Karakterizacije geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora · 2017-08-25 · nog reda po svim argumentima u nekoj okolini svake taqke. Za r = ωone su po definiciji vixestruke

Univerzitet u Nixu

Prirodno - matematiqki fakultet

Departman za matematiku

Karakterizacije geodezijskihpreslikavaǌa Rimanovih

prostora(MASTER RAD)

Mentor:Prof. Dr Mia Stankovi

Student:Dejan Staji

broj indeksa: 59

Nix, 2017.

SADRAJ

1 Tenzorska analiza 51.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Invarijanta, vektori i tenzori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Algebarske operacije sa tenzorima . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Koeficijenti koneksije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Kovarijantni izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Riqijev identitet i Rimanov tenzor . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Krive i povrxi na mnogostrukostima . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostora 232.1 Osnovne teoreme geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora . . . 232.2 Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavaǌa . . . . 272.3 Geodezijska preslikavaǌa simetriqnih i rekurentnih Rimanovih pros-

tora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Ekvidistantni Rimanovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5 Normalna geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostora . . . . . . . 41

3 Osnovne teoreme teorije geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora 473.1 Novi oblik osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavaǌa... . 483.2 Invarijantna transformacija Rimanovih prostora . . . . . . . . . . 523.3 Zatvoren sistem osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslika-

vaǌa... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Stepen mobilnosti Rimanovih prostora u odnosu na geodezijska presli... 583.5 Geodezijska preslikavaǌa obostrano rekurentnih Rimanovih prostora 62

3

4 SADRAJ

Deo 1

Tenzorska analiza

Data glava ima uvodni karakter. U ǌoj emo dati bez dokaza teoreme, alisa potrebnim objaxǌeǌima, osnovnog tenzorskog raquna, Rimanove geometrijei teorije prostora linearne koneksije, koja e se koristiti u daǉem. De-taǉnije o ovim temama moete nai u kǌigama P.A. Xirokova, P.K.Raxevskog,A.P.Nordena i drugim.

1.1 Uvod

Posmatrajmo n-dimenzionalnu mnogostrukost realnog diferencijabilnogprostora Xn klase Cr (r>1). ǋegove elemente, kao i obiqno, nazivamo taqka-ma i oznaqavamo sa M,N,M1 i t.d.

Sve razliqite taqke prostora Xn, kao xto je poznato, pripadaju bar jed-noj ǌegovoj koordinatnoj oblasti Ω. Neka proizvoǉna taqka M ∈ Ω imalokalne koordinate x1, x2, . . . , xn. One mogu imati proizvoǉne vrednosti unekoj oblasti D:

xk0 < xk < xk1 (k = 1, 2, . . . , n)

Kada je taqka M ∈ Ω fiksirana, mi emo oblast D, kojoj pripadaju koor-dinate te taqke, nazvati okolina taqke M .

U oblasti Ω ili u preseku sa drugom koordinatnom oblasti Ω′, uvek se moeprei iz jednog sistema koordinata x1, x2, . . . , xn u drugi x

′1, x′2, . . . , x

′n transfor-macijom

x′k = x

′k(x1, x2, . . . , xn) (k = 1, 2, . . . , n) (1.1)

Funkcije x′1(x1, x2, . . . , xn), x

′2(x1, x2, . . . , xn), . . . , x′n(x1, x2, . . . , xn), koje pripadaju

klasi Cr, imaju neprekidne parcijalne izvode po svim argumentima do r-tog, ukǉuquju-i i r-ti, a Jakobijan je razliqit od nule u svakoj taqki:

5

6 1. Tenzorska analiza

det

∥∥∥∥∂x′k

∂xi

∥∥∥∥ = 0 (k, i = 1, 2, . . . , n) (1.2)

Kao posledica zakona transformacije (1.1), preslikavaǌe lokalnog sistema ko-ordinata u okolini neke taqke je jednoznaqno odreeno, tj. moe se ekvivalentnodefinisati preslikavaǌe

xi = xi(x′1, x

′2, . . . , x′n) (1.3)

prvobitnih koordinata x1, x2, . . . , xn taqke M kao funkcija od ǌenih novih koor-dinata x

′1, x′2, . . . , x

′n. U daǉem tekstu emo lokalni sistema koordinata nazivatidopustivim.

Ako je r = ∞, funkcije (1.1) i (1.3) imaju neprekidne parcijalne izvode proizvoǉ-nog reda po svim argumentima u nekoj okolini svake taqke. Za r = ω one su podefiniciji vixestruke i analitiqke, tj. dopuxtaju u nekoj okolini svake taqkepredstavǉaǌe u obliku konvergentnog stepenog reda.

Nadaǉe emo pretpostavǉati postojaǌe i neprekidnost svih tih proizvoǉno iza-branih funkcija, koje se koriste u dokazu. Naxe istraivaǌe e ii, po pravilu,u realnom vixestrukom diferencijabilnom prostoru Xn konaqne klase Cr i pritomlokalno, tj. u nekoj okolini proizvoǉne taqke.

Geometrijska, mehaniqka, fiziqka i mnoga druga svojstva realnih tela, procesai pojava u matematiqkim istraivaǌima qesto se opisuju uporednim sistemimaN funkcija fA (A = 1, 2, . . . , N) od koordinate pomenute taqke M vixestrukogdiferencijabilnog prostoraXn ili nekog ǌegovog potprostora, definisanog u nekomlokalnom sistema koordinata i promeni u rezultatu neke ǌene transformacije ob-lika (1.1), (1.3) odreenog pravila, na primer,

f′A(x′) = FA(x′; ∂x′; ∂2x′; . . . ; ∂px′; f). (1.4)

Svaku od ovih funkcija nazivamo poǉem geometrijskog objekta, zadanom na Xn ilinekom ǌegovom podskupu (ili samo u jednoj taqki). Krae, poǉe geometrijskog objektase qesto naziva samo geometrijski objekat. Svaku od funkcija f 1(x1, x2, . . . , xn),f 2(x1, x2, . . . , xn),. . . , fN(x1, x2, . . . , xn) nazivamo redom po ǌenom broju komponentigeometrijskog objekta u koordinatnom sistemu x1, x2,. . . , xn, a f

′1(x′1, x

′2, . . . , x′n),

f′2(x

′1, x′2, . . . , x

′n), . . . , f′N(x

′1, x′2, . . . , x

′n) u novom sistemu koordinatax

′1, x′2, . . . , x

′n u istoj taqki M .

Zakon (1.4) nazivamo zakonom geometrijske transformacije pri promeni sistemakoordinata oblika (1.1). U (1.4) FA(A = 1, 2, . . . , N) se javǉaju odreene funkcijenovih koordinata x

′1, x′2, . . . , x

′n, od kojih je argument odreen jednim predstavnikomx′ bez broja. Ove funkcije koje, u opxtem sluqaju, zavise od prvog, drugog itd. donekog reda p (ukǉuqujui i ǌega) parcijalnih izvoda funkcija (1.1) su oblika

∂i1x′k =

∂x′k

∂xi1, ∂2i1i2x

′k =∂2x

′k

∂xi1∂xi2, . . . , ∂pi1i2...ipx

′k =∂px

′k

∂xi1∂xi2 . . . ∂xip,

1.2. Invarijanta, vektori i tenzori 7

(k, i1, i2, . . . , ip = 1, 2, . . . , n).

Iz svake grupe datih promenǉivih u FA eksplicitno je zadat samo jedan predstavnikbez broja: ∂x

′, ∂2x

′, . . . , ∂px

′. Dakle, FA zavisi i od sastava geometrijske funkcije

f 1(x1, x2, . . . , xn), f 2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fN(x1, x2, . . . , xn) u starom sistemu koor-dinata. U ǌima, kao i u proizvoǉnim funkcijama (1.1), pretpostavimo da su poqetnekoordinate x1, x2, . . . , xn taqke M izraene redom sa (1.3) preko svojih novih koor-dinata x

′1, x′2, . . . , x

′n. Uslov (1.4) mora biti ispuǌen u svakoj taqki M ∈ Xn, gdeje definisana geometrijska funkcija.

U zavisnosti od specifiqnosti formule (1.4) definixemo klasifikaciju ge-ometrijskog objekta. Na primer, kada se u FA javǉaju linearne funkcije f 1(x),f 2(x), . . . , fN(x), geometrijsku funkciju nazivamo linearnom. Kada FA sadriparcijalne izvode funkcija (1.1) i (1.3) prvog reda, geometrijski objekat nazivamoobjektom prvog reda, i t.d.

1.2 Invarijanta, vektori i tenzori

Najjednostavniji, veoma vaan, geometrijski objekt je invarijanta. U svakom lokal-nom sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn i x

′1, x′2, . . . , x

′n na Xn je definisana funkci-jama f(x1, x2, . . . , xn) i f

′(x

′1, x′2, . . . , x

′n) respektivno. Zakon promene pri promenisistema koordinata (1.1) i (1.3) glasi:

f′(x

′1, x′2, . . . , x

′n) =

= f(x1(x′1, x

′2, . . . , x′n), x2(x

′1, x′2, . . . , x

′n), . . . , xn(x′1, x

′2, . . . , x′n)).

Krae ga zapisujemo:f

′(x

′) = f(x(x

′)), (1.5)

xto jasno ukazuje na samo jednog predstavnika (bez broja) iz svake grupe promenǉivih- poqetnih i transformisanih koordinata taqke M .

Formula (1.5) nam govori, da invarijanta f u svakoj taqki M ∈ Xn u svim siste-mima koordinata ima istu brojevnu vrednost. Iz tog svojstva proizilazi termininvarijante za geometrijski objekat sa zakonom transformacije (1.5).

Nexto sloeniji geometrijski objekat je kontravarijantan vektor.U svakom sistemu koordinata iz Xn on je odreen skupom od n realnih funkcijaλ1(x1, x2, . . . , xn), λ2(x1, x2, . . . , xn), . . . , λn(x1, x2, . . . , xn) poreanih u odreenomporetku, od koordinate taqkeM u poqetnom sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn i odgo-varajue funkcije λ

′1(x′1, x

′2, . . . , x′n), λ

′2(x′1, x

′2, . . . , x′n), . . . , λ

′n(x′1, x

′2, . . . , x′n)

u novom sistemu koordinata x′1, x

′2, . . . , x′n odreene sledeim zakonom promenǉi-

vih:λ

′k(x′1, x

′2, . . . , x′n) = λα(x1, x2, . . . , xn)∂αx

′k(x1, x2, . . . , xn).

Ovo moemo krae zapisati u obliku:

λ′k(x

′) = λα(x)∂αx

′k(x) (k, α = 1, 2, . . . , n), (1.6)


izraenom sa samo jednim predstavnikom (bez broja) iz proizvoǉne grupe promenǉi-vih. Desna strana (1.6) za proizvoǉno fiksirano k po indeksu α predstavǉa sumuod 1 do n, iako je znak sume Σ izostavǉen. Nadaǉe svaki termin, koji sadri dva in-deksa, pri qemu je jedan gore, a drugi dole, oznaqava sumu po svim svojim vrednostimaod 1 do n. Indeksi sumiraǌa emo, po pravilu, oznaqavati malim grqkim slovimaα, β, γ, . . . , α1, β1, γ1, . . . da bi se razlikovali od ostalih, takozvanih esencijalnihindeksa, koje emo oznaqavati malim latiniqnim slovima, na primer, h, k, l, i, j, . . .

Desna strana jednakosti (1.6), kao i u (1.4), izraena sa x1, x2, . . . , xn, od kojihzavise λα(x) i ∂αx

′k(x) saglasna je sa izrazom (1.3) izraenog pomou x′1, x

′2, . . . ,x

′n.Inaqe, dvojni kontravarijantan vektor je geometrijski objekat, koji nazivamo

kovarijantnim vektorom. U svakom lokalnom sistemu koordinata iz Xn kovari-jantan vektor je takoe odreen skupom n funkcija, poreanih u odreenom poretku,µ1, µ2, ..., µn od koordinate poqetne taqke M , ali zakon ǌihove transformacije urezultatu promene sistema koordinata pomou formule (1.1) i (1.3) ima oblik:

µ′

i(x′) = µα(x)∂

′

ixα (i, α = 1, 2, . . . , n). (1.7)

Ovde su µ′i(x

′) elementi kovarijantnog vektora u novom sistemu koordinata, a µα(x)

elementi kovarijantnog vektora u rezultatu sistema koordinata u jednoj istoj taqkiM ∈ Xn. Kao i ranije, uvexemo oznaku

∂′

ixα =

∂xα

∂x′i

Kontravarijantni i kovarijantni vektori su specijalni sluqajevi opxteg geometrij-skog objekta - tenzora.

Tenzor tipa(pq

)je geometrijski objekat, koji je odreen u svakom lokalnom si-

stemu koordinata iz Xn skupom funkcija

Si1i2...ipj1j2...jq

(x)

(svaki od indeksa i2, i2, . . . , ip; j1, j2, . . . , jq nezavisno jedan od drugog uzima sve vre-dnosti od 1 do n) i promene iz sistema koordinata x1, x2, . . . , xn u sistem koordinatax

′1, x′2, . . . , x

′n na osnovu formule (1.1) i (1.3) u skladu sa sledeom jednakoxu:

S′i1i2...ipj1j2...jq

(x′) = Sα1α2...αp

β1β2...βq(x)∂α1x

′i1∂α2x′i2 . . . ∂αpx

′ip∂′

j1xβ1∂

′

j2xβ2 . . . ∂

′

jqxβq . (1.8)

Ovde su S′i1i2...ipj1j2...jq

(x′) komponente tenzora u sistemu koordinata x′1, x

′2, . . . , x′n, a

Sα1α2...αp

β1β2...βq(x) u sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn. Tenzor oblika

(pq

)qesto nazivamo

p-kontravarijantan i q-kovarijantan tenzor. Ponekad ga krae oznaqavamo sa S(pq

).

Gorǌi indeksi u S(pq

)u formuli (1.8) nazivamo kontravarijantni, a doǌi kovari-

jantni. Kako svaki od ǌih uzima, nezavisno jedan od drugog, sve vrednosti od 1 don, tenzor oblika

(pq

)ima np+q elementa.

1.3. Algebarske operacije sa tenzorima 9

Oqigledno, (1.8) predstavǉa poseban sluqaj formule (1.4) za N = np+q i speci-jalan redosled elemenata posmatranog geometrijskog objekta. Za p = 1, q = 0, iz(1.8) dobijamo (1.6), a za p = 0, q = 1 dobijamo (1.7). Prema tome, kontravarijantanvektor se javǉa kao tenzor oblika

(10

), a kovarijantan vektor kao tenzor oblika

(01

).

Iz formule (1.8) je lako zakǉuqiti da se invarijanta javǉa kao tenzor oblika(00

).

Lako je zakǉuqiti da veliqina

δhi =

1, h = i0, h = i

(h, i = 1, 2, . . . , n),

koju nazivamo Kronekerovim simbolom, obrazuje tenzor oblika(11

).

Iz (1.8) vidimo da se u diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn klase Cr elementitenzora S

(pq

)javǉaju kao funkcije u klasi Cr−1.

Napomenimo da smo istovremeno definisali pojam poǉa geometrijskog objekta,u posebnom invarijantnom, kontravarijantnom i kovarijantnom vektoru, tenzorskogpoǉa oblika

(pq

)na Xn ili nekog ǌegovog podskupa, a takoe i pojam geometrijskog

objekta u datoj taqki M0 iz Xn. Pri posmatraǌu nekog konkretnog pitaǌa nadaǉee biti oqigledno o kom sluqaju se radi. Meutim, ponekad, da bude jasnije, posebnoemo naglasiti.

Tenzor S(pq

), za proizvoǉno p i q nazivamo nula tenzor, ako su svi ǌegovi ele-

menti jednaki nuli (na celom Xn, na nekom ǌegovom podskupu ili u datoj taqki).Jedno od vanih svojstva tenzora je da ako je tenzor S

(pq

)jednak nuli u odnosu na

jedan sistem koordinata, onda je on jednak nuli u odnosu na bilo koji drugi sistemkoordinata.

1.3 Algebarske operacije sa tenzorima

Za tenzore postoji nekoliko algebarskih operacija, u kojima se ponovo dobijaju ten-zori. Tri osnovne operacije su: algebarsko sabiraǌe, mnoeǌe i kontrakcija.

a) Algebarski zbir tenzora oblika(pq

)za proizvoǉne p i q je tenzor istog

oblika. Ako su S i T tenzori oblika(pq

)na Xn, u proizvoǉnoj taqki M , gde su oni

definisani, i u proizvoǉnom sistemu koordinata

Ri1i2...ipj1j2...jq

(x) = Si1i2...ipj1j2...jq

(x) + eTi1i2...ipj1j2...jq

(x)

(i1, i2, . . . , ip; j1, j2, . . . , jq = 1, 2, . . . , n),(1.9)

gde je e = ±1, onda kaemo da je tenzor R dobijen algebarskim sabiraǌem tenzora Si T . Iz (1.8) jasno sledi da je prethodno definisan geometrijski objekat R tenzoroblika

(pq

). Za e = +1 on se naziva zbir, a za e = −1 razlika tenzora S

(pq

)i T

(pq

).

Ponekad (1.9) krae pixemo

R(pq) = S(pq) + eT (pq).


Navedeni algebarski zbir dva tenzora oqigledno vai i za konaqno mnogo tenzoraistog oblika.

Za dva tenzora S(pq

)i T

(pq

)kaemo da su jednaka ako je ǌihova razlika nula

tenzor, tj. ako je

Si1i2...ipj1j2...jq

(x) = Ti1i2...ipj1j2...jq

(x) (1.10)

za sve meusobno razliqite indekse i1, i2, . . . , ip; j1, j2, . . . , jq, koje uzimaju vrednostiod 1 do n.

Koristei algebarski zbir tenzora uvexemo operaciju simetrije i alter-nacije dva istoimena indeksa i operaciju cikliraǌa tri istoimena indeksa.

Za tenzor S(pq

)u proizvoǉnom sistemu koordinata definiximo

Si1i2...ip(j1j2)j3...jq

(x) = Si1i2...ipj1j2...jq

(x) + Si1i2...ipj2j1j3...jq

(x), (1.11)

Si1i2...ip[j1j2]j3...jq

(x) = Si1i2...ipj1j2j3...jq

(x)− Si1i2...ipj2j1j3...jq

(x) (1.12)

za q ≥ 2 i

Si1i2...ip(j1j2j3)j4...jq

(x) = Si1i2...ipj1j2j3j4...jq

(x) + Si1i2...ipj2j3j1j4...jq

(x) + Si1i2...ipj3j1j2j4...jq

(x) (1.13)

za q ≥ 3.Na osnovu (1.8) vidimo da su kompozicije (1.11), (1.12) i (1.13) takoe tenzori

oblika(pq

). Prva od ǌih je simetrija, druga alternacija po prva dva kovarijantna

indeksa i trea cikliqnost po prva tri kovarijantna indeksa poqetnog tenzora S(pq

).

Ove operacije za proizvoǉne kovarijantne indekse se uvode na sledei naqin:

Si1i2...ip...(j|...|k)...(x) = S

i1i2...ip...j...k... (x) + S

i1i2...ip...k...j... (x), (1.14)

Si1i2...ip...[j|...|k]...(x) = S

i1i2...ip...j...k... (x)− S

i1i2...ip...k...j... (x), (1.15)

Si1i2...ip...(j|...|k|...|l)...(x) = S

i1i2...ip...j...k...l...(x) + S

i1i2...ip...k...l...j...(x) + S

i1i2...ip...l...j...k...(x). (1.16)

Ovde su taqkama oznaqeni indeksi koji ne meǌaju svoja mesta, dok su oni drugi, kojisu u zagradama, odvojeni vertikalnim crtama.

Potpuno isto uvodimo operacije simetrije, alternacije i cikliqnost tenzoraS(pq

)za p>1 i p>2, redom, po kontravarijantnim indeksima.

Sliqne operacije uvodimo za tenzor S(pq

), ne samo za dva ili tri istoimena

indeksa, nego i za vixe ǌih.Kada je operacija simetrije (1.14) tenzora S

(pq

)nula tenzor, tada je

Si1i2...ip...j...k...(x) = −Si1i2...ip...k...j...(x) (1.17)

1.3. Algebarske operacije sa tenzorima 11

U tom sluqaju tenzor S(pq

)zovemo koso-simetriqan tenzor po indeksima j i k. Kada

je za isti tenzor S(pq

)operacija alternacije (1.15) nula tenzor, tada je

Si1i2...ip...j...k... (x) = S

i1i2...ip...k...j... (x) (1.18)

i taj tenzor nazivamo simetriqnim po j i k.Na sliqan naqin uvodimo pojam simetrije i kose simetrije tenzora S

(pq

)po dva

kontravarijantna indeksa.

