IBDI = x br

X E N

c

açiklamali çözümIBDI = x uzunlugu için hem ABD hem de BCD üçgeninden sinirlama gelir. Buna göre,

ABD üçgeninde

5 - 4 < x < 5 + 4 => 1 < x < 9 (1)

BCD üçgeninde

10-3<x<10+3 => 7<x<13 (II)

x sayisi hem i. hem de ii. bagintiyi saglamak zorundadir. ii. bagintida alt sinir olarak

x> 7 oldugundan i. bagintidaki x> 1 bagintisi ise yaramamaktadir. O halde alt sinir

olarak x > 7 alinir.

Üst sinira gelince; hem x < 9 hem de x < 13 bagintilarini saglamalidir. Burada x < 9

olmak zorunda olduguna göre x < 13 ise yaramamaktadir.

Sonuçta i ve ii nin kesisim (ortak) bölgesi alinirsa 7 < x < 9 bulunur. O halde x = 8 dir.

I. esitsizlikten

LL(~' 1)J Iki esitsizligi de sag/ayan (7, 9) araligidlf.1 7 9 13~

II. esitsiz/ikten

BU HATA 6YS 1985'TE DEYAPiLDi

D

B

Yukaridaki sekilde IAci + IBDI

toplammm deger alabilecegi sayi

araligmi bulmayi ben bilmiyorum.

Ancak, IAci en büyük degerinin

alirken, IBDI en büyük degerini gJfi:.

mavacagmdan yaptlan ç15zümler

yanlistir.

B

Yukarida verilenlere göre, x kaç farkli deger alabilir?B

Yukaridaki sekle göre, IACI kaç birim olabilir?

c

D

A

3.Sekilde kenar uzun

luklari verilmistir.

IBDI = x br

xEN

c

D

A

1.

ABD ve BCD birer üç

gen

IAB I = 4 br

IADI = 6 br

IDC! = 5 br

2.

A) 1

B

B)2 C)30)4E) 5

A

IABI = 4 br4.

IADI = 5 br IDC! = 7 brD IBDI = x br ~

.i:cIBCI = y br~

x, y E N

~A)3

B

A

B)4

c

C) 11

D

D) 16 E) 17

c

Yukarida verilenlere göre, y en az kaç br olabilir?Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabilecegi en bü

JL.i,i.K tamsayi degeri kaç br dir?

(Dikkat! : IBDI nin tamsayi olmasi gerekmiyor.)

A) 1 B) 2 C) 3

(Cevap anahtan dogru)

0)4 E) 5A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

80

kösetasiüçgen de açi - kenar bagintilari

A

D

/'-.m(ABC) = 100°

m(ACD) = 70°

m(ADC) = 50°

olduguna göre, en uzun kenar hangisidir?

açiklamali çözümBir üçgende büyük açi karsisinda uzun kenar, küçük açi karsisinda kisa kenarbulunur.

ABC üçgeninde en büyük açi B oldugundan en uzun kenar e dir.a < e ve b < e

ACD üçgeninde m(cA'D) = 60° (1)

/'-. /'-. /'-.m(CDA) < m(CAD) < m(ACD) oldugundan e < e < d ..... (11)

i ve ii den en büyük uzunluk d bulunur.

PRATiK BiR ÇÖZÜM DAHA

A

Ayak/annm arasindan araba geçer

+ C/NAL!BO'+-p.,Bacak/annm arasmdan araba geçemez

D

Her iki üçgende de en büyük kenar okla gösterilir. Oklar takip edilirse seklin en büyük kenarina ulasilir.

YANI, yanda açik/anan kura/ farkli

üçgen/er için geçerli degildir. Bir

uçgenin kendi içinde geçerlidir.

Sekilde ADC dik açi

olup diger açi ve uzun

luklar verilmistir.

Buna göre, en uzun

kenar hangisidir?

D

Yukarida verileniere göre, ~ uzunluk hangisi-

dir?

"""'" ,e,.ABC ve BDC dik üç-

gen

m(CBD) = 40°

IABI = LACI

A

B

3.

E) eD)dC)e

A

B) b

B

A)a

1.

A)a B) b C)e D) ct E) e

ABC üçgeninde açilar

sekilde verilmistir.

cB

A) IABI > IDCI B) IACI > IBOI C) IABI = iACi

D) IABI = IDCI E) IBCI > IABi

D

Buna göre asagidakilerden hangisi yanlistir?

4.

E)eD)d

/'-.m(ABC) = 100°

[ACil. [CD]

D

c)eB) b

A

C

Sekilde en büyük uzunluk hangisidir?

A)a

2.

81


/\

~c

ABC üçgeninde

m(C) = 72°

iBCi < iACi

olduguna göre, ABC açisinin ölçüsünün alabilecegi en kücük tamsayi degeri kaçderecedir?

i, iAlamali çözüm

A m(ABC) = x kabul edilirse

...•..•..

m(BAC) = 108 - x olur.

IBCI < IACI ~ m(A) < m(B)

108 - x < x

108 < 2x

54 < x

Buna göre, x in alabilecegi en küçük tamsayi degeri 55 olur.

Yukarida verilenlere göre, m(BCA) nin alabilecegi en

büvOk tamsayi degeri kaç derecedir?

A

E) 25D) 24

ABC üçgeninde

IABI < IACI

m(ABC) =2x

m(BCA) = x + 20°

C) 23B) 22

A

B C

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi en kücük


A) 21

3.

E) 59D) 58

ABC üçgeninde

m(B) = 65°

IAB I < IBCI

c

C) 57B) 56

B

A) 55

1.

4.

B

A ABC üçgeninde

IBCI < IACI

m(A) = 2x

m(B) = 3x - 20°

2. ABC üçgeninde; m(A) = 66° ve IABI < IACI olduguna

göre, m(B) nin tamsayi degeri en az kaç derecedir?Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi en kücük


A) 55 B) 56 C) 57 D) 58 E) 59

82

A)29 B) 27 C) 25 D) 23 E) 21

~


A ABC üçgeninde

c

m(S) = 45°

m(C) = 60°

olduguna göre, ib - ai + La- b - ci + Le - bi - 12cl ifadesinin a, b, c türünden esitinedir?


ixl={ X, X:2:0-x, x<O

1. Adim: Mutlak degerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif oldugu incelenir.

2. Adim: Pozilifse ifade, oldugu sekliyle disari çikar, negatifse isaret degisir.

Bu tip sorularda su kurallar da bilinmelidir:

1. m(A) < m(S) <=;> a < b

2. Bir üçgen de a - b < c < a + b

3. Küçük sayidan büyük sayi çikinca sonuç negatiftir.

Soruda; m(A) = 75° bulunur. m(S) < m(C) < m(A) => b < c < a

Buna göre, ib - ai = -a + b

La- b - ci = - a + b + c

icbi = c- b

12cl = 2e

ib - ai + La- b - ci + Le- bi - 12el = - a + b - a + b + c + c - b - 2c = - 2a + b

Yukarida verilenlere göre, La - ci - ib - ci - ib - ai

ifadesi asagidakilerden hangisine esittir?

Yukarida verilenlere göre, La - b - ci + ib - ci - 21bl


A

c~bBk~ -ca

D) b - a E) e- a

[ABI.l [AC)..........

m(ABC) = 55°

C) cB)-2bA)-a

3.ABC üçgeninde

m(A) = 49°

m(S) = 61°

C) a - c D) c - a E) b + cB) O

A

A) a-b

1.

~••.••••• A A ~

2. Bir ABC üçgeninde; m(A) < m(B) < m(C) ve kenar uzun- ~luklari a, b, c dir. .i.:

Buna göre, La- ci + La- bi + ib - ci + 21c + ai ifadesi

asagidakilerden hangisine esittir? Yukarida verilenlere göre, La - ci + Le - bi - ib - ai

ifadesinin esiti asagidakilerden hangisidir?

ABC genis açi

m(A) < m(C)

E) b-cD) cC)O

a C

B)-b

A

A) -2a

4.

C)4c

E) 2e - a

B) 2b

D) 2a - 2b

A) 2a

83


A

c


a + b = 24 cm

a + c = 28 cm

b+c=30cm

olduguna göre, asagidaki siralamalardan hangisi dogrudur?

A) m(A) < m(S) < m(C) B) m(A) < m(C) < m(B} C) m(B) < m(A) < m(C)

D) m(B) < m(C) < m(A) E) m(C) < m(B) < m(A)

Bu OçlOdenklem sistemi çözOlerekçözum yapilabilir. a, b, c nin degerleri arasindaki siralama önemli oldugundan;

a+b = 24}denklem sisteminde b < c

a+c =28

a+c= 28}denklem sisteminde a < b görüiuyor.b+c= 30

Demek ki a < b < c dir. Kenar uzunluklari arasindaki baginti açilar için de geçerlidir.

Cevap: m(A) < m(S) < m(C) dir.

Yukarida verilenlere göre, asagidaki siralamalardan

hangisi dogrudur?

10

B

A ABC uçgeninde

a+b=14cm

a + c = 12 cm

b+c=15cm

3. ABC uçgeninin kenar uzunluklari a, b ve c br olup; x E Nolmak Ozere,

a = (x - 10) br, b = (x + 1) br, c = (x + 5) br dir.

Buna göre, asagidaki siralamalardan hangisi dogrudur?

A) m(A) < m(B) < m(C) B) m(A) < m(C) < m(B)

C) m(B) < m(A) < m(C) D) m(C) < m(B) < m(A)

E) m(C) < m(A) < m(B)

A) A<B <C

C)B<A<C

B) A<C <B

D) B <c <A

2. ABC uçgeninin kenar uzunluklari a, b ve c cm olup; ~ 40a + b = 26 cm, a + c = 24 cm, b + c = 22 cm dir. ~..Buna göre, asagidaki siralamalardan hangisi dogru- ~dur?

A) m(A} < m(B) < m(C) B) m(A) < m(C) < m(B)

C) m(B) < m(A) < m(C) D) m(C) < m(B) < m(A)

E) m(C) < m(A) < m(B)

84

ABC uçgeninin kenar uzunluklari a, b ve c br olup;

a + b + c = 24 br, b + c = 18 br, a + c = 17 br dir.

Buna göre, asagidaki siralamalardan hangisi dogrudur?

A) m(A) < m(B) < m(C) B) m(A) < m(C) < m(S)

C) m(B) < m(A) < m(C) D) m(C) < m(B) < m(A)

E) m(C) < m(A) < m(B)

IBJD:EE]


A

B

..---.... ..---....

m(ABC) > m(BAC)

IABI = 2 br

IBCI = 8 br

IACI = x br. x E N

e olduguna göre, x kaçtir?

açiklamali çözümBir üçgende büyük açi karsisinda büyük kenar, küçük açi karsisinda küçükkenar bulunuL

m(A) < m(S) ise

8 < x diL (I)

Üçgen olma esitsizliginden

x < 8 + 2 => x < 10 (11)

i ile ii den 8 < x < 10 => x = 9 bulunur.

AÇIK OLAN BiR sEYiN iSPAT/NIYAPMAK DAHA ZOR!

ABC üçgeninde m(B) > m(C) olsun.

A

c

IAB i = IADI esitligini saglayan [BD}

dogru parçasi çizilirse IACI > IABI ol

dugu görülür.

E N olduguna

ABC üçgeninde

m(C) < m(A) < m(B)

IABI = 9 br

IACI = (2x - 5) br

IBCI = (x + 4) br

ex+4

A

X

göre, X in en kücük degeri kaçtir?

3.m(BAC) > m(ABC)

IABI = 5 br

IBCI =? br

A

7 e

IACI tamsayi ise IACI kaç farkli deger alabilir?

1.

A) 1 B) 2 c)3 D)4 E) 5 A)5 B) 6 C)? D)9 E) 10

Yukarida verilenlere göre, (Xlmin + (xlmax kaçtir?

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

jADI = 3 br

iDCi = 6 br

A

Yukarida verilenlere göre, IACI nin alabilecegi tam

sayi degerlerinin toplami nedir?

4.ABC üçgeninde..---.... ..---....

m(ABC) > m(ACB)

IABI = 6 br

IBCI = 8 br

IACI = 2x br,

e XEN

A2.

A)? B) 8 C)9 D)10 E) 12 A)? B) 8 C) 15 D) 19 E) 21

85

köse/asiüçgende açi - kenar bagintilari

A ABC üçgeninde

m(C) < m(A)

IACI = 5 birim

IABI = x + 4 birim

IBCI = 2x - 1 birim

olduguna göre, x in alabilecegi tamsayi degerleri toplami kaçtir?


5 < 3x + 3

2 < 3x

Üçgen olma sartindan;

ix + 4 - 2x + 11< 5 < x + 4 + 2x - 1

15- xi < 5 < 3x + 3

15- xi < 5

-5<5-x<5

-10 < -x < O 2-<x3

10>x>0

Bu iki esitsizligin kesisimierinden

(1) ~<X<10eldeedilir.

Sonra da m(C) < m(A) sarti da bulundugundan x + 4 < 2x - 1

(2) 5 < x

(1) ve (2) esitsizliklerinin kesisimi 5 < x < 10 oldugundan x in alabilecegi tamsayi degerleri 6,7,8,9 olup toplamlari 30 dur.

IBCI = 20 cm

IABI = 2x cm

IACI = 3x cm

IABI = 12 birim..::::..

Çevre (ABC) ~ 39 br

IBCI = x br

IACI = 2x br

olduguna göre, x in

alabilecegi kaç tam

sayi degeri vardir?

c

c

A

A

B

B

ABC üçgeninin çevresi en çok 80 cm olduguna göre,

x için asagidakilerden hangisi dogrudur?

A)2~x<16 B)4<x~16 C)4<x<16

D) 4 < x ~ 12 E) 8 < x ~ 20

(Çevre (ABC) S 80 kosu/unu da dikkate ahniz.)

3.m(l3) < m(A)

IABI = 6 birim

iACi = x + 5 br

IBCI = 2x - 2 br

A

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi kaç tam

sayi degeri vardir?

B

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi tamsayidegerlerinin toplami kaçtir?A) 39

B) 42C) 46D) 50E) 54

2.

AAA

m(B) < m(C)

iBCi = 4 birim

4.IABI = (x + 3) birim

~IACI = 2x birim

~iB

c

1.

A) 1 B)2 C)3 0)4 E) 5

86

A)1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

~


A

D

B

IABI = 7 cm

iBCi = 9 cm

1.IACI bir tamsayi ise, ACD üçgeninin çevresinin tamsayi degeri en az kaç cm dir?

2. IACI bir reel sayi ise, ACD üçgen in çevresinin tamsayi degeri en az kaç cm dir?

açiklamali çözümBu iki soruda tamsayi ve reel sayi kavramlarinin incelikleri vardir.

1. Soruda; önce ABC üçgenininde üçgen esitsizliginden 19 - 71 < IACI < 9 + 7 :::> 2 < IACI < 16 bulunur.

Demek ki IACI nin alabilecegi en küçük deger 3 cm dir.

ACD üçgeninde üçgen esitsizliginden 3 < ICDI + IADI olup ICDI + IADI = 4 cm olabilir.

(Örnegin, ICDI = 2 cm, IADI = 2 cm için bu saglanir.)

ACD üçgeninin çevresi en az IACI + ICDI + IADI = 7 cm olur.

2. Soruda; önce ABC üçgeninde yine üçgen esitsizliginden 2 < IACI < 16 elde edilir. IACI nin en küçük degeri için her

hangi bir deger verilemez, ancak 2 < IACI oldugu söylenebilir. ACD üçgeninde üçgen esitsizliginden; iACi < ICDI + IADI

bulunur. Demek ki 2 < IACI < ICDI + IADI dir. IACI = 2,1 cm ve ICDI + IACI = 2,9 cm gibi degerler alabilir. ACD nin çevre

si en az 5 cm olabilir. Kisaca 1. soruda cevap IACI nin en küçük tamsayi degerinin 2 katinin 1 fazlasi; 2. soruda IACI nin

alt sinirinin 2 katinin 1 fazlasi cevaptir.

1.

B

A

D

IABI = 6 cm

IBCI = 10 cm

3. A

~oB 8 C

IABI = 7 birim

IBCI = 8 birim

IACI EZ

IACI uzunlugu bir reel sayi ise, ADC üçgeninin çevre

sinin tamsayi degeri en az kaç cm dir?

Yukarida verilenlere göre, ACD üçgeninin çevresinin

tamsayi degeri en az kaç birimdir?

A)8 B) 9 C)10 D) 11 E) 12 A)5 B) 6 C)7 0)8 E) 9

Yukarida verilenlere göre, ICDI uzunlugunun tamsayi

degeri ~ kaç cm dir? ACD üçgeninin tüm kenar uzunluklari farkli tamsa

yilar olduguna göre, çevresi en az kaç birimdir?

IABI = 7 birim

IBCI = 8 birim

A

;A;voB 8 C

4.

E) 20D) 19

IABI = 5 cm

IACI = 8 cm

IBDI = 7 cm

C

C)17

D

B) 16

A

A)15

2.

nCSI uzunlugunun tamsayi olmadigma dikkat ediniz.) A)5 B) 6 C)7 D) 8 E) 9

87 [B]DI~


A

B


ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

IABI = 8 br

iACi = 12 br

olduguna göre, IADI kaç farkli tamsayi degeri alabilir?

B

A [DE] II [AB] (orta taban) çizelim.

IAEI = IEC! = 6 br olur.

IDEI = IABI =~=4br2 2

ADE üçgeninde 6 - 4 < x < 6 + 4 => 2 < x < 10

c X E {3, 4, 5, ...9} kümesinin eleman sayisi 7 dir.

10

B

A ABC üçgeninde

[BD] kenarortay

IBDI = 6 br

IBC! = 10 br

3. A ABC dik üçgen

IADI = iDC! = 8 br

IBCI tamsayi

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç farkli tamsayi de

geri alabilir?

A)23 B) 22 C) 21 0)20 E) 19

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabilecegi en bü

riUS ve en kücük tamsayi degerlerinin toplami kaç br

dir?

A) 13 B) 14 C) 15 D)16 E) 17

20 A ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

IABI + IACI = 18 br

IADI tamsayi

4.

B

A ABC üçgeninde

[BD] kenarortay

IBCI = 12 br

IBDI = 8 br

IABI = x br

Yukarida verilenlere göre, IADI nin tamsayi degeri en

~ kaç br olabilir?

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi en büvük

tamsayi degeri kaç br dir?

A)7 B) 8 C)9 D) 10 E) 11

88

A)28 B) 27 C) 24 D) 18 E) 15

kösefasiüçgen de açi - kenar bagintilari

ABC üçgeninde

m(BAC) > 90°

IABI = 5 br

IACI = 12 br

olduguna göre, IBCI uzunlugunun alabilecegi kaç farkli tamsayi degeri vardir?


Kösetasinin çözümü: m(A) > 90° oldugundan

x2> 52 + 122 => x2> 169 => x> 13 (1)

Üçgen esitsizliginden x < 5 + 12 => x < 17 (11)

ivellden13<x<17

x E {14, 15, 16} kümesinin eleman sayisi 3 dür. IBCI üç farkli deger alabilir.

B

A ABC üçgeninde

m(A) = 90° => aZ = bZ + EZ => a = ~bz + e2

m(A) < 90° => a2 < bZ + eZ => a < ~b2 + EZ

m(A) > 90° => aZ > bZ + EZ => a > ~b2 + e2

BAZEN bir açmm darligi ya

da genisligi açikça verilmez.

Ögrencinin fark etmesi beklenir.

Örnegin;

ikizkenar üçgenin tabanma

ait dis açi her zaman genistir.

iç açiortaylar arasmda kalan

açi da genistir.

Dis açiortaylar arasmda ka

lan açi dardir.

D

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabilecegi tam

sayi degeri kaç birimdir?

Sekilde kenar uzun

luklari verilmistir.

ni(MC) < 90°

E) 5D)4

ABC üçgeninde

IADI = iACi = 4 br

IBDI = 3 br

c

C)3

A

B) 2

83 D

Yukarida verilenlere göre, IABI uzunlugu kaç farkli

tamsayi degeri alabilir?

A) 1

3.

E) 12D) 11

c

C) 10

A

B) 9

B

A)8

1.

2.------

Am(BAD) > 90°

------m(BCD) < 90° 4.A

ABC üçgeninde

IABI = 6 br

------

m(BAC) < 90°8

DiBCi = 5 br~

IBDI = IDCI

ICDI = 12 br

~ IABI = 4 cmi... IADI = 8 bri::i

iACi = 10 cmo<c B

C

c

Yukarida verilenlere göre, IBDI uzunlugu kaç farkli

tamsayi degeri alabilir?Yukarida verilenlere göre, IADI nin tamsayi degeri

kaçtir?

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5

89

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8

~

kösetasiüçgen de açi- kenar bagintilari

AD

[BD] ve [CD], ABC üçgeninde iç ve dis açiortaylar

IABI = 6 br

IACI = 8 br

m(i3DC) > 45°

B C E

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabilecegi en kücük tamsayi degeri kaçtir?

açiklamali çözüm..-..... ..-.....

[BD] ile [CD]. ABC üçgeninde iç ve dis açiortaylar oldugundan m(BAC) = 2.m(BDC) dir.

m(i3DC) > 45° ise m(MC) > 90° olur.

ABC üçgeninde

IBCl2 > IABi2 + IACl2

IBcf > 62 + 82

IBCI> 10 bulunur.

IBClmin = 11 olur.

D noktasi ABC üçge

ninin dis teget çembe

rinin merkezidir.

IADI = 5 br

IDCI =? br

D

B

Yukarida verilenlere göre, IACI nin en büyük tamsayi

degeri kaç br olabilir?

3.ABC üçgeninde

[BD] ile [CD] iç açior

tay

IBDI = 5 br

IDCI = 12 br

A

c

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin en küçük tamsayi

degeri kaçtir?

1.

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15A)7 B) 8 C)9 0)10 E) 11

A [CD] ve [BD], ABC üç-

geninin iç ve dis açior

taylandir.

m(ADC) <45°

IABI = 5 brcIBCI = 9 brE

D



4.o noktasi ABC üçge

ninin iç teget çem-

berinin merkezi ~~~

IACI =? br

IAOI = 4 br

A

B C

Yukarida verilenlere göre, IOCI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

2.

A) 1 B)2 C)3 0)4 E) 5 A)? B) 8 C)9 0)10 E) 11

90


A ABC üçgeninde

iACi = 5 br

iBCi = 4 br

IABI = x br, x E N

ABC nin çevrel çemberinin merkezi üçgenin iç bölgesinde ise, x ~ kaç olabilir?

açiklamali çözümBir üçgenin çevrel çemberinin merkezi kenarlarin orta dikmelerinin kesistigi yerdir.

A

Ôi. Bir üçgenin çevrel çemberininmerkezi üçgenin iç bölgesinde isebu üçgen dar açili bir üçgendir.Bütün açilari dar açidir. Budurumda:

Ja2_b2 < c < Ja2+b2

II. Bir üçgenin çevre i çemberininmerkezi üçgen in disinda ise bu üçgengenis açili bir üçgendir. Çemberinmerkezi hangi açinin iç bölgesinde iseo açi genis açidir.

Sekilde m(BAC) > 90· dir.

iii. Üçgen dik üçgen ise üçgenin çevrelçemberinin merkezi, hipotenüsün ortanoktasidir.

Kösetasinin çözümü: Soruda ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi üçgenin içinde Oldugundan üçgen in açilari dar

açidir. m(ACB) < 90· => x2 < 42 + 52 => x2 < 41 => (x) = 6max

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi degerler

toplami nedir?

1.

B

A ABC üçgeninin çevrel

çemberinin merkezi üç

genin iç bölgesindedir.

IABI = 5 br

iACi = 2 br

C IBCI = x br, x E N

3. ABC üçgeninin çevrel

çemberinin merkezi

[Aci kenan üzerindedir.

iACi = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabileeegi tam

sayi degerlerinin toplami kaç br dir?

A)4 B) 5 C)9 D) 12 E) 15A) 12 B) 13 C)14 D) 15 E) 16

ABC üçgeninin çevrel

çemberinin merkezi O

noktasidir.

IABI = 6 br

IACI = 8 br

C

A

B

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

(ÇözOlemediyse 18. kösetasmdan sonra tekrar bakmiz.)

K noktasi OAC üçgenin iç bölgesinde bir nokta ise

LKAI + IKCI kaç farkli tamsayi degeri alabilir?

4.

E) 90)8C)7

A

x

B) 6

B

ABC üçgenin çevrel

çemberinin merkezi

ABC üçgeninin disin-

da ve ACB açisinin iç ~bölgesindedir. ~

i::i

IABI = 7 br ol(

C iACi = 4 br

IBCI = x br, x E N

Yukarida verilenlere göre, x ~ kaç olabilir?

A)5

2.

91

köse/asiüçgen de açi - kenar bagintilari

A

Bx

c

ABC üçgeninde

m(BAC) > 60°

IABI =4 cm

iACi = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

açiklamaZi çözüm

B

A

c

Kosinüs Teoremi

a2 = b2 + ç2 - 2bc. cosa

Buna göre,

x2 = 42 + 62 _ 2.4.6.cos60°

~ = 16 + 36 - 2.4.6. ~2

f3i sayisi 5 ile 6 arasmdadir.

Çünkü;

5 = .J25 ve 6 = 136

-ff3ö sayisi 11 ile 12 arasmdadir.

Çünkü;

11 = 1121 ve 12 =..fi44 tür.

x = 27 cm dir.

.ft sayisi 2 ile 3 arasmdadir.

Çünkü;

2 = 14 ve 3 = J9 olur.

D) 415 E) 4)6

c

C) 5)3B) 612

B4119


A) 8

E) 5)3

c

C)2m D) 612B)8

B

A)2.J15

10


1. AABC üçgeninde3.A

ABC üçgeninde/'-.

/'-.m(ABC) = 45° m(BAC) = 120°

IABI = 812 cm

IADI = 12 cm

IBCI = 10 cm

IBCI = 4./19 cm


ABC üçgeninde

IADI = 6 cm

IAEI = 4 cm

IDEI = 5 cm

IDBI = 2 cm

IECI = 8 cm

x

A

B c ,,;Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

4.

ABC üçgeninde

m(ACB) = 30°

IABI = 2113 cm

IACI = 10 cm

A

B

2.

A) 2.J15 B) 8 C) 612 0)415 E) 8)3 A)9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18

92


A

D

[AB] J..[BD]

B, C, E dogrusal

iACi = 5 cm

IBCI = 2 cm

ICDI =6 cm

ICE I = 10 cm

olduguna göre, IDEI = x kaç cm dir?


B

A ABC dik üçgeninde

a açisina göre [BC] komsu, [AC] karsi dik kenardir.

sina = karsi dik kenarhipolenüs

cosa = komsu dik kenarhipolenüs

Köselasinda verilen ABC üçgeninde CosC = ~ tir.5..o..

CDE de kosinüs teoremi uygulanirsa

x2 = 62 + 102 - 2.6.1 O. ~5

ABC üçgeninde

[BD]J..[AD]..•....••. ..•....••.

m(ABE) = m(DBC)

D IABI = 6 cm

IBEI = 4 cm

IBDI = 12 cm

iBCi = 10 cmc

3.

B

A

[DE]J..[AE]

D, C, B dogrusal

ICDI = 10 br

ICEI = 6 br

IACI = 15 br

IBCI = 8 br

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç br dir?

1.

A)ff07 B)2J30 C)ff29 D)5J5 E)J145 Yukarida verilenlere göre, ICDI = x kaç cm dir?

A)2J21 B)4J6 C)4J7 D)2/33 E)4J1O

2. ABC üçgeninde4. [D C] II [AB][BD] J..[AB]

~[CE]J..[AB]~ IADI = 12 cm

"- IDCI = 4 cm~ IDCI = 3 cmIACI = 6 cm

A

IABI = 8 cmA

BIAEI = 5 cm

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç cmdir?

A)2J30 B)5J5 C)J129 D)J145 E)4J15

93

A)3 B) 2,/3 C) 312 D)2J5 E)2J6

~


A

B

ABC üçgeninde...........

m(ABC) > 60°

IABI = 6 br

IBCI = 5 br

IACI = x br

x e N olduguna göre, x in degeri en az kaçtir?


B

...........

m(ABC) = 60° olursa kosinüs teoreminden

x2 = 62 + 52 - 2.6.5 . .!.2

x2 = 31

x = J31 br

m(ABC) > 60° oldugundan J31 < x < 6 + 5

5, ... < x < 11

IAClmin = 6 cm

lACimax = 10 cm

E) 5D)4

ABC üçgeninde

IABI = iACi = 4 br

60° < m(BAC) < 90°

C)3

A

B) 2

B

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç farkli tamsayi de

geri alabilir?

A) 1

3.ABC üçgeninde

m(ABC) < 60°

IABI = 8 br

IBCI = 5 br

cB

A

5

Yukarida vetilenlere göre, IACI uzunlugunun tamsayi

degeri ~ kaç br olabilir?

1.

A) 3 B)4 C)5 D)6 E) 7

X E N olduguna göre, x in alabilecegi degerler toplami

kaçtir?


........... m(BAC) > 45° ~IABI = 5 br ]IACI = 3.fi. br

B

B C

Yukarida verilenlere göre, IBCI mB hangi tamsayi

degerini alabilir?

ABC üçgeninde

60° < m(A) < 120°

IAB i = 8 cm

IACI = 12 cm

IBq = x cm

A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 A) 75 B) 87 C) 98 D) 109 E) 117

94

köse/asiüçgende açi - kenar bagintilan

A

B

ABC üçgeninde

IABI = 4 br

IACI = 5 br

IBCI = 6 br

D noktasi ABC nin iç bölgesinde bir nokta

C IBDI + IDCI = x, x E N

Yukaridaki verilenlere göre, x kaç farkli tamsayi degeri alabilir?


B

A

C

..o..D noktasi ABC içinde herhangi bir noktaolmak üzere,

IBCI < IBDI + IDCI < IABI + iACi


IBCI < IBDI + IDCI < IABI + IACI

6<x<4+5

6<x<9

x = {7, 8}

x sayisi 2 farkli deger alabilir.

NE BiçiM LASTiK BU!

KösetasmdakiABC üçgeninde[BD] u [OC]esnek bir lastik olsun. Kalemin ucunu D

noktasma takabm. D noktasint A noktasi

na .yaklastlrdikça lastik gerilecektir. D

noktasi ile A noktasi üst üste geldiginde

lasfigin boyu 4 + 5 = 9 olacaktir. D nok

tasmi [BC] dogrusuna yaklastlrdikça

gevseyecektir. D noktasi, [BC] nin üzerinde iken lastigin boyu 6 cm olacaktir.

Demek ki D noktasi, üçgenln içinde Iken

lastlgln boyu 6 ile 9 arasmda oluyor.


IABI = IACI = 6 br

iBCi = 2 br

C

A

B

..o..D noktasi ABC nin iç bölgesinde ise, IADI nin ala-

bilecegi tamsayi degerlerinin toplami kaçtir?

3.

E) 5D)4

ABC üçgeninde

IABI = 3 br

IACI = 5 br

IDCI = 4 br

iBCi = 6 brC

C)3B) 2

A

B

A) 1

6

D noktasi ABC üçgeninin iç bölgesinde bir nokta ise

IDBI kaç farkli tamsayi degeri alabilir?

1.

A) 7 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

IADI = 6 br

IACI = 7 br

IDCI = 4 br

2.

B

A

C


ninin iç bölgesinde bir

nokta ~~~

4.

B

A ABC dik üçgen

IAB I = 6 br

iACi = 8 br

D noktasi üçgenin iç

C bölgesinde bir noktadir.

ABC nin çevresinin en kücük tamsayi degeri kaç ola

bilir?

Yukarida verilenlere göre, IDBI + IDCI kaç farkli tam

sayi degeri alabilir?

A) 11 B) 18 C)19 D) 20 E) 21

95

A)2 B) 3 c)4 D) 5 E) 6

i A i B i D L B i


ABC üçgeninin çevresi 16 br

jADI + 10BI + iDCi : x br

XEN

olduguna göre, x in alabilecegi en küçük ve en büyük degerlerin toplami nedir?

5A'v~B 6 C

x + y + Z toplami 17 olamaz, 16 da olamaz,

Hatta, x + y + Z nin en büyük degerini bulmak

için Mercedes armasinin kollan köselere

degecek sekilde üçgenin içine yerlestirilir,

Armanin merkeziyle köseler arasindaki me

safeler toplami en büyük degeri verir,

ÇOGUMUZ TARAFINDAN YAPILAN

KLASIK BIR YANLiS

Bu teoremin geçerli olmasi için üçgenin

çevresinin toplami verilmelidir, Eger çevre

kenarlara paylastifildiysa, yani kenar uzunluklan belii ise bu teorem kUilamlmaz,a+b+c

li = --- ise u < IDAI + IDBI + iDC! < 2u2

Üçgen içinde alinan bir noktanin köselere uzakIiklan toplami üçgenin çevresinden küçük, yariçevreden büyüktür,

ABC üçgeninde a + b + c: 2,u


Çevre'" 2u '" 16 :::::> u: 8

Li <: x <: 2u

8 < x <: 16 => (Xlmin'" 9 ve (Xlmax: 15

(Xlmin + (x)max : 9 + 15 =: 24

c

A

r- açikluinali çözüm

i

i ci

i~i SV_-

i

i

iABC üçgen in çevresi

16 br dir.

3.

B

A ABC üçgeninde D nok

tasi üçgeninin içinde bir

nokta

IDAI + IDBI + IDCj '" 16 br

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgeninin çevresi

asagidakilerden hangisi olabilir?D noktasi üçgenin Içinde bil' nokta ise D nin A, B, C

noktalariiia uzakliklari t"plami asagidakilerden

hangisi glamaz? A) 24 Bl 32 C)35 D) 38 E) 40

8) 13 C) 12 D) 11 E) 8

B C

Yukarida verilenlere göre, IACI + IBCI nin en büyük

tamsayi degeri kaç br olabilir?

ABC üçgeninde

IDAI =: 4 br

IDBI =: 3 br

IDC! =: 2 br

A4.

D, E, F noktalari ABC

üçgeninin kenarlarinin

orta noktalaridir,

Ç(ABC) =: 18 br

noktClsi DEl" üçgeninin içinde bir nokta olduguna

göre, !PDI + IPEI + IPFI toplami asagidakilerden

hangisi olabilir?

A)3 8)4 C)6 D) 9 E) 10 A)8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

96 [§]CIAlcl


ABC üçgeninde

IABI:; 9 cm

IACI:; 13 cm

D E [B C]

c

A

BD

Yukarida verilenlare göre, IADI :; x in en büyük ve en küçük tamsayi degeri kaçtir?

açiklamal! çözümA

B

9 A 13B~

c

c

Bir noktanin bir dogruya en kisa uzakligi dik uzaklik

tir. Bu nedenle A dan BC ye en kisa uzaklik

ha S IAD! < max{IACI. IABI} dir.

En uzun uzaklik ise,

D E [BCJ ise IACI veya IAB i den büyük olandir.

D E JBC[ ise iACi veya IABI den büyük olan degere

yaklasir.

Kösetasinin çözümil:

Soruda D E JBC[ oldugundan

IADI < max{lACI. IABI} =:> lADI < 13

IADI nin en büyük degeri 12 cm dir. En küçük degeri

ise 1 cm ·dir. Çünkü üçgen açilarla veya yükseklikle

sabitlenmemistir. Yandaki gibi bir üçgen olabilir.

Burada A noktasi, BC ye yaklaslikça ha sifira yaklasir.

BASKA BiR SORU

8

Kösetasindaki soru üst/eki

gibi verilseydi (yüksekiik

belli)

8 s x < 13 ise

=80171, xmax=12cm

Çünkü A mn yeri yükseklik

/e sabit. istedigimiz gibi BC

ye yak/asl/ramey/z.

A

Yukarida verileniere göre, x in alabilecegi en büyük


E) 18D) 17

ABC üçgeninde

D E [AB]

IACI '" 9 cm

laCl = 17 cm

iDC!" x cm

C) 16B) 15

A

8

A)14

3.ABC üçgeninde

[AH]l- [BCJ

D E [BC]

IABI:; 13 cm

lAHI:; 8 cm

B c IACI:; 20 CI11

IADI:; x cm

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi !ill~

ve en küçük tamsayi degerinin toplami kaçtir?

1.

A)28 B) 26 C) 27 D) 28 E)29

ABC üçgeninde

IAB!:; 4 cm

IACI :; 8 cm

c

A

8

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgeninin alani en

.I<.Q.k kaç cm2 olabilir?

4.ABC üçgeninde

D E (AC)

IABI:; 8 cm

iBCi :; 16 cm

c

A

B16

Yukarida verilenlere göre, IBDI = x in alabiiecegi en

büyük ve en kücük tamsayi degerleri toplami kaçtir?

2.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 A)6 B) 8 C) 12 D)16 E) 24

97


ha' hb, he sirasiyla a, b, c kenarlarina ait yükseklikler olmak üzere,

5ha = 8hb = 6he

olduguna göre, x, y, z degerleri arasindaki siralama asagidakilerden hangisindedogru verilmistir?

A) x < Y < z B) y < x < z C) y < z < x D) z < x < y E) z < Y < x

açiklamali çözümABC üçgeninde;

a, b, c kenar uzunluklari, x, y, z dis açi ölçüleri, ha' hb, he yükseklikler, Va' Vb' Ve kenarortaylar, na' nb, ne açiortaylar olsun.a<b<c ~ x>y>z

~ ha> hb> he

~ Va>Vb>Ve

~ nA > nB> ne dir.

Soruda 5ha = 8hb = 6he esitligi verilmistir. 5, 8 ve 6 nin OKEK'i 120 dir. 5ha = 8hb = 6he = 120k yazilirsa;

ha = 120k = 24k5

hb= 120k=15k hb<he<ha ~ y<z<x tir.8

he = 120k = 20k6

ADE üçgeninin kenarortay uzunluklari Va' Vd' Ve iseasagidaki siralamalardan hangisi dogrudur?

1. A

B

ABC üçgeninde

IABI = 10 cm

IBCI = 7 cm

iACi = 8 cm

olduguna göre, asagi

daki siralamaiardan

hangisi dogrudur?

3.

D


D, B, C, E dogrusal..--...

m(DAB) = 5°..--...

m(CAE) = 6°

A) ha < hb < he B) ha < he < hb C) hb < ha < he

D) hb < he < ha E) he < hb < ha

A)Va<Vd<Ve B)Va<Ve<Vd C)Vd<Va<Ve

D) Vd < Ve < Va E) Ve < Vd < Va

A

IAB i = IACI

m(A) ;:::60

ABC üçgeninde

D

A

Bc

ABD üçgeninin açiortay dogrularinin uzunluklari

nA' nB' nD ise asagidaki siralamalardan hangisi dog-rudur?

4.ABC dik üçgeninde..--...

m(ACB) = 36°

Va' Vb' Ve kenarortayuzunluklari

~c IAEI = Va ~

IBFI = Vb' ICDI = Ve ~

Yukaridaki verilere göre, asagidaki siralamalardan

hangisi dogrudur?

2.

A) nA < nB < nD B) nA < nD < nB C) nB < nA < nD

D) nB < nD < nA E) nD < nB < nA

98


8

A

c

ABC çesitkenar üçgen

[AH].l [BC]

IBOI = 10CI

IAHI = 4 br, IAOI = 8 br

olduguna göre, A açisinin açiortay uzunlugu kaç tamsayi degeri alabilir?


B

B

B

A

c

c

Çesitkenar bir üçgende ayni köseden çizilen

kenarortay (Va)' açiortay (nal ve yükseklik (ha)arasindah <n <Va a a

siralamasi bulunur.

Ikizkenar üçgenlerde ise, es olmayan açidançizilen yükseklik, ayni zamanda açiortay vekenarartaydir.

IAHI = ha = na = Va

Eskenar üçgenlerde ise tüm açilardan çizilenyükseklikler birbirine esittir. Ikizkenar üçgendeoldugu gibi bunlar ayni zamanda kenarortay veaçiortaydir.

Kösetasinin çözümü: ha < na < Va olduguna

göre, 4 < na < 8 olur.

Bu nedenle, na = {5, 6, 7} üç tamsayi degerialabilir.

NEDEN?

'''~:.~'.~

~B o~ n 'o\. •••••••• CH N D

"'~B~CH N D

':'Lh,H

Görüldügü gibi (2) nolu durumda

B ve A yi sabit tutup, C yi B ye

yaklastirdigimizda A açisi küçü

lüyor ve nA ve Va ' ha ya yaklasiyor.

(3) deki gibi ha' Va' nA örlüsdügüzaman ikizkenar üçgen elde

edilir.

1. A

B

Yukarida verilenlere göre,

tamsayi degeri vardir?

3. Bir ABC üçgen i için asagidaki yargilardan hangisi

dogru olabilir?

A) ha = Va = nA B) Va = nA> ha C) ha < nA< Va

O)ha=nA<Va E)na<VA<ha

A)5 B)4 C)3 0)2 E) 1

2. Bir çesitkenar ABC üçgeninde asagidakilerden han

gisi dogrudur?

A) hb< Vb < nB B) Va < nA< ha C) nA< Va < ha

O)hc<nc<Vc E)nB<hb<Vb

99

Çesitkenar bir ABC üçgeninde hb = na = Ve oldugunagöre, bu üçgenin kenarlari arasinda asagidaki bagin

tilardan hangisi dogrudur?

A) a < b < c B) b < c < a C) b < a < c

D) c < b < a E) c < a < b


A

B

ABC üçgeninde

IABI = 10 br

IBCI = 12 br

D noktasi [AC] üzerinde A ile C arasrnda degisken bir noktadir.

C BFDE paralelkenar olduguna göre, paralelkenarin çevresi kaç farkli tamsayidegeri alabilir?


B


Sekilde yöndes açilar a ve ~ ile gösterilmistir.

BFDE paralelkenar oldugundan,

IDFI = IBEI = x => IAEI = 10 - x, IDEI = IBFI = y => IFC! = 12 - Y

AEDüçgenindea<~ => 10-x<y => 10<x+y (I)

DFC üçgeninde a < ~ => x < 12 - Y => x + y < 12 (II)

i ve ii den 1O < x + y <12

Ç(BFDE) = 2x + 2y => 20 < 2.(x + y) < 24 => Ç(BFDE) = {21, 22, 23} olabilir.

BFDE paralelkenarrnrn çevresi 3 farkli deger alabilir.

Sonuç:

ABC üçgeninde DE II BC, OF ii AB ise, IDEI + IDFI uzunlugu IABI ile IBC! uzunluklari arasindadir.

Sekilde; IABI < IDEI + IDFI < IBCI dir.

E) S0)4

ABC dik üçgen

[DE] ii [Bc]

[OF] ii [AB]

IABI = 3 br

C IAC! = 4 br

C)3B) 2

A

B

A) 1

F

D noktasi A ile C arasinda bir nokta olduguna göre,

IDEI + IDFI nin tamsayi degeri kaç br olabilir?

3.

E) 9D) 8

ABC dik üçgen

IABI = 6 br

IBC! = 8 br

D noktasi A ile C

arasrnda bir noktadir.

C)?B)6

A

C

D nin AB ve BC kenarlarina uzakliklari toplaminin

tamsayi degeri kaç br olabilir?

A) S

1.

ABC dik üçgen

IAC! = 12 br

IBC! = 13 br ~

D noktasi (BC) üzerin- ~de bir noktadir. .:.::

A

B

m(ABC) = 60·..•..•••..

m(ACB) < 60·

IABI = 6 br

[DE] ii [BC]

C [OF] ii [AB]

FE (BC)

IDEI + IDFI nin alabilecegi en kücük tamsayi degeri

kaç br dir?

4.A

~

. .'. .'

B~CD

D noktasinin AB ve AC kenarlarina uzakliklari top

laminin alabilecegi en kücük tamsayi degeri kaç br

olabilir?

2.

100

A)4 B) S C)6 D) ? E) 8 A)S B) 6 C)? D) 8 E) 9

~

------ - -------------------------------------~


i. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 1 cm

ii. m(A) = 105°, b = 5 cm, a = 7 cm

iii. a = 8 cm, b = 9 cm, ha = 10 cm

ifadelerinden hangisi veya hangileri bir ABC üçgeni belirtmez?

açiklarnali çözüm

(11.) m(A) = 105°, b = 5 cm, a = 7 cm

ABC üçgeninde büyük kenar - büyük açi iliskisi korunmustur.

Bu nedenle böyle bir üçgen çizilebilir.

c

c4

A

B

B

Bu kösetasi, açi kenar bagintilari ile ilgili ögrendigimiz temel özelliklerin tekrarlandigi bir alandir. Bu tür sorularda verilenleri, bir ABC üçgeninde yerlestirmek sorunun çözümünde yardimci olacaktir.

A (I.) a = 4 cm, b = 6 cm, c = 1 cm

Görüldügü gibi ABC üçgeninde, üçgen esitsizligine uymayan bir durum var.

6s;1+4

Dolayisiyla böyle bir üçgen olamaz.

B

A

c

(III.) a = 8 cm, b = 9 cm, ha = 10 cm

Bir dik üçgende hipotenüs dik kenarlardan büyüktür. (Büyük açi - büyük kenar)

Yandaki üçgende ise AHC dik üçgeninde IAHI dik kenar olup, hipotenüsten iACi büyüktür.

Dolayisiyla, böyle bir üçgen çizilemez.

1. I. a = 6 cm, b = 5 cm, c = 7 cm

II. a = 3 cm, b = 4 cm, c = 8 cm

III. a = 7 cm, b = 10 cm, c = 12 cm

Yukaridaki yargilardan hangisi veya hangileri bir

üçgen belirtir?

A) Yalniz i B) Yalniz ii c) Yalniz iii

D) i ve iii E) i, ii ve iii

3. i. a = 6 cm, ha = 7 cm, c = 10 cm

II. b = 10 cm, ha = 12 cm, c = 7 cm

III. ha = 8 cm, b = 10 cm, c = 6 cm

Yukaridaki ifadelerden hangisi veya hangileri bir

üçgen belirtir?

A) Yalniz i B) Yalniz ii C) Yalniz III

D) i ve ii E) I, ii ve III

Yukaridaki yargilardan hangisi veya hangileri bir

üçgen belirtir?

i. m(A) =93°, a=10cm, b=11cm

II. m(~) = 90°, ha = 6 cm, he = 8 cmiii. m(A) = 105°, a = 12 cm, b = 10 cm

E) 5

~

D)4CpB) 2

10em

7cm

Gem

4em Yandaki dogru par

çalarindan herhangi

üçü seçilip, kirilmadan

üçgen olusturmak is-

teniyor.

Buna göre, kaç farkli üçgen olusturulabilir?

A)1

101

B) Yalniz ii c) Yalniz iii

E) ii ve iiiD) i ve ii

A) Yalniz i

2.


Yukarida verilenlere göre, x inalabilecegi en kücük

ve en büyük degerlerin toplami nedir?

ABC üçgeninde

IABI = 2 br

iACi = 8 br

iBCi = x br

x E N

ABC üçgeninde

m(ABC) =48'

IABI> IBCI

A

B C

Buna göre, BAC açisinin ölçüsünün alabilecegi en

büyük tamsayi degeri kaç derecedir?

5.

E) 18D) 17

c

C) 16B) 15

A

B

A) 14

1.

A)63 B) 64 C) 65 D) 66 E) 67

Yukarida verilenlere göre, x kaç farkli deger alabilir?

B a C

Ib - ai + ib - ci - La - ci ifadesinin degeri asagidaki


ABC üçgeninde..•••..•..

m(BAC) = 54'

m(ACB) = 73'

A6.

ABC üçgeninde

iACi = 5 br

IABI = (2x - 5) br

IBCI = (x + 3) br

xENc

A

B

2.

A)5 B)6 C)7 D)8 E) 9 A) 2a - 2b B) 2a C) 2b

D) 2e E) 2e - 2a

c


ABCD dörtgeninde ke

nar uzunluklari veril

mistir.

IBDI = x br

xEN

ABC üçgeninde

a + b = 803 br

a + e = 907 br

b + e = 711 br

A

B a C

Yukarida verilenlere göre, asagidaki siralamalardan

hangisi dogrudur?

A) m(C) < m(B) < m(A) B) m(S) < m(C) < m(A)

C) m(C) < m(A) < m(B) D) m(B) < m(A) < m(C)

E) m(A) < m(B) < m(C)

7.

E) 5D)4

D

C)3B)2A) 1

3.

ABC üçgeninde...•...... ..•••..•..

m(ABC) > m(ACB)

IABI = 6 br

IACI = 2x - 1 br

IBCI = 7 br, x E NC

A

B7


toplami nedir?

8.

Sekilde verilen açilara göre, en büyük uzunluk han

gisidir?

4.

A)a B) b C)e D)d E)e A)16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

102



IAB i = 7 br

IBCI = (x + 5) br,

iACi = (2x - 3) br

B D

ABC üçgeninde

[AD) ile [CD) dis açi or

tay

IACI = 7 br

iDCi = 4 br

m(ABC) > m(BAC) ise x in alabilecegi en kücük ve en

büyük tamsayi degerlerinin toplami nedir?

Yukarida verilenlere göre, IADI nin alabilecegi en kü

~ tamsayi degeri kaçtir?

A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 26 A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8

B 3 cACD üçgeninin çevresinin en küçük tamsayi degeri

kaç br olabilir?

IABI = 5 br

IBCI = 3 br ise

E) 5D)4

IABI = 3 br

IBCI = 7 br

c

C) 3B) 2

A

B7

ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi üçgenin iç

bölgesinde ise, IACI kaç farkli tamsayi degeri alabilir?

A) 1

14.

E) 7D)6

D

C) 5B)4

A

A)3

10.


11.

B

A

c

ABC üçgeninde

[CD) kenarortay

IACI = 20 br

IBCI = 18 br

IDCI = (3x + 1) br

XEN

15.

B

A

c

ABC üçgeninde

m(A) = 150·

IABI = 4)3 cm

IACI = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?A) 3 B)4 C)5 D)6 E)7

A)2J22 B)4)17 C)2J39 D)12 E) 13

c

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

[AE) J. [ED)

B, C, D dogrusal

IACI = 215 cm

ICEI = 2 cm

IBCI = 5 cm

ICDI = 15 cmE

A

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç cm dir?

16.

Sekilde kenar uzun

luklari verilmistir............

m(BAD) > 90·

m(SCD) < 90·D

A

B

12.

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5 A)2 B) 15 D) J10 E) 215

103


17. A

Bx

ABC üçgeninde 21.AABC üçgeninde

.--....

AAAm(BAC) < 45· m(A) < m(B) < m(C)

IABI = 5 br

n: açiortay

IACI = 412 br

V: kenarortay

IBCI=xbr

h: yükseklikC

BCxEN

Yukarida verilenlere göre, x en cok kaç olabilir?olduguna göre, asagidaki siralamalardan hangisi

dogrudur?

A)3 B)4 C)5 D) 6 E) 7A)ha<Vb<nc B)Va>ns>\ C)ha<hb<hc

D)Va<Vb<Vc E)nA<ns<nc

D noktasi üçgenin iç bölgesinde bir nokta ise, IDBI+ IDCI

nin alabilecegi tamsayi degerlerinin toplami nedir?

22. Çesitkenar bir ABC üçgeninde B kösesinden çiziien

açiortay (nB> uzunlugu 10 cm olduguna göre, ayni

köseden çizilen kenarortay (VB> uzunlugunun tamsayi degeri .!in.S!1; kaç cm dir?

18.

B

A) 15

A

B) 19 c) 21

IABI = 5 br

iACi = 4 br

iBCi = 6 br

D) 22 E) 23

A)9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

D noktasi üçgenin iç bölgesinde bir nokta ise, D nin

A, B, C noktalarina uzakliklari toplami asagidakiler

den hangisi olamaz?

19. A

C

ABC üçgeninde

Ç(ABC) = 18 br 23. A ABC dik üçgen

~ IABI=6br

• ....• IBCI = 10 br

~ D noktasi B ile C ara-B •.~ C sinda degisken bir

noktadir.

D noktasinin AC ve AB kenarlarina uzakliklari

toplami kaç farkli tamsayi degeri alabilir?

A) 15 B) 14 C)13 D) 11 E) 9 A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5


P noktasi B ile H arasinda ise, IAPI + lANi nin alabile

cegi en büyük tamsayi degeri nedir?

A) 16 B) 17 C) 18

[AH]J...[BC]

IABI = 7 br

IACI = 13 br

D) 19 E) 20

.::c 24. i. a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7 cm'<::l A~ ii. m(B) = 110·, b=13cm, c=9cm

~ iii. a = 10 cm, hb = 8 cm, c = 7 cmYukaridaki ifadelerden hangisi veya hangileri bir

üçgen belirtir?

A) Yalniz i B) Yalniz ii C) Yalniz iii

D) i ve ii E) I, ii ve iii

104


Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi tamsayi

degerlerinin toplami nedir?

ABC üçgeninde

IABI = 7 br

IACI = 9 br

iBCi = 3x + 4 br

ABC üçgeninde

m(A) < m(S) < m(C)

IABI = 8 br

IBCI = 5 br

iACi = 3x - 4 br

c

A


kümesi asagidakilerden hangisidir?

5.

E) 10D) 9

c

C)6B)5

A

B

A)4

1.

A) [3, 4] B) (2, 4) C) (3, 5) D) [2, 4J E) (3, 4)

2.

B

A

c

Sekilde

IAB i = 4 br

IADI = 5 br

iBCi = 3 br

ICDI = 7 br

IBDI = 2x - 5 br

6.

B

A Sekilde

IABI = iDCi = 5 br

iBCi = 4 br

IADI = 6 br

m(BAD) > 90°

Yukarida verilenlere göre, x kaç farkli tamsayi degerialabilir?

Yukarida verilenlere göre, IBOI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5 A) O B) 1 C)2 D) 3 E)4

3.

B

A

c

Sekilde

IAB I = 4 br

IADI = 5 br

IBCI = 3 br

ICDI = 3x - 1 br

IBDI E z+

7.

B

A

c

D

Sekilde/'-.

m(BAD) < 90°

m(SCO) > 90°

IABI = ICOI = 7 br

IBCI = 6 br

IADI = 9 br

Yukarida verilenlere göre, IBDI nin en büyük degeri

için, x in tamsayi degeri kaçtir?

Yukarida verilenlere göre, IBOI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5A) O B) 1 C)2 D) 3 E) 4

4.

B

A ABC üçgeninde 8.AABC üçgeninde

/'-./'-. /'-.

m(ABC) > m(BAC) m(ABC) < 60°

IABI = 4 br

~IABI = 6 br~ iACi = 7 br

i.;; iBCi = 7 br~ C

IBCI = (2x - 5) br BC

Yukarida verilenlere göre, x kaç farkli tamsayi degeri

alabilir?Yukarida verilenlere göre, IACI nin alabilecegi ~

büyük tamsayi degeri kaç br dir?

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5 A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8

105


E) 5D)4

ABC dik üçgen

D noktasi, üçgenin iç

bölgesinde degisken

bir noktadir.

C)3B) 2

IABI = 7 br

iACi = 24 br

Yukarida verilenlere göre, IDBI + IDCI kaç farkli tam

sayi degeri alabilir?

A) 1

13.

E) 8D) 7

ABC üçgeninde

m(BAC) > 60°

IABI = 4 br

IACI = 7 br

C)6B) 5

A

A)4

B cYukarida verilenlere göre, IBCI nin alabiiecegi en

kücük tamsayi degeri kaç br dir?

9.

ABC üçgeninde

[BD] ve [CD] açiortay

IDBI = 3 br

IBCI = 7 br

A

Yukarida verilenlere göre, IDCI nin alabilecegi tam


14.

E) 9D) 8

ABC üçgeninde......••••

m(ABC) > 45°

IABI = 4.)2 br

IBCI = 7 br

c

c)7

A

B) 6

B

A) 5

7

Yukarida verilenlere gör~IACI nin alabilecegi Jill

~ tamsayi degeri kaç br dir?

10.

A)5 B) 6 c)9 D) 11 E) 13

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabilecegi ~


ABC üçgeninde

m(BAC) < 45°

IABI = 5.)2 br

IACI = 17 br

E) 5D)4

ABC üçgeninde

IABI = iADI

IACI = 7 br

IBDI=4br

C) 3B) 2

A

B

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

A) 1

15.

E) 12D) 11

c

C)10B) 9

A

A)8

11.

Yukarida verilenlere göre, IBDI nin alabilecegi en

büyük ve en kücük tamsayi degerlerinin toplaminedir?

ABC ve ACD dik üç

gen

IAB I = 8 brD

IADI = 13 br

Yukarida verilenlere göre, ICDI nin alabilecegi ~


16. AABC üçgeninde

IADI = IDCI

IABI = 6 br

IBCI = 8 br

c

A

B

12.

A) 8 B) 7 C)6 D) 5 E)4 A)8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

106

üçgen de açi - kenar baginti/ari

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

ABC üçgeninde..--..

m(ABC) > 120°

IABI = 6 br

iBCi = 4 br

E) 5D)4C)3B) 2A)1

5. A

B

A

cSekilde verilen açilara göre, en büyük uzunluk han

gisidir?

1.

A)a B) b C)e D)d E) e

ABC dar açi li bir üç

gen

IACI = 7 br

IBCI = 5 br

c

A

B

Yukarida verilenlere göre, IABI nin alabilecegi tam


6.ABC üçgeninde

IABI = 6 br

IACI = (x + 5) br

iBCi = (2x - 7) br

c

A

B 2x-7

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi en büyük

ve en kücük tamsayi degerlerinin toplami nedir?

2.

A)19 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24A) 18 B) 21 C) 24 D) 26 E) 29

B

Yukarida verilenlere göre, IADI nin alabilecegi ~


C


degerlerinin toplami nedir?

3. AABC dik üçgen

7.DABCD dörtgeninde

IADI = 5 brIABI = 3 br

IACI = 9 brIBCI = 4 br

IDCI = x brA

CIDCI = 5 br

C) 10 D) 11E) 12

ABC genis

açili bir

üçgendir. IACI = 7 brIBCI = 5 brC

B) 9A)8

B

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç farkli tamsayi

degeri alabilir?

A

E)26D) 22C)18B) 13A) 11

ABC üçgeninde 8.

[AD] ve [CD] dis açior- >li:

B D ~ =~

IADI = 5 br JJ

C IDCI = 7 br

Yukarida verilenlere göre, IACI nin alabilecegi en bü

ill tamsayi degeri kaç br dir?

4.

A) 7 B) 8 C)9 D) 10 E) 11 A) 1 B) 2 Cp D)4 E) 5

107

üçgende açi - kenar baginti/ari

Yukarida veri/enlere göre, x en az kaç olabilir?

xEN

ABC üçgeninde açilar

verilmistir.

C

A

B

Buna göre, asagidaki/erden hangisi kesinlikle yan

listir?

13.

E) 2D) 3

ABC üçgeninde

IABI = (x + 6) br

iACi = (3x - S) br

IBCI = 2x br

c

C)4B) S

A

A)6

9.

Yukaridaki iki sekilde açilar ve uzunluklar verilmistir.

Buna göre, asagidaki/erden hangisi yanlistir?

and~a

10.nc b

40' 30'a

A

B

A) c > b B) c > y c) b > x

D) x + Y > b E) e > y

ABC üçgeninde

m(S) < m(A) < m(C)

IABI = 2x + 4 br

IACI = 3x - S br

iBCi = 2x br

C x E N

Yukarida veri/enlere göre, x kaçtir?

14.

C) c < e

E) c < d

B) c > d

D) a < e + c

A) b < e

A)3 B) 4 C)S D) 6 E) 7

Yukarida veri/enlere göre, ICDI nin ala bi/ecegi en


ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IABI < IACI

IADI = 4 br

C IACI = 7 br

ABC üçgeninde

IAB i = 7 br

IBCI = 9 br

BDEF paralelkenar

C

A

E noktasi A i/e C arasinda bir nokta ise, BDEF para

lelkenarinin çevresinin en bÜYÜk tamsayi degeri kaç

br olabilir?

15.

E) 6D) Sc)4B) 3

A

B

A)2

11.

A)13 B) 14 C) 1S D) 16 E) 17

12.

B

A

C

ABC üçgeninde

[BD] 1- [AC]

IABI = 8 br

IDCI = 6 br ~16.~._~ 3h\ ~..•. B---4---~C

ABC üçgeninde

m(ABC) > 13S'

IABI = 3)2 br

IBCI = 4 br

Yukarida veri/enlere göre, IBCI nin ala bi/ecegi mi

bÜyÜk tamsayi degeri nedir?

Yukarida veri/enlere göre, IACI nin tamsayi degeri

kaç br olabilir?

A) 8 B) 9 c) 10 D) 12 E) 13 A)S B) 6 C)7 D) 8 E) 9

108


Yukaridaki verilere göre, asagidakilerden hangisi

dogrudur?

E) z < Y < x

m(Ô) > 90·

IABI = 11 cm

IBCI = 6 cm

ICDI = 4 cm

IABI = 5 cm

D

A

B

Yukaridaki sekilde verilenlere göre, asagidaki sirala

malardan hangisi dogrudur?

A) x < Y < z B) x < z < y C) Y < x < z

D) Y < z < x E) z < Y < x

5.

C) y < x < z

m < n

ABC eskenar üçgen

B) x < z < y

A

D) Y < z < x

A) x < Y < z

1.



D


degeri kaçtir?

D) 14 E) 15

m(DAC) < 90·

IABI = 5 cm

IACI = 12 cm

IBCI = x cm

m(Ô) < 90·

IABI = 9 cm

iACi = 6 cm

IBDI = 3 cm

ICDI =4 cm

IBCI = x cm

cB

6.

[AD] ii [BC]

m(S) < m(Ô)

BC A)8

B) 9C) 12

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi kaç tamsa-

7.yi degeri vardir?A

A) 7

B) 9C)12D) 13E) 14

B

C

3. ABC üçgeninin kenar uzunluklari x, x + 2, x + 4 br

olduguna göre, x in alabilecegi en kücOk tamsayi

degeri kaçtir?

2.

A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E) 5A)2 B) 3 c)4 D)5 E) 6

A, C, D dogrusal

IABI = IACI

IBCI = 8 birim

ICDI = 5 birim

IBDI = x birim

D

A

B


tamsayi degeri ile en kücük tamsayi degerinin toplami kaçtir?

8.

ABC üçgeninde

m(A) < m(S)

iACi = 11 br

IBCI = x br

C

A

Bx


degerlerinin toplami kaçtir?

4.

A) 36 B) 42 C) 48 D) 52 E) 55 A)20 B) 22 c) 23 D) 24 E) 26

109


9. A

D

[AB].l [BC]

m(ACD) > 90·-- --m(BAC) < m(BCA)

13.

B

A

c

ABC eskenar üçgen

m < n

x ve y birer tamsayi olduguna göre, IABI nin degeri

en az kaçtir?Yukaridaki verilere göre, ADE üçgeninin kenarortay

uzunluklari olan Va' Vd' Ve arasindaki siralama nedir?

A)5 B) 6 C)7 D)8 E)9A) Va < Vd < Ve

C) Vd < Va < Ve

B)Va<Ve<Vd

D)Vd<Ve<Va

E) Ve < Vd < Va

10. Bir dörtgenin çevresinin uzunlugu 56 cm dir.

Bu dörtgenin bir kösegeninin uzunlugunun tamsayi

degeri en cok kaç cm dir?

A) 21 B) 24 C) 25 D) 27 E) 31

14. A

B

ABC üçgeninde

IABI = IAci

IBci < IAB i

C

E) 62D) 61

ABC üçgeninde

m(A) = 50·

m(B) = 2x

m(C) = x + 37·

c

C) 60

A

B) 59

B

Yukaridaki verilere göre, m(BAC) nin ölçüsü tamsayi

türünden ~ kaç derece olabilir?

A) 58

15.

E) 52D) 46

ABC üçgeninde

IADI = 71DCI

IAB I = 16 birim

IBci = 12 birim

IBDI = x birim

c

C)42

A

B) 38

B12


degerlerinin toplami kaçtir?

A) 33

11.

Yukarida verilenfere göre, ABC üçgeninin alani en

~ kaç cm2 olabilir?

a

I a-b i + i c-bl+1 a-clYukarida verilenlere göre, 2


C) b + c

E) c

B) c- aD)-2b

A) b-a

16. ABC üçgeninde; m(A) < m(B), a = x + 8 cm, b = 2x cm,

e = 12 cm olduguna göre, x in alabiiecegi kaç tamsayi

degeri vardir?

ABC üçgeninde

IABI = 2.J2 cm

IAci = 8.J2 cm

c

A12.

A)6 B) 8 c) 12 D) 16 E) 24 A) 11 B) 13 C)15 D) 17 E) 19

110

BÖLÜM

""

Dik UçgenKÖSETASi KAZANiMLAR

1. Pisagor teoremini kavrar.

2. Iki kenari arasindaki iliskisi bilinen dik üçgende Pisagor teoremini uygular.

3. a2 + b2 = c2 esitligini saglayan dogal sayilari gösterir.

4. Bir sekli dik üçgene tamamlar.

5. Dik üçgende hipotenüse ait kenarartayin hipotenüsün yarisina esit oldugunu gösterir.

6. Dik üçgende orta tabani kullanir.

7. Çifte Pisagor uygular.

8. Kösegenleri dik kesisen dörtgenlerde kenar uzunlugu hesaplar.

9. Öklit'in yükseklik bagintisini kavrar.

10. Öklit'in yükseklik bagintisini ek çizimden sonra uygular.

11. Öklit'in dik kenar bagintisini kavrar.

12. Öklit teoreminin uygulamasini yapar.

13. ABC üçgeninde b.c = h.a bagintisini kavrar.

14. Öklit seklinde, verilen bagintilarin da yardimiyla uzunluk hesaplar.

15. Dik üçgende, dik köseden hipotenüse çizilen dogru parçasinin en kisa uzunlugunu hesaplar.

16. Açilari 30°, 60°, 90° olan üçgenin kenarlari arasindaki bagintilari kavrar.

17. Açilari 45°, 45°,90° olan üçgenin kenarlari arasindaki bagintilari kavrar.


19. Özel açili üçgenlerde karisik uygulama yapar.

20. Bir üçgen de disari yükseklik indirerek, özel açili üçgenlerde uygulama yapar.



23. Açilari 22,5°,67,5°, 90° olan üçgenin kenarlari arasindaki bagintilari kavrar.

24. Açilari 22,5°, 67,5°, 90° olan üçgen in kenarlari arasindaki bagintilari kavrar.

25. Dik üçgende dik köseden kenarortay çizmeyi gösterir.

26. Dik üçgenin bir uygulainasini yapar.

27. Dik üçgenin bir uygulamasini yapar.

Pisagor Teoremi

dik üçgen

B

A Bir dik üçgende hipotenüsünkaresi dik kenarlarinin kareleri

toplamina esittir.

a2 + b2 = c2 bagintisini saglayan bazi dogalsayilar:

32 + 42 = 52

52+122=132

82 + 152 = 172

72 + 242 = 252

~ Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarisina esittir.

IADI = IB~I veya IBCI = 2.IADI dir.

~ Sekil-I

B~D~C

~ Öklit Teoremleri

Sekil-II&"Ac d

b c

H D

Kösegenleri dikdörtgenlerde karsilikli kenarlarin kareleri toplami bir

birine esittir.

a2 + c2 = b2 + d2

Sekil-I, [BD] boyunca katlaninca Sekil-II nin elde edildigini fark ediniz.

~cB H

~ Öklit Seklinde Alan Bagintisi

A

a

IAHi2 = IBHI·IHCI

IABi2 = IBHI·IBCI

IACi2 = ICHI·ICBI

b.c = h.a

115

~ 30·,60·,90· Üçgeni

A

~"B nJ3 • H

~ 45·, 45·, 90· Üçgeni

A

c

~ 30·,30·,120· Üçgeni

~ 15·,75·,90· Üçgeni

dik üçgen

Dik üçgende 30· nin karsisindaki uzunluk hipotenüsün yarisi, 60· karsisindakiuzunlukta 30· nin karsisindaki uzunlugunun ../3 katidir.

O halde bir üçgende 30· lik açiya bitisik uzunluklar, (30·, 60·, 90·) üçgeni olusturulmasi için verilir.

ikizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarm J2 katidir.

IABI = iBCi = a ise iACi = ah dir.

Açilari 30·, 30·, 120· olan üçgen özel üçgenlerden biridir. Uzun kenar, kisa kenarin../3 katidir.

IBCI = IABI ..J3 = IACI..J3

~ dwB H Ci.---------4h - - - - - - - - -- +l

~ 22,5·,67,5·,90· Üçgeni

A

~~B------------C~ - - - - - - - - 2-/2 h . - - - - - - - - - ~

B

B

A

a(.J6 + -/2)

A

xJ4 + 2-/2

116

c

c

kösetasidik üçgen

Düzgün bir çölde bulundugu noktadan 24 km doguya, sonra da 7 km kuzeye giden bir adam harekete basladigi

noktadan kaç km uzaklasmis olur?


Kuzey

A(KLMC) = 4.A(ABC) + A(ABRP)

ab(a+bj2 =4.-+c2

2

PiSAGOR TEOREMiNiN

ALANDAN iSPATI

a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2

Dogu ve Kuzey dogruitulari arasinda

dik açi oldugundan dik kenarlari 24 km

ve 7 km olan dik üçgenin hipotenüs

uzunlugu adamin O ya (baslangiç nok

tasi) uzakligini göstermektedir .

x2 = 72 + 242

x2 = 625

Pisagor Teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi,dik kenarlarin kareleri toplamina esittir.

IABi2 = IACi2 + IBCl2

Dogu24

........

x...··•·•·•·

••..••.. 7....

....•.•...o

B

x = 25

B 5 C

Buna göre, binanin yüksekligi kaç metredir?

Bir itfaiye eri 13 metre

uzunlugundaki bir mer

divenin ayagini du

vardan 5 metre uzak

liktaki bir yere dayayip

binanin çatisina çiki

yor.

A, B, C ilçelerini bir

lestiren yollardan AB yolu

ile AC yolu dik kesismek

tedir. B den hareket eden

iki araçtan birincisi A ya

ugrayarak C ye gitmekte,

ii. araç ise dogrudan C ye

gitmektedir. i. araç, II.

araçtan 40 km fazla yol

alarak C ye varmistir.

A ile B arasi 60 km ise A ile C arasi kaç km dir?

3.

E) 12D) 10c)9

A

000000000000D

B) 8A)6

1.

A)60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100

IBCI ve IACI uzunluklari birer tamsayi olduguna göre,

IBCI kaç br dir?

2.A

~B C

A, B, C dik üçgen

IABI = 11 br

4. Sekilde iskelede sabit

duran 5 m lik bir olta gös

terilmistir. Oltanin ucu ile

durgun suyun yüzeyi ara

sindaki uzaklik 6 m, iske

lenin su yüzeyinden yük-

sekligi 2 m dir.

Buna göre, iskele ile olta ipinin suya degdigi nokta

arasindaki uzaklik kaç m dir?

A) 61 B) 60 C) 59 D) 57 E) 53 A) 1

117

B) 2 C)3 D) 4 E) 5

~


ABC dik üçgen

IABI = 3 br

IBDI = 1 br

c iACi = ICDI

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir?


IACI = IDCI =x ise IBCI = x + 1

Pisagor teoreminden:

IBCl2 = IACl2 + IABi2

(x + 1)2 = x2 + 32

x2+2x+1=x2+9

x=4

Buna göre, IACI = 4 br

A 3. A ABC dik üçgen

~ IBCI=13br/ ~IACI = 2.IABI + 2 brB 13 C

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?

1.

B

Sekilde....................

m(BAD) = m(BCD) = 90·

IABI = 3 br

D ICDI = 4 br

IBCI = x br

IADI = (x + 1) brc

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç br dir?

A)5 B) 6 c)7 D) 8 E)9

A)4J3 B) 312 C) 2J6 0)6 E) 5

Yukarida verilenlere göre, LADi = x kaç cm dir?

ABC üçgeninde

IABI = IACI

[BH].L [AC]

iHCi = 2 cm

IBCI = 2.ft cm

CB 2/tYukarida verilenfere göre, IABI = x kaç cm dir?

4.

[Oc] ii [AB]

[AO].L [AB]

10CI = 7 cm

ICBI = 13 cm

IAB I = 19 cm

B

7

A

x

2. D

A)4 B) 5 C)6 D) 8 E)9 A)4 B) 5 C)6 0)7 E) 9

118


A

IABI = 33 cm

iBCi = 44 cm

ABC dik üçgeninde

c44



bagintisini saglayan bazi dogal sayilar bilindiginde islem kolayligi ve hiz

saglanir.

Bu sayilardan bazilari: 32 + 42 = 52

52 + 122 = 132

82 + 152 = 172

72 + 242 = 252

(3, 4, 5) üçgeni denildiginde dik kenarlari 3 ve 4 ün kati, hipetonüsü 5 in kati

olan dik üçgen anlasilir. (6, 8, 10) üçgeni de (3, 4,5) üçgenidir.

Kösetasinda verilen dik kenar uzunluklarindan biri 11 in 3 kati, digeri 11 in 4

katidir. Demek ki hipotenüs de 11 in 5 kati olan 55 tir.

KENDiN ÜRET, KENDiN YE...

A

''''-y''~B 2xy C

x ve y için rastgele degerler veriniz.

Örnegin;

x = 2 , Y = 1 için (3, 4, 5) üçgeni

x = 3 , Y = 2 için (5, 12, 13) üçgeni

türetilir.


[ABll- [ACi

31ACI = 41ABI

iBCi = 30 cm

3.

B

A ABC dik üçgen

[ABll- [Aci

IBDI = 10 cm

IADI = 6 cm

C IACI = 15 cm

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç cm dir?Yukarida verileniere göre, IBCI kaç cm dir?

A) 16 B) 18 C) 24 D) 26 E)28A)15 B) 17 C) 18 D) 21 E) 25


[ABIII [CDI

[Aci l- [CD]

D IADI = 25 cm

ICDI = 7 cm

IABI = 18 cm

A

B x C


~ 4.

]

ABC üçgeninde

[ADIl- [BC]

IABI = 15 cm

IADI = 12 cm

iBC! = 14 cm

C

A

B

2.

A) 13 B) 15 c) 18 D) 24 E) 25 A)20 B) 21 C) 24 D) 28 E) 30

119

--_._--_. __ ._-,._ ..~----------------------------

kösetasiA

AB l- BC

CD l- BC

IABI = 2 br

ICDI = 4 br

IBCI = 8 br

dik üçgen

D

Yukarida verilenlere göre, IADI kaç br dir?


4jG .

E 8 D

AB uzatilir ve D noktasindan BC ye bir paralel çizilirse

IBEI = IDC! = 4 br

IEDI =: IBCI = 8brIAEI = 4 + 2 = 6 br

AED dik üçgen,

IADi2 = IAEi2 + IEDi2

IADi2 = 62 + 82

IADI = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç br dir?E) 90)8

IADI = 2 br

IABI = 12 br

IDC! = IBCI + 6 br

c DAl-AB

BC l-AB

C)7B) 6

2

12

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir?

A)5

3.[AB)l- [AC)

[OC) l- [AC)

IDC! = 6 br

IACI = 15 br

IBDI=17br

D

B

1.

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

BC 1/ DE olduguna göre, A ile E noktalari arasindaki

uzaklik kaç cm dir?

4. [AB)l- [BC)A

sL

[CD)l- [DE)

~

IABI = 5 cm.:ii:

CIBC! = 7 cm

~ B73bl::l .:ii:

EICDI = 3 cmD8

IDEI = 8 cm

Sekilde

[AD) /i [BC)

[AB)l- [BC)

IADI = 2 br

IABI = IBC! = 8 br

C8

Yukarida verilenlere göre, IDCI kaç br dir?

2.

A) 15 B) 13 C)12 0)10 E) 9 A)17 B) 20 C) 21 D) 22 E) 24

120


B

ABC dik üçgen

/BDI = iDCi

IABI = 4 br

C IADI = 5 br


açiklamali çözümDik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarisina esittir.

B

IADI = IB~I veya IBCI = 2.IADI dir.

IBCI = 2.IADI = 2.5 = 10 br

IACi2 + 42 = 102

IACl2 = 84

C IACI = 2)21 br

MUHTESEM ÜÇLÜ

[AD}, [BD} ve [OC} için muhtesem

Oç/O tabiri kul/am/wor. Matematik

dilinde böyle bir isim yok ama, zor

larsak olacak. ©

1.

C

ABC dik üçgen

IADI = IDCI

IABI =.fi br

IBCI = 7 br

3.

B

A ABC dik üçgen

IBDI = IDCI

IADI = 6 br

m(ABC) > m(ACD)

Yukarida verilen/ere göre, IBDI = x kaç br dir? Buna göre, IACI nin tamsayi degeri en az kaç br ola

bilir?A)4 B) 2/5 D) fi4 E) fi5

A)7 B) 8 C)9 0)10 E) 11

ABC dik üçgen

IBDI = iDCi

P noktasi, [AD] üze

rinde degisken bir

noktac

A

IADI = 7 br

ABC üçgen/nin çevresinin en küçük tamsayi degeri

kaç br olabilir?

4.

~2 A. 6 ~~~~ii~~~en

IABI = 2 br

IACI = 6 br

B D x cYukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?

. 2.

A)2ffO B) 2;3 D) 2./2 E) J6 A) 25

121

B) 26 C)27 D) 28 E) 29

~


A ABC dik üçgen

IDBI = Ioc!

IAEj = 4 br

IEBI = 14 br

B D C jAC! = 24 br

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç br dir?

açiklamali çözümDik üçgenlerde hipotenüsün orta noktasi çogu kez orta tabani kullandirmak için verilir.

