Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
,
,
,
,
,
-
- - - -
Sadr�aj
Predgovor 9
Uvod 11
1 Diferencijalne jednaqine kretanja slobodne materijalne
taqke 13
Uvod 13
1.1 Vektorski postupak odre�ivanja kretanja
slobodne materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Koordinatni postupak odre�ivanja
kretanja slobodne materijalne taqke . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Diferencijalne jednaqine kretanja
u Dekartovim koordinatama . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.2 Diferencijalne jednaqine kretanja u polarnim
i polarno-cilindriqnim koordinatama . . . . . . 16
1.2.3 Diferencijalne jednaqine kretanja u sfernim
koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Diferencijalne jednaqine kretanja
u krivolinijskim koordinatama . . . . . . . . . . . 18
1.3 Prirodni postupak odre�ivanja kretanja slobodne ma-
terijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Prvi zadatak dinamike materijalne
taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Drugi zadatak dinamike materijalne
taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Pravolinijsko kretanje materijalne
taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Sadr�aj
1.6.1 Sila koja dejstvuje na materijalnu taqku zavisi
samo od vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2 Sila koja dejstvuje na materijalnu taqku zavisi
samo od brzine taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Sila koja dejstvuje na materijalnu taqku zavisi
samo od polo�aja taqke . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Dinamika vezane materijalne taqke 27
Veze, podela veza, aksioma o vezama 27
2.1 Uslov za brzinu materijalne taqke pri kretanju po vezi 29
2.2 Uslov za ubrzanje materijalne taqke pri kretanju po vezi 31
2.3 Uslovi za brzinu i ubrzanje kod
nezadr�avaju�ih veza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Kretanje vezane materijalne taqke sa
jednom zadr�avaju�om vezom . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Reakcija nezadr�avaju�ih veza . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Diferencijalne jednaqine kretanja
vezane materijalne taqke
u Dekartovim koordinatama.
Lagran�eve jednaqine prve vrste . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6.1 Kretanje taqke po idealno glatkoj povrxi . . . . . 35
2.6.2 Kretanje taqke po idealno glatkoj liniji . . . . . 37
2.6.3 Kretanje taqke po hrapavoj povrxi . . . . . . . . . 40
2.6.4 Kretanje taqke po hrapavoj liniji . . . . . . . . . 40
2.7 Diferencijalne jednaqine kretanja
materijalne taqke u prirodnim
koordinatama. Ojlerove jednaqine . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.1 Kretanje taqke po glatkoj vezi . . . . . . . . . . . . 42
2.7.2 Kretanje taqke po realnoj vezi . . . . . . . . . . . 43
2.8 Dalamberov princip za vezanu
materijalnu taqku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Pravolinijske oscilacije materijalne taqke 46
Uvodna razmatranja 46
3.1 Slobodne nepriguxene oscilacije
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Slobodne oscilacije taqke u vertikalnoj ravni . 50
3.2 Slobodne priguxene oscilacije
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Slobodne priguxene oscilacije materijalne
taqke pod dejstvom sile otpora srazmerne
prvom stepenu brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Slobodne priguxene oscilacije materijalne
taqke pri postojanju otpora usled suvog trenja . . 59
Sadr�aj 3
3.3 Prinudne nepriguxene oscilacije
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.1 Rezonanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.2 Podrhtavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3.3 Dinamiqki faktor pojaqanja kod prinudnih
nepriguxenih oscilacija . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Prinudne priguxene oscilacije
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 Prinudne priguxene oscilacije materijalne
taqke pod dejstvom sile otpora proporcionalne
prvom stepenu brzine taqke . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.2 Dinamiqki faktor pojaqanja kod prinudnih
priguxenih oscilacija materijalne
taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.5 Razvijanje proizvoljne funkcije
prinudne sile u Furijeov red . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6 Prinudne oscilacije pod dejstvom
proizvoljne prinudne sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Opxte teoreme dinamike materijalne taqke 86
4.1 Impuls sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2 Koliqina kretanja materijalne taqke . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 Teorema o promeni koliqine kretanja
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 ,,Zakon” o odr�anju koliqine kretanja
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Kinetiqki moment materijalne taqke . . . . . . . . . . . . 92
4.3.1 Teorema o promeni kinetiqkog momenta
materijalne taqke za pol . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.2 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta
materijalne taqke za pol . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.3 Teorema o promeni kinetiqkog momenta za osu . . 95
4.3.4 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta materi-
jalne taqke za osu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4 Rad i snaga sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1 Rad sile na elementarnom pomeranju . . . . . . . . 99
4.4.2 Rad sile na konaqnom pomeranju . . . . . . . . . . . 101
4.4.3 Rad sile Zemljine te�e, centralne sile i sile
trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.4 Snaga sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.5 Kinetiqka energija materijalne taqke . . . . . . . . . . . 106
4.5.1 Teorema o promeni kinetiqke energije
materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Polje sila. Potencijalno polje sila . . . . . . . . . . . . 108
4.6.1 Potencijalna energija. Ukupna mehaniqka
energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Sadr�aj
4.6.2 Primeri odre�ivanja potencijala . . . . . . . . . . 117
5 Kretanje taqke pod dejstvom centralne sile 119
5.1 Centralna sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.1.1 Diferencijalne jednaqine kretanja taqke
pod dejstvom centralne sile . . . . . . . . . . . . . 121
5.1.2 Bineova jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.1.3 Kretanje taqke pod dejstvom Njutnove
gravitacione sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Keplerovi zakoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3 Trajektorije vextaqkih Zemljinih
satelita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Dinamika relativnog kretanja materijalne taqke 130
6.1 Diferencijalna jednaqina relativnog
kretanja materijalne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2 Teorema o promeni kinetiqke energije
pri relativnom kretanju materijalne
taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 Princip relativnosti klasiqne
mehanike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.4 Relativno mirovanje materijalne taqke . . . . . . . . . . 135
6.5 Skretanje taqke ka istoku pri slobodnom padu na Zemlju 138
6.6 Fukoovo klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Dinamika taqke promenljive mase 144
7.1 Jednaqina Mexqerskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.1.1 Specijalni sluqajevi jednaqine Mexqerskog . . . 147
7.2 Zadaci Ciolkovskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2.1 Prvi zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2.2 Drugi zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8 Dinamika materijalnog sistema i krutog tela 154
8.1 Materijalni sistem. Podela sila
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 Geometrija masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2.1 Masa materijalnog sistema. Centar masa
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3 Momenti inercije materijalnog sistema . . . . . . . . . . 158
8.3.1 Polarni, aksijalni i planarni
momenti inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.3.2 Zavisnost momenta inercije materijalnog
sistema u odnosu na dve paralelne ose.