Svojstva simetrije i kose simetrije tenzora ne zavise od izbora koordinatnogsistema u Xn.

b) Proizvod dva tenzora S(pq

)i R

(rt

)je tenzor oblika

(p+rq+t

).

Neka je u proizvoǉnom sistemu koordinata

Gi1i2...ipj1j2...jrk1k2...kql1l2...lt

(x) = Si1i2...ipk1k2...kq

(x) ·Rj1j2...jrl1l2...lt

(x)

(i1, i2, . . . , ip;j1, j2, . . . , jr; k1, k2, . . . , kq; l1, l2, . . . , lt = 1, 2, . . . , n),(1.19)

to iz (1.8), odmah nalazimo da je geometrijski objekat (1.19) tenzor oblika(p+rq+t

),

koji nazivamo proizvod tenzora S(pq

)sa tenzorom R

(rt

). Ponekad emo (1.19) krae

zapisivati

G(p+rq+t ) = S(pq) ·R(rt ).

Naravno, ovde nisu iskǉuqeni sluqajevi kada je p = q = 0 ili r = t = 0, pa qak ikada su svi istovremeno jednaki nuli.

Iz (1.19) vidimo da proizvod dva tenzora zavisi od poretka qinioca, ali ne ineophodno, jer je redosled unosa indeksa u (1.19) proizvoǉan.

Za zbir i proizvod tenzora vai distributivni zakon, tj.[S(pq) + eT (pq)

]R(rt ) = S(pq)R(

rt ) + eT (pq)R(

rt ) (1.20)

v) Operacija kontrakcije se uvodi za bilo koji tenzor S(pq

)za p, q>0 i rezultat je

tenzor oblika(p−1q−1

).

Neka je u proizvoǉnom sistemu koordinata

Li2i3...ipj1j3...jq

(x) = Sαi2i3...ipj1αj3...jq

(x) =n∑

α=1

Sαi2i3...ipj1αj3...jq

(x) (1.21)

Iz (1.8) lako zakǉuqujemo da ovako definisan geometrijski objekat predstavǉa ten-zor oblika

(p−1q−1

). ǋega nazivamo rezultatom kontrakcije tenzora S

i1i2...ipj1j2...jq

(x) podrugom kovarijantnom i prvom kontravarijantnom indeksu.

Na tenzor Si1i2...ipj1j2...jq

(x) se moe primeniti operacija kontrakcije po bilo koja dva

razliqita indeksa i dobiti tenzor oblika(p−1q−1

). Meutim, rezultat kontrakcije


najvixe zavisi ot toga po kojim indeksima je to uraeno. Na primer, kontrakci-jom tenzora S

(pq

)po drugom (za p>1) kontravarijantnom i posledǌem kovarijantnom

indeksu, dobiemo

Ni1i3...ipj1j2...jq−1

(x) = Si1αi3...ipj1j2...jq−1α

(x). (1.22)

Naravno, u opxtem sluqaju, tenzor N(p−1q−1

)nije jednak tenzoru L

(p−1q−1

), koji smo mi

dobili u (1.21).

Tenzor N(p−1q−1

), za p, q>1 ponovo moemo kontrakovati po razliqitim indeksima

i td. U sluqaju p = q(>0), kada primenimo p puta operaciju kontrakcije, dobiemotenzor

(00

), tj. invarijantu.

Operacije mnoeǌa i kontrakcije qesto koristimo zajedno. Naime, prvi ten-zor S

(pq

)pomnoimo tenzorom R

(rt

), kako je prikazano u (1.19), a zatim na dobijeni

proizvod primenimo operaciju kontrakcije po dva razliqita indeksa, jedan koji pri-pada prvom qiniocu, a drugi drugom, na primer po k1 i j1. U rezultatu dobijamotenzor

Si1i2...ipαk2...kq

(x)Rαj2...jrl1l2...lt

(x). (1.23)

Krae kaemo, da je taj tenzor dobijen iz tenzora Si1i2...ipk1k2...kq

(x) kontrakcijom po k1 sa

tenzorom R j1j2...jrl1l2...lt

(x) kontrakovanim po j1. Kontrakcijom prvog tenzora sa drugim poindeksima k1 i j1, kao i po indeksima i1 i l2 dobijamo tenzor

Sβi2...ipαk2...kq

(x)Rαj2...jrl1βl3...lt

(x) (1.24)

koji je oblika(p+r−2q+t−2

).

Na primer, za r = q i t = p kompletna kontrakcija tenzora S(pq

)sa tenzorom

R(qp

)je oblika

S β1β2...βpα1α2...αq

(x)Rα1α2...αq

β1β2...βp(x), (1.25)

gde, kao i obiqno, po proizvoǉnom indeksu α1, α2, ..., αq; β1, β2, ..., βp nezavisno jedanod drugog suma od 1 do n, predstavǉa tenzor oblika

(00

), tj. invarijantu. Defini-

saǌe vixe algebarskih operacija nad tenzorima moe se vrxiti sa konaqnim skupomtenzora konaqan broj puta u proizvoǉnom poretku.

Skup svih kontravarijantnih vektora u proizvoǉnoj taqki M diferencijabilnemnogostrukosti Xn klase Cr (r≥1) obrazuje n-dimenzionalni vektorski prostor nadpoǉem R realnih brojeva sa gore uvedenim operacijama algebarskog zbira i mnoeǌainvarijanti (brojeva). ǋega nazivamo tangentnim prostorom na Xn u taqki Mi oznaqavamo sa TM . Ako su λh11| , λ

h22| , . . . , λ

hqq| proizvoǉni vektori iz TM , ǌihov

proizvod

λh1h2...hq = λh11| λh22| . . . λ

hqq| (1.26)

predstavǉa tenzor tipa(q0

)u taqki M , koji nazivamo prost q puta kontravarijantan

tenzor. Skup svih prostih tenzora tipa(q0

)i sve mogue ǌihove kombinacije nad

1.4. Koeficijenti koneksije 13

poǉem R obrazuje vektorski prostor dimenzije nq nad R, koji nazivamo tenzorskimproizvodom stepena q prostora TM nad samim sobom i oznaqavamo sa:

TM(q) = TM ⊗ TM ⊗ · · · ⊗ TM︸︷︷︸q

. (1.27)

Skup svih kovarijantnih vektora u taqki M mnogostrukosti Xn takoe obrazujen-dimenzionalni vektorski prostor nad poǉem R realnih brojeva sa uvedenim ope-racijama algebarskog zbira i proizvoda skalarom. ǋega oznaqavamo sa T ∗

M i nazi-vamo adjungovanim sa TM . Proizvod

µk1k2...kp = µ1|k1µ2|k2 . . . µp|kp (1.28)

p proizvoǉnih vektora µ1|k1 , µ2|k2 , . . . , µp|kp iz T ∗M obrazuje takozvani prost tenzor

tipa(0p

)u taqki M .

Skup svih tih tenzora i sve mogue ǌihove linearne kombinacije nad R obrazujetenzorski proizvod stepena p prostora T ∗

M nad samim sobom

T ∗M(p) = T ∗

M ⊗ T ∗M ⊗ · · · ⊗ T ∗

M︸︷︷︸p

. (1.29)

Tenzorski proizvod,TM(q)⊗ T ∗

M(p) (1.30)

po definiciji, predstavǉa skup svih proizvoda razliqitih tenzora iz TM(q) satenzorom iz T ∗

M(p) i sve mogue ǌihove linearne kombinacije, koje prirodno pred-stavǉaju vektorski prostor nad R dimenzije nq+p. Svaki ǌihov element se javǉakao tenzor tipa

(qp

). Pritom, bilo koji tenzor S

(pq

), zadat u taqki M po formuli

(1.25), obrazuje linearno preslikavaǌe tenzorskog proizvoda (1.30) na R:

TM(q)⊗ T ∗M(p)

S(pq)−→ R.

Ponekad se to svojstvo tenzora S(pq

)prihvata kao ǌegova definicija. Drugim re-

qima, tenzor S tipa(pq

)u taqki M ∈ Xn nazivamo linearnim preslikavaǌem ten-

zorskog proizvoda (1.30) u poǉu realnih brojeva R. Ta definicija je ekvivalentnadefiniciji uvedenoj na samom poqetku.

1.4 Koeficijenti koneksije

U mnogim zadacima postoji potreba izuqavaǌa geometrijskih objekta na difer-encijabilnoj mnogostrukosti Xn i nexto sloenijih od tenzora. Jedan od ǌih jeobjekat afine koneksije Γkij (k, i, j = 1, 2, . . . , n), koji se karakterixe sledeimzakonom transformacije pri promeni sistema koordinata (1.1) i (1.3):

Γ′kij (x

′) =

∂x′k

∂xα

(Γαβγ(x)

∂xβ

∂x′i

∂xγ

∂x′j+

∂2xα

∂x′i∂x′j

). (1.31)


Ovde su Γkij komponente objekta afine koneksije u sistemu koordinata x1, x2,. . . , xn;

Γ′kij (x

′) u novom sistemu koordinata x

′1, x′2, . . . , x

′n; ∂x′k

∂xlparcijalni izvod funkcije

(1.1), ∂xh

∂x′i parcijalni izvod ǌoj inverzne funkcije (1.3). Desna strana (1.31) po

α, β, γ, kao i obiqno, predstavǉa sume od 1 do n koje ne zavise jedna od druge. Objekatafine koneksije na Xn klase Cr (r≥2) u daǉem izlagaǌu moemo pretpostaviti daje simetriqan, tj. da ispuǌava uslov:

Γkij(x) = Γkji(x). (1.32)

Oni, kao xto se moe videti iz (1.31), imaju invarijantni karakter u odnosu na izborsistema koordinata. U saglasnosti sa (1.31) objekat afine koneksije je linearangeometrijski objekat drugog reda.

1.5 Kovarijantni izvod

Na diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn, u kojoj je definisan objekat afinekoneksije, uvodimo pojam kovarijantan izvod tenzorskog poǉa proizvoǉnog tipa(pq

)na celoj mnogostrukosti Xn ili u nekoj ǌenoj nedegenerisanoj n-dimenzionalnoj

oblasti. On predstavǉa tenzorsko poǉe tipa(pq+1

).

Za tenzor tipa(10

), tj. za kontravarijantan vektor, na primer λh(x), kovari-

jantan izvod koneksije Γkij, oznaqiemo sa λh,i, u proizvoǉnom sistemu koordinatax1, x2, . . . , xn i definisati na sledei naqin:

λh,i(x) =∂λh(x)

∂xi+ Γhiα(x)λ

α(x) (h, i = 1, 2, . . . , n). (1.33)

Ovde se, kao i obiqno, pod α podrazumeva sumiraǌe po svim vrednostima od 1 do n.Prema transformaciji (1.6) element kontravarijantnog vektora i objekta afine

koneksije (1.31) neposredno sledi, da kovarijantan izvod (1.33) kontravarijantnogvektora predstavǉa tenzor tipa

(11

).

U sluqaju tenzorskog poǉa tipa(01

), tj. kovarijantnog vektora µj, kovarijan-

tan izvod µj,i po koneksiji Γkij u proizvoǉnom sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn

definixemo sa:

µj,i(x) =∂µj(x)

∂xi− Γαij(x)µα(x) (i, j = 1, 2, . . . , n). (1.34)

Iz (1.7) i (1.31) zakǉuqujemo da je kovarijantan izvod (1.34) kovarijantnog vektoratenzor tipa

(02

).

Za tenzorska poǉa bhj tipa(11

)kovarijantan izvod po koneksiji Γ u proizvoǉnom

sistemu koordinata po definiciji je oblika

bhj,i(x) =∂bhj (x)

∂xi+ Γhiα(x)b

αj (x)− Γαij(x)b

hα(x) (1.35)

1.5. Kovarijantni izvod 15

(h, i, j = 1, 2, . . . , n).

Odatle sledi, da je kovarijantan izvod Kronekerovih simbola po bilo kojoj koneksijijednak nuli:

δhi,k ≡ 0 (h, i, j = 1, 2, . . . , n).

U opxtem sluqaju, kovarijantan izvod tenzorskog poǉa S tipa(pq

)po koneksiji

Γ, koje emo zvati, kao i ranije, interakcija, u proizvoǉnom sistemu koordinatax1, x2, . . . , xn odreen je sledeom formulom:

Si1i2...ipj1j2...jq ,k

(x) = ∂kSi1i2...ipj1j2...jq

(x) + Γi1kα(x)Sαi2...ipj1j2···jq(x) + . . .

+ Γipkα(x)S

i1i2...ip−1αj1j2...jq

(x)− Γβkj1(x)Si1i2...ipβj2...jq

(x)− . . .

− Γβkjq(x)Si1i2...ipj1j2···jq−1β

(x)

(i1, . . . , ip; j1, . . . , jq; k = 1, 2, . . . , n).

(1.36)

Iz (1.8) i (1.31) zakǉuqujemo da je to tenzor tipa(pq+1

).

Na kraju, kovarijantan izvod poǉa invarijanti f(x) odreen je sledeom formu-lom:

f,k(x) = ∂kf(x). (1.37)

To je tenzor tipa(01

), tj. kovarijantan i pritom gradijentan vektor.

Uvedimo i kovarijantan izvod S′

λ

(pq

)tenzorskog poǉa S

(pq

)u pravcu vektora λ

sa:

S′

λ(pq) = S(pq),αλ

α

ili preciznije

S′i1i2...ipλj1j2...jq

= Si1i2...ipj1j2...jq ,α

λα. (1.38)

Na osnovu pravila iz tenzorske algebre zakǉuqujemo da je S′

λ

(pq

)tenzor tipa

(pq

).

Kovarijantna diferencijalna suma i izvod dva tenzora dobija se prema istompravilu kao i parcijalno diferenciraǌe:[

S(pq) + eT (pq)],k= S(pq),k + eT (pq),k[

S(pq)R(rt )],k= S(pq),kR(

rt ) + S(pq)R(

rt ),k

(1.39)

Dakle, operacija kontrakcije i kovarijantnog diferenciraǌa se mogu zameniti(kada u kontrakciji indeks diferenciraǌa ne uqestvuje). Na primer, u skladu sa(1.21) [

Sαi2i3...ipj1αj3...jq

(x)],k= S

αi2i3...ipj1αj3...jq,k

(1.40)


1.6 Riqijev identitet i Rimanov tenzor

Ako je kovarijantan izvod λh,k kontravarijantnog vektora λh tenzor tipa(11

), opet

moemo kovarijantno diferencirati po koneksiji Γ, tj. razmatraemo geometrijskiobjekat [

λh,k(x)],l= λh,kl(x).

On je tenzor tipa (12), koji nazivamo drugi kovarijantan izvod po koneksiji Γ odpoqetnog kontravarijantnog vektora (najpre po xk, a zatim po xl). Pritom u Xn

klase Cr (r>2) za vektorsko poǉe λh klase C2 sa objektom koneksije Γ klase C1

Riqijev identitet

λh,kl(x)− λh,lk(x) = −λα(x)Rh.αkl(x), (1.41)

predstavǉa tenzorsko izraavaǌe uslova nezavisnosti vrednosti drugih neprekid-nih parcijalnih izvoda od poretka diferenciraǌa:

∂2klλh(x)− ∂2lkλ

h(x) ≡ 0.

U (1.41)

Rh.ijk = ∂jΓ

hik(x) + Γαik(x)Γ

hjα(x)− ∂kΓ

hij(x)− Γαij(x)Γ

hkα(x) (1.42)

i nazivaju se Rimanovi simboli objekta koneksije Γ. Na osnovu (1.31) preslika-vaǌa objekta afine koneksije sledi da Rimanovi simboli obrazuju tenzor tipa (13)na Xn. Taj tenzor zovemo Rimanovim tenzorom koneksije Γ.

Sliqno pojmu drugog kovarijantnog izvoda po koneksiji Γ uvodimo kovarijantanvektor µi sa:

µi,jk = (µi,j),k

Za ǌega takoe vai Riqijev identitet, koji je oblika

µi,jk(x)− µi,kj(x) = µα(x)Rα.ijk(x). (1.43)

Na kraju, u sluqaju tenzorskog poǉa S proizvoǉnog tipa(pq

)drugi kovarijantan

izvod po koneksiji Γ je oblika:[Si1i2...ipj1j2...jq ,k

(x)],l= S

i1i2...ipj1j2...jq ,kl

(x)

U diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn klase Cr (r>2) za tenzorsko poǉe S(pq)klase C2 sa objektom koneksije Γ klase C1 vai Riqijev identitet:

Si1i2...ipj1j2...jq ,kl

(x)− Si1i2...ipj1j2...jq ,lk

(x) =

= −S αi2...ipj1j2...jq

(x)R i1.αkl(x)− . . .− S

i1i2...ip−1αj1j2...jq

(x)Rip.αkl(x)+

+ Si1i2...ipβj2...jq

(x)R β.j1kl

(x) + . . .+ Si1i2...ipj1j2...jq−1β

(x)R β.jqkl

(x)

(1.44)

1.7. Krive i povrxi na mnogostrukostima 17

koji predstavǉa tenzorski uslov nezavisnosti vrednosti drugog neprekidnog parci-jalnog izvoda komponenti tenzorskog poǉa S(pq) po redu diferenciraǌa:

∂2klSi1i2...ipj1j2...jq

(x)− ∂2lkSi1i2...ipj1j2...jq

(x) ≡ 0. (1.45)

Na osnovu ǌegove konstrukcije Rimanov tenzor (1.42) ima kosu simetriju poposledǌa dva kovarijantna indeksa, tj.

R h.ijk(x) +R h

.ikj(x) ≡ 0. (1.46)

Meutim, za ǌega postoji jox jedan identitet:

R h.(ijk)(x) = R h

.ijk(x) +R h.jki(x) +R h

.kij(x) ≡ 0. (1.47)

Drugim reqima, rezultat cikliraǌa Rimanovog tenzora po kovarijantnim indeksimaidentiqan je nuli.

Za Rimanov tenzor (1.42) za objekat afine koneksije Γ klase C2, uporedo sa al-gebarskim identitetima (1.46) i (1.47), postoji diferencijabilan Bjankijev iden-titet:

R h.i(jk,l)(x) = R h

.ijk,l(x) +R h.ikl,j(x) +R h

.ilj,k(x) ≡ 0. (1.48)

Ovde jeR h.ijk,l kovarijantan izvod Rimanovog tenzora po koneksiji Γ za istu koneksiju.

1.7 Krive i povrxi na mnogostrukostima

Krivu L u vixestrukoj diferencijabilnoj mnogostrukostiXn (klase Cr) u param-etarskom predstavǉaǌu nazivamo jednodimenzionalna podmnogostrukost, odreena uproizvoǉnom lokalnom sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn jednaqinom:

xh = xh(t) (T0 < t < T1;h = 1, 2, . . . , n). (1.49)

Ovde su x1(t), x2(t), . . . , xn(t) realne funkcije jedne promenǉive t, koje nazivamolokalnim parametrom krive. Pretpostavimo da one pripadaju klasi Cr. Izvodi tihfunkcija po t

dxh

dt= λh(t) (1.50)

se javǉaju kao komponente tangentnog vektora krive u proizvoǉnoj taqki.U rezultatu transformacije (1.1) lokalni sistem koordinata naXn parametarske

jednaqine krive L se meǌaju po formuli:

x′h = x

′h(t) = x′h(x(t)). (1.51)

Odatle sledi da jedx

′h

dt=∂x

′h

∂xαdxα

dt,


odnosno,

λ′h =

∂x′h

∂xαλα. (1.52)

To govori da se tangentni vektor krive javǉa kao kontravarijantni vektor u Xn. S-hodno tome, on pripada tangenti naXn u proizvoǉnoj taqki prostora TM . Oqigledno,kroz svaku taqkuM izXn, moemo nacrtati krivu L, koja u toj taqki svojim tangent-nim vektorom odreuje prethodno dat vektor iz TM . Stoga je TM skup svih tangentiu taqki M vektora svih krivih iz Xn.

Kriva Lp, definisana u Xn, prikazana u sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn, jed-naqinama

xh = ch (h = p), xp = t, (1.53)

gde je p neki fiksirani broj od 1 do n, a ch neka konstanta, naziva se koordinatnalinija xp. ǋen tangentni vektor u proizvoǉnoj taqkiM odreen je formulom (1.52)i oblika je

λhp| = δhp (1.54)

Prema tome, λ11| = 1, λ21| = . . . = λn1| = 0; λ22| = 1, λ12| = λ32| = . . . = λn2| = 0 i td.

su tangentni vektori sa koordinatnim linijama x1, x2 i td. u nekoj taqki M . Oniobrazuju u ǌoj bazu tangentnog prostora TM .