A

C

ABC dik üçgeninde IADI = iDCi olmak üzere,

DE II BC çizilirse,

[DE]Oi [AB] ve IDEI = IBCI (Orta taban) olur.2

OF II AB çizilirse, [DF]Oi [BC] ve IDFI = IABI (Orta taban) olur.2

B C

Kösetasinin Çözümü;

OF II AC çizilirse, [DF]ol [AB] olur.

IDFI = IACI =~= 12 br2 218

IBFI=1FAI=2"=9br ~ IFEI=14-9=5br

DFE dik üçgeninden x2 = 52 + 122 ~ X = 13 br bulunur.

1. AABC dik üçgen3.A

IBDI = IDCj LAEI = 12 brIECI = 4 br

C

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç br dir?

ABC dik üçgen

A, B, E dogrusal

IADI = IDCI

C IAC! = 12 br

IAB I = 6br

IBEI = 5 br

A)2 B) 3 C)4 D) 3f2 E) 3J3 Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç br dir?

A)6 B) 7 C) 8 0)9 E) 10


ABC üçgeninde

DBol BC

IADI = IDC!

IDBI = 6 br

IBCI = 5 br

A

B 5 C

Yukarida verilenlere göre, IAB i = x kaç br dir?

4.

ABC dik üçgen

IBDI = iDC!

IAB i = IAEI = 8 br

IEC! = 2 br

A

~

8 Ex 2

~C

2.

A)5 B)6 C) 4f2 D) 4J3 E) 3)5 A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 13

122 @JA[iill

dik üçgenkösetasi ------------------------,

ABC üçgenindeA

~ IABI=6cm6 ~ IACI = 10 ""~ IBCI=12cmB x H C

Yukarida verilenlere göre, IBHI = x kaç cm dir?


~B x H 12-x C

Bu uygulamaya çifte Pisagor uygulamasi deniise yeridir.

h2=62_X2= 102-(12-x)2

36 _x2 = 100 - (144- 24x + x2)

36 -/= -44 + 24X-/

80 = 24x

10

x=3"cm

ABC üçgeninde

[AD].L [BC]

IBDI =5 cm

IDCI = 5J6 cm

IAB I + IAci = 25 cm

C

A

B

3.

E) 9D) 7

ABC üçgeninde

[AH].L [Bc]

IACI = 12 cm

IAB i = 8 cm

IBCI = 10 cmC

C)5B) 3

A

BH

Yukarida verilenlere göre, IHCI = x kaç cm dir?

A) 1

1.


A)16 B) 15 c) 14 D) 13 E) 12

2.

B

A ABC üçgeninde

[BD].L [AC]

IADI = 6 cm

IDCI = 2./2 cm

IABI - IBCI = 2 cm

4. A

C

ABE ve DBC üçgen

[AB].L [BC]

IAEI = IDCI

IBEI = 10 cm

IDBI = 6 cm

IADI = (IECI + 1) cm

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IECI kaç cm dir?

A) J30 B) 2../7 C) 2J6 D) 3./2 E)2v'3 A) 254

B)~5

C)~6 D)~ 6 E) 26

123


A

B

[Aci.l [BD]

IABI = 4 cm

IADI = 5 cm

D IBCI = 3 cm

olduguna göre, ICDI = x kaç cm dir?c

A

açiklamali çözümiSPATLAYALIM

b2 = x2 + t2

+ d2 = y2 + Z2

b2 + d2 = x2 + y2 + Z2 + t2

BtzDWC

a2 = x2 + y2+ c2 = t2 + Z2

a2 + c2 = x2 + y2 + Z2 + t2

Kösegenleri dik kesisen dörtgenlerde karsilikli kenarlarin kareleri toplami birbirineesittir.

42 + x2 = 52 + 32

x2=18

X = 3.J2 cm

Kösetasindaki dörtgende kösegenler dik kesistiginden

B

Sekil-I Sekil-II

@Ad ~Ad

C ~+~=~+~b c

B H. •D H D Sekil-I, [BD] boyunca katlaninca Sekil-II

b c nin elde edildigini fark ediniz.C


1. A

B

D

ABDC dörtgeninde 3.A

[AD].l [Bc] iACi = 2·IBDIC

IABI = 6 cm

IDCI = 8 cm

B

D

C

ABC üçgeninde

[AD].l [BC]

IAEI = 12 cm

iECi = 5 cm

IBOI = 9 cm

IAB i = x cm

IDCI = y cm

A) 215 B)15 D) 2.J15 E) 415 Yukarida verilenlere göre, dik kenarlari x cm ve y cm

olan bir dik üçgenin hipotenüsü kaç cm dir?

A) 5M B) 15 C) .J21O D) 5J8 E) 14

ABC üçgeninde

B, E, D dogrusal

IAEI = 5 br

IEDI = 3 br

IADI = 4 br

IABi2 + IECi2 = 169 b~Cx

A

B


4.[AE].l [Bc]

IACI = 12 cm

10CI = 10 cm

IDBI = 6 cm

CBE

Yukarida verilenlere göre, IAB I = x kaç cm dir?

2.

A) 515 B) 415 C) 5J3 D) 315 E) 215 A) 10 B)2M C)12 D)5)6 E) 13

124

dik üçgenkösetasi --------------------------,

A ABC dik üçgen

~ [AH]1.[BC]

2 . IAHI = 2 br

B H~ C iHCi = 4·IBHI



~cB H

Öklit yükseklik bagintisi:

ABC dik üçgeninde [AH] 1. [BC] ise

IIAHI2 = IBHI·IHCI iNot: Öklit teoreminin uygulanabilmesiiçin dik üçgende dik köseden dik indirilmis olmasi gerekir. Bu sekle Öklitsekli diyelim.


IBHI = x => IHCI = 4x olur.

22 = (x).(4x) => x = 1 br

IBCI = 5x = 5.1 = 5 br

NEDEN?

~B H C

..a.. ..a..AHB- CHA

IBHI = IAHI => IAHI2= IBHI.IHCIIAHI IHCI

1. A

A)3 B) 4 c)6

ABC dik üçgen

[BH] 1. [AC]

IBHI = 6 br

IAHI = (IHCI + 5) br

olduguna göre, IHCIkaç br dir?

D) 8 E) 9

3.C ABCD dikdörtgen

[DE] 1. [AC]

lAFi = 4 br

4 • F WCI = 9 br

E

Yukarida verilenlere göre, IFEI kaç br dir?

A) .!:!. B) 2 C) ~ D) 3 E) ~3 2 2

2.

C

ABC ve DBE dik üç

gen

[AF] 1. [BC]

IADI = IBFI = 9 cm

IEFI = 1 cm

~ 4.

]A

~B x H C

ABC dik üçgen

[AH] 1. [B C]

IBHI < IHCI

IAHI = 4 br

IBCI = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBHI = x kaç br dir?

A)9 B) 12 c) 15 0)18 E) 21

125

A) 3v'2 B) 4 C) 2)3 D) 3 E) 2

~

dik üçgenkösetasi ------------------------,

A

~B E x C

ABC dik üçgen

[DE].L [BC]

IADI = iDCi

IDEI = 2 br

IABI = 2../5 br

Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç br dir?


A [DF]I/[AB] çizelim. [DF].L [AC] olur.

~ IDFI = IABI = 2/5 = /5 (Orta taban)

2../5 D 2 2

1~ IFEI22=(v'S)2-22 ~ I:EI=1 brB F E x C IDEI = IFEI·IECI ~ 2 = 1.x ~ x = 4 br bulunur.

ABC dik üçgen

DEFK dikdörtgen

IBKI = 3 br

IDCI = 12 br

1.

F~E~B 3 K D 12 C



~ [AH].L[BC]

[BH] < IHCI

iBCi = 10 br

B x ri C A(ABC) = 15 b~

Yukarida verilenlere göre, IBH! = x kaç br dir?

A) 413 B) 4 C)6 D)6n E) 9 A)1 B) n C)2 D) 13 E) 3

Not: A(ABCJ= IBCI·IAHI dir.2

A ABC dik üçgen

[DE].L [Aci

m(DEC) > m(OCE)

IBEI = iECi

c IDEI = 3 br

LACI = 13 br


4.

[DE] .L [BC] ~

m(EDC) > m(DCE) ]IADI = IDCI .••.

IBCI = 20 br

IDEI = 4 br

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?


.!:heA)S B) 6 C)4n D) 413 E) 4../5 A) 6

126

B)2m C) 4)3 D) 3;16 E) 8

~


ABC dik üçgen

[AH].l [BC]

IABI = 6 br

IBHI = 2 br

c

A

B H x

Yukarida verilenlere göre, IHCI = x kaç br dir?

açiklamali çözümÖKiiT BAGINTISI

ABC dik üçgen ve AH .l SC ise

IABi2 = IBHI·IBCI

IACi2 = ICH/·ICSI

NEDEN?

~B H C

Kösetasinin Çözümü;

IHCI = x olsun.

IABi2 = IBHI·IBCI

62 = 2.(2 + x)

36 = 2.(2 + x)

18 = 2 + x

x = 16 br

..a.. ..a..BHA- BAC

IBHI = IABI =:> IABf= IBHI.IBCIIABI IBCI..a.. ..a..

CHA -CAB

ICHI=IACI =:> IACl2=ICHI.ICBIIACI IBCI

ABC dik üçgen

[AH].l [BC]

IABI = 215 br

IHCI = 4·IBHI

1. A ABC dik üçgen/h [AH].l[BC]

x IHCI = 3 brIBHI = 6 br

B""'-----6--...i.:.i...H--3-~CYukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir?

3.

~B H C

Yukarida verilenlere göre, IBHI kaç br dir?

A) 3J3 B) 5 C) 2J6 D) 3)2 E)4 A) 1 B) 2 C) 15 D) J6 E) 3

2. A

ABC dik üçgen

[AH].l [BC]

IABI = (IBHI + 3) br

IBCI = 12 br

ABC dik üçgen

[BD] .l [AC] 4.::<

IBci = 6 br ~~IADI = (IDCI + 1) br ]

c


~B H C

Yukarida verilenfere göre, IABI kaç br dir?

A)2 B) 3 C)4 D) 3)2 E)2J6 A)4 B)2J6 c)5 D) 3J3 E) 6

127 [~] C i B i EJ


ABCD kare

m(ADF) = m(ôCE)

IAEI = 7 br

IEDI = 5 br

olduguna göre, IEHI kaç br dir?


7

i

L t:i~ A

ci. + ~ = 90° =:> [DH]..L [EC]

iDC! = IADI = 5 + 7 = 12 br

IECi2 = IDEi2 + IDCl2

IECl2 = 52 + 122 =:> IECI = 13 br

IDEi2 = IEHI·IECI

52 = x.13 =:> x = ~ br13


~[AH]..L[BC]~ IBHI < iHCi~_ IAHI=6brB H' CIBC!=15br


3. ABC ve ADE dik

üçgen

IBDI = IDC!

IAEI = 8 br

IBEI = 2 br


A) 315 B) 6 C)2J6 D) 312 E) 5.J3 A) 5 B) 2../6 C) 3../6 0)2 E) 3

ABC D dikdörtgen

AEFD kare

m(AKB) = 90°

IAKI = 6 br

CF

K

E

Yukarida verilenlere göre, A{ABCD) kaç bi2 dir?

4. D

A ABC üçgeninde

~• m(DAC) =90·

IABI = 4 br

IBDI = 2 brB 2 D 8 C

iDC! = 8 br

2.


A) 212 B) 3 C) 212 D) 15 E) .J3

A) 18 B) 24 C) 1812

Not: A(ABCD) = IBCI.IABI dir.

D)18.J3 E) 36

128


A

B c

ABC dik üçgen

[AH]l- [Bc]

IABI = 6 cm

IAci = 8 cm

Yukarida verilenlere göre, IAHI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümÖklit bagintilarindan olmamasina ragmen onlarin arasinda kabul

ettigimiz bu baginti alanlardan gelir, gerçekten kolaylik saglar.

A

i b.c = h.a i

va

Bu bagintiya göre kösetasinin çözümü kolaydir.

a2 = 62 + 82 => a = 10 cm

6.8 = 10.h => h = 4,8 cm

NEDEN?

A

B C'----y.---a

A(ABC) = iABI·IACI = b.c2 2

A(ABc) = iBCI ·IAHi =~2 2

~=~=>b.c=a.h2 2

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç br dir?

ABC dik üçgen

[AD] J. rBCl

IBQ = 24 cmx

IADI = 2x cm

c

A

B D

Yukarida verilenlere göre, IABI.IACI kaç cm2 dir?

i 3.ABC dik üçgen

[AD] l- [BC]

IASI = 5 br

IACI = '12 br

c

A

B

1.

A)3 B) 4013

C) 5513

D) 60 .13

E) 5A)48 B) 36 C) 24 D) 20 E) 16

2. A

c

ABC dik üçgen

[AH]l- [BC]

IABI = 2.)5 cm

IAci = 4.)5 cm

i 4.~

]B

A

c

ABC dik üçgen

[AH]l- [BC]

IABi2 + IACl2 = 80 cm

IAHI =.)5 cm

Yukarida verilenlere göre, IBCI - IAHI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IABI + IACI kaç cm dir?

A)2 B) 3 C)4 D) 2.)5 E) 6 A)4./6 B) 10 C) 2J30 D) 5.)5 E) 5./6

129


A ABC dik üçgen

B

[AH]..L [BC]

iACi = b cm, IBHI = p cm, iHCi = k cm, IABI = c cm

p2 + k2 = 68 cm2

b2 + c2 = 100 cm2

Yukarida verilenlere göre, b.c degeri kaç cm2 dir?


Pisagor teoreminden

b2 + ci = (p + k)2

b2 + ci = p2 + k2 + 2pk

100 = 68 + 2pk

p.k=16cm2 .

a2 = 100

a = 10 cm

a

Öklit yükseklik bagintisindan

h2 = p.k = 16 :::> h = 4 cm

Öklit alan bagintisindan

a.h = b.c

b.c = 40 cm2 olur.

Yukarida verilenlere göre, IADI.IDCI kaç cm2 dir?

E) 16D) 12

ABC dik üçgen

[AD]..L [Bc]

IABI = IADI + IDCI

p2 _ k2 = 16 cm2

C

c)8B)4

B

A)2D) 2fi5 E) 5../2C) 5J3B) 4J5

B P H k

Yukarida verilenlere göre, c kaç br dir?

A)4J6

1. AABC dik üçgen3.A

[AH]..L[BC] b2 = 5hP = 2h

Yukarida verilenlere göre, ~ orani kaçtir?y

ABC ve BDEdik

üçgen [AH]..L[BC]

4.

IBEI = IECI~IABI = y br ~C IBDI = x br ii

E) 6D) 8

n - m = 4 br

ABC dik üçgen

[AH]..L[BC]

b2_ ci = 40 br

C

c)9B) 10

A

B


A)12E)./22

D) 2./23C) 1B)./2

A

A)2./2

B

2.

130

kösetasiA

B

ABC üçgeninde

[ABil. [AC]

D E ]Bc[

IABI = 15 cm

C IACI = 20 cm

dik üçgen

Yukarida verilenlere göre, IADI = x in alabilecegi kaç farkli tamsayi degeri vardir?


B


C

Bir noktanin bir dogruya en kisa uzakligi, noktanin dogruya dik uzakligidir.

(Bu kösetasi açi-kenar bagintilarinda da anlatilmisti.)

IADI en küçük degerini, yükseklikle ([AH]) örtüstügü durumda alir.

IBCl2 = IABi2 + IACl2 ~ IBCl2 = 152 + 202 ~ iBCi = 25 cm

b.c = a.h (Öklit alan bagintisi) ~ 20.15 = 25.h ~ h = 12 cm

IADI en büyük degerini, D E ]Bc[ oldugu için [BC] ye en yakin durumda alir.

Bu nedenle, 12:s: IADI < 20

IADI ' 8 farkli tamsayi degeri alir.

1.

B C

ABC dik üçgen

D E ]Bc[

IABI = 6 cm

IACI = 8 cm

3.

B C

ABC dik üçgen

D E (BC)

ISCI = 30 cm

IABI = 18 cm

Yukarida verilenlere göre, IADI nin alabilecegi en kü

ill tamsayi degeri kaçtir?

A)3 B)4 C) 5 D)6 E) 7

Yukarida verilenlere göre, IADI nin alabilecegi en

büyük tamsayi degeri ile en kücük tamsayi degerinin

toplami kaçtir?

A) 32 B) 33 C) 36 D) 38 E) 39

A ABC dik üçgen

~10 24 DE[BC]

• IAB I = 10 cm~

IACI = 24 cm ~-----~~---C ...B D ~

Yukarida verilenlere göre, IADI nin alabilecegi kaç

tamsayi degeri vardir?IADI nin alabilecegi en kücük deger 9,6 cm olduguna

göre, IADI nin en büyük tamsayi degeri kaçtir?

2.

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

4.

B

A

c

ABC dik üçgen

DE [BC]

IABI = 12 cm

(O noktasi ile C nin çakisabilecegine dikkat ediniz, çOnkO O E [BC]verilmis.) A) 14

131

B) 15 C)16 D) 17 E) 18

~

kösetasiA

~ 30"B C

ABC üçgeninde

m(ABC) = 30°

IAB i = 6 br

iACi = 5 br

dik üçgen



2An~B nJ3 • H

A

~. 6o,i

6 : 5

~330' :

B 3J3~' 4 C

Dik üçgende 30° nin karsisindaki uzunluk hipotenüsün yarisi, 60° karsisindaki uzun

luk 30° nin karsisindaki uzunlugunun ../3 katidir.

O halde bir üçgende 30° lik açiya bitisik uzunluklar, (30°, 60°, 90') üçgeni olustu

rulmasi için verilir.


[AH]l.. [BC] çizelim.

A IABI 6m(B)=30°=> IAHI=-=-=3br

2 2

IBHI = ../3.IAHI = 3../3 br

AHC dik üçgeninden IHCI = 4 br bulunur.

IBCI = 4 + 3../3 br


ABC üçgeninde

m(ACB) = 15°

IADI = IDCI = 8 br

m(ABC) < 90°

1.

~B 8 C

ABC dik üçgen

m(ACB) = 30°

IBCI = 8 br

IBDI = 5 br

3.

~B D 8 C

IABI nin en kücük tamsayi degeri kaç br olabilir?

A) 2 B) 3 C) 2../3 0)4 E) 312 A)7 B)6 C)5 0)4 E) 3


ABC üçgeninde

m(ABC) = 30°

m(BAC) > 90°

IBCI = 12 br

2. A

~B D C

ABC dik üçgen

[AD]l..[DE]

IBDI = IDCI

m(EÔC) = 30°

IAEI = 6 br

~ 4.

]~

B 12 C

IACI nin en kücük tamsayi degeri kaç br olabilir?

A) 612 B) 4)6 C) 6../3 D) 12 E) 12)3

132

A)4 B)5 C)6 0)7 E) 8

köse/asidik üçgen

~ 45"B 7 C

ABC üçgeninde

m(ABC) = 45·

IABI = 3J2 br

IBCI = 7 br



c

B

A

c

ikizkenar dik üçgende hipotenüs, dik kenarin J2 katidir.

IABI = IBCI = a ise IACI = ah dir.


AH 1. BC çizelim

ABH ikizkenar dik üçgen oldugundan IABI = IBHi.J2 => 3J2 = IBHi.J2

IBHI = IAHI = 3 br => IHCI = 7 - 3 = 4 br

AHC üçgeninde IACl2 = 32 + 42 => IACI = 5 br


1. A

~B C

ABC üçgeninde........•

m(ABC) = 45·

m(ACB) = 30·

iACi = 8 br 3. A~o" x :~~~g:::~em(ACB) = 15·

15" C iBCi = 4J2 brB 4.)2

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir?

A) 4 B) 5 C)4J2 D)6 E) 4;13 A)6 B) 8 C)9 D) 10 E) 12

A ABC ikizkenar

~ diküçgen~ IDCI=10br_ IBCI = 8J2 brB----8-.)2-2----- CYukarida verilenlere göre, IDBI = x kaç br dir?

A) 2;13 B) 2J2 C) 4 D) 3 E) 2

~133

E)6J2D) 4;13C)6B)4J2

A ABC üçgeninde.........

m(ABC) = 30· ~........•

4.m(ACB) = 15·

~•..B

C......... ~m(BCD) = 30·AD 1. DCD

IBCI = 12 br


A)4

2.


ABC üçgeninde

IABI = iACi

m(BAC) = 120'

iBCi = 12 cm~

B 12 C

Yukarida verilenlere göre, IAB i kaç cm dir?

"""""

ABC nde [AH] J.. [BC] çizilirseiki tane es 30' - 60' - 90' oçgeni elde ederiz.

IAHI = h ise

IABI = IACI = 2h

IBCI = 2.J3.h

=> IBCI = IABI.i13 = IACI.i13


~ 30°

B aJ3 C


a-/3 = 12

a=E-= 4-/3-/3

IABI = 4-/3 cm olur.

Açilari 30', 30', 120' olan üçgen özel üçgenlerden

biridir. Uzun kenar, kisa kenarin -13 katidir.

IBCI = IABI·.J3 = IAei..J3

B

NEDEN?

A

c


1.

B

A ABC üçgeninde...........

m(BAC) = 120'...........

m(ABC) = 20'...........

m(DCB) = 10'

C iACi = 9 cm

3.

D

A ABC üçgeninde

m(EDC) = 30'

IDBI = IBEI

IDEI = 6-13 cm

IAEI = 6 cm

C IBCI = 8 cm

A)6 B) 6-13 C) 9-13 D) 18 E) 18-13 Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir?

A) 2../22 B) 3J15 C) 4v'6 D) 2./26 E) 4.fi

ABC ve DBC üçgen

[DB].L [BC]...........

m(ABD) = 30'

IABI = IBCI = IBOI

IACI = 18 cm

DA

B C

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?

2. C [AB].L [AD]4.

........... m(CDA) = 120' ~........... m(CBA) = 30' ]IADI = iDCi IBCI = 12-13 br

A)6 B) 4-13 C) 6.J2 D) 6-13 E) 12 A) 6v'6

134

B) 6.)5 C)3ff5 D) 2J35 E) 6-13

~


A

B

ABC üçgeninde

m(ABC) = 45°.........

m(BAC) = 105°

C IABI = 6J2 br



B

Ölçüsü 30°, 45° ve 60° olan açilar özeldir.

Bu açilarin karsilarinda dik indirmek bir taktiktir.

Sorunun çözümü sekil üzerinde yapildi.C


1.

B

A

C


m(ABC) = 60°

IABi = 8 cm

iBC! = 12 cm

3.

C

ABCD dörtgeninde

[AB]-.L[BC].........

m(ADC) = 150°.........

m(DCB) = 60°

IADI = 6J3cm

IDC! = 8 cm

A)2m B) 416 C)10 D) 4.fi E) 2J35Yukarida verilenlere göre,IABI = x kaç cm dir?

A) 9J3 B)8J3 C)7J3 D) 6J3 E) 5J3


[AB]-.L[AC].........

m(ABD) = 105°

IAC! = IABI = 2J2 cm

IBDI = 6 cm

olduguna göre, IDCI= x

kaç cm dir?

C

A4.


m(ABC) = 75°

m(BAC) =45°

IABI = 12J2 cm

A

B

2.

A) 12 + 2J3 B) 12 + 4J3

D) 18 + 2J3 E) 24

C)18

135

A) 3J2

D

B)2J3 C) 216 D) 2.fi E) 4J3

~


ABC üçgeninde

m(BAC) = 120°

IABI =4 cm

IACI = 7 cm

A

~B x C


açiklamali çözümHiii" 2

2J3.// 6~" ". A.'..

/~

B x

Disari indirilen yükseklikler genellikle ögrencinin gözünden kaçar. dikkat ediniz.

[ACl uzatilip B den dik indirilir.

(30°, 60°. 90°) üçgeninden

IAHI = 2 cm

C IBHI = 213 cm

L>.BHC de Pisagor uygulanirsa,

x2 = (213)2 + 92

x2 = 93

x=J93cm


10 AL3B x C

ABC üçgeninde.....•.••..

m(BAC) = 135°

IACI = 4J2 cm

IABI = 6 cm

3. A ABC üçgeninde.....•.••..

m(ABC) = 120°

IACI = .J37cm

IAB I = 4 cm

A)4J6 B) 6J3 C) 4fl D) 2J29 E) 3J1§ Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

A)2 B)2J2 C)3 D)m


B O


ABCD dörtgeninde

[ABlL. [BDl.....•.••..

m(BAC) = 60°.....•.••..

m(BDC) = 150°

C IACI = 8 cm

IDCI = 4 cm

x

A4.

ABC üçgeninde

[ABlL. [Aci~.....•.••.. m(EDC) = 150°.i:c

~IBEI = IECI

~

C

IABI = 3 cm

IDCI = 13 cm

A

B

2.

A)2m B) 3J6 C) 6M D) 4J21 E) 2.J3ö A) 12

136

B) 613 C) 413 D) 6 E) 313

~


ABC dik üçgen

iBCi = 12 br

...•......

m(ABC) = 75·

~B 12 C

~Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç bi2 dir?


c

A (15·, 75·, 90·) üçgen i görünce iki seyakla gelsin.

~! Birincisi bu kösetasinda, digeri sonraki kösetasinda

!h anlatilacaktir. Bir dik üçgenin dar açilari 75· ve 15·

75' 1 ise hipotenüse ait yükseklik hipotenüsün ~ ine esit-. 15' 4B ~. c tir. ABC dik üçgenindei.---------4h - - - - -- - - - - +i 1

IBCI = 4.IAHI veya IAHI =4.IBCI dir.


AH .L BC çizelim

IAHi=~.12=3br4

A(ABC) = IBCI·IAHI = 12.3 = 18 br22 2

NEDEN?

A

B H D

ABC oçgeninde [AD] kenaror

tayi ve [AH] yOksekfigi çizilsin.

Olusan (30·, 60', 90·) Oçgeni

yardimiyla IADI = 2h baglntisielde edilir.

iBCi = 21ADI = 4h

(Muhtesem OçlO)

E)40)4.)2C)6B) 8A) 6.)2

Yukarida verilenlere göre, IDEI.IECI kaç b~ dir?

3. ABCD dikdörtgen

m(EA"B) = m(CSE) = 75·

IABI = 8 br

E) 160)15

[AD].L [BC]...•......

m(ACB) = 15·

IADI = 3 br

C)13B) 12

A ABC dik üçgen

~B D c


A) 10

1.

...•......

m(ACB) = 15°...•......

m(ACD) = 75°"""'"

A(ABC) = 32 br

ABC ve ADC dik üçgen

LSJD15'B C


[CD] açiortay...•......

m(ACB) = 30·

ACB ve DCB dik üç-

gen ~ 4.~~JJ

A

B C

D nin BC ye uzakligi 2 br olduguna göre, IABI kaç brdir?

2.

A)3 B)2J3 C)4 D) 3.)2 E) 4.)2 A) 4

137

B) 4.)2 C)4J3 0)8 E)4J6

~

kösetasi d_ik_u_"Ç._'g_e--.n

ABC üçgeninde

~A [AH].L[BC]

m(ABC) = 75°

m(ACB) = 60°75'~

B 13 H c IBHI = J3 br

Yukarida verilenlere göre, IHCI kaç br dir?

Bir dik üçgenin dar açilari 75°, 15° ise kenarlar arasinda yukaridaki sekillerde verilen oranlar vardir.

Kösetasinin çözümü: ABH üçgen i 75°, 15°,90° üçgenidir.

IAHI = (2 + J3).IBHI => IAHI = (2 + J3).J3 => IAHI = 2J3 + 3

AHC üçgeni 30°,60°,90° üçgenidir. IHCI = I~I = 21; 3 = 2 +.J3 br bulunur.

c15'

YANDAKi BAG/NT/LAR/

BEN BiLMEM ..!BU TAKTiGi GÖR. ..

A

B

B den 15° lik bir açi ile [BD] çizilirse

DBC ikizkenar üçgeni olusturulur."""""-

ABD ise (30° 60°, 90°) üçgeni olur.

cx(,J6 - J2)

AA


B

1.""""

3. ABC ve DBCAABC ikizkenar üçgen

~

IABI = iACi = 2n br

dik üçgen.•......

.•......

m(BAC) = 30°m(ACD) = 45°: .•......

olduguna göre,m(ACB) = 15°

15'IBCI = x kaç br dir?

B C

IDCI = 2 br

B

CYukarida verilenlere göre,lABI kaç br dir?

xA)2J3B)3C)J3+1

A) 2J3-2

B)2J3C) 3n D) JELE) JEL- n

D) 2 + J3

E) 2 - J3


IABI = IACI = n br.•......

m(BAC) = 150°

E)3n

~

C)4

.•......

m(ABC) = 45°.•......

m(ACB) = 15°

IABI = n br

B) 2 + J3

D)2J3

A ABC üçgeninde

~B C


A) 3 + J3

138

A

~B x C

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç br dir?

A) J3 - 1 B) J3 + 1 C) n + 1 D) 3 E) JEL

(Tashih esnasinda disartya dik indirerek ç(jzdOm.)

2.


A

B

ABC dik üçgen

iBCi = 4.)2 br/'-.

m(ABC) = 67,5·

C olduguna göre, Alan(ABC) kaç bi2 dir?

açiklamali çözümA NEDEN?

A

IIBCI : 2~.IAHI i

B C

~-------- 212 h .---------~


IAHI: IBCI : 4.[2 : 2 br2.[2 2.[2

A(ABC): IBCI·IAHI : 4.[2.2 : 4~ br22 2

B

IADI = IDCI alalim.

Muhtesem OçlO olustu./'-. A

m(DAC) = m(C) = 22,5·

m(ADB) = 22,5° + 22,5° = 45°

IADI = n.IAHI

IBCI: 2·IADI: 2..[2.IAHI

IBCI : IAHI.2.[2

IAHI: IBCI2.[2

c

A ABC dik üçgen

[AH].i[BC]/'-.

m(DAC) = 37,5°

m(ACB) = 22,5°

IHDI = .f6 br

C

A

BH !6 D


3.

D) 3 E) 2.)2

ABC dik üçgen

[AH].i [BC]/'-.

m(HAC) = 67,5·"""""

A(ABC) = 9.)2 b~

olduguna göre,

C IAHI = x kaç br dir?

C) 2../3B)4

B

A) 3.)2

1.

A) 8 B) 9 C) 10( [AD} kenarortay degil haa! )

D) 12 E) 15

E)6D) 8

ABC dik üçgen/'-.

m(BAC) = 22,5°/'-.

m(ABD) = 7,5°

IACI = 12.)2 br

olduguna göre, IBDI

kaç br dir?C

C)9B) 10A)12E) 6.)2D) 8.)2

ACB ve ADC dik üç

gen/'-.

m(ACB) = 30° _... 4. A/'-. ~ 22,5°

m(BCD) = 37,5° ~

IABI = 4 br ~

C olduguna göre,"""""

A(ADC) kaç bi2

dir?

D

C)6J3

A

A) 12../3 B)8../3

2.

139

köse/asidik üçgen

A

~ AB~iküçgen

m(ABC) = 67,5°

IABI = 3../2- 3 br~B C olduguna göre, IACI kaç br dir?


B

-----ABC dik üçgeninde, m(ABC) = 67,5° ise

IACI = IABI.(../2+ 1) dir.

C

Biz BU TEKNiGi KULLAN/UR/LI

A

B

Köselasinin çözümü;

iACi = (3../2- 3).(../2+ 1)

= 3(../2- 1)(../2+ 1)

= 3.(2-1)

=3

iACi = 3 br dir.

-----

m(DBC) = 22,5° a/marak [BD) çizi-lirse DBC ikizkenar üçgen, ABDikizkenar dik üçgen o/ur.

IADI = IABI

IDCI = IBDI = IABI.n

IACI = IADI + IDCI

= IABI + IABI. n= IABI.(1 + n)

1. A

A)4

D) 2../2 + 3

ABC dik üçgen

m(BAc) = 67,5°

IABI = 2 br

olduguna göre, ABC

üçgeninin alani kaç bi2

C dir?

B) 3../2 C) 3 + 2../2

E) 2../2+ 2

3.

B

A)4

A

B)2J3

C

C) 2../2

ABC ikizkenar üçgen-----

m(ABC) = 67,5°

IABI = iACi = 4 br

olduguna göre, B

noktasinin AC dog·

rusuna uzakligi kaçbr dir?

D).J6 E)2


IABI = IACI

DEC dik üçgen

IAEI = IECI = 2 br-----

m(ABC) = 67,5°

C

A

DB

Yukarida verilenlere göre, IDFI = x kaç br dir?

4.ABC dik üçgen

IABI = IBCI

[AD] açiortay

IBDI = 2 brC

A

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir.

A) 6 B) 4 + 2../2 c) 4 + ../2

2.

D) 3 + 2../2 E) 4 + .J6

140

A)2../2 B) 3 C)2J3 D)3../2 E)2.J6'

~


A

~B D· C

ABC üçgeninde

m(DAC) =90°/'-. /'-.

m(ABC) = 2.m(ACB)

IAB i = 3 br

IADI = 2 br



~ Daha önce de belirtildigi gibi ABC dik üçgeninde [B C] hipotenüsüne ait kenarortay

,Cl çizilirse IADI = IBDI = IDCI olur. ADC ve ADB ikizkenar üçgendir.\ ...•......................... ..........•..•.

~ m(DAC) = m(DCA) = o, ve m(ADB) = 20, (ADC üçgeninde dis açi) elde edilir.

~ Sonuç: Dik üçgenlerde dar açinin iki kati olan açiyi elde etmek için genellikleB D C kenarortay kullanilir.


A

B

DAC dik üçgeninde [AE] kenarortayi çizilirse

/'-. /'-. /'-.m(EAC) = m(ECA) = o, => m(AEB) = 20, olur.

m(ABC) = 2.m(ACB) = 20, oldugundan,

C m(ABE) = m(AEB) = 20, => IAEI = IAB i = 3 br ve IDCI = 2.IAEI = 2.3 = 6 br

ADC dik üçgeninden IDCl2 = IADi2 + IACl2 => 62 = 22 + IACl2 => IACI = 412 br

E) 60D) 45

ABC dik üçgen

[DH] 1.. [B C]

IAHI = IBHI/'-. /'-.

m(HDC) = 2.m(DHA)

C) 30B) 22,5A) 15

/'-.Yukarida verilenlere göre, m(ACB) kaç derecedir?

3.ABC dik üçgen/'-.

m(BAC) = 90°/'-.

m(BAD) = 15°/'-.

m(ACB) = 35°

IBCI = 12 br

CBD


A1.

A) 3 B)4 C)6 D) 8 E) 9

/'-.Yukarida verilenlere göre, m(AED) = ci kaç derecedir?

Yukarida verilenlere göre, m(ACS) = x kaç derecedir?

ABC üçgeninde

[AB] 1.. [AD]

m(ABC) = 22°

IACI = 9 cm

C IBDI = 18 cm

A

B

4.ABC dik üçgen

/'-.

m(ABC) = 70° ~IBDI = IDCI = IAEI .iej

A

B

2.

A) 45 B) 50 c) 55 D) 75 E) 80 A) 22

141

B) 36 C) 44 D) 48 E) 56

~


D[AB].L [BC]

[DC]..L [Bc]

6 IABI = 3 cm

3 iDCi = 6 cm

iBCi = 12 cmB p Cj..-------- 12 ·_---------~I PE [BC]

Yukarida verilenrere göre, IAPI + IDPI toplami en az kaç cm dir?

ro- açiklamali çözüm

6

D

.•...•.•..•.....

A.... ........•........3 ··"0.

.... ...."......... .....

Bi':! r.,c....P

3' 1.3

L::<: m ,A' 12 C

A nin BC ye göre simetrigi olan A' noktasi ile D yi birlestirelim. A' noktasindan BC ye bir

paralel çekip, DC nin uzantisi ile birlestirelim .

........."""'" ......•..

m(BCD) ile m(A'C'D) yöndes ~ m(A'C'D) = 90°

IA'Df = IA'C'i2 + IDC'i2

IA'Di2 = 122 + 92

IA'DI = 15 cm

D AB..L BC

DC..LBC

1. [AA'] ..Ld , [BB'] ..Ld

~"'f."'-_.,'J:·d ~;:~~,f~d dogrusunun farkli tarafinda bulunan A ve B noktalan

için IAPI + IPBI nin en kÜcÜk degeri kaç cm dir?

3.

A ••.••..'.... . .

...•.•......... .2 ••••••°°. o·

...•..•..••.

3 IABI = 2 br

IDCI = 3 br

iBCi = 12 br

A) 24 B) 20 C)18 D) 16 E) 12

A)13 B) 15 C)16 D) 18 E) 20

D)6J3 E) 12

~

C) 8

AiC

m(ACD)= 60°

B m(BDC) = 30°

~.J3 IACI = 8 cm~ IBDI=4J3cm• -DP ICDI = 16 cm

P E [CD] olduguna göre, IAPI + IPBI nin en kÜçük

degeri kaç cm dir?

A) 3J3 B) 4J3

4.

142

E) 30D) 26C) 24B) 20

7

A [AC]..L [CD]....

..•.••• [BD]..L[CD]

..•••••• B iACi = 7 cm

.•.••.• IBDI = 3 cm.... 3

••.•.••••.••. ICDI = 24 cmC P D P E [CD]

IAPI + IPBI nin en kücÜk degeri kaç cm dir?

A) 18

2.


c

B p

9

D

PEd

[AB] .i d ve [CD] .i d

IABI = 3 cm

ICDI = 9 cm

IBDI = 8 cm

d olduguna göre, IIPCI-IPAII nin en büyük degeri kaç cm dir?

açiklamali çözüm c c

IAci yi bulmak için A dan [CD] ye [AE] yi çizelim.

IACi2 = 62 + 82 => IAci = 10 cm olur.

9

.............

.....•...........

:..///B 8 D

Ayni soruda PE d degil de PE[BD] olsaydi.

iipci - IPAII nin en büyük degeri için P yi B noktasinin üzerinesabitlerdik. IPCI-IPAI = IBci - IAB I olur.

IBcf = 92 + 82 => IBCI = f145 cm

IPCI -IPAI = IBci - IABI = f145 - 3 cm

dp D

IIPCI - IPAII nin en büyük degeri için P, A, Cdogrusalolacak sekilde P yi sabitlemek gerekir.

Bu durumda ipci -IPAI = IACI olur.

Peki, Pe [BD] olmak üzere, IIPCI-IPAII nin en küçük degeri sorulsaydi ne yapardik? ©

A PE~~

16 \\. B ::~ ~ ~~:

\, ._,/, ../"', IBDI ~ 8 anICDI = 15 cmc P D

olduguna göre, IIAPI-IBPII mB kaç cm dir?

A) 17 B) 15 C) 12 D) 6 E) O(Hesapsiz, kitapsiz; sezgi ve zekanizia çözOnOz.)

3.

E) 5

KEd

D) 10

[AB].i d

[CD].i d

IABI = 7 cm

d ICDI = 2 cm

IBDI = 12 cm

C)12B) 13

\.\..

\....................•..• C•••••.•.•••.•••• 2

K DB

A

7

~---.---~12

Yukarida verilenlere göre, IIAKI-ICKII nin en büyükdegeri kaç cm dir?

A) 15

1.

143

C F D

olduguna göre, IIAFI-IFBII ~ kaç cm dir?

A)12 B)13 c) 14 0)15 E)16

~

4.

AD .iAB

BC .iAB

IABI = 4 br

IADI = 5 br

IBCI = 2 br

p

Sekildeki AB dogrusu üzerindeki degisken bir P nok·tasinin D noktasina ve C noktasina uzakliklari farki

(lPDI- IPCI) ~ kaç br olabilir?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

2.

dik üçgen

B' cYukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir? E) .J46D)2JITi

ABC dik üçgeninde

IADI = IDCj

IABI = 6 br

IACI = 10 br

C) -J34B) 3J3

A

~B x D - C

Yukarida verilenlere göre, 1801 = x kaç br dir?

A)4

5.ABC dik üçgen

IAB i = 7 br

iACi ve iBCi taryisayi

A

7

1.

A) 20 8) 22 C) 24 D) 25 E) 27

2. ABC dik üçgen

IABI = 5 br

iBCi = IACI + 1 br

Yukarida verilehlere göre, IACI kaç br dir?

6.

B

A

C

ABC dik üçgen

IBDI = iDCi = 10 br

IABI = 12 br

IECJ = 5 br

A)8 8) 9 C)10 D) 12 E) 13 Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç br dir?

A) 6 B) 8 C) 3/6 D) 413 E) 3/5


ABC dik üçgen

IADI = 13 br

IACI = 20 br

IBDI = 5 br

E) 6D)412

ABC üçgeninde

ADJ..BC

IACJ2-IABI2 = 9 br2

IBDI = 4 br

C

C)2/i

A

B) 5

B4 D x


A)2/5

7.

E) 8D) 9

c

C) 10B) 11

A

A) 12

3.

4.

D

ABJ..DB

ABJ..AC

iACi = 2 br

IDBI = 5 br

IABI = 24 br

8.

B

A ABC üçgeninde

AHJ.. BC

IACJ = .J67 br

IABI = 10 br

IBDI = 7 br

Yukarida verilenlere göre, IDCI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?

A)25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 30 A) 2.ft B) 5 C)2-J6 D) 2/5 E) 4

144

dik üçgen

A

Yukarida verilenlera göre, IAHI kaç br dir?

9. ABC dik üçgen

BH .LAC

IAB i = IBDI

IBHI = 8 br

B C IDCI = 12 br


13. A

~B~CH

ABC dik üçgeninde

AH.L BC

IABI = 4 br

IACI = 8 br

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8A)~

15B) 2

15C)~

15D)~

15E, 91-

J5


ABC dik üçgen

AH.L BC

IAHI = 8 br

iBCi = 20 br

IHCI > IBHI

D) 4J2 E) 8

C

C)2J6

n

A

B) 215

mB

ABC dik üçgeninde

AH.L BC

IAHI = h br

IBHI = m br

iHCi = n br

IABI = 4.[5 br

n = 2.h

Yukarida verilenlere göre, m kaç br dir?

A)4

14.

E) 8D) 6C)2J6B)4A)2../3

10. B

ABC dik üçgen

AH.L BC

IABI = 2.ff5 br

IHCI -IBHI = 2 br

11. A

B~C H


15. A

C

ABC dik üçgen

D E [Aci

IAB i = 12 br

iBCi = 16 br

A)5 B) 6 c)7 D) 9 E) 12Yukarida verilenlere göre, IBDI nin alabilecegi en kO

W tamsayi degeri kaç br dir?

A) 7,2 B) 8,4 C) 9,6 D) 12 E) 16

12. A

~B D C

ABC dik üçgen

AD.L DE

IADI = IBDI

IAEI = 12 br

IECI = 4 br

16. ABC dik üçgen

AH.L BC

m(ACB) = 30°

iACi = k·IBHI

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, k kaçtir?

A)3 B) 4 C)4J2 D)4../3 E)4J6 A)4 B) 213 C)3 D)2

145

dik üçgen


17. A

~ 3O"WB C


m(ABC) = 30°.........

m(ACB) = 15°

iACi = 612 br

21. A ABC dik üçgeninde.........

m(BAC) = 75°

iACi = 16 br

A) B B) 9 C)10 D) 11 E) 12 Yukarida verilenlere göre, B noktasinin AC kenarina

uzakligi kaç br dir?

A) 213 B) 4 C) 2,15 D)4n E) B


A D

,LSJ'6"3 C

ADJ..DC

m(MC) = 120°

m(DCA) = 60°

IABI = IACI

iBCi = 613 br

ABC dik üçgeninde

m(ACB) = 15°

IAB i = 4 br

A

4~B~C


22.

E) 3D) 213C) 2v'6B) 313A)6

18.

A) B + 4)3

D) 4 + 4)3

B) B + 2)3 C) 4 + B)3

E) 2 + 4)3



m(BAC) = 105°.........

m(ACB) = 45°

IACI = Bn br

E)B12D)10

ABC dik üçgeninde

AHJ..BC.........

m(ACB) = 22,5°

IAHI = 2n br

C) BB)4J2A)312

A

,~cH


23.

E) 16nD)16C) B13

A

B) BnA) B

19.

24. A

ABC dik üçgeninde......... .

m(BAC) = 3.m(ACB)

IAB I = 6 br

C

A) 12 + 612 B) 6 + 612 C) 6 + 312

D)3 + 612 E) 3 + 312


E)6J7

.........

m(ABC) = 150°

IAB i= 613 br

IBCI = 6 br

ABC üçgeninde

C6


A)4J7 B)B12 C) 1012 D)4J15

20. A

146

dik üçgen

25.

D

A ABC dik üçgen

A, B, D dogrusal

IADI = IBEI = iECi

C m(ACB) = 20·

.....•..

Yukarida verilenlere göre, m(AOE) kaç derecedir?

A)40 B) 50 C) 55 D) 60 E)70

C·

26. A

8 \'\... B

". . ·············4

.•••••••..••.•• • DP

AC..LCD

BD..LCO

IBDI = 4 br

IACI = 8 br

ICDI = 16 br

P E [CD]

Yukarida verilenlere göre, IAPI + IPBI nin en kücük

degeri kaç br dir?

A) 12 B) 16 C)18 D) 20 E) 24

AC..Ld

BD..Ld

PEd

8 \\\........... ••••• ••••.• B•.•••••.•••••.•.• 4

IACI = 8 br

IBDI = 4 brd

C P D ICDI = 6 br

Yukarida verilenlere göre,liAPi - IBPII nin en büyükdegeri kaç br dir?

27. A

A)4J3 B)2m C)8 D) 6J2 E)6J3

147

dik üçgen

1.

AABC dik üçgen5.

~

ABC dik üçgen

~

AHol BCADol DE

...•.•.•.••

...•.•.•.••

m(BAN) = m(NAC) IBEI = IECI = 2 br

IABI = 3 br

IADI = 1 br70·

S

2 E2C...•.•.•.••

S H N CIACI = 4 br m(ABC) = 70·

...•.•.•.••Yukarida verilenlere göre, IHNI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, m{DAC) kaç derecedir?

A)~

B)~C)~D)~E) .2-A) 15B) 22,5C) 30D) 40E) 4535

12743

6.

AABC dik üçgeninde

2.ABC üçgeninde

~

...•.•.•.••A m(AEB) = 90·

ABol BD

...•.•.•.••...•.•.•.••

m(BAE) = m(ABC)IADI = IDCI

IBCI = 10 brIBDI = 6 br

S 10 CIAEI = 2 brIBCI = 13 br

Yukarida verilenlere göre, A noktasinin BC ye uzak-olduguna göre, IABI

Iigi kaç br dir?C

kaç br dir?A)3

B) 4C)2J3D)3J2E)2.f5

A) 12

B) 9C)8D)6E) 5

7.

3. ABC üçgeninde

~A ADolAC

~ ...•.•.•.••

bi m(BAD) = 45·

~ m{ACb) = 15·S D C A(ADC) = 18 bi2


A

~S 1 H 3 C

...•.•.•.••

m(ABC) = m(ACS) + m(HAC)2

ABC üçgeninde

AHol BC

IBHI = 1 br

iHCi = 3 br

A)9 B) 8 C)6 D)4 E) 3...•.•.•.••

Yukarida verilenlere göre, m{ACB) kaç derecedir?

A) 1,5 B) 22,5 c) 30 D) 45 E) 60

A ABC dik üçgen

~ ...•.•.•.••

m(BAC) = 90°

x AHol BC...•.•.•.•• ...•.•.•.••

~C m(BAH) = m(KAC)B 1 H 2 K IBHI = 1 br

IHKI = 2 br

Yukarida verilenlere göre, IAKI = x kaç br dir?

8.ABC üçgeninde

IABI = IADI ~...•.•.•.••A ..:(

m(ADB) + m(C) = 90· jIBDI=2br

C IDCI = 8 br

A

S 2 D 8


4.

A) 2J3 C) 3Y'2 D) 2J5 E)4 A) .J6 B) 3Y'2 C)2J3 D)4 E) 3

148

dik üçgen


A) 6 B) 4.J3 C) 4J2 D) 5 E) 316

olduguna göre,

IDCI kaç br dir?

ABC D dik yamuk

IABI = IADI = 12 br

iBCi = iDCi + 6 br

E) 7D)6

B

C)5B)4A)3

13.ABC dik üçgen

AHJ..BC

AD /i BC

m(ADC) = 135°

IBHI = 2 br

iHCi = 8 br

A D

~B 2 H 8 C

9.

Yukarida verilenlere göre, IKHI kaç br dir?

ABC D dikdörtgen

DB ri CK = {H}

KC J.. BD

IDHI = 8 br

IBHI = 2 br

ABC üçgeninde,

AHJ..BC

IABI = 5 br

IACI = 7 br

IBCI = 6 brC

A

B


A) 1 B) 2 C) ~ D) J2 E) .J32

14.

E)4D).J3B) 2A) 1

11.

B

[AD] ve [AE]

ABC üçgeninin iç ve

dis açiortayiaridir.

IADI = 3 br

E IAEI = 4 br


c~ IACI=.ff7bri~ ;~ei,e V<BI'·m~-B a C

Yukarida verilenlere göre, [AD] nin BE üzerindeki dik

izdüsüm uzunlugu kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IBCI = a kaç br dir?

A)~15 B)~5 C) 2../3 D)3 E)../3

A)5 B) 6 C)7 D)8 E) 9

A

~B4H1E 8 C

ABC ve BDE

dik üçgen

AH J.. BC

IBHI = 4 br

IHEI = 1 br

IECI = 8 br


16.

dik üçgen

ABC veADC

~IAEI = IECI ~

BEJ..AD ~C.......... .m(ABE) = 2.m(BCD)

IABI = 6 br

A

B

D


12.

A)6 B)4.J3 C) 4J2 D)9 E) 12 A)3 B)4 C)5 D)6 E) 7

149

dik üçgen


A)12 B)6+6J2 C)6+6J3

1. A

A)612

c

B) 513 C) 4/6

ABC dik üçgen

IACj = 19 br

IBCj=1?br

olduguna göre,

IABI = x kaç br dir?

D)512 E)?

5. A

~B H C

D)18

ABC dik üçgen

AH..LBC

HD..LAC

IBCI = 41AHI

IHDI = 6 br

E) 24

ABC dik üçgen

IBDI = 3 br

IDCj = 4 br

IADI ve IACI tamsayi

C

A


6.

ABC dik üçgen

IDBI = IDCI = 6 br

IBCI = 10 br

E) 2:2C)~2B)3

~B 10 C


A)2

2.

A)8 B) 9 C)10 D) 11 E) 12

3. A

~B 2 H C

ABC dik üçgen

AH..L BC

IAHI = 4 br

IBHI = 2 br

7.

/\SJ'B 2 D 8 C

ABC dik üçgen

IABI = IADI

IBDI = 2 br

IDCj = 8 br

IAEI = 3J7br

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IECI kaç br dir?

A)4J3 B) 4J5 C)3.J6 D) 8 E) 9 A)2J3 B) 2/6 C) 312 D) 313 E) 412

ABC dik üçgen

IBCI = 51BHI

IAHI = 6 br

~B x H C

Yukarida verilenlere göre, IBHI = x kaç br dir?

8.ABD ikizkenar

dik üçgen

IBEI = IEDI

A, D, C dogrusal

IABI = IADI = IECj

A

B

C

Yukarida verilenlere göre, meDE'C) kaç derecedir?

4.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30 A)2 B) 3 C)4 D) 313 E) 412

150

dik üçgen

9. A

c

ABC dik üçgen

iBCi = 13 br

IACI ve IABI tamsayi

olduguna göre,

IACI = x kaç br dir?

13.

A

D

C

DBC dik üçgen

AB II OC

IADI = IDBI = x br

IABI = 2 br

iDCi = 10 br

Yukarida verilenlere göre, x kaçtir?A) 71 B)73 C) 76 D) 84 E) 85

B) 2/2 c)3 E) 213

D

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç br dir?

10.

s

A ABCveADC

dik üçgen

IAEI = IBEI

IABI = 4 br

IACI = 6 br

14. A

~S 2 E x C

ABC üçgeninde

AE..LBC

IBDI = IDEI = 3 br

IBEI = 2 br

m(ABC) = m(EAC)

c) 3,/2 D)2.J3 E)3 A)12 B) 14 C)15 D) 16 E) 18


~AH..LBC

D E IADI = IDBI

IAEI = IECI

SH C IDHi2 + IEHi2 = 9 b~


15.

~A E ~:~~i~D~gen

• BE..LAD

~ IBCI=12brS D C m(ACB) = W

12

A)4 B) 5 c)6 D) 8 E) 9Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç br dir?

A)3 B) 213 C) 3/2 0)4 E) 5

Yukarida verilenlere göre, IABI orani nedir?IBCI


A) Ji9 B) J21 c) J22 D) J23 E) 216

ABC üçgeninde..•••.....

m(DAC) = 90°

IADI = 4 br

IBDI = 1 br

m(ACB) = 30°

A

~S 1 D C

16.

ABC dik üçgen

IADI = 2 br

IDCI = 9 br

IBDI = 3/2 br

C

C)~3B)~3A)~2

12. A

151

dik üçgen

E) 6,4D) 6,2

Sekilde kenar uzun·

luklari verilen dik

üçgende A nokta

sinin [BC] ye uzak

ligi kaç birimdir?

C

C) 5,4B) 5,2A) 4,8

5.ABC üçgeninde

IABI = IADI = 9 cm

IACI = 13 cm

c

A

B D

Yukarida verilenlere göre, IDCI.IBCI kaç cm2 dir?

1.

A) 72 B) 76 C) 82 D) 88 E) 96

ABC dik üçgen

[AD].L [Bc]

h = b2.c4

C

A

B D

Yukarida verilenlere göre, IACI.IBCI kaç birim karedir?

6.

ABC dik üçgen

[AD].L [DE]

IDEI = IECI

IABI = 4 cm~B D C

2.

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç cm dir? A)2 B) 4 C)6 0)8 E) 12

A) 2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6

cYukarida verilenlere göre, ilorani kaçtir?

3.

B

A ABC dik üçgen

[AH].L [BC]

IACI - IABI = 6m br

IHCI = 16·IBHI

olduguna göre, IBHIC

kaç cm dir?

7. A

B

ABC dik üçgen

IABI = c br

IACI = b br

IBCI = a br

a2 + (b + C)2-~~--2b4c

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5 A)~2

B) 2 C)~2

D)~3 E) 3


ABC dik üçgen

IAB I = 12 cm

IADI = 10 cm

IBDI = IDCI

PE (BC)CB

Yukanda verilenlere göre, IAPI nin alabiiecegi en küçük

ve en büyük tamsayi degerleri toplami kaç cm dir?

8.

ABC üçgeninde

[BH].L [ACi

IBHI = IACI

iHCi = ncm.......••

m(ACB) = 67,5°C

A

B

4.

A) 3 B)2n C)2 D) n E) 1 A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

152

dik üçgen

AABC üçgeninde

[ED].L [AB]

[DF].L [AC]

IAEI = IEBI

lAFi = IFCI

IEDI = 4J2 cmC

IOFI = 6 cm


13.

E) 16D) 12C)10B) 8

A ABC dik üçgen

OF II BC

[BE] açiortay

IADI = IDBI

lAFi = 8 cm

IFEI =4 cm

Yukarida verilenlere göre, IBFI = x kaç cm dir?

A)6

9.

A) 2J15 B) 2m C) 7 D) 4m E) 4fi9

D) 2ff5 E) 6J2C) 3""5

Yukarida verilenlere göre, IBDI = x kaç cm dir?

A) 2fi5 B) 4J3

14. ABC üçgeninde

m(MC) = 120·

[AD].L [AC]

IABI = JACI

IACI = 12 em

E) 162D) 176C) 180B) 192

A

A) 198

ABC dik üçgen

[AH].L [BC]

[DH].L [AB]

[HE].L [AC]

IECI = 9 br

B H C IDBI = 2 br

IDHI = a br, IEHI = b br, olduguna göre, a3 + b3 kaç br3dir?

10.

ABC dik üçgen

[BE].L [Oc]

m(ACD) = 30·

m(DCB) = 15·

IBEI = 2 em

CB

Yukanda verilenlere göre, IADI = x kaç cm dir?

x

15. A

E) 4,2D) 4C) 3,8

x D [AD] ii [BC]

[AB].L [Bc]

[BD].L [OC]

IDBI=6em

C iDCi = 8 cm

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç cm dir?

A) 3,2 . B) 3,6

A)4J2 B)4J3 C) 3""5 D) 2ff5 E) 6J2

ABC ve BDC

dik üçgen

[AH].L [BC]

IBHI = IBDI

IABI = 8em

olduguna göre,

IDCI kaç cm dir?

C

A

D

16.

A ve B noktalarinin d

dogrusundaki izdü

sümleri sirasiyla A' ve

Bidür.8 B! lAA'1 = 8 em

p !3 IBB'I = 3 em

Ai B' ~ diA'BII = 4J3 em

P e d olduguna göre, IAPI + IBPI toplami en az kaç cmdir?

12. A

A)12 B) 13 C)14 0)15 E) 16 A)10 B) 12 C) 13 0)15 E) 16

153

BÖLÜM 5ikizkenar ÜçgenKÖSETASi KAZANiMLAR

i.

2.3.4.5.6.7.8.9.

":

10.

11.12.13.

Simetri kavramini açiklar.

Ikizkenar üçgen i tanimlar.

Tepe noktasindan dik indirmeyi kavratir.

Ikizkenar üçgene ait bir özel duriimu vurgular.

Üçgenin yardimci elemanlarindan açiortay, kenarortay ve yüksekligin çakisma durumunu vurgular.

Önceki kösetasindaki durumla karsilasildiginda ögrenciye ek çizim yaptirir.

Ikizkenar üçgende tepe noktasindan indirilen yüksekligin tabani iki esit parçaya ayirdigini vurgular.

Ikizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan yanal kenarlara çizilen iki paralelin uzunluklari toplaminin ikizkenar üçgenin bir yanal kenarina esitligini gösterir.

Ikizkenar üçgende taban üzerinde alinan bir noktanin yanal kenarlara uzakliklari toplamininyanal kenarlara ait yükseklige esit oldugunu gösterir.

Ikizkenar üçgende tabanin uzantisi üzerinde alinan bir noktanin yanal kenarlara uzakliklarininfarkinin üçgenin bir yanal kenarina ait yüksekligine esit oldugunu gösterir.

Ikizkenar üçgende yanal kenarlara ait yüksekliklerin birbirine esit oldugunu gösterir.

Ikizkenar üçgende taban açilarinin açiortay uzunluklarinin birbirine esit oldugunu gösterir.

Ikizkenar üçgende yanal kenarlara ait kenarortay uzunluklarinin birbirine esit oldugunu gösterir.

14. Ikizkenar üçgen de karisik uygulamalar yapar.

15. Muhtesem üçlünün olusturabilecegi ikizkenar üçgenleri vurgular.

ikizkenar üçgen

Ikizkenar üçgen, tepe noktadan indirilen yükseklige göre simetriktir.

8

taban açisi

~ BC II AD ise,/..•.•..•.

..•.•..•...•.•..•.

m(EAO) ::: m(OAC) ::: m(ABC)

a

BC

~

A

IABI::: iACi iseh ::: h

b cn ::: n

b c

V :::Vb c8

C

~

A

IABI::: IACI, OF ii AC, EF II AB ise,10BI::: 10FIIEFI::: IECI

AIABI::: IACI. DK 1. AC, OH 1. AB, BL 1. AC ise,

IBLI ::: 10HI + 10KI

c~ IAB i :::IACi, DK 1. AC, OL 1. AB, HC 1. AB ise,IHCI ::: 10LI- 10KI

8

D

160

kösetasiikizkenar üçgen

1.

2.

d

Yukaridaki seklin d dogrusuna göre simetrigini aliniz


d

d

Yukaridaki seklin d dogrusuna göre simetrigini aliniz.

d


3.

4.


d


161

köse/asiikizkenar üçgen

s

A

c

ABC üçgen

IABI = x + 6 cm

iBCi = 2x + 1 cm

iACi = 3x - 2 cm

ABC ikizkenar üçgen olduguna göre, x in alabilecegi degerlerin toplami kaçtir?

açiklamali çözümA Herhangi iki kenan esit olan üçgenlere iKizKENAR ÜÇGEN denir. Esit olan kenarlara

YANAL KENARLAR, üçüncü kenara da TABAN denir. Esit kenarlar karsisinda esit

açilar bulunur. Bu açilara TABAN AÇiLARi denir. Yandaki sekilde IABI = iACi oldugun

dan [AB] ve [AC] yanal kenarlar, [Bc] taban, B ve C açilan taban açilan, A açisi ise tepe '

açisidir.

m(S) = m(C) dir.

x in alabilecegi degerler toplami = 4 + 5 + 3 = 12 dir.


ABC ikizkenar üçgen oldugundan herhangi iki kenan esit olmalidir. Bunun için üç durum vardir:

1. IABI = IACI => x + 6 = 3x - 2 => x = 4 ~B 9 C

2. IABI = IBCI => x + 6 = 2x + 1 => x = 5 ~B 11 C

A

3. IACI = IBCI => 3x - 2 = 2x + 1 => x = 3 ÜB 7 C

1. AABC ikizkenar üçgen3. ABC üçgeninde

IACI = x + 6 cm

IABI = IACI"'-

IABI = x + 7 cm m(A) = 36·"'-

IBCI = 2x - 1 cm m(B) = 3x + 30·"'-

ABC üçgeninin taban m(C) = 2y + 20·

S

Ckenarinin uzunlugu kaçSC

cm dir? Yukarida verilenlere göre, x + y toplami kaçtir?A)7B) 8C) 130)14E) 15

A)30B) 35C) 360)40E) 44

2.

AABC ikizkenar üçgen

~..........~m(BAC) > 90·

ABC açisinin

ölçüsü- ~

nün tamsayi degeri en~ kaç derece olabilir?

4.ABC, ikizkenar bir üçgen olup kenar uzunluklari birertamsayidir. Çevre(ABC) = 16 cm olduguna göre, kaçS

C farkli ABC üçgeni vardir?

A)42

B) 43C) 440)45E) 46 A)2B) 3C)40)5E) 6

162

IDlelDlsl

kösefasiikizkenar üçgen

~B 2 O 8 C

ABC dik üçgen

IABI = IAOI

IBOI = 2 cm

10CJ = 8 cm



A

~B1H10 8 C

B

A

c

Bir ikizkenar üçgende tepe noktasindan tabana indirilen yükseklik ayni zamandakenarortay ve açiortaydir.

Taktik: ikizkenar üçgen görüldügünde tepe noktasindan tabana yüksekligi indiriniz.


ABD ikizkenar üçgeninde [AH] yüksekligi çizilir.

IBHI = IHOI = 1 cm

ABC üçgeninde Öklit kurali uygulanirsa

x?- = ICHI . ICBI

x2=9.10

x = 3J1O


~B 4 o 16 C


D) J89 E) J91

ABC üçgeninde

IAB I = IACJ = 13 cm

IBOI = 4 cm

10CI = 20 cm

C) 6.J2

A

B) 8

B

A) 3,16

3.

0)6.J2 E)8

ABC dik üçgen

IABI = IAOI

IBOI = 4 br

10CJ = 16 br

C) 2J1OB)4.fiA)4

1.

2. A, ABC üçgeninde

4.A

ABC üçgeninde

IABI = IAOI = 5 br

~IABI = IAOI = 6 cm

IBOI = 6 br

~ IACJ = 8 cm

10CJ = 3 br

]10CJ = 4 cm

B

C

C

x

Yukarida verilenlere göre, iACi = x kaç br dir?

A)2m B) 7 C) 4.,13 D) 315 E)2J11

163


A) 3 B) !-. C) 4 D) ~ E) 62 2

~


c

ABC üçgeninde

IABI = IACI = 9 cm

IADI = 2ff5 cm

iDCi = 7 cm

olduguna göre, IBDI = x kaç cm dir?


cB

Önceki kösetasinin aynisi. Bilinmeyenlerin yerinden kaynaklanan islem kalabaligini ortadan kaldirmak için kendim kullanmasam da bir formül vermek istiyorum.

Önceki kösetasindaki gibi çözelim:

A [AH] çizilir, tabani iki esit parçaya böler. iBCi = 7 + x ise

7+x 7-x

iHCi = -2- ve IDHI = -2- olur.

Çifte Pisagordan

(2.J15)2_(7;Xr =92-(7;Xr =IAHf

60- 49-14x+x2 -81 49+14x+4x2 => 49+14x+x2 -49+14x-x2 -214 4 4

28x = 84 => x = 3

Simdi formülü verelim: IADi2 = IABi2 -IBDI.IDQ

(2ff5)2 = 92 - 7x => 3 = x

Yukaridaki çözüm ayni zamanda ispat kabul edilebilir.

E) 8D)7

ABC üçgeninde

IAB I = IACI = IDCI = 9 cm

51ADI = 61BDI

olduguna göre,

IADI = x kaç cm dir?

C)6

A

B) 5

B

A)4

3.ABC üçgeninde

IABI = IACI

m(BAC) = 120°

IDCI = 21BDI

c

A

BD

•...•.•..•

olduguna göre, m(BAD) kaç derecedir?

1.

ABC ve BDC üçgen

ABl..AC

IABI = IAEI = J35 cm

clBDI = IDCI = 9 cm

IDFI = 2ff5 cm

IFCI = 3 cmD

Yukarida verilenlere göre, IEFI = x kaç cm dir?

B) 22,5 C) 30D) 40E) 45

A

ABC üçgeninde

IABI = IACI = 6 cm

4.A

IADI = 312 cm

~IBDI = 21DCI

~~

B..i:(

C

B

A)15

D

Yukarida verilenlere göre, IBel kaç cm dir?

2.

A)6 B) 9 C) 3Jfö D) 10 E)6J3 A) 1 B) 12 C) J3 0)2 E) 3

164


A

B

ABC üçgeninde------ ------

m(BAF) = m(FAD)

IBDI = 21FDI

AF II DE

IABI = 8 cm, lAFi = 2.ft cm, IDEI = 5 cm

Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç cm dir?


B

B

A

c

Bir üçgen in üç tane önemli yardimci elemani vardir.

Bunlar: 1) açiortay, 2) kenarortay, 3) yükseklik

Bir dogru parçasinin bu yardimci elemanlardan herhangi ikisi oldugu fark edildiginde yada verildiginde üçüncüsü de oldugu anlasilir.

Örnegin; Yandaki ABC üçgeninde [AD] nin açiortay ve kenarortayoldugu verilmis.Belirtilmemis olmasina ragmen [AD] nin yükseklik oldugu, ABC üçgeninde IABI = IACIoldugu görülmesi gerekiyor.

ABD üçgeninde [AF], hem açiortay hem de kenarortay oldugundan ayni zamanda yüksekliktir de.

AF II DE oldugundan m(BDE) = 90°"""'"

ABF de Pisagordan IBFI = 6 cm

x2 = IBDi2 + IDEi2 ::::> x = 13 cm

Yukarida verilenle ra göre, IACI = x kaç cm dir?

ABC dik üçgen

BD..LAC

EF..L BD

IBFI = LFOI

IEDI = 3 br

C IBC! = 8 br

A

8


3.

------ ------

m(BAH) = m(HAC)

IBDI = 3 cm

IDHj = 2 cm

IADI = 2J15 cm

ABC üçgeninde

AH..LBC

c

A

B

1.

A)8 B)9 C)10 D) 11 E) 12A)16 B) 14 C)12 0)10 E)9


IABI = 5 br

IBC! = 6 br

ABC üçgeninde

[AD] açiortay------ ------

m(EAC) = m(ABC)

AE II BC

C

E

D


A) ~ B) 3 C) 213 D) 4 E) 3!22

4.

E) 30D) 28

ABC üçgeninde------ ------

m(ABD) = m(DBC)

IADI = IDC!

IBDI = 20 cm

IEDI = 12 cmc

C) 26

A

B) 25

B

A) 24

2.

165

köse/asiikizkenar üçgen

A

B

ABC dik üçgeninde

DEl.BC

IBEI = IEC!

IADI = 1 br

c iDC! = 2 br

•........


açiklamali çözümBu kösetasi, bir önceki kösetasinda vurgulanan (üçün ikisi ise, mecburen üçün biridir.) kuralinin bir uygulamasidir. Buradatamamlayici dogru parçasini ögrencinin çizmesini bekliyoruz.

Kösetasinin çözümü

A

B

[BD] çizilirse

[DE] nin DBC üçgeninin hem yüksekligi hem de kenarortayi oldugu görülüyor.

Demek ki DBC üçgeninde IBDI = IDC! = 2 br dir.

ABD üçgeninin (30°, 60°, 90°) üçgeni oldugu IBDI = 21ADI olmasindan anlasiliyor.

1. AABC üçgeninde3.A ABC üçgeninde

ABl.BC

[AD] açiortay.••...•..•

.........

DEl.AC m(ACB) = miBCD)BIADI = IDC!

ADl.DC

IABI = 4 br

IAC! = 5 brC

IBC! = 8 brC

IDC! = 2 br

Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç br dir?

A) 4 B) 5 C)6 0)7A)3 B) 4 C)~

4D) 24

7E)~

9

(Çözemediyseniz aç/ortay teoremini ögreniniz.)

Yukarida verilenlere göre, IAB i = x kaç cm dir?

[BD] açiortay

ABl.AD

BOL. OC

IABI = 4 cm

IBC! = 5 cm

B

C


4.

ABC dik üçgen

DEL. BC

IBEI = IEC!.........

m(ACB) = 15°

C iDC! = 6 cm

A

B

2.

A)2 B) 3 C) 3,2 D) 3,6 E) 4

166

A)2 B) 3 C) J6 D)2../2 E) 13

~


ABC üçgeninde

IABI = IACI

AH..LBC

OF..L BC

IDEI = 10 cm

C IEFI = 4 cm

D

BH F



D IABI = IACI ~ m(S) = m(C) = ci

B

/'-..m(FEC) = 90 - ci = [3olsun

m(AED) = m(FEC) = [3 (ters açilar)

m(BDF) = 90 - m(DBc) = [3(DBF üçgeninden)

/'-.. /'-..m(AED) = m(BDF) = [3 ise IDKI = IKEI = 5 cm

CAK II HF ~ IAHI = IKFI = 9 cm

Yukarida verilenlere göre, IFEI = x ,kaç cm dir?

ABC üçgen

m(FBC) = m(ACB)

AH..LBC

FD..L BC

IAHI = 8 cm

IDEI = 2 cm

E) 8D)7

ABC üçgeninde

[AH] hem açiortay

hem de yüksekliktiL

DF..LBC

IEDI + LFOI = 12 cm

C)6

F

B) 5

B, A, F dogrusalolduguna göre, IAHI = x kaç cm dir?

A)4

3.

E) 12D) 11C)10B) 8A)6

1.

2. DABC üçgen 4.

FABC üçgeninde

/'-..

/'-..IABI = IACIm(DBC) = m(ACB)

WCl = 2 cm

~ IFEI = IBDI

IBFI = 6 cm

~FD..L BC"-

IADI = ro cm

JJlAFi = 10 cm

B

C IDCI = 4 cm

B 6 F 2 C

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IFEI = x kaç cm dir?

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8 A)10 B) 12 C)15 D) 16 E) 18

167


B

A

c


IABI = IACI = 11 br

[DE]!! [AB]

[OF]!! [Aci

IDEI -IDFI = 3 br

olduguna göre, IDEI = x kaç br dir?

açiklamali çözümikizkenar üçgende taban üzerindeki bir noktadan yanal kenarlara çizilen

iki paraleHn uzunluklari toplami ikizkenar üçgenin bir yanal kenarina esittir.

A

NEDEN?

A

D

DE II AB => m(EOC) = m(€) yöndes

=> m(EOC) = m(C)

IDEI = lEq bulunur.

DF /1 ACi~=>IDF I=IAE iDE i/ ABJ

IDFI + IDEI = IAEI + lEq

IDFI + IDEI = IACI bulunur.

Sekilde IDEI + IDFI = IABI = IACI


x+y= 11

+x-y=3

2x = 14x=7cB


IAB I = IACI

m(BAC) = 120·

[DE]!! [AB]

C [OF] i- [AB]

IDEI = 6 br

IDFI = 2J3br

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir?E) 5P)4C)3B) 2A) 1


1. AABC ikizkenar üçgen3.

....•••..m(BAC) = 120·

[DE] ii [AB][OF]!! [AciB

CIBCI = 9)3 brB

IDFI = 5 br

A)B B) 9 C)10 D) 11 E) 12

A

....•••..

m(ABC) = 60·

IABI = IBCI

[OF]!! [AB]

[DE] i- [AB]

IDEI = 2)3 br

IDFI=Bbr

C

A

F


B

4.ABC ikizkenar üçgen

IABI = IACI....•••..

m(BAC) = 45·

[DE]!! [AC]

[OF] i- [ACi

IDEI = 6 br

B D C IDFI = 3J2 br


2.

A)9 B) 10 C)12 0)13 E) 14

168

A) B)3 8)9 C)12 D) 14 E) 15

~



B

IAB i = IAci

m(BI\C) = 45°

[DE]L. [AB]

[DFlL. [AC]

IABI = 6n br, IDEI = 2 br

olduguna göre, IDFI kaç br dir?


IDFI = INH!

IDEI = IBNI

IDEI + IDFI = IBNI + INH!

IDEI + IDFI = IBHI

ikizkenar Oçgende taban Ozerinde alinan bir noktanin

yanal kenarlara uzakliklari toplami yanal kenarlara ait

yOkseklige esittir.


IABI = IACI ise IDEI + IDFI = IBHI = ICKI dir.

Kösetasinin çözOmO:

m(A) = 45° ise AHB ikizkenar dik üçgendir.

i BH i = i AB i = 6.J2 = 6br.J2 .J2

IDEI + IDFI = IBHI

2 + IDFI = 6 => IDFI = 4 br

NEDEN?

A

D

DK II AC çizelim

BH 1. AC ~ BH 1. DK

c

D) 4J3 E) 4,,16

ABC üçgeninde

IABI = IBci

[DElL. [BCl

IADI < IDCI

IDEI = 3 br.r--.

m(ABC) > 45°

[AB] = [Aci, [DH]L. [Aci

[DF]L. [AB], [BElL. [ACi

IBEI = 8 br

IDFI = 5 br

IHci = 4 br


c

C)6

A

B)4n

B

B

Yukarida verilenlere göre, IABI nin alabilecegi ~

~ tamsayi degeri kaçtir?

D


A)5

3.

4.

D) 5J3 E)3J5

Sekilde IABI = IAci

m(BI\C) * 90°

[DF]L. [AB]

[DElL. [AC]

IDFI = 4 br

IDEI = 2 br


IABI = IAci.r--.

m(ABC) = 75°

[DFlL. [AB] , [DE]L. [Aci

IDFI = 3 br

IDEI = 2 br

c

c

C) 10

A

A

B) 12

B

B

D

Yukarida verilenlere göre, IABI nin alabilecegi ~

kOcOk tamsayi degeri kaç br dir?

D


A) 13

2.

1.

A) 5 B) 6 C)7 D) 8 E) 9 A) 7

169

B) 8 C)9 D) 10 E) 12

~



F

A

B

IABI = IACJ

m(ABD) = 30·

[DE] 1. [AB]

D [OF] 1. [AF]

IDEI = 8 br

IDFI = 2 br


'" açiklamali çözümA

D

ikizkenar üçgendl:i tabanin uzantisi üzerinde alinan O noktasinin yanal kenarlara

uzakliklarinin farki üçgenin bir yanal kenarina ait yüksekligine esittir ..•.

IABI = IACI ise IDEI -IDFI = ICHI dir.


IHCJ = 8 - 2 = 6 br

BHC dik üçgeninde, m(HBc) = 30· oldugu için, IBCJ = 12 br olur.


ABC dik üçgen

[CF] 1. [AD]

[BD] 1. [AD]

C IAEI = IACJIFCJ = 4 br

IBDI = 2 br

D) 812 E) 10

ABC üçgeninde

IABI = IACJ

OF 1. AB

DE .LAE

D m(BAC) = 45·

C) 612B) 8

A

B

A)6

E

IOFI-IDEI = 4./2 cm olduguna göre, IABI kaç cm dir?

3.

E) 50)6C)7

A

B) 8

D

B

A) 12

1.

F

2. ABC ikizkenar üçgen

m(BAc) = 30·

IABI = IACI

[DE] 1. [AB]

[OF] 1. [AF]

D IABI = 12 br

IDEI = 8 br

Yukarida verilenlere göre, IOFI kaç br dir?

4. ABC ve FBE üçgen

IABI = IACJ

AD 1. DE, BF 1. FE

m(BAD) = 120·E

2 IBCI = 12 cmD

IDEI =2 cm

Yukarida verilenlere göre, IFEI = x kaç cm dir?

A)1 B) ~2

C) 2 D)~2

E) 3 A) 6-/3 B) 8 C) 812 0)9 E) 12

170


ABC üçgeninde

AD..LEC

IBDI = IDEI = 6 cm

IAEI =4 cm

IDCI = 10 cmc

A

B6 D 10


açiklamali çözümA Ikizkenar üçgenin tepe noktasindan indirilen yükseklige göre simetrik oldugu ilk köse

tasinda vurgulanmistl. Sagdan yapilan her seyle soldan yapilan her sey birbirine esittir.Ikizkenar üçgende yanal kenarlara ait yükseklikler esittir.

IAB i = IACI => IDCI = IBEI ve IADI = IAEI ve IDBI = IECI


EDC üçgeninde Pisagordan iECi = 8 cm

ADC üçgeninde IADI = IDCI oldugundan IAKI = iECi = 8 cm ve IDKI = IEDI = 6 cm

x2 = iBKi2 + IAKi2

x2 = 122 + 82

x=4fi3

Yapilan temel islem nedir?C

Yanal kenara ait diger yüksekligi indirmektir.