Parametar t krive L u parametarskom predstavǉaǌu (1.49) predstavǉa trans-formaciju oblika

t = t(τ), (1.55)

gde realna funkcija t(τ) ima neprekidan izvod do reda r, pri qemu je dtdτ

= 0. Jed-naqina krive L posle prelaska na novi parametar τ po formuli (1.55) bie oblika:

xh = xh(τ) ≡ xh(t(τ)). (1.56)

Dakle, za tangentni vektor λh krive L sa novom parametrizacijom dobijamo izraz

λh =dt

dτλh. (1.57)

Neka je u nekoj oblasti D mnogostrukosti Xn, pomou sistema koordinatax1, x2, . . . , xn, zadano poǉe kontravarijantnog vektora λh(x1, x2, . . . , xn) = 0 klaseCr−1 (r>1). Tada, svako rexeǌe oblika (1.49) sistema obiqnih diferencijalnihjednaqina

dxh

dt= λh(x1, x2, . . . , xn) (1.58)

predstavǉa svoju trajektoriju ili liniju toka vektorskog poǉa λh. Pritom, krozproizvoǉnu taqku M0 ∈ D sa koordinatama x10, x

20, . . . , x

n0 prolazi jedna i samo

jedna trajektorija. Ona proizilazi iz jednakosti (1.58) kao rexeǌe koje odgovarapoqetnim vrednostima

xh0 = xh(t0). (1.59)


Skup svih trajektorija vektorskog poǉa λh odreuje u oblasti D krivolinijskupodudarnost.

Povrx Sm dimenzije m<n mnogostrukosti Xn u parametarskom obliku nazi-vamo m-dimenzionalna podmnogostrukost odreena u proizvoǉnom lokalnom sistemukoordinata x1, x2, . . . , xn jednaqinom

xh = xh(u1, u2, . . . , um) (h = 1, 2, . . . , n). (1.60)

Ovde je xh(u1, u2, . . . , um) realna funkcija klase Cr od m realnih promenǉivihu1, u2, . . . , um, tzv. parametri, pri qemu je

rang

∥∥∥∥∂xh∂up

∥∥∥∥ = m (h = 1, 2, . . . , n; p = 1, 2, . . . ,m). (1.61)

Pri tome se u1, u2, . . . , um meǌaju u nekoj m-dimenzionalnoj oblasti Um i nazi-vamo ih unutraxǌim koordinatama taqaka povrxi Sm. Vrednosti funkcije (1.60)predstavǉaju koordinatne taqke povrxi Sm u mnogostrukosti Xn, kome pripada tapovrx. Kada je n−m = 1, povrx Sm nazivamo hiperpovrx.

Kriva L na povrxi Sm, data u parametarskom obliku (1.60), je odreena jednaqi-nama

up = up(t) (T0 < t < T1; p = 1, 2, . . . ,m). (1.62)

Ovde imamo u vidu realne funkcije jedne realne promenǉive t-parametra krive, kojepripadaju klasi Cr. Parametarsko predstavǉaǌe (1.49) za datu krivu L dobijamoiz (1.60) na osnovu (1.62) u obliku

xh = xh(t) = xh(u1(t), u2(t), . . . , um(t)). (1.63)

Odatle nalazimo tangentni vektor krive L:

dxh

dt= λh =

∂xh(u)

∂upξp, (1.64)

gde je ξp = dup

dti naziva se unutraxǌa komponenta tangentnog vektora krive. Skup

vektora λh, tangente po svim krivama na povrxi, koje prolaze kroz datu taqkuM(u1, u2, . . . , um) po definiciji odreuju tangentnu ravan Em u Sm u taqki M . Iz(1.64) sledi, da ona predstavǉa svoj linearni omotaq nezavisnog, na osnovu (1.61),

vektora λhp | =∂xh(u)∂up

(p = 1, 2, . . . ,m), tangente koordinatne linije u1, u2, . . . , um

povrxi Sm u proizvoǉnoj taqki M .Opxtom m-dimenzionalnom povrxi u Xn nazivamo ǌegovu realnu podmno-

gostrukost, odreenu skupom svih taqaka qije koordinate zadovoǉavaju n−m neza-visnih jednaqina

Fσ(x1, x2, . . . , xn) = 0 (σ = 1, 2, . . . , n−m). (1.65)


Pritom su funkcije F1(x1, x2, . . . , xn), F2(x

1, x2, . . . , xn), . . . , Fn−m(x1, x2, . . . ,xn)

invarijante u Xn i

rang

∥∥∥∥∂Fσ(x)∂xk

∥∥∥∥ = n−m. (1.66)

Kada je n − m = 1, (1.62) sadri samo jednu jednaqinu, koja odreuje opxtuhiperpovrx u Xn.

Zbog (1.66) na osnovu teoreme o postojaǌu implicitne funkcije (1.65) dobijamojednaqinu oblika (1.60). Obratno, iz (1.60) na osnovu teoreme o postojaǌu inverznihfunkcija proizilazi jednaqina oblika (1.65). Stoga, s’ lokalne taqke gledixta(1.60) i (1.65) se javǉaju u razliqitim oblicima (parametarskom i implicitnom)u Xn jedne iste geometrijske slike − m-dimenzionalne povrxi Sm.

Kriva L u parametarskom predstavǉaǌu (1.49) odgovara opxtoj povrxi Sm, akoje

Fσ(x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) ≡ 0 (σ = 1, 2, . . . , n−m)

u odnosu na parametar t. Diferenciraǌem po t sledi da je

∂Fσ(x)

∂xαλα = 0, (1.67)

gde je λh = dxh

dttangentni vektor krive L. Skup vektora Xn, tangentnih po svim

krivama na prostoj povrxi Sm, koji prolaze kroz datu taqku M , obrazuje tangentnuravan Em povrxi Sm u taqki M . Kako je uslov (1.67) ne samo potreban, nego idovoǉan, da vektor λh pripada tangentnoj ravni Em povrxi Sm, jednaqina (1.67) imam linearno nezavisnih rexeǌa λh1|, λ

h2|, . . . , λ

hm|, i Em predstavǉa ǌihov linearni

omotaq.Ako je (1.60) parametarsko predstavǉaǌe povrx Sm date jednaqinama (1.65), to

iz (1.67) na osnovu (1.64) zbog proizvoǉnog ξp sledi da je

∂Fσ(x)

∂xαλαp| = 0

(p = 1, 2, . . . ,m; σ = 1, 2, . . . , n−m; α = 1, 2, . . . , n).(1.68)

Neka je uXn (ili nekoj ǌenoj nedegenerisanoj oblastiD) odreenam-dimenzionalnaraspodela Em. To znaqi da je u proizvoǉnoj taqkiM iz Xn (ili oblasti D) dat m-dimenzionalni vektorski prostor Em, koji prirodno pripada tangentnom prostoruTm. Pretpostavimo da se λhp|(x

1, x2, . . . , xn) (p = 1, 2, . . . ,m) javǉaju kao bazni vek-

tori raspodele Em u proizvoǉnoj taqkiM sa lokalnim koordinatama x1, x2, . . . , xn.Za te vektore smatramo da pripadaju klasi Cr−1 (r>1).

Raspodelu Emλhp|(x) nazivamo holonomnom ako za ǌu postoji familija m-

dimenzionalnih povrxi∑

m, proizvoǉne tangentne ravni koje se u proizvoǉnojtaqkiM poklapaju sa ravni raspodele Em. Pretpostavimo da kroz proizvoǉnu taqkuM domena m-raspodele Em prolazi, u krajǌoj meri, jedna povrx iz date familije.


Ako povrx Sm familije∑

m m-raspodele Emλhp|(x1, x2, . . . , xn) hoemo daprikaemo u opxtem obliku (1.65), to iz (1.68) sledi da svaka od funkcije Fσ morazadovoǉavati homogeni sistem linearnih diferencijalnih jednaqina

ZpF ≡ λαp|(x1, x2, . . . , xn)

∂F

∂xα= 0 (p = 1, 2, . . . ,m). (1.69)

Holonomna raspodela Em postoji ako i samo ako dati sistem ima n−m nezavisnihrexeǌa, Fσ(x

1, x2, . . . , xn). Kao xto je poznato, ovo je mogue samo kada je sistem(1.69) kompletan, tj. kada komutator

[ZqZp]F = Zp (ZpF )− Zp (ZqF )

bilo koja dva homogena linearna diferencijalna operatora, odreena ovim sistemom,predstavǉa linearnu kombinaciju istih operatora:

[ZqZp]F = Gsqp(x)ZsF (p, q, s = 1, 2, . . . ,m). (1.70)

Iz (1.69) na osnovu komutativnosti sledi da je

[ZqZp]F =(λβq |(x)∂βλ

αp|(x)− λβp|(x)∂βλ

αq |(x)

) ∂F

∂xα.

Lako se vidi da se parcijalni izvodi vektora λhp|(x) mogu zameniti ǌihovim kovar-

ijantnim izvodima po proizvoǉnoj simetriqnoj afinoj koneksiji Γhij(x). Stoga seformula (1.70) moe zapisati i u obliku

λβq |(x)λhp|,β(x)− λβp|(x)λ

hq |,β(x) = Gs

qp(x)λhs|(x). (1.71)


Deo 2

Geodezijska preslikavaǌa Rimanovihprostora

U ovoj glavi emo uvesti geodezijsko preslikavaǌe afine koneksije i Rimanovihprostora, dobijenih osnovnim jednakostima teorije geodezijskih preslikavaǌa odstrane Tulija Levi-Qivite, koji je otkrio invarijantne geometrijske objekte prigeodezijskom preslikavaǌu, prouqavao geodezijsko preslikavaǌe specijalnog Rima-novog prostora i prvi dokazao teoremu o jedinstvenosti odreenih objekta koneksijesimetriqnih i rekurentnih Rimanovih prostora skupom svojih geodezijskih linija.

Zatim, pod odreenim algebarskim pretpostavkama otkrio je nekoliko geometri-jskih svojstva Rimanovih prostora i ǌihovih geodezijskih preslikavaǌa, na osnovuqega je prirodno objavio posebnu klasu geodezijskih preslikavaǌa i dobio potpunuklasifikaciju Rimanovih prostora, koji su priznati.

2.1 Osnovne teoreme geodezijskih preslikavaǌaRimanovih prostora

Posmatraemo dva prostora An i An afine koneksije. Geodezijsko preslika-vaǌe f prostora An na prostor An je uzajamno jednoznaqno preslikavaǌe izmeuǌihovih taqaka, pri qemu se svaka geodezijska linija prostora An slika u geodezi-jsku liniju prostora An.

Neka je prostoru An dodeǉen sistem koordinata x1, x2, . . . , xn, a prostoru Ansistem koordinata x1, x2, . . . , xn. Elemente objekta koneksije prostora An i An uǌihovim taqkama M(x) i M(x) oznaqimo sa Γhij(x) i Γhij(x), pod pretpostavkom dasu simetriqni, i neka je

Γhij(x) = Γhij(x) + P hij(x) (h, i, j = 1, 2, . . . , n). (2.1)

Iz zakona transformacije elementa objekta afine koneksije (1.31) sledi da P hij(x)

23

24 2. Geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostora

odreuje simetriqan tenzor tipa (12). ǋega nazivamo tenzor deformacije koneksijeΓ prostora An na prostor An pri preslikavaǌu f .

Posmatrajmo u prostoru An krivu L, datu u parametarskom obliku

xh = xh(t). (2.2)

Ta kriva predstavǉa svoju geodezijsku liniju ako i samo ako funkcije λh = dxh

dt

zadovoǉavaju jednaqinu

dλh(t)

dt+ Γhαβ(x)λ

α(t)λβ(t) = ρ(t)λh(t). (2.3)

Uopxte, pri preslikavaǌu f sistema koordinata kriva L prostora An, koja odgovarakrivoj L, definisana je istim jednaqinama (2.2), a odgovarajue taqke tih krivihimaju istu vrednost parametra t. Ako je preslikavaǌe f geodezijsko i L geodezijskalinija prostora An, onda e i L biti geodezijska linija prostora An. Prema tome,funkcije λh prostora An moraju zadovoǉavati jednaqinu oblika (2.3):

dλh(t)

dt+ Γhαβ(x)λ

α(t)λβ(t) = ρ(t)λh(t). (2.4)

Oduzimaǌem (2.3) i (2.4) i budui da vai (2.1) dobijamo

P hαβ(x)λ

α(t)λβ(t) = 2ψ(t)λh(t) (2.5)

Ovaj uslov mora biti ispuǌen za bilo koju geodezijsku liniju prostora An.Poxto se u An kroz bilo koju taqku M(x), u proizvoǉnom pravcu, λh moe formi-rati geodezijska linija, uslov (2.5) mora biti ispuǌen na identiqan naqin u pogledux1, x2, . . . , xn i λ1, λ2, . . . , λn.

Kako je leva strana u (2.5) za bilo koje h kvadrat od λh, qiji koeficijenti nezavise od λh, a desna strana - proizvod homogene linearne funkcije λh sa nezavisnomfunkcijom ψ(t), ova druga, po potrebi, takoe mora biti homogena linearna, tj. morabiti oblika ψ(t) = ψα(x)λ

α(t). Sada je uslov (2.5) identiqan uslovu

P hij(x) = ψi(x)δ

hj + ψj(x)δ

hi , (2.6)

gde je δhi - Kronekerov simbol, a ψi neki kovarijantan vektor. Uslov (2.6) treba imatiidentiqan karakter u odnosu na x1, x2, . . . , xn. Lako je videti da ti uslovi nisu samopotrebni, no i dovoǉni da bi preslikavaǌe f bilo geodezijsko. Zaista, ako su oniispuǌeni, to je (2.5) ispuǌeno identiqno u pogledu x1, x2, . . . , xn i λ1, λ2, . . . , λn.Zato je bilo koje rexeǌe jednaqine (2.3) ujedno i rexeǌe jednaqine (2.4). Dakle,proizvoǉna geodezijska linija L prostora An e biti geodezijska linija prostoraAn, tj. preslikavaǌe prostora An na prostor An, zasnovano na principu jednakostikoordinata odgovarajuih taqaka, je geodezijsko. Stoga, vai sledea teorema.

2.1. Osnovne teoreme geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora 25

Teorema 2.1.1. Da bi preslikavaǌe f prostora afine koneksije An u prostorafine koneksije An bilo geodezijsko, potrebno i dovoǉno je da tenzor deforma-cije koneksije P h

ij preslikavaǌa f bude oblika (2.6).

Uslov (2.6) ima tenzorski karakter, xto znaqi da je invarijantan u pogledu iz-bora opxteg preslikavaǌa f u odnosu na sistem koordinata x1, x2, . . . , xn. Na osnovutog uslova, jednakost (2.1) moemo predstaviti u obliku

Γhij(x) = Γhij(x) + ψi(x)δhj + ψj(x)δ

hi . (2.7)

Iz (2.7) neposredno sledi da je preslikavaǌe f−1, inverzno geodezijskom preslika-vaǌu f prostora An u prostor An, geodezijsko preslikavaǌe, pri qemu ono odgovaravektoru ψi. Ako f predstavǉa geodezijsko preslikavaǌe prostora An u prostor An,koje odgovara vektoru ψi, to, kao u (2.7), imamo

Γh

ij(x) = Γhij(x) + ψi(x)δ

hj + ψj(x)δ

hi ,

gde je Γh

ij objekt koneksije An. Iz (2.7) imamo

Γh

ij(x) = Γhij(x) +(ψi(x) + ψi(x)

)δhj +

(ψj(x) + ψj(x)

)δhi .

Preslikavaǌe f koje je kompozicija geodezijskih preslikavaǌa f i f , predstavǉageodezijsko preslikavaǌe prostora An u prostor An i odgovara vektoru ψi = ψi+ψi.Za skup svih geodezijskih preslikavaǌa vai da ako se dva prostora afine koneksije

A(1)n i A

(2)n preslikavaju u neki trei prostor A

(3)n onda postoji geodezijsko pres-

likavaǌe iz jednog u drugi. Drugim reqima, skup svih prostora afine koneksije Ankoji se mogu geodezijski slikati u dati prostor An, koji je zatvoren u odnosu nageodezijska preslikavaǌa nazivamo geodezijskom klasom prostora An. Tako, dvaprostora koja se mogu geodezijski slikati jedan na drugi odgovaraju jednoj geodezi-jskoj klasi. Kada je prostor dat u odnosu na neki sistem koordinata x1, x2, . . . , xn

svojim objektom koneksije Γhij(x), na osnovu teoreme 2.1.1. i prema formuli (2.7)pri proizvoǉnom, konkretnom, izboru vektora ψi(x), dobijamo objekt koneksije nekogprostora An, koji se moe geodezijski preslikati na prostor An. Ako je u (2.7) vek-tor ψi(x) proizvoǉan, ta formula nam daje objekte koneksije svih prostora An, kojise mogu geodezijski preslikati na prostor An, tj. na geodezijsku klasu tog pros-tora. Posebno, vidimo da bilo koji prostor An dopuxta netrivijalno geodezijskopreslikavaǌe.

Prostor afine koneksije An nazivamo projektivna ravan ako se on moe geodez-ijski preslikati na ravan prostora An. U sluqaju ravnog prostora An, afinimkoordinatama, iz (2.7) dobijamo

Γhij(y) = ψi(y)δ

hj + ψj(y)δ

hi .

U ovom obliku predstavǉamo objekt koneksije proizvoǉne projektivne ravni pros-tora An u specijalnom sistemu koordinata. Ovo je potrebno i dovoǉno da bi prostor


An bio projektivna ravan, meutim, on nije invarijantan u odnosu na izbor sistemakoordinata.

U (2.1) i (2.7) geometrijski objekti Γhij(x) i Γhij(x) su Kristofelovi simboli

drugog reda, dobijeni iz metriqkih tenzora gij(x) i gij(x) Rimanovih prostora Vni Vn. Za tenzor gij vai:

∂gij(x)

∂xk− Γ

αki(x)gαj(x)− Γ

αkj(x)gαi(x) ≡ 0.

Koristei (2.7), dobijamo:

gij,k(x) = 2ψk(x)gij(x) + ψi(x)gkj(x) + ψj(x)gki(x), (2.8)

gde ”,”(zarez) oznaqava kovarijantnu diferencijabilnost u Vn. Lako je videti, dau sluqaju simetriqnog nesingularnog tenzora gij(x) iz (2.8) sledi (2.7), u kome su

Γhij(x) Kristofelovi simboli druge vrste, dobijeni iz tenzora gij . Tada, za Rimanov

prostor vai sledea teorema.

Teorema 2.1.2. Preslikavaǌe Rimanovog prostora Vn na Rimanov prostor Vnje geodezijsko ako i samo ako postoji veza (2.7) izmeu ǌihovih Kristofelovihsimbola drugog reda ili, ekvivalentno tome, ako metriqki tenzor gij prostoraVn u prostor Vn zadovoǉava uslov (2.8).

Stoga, (2.7) i (2.8) nazivamo osnovnim jednakostima teorije geodezijskih pres-likavaǌa Rimanovih prostora. One nose naziv Levi-Qivita, koji ih je prvi otkrio.Treba naglasiti, da jednakosti (2.7) i (2.8) imaju tenzorski karakter, xto znaqi dasu invarijantne u odnosu na izbor osnovnog sistema koordinata.

Kontrakovaǌem po h, j u (2.7), dobijamo

Γαiα(x) = Γαiα(x) + (n+ 1)ψi(x). (2.9)

U svakom Rimanovom prostoru Vn vai:

Γαiα(x) =1

2∂iln |g| ,

gde je g = det ∥gij∥. U sluqaju geodezijskog preslikavaǌa Rimanovih prostora, iz(2.9) sledi da je

2(n+ 1)ψi = ∂iln

∣∣∣∣ gg∣∣∣∣ . (2.10)

Kako koliqnik ggpredstavǉa invarijantu, iz (2.10) sledi da je vektor ψi gradijentan.

Ako geodezijsko preslikavaǌe iz Rimanovog prostora Vn u Rimanov prostor Vnodgovara vektoru ψi, to emo oznaqavati na sledei naqin:

γ : Vnψi−→ Vn.

Kao i u sluqaju prostora afine koneksije, i za Rimanove prostore kaemo da pri-padaju istoj geodezijskoj klasi ako postoji geodezijsko preslikavaǌe iz jednog udrugi.

2.2. Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavaǌa 27

2.2 Invarijantni geometrijski objekti geodezijskihpreslikavaǌa

Pretpostavimo da prostor afine koneksije An dopuxta geodezijsko preslikavaǌeu prostor An. Tada, u zajedniqkom po preslikavaǌu koordinatnom sistemu izmeukomponenata koneksije vai relacija (2.7). Iz ǌih proizilazi jednakost (2.9). Akoiz (2.9) izrazimo vektor ψi i zamenimo ga u (2.7), dobiemo

T hij(x) = T hij(x), (2.11)

gde je

T hij(x) = Γhij(x)−1

n+ 1

(δhi Γ

αjα(x) + δhj Γ

αiα(x)

)(2.12)

i sliqno tome definixemo T hij u An. Veliqinu T hij nazivamo projektivni parametarTomasa ili objekat projektivne koneksije prostora An, koji odgovara ǌegovom ob-jektu afine koneksije Γ. Uslov (2.11) govori i o tome da je projektivni parametarTomasa invarijantno geometrijsko preslikavaǌe. Istovremeno, iz (2.11) na osnovu(2.12) i odgovarajuih odnosa u An sledi (2.7), ako je vektor ψi odreen iz (2.9).Stoga, invarijantnost projektivnih parametara Tomasa za preslikavaǌe iz prostoraAn u prostor An je potreban i dovoǉan uslov da bi to preslikavaǌe bilo geometri-jsko.

Dok projektivni parametri Tomasa pri proizvoǉnom sistemu koordinatax1, x2, . . . , xn definixemo kroz objekt koneksije Γ po formuli (2.12), u rezultatutransformacije koordinata (1.1) i (1.3) parametri se meǌaju po odreenom prav-ilu, indukovanom pravilom transformacije (1.31) objekta koneksije. Ta formula jeoblika:

T′αij (x

′)∂xh

∂x′α= T hαβ(x)

∂xα

∂x′i

∂xβ

∂x′j+

1

n+ 1

(∂ln ∂x′i

∂xh

∂x′j+∂ln ∂x′j

∂xh

∂x′i

)+

∂2xh

∂x′i∂x′j,

gde je = det∥∥∥ ∂xi

∂x′j

∥∥∥. Zato je uslov invarijantnosti projektivnih parametara Tomasa

pri preslikavaǌu prostora An na An, kada su oni dodeǉeni nezavisno izabranomsistemu koordinata x1, x2, . . . , xn i x1, x2, . . . , xn, oblika

Tαij(x)∂xh

∂xα=T hαβ(x)

∂xα

∂xi∂xβ

∂xj+

+1

n+ 1

(∂ln ∂xi

∂xh

∂xj+∂ln ∂xj

∂xh

∂xi

)+

∂2xh

∂xi∂xj,

(2.13)

gde je = det∥∥∥ ∂xi∂xj

∥∥∥. Kao rezultat dobijamo

Teorema 2.2.1. Prostor afine koneksije An sa objektom koneksije Γhij(x) u sis-temu koordinata x1, x2, . . . , xn dopuxta geodezijsko preslikavaǌe na prostor Ansa objektom koneksije Γhij(x) u sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn ako i samo akopostoje funkcije klase Cr, koje zadovoǉavaju uslov (2.13).


U principu, ova teorema nam daje mogunost da za proizvoǉna dva prostora afinekoneksije An i An saznamo da li oni mogu da se slikaju geodezijski jedan u drugiili ne. Teorema 2.2.1. vai i za Rimanove prostore.

Neka je P hij(x) tenzor deformacije koneksije prostora An pri preslikavaǌu f na

prostor An. To znaqi da preslikavaǌe sistema koordinata izmeu objekta koneksijeAn i An zavisi od (2.1). Kako smo tenzor Rh

ijk Rimanovog prostora An izrazilipreko ǌegovog objekta koneksije po formuli (1.42), tj.

Rh.ijk(x) = ∂jΓ

hik(x) + Γαik(x)Γ

hαj(x)− ∂kΓ

hij(x)− Γαij(x)Γ

hαk(x),

to na osnovu (2.1) dobijamo

Rh.ijk(x) = Rh

.ijk(x) + P hik.j(x)− P h

ij.k(x) + Pαik(x)P

hαj(x)− Pα

ij(x)Phαk(x), (2.14)

pri qemu se kovarijantan izvod uzima u prostoru An (Rh.ijk − Rimanov tenzor u

An). Uzimajui u obzir uslov (2.6) tenzora deformacije koneksije pri preslikavaǌu

γ : Anψi−→ An, proizilazi sledea zavisnost izmeu tenzora Rimanovih prostora

An i AnRh.ijk = Rh

.ijk + δhi (ψkj − ψjk) + δhkψij − δhj ψik, (2.15)

gde jeψij = ψi,j − ψiψj. (2.16)

Kontrakovaǌem (2.15) po h i k dobijamo:

Rij = Rij + ψ[ij] + (n− 1)ψij. (2.17)

Ovde su Rij i Rij tenzori Riqija prostora An i An, a [ij] oznaqava alternaciju (bezraspodele). Alternacijom (2.17) po i i j dobijamo da je

(n+ 1)ψ[ij] = R[ij] −R[ij]. (2.18)

Prema tome, (2.17) nam daje

(n+ 1) (n− 1)ψij =(nRij + Rji

)− (nRij +Rji) .

Nakon zamene svih ovih izraza, na kraju tenzor ψij (n>1) iz (2.15) predstavǉamo uobliku

W h.ijk(x) = W h

.ijk(x), (2.19)

gde je

W h.ijk = Rh

.ijk +1

n+ 1δhi R[jk]−

− 1

n2 − 1

[(nRij +Rji) δ

hk − (nRik +Rki) δ

hj

].

(2.20)

Analogno u An odreujemo W h.ijk. Oqigledno, W h

.ijk predstavǉa tenzor tipa(13

)u

prostoru An. ǋega nazivamo tenzor Vejla ili tenzor projektivne krivine pros-tora An. Jednakost (2.19) pokazuje da je tenzor projektivne krivine invarijantageodezijskog preslikavaǌa. Time smo dokazali sledeu teoremu.

2.2. Invarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavaǌa 29

Teorema 2.2.2. Projektivni parametri Tomasa (2.12) i tenzor Vejla (2.20) suinvarijantni geometrijski objekti geodezijskih preslikavaǌa prostora afinekoneksije.

Ako su prostori An i An ekviafini onda su ǌihovi tenzori Riqija Rij i Rij

simetriqni. Tada iz (2.18) sledi da je ψij ≡ ψji ili, na osnovu (2.16), ψi,j ≡ ψj,i.Ovo oznaqava gradijentnost vektora ψi. U tom sluqaju je (2.17) oblika:

Rij = Rij + (n− 1)ψij. (2.21)

U ekviafinom prostoru An formula (2.20) za komponente tenzora Vejla je u prostijemobliku predsavǉena sa:

W h.ijk = Rh

.ijk −1

n− 1

(Rijδ

hk −Rikδ

hj

)(2.22)

Razmotrimo sluqaj geodezijskog preslikavaǌa prostora An na ravan prostor An.Tada je prostor An projektivno ravan. Kako je za An tenzor Rimana Rh

.ijk identiqkijednak nuli, tenzor Riqija Rij takoe jednak nuli, to iz formule (2.20) proizilazida je W h

.ijk ≡ 0. Tada je na osnovu (2.19) u prostoru An tenzor Vejla takoe iden-tiqki jednak nuli

W h.ijk(x) ≡ 0. (2.23)

Uslov (2.23) je potreban da bi An bio projektivno ravan, a za n>2 je i dovoǉan.Pre nego xto dokaemo, prodiskutujmo ono xto je korisno za dokazivaǌe (2.23).

Prvo (2.23) u saglasnosti sa (2.20) moemo ekvivalentno zapisati u obliku

Rh.ijk = − 1

n+ 1δhi R[jk] −

1

n2 − 1

(δhkpij − δhj pik

), (2.24)

pri qemu smo koristili krai zapis

pij = nRij +Rji. (2.25)

Iz (2.24), na osnovu Bjankijevog identiteta (1.48) sledi:

− (n− 1) δhi(R[jk],l +R[kl],j +R[lj],k

)+ δhkpij,l + δhl pik,j + δhj pil,k − δhj pik,l−

− δhkpil,j − δhl pij,k = 0.

Kontrakovaǌem ovde po h i l dobijamo

− (n− 1)(R[jk],i +R[ki],j +R[ij],k

)+ (n− 2) (pik,j − pij,k) = 0.

Cikliraǌem ovih relacija po i, j, k, na osnovu (2.25) dolazimo do uslova

R[ij],k +R[jk],i +R[ki],j = 0.


Zato za n>2 imamo

pij,k − pik,j = 0. (2.26)

Razmotrimo sada prostor An (n>2) koji zadovoǉava uslov (2.23). Pokazaemoda e on dopuxtati geodezijsko preslikavaǌe na ravan prostor An. Ako postoji

preslikavaǌe γ : Anψi−→ An, to vektor ψi mora zadovoǉiti u An uslov

ψi,j = ψiψj −1

n2 − 1pij, (2.27)

koji sledi iz (2.16), (2.17) i (2.23), dok tenzor Rij mora biti jednak nuli. Obratno,geodezijsko preslikavaǌe prostora An po pravilu (2.7) pomou vektora ψi, koji zado-voǉava uslov (2.27), oqigledno, dovodi nas do ravan prostor An. Za tenzor Riqijaprostora An jednakost (2.17), koja sledi iz (2.27) govori da je Rij ≡ 0. Kako je zaAn iz (2.19) i (2.23) W h

.ijk ≡ 0, iz formule (2.20) sledi da je Rh.ijk ≡ 0. Drugim

reqima, ako je u prostoru An zadovoǉen uslov (2.23) i ako postoji vektor ψi za kojivai (2.27), onda je on projektivno ravan. Ali, (2.27) predstavǉa sistem diferen-cijalnih jednaqina prvog reda Koxijevog tipa u odnosu na vektor ψi. Razmotrimosada uslov ǌegove integrabilnosti. Da bismo to uradili, moramo izdiferencirati(2.27) u An kovarijantno po xk i na rezultat primeniti alternaciju po j, k

ψi,jk − ψi,kj = ψi,kψj + ψiψj,k − ψi,jψk − ψiψk,j −1

n2 − 1(pij,k − pik,j) .

Koristei Riqijev identitet (1.44) i uzimajui u obzir jednaqine (2.27) i (2.26),dobijamo

ψαRα.ijk = − 1

n2 − 1(ψjpik − ψkpij + ψipjk)

Dakle, sistem diferencijalnih jednaqina (2.27) uvek ima rexeǌe.

Teorema 2.2.3. Prostor An (n>2) je projektivno ravan ako i samo ako je ǌegovtenzor Vejla identiqan nuli.

Posledica grupnog svojstva geodezijskih preslikavaǌa za bilo koja dva projek-tivno ravna prostora dopuxta geodezijsko preslikavaǌe jednog u drugi. Znaqi, sviprojektivno ravni prostori odgovaraju jednoj geodezijskoj klasi. Predznak tenzoraunutraxǌeg karaktera za datu klasu je odreen uslovom (2.23) (za n>2). Objektikoneksije svih projektivno ravnih prostora u specijalnom sistemu koordinata subili prikazani u prethodnom odeǉku.

Teorema 2.2.3. vai i za Rimanove prostore. Preciznije, Rimanov prostor Vn(n>2) dopuxta geodezijsko preslikavaǌe na ravan ili Euklidov prostor tada i samotada, kada je ǌegov tenzor Vejla (2.22) identiqki jednak nuli. To sledi iz toga xtose ravni afine koneksije i Rimanovi prostori karakterixu jednim i samo jednimuslovom − Rimanov tenzor je identiqki jednak nuli.

2.3. Geodezijska preslikavaǌa simetriqnih i rekurentnih Rimanovih prostora 31

Meutim, ako je za Rimanov prostor Vn tenzor projektivne krivine (2.22) jednaknuli, iz tog uslova, u rezultatu spuxtaǌa indeksa h pomou metriqkog tenzora gij ,dobijamo

Rhijk =1

n− 1(Rijghk −Rikghj) .

Kontrakcijom ovde obe strane sa gij , kako po i, tako i po j, nalazimo

Rij =R

ngij.

Prethodna korelacija pokazuje da Vn (n>2) predstavǉa prostor konstantne krivine.Tako, prostori konstantne krivine i samo oni su projektivno ravni Rimanovi pros-tori.

Teorema 2.2.4. (Beltrami, Ejzenhart)Ako Rimanov prostor Vn (n>2) dopuxta geodezijsko preslikavaǌe na prostorVn konstantne krivine, to Vn takoe ima konstantnu krivinu. Svaki prostorVn (n>2) konstantne krivine K dopuxta geodezijsko preslikavaǌe na bilo kojidrugi prostor Vn konstantne krivine K.

Validnost prvog dela teoreme sledi iz invarijantnosti tenzora Vejla u pogledugeodezijskih preslikavaǌa i qiǌenice da prostore konstantne krivine karakter-ixe uslov (2.23). Drugi deo teoreme je posledica teoreme 2.2.3. i grupnog svojstvageodezijskih preslikavaǌa.

2.3 Geodezijska preslikavaǌima simetriqnih i reku-rentnih Rimanovih prostora

Prostor afine koneksije An nazivamo polusimetriqan, ako ǌegov tenzorRimana Rh

. ijk u svakoj taqki zadovoǉava uslov

Rh.ijk|lm − Rh

.ijk|ml ≡ 0, (2.28)

gde | oznaqava kovarijantnu diferencijabilnost u An. Ako stavimo

Λhijklm(R) = −Rα.ijkR

h.αlm + Rh

.αjkRα.ilm + Rh

.iαkRα.jlm + Rh

.ijαRα.klm,

to je uslov (2.28), na osnovu Riqijevog identiteta (1.44), ekvivalentan sledeem:

Λhijklm(R) = 0. (2.29)

Rimanov prostor Vn sa metriqkim tenzorom gij nazivamo ekvidistantnim, ako uǌemu postoji vektorsko poǉe φi = 0, koje zadovoǉava jednakost

φi,j = ρgij. (2.30)


Kako je vektor φi po potrebi gradijentan, on odreuje u Vn normalnu kongruenciju,koju emo nazvati ekvidistantnom.

Prostori koji zadovoǉavaju uslov (2.30) se sreu pri izuqavaǌu konformnihpreslikavaǌa Rimanovih prostora.Za ρ = 0 ekvidistantan prostor emo smatrati da je osnovnog, a za ρ ≡ 0 specijalnogtipa.

Teorema 2.3.1. (Sinjukov)

Ako postoji netrivijalno preslikavaǌe γ : Vnψi−→ An, gde je An (n > 2) po-

lusimetriqan ekviafin prostor, onda je Vn ili Ajnxtajnov prostor ili ek-vidistantan prostor, u kome je ekvidistantna kongruencija generisana vek-torom ψi.

Zaista, pretpostavimo, da Rimanov prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijskopreslikavaǌe na ekviafinom polusimetriqnom prostoru An. Neka su Vn i An dodel-jena opxta preslikavaǌa sistema koordinata. Tada izmeu ǌihovih tenzora Rimanapostoji odnos tipa (2.15) ili, poxto posmatramo ekviafine prostore, i vai da jeψij = ψji,

Rh.ijk = Rh

.ijk + P hijk, (2.31)

gde jeP hijk = δhkψij − δhj ψik. (2.32)

Lako je videti da je posledica specifiqnosti tenzora P hijk,

Λhijklm(P ) ≡ 0.

Stoga, iz (2.29) dobijamo

Λhijklm(R)−Rα.ijkP

hαlm − Pα

ijkRh.αlm +Rh

.αjkPαilm + P h

αjkRα.ilm+

+Rh.iαkP

αjlm + P h

iαkRα.jlm +Rh

.ijαPαklm + P h

ijαRα.klm = 0,

ili ako uzmemo u obzir (2.32), i spustimo indeks h u Vn,

Λhijklm(R)− gh[mψl]αRα.ijk − ψi[lRm]hjk + ψj[lRm]khi − ψk[lRm]jhi+

+ ghkψα(jRα.i)lm − ghjψα(kR

αi)lm = 0.

Ovde zagrade [ ] oznaqavaju alternaciju, a zagrade ( ) simetriqnost.Tenzor krivine Rhijk prostora Vn ima kosu simetriju po h i i. Znaqi, i tenzor

Λhijklm(R) je takoe kososimetriqan po h i i, jer je po definiciji i u skladu saRiqijevim identitetom

Λhijklm(R) = Rh.ijk,[lm],

aΛhijklm = ghαΛ

αijklm = Rhijk,[lm].


Stoga, primenom simetrije u gorǌoj jednaqini po h i i, a zatim kontrakovaǌemrezultata sa gkl kako po k, tako i po l, dobijamo

−ghmψαβRα β. ij . − gimR

α β. hj .ψαβ + ghj

(ψαβR

α β. im . − ψiαR

αm

)+ ψm(iRh)j+

+ gij

(ψαβR

α β. hm . − ψhαR

αm

)− ψαmR

α. (ih)j + ψαjR

α. (ih)m = 0,

gde je Rij Riqijev tenzor prostora Vn, a operacija dizaǌa indeksa je dobijena pomoutenzora gij . Primenom simetrije na tu jednakost po m i j dobijamo

ψimRhj + ψijRhm + ψhmRij + ψhjRim−− gimψhαR

αj − gijψhαR

αm − ghmψiαR

αj − ghjψiαR

αm = 0.

(2.33)

Kontrakcijom ovde gij po i i po j, dobijamo

− (n+ 1)ψhαRαm − ghmψαβR

αβ. . + ψmαR

αh+ ψ Rhm + ψhmR = 0,

gde je ψ= ψαβgαβ, R - skalarna krivina prostora Vn. Kako su tenzori ghm, Rhm i

ψhm simetriqni, sledi da je

ψmαRαh = ψhαR

αm. (2.34)

Kontrakcijom istih prethodnih odnosa sa ghm pokazujemo da je

ψαβRαβ = R ψ,

pa oni imaju oblik

nψhαRαm =ψ Rhm +Rψhm − R

nψ ghm. (2.35)

Posmatrajmo sada tenzor

Qijhm = gijψhαRαm + ghmψiαR

αj −Rijψhm −Rhmψij. (2.36)

Na osnovu (2.34) on zadovoǉava uslov

Qijhm = Qjihm = Qhmij.

Istovremeno, iz (2.33) imamo

Qijhm +Qhjim = 0.

Dakle,

Qijhm = −Qhjim = −Qjhim = Qihjm = Qhijm = −Qjihm = −Qijhm,


tj. Qijhm ≡ 0. Iz (2.35) i (2.36) to znaqi da je

ξijEhm + ξhmEij = 0, (2.37)

gde je

ξij =ψ

ngij − ψij, (2.38)

Eij =R

ngij −Rij. (2.39)

Meutim, oqigledno je da (2.37) moe vaiti ako i samo ako za Vn vai bar jedanod uslova

a) Eij ≡ 0 ili b) ξij ≡ 0. (2.40)

U sluqaju a) iz (2.39) zakǉuqujemo da je Vn Ajnxtajnov prostor. Sluqaj b) u skladusa (2.38) i (2.16) daje

ψi,j − ψiψj =ψ

ngij

ili, ako stavimo da je φi = e−ψψi, dobijamo uslov (2.30). To znaqi da vektor ψiodreuje u Vn ekvidistantnu kongruenciju. Ovim je dokazana teorema 2.3.1.

Pretpostavimo da je An simetriqan ekviafin prostor. Tada ǌegov tenzor Rimanazadovoǉava uslov

Rh.ijk|l ≡ 0, (2.41)

gde | oznaqava kovarijantno diferenciraǌe u An. Odatle sledi da je u An tenzorRiqija takoe apsolutno paralelan, tj. Rij|l ≡ 0, i u saglasnosti sa (2.22) je

W h.ijk|l ≡ 0. (2.42)

Sada lako moemo dokazati sledeu teoremu.

Teorema 2.3.2. (Sinjukov)Ako Rimanovi prostori Vn (n>2) dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslika-vaǌe na simetriqnom ekviafinom prostoru An, onda je Vn prostor konstantnekrivine.

Pretpostavimo da postoji preslikavaǌe γ : Vnψi−→ An, ψi = 0. Kako prema

uslovu teoreme, prostor An zadovoǉava uslov (2.41), to za ǌega vae i uslovi (2.28),tj. prostor An je polusimetriqan. Tada, na osnovu teoreme 2.3.1. za prostor Vn vaiuslov (2.40).