-Yukarida verilenlere göre, m(EOB) = x kaç derecedir?

1.

B

A

C


[BH]..L[AC]

IABI = IACI

IDCI = 21BHI

m(BAC) = W..........

m(BKC) = x

3. A ABC üçgeninde..........

m(BAC) = 30°

BH..LAC

IAEI = IAHI

IABI = IACI = 12 cm

D ICDI =6 cm

..........

Yukaridaki verilere göre, m(BKC) = x kaç derecedir?A)6 B) 7,5 C) 10 0)15 E) 30

A) 95 B) 105 C) 120 D) 135 E) 150

A ADC üçgen

IABI = IACI

IBHI = IBDI + IHCI

BH..LAC..........

m(HBC) = 24°

D -Yukarida verilenlere göre, m(BCD) = x kaç derecedir?

4.

A

B

ABC üçgen

IABI = IBDI

ED..LAB

IAEI = 3 br

IEDI = 5 br

C IDCI = 9 br


2.

A) 13 B) 15 C)17 D) 18 E) 20 A)15 B) 18 C) 21 0)24 E) 36

171


'~.


B c

IABI = IACI

[BD] ile [CE] açiortay

ICKI = 31KDI

iDCi = 6 br

olduguna göre, IBCI kaç br dir?

açiklamali çözümIkizkenar üçgende taban açilarinin açiortay Açiortaya gelmeden haydi çabucak

uzunluklari esittir. ögrenelim

B

B

A

A

c

c

IBDI = ICEI

IKDI = IKEI

IKBI = IKCI

Kösetasinin çözümü

ICKI = 3·IKDI

ICKI = IBKI = 3·IKDI

DCB üçgeninde açiortay teoremi uygulanirsa.

ICDI = IKDIICBI IKBI

6 1-- = - => i CB i = 18 brICBI 3

B

c m-=-b n

Bu kadaaar :))

A

c

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin en küçük tamsayi

degeri kaç br dir?


IABI = IACI

[BD] ile [CE] açiortay

IBKI = 6 br

D) 6)2 E) 6../3C) 4../3B)6


IAB I = IBCI/"-..

m(ABC) = 120°

[AD] açiortay

IADI = IECIC

IKCI = 12 br

Yukarida verilenlere göre, A noktasinin EC ye uzakligi

kaç br dir?

A)4

3. A

E) 11D) 10C)9

A

B) 8

B

A)?

1.

ABC ikizkenar üçgen,

IABI = IACI

IBCI > iACi

[BD] açortay

IBHI = IHCI

C IDCI = 6 br

A

BH

olduguna göre, IBEI nin en küçük tamsayi degeri kaçbr olabilir?

4.A

B

ABC ikizkenar üçgen/"-..

m(BAC) = 100°

IABI = IACI

[BE] açiortay

IADI = IAEI

[FH] 1. [Bc]C

IFEI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IFHI kaç br dir?

2.

A)3 B) 2../3 C) 3)2 D)3../3 E)4)2 A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8

172

----_. --_ ..._-------------_. . .---------------_.----------

ki)setasiikizkenar üçgen

/

B c


IABI = iACi

[BD] ile [CE] kenarortay

IGDI = 2 br

olduguna göre, IDCI nin kaç farkli tamsayi degeri olabilir?


A

Dagarcigimiza bir bilgi dahaekleyelim:

c

A

BF

Kenarortaylarm kesisim noktasi

na agirlik merkezi denir. G ile

gösterilir.

ICGI = 21DGI

IAGI = 21FGI

IBGI = 21GEI

ikizkenar üçgende yanal kenarlara ait

kenarortay uzunluklari esittir.

IBDI = ICEI, LGDi = IGEI. IGBI = IGCI


G agirlik merkezi oldugundan

IGBI = 2·IGDI

IGBI = 2 . 2 = 4 br

IGCI = IGBI = 4 br

DGC üçgeninde üçgen esitsizligi saglanacagindan

IGCI -IGDI < IDCI < IGCI + IGDI

4 - 2 < IDCI < 4 + 2

2 < IDCI < 6

IDCI = {3, 4, 5}

IDCI nin üç tamsayi degeri olabilir.B

B

B C

Yukarida verilenler göre, IAEI kaç br dir?

1. A ABC ikizkenar dik üçgen

[BD], [CE] kenarortay

iGCi -IGDI = 215 br

3.

B


[DE] orta taban

IABI = iACi

IBEI = ICKI

m(ABE) =40°

A)4 B) 5 C)6 D) 8 E) 9-

Yukarida verilenlere göre, mICKD) = ct kaç derecedir?


2.

B

A ABC üçgeninde

[CH] açiortay

[CH] i- [AB]

IBDI = IDCI

[AD] i- [BE]

C IBEI = 4 br

A)40 B) 50C) 600)70E) 80

4.

AABC ikizkenar üçgen

[DE] orta taban~

IABI = IACI

~IBEI = IBCI = ICFI

~B

F

Yukarida verilenlere göre, BDF açisinin ölçüsü kaç

derecedir?

A) 4J6 B)4J3 C)6 D) 4.)2 E) 4 A) 150 B) 135 C) 120 D) 90 E) 80

173 @]DIDIDI


B D


IABI = iACi

lAFi = IAEI

IBDI = ICFI

m(EBD) = SO· -Yukarida verilenlere göre, m(EDB) kaç derecedir?


B c

ABC üçgeninde IABI = IACI ve lAFi = IAEI ise

IBFI = ICEI , IBEI = ICFI....-..... ........•.••. ....-... ....-...

m(EBC) = m(FCB) , m(ABE) = m(ACF) olur.


Kösetasindaki sekilde;

IBDI = ICFii __IBEI = ICFI r => IBDI=IBEI => m(BED) = m(EDB) = a

EBD üçgeninde 2a + SO· = 180·

2a = 130·

a = 65·

E) 412D)6

ABC üçgeninde

[AH]l- [Fc]

IBHI = IHCI

[DE] II [Fc]

IDFI = IDCI

C IDEI = 6 br

C)4J3

A

B) 612

FB H

olduguna göre, IFBI kaç br dir?

A)6J3


IABI = IACI

IDBI = IECI

IFEI = IDCI-m(ECD) = 30·-m(ABF) = 20·

F

B

Yukarida. verilenlere göre, BAC açisinin ölçüsü kaç

derecedir?

1.

A)40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80

ABC üçgeninde

[CK] açiortay

m(BAE) = 40·

IAKI = IKBI

DF II AB

C IDFI = IAEIB

F -olduguna göre, miDFS) = x kaç derecedir?


IABI = IACI

IADI = IAEI

IBEI = IBCI-m(EBC) = 40·

B C••.....

olduguna göre, m(ECD) = x kaç derecedir?

2.

A)20 B) 25 C) 30 D)35 E)40 A)40

174

B)45 C) 50 D) 60 E) 70

~


DAC.1..BC

AD II BC

----- -----m(ABD) = 2.m(DBC)

IAB i = 24 cm

olduguna göre, IEDI = x kaç cm dir?


2~B 6 C

A

~B II C6-a . D a

Muhtesem üçlü ikizkenar üçgenler olusturur.D

m(CAD) = 90° (AD II BC)

AED dik üçgeninde dik köseden [AK] kenarortayi çizilirse IAKI = IKDI = IKEI----- -----

m(ADB) = m(DBC) = a (iç ters)_____ ..c.

m(AKB) = 2a (AKD de dis açi)----- -----

m(ABK) = m(AKB) ise IAKI = IABI = 24 cm

IEDI = x = 21AKI = 48 cm

BiR SORU DAHA:

IABI = 2)3 cm, IBCI = 6 cm

m(BAC) - m(ACB) = 90°

olduguna göre, IACI = x kaç cm dir?

çözüm: m(BCA) = a ise, m(BAC) = 90 + adir.-----

m(DAC) = a olacak sekilde [AD] çizilirse ADC üçgen i ikizkenar ve AD .1..AB olur.

ABD üçgeninde Pisagordan a = 2 cm bulunur.

ABD üçgeninin açilari 30°, 60°, 90° dir.

ADC üçgeni 30°, 30°, 120° üçgeni olup IACI = 2)3 cm olur.


-----Yukarida verilenlere göre, m(ABD) = li kaç derecedir?

1.

B

A

c

ABC üçgeninde

AH.1..BC----- -----

m(ABC) = 2m(ACB)

IBHI =4 cm

IHCI = 9 cm

3.

B~

ABC eskenar üçgen

[AC].1..[CD]

IEDI =2IABI

A) J89 B) 3ffO C) 4)6 D) 10 E) 15A) 25 B) 30 C) 35 0)40 E)45


ABC üçgeninde----- -----

m(ABC) = 2m(ACB)

AD.1..AC

A) 1

A

B~_'CD

Yukarida verilenlere göre, iOC i orani kaçtir?IABI

4 3 5B) - C) - D) 2 E) -

3 2 2E)5D)4

AABC üçgeninde 4.

AC.1..BC

~----- ]m(DAC) = 10° -----m(ABC) = 20°

IABI = IBDI + 6 br

C)3B) 2

B

A) 1

2.

175

ikizkenar üçgen

E

A

B

ABE üçgen

m(SAb) = m(DAC)

AD II CF

AD -l BC

ICFI = 6 cm

IABI = 9 cm

IADI = .J65 cm

Yukarida verilenlere göre, IBFI = x kaç cm dir?

5.

BC -l d

D ve B noktalarinin d

dogrusuna göre simetrik

leri sirasiyla D' ve B' dür.

B

d

IAD'I + IBB'I + ID'B'I toplami kaç br dir?

1.

E) 16D) 15C)14B) 13A) 12


E) 150)12C) 11

B) 10. C) 12D)15E) 19

A)?B) 8C)9D) 10E) 12

A

ABC ikizkenar üçgen6.A

Sekilde

IABI = 2x br

.•••...•....•••...•...

m(BAC) = m(CAD)IACI = 2x + 6 br

AC -l BC

IBCI = x + 9 br

AD -l CD

IADI = 9 brICDI = 6 brc

B) 10

B

A)9

x in alabilecegi degerler toplami kaç br dir?

A) 9

2.

B C

Yukarida verilenlere göre, iAB i kaç br dir?IBCI

B 8 F 4 C

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç cm dir?

ABC üçgen

m(ABC) = m(ACB)

DF -l BC

IADI = 2/5 cm

IBFI = 8 cm

IFCI = 4 cm

D7.ABC dik üçgeninde

IABI = IBDI

IADI = 4 br

IDCI = 6 br

A3.

B).!.3 D)~3

E)~4

A)6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12



iACi = ICBI.•••...•...

m(ACB) = 45°

DE II BC

DF II AC

C IDEI = 4 br

A

BF

A noktasinin BC dogrusuna uzakligi 6./2 br olduguna

göre, IDFI = x kaç br dir?

8.

ABC üçgeninde

IABI = iACi = 6 br

IADI = 2J6br

IDCI = 3·IBDI

A

B

4.

A)2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9 A)4 B) 5 C)6 D)8 E) 9

176

ikizkenar üçgen

D noktasinin AC dogrusuna uzakligi kaç br dir?

A) 2 B) ~ C) 3 D) 4 E) 52

B C

Yukarida verilenlera göre, IADI nin en kücük tamsayi

degeri nedir?

E) 6D)5

ABC üçgeninde

[BD] ve [CE]

kenarortaylaL

m(BAC) > 90·

IBDI = ICEI = 9 cm

C)4

A

B) 3A)2

13.

IABI = IACI

m(BAC) = 30·

DH1..AB

iACi = 10 br

IDHI = 3 br

ABC ikizkenar üçgenA

B

9.

10. D ABC ikizkenar üçgen

D noktasinin BC dogrusuna uzakligi kaç br dir?

E) 313D)3


IABI = IACI

DE II BC

BE 1. AC , DH 1..BC

m(EBC) = 30·

IBEI = 6 brC

C)213

A

B) 212A)J6

B

Yukarida verilenlare göre, IHCI kaç br dir?

14.

IABI = iBCi = 8 br

m(ABC) = 30·

DH 1..BH

IDHI = 3 br

D) 8 E) 9


IABI = IACI

BD 1..AC

EC 1..AB

IAEI = 4 cm

IDCI = 2 cm

C)7

A

B) 6

B

A)5

11.

B C

..::=:..

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

A) 12J5 B)9J3 C) 9J2 D)8J5 E)6J5

B C

Yukarida verilenlere göre, IDCI nin en büYÜk tamsayi

degeri kaçtir?

12. A ABC ikizkenar üçgen

IABI = IACI

[BD], [CE] açiortay

IKDI = 3 br

IKCI = 6 br

15.~~•..

~

D C AB II DC

i12I ADIIBC

12K x DH 1..AB

A ~ B m(DAC) = 2m(CAB)H IADI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IKCI = x kaç cm dir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E) 7 A)15 B) 18 C) 20 D) 24 E)25

177

ikizkenar üçgen


~.. 6 IAB~IAci=6br~ m(BAC)=120°~B-------'-D-2-,j3-3-C IDCI = 2J3 br


5.

B


IABI = IBCI

CH J.AB

IAHI = 1 br

IHBI = 4 br

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir?A)2 B) 213 C)3 D) 313 E) 4

A)2 B) 3 D) 2/3 E) .JiO

2. A ABC veACD

E) ?0)6

ABC ikizkenar dik üç

gen

IABI = IAci = 4)2 br

IAOI = 5 br

C) 513

A

B) 5)2

B D C


A)5

6.

E) 12D) 9

ikizkenar üçgen

C) 6./6B) 613

B

6)2 IABI = IBci

ICAI = ICDI

C IAc~6J2brm(ABC) = 30°


A)6

IFEI = 3 br

IBFI = 5 brBD C

Yukarida verilenlere göre, IECI kaç br dir?

IECI = 1 brB D C

Sekilde verilenlere göre, ABD üçgenin alani kaç bi2dir?

3. AABC üçgeninde

[AD] açiortay

7.A


IABI = IACI

IABI = IAci

DE J.AC

[AD] açiortay

IAEI = 4 br

BE J.AC

A)5 B) 6 C)? 0)8 E) 9 A)2J2 B) 3 C)4 D) 3J2 E) 215

4.

~B 4 D 8 C

ABC dik üçgen........•

m(BAC) = 90°

IABI = IAOI

IBOI = 4 br

10ci = 8 br

8.

~o/\~B 6 D C

ABC üçgeninde........•

m(ACB) = 30·

IABI = IADI

IBDI = 6 br

IAci = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?

A)2J6 B) 2/3 C)2J2 D) 3 E)3J2 A)4 B)5 C)v34 0)6 E) 3/3

178

ikizkenar üçgen

ABC ikizkenar üçgenA

B

IABI = IACI

DF1..AB

DE1..AC

m(BAC) = 30·

IDFI = 2 brC

IDEI = 3 br

Yukarida verilenlere göre, IAB i kaç br dir?

13.ABC üçgeninde

[AD] açiortay

BH1..AC

IABI = 7 br

IBDI = IDCI = 3 br

c

A

BD


9.

A)~7

B)~4

C)~4

D).!.Q.3 E)2

2A)6 B) 8 C)9 0)10 E)12

D) 67,5 E) 75

IABI = IACI

IBDI = IDAI = 2 br

IDCI = 4 br

C) 60B)45


~B 2 D 4 C-

Yukarida verilenlere göre, m(AOC) kaç derecedir?

A) 30

14.ABC üçgeninde

IABI = IBDI = 5 br

IADI = 6 br

iDCi = 1 br

D) 316 E) 313C)413B) 412

A

A)512

B D

1

C


10.

11.

B

A ABC üçgeninde

[AD] açiortay

AD 1..BD

IABI = 4 br

c IACI = 6 br

15. A

~B D C

ABC üçgeninde

m(ABC) = 45·

DH1..AC

IACI = iDCi

IDHI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, LOC! kaç farkli tamsayidegeri alabilir?


A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5A) 6.)6 B) 4../2 C) 3.)6 D) 613 E) 6../2

E) 23

ABC üçgenininde

IABI = IACI

BD1..AC

CE 1..AB

IADI = 8 br

C IDCI = 2 br

C) 2.2

A

B)!3

A)~2

B

Yukarida verilenlere göre, IFOI kaç br dir?

E) 8D) 7

c

C)6B) 5

BF

Yukarida verilenlere göre, IACI nin en küçük tamsayi


A)4

12. DABC ikizkenar üçgen16.

IABI = IACI DF 1..BC~IDEI = 4 br

.i.::

~IEFI = 2 br

~

179

ikizkenar üçgen

1. A

c

ABC üçgeninde

'ACi = IBCI

'ABI = 'ADI = 6 br

IBDI = 4 br

5.

8

A

E

ABC ve DBE dik üç

gen

IDCI = IBCI

IADI = 5 br

IDBI = 8 br


C


A)3 B)4 C)5 0)6 E) 7 A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 7

ABC üçgeninde

IAB I = IACI = 12 br...•..•..

m(EBC) = 10·...•..•..

m(CAD) = W

C m(ACB) = 40·

A

8D

Yukarida verilenlere göre, lAFi kaç br dir?

6.

A ABC üçgeninde

~'. 15° m(~)=90.

m(DAC) = 15°

IAB i = IADI-------~--8 D C

Yukarida verilenlere göre, iBD i orani nedir?IACI

2.

A) 1 B) ~2

C)2 D) 3 A) 213 B) 313 c)413 0)4)2 E)6


3.

8

A ABC dik üçgen

DE.L BC

IBEI = IECI

IABI = 5 br

C IDCI = 7 br

7.

c

ABC üçgeninde

IABI = IACI...•..•..

m(DAC) = 90·

IBDI = 1 br

IDCI = 3 br


A) 215 B)2J6 C) 3)2 D) 2 E) 3

A) J6 B) 15 c)2 0)2)2 E) ~2

A ABC üçgeninde

~ IABI=IACI

AO.L AC

--------- IBDI = IECI = 4 br84 D 6 E 4 C

IDEI = 6 br


BC.L CD7

D IABI = IACI = 5 br

IACI = 6 br

ICDI = 7 br

86

...•..•..

Yukarida verilenlere göre, m(AOC) kaç derecedir?

A) 15 B) 30 c) 45 D) 60 E) 95

8.

E) 3ffO0)415C)10B) 9A)8

4.

180

ikizkenar üçgen


CD 1. AB

IABI = IACI = 4 br

IBCI = 2../2 br

Yukarida verilenlere

göre, IBDI kaç br

dir?

A

B

13.

IABI = iACi

BE 1.AC

IBEI = 6 br

B, C, D dogrusal


D

A

B cD noktasinin AC dogrusuna uzakligi 2 br ise, AB

dogrusuna uzakligi kaç br dir?

9.

A) 8 B) 9 c) 10 D) 8..f2 E) 8.J3 A) .J6 B) .J5 C) ..f2 D) 12

E) 1

ABC üçgeninde

DE 1. AB

IADI = IDBI

IBCI = ICEI

m(ACB) = 40·

CB

.•........

Yukarida verilenfere göre, m(BAC) kaç derecedir?

14.ABC ve DEF dik üçgen

IKBI = IKFI

lANi = 8 br

INCI = 3 br

IDMI = 6 br

F

A

B . .E C

Yukarida verilenlere göre, IMEI kaç br dir?

10.

A)2 B)3 C) 3,5 D)4 E) 5A)25 B) 30 C) 35 D) 40 E)45

B 6 H 2 C



IABI = IACI

DE II AC

EF 1. AC

lAFi = 6 br

WCl = 2 br

C IDEI = 3 br

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IEFI = x kaç br dir?


IABI = IAEI

DH 1. BC

IBHI = 6 br

iHCi = 2 br

IDHI = .J5 br

A11.

A)2 B) 3 C)4 D) 2.J3 E) 3..f2 A)2 B) 3 C) 2.J3 D) 3..f2 E) 4

AABH dik üçgen

DBC ikizkenar üçgenIDBI = IDCI = 5 brIADI = 3 brolduguna göre, IECIkaç br dir?B

C

7

53A) -

B) 3C) 2"D)2E) 2"216.

D) 3.J3 E) 4..f2

ABC dik üçgen

IAEI = IFCI

IDEI = IDFI

IBDI = 3 br

C IDCI = 5 br

C) 3..f2B) 4

3 D


A)3

12. A

181

ikizkenar üçgen

1. ABC üçgeninde

IABI = IBDI

IADI = 4 cm

IDCI = 10 cm

IBCI = 13 cm


5.

B

A ABC üçgeninde

m(ACB) = m(BAC)

IABI = 8 cm

ABC üçgenin çevre

sinin en kücük tam

sayi degeri kaç cm

dir?

A)2J6 B) 5 C) J26 D) 2.ft E) J29 A)16 B) 17 B) 18 D) 19 E) 20

E)2J3D)4

ABC dik üçgen

IBDI = IDCI

IABI = 3 cm

IBCI = 6 cm

C) 3J2B)4J2

A

B

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç cm dir?

A)4J3

6.

ABC üçgeninde

IABI = iACi

[AE) açiortay

DE 1. AB

IADI = 8 cm

IDEI =4 cm

c

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IDBI = x kaç cm dir?

2.

A) 1 B) 2C) 3D)4E) 6

3.

AABC üçgeninde

7.A

ABC üçgenindeAB 1. BC /'..

........• AB 1.ACm(ACB) = 2.m(BAD) ED 1. BCx

IBDI = 2 br

IDCI = 5 br

IECI = 21ABI


CIBDI = IDCI

göre, IABI = x kaç br

/'..C Yukarida verilenlere göre, m(AED) = a kaç derecedir?

dir? A)105B) 115c) 120D) 125E) 135

A) 2J2B) 3J2C) 4J2D)2J3E)3J3

ABC üçgeninde

IAB I = IADI

m(BAb) > 70·

C

A

BD

ACB açisinin en büyük tamsayi degeri kaç derece

olabilir?

AABC üçgeninde

8.IABI = IACIAD 1. BD

/'.. ~m(BAC) = 70· /'..OOLC

m(ABD) = 35·~

IBCI = 6 br

~

B

C

6


4.

A)2 B) 3 C) 2J3 D)4 E) 3J2 A) 44 B) 53 C) 54 D) 55 E) 56

182

ikizkenar üçgen



IABI = iACi

HC 1-AB

iHCi = 12 cm

IBCI = 13 cm

c

A

B13


13.ABC eskenar üçgen

OF 1-AC

lAFi = 2 cm

IFCI = 4 cm

D) 3-13 E) 6

c

C)4

A

B) 3.)2

D

A) 2-13

9.

A) 13 B) 15 C) 15,6 D) 16,9 E) 17,3

H

Yukarida verilenlere göre, IKHI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

ABC üçgeninde

IABI = IACI

IACI = IAHI + 5 cm

IHCI = 12 cm

c

A

x

14.ABC üçgeninde

AH 1- BC

IBHI = iHCi

IBKI = IKLI

IABI = 13 cm

IALI = 5 cm

c

A10.

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5A)9 B) 12 C) 13 0)15 E) 20


IABI = IACI

EC 1-AB

BD 1-AC

IAEI = 3 br

10Cl = 2 br

c

A

Yukarida verilenlere göre, IEKI = x kaç br dir?

A) ~ B) ~ C) ~ D) ~ E) 22 3 4 5

15.

E) 36D) 32

ABC üçgeninde

c

C) 30B) 28

A

B

IACI = IBCI

AD 1- BC

BE 1-AC

IAEI = 2 cm

IECI = 8 cm


A) 24

11.

12. ABC üçgeninde

m(ABC) = 30·

IABI = IACI = 2-13 cm~

IBOI = 1 cm ..:.:j

16.

B

A ABC üçgeninde

IAOI = IACI

m(MC) = 2.m(BCO)

IBOI = 4 cm

IBCI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir?

A) fiO B) 3 C) 3.)2 D) ft E)J6 A)12 B) 14 C)15 D) 16 E) 18

183

BÖLÜM

BB

Eskenar UçgenKÖSETASi KAZANiMLAR

i. Eskenar üçgeni tanimlar.

2. Eskenar üçgenin kenarlarindan birine paralel çizilen dogrunun, eskenar üçgen olusturdugunugösterir.

3. Eskenar üçgenin içinde alinan bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplaminin, eskenarüçgenin bir kenarina esitligini vurgular.

4. . Eskenar üçgende yüksekligin hem açiortay hem de kenarortayoldugunu vurgular.

5. Eskenar üçgenin alanini hesaplar.

6. Eskenar üçgende, (30°, 60°, 90°) üçgeninin varligini pekistirir.

7. Eskenar üçgenin kenarlarinin esitligi üzerine problem çözer.

8. Bir sekli eskenar üçgene tamamlamayi kavratir.

9. Eskenar üçgende (30°,60°,90°) üçgeni olusturmayi kavratir.

10. Eskenar üçgende (30°, 60°, 90°) üçgeni olusturmayi kavratir.

1i. Eskenar üçgenin içinde veya kenarlarinin üzerinde alinan bir noktanin kenarlara uzakliklaritoplaminin, eskenar üçgenin bir yüksekligine esitligini kavratir.

12. Eskenar üçgenin disinda alinan bir noktanin kenarlara uzakliklariyla, eskenar üçgenin bir yüksekligi arasindaki iliskiyi kavratir.

13. Eskenar üçgenin iç ve dis açisinin trigonometrik oranlarindan yararlanmayi kavratir.

14. Eskenar üçgen in iç ve dis açisinin trigonometrik oranlarindan yararlanmayi kavratir.

15. Eskenar üçgenin simetrisini fark ettirir.

16. Eskenar üçgende Öklit teoremi uygulatir.

17. Bazi sorularin çözümünde eskenar üçgenin islevini gösterir.

A

eskenar üçgen

Taktik: Indirilen yükseklik, (30°,60°,90°) üçgeni olusturur.

A(ABC)= a2,[34

Eskenar üçgen ayni zamanda ikizkenar üçgendir.

Tüm köselere ait yükseklik, açiortay, kenarortaylar birbirine esittir.

A

B c

IAHI = IDKI + IEKI + IFKI

IAHI = IKDI + IKFI - IEKI

- ...~

B

A

IABI = IKDI + IKEI + IKFI

187

kösetasieskenar üçgen

B

A

c

ABC üçgeni eskenardir.

IABI = 2x + 2 cm

IACI = 3x - 2 cm

IBCI = y + 4 cm

Yukarida verilenlere göre, x + y toplami kaçtir?


B

A

c

ABC eskenar üçgen ise

IABI = iBCi = IACI

m(A) = m(S) = m(C) = 60°

IABI = IACI = IBCI oldugundan

2x + 2 = 3x - 2 = Y + 6

2x + 2 = 3x - 2 => x = 4

3x - 2 = y+ 4 => y = 6

Buna göre, x + y = 10 cm

1.ABC eskenar üçgeninin kenar uzunluklari cm türünden

olup birer tamsayidir.

15 cm- < Ç(ABC) < 59 cm olduguna göre, kaç tane

ABC üçgen i çizilebilir?

3. A, B, C, D, E, F farkli noktalardir. DEF eskenar üçgeninin

köseleri ABC eskenar üçgeninin kenarlari üzerindedir.

Ç(ABC) = 80 cm olduguna göre, OEF üçgeninin

çevresi en az kaç cm olabilir?

A)12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 22 A) 10 B) 20 c) 40 D) 60 E) 80

2.

B


m(A) = x + 20°

m(S) = y _10°

m(ACb) = z + 50°

4. ABCD kare

EAB eskenar üçgen

olduguna göre, x + y + z toplami kaç derecedir?-

olduguna göre, m(COE) = x kaç derecedir?

A)120 B) 140 c) 150 D) 160 E) 180 A)10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

188

·kösetasieskenar üçgen

B

ABC eskenar üçgen

DE II BC

IDEI + IDBI = 8 cm

olduguna göre,

IBCI = x kaç cm dir?


B

A

c

ABC üçgeninde [DE] dogru parçasi [BC] ye paraleloldugundan

ADE üçgeni de eskenardir.

IDEI = a olsun.

IECI = 8 - a olur.

IBCI = iACi = a + 8 - a = 8 cm

GB

Sekilde tabaniari ayni dogru üzerinde olan üç eskenar

üçgen verilmistir.

IBGI = 20 cm olduguna göre, üçgenlerin çevreleri

toplami kaç cm dir?

3.

E) 360)32

ABC eskenar üçgen

DE 1/ AC

EF II AB

IDEI + IFEI = 10 cm

c

c) 30

A

B) 20

BE

Yukarida verilenlere göre, çevre(ABC) kaç cm dir?

A)15

1.

A)48 B) 50 C) 55 0)60 E) 66

2. ABC eskenar üçgen

DE 1/ AB

OF II BC

IDEI = 2 cm

IDFI = 4 cm

B

Yukarida verilenlere göre, IECI kaç cm dir?

4.

B

ABC eskenar üçgen

DE II BC

EF 1/ AB

Çevre(BFED) = 24 cm

olduguna göre, ABC

üçgeninin çevresi

c kaç cm dir?

A)6 B) 6.J2 C)6J3 0)8 E) 9 A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48

189


A

B

ABC eskenar üçgen

DK II BC

KE II AC

FK II AB

IDKI = 2 cm, IFKI = 3 cm, IKEI = 4 cm

olduguna göre, çevre(ABC) kaç cm dir?

açiklamali çözümEskenar üçgenin içinde alinan bir noktadan, (aralarinda genis açilar bulunacak sekilde) kenarlara çizilen paralellerin toplami eskenar üçgenin bir kenarina esittir.

B c

KR II BC çizilirse

IKEI = iRCi = z

IKFI = IFRI = y

PK /i AC çizilirse

IDKI = IPKI = lAFi = x

IACI = x + y + Z = IKDI + IKEI + IKFI

Buna göre, kösetasina bakilirsa;

IABI = IKDI + IKEI + IKFI = 2 + 4 + 3 = 9 cm

Çevre(ABC) = 3.9 = 27 cm

ABC eskenar üçgen

OF II BC

DK II AC

EK II AB

IADI = 7 cm

IBDI = IBEI + 5 cmc

A

BE

Çevre(ABC) = 60 cm olduguna göre, IKDI = x kaç cm dir?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11


DK II BC

EK 1/ AC

FK II AB

IDKI = 5 cm

IFKI = 6 cmc

A

BE

Çevre (ABC) = 57 cm olduguna göre, IKEI = x kaç cmdir?

1.

A)6 B) 7 C)8 0)9 E) 10

ABC eskenar üçgen

PO II BC

PE II AC

PF /i AB

c

A

B

Sekildeki çizgilerin tümünün toplami 96 cm olduguna

göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?


PO II AC

PF II BC

PE /i AB

IPEI = 4 cm

IPFI = 3 cmc

A

BE

Çevre(ABC) = 36 cm olduguna göre, çevre(ADPF)

kaç cm dir?

2.

A)17 B) 18 C)19 0)20 E)21 A)56

190

B) 64 ci 66 D) 68 E) 72

~


B

A

c

ABC eskenar üçgen

IBDI = 6 br

IDCI = 2 br

olduguna göre, IADI kaç br dir?


B

Eskenar üçgen de bir açidan indirilen yükseklik ayni zamanda açiortay vekenarortaydir.

Bu sekilde karsimiza (30°, 60°, 90°) üçgeni çikacaktir.

IABI = a br ise, h = a.j3 br olur.2

c Sorudaki eskenar üçgende hemen yükseklik indirilir. Taban ikiye bölünür. Tabii ki

(30°,60°,90°) üçgen i ile karsilasilacaktir.

IAHI = 4J3 br

AHD dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanirsa:

IADi2 = IAHi2 + IHDi2

x2 = 52

c x = 2fi3 br

c

ABC eskenar üçgen

IABI = 6 br

IADI = 2.ft br

IBDI > IDCI

E)50)4

ABC eskenar üçgen

IADI = 21DBI

IDCI = 3.ft br

c)3B)2

Yukaridaki sekle göre, IDBI = x kaç br dir?

A) 1

3.

E) 4

B


A) 1 B) J2 C) 2 D) 2J2

1.

B C


A)1 B) J2 C) J3 D) 2 E) 3

ABC eskenar üçgen

IABI = 41BDI

IADI = fi3 br

B

""""""-

Yukaridaki sekle göre, çevre(ABC) kaç br dir?

A)12 B)13 C)14 0)15 E)16

@IT]CIAI

4.

191

ABC eskenar üçgen

IBDI = 7 br

IDCI = (IADI + 2) br

A2.

kösetasi

B

A

eskenar üçgen

ABC ve OEF eskenar üçgenler

A, H, E dogrusal

[AE]J..[BC]

IAHI = 413 cm

~C Seklin tümünün alani 25,13 cm2 olduguna göre, seklin çevresi kaç cm dir?

E


Seklin çevresi =: IAB I + IACI + IBOI + 10EI + IEFI + iFCi

Seklin çevresi:: 8 + 8 + 1 + 6 + 6 + 1 =: 30 cm

B

A

E

Bir kenar uzunlugu a cm olan bir eskenar

üçgenin alani a2./3 cm2 dir4

(30·, 60·, 90·) üçgeninden

IAHI =: 413 cm ise, IABI = 8 cm"""" """"

c seklin alani =: A(ABC) + A(OEF)

25./3= 82./3 + a2./34 4

10EI =: IEFI = 10FI = a =: 6 cm olur.

GÖRELiM

A

B

A(ABC) =.2. a. a./3 = a2./32 2 4

c

m(BAD) = m(A8C) = 60·

iBCi J..IOCl

IABI = 12 cm

IAOI = 4 cm

D

A3.

C) 3613

E) 4813

B) 3213

0)4213

B

Yukarida verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

A)2413

1. ABC eskanar üçgeninin yüksekligi 6,13cm olduguna

göre, alani kaç cm2 dir?

3

Yukarida verilenlere göre, AIABCD) kaç cm2 dir?

C) 2613

E) 3613

c


OFJ..AC

A(EDB) = 413 cm2

IAEI = 6 cm

D

A)2013 B) 2413

0)2813

B

~Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

4.

m(BAD) = m(ABc) :: 60·

IAOI = 4 cm

IABI = 8 cmD

IBCI:: 3 cm

A

B

2.

A) 913

D) 1213

B) 1013 C) 11/3

E) 1313

192

A)36

0)2413

B) 1813 C) 2013

E) 2513

~


B

ABC eskenar üçgen

[DE].l [Bc]

IDEI = 2J3 br

IADI = 1 br

olduguna göre, IBEI = x kaç br dir?


B

Eskenar üçgen sorularinda ilk yapilmasi gerekenlerden biri 60° leri yerlestirmektir.

Böylece (30°, 60°, 90°) üçgeni ile karsilasilabilir.

......••. ......••.

m(ACB) = 60° oldugundan m(EDC) = 30° olur,

ve apaçik bir (30°,60°,90°) üçgeni bulundu.

iDCi = 4 br

c IACI = IBCI = 5 br

IBEI = 5 - 2 = 3 br olur.

1.

B c

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AC]

[EF].l [BC]

IFCI = 2 br

3.

B

A

c

ABC eskenar üçgen

IBDI = 5 br

IDCI = 2J3 br

Yukarida verilenlere göre, IDFI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir?

A)3 B)4 C) 2J6 0)6 E) 3J6 A)8 B)6 C)5

D) 3 + J3 E) 4 + J3

C) J2 + 1

ABC eskenar üçgen

[BE].l [ACi

IDEI = IECI

IBDI = 2 br

c

B) J2-1

B


A) J3

4.

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AC]

[DF].l [AB]

IECI = 2 br

IDFI = J3 br

c

A

BD

Yukarida verilenlere göre, lAFi = x kaç br dir?

2.

A)4 B) 5 C)6 0)7 E) 8 D)J3-1 E) J3 + 1

193


B

A

c

ABC eskenar üçgen

DE 1- BC

DF 1-AB

IBEI =4 cm

IFq = 3 cm

olduguna göre, IECI = x kaç cm dir?


B

"Matematik esitlik üzerinde döner" deniise yanlis olur mu?

önce açilari sekil üzerinde belirleyelim

DBE (30·, 60·, 90·) üçgeninde IDBI = 8 cm

IADI = k ise, lAFi = 2k dir.

IAB I = IACI oldugundan 8 + k = 2k + 3

5=k

IBCI = IAB I = 13 cm ise, lEq = 13 - 4 = 9 cm

..o=:..

Yukarida verilenlere göre, Ç(ABC) kaç cm dir?

A) 30 B) 36 c) 42 D) 45 E) 48

Yukarida verilenlere göre, IBKI = x kaç cm dir?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

ABC eskenar üçgen

DE 1- AC

FK 1- BC

IBDI = 5 cm

IEFI = 1 cm

IKC! = 4 cm

c

A

B


DF 1-AC

EF 1- BC

IDBI = 2 cm

IEC! = 4 cm

c

A

B

1.

Yukarida verilenlere göre, IOHI = x kaç cm dir?

ABC eskenar üçgen

Kl1- BC

PR1- BC

IKBI = IAPI

IABI = 18 cm

c

A

B

4.

ABC eskenar üçgen

AH 1- BC

m(DCH) = 45·

IADI = 12 cm

c

A

B

2.

Yukarida verilenlere göre, IlRI = x kaç cm dir?A) 6 + 3,;2

D) 3,;2 + 6

B) ./3 + 1 C) ./3 - 1

E) 6./3 + 6

194

A)6 B) 9 C)10 D) 12 E) 15

~


A Sekilde

m(S) = m(C) = 60·

[AB]l- [AD]

IADI =,/3 br

C IDCI = 2 br



B

BA ve CD yi uzatalim.

KBC eskenar üçgen olur.

c:::::.

Bak yine 30·, 60·, 90· üçgeni olustu. (AKD)

m(BKC) =600) IADI J3~ IKAI =-=-=1 br

m(KDA) = 30° J3 J3

IKDI = 21KAI = 2 br

IKCI = 2 + 2 = 4 br ~ IBCI = IKBI = 4 br (eskenar üçgen)

IABI = IKBI-lKAI = 4 - 1 = 3 br

[AB]l- [BC]-- --m(BAD) = m(ADC) = 60·

IADI = 9 br

IBCI = 3,/3 br

[AD]l- [CD] 3.-- --m(ABC) = m(BCD) = 60·

IBCI = 6 br

IDCI = 4 br

C

D

B6


1.

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5 Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç br dir?

A)3 B)4 C)5 0)6 E) 7

[AD]l- [OC]-- --m(ABC) = m(BCD) = 60·

IADI = 6,/3 br

IAB I = 4 br

C

D


4.m(BAb) = 60°--m(BCD) = 150·

[AD] l- [DC]

D IABI = 8 br

IBCI = 2 br

A

B2


2.

A)2 B) 3 c)4 0)5 E) 6 A)6 B) 7 C)8 D) 9 E) 10

195

kösetasiA ABC eskenar üçgen

KD 1.. BC

LE 1.. BC

IBDI = 2 cm

IDEI = 4 cm

IECI = 3 cmC

olduguna göre, IKLI = x kaç cm dir?

eskenar üçgen


B

KDB ve LCE (30, 60, 90) üçgenleridir.

Buna göre, IKDI = 2.;3 cm

ILEI = 3.;3 cm

[KH] 1..[LE] çizilirse [KH] ii [DE] olur. Çünkü m(KHE) = m(HEC)

[KH] II [DE] ve [KD] II [LE] ise,

IHEI = IKDI = 2.;3 cm ve IKHI = IDEI = 4 cm

ILHI = ILEI- IHEI = .;3 cm

LKH üçgeninde Pisagordan

IKLi2 = IKHi2 + ILHi2

x2 = 42 + (.;3)2

X = .ff9

A1. AABC eskenar üçgen3.

KDl..BC LE 1..BCIKMI = IMDIIBDI = 2 cmIDEI = 5 cmB

CIECj = 3 cm

Yukarida verilenlere göre, IMLI = x kaç cm dir?

ABC eskenar üçgen

KDl..BC

LEl..BC

ILNI = INEI

IBDI = 3 cm

IDEI = 5 cmC

IALI =4 cm

Yukarida verilenlere göre, IKNI = x kaç cm dir?

A)m B) J39 D) J43 E) J46 A) 3.;3 B)2.ft C) J30 D) 133 E) J35

2. A ABC eskenar üçgen4.KDl..BC LE 1..BC

~M ve N orta noktalar~

•..IBDI = 2 cm ~IDEI = 6 cm

BC

IECj = 4 cm

c

ABC eskenar üçgen

KDl..BC

LE 1.. BC

IBDI = 1 cm

IDEI = 9 cm

IALI = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, IMNI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IKLI = x kaç cm dir?

A) 4J3 B) 3J5 c) v'42 D) 2ffO E) J39

196

A) 5J6 B) 6fl C) 6.;3 D) 6J6 E) 9.;3

~


B

A

c

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AC]

[DF].l [AB]

IDEI = 1 br

IDFI = 4 br



B

A Demistik ya!!! (30·,60·,90·) üçgen i çok ise yarayacak.

DEK üçgeninin açilari 30·, 60·, 90· olup IDKI = 21DEI = 2 br

IFKI = 4 + 2 = 6 br

IAFI ..J3 = IFKI (AFK 30·, 60·, 90· üçgen i)

6 6.13

IAFI·.J3 = 6 => lAFi = r;:; = - = 2.J3 br olur.C ",3 3

1.

B C

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AB]

[DF].l [Bc]

IBEI=5br

IDEI = .J3 br

3.

B


[DE].l [AC]

[DF].l [AB]

lAFi = 10 br

IDEI = 3.J3 br

Yukarida verilenlere göre, IBFI = x kaç br olur? Yukarida verilenfere göre, IDFI = x kaç br olur?

A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6 A) .J3 B) 3 C)2.J3 D) 3.J3 E) 4.J3

2.

B C

ABC eskenar üçgen

[FD].l [BC]

[FE].l [AC]

IDC! = 7 br

IEC! = 8 br

4.

B C

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AB]

[DF].l [Bc]

IBFI = (IBEI + 3) br

IDFI = 4.J3 br

Yukarida verilenlere göre, IFEI = x kaç br olur? Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç br dir?

A)3 B) 2.J3 C)4 D) 3)2 D) 3.J3 A)12 B) 13 C)14 D) 15 E) 16

197


B


[DE].l [BC], [DF].l [Aci, [DK].l [AB]

IDKI = 1 br

IDEI = 2 br

IDFI = 3 br

C olduguna göre, IACI kaç br dir?


B

IDEI + IDFI + IDKI = IAHI = h

C

AIDEI + IDFI = IBHI = h

C

Eskenar üçgenin içinde veya kenarlarin üzerinde alinan bir noktanin kenarlara uzakliklari toplami eskenar üçgeninherhangi biryüksekligine esittir.

h = 1 + 2 + 3 = 6 br

E k . b' . h _-a./3 ~ 6 -_a./3 ~ a -__12 -_12./3 --4 (;;3brS enar üçgenin ir kenan a ise 2 ~ 2 ~ ./3 3 v.;)

1.

B

A

C

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AC]

[DF].l [AB]

IACI = 8 br

IDEI = 3.J3br

3.

B

ABC eskenar üçgeninde D noktasindan

kenarlara dikmeler inil

mistir.

IACI = 8 br

IDFI = .J3br

IDEI = 2.J3br

Yukarida verilenlere göre, IOFI = x kaç br dir?

A) 3.J3 B)2.J3 c)3 D)2 E) J3

Yukarida verilenlere göre, IOKI = x kaç br dir?

A) .J3 B) 2 C) J6 D) 3 E) 2.J3

ABC eskenar üçgen

[DE].l [AB]

[DF].l [BC]

[DH]!! [BC]

IABI = 12 cm

IOFI = 2.J3cm

IDEI = 3.J3cmC

A

B

Yukarida verilenfere göre, IOHI = x kaç br dir?

A) 1 B) .J3 c) 2 D) J6 E) 3E) ~3D) 1

C

C)~3B) ~3

Yukarida verilenlere göre, IEHI kaç br dir?

A)2

2. AABC eskenar üçgen

4.[OE].l [Aci [OF].l [AB][BH].l [AC]

~

~IDEI = 5.J3br

i...

iJIDFI = .J3br

198


ABC eskenar üçgenin kenarlarina K noktasindan dikmeler indiriimistir.

IEKI = 8 cm

IDKI = 7 cm

IFKI = 5 cm

olduguna göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

K

açiklamali çözümA ABC eskenar üçgen i ayni zamanda ikizkenardir.

MN II BC çizilirse

IEKI + IKFI toplami AMN üçgeninin bir yüksekligine esit olur.

AMN eskenar oldugundan üç yüksekligi de birbirine esittir.

IAHI = IEKI + IKFI

IATI = IAHI -IDKI = IEKI + IKFI-IDKI


Yukarida açiklanan kurala göre, ABC üçgeninin yüksekligi 8 + 5 - 7 = 6 cm dir.

1. ABC eskenar üçgeninin

kenarlari na K noktasin

dan dikler indirilmistir.

IDKI = 4-13 cm

IEKI = 3-13 cm

IFKI = 2-13 cm

3. ABC eskenar üçgeninin

kenarlari na K noktasin

dan dikler indiriimistir.

IBKI = 8-13 cm

"""'"

Yukarida verilenlere göre, çevre(ABC) kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IDKI + ICKI toplami kaç

cm dir?

A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E)27A) 10-13 B) 9J6 c) 12 D) 12-13 E)12J6

ABC eskenar üçgeninde

K noktasindan kenarlara

dikler indiriimistir.

IDKI = 10 cm

c

A

BK

"""'"

Çevre(ABC) :; 36.J3 cm olduguna göre, IEK( = x kaç cm dir?

ABC eskenar üçgeninin 4.kenarlari na K noktasin

dan dikler indiriimistir.

IKDI = 5-13 cm ~

IKFI = 7-13 cm ]

BC F

"""'"

Çevre(ABC) = 48 cm olduguna göre, IEKI = x kaç cm dir?

2.

A)2-13 B) 312 C) 4-13 D) 5-13 E) 6-13 A)6 B)7 C)8 0)9 E) 10

199


B E

ABC ve DCE eskenar üçgenler

B, C, E dogrusal

IABI = 8 cm

IDEI = 4 cm

olduguna göre, IADI = x kaç cm dir?


B E

ACD üçgeninde kosinüs teoremi uygulanirsa;

x2 = 82 + 42 - 2.8.4.cos60·

x2 = 64 + 16 - 2.8.4 . ..!.2

x = 4J3 cm

Siz de D den AC ye dik indirerek çözünüz.

Yukarida verilenlere göre, IAEI kaç cm dir?

A} 6 B} 6J2 C} 7 D} 7J2 E} 8

ABC eskenar üçgen

DEl-AB

EF l- BC

IADI = J3 cm

IECI = 4J3 cm

cBF

olduguna göre, D ile F arasindaki uzaklik kaç cm dir?

A} 4J3 B} 5J3 C} 3,J5 D} 316 E) 3fl

ABC ve DCE eskenar 3.üçgenler

B. C. E dogrusal

IABI = 5 cm

IDEI = 3 cmE

A1.

D

olduguna göre, A ile D arasindaki uzaklik kaç cm dir?

ABC eskenar üçge

ninin iki kenan kendi

leri kadar uzatiliyor.

E

A

D

Çevre(ABC) = 18 cm olduguna göre, IDEI kaç cm dir?

4.IABI = 6cm

IDCI = 4 cm

ABC ve DEC eskenar

üçgenler

c

A

B

2.

A}3J17 B) 2fi9 C) 2M D} 3fl E) 6J2 A) 2J17

200

B}3m C}4fl D) 6fl E) 8,J5

~

kösefasieskenar üçgen


IADI = IBEI = IFCI

IBEI = 3 cm

lAFi = 5 cm

olduguna göre, DEF üçgeninin çevresi kaç cm dir?


B

DEF üçgeni de bir eskenar üçgendir.

,.c", ,.c", ,.c",ADF == BED == CFE

Kosinüs teoreminden

IDFi2 = IADi2 + IAFf - 2.IADi.IAFI.cosA

x2 = 32 + 52 + - 2.3.5.cos60°

x2 = 9 + 25 - 2.3.5 . .2

2

x2 = 19

x=fi9

DEF üçgeninin çevresi 3fi9 cm dir.

ABC ve DEF eskenar

üçgenler""""'-

ÇevretABC) = 36 cm

Çevre(DEF) = x cm

c

A

BE


deger ile en küçük tamsayi degerlerinin toplami kaçtir?

3.

E)6m

ABC eskenar üçgen

IADI = IBEI = IFCI

iEC! = 51BEI

Çevre(ABC) = 36 cm

c

A

B) 1213 C)6J15 D)6fi9

BE

olduguna göre, Çevre(DEF) kaç cm dir?

A)12.J2

1.

A)45 B) 48 c) 52 D) 54 E)56

A) 813 + 4../7 B) 613 + 6./5

D) 413 + 8../7

201

E)!Q.3

~

D)3

ABC ve DEF eskenar

üçgenler

IBEI < IECI

IABI = 8 cm

IEFI = 2../7 cm

c

C)~3B) 2

B

A)~2

E


4.

C) 3.J2 + 613

E) 813 + 8../7

ABC veACD

eskenar üçgenler

!AKl = IBlI = ICMI = IDNI

D IAKI = 21KBI ~~

Çevre(ABC) = 36 cm ~olduguna göre, KLMN ol(

dörtgenin çevresi kaç

cm dir?c

A

B

2.


ABC eskenar üçgen

/'-. /'-.m(KCB) = m(KBC) = 15°

ICKI = 4J2 cm



B

A KH ol AC ve [AK] çizilsin

KHC, (45°,45°, 90°) üçgeni

AKH, (30°,60°,90°) üçgeni olur.

IKCI = 4J2 cm ise IKHI = 4 cm

IKHI = 4 cm ise IAHI = 4J3 cm

C IABI = ICHI + IHAI = 4 + 4J3 cm

Eskenar üçgenin simetrik oldugunu unutmayalim.

1.

B C

ABC eskenar üçgen/'-. /'-.

m(KAC) = m(KCA) = 15°

IKCI = 6J2 cm

3.

B


IKBI = IKCI

m(KBC) = 22°

Yukarida verilenlere göre, B ile K noktalari arasinda

ki uzaklik kaç cm dir?

/'-.Yukarida verilenlere göre, m(AKC) = x kaç derecedir?

A)8 B) 10 c) 12 D) 6J2 E) 6J3

A)106 B) 108 C) 110 D) 112 E) 114

K

Yukarida verilenlere göre, (J3 -1).Çevre(ABC) çarpi

mi kaç cm dir?

C) .j3+ 12


m(KBC) = m(KCB) = 15°

olduguna göre,

IABI orani kaçtir?IKCI

B).J62

E) .J6 +.J22

D) .J6 + 12

A)3

4.

E) 120)9


m(KBC) = m(KCB) = 15°

IKCI = J2 cm

C)6

A

B)4

B

A)2

2.

202


ABC eskenar üçgen

BD i- DE

IADI = 2 cm

ICEI = 4 cm

olduguna göre, IABI = x kaç cm dir?

açiklarnali çözüm...........

[DHli- [BEl çizilirse m(HDC) = 30· olur.

IHCI = a ise IDHI = aJ3 ve IDCI = 2a

IBCI = iAC! = 2a + 2 ise IBHI = a + 2

BDE ilçgeninde Öklit teoremi uygulanirsa

IDHi2 = IBHI . IHEI

(aJ3)2 = (a + 2) . (a + 4)

3a2 = a2 + 6a + 8

a2 - 3a - 4 = O

(a-4)(a+1)=0 ::::) a=4

IABI = iBC! = 2a + 2 = 10 cm

1. A ABC eskenar üçgen

BD i- DE

IEC! = 2 cm

IDC! = 8 cm

3.

B

A

D

ABC eskenar üçgen

BAi- AD

IABI = 12

Yukarida verilenlere göre, ICDI = x kaç cm dir?B x C 2 E

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?A)4 B) 5 C)6 D)8 E) 12

A) 10 B) 12 C) 13 D)14 E) 15

ABC eskenar üçgen

BD i- DE

IADI = 2 cm

ICEI = 1 cm

A

Yukarida verilenlere göre, iBO I = x kaç cm dir?


BE i- ED

IECI = 6 cm

IDCI = 2 cm

A

D 2 C

Yukarida verilenlere göre, ABC ilçgenin çevresi kaçcm dir?

2.

A)48 B) 52 C) 69 D) 72 E) 90

203

A)4 B) 2.)5 C) 2.,16 D)2../7 E)4J2

~


B


IBDI = ICEI

.---..

m(BAD) = 20·

.---..

olduguna göre, m(AEO) kaç derecedir?


~ [FH] açiortay, kenarortay ve yükseklik olur.AFE eskenar üçgen ve a = 30·

IAHI = IHEI bulunur.

ADE üçgeninde [DH] kenarortay ve yükseklik oldugundan ADE ikizkenar üçgen olur .

Sekilde ABC eskenar üçgen ve IBDI = ICEI ise ADE üçgen i de eskenar üçgen olur.


[AB] kenarini IBFI = ICEI olacak sekilde uzatalim.

E AFE eskenar üçgen olur.

[FO çizilirse BFD ikizkenar olur. (IFBI = ICEI = IBDI)

2a = 60· (FBD üçgeninde dis açi) ~ a = 30· olur.

A

D

.---...---..

m(DEA) = m(DAE) = 40· olur.

1.

AABC eskenar üçgen3.

AABC eskenar üçgen

IBDI = lEq

IAEI = IDBI.---..

.---..

m(AEB) = 80· m(ACE) = 25°

olduguna göre,.---..m(ADE) kaç derece

cdir?

D

C

D-

A) 20B) 30C) 40D) 45E) 50

Yukarida verilenlere göre, m(DEB) kaç derecedir?

A)25

B) 30c) 35D) 40E) 45

2.

ABC eskenar üçgen4.

AABC eskenar üçgenA

[DE] /i [BC]

~ [DE] /i [AB]

IDKI = lEq

~ K, F, C dogrusal.---..

.---.. JJ m(FBC) = 15·m(BAK) = 25·olduguna göre,

olduguna göre,-- m(KFB)kaçdere-m(BKC) kaç derece-

dir?

BCcedir?B

C

A) 105

B) 110C) 1150)120E) 125A) 30B) 45C) 50D) 60E) 75

204

~

eskenar üçgen

ABC eskenar üçgen olduguna göre, a + b kaç cm dir?

IABI = 3a + 4 cm

IACI = 4a - 6 cm

iBCi = b + 25 cm

ABC eskenar (lçgen

IBDI = 1 br

IDCI = 5 br

D) .J26 E) J31

c

c)5

A

B) .J21A)4


4.

E) 23D) 21

c

C) 19

A

B) 17

B

A)15

1.

ABC ve DEF eskenar

(lçgen

Tarali alan = 6J3 cm2

IBEI + IFCI = 2 cm

cBE F

Tarali seklin çevresi kaç cm dir?

5.

E) 600)45

ABC ve DCE eskenar

(lçgenlerdir.

B, C, E dogrusaldir.

IBEI = 15 cm

E

c) 30B) 27

A

B colduguna göre, çevre(ABC) + çevre(DCE) toplami

kaç cm dir?

A) 15

2.

A) 18 B) 20 C) 24 D) 26 E) 28

3.

B

A

c

ABC eskenar (lçgen

DE II BC

OF /i AC

IDEI = 4 br

IDFI = 2 br

6.

B c

ABC eskenar (lçgen

DE.L BC

IADI = 2 cm

IDEI = 3J3 cm

Yukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç cm dir?

A) 5 B) 6 C) 6./2 D) 6J3 E) 8 A)3 B) 4 c)5 D)6 E) 7

205

eskeno:r üçgen

Yukarida verilenlere göre, IDHI kaç br dir?

c

E)6D) 5

ABC eskenar üçgen

DE -LAC

OF -LAB

IDEI = 13 br

IDFI = 213 br

C)4

A

B) 3

B C


A)2

10.

E) 6

ABC eskenar üçgen

OH -LAC

IBDI = 1 br

IAHI = 5 br

;...C)4J2 D) 5B) 313A)413

7.

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç cm dir? .

m(B) = m(C) = 60·

BA -LAD

IADI = 213 cm

IDCI =4 cm

E) 30)2

ABC eskenar üçgen

OH -L AB

OF -LAC

DE -L BC

IDHI = 13 br

IDEI = 313 br

C IACI = 12 br

C) 1

A

B) 213

B

Yukarida verilenlere göre, IDFI kaç br dir?

A) 13

11.

E) 8D) 7C)6B) 5

B

A)4

8.

ABC eskenar üçgen

kenarlarina K nokta

sindan dikler in diril

mistir.

IDKI = 8 cm

IFKI = 6 cm

A

K

Çevre(ABC) = 24.J3 cm olduguna göre, IEKI = x kaçcm dir?


IDNI = INEI

IBEI = 2 cm

IELI = 5 cm

iLC! = 4 cm

A

c

Yukarida verilenlere göre, INKI = x kaç cm dir?

9.

A)2M B)3M C)6 D)2fi3 E)2J15 A) 1 B)2 C) 3 0)4 E) 5

206

eskenar üçgen

13.

B

ABC ve DEC eskenarüçgen

iBCi = 12 cm

iDCi = 7 cm

16.

B

ABC eskenar üçgen

BD.L DE

IADI = 2 cm

ICEI = 1 cm

Yukarida verilenlera göre, IADI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

A)9 C) 4J6 D)10 E)ff69A)3J3 B) 4../2 c)6 D)9 E)6J3

...--...

m(AED) = 35°

ABC eskenar üçgen

IBDI = iECi

DH .LAE

...--...

Yukarida verilenlere göre, m(ADH) •• x kaç derecedir?


IADI = IBEI = IFCI

IBCI = 51BEI

IABI = 10 cm

c

A

B) 3fff c) 6m D) 12../7 E) 3m

BE

Yukarida verilenlere göre, çevreeDEF) kaç cm dir?

A) 6../2

14.

A)35 B) 40 C)45 D) 50 E) 55

15. A ABC eskenar üçgen...--... ...--...

m(KBC) = m(KCB) = 15°

IKCI = 2../2 cm

c

Yukarida verilenlere göre, çevre(ABC) kaç cm dir?

A)4 + 4J3

D)6

B) 5 C) 4 + 4../2

E) 6 + 6J3

207

eskenar üçgen

1.

B

A

c

ABC eskenar üçgen

IADI = IEci = 4 br

IDBI = 6 br

5.

B

ABC eskenar üçgen

DE, OF, DK kenarlara

paralel

IDE! = 2 br

IDF! = 3 br

IDKI = 7 br

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç br dir? Yukarida verilenfere göre, B noktasinin AC dogrusu

na uzakligi kaç br dir?A) 2./5 B) 2.J6 C) 2fl D) 3.J2 E) 5

A) 613 B)6.J2 C)4.J6 0)413 E)4.J2

ABC eskenar üçgen

BCDE dikdörtgen

IBci = 413 br

D IDci = 2 br

A

E

4.J3


6.

D) 3.J2 E) 313

ABC eskenar üçgen

DBE ikizkenar üçgen

IBDI = IDEI

[BD] açiortay

IABI = 4 brE

C) 213B)2.J2

A

B

F, D, E dogrusal


A) 2.J6

2.


3.

B

A

c

ABC eskenar üçgen

IADI = 2 br

IBDI = 2fl br

7.

A) 2./5

B

B)2.J6 C)2fl

c

D) 3.J2 E) 313

ABC eskenar üçgen

IBDI = 5 br

IDCI = 3 br

A)3 B) 3.J2 C)3.J6 0)4 E) 3 Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç br?

A)4.J6 B) 6 C)6.J2 D) 613 E) 7

4.

B c

ABC eskenar üçgen

KD, KE, KF kenarlara

dik

IKDI = 1 br

IKEI = 3 br

IKFI = 5 br

8.

B

ABC ve DEC eskenar

üçgen

E IADI = 1 br

IDE! = 2 br

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBEI kaç br dir?

A) 6.J2 B)4.J2 C) 4.J6 D) 413 E) 613 A)4 B) .fi7 C)3.J2 D) J19 E) 2./5

208

eskenar üçgen


DEFC kare

iDCi = 1 br

iBCi = J3 + 1 br

13. ABD ve BCE eskenar

üçgen

IABI = 2 br

iBCi = 6 br

Yukarida verilenlera göre, IDEI kaç br dir?Yukaridaverilenlere göre, B ile E noktalari arasinda

ki uzaklik kaç birimdir? A)3J2 B)2J3 C) 2J6 D) 2..fi E) 4J2

A)~8+2J3 B)~6+2J3 C)2+J3

D)3+,fi E)3-,fi14. A ABC eskenar üçgen

Yukarida verilenlere göre, ICDI = x kaç br dir?

10.

B

A

c

ABC eskenar üçgen

DEFK kare

IEFI = J3 br


göre, IDCI kaç br

dir?

B

A) 2J6 B) 2..fi C) 5

F

DF.l AB

IAEI = 4 br

ICFI = 2 br

D)4 E)3J2

B

D


D) 2J2 E) 13

ABC ikizkenar dik üçgen

ADC eskenar üçgen

IAB! = J3 + 1 br

c

C)2

A

B) ../5

B

A) J6

15.

A)3,fi B)2J3 C)2+J3

D) 3+,fi E) b+2J3

6


11. ABC ve DEC eskenar

üçgen

IBCI = 6 br

iDCi = 4 brD

4

A) 3J6 B)2..fi C)2J6 D) 3J2 E) 2../5

ABC eskenar üçgen

DBC ikizkenar dik üç

gen ~

IACI = 2 br olduguna ~

göre, IADI = x kaç br ~dir?

C) J3

E) 1

IBCI = 2 br

ABC eskenar üçgen

DBC ikizkenar dik üçgen

c

B) J6 - J2

D) J2

D

2


A) J6 + J2

16.

E) ~2

c) J3 - 1 D) J2 - 1

A

BH'2A) 1

B

12.

209

eskenar üçgen

1.

..--...5. ABC dik üçgenAm(DAC) = 15·

~

iACi = 6../2br

DEB eskenar üçgen

ABD eskenar üçgen

IBEI = 2 br

olduguna göre,IECI = 3 br

IABI = x kaç br dir?

B2E 3CB

CYukarida verilenlere göre, IADI kaç br dir?

A)3v3

B)4v3C) 4../2D)4E) 6 A)_1_B)_1_C).2.D) .2.E) ~.J19

&233

2.


AH.i BDIDCI =.fi br

6.A

ABC üçgeninde..--...IADI = 2.fi br

m(BDC) = 120·

x

IDC! = 21ADI

IBDI = 4 brB

c B

2J7C IBC! = 2.fi br

Yukarida verilenlere göre, IHDI = x kaç br dir?

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir?A) 1

B) 2C) ~D) ~E) 3 A) ../2B) v3c)1D) 2E) 32 3

3.

DABC, DEF eskenar

!cl\üçgen7.

AABC üçgeninde

..--...B, C, E, F dogrusal m(ABC) = 45·

..--...IBC! = 2 br m(ADC) = 60·

ICEI = 1 br

IADI = 3 brB

2C 1 E 4F

IEFI = 4 brIDC! = 6 br

Yukarida verilenlere göre, LADI kaç br dir?

B

A) ff5B)4C) roC) ff9E)2J5Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç br dir?

A)9

B)8C)7D)4v3E)3J6

4.


AD.i DC8.


IBEI = 5 br DE .iABIEC! = 3 br..--...

~m(ECF) = 90·

~

IAEI = 2 br'"B

C~IEBI = 4 br

BC

D


Yukarida verilenlere göre, IFCI kaç br dir?

A) 12,J3

B) 5../3C)~D)~E)2A)2J21

B) 5../3C) 12../3D) 3&E)27232 9

277

210

eskenar üçgen

9.

AABC üçgeninde13.AABC eskenar üçgen

~

IBDI = IDCIDE ii BC

/'-. IDBI = IDCIm(DAC) = 60°

B D C

IADI = 4 br IDCI = 213 br

iACi = 6 br

IDEI = 2 br

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç br dir? D) 413

E)2fi3B

C

A) 10B) 9C)8

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç br dir?A)6

B)8C)9

10.

D) 4 + 2J2E) 4 + 13

A

ABC dik üçgen

IBEI = IEDI/'-.m(DCE) = 30° 14. ABC eskenar üçgen

IECI = 12 br

BCD dik üçgen/'-.Bm(DBC)= W

C IBEI = 2Y'6 br

Yukarida verilenlere göre, IAB I = x kaç br dir? A)613

B)6J2C) 12D) 9E) 8

B

C

DBC üçgeninin afani kaç br2 dir?11.AABC eskenar üçgenA)4B) 5C)6D) 3J2E) 213

DH..LBC IHCI = 21DBIIADI = 6 br15.A

ABC eskenar üçgen

IABI = 6 brB

CIADI = 3Y'6 br


BD

A)2ff5

B) 2fi9C)8 -D) 9

E) 10 Yukarida verilenlere göre, m(ADB) kaç derecedir?

A)15

B) 30C) 40D) 45E) 50

12.

AABC eskenarüçgen

DE ii BC DK ii AC

16.A

ABD eskenar üçgen

DF ii AB

ABC üçgeninde

~IAEI = IECIIDEI = 3 br

~i.;.

DE 1. BCIFCI = 7 br

~

IACI = 9 br

IDEI = 3 br

BC BC

BFDK dörtgeninin çevresi kaç br dir? Yukarida verilenfere göre, IDCI = x kaç br dir?

A) 12 B) 13 C)14 D) 15 E) 16 A) 3J2 B) 213 C)2J2 D)3 E) 2

211

eskenar üçgen

B 8 E C

Yukarida verilenlere göre, A(BDE) kaç cm2 dir?


BD.i DE................

m(DBC) = m(EDC)

IBEI = 8 cm

5.

B


DF.i AB

EF .iAC

IBEI = 4 cm

IECI = 6 cm

A)4 B) 8 C) 12 D)16 E) 24 olduguna göre, IBDI = x kaç cm dir?

A) 5 B) .!! C) 6 D) E2 2

E) 7

E)3J3D)5

................m(ADC) = m(BCD) = 120·

IADI = 3 cm

IDCI = 2 cm

ICBI = 1 cm

A

Yukaridaki verilere göre, IABI = x kaç cm dir?

A)J19


DE .iAB

DF.i AF

B, C, D dogrusal

IDEI = 5 cm

IDFI = 2 cm

D

A

B

• 2F


2.

Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç cm dir?

E

A ABC dik üçgen

FBE eskenar üçgen

AD.i DE

IFKI = IKEI

IACI = 12J3 cm

BC


A) 3J3 B) 4J3 c) 6J3 D) 4 E) 6E)10D) 9C)8B) 7A)6

A)3 B) 3../2C) 2J3D)4E)4J3

7.3.


DE /i ABDF.i BCIDEI =4 cmIDFI = 2J3 cm

B

C

E) 5D)4

ABC eskenar üçgen

FK II AB

EKlI AC

DK .iAB

IACI = 12 cm

IFKI = 3 cm

C IKDI = 2J3 cm

C)3

A

B) 2

Yukarida verilenlere göre, IKEI = x kaç cm dir?

A)1

8.

D) 18J3 E) 9.J7

ABC eskenar üçgen

ADF dik üçgen

IDEI + IDFI = 18J3 cm ol:(:~ol:(

~F ~

C) 18B) 15

A

B


A)12

4.

212

eskenar üçgen

Yukarida verilenlere göre, Çevre(ABC) orani kaçtir?Çevre(DEF)

ABC eskenar üçgen

DEJ..BC

EF J..AC

FDJ..AB

E)2J3D) J3C) 3

A

B) 12

B

A)2

13.

D) 64J3 E) 108

ABC eskenar üçgen

DF 1. BC

D, A, B dogrusal

IAEI = IECI

IDFI = 12J3 cm

olduguna göre,

A(ABC) kaç cm2 dir?

C) 96

D

B)42J3A) 36J3

9.

10.

B c

ABC eskenar üçgen

DEFG kare

WCl = 2 cm

14. D

c

ABC eskenar üçgen

DF 1. BC

IAEI = IECI

IDFI = 9 cm

Yukarida verilenlere göre, DEFG karesinin çevresi

kaç cm dir?

F


A)20 B) 16 C) 12 D)8J3 E) 12J3 A)8 B)2m C)2m D)6J3 E) 912

11.

D


IBDI = IBEI = WCI

IBDI = 2 cm

ADF üçgen oldugu

na göre, IABI = x kaçC cm dir?


DCJ..BC

IAEI = IECI

IBCI = 12J3 cm

A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6 Yukarida verilenlere göre, IEDI = x kaç cm dir?

A)3B)4C)5D)6E)8

12.


AHJ..BC

16.AABC veAHD

IHKI = 21AKI~

eskenar üçgen

IACI = 12 cm

.:.: LK 1. AD~ D~ IABI = 48 cm

olduguna göre,B

CH IKLI = x kaç cm dir?


B

A)2m

B)4.J5C) 5.fiD)6J3E)2m A) 2J3B) 3J3C) 4J3D)12E)18

213

BÖLÜM 7Üçgende AçiortayKÖSETASi KAZANiMLAR

1. Açiortayi tanimlar.

2. Açiortayin üzerindeki bir noktanin her iki kola uzakliginin birbirine esit olmasini kullanarakalan bulur.

3. Bir üçgenin iç açiortaylarinin iç teget çemberinin merkezinde kesistigini gösterir.

4. Açiortay ile paralelligin beraberce bulunabilecegini vurgular.

5. Iç teget çemberin merkezine açiortay çizmeyi kavratir.

6. Açiortay teoremini kavratir.

7. Açiortay teoremininde oranti kurmayi kavratir.

8. Çifte açiortay teoremi uygular.

9. Bir üçgenin içinde açiortaylarla olusturulan üçgenlerden, açiortay teoremi ile kenar uzunluk-lari bulur.

10. Ortak tabanli iki üçgende bilesik açiortay teoremi uygular.

11. Dik üçgende açiortay teoremi uygular.

12. Ikizkenar üçgende açlOrtayteoremi uygular.

13. Kösegenleri açiortay olan dörtgenlerde açiortay teoremi uygular.

14. Açiortaylarin ortaya çikardigi ikizkenar üçgen sorularini çözer.

15. Iç açiortay uzunlugunu bulur.

16. Iç açlOrtayuzunlugunu bulur.

17. Çifte açiortay teoremini uygular.

18. Dis açiortay teoremini kavratir.

19. Dis açiortay uzunlugunu bulur.

20. Iç açiortay ve dis açiortay teoremini birlikte uygular.

21. Iç açiortay ile dis açiortayin arasindaki açinin 90° oldugunu gösterir.

22. Gizlenmis dis açiortaylari açiga çikarir.

23. Bir üçgende iki dis açlOrtayile bir iç açiortayin bir noktada kesistigini gösterir.

24. Alani istenen bir üçgenin yüksekligini açiortay yardimiyla ortaya çikarir.

üçgende açiortay

B

ABC açisini iki es parçaya bölen [BN isinina ABC açisinin açiortayi denir.

[BA ve [BC isinlari ABC açisinin kollaridir.

lANi = ICNI

IABI = IBC!

~

D .. r

B~~C P E n

""""

i merkezli çember ABC nin kenarlarina D. E ve F noktalarinda tegettir. Buçembere iç teget çember denir.

Bir üçgen in iç açiortaylari. iç teget çemberin merkezinde kesisir.

1101= IIFI = IIEI = r

IADI = lAFi. IDBI = IBEI, ICE I = ICFI

c

iç Açiortay Teoremi: Bir üçgende açiortayin taban üzerinde ayirdigiparçalarin orani yana/ kenarlarin oranina esittir.

~ : ~ ya da orantinin özelligind en ~: ~m n c m

IADI: v'b.c - m.n

c

Dis Açiortay Teoremi:

~ : ~ ya da orantinin özelligind en bm n c

IADI: v'm.n- b.c

nm

n

B

217

kösetasiüçgende açlOrtay

A [AB] J..[AD]

B

- -m(ABD) = m(DBC)

IABI = 7 cm, IADI = 5 cm

IBCI = 19 cmc

olduguna göre, IDCI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümABC açisini iki es parçaya bölen [BN isinina ABC açisinin açiortayi denir.

[BA ve [BC isinlari ABC açisinin kollaridir.

lANi = ICNI ve IABI = IBCI

Özellik:

Açiortayin üzerindeki bir noktanin her iki kola olan uzakliklari birbirine esittir.

~B 7 H 12 C

Bu özellikten yararlanarak kösetasini çözelim:

DH J.. BC çizilirse, IDHI = IADI = 5 cm

IBHI = IABI = 7 cm olur.

IHCI = IBCI -IBHI = 19 -7 = 12 cm

IDCl2 = 52 + 1l :::;> IDCI = 13 cm dir.

[AK açiortay

[PB] J..[AB

[PC]J..[AC

IBPI = 6 cm

AC

IPCI = x cm olduguna göre, x in tamsayi degeri en azkaçtir?

3.

E) 12D) 11

ABC dik üçgen

[BD] açiortay

IADI = 5 br

IDCI = 13 br

C)10B) 9

A

~B C

Yukarida verilenlere göre, IBCI -IABI kaç br dir?

A) 8

1.

A) 5 B) 6 C)7 D) 8 E) 9

ABC üçgeninde

[AP] ve [BP] açiortay

[HP]J..[AB]

IAHI = 3 br

IBHI = 5 br

C IBCI = 9 br

A

B

Yukarida verilenlere göre, iACi = x kaç br dir?

4.

m(BAD) = 90°

BCD genis açi

IAB i = 7 br

IADI = 3 br

iDCi = 5 br

D

A Sekilde [BD] açiortay

B

C


2.

A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 5

218

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

rE iclTI!l

kösetasiüçgende açiortay

ABC dik üçgenA.•....•..

miBACi = 90·

[BD] açiortay

IADI = 3 br

B 6 C IBCI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, A(DBC) kaç bL dir?

açiklamali çözümAD

3,b

B~C

~6

OH .L BC çizilirse IDHI = IDAI = 3 br olur .

.,c" IBCI·IDH/ 6·3 2A(DBC) = - - = 9br2 2

OÇGENiN ALANI

A(ABC) = iBCJ.IAHI2

Yukarida verilenlere göre, ANC üçgeninin alani kaçcm2 dir?

B N C

A(A8""N) = 36 cm2 olduguna göre, A(A"""Flc)kaç cm2 dir?

E) 300)27

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

IABI = 12 cm

iACi = 9 cm

C) 25

A

B) 24A)18

3.ABC dik üçgeninde

[AN] açiortay

IBNI = 4 cm

IACI = 8 cm

C

A1.

A) 15 B) 16 C)18 0)20 E) 24

2. AABC dik üçgeninde

[BN], açiortay

4.

~IAB i = 12 br~

A(ASN) = 18 br2

~

~B D C

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IABI = 8 br

IECI = 6 br

A(MB) = 12 br2

Yukarida verilenlere göre, ICNI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, A(FEc) kaç bL dir?

A)2 B) 2,5 c)3 D) 3,5 E) 4

219

A)9 B) 10 C)12 0)15 E)18

~CIDIAI

kösetasiüçgen de açlOrtay

B

I, ABC üçgeninin iç teget çemberinin merkezidir.

/'-.m(lBC) = 36°

m(iCB) = 44°

•.......

Yanda verilenlere göre, m(BAI) = x kaç derecedir?


iç Teget Çember lafi Korkutmasin: "ABC üçgeninde [AI], [BI], [CI] açiortaylardir."cümlesinin yerine genellikle kisaca "1, iç teget çemberin merkezidir." cümlesi kullanilir.

ABIL, LAZiM OLACAK!

d 1. [OT]

Bir çemberin merkezini tegetin degme noktasma birlestiren dogru parçasi tegete diktir.


2x + 72° + 88° = 180°

x = 10°

L>.i merkezli çember ABC nin kenarlarina D, E veF noktalarinda tegettir. Bu çembere iç tegetçember denir.

Bir üçgenin iç açiortaylari. iç teget çemberin merkezinde kesisir.

CilDI = IIFI = IIEI = r

IADI = lAFi, lDBI = IBEI, ICEI = ICFI

8

B

•.......

Yukarida verilenlere göre, m(AIC) = x kaç derecedir?

Sekilde ABC üçgeni

nin iç teget çemberiverilmistir.

Çevre(ABC) = 46 cm

iFCi = 9 cm

C

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç cm dir?

3.ABC üçgeninde

I, iç teget çemberinmerkezi

........

m(IBC) = 23°

m{ACI) = 32°

A

B

1.

A) 107 B) 109 C) 113 D) 115 E) 116 A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

Yukarida verilenlere göre, lAFi = x kaç cm dir?

o merkezli çember

ABC üçgenine içtentegettir.

m(BiC) = 108°

ABC Oçgeninde


c

A

B•.......

Yukarida verilenlere göre, m(BAI) = x kaç derecedir?

4.

~iBCi = 10 cm ~

L>. }JÇevre(ABC) = 32 cm

C

A

B

2.

220

A)4 B) 5 C)6 0)7 E) 8 A) 18 B) 24 C) 26 D) 30 E) 32

~


B

A

c

ABC üçgeninde

DE II BC

P, iç teget çemberi n merkezi

IABI + iAC! = 24 cm

...o.-

olduguna göre, ÇevreCADE) kaç cm dir?


A [PB] ve [PC] açiortaylardir.

B

..-..... ..-.....

DE II BC ise, m(DPB) = m(PBC) (iç ters açilar)

..-..... ..-.....

m(EPC) = m(PCB)

DBP ikizkenar üçgen ise, IDB/ = IDPI = x

ECP ikizkenar üçgen ise, iEC! = IEPI = y...o.-

IABI + iAC! = m + x + n + y = ÇevreCADE) = 24 cm

AÇiORTAY iLE PARALELLic;i BERABER ÇOKÇA GÖRECEKSiNiz. OLUSAN iKizKENAR OÇGENi FARK EDiNiz.

1.

B

A P, ABC üçgeninin iç 3.teget çemberinin merkezidir.