U sluqaju (2.40−a) obratimo paǌu na to xto iz (2.42) i (2.19) za Vn dobijamoW h

. ijk|l ≡ 0 ili, na osnovu (2.7),

W h. ijk,l + δhl ψαW

α. ijk − 2ψlW

h. ijk − ψiW

h. ijk − ψjW

h. ilk − ψkW

h. ijl = 0. (2.43)


Tenzor Vejla (2.22), za Ajnxtajnov prostor, zadovoǉava uslov (2.40−a) i oblika je

W h. ijk = Rh

. ijk +R

n(n− 1)

(δhj gik − δhkgij

).

Dakle, tenzorWhijk = ghαW

α. ijk

ima sva algebarska svojstva kao tenzor krivine Rimanovog prostora. Posebno, on jekososimetriqan po prva dva indeksa. Stoga, spuxtaǌem indeksa h u (2.43) u Vn iprimenom simetrije u rezultatu po h i i dobijamo

ghlψαWα. ijk − ψiWhljk + gilψαW

α. hjk − ψhWiljk = 0.

Kontrakovaǌem sa ghl pokazujemo da je ψαWα. ijk = 0, xto znaqi da je

ψiWhljk + ψhWiljk = 0.

Kako je ψi = 0, odatle direktno sledi da je Whljk ≡ 0. Prema tome, Vn (n>2) morabiti prostor konstantne krivine.

U sluqaju (2.40−b) posmatramo u Vn tenzor

Πhijk = Rh

.ijk +ψ

n

(δhkgij − δhj gik

).

Iz (2.15) na osnovu (2.40−b) sledi da je Πhijk = Rh

.ijk. Stoga, iz (2.41) za tenzor Πhijk

dobijamo uslov oblika (2.43). Lako je videti da su svi naredni argumenti dobijeniprilikom razmatraǌa sluqaja a), i dovode nas do zakǉuqka

Πhijk = Rhijk +ψ

n(ghkgij − ghjgik) ≡ 0.

Odavde zakǉuqujemo da Vn (n>2) ima konstantnu krivinu, i time je teorema dokazana.Uporeivaǌem teoreme 2.8 i 2.7 dobijamo

Posledica 2.3.1 Simetriqni Rimanovi prostori Vn (n>2), za razliku od pros-tora konstantne krivine, ne dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Posmatrajmo sada sluqaj kad je prostor An rekurentan, tj.kada ǌegov tenzorRimana zadovoǉava uslov

Rh. ijk|l = ρlR

h. ijk. (2.44)

Oqigledno, odatle sledi Rij|l = ρlRhij i zato je

W h. ijk|l = ρlW

h. ijk. (2.45)

Analogno prethodnom, dobijamo


Teorema 2.3.3. (Sinjukov)Ako Rimanovi prostori Vn (n>2) dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslika-vaǌe na polusimetriqkom rekurentnom ekviafinom prostoru An, onda je Vnprostor konstantne krivine.

Kako je na osnovu uslova teoreme prostor An polusimetriqan i ekviafin, naosnovu teoreme 2.3.2. za Vn jedino moe da vai sluqaj (2.40). Ali iz (2.19) i (2.45)za tenzor Vejla Vn dobijamo W h

. ijk|l = ρlWh. ijk ili, u saglasnosti sa (2.7),

W h. ijk,l + δhl ψαW

α. ijk − 2ψlW

h. ijk − ψiW

h. ljk − ψjW

h. ilk − ψkW

h. ijl = ρlW

h. ijk.

Kako je u sluqaju (2.40−a) tenzor Whijk kososimetriqan po h i i, posle spuxtaǌaindeksa h u Vn i primenom simetriqnosti u rezultatu po h i i dolazimo do odnosa,koji je u sluqaju (2.40−a) dokaz teoreme 2.8. Iz toga zakǉuqujemo da je za ψi = 0prostor Vn prostor konstantne krivine.

U sluqaju (2.40−b) analogno iz (2.44) sledi da su tenzori Πhijk odreeni kao u

prethodnom pasusu. Oni na isti naqin dovode do zakǉuqka da za ψi = 0 prostor Vnmora biti prostor konstantne krivine. Time je teorema 2.3.3. dokazana.

Iz teoreme 2.2.4. i 2.3.3. dobijamo

Posledica 2.3.2 Rekurentni Rimanovi prostori Vn (n>2), za razliku od pros-tora konstantne krivine, ne dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

2.4 Ekvidistantni Rimanovi prostori

Po definiciji, ekvidistantne prostore Vn karakterixe uslov (2.30). Uslov (2.30)ima tenzorsku strukturu i zato igra ulogu invarijantne analitiqke funkcije zaekvidistantne prostore. U ovom delu razmatramo pitaǌa postojaǌa ekvidistantnihprostora, ǌihovih geometrijskih svojstava i geodezijskih preslikavaǌa.

Posmatrajmo uslov (2.30), koji predstavǉa sistem diferencijabilnih jednaqinau odnosu na gradijentni vektor φi. Naimo uslov integrabilnosti tog sistema.Diferenciraǌem (2.30) kovarijantno po xk u Vn, zatim alterniraǌem po j, k ikorixeǌem Riqijevog identiteta dobijamo

φαRα. ijk = ρ,kgij − ρ,jgik.

Kontrakcijom ovde oba dela sa φi = giαφα, nalazimo da je ρ,kφj − ρ,jφk = 0 ili,jer je φj = 0, ρ,j = σφj, pa se zato ρ javǉa kao funkcija od φ. Prema tome, uslov(2.30) dobija oblik

φi,j = ρ(φ)gij. (2.46)

Daǉe, podizaǌe ovde indeksa i i zamenom sa φj, vidimo da je φi,αφα = ρ(φ)φi. To

znaqi da svaka trajektorija L vektorskog poǉa φi predstavǉa geodezijsku liniju

2.4. Ekvidistantni Rimanovi prostori 37

prostora Vn. Dakle, ako vektor φi(x) nije izotropan, on odreuje u Vn normalnugeodezijsku kongruenciju. Sve krive te kongruencije predstavǉaju ortogonalne tra-jektorije jednoparametarske familije hiperpovrxi

φ(x1, x2, . . . , xn) = c. (2.47)

Vektor φi(x) u proizvoǉnoj taqki M(x) ∈ Vn je normalan i prodire kroz ǌenufamiliju hiperpovrxi (2.47), jer je φi =

∂φ∂xi

. Za izvod kvadrata duine vektoraφi(x) prema (2.46) dobijamo(

gαβφαφβ),j= 2gαβφα,jφβ = 2ρ(φ)φj.

Prema tome, kada prostor Vn i vektorsko poǉe φi(x) zadovoǉavaju uslov (2.46),onda nam je gαβφαφβ = σ(φ) poznata funkcija. Po svim taqkama jedne i samo jednehiperpovrxi (2.47) duina vektora φi je jednaka.

Posmatrajmo sada u prostoru Vn proizvoǉnu neizotropnu geodezijsku liniju L,datu u parametarskom obliku, sa kakonskim parametrom τ , koji predstavǉa duinuǌenog luka. Za funkcije φ(τ) = φ(x(τ)) na osnovu (2.46) dobijamo

φ′ =dφ

dτ=

∂φ

∂xαdxα

dτ= φαλ

α,

φ′′ =d2φ

dτ 2= (φαλ

α),β λβ = φα,βλ

αλβ + φαλα,βλ

β = eρ(φ).

(2.48)

Dakle, φ′′(τ) = eρ(φ) (e = ±1). Kako funkciju ρ(φ) znamo, integracijom dobijamo

φ = θ(τ, τ0, φ′0, φ0, e), (2.49)

gde je τ0 poqetna vrednost kanonskog parametra, φ0 = φ(τ0), φ′0 = φ′(τ0) i θ poznata

funkcija.Neka je M proizvoǉna taqka hiperpovrxi

φ(x1, x2, . . . , xn) = φ0 (2.50)

familije (2.47). Pretpostavimo da geodezijska linija L prolazi kroz taqku M zaτ = τ0 (bez gubǉeǌa opxtosti, moemo pretpostaviti da je τ0 jednako nuli). Kakoje u svim taqkama hiperpovrxi (2.50) duina vektora normale jednaka, a vektor λh

jediniqan, to iz (2.49) sledi da se (φαλα)0 = φ′(τ0) moe smatrati veliqinom ugla

u taqki M izmeu geodezijske linije L i normale na hiperpovrxi (2.50). Formula(2.49) pokazuje da pomeraǌe iz bilo koje taqke M hiperpovrx (2.50) na bilo kojugeodezijsku liniju L (za jedno isto e), obrazuje jedan isti ugao φ′

0 sa normalom natu hiperpovrx, na istom rastojaǌu τ , dobijamo razliqite taqke, ali se sve nalazena jednoj istoj novoj familiji hiperpovrxi:

φ(x1, x2, . . . , xn) = θ(τ, τ0, φ′0, φ0, e)


To svojstvo normalne geodezijske kongruencije, odreeno vektorskim poǉem φh,nazivamo ekvidistantnim. Ono je analogno poznatom svojstvu normalne kongruencijeEuklidovog prostora, formiranog snopom pravih i koncentriqnih sfera sa centromu centru snopa.

Neka je sada, kao i ranije, Vn ekvidistantan Rimanov prostor sa neizotropnimvektorskim poǉem φi. Imajui u vidu familiju (2.47) za koordinatnu hiperpovrxje y1 = const, a ǌihove ortogonalne trajektorije za koordinatnu liniju y1, u novomsistemu koordinata emo imati:

g1σ(y) ≡ 0 (σ = 2, 3, . . . , n), (2.51)

φ = y1, φi = δ1i . (2.52)

Jednaqina (2.46) u saglasnosti sa (2.52) dobija oblik

−Γ1ij(y) = ρ(y1)gij

ili s’ obzirom na (2.51) i (2.52)

−g11(∂g1i∂yj

+∂g1j∂yi

− ∂gij∂y1

)= 2ρ(y1)gij. (2.53)

Za i = 1, j = σ > 1 zbog (2.51) dobijamo da je ∂g11∂yσ

≡ 0, tj. g11 = g11(y1). Ako u

(2.53) stavimo i = j = 1, tada je

−g11∂g11∂y1

= 2ρ(y1)g11,

ili, kako je g11 = 1g11

,

g11 =1

2∫ρ(y1)dy1 + c1

(c1 = const). (2.54)

Ako je u (2.53) i = σ > 1, j = µ > 1, prema (2.51) imamo da je

∂gσµ∂y1

= 2ρ(y1)g11(y1)gσµ.

Odavde, integraǉeǌem po y1 nalazimo

gσµ = gσµ(yν)e2

∫ρ(y1)g11(y1)dy1 .

No, iz (2.54) sledi da je

e2∫ρ(y1)g11(y1)dy1 =

1

g11(y1).

2.4. Ekvidistantni Rimanovi prostori 39

Konaqno dobijamo

gσµ =1

g11(y1)gσµ(y

ν) (σ, µ > 1),

gde je gσµ proizvoǉna funkcija od y2, y3, . . . , yn, pri qemu je det∥gσµ∥ = 0. Tako,osnovna metriqka forma proizvoǉnog ekvidistantnog prostora Vn pri neizotropnomvektorskom poǉu φi dobija oblik

I = g11(y1)(dy1)2 +

1

g11(y1)gσµ(y

ν)dyσdyµ. (2.55)

Pri tom je g11(y1) odreena formulom (2.54) pri qemu je ρ(y1) proizvoǉna funkcija.

Kada je ρ = 0, to je g11 = e1 i Vn je smaǌen. Ako je ρ = 0, to je g11 = const i nakonpromene samo jedne prve koordinate

z1 =

∫ √|g11(y1)|dy1, zσ = yσ (σ > 1),

forma (2.55) se zapisuje na sledei naqin:

I = e1(dz1)2 + Φ(z1)gσµ(z

ν)dzσdzµ. (2.56)

Ovde je e1 = ±1, a Φ(z1) (= 0) proizvoǉna funkcija od z1. Zaista, nai emo uprostoru Vn sa osnovnom metriqkom formom (2.56) vektorsko poǉe φi =

∂φ∂zi

, pret-postavǉajui da je φ = φ(z1). Tada je

φ1 = φ′(z1), φσ = 0 (σ > 1). (2.57)

Elementi gij(z) metriqkog tenzora prostora Vn na osnovu (2.56) imaju sledeekarakteristike:

g11 = e1(= ±1), g1σ ≡ 0, gσµ = Φ(z1)gσµ(zν) (σ, µ, ν > 1). (2.58)

Zato za Kristofelove simbole drugog reda dobijamo sledee vrednosti:

Γ111 = Γ1

1σ = Γσ11 = 0, Γµσ1 =1

2

Φ′

Φδµσ ,

Γ1σµ = −e1

2Φ′gσµ, Γνσµ = Γνσµ,

(2.59)

gde je Γνσµ Kristofelov simbol drugog reda, izveden iz gσµ(xν).

S’ obzirom na (2.57) i (2.58), iz jednaqine (2.46), ako je i = j = 1, dobijamo

φ′′(z1) = e1ρ. (2.60)

Za i = 1, j > 1 (ili obratno) iz (2.58) identiqno dobijamo jednaqinu (2.46). Nakraju, za i, j > 1 na osnovu (2.58) i (2.59) jednaqina (2.46) prelazi u uslov:

e1Φ′ = 2ρΦ. (2.61)


Iz (2.60) i (2.61) za proizvoǉnu funkciju Φ(z1), oqigledno, moemo nai φ(z1) iρ(z1), tako xto je φ′ = φ1 = 0.

Tako, kanonski oblik osnovne metriqke forme ekvidistantnog prostora Vn prineizotropnom vektoru φi odreen je formulama (2.55) i (2.56). Iz (2.56) vidimo daskup svih ekvidistantnih prostora Vn imaju qak veu funkcionalnu proizvoǉnost,nego skup svih Rimanovih prostora dimenzije n− 1.

Ako je vektor φi izotropan, iz (2.46) proizilazi da je ρ = 0, a to znaqi dau Vn postoji apsolutno paralelno vektorsko poǉe. Za ove ekvidistantne prostoreposebnog tipa takoe postoji kanonska forma metrike, ali je neemo razmatrati.

Razmotimo sada geodezijsko preslikavaǌe ekvidistantnih prostora Vn osnovnogtipa. Pretpostavimo da je metrika prostora predstavǉena u kanonskom obliku (2.56).

Kao xto znamo, preslikavaǌe γ : Vnψi−→ Vn postoji ako i samo ako metriqki

tenzor gij iz prostora Vn u Vn zadovoǉava jednaqinu (2.8), tj.

∂gij∂zk

− Γαkigαj − Γαkj gαi = 2ψkgij + ψigkj + ψj gki. (2.62)

Posmatrajmo te jednaqine sa sledeim dodatnim ograniqeǌima:

g1σ ≡ 0, ψσ ≡ 0 (σ > 1). (2.63)

Tada iz jednaqine (2.62) za i = j = k = 1, na osnovu (2.59) i (2.63) sledi da je

∂g11∂z1

= 4ψ1(z1)g11,

a za i = j = 1, k = σ > 1, da je ∂g11∂zσ

≡ 0. Prema tome, odmah zakǉuqujemo da je

g11 = ce4ψ(z1). (2.64)

Za i = k = 1, j > 1 jednaqina (2.62) u skladu sa (2.59) i (2.63) se odraujeidentiqno. Ako je u (2.62) i, j > 1, k = 1, imaemo

∂gσµ∂z1

=

(2ψ1 +

Φ′

Φ

)gσµ.

Kada je i = 1, j, k > 1 to pokazuje da je(2ψ1 +

Φ′

Φ

)gσµ = e1Φ

′gσµ

ili (ako pretpostavimo da je Φ′ = 0)

gσµ = e1Φ′(

2ψ1 +Φ′

Φ

) gσµ. (2.65)

2.5. Normalna geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostora 41

U korelaciji sa prethodnim jednaqinama, dobijamo

2ψ1 =Φ′

Φ + d− Φ′

Φ, (2.66)

gde je d proizvoǉna konstanta.Iz (2.65), na osnovu (2.66), imamo

gσµ = e(Φ + d)gσµ.

Dakle, osnovna metriqka forma prostora Vn je oblika

I = ce4ψ(z1)(dz1)2 + e1(Φ + d)gσµ(z

ν)dzσdzµ. (2.67)

Taj Rimanov prostor Vn sa osnovnom metriqkom formom (2.56) dopuxta geodezijskopreslikavaǌe na prostor Vn sa metriqkom formom (2.67), koje je za Φ′ = 0 i d = 0netrivijalno, jer je funkcija ψ odreena iz jednaqine (2.66) i pod ovim ograniqe-ǌima nije konstantna. Oqigledno, prostor Vn je takoe ekvidistantan.

Tako, proizvoǉan ekvidistantan prostor osnovnog tipa (za ρ = 0) dopuxtanetrivijalno geodezijsko preslikavaǌe sa oquvaǌem ekvidistantne kongruencije.

2.5 Normalna geodezijska preslikavaǌa Rimanovihprostora

Preslikavaǌe γ : Vnψi−→ Vn nazivamo normalnim ako se:

1) Vn deli na dve familije nezavisnih ortogonalnih povrxi Sn−m i Sm, odreenejednaqinama oblika

Fp(x1, x2, . . . , xn) = cp (p = 1, 2, . . . ,m)

Fσ(x1, x2, . . . , xn) = cσ (σ = m+ 1,m+ 2, . . . , n),

gde je proizvoǉna hiperpovrx Fp prve familije ortogonalna svakoj drugoj hiper-povrxi Fk za k = 1, 2, . . . , n, (p = k).2) Preslikavaǌe γ quva raspodelu i na povrxi Sn−m indukuje trivijalno geodezi-jsko preslikavaǌe, a na povrxi Sm netrivijalno.

Nezavisnost familije povrxi Sn−m i Sm ovde podrazumevamo u tom smislu dasu funkcije koje ih odreuju Fk(x

1, x2, . . . , xn) nezavisne i zato je Jakobijan

det

∥∥∥∥∂Fk∂xl

∥∥∥∥ = 0.

Pretpostavimo da je preslikavaǌe γ normalno, i da su Vn i Vn predstavǉenizajedniqkim sistemom koordinata x1, x2, . . . , xn. Izaberimo sada novi opxti sistemkoordinata u1, u2, . . . , un, i stavimo

uh = Fh(x1, x2, . . . , xn) (h = 1, 2, . . . , n).


Oznaqimo, kao i obiqno, komponente metriqkih tenzora Vn i Vn u novom sistemukoordinata sa gij(u) i gij(u), a elemente ǌihove inverzne matrice sa gij(u) i gij(u).Tada, iz ortogonalnosti u Vn i Vn hiperpovrxi Fp (p = 1, 2, . . . ,m) i Fk (k =1, 2, . . . , n) za p = k (oni su sada definisani kao koordinatne hiperpovrxi up = cpi uk = ck), imamo

gpk(u) = gpk(u) ≡ 0.

Posledǌa jednakost je ekvivalentna qiǌenici da je

gpk(u) = gpk(u) ≡ 0. (2.68)

Prema tome, osnovna metriqka forma prostora Vn i Vn u novom sistemu koordinataje oblika

I = gpp(u)(dup)2 + gσµ(u)du

σduµ (2.69)

iI = gpp(u)(du

p)2 + gσµ(u)duσduµ (2.70)

(p = 1, 2, . . . ,m; σ, µ = m+ 1,m+ 2, . . . , n; 0 < m ≤ n).

Ovde je oqigledno gpp = 0 (gpp = 0), det ∥gσµ∥ = 0 (det ∥gσµ∥ = 0). U skladusa drugim delom definicije normalnog geodezijskog preslikavaǌa, za vektor ψi(u)dobijamo

ψp(u) = 0, ψσ ≡ 0 (2.71)

ili, kako je vektor ψi gradijenta, tj. ψi =∂ψ∂ui

,

ψ = ψ(u1, u2, . . . , um).

Razmotrimo za date prostore Vn i Vn jednaqinu (2.8).a) Neka je u (2.8) i = p, j = q, k = r i p, q, r ≤ m, tj.

gpq,r = 2ψrgpq + ψpgqr + ψqgpr (2.72)

Za p = q = r, na osnovu (2.68) dobijamo

∂lngpp∂up

− ∂lngpp∂up

= 4ψp, (2.73)

gde se po p ne vrxi sumiraǌe. Ako u (2.72) stavimo p = q = r, i pretpostavimo daje m > 1, dobijamo

∂lngpp∂ur

− ∂lngpp∂ur

= 2ψr. (2.74)

Diferenciraǌem (2.73) po ur, a (2.74) po up i oduzimaǌem dobijenih izraza, nalazi-

mo da je ∂2ψ∂up∂ur

≡ 0 (p = r), tj.