[DE] II [AC]

...o.-

Çevre(BDE) = 28 cm

Sekilde [CA] açiortay

AD II BC

m(ABC) = 90°

IABI = 3 br

C IOC!=5br


Yukarida verilenlere göre, IABI + IBCI kaç cm dir? A)5 B) 6 C)? 0)8 E) 9

A) 22 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36

2.

B

A P, iç teget çemberinmerkezi

[DE] II [Bc]

IBDI = 4 cm

iEC! = 5 cm

4.

A

[AD] i! [Bc]

[OC] II [AB]

m(ME) = m(EAB)

IABI = 8 cm

IBCI = 5 cm

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç cm dir?

A)? B) 9 C)10 D) 11 E) 13

221

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E)5

ici Bi ElCI

kösetasiüçgen de açiortay

B

A

x

ABC dik üçgeninde

I, iç teget çemberin merkezi

[DE] ii [BC]

IDBI = 6 cm

C IECI = 8 cm



B

A

c

IM II DB ve IN II EC dogrulari çizilirse

IM -lIN

BMID ve NCEI birer paralelkenar olur.

IlMI = 6 cm

IINI = 8 cm

Pisagor'dan IMNI = 10 cm bulunur.

Önceki kösetasindaki gibi açiortaylar çizilip ikizkenar üçgenlerden 1011 = 6 cm ve IEII = 8 cm bulunur.

IBMI = 1011 = 6 cm ve INCI = IIEI = 8 cm (paralelkenar)

IBq = 6 + 10 + 8 = 24 cm dir.

1. A

B

ABC dik üçgen 3.A

P, açiortaylarin kesi·

P, iç teget çemberin

sim noktasi

merkezi

ABII PO ve ACIIPE

DE II BC

IPDI = 2 cm

IDBI = 5 cm

IPEI = 4 cmC

IECI = 12 cm IDEI = 5 cmBC

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IBCI + IECI kaç cm dir?

A)22 B) 24 C) 25 0)27 E) 30A) 11 B) 12 C)14 D) 15 E) 16


1011 = 8 cm

IEII = 15 cm

AB -lAC

DE II BC


cxBB D E C

IDE üçgeninin çevresi 21 cm olduguna göre, IBCIkaç cm dir?

2. AABC üçgeninde

4.AI, iç teget

çemberinmerkezi

~.i.:ID II AB

~lE ii AC

JJ

A) 7 B) 12 C)14 D) 18 E) 21

222

A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44

~


c

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IABI = 6 br, iACi = 8 br, iDci = 4 br

olduguna göre, IBDI = x kaç br dir?


c

ISPA TLAYALIM

B

~ = E. ya da orantinin özelliginden E. = ..!!m n c m

Bir üçgende açiortayin taban üzerinde ayirdigiparçalarin orani yanal kenarlarin oranina esittir.

m C

A

Kösetasinin çözümü: D

~ =! ~ x = 3 br olur.4 8

CD//AB

m(BAD) = m(AOC}, iç ters

IAci = IOC/, m(O--;;C) = m(CDA)~ ~

ABN- OCN

c m

b n

ISPA Tl ALANDAN DAHA KOLA Y

Bir sonraki kösetasmda ispati yapi/di. Yer kalmadi ki.

1. A

B c

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

iACi = 10 cm

INCI = 5 cm

IBNI =4 cm

3.

B

A

c

ABC dik üçgeninde

[AD] kenarortay

[BN] açiortay

IADI = 8 cm

lANi = 3 cm


Yukarida veri/enlere göre, IABI.INCI kaç cm2 dir?

A) 36

B) 42C)450)48E) 52A)6

B) 8c)90)10E) 12

2.

AABC üçgeninde

[BN] açiortay

4. ABC üçgeninde

IBCI = x + 4 br~

[AD] açiortay

IBCI = x + 1 br

~ IBHI = IHEIi.;,lANi = 3 br

~IBDI = 3-

iNci = 2 br

BIDCI3

B

C IAB I = 6 brC

Yukarida veri/enlere göre, x kaçtir? . Yukarida verilenlere göre, IECI kaç br dir?

A)2 B) 3 C)4 0)5 E) 6

223

A)6 B) 5 C)4 D) 3 E) 2

@lololol


B c

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

IBNI = 3 cm

iNCi = 5 cm

ABC üçgeninin çevresi 32 cm olduguna göre, IABI kaç cm dir?Iaçiklamail çözümORANTIYI HIZLlCA KURABiLMEli: koranti sabiti

~=~=k ~ b=mk ve c=nkni n

Buna göre, asagidaki gibi k' layabilmelisiniz.

A A A A

,mCBilicBmc~Sakin ha!

Simdi kösetasini çözelim;

IABI == 3k ve IACI == 5k.a..

Ç(ABC) == 3k + 5k + 8 = 32 ~ k == 3

IABI = 3k = 9 cm

"ALANDAN DA ISPATI KOLAY"

DEMiSTiK YA!

ÖZELLIK: Yükseklik!eri esit olan üçgen!erin alanlan orani tabanlan oranma esittir.

~A IDNI = INE! oldugun

danA(ABN) IABI

D. E A(ACN) == IACI

B H N C

IAHI ortak yükseklik oldugundan

A(ABN) IBNI

A(ACN) = INCI

Bu yüzden,

IABi iBN I

IACI = INCI


ABC üçgeninde

[BD] açiortay

[CD] açiortay

IABI == 9 br

IADI == 9 br

IBCI = 12 br

IDBI = 6 br

IACI = 7 br

CIACI -IBCI == 4 br

Yukarida verilenlera göre, IACI kaç br dir?

Yukarida verilenlare göre, IADI kaç br dir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E)5

B N C

Yukarida verilenlere göre, iACi + ICNI kaç cm dir?

D) 14 E) 15

@]DIAICI

ABC üçgeninde

[AN], açiortay

6·IABI = 5·IACI

IABI + IBNI = 10 cm

C) 12B) 10

A

A)8

4.

224

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IBDI = 4 br

IDCI == 6 br

C IABI + IACI == 15 br


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2.

-----._--------


A [AF] ve [DE) açiortaylar

21ABI = 31ACI

41BDI = 31DCI

iBCi = 35 cm

olduguna göre, IEFI kaç cm dir?

D


IBEI = 15 cm

IEFI = IBFI- IBEI

= 21 -15 = 6 cm bulunur.

IBFI = 21 cm, IFCI = 14 cm

DSC de açiortay teoreminden

IBEI = 3m, iECi = 4m olsun.

7m = 35 cm ise m = 5 cm olur.

C

""""'-

A ABC de açiortay teoreminden

IBFI = 3n, iFCi = 2n olsun

5n = 35 cm ise n = 7 cm dir.

D

B

1.

B

A

C

[AF) ve [ED) açiortay

51AC! = 21ABI

41BDI = 31DCI

IBCI = 56 cm

olduguna göre, IEFIkaç cm dir?

3. A [AE) ve [FO) açiortay

B, F, C dogrusal

IAB I = 9 cm

B C iACi = 12 cm

IBEI = 4,5 cm

IBDI = 15 cm

D iDC! = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, IFCI kaç cm dir?

A)8

D

B) 12 C) 16 D) 18 E) 24A)2 B) 3 C) 4,5 D) 5 E) 7,5

4. A A, F, D, C dogrusal

C

Yukarida verilenlere göre, IDCI orani kaçtir?lAFi

/'-. /'-.m(ABF) = m(FBC)

m(AEF) = m(FED)

51ABI = 61BCI

21AEI = 31DEI

EB

ABC üçgeninde

B, D, E dogrusal

31BDI = 41DEI

IACI = 12 cm

c

A2.

""""'-

Yukarida verilenlere göre, Çevre(ABC) kaç cm dir?

A) 21 B) 24 C) 25 D) 26 E) 28A) .!.6

B) .!.4 C).!.3 D) .!.2

E)~5

225

kösetasiA

B c

ABC üçgeninde

[AD] ve [BE] açiortay

IABI = a br, IACI = 12 br, IBCI = 15 br

olduguna göre, IAEI orani kaçtir?IEDI

üçgende açiortay


A

UGRASAN BULUYOR

B

IAEj =~=.iIEDI 6 3

cB

ABD üçgeninde IAEI = IABI oldugundan IBDI yi bulmamiz çözüm için yeterli olacaktir.IEDI IBDI

A ABC üçgenine açiortay teoremi uygulanirsa;

_x_ =.!. => x =6 bulunur.15-x 12

~ _ IACI+IABIIIEI IBCI

~L IACI+ICBI1101 IABI

IBII IABI+IBCI

1iFi= IACI

Yukarida verilenlere göre, IAEI orani kaçtir?IEDI

A) ~ B) ~ C) 2. D) ~ E) ~7 6 5 5 5

E) 2D) 3


AH 1. BC

[BD] açiortay

IABI = IACI = 10 br

IBCI = 12 brc

C)~2

A

B) 2.2

BH


A)4

3.

.•....•.. .•....•..

m(B6D) = m(DAC) = 45·

IABI = 6 br

IACI = 8 br

ABC üçgeninde

[BE] açiortay

c

A

B

1.

B 6 C


ABC üçgeninde

[AD] ve [CE] açiortay

IAEI = 21EDI

IAB i = 24 cm

C

A

B

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç cm dir?

4.ABC üçgeninde

[BD] ve [CE] açiortay

IBEI = 21EDI

IABI = 8 br

IBCI = 6 br

A2.

A)6 B) 7 C)a 0)9 E) 10

226

A)6 B) 8 C)9 D) 10 E) 12

@]BIOIEI

kösetasiA

B


B

ABC üçgeninde [AF] açiortay

DBC üçgeninde [OF] açiortay

IBEI = 6 cm

IDE i = 4 cm

IDCI = 12 cm


~ABD de açiortay teoreminden

IAB i = 6k, IADI = 4k olsun.

~DBC de açiortay teoreminden

IBFI = 10n, IFCI = 12n olsun.

ABC üçgeninde açiortay teoreminden

6k 4k + 12-=--10n 12n

k=~4

IADI = 4k = 15 cm olur.

üçgende açlOrtay

1.

B

A

c

[AD] ve [ED] açiortay

[AD] ri [EB] = {F}

31ECI = 21AEI = IAB I

IEFI = 4,5 cm

IBDI = 12 cm

3.

B

A

c

[AE] ve [DE] açiortay

IFCI -IDFI = 2 cm

IADI = IDBI

21ECI = 31BEI

Yukarida verilenlere göre, IBFI + IDCI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç cm dir?

A) 19 BL 18 C) 17 0)16 E) 15A)2 B)!3 C)~ 3 0)4 E)~

2

Yukarida verilenlere göre, IPLI kaç cm dir?

2.

B

A

c

4.

ABC üçgeninde:.:.:

[BD] ve [ED] açiortay ~~41ABI = 31BCI ~

IAEI = 6 br B

K

c

~ABC de [AD] açiortay~

KBC de [KD] açiortay

31KLI = 61LNI = 21NCI

IALI = 10 cm

ILBI = 15 cm


A)4 B)6 c)8 0)10 E)12

227

A)~ 11 C)4 O)~7 E)E5


A ABC dik üçgen

[AD] açiortay

IBDI = 3 br

IDCI = 5 br

B 3 D 5 C



AAçiortay teoremine göre, :~~: =t => IAB I = 3n, IACI = 5n alinabilir.

ABC üçgeni 3, 4, 5 üçgeni olur.

IBCI = 4n = 8

n = 2 => IABI = 3.2 = 6 br

4n = 8

Yukarida verilenlere göre, IBDI = x kaç br dir?

A

~B x D C

ABC dik üçgen.•...•••.•

m(BAC) = 90·

[AD] açiortay

IABI = 5 br

IACI = 12 br

E) 80)6


gen

[BD] açiortay

iACi = 4 + 4.J2 br

C) 4)3

A

B) 4.J2


A)4

3.

E) 235D)~5C)~7B) 6315A) 65

17

1.

2.A

C

ABC dik üçgen

[AD] açiortay

IBDI = 4 br

IDCI = 6 br

4. A

~

12

:wB C

ABC dik üçgen

[CD] açiortay.•...•••.•

m(ABC) = 30·

IDBI = 12 br

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IADI kaç br dir?

A) 2J3 B)3J5 C) 4J5 D) 5J5 E) 6J5

228

A)3 B) 3)3 C)4 D) 4)3 E) 6

0CIAIEI


ABC üçgeninde

[AH].L [BC]

IBHI = iHci

21ADI = 31BDI

iEci = 10 cm

c

A

BH



IBDI = 2k

3k 5k-=-x 10x=6cm

IADI = 3k,

IACI = 5k

....••..•. ....••..•.

m(BAH) = m(HAC) =>

cB

Bir ikizkenar üçgende tepe noktasindan indirilen yükseklik, açiortay, kenarortay çakisiktir. Baska bir deyisle: (Bana göre,

geometride soru çözerken dikkat edilmesi gereken önemli bir özelliktir. ) bir dogru parçasi üçün (yükseklik, açiortay,

kenarortay) ikisi ise, zorunlu olarak digeridir de. Örnegin; köselasinda [AH] hem yükseklik hem de kenarortayoldugundan

açiortaydir da. Veee IAB i = iACi dir.

A 21ADI = 31BDI =>

IABI = IACI

ABC dik üçgen

IABI = IBDI = 6 br

IDCI = 2 br

lAFi = LFOI

A

6

B 6 D 2 C

Yukarida verilenlere göre, IAEI kaç br dir?

A) 28 B) 30 C) 3 D) 4 E) 325 7 5

3.

E) 16D) 15C)12B) 9

A

~B E C

ABC üçgeninde

HE.L OC

IADI = iACi

IDHI = iHCi

21BEI = 31ECI

IABI = 24 br


A)8

1.

ABC bir üçgen

ABD eskenar üçgen

AE.L BD

IABI = 6 br

IDCI = 3 br

A

B

Yukarida verilenlere göre,lECI, IBEI nin kaç katidir?

A) 1 B) ~ C) 2 D) 3. E) i2 3 3

IEIAIB0

4.

229

E) 18D) 16C)15

A

B) 12

ABC üçgeninde

AH.L BC

IBHI = IHCI

IADI =~IDBi 2

IDEI = 6 br


A)10

2.


~B D C

ABC üçgeninde

IABI = 6 br

IACI = 8 br

AFDE kare olduguna göre, IBDI kaç br dir?


Karede kösegen açiortaydir.

A

B~C x D 10-x

ABC dik üçgen oldugundan,

IBCl2 = IABi2 + IACl2 => IBCl2 = 62 + 82 => IBCI = 10 br

IBDI = x ise, iDCi = 10 - x

AFDE kare oldugundan [AD] açiortayolur.

IABI = iBO i old - d ~ __ x_ 30IACI IDCI ugun an 8 - 10 _ x => x =T br bulunur.

1. A

c

ABC dik üçgen

BDEF kare

jAEI = 2 br

IECI = 3 br

3. A

c

ABC üçgeninde

IABI = IAEI

IBDI = IDEI = 6 br

IAEI 3

IECI =4"

Yukarida verilenlere göre, iDc! kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?

A)_5_ B)13 C)~ D)~.J13 .[i J3

E) .J.9..J13

A)10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

D) 3-/3 E)4

~IElci

ABC üçgeninde

IABI = 4 cm

IACI = 6 cm

IBCI = 5 cm

C) 312B) 3

A

~B~C

IADI = lAFi ve IDEI = IFEI olduguna göre, A ile E noktalari arasindaki uzaklik kaç cm dir?

A) 2-/3

4.

230

ABCD kare

IACI kösegen

IAEI = 5 br

lAFi = 12 br

Yukarida verilenlere göre, IEKI kaç br dir?

A) 65 B) 64 C) ~ D) ~ E) ~17 15 17 17 17

2.


A ABC üçgeninde

..-...... ....-... ....-... ....-...

m(ABC) = m(EAC) ve m(BAD) = m(DAE)

31BEI = 21ECI ve 21ABI = 31AEI

IDEI = 4 cm olduguna göre, IACI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümBiR SORU DAHA

Sekilde verilenleregöre x kaçtir?

çözOm: Açilan tasiyarak IABI = IAEIesitligi yakalantr.Açiortay teoremindenc

A

IEDI = k ise

IGDI = 2k dir.

(4 + k/ + (2k)2 = 82 ~ k = ~S

A

~B~CD

B

Bu gizli ikizkenar üçgene bayiliyorum.

IABI = 3k ve IAEI = 2k ise açiortayteoreminden IBDI = 3n ve IDEI = 2n dir.

IBEI = 5n ise, iEC! = 7,5n dir (verilmis).

IDEI = 2n = 4 ise, IDC! = 9,5n = 19

m(ElI\D) = a ve m(ABD) = b ise,

m(ADC) = a + b = m(DAC)

Demek ki IACI = IDCI = 19

c

A

24IDCI=2k=

S

[CN] açiortay

IACI =20 cm

IHCI = 12 cmc

ABC dik üçgeninde

AH.L BC

A

BH 12

Yukarida verilenlere göre, lANi = x kaç cm dir?

3.

.....--.. .....--..

m(ABC) = m(EAC)

IDC! = 4 cm

ABE üçgeninde

[AD] açiortay

c

A

B

1.

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir? A)6 B)8 C)10 D) 12 E) 13

A)3 B)4 C)5 D) 6 E) 8

2. AABC üçgeninde4.

AB .LAC.....--..

.....--..AE.L ECm(ACE) = m(ABC)

.....--..

.....--..

~ [CB] açiortaym(ECD) = m(DCB)

IAEI = 7 cm

~IABI = 6 cm

IEC! = 8 cm

~B

CIAC! = 12 cmIDBI = 6 cm C

IBC! = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, ICEI = x kaç cm dir?

A)10 B) 11 C)12 D) 13 E) 14

231

A)6 B) 6,8 C) 7,2 D) 7,6 E) 8

IBIBICICI

köse/asiüçgen de açiortay

A

c

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IABI = 6 br

IACI = 9 br

IBCI = 10 br


açiklamali çözüm NASIL OLUR?

A

A

c

ABC üçgeninde

[AD] açiortay ise

IIADI = .Jb. c - m·n


IBDI = x diyelim,

IDCI = 10 - x olur.

_x_=~:::H=4 br10-x 9

IDCI = 1O - 4 = 6 br

IADI = .J6. 9 - 4 .6 =.J3ö br

~A h2 =e2_(m_p/=b2_(n+p/

c b e2 _ m2 + 2mp _ p2 = b2 _ n2 _ 2np _ p2h x

e2 _m2 +n2 _b2

B m-p'H p N n 2m+2n-P

h2 = e2 _ (m _ p/ = / _ p2

e2 _ m2 + 2mp _ p2 = / _ p2

e2 _ m2 + 2mp = /

2 2 2 ( e2 - m2 + n2 - b2 J 2C -m + m----- =x

2m+2n

2 2 2 2 Bu stewart teoremi de§il mi?ne - m n + mb - mn _ x2 Simdi en = bm bagmtisi yar-

m+n dimiyla

bme-m2n+neb-mn2 2-------=-xm+n

be - mn = x2 (çember yardimiyla bir ispati daha var.)

E) 60)8

[AD] açiortay

IBDI=5br

iDC! = 6 br

iAC! = IAB i + 2 br

ABC üçgeninde

B) 2J1O c) 9

A

B 5 D 6 C


A) 3,f1ö

3.ABC üçgeninde

[BD] açiortay

IBC! = 9 br

IDCI = 6 br

IADI = 8 br

8


A)../15 B) 2../15 C) 3../15 D) 4../15 E) 7

1.

E) 2../1533..[5

0)-2-C) 2./5B) 3

A ABC üçgeninde

[AD] ve [BK] açiortay

IABI = 8 br

IBDI = 4 br

8 4 D 5 C IDCI = 5 br

Yukarida verilenlere göre, IKDI kaç br dir?

A)4

4.

E) 2D) 3

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IADI = 6 br

IDCI = 4 br

IAC'I = 8 br

C)4B) 5

A

8 D 4 C


A)6

2.

232


A ABC üçgeninde

s

....--.. ....--..

m(BAC) = 2.m(ABC)

IABI = S cm

IACI = 12 cm

x



s

A [AN) açiortayini çizelim

Açiortay teoreminden IBNI = Sk ve INCI = 12k

....--.. ....--..

m(ABN) = m(BAN) => lANi = Sk

IANi2 = IABI.IACI -IBNI·INCI

C 64k2 = 96 _ 96k2

160k2 = 96

k=HBuna göre, IBCI = 20k = 4/15 cm dir.

1. A

C

ABC üçgeninde

m(MC) = 2.m(ACB)

IAB I = 4,13 cm

IACI = 6,13 cm


m(MC) = 2.m(ACB)

IAB I = 3 cm

iACI = 5 cm

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

A)3J6 B)6J5 C) 2J35 D) 4,13 E) 6.,/2 A) 2,13 B)2J6 C) 3.,/2 D) 3J5 E) 5.,/2

S N C

Yukarida verilenlere göre, lANi + INCI kaç cm dir?

ABC üçgeninde....--.. ....--..

m(ADC) = 2.m(DAC)

IAB I = IBDI

IADI = 2 cm

C IDCI = 3 cm

A

B


....--.. ....--..

m(BAC) = 2.m(ACB)

[AN) açiortay

IAB i = 2,13 cm

ABC dik üçgeninde

2-/3

A2.

A)S B) 9 C)10 D) 12 E)SJ3

233

A)3 B)4 C)5 D) 6 E)7

ICIAISIDI


A

B

ABC üçgeninde [AD] ve [AE],

BAC açisini üç esit parçaya böiüyor.

IBDI = 4 cm

IDEI = 3 cm

C iECi = 5 cm


açiklamali çözümA ABE üçgeninde açiortay teoreminden IABI = 4k ve IAEI = 3k

ADC üçgeninde açiortay teoreminden IADI = 3n ve IACI = 5n

ABE üçgeninde 9n2 = 12k2 -12} ffi5

~k= -ADC üçgeninde 9k2 = 15n2 -15 11

IABI= 4k = 4 [35 cmV1T

1. A [AD] ve [AE] dogru

parçalari A açisini üçesit parçaya bölmektedir.

AB 1. BC

IBDI = 4 cm

IDEI = 5 cm

3. ABC üçgeninde

AH 1. BC

IBDI = IDCI

A _A açisi üç esit parçaya bölündügüne göre, m(ACB) = x

kaç derecedir?

B4D5E x C


A) 6 B) ~ C) 7 D) 25 E) 83 3 A) 15 B) 25 C) 30 0)45 E) 60

234

D) 8 E) 9

~

ABC dik üçgeninde

A açisi üç esit parçaya bölünmüstür.

AD 1. FE

FE /i KD

IKDI = 5 cm

IFEI = 6 cm

A

C)7B) 6

B D E C


A)5

ABC üçgeninde 4.A açisi üç esit parça-

ya ayrilmistir. ~41BDI = 41DEI = IBCI ~]

A

B D E C

Yukarida verilenlere göre, IACI orani kaçtir?IABI

A) 1 B) 2 C) .J2 D) J3 E) 3

2.


ABC üçgeninde

IADI dis açiortay

iACi = 6 br

IABI = 4 br

c IBCI = 3 br

Yukarida verilenlere göre, IDBI = x kaç br dir?

açiklamali çözümGOZEL OLDU BE!

cB--~'V~---

Y

BD II AC çizilsin

m(EAD) = m(ADB), iç ters

m(OIlB) = m(ADB) ise, 10BI = IABI = c_x_ = i => x = 6 bulunur.x+3 6

IDBI IABI IABI IACI

IDCI = IACI veya IDBI = IDCI

Oranlarin sirasina dikkat edilmeli


Sekilde [AD], ABC üçgeninin A kösesindeki dis açiortayi ise D noktasinintaban köseleri olan B ve C ye uzakliklari orani, c nin b ye oranina esittir.

c

c x

b y

Yukarida verilen bilgilere göre, IACI kaç br dir?

E)3D)4

ABC üçgeninde

[AN] dis açiortay

21ABI = 31ACI

IBNI = 12 cm

C)5B) 6

B cYukarida verilenlere göre, IBCI kaç cm dir?

A) 7

3.

E) 70)6

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IABI = iACi + 6 br

IBCI 3-=-D ICDI 2

C)5B)4A)3

1.

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgeninin çevresinin en büyük tamsayi degeri kaç br olabilir?

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IBCI = 6 br

ICDI = 4 br

ABC üçgeninin kenaruzunluklari tamsayidir

B

.a..Yukarida verilenlere göre, Ç(ABC) kaç br dir?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

~

4.

235

E) 10D) 9

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IDBI = 2 br

IBCI = 3 br

c

C) 8B) 7A)6

2.


~ ABC üçgenindex A 7 [AD] dis aç.iortay

3 IABi" 3 br, IACI" 7 br

0."'------''------;::.. IBCI" 8 br. B B C

olduguna göre, IADI •• x kaç br dir?


~ Dis açiortay uzunlugu da iç açiortay uzunlugundaki bagintiya benzemektedir./ i~ IADI· ~IIDBI.IDCHABI.IAcilD~ Karekök içindeki ifade mutlak deger içindedir. Çünkü bazen IABI.IACJ, IDBI.IDCI den

C daha büyük olabilir.

Kösetasinin çözümü:~Ly:, ·f td" ",ortay ,,,,,,.mi) => y = 6~ IADi=JIDBI.IDCHABI.IACID'--y-=-S--'B'---a---""'c

- 14 IADi=.Je.14-3.7=3..[ibr

i. ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IABI = 12 br

IACI = 4 br

IDC! = 5 br

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IADI = 9J2 br

IAB i = 9 br

D IACI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç br dir?

B) 2,/5 C) .ff§ D)3J3 E)ro A)4 8)3J2 C)6 D) 4J3 E) 6J2

•..•...••

m(DAB) = 45·

IAB i = 3 br

IACI = 4 br

ABC üçgeninde

B) 12J2 c) 10J2 D) 9J2 E) 8J2

~

A

~D B C


A)13

236

D)2,/5 E)mC) 3J2B) 5

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IDBI = 4 br

IBCI = 8 br

C IABI = 3 br


A)4

2.

köse/asiüçgende açlOrtay

D c

ABC üçgeninde [AE] iç açiortay, [AD] dis açiortaydir.

IBEI = 3 br

IECI = 5 br

olduguna göre, IDBI = x kaç br dir?


IDBI IEBIIDCI = IECI

ABC üçgeninde;

IEBI IABI) ,

IECI = IACI (iç açiortay teoremi)esitliklerin sag tarafi esit oldugundan sol taraflari da esit olur.

10BI= IABI (dis açiortay teoremi)10CI IACI

Sonuç:ABC üçgeninde [AD] dis açiortay ve [AE] iç açiortay ise,

D noktasinin B ve C noktalarina uzakliklari orani, E noktasinin B ve C noktalarina uzakliklari oranina esittir.

_X_=~=> x= 12 brx+8 5

Bir de seklin üzerinde hizlica çözelim:

[AE] iç açiortayoldugu için IABI = 3k ve IACI = 5k olur.

IADI dis açiortayoldugu için

_x_= 3k => x= 12 brx+8 5k

~B 3 D x C 10 E

1. ABC üçgeninde

[AD] iç açiortay

[AE] dis açiortay

IBDI = 3 br

ICEI = 10 br


A) 1 B) 2 C) ~ D) ~ E) ~2 3 2

3. ABC üçgeninde

[AN] iç açiortay

[AD] dis açiortay

IABI = 8 cm

IACI = 12 cm

IBCI = 10 cm

Yukarida verilenlere göre, IDNI kaç cm dir?

A)16 B)18 C)20 0)24 E)25


237

~ ABCdlkOçge,;,d.

A• [AE] iç açiortay

~ [AD] dis açiortay3 IABI = 3 br

• IACI = 5 brD B E C


A) ~ B) 10 C) ~ D) 8 E) ~2 2 2

IBIAIDlel

4.

E) 90)8

ABC üçgeninde

[AD] iç açiortay

[AE] dis açiortay

IEBI = 36 br

IBDI = 4 br

C)?B) 6

E

A)5

2.


ABC üçgeninde

[AE] iç açiortay

[AD] dis açiortay

IAEI = 5 br, IADI = 12 br, IBEI = 4 br

o B 4 E C

Yukarida veriienlere göre, IDBI kaç br dir?

açiklamali çözümKomsu ve bütünler iki açinin açiortaylari birbirine diktir. NEDEN?

Sekildeki ABC üçgeninin A kösesindeki iç ve dis açiortaylar birbirine diktir.

AD ..LAE ~ ADE dik üçgendir.

m(6AE) = 90° ~ IOEi2 = IAEI 2 + IAoi2

IDE12=52 +122 ~ IOEI=13br

10BI = 10EI-IBEI:: 13 - 4 = 9 br olur.

c

m(AôB) + m(AÔC) = 180'

2a + 2f3 = 180',

a + f3 = 90' => m(DÔE) = 90'

ODi OEdir.

ABC üçgeninde

[AN] iç açiortay

[AK] dis açiortay

ICKI = 41NCI

B K IAKI = 16 br

lANi = 12 br

Yukarida verilenlere göre, IBNI = x kaç br dir?

3.

E) 10D) 9

ABC üçgeninde

C)8B) 6

~B O 2 E 3 C

•..•.•..•.

m(BAE) = 90°....................

m(OAE) = m(EAC)

10EI = 2 br

IECI = 3 br


A) 5

1.

B) 283 C)8 O) 203 E)~ 3

A

~

ABC üçgeninde


ABC dik üçgen

[AB]..L[NC]

[AN] ve [AK] açiortay

IABI = 6 cm

INBI = 9 cmCN

4.

~m(OAC) = 90° ~..

•..•.•..•. ...•.•..•. ~m(AEC) = 2.m(EAC) ..:.:

IABI = 6 br

IBOI = 4 br,lDEI = 2 brCB402E

2.


238

A)2 B)3 C)4 0)5 E) 6A) 26

5B)~

5C)10 O)~ E)115

IEIBIOIOI


~B 6 C x D


m(ACD) = 2.m(CAD)

IABI = iBCi = 6 br

iACi = 3 br

olduguna göre, IDCI = x kaç br dir?


DB

Ikizkenar üçgenin taban açilari esit oldugu gibi taban köselerindeki dis açilarda esit olur.

IBAI = IBCI ~ m(EJ\C) = m(DCA) = 2C1.olacagindan m(EAD) = m(i5A'c) = ci. olur.

O halde [AD] açiortaydir.

Açiortay teoreminden;

IDCI = IACI => _x_ = ~ => x = 6 br olur.IDBI IABI x+6 6

ZATEN DIS AÇiORTAY TEOREMi ZORI BiR DE DIS AÇiORTAYi SAKLAMAYA ÇAliSiYORLAR!

[AE], ABC üçgeninin dis açiortayidir.iç açiortayla, dis açiortayarasindakiaçi 90° dir, ya.

[AE], ABC üçgeninindis açiortayidir. Inanmiyorsan BA yi yukaridogru uzat.

1. B ABC üçgeninde

m(BDC) = 2m(DCB)

IADI = IACI = 6 br

IBDI = 3 br

3. ABC üçgeninde

[AD] açiortay- -m(FAB) = m(EAC)

IBDI = 3 cm

IDCI = 2 cm

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, ICEI = x kaç cm dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A)6 B)8 C)9 D) 10 E) 12

Yukarida verilenlere göre, IEDI = x kaç cm dir?

ABC üçgeninde-m(BAN) = 60°-m(NAC) = 60°

iACi = 31ABI = 12 cm

A

~B N c


ABC üçgeninde

IABI = IACI

IBDI = IDCI

lAFi = 41AEI

IFEI = 9 cm

cB

2.

A)2 B) 2,5 C)2,7 0)3 E) 4

239

A)2 B) 2,5 C)3 D) 3,2 E) 3,6

~


ABC üçgeninde [AD] ve [CD] dis açiortaydir.

DHol BC

IAB i = 7 br

iBc! = 6 br

ICHI = 3 br

olduguna göre, IACI kaç br dir?

B

açiklamali çözümBir üçgende iki dis açiortay ile bir iç açiortay bir noktada kesisir.

Sekildeki ABC üçgeninde [BD] iç açiortay, [AD] ile [CD] dis açiortaydir.

Açiortaylarin kesistigi nokta açilarin kollarina esit uzakliktadir. B


DF ol AB ve DE ol AC çizelim.

""""'" """"'"

BFD =:oBHD => IBFI = IBHI

7 + lAFi = 6 + 3 => lAFi = 2

.,e,. .,e,. )

AFD=:oAED => IAEI=IAFI=2 br. IACI=IAEI+IECI= 2 + 3 = 5 br.,e,. .,e,.

CED =:oCHD => ICEI=ICHI= 3 br

A1. ABC üçgeninde [DF],

BDE açisinin açiortayi

[EF], DEC açisininaçiortayi

IBFI =~iFCi 3

CIABI = 12 br


3. ABC üçgeninin dis

teget çemberininmerkezi O noktasi

IABI + IBC! = 15 br

IAKI = 4 br

IKCI = 6 brB


A)8 B) 9 C) 12 D) 15 E) 16 A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4

8

IABI = IBCI olduguna göre, IlKI = x kaç cm dir?

ABC üçgeninde

I, iç teget çemberin;D, dis teget çemberinmerkezidir.

IAII = 3 cm

IADI = 4 cmB

4.ABC üçgeninde

I, iç teget çemberin;

D, dis teget çemberin o«

merkezidir. ~~

IAII = 3 br ~

IADI = 6 br

IDCI = 5 br

Yukarida verilenlere göre, IICI = x kaç br dir?

2.

A) 2../3 B)4 C) 3)2 D)2/5 E)5)2

240

A) 1,5 B) 1,6 C) 1,8 D) 2 E) 2,2

~


A ABC dik üçgen

IDEI = 2 br

ICAI = 6 br..-... ..-...

m(ADC) = m(EDC)

Yukarida verilenlere göre, DEC üçgeninin alani kaç br2 dir?


A m(ADC) = m(EDC) oldugunda [OC], DBE üçgeninin dis açiortayi olur.

[CH] .1 [DE] çizilirse ICAI = ICHI = 6 br olur.

A>. 26 2A(CDE) = -'- = 6 br bulunur

2

c

H

1.A ABC ve BDK dik üç

gen..-... ..-...

m(EDK) = m(KDC)

IDEI = 3 br

C IAB I = 8 br

3. H

~D B 3 C

ABC üçgeninde

AD dis açiortay

[HD].l [Hc]

IACI = IBCI = 3 cm

IABI = 2 cm

Yukarida verilenlere göre, IDHI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, DBE üçgeninin alani kaç

br2 dir?A)3 B) 3../2 C)4 D)4../2 E)6

A)9 B) 10 C) 12 0)15 E) 16

IDBI tamsayi ise ~ kaç birim olabilir?

..-... ..-...m(ADB) = m(EDC)

[CH].l [DE]

ICHI = 5 br

IBCI = 13 br

ABC üçgeninde

CBCB E

Yukarida verilenlere göre, DBC üçgeninin alani kaçbL dir?

2. AABC üçgeninde

..-...

..-...4.m(ADC) = m(BDE)

A

BH.l DE ~IBHI = 5 br ~IDCI = 12 br

lo;;

~

A) 30 B) 25 C) 24 D) 18 E) 15

241

A)8 B)9 C)10 D) 11 E) 12

ICIAIDIDI

üçgende açlOrtay

A

~

ABC dik üçgen

DE /i BC


IDBI =3 cm

IECI = 4 cmc

4E

A


5.

c8EB

ABC dik üçgeninde

[BD] açiortay

DE..LBC

IABI = 5 br

IECI = 8 br


10

A) 10 B) 12 C)15 D) 16 E) 18 A)10 B) 12 C)13 D) 14 E) 15

Yukarida verilenlere göre, A(ABD) kaç cm2 dir?

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

m(ACB) = 30·

IABI =5 cm

iDci = 8 cm

E) 5D)4

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

IABI = x + 2 br

IACI = x + 4 br

IBNI = 3 br

iNCi = 4 brc

C)3

A

B) 2

B3 N 4

Yukarida verilenlere göre, x kaçtir?

A)1

6.

E) 15D) 12

c

C) 10B) 8

A

A) 5

2.

ABC üçgeninin çevresi 27 cm olduguna göre, IBCI = xkaç cm dir?

3.

B

A I, ABC üçgeninin iç

teget çemberinin merkezidir.

.•.......

m(IAC) = 38°

m(ICA) = 37°

7.

B c

ABC üçgeninde

[BN] açiortay

lANi =4 cm

INCI = 5 cm

........

Yukarida verilenlere göre, m(IBC) = x kaç derecedir? A)5 B) 7 C)9 D)10 E) 12

A) 10 B) 12 C) 15 D)18 E) 20

B C

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç cm dir?

D

Yukarida verilenlere göre, IEFI kaç cm dir?

[AF] ve [DE] açiortaylar

31ABI = 41ACI

31DCI = 41BDI

IBCI = 28 cm

A

B

8.

ABC üçgeninde ~~DE II BC ~

i::s

I, iç teget çemberin o/:(

merkezi

IDBI = 3 cm

IECI =4 cm

A4.

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8 A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6

242

üçgende açiortay

E)3Z.4

D) 234

C) 225B)~ 5A)4

Yukarida verilenlere göre, IABlkaç cm dir?

13. A ADEFkare

~ EE[Bc]'" F IBEI = 3 om_ IECI=4cmB--3--E--4---c

E) 14D) 13

ABC üçgeninde

[BD], [CE] açiortaylar

IBEI = 2·IEDI

IABI = 12 cm

IBC! = 8 cm

C)12B) 11

B8


A)10

9.

ABC üçgeninde

C

A

~ ~m(BAD) = m(DAE)

~ ~m(ABC) = m(EAC}

IEC! = 21BEI

51AEI = 41ABI

IDEI = 8 cm


14.

E) 5D) 4,8

A

C) 4,5B) 4,2

B

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

EBC üçgeninde

[ED] açiortay

IEFI = 2 cm

C WC! = 4 cmIEBI = 8 cm

Yukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç cm dir?

A)4

10.

A)40 B) 44 C) 45 D) 47 E) 48


~ ~m(ABD) = m(DBC) = 45·

IADI = 5 br

iDC!= 10 br

B C



~'6D

[BD] açiortay

IBDI = 6 br

B C 31ADI = 21DC!

A) 3.[5 B) 6../3 C) 6/2 Yukarida verilenlere göre, IADI kaç br dir?

D) 4../3 E) 4/2 A)2 B) 3 C) 3v'2 D) 2.J3 E) 16


ABC üçgeninde

m(BAC) = 2.m(ACB)

IAB i = 4 cm

IAC! = 6 cm

12. AA\B E C

ABC üçgeninde

BD .tAE

lAFi = IFEI

3.IADI = 2·IDCI

IBC! = 18 br~

B x C

Yukarida verilenlere göre, IBC! = x kaç cm dir?

A)6 B) 7 C)8 D) 9 E) 10 A) 2.ff5 B) 3J5 C) 4J5 D) 216 E) 316

243

üçgen de açlOrtay

D).!Q.3

ABC dik üçgeninde

[AD] iç açiortay

[AE] dis açiortay

IACJ = 4 cm

ICEI = 8 cm

E

C)3B)~4

A) 2


21,

E)2J3

ABC üçgeninde

IBDI = 21DEI

IABI = IACJ = 4 cm

c

A

BD E


A) 1 B) J2 c) J3 D) 2

17,

18. ABC üçgeninde

[AN] dis açiortay

IABI = 9 cm

IACJ = 6 cm

IBCJ = 4 cm

N

Yukarida verilenlere göre, ICNI = x kaç cm dir?


~450 • m(BAD) =45°

AD..LAC

________ IACJ = 3·IADIB D 12 C

IDCI = 12 br


A)6 B) 8 C)9 0)10 E) 12 A) 3 B) 4 c)5 0)6 E) 8

A19. ABC üçgeninde

[AN] dis açiortay

IAB i = 6 br

IACJ = 4 br

lANi = 6J2 br

B


23. ABC üçgeninde

[BF] ve [CF] dis açiortay

ADE üçgeninde

3·IDFI = 2.IFEI

E IADI = 8 br

Yukarida verilenlere göre, LA EI kaç br dir?

A) J2 B) 4 C) 2J2 D) 3J2 E) 2J3 A) 6 B) 9 C)12 0)14 E) 15

Yukarida verilenlere göre, DEA üçgeninin alani kaç

cm2 dir?

ABC dik üçgeninde.-...... .-......

m(DEA) = m(AEC)

IDEI = 4 cm

IACJ = 10 cm

A24.ABC üçgeninde

AD iç açiortay

AE dis açiortay

IBDI = 3 br

IDCJ = 2 br

Yukarida verilenlere göre, ICE I= x kaç br dir?

20.

A)10 B) 9 c)8 0)7 E) 6 A)15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25

244


ABC üçgeninde

[BD] ve [AE] açiortay

IAB i = 9 br

IBC! = 12 br

iAC! = 14 br

CYukarida verilenlere göre, IBDI kaç br dir?


[AD] açiortay IAB I = 8 brIAC! = 10 brC

IBCI = 9 br

A)3 B)4 C)5 D)~2

E) .1Q3Yukarida verilenlere göre, IBEI, IEDI nin kaç katidir?

A) ~ B) i c) ~ D) 2 E) 3233

ABC üçgeninde

[BD] açiortay/'-.. /'-..

m(BDE) = m(EDC)

IABI = 8 br

IBC! = 12 brC

IAC! = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IBEI, IECI nin kaç katidir?E) 8D)7C)6B) 5

B C


A)4

2. AABC üçgeninde

6.A[BD] açiortay

IADI = 6 brIDC! = 4 brIABI + IBC! = 15 br

A)2 B)./2 C)3 0)-/3 E)~2

E) 36D) 32

C

C) 24B) 20

D

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IABI = 6 br

IACI = 8 br

IBC! = 12 br

Yukarida verilenlere göre, IDBI kaç br dir?

A)18

7.

E) 12D) 10

ABC üçgeninde

[BD] açiortay

IADI = 6 br

IDCI = 9 br

IBC! = IABI + 4 br

C)9B) 8

A

B C


A)?

3.


4. A

C

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IABI = 8 br

IACI = 12 br

IBCI = 15 br

8.

~B 6 C D

ABC üçgeninde

[AD] dis açiortay

IAB I = 8 br

IBCI = 6 br

iACi = 4 br

Yukarida verilenfere göre, IADI kaç br dir?

A)6 B) ? C)512 0)4/3 E)mA)412

D)2fiO

B) 4/3

E)2fi5

C)3J5

245

üçgende açlOrtay

IAEI = IEBI

IADI=~IDFI 3

IFBI = 2 br

ABC eskenar üçgenA

F 2 B C


13.

E) 12D) 15

c

C) 18B) 20

D

ABC üçgeninde

[AE] iç açiortay

[AD] dis açiortay

IBEI = 4 br

IEC! = 6 br

Yukarida verilenlere göre, LOBi = x kaç br dir?

A) 24

9.

A)4 B) 5 C)6 D)7 E) 8

ABC dik üçgen

[AD] açiortay

IBDI = 2 br

iDC! = 6 br

D)213 E)3J2

C

C)212B) 3


A)2

14. A

D) 3J6 E) 2J7C)412B) 312

~B D C E

ABC üçgeninde

[AD] iç açiortay

[AE] dis açiortay

IADI = 6 br

IDEI = 8 br


A)313

10.


IAC! = IDC! = 8 br

IADI = 6 br---- ----

m(ADB) = 2.m(DAB)


m(8AD)=45°----

m(DAC) =45°

IABI = 7 br

IAC! = 24 brB D 8 C


B x D C


A) 24 B) 20 C)18 D)16 E) 15A) 175

31B) 175

29C).!2.3 D).!Z.2 E)~

2

AA\B D x C B D E C

m(BAD) = m(DAE) = m(EAC) esitligi olduguna göre,

IAEI.IACI çarpimi kaç br2 dir?

ABC üçgeninde

IBDI =~IECI 3

IABI.IADI = 24 br2

A16.ABC üçgeninde

BH .lAD

IAHI = IHDI

IABI = 18 br

IAEI = 6 br

iEC! = 8 br


12.

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8 A)25 B) 28 C) 30 D)32 E) 36

246


Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir?

0)2/5 E)2J6

BDC dik üçgen

[DE] ve [AE] açiortay

31ABI = 21ACI

iDCi = 6 br

C)2h

A

B) 5A)3


D) h

.•.••.•.•.. .•.••.•.•..

m(BDE) = m(EDA)

IBDI = 2 br

IDCI = 4 br

c

A

A) fi - 1 B) ,16 - 1 C) 2

1.


ABC üçgeninde

[BD] açiortay

DE 1- BC

IDEI = 5 br

A

~B E C .•.••.•.•..

m(BAC) > 90·

Yukarida verilenlere göre, IADI nin en kücük tamsayidegeri kaç br olabilir?

6.ABC dik üçgen

[CD] açiortay

IADI = IDBI = 3 cm

IACI = 6 cm

A

D

2.

A)3h B) 3,16 C)4h D) 6h E) 6,16 A)3 B) 4 C)5 0)6 E)7



[BE] ve [CE] açiortay

OF /i BC

IBDI = 1 br

ICFI = 2 br

7. A

C


gen

[AD] açiortay

IDCI = 6../2 br

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç br dir?A)4 B) 5

D) 3 + hC)6

E) 3 + 15 A)3 B) 4 C)6 0)3../2 E) 3,16

B x C


.•.••.•.•.. .•.••.•.•..

m(ADC) = m(CDE)

IDEI = 2 br

IBEI = 4 br

ABC üçgeninde

DE 1- BCA

B

Yukarida verilenlere göre, ICEI kaç br dir?

8.

ABC üçgeninde

IABI = IACI = 6 br

IAEI = iECi = 4 br

m(BAD) = m(DAE)

A4.

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5 A) 15 + 1 B) 15-1 c)15 D) 3 E)4

247

üçgende açiortay

ABC dik üçgen

[BE] açiortay

ADJ.-BC

IABI = 315 br

C IBDI = 215 br

A

B

Yukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç br dir?

13.

IBEI = iEC!

IADI = 2 br

IDEI = 4 br

ABC dik üçgen

[BF] açiortay

A

4

B E C

Yukarida verilenlere göre, iACi kaç br dir?

9.

A) 21i5 B) 3fi5 C) 413 D) 8 E) 9 A)2 B) 3 C)4 D) 3J2 E) 213

E)60)5C)4B) 3

A ABC dik üçgen

[BD] açiortay

IADI = 4 br

IBEI = 6 br

B C IABI = 9 br

Yukarida verilenfere göre, IDEI kaç br dir?

A)3J2

14.

E)4D) 307

ABC üçgeninde

[AE] ve [BD] açiortay

IAB I = IDCI = 6 br

IBCI=9br

c) 289

B) 278

A

A)~7

B

Yukarida verilenlere göre, IBEI kaç br dir?

10.

E)1D)~2

C)2B) 6.,f3 - 6

A

A) 6.[5 -12

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IBDI = IDCJ = 2 br

IABI = 3 br

B 2 D 2 m(EDC) = 45·


15.

IADI = 6J5 br

ABC dik üçgen

[CE] açiortay

m(ABE) = 45·

IAC! = 21DC!

B C


11. A

A)3 B) 4 C)5 0)6 E) 9

B E 3 C


D) 5J2 E) 6J2

ABC üçgeninde

IBDI = IDEI = 3 br

IECI=4br

c)6

A

B) 5

B3 03E4 C

....•.. ....•.. ....•..m(BAD) = m(DAE) = m(EAC) olduguna göre, IAEI

kaç br dir?

A)4J6

16.

0)213 E)fiO

ABC dik üçgen

[BD] açiortay

IADI = IECI = 3 br

IDC! = 5 br

C)2J2B) 4

A

A)3

12.

248

üçgende açlOrtay

......•..

Yukarida verilenlere göre, m(ACB) = II kaç derecedir?

ABC dik üçgen

[AN] açiortay

IBNI = 4 birim

iNCi = 8 birim

ABC dik üçgeninde

AD..LAC

[CD] açiortay

IACI = 8 cm

IBCI = 4 cm

c

A


A)~ B)~ C)4.J3 D)~ E)~.J3..J5 J2 J6

5.

E) 75D) 60

c

C)45B) 30

A

A) 15

1.

B 3 H 5 D,........"" ...........•. ..........•..

m(BAH) = m(HAC) = m(CAD) olduguna göre, IADI = xkaç cm dir?

x2 + L = 181 olduguna göre, ABC üçgeninin çevresikaç cm dir?

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

IABI = 9 cm

iNCi = 6 cm

IACI = y cm

IBNI = x cmc

A

xB

6.

ABD üçgeninde

[AH]..L[BD]

IBHI = 3 cm

ICDI = 5 cm

A2.

A)8 B) 9 c) 10 D) 10J2 E) 12 A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36

~B 6 D 12 C

..................m(ABN) = m(ACD)

iNCi = 8 cm

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

C

A

N 8


7.

ABD üçgeninde

[AC] dis açiortay

[DE] iç açiortay

IBDI = 6 cm

IADI = 3 cm

IDCI = 12 cm


3.

D


A)6B) 7C) 8D) 9E) 10D) 4,5

E) 5

8.

......•..

AAE, BAC nin açiortayi

......•..DE, BDC nin açiortayi

ABC dik üçgeninde

IAB I = 9 br

[CK] açiortay~

IACI = 12 br

[AD] kenarortay

~ IBDI = 6 br

..B C

31KDI = 21DCI~

LAKI = 6 cm

c

C)4

A

B) 3,5

BD

Yukarida verilenlere göre, IAB I = x kaç cm dir?

A) 3

4.

A) 9J5 B) 9m C) 10J3 D) 12J2 E) 15J3 A)8 B)9 C) 10 D) 11 E) 12

249

üçgende açiortay

E) 245

D) 203

ABC üçgeninde

ABJ..BC

[CD] ve [AB] açiortay

iACi = 8 cm

IADI = 3 cm

c

C)6B) 5

A

D

A)4



IBDI = iDCi

[BN] açiortay

IAB i = 9 cm

iACi = 12 cm

C

A

BD


A)~ B)45 C)~ D)30 E)329 11 8 11 9

9.

ABC dik üçgeninde


c

A

B

IHJ..BC

IIHI =4 cm

IBHI = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgeninin çevresikaç cm dir?


[BH]J..[AC]

[AN] açiortay

IABI = 12 cm

IHCI = 18 cm

A

x N C

Yukarida verilenlere göre, iBNi = x kaç cm dir?

10.

A)4 B) 4J2 C) 4-13 D)6 E) 6-13 A) 45 B) 48 C) 52 D) 54 E) 60

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

IABI 3

IACI="5

IBNI = 2x birim

iNCi = x + 7 birim

A

B2x N x+7 C


15.ABC üçgeninde

[AN] iç açiortay

[AD] dis açiortay

lANi = IADI

IBNI = 6 cm

iNCi = 4 cmD


11.

A)6 B) 6v'6 C)12 D) 12J2 E) 9v'6 A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

B 3 N 5 C

Yukarida verilenfere göre, lANi = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, 1811= x kaç cm dir?

A) J2 B) .J3 C) .J5 D) .J6 E) 2J2

ABC üçgeninde


IABI = IACI = 6 cm

IBCI = 4 cm

c

A

B

16.

D) 3-13 E) 3J5

ABC dik üçgeninde

[AN] açiortay

IBNI = 3 cm ~

iNCi = 5 cm ]

C) 2v'68)2J5

A

A)4

12.

250

-"" " ii' .

BÖLÜM

••

Uçgende KenarortayKösETAsi KAZANiMLAR

10 Kenarortayi tanimlar.

2. Agirlik merkezini tanimlar.

3. Kenaortaylarin dik kesisme durumunda, kenarortay parçalarinin uzunluklarini hesaplar.

4. Dik üçgende muhtesem üçlüyü tanimlar.

5. Kenarortayin; orta taban ve agirlik merkezi ile 1, 2, 3 oraninda parçalara ayrildigini gösterir.

6. Kenarortayve açiortay içerenüçgenlerdeuzunluk hesaplar.

7. Ayni kenara aIt kenarortay ile açiortayin kenarla kesistikleri noktalarin arasindaki uzakligihesaplar.

8. Gizlenmis agirlikmerkezlerinedikkat çeker.

9. Orta taban çizmeyi gösterir.

10. Dik üçgende dik köseden kenarortay çizmeyigösterir.

11. Ikizkenar üçgende kenarortay çalismasi yapar.

12. Bir taban bulup orta taban çizmeyikavratir.

13. Kenarortay teoremini kavratir.

14. Kenarortay teoreminin gözden kaçabilecegi bir durumu gösterir.

15. Çift kenarortay teoremi uygulamasi yapar.

16. 4(V 2 + Vb2 + V 2) = 3(a2 + b2 + c2) bagintisini ispatlar.a c

17. Bir üçgende iki kenarortay birbirine dik ise, bu kenarortaylarin ait oldugu iki kenarinkarelerinin toplaminin, üçgenin üçüncü kenarinin karesinin bes katinaesitligini gösterir.

18. Bir üçgende dik kenarlara ait olan kenarortaylarin kareleri toplaminin, hipotenüse aIt olankenarortayin karesinin bes katina esit oldugunu gösterir.

19. Yükseklik ile kenarortayin tabana degme noktalari arasindaki uzakligi hesaplar.

20. Agirlik merkezinden geçen bir dogru ile üçgenin köseleri arasindaki uzakliklarin arasindakibagintiyi verir.

üçgende kenarortay

B

B

A

c

c

Bir üçgende kenarortaylarin kesistigi noktaya agirlik merkezi denir.

ABC üçgeninin agirlik merkezi G ise

IGAI = 21GDI orani vardir.

[EF] orta taban oldugundan

IBCI = 21EFI

IAKI = IKDI

olur ki IAGI = 21GDI bagintisi ile kesistirildiginde

IKGI = k, IGDI = 2k, IAKI = 3k elde edilir.

Akilda kolay tutabilmek için A noktasindan D noktasina kadar 3, 1, 2 oranivardir diyebiliriz.

A

a

a

ABC üçgeninde Va kenarortay ise

a2b2 +c2 =-+2.V~2

Ayni sekilde, diger kenarortaylar için de,

b2a2+c2 =2V~ +-

2

c2a2 + b2 =2V~ + - dir.

2

B

A

c

Bir üçgende iki kenarortay birbirine dik ise bu kenarortaylarin aitoldugu iki kenarin kareleri toplami, üçgenin üçüncü kenarininkaresinin bes katina esittir.

Sekilde;

[BD].L [CE]

[BD] kenarortayi b kenarina ait} 25a = b2 + c2

[CE] kenarortayi c kenarina ait

255

B

A

A

c


Bir dik üçgende dik kenarlara ait olan kenarortaylarin kareleri toplami,hipotenüse ait olan kenarortayin karesinin S katina esittir.

Sekilde IBEi2 + ICFi2 = 5.IADI2 dir.

V 2 + V 2 = S.V 2b c a

B

a

A

[AH) yükseklik ve [AD) kenarortay ise.

2ax = Ib2 - c21

c

A

[FC)!! [AE) ii [BD) ve G agirlik merkezi ise

IAEI = IDBI + IFel dir.

31GG'I= IAA'I + IBB'I + lee'l

256

kösetasiüçgende kenarortay

A ABC dik üçgen

G, agirlik merkezi

IBDI = x + 6 cm

IDC! = 2x - 1 cm

olduguna göre, IADI kaç cm dir?


c

B

A

Bir üçgende bir köse ile karsisindaki kenarin orta noktasini birlestiren dogru parçasinakenarortay denir.

Kenarortaylar V ile gösterilir.

lAFi = Va' IBEI = Vb ' ICDI = Ve

Üçgende kenarortaylarin kesistigi noktaya agirlik merkezi denir.

ABC üçgeninde G, agirlik merkezidir.

Dik üçgenlerde, dik açidan çizilen kenarortay, karsi kenarda ayirdigi parçalardan birininuzunluguna esittir. (Muhtesem Üçlü)


Soruda G, agirlik merkezi olduguna göre, [AD] kenarortaydir.

IBDI = iDC! :;. x + 6 = 2x - 1 :;. x = 7

C ABC dik üçgen oldugundan IBDI = IDC! = IADI = 13 cm olur.

Yukarida verilenfere göre, IACI + IBCI kaç cm dir?

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

E) 12D) 14

[BD] ri [AE] = {G}

IADI + iEC! = 9 cm

C

C) 16

A

B) 18

8

A) 24

3.ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AF]ri[DC]ri[BE] = {G}

IAEI+IFC!+IBDI=16 cm

C

Yukarida verilenlere göre, Ç(ABC) kaç cm dir?

1.

A) 20 B) 24 C) 32 0)40 E) 48

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[OC] ri [EB] = {G}

iBC! = 1i cm

C

A

B11

Yukarida verilenfere göre, IDBI + IECI ifadesinin !ill.

küçük tamsayi degeri kaçtir?

4.ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[OC] ri [BE] = {G}

IAEI = 2x - 6 br

IEC! = x -1 br

IADI = y + 8 br

IBDI = 2y - 4 brC

A

BF

Yukarida verilenlere göre, x + y kaç br dir?

2.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

257

A)5 B) 6 C)? D) 8 E) 9

i C i D i B [E]

--------------------------------------_._-


A

c

B

ABC üçgeninde

[AE] ve [CD] kenarortay

[AE] 1. [CD]

IDGI = 3 br

IAGI = 8 br

olduguna göre, IACI = x kaç br dir?

açiklamali çözümANLASAK NE GÜZEL OLUR

~ ~DE orta taban, ABG - DEG

IGDI )DEI => IGDI =.!IAGI IABI IAGI 2

IAGI=2IGDI

c

A

B

Bir üçgende kenarortaylarin kesistigi noktayaagirlik merkezi denir.

ABC üçgeninin agirlik merkezi G ise

IGAI = 21GDI orani vardir.

IGDI=~ IADI. IAGI=~ IADI oranlari vardir.3 3

C Üçgenin diger kenarortaylari üzerinde de aynioranlar bulunur.


iGCi = 21GDI => IGCI = 2.3 = 6 br

IACl2 = IAGi2 + IGCl2

IACl2 = 82 + 62 => IACI = 10 br

A

B

E) 240)20

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AD] 1. [BE]

IBGI = 5 br

IABI = 13 brC

c) 18B) 15

A


A)12

3..AeC üçgeninde

(3, agirlik merkezi

IGEI = 3 br

IGDI = 4 br

C

A

BD

Yukarida verilenlere göre, IBOI nin en küçük tamsayi

degeri kaç olabilir?

1.

A) 2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6

C

A

B

ABC üçgeninde

[CD] kenarortay

[AE] açiortay

G, agirlik merkezi

IACI = 31ADI

IDCI = 24 br

Yukarida verilenlere göre, IEGI kaç br dir?

4.

ABC dik üçgeninde ol(:~

[AD] ve [BE] kenaror- ~tay ~

ol(

IGDI = 2 br


2.

A)4 B)6 c)8 0)10 E) 12 A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

258


A

c

B

ABC üçgeninde

[AE] ve [CD] kenarortay

[AE] J.. [CD]

iGCi = 3 br

IGAI = 4 br

olduguna göre, IBGI kaç br dir?


B

A AGC dik üçgeninde

IGFI = lAFi = IFCI =::} IACI = 21GFI ... (1)

G, agirlik merkezi oldugundan IBGI = 21GFI ... (11)

i ve ii den IBGI = IACI bulunur.

C Kösetasinin çözümü:

IACi2 = 32 + 42

IACI = 5 br

IBGI = iACi = 5 br

D) 2JTI5 E) üi"3

A ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

IBGI = IACI

IABI = 10 br

IGDI = 2 br

C) 6B) 5

B

Yukarida veri/enlere göre, IACI kaç br dir?

A)4

3.

E)80)6

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AD]J..[BE]

IGDI = 3 br

IGCI = 10 br

C)4

A

B) 3

B

c

Yukarida verilenlere göre, IGEI kaç br dir?

A)2

1.

Yukarida verilenlere göre, IGCI kaç br dir?

2. AABC üçgeninde

[BD] ve [CE] kenaror-tay4.~

B

[CE] J..[BD]

1iIAGI = 2m br

i..

JJIGDI = 3 br

cYukarida verilenfere göre, IDCI kaç br dir?

A

B_~_E CD

ABC dik üçgen

[AD] ve [BE] kenaror

tay

[AD]J..[BE]

IBCI = 12 br

A)4 B) 5 C)6 D) 8 E) 9 A)4 B) 5 C)4,J2 D) 4J3 E) 8

259


ABC dik üçgen

G, agirlik merkezi

[BE]i- [AD]

IGEI = 4 cm

olduguna göre, IBCI kaç cm dir?


~B•••-::......----i...--- ..•.C3x D 3x

IBGI = 21GEI = 8 cm

IAGI = 21GDI = 2x olsun

Muhtesem üçlüden IBDI = IDCI = 3x olur.

GBD üçgeninde pisagor teoreminden

(3X)2 = 82 + x2

9x2=64+x2

x2 = 8 ~ x = 2../2 cm

IBCI = 6x = 12../2 cm olur.

1. ABC dik üçgen

[AE]l- [BD]

G, agirlik merkezi

IBC! = 18 cm

3.

B

A

c

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AD]l- [BE]

31AGI = 21BDI

IABI = 6.J3 cm

Yukarida verilenlere göre, IBOI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, 10CI kaç cm dir?

A) 9../2 B)3ff5 C)5.J3 D) 6../2 E)4.J3 A)6 B) 4.J3 C) 6../2 D) 9 E)3fiO

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

[BG]l- [AD]

IBGI = 4../2 cm

cD

A

~B


4.

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[BE]l- [AD]

IAGI = 10CI

IGOI = 4 br

c

A

BD


2.

A)4 B)2.J3 C) 4../2 D)6 E)4.J3 A) 2J6 B) 3../2 C) 3n D) 6../2 E)4J6

260


A

B

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[EF] II [BC]

IADI = 18 cm

IBFI = 18 cm

IBCJ = 24 cm

C olduguna göre, KGF üçgeninin çevresi kaç cm olur?


B

[EF] orta taban oldugundan

IBCI = 21EFI

IAKI = IKDI

olur ki IAGI = 21GDI bagintisi ile kesistirildiginde

IKGI = k, IGDI = 2k, IAKI = 3k elde edilir.

C Akilda kolay tutabilmek için A noktasindan D noktasina kadar 3, 1, 2 orani vardir diyebiliriz.

A

B

Yukarida verilen bagintilarin yardimiyla çözümü sekil üzerinde anlamaya çalisiniz.

IBCJ = 21DCJ => IDCJ = 12 cm

IDCJ = 21KFI => IKFI = 6 cm

IADI = 61GKI => IGKI = 3 cm

IBFI = 31GFI => IGFI = 6 cm""""'-

C Çevre(KGF) = 3 + 6 + 6 = 15 cm

E) 6D) 5

ABC dik üçgeninde

E, D, F orta noktalar

B, G, F dogrusal

[EF] n [AD] = {K}

IKGI = 2 cm

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[BF] 1- [CD]

IDKI = x + 1 birim

IBCJ = 5x birim

C

C)4

A

B) 3

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IDKI + IKGI toplami kaç birimdir?

Yukarida verilenlere göre, IEKI = x kaç cm dir?

A)2

C

ABC üçgeninde 3.

G, agirlik merkezi BE n DC = {G}olduguna göre,IKEI IAGI IBGIIBCI·IKGI·IGEIC

çarpiminin degeri

kaçtir?C) 3

D)4E) 5

4.

ABC üçgeninde G, agirlik merkezi[EF] /i [BC]~IKGI = 4 cm~

~

B

A

B

D

Yukarida verilenlere göre, IAKI - IGDI kaç cm dir?

A) 1 B) 2

2.

1.

A)2 B) 3 C)4 D)6 E) 8

261

A)8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

~


ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[BG) açiortay

IABI = 8 cm

A

D x

Yukarida verilenfere göre, IDCI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümG, agirlik merkezi oldugundan

IAGI = 21GDI

IBDI = IDCI = x

Açiortay teoreminden

A

~= IAGI ~x IGDI

8 2-::::;-x 1

~ x=4cm

Yukarida verilenlere göre, IAC'I~iFkaç br dir?

E) 4)20)4-13

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

C) 6)2B) 4"'5

A

A)4J6

[CD) 1. [AB)

[BG) açiortay

IBEI = iECi

IACI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IGCI = x kaç cm dir?

3.

E) 8

ABC üçgeninde-----. -----.

m(ABE) = m(EBC)

IAE31= IBCI"

IADI= IDBI

IDttl = 2,5 cm.~.=-~~,-,

LBEI = 8 cm

c)6

A

B) 5A)4

1.


G, agirlik merkezi-----. -----.

m(BAG) = m(CAG)

IDGI = 5 cm

IBCI = 16 cm

4.

B c

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi-----. -----.

m(DCN) = m(ACN)

lANi = 2 cm

INDI = 3 cm

IAEI = 3 cm

Yukarida verilenfere göre, IAGI = x kaç cm dir? Yukarida verilenfere göre, IGel = x kaç cm dir?

A)6 B) 8 c) 10 D) 12 E) 14

262

A)4 B) 5 C)6 0)7 E) 8

~


c

ABC üçgeninde

m(MN) = m(NAC)

IBDI =IDCI

IABI = 9 br

IACI = 12 br

IBCI = 14 br

olduguna göre, INDI kaç br dir?


B

A

c

[AN] açiortayoldugundan IBNI = ~ = ~ => IBNI= 3k, INCI=4k olsun.INCI 12 4

IBCI = 14 = 7k => k = 2 => iNCi = 4.2 = 8 br

IBDI = IDCI oldugundan

IDCI = 7 br

INDI = INCI -IDCI = 8 - 7 = 1 br

~'~-~-~3k 4k

Yukarida verilenlere göre, IDNI kaç br dir?

Yukarida verilenJere göre, IDFI kaç br dir?

A

~B D C

ABC dik üçgeninde.•....•.••

m(BAD) = 45°

IBFI = WCL

IABI = 10 br

IACI = 24 br

D)~ E) 12017 13

C)~17

B) 8513

A) 6017

3.ABC üçgeninde.•....•.•• .•....•.••

m(ABN) = m(CBN)

IADI = IDCI

IAB i = 10 br

IBCI = 8 br

IACI = 9 br

A1.

A) -!.2

B)1 C)~2

0)2 E)~2

B C


CBE 6 F



AABC üçgeninde

.•....•.••

.•....•.•.

[AF] kenarortaym(ABD) = m(DBC)

[DE] açiortay

~IAEI = IECI

~51BDI = 21DCI

~51ABI = 41BCI~

IEFI = 6 cm

IDEI = 2 br

A) 24 B) 28 C) 36 0)42 E)45

263

A)40 B) 36 C) 34 D) 30 E) 24

~


A

s

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

IGNI = INCI

IALI = 16 cm

olduguna göre, ILDI = x kaç cm dir?


s

A Önce [BG] yi çizelim

IGNI = INCI ve IBDI = IDCI oldugundan GBC üçgeninde L agirlik merkezidir.

Bu gizlenmis agirlik merkezlerine dikkat ediniz.

IGLI = 21LDI = 2x

ABC üçgeninde

IAGI = 21GDI = 6x olur.C

IALI = 6x + 2x = 8x = 16 => x = 2 cm olur.

E) 5D)4

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

C) 3B) 2

A

[AD] n [BE] = {G}

K, L, C dogrusal

IAKI = IKGI

C IABI = 12 cm

IBCI = 6-/5 cm

Yukarida verilenlere göre, LG Li kaç cm dir?

A) 1

3.

E) 12D) 10

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AD] n [BE] = {G}

K, l, C dogrusal

I,A.!<]= IGDI

IKLI = 4 cmC

c)8

A

B) 6

sD

Yukarida verilenlere göre, ILCI = :ic kaç cm dir?

A)4

1.

2. AABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

4.

[AD] n [BN] = {K}

~

[BG]..L [GC]

~i::i

IGNI = iNCi

ol:(

S

CIAKI = 24 cm

S

A ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AK] n [LC] = {L}

[AD]..L[BE]

IBKI = IKGI

C IABI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, ILCI kaç cm dir?

A)9 B) 12 C)15 D) 18 E) 20 A) 12 B) 15 C)16 D) 18 E) 24

264 ICIAISiCi

kösetasiüçgen de kenarortay

A

c

ABC dik üçgeninde

G. agirlik merkezi

[AE] n [Oc] = {G}

IGNI = iNCi

IACI = 18 cm

Yukarida verilenlere göre, INEI kaç cm dir?


c

[BK] kenarortayi çizilirse muhtesem üçlüden

IBKI = 9 cm olur.

Agirlik merkezi, kenarortayi bire iki oraninda böldügünden

IBGI = 6 cm olur.

CGB üçgeninde IGNI = iNCi ve IBEI = IECI oldugundan [NE] orta tabandir.

6INEI = - = 3 cm olur.

2

A E

~

Yukarida verilenlera gü •••, kaçtir?

ABC üçgeninde

G. agirlik merkezi

[BF] n [Ec] = {G}

IBGI = 21DFI

IAGI = 10 cm

A

B C

Yukarida verilenlere göre, IFCI = x kaç cm dir?

3.

E) 80)6

ABC dik üçgeninde

[BE] kenarortay

IBDI = 31DEI

IDEI = IECI = x cm

IBCI = 18 cmc

C)5

18

B) 4

B

A)3

1.

A)5 B) S C) 10 D) 10.J2 E) 513

2. ABC üçgenindeD G. agirlik merkezi4.A, E, B dogrusal ~

[Ec].l [BF]1

IDAI = IACI

~

IEGI = 3 cmC IGFI =4 cm


~ G. agirlikmerkezi

D E [Oc] n [BE] = {G}

~ IDGI=INCIB x ElENI = 4 cm

Yukarida verilenlere göre, IDBI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

A) 18 B) 20 C)25 D) 28 E) 30 A) 18 B) 24 C) 27 D) 28 E) 32

265


A

~B 7 H 11 C

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

[GH]..L[BC]

IBHI = 7 cm

IHCI=11cm

Yukarida verilenlere göre, IGHI = x kaç cm dir?


~~\.

\G

---~~jB 7 H20 9 C

Önce, [AD] kenarortayin; çizelim.

iBCi = 18 cm oldugundan IDCI = 9 cm olur.

IHDI = IHCI-IDCI '" :2cm...o..

ABC de muhtesem üçlüden

IADI = 9 cm ve IGDI = IADI = 3 cm olur.3...o..

GHD de Pisagor'dan

32=x2+22

5 = x2 ~ X = 15 cm bulunur.

c

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgensel bölgenin

alani kaç cm2 dir?E) 13D) 12C) 11B) 10

Yukarida verilenlera göre, IBHI =)( kaç cm dir?

A)9

1. A ABÇ dik üçgeninde3.AABC ikizkenar dik üç-

~

G, agirlik merkezigen

[GH]..L[BC]

G, agirlik merkezi

IAGI = 10 cm

[GD]..L[AB]

IGHI =4 cm

IGDI = 4 cmB

xH C

A) 56 B) 68 C) 72 D) 80 E) 96

A

~

A

~

2.

B H

8

C

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

IAB I = 7 cm

IACI = 9 cm

iBCi = 8 cm

4.

B x H C

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

m(ACB) = W

IGHI = 2 cm

Yukarida verilenlere göre, IGHI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBHI = x kaç cm dir?

(Basit bir benzerlik uygulamasi var.)

A) ../3 B) 2 C) 15 D) J6 E) .fi A)6+../3 B) 12-2../3 C) 8+2../3

D) 12- 3-12 E) 8

266


B

A

c

ABC üçgeninde

IADI = iDCi

IABI = 21ADI = 10 cm

m(DBC) = 45°

olduguna göre, IBCI = x kaç cm dir?


B

A

c

Bu kösetasinda ikizkenar üçgende kenarortay çalismasi yapilacaktir.

ABC ikizkenar üçgen,

[AH] yüksekligi çizilirse taban iki esit parçaya ayrilir ve G agirlik merkezi olur.

IAGI = 21GHI = 2k olsun.

GBH ikizkenar üçgen oldugundan IBHI = IGHI = k olur.

AHC dik üçgeninde Pisagor uygulanirsa

102 = (3k)2 + k2 ~ 100 = 10k2 ~ k = .ff5 cm olur.

IBCI = 2k = 2.ff5 cm dir.

1. AABC üçgeninde3. ABC üçgeninde

[AD] ri [BC] = {D}

G, agirlik merkezi

G, agirlik merkezi

IBGI = IGCI

I, iç teget çemberin

IAGI = 4 cmmerkezi

IBCI = 16 cmIDCI = 6 cm B

CIABI = 10 cm BC

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IlGI = x uzunlugu kaç cmdir?

A) B12 B) 12 C) 6J5 D) 10 E) 9

A)~B

C)~5

D)..!.4

E)..!.3

ABC üçgeninde

[AN] ri [OC] = {I}

B, K, G, E dogrusal

IABI = 14 cm

C IACI = 25 cm

A

BN

G agirlik merkezi ve i iç teget çemberin merkezi oldu

guna göre, IlGI kaç cm dir?

4.ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[BE] 1. [OC]

IABI = IACI

IDGI =4 cm

C

A

B

2.


A)4J5 B)6.ff5 C)BJ5 D)B.ff5 E) BmA)2 B)~

4C)E.

50)3 E)~

3

267


A

B

ABC üçgeninde

IADI = 21DBI

IAEI = IEC!

IDC! = 12 br

C olduguna göre, IDKI kaç br dir?

açiklamali çözümA [FE)/! [Oc] çizelim.

lAFi = LFOI (ADC üçgeninde [FE) orta taban)

IADI = 21DBI => lAFi = LFOI = IDBI olur.

BFE üçgen/nde IFEI = 2.IDKI (orta taban)

IDKI = x => IFEI = 2x

ADC üçgeninde

iDC! = 2·IFEI = 2.2x = 4x (orta taban)

4x.;::12 => x = 3 br olur.

ABC üçgeninde

IADI = IDBI

m(DEC) = 90·

IDEI = 2 br

IEBI = IBCI = 1 br

C

Orta tabanOrta taban

Orta tabanOrta taban

Orta taban

Bir taban bu/up orta nokta

lardan paralel çekmeyi

ögrenelim.

3. A

;;"

A'BC üçgeninde

IM=I= iEC!~ .....-.... ...•.•.........

m(ABC) = 2m(ADE)

IBD!>,=2 br,fi

C i~ei'= 6 br.f

C

A

B

1.

Yukarida verilenlere göre, IADI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir?

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8 A)3 B)4 C)3J2 D) 5 E) 6

E) 12

~

D) 10

ABC üçgeninde

D ve F orta noktalar

m(DEF) = 90·

IDEI = 4 br

IEFI = 3 br

C) 9B) 8

A

B

C


A)6

4.

268

E)4D) 3

ABC üçgen/nde

m(ABC) = 150·

[DE)l- [BC)

IADI = IDC! = .;g br

IABI = 4 br

C

C)2B) .J3

150'

E x


A) 1

2. A


B

A

c

ABC üçgeninde

IBOI = 10Cl = 4 br

IABI = 5 br

IACI = 7 br

olduguna göre, IADI = x kaç br dir?


c

2

AHAYDi iSPATLAYALIM

B

( )2

2 a 2

b = 2+y +h

( )2

2 a 2

c = 2-y +h

yukaridakiesitlikler taraf tarafa toplamrsa

2 a2 ( )b + c2 "';f2i:'+ 2y2 + 2h2 y2 + h2 = v: yazilirsa2

b2 + c2 ",;''i'F;+ 2V: bulunur.2

ABC üçgeninde Va kenarortay ise

a2b2 +c2 =-+ 2.V:

2

Ayni sekilde, diger kenarortaylar için de,

b22V~ + - = a2 + c2

2

c22V2 + _- a2 +b2 dir

c 2 - .


822.x2 + _ = 52 + 72

2

2.x2 +32 =74

x2 = 21 ~ x =.J21 br

c

A

a

Yukarida verilenlere göre, IEDI = x kaç br dir?

4 4

Yukarida verilenlere göre, IABi2 + IACi2 kaç b~ dir?

ABC üçgeninde

IBOI = IDCI = 4 cm

IADI = 3 cm

CB

3.ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

[BE] açiortay

IABI = 8 br

IACI = fi06 brC

IBOI = IDCI = 6 br

A

B

1.

A)2 B)3 C)2J3 D) 3)2 E)2J6 A) 62 B) 50 C) 48 0)40 E) 35


ABC üçgenindeA.•..•...... .•..•......

m(BAD) = m(OAC)

IBEI = IECI

IAB I = 4 br

B C iACi = 8 br

IDEI = 1 br


4.ABC üçgeninde

IAOI = IDCI = 4 br

IABI = 6 br

IBOI = J34 br

A2.

A)6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A)4 B) 5 C) 2.ft D) J35 E) J31

269


ABC üçgeninde Va = 6 cm, Vb = 3.fi. cm, Ve = 9 cm olduguna göre, a kaç cm dir?


B

Va = IAEI = 6 cm ~ IGEI = 2 cm

Vb = IBFI = 3J2 cm ~ IBGI = 2J2 cm

Ve = IDq = 9 cm => IGq = 6 cm

Bu soruda GBC üçgeninde kenarortay teoremininuygulanacagi genellikle gözden kaçar.

2.IEGI2 = IBGi2 + IGq2 _ IBCi22

2.22 = (2J2)2 + 62 _ IBCi22

2

8=8+36-~2

72 = a2 ~ IBq = a = 6J2 cm olur.

ALiSKANLiK iSTE

Bir önceki kösetastnda kenaror

tay teoremini

biçiminde verdim. Bu teoremi

ben

biçiminde kullanmm.

NE FARK EDER KI!

':.,J'/,f/

1. Bir ABC üçgeninde Va = 9 cm, "'1Y0:12 cm, Ve = 15 cmolduguna göre, IABI kaç cm di~'

A) 8 B) 6../2 C) 4J6:("-b) 1O E) 613

3.

B

A

c

ABC üçgeninde

[BD] ve [CE] kenaror

tay

IGDI = 2 br

IEGI = 3 br

IAGI =4 br


A)3 B)2m C)8 D) 2m E) 7

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

IBGI = 4 cm

IGq = 8 cm

A

c

Yukarida verilenlere göre, IAGI = x kaç cm dir?

4.

2. Bir ABC üçgeninde IBCI = 10 cm, Vb = 9 cm, Ve = 6.fi.

cm olduguna göre, Va kaç cm dir?

A)613 B) 9 C) 6../2 D) 3J6 E) 6 A)4 B) 3J2 C) 215 D)2J6 E) 6J2

270


B

A

c

ABC üçgeninde

IBDI = IDEI = IEC!

IABI = 12 cm

IACI = 15 cm

IADI =x

IAEI =y

olduguna göre, y2 - x2 kaç cm2 dir?


B

A

c

Bu soruda iki kenarortay teoremi uygulanacaktir.

ADC üçgeninde 2-; = x2 + 152 - 2a2

_ ABE üçgeninde 2x2 = 122 + -; - 2a2

2y2 _ 2x2 = x2 + 225 - 144 - -;

3-; - 3~ = 81

ABC üçgeninde

C

A

B

IBDI = IDEI = IEC!

IAB I = c br

IACI = b br

IAEI = n br

IADI = m br

c2 _ b2 = k.(m2 - n2) olduguna göre, k kaçtir?

3.ABC üçgeninde

IADI = IDEI = IEC!

IABI = 7 cm

IBC!=11cm

c

A

B11

Yukarida verilenlere göre, IBEi2 - IBDi2 kaç cm2 dir?

1.

A) 15 B) 18 c) 24 0)28 E) 32 A)3 B)~3 C)2 D)~3 E) .!.3


ABC üçgeninde

IBDI = IDEI = IEC!

51BC! = 61AC! = 10lABI

IADi2 + IAEi2 = 54 b~

BB C2 D 2 E 2

Yukarida verilenlere göre, IADi2 + IAEi2 kaç b~ dir?


IBDI=IDEI=IEC!=2 br ~IAC! = 6 br

~IABI = 4 br

~

A) 30 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48 A)3 B) 2;13 C) 3.J2 0)3;13 E) 6

271


Bir ABC üçgeninde,

kenar uzunluklari a cm, b cm ve c cm;

kenarortay uzunluklari Va cm, Vb cm ve Ve cm dir.

V 2 + V 2 + V 2 = 12 cm2a b e

olduguna göre, a2 + b2 + c2 kaç cm2 dir?


a

Bir ABC üçgeninde

14.(Va2 + Vb2 + Ve2) = 3.(a2 + b2 + c2) ibagintisi bulunmaktadir.


4.(V 2 + Vb2 + V 2) = 3.(a2 + b2 + c2)a e

4.12 = 3.(a2 + b2 + C2)

a2 + b2 + C2 = 16 cm2 dir.

iSPAT! ÇOK KOLAY

Her kenar için kenarortay teoremiyazalim.

2 2 2 a2

2Va =b +C -22 2 2 b2

2Vb =a +C -22 2 2 c2

2Ve =a +b -22(V: +v; +V; )=%(a2 +b2 +c2)

4(V: + v; + v;)= 3(a2 + b2 + c2 )

Yukaridaki bagintida katsayilar olan 3 ve 4 ün yerini karistirabilirsiniz. Düsününbakalim kenarortaylar mi daha büyük, yoksa kenarlar mi? Kenarlar daha büyükoldugundan kenarlarin basindaki katsayi küçük yani 3 olmalidir.

1. Bir ABC üçgeninde IABi2 + IACl2 + IBCi2 = 20 b~

olduguna göre, V 2 + Vb2 + V 2 kaç b~ dir?a c

c

A

BF

ABC üçgeninde, IBci2 + IACi2 + IABi2 = 200 cm2 ve

ICDi2 + IBEi2 = 100 cm2 olduguna göre, lAFi kaç cmdir?

3.

E) 28D) 25C) 18B) 15A) 12

A)4 B) 312 C)5 D) 2.)6 E) 512

2. Bir ABC üçgeninde kenar uzunluklari a br, b br ve c br

olduguna göre; ~~

a2 +b2 +c2 ~

V: + V~ + V~

orani asagidakilerden hangisine esittir?

4. Bir ABC üçgeninde kenar uzunluklari a cm, b cm ve c cm

dir.

a+b+c=9cmve

a.b + b.c + a.c = 26 cm2

olduguna göre, Va2 + Vb2 + Vc2 kaç cm2 dir?

A)~3 B)~3 C)~4

D)i3 E)!3 A).:.!8 B) 757

C) 775

D)~4

E) 874

272


A

B

ABC üçgeninde

[AD] ile [BE] kenarortay

[AD]..L[BE]

iACi = 8 br

iBCi = 6 br

e olduguna göre, IABI kaç br dir?

açiklamali çözümBir üçgende iki kenarortay birbirine dik ise bu kenarortaylarin ait oldugu iki kenarin kareleri toplami, üçgenin üçüncükenarinin karesinin bes katina esittir.

Sekilde;

[AD]..L [BE]

[BE] kenarortayi b kenarina ait }' 25c2 = a2 + b

[AD] kenarortayi a kenarina ait


62 + 82 = 5c2

100 = 5c2

20 = c2 => C = 2J5 br

NEDEN?

a

c2a2 +b2 =-+2V;2

2 3[AD] ..L[BE] => IGCI= IABI=-Ve = c => Ve =-c3 2

ABC dik üçgeninde

m(ABC) = 90·

[BE], [AD], [CF] kenar

ortay

[FC]..L [BE]

IACI = 6.)3 bre

A3.A

B

ABC üçgeninde

[BE] ve [AD] kenaror

tay

[BE]..L[AD]

IABI = 6 bre

IBDI = 4 br


1.

C) 3J6 D)4J6 E)4J2 Yukarida verilenlere göre, IGDI kaç br dir?

A) 1 B) 2 C)3 0)2.)3 E) 2J5

2. A

~B D e

ABC dik üçgen ~ol;(

[BE] ile [AD] kenaror- ~o::i

tay ol;(

[AD]..L[BE]

IABI = 4.)3 br

4. A

e


IAB I = iACi

[BD]..L [CE]

[BD] ile [CE] kenaror

tay

iBCi = 4J2 br

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?

A)8 B) 9 C)12 0)15 E)16 A)2J2

273

B) 3.)3 C) 3J2 D) 2.)3 E) 2J5

IBlele[E]


A ABC dik üçgen

[BE) ve [CF) kenarortay

IBEI = 7 br

ICFI = 9 br

c olduguna göre, IBCI kaç br dir?

ISPArLA YALlM

2 2 b2 2a +e ;-+2Vb2

e2a2 +b2 ;-+2vl

2

2 b2 + e2 (2 2)2a+-2-;2 Vb +Vc

(b2 + e2 ; a2 yazilirsa)(Pisagor)

5 2 2 2-a ; Vb +Ve4

(a ; 2Va yazilirsa) (Muhtesem DçlO)

5 2 2 2-·4Va ; Vb + Ve4

5VJ; Vli +vg

Va = ./26 br

IBCI = 2·IADI

IBCI = 2,Va = 2./26 br dir.


c 72 + 92 = 5 V 2. a

B

açiklamali çözümBir dik üçgende dik kenarlara ait olan kenarortaylarin kareleri toplami,hipotenüse ait olan kenarortayin karesinin 5 katina esittir.

A Sekilde IBEf + ICFi2 = 5.IADf dir.

I V 2 + V 2 = 5.v 2. b c a

1. A

c

ABC dik üçgen

[AD), [CE) kenarortay

IACI = 6v'5 br

IGDI = 2../2 br

3.

B

A ABC dik üçgen

[AD) ve [BE) kenaror

tay

IGEI = 4 br

IGDI = 3 br

Yukarida verilenlere göre, IEGI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, ICGI = x kaç br dir?

A)J17 B) ff5 C) m D) 2../3 E) fiO A)2 B) 3 C) ff5 0)4 E)2v'5

ABC dik üçgen

[BD) ve [CE) kenaror

tay

IGDI = 4 br

IAGI = 6 br

A

~B C

Yukarida verilenlere göre, LGEI kaç br dir?

4.ABC dik üçgen

G, agirlik merkezi

IBGI = 4v'5 br

IGCI = 6v'5 br

A

B

c


2.

A) 3m B) 4m C) 16 D)6m E) 1B A) 313

274

B) .J29 C) J35 D)4../2 E)6

~


B

A ABC üçgeninde

[AH] 1. [BC]

[AD] kenarortay

IABI = 8 cm

IACI = 6 cm

IDHI = 2 cm


c

HA YDi iSPA TLA!

A

AHCde b2=h2+(i+xr

ABHd,=- C2=h2+(i-xr

b2 _c2 = 2ax

B

KOLAYINIZA GELECEKSE BiR FORMÜL

[AH] yükseklik ve [AD] kenarortay ise,

i 2ax = Ib2 - c21

c

c

x

~---------a

açiklamali çözümA iHCi = x => IBDI = x + 2 olur (kenarortay).

Çifte pisagor uygularsak

ABH de IAHi2 = 64 - (x + 4)2

AHC de IAHi2 = 36 - x2

64 - x2 - 8x - 16 = 36 - x2

12 = 8x => x =~2

3IBCI= 2x+ 4 = 2.'2+ 4 = 7cm olur.

B

B

ABC dik üçgen

[BH] yükseklik

[BD] kenarortay

IHDI = 1,4 cm

IABi2 + IBCl2 = 100 cm2

A

c

Yukarida verilenfere göre,IIBCI2-/ABI21 kaç cm2dir?


[AD] kenarortay

[AH] yükseklik

IACI = 412 cm

IABI =212 cmc

A

BH D

Yukarida verilenfere göre, /HDI kaç cm dir?

1.

A)5~ B)2J5 C)JVD2 D) 4JVD5 E) 3JVD5

A) 38 B) 33 C) 30 0)28 E) 24

2. A ABC üçgeninde4.

[BD] kenarortay~

[BH] 1. [AC]

.<c

~IHDI = 4 cm

~

IACI = 24 cmB

cIBCI = IABI + 6 cm

B

A

c

ABC üçgeninde

[AH] yükseklik

[AD] kenarortay

IDHI = 3 br

IABi2 - IAq2 = 72 b~

Yukarida verilenfere göre, IBCI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IHCI = x kaç br dir?

A) 19 B) 18 c) 17 D) 16 E) 15 A) 3

275

B)2J3 C)3J3 D) 612 E) 3.J5

~


A

c

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

G E d

[FC] /i [AE] II [BD]

IDBI = 2 cm

WCI = 6 cm

olduguna göre, IAEI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümA Yukaridaki sekilde IAEI = IDBI + WCI dir.

x = 2 + 6 => x = 8 cm dir.

HAYDi iSPATLAYALIM

[AK] kenarortayini çizelim

IBKI = IKCI dir. [KH] /i [Fc] çizelim.

[KH] orta taban olup IKHI = IDBI+IFCI dir.2

G agirlik merkezi oldugundan

IGKI = k, IAGI = 2k olsun..o.. .o..AEG - KHG oldugundan

IAEI = IAGI =~=~IHKI IGKI k 1

IAEI = 21HKI = 2.IDBI + IFCI2

IAEI = IDBI + WCI olur.

BiR ÖZELLiK DAHAA

3IGG'1 = lAA'1 + IBB'I + ICC'I

ispatlni size birakalim.

ABC üçgen

BD II AE II CF

[BD]..Ld

IAEI = 9 cm

ICFI = 2 cm

IBDI = 4 cm

A

D

Yukarida verilenlere göre, ABC nin agirlik merkezinin

d dogrusuna uzakligi kaç cm dir?

cYukarida verilenfere göre, IFBI kaç cm dir?

10 AABC üçgeninde3.

G, agirlik merkezi GEd[OC] II [AE] II [FB][AE] = 10 cmIDCI =? cm

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5 A)3 B) 5 C)? D) 9 E) 11

Yukarida verilenlere göre, IBHI kaç cm dir?

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[Ec]..L d, [GH]..L d

[AF] ..Ld, [BO]..L d

lAFi = 6 br, IECI = 1 br

IBDI =4 br

A

cYukarida verilenlere göre, IGHI = x kaç br dir?

[AF]..Ld

[BH]..Ld

[KC]..Ld

lAFi = 3 cm

IKCI = 2 cm

ABC üçgeninde

[BE] ve [AD] kenarortay 4.A

B

2.

A)5 B) 6 C)? D) 8 E) 9

276

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

~


Yukarida verilenlera göre, IAEI + IBDI kaç cm dir?

ABC üçgeninde

[AE] ri [BD] = {G}

IADI = iDc!

IBEI = IEC!

c IGDI + IGEI = 12 cm

ABC üçgeninde

DE orta taban

[AE] ri [BF] = {G}

IBEI = IEC!

lAFi = WCI

C IGFI = 6 br

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IHGI = x kaç br dir?

5.

E) 400)36C) 30

A

B) 24A) 18

1.

A) 1 B) 1,5 C)2 0)3 E)4

A A ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

G agirlik merkezi

[BE] açiortay

IAB i = 18 br

C IBC! = 24 br

Yukarida verilenlere göre,lADI, IEGI nin kaç katidir?

6.ABC üçgeninde

[AD] ve [BE] kenaror

tay

AD -L BE

IAB I = 10 brC

IGEI = 3 br


2.

A) 2fi3 B) 3.J6 C) 3J3 0)8 E) 9 A)8 B) 9 C)10 D) 12 E)15

E) 10D) 9

ABC üçgeninde

FO II BC

IADI = IDCI

21BDI = 31DC!/'-. /'-.

m(ADE) = m(EDB)

C) 8

A

B) 6

B C

Yukarida verilenlere göre,lABI, IEFI nin kaç katidir?

A)5

7.

E) 9D) 2J15C)2fi3B) 6

A ABC üçgeninde

[BD] ve [AE] kenaror

tay

AE -L BD

IDGI = 2 br

IGEI = 3 br

Yukarida verilenfere göre, IGCI kaç br dir?

A) fi3

3.


ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

[AE] ri [BD] = {G}

IFGI = IBFI

IKCI = 6 cm

C

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IFKI kaç cm dir?

8.

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

AE -L BD

IGDI = 4 br

A4.

A)12.J2 B) 18 C)8.J2 0)12 E)6.J2 A)2 B) 3 C) 3,2 0)4 E) 4,5

277



ABC dik üçgeninde

G agirlik merkezi

C) 2m D) 3.J5 E) 146

4D

A

4B

ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

IBEI açiortay

IDBI = IDCI = 4 br

C IABI = 6 br

IAEI ve IEDI tamsayi


A) 2M B) J42

13.

E) 1D)2

[DB] ri [FC] = {G}

IFGI = iECi

IBCI = 18 cm

C)3B)4

A

A)6

9.


ABC dik üçgeninde

G agirlik merkezi

GD 1. BC

IGDI = 8 br

IBCI = 60 br

A ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

IAGI = 6 br

IGCI = 12 br

B C IBGI=10br


14.

E) 29D) 28C) 26B) 25A) 24

10.

A) 4.)3 B) J62 C)4J6 D) 2.)65 E) 3.J58


A) fi3 B) M C) 2fi3 D) 2fi5 E) 2M

ABC üçgeninde

IBDI = IDEI = IECI

IABI = 5 br

IACI = 8 br

C

A

BD E

Yukarida verilenlere göre, IAEi2 -IADI2 kaç b~ dir?

15.

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi••••..... ••••.....

m(BAG) = m(GAC)

IACI = 10 br

IAGI = 6 br

A11.

A) 13 B) 20 c) 21 D) 27 E) 32

Yukarida verilenlere göre, IAB I kaç br dir?

A) 4fi3 B) 8M c) 6M D) 2fi3 E)2M

16. Bir ABC üçgeninde V 2 + V 2 + V 2 = 24 cm2 oldugu-a b c

na göre IABi2 + IBCi2 + IAei2 kaç cm2 dir?

E) 40D) 36C) 32B) 30A)27

ABC üçgeninde

E ve F orta nokta••••.....

m(EDF) = 60·

IDEI = 8 br

IDFI = 6 brC

A

B

12.

278


E)4D) 5

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

GEd

BD II AF II EC

IBDI = 1 br

lAFi = 8 br

c)6

A

B) 7

B


A)8

20.

E) 80)6C) 5../2

A

B) 4../2

B

ABC üçgeninde

[AE] ile [CD] kenaror

tay

AEl..CD

IBci = 6 br

IAci = 2../5 br


A) 3../2

17.


~ [AD] ve [BE] kenaror-G 2 E tay. IBDI = IDCI = 4 brB--4--~D--4--C IGEI = 2 br


A) 3./114 B) 4./113 C)./11 0)3 E)4

19. A ABC dik üçgeninde

BHl..AC

IADI = IDCI

IABI = 6 br

IBci = 12 brc

Yukarida verilenlere göre, IHDI = x kaç br dir?

A)2J53

B) .J155

C)9J55

D)2JW5 E) .J3ö

10

279

üçgen de kenarortay


A

B

ABC üçgeninde

[AD] ile [BE] kenaror

tay

BEJ..AD

C IBDI = 5 br

IDGI=3br


5.ABC üçgeninde

IBDI = iDCi = 2 br

IABI = 7 br

IACI = 9 br

c

A

B

1.

A) 3J6 B) 412 D)4)3 E) .J61 A) 217 B) 2113 C) 312 D) 7 E) 8

IBEI = 42 br

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi ve

kenarortaylar verilmis

tir.

C

A

BD

Yukarida verilenlere göre, IKGI kaç br dir?

6.ABC üçgeninde

IBDI = iDCi = 3 br

IADI = 6 br

IACI = 7 br

c

A

B3 D 3


2.

A) .J41 B) J43 C)6 D) 5 E)4 A)4 B) 5 C)6 0)7 E) 8

E) 17D) 15

ABC dik üçgen

[BD] ile [CE] kenaror

tay

IBDI = 8 br

ICEI = 9 br

A) 2)29 B) 2J26 C) 12


7.

E) 8D) 15

A ABC üçgeninde

[AE] ile [CD] kenaror

tay

AEJ.. OC

B C IDGI = 3 br

IGEI '" 5 br


A)3J17 B)2)34 C)2J15

3.

C

A ABC üçgeninde

m(BAC) = 90°

m(BAD) = m(DAC)

IBEI = IECI

IABI = 4 br

IACI = 12 br


8.ABC üçgeninde

[AD] ile [BE] kenaror- ..::c

tay ~~ADJ.. BE ~

B C IACI = 13 br

9" IBCI = 9 br


4.

A)6 B) 412 C) 4)3 D) 512 E) 5)3 A)2 B) 3 C) ff5 D) 212 E) 2)3

280


9. A


ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

[BE] açiortay

IAB I = IBci = 6 br

D C IAci = 6./2 br


13. A

~B E C

ABC dik üçgeninde

G agirlik merkezi

BDJ..AE

IABI = 5 br

A) .J5 B) .)6 C) 2./2 0)3 E)2J3 A) 5./2 B) 5J3 C) 5.)6 0)6 E) 7

10.

B

A

C

ABC üçgeninin agirlik

merkezi G,

GBC üçgeninin agirlik

merkezi F dir.

IAKI = 27 br

14.

~B C

ABC dik üçgeninde

G agirlik merkezi

IAGI = 4 br

IAci = 8 br

Yukarida verilenlere göre, IGFI kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?

A) 3 B)4 C)6 D) 8 E) 9A)4./2 B) 4,/3 C)4.J5 0)4.)6 E) 5./2

Yukarida verilenlere göre, IAKI kaç br dir?

11.

B

A

C

ABC üçgeninde

[BD] kenarortay/'-. /'-.

m(ADK) = m(KDB)

IADI = IDci = 3 br

IABI = 6 br

IBci = fi4 br

15. A

~B N C

ABC dik üçgeninde

[AN] açiortay

G agirlik merkezi

IABI = 4 br

IACI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IKGI kaç br dir?A)~

7B)~

6C)~

5 0)4 E)~2

A) 1 B) 3.3

C)~4

D)~21

E)~21

IGNI = 6 br

ABC dik üçgeninin

agirlik merkezi G

ABD üçgeninin agirlik

merkezi K

~B E D C

16.

ABC üçgeninde G

agirlik merkezi

GBC üçgeninde K

agirlik merkezi

ADE üçgeninde

agirlik merkezi

DE /i BCC

A

BF

Yukarida verilenlere göre, :~~: orani nedir?

12.

Yukarida verilenlere göre, IEDI kaç br dir?A) 1 C)~

2D)~

4E)i3 A)9 B) 12 c) 15 D) 18 E) 24

281

------- - ----------------------


D

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IACi2 - IABi2 kaç b~ dir?

ABC üçgeninde

IAEI = IEBI

IEFI = 3 br

WC! = 6 br

LFOI = 2 br

A

B


iAC! = IBCI

[AD] ve [BE] kenarortay

[AD] i- [BE]

IGEI = 2 br

c

A

B

1.

A) 2-15 B) 2-16 C) 3-15 D)4-15 E) 4-16A) 56 B) 60 c) 64 D) 72 E) 80


2.

B

A ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

G, agirlik merkezi

IGDI = 2 br

C IAB i = 5 br

6.

B

A ABC üçgeninde

IAKI = IKFI = WC!

IADI = IDBI

IDEI = 6 br

A) fi19 B) 6J3 C) 7.[2 D) 5.fi7 E) 13 KEF üçgeninin çevresinin en küçük tamsayi degeri

kaç br olabilir?

A) 20 B) 21 C) 23 D) 24 E) 25

E) .J22D) 3J3

ABC üçgeninde

IBDI = IDC! = 3 br

b2 + ç2 = 62 b~

C

C) 4.[2B) 6

A

B3 3


A)2fiO

7.

E) 9D) 8

ABC üçgeninde

[AE] i- [BC]

IBDI = IDCI

IEDI = 2 br

IBC! = 8 brC

C)7B)6

A

BE 2 D

8

ABC üçgeninin kenar uzunluklari tamsayi olduguna

göre, IADI = x kaç br dir?

A)5

3.

4.

B

A

C


merkezi G, 8.ABD üçgeninin agirlik ol(

:~

merkezi K, ~

IBC! = 24 br ~

A

C

ABC dik üçgen

[AD], [BE] kenarortay

[AD] i- [BE]

IABI = 4J3 br

Yukarida verilenlere göre, IKDI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir?

A)3 B)4 C)6 D) 8 E) 9 A)6J3 B) 8.[2 C) 9.[2 D) 9J3 E) 12

282


ABC üçgeninde

m(ADE) = m(EDC)

IABI = .ff9 br

iACi = 5 br

IBDI = iDCi = 4 brA~

CB4 D 4


13.ABC üçgeninin agirlik

merkezi G,

[BG] açiortay

IABI = 26 br

IDEI = 5 brcB

9.


A) 8 B) 9 c) 10 D) 12 E)9J3

A) 1 B) 2 c)3 D)~2

E)~3

B 4 D C

m(ADE) = m(DAC) + m(EDC) olduguna göre, IBEI kaçbr dir?

10.

B

A ABC üçgeninin agirlik

merkezi G

K noktasi ABD üçge

ninin agirlik merkezi

IBFI = 24 br


IABI = 3 br

IBDI = IDCI = 4 br


A)6 B) 8 c)9 D) 10 E) 12A)5 8)4J2 C)6 D)4J3 E)5J2


ABC dik üçgen

[BE], [CD] kenarortay

IBEI = mbr

ICDI = 2.fi br

E) 15D) 14

C

C) 13

A

B) 12

B

ABC üçgeninde

[CD] kenarortay

[AH]..L [Bc]

lAH i = 10 br

IBHI = 14 br

iHCi = 5 br

Yukarida verilenfere göre, IDCI kaç br dir?

A)10

15.

E) 9D) 8c)7B) 6

A

B

A) 5

11.

~3 A • 6 :~~~g::~:~)IABI = IBDI = IDCI = 3 br

IACI = 6 br

B E D C~~3 3

IAEI

Yukarida verilenlere göre, IADI orani kaçtir?

E) 600)45

ABC üçgeninde

C) 30

A

B) 22,5

B

[CD] kenarortay

[AE]..L[BC]

lAFi = 7 br

C /FEI = 3 br

IDFI=4br

Yukarida verilenfere göre, m(DCB) kaç derecedir?

A)15

16.

E)~D)~C)~

3B)~

2A)~ rI3V3

12.

283

üçgen de kenarortay

ABC üçgeninde

[AB] i [BC]

IAEI = IEDI

IABI = 8 cm

iACi = 17 cm

IDC! = 9 cmc


5.ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

[DE] i [Aci

IAGI = 6 cm

c

A

BD

Yukarida verilenlere göre, iBCi kaç cm dir?

1,

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24A)3 BL 4 Cl5 D) 6 E) 7


2, 3~~

ABC üçgeninde

[AD], kenarortay

[AB] i [AD]

IAB I = 3 cm

IACI = 5 cm

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

[BG] i [AD]

IBGI = 6 cm

c

A

BD


6.

EL 3D) 2,5C)2B) 1,5AL 1

A)6J2 B) 613 C)8J2 D) 9J2 E)10J2

Yukarida verilenlere göre, IEel = x kaç cm dir?

AEC üçgeninde

[CB], kenarortay

[AE] i [Aci

ICDI = 41DBI

IDEI = 6 cm

A ABC üçgeninde

IBDI = IDEI = iEC!

IABI = 9 br

IACI = 6 br

IADI = x brB C

D IAEI = y br

Yukarida verilenlere göre, x2 - y2 kaç b~ dir?

7.

E) 20D) 18

c

C)16

A

BL 15

E

A) 12

3.

A)9 BL 12 C)15 DL 16 E) 18



G, agiriik merkezi

8.

DG II AC

..:.::EG II BC

,~..:.::

IDGI = 4 cm

~

~B

ciEGI = 5 cm

ABC üçgen!nin çevresi 45 cm olduguna göre, IDEI = x

kaç cm dir?

B

A

c

ABC eskenar üçgen

G, agirlik merkezi----

m(DGEl = 75°

EG 1/ BC

IDGI =.J6 cm

A)3 B)4 c)5 D) 6 El7 A)4 B) 6 CL 6./2 D) 613 E) 8

284



gen

G, agirlik merkezi

DG II BC

m{EGo) = 75°

IEGI =213 cmC

D

B


13.A

B

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

[GE] 1. [BC]

IBDI = IDCI

C IABI = 90 cm

IACI = 120 cm

Yukarida verilenfere göre, IEDI = x kaç cm dir?

9.

A)5 B)6 C)7 D) 8 E) 9 A)8 B) 2/13 C)9 D)~J5


C

A

D

B

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

DG II BC

EG II AB

IDGI = 5 cm

IEGI = 4 cm

Yukarida verilenlere göre, IADI + IBCI kaç cm dir?

14.

IGFI = iFCi

IFEI = 6 cm

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

C

10. A

A) 24 B) 30 C) 32 0)36 E) 42A) 19 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23

11.

B

A ABC üçgeninde15.

AABC üçgeninde

[BE], [AD] kenarortay

[AB] 1. [AC]

[AD] 1. [BE]

IADI = IDCI

IAEI = 6 cm

IECI = 3 cm

C

iDCi = 8 cm BCIBEI = 9 cm

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç cm dir?

A) 415 B) 515 C) 613 D) 3J11 E) 2mA)2 B) 3 c)4 D)5 E) 6

Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç birimdir?

ABC dik üçgeninde

G, agirlik merkezi

[AD] 1. [BE]

IAEI = 3 cmC

A

B



[BD] kenarortay

31BKI = 41BDI

IKCI = 7 birim

A

B

12.

A) 14 B)15 C)18 D) 21 E) 28A) 3)2 B) 4,,3 C) 3J6 D) 6 E) 613

285

BÖLÜM

Üçgende MerkezlerKÖSETASi KAZANiMLAR

lo Bir üçgenin iç teget çemberinin merkezini kavratir.

2. Bir üçgenin dis teget çemberinin merkezini kavratir.

3. Bir üçgenin agirlik merkezini kavratir.

4. Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezini kavratir.

5. Çevrel çemberin merkezinin üçgen in iç bölgesinde ya da dis bölgesinde olma durumunu analiz eder.

6. Çevrel çemberin merkezini üçgenin köselerine birlestiren dogru parçasinin yançap oldugunu farkettirir.

7. Çevrel çemberin merkezini üçgenin köselerine birlestiren dogru parçasinin yariçap oldugunu farkettirir.

8. Çevrel çemberin merkezini üçgenin köselerine birlestiren dogru parçasinin yariçap oldugunu farkettirir.

9. Bir üçgenin diklik merkezini kavratir.

10. Diklik merkezinin üçgenin iç bölgesinde ya da dis bölgesinde olma durumunu analiz eder.

11. Bir üçgen in diklik merkezi yardimiyla baska bir üçgenin diklik merkezini tespit eder.

12. Köseleri yükseklik ayaklari olan üçgenin iç teget çemberinin merkezi ile diger üçgenin diklikmerkezinin örtüsiligünü gösterir.

13. Iki ya da daha çok merkezi içeren sorulari çözer.

~ iç teget çemberin merkezi: Iç açiortaylarin kesisimnoktasidir.

B

A

c

üçgende merkezler

~ Dis teget çemberin merkezi: Iki dis ve bir iç açiortayin kesisim noktasidir.

A

~ Agirlik merkezi: Kenarortaylarin kesisim noktasidir.

B

A

c

~ Çevrel çemberin merkezi: Kenar orta dikmelerinkesisim noktasidir.

~ Diklik merkezi: Yüksekliklerin kesisim noktasidir.

A

A

289

B c

üçgende merkezlerA

B c

A

c

Merkez üçgenin içinde ise,üçgenin tüm açilari dardir.

Merkez üçgenin bir kenarininüzerinde ise üçgen bu kenarinhipotenüs oldugu dik üçgendir.

Merkez üçgenin dis bölgesinde ise merkezi iç bölgesine olan açi genistir.

A p

/1\,~'-

B~C

Üçgen genis açili ise diklikmerkezi üçgenin disindadir.

cB

A

H

Üçgen dik üçgen ise, diklikmerkezi dik kösedir.

cE

Üçgen dar açili ise diklik merkezi üçgenin iç bölgesindedir.

B

...•..... ...•..... ...•.....

[DA], FDE nin açiortayi; [EB], FED nin açiortayi; [FC], EFD nin açiortayidir.

K, ABC üçgeninin diklik merkezi ve DEF üçgeninin de iç teget çemberininmerkezidir.

~ ABC üçgeninin yükseklikleri, DEF üçgeninin açiortaylaridir.A

290

kösetasiüçgende merkezler

A K noktasi ABC üçgeninin iç teget çemberinin merkezi

c

IAKI = 21KDI"""""

Ç(ABD) = 18 br

IBDI = y br

olduguna göre, y nin tamsayi degeri kaçtir?


B

A

c

c

Bir üçgende açiortaylar bir noktada kesisir ve açiortaylarin kesistigi nokta üçgen in içteget çemberinin merkezidir.


[AD] ile [BK], ABC üçgeninin açiortaylaridir.

ABD üçgeninde açiortay teoreminden

i BA i = i AK i = ~iBO i IKDI 1

Bu orantidan IAKI= 2x, IKDI= x ve IABI= 2y, IBDI= y

ABD üçgeninde IABI + IBDI > IADI. 3y> 3x => y > x (I)

IADI > IABI - IBDI => 3x > 2y - Y => 3x > y"""""

Çevre(ABD) = 3x + 3y = 18 => x + y = 6 (II)

i ve Il'den 3x > y > x} ise x = 2, Y = 4 olabilir.x+y=6

K noktasi ABC üçgeninin Iç teget çemberinin

merkezi olduguna göre,lAKI, IKDI nin kaç katidir?E) 2J60)4

ABC dik üçgen-----..

m(BAC) = 90°

IAC[ = 3·IABI

IBC[ = 4J5 br

c

C)3B)2.J2

A

BD

i noktasi, ABC üçgeninin iç teget çemberinin merkezi


A) .J3

3.ABC üçgeninde

IABI = 8 br

IAC[ = 10 br

IBC[ = 9 br

c

A1.

A)4 B)3 C)2 D) ~2

E) ~3

2. A IABI = 8 br

IADI = 4 br

IDC[ = 6 br

4.

B

A

c

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

IABI = 6 br

IAC[ = 7,5 br

IBC[ = 9 br

B C

K noktasi ABC üçgeninin iç teget çemberinin

merkezi olduguna göre, IKDI kaç br dir?

D, O, E dogrusal, O noktasi ABD üçgeninin iç teget

çemberinin merkezi olduguna göre, IAEI kaç br dir?

A) 3.J2 B)4 C)2.J3 D) 3 E)2.J2 A)2 B)~2

C)~3 0)3 E).!.Q.3

291


A ABC üçgeninde

I, dis teget çemberin merkezi

A, B, D dogrusal

A, C, E dogrusal

[BC] ii [DE]

IBDI = 5 cm

ICE i = 7 cm

Yukarida verilenfere göre, IDEI kaç cm dir?

açiklamali çözümBir üçgende bir iç açiortay ve iki dis açiortayayni noktada kesisir, kesisim noktasi dis tegetçemberin merkezidir.


A.•..•.•..• .•..•.•..•

m(CBI) = m(BID) (iç ters).•..•.•... .•..•.•..•

m(BCI) = m(CIE) (iç ters)

IDI i = IBDI = 5 cm

IEII = ICEI = 7 cm

IDEI = 5 + 7 = 12 cm olur.

A

-Yukarida verilenfere göre, m(ABC) kaç derecedir?

A

E) 3D)2v'3

ABC üçgeninde

D dis teget çemberin

merkeziD

C)4B) 3.J2

B

B, K, D dogrusal

IAB I = 6 cm

IAKI = 2 cm

IKCI = 3 cm

Yukarida verilenlere göre, IKDI kaç cm dir?

A) 3v'3

3.

E) 70D) 60

.•..•.•..•

m(BDC) = 30·.•..•.•..•

m(DCA) = 50·

ABC üçgeninde

D dis teget çemberin

D merkezi

C) 50B) 40

B

A) 30

1.

E)~2

B, D, K dogrusal

21BCI = 31ABI

ABC üçgeninde

K, dis teget çemberi n

merkeziK

A

B) .!.2

A) .!.6

B

""""'-

Yukarida verilenlere göre, A(A~K) orani kaçtir?A(BCK)

c) 3. D) 13

4.

E) 17D)16

ABC üçgeninde

D dis teget çemberi n

merkezi

c) 15B) 14

[DE].L [BE

[DF].L [BF

B IABI = 10 cm

IACI =6 cm

IBCI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IBFI kaç cm dir?

A) 12

2.

292


B

A

c

ABC üçgeninde

IABI = IACI

G, agirlik merkezi

IGBI = 10 cm

IBCI = 12 cm

olduguna göre, IAGI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümBir üçgende kenarortaylar bir noktada kesisir ve kenarortaylarin kesistigi bu noktayaagirlik merkezi denir. Bir üçgen levha rastgele bir noktasindan dik duvara bir çivi ileçakildiginda büyük olasilikla küçük bir dönme hareketi yapacaktir. Çivi agirlik merkezineçakildiginda dönme hareketini yapmayip dengede kalacaktir.

( Hareket yok~Dönmeyönü

B c


AG uzatilirsa tabani iki esit parçaya böler.

Çünkü ikizkenar üçgende kenarortayayni zamanda yüksekliktir.

GBH üçgeninde Pisagordan,

IGHI = 8 cm bulunur.

IAGI = 21GHI = 16 cm

ABC üçgeninde

G hem agirlik merkezi,

hem de iç teget çem

berin merkezidir.

IBGI = 8 cm

A

B C..ö..

Yukarida verilenlere göre, ÇevreCABe) kaç cm dir?

3.ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

IBGI = IGCI

IAGI = 4 cm

IBCI = 12 cm

c

A

B12


1.

A) 4J3 B) 8 C) 6.J2 0)4J5 E)3ffO A)24J3 B)21J3 C)18J3 D) 12J3 E)8J3

2.

B


AOC ikizkenar dik üç

gen

IABI = 12 br

4.

B

A"'""""

E noktasi ABC nin dis

teget çemberinin mer-..ö..kezi ve AFC nin agirlik

merkezidir.

B, D, E, F dogrusal

IBCI = 310CI

Yukarida verilenlere göre, iBD i orani kaçtir?IFEI

Yukarida verilenlere göre, bu iki üçgenin agirlik mer

kezleri arasinda kalan uzaklik kaç br dir?

A) 4 + 4J3 B) 4 + 2J3 C) 2 + 4J3

D) 2 + 2J3 E) 2 + J3A)3.3 B)~

4c)1 o)i3 E)~

2

293


S

A

C

ABC üçgeninde

P, çevrel çemberin merkezi

m(BAC) = 56°

m(BPC) = XO

olduguna göre, x kaçtir?


A

ABC üçgeninde kenar orta dikmelerin kesisim noktasi çevrel çemberin merkezidir.

IAPI = IBPI = ICPI = r

m(PA'C) = m(PCA)

m(PCB) = m(PBC)

m(PAB) = m(PBA)

Taktik: Çevre i çemberin merkezinden üçgen in köselerine dogrular çizilir. Bu dogruparçalari çemberin yariçapi olup birbirine esittir.


a + b = 56°

ABC üçgeninde iç açilar toplamindan:

2a + 2b + 2c = 180°

112 + 2c = 180°

2c = 68°

PBC üçgeninde iç açilar toplamindan

x + 2c = 180° :::> x = 112°

c

"""'"

3. ABC üçgeninde D çev-D noktasiABC nin A

çevre içemberinin rel çemberin, OBC üç-

merkezi

genindeEiçteget..........

çemberin merkezidir.m(BOC) = 120° ..........

olduguna göre,

m(BAC) = 48°

..........

olduguna göre,m(BAC) = x kaç de-recedir?

..........

S Cm(BEC) = x kaç dere-C cedir?C) 56

D) 60E) 64A) 142

B) 138C) 1320)128E) 124

4.

AABC üçgeninde

ABC üçgeninde

i,iç teget çemberin::i: merkeziP, hem iç teget çem- ~

. 'll

..........

berin hem de çevrel ~m(BAC) = 56°

çemberin merkezidir.

.:.:..........

m(BIC) = XO

Buna göre,olduguna göre, x kaç.......... m(BAC) = x kaç de- SCderecedir?

C recedir?A) 108

B) 112C) 115D) 118E) 120C) 70

D) 60E) 50 (K(jsetasmdan farki belli degil mi?)

294

~

A

A

B) 52

A

S

S

A) 48

A) 90 B) 80

1.

2.

köse/asiüçgende merkezler

B

A

c

D noktasi ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.

m(BAC) = 2x + 12°

olduguna göre, x in deger araligi nedir?

•D


B cc

Merkez üçgen in içinde ise, üçgenin tüm açilari dardir.

Merkez üçgenin bir kenarininüzerinde ise üçgen bu kenarinhipotenüs oldugu dik üçgendir.

Merkez üçgenin dis bölgesindeise merkezi iç bölgesine olan açigenistir.

Kösetasinin çözümü: Çemberin merkezi dis bölgede kaldigindan m(A) > 90°

Bir üçgen in bir iç açisi 180° den küçük olacagindan

90° < 2x + 12° < 180°

78° <2x <: 168°

39° < x <84°

1.

B

A

C

ABC üçgeninde

P, çevre i çember mer

kezidir.

m(ABC) = 3x + 20°

olduguna göre, x in

en büyük tamsayi

degeri kaçtir?

3. A

p

C

ABC üçgeninde

P, çevrel çember mer

kezidir..........

Buna göre, m(PBC)

nin en büyük tam

sayi degeri kaç dere

cedir?

A} 23 B) 31 C)32 D} 34 E) 35 A) 87 B) 88 C) 89 D) 90 E} 91

.........

olduguna göre, m(ACB) nin alabiiecegi en büyük


IABI < iBCi

ABC üçgeninde


kezidir.

C

A

B

ABC üçgeninde 4. A

P, çevre i çember mer-

kezidir. ~

PE [BC] ]IABI = 4 cm

CIACI = 8 cm

Yukarida verilenlere göre, Aile P noktalari arasinda

ki uzaklik kaç cm dir?

2.

A}4 B)2J5 C)5 D)2.fi E)2J1O

295

A}49 B} 48 C) 47 D} 46 E) 44

~

kösetasiA

B


ABC üçgeninde

P, çevrel çemberin merkezi

IPKI = 5 cm

IAPI + IBPI + ICPI = 39 cm

olduguna göre, IABI kaç cm dir?

üçgen de merkezler

B

A Çevre i çemberin merkezi ile köseleri birlestiren dogru parçalarinin yariçap oldugu, buyüzden de birbirine esit oldugu önceden vurgulanmisti. Buna göre,

IAPI = IBPI = ICPI = r dir.

IAPI + IBPI + ICPI = 39 (verilmis)

3r = 39

r = 13 cm

C [PK] kenar orta dikmedir, IAKI = IKBI = x

x2 = 132 _ 52

X = 12 cm

IABI = 2x = 24 cm

1.

B

A ABC üçgeninde


kezi

IBPI = 20 cm

IAci = 24 cm

3. A

p

ABC üçgeninde


kezi

IBPI+!API+ICPI = 45 cm

IAci = 18 cm

Yukarida verilenlere göre, IPHI = x kaç cm dir?

A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

Yukarida verilenlere göre, P noktasinin IACI kenarina

uzakligi kaç cm dir?

A)9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

B C

Yukarida verilenlere göre, IABI + IACI nin alabilecegi

en kücük tamsayi degeri kaçtir?

~]2. ABC üçgeninde, D noktasi kenar orta dikmelerin kesisim .:.:

noktasidir.

IADI + IBDI + ICDI = 36 cm olduguna göre, ABC üç

geninin çevrel çemberinin çapi kaç cm dir?



kezi

!APi + IPCj + IBPI = 18 cm

A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 36

296

A) 11 B) 12 C) 13 D)14 E) 15

IBIDICiCi

kösetasiüçgen de merkezler

B c

ABC üçgeninde

P, çevre i çemberin merkezi

[PE) 1.. [AC) , [PD) 1.. [Bc]

IPEI = ro cm

IPDI = 2)6 cm

IAEI = 6 cm



B

A

c

Yine P noktasi köselere birlestirilir.

APE dik üçgeninden

i2 = (ro)2 + 62 => r = 7 cm

PDC dik üçgeninden

IDCl2 = 72 - (2)6)2 => IDCI = 5 cm

IBCI = 21DCI = 10 cm

E) 10D) 11

ABC üçgeninde

P, çevrel çemberin

merkezi

[DP) 1..[AB]

[PE) 1..[Bc]

IPDI = .fi1 cm

IADI = 5 cm

C)13

A

B) 15

B


degeri kaç cm dir?

A) 17

3.ABC üçgeninde


merkezi

A

B) 2fi5 ci 15J3 D) 4../5 E) 10A) 2../5

[DP) 1..[AB)

[PE) 1..[AC)

IADI = 4 br

B c IDPI = 3 br

IPEI = ../5 br

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br olur?

1.

ABC üçgeninde


merkezi

A

B

[PD) 1..[Ac]

IPDI = 2../5 cmC

IADI = 4 cm


4.

ABC üçgeninde


merkezi

A

[PD) 1..[AC)

[PE) 1..[Bc]

IADI = 7 br

IECI = 8 br

B E 8 C IPDI = x br

IPEI = y br

Yukarida verilenlere göre, x2 - y2 kaç br'! dir?

2.

A) 13 B) 15 C)17 D) 19 E) 21 A) 12 8) 11 C) 10 D) 9 E) 8

297


F noktasi, ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.

10CI = 3 cm

IFOI = 4 cm

IEFI = 1 cm

olduguna göre, IABI kaç cm dir?

açiklamali çözümYine çevrel çemberin merkezi köselere birlestirilir, bu birlestiren dogru parçalari çemberin yariçapi olup uzunluklari birbirine esittir.

FOC üçgeninde Pisagordan

i2 = 32 + 42 ~ I· = 5 cm

lAFi = IFBI = IFC! = 5 cm

FAE üçgeninde Pisagordan

52 = 12 + IEAi2 ~ IEAI = 2~ cm

IABI = 21AEI = 4~ cm

ABC üçgeninde


kezi

P

A ~ 5 C\(7B

[PO].l [Aci

[PE].l [AB]

L0C! = 5 br

IEBI = 2 br

Yukarida verilenlere göre, IPEi2 -IPOI2 kaç b~ dir?

3.ABC üçgeninde

P, çevre i çemberin

merkezi

A

p

[PO].l [BC]

C [PE].l [AB]

LOC!= 21AEI = 4J2 cm

10PI =2 cm

Yukarida verilenlere göre, IPEI kaç cm dir?

1.

A)4J2 B) fj(j C) 2../7 0)2~ E) 2../5 A)12 B) 14 C) 18 D) 21 E)23

D) ro E) .ff4

~

..o..P, hem ABC nin hem

..o..de BOC nin çevrel

çemberinin merkezidir.

[PF].l [OC]

[PE].l [AB]

IPFI = 2 br

10FI = 4 br

IBEI = 3 br

C

A

C) 2.)3

B

D

Yukarida verilenlere göre, IPEI kaç cm dir?

A) fj(j

4.

298

E)4J20)2~

ABC üçgeninde


kezi

p

A

B C [PO].l [AB]

[PE].l [Aci

IBOI = 2 br

IECI = 3 br

IPDi2 + IPEi2 = 19 b~ olduguna göre, A ile P noktasi

arasindaki uzaklik kaç br dir?

A) 4 B) 2../5 C) m

2.

-------_._-_.- ._--- ._-- ._- ---


B

A

c

ABC üçgeninde

D, diklik merkezi/'-. /'-.

m(BAD) = 35° ve m(DAC) = 25°

m(ACD) = a ve m(DCB) = b

olduguna göre, 2a - b kaç derecedir?

açiklamali çözümA Bir üçgende yükseklikler bir noktada kesisir.

Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.

B CKösetasinin çözümü:

[AD) ve [CD) uzatilirsa:[AH)l.. [Bc][CK)l.. [AB]AKC üçgeninden a = 30°B

AHC üçgeninden a +.b = 65° =>b = 35°

C 2a - b = 25° olur.

1.

ABC üçgeninde3.pPnoktasiABC üç-

K, diklik merkezi

geninin diklik merke-

/'-.

zidir.m(BAC) = 45·

IBLI = 4 cm

IABI = 4 cm

olduguna göre,

IAC! = 5 cm

ILKI = x kaç cm dir?

BCiBC! = 6 cm

B

C xolduguna göre,

A)2

B) 3C)4D) 3.J2E)4.J2IDCI = x kaç cm dir?

A) 2,5

B) 3C) 3,75D)4E) 4,2

IDC! = 9 cm

IAEI = 5 cm

F, ABC üçgeninin dik

lik merkezidir.

C

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IBCI + IABI toplaminin ala

bilecegi en kücük tamsayi degeri kaçtir?

4.ABC üçgeninde

K, diklik merkezi

m(ABF) = 25° ~

m(BAE) = 35° ]m(ACD)=x --

/'-.B E C m(FBC) = y

Yukarida verilenlere göre, x + y toplami kaç dere

cedir?

2.

299

A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 A)10 B) 15 c) 16 D) 17 E) 18

~


c

ABC üçgeninde

D, diklik merkezi.••....•.•

m(BAC) = 2x + 24°

olduguna göre, x in deger araligi nedir?


A

c

Üçgen dar açi/i ise diklik mer- Üçgen dik üçgen ise, diklik Üçgen genis açili ise diklikkezi üçgenin iç bölgesindedir. merkezi dik kösedir. merkezi üçgenin disindadir.

Kösetasinin çözümü: Diklik merkezi üçgenin dis bölgesinde oldugundan diklik merkezini gören A açisi genistir.

90° < m(A) < 180°90° < 2x + 24° < 180°

66° < 2x < 156°

33° < x < 78°

1.

B

i

.•.•.!:',•./

c

ABC üçgeninin diklik

merkezi i. bölgededir.

3.

B

A

c

ABC üçgeninde

P, diklik merkezi.••....•.•

m(BAC) = 2xo - 36°

Yukarida verilenfere göre, ABC üçgeninin çevrel

çemberinin merkezi hangi bölgededir?Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi kaç tam

sayi degeri vardir?

A)I B) ii C) iii D) iV E) V A) 32 B) 44 C) 56 D) 62 E) 89

.••....•.•

Yukarida verilenlere göre, m(AOB) = x kaç derecedir?

ABC üçgeninde

P, diklik merkezi.••....•.•

m(BPC) = 2xo - 36°

B

Yukarida verilenlere göre, x in alabilecegi kaç tam

sayi degeri vardir?

4.

IBDI = IDCj

m(C) = 18°

ABC üçgeninin diklikmerkezi Adir.

c

A2.

A) 9 B) 12 C)18 D) 30 E) 36

300

A)43 B) 44 c) 89 D) 92 E) 117

~

kösetasiüçgen de merkezler

B c

K, ABC üçgeninin diklik merkezidir.

A, K, E dogrusal

IKEI =4 cm

IECI = 5 cm

K noktasi ile ABK üçgeninin diklik merkezinin arasindaki uzaklik kaç cm dir?


B

A [CD] ..L[AB] (diklik merkezinden geçiyor)

[AE]..L [BC] (diklik merkezinden geçiyor)

[DK] ve [BE], AKB üçgeninin yükseklikleri olup C de kesisiyorlar.

Demek ki C noktasi AKB üçgeninin diklik merkezidir.

Istenen IKCI uzunlugu olup Pisagordan

IKCl2 = 42 + 52

C IKCI = J41 cm

1.

B c

ABC üçgeninde

E, diklik merkezi

A, E, D dogrusal

IEDI = 3 br

3.

c

ABC üçgeninde

K, diklik merkezi

[AE] ri [BD] = {K}

IKEI = IKDI

IABI = 12 br

...o.E noktasi ile AEC nin diklik merkezi arasindaki uzak-

lik 313 br olduguna göre, IBDI kaç br dir?

C noktasinin [AB] ye uzakligi 10 br olduguna göre

IACI kaç br dir?

A) 2-13 C) 3../2 D) 2.,/5 E) 5 A)2J3ö B) 5-13 C) 2)34 D) 2../37 E) 6.,/5

...o.Yukarida verilenlere göre, KEC nin diklik merkezi ile

K noktasi arasindaki uzaklik kaç cm dir?

C) 13.J1ö30

IECI = 21BEI

IBDI = 9 cm

IFEI = 2m cm

ABC üçgeninde

F, diklik merkezi

c

A

B

A) 135 B) 13.,J3ö30 20

D)13J2 E)13

(Ipucu: Benzerlikten yarar/antlacaktlr.)

E

Yukarida verilenlere göre, IFCI "" x kaç cm dir?

4.

E) J3öD) 5

ABC üçgeninde

K, diklik merkezi

[AE] ri [OC] = {K}

IKCI = 6 cm

IECI =4 cmc

C)2J6

A

B) 2.,/5

B

A)4

2.

301


ABC üçgeninde

AD -l BC

B ve C den karsi kenarlara çizilen dikme ayaklari ise E ve F dir.

IDFI = 9 br

IDEI = 12 br

IFEI = 7 br

c olduguna göre, IFKI = x kaç br dir?

açiklamali çözümA ABC üçgeninin yükseklikleri, DEF üçgeninin açiortaylaridir.

[DA]. FDE nin açiortayi; [EB]. FED nin açiortayi; [FC]. Em nin açiortayidir.

P, ABC üçgeninin diklik merkezi ve DEF üçgeninin de iç teget çemberinin merkezidir.

c


IFKI = x =} IKEI = 7 - x br

FDE üçgeninde [DK] açiortayoldugundan IKFI = IDFI dir.IKEI IDEI

_x_ = ~ =} x = 3 br bulunur.

C 7 -x 12

ABC üçgeninin yük

seklikleri

[AD], [BE] ve [CF] dir.

IFEI = 6 br

LFOI = 8 br

IKEI ve IKDI tamsayiC

A

B

Yukarida verilenlere göre, IKEI kaç br dir?

3.A

B

ABC üçgeninde

D, E, F yükseklik ayak

laridir.

(Yüksekliklerin kenar

lara degdigi noktalar)

C 21KEI = 31KDI

IFEI = 6 br


1.

302

E) 5

E) 2,5

~

D) 3

D)4

ABC üçgeninde

P diklik merkezi

IDFI = 7 cm

IFEI = 5 cm

IEDI = 6 cm

C

c) 3,5

C) 3

A

B) 4

B) 2

BE

Yukarida verilenlere göre, IKEI kaç cm dir?

A)4,5

A) 1

4.

A) 6B) ~C)5D) ~E)42

2

2.

AABC üçgen

..<:::>..I, DEF nin iç teget ol( ,~çemberinin merkezi ~

..-......

i..

m(BAI) = 20·~

olduguna göre,

..-......m(ABC) kaç derece-B

Cdir?

A) 80

B) 70C) 60D) 50E)40



[AH] yükseklik

[BD] ve [CD] açiortaylar

IDHI =4 cm

olduguna göre, IACI-IHCI farki kaç cm dir?

açiklamali çözümA Bir üçgende açiortaylar ayni noktada (iç teget çemberi n merkezi) kesisirler. Buna göre,

[AH] ayni zamanda açiortaydir. [AH], hem açiortay hem de yükseklik oldugundan ABCikizkenar üçgen olup IAB i = IACI dir.

IADI = k ise, IHCJ = k + 4

..a..AHC de IACJ = (k + 4). J2

C Açiortay teoreminden ICHI = IACI => k + 4 = (k + 4).,[2 => k = 4.,[2 cmIHDI IADI 4 k

IACI -IHCI = (k + 4) J2 - (k + 4) = (k + 4) (J2 - 1) = 4(J2 + 1)(J2 - 1) = 4 cm

ABC dik üçgeninde

[AE]..L[BC]

[BD] kenarortay

IBFI = 21FDI

lAFi =6 cm

C

A

BE


3.ABC üçgeninde

[AB]..L[CD]

[AE]..L [Bc]

[BF] açiortay

IDFI = 6 cm

ICE i =B cmC

A

BE 8


1.

A)3Jf1 B)4.)6 C) 5J5 D) 6J3 E) BJ5 A)6J2 B) 4.)6 C) 9J2 D) 12J2 E)9J3

ABC üçgeninde

B, diklik merkezi

0, iç teget çemberin

merkezi

[BD]..L [AC]

1001 = 4 brC


A) B + BJ2 B) 4 + BJ2 C) B + 4J2

D) 4 + 4J2 E) 16J2

~

4.

303

E) 6D)4J3

ABC üçgeninde

[AH]..L [Bc]

[BD], [OC] açiortay

IBDI = 6 br

C

C)6J2

A

B) 4.)6

BH


A) 6J3

2.

üçgende merkezler

Yukarida verilenlere göre, IABI + IBOI kaç cm dir?

41ABI = 31ACI...c...

C Çevre(ABC) = 21 cm

ABC üçgeninde


merkezi

C

A

PE [AC]

IABI = 6 br

IBCI = 12 br

Yukarida veri/enlere göre, B noktasinin AC ye uzak

ligi kaç br dir?

5.

E) 18D) 15

ABC üçgeninde

I, iç teget çemberin

merkezi

C) 12B) 9

A

B

A)6

1.

A) E.,fS

B)~,fS

D)~J3

E)~,fS

Yukarida verilenlere göre, m(AEB) = x kaç derecedir?

B

A ABC üçgeninde

E, dis teget çemberin

merkezi..........

m(EAC) = 70·..........

m(EBC) = 20·

6.

B

A ABC üçgeninde


merkezi

PH1.AC

iHCi = 8 br

C IAPI+IPBI+IPCI = 30 br

A) 65 B) 60 C) 55 D) 50 E) 45 Yukarida veri/enlere göre, IPHI = x kaç br dir?

A)4 B) 5 C)6 D)7 E)8

3.D

ABC ve ACD eskenar

üçgen

IABI = 12 cm

B

Yukarida verilenlere göre, ABC ve ACD üçgenlerinin

agirlik merkezleri arasindaki uzaklik kaç cm dir?

7.

B

A

x

ABC üçgeninde


merkezi

PE 1. AB

PD1.BC

IAEI = 4 br

C IPEI = 3 br

IPDI = 2./3 br

A) 2./3 B)4.J2 C) 4./3 D) 6.J2 E) 6./3Yukarida veri/enlere göre, 10CI = x kaç br dir?

4.

B

A

A) 3.J2B) 4C)MD) ff4E) J13

8.

ABC üçgenindeA

P,çevrelçemberi n

ABC üçgeninde

merkeziol:( P,

çevrelçemberin ~ PD 1. AC, PE 1. BCmerkezi

~IPDI = 2 br

..........~

m(ABC) = 40·CIADI = 6 br

C

IECI = 4 br

..........

Yukarida verilenlere göre, m(APC) = x kaç derecedir? Yukarida veri/enlere göre, IPEI kaç br dir?

A) 84 B) 80 C) 72 D) 60 E) 48 A)2V6 B)4.J2 C) .J34 D)6 E) .J38

304

---- ---,--------------

üçgen de merkezler

.••.•.•... .••.•.•...

Yukarida verilenlere göre, m(CAE) + m(ABD) kaç de-

recedir? Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir?

ABC üçgeninde

P, diklik merkezi

m(BAP) = m(PAC)

ISPI = 5 br

IBC! = 8 br

c IAPI = 7 br

A

B

13.ABC üçgeninde

P, diklik merkezi

m(BAE) = 20°.••.•.•...

m(DBC) = 24°

c

A

B

9.

A) 52 B) 58 C) 62 D) 66 E) 70 A)J19 B)2J1O C)2JT5 D)2)29 E)2~31

10. A

B c

ABC üçgeninde

P, diklik merkezi

m(EPD) = 3x + 12°



A)26 B) 27 c) 28 D) 29 E) 30

11. A

B c

ABC üçgeninde

P, diklik merkezi

IAPI = 10 cm

IADI = 8 cm

"""""-

Yukarida verilenlere göre, ADP nin diklik merkezi ile

P noktasi arasindaki uzaklik kaç cm dir?

A)4 B)2J6 C) 4)2 D)6 E) 413

12.

B

A

c

ABC üçgeninde

P, diklik merkezi

IDEI = 12 cm

IDFI = 14 cm

IEFI = 13 cm

Yukarida verilenlere göre, IFKI kaç cm dir?

A)5 B) 6 C)7 D)8 E) 9

305

üçgende merkezler


K noktasi ABC üçge

ninin iç teget çem

berinin merkezidir.

IAKI 5

IKDI =4" ve...o..

C Ç(ABC) = 36 br

E) 2fföD) 3.J2



noktasidir.

IAB i = 3 br

IBCI = 7 brC

C)2.ftB) 2.J5

A

Bo

Yukarida verilenlere göre,IACI kaç br dir?

A) 2../3

5.

E) 17D) 16c) 15B) 14

A

B

A)13

1.

Yukarida verilenlere göre, IBCI nin en büyük tamsayi

degeri kaç br olabiiir?

IACI = 4 br

IBCI = 5 br

O noktasi ABC üçge

ninin dis teget çem

berinin merkezidir.

CF B

Yukarida verilenlere göre, çemberin yariçapi kaç br

dir?

6.ABC üçgeninin çevrel

çemberinin merkezi

üçgenin iç bölgesinde

dir.

IABI = 5 br

C IACI = 7 br

A

B

2.

A) 5 B) 6 c)7 D) 8 E) 9 A) 1 B) .J2 C) 1,5 D)2 E) ../3

D ABC üçgeninin dis te-

get çemberinin merke

zi O noktasidir.

E)~2


merkezi G, iç teget


noktasidir.

A

B

IAB i = 6 br

C IACI = 9 br

IBCI = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IEDI kaç br dir?

A) ..!. B) 1 C) ~ D) 22 2

7.

IABI = 5 br

iACi = 6 br

IBCI = 7 br ise

IADI kaç br dir?

D) 15 E) 12C)18B) 24

B

A) 30

3.

4. A

C

ABC dik üçgen

[OH]..L[BC]

IABI = 3 br

iAci = 4 br

8. A

C

ABC üçgeninde

lAFi = 2 br

IABI = 4 br

o noktasi ABC üçgeninin iç teget çemberinin merke

zi oldugunagöre, IOHI kaç br dir?

F noktasi ABC üçgeninin iç teget çemberinin merkezi, E

noktasi ABD üçgeninin dis teget çemberinin merkezidir.

Buna göre, IFEI kaç br dir?A)..!.

2B)1 C)~3 D)~

2E)J2

A) ../3 B) .J5 C)7 D) 2../3 E)2.ft

306

üçgende merkezler


geninin agirlik merkezi

G, iç teget çemberinin

merkezi H dir.

IABI = 6 br ise

IEDI kaç br dir?c

13. AH noktasi ABC üçge

ninin diklik merkezi

IAHI = IBHI = 5 br

IBDI = 4 br

c

A

B4 D x

Yukarida verilenlere göre,IDCI = x kaç br dir?

9.

A)3 B)4 C)5 D)6 E)8 A) 9 -6-/2 B) 8 -4-/2 C) 6 - 3-/2

D) 2 E) 1

...o.. ...o..(BKH - AKC den fayda/ammz.)

IABI = 7 br

IACI = 9 br

ABC üçgeninin çevre i

çemberinin merkezi K

noktasi üçgenin disin

dadir.