ψ = φ1(u1) + φ2(u

2) + . . .+ φm(um), (2.75)


gde, na osnovu (2.71), ni jedna od funkcije φq(uq) nije konstantna.

Iz jednaqine (2.74) integraǉeǌem po ur(r = p) nalazimo da je

gpp = e2ψgppap(up;uσ),

gde je ap funkcija jedne od promenǉivih prve grupe up i um+1, um+2, . . . , un. No,diferenciraǌem po up na osnovu (2.73) dobijamo da je

∂lnap∂up

= 2ψp = 2φ′p(u

p),

odnosno,ap = e2φp(up)ap(u

σ) (ap = 0),

gde ap vixe ne zavisi od up. Prema tome, prethodni odnos dobija oblik

gpp = e2(ψ+φp)gppap(uσ). (2.76)

Razmotrimo sada jednaqinu (2.72) za p = r = q. Na osnovu (2.68) dolazimo douslova

∂gpp∂uq

(gqqgqq − gppgpp) = 2ψqgpp,

gde se po p i q ne vrxi sumiraǌe, gqq = 1gqq

. Imajui u vidu (2.76), odatle dobijamoda je

∂lngpp∂uq

=2ψq

1aqe−2φq

1ape−2φp − 1

aqe−2φq

ili, posle integraǉeǌa po uq (q = p),

gpp =∏q =p

′∣∣∣∣ 1ap e−2φp − 1

aqe−2φq

∣∣∣∣ gpp(up; uσ), (2.77)

gde∏q =p

′oznaqava proizvod po svim q-ovima od 1 do m, osim za q = p, i gpp je neka

funkcija (razliqita od nule) od up i um+1, um+2, . . . , un.Jednaqina (2.72) za meusobno razliqite p, q, r je identiqno izvedena na osnovu

(2.68).b) Razmotrimo sada jednaqinu (2.8) kada dva indeksa ne prelaze m, a jedan je

vei od m.Neka je i = p, j = q (≤ m), k = σ (> m). Tada iz (2.68) i (2.71) imamo

gpq,σ = 0.

Za p = q, na osnovu (2.68) ta jednaqina je izvedena identiqno. Ako je p = q, dobijamo

∂lngpp∂uσ

− ∂lngpp∂uσ

= 0.


Na osnovu (2.76) to znaqi da je ap konstanta.Kada je u (2.8) i = p, k = q (< m), j = σ (> m), s’ obzirom na (2.68) i (2.71),

imamogpσ,q = 0.

Za p = 0, kako je lako videti, data jednaqina je izvedena identiqno. Kada je p = q,odatle se javǉaju uslovi, usvojeni prema (2.76) oblika

∂gpp∂uµ

(gµν gνσ − δµσe

2(ψ+φp)ap)= 0. (2.78)

v) Sledee razmatraǌe jednaqine (2.8) je kada su dva indeksa vea od m, a jedanne prelazi m. Za i = p (≤ m), j = σ, k = µ (> m), na osnovu (2.68) i (2.71) imamo

−Γνpµgνσ − Γqσµgqp = ψpgσµ. (2.79)

Kako su gσµ i Γqσµ simetriqni, iz (2.79) sledi da je

Γνpµgνσ − Γνpσgνµ = 0.

Na kraju, za i = σ, j = µ (>m) jednaqina (2.8) je predstavǉena na sledei naqin

∂gσµ∂up

− 2Γνpσgνµ = 2ψpgσµ.

Nakon dvostrukog oduzimaǌa jednaqine (2.79) (upotrebom (2.68)), dobijamo

∂gσµ∂up

− ∂gσµ∂up

gppgpp = 0,

gde se po p ne vrxi sumiraǌe. Prema tome, (2.76) nas dovodi do odnosa

∂gσµ∂up

− ∂gσµ∂up

ape2(ψ+φp) = 0. (2.80)

Iz (2.68) i (2.76) jednaqinu (2.79) predstavǉamo u obliku

∂gσν∂up

(δνµape

2(ψ+φp) − gνλgλµ)= 2ψpgσµ. (2.81)

Kako je ψp = 0 za svako p = 1, 2, . . . ,m i det ∥gσµ∥ = 0, zakǉuqujemo da su zaproizvoǉno fiksirano p razliqito od nule sledee determinante reda n−m:

det∥∥δνµape2(ψ+φp) − gνλgλµ

∥∥ = 0, det

∥∥∥∥∂gσν∂up

∥∥∥∥ = 0. (2.82)

Na osnovu prvog uslova (2.82) iz (2.78) sledi da je ∂gpp∂uµ

≡ 0, tj. gpp ne zavisi odum+1, um+2, . . . , un.


Dakle, u formuli (2.77) gpp za svako fiksirano p moe biti funkcija od samo jednepromenǉive up.

g) Posledǌe razmatraǌe jednaqine (2.8) je kada su i, j, k > m i tada, na osnovu(2.68) i (2.71), imamo da je

∂gσµ∂uν

− Γλνσgλµ − Γλνµgλσ = 0. (2.83)

Obratimo paǌu na sledee. U sistemu koordinata uh familije povrxi Sn−modreene su izborom konkretnih vrednosti u1, u2, . . . , um, a um+1, um+2, . . ., un

igraju ulogu unutraxǌih koordinata. Lako je videti da gσµ(u) i gσµ(u) odreujuna svaku od pomenutih povrxi Rimanovu metriku, indukovanu metrikom koja obuh-vata prostore Vn i Vn, koja zavisi od u1, u2, . . . , um kao i od ostale parametre. Jed-naqine (2.80) i (2.81) nameu odreene zahteve na zakonitosti promene tih metrikapri prelazu od jedne familije povrxi Sn−m na drugu. Familiju povrxi Sn−m kaoRimanove prostore sa metriqkim tenzorima gσµ(u) i gσµ(u) emo oznaqavati sa Vn−mi Vn−m redom.

Na osnovu (2.68) Γλσν se moe izraziti samo pomou gσµ, i to su Kristofelovisimboli druge vrste prostora Vn−m. Uslov (2.83) govori o tome da je metriqkitenzor gσµ prostora Vn−m apsolutno paralelan u Vn−m:

gσµ,ν ≡ 0.

Drugim reqima, normalno geodezijsko preslikavaǌe γ : Vnψi−→ Vn indukuje na

familiji povrxi Sn−m trivijalno geodezijsko preslikavaǌe.Analogno, fiksiraǌem um+1, um+2, . . . , un dobijamo familiju povrxi Sm, gde

su u1, u2, . . . , um unutraxǌe koordinate. Indukovaǌem na povrxi Sm u Vn i Vnosnovne metriqke forme dobijamo u obliku gpp(u)(du

p)2 i gpp(u)(dup)2 redom. Oni,

kao xto je gore navedeno, ne zavise od parametra um+1, um+2, . . . , un familije Sm.Dakle, lako je videti da je svaka od povrxi Sm u potpunosti geodezijska u Vn iVn, iako definicija normalnog geodezijskog preslikavaǌa to i ne obezbeuje. Na

kraju, normalno geodezijsko preslikavaǌe γ : Vnψi−→ Vn na povrxi Sm indukuje

netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe sa oquvaǌem m-ortogonalnog sistema. Lakoje videti, da uvedeni sistem koordinata uh dopuxta bilo kakvu transformacijuoblika

up = up(up),

uσ = uσ(um+1, um+2, . . . , un),

ako je dup

dup= 0 i det

∥∥∥ ∂uσ∂uν

∥∥∥ = 0. Dakle, ako uzmemo u obzir (2.75), preporuqǉivo jeda se stavi

φp(up) = up, tj. ψ = u1 + u2 + . . .+ um.

Drugim reqima, bez gubǉeǌa opxtosti, moemo staviti

ψ = u1 + u2 + . . .+ um, ψp = 1, φp = up, φ′p = 1. (2.84)


Deo 3

Osnovne teoreme teorije geodezijskihpreslikavaǌa Rimanovih prostora

U prethodnom poglavǉu je bilo ukazano na postojaǌe xiroke klase Rimanovihprostora Vn, koji dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe. Sve ǌih, osimprostora konstantne krivine, odlikuje sistem koordinata, prema kom osnovna metriq-ka forma ima odreeni kanonski oblik. Meutim, kada je prostor Vn definisanproizvoǉnim sistemom koordinata, za odreivaǌe mogunosti ili nemogunosti kojidovodi ǌegovu osnovnu metriqku formu u jedan od ovih oblika u opxtem sluqaju nepostoje regularne metode.

S’ druge strane, prema istraivaǌima iz druge glave, zakǉuqak je da veinaRimanovih prostora ne dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Posebno, to je bilo dokazano za simetriqne i rekurentne klase Rimanovih pros-tora.

U skladu sa pomenutim principijalnim znaqeǌem u teoriji geodezijskih pres-likavaǌa Rimanovih prostora ima razvoj regularnih metoda, koji bi nam dali mogu-nost da Rimanov prostor Vn bude proizvoǉan, bez obzira na to xto sistem koordi-nata moe biti povezan, dopuxta li ono netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe iline, a ako dopuxta, pronai sve prostore Vn koji se slikaju geodezijski na Vn, tj.nai sve geodezijske klase prostora Vn.

Ovo poglavǉe daje kratak pregled metoda koji e regularno i u potpunosti rexi-ti gore navedeni problem i nai priblino i brojqano ǌihovo rexeǌe.

Osim toga, ovde uvodimo pojam stepena mobilnosti r Rimanovih prostora uodnosu na geodezijskih preslikavaǌa koji karakterixu kapaciteti geodezijske klasetog prostora, dobijamo nove teoreme o geodezijskim jednoznaqno odreenim nekimtipom Rimanovih prostora.

47

48 3. Osnovne teoreme teorije geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora

3.1 Novi oblik osnovnih jednaqina teorije geodezi-jskih preslikavaǌa Rimanovih prostora

Kao xto znate, Rimanov prostor Vn dopuxta geodezijsko preslikavaǌe na prostorVn ako i samo ako pri opxtem preslikavaǌu sistema koordinata x1, x2, . . . , xn

metriqki tenzor gij(x) iz prostora Vn u Vn zadovoǉava uslov (2.8):

gij,k = 2ψkgij + ψigjk + ψj gik, (3.1)

a prema (2.10)

(n+ 1)ψi =1

2∂iln

∣∣∣∣ gg∣∣∣∣ . (3.2)

U datom Rimanovom prostoru (3.1) i (3.2) predstavǉaju sistem nelinearnih difer-encijalnih jednaqina sa parcijalnim izvodima prvog reda u odnosu na komponentetenzora gij . Za istraivaǌe uslova postojaǌa i jedinstvenosti rexeǌa tog sistemadostupne metode nisu neposredno primenǉive. Pokazaemo mogunost dovoeǌa (3.1)u ekvivalentni sistem za prouqavaǌe za koji postoje regularni metodi.

Kako je vektor ψk gradijenta, tj. ψk =∂ψ∂xk

, moemo staviti

gij = e−2ψgij. (3.3)

Nakon kovarijantnog diferenciraǌa (3.3) u Vn iz uslova (3.1) dobijamo

gij,k = ψigjk + ψj gik. (3.4)

Kako je tenzor gij nesingularan, tj. det ∥gij∥ = 0, formula (3.3) pokazuje da je i gijnesingularan. Oznaqimo elemente matrice, inverzne od ∥gij∥, sa gkl. Tada je

giαgαj = δji .

Diferenciraǌem tog identiteta kovarijantno u Vn i oslaǌajui se na ǌega, nalaz-imo

gij,k = −gαβ,kgαigβj.U saglasnosti sa (3.4) dobijamo

gij,k = λiδjk + λjδik, (3.5)

gde jeλi = −ψαgα. (3.6)

Spuxtaǌem u (3.5) indekse i i j u Vn i stavǉaǌem

aij = gαβgαigβj, λi = giαλα, (3.7)

dobijamoaij,k = λigjk + λjgik. (3.8)

3.1. Novi oblik osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavaǌa... 49

Oqigledno, u saglasnosti sa (3.3) i (3.7) aij je neki nesingularan simetriqan dvo-struko kovarijantan tenzor, a λi kovarijantan vektor.

Iz (3.3), (3.6) i (3.7) za aij i λi dobijamo sledei izraz za metriqke tenzorske

prostore Vn i Vn, koji se nalazi u geodezijskom odnosu γ : Vnψi−→ Vn:

aij = e2ψgαβgαigβj, (3.9)

λi = −e2ψψαgαβgβi. (3.10)

Kontrakcijom u (3.8) sa gij po i i j, nalazimo

(aαβgαβ),k = 2λk.

Dakle, λk je gradijentni vektor, pri qemu iz (3.10) vidimo da je λi = 0 za ψi = 0 iobratno.

Tako, ako prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe, u ǌemupostoji nesingularan simetriqan tenzor aij , koji zadovoǉava uslov (3.8) za nekigradijentan vektor λi = 0.

To ukazuje da je i suprotno tvreǌe takoe taqno. Zaista, podizaǌem u (3.8)indekse i i j u Vn, nalazimo da u skladu sa (3.7), tenzor

gij = aαβgαigβj

zadovoǉava jednaqinu (3.5) za λi = λαgαi, pri qemu je tenzor gij simetriqan i

nesingularan. Ali tada za elemente gij ǌegove inverzne matrice, xto se lako vidi,bie ispuǌeni uslovi (3.4) za ψi = −λαgαi.

Osim toga, za nesingularan simetriqan tenzor gij , koji zadovoǉava u Vn uslov(3.4) vektor ψi je sigurno gradijentan. Zaista, tada gij moemo posmatrati kaometriqki tenzor nekog Rimanovog prostora Vn. Za Kristofelove simbole druge vrsteΓhij tog prostora emo imati

Γααk =1

2∂kln|g|

ili, na osnovu jednaqine (3.4),

Γααk =1

2gαβ

(gαβ,k + Γγkαgγβ + Γγβkgγα

)= ψk + Γααk,

tj.

ψk = Γααk − Γααk =1

2∂kln

∣∣∣∣ gg∣∣∣∣ .

To Znaqi da je ψk gradijentan vektor, tj. ψk =∂ψ∂xk

. Ali tada za tenzor gij = e2ψgijiz (3.4), oqigledno, dobijamo uslov (3.1).

Teorema 3.1.1. (Sinjukov)Da bi Rimanov prostor Vn dopuxtao netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe,potrebno i dovoǉno je, da u ǌemu postoji nesingularan simetriqan dvostrukokovarijantan tenzor aij, koji zadovoǉava uslov (3.8) za neki vektor λi = 0.


Iz (3.3), (3.6) i (3.7) dobijamo da je

gij = e2ψaαβgαigβj, (3.11)

iψi = −λαgαi = −λαaαβgβi, (3.12)

gde su aij elementi matrice inverzne sa ∥aij∥.Na osnovu tih formula, za proizvoǉno nesingularno rexeǌe aij (λi = 0) sistema

jednaqina (3.8) nalazimo metriqki tenzor gij prostora Vn, na kome dati Rimanovprostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe, i vektor ψi, kome togeodezijsko preslikavaǌe odgovara. Prema tome, (3.8) moemo razmatrati kao novuformu osnovnih jednaqina teorije geodezijskoh preslikavaǌa Rimanovih prostora.Nadaǉe emo videti da su oni znaqajno efektivniji od klasiqnih jednaqina Levi-Qivita.

Na osnovu dokazane teoreme, dobijamo nekoliko korisnih posledica.

Posledica 3.1.1 Svaki ekvidistantan prostor Vn osnovnog tipa za ρ = 0 do-puxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Zaista, ekvidistantne prostore karakterixe uslov (2.46):

φi,j = ρgij.

Na osnovu tih uslova, za tenzor aij = cφiφj+c1gij za proizvoǉno c = 0 i konstantomc1, za koje je det∥aij∥ = 0, dobijamo

aij,k = c(φiφj,k + φjφi,k) = c(ρφigjk + ρφjgik).

Samim tim je jednaqina (3.8) zadovoǉena za λi = cρφi, pri qemu je λi razliqito odnule ako je ρ = 0. Prema teoremi 3.1.1. prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijskopreslikavaǌe. Time je posledica 3.1.1 dokazana.

Geodezijskom transformacijom Rimanovog prostora Vn nazivamo geodezijskopreslikavaǌe prostora Vn na samog sebe.

Razmotrimo u Vn pri proizvoǉnom sistemu koordinata x1, x2, . . . , xn, jedno-parametarsku grupu transformacija

xh = xh(x1, x2, . . . , xn; τ), (3.13)

gde je τ neki parametar. Za neko konkretno τ iz oblasti ǌegove promene po za-konu (3.13) proizilazi geodezijska transformacija Rimanovog prostora Vn, pri qemutaqka M(x) ∈ Vn prelazi u taqku M(x) ∈ Vn. Pretpostavimo da skup svih pre-slikavaǌa (3.13) prostora Vn odreuje grupu Li (Sofus Li, norvexki matematiqar)u odnosu na kanonski parametar. Pri tim uslovima funkcije (3.13) predstavǉajurexeǌe sistema diferencijalnih jednaqina oblika

dxh

dτ= ξh(x1, x2, . . . , xn), (3.14)

3.1. Novi oblik osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavaǌa... 51

koje odgovaraju poqetnim vrednostima

xh(x1, x2, . . . , xn; 0) = xh. (3.15)

Obratno, za bilo koji nenula regularan vektor ξh(x) rexeǌe jednaqine (3.14)oblika (3.13) sa poqetnim vrednostima (3.15) odreuju jednoparametarsku Lijevugrupu transformacije.

Ako za proizvoǉnu transformaciju (3.13) svaka geodezijska linija prostora Vnprelazi u geodezijsku liniju tog prostora imamo (po definiciji) grupu Li geode-zijskih transformacija Vn. Da bi (3.13) bila grupa geodezijskih transformacijaprostora Vn , potrebno je i dovoǉno da tenzor

bij(x) = ξi,j(x) + ξj,i(x) (3.16)

zadovoǉava uslov:bij,k = 2ψkgij + ψigjk + ψjgik. (3.17)

gde je ξi = giαξα, a ψi neki kovarijantan vektor. Za ψi = 0 grupu (3.13) nazivamo

grupom netrivijalnih geodezijskih transformacija prostora Vn. Iz (3.17) vidimoda je ψi gradijentan vektor. Dakle, pod pretpostavkom

aij = bij − 2ψgij,

nalazimo da tenzor aij (na osnovu (3.17)) zadovoǉava jednaqinu (3.8), a to znaqi daVn dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Transformaciju Rimanovog prostora Vn

xh = xh + εξh(x1, x2, . . . , xn), (3.18)

gde je ε proizvoǉan mali parametar, koji ne zavisi od x1, x2, . . . , xn, nazivamobeskonaqno mala geodezijska transformacija, ako u rezultatu svaka geodezijskakriva L prelazi u krivu L, koja je opet u glavnom delu geodezijske linije prostoraVn.

Da bi (3.18) bila beskonaqno mala geodezijska transformacija, potrebno je idovoǉno, da tenzor (3.16) zadovoǉava uslov (3.17). Ako Vn dopuxta netrivijalno(ψi = 0) beskonaqno malu geodezijsku transformaciju, onda on dopuxta takoe inetrivijalno geodezijsko preslikavaǌe. Tako, vai

Posledica 3.1.2 Ako Rimanov prostor Vn dopuxta jednoparametarsku grupuLi netrivijalnih geodezijskih transformacija (ili netrivijalnu beskonaqnomalu transformaciju), onda on dopuxta i netrivijalno geodezijsko preslika-vaǌe.

Saglasno tome, Rimanov prostor Vn koji ne dopuxta netrivijalno geodezijskopreslikavaǌe, ne dopuxta takoe ni netrivijalnu grupu Li geodezijskih transfor-macija, a takoe ni netrivijalnu beskonaqno malu geodezijsku transformaciju.


3.2 Invarijantna transformacija Rimanovihprostora

Neka Rimanov prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe, koje odgo-vara vektoru ψi, na prostor Vn. Tada, na osnovu teoreme 3.1.1. u Vn postoji simetriqannesingularan tenzor aij odreen po formuli (3.9) i koji zadovoǉava uslov (3.8).

Razmotrimo aij =1aij kao metriqki tenzor Rimanovog prostora

1

V n. Oznaqimo

Kristofelove simbole prve vrste prostora1

V n sa1

Γij,k. Tada iz (3.8) nalazimo da je

1

Γij,k = Γαij1aαk + λkgij,

gde su Γhij Kristofelovi simboli druge vrste prostora Vn. Odatle sledi da se

Kristofelovi simboli druge vrste1

Γkij prostora1

V n izraavaju u obliku

1

Γkij = Γkij + φkgij,

gde su φk = λαa1

αk, a1

jk - elementi matrice, inverzne matrici ∥1aij∥.