A

~~~Bi . \c

\,"-~_/)Yukarida verilenlere göre, IBCI nin alabilecegi en

kücük tamsayi degeri kaç br olabilir?

14,

D) ~ E) 22

H noktasi ABC üçge

ninin diklik merkezi

IAKI = 4 br

IBKI = IKCI = 2 br ise

IKHI kaç br dir?

C)~3

A

B)1A).22

B

10.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

G noktasi ABC dik üç


IAEI = iEci = 2 br

IGEI = 1 br ise

IBCI kaç br dir?

11.

B

A) 5

A

B) fi9

c

C) 3-/2 D)2J5 E)J21

15.

B c


merkezi G, iç teget

çemberinin merkezi N,

diklik merkezi H dir.

Buna göre asagidaki

siralamalardan han

gisi dogrudur?

B, G, D ve E, K, G

noktalari dogrusalolduguna göre, IAEI kaç br dir?

12.

B

A G, ABC üçgeninin agir

lik merkezi; K, ABG üç

geninin iç teget çem

berinin merkezidir.

IAGI =~IGDI 2

IABI = 35 br

A) lAFi = IAEI < IADI B) lAFi < IAEI < IADI

C) IAEI < lAFi < IADI D) IFEI = IEDI

E) lANi = 21NEI



berinin merkezidir.

m(ABC) = SO· ise,...-....

m(ADC) kaç dere-

cedir?

A) 12 B)14 C) 15 D)16 E) 17A) 35 B) 40 C) 50 D) 65 E) 75

307

üçgende merkezler

1.

AABCikizkenardik5.

AABC dik üçgeninde, çev-

üçgen

rel çemberin yariçapi 3

G agirlik merkezi

br dir.

iACi = 6 br ise

IABI = 2 br

IAGI = x kaç br dir?

BC

olduguna göre, IACI kaç br dir?C

A) .J6

B) 2-./2 D) .fiOE)2.J3A) 3-./2

B) 4-./2C)3.J3D)4.J3E) 5C)3

6.

AABCdiküçgeninin

2.AABC eskenar üçgen agirlikmerkeziG,

G agirlik merkezi

ABD üçgeninin iç te-

IAGI = 6 br

get çemberinin mer-

kezi °IGDI = 5 br iseBC

IBDI = x kaç br dir?

~IACI = 7 br

9IBCI = 9 br

CYukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç br dir?

A) 1

B) 2C)3A) 2-./2B) 2.J3c) 3-./2D) 3.J3E)4

D)3.J3 - 3

E) 3.J3 - 4

7.

AABC

ikizkenar üçge-ninin

agirlik merkezi

3.

ABC üçgeninin agirlikG,

Amerkezi G, iç teget

IAB I = IACI

çemberinin merkezi KIGDI = J34 br

dir. IGCI = 13 brIABI = 7 br

BCIBDI = 9 br9 D x

BCIAGI = 3 br ise

Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?IBGI kaç br dir? D)14

E) 15A)10 B) 12C) 13A) .J6

B) 2-./2C)3D) .fiOE) 2/5

H, 0, D dogrusal ise, IADI kaç br dir?

E) 4D)3-./2

ABC üçgeninin diklikmerkezi H,

ABE üçgeninin iç teget

çemberinin merkezi 0,

m(ABH) = 15·

IAEI = 6 br

A

C) 3.J3B) 2-./2

B

C

Yukarida verilenrere göre, IDEI kaç br dir?

A) 2.J3

8.

E) 3D) 3.[22

ABC dik üçgen

[AHJ.L [BCJ

IBHI = 4 br

IHCI = 9 br

c) 4.133B) 5../134

A

A) 6.,Jt35

4.

308

üçgende merkezler


çemberinin merkezi O,

çemberin yariçapi 5 brdir.

[OH]l- [AB]

IABI = 8 br

C

A

S

13.ABC dik üçgeninin

agirlik merkezi G,

ABD üçgeninin agirlikmerkezi K dir.

A

s C IABI = 4 br

IACI = 9 br

B, K, E dOgrusalolduguna göre, IBEI kaç br dir?

9.

A) 5 B)6 C) 4/2 D) 3J3. E) 3/2Yukarida verilenlere göre, 10HI = x kaç br dir?

A) 3 B) 4 C) 3.,/2 D) 2-/3 E) ~2

10. AABCdiküçgeninin14.

AABC üçgeninin dis te-

agirlik merkezi G,get çemberinin merke-

IAGI = IABI = 2 br

ziO,

IACI > IABIS

C

Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç br dir?A) 26

B) 3/2C) 4/2D)5E)4J3OBC açisinin ölçüsünün en büyük tamsayi degerikaç derece olabilir?

A)80

B) 81c) 76D) 67E) 45

11.

AABC dik üçgeninin iç

teget çemberinin mer-kezi 0,

15.AABC dik üçgen

IBFI = 4 br

G, agirlik merkezi

S

C10AI = 3/2 brIABI = 8 brx IACI = 9 br


SC

...c..

A) 21 B) 22c) 23D) 24E)25 Yukarida verilenlere göre, Alan(ABG) kaç bi2 dir?

A)9

B) 12C)15D) 16E) 18

12.

AABC üçgeninin diklik

merkezi D,A, D, E dogrusal

16.A

ABC üçgeninin diklik

merkezi P noktasiIDBI = 3 br, ~ IABI = 5 briDCi = 5 br,

~iBCi = 6 br ise,

i...

IBCI = 6 br~

IACI nin tamsayi de-S Cx

Cgeri en az kaç br ola-

Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç br dir?bilir?

pA)2B)3C) 2..D)~E)~A)5B) 6C)7D) 8E) 93 23

309

BÖLÜM 10••

Uçgende BenzerlikKÖSETASi KAZANiMLAR

1. Benzerligi kavrar.

2. Benzer sekillerde oranlama yapar.

3. Düzlemde benzer sekillerin alanlarini oranlar.

4. Benzer cisimlerin hacimlerini oranlar.

5~34. A.A.A benzerlik teoremI ve Tales teoreminin uygulamalarini yapar.

35~37. KA.K benzerlik teoreminin uygulamalarini yapar.

38. KKK benzerlik teoreminin uygulamalarini yapar.

39. Üçgende alan oranlamasiyapar.

40. A.KA eslik teoremini kavrar.

41. KA.K eslik teoreminI kavrar.

42. Benzerlikte özel bir uygulama yapar.

A

Ba

~D""""""'i1 .1::::::::::::1

üçgen de benzerlik

iki üçgen benzer ise iki üçgen in kenarlari orantili olup bu orana benzerlik oranideniL Benzer iki üçgende karsilikli açiortaylarin orani, yüksekliklerin orani, kenarartaylarin orani, üçgenlerin çevrelerinin orani, çevrel çemberlerin yariçaplarininorani benzerlik oranina esittir. iki sekil birbirine benzer ise birbirine karsilik gelenher türlü uzunluklarin orani hep aynidiL

~Üçgenler belirtilirken benzer köseler karsilikli gelmelidiL Söyle ki ABC - A'B'C'

ise Aile A', B ile B' açilarinin ölçüleri esittiL Yukaridaki sekil için ABC - A'C'B'denilemez.

Benzerlik orani genellikle k ile gösterilir.

Benzer sekillerin alanlarinin orani, benzerlik oraninin karesine esittiL (k2)

Benzer sekillerin hacimlerinin orani, benzerlik oraninin küpüne esittir. (k3)

~ A.A.A Benzerlik Teoremi: Iki üçgenin açilari es ise bu iki üçgen benzerdiL

K.A.K Benzerlik Teoremi: Birer açisi ve bu açiya bitisik ikiser kenari orantili olan iki üçgen benzerdiL

K.K.K Benzerlik Teoremi: iki üçgen!n karsilikli kenarlari orani sabit ise bu iki üçgen benzerdiL

~ Benzerlik orani 1 olan üçgenler es üçgenlerdiL

A.K,A Eslik Teoremi: ikiser açisi ve birer kenari es olan iki üçgen birbirine estir.

Tales Teoremi:

dj II d2 II d3 iken ~=% diL

312

kösetasiüçgen de benzerlik

176 cm boyundaki bir kisinin kolu 70 cm uzunlugundadir.

Bu adamin çekilen resmi 11 cm uzunlugunda Ise adamin resimdeki kolu kaç cm uzunlugundadir?


Çekilen resimler aslina benzerdir. Çekilen fotokopiler de benzerdirler. Bir resmin fotokopisini % 25 büyüterek çekersek

fotokopideki uzunluklar gerçek uzunluklarin % 125 i (yüzde yüzyirmibesi) kadardir. Resimdeki 10 cm lik uzunluk fotokopi

de 12,5 cm olarak görülür.

Haritadaki uzunluklar da gerçek uzunluklarla orantilidir. Bir haritanin ölçegi -. _1_ yani (1:100.000) ise haritadaki100.000

uzunluk arazideki uzunlugun yüzbinde biridir. Ya da arazideki uzunluk haritadaki uzunlugun 100.000 katidir.


Adam ile çekilen resim birbirinin benzeridir. Bu nedenle adam ile resimdeki uzunluklar orantilidir. Adam ile resmin boy

larinin orani neyse kol uzunluklarinin orani da odur.

3. __ 1_ ölçekli bir haritada iki sehir arasindaki200.000

mesafe 36 cm olarak ölçüldügüne göre, gerçekte bu

iki sehir arasi kaç km dir?

1.

Adamin boyu

Resmin boyu

176 70-=- =>11 x

A

Adamin kol uzunlugu

Resmin kol uzunlugu

x = ~ cm bulunur.8

ABC üçgeninde

IAB! = 6 cm

IAci = 8 cm

A) 18 B) 24 C)48 D) 54 E)72

B C

Yukaridaki sekil fotokoplde büyütüldügünde

fotokopideki IACI uzunlugu 12 cm olduguna göre,

IABI uzunlugu kaç cm olur?

A)7 B) 8 C) 9 0)10 E) 11

~~ 4.~

2. Istanbul ile Ankara arasindaki 480 km lik uzaklik haritada

24 cm olarak gösterilmektedir.

Buna göre, Ankara ile Kayseri arasindaki 600 km lik

uzaklik ayniharitada kaç cm olarak görülür?

Elimizde bir ev projesinin farkli oranlarda büyütülerek

çekilmis iki fotokopisi vardir. Dikdörtgen seklindeki pro

jenin birinci fotokopisinde uzun kenar 90 cm, kisa kenar

60 cm dir.

ikinci fotokoplde uzun kenar 120 cm olduguna göre,

kisa kenar kaç cm dir?

A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E)36 A) 70 B) 75 C) 80 D) 90 E) 100

313

-----------------------------------------------------

kösefasiüçgende benzerlik

Yukarida verilenlere göre,lA'D', kaç br dir?


L:>.-

ABC ve A'B'C' üçgenleri benzerdir..<:::>. L:>.-

ABC -A'B'C'

IBDI = IDCI = 12 br

IB'D'I = ID'C'I = 18 br

IADI = 8 br

Iki üçgen benzer ise iki üçgenin kenarlari orantili olup bu orana benzerlik orani diyoruz. Benzer iki üçgende karsilikli

açiortaylarin orani, yüksekliklerin orani, kenarortaylarin orani, üçgenlerin çevrelerinin orani, çevrel çemberlerin

yariçaplarinin orani benzerlik oranina esittir. Iki sekil birbirine benzer ise birbirine karsilik gelen her turlü uzunluklarin

orani hep aynidir.L:>.-

ABC-A'BrC' => ~=~=~=~=~=~= Ç(ABC) dir., , , h' V ' , L:>.-

a c C a nA Ç(A' B'C')Kösetasinin çözümü:

ABC - A'BrC' => iAD i = iBD i olur. Buradan ~ = ~ => x = 12 br dir.IA'D'I IB'D'I x 18

NOT: Üçgenler belirtilirken benzer köseler karsilikli gelmelidir. Söyle ki ABC - A"fi3tCI ise Aile A', B ile B' açilarinin ölçü

leri esittir. Yukaridaki sekil için ABC - A1CtB' denilemez .

1.

D

A

E

.<:::>. .<:::>.ABC -ADE

AH 1- BC

AH' 1- DE

IAHI = 8 br

IHH'I = 4 br

iBCi + IDEI = 25 br

3..<:::>. .<:::>.

ABC - DEC

IECI = 6 br

ABC ve DEC üçgen

lerinin çevre i çem

berlerinin yariçaplari

nin orani !i= ~dir.r2 5

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBEI kaç br dir?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15 A)9 B) 10 c) 12 D) 14 E) 15

2. A

.<:::>..<:::>.ABC - DEF

..•.•.....

.<:::>..<:::>.[AN], BAC nin 4.A

ABC - DEF

açiortayi~ [AK] kenarortay,

..•.•.....[DN], EDF nin ~

31ADI = 21DKIi..açiortayi

!JIBCI + IEFI = 24 br

C21ADI = 31DNI

.<:::>.B C

Ç(ABC) = 30 cm

..:::..Yukarida verilenlere göre, Ç(DEF) kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IEFI kaç br dir?

A) 12 B) 14 C) 15 D) 16 E) 20 A) 6

314

B) 7 C) 8 D)9 E)10

~

kösetasiüçgende benzerlik

Bir kirtasiyeci çektigi resim fotokapilerinde harcadigi tonere (boyaya) göre ücret almaktadir.

Bir resmi iki kati büyüklügünde fotokopi yaptiginda 60 krs aldigina göre, ayni resmi 3 kat büyüklügünde fotokopi

yaptiginda kaç krs alir?

açiklamali çözümBenzer sekillerin alanlarinin orani, benzerlik oraninin (uzunluklari oraninin) karesine esittir.

Iki fotokopide uzunluklarin orani ~ dir.3

Alanlarin orani ise (jr =~ olur.

o halde harcanan boyalarin miktarinin orani da i olacagindan ücretlerin orani da 4 olmalidir.9 9

Yeni ücret x krs ise 60 =i => x = 135 krs bulunur.x 9

BiR SORU DAHA: Dikdörtgen biçimindeki bir tarladan 2 ton bugdayelde edilmektedir. Tarlanin eni de boyu da iki kati

na çikarilirsa tarladan kaç ton bugdayelde edilir?

~ ....................•

2 ton 2 ton i

. .. ! Sekilde görüldügü gibi kenar uzunluklari iki katina çiktiginda alan dört katina çikmaktadir.i 2 ton i 2 ton ii ~ _ l

1. Bir dogru parçasi, A büyüleci ile bakildiginda 16 cm, B

büyüteci ile bakildiginda 6 cm uzunlugunda görülmektedir.

B büyüteci ile bakildiginda, alani 18 cm2 görOlen bir

sekil, A büyüteci ile bakildiginda kaç cm2 olarak

görülür? A'-------....JF'----'BYukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir?A)48 B) 64 C) 72 D) 96 E) 128

3. 6 E 2D,.------...•.---,C ABCD dikdörtgeni ile

BCEF dikdörtgeni

benzerdir.

IECI=2br

JDEI = 6 br

A)4J2 B)2.J5 C)4 D) 2)3 E) 2J2

2. Alani 12 cm2 olan bir üçgen in büyülülen fotokopide bir

kenar uzunlugunun 5 katina çiktigi görülüyor

Buna göre, fotokopideki üçgenin alani kaç cm2 dir?

4. o merkezli iç içe çi

zilmis dairelerin çev

releri orani ~ dir.2

Tarali halkanin alani 35a b~ olduguna göre, küçük

dairenin alani kaç b~ dir?

A)60 B)75 C) 125 D) 250 E) 300A) 21a B) 24a C)27a D)28a E) 32a

315


Silindir biçimindeki bir akaryakit varilinin benzeri küçük bir maket yapiliyor. Varilin yükseklik ve taban yariçapi, maketin

yükseklik ve yariçapinin 10 ar kati kadardir.

Maket 480 cm3 sivi aldigina göre, varil kaç dm3 sivi alir?

açiklamali çözümGÖRELiM

Benzer sekillerin hacimleri orani benzerlik oraninin küpüne esitttir.

Maket ile varilin benzerlik orani -.2... dir.10

Varilin hacmi x cm3 ise;

480 = (-.2...)3x 10

480 = _1_ => x = 480.000 cm3 = 480 dm3 tür.x 1000 Tüm ayntlar iki katina çikan/digin

da hacim 8 katina çikiyor.

1. Dikdörtgenler prizmasi seklindeki benzer iki su deposun

dan büyügünün ayritlari (kenarlari) küçügünün ayrit

larinin 4 er katidir.

Küçük depo 600 litre su aldigina göre, büyük depo

kaç m3 su alir?

(1 litre = 1dm3, 1m3 = 1000 dm3, 1m3 = 1000 litredir.)

A) 24 B) 32,6 C) 38,4 D) 56,2 E) 64

3. T Taban merkezi C olan

dik koniden taban

merkezi A olan bir dik

koni kesilip, aliniyor.

IABI =3ICDI 3

D

Yukarida verilenlere göre, ayrilan parçanin hacminin

kalan parçanin hacmine orani kaçtir?

:le2. Düzgün küre seklinde olan iki karpuzun çevreleri serit ~

'll

metre ile ölçüldügünde, birinin çevresinin digerinin eçevresinin 1,2 kati oldugu görülüyor. \ "< 4.

Küçük karpuz 5 kg geldigine göre, büyük karpuz kaç

kg gelir?

(Karpuz/ann homojen oldugu kabul ediliyor.)

Küre seklindeki iki topun yüzeyalanlari orani 196

olduguna göre, hacimleri orani asagidakilerden

hangisidir?

A)6 B) 7,24 C) 8,64 D) 9,2 10,4

316

A)~19

A)!4

B) 213

B)~27

c)220

C) 3364

D)~17

D)~32

E)..!.17

E) 2764


chB x E 4 C

ABC üçgeninde..•••.••.. ..•••.••..

m(ABC) = m(EDC)

IADI = 2 br

iDCi = 5 br

iECi = 4 br

Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç br dir?

açiklamali çözümIlk dört kösetasinda verilen sekillerin benzer olduklari belirtilmisti. Bu soruda ise benzerlik açikça verilmiyor. O halde ben

zerligi bizim arastirmamiz gerekiyor. Pekala, iki seklin birbirinin benzeri oldugunu nasil anlayacagiz? Ne gibi kriterlerimiz

var? Bu kriterlere (kistaslara) benzerlik teoremi denir. Bu konudaki teoremler üç tane olup AAA (AÇi, AÇi, Açi) benzerlik

teoremi; KAK (Kenar, AÇi, Kenar) benzerlik teoremi; KKK (Kenar, Kenar, Kenar) benzerlik teorem/eridir. Karsi/asi/acak

soru/arm yak/asik % 85 inde AAA benzer/ik teoremi ku/lam/If.

A.A.A Benzerlik Teoremi: Iki üçgen in açilari es ise bu iki üçgen benzerdir.

Kösetasindaki sekilde, C açisi ABC ve DEC üçgenlerinin ortak açisidir.A "'. ••••••..••••••• ....-....

m(B) = m(D) verildiginden üçgenlerin kalan açilarinin ölçüleri m(BAC) = m(DEC) olur.

Demek ki, ABC - EDC dir. Bu yüzden IBCI = IACI = IABI dir.IDCI IECI IDEI

x+4 7 19-- = -=> 4x + 16 = 35 => x = - br

5 4 4

ABC dik üçgen

m(AEO) = m(ABc)

IADI = 4 cm

IBDI = 1 cm

IDEI = 2../5 cm

A

D1

B C


3...•••.••.. ..•••.••..

m(ADE) = m(ABC)

IAEI = 9 cm

IADI = 12 cm

IDCI = 3 cm

ABC üçgeninde

C

A1.

Yukarida verilenlere göre, IBEI = x kaç cm dir?A)6 B) 7 C)8 0)9 E) 10

A) 7 B) 8 C)9 0)10 E) 11

E

Yukarida verilenlere göre, leDI kaç cm dir?Yukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç cm dir?

..•••.••.. ..•••.••..

m(BAE) = m(AED)

IABI = 6 cm

IEDI = 4 cm

IBDI = 20 cmD

A4.

ABC üçgeninde..•••.••.. ..•••.••..

m(ABC) = m(DEC) ~

IECI = 6 cm ~

.~ BIDCI =4 cm .••.

IBDI = 8 cm

A2.

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5 A)6 B) 7 C)8 0)9 E) 10

317


B

A AC 1. BC

AB 1. ED

IBDI = 4 cm

IDEI = 3 cm

IACI = 6 cm

Yukarida verilenfere göre, IECI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümSikça karsilasacaginiz benzer iki üçgen.

B açisi ortak, m(D) = m(C) = 90° olup ikiser açilari esittir.

Mecburen m(E) = m(A) dir.L». ..."".

Bundan dolayi BDE - BCA dir.

A

B

Pisagordan IBEI = 5 cm

Benzerlikten ~ = _4_ => x = 3 cm6 5+x

c

Yukarida verilenfere göre, IACI kaç br dir?

A ABC üçgeninde

[BD] açiortay

EH L. BC

IADI = IDCI

IEDI = IEHI = 5 br

C IBHI=12brBB


1. AABC dik üçgen3.

DE 1.AC IABI = 6.J3 cmIDCI = 4 cmIDEI = 2.J3 cm

A) 10 B) 9 C)8 D) 7 E)6 A) 10 B) 15 C)18 D) 20 E) 25

2.

B

A

C

ABC dik üçgen

DE 1. BC

IADI = IDEI = 6 br

IECI = 8 br

4.

B

AB 1.AC

DE 1. BC

IAEI = IECI

IBDI = 7 cm

C IDCI = 2 cm

Yukarida verilenfere göre, IBEI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç cm dir?

A) 8 B) 10 C)12 D) 14 E) 16 A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

318


B c

ABC üçgeninde..•...... ..•......

m(ABD) = m(ACB)

IABI = 8 cm

IADI = 5 cm

IDC! = x cm


açiklamali çözüm.a.. .a..

ABD ve ABC nde A açisi ortaktir.

......••••.•... ......••....•• ....-.... ......••••.•...

m(ABD) = m(ACB) verildiginden üçüncü açilari olan ABC ile ADB mecburen esittir.

.a.. .a..Buna göre, ABD - ACB dir.


A AB II CE..•...... ..•......

m(ACB) = m(AEC)

IABI = 8 br

IBDI=4brc

A

B

E


3.

E) 10D) 9

ABC üçgeninde

m(ABD) = m(ACB)

IADI = 6 br

IABI = 9 br

c

C) 8,5B) 8

B

A) 7,5

1.

A)18 B) 20 C) 24 D)25 E) 28

B D x C


2...•...... ..•......

m(PAC) = m(ADB)

{B} = [BP ri [BC] '~

IDCI =6cm ]IBDI = 3 cm

c


4. A m(BAÖ) = m(BCA)

IBDI = IDCI

IABI = 812 cm

A) 612 B) 3V6 C) 4)3 0)6 E) 412 A)6 B) 8 C) 612 D) 9 E) 8)3

319 lEIBlc~


B

A

c

AB .LAC

AH.L BC

IAHI = 6 cm

IBHI = 4 cm

iHCi = x cm



B

A

c

m(ABC) = a ve m(BAH) = 13olsun.

a + 13= 90· oldugundan

m(HAC) = a, m(ACB) = 13olur.""""'" """"'"

ABH - CAH

i = ~ => 4x = 36 => x = 96 x

. ~ ~ ~DIKKAT: ABH - CAH - CBA

iSTE ÖKLiT TEOREMLERiNiN

ÇiKTlGI YER. ..

Bu kösetasmdaki soru tipi dahaönce Oklit teoremlerinde de is/enmisti. Görüldügü gibi bu soru/arbenzerlikten yapilabiliyor. Isterseniz Ökiit teoremlerinin ispatma birbakm.

ABC dik Oçgeninde

AH.L BC

IBHI = 2 cm

iHCi = 12 cm

ABC dik Oçgen

ADJ..BC

IACI = 8 br

IABI = 6 br

1.

B~C

Yukarida verilenlere göre, IAHI = x kaç br dir?

3.

~B D C


A) 16 B)2J6 C) 3.J2 D) 4 E)2.J3 A)2,4 B) 3,2 C)4 D) 4,8 E) 6,4

2.

~B 4 H 6 C

ABC dik Oçgeninde

AH.L BC

IBHI= 4 cm

IHCI = 6 cm

4. A

~B H C

ABC dik Oçgen

AH.L BC

OH .LAC

IADI = 4 cm

IDHI = 8 cm

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç cm dir?

A) 10.J2 B) 4/5 C) 2)10 0)6 E) 2/5 A)8 B) 10 C) 11 0)12 E) 13

320


D

A

c

......... .

m(BAC) = m(FDC)

lAFi = 1 cm

iFC! = 3 cm

iBC! = 2 cm

IBDI = x cm

olduguna göre, x kaçtir?


ACB üçgeni ile DCF üçgeninde C açisi ortaktir.

m(A) = m(Ô) oldugundan üçüncü açilari birbirine esittir.

......... .

m(ABC) = m(DFC) .

..o. ..o.Demek ki ACB - DCF

2 4-=-- ~ 2x+4=123 x+2

x=4

DEAJ..AC

DCJ..AC

EB J..BD

LEAI = 5 cm

IABI = 3 cm

iBC! = 10 cm


3.

AH J.. BC

IDBI = 5 cm

IBHI = 3 cm

IAHI =9 cm

ABC üçgeninde

CDJ..AB

c

A

B3 H

Yukarida verilenlere göre, ICDI kaç cm dir?

1.

A) 15 B) 12 C) 10 D)9 E) 8 A)4 B) 5 C)6 D)8 E) 9

2.

B c

ABC üçgeninde

m(BDC) = m(BEc) ,

IADI = 5 cm ~~

IDBI=7cm lo;.

JJIAEI =4 cm

4.

12

ABCD kare......... .

m(CEA) = m(AFC)

IBEI = 5 cm

IADI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, lAFi = x kaç cm dir?

A) 9 B) 11 c) 12 0)13 E) 15 A)5 B)6 C)7 D) 8 E) 9

321


D

B

AD.L DC

AC.L CB....................

m(DAC) = m(CAB)

IABI = 10 cm

IBC! = 6 cm


açiklamali çözümiKizKENAR OÇGENOE NASIL çÔZMOsrOK?

ABC Oçgeninde Pisagordan iAC 12 = 102 - 62

IACI=8 cm

.o- .o- 8 x

DAC - CAB oldugundan 10 = 8" ~ x = 6,4 cm

A

E

B

BC ile AD yi uzatalim. AC hem açlOrtay hem yükseklik oldugundan AaE ikizkenar üçgen oluyor.

IAEI = 10 cm, IECj = 6 cm.o-

AEC nde ökfit uygularsak

36=x.10 ~ x=3,6

IADI = 10-x = 6,4 cm

AD.L BC

AE.L EC

m(6AC) = m(CAE)

• E IEC! = IBDI

IABI = 13 cm

JDCj = 5 cm

A

BD 5


3.

....................m(ABD) = m(DBC)

IDCI = 4 br

IBCI = 8 br

AD.L BD

DC.L BC

4

• C

A

B 8


1.

A) ../5 B) 3 D)4 E) 2../5A)6 B) 9 c) 12 D) 18 E) 24


2. A AB.L BC

AC .LCD

4.•.........

•.........

m(BAC) = m(CAD) ~~

DIADI = 12 cm ]IABI = 8 cm

B

A

D

AC.L CD

BC /i AD

BE .LAC....................

m(BAC) = m(CAD)

ICDI = 8 br

olduguna göre, IBEI

kaç br dir?

A) 6"'3 B)4.J6 C) 4../5 D)6../2 E)2/17 A)2 B) 3 c)4 D)5 E)6

kösetasiA

B



ABC üçgeninin kenarlari, DEF üçgeninin kenarlari na diklir.

IABI = 9 br

IBC! = 12 br

IFEI = 4 br

olduguna göre, IDEI = x kaç br dir?

A

B

Sekilde ABC açisinin kollari ADK açisinin kollarina diktir.

ABCD dörtgeninde a. + p + 90· + 90· = 360· => a. + p = 180·..••....•• ..••....••

O halde m(ABC) = m(ADK) olur.


Yandaki ABC ve DEF üçgenlerinde yukarida anlatilan nedenlerden dolayi

m(A)=m(ô)\

A A ~ ~m(B) = m(E) ve ABC - DEF dir.

m(C)=m(F)

Esit açilar karsisinda orantili kenarlar bulunacagindan,

IABI = IBCI => ~=E. => x=3 br bulunur.IDEI IFEI x 4

1.

B

A

c

Sekilde dik açilar ve

uzunluklar gösteril

mistir.

IBCI = 8 br

olduguna göre,"""""

Ç(ABC) kaç br dir?

3. A AB 1- DF

EF 1- AC

DH 1- BC

IABI = 15 br

IDFI = 6 br

A)20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 40ABC üçgeninin çevrel çemberinin alani 50 bi2 oldu

guna göre, DEF üçgeninin çevrel çemberinin alani

kaç bi2 dir?

2. ABC ve DEFbirer

üçgen4...••....•• m(BAF)= 90·

..••....••m(BCD) = 90· ~

DK 1- AC ]IABI = 12 brB

IBC! = 16 br

IDFI = 4 br

Yukarida verilenlere göre, IEFI = x kaç br dir?

A)5 B) 6C)8D) 9E) 12

A

ABC ve DEF dik üç-

genDH 1-ACIABI = 9 brC IDEI = 4 br

IDFI = 5 br

D


A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6 A) 12 B) 15 C)16 D) 18 E) 20

323


A

B

ABC üçgeninde

AB 1/ DE

IABI = 5 br

IDEI = 3 br

C iEC! = 6 br

olduguna göre, IBEI = x kaç br dir?


B C

A~C ve DEC üçgenlerinde•...•..••. •...•..••.

m(BAC) = m(EDC) (yöndes)•...•..••. ....•..••.

m(ABC) = m(DEC) (yöndes)•...•..••. ....•..••.

m(ACB) = m(DCE) (iki üçgende ortak açi).,e" .,e"

O halde üçer açisi es oldugundan ABC - DEC dir.

Benzer üçgenlerde esit açilar karsisinda orantili kenarlar bulunacagindan;

ICEI = IDEI ~ _6_=~ ~ x=4 br bulunur.ICBI IABI 6+x 5

Yukarida verilenlera göre, IDBI = x kaç br dir?

~B E C

ABC üçgeninde

DE II AC

IADI = 3 br

IACI = 6 br

IDEI = 4 br

ABC üçgeninde

DE 1/ BC

21AEI = 31ECI

IDEI + IBC! = 16 br

A

B C


3.

E) 8D) ?c)6B) 5A)4

1.

A)3 B) 4 C)5 0)6 E) ?

2. AABC üçgeninde

DE 1/ BC

4.A

ABC üçgeninde

IADI = 6 br

~DE 1/ AC~ •..

IDEI = 9 brIDBI = 4 br ~

IBC! = IDEI + 6 br

IAC! = 21 br

B

BCIEC! -IBEI = 2 br

C

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç br dir? Yukarida verilenfere göre, IECI kaç br dir?

A) 5 B) 6 C)? D) 8 E) 9 A)6 B)8 C)9 D) 10 E) 12

324

köse1asiüçgende benzerlik

A

c

ABC üçgeninde

DE II BC

IADI = 6 br

iD Bi = 9 br

IAEI = 10 br

olduguna göre, IECI = x kaç br dir?

açiklamali çözümA Tales Teoremi:

B

ABC üçgeninde DE II BC, EF II AB çizelim.•.•....•.• .•.•....•.• .•.•....•.•

m(ADE) = m(ABC) = m(EFC) = a (yöndes).•.•....•.• .•.•....•.•

m(DAE) = m(FEC) = 13 (yöndes)

C m(AED) = m(ECF) = f (yöndes)

"""'- """'-

ADE üçgeni ile EFC üçgenlerinin üçer açilari es oldugundan benzerdir. ADE - EFC => IADI = IAEIIBDI IECI

Sonuç: ~ir üçgende kenarlardan birine çizilen paralel bir dogru diger kenarlar üzerinde orantili parçalar ayirir.


IADI = IAEI =>IDBI IECI

~=~ => x=15 br bulunur.9 x

1.

B

A ABC üçgeninde

DE II BC

3·IAEI = 2·IECI

IABI = 15 br

3.

B

A

C

ABC üçgeninde

DE II AB

IDCI = 21ADI

IBEI = x br

iECi = x2 - 15 br

Yukarida verilenlere göre, IADI kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IBEI kaç br dir?

A)4 B) 5 C)6 D) 8 E) 9A)3 B)5 C)6 D) 8 E) 9

Yukarida verilenfere göre, IDBI kaç br dir?

d1 II d2 II d3

d1 IABI·= 6 br

IBCI = 8 br

d2 IDEI = x + 1 br

IEFI = 2x - 4 br

11 ve 12dogrulari d1, d2, d3 dogrularini kestigine göre,

IEFI kaç br dir?

4.

ABC üçgeninde

DE ii AC

IDBI-IDAI = 2 br

IBEI = 4 br

IECI = 3 brC

A

B

2.

A)4 B) 5 C)6 D)7 E) 8 A)8 B) 9 c) 10 D) 11 E) 12

325


A

K

DE /i BC

EF II AK

31ADI= 41DBI

ICKI = 35 cm

olduguna göre, IFKI-IFCI kaç cm dir?

açiklamali çözümA 3.IADI = 4·IDBIi i

4k 3k

IADI = IAEI => ~= IAEI => IAEI=4n ve IECI=3n olsun.IDBI IECI 3 IECI

ICEI = ICFI => ~= ICFI => ICFI=3m ve IFKI=4m olsun.IEAI IFKI 4 IFKI

ICKI=35 => 7m=35 => m=5

Buna göre, IFKI-IFCI = 4m - 3m = 5 cm olur.

KL II BC

LM II AE

MN /i CD

4.IAKI = 5·IKBI

D

E

B

IENI = x + 12 br ve INDI = x + 4 br olduguna göre, x

kaçtir?E) 24D) 18C)12B) 8A)6

B

Yukarida verilenlere göre, IAEI kaç cm dir?

1. AEF /i BC3.

FK II ADD iDC! = 3·IDKI

IABI-IAEI = 12 cm

A) 16 B) 20 C) 24 0)28 E) 32

PR /i BC

RS II CD

IAPI = IPBI

D

A

B

Yukarida verilenlere göre, IPRI + IACI + ICDI top-

lami kaçtir? IBCI lARi IRSI

4.[KL] II [Bc]

[LN] 1/ [CD]

lANi =~D INDI 3

A

B

Yukarida verilenlere göre, IAKI.ILCI kaçtir?IABllLAI

2.

A)~3 B)~5

C)~5

D)~8E) -!.

4 A)~2

B)3 C)~2

0)4 E)~2

326


B

A

c

ABC üçgeninde

OF IIBC

DE IIBF

IAEI = 5 br

IEFI = 4 br

olduguna göre, IFCI = x kaç br dir?


1 ve 2 nolu esitliklerin sol taraflari esit oldugundan sag taraflari da esit olur.

IAEI = lAFi. bulunur.IEFI IFCI

Buradan ~=~ => x = 7,2 br4 x

OGRETMENLERiN GOZÜ

SOYLE GÖRÜRI

Once k lar sonra n ler gözü

müzde can/amr.

(Tales) (1)

(Tales) (2)

IAOI = IAEI = ~10BI IEFI 4

IAOI = lAFi =~10BI IFCI x

OFIIBC =>

OEIIBF =>

A ABC üçgeninde

DE ii BC

FE /i OC

LFOI = 4 br

IBOI = 6 br

olduguna göre, lAFi

kaç br dir?

E) 120)9

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

DE /i BC

FE ii OC

10FI = 6 br

C)8

A

B) 6

B C

Yukarida verilenlere göre, 10BI kaç br dir?

A)4

3.

E) 8D) 7C)6B) 5

B

A)4

1.

Yukarida verilenlere göre, IFEI kaç br dir?IECI

E) 2D) 1,6

ABC üçgeninde

[BE] açiortay

OF /lBC

IABI = 8 br

IBCI = 12 br

C

C) 1,5

A

. B) 1,3

G noktasi EBC üçgeninin agirlik merkezi olduguna

göre, IDBI kaç br dir?

A) 1

4.

E)~3

O)~2

IABI = 6 br

IBCI = 4 br

ABC üçgeninde

[BE] açiortay

DE /i BC

[OF], ADE nin açior

tayi

C

C) 3.3

A

B)~4

A)~5

2.

327


A

~ ABCdiküçgen

. DEFK dikdörtgen

K ~.x x IDEI = 2.IEFI = 2.x__ IABI=3br

B D 2x E C iACi = 4 br

Yukarida verilenlere göre, IFEI = x kaç br dir?

açiklamali çözümBenzer iki üçgenin birbirine karsilik gelen bütün uzunluklarinin orani benzerlik oranina esittir. AKF ile ABC üçgenlerinin

yüksekliklerinin orani tabaniarinin oranina esittir. Buradan IFEI bulunur.

A IBCl2 = 32 + 42 (ABC dik üçgeni)

~ IBCI=5br·

. ~ AH.l BC çizelim .

. .~ ABCnde ÖklittenIAHI.IBCI=IABI.IACI => IAHI.5=12 => IAHi=E.brB D H E C 5

12

IPHI=IFEI=x ise IAPI=IAHHPHI => IAPI=5-x

""""" """""

AKF-ABC => IAPI = IKFIIAHI IBCI

12

"s-x 2x=> -12-=5 =>

5

12-5x 2x--=- =>12 5

60

x = 49 br olur.

1. ABC dik üçgen

DEFK dikdörtgen

IABI = 5 br

IACI = 12 br

IDEI = 2·IFEI

3. ABC dik üçgen

EH .1 BC, DE II BC

IABI = 3 br

iACi = 4 br

IDEI = 4·IEHI

Yukarida verilenle ra göre, IFEI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IEHI kaç br dir?

A) 780289

B) 360169

C)~169

D) 120169

E) 6013 A)~

31B) 30

37C) 60

67D) 60

71E) 60

73

E) 100)9

"""" """"

ABC ve DAE dik üç-

gen

AH.l DE

AK.l BC

C 21AKI = 31AHI

iBCi = 12 br

C)8B) 7

D


A)6

4.

E) 257

ABC bir üçgen

DEFKkare

IBCI = 8 br

A(ABC) = 24 br2

C) 235B) 245

A

A) 247

C

Yukarida verilenlera göre, IDEI kaç br dir?

2.

328

kösetasi


d1"d2

IADI = ~ ve IECI = 14 brIDBI 4

olduguna göre, IOCI kaç br dir?

üçgende benzerlik

"""'- """'-

Paralel dogrular sekildeki gibi iki kesenle kesilince olusan karsilikli üçgenler benzerdir. OAC - DBE olur. Bu durum

karsilikli kenarlari paralelolan dörtgenlerde (kare, paralelkenar, eskenar dörtgen, dikdörtgen ve yamuk) sikça kullanilir.

ABCD yamuk ise OC I/'AB'""'" '""'"

oldugundan FES - FCD

olur.

ABCD dikdörtgen ise

OC ii AB oldugundan'""'" '""'"FEB - FCD olur.

D C

AL-n,E

Kösetasinin çözümü:.............................. .

d1 II d2 oldugundan m(DCA) = m(DEB) (iç ters), m(DAC) = m(DBE) (iç ters)"""'- """'-

OAC - DBE olur.

. IDCI IADI

IDCI=x ise IDEI=14-x olacagindan IDEI = IDBI ~

~ x = 6 br bulunur.

E B


ABCD dikdörtgen

lAFi = 21FEI

IADI = 9 br

IDFI = 5 br


3. A D d1 II d2

21DCI = 31CEI

IACI - ICBI = 4 br

A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 15 A)16 B) 18 C)20 D) 24 E)25

2.

A

ABCDyamuk

OC ii AB

IAEI = 31ECI

IDBI = 24 br

4. OC .1 AD

AB .1 AD

IEBI = 4·IEDI

iDC! = 7 br

B IADI = 24 br

Yukarida verilenlere göre, IEBI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IECI kaç br dir?

A) 12 B) 14 C)15 D) 16 E) 18

329

A)2 B)3 C)4 0)5 E)6


A

CD II AB

E, L, A dogrusal

D, K, A dogrusal

IABI = 31CEI = 21EDI

ICBI = 88 cm

olduguna göre, ILKI = x kaç cm dir?


A

IABI = 31CEI = 21EDI oldugundan IABI = 6k, ICEI = 2k, IEDI = 3k olsun

ICLI = y diyelim.

"""""- """""-

CEL - BAL oldugundan

ICLI=ICEI => _y_=~ => y=22cmIBLI IABI 88 - Y 6k

"""""- """""-

CDK - BAK oldugundan

ICKI=ICDI => 22+x=~ => x=18cmolur.IBKI IABI 66-x 6k

1. AB /i CD 3.

H, E, F dogrusal A, E, D dogrusalB, E, C dogrusalIBHI = 2 brD

IFDI = 10 br

IAHI = ICFI

B

c

ABC üçgeninde

DE /i BC

[DC] ri [BE] = {K}

IDKI = 2 br

IKCI = 3 br

IAEI = 4 br

Yukarida verilenlere göre, IAHI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IEC! = x kaç br dir?

A) 2J3 B) 4 C) 215 D) 2J6 E) 6 A) 1 B) 2 c)3 D)4 E)6

4.

2.

AABC üçgeninde

DE /i AC[AE] ri [DF] = {H}

~..ic

31DHI = 21HFI

~

~IBEI = IECIB

cIFCJ = 2 cm

2

D

A

F

12

B

H

E

ABC ve CDE üçgen

AB /i FH /i DE

[AE] ri [BD] = {C}

IABI = 6 cm

IBCI = 4 cm

LFOI = 2 cm

IDEI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IFHI = x kaç br dir?

A) 5 B) 4 C) 3 D)2 E) 1

330

A)4 B) 6 C)8 D)9 E) 10


D ABC ve DBC birer üçgen

AB /i EF /i DC

IABI = 20 br

IDci = 30 br

IBci = 30 br

olduguna göre, IBFI kaç br dir?

açiklamali çözümD

- -m(ABE) = m(EDC) (iç ters)- -m(BAE) = m(ECD) (iç ters)

EAB _ ECD => IEBI = IABI => IEBI = 20 = 3. bulunur.IEDI IDCI IEDI 30 3

ABIIEF/IDC oldugundan IBFI = IBEI =3. (Tales)IFCI IEDI 3

IBFI = 2n}

O halde alinirsa 5n = 30IFCI=3n

IBFI= 2.6 = 12 br bulunur.

Yukarida verilentere göre, IFCI = x kaç br dir?

1.

c

AB /i CD /i EF

[AD] ri [BC] = {E}

3.IBFI = 2·IFDI

ICDI = 15 br

3.

E

AB /i DE /i FC

[AE] ri [BD] = {c}

IABI = 8 cm

IDEI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?A) 3,6 B)4 C) 4,2 D) 4,5 E) 4,8

A)6 B) 8 C)9 D) 10 E) 12

D

21ADB ve BCD

B birer üçgenAB /i EF /i CD

F IABI = 21 brICDI = 28 br

c28

Yukarida verilenlere göre, IEFI kaç br dir?

4.

EF 1- BC

IEFI = 6 br

IABI = 9 br

ABC ve DCB dik üç

gen


2.

A) 10 B) 12 C)15 D) 16 E) 18 A)12 B) 13 C)14 D) 15 E) 16

331

kösetasiA

B

F

ABC üçgen

OF !i AB

A, K, F dogrusal

31EFI = 21DEI

c IBKI=3cm

iEci = 4 cm

olduguna göre, IKEI = x kaç cm dir?

üçgende benzerlik


.a.. .a..C EFK -BAK

2k x k x-=- => -=- (2)y 3 Y 6

4 x(1) ve (2) den -- = - => x = 1 cm

21+3x 6

B

A IABI = yolsun ..a.. .a..

CDE-CAB

3k 4-=-- =>Y 7 +x

k 4- = -- (1)Y 21 + 3x

Yukarida verilenlere göre, lAFi kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IFHI = x kaç cm dir?

ABC üçgeninde

DE IIBC

B, H, E dogrusal

IDFI = IFEI

lAFi = 2 cm

IHCI = 3 cm

E

C

A

B

3.ABC üçgeninde

DE IIBC

IDFI = IFEI

IFKI = 6 br

IKCI = 8 br

E

C

A

B

1.

A) 14 B) 24 C) 32 D) 36 E) 42 A)1 B)2 Cp 0)4 E) 5

ABC ve EBD üçgen

EF!I HK !iBO

2.

B

A

~IHBI = 21HEI = 21AEI ~

IBDI = 24 cm ~

4.

D

B

AABC üçgeninde

DE !lBC

AB !i EK

[CD] ri [AB] = {F}

IDEI = IBCI

IHFI = 2 br

C IEKI = 3 br

Yukarida verilenlere göre, IHKI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?

A)4 B) 6 C)8 0)12 E) 16 A)10 B)9 C) 7,5 D) 6,5 E) 5,5

332


A

B

ABC üçgen

BDEF paralelkenar

FD II AC

IAKI = x + 1 br

iNCi = 2x - 3 br

olduguna göre, x kaç br dir?


B

Paralel dogrular arasinda kalan paralel dogru parçalari esittir.di

d1 II dz ve AB /i CD => IABI = ICDI dir.


FK II DC ve FD II KC => LFOI = IKCI => LFOI = IKNI + 2x - 3 (1)

FD /i AN ve DN II AF => LFOI = lANi => LFOI = IKNI + x + 1 (2)

(1) ve (2) nolu esitliklerin sol taraflari esit oldugundan sag taraflari da esittir.

IKNI + 2x - 3 = IKNI + x + 1

2x - 3 = x + 1 => x = 4 br

1.

D

A ABC üçgeninde 3.

FE II AB DECF paralelkenarIAKI = 2x brIKNI = 3 brC

IFEI = x + 6 brB ABC bir üçgen

ABDE paralelkenar

IAEI =3-IDCI 5

IABI = 28 br

C

Yukarida verilenlere göre, IBNI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IFDI kaç br dir?

A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6 A) 12 B) 15 C)18 D)20 E) 24

D ABC ve DBC birer

üçgen

EF /i BC

AB /i DC

IAKI =3-IKCI 3

IAEI = 4 brB


4.

ABC üçgeninde

DE /i AB

BCFK paralelkenar

A

B

F 2.IAKI = 3.IFCI

IDFI = 3x br

E C IBEI = 4x + 1 br


2.

A) 15 B) 14 C) 12 D)10 E) 9 A)6 B) 8 c)9 D) 10 E) 12

333

kösetasiDC II AB

m(DAB) = m(CBD)

IDBI = 2/3 br

B IABI = 3·IDC!



açiklamali çözümABD üçgeni ile BDC üçgenlerinin birer açisi esit verilmis. O halde bu üçgenlerin ben

zer olup olmadigini arastiralim.••......••. ••......••.

DC /i AB ~ m(ABD) = m(BDC) (iç ters).•......••. ••......••.

m(DAB) = m(CBD) (verilmis)

B ABD ve BDC üçgenlerinde ikiser açi es oldugundan üçüncü açilar da es olur..............•............... ..:::::::". ..:::::::".

m(ADB) = m(BCD) dir. O halde ABD - BDC olur.

Benzer üçgenlerde esit açilar karsisinda orantili kenarlar olacagiiidan

~ x 2./3 ~ 3x2 = 4.3 ~ x2 = 4 ~ x = 2 br bulunur.2./3=3)(


1. Sekilde AB /i DC••......••. .•......••.

m(AEB) = m(BCD)

IBEI = 6 br

IABI = IEDI = 9 br

B, E, D dogrusal

3. A C

'1'JD 6 B

AC /i DB••......••. ••......••.

m(EDB) = m(CBA) = 90°

IAEI = 4 br

IDBI = 6 br

IACI = 21BEI

c


A)6 B) 8 C)9 D)10 E) 12

A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 14

2.

A

DC /i AB••......••. ••......••.

m(ADB) = m(BCD) ~IBC! = 6 br ~

-~IDBI=12br __

IADI = 8 br

4.

B c

ABC üçgeninde

B, A, E dogrusal.•......••. ••......••.

m(EAC) = m(ADC)

IBDI = 3 br

IDC! = 9 br

Yukarida vetilenlere göre, IABI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir?

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 18 A) 12 B) 9 C) 8 D)6 E)4

334

kösetasiA

c


IAB i = IACI

AC II BD

m(EAC) = m(BDC) = 90·

IAEI = 4 br

iDCi = 6 br

olduguna göre, IECI kaç br dir?

D


D

.•...•.•.. .•...•.•.. )

ACi/BD ise m(ACE)=m(DBC) (içters) ~ ~ IAEI ICEI 4~ CAE-BDC ~ -=-=-

m(EAC)=m(CDB)=900 ICDI IBCI 6

. 4Iki üçgen in benzerlik orani "6 oldugundan

ICEI = 4n, IBCI = 6n alinabilir. ~ IBEI = 6n - 4n = 2n

ABC ikizkenar oldugundan AH 1. BC çizilirse IBHI = iHCi = 3n olur.

IHCI = 3n ~ IEHI = 4n - 3n = n

EAC dik üçgeninde Oklit teoremi uygulanirsa

IAEi2 = IEHI·IECI

42 = n.4n

n2 = 4

n = 2 ~ iECi = 4.2 = 8 br bulunur.

Yukarida verilenlere göre, ICHI kaç br dir?

D

E) 120)9

Sekilde DE II CA.•...•.•.. .•...•.•..

m(ACB) = m(ECD).•...•.•..

m(BAC) = 90°

C IACI = ICEI = 6 br

IBCI = 5·IDBI

C)8B)2fi5

D

E


A)2fiO

3.

E) 5,4D) 4,8

AB 1. OC

BC II AD

IADI = 8 br

B IDEI = 6 br

C) 4,6B) 4,2A)4

1.

C

AE ABC ve EBD

dik üçgen

ED II AC

IBDI = IDCI

IEBI = 6 br

IAB I = 8 br

Yukarida verilenlere göre, IEDI + IBDI kaç br dir?


IABI = IACI

ED 1. AB

A

~B E C

.•...•.•..

m(EAC) = 90·

IDEI = 4 br

IAEI = 6 br


2.

A)4J6 B) 9 c)8 D) 5J2 E)4.J3 A)6J2 B)6.J3 C) 6vts· D)8 E) 9

335


D

A

E

F noktasi, ABC üçgeninin dis teget çemberinin merkezidir.

BC 1/ DE

IBDI = 6 br

IAKI = 2·IKFI

olduguna göre, IBKI kaç br dir?


D E

Bir üçgende dis teget çemberin merkezi, bir iç açiortay ile bir dis açiortayin kesistigi

noktadir. Bu nedenle [AF], ABC üçgeninde iç açiortay; [BF] ise dis açiortayolur.

OF /i SK ise m(OFB) = m(FBC) (iç ters) => m(FBC) = m(OBF) olur. ([SF] açiortay)

Buradan IDFI = IDBI = 6 bulunur.,c,. ,c,.

ABK - ADF (A. A. A, BK 1/ OF) oldugundan

IAKI IBKI 2 x-- = - oldugundan IAKI = 21KFI ve - = - => x = 4 br bulunur.lAFi IDFI 3 6

1.

B

A ABC üçgeninde i nok-3.""""""

A

i noktasi ABC nin

tasi iç teget çemberiniç teget çemberinin

merkezimerkezidir.

DE II BCDE II AB

1011 = 3 brIAB i = 9 br

C

IIEI=4brIBEI = 4 br

iBCi = 9 br

BCIECI = 6 br


A)8 B) 9 C)10 0)12 E) 14


A) 1 B) "i. C) "i. D) 2 E) 36 5


E) 14D) 13c) 12

A

B) 11

B

i noktasi ABC üç

geninin iç teget

çemberinin merkezi

011/ BC

lE II AB

IIEI = 6 brC

IECI = 12 br

1011= 8 br


A)10

4.

E)~ 3D)~ 3

i noktasi ABC üçge


berinin merkezidir.

DE II AC

IADI = 5 br

ICEI = 7 br

E IBCI = 9 br

C)~4

D

B) 253

B

A) 274

2.

336

kösetasiA

üçgende benzerlik

ABC üçgeninde

BH açiortay

HK II BC

AH 1- BH

IABI = 9 cm

C IBCJ = 17 cm

olduguna göre, IHKI = x kaç cm dir?


C

Bir dogru parçasi üçün ikisi ise, dogru parçasinin bir ikizkenar üçgene ait oldugu fikri

zihnimizde olusma!i. Kösetasinda [BH] hem açiortay, hem de yükseklik oldugundan

orada bir ikizkenar üçgen olusturulabilmelidir.

[AH] uzatihrsa ABD bir ikizkenarüçgen olacaktir.

IAHI = IHDI ve IABI = IBDI = 9 cm

ADC üçgeninde [HK] orta tabandir, bu yüzden IHKI = 4 cm dir.

Yukarida verilenlere göre, IDFI orani kaçtir?IACI

A).!. B).!. c) .!. D)2.- E).!.6 4 3 12 2

8 • C


E) 16

ABD üçgen

m(MC) = m(CAD)

AC 1- BC

IAEI = 31ECJ

IABI = 20 cm

D)15

D

c) 14

A

B) 12A)10

3.ABC ve ADC üçgen

[AD] açiortay

AD 1- DC

DF II AB

IBFI = IFCJ

IAEI = 41EDI

C

A

8

1.

2. A

C

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

GD ii AC

IGDI = 6 cm

4.

8

AABC üçgen

AH 1- BH

HD II AC

IBDI = IDCI

IABI = 10 cm

C IHDI =4cm

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir?

A)9 B) 12 C)15 D) 18 E) 21 A)12 B) 14 C)15 D)16 E) 18

337


A ABC üçgeninde

DE ii KL

51AKI = 21KC!

41BDI = 31ADI

IBEI = 6 cm

c iLC! = 10 cm

Yukarida verilenlere göre, IELI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümPARALEL ÇEKip BENZER ÜÇGENLER ÜRETMEyi BASARABiLMEiiYiz.

AT ii KL çizelim...a.. ...a..

BAT-BDE den

3n 6-=- => IETI=8 cm4n IETI

c CAT - c1Q den

5k 10-=- => ITLI=4 cm2k ITLI

IELI=x=IETI+ITLI=12 cm

A

Yukarida verilenlere göre, IBEI kaç cm dir?

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

BE ii OF

31AC! = 21ABI

IDFI = 4 cm

c

A3.ABC üçgeninde

DE 1. BC

FK 1. BC

IBDI = 31ADI

51FCI = 31AFI

c IBEI = 6 cm

IEKI = 12 cm


1.

A)3 B) 4 C) 5 0)6 E) 8 A)4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Yukarida verilenlere göre, lAFi = x kaç cm dir?

ABC üçgeninde

DE ii FK~

61BEI = 31EKI = 41KCI ~~IBDI = IADI ~~WC! = 12 cm

E)~2

D)~3

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

DE II BG II KL

IDEI = 41KLI

IABI = 31DBI

c

A

B)5

B

A)~2

Yukarida verilenlere göre, IALI orani kaçtir?ILCI

C)~3

4.

E) 80)6C)5B) 4

A

B

A)3

2.

338


B

AABC üçgen

EF I/BC

IBFI = LFOI

31ADI = 21DC!

iBC! = 15 cm

C olduguna göre, IEFI = x kaç cm dir?


x

PARALEL ÇEKip BENZER ÜÇGENLER ÜRETMEYi BASARABiLMELiYiz.

DK//BC çizilsin.

ABC üçgeninde

iDC! = 21ADI

IDFI = 21BFI

IEFI=4cm

C

""""'-""""'-

AKD-ABC den

IADI = IKDI

=>IKDI=6cm

IACI IBCIBKD üçgeninde [EF] orta taban

C IEFI=x=3cm

ABC üçgeninde

3.A

DE 1/ BClAFi = iFC!IEFI = 21BEIIBC! = 18 cmC

B

A

A

B

1.

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç cm dir?

A)2 B) 3 c)4 0)5 E) 6 A) 24 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36

2.

B

A

C

ABC üçgeninde

IADI = iDC!

IECI = 41BEI

IBFI = 4 cm

4.

B

A

C

ABC üçgeninde

lAFi = WC!

IBEI = IEC!

IADI =4IDBI

IAHI =4 cm

Yukarida verilenlere göre, IFDI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IHEI = x orani kaçtir?

A)4 B) 6 C)8 D) 10 E) 12 A) 1,5 B) 2 C) 2,5 0)3 E) 3,5

339


K

A

c

ABC üçgeninde G agirlik merkezi

DE 1/ KC

lAFi = 1 br

IDFI = 3 br

IDKI = 2 br

olduguna göre, IFCI kaç br dir?


B

A

c

Bir üçgende agirlik merkezinden kenarlara çizilen paral~l. kenarortay üzerindeki ora

nin kenarlara uygulanmasi için kullanilir.

Yandaki sekilde G noktasi ABC üçgeninin agirlik merkezi, DE II BC ise IAGI = 21GKI

oldugundan IAEI = 2.IECj, IADI = 2.IDBI ve IDGI = IGEI dir.


IFEI = IFDI = ~ (DEl/KC) =:;, IFEI = 3n} alalim.IECI IDKI 2 IECI = 2n..c.

ABC de G agirlik merkezi oldugundan IAEI = 2.IECI =:;, 1 + 3n = 2.2n

1 = n =:;, IFCI = 5.n = 5.1 = 5 br bulunur .

Yukaridaverilenlere göre, IKGI uzunlugu IFEI nin kaç

katidir?

1.

B

A

c

..c.G noktasi ABC nin

agirlik merkezi

DE II BC

KN 1/ AC

3. ABC üçgeninde

[CD] açiortay

EF II OC

iACi = 24 brC

IBCI = 36 brB

G noktasi, ADC üçgeninin agirlik merkezi olduguna

göre, IEDI orani kaçtir?IDBI

A)3 B)2 C)~2

D)i3 E)1 C) 37

E) .!.5

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

KN II DE 1/ BC

lANi = INEI

IOFI = 4 br

A

K


4.

nin ..:c'i;:,

]

ABC üçgeninde

[BD] açiortay..c.

G noktasi OBC

agirlik merkezi

EF II BC

IABI = 20 br

C IBCI = 30 br

~ A,,,,,,20/,,,,,/Ei x.B •

30

Yukarida verilenlere göre, IEBI = x kaç br dir?

2.

A)3 B)4 C)5 0)6 E) 7 A)6 B) 8 C)9 D) 10 E) 12

340


A

K

c

ABC üçgen

BDEF paralelkenar

INDI = 6 br

lAFi =~IFKI 4

olduguna göre, IDCI = x kaç br dir?


B

A

7n

c

..."". IDFI lAFiDEIIBC ise ABK nde IBKI = IAKI (1)

..."". IFEI lAFiAKC nde IKCI = IAKI (2)

=> (1) ve (2) den IDFI = IFEI olur.IBKI IKCI


KPIIBC çizelim

AFE-AKP => lAFi = IFEI =~ => IFEI=3n. IKPI=7n alinabilir.IAKI IKFI 7

TEIIKF olduguna göre,IKTI=IFEI= 3n => ITPI=4n

INDI=IDCI=>~=~=> x=8brIKTI ITPI 3n 4n

ABC üçgeninde

[AF] açiortay

DE II BC

IADI = 6 br

IAEI = 8 br

C IBFI = 9 br

A

B9 F x

Yukarida verilenlere göre, IFel kaç br dir?

3.ABC üçgeninde

DE II BC

G noktasi ADC üçge


IBCI = 24 br

C

A

BF

Yukarida verilenlere göre, IBFI kaç br dir?

1.

A)8B) 10C) 12D) 14E) 16

A)10B) 12C)140)15E) 16

4.

AABC üçgeninde

2.A

G noktasi ABC üçge-DE II BCninin agirlik merkezi ~DE /i AK

IFNI = 12 br

IDEI = 12 br

]IDFI = 2 br

olduguna göre, IENI

IFEI = 3 br

kaç br dir?

BCINCI = 9 br

B

C

Yukarida verilenlere göre, IFKI kaç br dir?A)4

B) 5C)6D) 8E) 9 A)2B) 3C)40)5E) 6

341

~

köse/asiüçgende benzerlik

B

DC.l BC

E E [AB]...••..•.. ...••..•..

m(ABC) = m(EDA)

IADI = 6 cm

IACI = 5 cm

IBCI = 10 cm


açiklainali çözüm

IAKI = k, IEKI = 2k olsun.

2k 1--=-k+6 2

IAKI IACI 1

IEKI = IBCI ="2 ~

IEKI IACI 1

IDKI = IBCI =2" ~

PARALEL ÇEKip BENZER ÜÇGEN ÜRETMEYi BASARABiLMEliyiz.

EK ii BC çizilsin4k """""" """""" """"""

DKE - BCA - EKA

10B

6 + k = 4k ~ k = 2 cm

DEk de Pisagordan x2 = 42 + 82 ~ X = 4J5 cm olur.

1. A

c

ABC dik üçgen

IADI = 20 br

IABI = 18 br

IBC! = 24 br

3. ABC dik üçgen

IBDI = 41DAI

IDEI = 16 cm

m(DEC) = 30·

Yukarida verilenlere göre, IBDI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IACI = x kaç cm dir?

A)6J3 B)2J35 C)3J31 D)2J69 E)2;73 A) 10 B) 12 c) 14 D) 15 E) 16

ABC üçgeninde

[AE] ri [Oc] '" {F}

IADI = IDBI

IEC! = 21BEI

IDFI = 3 br

c

A

BE

Yukarida verilenlere göre, IFCI = x kaç br dir?

c


2. AAB.l BC

AD .lAC

4.

IADI = IAC!IABI = 5 cm

~

IBCI = 4 cm

1D

~

A) 3.J2 C)5 D) .J26 E)3J3 A)12 B) 11 C)10 0)9 E) 8

342

kösetasibenzerlik

A

~B E x C

ABC dik üçgen

m(BDE) = 90°

iDCi = 2·IADI = 2../3 br

IBEI = 2·IECI

Yukarida verilenlere göre, iECi = x kaç br dir?


A OF II AB çizelim.

ICDI = 2·IDAI ::::> ICFI = 2·IFBI

ICBI = 3x ::::> ICFI = 2x olur.

BDE dik üçgen ::::> IDFI = IBFI = IFEI = x olur.

~ IFCI A ACFD de IDFI = - ::::> m(C)=30° ve m(F)=60°

2

x../3 = 2../3 ::::> x = 2 br olur.


1. A

c

ABC üçgeninde

DE .tAC

IBDI = 1 br

IDCI = 4 br

IAEI =~IECI 2

3. A

~B 10 D 2 C

ABC dik üçgen

IBDI = 10 br

IDCI = 2 br

IAEI = 2·IECI

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir? A) 1 B) 2 c)3 0)4 E) 5

A)3 B) 4 C) 5 D) 6 E)8

E) 2D) ~2

ABC dik üçgen

AD II EC

IACI = 12 br

IBDI = LDeI= IEC! = 8 br

C)3B) !..2


A)4

A E

.~B 8 D 8 'C

E) 90)8

ABC üçgeninde

DE II AB

C) 7B)6

.••...••

m(AFD) = 90°

IBFI = IFEI

ICEI = 4·IFEI

C IADI = 10 br


A)5

2. A

343

kösetasibenzerlik

A

B

ABC Oçgeninde- -m(DBN) = m(NBC)- -m(ABD) = m(ACB)

IADI = 12 cm

IDNI = 4 cm

C olduguna göre, INCI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümBu tOr sorularla açiortay böiOmOnde çalisilmisti. Soruyu bir kademe daha ileri götOrOp

benzerligi de karistirdik.- """"'-

m(BNA) = a + b (NBC nin dis açisi)- _.m(ABN) = m(ANB) ise IABI = lANi = 16 cm- """"'-

m(ADB) = 2a + b (DBC nin dis açisi)""""'- """"'-

ABC - ADB (A.A.A kuralindan)

A

C

IABI = IADI =>IACI IABI

16 12--=- =>16 + x 16

x=~cm dir.3


B C


E) 50)4

ABC dik Oçgen

m(ASD) = m(EBC)

IABI = 12 cm

IADI = 5 cm

IDCI = 13 cm

C)3

A

B) 2A)1

3.

D) 13,5 E) 14,5

ABC Oçgeninde

[AD] açiortay- -m(ABC) = m(ACE)

lAFi = 6 cm

IFDI = 3 cmC

iDc! = 9 cm

C)12B)10A) 9,5

1.


ABC dik Oçgen- -m(ABD) = m(ACB)

IADI = 8 cm

IABI = 12 cm

IECI = 6 cmCB

Yukarida verilenlere göre, ICDI = x kaç br dir?

2. AABC Oçgeninde

D

[AF], [BD]ve[CD]

açiortay

4.A

IAEI = 4 br

~

~lAFi = 6 br

••

~IEDI = 6 br

A)12 B)9 C)8 0)6 E) 4

344

A)1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

~

köse/asibenzerlik

A

~B C

ABC dik üçgen

[BE] ile [CD] açiortay

51DFI = 41FEI

IADI = 8 br

olduguna göre, lAFi kaç br dir?


•....... .a..m(AEF) = a + o. + o. = 45 + o. (BEC da dis açi)

•....... .a..m(AOF) = o. + a + a = 45· + a (OBC de dis açi)

.a.. •.......AOF de iç açilar toplami 180· den m(AFO) = 45 + o.

c

NEDEN?

Bir Gçgenda açiortay/ar bir noktada

kesiseceginden {AF} da açiortayalur.................

m(OAF) = m(FAE) = 45·

20. + 2e = 90· => o. + a = 45·

.a.. .a..AOF - AFE (A.A.A)

IADI = lAFi = IDFI dir.lAFi IAEI IFEI

.a.. •.......AFE de iç açilar toplami 180· den m(AFE) = 45 + a bulunur.

A

IADI= IDFIlAFi IFEI

8 4-=- => lAFi =10 brlAFi 5

A

~

\ n E

~B C

Kösetasinin çözümü:..ô.. ..ô..

ADF - AFE (A.A.A)

A ABC dik üçgen

~.D .E F [BF] ile [CD] açi ortay

IDEI=~IEFI 3

.a..B C A(ADE) = 12 br"!

.a..Yukarida verilenlere göre, A(AEF) kaç br"! dir?

B D C...••..

Yukarida verilenlere göre, A(BDE) kaç bi2 dir?

1.

A)18 B) 21 C) 24 D) 27 E) 36


[AD] ile [CF] açiortay

A(BDEF) = 52 br"!

IBFI =~IBDI 9

A) 36 B) 32 C) 30 D) 27 E) 24

IDEI=!IEFI 4

IADI = 18 br

ABC dik üçgen

IDEI = J2·IFEI

IBFI + IBDI = 12 br

A

C


4.

ABC dik üçgen ~

[BF] ile [CD] açiortay ~]~B C


2.

A) 21 B) 24 C) 28 D) 30 E) 32 A) 2

345

B) 3 c)4 D) 5 E) 6

~

kösetasibenzerlik

DC /i EF /i AB

iDc! = 4 br

IEFI = 6 br

IBFI = 2·IFCI

B olduguna göre, IABI kaç br dir?

açiklamali çözümCN /i AD çizelim

lANi = IEKI = IDCI = 4 br olur.

IKFI = 6 - 4 = 2 br...",. ...",.

CFK - CBN (A.A.A)

ICFI = IKFI ~ 1 2ICBI INBI "3= INBI

INBI = 6 br

IABI = lANi + INBI = 4 + 6 = 10 br

1. DC /i EF II AB

IDC! = 5 br

IABI = 9 br

ICFI =3IFBI 3

Yukarida verilenlere göre, IEFI kaç br dir?

3. DC /i EF /i AB

IEFI = 4 br

IAB i = 7 br

IDEI =3IAEI 3

B


A) 5,2 B) 5,6 C)6 D) 6,5 E) 6,6A) 1 B)~

2C)2 D)~

2E)3

D)4 E)6

~

c)3B) 2

Yukarida verilenlere göre, IFKI kaç br dir?

A) 1

346

E) 9D) 8c)7B) 6A) 5

Yukarida verilenlere göre, leFI kaç br dir?

2. 2DC /i EF /i AB

IDCI = 2 br

4.D

C AB /i DC /i EF

IEFI = 5 br

~ FK /i BL

.i.:IABI = 2·IEFI = 4·IDCIIAB i = 9 br

~L

IBFI = 8 br

~IBLI = 12 br

A

B

kösetasibenzerlik

A ABC üçgeninde

IAEI = 3 br

IECI = 5 br

IBDI = 6 br

IDci = 4 br

IABI + IDEI = 6 br



A

a

K.A.K Benzerligi: Birer açisi ve bu açiya bitisik ikiser kenari orantili olan iki üçgen benzerdir.

m(S)= m(E)j """"'-""""'- a b c

a c => ABC - DEF => -=-=- dir.- = - d e fd f

Köselasinin çözümüne gelinirse: Kösetasindaki CDE ve CAB üçgenlerindec

ICDI = ICEI (i=~ ve C ortaktir.)ICAI ICBI 8 10

""""'- """"'- 4 5 xCDE- CAB => -=-=- => y=2x => x+y=6 => x+2x=6 => x=2br

8 10 Y

B 6 DE 8 C



IABI = IACI

lAFi = IEci = 8 br

IBDI = 6 br

IAEI = 10 br

IACI = 12 br

ABC üçgeninde

[AE açiortay

3·IADI = 2.IDEI

IABI = 6 br

C IAci = 9 br

A

E


3.

E) 7D) 6C)5

A

B)4A)3

1.

A)4 B) 6 C)8 D) 9 E) 12


E)~5

D)~3

ABC üçgeninde

ICEI = ICDI = 6 br

IAEI = 2.IEDI = 8 br

IBDI = 9 br

C)~4

A

A)~2

6

Yukaridaki verilenlere göre, IACI orani nedir?IABI

4.

E) 403D)~2

ABC üçgeninde

IAB i = 12 br

IBDI = 9 br

IDci = 7 br

IAci = 15 br

C) 353B) 272

A

A) 454

2.

347

köse/asibenzerlik

D

[AC] ri [DE] = {B}

IAEI = 4 cm

IABI = 2 cm

IBCI = 9 cm

IBEI = 3 cm

IDBI = 6 cm

olduguna göre, IDCI = x kaç cm dir?


...o.. ...o.. IABI IEBI d.K.A.K dan ABE - DBC dir. Çünkü m(ABE) = m(DBC) ve IBDI = IBCI ir.

=:) ~ = _4_ =:) IDCI = 12 cm olur.6 IDCI

A


....................m(ABC) = m(ACD)

IAB i = 3 cm

IBCI = 2 cm

IACI = 4 cm

ICDI = 6 cm

D

A

B

C 6


3.....................

m(DCA) = m(ACB)

IDCI = 16 cm

4 IACI = 8 cm

IBCI = 4 cmB

IADI = 12 cm

16D

1.

A)6 B) 8 C)10 0)12 E) 14A) 5 B) 6 C)8 0)10 E) 12


E) 20

~

D) 18

AB II CD

IDCI = 12 cm

IACI = 18 cm

IABI = 27 cm

IADI = 10 cmB

C) 16

c12

B) 15

D

A27

Yukarida verilenlere göre,IBCj = x kaç cm dir?

A) 12

4.

348

E) 120)10

D

[AD] ri [BE] = {c}

21BCI = 31CDI

21ACI = 31CEI

6 IEDI = 6 cm

E

c}9B) 4

B

A)3

2.

kösetasibenzerlik

A ABC üçgeninde

B

AK.l BD

DL.l BC

IABI = 4 cm

C IADI = 2 cmIDCI = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, ii~~iiorani kaçtir?


B

A

C

""""'- """"'-

ABD - ACB dir.

Çünkü m(BAD) = m(CAB) ve IADI = IABI = ~ K.A.K dan benzerdir.IABI IACI 2

Benzerlikten dolayi IAKI=~ => IAHI=2IAKIIAHI 2

D"L't - AHC den IDLI = IDCI =~ => IAHI =iiDLiIAHI IACI 8 3

2IAKi=iIDLI => IAKI=3.tür.3 IDLI 3

1. AB II CD3.A

[AK] ve [ME] açiortayDIDCI = 16 cm

[AE] ri [BD] = {c}

iACi = 20 cm

IACI = 4 cm

IABI = 25 cm

ICDI = gem

A

BICKI = 10 cm IBCI = ICEI = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, IDHI = x kaç cm dir?

E)~2

D)i3

B E

Yukarida verilenlere göre, IAKI kaçtir?IMEI

A)~ B)~ c) 3.4 2 3

E)9D) 8C)7B)6A)5

E)~2

D) 3.3

ABC üçgeninde

[AN] açiortay

IADI =6 cm

IDBI = 2 cm

IAEI = 4 cm

IECI = 8 cmC

C) 1B)~2

A

A)2

B

Yukaridaki verilenlere göre, IAKI orani nedir?IKNI

4.

E) 80)7C)6

A

B) 5

B

A)4

m(MC) = m(ADC)

BH .lAC

IADI = 6 cm

D iDci = 4 cm

IBHI = 10 cm

IACI = 8 cm

IABI = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, A noktasinin DC ye uzak·Iigi kaç cm dir?

2.

349

kösetasibenzerlik

A ABC üçgeninde

c

IAEI = IECI

IABI = 21DEI.•.......

m(BAD) = 12·.•.......

m(DAC) = 56·.•.......

olduguna göre, m(ABC) = x kaç derecedir?


K.K.K Benzerlik Teoremi: Iki üçgenin karsilikli kenarlari orani sabit ise, bu üçgenler benzerdir.

Yukaridaki soruda

IADI IAEI IDEI ...,.,...,.,-- = -- = -- oldugundan ADE - CBA dir.IBCI IACI IABI

..................Buna göre, m(DAE) = m(ACB) = 56°

.•.......

m(ABC) =' 180° - 56° - 68° = 56°

E) 10D) 9c)8B) 7

ABC üçgeninde

IDEI = 21HFI

IDBI = 6 br

IBEI=4br

IHCI = 2 br

C IFCI = 3 br

IAHI = 10 br


A)6E) 70D) 60C) 40B) 20

.•.......

Yukarida verilenlere göre, m(ABC) = x kaç derecedir?

A) 10

1. AABC ve DEF üçgen3.A

IACI = 41DEI IAB i = 8 brIBCI = 12 brIDFI = 2 brB

CIEFI = 3 br B


B

IACI = IBDI = 4 cm

iADI = 6 cm

IBCI = 12 cm

IDEI = 2 cm

C ~12 IAEI = 5 cm ~

lo,................ .•...... ~m(ABC) = x· ve m(ACB) = y. olduguna göre, m(EAC) .i:c

nin x ve y türünden esiti asagidakilerden hangisidir?

4.

B

A

C

ABC üçgeninin açilari

ve kenar uzunluklari

gösterilmistir.

Buna göre, asagidakilerden hangisi yanlistir?A) 90 -x-yC) 180 - 2x + y

B) 90 - 2x - Y

D) 180 - 2x - Y

E) 180 - 2x - 2y

A) z = x

D) m = y + z

B) t = n C) x = t

E) t + m + x = 180·

350

kösetasibenzerlik

A ABC üçgeninde

DE /i BC

A(ADF) = 6 bi2..<:>...

A(AFE) = 9 bi2

A(DBKF) = 18 bi2

olduguna göre, A(FKCE) = x kaç bi2 dir?


A DE // BC ise 51,52,53,54 içine yazildiklari alani göstersin.

1) ~=~ veya ~=§.53 54 52 54

2) ~= IDFI §.= IBKI veya §.= IDFI dir.52 IFEI' 54 IKCI 54 IFEI


~ = ~ => x = 27 br218 x

E) 240)20C)18B) 16

OC i/ EF II AB

K [AD, [NK ve [BC isin-

lari bir noktada ke

sismektedir.

Sekildeki bölgelerin

alanlari içlerine ya-

A N B zilmistir.

Yukarida verilenlere göre, A(NBFP) = x kaç bi2 dir?

A)12

3.A ABC üçgeninde

DE II AC

B, F, K dogrusal

A(BFD) = 12 bi2

A(FECK) = 12 bi2

A(ADFK) = 16 bi2

E C~

Yukarida verilenlere göre, A(BEF) = x kaç bi2 dir?

1.

A)6 B) 7 C)8 D) 9 E) 10

Yukarida verilenlere göre, A(GCKN) = x kaç bi2 dir?

A ABC üçgeninde

G agirlik merkezi....•.....• ....•.....•

m(BAN) = m(NAC)

EF II BC

IABI = 12 br

IACI = 18 br

B N D C A(BNKE) = 24 bi2

Yukarida verilenlere göre, A(DCFG) = x kaç bi2 dir?

G noktasi ABC üç- 4.geninin agirlik mer

kezi

FK /i EC

A(FEGN) = 12 bi2

A2.

A) 12 B) 16 C) 18 0)20 E) 24

351

A) 24 B) 25 c) 28 D) 30 E)32

~

kösetasibenzerlik

ABC D kare

DE .lAF

AF.l BF

IEFI = IFBI = 1 br

olduguna göre, IABI kaç br dir?

açiklamali çözümAÇi, Kenar, Açi (A,K,A) eslik teoremi: ikiser açisi ve birer

kenari es olan iki üçgen birbirine estir. Bu eslik özelligine A.K.A

eslik teoremi denmektedir.

Es üçgenlerde esit açilar karsisinda esit kenarlar bulunur.

Sekillerde esit açilar a. ve El ile gösterilmistir. IAci = IDFI verilmistir.

Bulki üçg~de [Aci ile [DF) yi çakilaca~kild~st üste koysak El ve a. açilarindan dolayi [AB) ile [DE], [BC) ile [EF) çakisir.m(B) = m(E) Olur. Bu iki üçgenin esligi ABC = DEF seklinde yazilir. Bu yazilista birbirine karsi gelen açilarin sirasina dikkatedilmelidir.

Kösetasinin çözümü: Sekilde esit açilar a. ve El ile gösterilmistir. (esitlik a. + El = 90·

olusundan kaynaklanmaktadir.)

IABI = IADI (ABCD kare). ABF ve DAE üçgenlerinin ikiser açisi ve birer kenari es

oldugundan bu iki üçgen birbirine estir ...::::.. ..::::..

AFB = DEA dir. => IBFI = IAEI = 1 olur.

IABi2 = IAFi2 + IBFi2

IABi2 = 22 + 12 => IABI = .fS br bulunur.

B C

Yukarida verilenlere göre, IDCI kaçtir?

ABC üçgeninde

IABI = IAci = 6 br

IAEI = 4 br

BD .lAC

CE .lAB

ABC üçgeninde

IABI = iACi

[BD], [CE] birer açi

ortayolduguna gö

re, asagidakilerden

hangisi yanlistir?

c

A

B

A) IAEI = IADI B) IBEI = IDCI C) IBDI = ICEI

D) IBDI > IDci E) IBCI = ICDI

3.

E)3D)~2C)2

A

B)~2

A) 1

1.

Yukarida verilenlere göre, C noktasinin AD dog

rusuna uzakligi kaç br dir?

2. ABC D kare

DF.l DE

IBEI = 1 br

ICEI = 3 br

F, A, B dogrusal

Yukarida verilenlere göre, IDFI kaçtir?

4.

B

A ABC dik üçgen

IABI = IAci

BD.l AD

IAEI = 6 br

IDEI = 2 br

A)4 B)5 C)6 D) 7 E) 8 A)4 B) 5 e)6 0)7 E) 8

352

benzerlikkösetasi -----------------------

A

c

ABC ve ADE eskenar üçgenler

D, E, C dogrusal.--....

m(ACE) = 40°.--....

olduguna göre, m(DBC) kaç derecedir?

açiklamali çözümK.A.K eslik teoremi: ikiserkenari ve bu kenarlarin arasinda

ki açilari es olan iki üçgen esittir.

Bu eslik özelligine K.A.K eslik teoremi denir.

A Ai

m(A)=m(D)1

L>. L>.jABI=IOEI => ABC:= DEF

!ACI=IOFI J

Es üçgenlerde esit kenarlarin karsisinda esit açilar bulunacagindan m(S) = m(E) , m(C) = m(F) , iBCi = JEFI olur.

A Kösetasinin çözümü:....-................. .........••... •........••••..

m(DAE) = m(BAC) = 60 => m(DAB) = m(EAC) = 60 - e = a

IADI = IAEI (ADE eskenar) ve IABI = IACI (ABC eskenar)

~ ~ ....-................. ..........•.•..

DAS =: EAC => m(DBA) = mlECA) = 40° => m(DBC) = 40° + 60° = 100°

.--....

Yukarida verilenlere göre, m(ABD) kaç derecedir?

ABC üçgeninde

IABI = iACi

IAEI = IADI

m(BAC) = 40°

m(BCE) = 40°

E) 15D) 12

ABC ve ADE eskenar

üçgenler

IECj = 12 cm

C)9

A

B) 8

D

B E 12 C


A)6

i 3.

E) 45D) 40

c

C) 35

A

B) 30

B

A) 25

1.

2.

B

A

c

ABC eskenar üçgen

IDBI = IECI = lAFi

4. A

c

ABC eskenar üçgen

[AE] n [BD] = {F}

IADI = IEC!

lAFi = 4 cm

IFEI = 6 cm

.--....

Yukarida verilenfere göre, m(OEF) kaç derecedir? Yukarida verilenlere göre, A(ABO) kaç cm2 dir?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E) 75 A) 6n B) 9n C) 10n D) 12 E) 15

353

kösetasibenzerlik

A ABD dik üçgen

m(ACB) = m(ECD)

ICEI = 6 br

IBEI = 21EDI

olduguna göre, IBq kaç br dir?


Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay~poienüs.9-Q. yarisina esit oldugundanIBKI = IKCI alinirsa IAKI = IKCI ve m(KAC) = m(ACK) olur.

.......................... .d II AK çizilirse m(ACF) = m(KAC) (iç ters) ve m(ECD) = m(KAC) (yöndes) açilar mey-

dana gelir. e II AK çizilirse e ile gösterilen açilar es olur.

Sonuç: ABC dik üçgeninde B kösesinde B açisina es veya C kösesinde C açisina es

açilar dik üçgende hipotenüse ait kenarortaya paralel isinlar olusturmak için verilir.

Kösetasinin çözümü:/'-.. /'-.. /'-..

IBKI = IKCI (alalim) ~ iAKI = iKCI ~ m(KAC) = m(KCA) = m(ECD) olur.A /'-.. /'-..

ECD ile KAC yöndes ve esit oldugundan AF II CE olur.

IBKI = IKCI ~ IBFI = IFEI (Taies)

CEI 6IKFI = ~ ="2 = 3 br (orta taban)

IBEI = 21EDI ~ IFEI = IEDI = n olur. DAF üçgeninde lAFi = 21CEI = 2.6 = 12 br (orta taban)

IAKI = IAFI-IFKi = 12 - 3 = 9 br. iBCi = 21AKI = 2.9 = 18 br

ABC dik üçgen

m(iIDE) = m(ADC)

IAEI = 6 br

IDCI = 12 brAB E C

Yukarida verilenlere göre, IBEI kaçtir?IECI

3.

DcB

ABD üçgeninde

m(BAC) = 90°/'-.. /'-..

m(ACB) = m(ACE)

IBCI =iICDI 3

iEC! = 3 br

Yukarida verilenlere göre, ICDI kaç br dir?

1.

A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 7,5 A) 1 B)~4

C. 2)3

D) ..!.2

E)..!.3

A

~B 10 D 30 C

ABC dik üçgen/'-.. /'-..

m(DEC) = m(DCE)

IDEI=4br

lEq = 21AEI

ALbB D C


4.ABC üçgeninde

m(DAC) = 90°

m(ED"'A) = m(ADC)

IBDI = 10 br

IDCI = 30 br


2.

A) 3 B) 4 C)5 D) 6 E) 8

354

A)6 B) 8 c)9 0)12 E) 16

~

üçgende benzerlik

1. Genisligi 1,8 metre, yüksekligi 3,2 metre olan dikdörtgen

seklindeki bir reklam panosunun resmi çekiliyor.

Çekilen resimde uzun kenar 16 cm ise kisa kenar kaç

cm dir?

A)6 B) 8 C)9 D) 10 E) 12

5.

B

A ABC üçgeninde/'-- /'--

m(BAC) = m(DCB)

IDBI = 4 br

iBCi = 8 br

c


2. A

A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 16

D

~E K F

,e,. ,e,.ABC - DEF dir.

IDKI = 6 br,

AH 1- BC,

IAHI = 9 br,

DK 1- EF

IEFI=15br

6. A

~B 4 D C

ABC ve EDB dik üç

gen

IDEI = 3 br

IBDI = 4 br,e,.

A(AEDC) = 3.A(EBD)

Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IDCI kaç br dir?

A) 10 B) 18 C) 20 D) 21,5 E) 22,5 A)4 B) 5 C)6 D)8 E) 9

6 D 4


3. Bir resmin 2 kati ve 3 kati büyüklüklerinde iki fotokopisi

çekiliyor.

2 kat büyüklükteki fotokopi için 2 miligram boya har

canmissa 3 kat büyüklükteki resim için kaç miligram

boya harcanmistir?

7.

B

A

c

ABC üçgeninde

m(BAc) = m(ADC)

IBDI = 6 br

IDCj = 4 br

A)3 B) 4,5 C)6 D) 8,2 E) 9 A) 3)5 B)2JTIj C)6 D)4./2 E) JTIj


~~~

4. Silindir seklindeki iki kovadan büyük alaninin yariçapi ve ~

yüksekligi digerinin yariçapi ve yüksekliginin 2 katidir.

Küçük kova 6 litre su aldigina göre, büyük kova kaçlitre su alir?

8.

B

A

c

ABC dik üçgeninde

AH 1- BC

IABI = 6 br

iHCi = 5 br

A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48 A)2 B) 2,5 C)3 D) 3,6 E)4

355

üçgende benzerlik

A

B C


ABC üçgeninde

DE II BC

iEC! = 4 br

IDBI = IAEI

IADI - IAEI = 3 br4

E

A

D

13.D ABE ve DBC dik üç

gen

AB 1- BC

12 iDC! = 12 br

IBCI = 16 br

B 16 • C IAEI = 4 br


9.

A) 13 B) 14 C)15 D) 16 E) 17 A)4 B) 6 C)8 D)9 E) 12

10.

B

A

ABD ve DBC dik üç

gen

[BD] açiortay

IBC! = 8 br

IDC! = 6 br

14.

B

ABC ve ADC üçgen

HF /i BC

FE II AD

IEC! = 21DEI

IHFI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IBCI = x kaç br dir?

A) 11 B) 12 C) 12,5 D) 14 E) 15,5A)18 B) 16 C)15 D) 12 E) 9

A

11.

B

A

C

ABC üçgeninin kenar

lari ile DEF üçgeninin

kenarlari diktir.

IDEI = 6 br

IEFI = 8 br

IACI = 12 br

15. ABC üçgeninde

DE II BC

DF /i BE

IADI = 9 br

IDBI = 6 br

IFEI = 4 brB C



A) 9 B) 10 C)12 D) 15 E) 16

A)~ 3 B)~2

C)E.4

D)5 E)4

E)~43

D) 9043

ABC dik üçgen

DE II BC, DH 1- BC

IDHI =~IDEI 3

IABI = 6 br

IACI = 8 br

C) 8043

B) 6043

A) 4043


16.

E) 12D)10

ABC bir üçgen

DE II BC

IDEI = 8 br

IBC! = 12 br

IEC! = 4 br4

c)9

E

B) 8

A

C


A)6

12.

356

üçgende benzerlik


A

B

ABC üçgeninde

DF II BC

DE II AC

IBEI = 2·IECI

C IKNI = 2 br

INCI=4br


21.d1 II d2di

IBEI = 3·IAEI

iDci = 60 br

di

cA

D

17.

A) 20 B) 18 C)16 D) 15 E) 12 A)2 B)3 C)4 D)5 E) 6

E) 9D) 8

DA II BC

m(ABD) = m(DCB)

IBDI = 12 br

IBCI = 18 br

C)6B) 5A)4

E\B 18 C


22.[BD]n[AC]n[FH] = {E}

DC /i AB

31FCI = 21AHI

IDFI =4 cm

B

Yukarida verilenlere göre, IHBI = x kaç cm dir?

18.

A) 5 B) 6 C)8 D)9 E) 12


19. A ABC ve DBC dik üç

gen

EF..L BC

IEFI = 20 br

iDCi = 30 br

B

D

IAB I = iACi

ABF ve BDE dik üçgen.---.... .---....

m(ABC) = m(DBE)

IFEI = iECi

lAFi = 8 br

IDEI = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IABI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IECI kaç br dir?

A) 30 B) 40 C) 45 D) 50 E) 60 A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5

20. AABC üçgeninde24. O noktasi ABC üçge-

DE II BCA

ninin iç teget çemberi-

[AC] n [BE] = {H}

nin merkezi

E

iHCi = 31HFI~

DE II BC] IADI = IDBI

IDOI = 5 br

B

iBCi = 24 cm 10EI = 4 brC

BCIAEI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IDEI kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IBCI kaç br dir?

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 A)10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

357



G noktasi ABC üç


K noktasi DBC üçge

nin agirlik merkezi

IGDI = 12 br

C Ef /i BC


ABC üçgeninde 28.A

DE II AC AD..LBDIBEI = IECIC

IABI = 12 cmB

IACI = 18 cmA

B

25,

A)2 B) 3 C)4 D) 5 E) 6A)6 B) 9 C)12 D) 16 E) 18

E) 6,4D)6

ABC üçgeninde

DE II BC

31Bfl = 21fCI

IDHI = 4 cm

C

C) 4,5B) 4

A

B

Yukarida verilenlere göre, IHEI = x kaç cm dir?

A)3

29,

A

B

ABC üçgeninde

Hf..L BC

DE..L BC

IDEI = 4 cm

C IAHI = IHBI

IADI = 2jDCI

Yukarida verilenlere göre, IHfl = x kaç cm dir?

26.

A) 12 B) 9 C)8 D) 6 E) 5

ABC dik üçgeninde

m(EDB) =45·

41AEI = 31ECI

IEDI = 8n cm

Yukarida verileniere göre, IABI = x kaç cm dir?

30. A

ABC üçgeninde

ED II fH /i BC

jDCI = 21ADI

IBCI = 30 cm

C

A

B30

Yukarida verilenlere göre, IFHI kaç cm dir?

27.

A)4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 A)10 B) 12 C)14 D) 16 E) 18

358

üçgende benzerlik

31. A ABC ve DBE dik üç-

~·..D gl:DI=~IDCI 3

IBEI = 12 br

B 12 E 3 C IEC! = 3 br

34.

A B

OC II EF ii AB

IAEI = 21EDI

IEFI = 8 br

IABI = 10 br

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IDCI kaç br dir?

A) 5 B) 6 c)8 D) 9 E) 10 A)3 B)4 C)5 0)6 E) 7

• CB D 4 E x



m(BAD) = m(ACB)

m(6AE) = m(EAc)

IABI = 12 cm

IDEI =4 cm

35. A

B 6 E 12 C

ABC üçgeninde verilen uzunluklara göre, IACI kaç brdir?

A)2 B) 3 C)4 0)5 E) 6 A)10 B) 12 C)15 D) 16 E) 20

E)2D)~2

ABC ve AED üçgen- -m(BAC) = m(CAD)

IAEI = 6 cm

D IECI = 3 cm

31ADI = 21ABI

C)1

A

B)~3A)..!.3

B

·1 i .. IEDI k tr?Yukarida veri en ere gore, IBCI orani aç i

36.

E) 6D) 5

ABC dik üçgeninde

F, iç teget çemberin

merkezi ~~~

C)4B) 3

[BE] ri [OC] = {F}

41ADI = 31AFI

IDFI = 3 br

Yukarida verilenlere göre, IFEI = x kaç cm dir?

A)2

33.

359

üçgende benzerlik

ABC D kare

AE.l EB

CF.l FB

EB.l FB

IFBI = 6 cm

C

A B

Yukarida verilenlere göre, IEBI kaç cm dir?

40. DABC ve ABD üçgen.......... .

m(ABD) = m(ACB)

AH.l BD

51ADI = 21ABI

IAHI = 6 br

A

B

Yukarida verilenlere göre, A noktasinin BC ye uzak

ligi kaç br dir?

37.

A) 7,5 B) 8 C)9 D) 12,5 E) 15A)9 B) 8 C)7 D)6 E) 5

..........

Yukarida verilenlere göre, m(DFE) kaç derecedir?

ABC ve ACD üçgen

IABI = IACI

IAEI = IADI.......... .

m(BAE) = m(CAD)

iDCi = 4 brD

A

BC


41.

..........

m(ABC) = 40°

IABI = 9 cm

iACi = 6 cm

IBCI = 12 cm

IDEI = 2 cm

C IEFI = 4 cm

IDFI = 3 cm

A

12B

38.

A)20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A)3 B) 4 C)5 D)6 E) 8

B K C

Yukarida verilenlere göre, A(KCEF) kaç bi2 dir?

ABC dik üçgen

m(ADB) = m(EDC)

IAEI = 21ECI

IADI = 18 cm

CD


42. A

..:c

Bölgelerin alanlari se- ~

kilde verilmistir. ]

ABC üçgeninde

DE /i BC

A39.

A) 10 B) 12 C) 14 D)15 E) 18 A)3 B) 4 C)5 D)6 E) 9

360

üçgende benzerlik

E) 80)6

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

m(ABE) = m(C)

3.IBDI = 2·IDCj

IAEI = 12 br

C)5B)4

A

B D C

Yukaridaki verilenlere göre, IDEI = x kaç br dir?

A)3

5.ABC üçgeninde

[BE] açiortay......•... ......•...

m(BAD) = m(ACB)

IBFI = IFEI

iBc! = 48 br

BD


1.

A) 16 B) 18 c) 20 D) 22 E) 24

Yukarida verilenfere göre, IBEI kaç br dir?

E) 12D) 9

C

A ABC üçgeninin iç !e-

get çemberinin yari

çapi, DBE üçgeninin iç

tege! çemberinin yari

çapinin 3 katidir.

DE II AC

IBC! = 24 br

C)8B) 6A)4

6.

OC /i AB......•... ......•...

m(ADC) = m(ECB) = 90°

IDC! = 3 br

IDEI = 4 br

IAEI = 5 br

B


2.

A)9 B) 10 C)12 0)15 E) 18

E) 4,8D) 4,6

ABCD kare

IAEI = 3 br

IEBI = 1 br

ICFI = IBC!

c) 4,5B) 4,2

3 E 1


A)4

......•... ......•...

m(ABD) = m(ACB)

IBEI = IEDI = 6 br

IBFI = IFC!

lAFi = 2·IAEI

ABC üçgenindeA

F c


3.

A) 24 B) 20 C)18 D) 16 E) 15

Yukarida verilenfere göre, IDCI kaç br dir?

4. A 2 F ABC dik üçgen

~1 DEFAdikdörtgen

K lAFi = 2 br

•• ~ IFKI=1brB D E C IKEI = 3 br


8. A

C

m(FDE) = m(ABC)

IABI = IACI

IBDI = 2·IDC!

IBFI=9br

IEC! = 2 br

A) fS B) 3 C) J3 0)2 E) J2 A) 1 B) 2 C) 3 0)4 E)6

361

üçgende benzerlik

ABCD kare

[DF], EDC nin açior

tayi

IAEI = 5 br

IEBI = 7 br

c

5 E 7


ABC üçgeninde

[AD] açiortay

[AD]1. [Bc]

BA il DF = E

7·IAFI = 2·WCL

IAEI = 2 br

cB

9.

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç br dir? A)2 B) 3 C)4 D)5 E) 6

A)3 B) 4 c)5 D)6 E) 7

E) 24D) 18

ABCD dik yamuk

[AC] ile [DB] kösegen

IABI = 2·IDCI

CH1.DB

IAB! = IBEI

ICHI = 6 br

C) 15B) 12

B

Yukarida verinfere göre, IADI kaç br dir?

A)9

c ABC D dikdörtgen

AEFD kare

IEKI = 2 br

IABI = 6 br

E

Yukarida verilenlere göre, A(AEFD) kaç br dir?

A)6 B) 9 C) 12 D) 18 E) 24

A

11.

B

G noktasi ABC üçge


ABDE paralelkenar

IABI = 12 br

15. ABCD paralelkenarC

DE1.AB

DF1. BC

IDEI=3br

IBEI = 2·IAEI

WCI = 3·IBFI


Yukarida verilenlere göre, IKEI kaç br dir?

A)3 B) 4 C)5 D)6 E)~3

A) 1 B)..[2 C)2 D)~2

E)J3

A B

Yukarida verilenfere göre, IABI kaç br dir?

ABC D dik yamuk

ECB ikizkenar dik üç-

gen ~

IDEI = 3 br 1~

IBCI = 5 br

E)~4

D)~3

ABC üçgeninde

[BE] açiortay

AD1. BE

IBFI = 2·IFEI

C)..!4

B)..!3

A

B

Yukarida verilenfere göre, IAEI orani kaçtir?IACI

16.

E) 10D)9C)8B) 7

3

E

A)6

362

--- --------------------------------------------

üçgende benzerlik

F noktasi ABC üçge

ninin iç teget çembe

rinin merkezidir.E

9

A

B

DE II BC

IABI = 8 br

C IACI = 10 br

iBci = 9 br


5.ABCD dik yamuk

DB 1- CE

IDEI = 2·IAEI

iDci = 2 br

IABI = 12 br


1.

A) 1 B) 2 C) 3 D)4 E)2J3 A)4 B) 5 C) 6 0)7 E) 8

ABC üçgeninde

DE II BC

lAFi = LFOI = IDBI2

IBNI = INCI

IKEI = 6 br

A

B N C

Yukarida verilenlere göre, IDKI kaç br dir?

6.ABC üçgeninde

IADI = IDBI. IBEI = IECI

lAFi = 2·IFCI

m(DEF) = 60°

IDEI = 3 br

IEFI = 2 br

c

A

BE


2.

A)8 B)7 C) 6 D) 5 E) 4A)6 B) 5 C)4 D) 3 E) 2

3. ABCD paralelkenar

AF 1- BE

CK 1- BE

IAEI = 2·IDEI

lAFi = 2 br

A B

Yukarida veri/enlere göre, IKCI = x kaç br dir?

7. A

C

ABC dik üçgen.---... .---...

m(BAD) = m(ACB)

IABI = 12 br

IBDI = 9 br

A)3 B) 4 C)5 D) 6 E)7 Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?

A)3 B)4 C)5 D)6 E) ?

4. G noktasi ABC dik üç-

A geninin agirlik mer-

~• kezi

G E GH 1- BC, DE 1- BC~

:. ~ IBDI=IDCI ~B H 2 D c IHDI = 2 br ~

IGHI = 15 br

Yukarida veri/enlere göre, IDEI kaç br dir?

8.

B

A

C

ABC üçgeninde

DE II BC

IBFI = 5 br

IFEI = 3 br

IECI=4br

Yukarida veri/enlere göre, IAEI kaç br dir?A) 2J5 B) 2.J3 C)~

J5D)~

J5E)~

J5 A)5 B) 6 C)? 0)8 E) 9

363

üçgende benzerlik


E) 12D) 10

A ABC üçgeninde

[AD], BAE nin açior

tayi

C)9B) 8

.•..........•.........m(ABC) = m(EAC)

IDEI = 3 br

B D 3 E 1 C IECI = 1 br


A)6

13.ABC üçgeninde

m(DAC) = m(ABC)

iAc! = 4.)6 br

iDC! = 2·IBDI

D)4J2 E)4J3

c

C)6B) 4

A

A)3

9.

E) 6D) 8

ABCD dikdörtgen

DAE üçgen

CHol DE

A(ABCD) = 48 bi2

ICHI = 6 br

C)9B) 10A)12

E


ABC ve DEC dik üçgen

lAFi = 7 br

IEBI = 6 br

iBC! = 3 br

A

E

Yukarida verilenlere göre, IFBI = x kaç br dir?

10.

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5

E) 80)9

ABC üçgeninde

[AD] açiortay.•..........•.........

m(ABE) = m(ACB)

A(ADC) = 25 bi2

51BDI = 31DCj

C)10B) 12

B D C

Yukarida verilenlere göre, A(ABE) kaç bi2 dir?

A)15

15. A

DE II BC

iBC! = 12 br

iEC! = 5 br, IBDI = 4 br

IADI = x br, IAEI = y br

ABC üçgeninde

K, iç teget çemberi n

merkezi

c

A

B12

Yukarida verilenlere göre, x + y kaç br dir?

11.

A)25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

Yukarida verilenlere göre, _A_(D_F_K_E_)orani kaçtir?A(FBCK)


~ ••.•......•

m(BAC) = 120°

ADE eskenar üçgen

~BDI = 2 brB-2~D----E--8-~C IECI = 8 br

16.

B

A ABC üçgeninde

DE ii FKII BC

6.IADI = 4·IDFI = 3.IFBI


A) 3 B) 4 C)5 D)6 E) 7A)~

8B)~

9

5C)1"2

D)~19

E)~16

364

üçgende benzerlik

B C

Yukarida verilenlere göre, x kaçtir? Yukarida verilenlere göre, IDCI = x kaç br dir?

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

BE 1- AD

C CD 1-AD

IACI = 2·IABI

IBEI = 6 brD

A5.ABC üçgeninde

DE II BC

IADI = x + 1 br

IDBI = IAEI = 2x br

IEC! = 4x - 3 br

A1.

A) 1 B) 2 c)3 0)4 E) 5 A)8 B) 9 C)12 D) 15 E) 18

B C


2. A AD II EF ii BC

2.IBC! = 3·IADI

iDC! = 15 br

6. ABC dik üçgen

lAFi = IBFI

AD ii BC

IDCI = 2·IEC!

IADI = 6 br

E


A)3 B) 4 C) 5 0)6 E) 7 A)3 B)4 C)5 0)6 E) 7

-----.


A

~B E C

ABC dik üçgen

[BD] açiortay

DE 1-AC

IABI=~IDEI 2

G noktasi ABC dik üç


CH

A

~B

iACi > IAB iGH 1- BC

IGHI = 2 br

IBC! = 15 br


7.

E) 600)45C) 30B) 22,5A) 15

3.

A) 2J6 B) 312 C)3J3 D) 3J6 E) 315

B E C

Yukarida verilenlere göre, IDE I kaç br dir?

E) 110)7

ABC üçgeninde

DE II BC

Sekildeki bölgelerin

alanlari verilmistir.

C)6B)4

A

~Yukarida verilenlere göre, A(AFE) = x kaçtir?

A)3

8.

E)4D)~2


ninin iç teget çem

berinin merkezi

DE II AB

IABI = 5 br

IACI =4 br

IBC! = 6 br

C)3

A

B)~2

A)2

4.

365

üçgende benzerlik

ABC üçgeninde

~A m(BAD)= m(ACB)K F IADI = IAEI. jAKI = IKBI

lAFi = !FCI

B D E c 3·IDKI = 2·IEF!,c".A(ABD) = 8 bi-2

Yukarida verilenlere göre, A(AEc) kaç bi2 dir?E) 2

5D) 2

4

ABC dik üçgen

m(BED) = m(6E'C)

IBDI = IDCI = 4 br

IDEI = 3 br

B,5)2

A)~3

~B 4 D 4 C


, 13.

E) 18D) 16C) 15B) 14A) 12

9.

ABC üçgeninde

Sekilde AB II DC

IDKI = IKBI

ICFI = 2!FKI

IACI = 18 br

C

A

Yukarida verilenlere göre, IKFI kaç br dir?

14.m(ABD) = m(ACB)

3·IBDI = 2·IBCI

A

•~ D.~ ABD üçgenin iç teget-B--------~C çemberinin yariçapi12 br

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgenin iç teget çem

berinin yariçapi kaç br dir?

10.

A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20 A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5



D) 4.)3 E) 4J6

ABC dik üçgen

BD 1- AC

DE 1- BC

IBEI = 2 br

IECI=8br

C

C)5J2B) 5

2 8


A)4J2

15. A

E)~2

D)~3

IABI = iACi

DE 1- BC

IBEI = 7 br

ICEI = 3 br

IDEI = 4 br

A

B)4A)1

11.


merkezi G

ADE üçgeninin agirlik

merkezi F

DE II BC

N, F, K, C dogrusal

C IDKI = 24 br

A

B

16.ABC ve DBE ikizkenar

üçgen

IABI = iACi

IDBI = IDEI

iBCi = 6 br

ICEI = 2 br

A

B 6 C 2 E

Yukarida verilenlere göre, IDq LADi nin kaç katidir?

12.

Yukarida verilenlere göre, IKEI kaç br dir?A)2 B)~

2C)3 D)~3 E)~

2 A)3 B)4 C)5 D)6 E) 8

366



ABD ve EBC üçgen/'-.. /'-..

m(AEF) = m(ADC)

IEBI = IDC! = 4 br

IBDI = 6 br

B 6 D 4 C


5. AABC üçgeninde

IABI = iBc! = 6 cm

IADI = IBDI = 4 cm

c

1. A

E) 7D)8

ABC ve DBC dik üç

gen

IAEI = IEC!

IABI = 6 cm

IBCI = 8 cmC

C)9B) 10

A

A) 11

6.

cB

A)4 B) 5C) 6D) ?E) 8

2.

A

ABC üçgenindeIADI = 5 briBC! = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IDEI = x kaç cm dir?m(BAC) = m(ASb) = m(DBC) olduguna göre, IDCI = x

kaç br dir? A)3 B) 2,4 C)2 D) 1,8 E) 1,4

A)? B) 6 C)5 D)4 E) 3

A

A

B

ABC üçgeninde

B, F, E dogrusal

DE II AB

4.A(ABF) = 25.A(FEH)

C IEHI = 21HDI

IFHI = 4 cm

Yukarida verilenlere göre, IHCI kaç cm dir?

7.ABC ve FDC üçgen

EB II AC

lAFi = 4 br

IFC! = 12 br

IBC! = 3·IBDI

D B C IEFI = 14 br

Yukarida verilenlere göre, IHFI = x kaç br dir?

3.

A)6 B) 8 C)9 D)10 E) 12A) 2,5 B) 3 C) 3,5 D)4 E) 5

ABC ve ADE dik üç

gen

IDCI = 6 br

IBDI = 3 br

IAEI = 21ECI

A

Yukarida verilenlere göre, lEq = x kaç br dir?

H

D

12

A

B

ABC üçgeninde

E, iç teget çemberin

merkezi 8.D, dis teget çemberin

. ..i.:

merkezi ~

iBC! = 12 cm ]IDCI = 9 cm

IAEI = 6 cm


4.

A)4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A)4 B) 2./3 C)3 D) .J6 E)4

367

üçgende benzerlik

E)6D) 5

ABC dik üçgen

IAEI = 21ECI

IABI = 9 cm

IBDI = 4 cm

C IDCI = 8 cm

C)4B) 3

4 D 8


A)2

13. AABC üçgeninde

OF II AE

3.IDCI = 2·IADI

IBEI = IECI

IDFI = 16 cm

c

A

BE F


9.

A) 34 B) 30 c) 28 0)25 E) 24

Yukarida verilenlere göre, m(ACE) = x kaç derecedir?

m(ABC) = 140°

m(BCD) = 70°

IACI = IDCI

IBCI = IDEI

C IABI = IECI

E)2.J7D)4J2C)6

A

B

ABC üçgeninde

OF II AC

DEl- BC

iACi = 6 cm

IBEI = 5 cm

C IEFI = 3 cm

IFCI =4 cm


A) 3J5 B) 2/10

14.

E) 30D) 25c) 20B) 10

D

A)5

10.


IADI = 6 br

IDBI = 9 br

IABI = 12 br

iACi = 18 br

15. A

B C

ABC üçgeninde

IADI = IDCI = iECi

IAEI = IBDI

IACI = 6 cm

Yukarida verilenfere göre, IABI kaç br dir?- - -

m(ADB) - m(BAD) = mieAD) olduguna göre, IBCI = x

kaç br dir?A)4J2 B) 6 C) 2.fiO D) 3J5 E)4J3

A)20 B) 22 c) 24 D) 25 E) 28

16.AABC üçgeninde

12.ABC üçgeninde

--m(BAC) = m(DFB)

DE II AC

--~

m(AED) = m(ABC)

EF II BC

~IAEI = 4 br~

IEFI = 3 br~ IADI = 2 br

jADI = 1 brIBFI = 6 brB

C BC

IBCI = 9 br

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IDFI = x kaç br dir?

A)2 B) 3 C)4 D)5 E) 6 A) 4,5 B) 4,2 C)4 D) 3,4 E)3

368


D)6.,13 E) 8J5

ABJ...BC

BCJ...CO

m(BDA) = m(ADC)

IBOI = 10 br

ICOI = 6 brD

C)4J5B) 6../2

6

Yukarida verilenlere göre, IAOI kaç cm dir?

A) 4.,13

5. A

E) 6D) 5

ABC dik üçgeninde

IAEI = IECI

IBOI = 12 br

10CI = 4 br

C)4

A

B) 3A)2

B

Yukarida verilenlere göre, IEDI kaç br dir?

1.

2. A


ABC üçgeninde

DE II BC

IACI = 31AEI

IBFI = 21FEI

IHCI = 6 cm


ABC üçgeninde

[AB] J...[AD]

IBOI = 310Cl

IABI = 9 cm

IAOI = 6 cmc

C) .J69 D)2.ff5 E) 2ff1

D

A

~B

A) 2../21

6.

E) 100)9

c

c)8B) 6

B

A)4

ABD üçgeninin agirlik

merkezi G1

AOC üçgeninin agirlik

merkezi G2

IBCI = 36 cm

c

A

BD

Yukarida verilenlere göre, IG1G21 kaç cm dir?

7.ABC ve AOB dik üç

gen

IBEI = IBCI = 6 br

IEOI = 4 br

c

A

6


3.

A) 6../2 B) 4J5 C)4v'6 D) 12 E)6J5 A)9 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16

4.

B

A

c

ABC üçgeninde

IABI = iACi

IAOI = 31EOI

IBEI = 2 br

8. A

~B D C

ABC dik üçgen

m(OAC) = 45·

IABI = 6 cm

iACi = 12 cm

Yukarida verilenlere göre, IAEI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IAOI = x kaç cm dir?

A)4 B) 5 c)6 D) 7 E) 8 A)2.ft B) 4../2 C)6 D) 2ffO E) 4.,13

369

üçgende benzerlik

9. E ABCD paralelkenar

[AE] il [BD] = {F}

B, C, E dogrusal

lAFi = 6 cm

IFHI = 4 cm

13.

B

A

c

ABC ve BDE üçgen

E ABII ED

31ABI = 41DEI

iBci = 31CDI

lAFi = 8 br

Yukarida verilenlere göre, IHEI = x kaç cm dir? Yukarida verilenlere göre, IFCI = x kaç br dir?

A) 2,5 B) 3 C) 3,6 D) 4,5 E) 5 A)4,5 B) 5 C) 5,4 D) 5,6 E) 6

BAE

Yukarida verilenlere göre, IDFI = x kaç br dir?E)3.ft0)3,/5C)2MB) 6

Yukarida verilenlere göre, IABI kaç cm dir?

A) 412


12CIABI = IADI

ABC D kare

------

------DE -L EFm(ABC)+m(AED)=180°

IAEI = 4 cm

IAEI = IEBI

IECI = 6 cm

FIDCI = 12 br

C

A) 12 B) 5J6 c) 6,/5 D) 1012 E) 15

C

Yukarida verilenlere göre, IBCI, IEDI nin kaç katidir?

ABC dik üçgeninde

[AE] ve [CD] açiortay

IFEI = 4 br

IBCI = 12 br

c

D

E

Yukarida verilenlere göre, IBFI.IFCI kaç bi2 dir?

15. A

------ ------

m(BAE) = m(CAD)

IABI = IAEI

D IACI = IADI

A

B

11.

A)~2

B)~3 C) 1 D)~2

E)2 A) 24 B) 12./3 C) 36 D)2412 E) 48


ABC eskenar üçgen

IADI = J15 br

IBDI = 3 br

IDCI = J6 br

A

B------

Yukarida verilenlere göre, m(BDC) = x kaç derecedir?

16.ABC üçgeninde

AD açiortay

DE II AB

iECi = 21BEI

IABI = 16 cm

C IACI = 14 cm

A

B

12.

A) 4 B) 6 C)? D) 8 E) 9A) 100 B) 120 C) 135 D) 150 E) 160

370

BÖLÜM

••

Uçgende KesenlerKÖSETASi KAZANiMLAR

i. Menelaus teoremini kavratir.

2. Seva teoremini kavratir.

3. Menelaus ve Seva teoremlerini beraberce uygular.

4. Çift Menelaus uygulamasini gösterir.

5. Stewart teoremini kavratir.

6. Ikizkenar üçgende Stewart teoremini uygular.

7. Kenarortay ile yüksekligin tabana degme noktalarinin arasindaki uzakligi bulur.

8. Çift Pisagor uygulamasi yapar.

9. Camot teoremini kavratir.

"\Ji?i, Menelaus Teoremi

~ Seva Teoremi

A

üçgende kesenler

B c

~ Stewart Teoremi

~B x D y C

~ ikizkenar Üçgende Stewart Teoremi

A

~ Carnot Teoremi

A

2 b2 2IADI =_"_x_+_c_"_y-x"yx+y

B c

378

kösetasiüçgen de kesenler

D

A

c

ABC üçgeninde D, E, F noktalari dogrusaldir.

WCl = 41FAI

IAEI =~IEBI 2

IBCI = 5 br

olduguna göre, IDBI = x kaç br dir?


AA' II DO' II BB' II cc' çizilirseTha/es bagmttsmdan

10BI = 10'B'110Ci 10'C'1

iFci = 10'C'1IFAI IA'O'I

IEAI = IA'O'Ix IEBI 10'B'1

~,~, tEAI = 10'B'I, tO'C'I,IA'O'110Cl iFAl iEBI 10'C'1 IA'O'I 10'B'1

~,IFCI,IEAI =110CI IFAI IEBI

iSPAT! BENZERLiKTEN

;;~~;;~: ...cD 8 C

ABC üçgeninin kenarlari d dogrusu tarafindanD, E, F noktasindan kesilmisse D, E, F noktalarinin bulunduklari kenarlar üzerindeki üçgen inköselerine uzakliklari oranlari çarpimi 1 dir.

IDBI . ICFI . IAEI = 1IDCI IFAI IEBI

Oranlar yazilirken D, E, F noktalarinin hangisinden istenirse orana oradan baslanir, Birinci

C oran yazilirsa paydaya gelen üçgenin kösesi birsonraki oranda payolacak sekilde sirali olarakoranlar alinir. Yukaridaki örnekte birinci oranda

IDCI payda alindigindan ikinci oranda Ckösesinin bulundugu [CA] kenari üzerindendevam edilmistir.

Menelaus Teoremi


IFCi=4IFAI ~ IFCi =~IFAI 1

IDBI,IFCi,IEAI=1 ~ _x_,~,~=1 ~ x=1IDCi IFAI IEBI x+5 1 2

Yukarida verilenlere göre, 1801 kaç br dir?

1.

B

A

F

ABC üçgeninde

D,E,F dogrusal

IDBI = 6 br

IBCI = ICFI

IEFI = 31EDI

3.

B D

ABC üçgeninde

IECI = ICDI

lAFi = 2 br

IFBI = 3 br

IAEI = 4 br

B) 6 C)8D)9E) 10

D

ABC üçgeninde

D, A, B dogrusal[AH] açiortayAHl..BCIDEI = IEHIIABI = 4 brC

A)4

B


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

~379

E) 12D) 10C)9B) 8

B D C

Yukarida verilenlere göre, IEel = x kaç br dir?


A)6

A) 1 B) 2C)3D)4E) 6

4.2.

AABC üçgeninde

[AD] açiortay

~~IAB i = IACI

..~lAFi = IFDiIAEI = 6 br

kösetasiüçgende kesenler

A ABC üçgeninde [AE]. [BF] ve [CD] dogru parçalari P noktasinda kesismektediL

B cSe!,ilde verilen uzunluklara göre, IADI = x kaç birimdir?

açiklarnali çözüm

AEG üçgeninde BF keseninegore, Menelaus teoremi uygulamrsa:

HAYDI ANLAYALIM

Sol taraftaki ABE üçgeninde GDkesenine gOre, Menelaus teoremi uygulamrsa:

iGEl IBDI IAPI-·-·-=1IGBI iDAl iPEl

(1)

Buna göre.

Seva Teoremi: Üçgenin bir kösesinden baslayarak üçgenin kenarlari üzerindeki oranlarinçarpimi 1 dir.

c

A

B

~.~ ..i.=1~X=4 bulunur.642 (2) IBEI .IGFI .IAPI = 1

IBq IFAI IPEl

(1) baglntisi (2) bagintisina taraftarafa Mlünürse:

iGEl IBDI IFAI-·-·-=1IBEI IDAI IFq

1. A ABC ügeninde [AD].

[BE] ve [CF] bir noktada kesismektedir.

IBDI = IDCI

ICEI = 2.IAEI

lAFi = 6 br


[AD] açiortay

[CF] kenarortay

lAFi = IFBI = 2 br

IACI = 6 br

B D C

Yukarida verilenlere göre, IBFI = x uzunlugu kaç br dir?

B D C


A)6 B) 8 C)9 0)10 E) 12 A)2 B) 2,4 C)3 D) 3.2 E) 3,6

2.

B

A

C

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

lAFi = IFBI

IKDI = 6 br

4. A

C

ABC üçgeninde

[AE] ve [BF] kenarortay

.......... .

m(BAD) = m(DAC)

lAFi = IFCI = 8 br

IABI = 12 br

[AK], [BE], [OF] bir noktada kesistiklerine göre, IBKI

kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IAKI kaç br dir?

A) 12 B) 9 c)8 0)6 E)4

380

A) 2 B) 3 c)4 D) 5 E) 6

~

kösetasiüçgende kesen/er

A ABC üçgeninde

lAFi = IFBI

IAKI = 3.IKOI

IBOI = 6 br

IECI = 4 br

C olduguna göre, IAEI = x kaç br dir?

açiklamali çözümABD üçgeninde FC dogrusu bir kesen olarak alinip Menelaus uygulanirsa;

ICOI.~.IAKI=1 ~ -y_.1.3=1IGBI IFAI IKOI y+6

3y = Y + 6 ~ Y = 3 bulunur.

ABC üçgeninde Seva uygulanirsa;

IAFI.IBOI.ICEI=1 ~ 1.~.i=1 ~ x=8 bulunur.IFBI roCl IEAI 3 x

S E 6 C

Yukarida verilenlere göre, IBEI + IBFI kaç br dir?

A) 3 B) 4 c) 5 D) 6 E) 7

ABC üçgeninde

[BD] açiortay

IBEI = IECI = 4 br

IABI = 6 br

C

A

s 4 E 4

Y k d ol i 00 lAFi IAKI k b d°r?u ari a veri en ere gore, IFBI + IKEI aç rio

A) ~ B) ~ c) ~ D) ~ E) .?4 2 4 3 2

3.ABC üçgeninde

IAOI = 10Cl

IAKI = 3·IKEI

IECI=6br

lAFi = 4 br

A1.

2. AABC üçgeninde4.A ABC üçgeninde

lAFi = IFBI ~G, agirlik merkezi

IAEI = 3·IECI

..-......-....~ m(BAN) = mCNACi~IAKI = 8 br

~ IABI = 6 brIBOI = 9 br

IACI = 10 brS

C SC

Yukarida verilenlere göre, IKDI + IDCI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBEI kaç br dir?

A)4 B) 5 c)6 0)7 E) 8

381

A)3 B) 3,2 c) 3,4 D) 3,6 E) 4

ICISICIDI

kösetasiA

D

ABC ve BDF birer üçgen

ICDI = 21BCI

IEDI = 3jEFI

IACI = 12 cm

olduguna göre, LAEi kaç cm dir?

üçgende kesenler

i

!

ic~J


B

A Bu tür sorularda Menelaus teoremi iki defa uygulanir.

FBD üçgeninde AC kesen kabul edilirse:

IAFI.~. 3y =1 :::;. lAFi =~IABI 2k y IABI 3

D ABC üçgeninde DF kesen kabul edilirse:

IDCI .~.IAEI = 1IDBI IFAI IEC!

2k .~._x_=1 :::;. ~.-!.._x_=13k IFAI 12-x 3 2 12-x

x = 36 - 3x :::;. x = 9

1iMENELAUS SENZERLIK TEOREiMilOLDUGUNDAN UYGUN !PARALELLER çiziLEREK ÇÖZÜM i

YAPiLABiLiR. iA i

EN//AB

CEN-CBA

Not: Bu tür sorulari benzerlikten çözerken üzerinde oran verilmeyen dogru parçasina paralel çekmek yeterlidir.

1 12 - x-=-- :::;.x=93 x

1.

D

A ABC ve DFC birer

üçgen

ICFI = 21AFI

21AEI = 31EBI

IDEI = 3 br

3. A ABC ve FBD birer

üçgen

IBFI = 21AFI

iAEI = iEC!

IFDI = 24 cm

D

Yukarida verilenlere göre, IEFI kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IEDI kaç cm dir?

A, K, L noktalari dogrusalolduguna göre, IBCI kaçbirimdir?

D) 32 E) 36

IDlelDlsl

E) 24D) 18

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

IBKI = IKE!

ILDI = 4 birim

c

C) 28

C) 16

B) 24

B) 12

A

A)6

A)20

4.

A)5 B)4c)3D)2E) 1

2.

AABC bir üçgen

IBFI = 12 cmIFEI = 8 cm51AEI = 41ECICYukarida verilenlere göre, lAFi orani kaçtir?

IFOIA)3

B)~c)2D)~E)-!.2

22

kösetasi

A

~B 2 D 4 C

ABC üçgeninde

IBDI = 2 br

IDCI = 4 br

IABI = 3 br, IACI = 6 br

olduguna göre, lA DI kaç br dir?

üçgen de kesenler

i


UYANiK OLUP SORUNUN BOSLuGUNDAN YARARLANfLABiLiNiR DE, NASfL Mf?

:~~: = :~~: oldugundan [AD] nin açiortayoldugu anlasiliyor.

IADf = 3· 6-2·4

IADI= [LO br

Stewart Teoremi r

~B x D Y C


ABC üçgenindeSTEWART TEOREMiNi BiLMEYEN

NASIL ÇÖZEBiLiR?

~B x H 2-xD 4 C

A kösesinden [BC] ye dik indirilir.

lAH! = h oisun

h2 = 32 _ x2 = 62 _ (6 _ x)2

2 2 39-x =36-36+12x-x => -=x4

2 2 (3)2 .2 135h =3 -"4 => n =162 2 2 135 25

IADI'=h +(2-x) =-+-=1016 16

iADI =.fiö br

1. A

c

ABC üçgeninde

IABI = IADI = 3 br

IDCI = 1 br

IBCI = .f5 br

3. A

D

ABC üçgeninde

IOCI = 21BDI

IABI = 5 br

IADI = 3 br

C IACI =7 br

Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, IBDI kaç br dir?

A) 1 B) 12 c)2 D) J3 E) 3A)5 B)4J3 C) 3J3 D) 2J3 E) J3

IBDI = x in alabilecegi degerler toplami asagidakilerden hangisidir?

D) 3J3 E) 217

ABC üçgeninde

IABI = 5 br

IADI = 4 br

IDCI = 2 br

IBDI = 3 br

C)5

A

B) .ff3

B

C

Yukarida verilenlera göre, IBel= x kaç br dir?

(Ipucu: Uyamk olunuz.)

A) 2J3

4.

E) 3D) J3

ABC üçgeninde

IABI = 4 br

IACI = 6 br

IADI = 312 br

IDCI = 3 br ise;c

C)·nB) 2

A

B

A) 1

2.

383

köse/asiüçgende kesen/er

A ABC ikizkenar üçgeninde

IABI = IACI = 6 br

IBDI = 1 br

IDCI = 4 br


açiklamali çözümA Bu baginti ikizkenar üçgende verilmis olmakla beraber bu

bölümde tekrari uygun görülmüstar.ABC ikizkenar üçgen,

b=c ise IADi2 =b·c-x·y dir.

Not: Bu baginti açiortay teoreminde de vardir.

DA YANAK OLARAK

STEWART TEOREMi

ALiNiRSA iSPAT! KOLAY&B x D Y C

Köselasinin çözümü:

IADi2 = 6 .6 - 1·4

IADi2 =32

IADI = 4..[2 br

iADi2 = b2 Y + b2 x xyx+y

b2 (x + y)=----xyx+y

= b2 -xy


1. A

c


IABI = IBCI = 7 br

IADI = 5 br

IDCI = 1 br

olduguna göre, IBOIkaç br dir?

3.

B


IABI = IACI

IBDI = 3 br

IADI = IDCI = 5 br

c

A)5 B) 6 C) 2JW D) 2.J11 E) 4,[3A) 2JW B) 4,[3 C)4.J2 D)3.[6 E)6


Yukarida verilenlere göre IBDI kaç br dir?

D)3,[3 E)3.[6

~

IDCI = 2.IBDI

IABI = IACI = 12 br

IADI = 6 br


c

C)3.J2

A

B)4A)3

384

IABI = IACI = 5 br

IBDI = 4 br

IADI = .J17 br

B


A) 1 B) 2 c) 3 D) ~ E) ~2 3

kösetasiA

B

ABC üçgeninde

AH..LBC

IABI = 5 br

IACI = 7 br

C IBDI = IDCI = 3 br

üçgen de kesenler

Yukarida verilenlere göre, !HDI = x kaç br dir?


B V~----a


72 - 52 = 2.6.x

49 - 25 = 12.x

24=12.x

x = 2 br bulunur.

C

ABC üçgeninde

[AD] kenarortay, AH ..LBC

IHDI = x ise, b2 - c2 = 2ax

BEN BU BAGfNTfYf PEK KULLANMA M

ASAGIDAKi GiBi

ÇiFT PiSAGOR ILE ÇÖZERiM ...•

A

~.B a HxO a C

2"-x 2"

h2 = C2 - ( % - xr = b2 - ( % + xra2 a2

C2 --+ax _X2 = b2 ---ax _x24 4

c2 + ax = b2 - ax

2ax = b2 _C2


AH..LBC

IBDI = IDCI = 4 br

IHDI = 3 br

C IACI - IABI = 4 br

3. ABC üçgeninde

AH..LBC

IBDI = IDCI = 5 br

IAB i = 7 br

IACI = 9 br

Yukarida verilenlere göre, IACI kaç br dir? Yukarida verilenlera göre, IBHI = x kaç br dir?

A)6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A) 1,6 B) 2,8 C)3 D) 3,2 E) 3,4

ABC üçgeninde

AH..LBC

m(HAD) = m(BAH)••••..... ••••.....

m(BAD) = m(OAC)


BH..LAC

IADI = IDCI = 6 br

IDHI = 3 br

IABI + IBCI = 18 br

4. A

~B H D C

IABI = 12 br , IACI = 16 br . IBCI = 14 br

olduguna göre, fHDI kaç br dir?

(Dikkat :[AD] nin kenarortay olmadigma dikkat edelim.)

B C

Yukarida verilenfere göre, IBCI kaç br dir?

~4 ~5 ~6 ~7 E) 8

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

385


A

~B x H C

ABC üçgeninde

AH..LBC

IABI = 5 br

IACI = 7 br

IBCI = 9 br



A

~B x H 9-x C

ABH de IAHi2 = IABi2 - IBHi2

ACH de IAHi2 = IACi2 - IHCi2

Yukaridaki esitliklerin sol taraflari ayni oldugundan sag taraflari da esit olur.

IABi2 _ IBHi2 = IACi2 - IHCi2 bulunur.

52 _ x2 = 72 - (9 - x)2

25-x2 =49-(81-18x+x2)

57 = 18x

19x=-br6

E) 4./3D)6

ABC üçgeninde

AH..LBC

IBHI = 3 br

IHCI = 7 br

IABI 2

IACI ="3

A


A) 2-/2

3.

E) 3

A ABC üçgeninde

AH..LBC

IABI = 5 birim

IACI = 7 birim

C IBCI = 6 birim

Yukarida verilenlere göre, IBHI kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) ~ D) ~3 2

1.

A


BH..LAC

4.

IABI = 8 br

~ol:(

IBCI = 7 br

~

~IHAI = 2.ICHIB

C

Yukarida verilenler göre, IAHI kaç br dir?

ABC üçgeninde

AH..LBC

IBHI = 3 br

IHCI = 7 br

B 3 H 7 C IACI = IABI + 2 br


A) 2-/5 8)4 C) 2./3 D)3 A) 6 B)7 C)8 D) 9 E) 11

386


A

ABC üçgeninde P noktasindan kenarlara dikler çizilmistir.

Sekilde verilen uzunluklara göre, lAFi = x kaç br dir?

açiklamali çözümCARNOT TEOREMI

A

B C


L + i + 42 = 42 + 32 +12

L + 20 = 26

l=6 => x= J6

Sekilde verilenlere göre

x2 + L + n2 = L + k2 + m2

Sekilde kenarlarin üzerindeki parçalardan birer

tanesinin kareleri toplami diger uzunluklarin

kareleri toplamina esittir. Kenarlarda bir uzun

luktan baslanirken, yanindaki uzunluk atlanipikinci kenar üzerindeki ilk uzunluk alinarak

devam edilmektedir.

iSPATLAYALIM

x2 = IAPi2 -IDPI2 L = IBPi2 _ IDPi2

L = IBPi2 _ IPEi2 k2 = IPCl2 _IPEI2

n2 = Ipci2 _ IPFi2 m2 = IAPi2 _IPFI2+ +

x2 + Z2 + n2 = L + k2 + m2

c

Sekilde;

ABJ.-BC

ADJ.-DC

IABI = 1 br

IBCI = 7 br

IDCI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, fADI = x kaç br dir?

3.

c

A

B

ABC üçgeninde P noktasindan kenarlara dik

ler çizilmistir.

IBDl = IDCI

lAFi = 3 br

IFBI = 5 br

IECI = 6 br


1.

A) ../5 B) 2../5 C)2J6 D) 2.)3 E) 3)2 C)4 D) .jff E) 3)2


meler inilmistir.

Sekilde verilenlere göre, IBDI= x kaç br dir?

c

4.


ler çizilmistir.

c

A

B D

IBel = 6 br olduguna göre, IBDI kaç br dir?

2.

A)!....3 B) E.5 C)3 0)2 A) 2)2 B) 2.)3 C) 3)2 D) 3.)3 E) 4

387

---------- ------------- -----_ ..,~-,-~--_._._- -

üçgende kesen/er

ABC ve BDF üçgen

lAFi = 21BFI

IAEI = 31ECI

IDFI = 24 cm

D

A

B

4.ABC üçgeninde

IAEI = IECI

IBDI = 6 br

IBCI = 2.1CFI

A

F


1.

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 6 Yukarida verilenlere göre, IEDI kaç cm dir?

A)12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 21


B D C

Yukarida verilenlere göre, ISFI kaç br dir?B 1 D 3 C


E) fj(jD)3

ABC üçgeninde

IACI = 5 br

IABI = IDCI = 3 br

IBDI = 1 br

C) 2-13B) 3.J2

A

A)2

5.

E) 9D)6

IAEI = IECI

IDCI = 2.IBDI

lAFi = 12 br

C)4B) 3A)2

cB D

Yukarida verilenlere göre, IDel kaç br dir?

B D C



ABC üçgeninde

IAEI = IECI

~ IABI = IACI = 4-13 br21AKI = 31KDI

~i.. IADI = 315 br

IBFI = 18 br dir.

~

IBDI = 3.IDCI

A)12 B)9 C)8 D)6 E) 4 A) 1 B).J2 C)2 D) -13 E) 3

388


AH..LBC

IBDI = IDCI

IBHI = 2 br

IHDI = 3 br

üçgende kesenler

B 2 H 3 D C

IACI ve IABI uzunluklari tamsayi olduguna göre, IABIkaç br dir?

A)10 B) 11 C) 12 0)13 E) 14

8.

B

A ABC üçgeninde

AH..LBC

IABI = 6 br

IACI = 8 br

C IHCI = IBHI + 4 br


A)1 B) ~ C) 3. D) 2 E) 32 3

lAFi = IFBI

9. A ABC üçgeninde P nok- .ic

tasindan kenarlara dik- ~meler inilmistir. ~

~

IBDI= 31DCI

IAEI = 5 br

IECI = 3 br


A)3 B) J3 C)2 D) J2 E) 1

389

üçgen de kesenler

1. A

c

ABC üçgeninde

IADI = 2·IDBI

IBEI = IECI

IDFI=6br

A ABC üçgeninin agirlikmerkezi G

GDC üçgeninin agirlikmerkezi K

IBFI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, IFCI = x kaç br dir? F, G, K, E dogrusalolduguna göre, lAFi = x kaç br dir?

A)5 B) 6 C)7 D) 8 E) 9 A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5

2. AABC üçgeninde

i

6.A

ABC üçgeninde

G agirlik merkeziICFI = IBEI = ~IDFI = IFCjIFAIIEFI2

IAEI = 4 brIADI = 10 br


B C


A)4 B)6 C)8 0)9 E) 12A)5 B) 6 C)7 D) 8 E) 9

B

Yukarida verilenlere göre, ICEI = x kaç br dir?

3. A ABC ve ADE üçgen

[AF] açiortay

IADI = 8 br

IACI = 7 br

IBFI = 21FCj

7.

~ •• AF E ~:~:~~o~::en

IBFI = IFEI

21BCi = 31ABI

BIC..:.. •..•6--D'----x ----c IBDI = 6 br


A)3..!5 B) 3Q.3 C)~2

D)~4

E).:g5

A)8 B) 9 C)10 0)12 E) 15

B D C

B, N, K, F dogrusalolduguna göre, IFEI = x kaç br dir?

D


4. ABC üçgeninde8.

AABC üçgeninin agirlik

A merkezi G[AE] kenarortay

AGE üçgeninin agirlikG agirlik merkezi

~merkezi K.«

GF II BC

~lAFi = 12 br

i::i .«IABI = 6 br

A)2 B) 3 C)4 0)6 E) 9 A)6 B) 6,4 C) 7,2 D) 8 E) 9

390

K, E, F dogrusalolduguna göre, IDKI = x kaç br dir?

9. A

F

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

iBCi = 21CFI

DE /i BC

IDBI = 6 br

üçgende kesen/er

13. A ABC dik üçgeninde

[AD] kenarortay

[BF] açiortay

IAB i = 6 br

iACi = 8 br

C E, F, C dogrusal


A)4,6 B) 4,8 C)5 D) 5,2 E) 5,4 A)!...3 B)~4

C)~2E)!3


AABC dik üçgen

[BD] açiortay

AD J. BC...--....

...--....

G agirlik merkezi

m(ADE) = m(EDC)

21ABI = 31BFI

B, K, E dogrusal

IECI = 20 br

BD CIDCI = 91BDI

olduguna göre,

Yukarida verilenlere göre,lAKI. IKDI nin kaç katidir?

B

CIDEI = x kaç br dir?

A)2B)3c)!...D)!E) ..!Q.

A)2

B) 3c)4D) 5E) 62

33

AB II CD

BEol CD

IKFI = IFDI

C, N, F dogrusal

IDEI = 21ECI = 41ABI

IBKI = 6 brDC

Yukarida verilenlere göre, INEI = x kaç br dir?

15.ABC dik üçgen

[BD] kenarortay

21AEI = 31EBI

IACI = 28 br

A

C

Yukarida verilenlere göre, IBFI = x kaç br dir?

11.

A)4 B)6 C)? 0)8 E) 9 A) 3 8)4 C)6 0)8 E) 9


12.

B

A ABC üçgeninde ~16.D

ABC D kare

tCK] açiortay

~IBFI = IFCI

i..

G agirlik merkezi

~E IAEI = 21DEI

IGFI = WCI

IKNI = 6 br

IDCI = 12 brC

A B

Yukarida verilenlere göre. IKCI = x kaç br dir?

A)4 B)5 C)6 D)8 E) 9 A)15 B) 12 C)10 D) 9 E) 8

391

üçgende kesen/er


G agirlik merkezi

lAFi = WC!

IDEI=6br

5. ABC üçgeninde

[BE] açiortay

IABI = 4 br

IBDI = 2 br

IDCI = 3 brc

Yukarida verilenlere göre, IECI = x kaç br dir? Yukarida verilenlere göre, IBFI = x kaç br dir?

A)4 B)6 C)8 0)9 E) 12A)~ 5 B)~

11D) 2

4E) ~

2


ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

m(BDE) = m(ADE)

31AGI = 21DC!

IAEI = 12 br

A

x

c


6.ABC üçgeninde

IABI =.J3 br

IAC! = J5 br

IBDI = 1 br

IDC! = 2 brc

A

B

2.

A).J153 B) .fi63 C)2.J33 D) .J112

E)2A)6 B) 8 c)9 0)10 E) 12

lAFi = x kaç br dir?

ABC üçgeninde K nok·tasindan kenarlara dik·

meler çizilmistir.

Buna göre,

E)3D)2

ABC üçgenindeF

C)~2

B)~3A) 1

B

DE II BC

IAKI = IKFI

IDEI = 4 br

IBCI = 6 br

IKNI = 2 br

Yukarida verilenlere göre, INCI = x kaç br dir?

7.

E) 50)4C)3B)2

A

A) 1

3.


E)~4

D)~3

IBDI = 6 br

IDCI = 3 br

IAEI = 4 br

c

C).J32

A) 18..[i B) 2..[i11 9

B


E) 9D) 8

c

C)?B) 6

A

B

ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

AH.l BC

IABI = 6 br

IACI = 8 br

IHDI = 2 br


A)5

4.

392

üçgende kesenler

9.

B

A ABC üçgeninde

[BD] açiortay

[AE] kenarortay

31ANI = 21NEI

c IAKI = 6 br

13. C ABCD dikdörtgen

IDFI = IFCI = 6 br

IDEI = 3 br

IEAI = 2 br

Yukarida verilenlere göre. IBEI = x kaç br dir?A/B

Yukarida ve~iJel'l1e~e göre. IFKI kaç br dir?A)18 B) 24 c) 30 D) 32 E) 36

A)2 B)~2 C)3 D)!.2

E)4

ABC dik üçgen

AD 1. BC

A

~B D N C

ADC üçgeninde

[AN] açiortay

tCK] kenarortay

iBCi = 31ABI

Yukarida verilenlere göre IFCI. IFKI nin kaç katidir?


[BD] açiortay

[CE] kenarortay

IABI = IACI = 6 br

IBCI = 4 br

4

Yukarida verilenlere göre IBFI. IFOI nin kaç katidir?

10.

A)~2

B)2 C)~20)3 A)2 B) 3 c)4 0)5 E) 6

Yukarida verilenlere göre, IBKI = x kaç br dir?

Yukarida verilenlere göre. lAFi kaç br dir?

E)60)5

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

[AE], [BK] kenarortay

IAB i = 12 br

IACI = 18 br

C)4B) 3

A

A)2

15.ABC üçgeninde

[CF] kenarortay

DE II BC

A(DBCE) = 8.A(ADE)

IKEI = 6 br

c

A

B

11.

A)8 B)9 c) 10 0)12 E) 15

Yukaridaki verilere göre. IHFI kaç br dir?

ABC üçgeninde

BH 1. AC

IADI = IDCI = 4 br

IABI = 5 br

IBEI = IECI = 3,5 br

16.12.

AABC dik üçgen~

~

..::c

AD 1. BC~

~IDEI = iECiIBDI = 4 br

B

4D 9 CiDCi = 9 br

Yukarida verilenlere göre. IFOI kaç br dir?A)~

B).!I.C) 24D) 23E) 244

5131517

393

B

A)2 B)~2

c)3 D)!.2

E) 4

-BÖLÜM

••

Uçgende AlanKÖSETASi KAZANiMLAR

i. Alani tanimlar.

2. Üçgenin alanini hesaplar.

3. Dik üçgenin alanini hesaplar.

4. Yüksekligi disina inen üçgenin alanini hesaplar.

5. Alan hesaplarken kullanilan üçgen in yardimci elemanlarini alan = alan esitliginden bulur.

6. Ikizkenar üçgenin alanini hesaplar.

7. Kösegenleri dik kesisen konkav dörtgenin alanini hesaplar.

8. Kenarortayin, üçgenin alanini iki esit parçaya böldügÜ11ügösterir.

9. Yükseklikleri esit olan iki üçgenin, alanlarinin oraninin tabanlarinin oranina esit oldugunu gösterir.

10. Tabaniari esit olan iki üçgenin, alanlarinin oraninin yüksekliklerinin oranina esit oldugunu gösterir.

11. TabanIari ve yükseklikleri esit olan üçgenlerin alanlarinin da esit oldugunu gösterir.

12. Yükseklikleri arasindaki oranla, tabaniari arasindaki oran belli olan üçgenlerin alanlarininoranini hesaplar. \

13. Menelaus teoreminin de yardimiyla alan hesaplar.

14. Eskenar üçgenin alanini hesaplar.

15. Kenarortaylarin üçgenin alanini alti esit parçaya böldügünü gösterir.

16. Kenarortaylarin üçgenin alanini üç esit parçaya böldügünü gösterir.

17. Açiortay üzerindeki bir noktanin, açinin kollarina esit uzaklikta olmasini alan hesaplarken kullanir.

18. Bir üçgende açiortayin ayirdigi alanlarin oraninin, yanal kenarlarin oranina esitligini gösterir.

19. Açiortaylarin üçgeni, üçgenin kenar uzunluklari oraninda üç bölgeye ayirdigini gösterir.

20....o... i A

A(ABC) = -.b.c sinA esitligini ispatlar.2

21....o... i A

A(ABC) = -. b. c sinA esitliginde gerekli olan açinin sinüs degerini baska bir üçgenden elde2

etmeyi gösterir.

22. Önceki kösetasindaki alan formülünde, alan = alan yardimiyla bilinmeyen elemani bulur.

23. Yirmibirinci kösetasindaki formül yardimiyla üçgenlerin alanlarini oranlar.



26. Kenar uzunluklari belli olan üçgenin alanini hesaplar.

27. Çevre uzunlugu ve iç teget çemberinin yariçap uzunlugu belli olan üçgenin alanini hesaplar.

28. Kenar uzunluklari ve çevrel çemberinin yariçap uzunlugu belli olan üçgenin alanini hesaplar.

29. Iç teget çemberinin hipotenüsü ayirdigi parça uzunluklari belli olan dik üçgenin alaninihesaplar.

30. Iki kenar uzunlugu belli olan bir üçgenin alaninin alabilecegi en büyük degeri hesaplar.

31. Hipotenüs uzunlugu belli olan bir dik üçgenin alaninin alabilecegi en büyük degeri hesaplar.

32. Tabaniyla yüksekliginin uzunluklari toplami belli olan bir üçgenin alaninin alabilecegi en büyük degeri hesaplar.

33. Bir üçgenin alaninin en büyük degeri hesaplanirken karsilasilan ikinci dereceden bir bilinmeyenli ifadenin en büyük degerini hesaplar.

34. Benzer üçgenlerin alanlari oraninin benzerlik oraninin karesine esit oldugunu gösterir.

üçgende alan

~Bir üçgenin alani, bir kenari ile bu kenara ait yüksekliginin çarpiminin yarisina esittir.

A A A

hi

08 8 C_---a ---+t

Tabaniari esit olan iki üçgenin alanlarinin orani, yüksekliklerinin oranina esittir.

B

AYükseklikleri ayni olan ikiüçgenin alanlarinin orani,tabaniarinin oranina esittir.

.G>oo. IBDI·hA(ABD) -2 - IBDI

C A(ADC) = IDCI·h = IDCI2 B

A

.G>oo.

A(ABC)--::;::;;:A(DBC)

C

IBCI·IAHI2

IBCI·IDHI2

IAHIIDHI

~ Eskenar üçgenin alani: A(ABC) = a2.J34

A

Kenarortaylar bir üçgeni 6 esit parçaya ayirir ..G>oo.

.G>oo. .G>oo. .G>oo. A(ABC)A(GBD) = A(GDC) = A(GEC) = -6-

c

.G>oo.

A(ADE) m.n~=-A(ABC) b.c

397

.G>oo.

A(DEF) x.z.n + y.k.p--::;::;;:- =::

A(ABC) a.b.c

B a

a

c

c

üçgen de alan

a+b+ca + b + c = 2u ~ u = --

2

A(ABC) = ~u(u - a)(u - b)(u - c)

Iç teget çemberin merkezi açiortaylarin kesistigi noktadir. iç teget çemberin

yariçapi r ise,

L:>.A(ABC) = u. r

A ABC üçgeninin çevrel çemberinin yariçapi R ise

A(ABC) = a.b.c4R

B

A

c

ABC dik üçgeninin iç teget çemberi hipotenüse D noktasinda teget ise,

IBDI = m }A(ABC) = m.n dir.

IDCI = n

398

kösetasiüçgen de alan

D1 br Kenar uzunluklari 1 br olan sekildeki kareye birim kare denir.1 br

Buna göre, sekilde' verilen ABC üçgensel bölgesi kaç birim kareden olusur?

- açiklamali çözümAçiklamayapilmadan sizin kesfetmenizi bekliyoruz: Alan nedir? Varsayilan (kabul edilen) birim alan nedir? Neden bir

dikdörtgenin alani dik kenarlarinin çarpimidir? Aslinda bu çarpma, bir sayma islemi degil mi? Amaç, alani istenen bölgenin

içine düsen birim alan sayisini bulmak degil mi? Üçgenin alan formülünde neden 2 ye bölme vardir?

Asagidaki bölgelerin kaç birim kareden olustugunu belirleyiniz.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5LL\j!

~.................

!..........1 2345678910

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1r i i i i i

:ffSffi#,

12345678910..........

...... ~.

10)1

/,

i2 ..••...

3\ "',!

l41 i-......· ..· ..·..~··---·

5

\.=..l-L

1

234"5678910

8)

9)

7)

6)

\'\

5 6 7 8 9 10

....m·i·=~; ,

i j

5 6 7 8 9 10

Ri" .__ _ _ _ .'li "',

4

4

i

--+----- ..----.-. ·--1--1---- i

i

i i

1 2 3

4

5

2 ..•••••

3 i,._ _1..._._ _. __ .

41 i

5l .....1.

1) 1i

2

-+~~~--'--'

345

.............123

2)

1

399

kösetasiüçgende alan

A

B e

ABC üçgeninde

AH 1. BC

IABI = 5 br

IBHI = 3 br

iHCi = 4 br

""""'- ~~2 •Yukarida verilenfere göre, A(ABC) kaç br dir?

açiklamali çözümBir üçgenin alani, bir kenan ile bu kenara ait yüksekliginin çarpiminin yarisina esittir.

A(ABC)= IBCI·IAHI2

o halde önce IAHI yi hesaplayalim:

IAHi2 + 32 = 52 => IAHI = 4 br

A(ABC) = 7.4 = 14 br2. 2

AH 1. BC

IAB I = 20 br

IACI = 15 br

IAHI = 12 br

ABC üçgeninde

e

A

B H

Yukarida verilenfere göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

eB 2 H 12

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç b.-2 dir?


AH 1. BC IACI = 13 brIBHI = 2 brIHCI = 12 br

A) 70 B) 60 C) 40 D) 35 E) 30 A) 120 B) 140 C) 150 D) 160 E) 170

B 5 H e

Yukarida verilenfere göre, A(A8C) kaç b.-2 dir?

IABI = 10 br

IAHI = 6 br

A(ABC) = 36 b~

ABC üçgeninde

AH 1. BC

B


4.ABC üçgeninde

AH 1. BC

IBHI = 5 br

IAci = 10 br

IAHI = 8 br

A2.

A) 44 B) 56 C) 64 D) 72 E) 88 A) 3

400

B) 4 C) 5 0)6 E)7

@jAle i BJ

kösetasiA

c

ABC dik üçgen

iACi = 13 br

IBCI = 12 br

üçgen de alan

...."".

Yukarida verilenlere göre, A(ABe) kaç bi2 dir?

açiklamah çözüm

Dik üçgende dik kenarlardan biri taban kabul edilirse, diger dik kenar yükseklik olacaktir. Bu nedenle dik üçgenin alani iki

dik kenarinin çarpiminin yarisina esittir.

IABI =5 br olur.

A(ABC)= IBCI·IABI 12.5 =30 br22 2


R ~ m(ACB) = 30°~ IABI=6brS c

...."".

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

3.

S

A

c

ABC üçgeninde

CD..LAB

m(ABC) =45°

IADI = 6 br

IACI = 10 br

A) 16 B)16J3 C) 18 D) 18J3 E) 24...."".

Yukarida verilenfere göre, A(BCD) kaç bi2 dir?

A) 24 B) 32 c) 36 D) 40 E) 48

2. AABC dik üçgen

4.AH..LBC

~IAHI = 4 br

~•..

IBHI = 2 br

~

cA ABC dik üçgen

AD..LBC

IBDI = 4 br

iDCi = 9 br

c...."".

Yukarida verilenlere göre, A(AHC) kaç bi2 dir?...."".

Yukarida verilenlere göre, A(ADC) kaç bi2 dir?

A) 12 B) 15 C)16 D) 18 E) 20 A)18 B) 24 C) 27 D) 36 E) 45

401 @Jelsic]


A

c

ABC dik üçgen

IABI = 6 br

IDCI = 8 br

...••...



A......./d.......... -.::.:..

•••···HA ....

h. it~J.................. c

B Do" a .

·····~ ....····h~·E

Açiklama 1: A noktasindan d dogrusuna dik çizmek için d dogrusu uzatilarak AH -l d çizilir.

Açiklama 2: Bir üçgen genis açili üçgen ise iki kisa kenara ait yükseklikler üçgenindisinda olusur.

ADC üçgeninde [DC] kenarina ait yükseklik [AB]. [AD] kenarina ait yükseklik [EC] dir.

ADC üçgeninde [DC] kenarina ait yükseklik [AB] oldugundan;

A(ADc) = IDCj.IABI_~=24 br2 dir.2 2

...•.....

m(ABC) = 30'

IBCI = 10 br

IABI = 18 br

A

B

30'10

...••...


3.ABC dik üçgen

IADI = 5 br

IBDI = 3 br

iDC! = 8 br

A

B 3 D 8...••...


1.

A) 12 B) 15 C) 16 0)18 E) 24A)60 B) 45 C) 40 D) 35 E) 30

ABC dik üçgen

4.A

ABC üçgeninde

...•.....

AD -l BCm(ABD) = 45'

IADI = 9 br

~IAB I = 10 br~ ;",

IBDI = 6 brIDC! = 6 br

~

IECI = 9 brc

BC

A

B

2.

...••...

Yukarida verilenlere göre, A(BDC) kaç bi2 dir? Yukarida verilenlere göre, A(AEc) kaç bi2 dir?

A) 54 B) 42 C) 36 D) 27 E) 18 A) 27

402

B) 36 C) 45 D) 48 E) 54

~

köselasiüçgen de alan

ABC üçgeninde

AD 1- BC

BE 1-AC

iBCi = 12 br

IACI = 8 br

IADI = 6 brc

A

B D



8

A

c

A(ABC) = A(ABC)

IBCI·IADI_IACI·IBEI2 2

12.6 = 8.IBEI

IBEI = 9 br

ABC ve AEC dik üçgen

IABI = 4 br

IDC! = 9 br

IECI = 6 brC


3.

DE 1- AC

ABC dik üçgen

IABI = 8 br

IDCI = 6 br

IACI = 12 brc

A

B D 6


1.

A)2 B) 3 C)4 D) 4,5 E) 5 A)5 B) 6 C) 6../2 D) 613 E) 8

AEC ve ABD dik üçgen

IADI = 6 br

IDCI = 2 br

IABI = 10 br

B

Yukarida verilenlere göre, ICE I kaç br dir?

4.ABC üçgeninde

BD 1- AC

CE 1- AB

IACI = 16 br

IBDI=9br

ICEI = 12 br

A

B C


2.

A) 10 B) 12 C)15 D) 16 E) 18 A)5 B) 6 C) 6,4 D) 6,8 E) 7,2

403


ABC üçgeninde

IABI = iAC! = 13 cm

BHJ..AC

IBC! = 10 cm

e

A

B 10

Yukarida verilenlere göre, IBHI = x kaç cm dir?

açiklamali çözümIkizkenar üçgen konusunda bu tür bir soru Pisagordan çözülmüstü. Bu kösetasinda alandan çözümü gösterilecektir. ikizkenar üçgende alan hesaplamak için genellikle tepe noktasindan dik indirilir.

Buna göre,

[AK) yüksekligi indirilirse [Bc] iki esit parçaya bölünür.

IAKi2 + 52 = 132 ~ IAKI = 12 cmL:>.. L:>..

A(ABC) = A(ABC)

.!.IAKI.IBCI =.!.IACI.IBHI2 2

12.10 =13.IBHI

IBHI=~ cm13

...o...


ABC üçgeninde

IABI = IAC! = J21 cm

IBCI = 215 cm

ABC üçgeninde

m(ABC) = 30°

IABI = IADI

IBDI=18br

IDCI = 6 br

D) 913 E) 9B)1213 C)12

B

...o...

Yukarida verilenlere göre, A(ADC) kaç b~ dir?

A) 1813

3.

E) 812D) 12

e

C) 415

A

B) 512

B

A) 215

1.


...o...

Yukarida verilenlere göre, A(ADC) kaç cm2 dir?

[BC) J.. [AH)

!ABI = IBCI = 5 cm

IBC! = 8 cm

eB H...o... ...o...

Yukarida verilenlere göre, A(ADC) + A(DBH) toplami

kaç cm2 dir?

ABC üçgeninde

IABI = IADI = 10 cm

IBDI = 12 cm

IDC! = 6 cm

A2.

A) 18 B) 24 C) 30 D) 32 E) 48 A)3

404

B)4 C)6 D) 8 E) 12

ICIBIDlej


A ABC üçgeninde

AH..LBC

IADI = 4 cm

IBCI = 10 cm

Yukarida verilenlere göre, ABDC dörtgensel bölgesinin alani kaç cm2 dir?


B

A

c

ABD üçgeninde [AD] taban kabul edilirse, yükseklik IBHI = h; ADC üçgeninde [AD]taban kabul edilirse yükseklik iHCi = 10- h olur.

A(ABDC) = A(ABD) + A(ADC) = ~ + 4.(10 - h)2 2

= 2h + 20 - 2h = 20 cm2

KiSACA: A(ABDC) = IADI·IBCI2

1. A ABC üçgeninde 3. E DC II AB

ABEC dörtgensel bölgesinin alani 72 cm2 olduguna

göre, IBCI kaç cm dir?

B c

AD..LBC

IAEI = 12 cm

AD II CE

IABI = 31DCI

A B

Yukarida verilenlere göre, A(ECB) orani kaçtir?A(EDC}

~Yukarida verilenlere göre, A(ADC) kaç cm2 dir?

A)2B)~C)3D)~E) 42

2

A

ABC üçgeninde

•..•.......

m(ADB) = 60°

IAEI = 6 cmIBCI = 10.J3 cm

60°

B D cYukarida verilenlere göre, ABEC dörtgensel bölgesi

ne alani kaç cm2 dir?

4.

E) 15D) 12

DE II BC

IABI = 12 cm

IDEI = 2 cm

ABC üçgeninde

AB..LBC

C)9B) 6A)3

2.

A)8 B) 12 C)16 D)18 E) 20 A)32

405

B) 36 c) 40 D) 45 E) 48

~


ABC dik üçgen

IAEI = IECI

IABI = 12 br

IDCI = 8 br

c

A

12

B D 8

....••...

Yukarida verilenlere göre, A(ADE) kaç bi2 dir?


Sonuç: Bir üçgende kenarortay, üçgeni iki es alana ayirir.

A(ADE) = A(DEC) = x => 2x = 48 => x = 24 bi-2

Kösetasinin çözümü: Kösetasindaki sekilde A(ADC) = IDCI·IABI_ 8.12 =48 br22 2

IBDI = IDC!A(ABD) = A(ADC) <::> IBDI·h = IDCI·h2 2

ABD ve ADC üçgenlerinde [BD] ve [OC] tabaniari esit ve bu tabaniara ait yükseklik [AH]oldugundan;

A

E) 420)40

IAEI = IEC!

CD..LAB

IADI = 5 br

IDBI = 9 br

IBC! = 15 br

ABC üçgeninde

c

C) 36

A

B) 35

B

....••...

Yukarida verilenlere göre, A(EBC) kaç bi2 dir?

A)28

3.

E) 24D) 20

IBDI = IDC! = 5 br

IABI = 6 br

ABC dik üçgen

c

C) 18B) 15

A

B5 5


A) 12

1.

IBDI = IDC!

m(DAC) = 90·/'-.

m(ACB) = 30·

IACI =4J3 br

c ABC üçgeninde

B....••...

Yukarida verilenlere göre, A(ABD) kaç bi2 dir?

4.

ABC dik üçgen

IAEI = IEDI = 5 br

IBDI = 6 br

IDC! = 9 br

cB 6 D 9

....••...

Yukarida verilenlere göre, A(AEC) kaç bi2 dir?

2. A

A) 36 B) 24 C) 20 D) 18 E)15 A)6J3

406

B) 8J3 C)9J3 D) 12 E) 8

~

kösetasiA

B

ABC üçgeninde

2.IBDI = 3.IDCI

A(ABD) = 60 b~

~olduguna göre, AlAOC) kaç bi2 dir?

üçgende alan

i


B

A

c

c

ABD ve ADC üçgenlerinde [BD] ve [OC) tabaniarinaait yükseklikler ayni olup [AH) dir.

L>.. IBDI·h

A(ABD) = 2 = IBDI bulunurA(ADC) IDCI·h IDCI .

2

Sonuç: Yükseklikleri ayni olan iki üçgenin alanlarininorani, tabaniarinin oranina esittir.


21BDI = 31DCI ~ IBDI= 3n ve IDCI= 2n

A(ADC) = x ise,

A(ABD) = IBDI ~ 60 =~ ~ x=40 br2A(ADC) IDCI x 2

HIZLlCA

&B 3n 02nC

3s = 60 ~ s = 20

A(ADC) = 2s = 40 b?

Yukarida verilenlere göre, ADC üçgeninin alani, BDE

üçgeninin alaninin kaç katidir?

ABC üçgeninde

E) 48D) 42

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

DE II BC

A(BEC) = 12 b~

C) 40B) 36

A

~Yukarida verilenlere göre, AlABC) kaç bi2 dir?

A)24

3.

E) 80)6

IAEI = 31EDI

IBDI =iIDCI 5

C)5B)4A)3

1.


A ABC dik üçgen

1~O 12 . AB-lAC

21BDI = 31DCI

IABI = 10 brB D C

iACi = 12 br~


.~ 4.~

]IBDI = 2·IDCI

IAEI = 3·IECI.a...

A(ABC) = 84 b~

CB D

~Yukarida verilenlere göre, A(EDC) kaç bi2 dir?

A)4 B) 5 C)6 D) 7 E)8 A)24

407

B)25 C) 30 D) 32 E) 36

~

köse/asiüçgende alan

D ABC ve DEC dik üçgen

IABI =~IDCI 4

A(AEC) = 15 b~

..."",.

olduguna göre, A(DEC) kaç bi-2 dir?

açiklamali çözümA ABC ve DBC üçgenlerinde [Bc] tabaniari aynidir. Yükseklikler ise IAHI ve IDHI dir.

IBCI·IAHIA(ABC) 2 IAHI

A(DBC) IBCI·IDHI IDHI2

Sonuç: Tabaniari esit olan iki üçgenin alanlarinin orani, yüksekliklerinin oranina esittir.

B H C

Kösetasinin çözümü: Kösetasindaki AEC ve DEC üçgenlerinde [Ec] tabaniari ortaktir. Yükseklikler ise IABI ve IDC! dir.

A(AEC) = IABI dir.A(DEC) IDCI

15 3--- = - =:> A(DEC) = 20 br2A(DEC) 4

..."",.

Yukarida verilenlere göre, A(EBD) kaç bi-2 dir?

ABC üçgeninde

AH J. BC

E) 15D) 14

AH J. BC

IAEI = 2·IECI

A(ABC) = 24 b~

DCB dik üçgen

ABC üçgeninde

C)12B) 10

A

B H C..."",.

Yukarida verilenlere göre, A(DBC) kaç bi-2 dir?

A)8

3.

E) 45D) 40

G noktasi AHC üçge


DE II AC

A(ASD) = 60 b~c

C) 36B) 32

A

B

A) 30

1.

ABC üçgeninde4. ABCD dörtgenindeA

[BD] açiortay AC J. BDAH J. BC ~A(DBC) = 18 b~

A(ABCD) = 60 b~~ B

D•..

IABI =~~ IBHI =~

IBHI 2

IHDI2

B

C2.

..."",.

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç bi-2 dir?

C..."",.

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç bi-2 dir?

A)45 B) 42 C) 40 D) 36 E) 35 A)25

408

8) 28 C) 30 D) 32 E) 36

@E@E]


A

c

ABC dik üçgen

DE 1. BC

IECI = 6 br

A(DBC) = 18 bi2



d1 II d2 ise, ABC ve DBC üçgenlerinin tabaniari (IBCI) veya yükseklikleri (h) ayni ola

cagindan;

..,e". ..,e".A(DBC) = A(ABC) olur.

A

c


..,e". ..,e".A(AED) = A(BDE), (DE II AB)

....:::::ii.. ~ ~ ....c:i.. ...:::::::i.. ~

A(DBC) = A(DBE) + A(DEC) = A(ADE) + A(DEC) = A(AEC)

18 = ~ => x = 6 br2

Yukarida verilenlere göre, 10BI = x kaç cm dir?

ABC dik üçgen

IABI=~IBCI 4

..,e".

A(ECD) = 8 bi2

ABC üçgeninde

[BD] açiortay

ED 1/ BC

A

"""""'

Yukarida verilenlere göre, A(ABO) kaçtir?

3.

E) 9D) 8

DE II BC

A(DEC) = 36 cm2

IAEI = 12 cm

c

C)6B)4

A

B

A)3

1.

A) 12 B) 14 C)15 D)16 E) 18

B C

Tarali alanlar toplami 18 cm2 ise, A{ABC) kaç cm2 dir?

2.4.

A

ABC E dörtgeninde

AD ii EC

~

IBDI = 4 br

~<::i

.ieiDCi = 6 br C

IADI = 5 br

Yukarida verilenlere göre, A(EAO) kaç bi2 dir?

A ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

DE II BC

A) 18 B) 15 C) 12 D)10 E) 9 A) 32 B)36 C) 40 D) 48 E) 54

409 [C]EI@

rkösetasi

A

B

ABC üçgeninde

IEFI =3IBCI 3

IADI = IDC!

A(ABC) = 60 b~

.-:::...

C olduguna göre, A(DEF) kaç b,-2 dir?

üçgende alan

cB

r açiklamali çözümDH 1- BC ve AH' 1- BC çizelim. DHC - Ai:rC =? ii~:iii = :~~:

i5EF ve ABC üçgenlerinin [EF] ve [Bc] tabaniarina ait yüksekliklerinin oranlari ~ = iOC ihi IACI

A(DEF) = IEFI·h ) A(DEF) IEFI h

_____ 2_ taraf tarafa oranlanip sadelestirme yapilirsa ---=-.-

A(ABC)= IBCd·h' A(ABC) IBCI hi

h . IDCI A(DEF) IEFI IDCIburadan - yerine -- yazilarak --- = -.-- bulunur.

hi IACI A(ABC) IBCI IACI

Dikkat edilirse iki üçgende çakisik taraflar taban kabul edilirse karsilarindaki köselerin bulunduklari kenar üzerinde, tabanköselerine uzakliklari orani yüksekliklerin orani olmaktadir. Bu nedenle problemlerde yüksekliklerin çizilmesine gerek yoktur.

iro t .0.. 00 A(DEF) IEFI IDCI"ose asmin çozumu: --- = -.-- =?A(ABC) IBCI IACI

x 2 1-=-.-60 3 2

=? X = 20 br2 dir.

.-:::...

Yukarida veri/enlere göre, A(DEF) kaç b,-2 dir?

B C

Yukarida veri/enlere göre, A(ABc) kaç b,-2 dir?

IADI = IEC! = 2 br

IAEI = IDBI = 3 br

A(DEC) = 1,6 b~

ABC üçgenindeA3.ABC üçgeninde~

A(ABC) = 48 b~

iDC! = 2·IADI

IEFI =~iBC! 2

A1.

A) 12 B) 16 c) 18 D) 20 E) 24 A)8 B) 9 C)10 D) 12 E)15


IADI = IDBI IAEI=3

~

~IEC! 3i...

<::i

A(EDC) = 12 b~

.:cA ABC üçgeninde

IADI = IEBI = IFCj = 1 br

lAFi = 2 br

IDEI = 3 br

A(i5EF) = 2 b~

B C.-:::...

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç b,-2 dir?

B C

Yukarida veri/enlere göre, A(ABe) kaç bi-2 dir?

410

A)40 B) 36 C) 32 D) 30 E) 24 A)9 B) 8 C)? 0)6 E)5

~

kösetasiA ABC üçgeninde

[AD] ri [BE] = {F}

IBDI = iDC!

lAFi = LFOI

üçgende alan

B D C...o...

AIABC) = 48 cm2 olduguna göre, FDCE dörtgeninin alani kaç cm2 dir?

açiklamali çözümBu tür sorularda var olan dörtgensel bölgeleri, üçgensel bölgelere ayiriniz. Veee S'lemeye baslayiniz.

A

B c

[ED], dörtgensel bölgeyi üçgensel bölgelere ayirdi...<::::>.. ..<::::>..

lAFi = LFOI ~ A(EAF) = A(EFD) = S

. IAEI . . IBDI ICEI IAFI_1Bize IECI orani gerekli, Menelaus leoreminden IBCI·IAEI· !FDI -

A(ABC) = 48 ~ 125 = 48 :::> S = 4 cm2

A(FDCE) = 5S = 20 cm2

~ ICEI =2IAEI

1. AABC üçgeninde3. ABC dik üçgeninde

A[AE] ri [OC] = {F}

B, F, E dogrusal

IBEI = IEC!

lAFi = LFOI

IBDI = IDC!IBDI = 31ADI IADI = 5 brB

C

IAC! = 8 br

B E C...o... ...o...

AIABC) = 80 cm2 olduguna göre, AIAFC) kaç cm2 dir?Yukarida verilenlere göre, EFDC dörtgeninin alani kaç

b~ dir?

A)12 B) 16 C) 20 D) 24 E) 28 A)10 B) 16 C) 20 D) 24 E)28

2. A ABC üçgen

F, E, D dogrusal.....•...

m(ABD) = 30· ~lAFi = IFBI = 3 cm

~;...

iBC! = ICDI = 2 cm

~

B

D

4. A ABC üçgen

OF J..AC

F, B, C dogrusal

IFBI = IBC! = 5 cm

IADI = IDC! = 8 cm

olduguna göre, FBCE dörtgensel bölgesinin alani kaçcm2 dir?

F 5 B 5 C...o...

Yukarida verilenlere göre, AlAED) kaç cm2 dir?

A)2 B)4 C)6 D) 8 E) 10 A) 4

411

B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

~


B

A

c

ABC eskenar üçgen

IBDI = 2.IDCI = 4 br

...o...

olduguna göre, A(ADC) kaç b~ dir?


c

IAEI = IFBI = IDCI

IFEI = 8 br

ABC eskenar üçgen

NEDEN?

"""" 1 a.J3A(ABC)=-·-·a2 2

a2.J3

4

c

B

A

B D

...o...Yukarida verilenlere göre, A(DEF) kaç b~ dir?

3.

Eskenar üçgenin alani A(ABC) = a2,fi4

m(ADC) = 90·

iDCi = 6 br

IADI = 8 br

IABI = IBCI = 10 br


A(ABC) = 62.J3 = 9.J3 br24

IBDI = 2.IDCI => A(ABD) = 2.A(ADC)

3x = 9-.13 => x = 3-.13b~

c

c

A

A

B

Yukarida verilenlere göre, A(ABCD) kaç b~ dir?

B

B

1.

A) 24 + 25-.13

D) 36

B) 16 + 25-.13

E)40

C) 18 + 25-.13 A)16 B) 18 C) 16-.13 D) 18-.13 E) 24

...o...Yukarida verilenlere göre, A(GDC) kaç b~ dir?

IABI = 6 br

A(BKC) = 4-.13b~

AD II BC

D ABC eskenar üçgen

B C

Yukarida verilenlere göre, A(KCD) kaç b~ dir?

4.

IADI = 9 br

IDCI = 3 br

G, agirlik merkezi

ABC eskenar üçgenin

deA2.

A) 3-.13 B) 6 C) 4-.13

412

B) 9 C) 6 D) 6-.13 E) 5-.13

~


A ABC üçgeninde

[BE] ve [AD] kenarortay

AD.L BE

IGEI = 3 br

IGDI = 4 br



Kenarortayiar bir üçgeni 6 esit parçaya ayirir....::::...

A(GBD) = A(GDc) = A(GEC) = A(ABC)6

B

A

c


IBGI = 21GEI = 2.3 = 6 br

A(BGo) = 6.4 = 12 br22

A(ABC) = 6.12 = 72 b~

B D C...•••...


G, agirlik merkezi

ABC üçgeninde

IDCI = 4 br

...--..

m(ECB) = 30·

AD.L CE

A

B30·

D 4 C...•••...


3.G noktasi ABC üçge

nin in agirlik merkezi

DH.L EC

IEGI=5br

IDHI = 4 br

A1.

A) 120 B) 100 C) 90 D) 80 E) 60 A)8 B) 12 C) 16 D) 1213 E) 1613


G, agirlik merkezi

IABI = IACI

[AD] ri [BE] = {G}

IBGI = 5 br

IGDI = 3 brCB D

Yukarida verilenlere göre, A(DCEG) kaç bi2 dir?

4~'- _ :~ :;i:~~'"~ IADI=IDBI=4brB----E~----C IACI = 9 br...•••...

Yukarida verilenlere göre, A(FEC) kaç bi2 dir?

2.

A) 6 B) 8 C)9 D) 12 E) 16 A) 24

413

B) 20 c) 18 D) 15 E) 12

~


iBASKA BiR ÖZELLiKA

B D cABC üçgeninde kenar/arm orta nokta

/an D, E, F ve agir/ik merkezi G ise,

A(GFBO) = A(GEAF) = A(GOCE) = A(A:C)


GH 1- AC çizelim, iGH i =~ = 3 tür.2(30, 60, 90 üçgeni)

""""" IACI.IGHI 8.3 12 b 2A(AGC) = 2 =2= r

""""" """"".2A(ABC) = 3.A(AGC) = 3.12 = 36 bi

/'-.m(ACE) = 30°

iGCi = 6 br

iACi = 8 br

olduguna göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

ABC üçgeninde

[AD] ile [CE] kenarortay

c

açiklamali çözümA G noktasi ABC üçgeninin agirlik merkezi ise,

""""" ..c.. """"" A(ABC) ..

A(GBA) = A(GBC) = A(GAC) = -3- dur.

A

B

B

B

1.

B c

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi/'-.

m(AGB) = 90°

IAGI = 4 br

IBGI = 6 br

3. ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi/'-.

m(AGC) = 45°

IAGI = 5 br

iGci = 3.)2 br

Yukarida verilenlere göre, tarali alan kaç bi2 dir? Yukarida verilenlere göre, A(AI3c) kaç bi2 dir?

A) 12 B) 16 C)18 D) 24 E) 36 A) 15 B) 17,5 C)18 0)20 E) 22,5

AABC üçgeninde

IBDI = IDCI

IAGI = 2·IGDI

m(AEC) = 90°

IECI = 6 brC

A

B

E

A(ABC) = 72 bi2 olduguna göre, IAGI = x kaç br dir?