Koristei ovu vezu, dobijamo sledee predstavǉaǌe izvoda kovarijantnog metriqkog

tenzora gij prostora Vn u prostoru1

V n:

gij1k = −φigjk − φjgik,

gde je 1 - znak kovarijantnog diferenciraǌa u1

V n. Ovde je φi = φβgβi ili, uzimajuiu obzir prethodno predstavǉaǌe φi,

φi = λαa1

αβgβi.

Na osnovu (3.10) je φi = −ψi. Tako

gij1k = ψigjk + ψjgik.

No, tada za tenzor1aij = e2ψgij (3.19)

imamo1aij1k = 2ψk

1aij + ψi

1akj + ψj

1aki.

To se podudara sa jednaqinom (3.1) i govori o tome, da prostor1

V n dopuxta geodezij-

sko preslikavaǌe na1

V n, koje odgovara vektoru ψi. Samim tim je dokazana sledeateorema.

3.2. Invarijantna transformacija Rimanovih prostora 53

Teorema 3.2.1. (Sinjukov)Ako Rimanov prostor Vn sa metriqkim tenzorom gij dopuxta netrivijalnogeodezijsko preslikavaǌe, koje odgovara vektoru ψi, na prostor Vn sa metriqkim

tenzorom gij, onda Rimanov prostor1

V n sa metriqkim tenzorom1aij, odreen

formulom (3.9), dopuxta geodezijsko preslikavaǌe, koje odgovara istom vektoru,

na Rimanov prostor1

V n sa metriqkim tenzorom1aij, odreenim formulom (3.19).

Otkriven zakon, predstavǉen formulama (3.9), (3.19) i preslikavaǌe para Ri-

manovih prostora Vn i Vn, za koje postoji preslikavaǌe γ : Vnψi−→ Vn u drugi par

prostora (povezani istim preslikavaǌem γ :1

V nψi−→

1

V n), nazivamo invarijantnomgeodezijskom transformacijom Rimanovih prostora i oznaqiemo ga sa:

Γ(g, g, ψ) = (1a,

1a, ψ). (3.20)

Iz (3.9) i (3.19) vidimo da je transformacija Γ(g, g, ψ) jednoznaqno invertibilna.Zaista, prema (3.19) je

gij = e−2ψ1aij,

a zbog (3.11) je

gij = e−2ψa1

αβ1aαl

1aβj.

Uporeujui ovu jednaqinu sa (3.9) i (3.19), vidimo da je Γ(1a,

1a,−ψ) = (g, g,−ψ).

Dobijeno svojstvo Γ-transformacija prirodno nazivamo antiinvolucija.

Uvedimo sada afinorAji = e2ψgjαgαi, (3.21)

metriqkih tenzora1aij i

1aij prostora

1

V n i1

V n, dobijenih iz metriqkih tenzora giji gij prostora Vn i Vn u rezultatu Γ-transformacije, u skladu sa (3.9) i (3.19)zapiximo ih u obliku

1aij = Aαi gαj,

1aij = e2ψgij. (3.22)

Kako u skladu sa teoremom 3.2.1. prostor1

V n dopusta geodezijsko preslikavaǌe na1

V n, koje odgovara vektoru ψi, to postoji Γ(1a,

1a, ψ) - transformacija, i kao rezultat

toga imamo prostore2

V n i2

V n sa metriqkim tenzorima2aij,

2aij, koje izraavamo

formulama oblika (3.22):

2aij =

1

Aαi1aαj,

2aij = e2ψ

1aij, (3.23)


gde je1

Aji odreen sa (3.21), tj.

1

Aji = e2ψa1

jα 1aαi.

Ali iz (3.22) sledi da je

1

Aji = gjα1aαi = Aβi gβαg

αj = Aji .

Ovo posledǌe znaqi da je afinor (3.21) invarijantna Γ-transformacija. Zato jetenzor (3.23) oblika

2aij = Aαi A

βαgβj,

2aij = e2ψAαi gαj.

Lako je videti da nas Γ(2a,

2a, ψ)-transformacija vodi ka ureenoj trojki (

3a,

3a, ψ) gde

je3aij = Aαi A

βαA

γβgγj,

3aij = e2ψAαi A

βαgβj.

Ako sa Γm oznaqimo m-ti stepen Γ-transformacije, po definiciji dobijamo

Γm(g, g, ψ) = (ma,

ma, ψ).

Pritom se, oqigledno, metriqki tenzorimaij i

maij prostora

m

V n im

V n predstavǉajuna sledei naqin:

maij =

m

Aαi gαj,maij = e2ψ

m−1

Aαi gαj, (3.24)

gde jem

Aji m-ti stepen afinora Aji , pri qemu je, kao i obiqno,0

Aji = δji .Namee se prirodno pitaǌe, da li (3.24) vai za dovoǉno veliko m? Odnosno,

postoji li dovoǉno veliko m, pri kome je

Γm(g, g, ψ) = (g, g, ψ)?

Pretpostavimo da to vai, tj.

maij = gij,

maij = gij.

Na osnovu (3.24), to e znaqiti da jem−1

Aij = δij, odakle proizilazi da afinor Ajipostoji. Ali iz (3.21) i (3.2) nalazimo da je

det∥Aji∥ = ce−2ψ.

Prema tome, ψ = const, a to znaqi da je geodezijsko preslikavaǌe iz Vn u Vn trivi-jalno.

3.3. Zatvoren sistem osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavaǌa... 55

Teorema 3.2.2. (Sinjukov)Pri netrivijalnom geodezijskom presikavaǌu iz Vn u Vn, koje odgovara vektoruψi, transformacija Γ(g, g, ψ) generixe beskonaqan niz Rimanovih prostoram

V nψi−→

m

V n metriqkih tenzora koji se odreuju u skladu sa formulama (3.24)i (3.21) za m = 1, 2, 3, . . .

3.3 Zatvoren sistem osnovnih jednaqina teorijegeodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora

Razmotrimo u Rimanovom prostoru Vn osnovne jednaqine teorije geodezijskih pre-slikavaǌa oblika (3.8). One predstavǉaju sistem diferencijalnih jednaqina odkovarijantnih izvoda prvog reda, u odnosu na tenzor aij . Meutim, on sadri ivektor λi, koji je takoe nepoznat. Lako je videti da za vektor λi moemo naiodgovarajuu jednaqinu ako razmotrimo uslove integrabilnosti sistema (3.8). ǋihdobijamo, diferenciraǌem (3.8) kovarijantno u Vn po xl, alterniraǌem rezultat pok i l i koristei Riqijev identitet, u obliku:

aαjRα.ikl + aαiR

α.jkl = λi,lgjk + λj,igik − λi,kgjl − λj,kgil, (3.25)

gde je Rh.ijk - tenzor Rimana u Vn. Mnoeǌem (3.25) sa gjk i kontrakcijom kako po j,

tako i po k, nalazimo

nλi,l = µgil + aαiRα. l − aαβR

α β. il . , (3.26)

gde je µ neka invarijanta, Rh.j - mexane komponente Riqijevog tenzora prostora Vn,

indeks β u Rα β. il . je gorǌi indeks u Vn. To i jeste traena jednaqina, koju bi tre-

balo da zadovoǉi vektor λi. Jednaqina (3.26) takoe sadri nepoznatu invarijantuµ. Analogno prethodnom, iz uslova integrabilnosti sistema (3.26) moemo naidiferencijalnu jednaqinu, koju bi trebalo da zadovoǉi invarijanta µ. Zaista, izuslova integrabilnosti jednaqine (3.26), posledice jednaqine (3.8) i Bjankijevogidentiteta imamo:

(n+ 3)λαRα. ilk =µ,kgil − µ,lgik + aiαR

α. [lk] + aαβR

α β. ikl, .+

+ gikλαRα. l − gilλαR

α. k,

(3.27)

gde µ,k = ∂kµ, uglaste zagrade oznaqavaju alternaciju bez deǉeǌa, Rα β. ikl, . - kovari-

jantan izvod tenzora Rimana, β - gorǌi indeks u Vn.U rezultatu kontrakcije (3.27) sa gil dobijamo

(n− 1)µ,k = 2 (n+ 1)λαRα. k + aαβ

(2Rα β

. k , . −Rαβ. . , k

). (3.28)

Skup jednaqina (3.8), (3.26) i (3.28) je zatvorenog karaktera. On predstavǉasistem linearnih diferencijalnih jednaqina sa kovarijantnim izvodom prvog reda


Koxijevog tipa sa koeficijentima, jedinstveno odreenim prostorom Vn, u pogledusimetriqnog tenzora aij , gradijentnog vektora λi i invarijantom µ. Ranije smo zahte-vali da tenzor aij bude nesingularan, ali, oqigledno, taj uslov se moe izostaviti,jer uvek moe biti zadovoǉen. Ako tenzor aij zadovoǉava jednaqinu (3.8), to znaqida e i tenzor aij + cgij zadovoǉiti jednaqine (3.26) i (3.28) izvedene iz jednaqine(3.8) za proizvoǉnu konstantu c. Zbog toga se uvek moe staviti da determinantadet∥aij − cgij∥ bude razliqita od nule. Xtavixe, jednaqinu (3.8) e zadovoǉitibilo koji tenzor aij+ cij , ako je tenzor cij u Vn kovarijantna konstanta, tj. cij,k ≡ 0.Samim tim, u opxtem sluqaju vidimo da je problem nalaeǌa u Vn sve kovarijantekonstante simetriqnog dvaput kovarijantnog tenzora koji je sastavni deo teorijegeodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora.

U skladu sa teoremom 3.1.1. dobijamo sledeu teoremu:

Teorema 3.3.1. (Sinjukov)Da bi Rimanov prostor Vn dopuxtao netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe,potrebno i dovoǉno je da sistem jednaqina (3.8), (3.26) i (3.28) ima u ǌemunetrivijalno rexeǌe: aij(= aji), λi(= 0), µ.

Oznaqimo skup svih jednaqina (3.8), (3.26) i (3.28) sa (A). Naglasimo da sistem(A) ima invarijantni karakter u odnosu na izbor sistema koordinata u Vn.

Svako netrivijalno rexeǌe, pomenuto u teoremi 3.3.1., sistema (A) odgovaraformuli (3.11) Rimanovog prostora Vn, na koje Vn dopuxta netrivijalno geodezijskopreslikavaǌe (ili koje dopuxta na Vn netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe). Pritome je metriqki tenzor gij prostora Vn definisan jednoznaqno sa taqnoxu do kon-stantnih qinioca koje emo iz oqiglednih razloga zanemariti. Ovoj qinilac nastajekada je invarijanta ψ iz jednaqine (3.12). Jednaqina (3.12) je potpuno integrabilna,jer smo pokazali da je vektor ψi gradijentan.

Kao xto znate, sistem jednaqina (A) u prostoru Vn za proizvoǉne poqetne vred-nosti nepoznate funkcije

(aij)0 = (aji)0, (λi)0, µ0, (3.29)

definisasane u taqki M0(xh0), ima najvixe jedno rexeǌe. Dakle, broj proizvoǉnih

konstanti u opxtem rexeǌu sistema ne prelazi

N0 =(n+ 1)(n+ 2)

2. (3.30)

Kako je sistem (A) linearan, to on ima ne vixe od N0 linearnih nezavisnih rexeǌa.Ako rexeǌu sistema (A) odgovaraju poqetni uslovi (3.29), to ǌega, oqigledno,

moemo predstaviti u okolini taqke M0 u obliku Tejlorovog reda ili Tejloroveformule.

Sistem jednaqina (A), u prostoru Vn nije uvek kompatibilan. Da bi sistem imaorexeǌe, potrebno je da bude integrabilan.

3.3. Zatvoren sistem osnovnih jednaqina teorije geodezijskih preslikavaǌa... 57

Uslov integrabilnosti (3.25) prvog niza jednaqina sistema (A), zbog (3.26),moemo zapisati u obliku

aαβTαβij kl = 0 (3.31)

gde je

Tαβij kl = δβi(nRα

.jkl − gjkRα. l + gj lR

α. k

)+

+ δβj (nRα. ikl − gikR

α. l + gilR

α. k)+

+ gjkRα β. il . + gikR

α β. jl . − gjlR

α β. ik . − gilR

α β. jk . .

(3.32)

Uslov integrabilnosti (3.27) drugog niza jednaqina sistema (A), prema jednaqini(3.28), bie:

aαβ

[Rα β. ikl,. +

1

n− 1gil

(2Rα β

. k , . −Rαβ. . , k

)− 1

n− 1gik

(2Rα β

. l , . −Rαβ. . , l

)+

+ δβi Rα. [l,k]

]+ (n+ 3)λα

[Rα. ikl +

1

n− 1

(gilR

α. k − gikR

α. l

)]= 0.

(3.33)

Na kraju, uslov integrabilnosti jednaqine (3.28) moemo predstaviti u obliku

aαβ

[n+ 1

n

(Rα β. kγ .R

γ. l −Rα β

. lγ .Rγ. k

)− 1

2Rαβ. . , [kl] +Rα β

. k, . l −Rα β. l , . k

]+

+ (n+ 1)λαRα. [k,l] = 0

(3.34)

Oznaqimo skup jednaqina (3.31), (3.33) i (3.34) sa (B). Oqigledno, jednaqina (B)je uslov integrabilnosti sistema (A) i predstavǉa homogen sistem linearnih alge-barskih jednaqina od koeficijenata aij, λi, µ, koji su potpuno odreeni u prostoruVn. Jednaqina (B) ima invarijantni karakter u pogledu izbora sistema koordinatau Vn.

Neka su (B1), (B2) i td. prvi, drugi i td. diferencijalni produeci od (B). Onisu istog karaktera kao i (B), tj. definisani su linearnim homogenim algebarskimjednaqinama sa koeficijentima aij, λi i µ iz Vn. Na osnovu teoreme 2.1.2. dolazimodo sledeeg zakǉuqka:

Teorema 3.3.2. (Sinjukov)Da bi Rimanov prostor Vn dopuxtao netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe,potrebno i dovoǉno je da homogen sistem linearnih algebarskih jednaqina (B),(B1), . . . , (Bm) (m < N0) ima netrivijalno rexeǌe aij (= aji), λi (= 0), µ.

S’ obzirom na gore navedeno, moemo videti da teorema 3.3.2., u principu, obezbe-uje efikasan algoritam, dozvoǉavajui da bilo koji Rimanov prostor Vn, bez obzi-ra na koji sistem koordinata se odnosi, dopuxta netrivijalno geodezijsko preslika-vaǌe ili ne. Drugim reqima, teorema nam daje tenzorski znak unutraxǌeg karaktera,potreban i dovoǉan da bi Vn dopuxtao (ili ne dopuxtao) netrivijalno geodezijskopreslikavaǌe, predstavǉeno u implicitnom obliku.


S’ druge strane, uzimajui sva rexeǌa sistema jednaqina (B), (B1), . . . , (Bm) utaqki M0 za poqetne vrednosti (3.29) pri rexavaǌu Koxijevog problema za sistem(A) i stavǉaǌem u jednom ili drugom obliku taj Koxijev problem (xto je uvekmogue), mi emo nai sve Rimanove prostore Vn koje dopuxtaju netrivijalno geode-zijsko preslikavaǌe na prostor Vn, tj. sve geodezijske klase tog prostora.

Na osnovu tih razmatraǌa moemo smatrati da su teorema 3.3.1. i teorema3.3.2. osnovne teoreme teorije geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora. Isto-vremeno treba napomenuti da imaju glavnu mogunost za efikasno rexavaǌe ovihpitaǌa, ali prilikom ǌihovog rexavaǌa, moemo naii na ozbiǉne tehniqke po-texkoe. Stoga, potpuno izuqavaǌe diferencijalnih jednaqina (A) i jednaqine (B),(B1),... predstavǉaju bezuslovni teorijski interes.

3.4 Stepen mobilnosti Rimanovih prostora u odnosuna geodezijska preslikavaǌa

U prethodnom odeǉku smo dokazali da skup svih Rimanovih prostora Vn dopuxtanetrivijalno geodezijsko preslikavaǌe na Rimanovom prostoru Vn, definisano natim prostorima sa proizvoǉnim, ne vixe od N0 nezavisnih parametra sa poqetnimvrednostima (3.29). U skladu sa tim, maksimalan broj osnovnih parametra r, odkojih zavisi, u prostoru Vn, opxte rexeǌe sistema jednaqina (A), nazivamo stepenmobilnosti prostora Vn u odnosu na geodezijska preslikavaǌa . Saglasno saonim xto smo dokazali za proizvoǉan Rimanov prostor vai da je

r ≤ N0 =(n+ 1)(n+ 2)

2. (3.35)

Prirodno se postavǉa pitaǌe za kakve prostore se dostie dozvoǉen maksi-mum. To, oqigledno, vai ako i samo ako sistem (A) ima u prostoru Vn rexeǌeza proizvoǉne poqetne vrednosti (3.29) i kada je taj sistem potpuno integrabilan,tj. ako je jednaqina (B) izvedena identiqno u odnosu na simetriqan tenzor aij, vektorλi, invarijantu µ i x1, x2, . . . , xn.

Zahtevajui da je prva grupa (3.31) jednaqina (B) izvedena identiqno u odnosuna simetriqan tenzor aij, dobijamo

Tαβi j k l + T βαi j k l = 0.

Kontrakcijom ove jednakosti po β i i i imajui u vidu (3.32), nalazimo

(n− 1)Rα.jkl = gjkR

α. l − gjlR

α, k

ili, ako spustimo α i podignemo j u Vn,

Rj. αkl =

1

n− 1

(δjlRαk − δjkRαl

).

3.4. Stepen mobilnosti Rimanovih prostora u odnosu na geodezijska presli... 59

To znaqi da je W j.αkl ≡ 0 i da je prostor Vn (n>2) prostor konstantne krivine.

Direktnom proverom pokazujemo da se za prostor konstantne krivine, uslovi inte-grabilnosti (3.31), (3.33) i (3.34) izvode identiqno.

Teorema 3.4.1. (Sinjukov)Rimanovi prostori Vn (n > 2) konstantne krivine i samo oni imaju maksi-malni stepen mobilnosti N0 u odnosu na geodezijska preslikavaǌa.

Razmotrimo sada pitaǌe o stepenu mobilnosti u odnosu na geodezijska preslika-vaǌa Rimanovih prostora, razliqita od Ajnxtajnovog prostora.

Iz jednaqine (3.26) zbog gradijentnosti vektora λi i poznatih identiteta za kom-ponente tenzora krivine Rimanovog prostora sledi da je

aαiRα. l − aklR

α. i = 0

iliaαβT

αβi l = 0, (3.36)

gde jeTαβi l = δ(βR

α). l − δ

(βl R

α). i . (3.37)

Teorema 3.4.2. Za Rimanov prostor Vn (n>2), razliqit od Ajnxtajnovog pros-tora, meu jednaqinama (3.36) postoji ne maǌe od n − 1 linearno nezavisnih.

U rezultatu kovarijantnog diferenciraǌa (3.36) u Vn, na osnovu jednaqine (3.8),dobijamo

gijλαRα. l + λiRjl − gljλαR

α. i − λiRji + aαβT

αβi l , j = 0.

Kontrakcijom ovde sa gij, nalazimo

λαRα. l =

R

nλl −

1

naαβT

αβγ l,δ g

γδ, (3.38)

iz xta proizilazi uslov oblika

λl

(R

ngij −Rij

)− λi

(R

nglj −Rlj

)+

+ aαβ

(Tαβi l ,j −

1

ngijT

αβγ l ,δg

γδ +1

ngljT

αβγ i ,δg

γδ

)= 0.

(3.39)

Ako Vn nije Ajnxtajnov prostor, onda je

R

ngij −Rij = 0

za bar jednu vrednost indeksa i i j. Tada se iz (3.39) sve komponente vektora λlizraavaju pomou jedne od ǌih, aij, i objekta iz Vn. Time je dokazana sledeateorema:


Teorema 3.4.3. U sluqaju Rimanovih prostora Vn (n > 2), razliqitih od Ajn-xtajnovih prostora, meu jednaqinama (3.39) ima n − 1 linearno nezavisnihkomponenti vektora λi.

Kovarijantno diferencijabilan uslov (3.39) i koristei jednaqinu (3.8), (3.26)nas dovodi do odnosa, iz kojih za prostore Vn, razliqitih od Ajnxtajnovih prostora,invarijanta µ moe biti izraena pomou komponente tenzora aij , vektora λk iobjekta Vn.