4.ABC dik üçgen

AB 1-AC

G agirlik merkezi

IGEI = IECI

C IABI = 5 br

iBCi = 13 br

Yukarida verilenlere göre, A(AEC) kaç br dir?

2.

A)3 B) 4 C)5 D) 6 E)7 A) 4

414

B) 5 C)6 D) 8 E) 9

~


~B 12 C


ABC dik üçgen

[BD] açiortay

IADI = 6 br

IBCI = 12 br

Yukarida veri/enfere göre, A(DBC) kaç br dir?

B c

Açiortay üzerindeki bir noktanin açinin kollarina uzakliklari esittir.

Sonuç: Üçgen in açiortaylarinin kesistigi noktanin (iç teget çemberinin merkezinin) kenarlara uzakliklari esittir.

Sekilde O noktasi açiortaylarin kesistigi nokta; a, b, c kenar uzunluklari ise:

A(ABc)= (a+b+c)·IOHI ~ A(ABC)=Ç(ABC).r dir.2 2

Ç(ABC) = 2u ise, A(ABC) = u.r olur.

B

12


OH .1 BC çizelim

[BD] aç/ortay oldugundan

IDHI = IDAI = 6 br ~ A(DBC) = 12; 6 = 36 br2 bulunur.

1. m(A8C) = m(CBD)

IBDI = 12 br

IBCI = 13 br

IABI = 8 br


[BD] açiortay

'OC! = 4 br

A(ASD) = 24 b~

B 12 D

.....=i..

Yukarida verilenfere göre, A(ABC) kaç br dir?

B C


A)15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 25A)6 B) 8 C) 9 0)12 E) 16

B C...••....

Yukarida verilenfere göre, A(ABC) kaç br dir?

2. [AE] ile [CE], ABC üç-4.

geninin dis aç/ortayla- ridir. ~EH.l BC

~

IEHI = 6 br

~

B

IABI = 8 br

.....=i..

Yukarida verilenlere göre, A(EAB) kaç br dir?

A ABC üçgeninde

[BH] ve [CI] açiortay

IH .lAC

IIHI = 2 br

Ç(ABC) = 20 br

A) 12 B) 16 C) 24 D) 32 E) 36 A)10 B) 12 C)15 D) 18 E)20

415



[AD] açiortay

IABI = 10 br

IAci = 15 br

Yukarida verilenlere göre, A{ABO) = x kaç bi2 dir?

açiklamali çözümA Bir üçgende açiortayin ayirdigi alanlarin orani yanal kenarlarin oranina esittir.

Sekilde [AD] açiortayoldugundan [AD] nin üçgende ayirdigi iki bölgenin, ABD üçgeni ile

ADC üçgenlerinin alanlarinin orani yanal kenarlarin (c ile b nin) oranina esittir.

ABC üçgeninde

[BE] açiortay

IABI = 8 br

IBDI = 6 br

iDC! = 3 br~

C A(ABC) = 21 b~B

..o.-Yukarida verilenlere göre, A(BOE) kaç bi2 dir?

IABI = 8 br

IBci = 12 br

A(ABC) = 40 bi2

B 12 C..o.-

Yukarida verilenlere göre, A{ABO) kaç bi2 dir?

~A(ABD) = ~ dir

A(ADC) b .B

C

A


A{ABC) = 10.15 =75 br22

A(ABD) = IABIA(ADC)

IACIB

Cx 10x=30 br2

--=- =>75-x 15

1.

AABC üçgeninde3.A

[BD] açiortay

A) 12 B) 15 C)16 D) 18 E) 24A)6 B) 7 C)8 0)9 E) 10

B D C...•••....

Yukarida veriienlere göre, A(ABO) kaç bi2 dir?

A, 0, D dogrusal5·IABI = 3.ISci

A(AI3C) = 40 bi2

ABC üçgeninin dis te

get çemberinin mer

kezi °noktasi

BC

...•••....

Yukarida verilenlere göre, A(ABK) kaç bi2 dir?

4.ABC üçgen in iç teget

çemberinin merkezi °noktasidir. .:.:

:~

]IACI = 2·IABI

A(ABC) = 36 bi2

A2.

A)8 B) 12 C) 15 0)16 E) 18 A)15 B) 16 c) 18 0)20 E) 25

416

köse/asiüçgende alan

B

A

c

i noktasi ABC üçgeninin iç teget çemberinin merkezi

IBCI = 8 br

IABI = 9 br

IACI = 7 br

olduguna göre, A(IBC) orani kaçtir?A(ABC)


c

i noktasi ABC üçgeninde açiortaylarin kesistigi nokta ise, i noktasinin üçgenin kenarla

rina uzakliklari esit oldugundan S1' S2' S3 alanlari a, b, c ile orantilidir.

~=~=§.a b c

A(ABC)=S ise, S1 a S2 b §..= __ c_s= a+b+c' s= a+b+c' S a+b+c

Kösetasinin çözümü: ABC üçgen in iç teget çemberinin merkezi, ayni zamanda açiortaylarinin kesistigi noktadadir.

..c..A(IBC) 8 8 1

Bu nedenle; -:;;;;:-=---=-=- bulunur.A(ABC) 8+9+7 24 3

Yukarida verilenlere göre, A(DBC) kaç bi2 dir?

ABC dik üçgen D noktasi ABC üçge

ninin iç teget çemberi

nin merkezidir.

IBEI = 4 br

IEC! = 6 br

A, D, E dogrusal

c

A

B

~ ~Yukarida verilenlere göre, ADC üçgeninin alani, ABD

üçgeninin alaninin kaç katidir?

3.

E) 10D)9

[BD] ile [CD] açiortay

IABI = 6 br

iACi = 8 brc

C) 8,6B) 8,4

A

B

A) 8,2

1.

A) 1,2 B) 1,4 c) 1,5 D) 1,6 E) 2

ABC dik üçgeninde

[AD] kenarortay

[DE] ve [CE], ADC üç

geninin açiortaylari

IADI = 6 br

C IACI = 8 br

A

B

Yukarida verilenlere göre, A(DEC) kaç bi2 dir?

4.

IBCI = 5 br


ninin iç teget çemberi

nin merkezi

IABI + IACI = 10 br

A(ABC) = 9 b~c

A

B 5

Yukarida verilenlere göre, A(DBC) kaç bi2 dir?

2.

A) 2,5 B) 3 C) 3,5 D)4 E) 4,5A)~

3B)~

2C)~

3D).!3..

5E)~

4

417


B

A

c

ABC üçgeninde

I, iç teget çemberin merkezi

.....•...

m(BAC) = 120°

IIBI = 4 cm

IICI = 7 cm

Yukarida verilenlere göre, A(1itC) kaç cm2 dir?

açiklamali çözümBUNLARi BiLiN YETER

B

B

A

A

c

c

1 .A(ABC) = 2' b. c. sina

Not: Ispati için 21. kösetasina bakiniz.


m(BIC) = 90· + m(A) = 150°2

1 1 1 2

A(IBC) = 2·IIBI.IICI . siniSO· = 2.4· 7. '2 = 7 cm

30·45·60·

Sin

1-./2132"

22

ISina = sin(180- a)i

BiRAZ TRiGONOMETRi

LJ,B a C

. bSlna=

c

A ABC üçgeninde

AD J. BD

m(ADC) = 120°

IADI = 213 br

IDCI = 413 br

B C IBDI = 6 br


ABC üçgeninde 3.

B, D, C dogrusal.....•...

m(ADC) = 135·

IADI = 4 brC

IBDI = 6J2 brA

B


1.

A)613 B) 12 C) 12J2 D) 18 E)24J2 A)6m B) 12../6 C) 1513 D) 1813 E)28

D) 14 E) 15

~

iBCi = 5 br

IAEI = 2 br

ABC üçgen

B, C, D dogrusal

C) 12B) 10

~B 5 C x D

IECI = 4 br...••... ...••...

A(ECD) = 2.A(ABC) olduguna göre, ICDI = x kaç br dir?

A)8

4.

i

418

E) 5D)~6

ABC üçgeninde

DE J. AB

DF J. BC

C

C)~4

A

B)]2.3A)~

4

B

.....•...

m(EDF) = iSO·

IABI = 12 cm

IBCI = 10 cm

IDFI = 1 cm


2.


A

B

BDol DE

C E [AE]

IACI = 7 cm

IBq = 10 cm

ICDI = 3 cm

IDE i = 4 cm

"

E

..o..olduguna göre, A(ABC) kaç cm2 dir?


B

E

DCE üçgeninde Pisagordan

ICE i = b2 +42 =5 cm

sinc=i5

..o.. 1 A

A(ABC)=2"IACI.IBCI. sinC

="!'.7.10.i2 5

=28 cm2

iSPATLAYALIM

B~C

sina = IBHI => IBHI = IABI.sinaIABI

A(ABC) =..!.IACI.IBHI2

=~IACI.IABI. sina

IADI = IDEI = 3 cm

IBDI = 5 cm

lEq = 6 cm

DEol BC

ABC üçgenindeA

B E 6 C..o..


3.

IDEI = 4 cm

ICEI = 5 cm

IAQ = 5 cm

IBQ = 8 cm

[DB) ri [AE) = {c}

BDol DE

E

D

B

..o..Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç b~ dir?

1.

A) 32 B) 25 C) 20 0)18 E) 16 A)18 B) 20 C) 24 0)28 E) 32

..o..Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

DFol AB

ABC üçgen

IBDI = 21BCI = 10 cm

lAFi = 10 cm

!FBI = 8 cm

A

B 5 C 5 D..o..


4.ABC üçgen

DEol AB

IADI = 8 cm

IDBI = 5 cm

IDEI = 12 cm

lEq = 2 cm

A

B

2.

A)60 B) 72 C) 80 D) 90 E) 96 A)24

419

B) 27 c) 30 D) 32 E) 36

~


A

F

ABC üçgen

D, E, F dogrusal

~ ~A(AOE) = A(ECF)

IAOI = 4 cm

10BI = 3 cm

IBCI = 6 cm

Yukarida verilenlere göre, ICFI = x kaç cm dir?


B F

~ ~A(ABC) = A(OBF) = A + S

B açisina göre alan formülleri yazilirsa:

1 . A 1 . A

2·7.6.slnB = 2.3(6 + x).slnB

14 = 6 + x

8=x

ICFI = 8 cm olur.

DÜSÜNMEK ZOR AMA SONUNDA KOLAYLiK VAR;

HA YDi BiR KERE DAHA BAKALiM

F

~ ~A(DAF) = A(CAF) = A + S ve lAFi orlak taban o/du-

gundan DAF ile CAF üçgen/erinin yükseklik/eri esittir.

Bu durumda OC II AF o/ur.~ ~ 3 6

BDC - BAF den - = - => x = 8 cm4 x

D


1. AABC ve AOC üçgen

3..---...

.---...

m(ABC) = m(ACO)~~

A(ABE) = A(EOC)

IABI = 12 cmB

CIBCI = 6 cm

10CI = 8 cm

D


B

~ ~A(ABE) = A(OEC)

IAOI = 12 br

IBAI = 8 br

10Cl = 10 brC

A)18 B) 16 C)15 0)12 E) 9 A) 10,4 B) 9,6 C) 8,6 D) 8,2 E) 7,8

B C x F

Yukarida verilenlere göre, ICFI = x kaç cm dir?

B 2 x C

Yukarida verilenlere göre, 10CI = x kaç cm dir?

4.~~

2.AABD ve EBC üçgen AA(AOE) = A(ECF)

~~

D, E, F dogrusalA(OFC) = A(EAF)

LEAI = 6 cm

~IAOI = 3 cm~ IEBI = 4 cm

•..10BI = 2 cm~

IBOI = 2 cmIBCI = 4 cm

A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5 A)3

420

B) 4 C)5 D) 6 E) 2

~


A

c

ABC üçgeninde

IADI = IEC! = 4 br

IDBI = 5 br

IBEI = 3 br

v • A(ADEC)olduguna göre, ...•••• kaçtir?

A(DBE)


m(A8C) = e diyelim. A(DBE) = .!.·IBEI·IBDI· Sine=.!..3.5. Sine ... (1)2 2

A(ABc) = .!.·IABI·IBCI· Sine=.!..9.7. Sine ... (2)2 2(1) ve (2) bagintilarinin oranlamasindan,

A(ABC) '!'.9.7. Sine 21~ = f = - bulunur.A(DBE) _ .3.5. Sine 5

2

..a.. ..a.. ..a..A(ABC) = 21 S ve A(DBE) = 5S alinirsa A(ADEC) = 21 S - 5S = 16S

A(A'::C) = 16S = ~ bulunur.A(DBE) 5S 5


B E C

....••.Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

IBDI =3-IABI 5

IBEI=~IBCI 4

A(DBE) = 12 b~

21ADI = 31DBI

IEC! = 21AEI

A(DBCE) = 4 b~

B C

Yukarida verilenlere göre, A(ADE) kaç bi2 dir?

A) 3 B) 2 c) ~ D) 1 E) 3.2 3E) 48D) 40C) 36B) 32A) 24

B D C....••.



ICDI = 21DAI ICEI = 31BEI

~

~A(ABED) = 24 b~~

B E C....••.

Yukarida verilenfere göre, A(DEC) kaç bi2 dir?

A ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

G, agirlik merkezi

31AEI = 21EC!

A(GDCE) = 22 b~

A) 18 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32 A)40 B) 44 C)45 D) 56 E) 60

421 @JClDIEl


A

c AD /i BC

AB /i DC

ICEI = lESI

IDFI = 21FCI

olduguna göre, A(ABCD) orani kaçtir?A(AFE)

Paralelliklerden dolayi IADI = IBC!, IDCI = IABIC

Verilenlerden dolayi ICEI = IEBI = k, IDFI = 21FCI = 2n olsun.

Paralellikten dolayi m(C) = a ise, m(B) = 180 - a olur.

Sina = sin(180 - a ) oldugundan A = ~ .a.b.sina formülünde ~ katsayisi ile sina ortak

oldugundan a açisinin kollarinin çarpimi alanlarin oranil degerlerini verir.


AA(ABE) = 3nk,

A(FCE) = nk,

A(DAF) = 4nk,

A(ABCD) = 2.3n.2k = 12nk

A(FAE) = A(ABCD) - A(ABE) - A(FCE) - A(DAF) = 4nk

A(ABCD) _ 12nk = 3A(AFE) 4nk

1. cAB II CD

AD II BC

IBEI = 21AEI

A(AED) = 4 br2

3. D CABCD dikdörtgen

ICFI = IFBI

IECI = 21DEI

A(AFE) = 20 cm2

A E B

Yukarida verilenlere göre, A(EDC) kaç br dir?

A B

Yukarida verilenlere göre, A(ECF) kaç cm2 dir?

A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20 A) 16 B) 12 C) 10 D)8 E)4

2. c AB II CD,

BC II AD

31BFI = 21CFI

IDEI = 21ECI

A(ABF) = 18 cm2A B

Yukarida verilenlere göre, A(AEF) kaç cm2 dir?

4.ABC D dikdörtgen

IDHI = 21HCI

LEAI = IDEI

IBFI = 41AFI

A(AFE) = 6 b~

Yukarida verilenlere göre, A(EFBH) kaç br dir?

A) 30 B) 33 C) 36 D) 42 E) 45 A) 82

422

B) 74 C) 68 D) 64 E) 60

~

kösefasiüçgende alan

A

B

ABC üçgeninde

IBDI = iDc!

iEc! = 2·IAEj, lAFi = 3·IBFI

A(DEF) = 14 b~

olduguna göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

Not; Problemlerde ke

narlar üzerindeki aranti

katsayilan sadeleseceginden x, n, k lar kullan/l

madan kenarlara sayi

degerferi vererek proble

mi çözmek hem kolaylik

saglar hem de zamankazandmr.

..c...A(DEF) 7.x.n.k 7~=--_.-A(ABC) 24.x.n.k 24

x.z.n+y.k.pa.b.c

..c...

A(DEF) x.n.k + x.2n.3k =:>

A(ABc) = 2x.3n.4k

14 7 ..c... 2~ = - =:> A(ABC) = 48 br bulunur.A(ABC) 24

Sekilde verilen uzunluklara göre,


c

A


B

ABC üçgeninde

F noktasi ABD üçgeni

nin agirlik merkezi

IBDI = IDCI

IAKI = IKCI

A(FDK) = 8 b~c

A

B

....o...

Yukarida verilenlere göre, A(AEC) kaç bi2 dir?

3.ABC üçgeninde

IBDI = iDc!

ICEI = 2·IAEI

IBFI = 2·IFAI

A(DEF) = 4 b~c

A

B D

....o...


10

E)~3

C) 32 D)36E) 40

ABC üçgeninde

••..•......

••..•......

m(BAD) = m(DAC)

[AE] kenarortayIABI = 6 brlAFi = IFC! = 4 brIAKI = 2·IKDIC

B) 30

B)~ 3A)~2

....o...

Yukarida verilenlere göre, A(A~C) kaç bi2 dir?A(EFK)

C)~ D)~3 3

A)28

4. A

E) 18

E) 46

D)16

D) 54

ABC üçgeninde

[AD] açiortay~

lAFi = IFBI = IEC! = 2n ~~

IAEI = 3n ~

A(DEF) = 23 b~C

C) 15

C) 69

A

B) 14

B) 80

B D

....o...


A) 90

A) 12

2.

423


AIABI = 7 br

IBCI = 8 br

IACI = 9 br

B 8 C .-.Yukarida veri/enlere göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

açiklamuli çözüm

B

A Bir üçgenin çevresi 2u ile gösterilir. u, üçgenin çevresinin yarisi olmak üzere;

a+b+ca + b + c = 2u =:> u = ---

2

A(A~C) = ~u(u - a)(u - b)(u - c)

Kösetasinin çözümü: u = 7 + 8 + 9 = 122

A(ABC) = ~12. (12-7) (12-8) (12-9)

= .J12.5.4.3 = 12../5 br2

B 4 D 2 C.-.


1. A4DABCD dörtgeninde 3.- m(ADC) = 90·

3IABI = 7 br

iBCi = 8 brC IADI =4 br

B

IDCI = 3 br

Yukarida veri/enlere göre, A(ABCD) kaç bi2 dir?

A ABC üçgeninde

IABI = 5 br

IBDI = 4 br

iDCi = 2 br

iACi = 7 br

A) 6 + 8;13

D) 18

B) 6 + 9;13 C) 15

E) 6 + 10;13

A) 3JS B)2J5 C) 3J6 D) 2J6 E) J6


Yukarida veri/enlere göre, IACI kaç br dir?

[AD] açiortay

IABI = 6 br

IACI = 9 br

IBCI = 5 br

B D C.-.Yukarida verilenlere göre, A(ABD) kaç bi2 dir?

IDBI =4 br

IDCI = 7 br

IBCI = 9 br

ABC dik üçgen

CB

A2.

A) 2;13 B) 3J5 C) 2J6 D) 3J6 E) 4

424

A) 2./2 B) 3./2 C) 4./2 D)3 E)4

~


A

B

ABC üçgeninde

IABI = 5 br

iBC! = 7 br

iACi = 6 br

olduguna göre, ABC üçgeninin iç teget çemberinin yariçapi kaç br dir?

açiklamali çözümA Iç teget çemberin merkezi açiortaylarin kesistigi noktadir. Iç teget çemberin

B c

yariçapi r, u = a + b + c ise2

...ôo.

A(ABC) =u. r

Kösetasinin çözümü: u = 5+ 7 + 6 = 92

i. A(ABC) = ~9 .(9-5)(9 -7)(9-6) = .J9.4.2.3 = 6.J6 br2

ii. A(ABC) = u.r = 9.r

2.J6'r=--br3

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgeninin iç teget

çemberinin çapi kaç br dir?

A ABC üçgeninde


DE..LAC

IABI = 6 br

IACI = 6 br

B 8 IBCI = 8 br


A) .J5 B) 2.J5 C) 7.J5 D) 4.J5 E) ,fS10 5 10 5

3.

D) 2-13 E) 312

ABC dik üçgen

IABI = 6 br

IACI = 8 br

C)4B) 3

A

A)2

1.

Yukarida verilenlere göre, iç teget çemberinin yariçapi en az kaç birim olabilir?

E) 16D)18

ABC üçgeninin iç te

get çemberinin merke

zi O ve çemberin ke

nariara degme noktalari D, E, F dir.

IAB I = 8 br

IOEI = 4 br

C) 24B) 28

A

Yukarida verilenlere göre, A(A'BO) kaç b~ dir?

A)32

4.

E).J63

Kenar uzunluklari tam

sayi olan ABC üçgeni

nin çevresi 12 br dir.

c

C)./3B),f2

B

A) 1

2.

425



ABC üçgeninde, O noktasi üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.

IABI = 4 br

IBCI = 6 br

IACI = 8 br

"""""'-

olduguna göre, ABC üçgeninin çevrel çemberinin yariçapi R kaç br dir?

ABC üçgeninin çevre i çemberinin yariçapi R ise i A(ABC) = a~~cKösetasinin çözümü: -------

ABC .. . d 4 + 6 + 8 9 buçgenin e u = --2- = r

A(ABC) = ~9.5.3.1=3,fi5 br2 ... (1)

..c... a.b.c 4.6.8 48 (2)A(ABC) = --=--=- ...4R 4R R

1 ve 2 den 48 = 3J15 ~ R = ~ bulunurR v15

1. IABI = 5 br

IBCI = 6 br

IACI = 7 br

3.

B

A

F

ABC üçgeninde

FE 1- AB

FD 1-ACcIAEI = IEBI = 2 br

7IADI = iDC! = - br2

IBC! = 9 br

Yukarida verilenlere göre, ABC üçgeninin çevre içemberinin çapi kaç br dir?

Yukarida verilenlere göre, IFCI kaç br dir?

A)~4./6

C)~2./6

D)~2./6

E)6A)-.32..

2,[5B)-.32..

2./3C)5 D)4/2

2. ABC üçgeninde

IABI = 5 br

IBCI = 7 br

iACi = 8 br

4. A [BCJ çapli çemberin

içerisine bir kenan

[BC] olan bir üçgen çi

ziliyor.

iBC! = 12 br

Çevrel çemberin yariçapi R, iç teget çemberin yariça

pi r olduguna göre, R.r kaç b,-2 dir?


.ÇQk kaç b,-2 olabilir?

A)5 B) 6 c)7 D) 8 E)9 A)36 B) 32 c) 30 0)28 E) 24

426


B c

ABC dik üçgen

Üçgenin iç teget çemberi kenarlara D, E, F noktalarinda teget

IDBI = 4 br

IDCI = 6 br

Yukarida verilenlere göre, A(A'BC) kaç bi2 dir?


A

ABC dik üçgeninin iç teget çemberi hipotenüse D noktasinda teget ise,

IBDI = m} ..o..A(ABC) = m.n dir,

IDCI = n


""""'-

A(ABC) = IBDI,IDCI = 4.6 = 24 b~

Bir Özellik: Bir çembere disindaki birnoktadan çizilen tegetlerin uzunluklariesittir.

Sekilde IABI = IACI dir.

iSPATLAYALIM

oh~B m E n C

Pisagordan

(m + n;2 = (m + r)2 + (n + r)2

mn = mr+nr+?

A(ABc) = (m + r)(n + r)2

mn +mr +nr +r2

2mn+mn----mn

2

ABC dik üçgen

IBDI = 5 br

D, E, F noktalari iç te

get çemberin deg me

noktalaridir.c

A

B

Üçgenin iç teget çemberinin yariçapi 3 br olduguna..o..göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

i 3.ABC dik üçgen

IBFI = 3 br

ICEI = 10 br

c

A

B D

D, E, F noktalari üçgenin iç teget çemberinin kenarlara..o..degme noktalari olduguna göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

1.

A)15 B) 18 C) 20 0)25 E) 30A)60 B) 55 C) 50 0)45 E) 30

B F C..o..

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç bi2 dir? Yukarida verilenlere göre, çemberin yariçapi kaç br dir?

ABC dik üçgen

IBDI = 6 br""""'-

A(ABC) = 54 b~

D, E, F noktalari üçge

nin iç teget çemberinin

kenarlara degme nok

talaridir.

C

A

B

4.ABC dik üçgen

IAEI = 4 br~

IACI = 25 br ~

D, E, F noktalari iç te- ~get çemberin degme ~

noktalaridir.

A

4

2.

A)42 B) 64 C) 72 D) 84 E) 96 A) 1

427

B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

~


A


ABC üçgeninde

IABI = 6 cm

IACI = 9 cm

olduguna göre, A(ABC) nin en büyük tamsayi degeri kaç cm2 dir?

A(ABC) nin en büyük degeri AB 1- AC oldugunda elde edilir. BAC açisi dar veya genis açi oldugunda h < 9 olacagindanalan daha küçük olur.

A

B

H

c

ABC üçgeninin alani ~ m(ABC) = 90° iken ~ = 27 cm2 olur.2

1.

6

A

c

ABC dik üçgen

IABI = 6 br

IBCI=10br

m(MC)=x

3.

B

A

c

ABC üçgeninde

[AD] kenarortay

IABI = 2)2 br

IACI = 4)2 br

AABC üçgeninin alani en fazla oldugunda m(C) nin x

türünden degeri ne olur?

ABC üçgeninin alani en büyük degerini aldiginda IADI

kaç cm dir?

A) 45° - x B) 90° - 2x C) 90° - x

D) 120° - 2x E) 180° - x

B) ffO C) 2v'5 D)5 E)2ffO

....••...

Yukarida verilenlere göre, A(AGB) nin alabilecegi §ll.t!.YV.Y.!S tamsayi degeri kaç cm2 dir?

2. A

B

ABC üçgeninde 4. ABC üçgenindeAG, agirlik merkezi

[IB] ve [IC] açiortay[AE] ri [BD] = {G}

~ IIBI = 4 cm

IGDI = 4 cm

~1IC1= 6 cm

•..

IGEI = 3 cm

~

C

B C

Yukarida verilenlere göre, IBC üçgeninin alaninin

tamsayi degeri ~ kaç cm2 dir?

A) 10 B) 12 c) 18 D) 24 E)36 A) 6

428

B) 10 C) 11 D) 12 E) 15

@EII@]


s

A

c

ABC dik üçgen

iBCi = 8 cm

A(A"'B"C) = x cm2 olduguna göre,

1) x in alabilecegi en büyük deger kaçtir?

2) x in alabilecegi en küçük tamsayi degeri kaçtir?

Kural 1: Hipotenüsü verilen bir dik üçgenin alaninin en büyük olmasi

için, ikizkenar olmasi gerekir.

L>.. 1 '" '" 2 .Buna göre, a = b = 4J2 olup, A(ABC) = -.4",2.4",2 = 16 cm dir.2

Kural 2: Hipotenüsü verilen bir dik üçgenin alaninin en küçük tamsayi

degeri her zaman 1 dir. Örnegin a = 10 cm oldugundaL>..

ha < 0,1 olabileceginden A(ABC) < 1 dir.


s

A

c

A(ABC) = ~ oldugundan alani en2büyük yapmak için a.b çarpimini en

büyük, alani en küçük yapmak için

de a.b çarpimini en küçük yapmak

gerekir.

rÜREV BiLENLERE

~~b a2+b2=64~ b=~64-a2B 8 C

A(ABc) = a.b a.~2 2

A(ABc) = ~64a2 _a42

f(a) = 64a2- a4 => ('(a) = 128a - 4a3

128a - 4a3 = o => a = 412 ve a = O

Alan a = O için en küçük. a = 412 için enbüyük degeri alir.

Alan da sifir mi olur? deme eyogulf,

a nin sifir degeriyle de sinm bul.


iACi = 12 cm


iACi = 10 cm

s C

A(A"'B"C) nin en büyük tamsayi degeri kaç cm2 dir?

A) 24 B) 24J2 C) 36 D) 36J3 E) 48

s C

A(ABC) nin en büyük degeri, en küçük tamsayi dege·

rinden kaç fazladir?

A)20 B) 21 c) 23 D) 24 E) 25

....o..

A(ABC) nin en büyük degerini almasi için IABI kaç brolmalidir?

ABC üçgen

[CD] ve [BD] açiortay

iBCi = 6 cm

D

A S....o..

Yukarida verilenlere göre, A(BDC) nin en büyük tam·

sayi degeri kaç cm2 dir?

4.

iBCi = 8 br

ABC dik üçgen

C

A

s

2.

A)6J2 B)4J2 C)8 D)6J2 E)4 A)9

429

B) 8 C)? D) 6 E) 5

ICISIDISI

kösetasiA ABC üçgen

AH -iBC

IAHI + IBCI = 16 cm

üçgen de alan

B H C

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) nin en büyük degeri kaç cm2 dir?


Alanin en büyük olmasi için IAHI . IBCI çarpiminin en büyük olmasi gerekir. Toplamlari 16 olan sayilarin çarpimi en çok8.8 = 64 tür.

Demek ki IAHI = 8 cm ve IBCI = 8 cm olacaktir.

A(ABC) nin en büyük degeri 8;8 = 32 cm2 dir.

Pekala! en küçük tamsayi degeri kaçtir?

Tabii ki yine 1 cm2 dir. Yüksekligi 0,1 gibi küçük bir sayi aldiginizi düsünebilirsiniz.


BD -iAC

IACI + IBDI = 8 cm


&Qk kaç cm2 dir?

AD -i BC

IADI + iBCi = 24 cm

B D C

ABC üçgeninin alaninin tamsayi degeri e.a..g kaç

cm2 dir?

A)4 B) 6 C)8 D) 12 E) 16 A) 1 B) 8 C) 24 D) 48 E) 72

2.

B

A

E

ABE üçgeninde

AD -i BE

IADI + 21BCI = 20 br ~

]

4.

B

A

C

ABC üçgen

OC -iAB

IABI + IDCI = 12 cm

...o...

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) nin en bÜyük de-

geri kaç b~ dir?

...o...Yukarida verilenlere göre, A(ABC) nin en büyük ve

en kücük tamsayi degerleri toplami kaç cm dir?

A) 22 B) 25 C) 31 D) 33 E) 35 A) 20

430

B) 19 C)18 D) 17 E) 16

@ITE0


A ABC üçgen

AH..LBC

IAHI = 6 - x cm

IBCI = x + 4 cm

B H C

...o..Yukarida verilenfere göre, A(ABC) en cok kaç cm2 olabilir?


A(ABC) = IBCI·IAHI (x+4)(6-x)2 2_x2 +2x+24

2

25 2-cm2

L:>o.. -1 + 2 + 24

için A(ABC) = 2

Bu ifadenin en büyük degeri _x2 + 2x + 24 ifadesinin en büyük oldugu durumda gerçeklesir. (Detayli bilgi için MPS,

MATEMATIK 3, ÖZDESliKLER bölümüne bakiniz.)

a = -1 )b = 2 x = ;: = = ~ = 1c=24

Not: IAHI + IBCI toplami sabit oldugundan alanin en büyük degerini IAHI = IBC! yaparak da bulabiliriz.

Hatirlatma: ax2 + bx + c ifadesinin en büyük degeri x = -b için gerçeklesir. (a < O)2a


AH..LBC

IAHI = 8 -x cm

IBCI = x-4 cm

B H C

ABC üçgeninin alanini en büyük yapan x degeri kaçtir?

AH..L BH

IBC! = 5 -x br

IAHI = 2x - 1 br

B c············GHA(ABC) degerini en büyük yapan x degeri kaçtir?

A)2 B) 3 c)4 D)5 E) 6A)~

4B)~3 C)2.!

4D)~

3E)~

4

B C

...o..Yukarida verilenlere göre, A(ABC) ~ kaç b~ ola-

bilir?

ABC üçgeninde

m(S) = 30·

IABI = 4-x br

IBC! = 2x - 3 br

C

A

B 2x·-3

ABC üçgeninin en büyük degeri kaç b~ olabilir?

4.

ABC üçgeninde

BH..LAC

IBHI = 6 - 2x br

IAC! = x - 2 br

A2.

A)..!.4

C)~3 D)!5

E)~4

A) 2932

B) 2532

C)~35

D)~16

E)~16

431


B

A

c

ABC üçgeninde

KL II DE

IKDI = 21AKI = 21DBI

A(KDEL) = 24 cm2

olduguna göre, A(DBCE) kaç cm2 dir?


c

E

7S

c

Benzer üçgenlerin alanlari orani, benzerlik oraninin

karesine esittir. Örnegin ABC - DEF olsun...c.. 2

Buna göre, A(A~) = IABI olur.A(DEF) IDEi2

A(AKL) (k)2 1 A(AKL) (k)2 1A(ADE) = 3k = 9" A(ABC) = 4k = 16

8S = 24 cm2 => A(DBCE) = 7S = 21 cm2

SAGDA VERiLEN ÖZELLiK YARDiMiYLADA çÖZEliM:

IKMI = IMDiolacak sekilde MN II KL çizilirse, üçgen

esit aralikli paralellerle S, 3S, 5S, 7S alanli böl

gelere ayrilmis olur.

A(KDEL) = 8S = 24 cm2 ise, S = 3 cm2

A(DBCE) = 7S = 21 cm2

DOZENLEYEBiLiRSEN

KOLA Y GELSiN

ABC üçgeninde

DE II BC

A(ADE) = 12 cm2

A(BCED) = 63 cm2

c

A

Yukarida verilenlere göre, IAEI+IDEI orani kaçtir?IACI+IBCI

NL ~! C)! ~! ~!5 5 534

3.

C) 1, 3, 12

E) 1,4,7

ABC üçgen

DE II KL II AC

IAKI = 21KDI = 21DBI

B) 1, 5, 9

D)3,5,7

A

B E L

olduguna göre, BDE, DKLE, KACL bölgelerinin alanlari

arasindaki oran sirasiyla asagidakilerden hangisidir?

A) 1,3,5

1.



~

DE II BC

~

A(ADE) = A(BCED)

~IDEI = 12 cm

B

xC

ABC ve ADC üçgen

EF II BCD

K

A

FK /i AD

A(AEF) = 4 cm2

A(BCFE) = 32 cm2

B C A(CKF) = 8 cm2

Yukarida verilenlere göre, A(FKDA) kaç cm2 dir?

2.

A) 10 B) 16 C) 18 D) 24 E) 32 A) 16

432

B) 18 C) 24 D) 12J2 E)12J3

~

üçgen de alan

Sekildeki 24 birim

karelik alan üzerin

deki ABC üçgensel

bölgesi kaç birim ka

reden olusur?

ABC ve DEC dik üç

gen

IABI = 4 br

10EI = 6 br

IECI = 9 br

A

B C


5.

E) 8D) 6C)4B) 3A)2

1.

A)6 B)8 c)9 D) 10 E) 12

B 3 H C

Yukarida verilenlere göre, A(A'BC) kaç b~ dir?

B 16 C

Yukarida verilenlere göre, A(A'BD) kaç b~ dir?

ABC üçgeninde

IABI = IACI = 12 br

IBCI = 16 br

IADI = IDCI

A6.

ABC üçgeninde

AH 1- BC

IABI = 5 br

IACI = 2../5 br

IBHI = 3 br

A2.

A) 10 B) 12 c) 14 D) 15 E) 16 A)12../5 B) 12.J6 C) 16../5 D) 18.J6 E) 24../5

ABC üçgeninde

DE II BC

IBCI = 12 cm

IDEI = 4 cm

A(ABC) = 48 cm2

C

A

B 12

Yukarida verilenlere göre, A(A'BE) kaç cm2 dir?

7.

ABC dik üçgen

IABI = 4 br

iBCi = 2m br

C

A

B 2.fi3...o..

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç b~ dir?

3.

A) 8 B) 10 c) 12 D) 16 E) 20 A)24 B) 20 c) 18 D) 16 E)12


IAOI = 5 br

10CI = 8 br

IBOI = 13 br~

B E C

ABC dik üçgen

IBEI = IECI

IABI = 6 br

IOCI=10br

R C

Yukarida verilenlere göre, A(B"ô"C) kaç b~ dir?...o..

Yukarida verilenlere göre, A(DBE) kaç b~ dir?

A) 24 B) 32 C) 36 0)40 E) 48 A)30 B) 25 C) 20 D) 18 E)15

433

üçgende alan

ABC üçgeninde

[AE] ve [Dc] kenaror

tay

IABI = IACI = 10 br

IAGI = 4 br

A

B E C

Yukarida verilenfere göre, A(GOBE) kaç bi2 dir?

13.

E) 30D) 28

ABC dik üçgen

IBDI = 2·IDCI

IABI = 7 br

IACI = 12 br

c

C) 218) 14

A

8

A)7

D

....•...

Yukarida verilenfere göre, A(AOC) kaç bi2 dir?

9.

A)8 B) 10 c) 12 D) 15 E)16

10. D

AB 1- BC

DC 1- BC

31ABI = 210Cl

A(AEF) = 12 b~

....•...

Yukarida verilenfere göre, A(OEF) kaç bi2 dir?

14. A

Sekilde kenar uzun

luklari verilmistir ....•.••..

m(BAD) = 90°

A) 14 B) 15 C) 16 0)18 E) 24

C

....•...

Yukarida verilenfere göre, A(BCO) kaç bi2 dir?

A)18 B)12.J2 C)12 D) 1213 E) 913

....•...

Yukarida verilenfere göre, A(BCO) kaç bi2 dir?

B) 1513 C) 1813 D) 18

Yukarida verilenlere göre, A(FEB) kaç bi2 dir?

E) 27D) 24C) 18B) 15


~ [BD] ve [CE] kenaror-B E__ F D__ c tay

IAEI = 6 br

IADI = 9 br

A)12

15.

E) 24

...•.••.. ...•.••..

m(ADC) = m(DAB) = 90°...•.••..

m(DAC) = 30°

iACi = 12 br

B

A) 1213

....•...

Yukarida verilenfere göre, A(ABC) kaç bi2 dir?

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

[AE] il [DC] = {G}

A(AGC) = 12 cm2

A

B E C

Yukarida verilenfere göre, A(BEGO) kaç cm2 dir?

16.ABC üçgeninde

IEFI =~IBCI 5

IDCI=~IACI 4

A(DEF) = 18 b~

c

A

B

12.

A) 36 B) 40 C) 50 D) 55 E) 60 A) 12 B) 15 C)18 D) 24 E) 27

434

üçgen de alan

...••...

Yukarida verilenlere göre, A(EFC) kaç bi2 dir?

cD AD..LAB

DE..LAC

21ADI = 51AEI

IACI = 15 cm

ABIABI = 18 cm


21.ABC dik üçgen

[BE] açiortay

IAEI = 4 br

WCl = 5 br

A17.

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 A)40 B) 48 C) 54 D) 64 E) 72

E) 70)6

L>. L>.A(AFE) = A(BCF)

ACD ve BED üçgen

IAEI = IEDI = 4 cm

ICDI = 6 cm

D

C) 5B) 4

B


A)3

22.

E)4.J20)4

ABC üçgeninde

[AD] açiortay

m(BAC) = 45·

IAB I = 4 br

iACi = 8 br

c

C)4J3

A

B

A) 8.J23

D

...••...


18.

B C

...••...

Yukarida verilenlere göre, A(ABE) kaç bi2 dir?

ABC dik üçgen

[BE] ve [AE] açiortay

IAB] = 5 br

IACI = 13 br

ABC üçgeninde

IADI = iECi = 4 br

IAEI = 2 br

IDBI = 1 br

A

c

Yukarida verilenlere göre, A(DBCE) kaçtir?A(ADE)

A)~ B)..?. C)~ 0)3 E)~4 2 4 4

23.

E) 50)6C)8B) 9

A

5

A) 10

19.

...••...


A F B...••...

Yukarida verilenlere göre, A(FEC) kaç cm2 dir?

24. C AB II CD

AD II BC

~~ IDEI = IEAI

] IFBI = 21AFI

A(ABCD) = 36 cm2

ABC üçgeninde

.........

m(ACB) = 40·

m(DBC) = 20·

IADI = 2,/3 cm

IBDI = 6 cm

A20.

A) 6.J6 B) 8,/3 C) 6,/3 D) 9 E) 6 A)9 B) 12 c) 15 D) 18 E) 24

435

üçgende alan

25.

B

A

c

ABC üçgeninde

IBDI = iDC!

IBFI = 3·IAFI

iEC! = 2·IAEI""""-

A(ABC) = 48 b~

29. A ABC dik üçgeninin iç

teget çemberinin ke

narlara degme nokta

lari D, E, F dir.

IDCI = 10 br""""-

A(ABC) = 30 b~

....••...

Yukarida verilenlere göre, A(DEF) kaç bi2 dir?Yukarida verilenlere göre, çemberin yariçapi kaç br

dir?

A) 6 B) 8 C)9 D) 10 E) 12A) 1 B) 2 C)3 D)4 E)5

26. A

C

Yukarida verilenlere göre, A(ABCD) kaç bi2 dir?

B

D

Sekilde kenar uzun

luklari verilmistir.....-...

m(BAD) = 90·

30.

B

A

C

ABC üçgeninde

IAB i = IADI = 6 cm

IDCI = 2 cm

Yukarida verilenlere göre, A(ADC) nin en büvük tam


A) 6 + 9J3

D) 20

B) 18 C) 6 + 10J3

E) 24

A)8 B) 7 C)6 D)5 E)4

27. A

B 9 C


çemberinin yariçapi kaç br dir?

ABC üçgeninde

IABI = 4 br

IACI = 7 br

IBC! = 9 br

E)18D)12

ABC dik üçgen

IAC! = 6 cm

C)9B) 6

B C

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) nin en büyük tam


A)3

31. A

E)~.J5

D) 2.J5

C)~.J5

B) 2A) 1

32.A28. SekildeDnoktasiA

ABC üçgeninin çevrelABC üçgeninde

çemberinin

merkezi- AD 1- BC

dir.~

IADI + IBC! = 12 br

IBEI = iEC! = 4 br

..::i:

B

C~IABI = 7 br

~D

BDC

IAC! = 3 br

Yukarida verilenlere göre, IDE i kaç br dir?Yukarida verilenlere göre, A(ABC) nin alabiiecegi en

büyÜk tamsayi degeri kaç bi2 dir?

A) 1 B)2 D) _1_J2

E)_1_J3 A) 24 B) 18 C)16 D) 12 E) 9

436

33.

B

A

c

ABC üçgeninde

AC.L BH

iACi = x - 10 br

IBHI = 24 -x br

üçgen de alan

A(ABC) degerini en büyük yapan x degeri kaçtir?

A) 13 B)14 c) 15 D) 16 E) 17


21AEI = 61DEI = 31BDI

A(DFHE) = 15 cm2

B F H C


A) 108 B) 96 C) 84 D) 72 E) 60

437

üçgen de alan


C) 32v'6 D) 36

ABC üçgeninde

[CD] açiortay/'-. /'-.

m(ABC) = m(BfC)

IBDI = 5 br

IDEI = 6 br

C

A

B

...••...

Yukarida verilenlere göre, A(DBE) kaç bi2 dir?

5.

E) 48

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi/'-.

m(GDB) = 45°

IGDI = 2n br

IBCI = 6v'6 brc

B) 30

A

B

A) 18v'6

1.

A)9 B) 10 C)12 D) 15 E) 18

2. A

B

ABC dik üçgen

DE II BC,

A(BDE) = 18 bi2

IADI = 6 br

c

6. A ABC üçgeninde..o- ..o-A(ADC) = 2.A(ABD)

IABI = 4 br

IADI = 2 br

IACI = 10 br


A)4 B) 6 C)8 D) 9 E) 12

B D C

...••...


A)5 B) 6 C) 8 D) 10 E)12

Yukarida verilenlere göre, IGEI = x kaç br dir?

G, ABC üçgeninin

agirlik merkezi

GDl..BC

GE 1..AB

IGDI = 2 br

IBCI = 9 br

C IABI = 6 br

E) 240)20

ABC dik üçgen

m(AEC) = 90°

IABI = IADI

IACI = 8 br

C IDEI = 6 br

C)18

E

B) 16

A

B


A)12

7.

E) 90)6C)5B) 4

A

B

A)3

3.


ABC üçgeninde

[BD] açiortay

m(ACB) = 30°

IADI = 8 br

IDCj = 12 br

C

A

B

Yukarida verilenlere göre, C noktasinin AB dogrusu

na uzakligi kaç birimdir?

8.

ABC dik üçgen

[CE] açiortay

ADl..BC

LFOI = 1 br

C IBEI = 4 br

A

B

4.

A) 1 B) 2 C)3 E) 13 A) 12 B) 15 C)16 D) 18 E) 1213

438

üçgende alan

B D C

Yukarida verilenfere göre, IBDI orani kaçtir?IDCI

A E B

Yukarida verilenlere göre, A(EBFK) kaç br'! dir?

D)6n E)6

C ABCD paralelkenar

ICFI = 2·IFBI

IAEI = IEBI

A(CKF) = 6 br"!

C)8B) 9A) 12

13.ABC üçgeninde

m(BAÖ) = 60°

m(DAC) = 45°

IABI = 2../3 br

IACI = 4n br

A9.

A)~3 B)~2

C)~4

D)i3 E)~5

..o..Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç br'! dir?

B D C..o..

Yukarida verilenlere göre, A(AKE) kaç br'! dir?

E) 9D)8

ABC üçgeninde

[BE] açiortay

31ABI = 61BDI = 41DCj

A(KDCE) = 19 br"!

C)7B) 6

A

A)5

14.

ABC üçgeninde

G agirlik merkezi

DE II BC

A(DBE) = 10 br"!

C

A

B

10.

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

E x B 6 C

Yukarida verilenfere göre, IEBI = x kaç br dir?

...c:... ...c:...A(ABC) = A(DEC)

IDFI = 3 br

IEFI = 4 br

iBCi = 6 br

E) 6D)5

ABC üçgeninde

m(ABD) = 75°

m(DBc) = 75°

IABI = 4 br

iBCi = 6 brC

C)4B)~5

A)~5

..o..Yukarida verilenlere göre, A(DBC) kaç br'! dir?

15. A

E) 5D)4C)3B) 2

A

A) 1

11.

D..o..

Yukarida verilenlere göre, A(EDC) kaç br'! dir?

ABC dik üçgen

[DB], ADE nin açiorta

yi

iDCi = IECj = 6 br

IDEI = 4 brC

A

B

Yukarida verilenfere göre, IABI = x kaç br dir?

16.IABI = IEDI

IBEI = 3 br

IACI = 4n br

m(AEC) = 135°

[AD], ABC üçgeninde

açiortay

12. A

A) 6n B) 6 C) 8 D) 9 E) 12 A)4n B)6 C)6n D) 9 E)8n

439

üçgen de alan

ABC üçgeninin alaninin en büyük tamsayi degeri kaç

bi2 olabilir?

ABC üçgeninde

IABI = 6 br

iACi = 4)2 br

m(BAC) < 45°

ABC üçgeninde----

A m(DAC) = 90°

__ ~ m(ADE)' m(EDBI~IBDI=2brB 2 D C IADI - 3 br

IACI = 4 br...o...

Yukarida verilenlere göre A(EBD) kaç bi2 dir?

E) 2425

D)i5

C)~25

B)~25

A)~5

5.

E) 13D) 12C) 11B) 10

A

B

A) 9

1.

B D C

Yukarida verilenlere göre, A(AFC) kaç bi2 dir?

Sekilde----

m(BAC) = 90°

DB..L BC

IDBI = 10 br

IBC! = 5 br

IACI = 3 brC

D

5

..o..Yukarida verilenlere göre, m(ABD) kaç bi2 dir?

6.ABC üçgeninde

IAEI = IEBI

ICFI = 3·IFEI

A(BDFE) = 22 b~

A2,

A) 20 B) 24 C) 27 D) 28 E) 30 A) 16 B) 28 C) 30 D) 32 E) 36

E) 12D)9

ABC üçgeninde

IADI = IDEI = IEC!

DH..LBC

IDHI = 4 br

IBCI = 6 br

C)8

A

B) 6A)4

B H C..o..


7.

E)8D)9C) 425

D

B) 445

17

A) 485

B

Sekilde

AB..LAC

DC ..LBC

DE..LAC

IABI = 8 br

IDEI = 6 br

IBCI = 17 br..o..


3.

B D 4 C..o..

Yukarida verilenlere göre, m(ADC) kaç bi2 dir?

ABC üçgeninde

DE II BC

lAFi = IFEI = IECI

A(FKE) = 24 b~

A

B C

..o..Yukarida verilenlere göre, A(DBK) kaç bi2 dir?

8.ABC üçgeninde

IABI = 6-13 br

iDCi = 4 br----

m(ABC) = 60°

A4.

A)9 B) 10 C)12 D) 15 E) 18 A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 18

440

üçgende alan

B D C


C


ABCD dörtgeninde

[AC] ve [BD] köse

gendir.

31DEI = 21BEI

D 21AEI = 31ECI

A(ABE) = 18 bi-2

A

B

13.

...-...

m(DAC) = 45°

IABI = 4./2 br.<::>.. .<::>..

A(ABD) = A(ADC)

ABC üçgeninde

m(BAD) = 30°

A9.

A)3 B) 3./2 C)4 D)4./2 E) 3J6 A)6 B) 8 C)9 D)10 E)12

ABC dik üçgen...-... ...-...

m(ADB) = m(BDE)

IABI = 4 br

IDCI = 6 br

IDEI = 3 br

C

B

...o...

Yukarida verilenfere göre, A(DEC) kaç bi2 dir?

ABCD dik yamuk

~B 8 E C

...-... ...-...

m(ADB) = m(BDE)

DE -l DC

IBEI = 8 br

IDCI = 12 br...o...


10.

A) 32 B) 36 C) 40 D) 42 E) 48 A)4 B) 5 C)6 D) 8 E) 9

ABC üçgeninde

IADI = IDBI

DE ii BC

IFCI = 3·IBFI

A(ADE) = 12 bi-2

A

B F C...o...

Yukarida verilenlere göre, A(EFC) kaç bi2 dir?

15.

ABC üçgeninde

~B 6 D 8 C

IABI = 7 br

IADI = 5 br

IBDI = 6 br

IDCI = 8 br...o...

Yukarida verilenfere göre, A(ADC) kaç bi2 dir?

11.

A) 8J6 B) 7J6 C) 6J6 D) 5J6 E) 4J6 A)14 B) 16 c) 18 D) 20 E) 24

ABC bir üçgen

G noktasi ADC üçge


GH -l BC

IGHI = 3 br

IBDI = 4 br

A

B 4 D H E C...o...


16.ABC dik üçgeninin iç

teget çemberi, [Bc]

kenarina D noktasin- ~

da teget ~JJIBDI = 4 br

C IDCI = 12 br

A

B 12

...o...


12.

A)6 B) 8 c)9 D)10 E) 12 A)10 B) 12 C)15 D)16 E) 18

441

üçgende alan

1. A

:~8 c

ABC dik üçgen

DB.l BC

iACi = 4 cm

IABI = 3 cm


AB.l BC

IABI = 5 cm

IACI = 13 cm

IBDI = 2 cm~


B C


çemberinin yariçapi kaç cm dir?

A)2 B)3 C) .§.5E)~

5A) 1 B) 1,2 C) 1,5 D) 1,8 E) 2

ICDI = 8 cm

Yukarida verilenlere göre, A(AC"D) kaç cm2 dir?

2. ABC dik üçgenA

~AB.lAC m(ASÖ) = 75°75"

8------------------D IBCI=20cm20 C 8

8 C~


E)20D) 18

ABC üçgeninde

DE II BC

IBDI = 21ADI

A(DEC) = 4 cm2

C)16

A

B) 15A) 12

6.

E) 30D) 28c) 24B) 20A)16

~Yukarida verilenlere göre, m(AHG) kaç cm2 dir?

8 6 C~

Yukarida verilenlere göre, A(IBC) kaç cm2 dir?

IABI = 5 cm

IBCI = 6 cm

IACI = 7 cm

ABC üçgeninde

I, iç' teget çemberin

merkezi

A7.ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

GH .lAB

m(ABC) = 45°

IABI = 12 cm

IDCI = 3J2 cmc

3.

B 4 N C~

Yukarida verilenlere göre, A(NHC) kaç cm2 dir?

A)4 B) 6C)8D)10E) 12

8.

4.

AABC dik üçgen

..--....

..--....

m(BDE) = m(EDC) ~IADI = 8 br

.ic

~IDCI = 5 br

~

B

C

IBDI = 10 br~Yukarida verilenlere göre, A(BDE) kaç b~ dir?A) J3

A

B)2J3 C) 3J2 D)2.J6 E)3

ABC dik üçgen

[AN] açiortay

NH .lAC

IABI = 12 cm

IBNI =4 cm

A)5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 A)4 B) 6 C)8 D)10 E) 12

442

üçgende alan


AD II FE

IBDI = IDEI = IECI

A(ADEF) = 18 cm2

13. A ABC üçgeninde.•....... .•.......

m(ACB) = 2.m(ABC)

IACI = 3 cm

IBci = 8 cm

E) 40D) 38

D) 108 E) 114

ABII DC

AC i. DC

IABI = 6 cm

IBCI = IDci = 10 cm

D)2.ff1 E).ff1

C) 102

C) 36

B) 96

B) 34

B)8.ff1 C)6m

D

Yukarida verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

B 8 C.-.Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

10 .-. .-.Yukarida verilenlere göre, A(ABE) + A(EDC) toplami

kaç cm2 dir?

A) 92

A) 32

A)6.ff1

15. 17DBC i. DC

A IAB i = 8 cm9

IBci = 12 cm

IDci = 9 cmB

12CIADI = 17 cm

14.

B DE C

.-.Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

A)25

B) 32c) 36D) 40E) 42

10.

AABC üçgeninde

.•.......m(BAC) = 30·

IABI = 13 cmIACI = 10 cm31BDI = 21DCIB

C

Yukarida verilenlere göre, A(ABD) kaç cm2 dir?A)13

B) 24C) 28D) 36E) 42

11.

AABC üçgen

[AD] ri [BE] = {K}IDci = 21BDI31Eci = 21AEI

B

C

.-.Yukarida verilenlere göre, A(~E) orani kaçtir?A(KBD)A) 5,2

B) 5,4C) 5,6D) 5,8E)6

E) 6D)~3

ABC üçgeninde

[AE] i. [BC]

[CD] i. [AB]

IBci = 8 cm

IABI = 10 cm

C

c)5

A

B).!i3

A)~5

B

ICDI + IAEI = 12 cm olduguna göre, ICDI kaç cm dir?

16.

E) 36D) 30

ABC üçgeninde

G, agirlik merkezi

DE ii BC

C

c) 27

A

B) 24

B

A) 21

L

.-. .-. .-.A(KDG) + A(LGE) = 6 cm2 olduguna göre, A(ABC) kaç

cm2 dir?

12.

443

üçgende alan

E) 24D) 20C) 18B) 15

ABC üçgen

A 10 D AB.tAC

"'~4 / ADIIBC~ IABI=3cmB~--------c iAci =4 cm

IADI = 10 cm...o...

Yukarida verilenlere göre, A(ACD) kaç cm2 dir?

A)12

5.

E) 16D) 12

ABC üçgeninde...-...

m(BAN) = 45·

m(NAC) =45·

iAci = 12 cm

lANi = 3../2 cm

c

C) 10B) 8

A

B N

...o...Yukarida verilenlere göre, A(ABN) kaç cm2 dir?

A)6

1.

6.


AB .tAC

IBCI = 12 cm

A(ABC) = x cm2

B C B

A

c

ABC üçgeninde

lAFi = 31DFI

IECI = 31EFI

IBDI = 31EDI

Yukarida verilenlere göre, x in en büyük tamsayi de·

geri kaçtir?Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

A(DEF)

A) 12 B) 24 C) 36 D) 40 E) 48 A)15 B) 16 C)17 D)18 E) 19

3.

B

A ABC üçgeninde

AB .tAC

IBCI = 12 cm

A(ABC) = x cm2

7.

B

A

c

ABC üçgeninde

D, iç teget çemberin

merkezi

21ABI = 31BCI = 41ACI

Yukarida verilenlere göre, x in en kücük tamsayi de·

geri kaçtir?

A)!?5

A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 6

Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?A(DBC)

B)~ C)~ D)~ E)~7 5 4 3

A ABC üçgeninde

AB .tAC

DE /i BC

IABI = IACI

IADI =6 cm

B C IECI = 2 cm...o...

Yukarida verilenlere göre, A(KBC) kaç cm2 dir?

8.ABC üçgeninde

IABI = iACi...-... ...-...

m(BAC) = 2.m(DAB) ~

IADI = IBCI = 6 cm ~~

c

A

D

6

...o...Yukarida verilenlere göre, A(ABD) kaç cm2 dir?

4.

A)6 B) 8 c)9 D) 10 E) 12 A)6 B) 8 C)10 D)12 E) 14

444

üçgende alan

B cYukarida verilenlere göre, A(ABC) nin en büyük de

geri kaç bi2 dir?

9. A

c

ABC dik üçgen

BD.l OC

IABI = 15 br

IBCI = 20 br


IABI = 6 - x br

IACI = 2x -4 br

....oiii::::....~ ~A(BAD) = A(BDC) olduguna göre, A(DAC) kaç bi2 dir? A)4 B) 8 C)9 0)10 E) 12

A) 30 B) 36 C) 42 D) 45 E) 48

D) 4)3 E) 8

ABC ve DEF eskenar

üçgen

IABI = 9 br

IDFI = 6 br

21AGI = 51GDI

F

C)6

A

B) 3)3

B

Yukarida verilenlere göre, A(GEC) kaç bi2 dir?

A) 2)3

14.

ABC üçgen

DH.l BH

IABI = 31BEI

IBDI = 31DCI

IEDI = 4 cm

IHBI = 3 cmc

A

B D

..o...Yukarida verilenlere göre, A(ABC) kaç cm2 dir?

10.

A)18 B) 21 C) 24 0)27 E) 30

A

B K c

A(FBK) + A(KGC) = 18 bi2 olarak verilmistir.

Buna göre, A(FDH) + A(HEG) kaç bi2 dir?

E) 60)8

ABC üçgeninde

DE ii FG ii BC

IADI = IDFI = IFBI

C)12

A

B) 16A)18

15.

AB .lAC

AK.l BK

IAKI = 4 cm

IBKI = 2 cm

B c iACi = 8)5 cm

Yukarida verilenlere göre, A(A"K"C) kaç cm2 dir?

11.

A) 24 B) 25 C) 28 D) 32 E) 36

ABC üçgeninde

AB.l AC

AH.l BC

C BD.l BC

A

B

IBHI = IBDI

D IABI=12cm..o...

Yukarida verilenlere göre, A(DBC) kaç cm2 dir?

16.

/f\~ABC dik üçgen

iACi = 7 br

~ .~ IBEI=10br_ IDBI = IECI = 15 brB 10 E 15 cYukarida verilenlere göre, A(DBE) kaç bi2 dir?

12.

A)28 B) 25 C) 24 D) 21 E) 20 A) 48 B) 56 c) 64 0)68 E) 72

445

FARKLI PENCERELERDEN BAKiS EEiini.:i:iBir geometri sorusunun çözümü çogu kez birden çok yöntemle yapilabilir. Bu durumu fark

etmeniz için "FARKLI PENCERELERDEN BAKiS" adiyla bir bölüm açtik. Bu bölümde bir

sorunun farkli çözümlerini verdik. Sinif ortaminda ya da bireysel çalismalarda farkli çözüm

yollari aramak, yöntem gelistirmeye yardimci olacaktir.

Ögrencilerimizden bize gelen yakinmalardan biri, "Hocam sizin yaninizdayken çözebiliyo

rum; ama sinavda çözemiyorum." dur. Bu yakinmanin psikolojik temeli olmasinin yaninda

gerçekligi de vardir. Çünkü ögretmen, bir konuyu anlatirken ya da bir testten soru çö

zerken konunun adini koyar. Üzerinde "Kenarortay" yazan bir testteki sorunun, kenarortay

kurallariyla çözülecegi açiktir. Bu da ciddi ölçüde ögrenciye kopya verir; kolaylik saglar.

Sinavda böyle bir kopya alamayan ögrenci, dogalolarak ögretmeninin yanindaki basariyi

gösteremez. "FARKLI PENCERELERDEN BAKiS" bölümünde yapilan çalismayla,

ögrencinin daha degisik ve özgür bakma yetisi edinecegini düsünüyoruz.

Soru -1A

B c

ABC üçgeninde

m(BAD) = 60·/'-..

m(DAC) = 45·

IABi = 2../3 br

iACi = 412 br

farkli pencerelerden bakis

Yukarida verilenlere göre, IBDI orani kaçtir?IDCI

Çözüm 1:

A

B

[BK].L AD ve [CL].L AL çizilirse, ABK üçgeninin iç açilari

30·, 60·, 90· olur ki IBKI = 3 cm elde edilir.

ACL üçgeninin iç açilari 45·, 45·,90· olur ki ICLI = 4 cmelde edilir.

DKB - DLc olup benzerlik orani IKBI =~= IBDI dir.ILCI 4 IDCI

Çözüm 2:

[DL] .LAB ve [DK].L AC çizilir.

IADI = k ise, IDKI = ~ k ve IDLI = .13 k olur.",2 2

1 3A(ABD)=-IABI.IDLI =-k

2 2

A(ADC) = .!.IACI.IDKI = 2k2

3IBDI A(ABD) "2k 3IDCI = A(ADC) =ik = '4

Çözüm 3:A

B

IADI = k olsun.

A(ABD) = '!'IABI.IADI.sin60° = ~k2 2

A(ADC) = iIACI.IADi.sin450= 2k

3

IBDI = A(ABD) = "2k =~IDCI A(ADC) 2k 4

Çözüm 4:

A

B

ABD üçgeninde sinüs teoremi:

2.13 .13~= IABI ~ IBDI= . 2sin60° sina sina

ADC üçgeninde sinüs teoremi:

4.12 . .12~=IACI ~ IDCI= . 2sin45° sin~ sin~

a + ~ = 180· oldugundan sina = sin~

IBDI 3. 4 3IDCI = sina' sin~ ='4

3sina

4

sin~

c

c

452

Soru - 2 farkli pencerelerden bakis

B

A ABC dik üçgen

DE..L DC

IDEI = IBEI = 6 cm

IEC! = 10 cm


Çözüm 1: Çözüm 3:A A

B6 E 10

.......•.. .......•..

m(DBE) = CL ve m(DAC) = p olsun.....................

m(BDE) = m(DBE) = CL , çünkü IBEI = IDEI

m(ADC) = 90 - CL = P

L>..

DEC de Pisagor'dan IDCI = 8 cm

IACI = IDCI = 8 cm, çünkü m(CDA) = m(DAC) dir.

Çözüm 2:A

B

EN ii AB çizilsin.L>..

DEC de açiortay teoreminden,

IDNI = 3 cm ve INC! = 5 cmL>.. L>..

DEN - CBA oldugundan

x 316="6 => x=8 cm

B

10

EDC de Pisagor'dan IDC! = 8 cm

IDHI.IEC! = IDEI.IDC! oldugundan IDHI = 4,8 cmL>..

DEH de Pisagor'dan IEHI = 3,6 cmL>.. L>..DHB - ACB oldugundan

Çözüm 4:

A

B

[DK] ii [Bc] çizilsin

KOC - DCE oldugundan

IKCI IDKI 8-6-=-8-=10 => IKCI=4,8 cm, IDKI=6,4 cmL>.. L>..

ADK - ABC oldugundan

IAKI IDKIIACI = IBCI => IAKI=3,2 cm

IAC! = IAKI + IKC! = 8 cm

453

Soru - 3A


ABC ve DBF üçgen

B F

IADI = 3 cm

IDBI = 6 cm

IBCI =4 cm

ICFI =xcm.a.. .a..

A(ADE) = A(ECF) olduguna göre, x kaç cm dir?

Çözüm 1: Çözüm 3:

B F B

A

F

.a.. .a..A(ABC) = A(DBF)

i· IABI·IBCI .sin~ =i IDBI ·IBFI·sin~

9.4 = 6.(4 + x)

2=x

.a.. .a..BDH - BAH' oldugundan IDHI = 6h ve IAH'I = 9h.a.. .a..A(ABC) = A(DBF)

4.9h = (4 + x).6h2 2

x=2

Çözüm 4:A

Çözüm 2:

Bx

.a.. .a..A(ADE) = A(ECF) ise, DC /i AF dir.

.a.. .a.. 6 4ABF - DBC oldugundan - = - => x = 2

3 x

454

B

.a.. .a..A(ADE) = A(FEC)

i·IDE i· IAE l·sinE = i IEC I·IEFI .sinE

IDEI = IECIIEFI IAEI

Menelaus teoreminden

3 4 IFEI x 6 IAEI

9·x·IEDI = x+4 ·3·IECI

1 4 2x3·x= x+4

x=2

F

Soru- 4

A ABC üçgeninde


Bx

....•..•• ....•..••

m(BAC) = 2.m(ACB)

IABI = 4 cm

IACI = 6 cm

c olduguna göre, IBCI = x kaç cm dir?

Çözüm 1:

A

Çözüm 3:A

B c B c

[AN] açiortayini çizelim

Açiortay teoreminden IBNI = 2k ve iNCi = 3k..................

m(NAC) = m(ACN) => lANi = 3k

Açiortay teoreminden

IANi2= IABI·IACI - IBNI·INCI

9k2= 4.6 - 6k2 => 15k2= 24

Çözüm 2:

A

""""" """""

ANB -CAB

2: = :k => k=~

IBCI = 5k = 2ffO cm

Çözüm 4:

B

Sinüs teoreminden

c

A

x

cOSa- komsu kenar = 1: => ~ =1: => x = 4k, P= 3khipotenüs 6 8 6

42_k2=62_9k2 => k=J%

IBCI= 4k = 2/10 cm

4 x 4 x x--=-- => --=---- => cosa=sina sin2a sina 2.sina.cosa 8

Kosinüs teoreminden

42 = 62 + x2 - 2.6.x.cosa

16 = 36 + x2 - 2.6.x. ~8

16=36+x2- ~x22

x2 = 40 => x = 2ffO cm

455

A(ABC) = A(ABC)

~.4.6.sin2a =~.6.x.sinax

=> cosa=-8

- ---_ .._--~_.------- ----- ._.---_.


ABC üçgen

KLMN kare

AB.lAC

m(ABC) = 15·

INKI = 1 cm



ABC üçgen i, (15·. 75·, 90·) üçgenidir.

Bu tür üçgenlerde hipotenüs, hipotenüse indirilen yük

sekligin 4 katidir.

[AH] .1 [Bc] çizilsin.

IAEI = k ise, IAHI = k + 1 ve IBCI = 4(k + 1) olur."""'" """'"

ANM - ABC oldugundan,

IAEI = INMI ~ _k_=_1_ ~ k=..!.IAHI IBCI k+1 4(k+1) 4

IBCI = 4(k + 1) = 4( ±+1) = 5 cm olur.

2k

R

J3k

B 2 P 13 K 1 L k C

m(BNP) = 15· olacak sekilde [NP] çizilirse

m(PNK) = 60·. m(NP'k) = 30· olur.

PNK üçgen i (30·, 60·, 90·) üçgeni olup IPKI = 13 cm ve

IPNI = IBPI = 2 cm olur.

Ayni çalisma MLC üçgeninde yapilir.....••.••.•

m(MCR) = 15· olacak sekilde [CR] çizilirse m(RCL) = 60·

ve m(LRC) = 30· olur.

RCL üçgeni (30·, 60·, 90·) üçgeni olup sekildeki gibi

ifadelendirilirse IMLI = 2k + 13k = 1 olup k = 2 - 13 cm

elde edilir.

Buna göre, IBCI = 2 + 13 + 1 + 2 - 13 = 5 cm olur.

B c

Çözüm 2:

A

Çözüm 4:

cBK H L

....••.••.• ....••.••.•

m(ABC) = m(ANM) = 15· (yöndes)

(15·, 75·, 90·) üçgeninde hipotenüs, hipotenüse indirilen

yüksekligin 4 katidir.

IAEI = INMI = 0,25 cm olur.4

IAHI = 1,25 cm

ABC üçgeni de (15·, 75·. 90·) oldugundan,

IBCI = 4.IAHI = 5 cm olur.

A

~B~ CDK H L

[AD] kenarortayi çizilirse,

INEI = IEMI = IAEI = ..!. cm ve IBDI = IDCI olur. ~2 ~........... i...

IEHI = IMLI = 1 cm ve m(ADC) = 30· oldugundan EDH JJüçgeni (30·, 60·, 90·) üçgeni olacaktir.

IEHI = 1 cm ise IDEI = 2 cm olur. Dolayisiyla,

1 5IADI = IAEI + IEDI = "2 + 2 = "2 olur.

IBCI = 21ADI = 5 cm dir.

456

Soru - 6

B

A

E

ABE üçgeninde

AD.L BC

IBFI = iFCi

31BDI = 21DEI

IABI = 4 cm

olduguna göre, IECI = x kaç cm dir?


i


B

E

...o..

ABC de AF hem kenarortay hem yükseklik oldugundan ay-...o..

ni zamanda açiortaydir. Yani ABC ikizkenar olup...o..

iACi = 4 cm olur. ABE de açiortay teoremi uygulanirsa

Çözüm]:

A dan baslayarak Menelaus uygularsak

IACI.IDEI.IBFI=1 ~ _4_.3k.1=1 ~ x=2cmIAEI IBDI IFCI 4+x 2k

B

E

...o..ABC de A(ABF) = A(AFC) = A olsun. FE çizelim

iBO i = 3. ~ A(BDF) = 2B ve A(FDE) = 3B olsun .IDEI 3

...o..BEC de FE, BC yi ikiye ayirdigindan,

A(BEF) = A(FEC) = 5B olur.

ABE de IBDI =3.= A+2B = A(ABD) ~ A=10BIDEI 3 A+8B A(ADE)

A"'FE de A(AFC) =~= 10B =~= IACI ~ x=2cmA(FCE) 5B 5B x ICEI

Çözüm 6:A

~ _4_=3. ~ x=2cm4+x 3

IACI = IFCIIAEI IHEI

B

~......... 2k Di 3k

••( ••••••••••••• o\:A •••••••••••••• hi o\:A ••••••..•••••.K H E

AB yi x cm uzatirsak, IAKI = IAEI = 4 + x olur....o.. ...o..

AH.l KE ve IKHI = IHEI olur. BFD - EHD dir.

IBFI = IBDI = 3. ve IBFI = WCI ~ WCI = 3.IHEI IDEI 3 IHEI 3...o.. ...o..

AFC -AHE

...o..

ADE de CH /i AD oldugundan Tales uygularsak,

~=~ ~ x=2cm4 2Ic

...o..AD /i HC çizelim. DF, BHC de orta taban oldugundan

IDHI = 2k ~ IHEI = k olur .

Çözüm 4:

ABE üçgeninde A(ABD) = IBDI =3.A(ADE) IDEI 3

AD açiortayoldugundan m(BAD) = m(DAE) = ct olsun.

_A_(A_B_D_)=_·~_IA_B_i_.I_A_D_i.s_in_Ct_~ _4_=3. ~ x=2cm

A(ADE) ~IAEi.IBDi.sinCt 4+x 3

Çözüm 3:

457


A

B

ABC eskenar üçgen.....•..

m(AED) = 100°

IBEI = ICDI = 5 br

olduguna göre, m(OAE) = x kaç derecedir?


A

Çözüm 2:

BC 5•• 6Ö:·SÖ".V" F

5 60:./5

b[BC] yi 5 cm (F noktasina kadar) uzatalim.

D noktasi ~F yi birlestirirsek ICFI = ICDI = 5 br olan birikizkenar FCD OIUScir

......•....•. ~~ ~m(ACB) = m(FCD) = 60· oldugundan

m(CFD) = m(FDC) = 60· olur.

Böylece FCD eskenar üçgen olur ve IFOI = 5 br olur....ö.. ...ö..EFD - ABE (K.A.K benzerlik kuralindan)

Benzerlikten IAEI = IEDI olur ve AED üçgeni ikizkenar

üçgen olur......•..

m(AED) = 100· oldugundan

100 + 2x = 180° ~ x = 40° olur.

D

B

D...ö..

ABC de, [EF] yi [AB] ye paralelolarak çizelim ......•.. .....•..

m(FEC) = m(ABC) = 60° (yöndes)................m(EFC) = m(BAC) = 60° (yöndes)...ö.. ...ö..AFE - DCE (K.A.K) oldugundan IAEI = IEDI olur.

AED ikizkenar üçgeninde m(AED) = 100°................m(DAE) = m(ADE) = x

100° + 2x = 180° ~ x = 40° dir.

B

[EF] yi [AD] ye dik olarak çizelim.

IECI = 2a dersek iFCi = a olur. ~ABC eskenar üçgen oldugundan iBCi = iAci = 2a + 5 olur ~.'::1IFCI = a oldugundan lAFi = a + 5 olur. .i:e...ö..

AED de lAFi =IFDI = a + 5 ve [EF].L [AD] oldugundan

(üçün ikisi ise ayni zamanda biridir kuralindan) AED

ikizkenar üçendir......•..

m(AED) = 100° oldugundan

100 + 2x = 180° ~ x = 40° olur.

458


D

A ABC üçgen

AD 1. AC

IBEI = iEC!

IABI = 8cmc

iAC! = 6 cm

IBDI = 2 cm



D

A

E den FE /i AC çizelim.

FE orta taban oldugundan IFEI = 3 cm""""'-

IFBI = IFAI = 4 cm dir. DFE de Pisagor'dan

x2 = 32 + 62 ~ X = 3J5 cm

Çözüm 2:......... 8 4

m(ABC) = ct olsun. COSet = - =10 5""""'-

DBE de Kosinüs teoreminden

x2 = 22 + 52 - 2.2.5.cos(180' - et)

x2 = 4 + 25 - 20. (-~) ~ x = 3J5 cm

Çözüm 3:A

D

""""'-

D ile C yi birlestirelim. ABC de Pisagor'dan

IDCi2 = IADi2 + IACi2 ~ IDC! = 2M cm""""'-

BDC de [DE] kenarortayolur.

Kenarortay teoreminden,

BC yi uzatip BF 1. FD olusturalim.""""'- """"'-

ABC - FBD olacagindan

IFBI = IFDI = IBDI ~ IFBI = ! cm ve LFOI= ~5cmIABI IACI IBCI 5

""""'-

FDE de Pisagor'dan

x=3.,f5 cm

Çözüm 5:

A

D

AE yi çizelim.

Muhtesem üçlüden IAEI = 5 cm olur.""""'-

AED de Stewart teoremi uygularsak,

2 2

52 = 8.x + 2.5 8.28+2

x=3.,f5 cm

459

Soru - 9A

Çözüm 1:

D


AB 1- BC

AC 1- CD/'.. /'..

m(BAC) = m(CAD)

iBCi = 2 cm

IABI = 4 cm


Çözüm 4:

IACI = 2J5 cm...o.. ...o..

ABC-ACD

A

Çözüm 2:

A

Çözüm 3:zx

A

[DC ve [AB uzatilip E de

kesistirildiginde AED

ikizkenar üçgeni olusur.

Çünkü [AC) hem yük

seklik hem de açiortay-D dir.

CAE de Öklit teoremin

den

22 = 4·IBEI

IBEI = 1 cm

IADI= IAEI= 4 + 1 = 5 cm

Açiortayin bir noktasindan kollarina indirilen

dikler esit oldugundan,

ICHI = iBCi = 2 cm

D IAHI = IABI = 4 cm

Öklit teoreminden,

ICHi2 = IAHI·IHDI

IHDI = 1 cm

IADI = IAHI + IHDI= 5 cm

ABC de Pisagor teore-minden ~

~~

IABI = IACIiACi IADI

IADI=5cm

AD ve BC uzatilip E de kesistirildiginde [AC). ABE üçge

ninin açiortayi olur. Açiortay teoreminden IAEI = 2k ise,

ICEI = k olur. ABC üçgeninde Pisagor teoremi uygularsak,

IACl2 = 20 bulunur.

IACi2 = IABI·IAEI-IBei.ICEI

20 = 4.2k - 2k => k = ~3

...o.. ...o..ACE - CDE

IAEI =ICEI => IDEI=~cmICEI IDEI 3

20 5IADI = IAEI-IDEI = 3-"3= 5 cm

Çözüm 5:

A

D

Soru buradan da ÇÖzüiüyor.Devam ettirebilirmisiniz?

460

Soru -10 farkli pencerelerden bakis

ABC üçgeninde

IAEI = iEC!.••.....••

m(EDC) = 30°

IBDI = 2 cm

iDC! = 8 cm

IDEI = 6 cm

c

A

B 2 D 8

Yukarida verilenlere göre, A(ABe) kaç cm2 dir?


A A

B c B c

A(ABC) =..!.IAHI.IBCI=..!..6.10 =30 cm22 2

[EK] 1. [BC] çizilirse DEK üçgeninin açilari 30°, 60°, 90°

olur. IEKI = 3 cm elde edilir."""'- """'-

CEK - CAH olup,

IEKI ICEI--=-- =>IAHI ICAI

3 1-=- => IAHI=6 cmIAHI 2

"""'- 1 1 1 2A(EDC) =-.IEDI.IDCI.sin30o=-.6.8.- =12 cm222

IAEI = IECI oldugundan

A(DAE) = A(EDC) = 12 cm

IDC! = 41BDIoldugundan, A(ADE) = 4.A(ABD) dir.

Bundan dolayi A(ABD) = 6 cm2 dir.

A(ABC) = A(ABD) + A(ADC) = 30 cm2

Çözüm 4:

A

Çözüm 2:

A(CED) ICEI.ICDI 8.k 2A(CAB) -ICAI.ICBI = 10.2k =5"

A(EDC) = 12 cm2 ise, A(ABC) = 30 cm2

c

Tabanlar orani, alanlar oranini verdiginden yukaridaki

sekil üzerinde alanlar belirtilmistir.

A(EDC) = 8S = 12 cm2 ise A(ABC) = 20S = 30 cm2

461

Documents

Karekök Yayınları Geometri 1