Gore navedeni uslovi, kao i uslovi (3.36) i (3.39) moraju zadovoǉiti poqetnevrednosti (3.29). Prema tome, u saglasnosti sa teoremom 3.4.2. i teoremom 3.4.3. nate poqetne uslove se namee 2(n − 1) + 1 nezavisnih uslova. Zato opxte rexeǌesistema (A) sadri ne vixe od N0 − 2(n− 1)− 1 nezavisnih parametra.

Teorema 3.4.4. (Sinjukov)Stepen mobilnosti r u odnosu na geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostoraVn (n > 2), razliqitih od Ajnxtajnovih prostora, zadovoǉava nejednaqinu

r ≤ n(n− 1)

2+ 2. (3.40)

Sada se prirodno postavǉa pitaǌe, koliko su te procene taqne. Za odgovor naovo pitaǌe, razmotriemo redukovan prostor Vn sa osnovnom metriqkom formom

I = I1 + I2, (3.41)

gde je

I1 =1gpq(x

s)dxpdxq

(p, q,s = 1, 2, . . . ,m; m < n)(3.42)

metriqka forma prostora1

V m u odnosu na sistem koordinata x1, x2, . . . , xm, a

I2 =2gσµ(x

ν)dxσdxµ

(σ, µ,ν = m+ 1,m+ 2, . . . , n)(3.43)

osnovna metriqka forma Rimanovog prostora2

V n−m, u odnosu na sistem koordinataxm+1, xm+2, . . . , xn.

Tada za Vn imamo

gpq =1gpq(x

s), gσµ =2gσµ(x

ν), gpσ ≡ 0. (3.44)

Dakle,

Γpqs =1

Γpqs, Γσµν =2

Γσµν ,

Γσpq = Γqpσ = Γpσµ = Γνσp ≡ 0,(3.45)

3.4. Stepen mobilnosti Rimanovih prostora u odnosu na geodezijska presli... 61

Rp.qts =

1

Rp.qts, Rσ

.λµν =2

Rσ.λµν , (3.46)

gde su1

Rp.qts i

2

Rσ.λµν tenzori Rimanovih prostora

1

V m i2

V n−m. Ostale komponentetenzora Rimanovog prostora Vn su identiqki jednake nuli.

Istraivaemo u tom prostoru osnovne jednaqine teorije geodezijskih preslika-vaǌa (3.8). Na osnovu (3.44) i (3.45) podeliemo ih na sledee nizove:

apq1s = λp1gqs + λq

1gps, (3.47)

aσµ2ν = λσ2gµν + λµ

2gσν , (3.48)

∂σapq = ∂saσµ = 0, (3.49)

∂µapσ = Γνµσaνp + λp2gσµ, (3.50)

∂qaσp = Γνpqasσ + λσ1gpq. (3.51)

Na levoj strani jednaqine (3.47) i (3.48) indeksi 1 i 2 su simboli kovarijantne

diferencijabilnosti u1

V m i2

V n−m.Pretpostavimo takoe da je

λp = λp(x1, x2, . . . , xm), λσ = λσ(x

m+1, xm+2, . . . , xn).

Stavimoapσ = aσp = cλpλσ, (3.52)

gde je c = 0 neka konstanta. Tada su (3.50) i (3.51) zadovoǉene, ako je

λσ2µ = c2gσµ, (3.53)

λp1q = c1gpq, (3.54)

gde je c = 1c.

Uslov integrabilnosti jednaqine (3.47) u1

V m zbog (3.54) je oblika

asq1

Rs.prt + asp

1

Rs.qrt = 0

Uslov integrabilnosti jednaqine (3.54) je:

λs1

Rs.pqr = 0.

Ako se uzme da je1

V m ravan prostor, onda su ovi uslovi integrabilnosti ispuǌeniidentiqno, tj. sistem jednaqina (3.47), (3.54) je potpuno integrabilan i ǌegovo


opxte rexeǌe sadri m(m+1)2

+m nezavisnih parametra.Stavǉaǌem, na kraju,

aσµ = dλσλµ + b2gσµ,

gde su d i b neke konstante, vidimo da je iz (3.53), za d = c jednaqina (3.48) zado-

voǉena. Prema tome,2

V n−m moemo izabrati proizvoǉno, samo bi u ǌemu postojao

vektor λσ = 0, koji zadovoǉava uslov (3.53) za c = 0. To znaqi da2

V n−m morabiti poseban ekvidistantan prostor osnovnog tipa. Oqigledno, da Vn ne bi bio Ajn-

xtajnov prostor, dovoǉno je da je2

V n−m proizvoǉan neravan prostor. Takav prostor

postoji, na primer, prostor2

V n−m sa osnovnom metriqkom formom

I2 = e(dxm+1

)2+(xm+1

)2I2, (3.55)

gde je I2 proizvoǉna metrika Rimanovog prostora Vn−m−1 od xm+2, xm+3, . . . , xn

(n−m− 1 > 1).Stepen mobilnosti r u odnosu na geodezijska preslikavaǌa prostora Vn sa metri-

kom (3.41), kada je metrika (3.42) ravna, a metrika (3.43) tipa (3.55), e zadovoǉa-vati nejednakost

r ≥ m(m+ 3)

2+ 2.

Oqigledno, r e biti najvee za m = n− 3. Tada je

r ≥ n(n− 3)

2+ 2.

Tako, maksimalan stepen mobilnosti r u odnosu na geodezijska preslikavaǌa Ri-manovih prostora Vn, koji nisu Ajnxtajnovi, se nalazi u intervalu

n(n− 3)

2+ 2 ≤ r ≤ n(n− 1)

2+ 2.

3.5 Geodezijska preslikavaǌa obostrano rekurentnihRimanovih prostora

U treem odeǉku druge glave je bilo dokazano da neke klase Rimanovih prostora nedopuxtaju netrivijalna geodezijska preslikavaǌa. U ovom odeǉku emo pokazati, dapomou jednaqine (A) i (B) moemo dobiti niz novih, jox opxtijih rezultata.

Pretpostavimo da jeaαβT

αβjikl,m ≡ 0. (3.56)

Prema jednom od ranijih rezultata, dobijamo

n(λjRmikl + gmjλαRα. lji − λkRmlji − gmkλαR

α. lji)− gik(λjRml+

+ gmjλαRα. l − λαR

α. (jl)m) + gjl(λkRmi + gmkλαR

α. i − λαR

α. (ik)m) = 0.

(3.57)

3.5. Geodezijska preslikavaǌa obostrano rekurentnih Rimanovih prostora 63

Kontrakovaǌem (3.57) sa gmj, nalazimo

n [(n+ 1)λαRα. ikl − λαR

α. lki] + (n+ 1)λkRil − (n+ 2)λαR

α. lgik+

+ glkλαRα. i − λαR

α. (ik)l = 0.

(3.58)

Alternacijom sada po i, k, dobijamo

n(n− 1)λαRα. lki + (n+ 1)(λkRli − λiRlk) + glkλαR

α. i − gliλαR

α. k = 0. (3.59)

Ako ovde kontrakujemo sa gkl, ispostavǉa se da je

λαRα.i =

R

nλi,

i prethodni odnos dobija oblik

n(n− 1)λαRα. lki + (n+ 1)(λkRli − λiRlk) +

R

n(λiglk − λkgli) = 0.

Na osnovu (3.58) dobijamo

λk

(R

ngil −Ril

)+ λi

(R

nglk −Rlk

)− (n+ 2)λl

(R

ngik −Rik

)= 0,

odakle, posle alternacije po k i l sledi da je

λk

(R

ngil −Ril

)= λl

(R

ngik −Rik

).

Iz prethodnih uslova zakǉuqujemo da je za λi = 0

Rij =R

ngij.

Ali tada iz (3.59) imamo da je

λαRα.lki =

R

n(n− 1)(λiglk − λkgli) .

Na osnovu toga, jednakost (3.57) predstavǉamo u obliku

λj∗Πmikl − λk

∗Πmlji = 0, (3.60)

gde je∗Πmikl ≡ nRmikl −

R

n− 1(gmlgik − gmkgil) .

Stoga, definisani tenzor∗Πmikl ima sva algebarska svojstva tenzora krivine Ri-

manovih prostora. Zato iz (3.60) za λi = 0 sledi da je pomenuti tenzor identiqannuli. To znaqi da je za n>2 prostor Vn prostor konstantne krivine.


Teorema 3.5.1. Ako tenzor aij u prostoru Vn (n > 2) za λi = 0 zadovoǉavajednaqinu (3.8) i uslov (3.56), onda je Vn prostor konstantne krivine.

Na osnovu teoreme 3.5.1. lako se moe pokazati i sledea teorema.

Teorema 3.5.2. (Sinjukov)Rimanovi prostori Vn (n > 2) nekonstantne krivine, koji zadovoǉavaju uslov

T(αβ)j ikl ,m = Sγδξζj iklmT

(αβ)γδξζ , (3.61)

ne dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Ovde je Sγδξζj iklm neki tenzor, koji ne namee nikakve uslove, osim (3.61).Posmatrajmo Rimanov prostor Vn koji dopuxta netrivijalno geodezijsko pre-

slikavaǌe na Vn koje odgovara vektoru ψi. Tada, kao xto znamo, Vn dopuxta netri-vijalno geodezijsko preslikavaǌe na Vn, koje odgovara vektoru ψi = −ψi. Pret-postavimo da za Vn vai i uslov oblika (2.40,b):

ngij − ψij = 0, (3.62)

a to znaqi da je Vn ekvidistantan prostor.Razmotrimo za Vn vektor λi, odreen sa (3.6). Kovarijantnim diferenciraǌem

ǌega po xj u Vn, dobijamo

λi,j = −giα,j ψα − giαψα,j

ili na osnovu (3.5) i (3.6)

λi,j = −giα(ψα,j − ψαψj)− ψαλαδij.

Kako je po definiciji ψi,j − ψiψj = ψij, a zbog (2.15) ψij = −ψij , s’ obzirom na(3.62), nalazimo

λi,j =ngiαgαj − ψαλ

αδij.

Ali, prema (3.3) jegij = e2ψgij,

gde su gij elementi matrice inverzne sa ∥gij∥. Prema tome

λi,j = µδij ,

gde je µ = ne2ψ − ψαλ

α ili posle spuxtaǌa i u Vn,

λi,j = µgij. (3.63)

Time je dokazana sledea teorema:


Teorema 3.5.3. Ako Rimanov prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijsko pre-slikavaǌe na Vn u skladu sa uslovom (3.62), onda je prostor Vn ekvidistantan,pri qemu u ǌemu vektori odreeni sa (3.6) zadovoǉavaju uslov (3.63).

Na osnovu ove teoreme lako je dokazati da vai i sledea teorema

Teorema 3.5.4. (Mikex)Da bi polusimetriqan prostor Vn (n > 2), razliqit od prostora konstantnekrivine, dopuxtao netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe, potrebno i dovoǉnoje, da sistem (3.8) i (3.63) za µ = const ima netrivijalno rexeǌe aij(= aji), λi =0.

Da bismo dokazali potreban uslov, dovoǉno je da dokaemo da je µ,i ≡ 0, tj. da jeµ = const. Razmotriemo uslov integrabilnosti jednaqine (3.63):

λi,jk − λi,kj = λαRα. ijk = µkgij − µjgik. (3.64)

Diferenciraǌem (3.64) kovarijantno u Vn po xl, a zatim po xm, i alterniraǌemrezultat po l, m, na osnovu jednaqine (3.63), polusimetriqnosti Vn i Riqijevogidentiteta dobijamo

µmRlijk − µlRmijk = µαRα. klmgij − µαR

α. jlmgik.

Kontrakovaǌem sa gij po i i j pokazujemo da je

(n− 1)µαRα. klm = µmRlk − µlRmk.

Shodno tome, prethodni odnos postaje

µmWiljk − µlWimjk = 0,

gde jeWiljk - Vejlov tenzor. Odatle, kako prostor Vn nije prostor konstantne krivinei zato xto je za ǌega Wiljk = 0, dolazimo do zakǉuqka, da je µm = µ,m ≡ 0, tj.µ = const. Dovoǉan uslov nam garantuje teorema 3.3.1. Time je teorema dokazana.

Uslovi integrabilnosti jednaqine (3.63) i ǌihovog diferencijalnog produeǌasu oblika:

λαRα. ijk = 0, (3.65)

λαRα. ijk,l1

+ µRkjil1 = 0, (3.66)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

λαRα. ijk,l1l2...lm

+ µm

T ijkl1l2...lm = 0, (3.67)

gde je

m

T ijkl1l2...lm =Rkjil1,l2...lm +Rkjil2,l1l3...lm + . . .

. . . +Rkjilm−1,l1l2...lm−2lm +Rkjilm,l1l2...lm−1 (m > 1).


Lako je videti, da je zbog polusimetriqnosti prostora Vn tenzorm

T simetriqan pol1 i l2. Iz uslova integrabilnosti jednaqine (3.8) i ǌegovog diferencijabilnogprodueǌa (3.64) postaje

aαiRα. jkl + aαjR

α. ikl = 0, (3.68)

aαiRα. jkl,l1

+ aαjRα. ikl,l1

+ λiRlkjl1 + λjRlkil1 = 0 (3.69)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aαiRα. jkl,l1l2...lm

+ aαjRα. ikl,l1l2...lm

+ λ(im

T j)kll1l2...lm = 0. (3.70)

Sada moemo dokazati sledeu teoremu:

Teorema 3.5.5. (Mikex)Osim prostora konstantne krivine m-rekurentni (m >1) Rimanovi prostoriVn (n > 2) ne dopuxtaju netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Rimanov prostor Vn nazivamo m-rekurentnim, ako za ǌega vai uslov

Rh.ijk,l1l2...lm

= Ωl1l2...lmRh.ijk (3.71)

za Ωl1l2...lm = 0. Svi m-rekurentni prostori su polusimetriqni (V.P.Kajgorodov).Pretpostavimo da posmatrani prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijsko pre-

slikavaǌe. Kontrakujmo (3.71) sa alh po h i na rezultat primenimo operacijusimetrije po l i i. S’ obzirom na (3.68) i (3.70), iz (3.71) dobijamo

λ(iTl)jkl1...lm = 0,

odakle, za λi = 0 sledi da je

Tljkl1...lm = 0.

Prodiferencirajmo posledǌu jednakost kovarijantno po xs u Vn i koristei (3.71)nalazimo:

Rkjil1Ωl2...lms +Rkjil2Ωl1l3...lms + . . . +RkjilmΩl1l2...lm−1s= 0. (3.72)

Kako je Ωl1l2...lm = 0, to postoji vektor ah = 0 takav da je

aαΩl1l2...lm−1α = 0.

Kontrakovaǌem (3.72) sa as, imaemo

Rkjil1Ω1l2...lm +Rkjil2Ω

1l1l3...lm + . . . +RkjilmΩ

1l1l2...lm−1 = 0, (3.73)

gde je

Ω1l1l2...lm−1 = aαΩl1l2...lm−1α = 0.


Kontrakcijom tenzora Ω1l2l3...lm sa vektorom blm tako da je

Ω2l2l3...lm−1 = bαΩ

1l2l3...lm−1α = 0,

iz (3.73) dobijamo

Rkjil1Ω2l2...lm−1 +Rkjil2Ω

2l1l3...lm−1 + . . .

. . . +Rkjilm−1Ω2l1l2...lm−2 +Rkjiαb

αΩ1l1l2...lm−1 = 0.

(3.74)

Odatle sledi da jeRkjiαb

α = 0.

Zaista, ako je Rkjiαbα = 0, kontrakcijom (3.74) sa blm−1 i verujui da je

Ω3l2l3...lm−2 = Ω

2l2l3...lm−1b

lm−1 ,

nalazimo

Rkjil1Ω3l2l3...lm−2 +Rkjil2Ω

3l1l3...lm−2 + . . .

. . . +Rkjilm−2Ω3l1l2...lm−3 + 2Rkjiαb

αΩ2l1l2...lm−2 = 0.

Kako je Ω2l1l2...lm−2 = 0 i Rkjiαb

α = 0 to je i

Ω3l1l2...lm−3 = 0.

Nastavǉaǌem ovog procesa, na kraju dolazimo do veze

Rkjil1Ωm+ (m− 1)Rkjiαb

α Ωm−1

l1 = 0,

gde je Ωm−1

l1 = 0. Ali, kontrakcijom posledǌe jednakosti sa bl1 , vidimo da je

mRkjiαbαΩm= 0

ili Rkjiαbα = 0 (Ω

m= 0), tj. dobijamo kontradikciju. Samim tim je

Rkjiαbα = 0.

Ali, tada (3.74) dobija oblik

Rkjil1Ω2l2...lm−1 +Rkjil2Ω

2l1l3...lm−1 + . . . +Rkjilm−1Ω

2l1l2...lm−2 = 0,

gde je Ω2= 0. Dobijen odnos je oblika (3.73), samo xto tenzor Ω

2ima valentnost

(rang) za jedan maǌu od Ω1.

Nastavǉaǌem ovog postupka, analogno dobijamo

Rkjil1Ωl2 +Rkjil2Ωl1 = 0,


gde je Ωl neki tenzor, razliqit od nule. Odatle sledi da je

Rkjil1 = 0,

tj. prostor Vn je ravan, xto je u suprotnosti sa uslovima teoreme. Time je teoremadokazana.

Teorema 3.5.6. (Mikex)Dvostruko simetriqan Rimanov prostor Vn (n > 2) nekonstantne krivine nedopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Prostor Vn nazivamo dvostruko simetriqan ako ǌegov tenzor Rimana zadovoǉavauslov

Rh.ijk,lm = 0, (3.75)

ali jeRh.ijk,l = 0.

Dvostruko simetriqan prostor je polusimetriqan.Pretpostavimo da prostor Vn dopuxta netrivijalno geodezijsko preslikavaǌe.

Tada iz (3.70) za m = 2, na osnovu (3.75), za λi = 0 dobijamo

2

T jkll1l2 = 0,

tj.Rkjil1,l2 +Rkjil2,l1 = 0.

Ovde, koristei Bjankijev identitet (2.46), dolazimo do zakǉuqka da je

Rkjil1,l2 ≡ 0,

xto je u suprotnosti sa pretpostavkom.

Literatura

[1] L. P. Ajzenhart, Rimanova geometrija, Gos. izd. inostr. liter. Moskva, 1948(na ruskom).

[2] T. P. Aneli, Tenzorski raqun, ”Nauqna kǌiga” Beograd, 1987.

[3] B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko, Moderna geometrija, Moskva”Nauka”, 1979 (na ruskom).

[4] L. P. Eisenhart, Generalized Riemannian spaces I, Proc. Nat. Acad. Sci.USA, 37, 1951, 311-315.

[5] I. Ivanova-Karatopraklieva, Diferencijalna geometrija, Sofijski uni-verzitet, 1989 (na bugarskom).

[6] V.F.Kagan, Podprojektivni prostori, M.Fizmatgiz, 1961 (na ruskom).

[7] S. M. Minqi, ǈ. S. Velimirovi, Tenzorski raqun, Prirodno-matematiqkifakultet, Nix, 2009.

[8] J. Mikes, V. Kiosak, A. Vanzurova, Geodesic mappings of manifolds with affineconnection, Palacky university, Olomouc, 2008.

[9] N. S. Sinjukov, Geodezijska preslikavaǌa Rimanovih prostora, Moskva”Nauka”, 1979 (na ruskom).

[10] P. A. Xirokov, Tenzorski raqun, Tenzorska algebra, -Kazaǌ, 1961 (na ruskom).

[11] T. Thomas, On the projective Geometry of paths, Mat. Acad. Sci, USA, 11,1925, 198-203.

69

Biografija

Dejan Staji roen je 21.09.1990. godine u Vraǌu. Osnovnu xkolu ”PredragDevei” u Vraǌskoj Baǌi upisao je 1997. godine i zavrxio kao nosilac diplome”Vuk Karai”. Gimnaziju, prirodno-matematiqki smer, u Vraǌu, upisao je 2005.godine i zavrxio 2009. godine sa odliqnim uspehom. Tokom pohaaǌa osnovne isredǌe xkole uqestvovao je na takmiqeǌima iz matematike.

Osnovne akademske studije upisuje 2009. godine na Prirodno-matematiqkom fakul-tetu u Nixu, na departmanu za matematiku, i zavrxava 2012. godine sa proseqnomocenom 8,04. Iste godine upisuje master akademske studije, smer teorijska matema-tika. Poloio je sve ispite na master studijama sa proseqnom ocenom 8, 5 i timestekao pravo na odbranu master rada.

Documents

Karakterizacije geodezijskih preslikavaǌa Rimanovih prostora · 2017-08-25 · nog reda po svim argumentima u nekoj okolini svake taqke. Za r = ωone su po definiciji vixestruke