Hajgens-Xtajnerova teorema . . . . . . . . . . . . . 163
Sadr�aj 5
8.3.3 Odre�ivanje momenta inercije materijalnog
sistema u odnosu na proizvoljnu osu koja
prolazi kroz zadatu taqku . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3.4 Elipsoid inercije. Glavne ose i glavni
momenti inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.5 Osobine glavnih i glavnih centralnih
osa inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3.6 Odre�ivanje aksijalnog momenta inercije
za proizvoljnu osu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9 Opxte teoreme dinamike materijalnog sistema 175
9.1 Diferencijalne jednaqine kretanja
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 Teorema o kretanju centra masa
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.2.1 ,,Zakon” o odr�anju kretanja centra masa
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.3 Koliqina kretanja materijalnog sistema . . . . . . . . . . 178
9.3.1 Teorema o promeni koliqine kretanja
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.3.2 ,,Zakon” o odr�anju koliqine kretanja
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4 Kinetiqki moment materijalnog sistema . . . . . . . . . . 182
9.4.1 Veza kinetiqkog momenta materijalnog sistema
u odnosu na pol i kinetiqkog momenta u odnosu
na centar masa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.4.2 Teorema o promeni kinetiqkog momenta
materijalnog sistema za taqku . . . . . . . . . . . 190
9.4.3 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta
materijalnog sistema za taqku . . . . . . . . . . . 192
9.4.4 Kinematiqka interpretacija teoreme o promeni
kinetiqkog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.4.5 Teorema o promeni kinetiqkog momenta
materijalnog sistema za osu . . . . . . . . . . . . . 194
9.4.6 ,,Zakon” o odr�anju kinetiqkog momenta
materijalnog sistema za osu . . . . . . . . . . . . . 197
9.5 Kinetiqka energija materijalnog
sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.5.1 Odre�ivanje kinetiqke energije pri
proizvoljnom kretanju materijalnog sistema . . . 198
9.6 Rad sila materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.6.1 Rad unutraxnjih sila . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.6.2 Rad spoljaxnjih sila neizmenjivog materijalnog
sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.6.3 Polje sile. Potencijalno polje sila . . . . . . . . 207
9.6.4 Rad sile u homogenom polju Zemljine te�e . . . . . 209
6 Sadr�aj
9.6.5 Rad momenta otpora kotrljanju . . . . . . . . . . . 210
9.7 Teorema o promeni kinetiqke energije
materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.7.1 ,,Zakon” o odr�anju energije . . . . . . . . . . . . . 213
9.8 Dalamberov princip i primena na
vezani materijalni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.8.1 Odre�ivanje glavnog vektora i glavnog momenta
sila inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10 Dinamika krutog tela 220
Osnovni zadaci dinamike krutog tela 220
10.1 Diferencijalne jednaqine opxteg
kretanja krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.1.1 Diferencijalne jednaqine sfernog kretanja
krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.1.2 Diferencijalne jednaqine ravnog kretanja
krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.1.3 Diferencijalne jednaqine obrtanja krutog
tela oko nepokretne ose . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.1.4 Diferencijalne jednaqine translatornog
kretanja krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.2 Primeri vezani za specijalne
sluqajeve kretanja krutog tela . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.2.1 Odre�ivanje ukupnih reakcija u le�ixtima
pri obrtanju krutog tela oko nepokretne ose . . . 229
10.2.2 Fiziqko klatno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.2.3 Eksperimentalno odre�ivanje momenata
inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.3 Ojlerov sluqaj obrtanja krutog tela oko nepokretne taqke237
10.3.1 Stabilnost obrtanja krutog tela oko glavnih osa
inercije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.4 Lagran�ev sluqaj obrtanja oko
nepokretne taqke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.5 Obrtanje krutog tela oko nepokretne
taqke. Sluqaj Kovalevske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.6 Pribli�na teorija giroskopskih
pojava. Kinetiqki moment giroskopa . . . . . . . . . . . . 253
10.6.1 Uravnote�eni giroskop sa tri stepena slobode . 255
10.6.2 Regularna precesija texkog giroskopa . . . . . . . 257
10.6.3 Giroskop sa dva stepena slobode. Giroskopski
efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11 Elementi analitiqke mehanike 262
11.1 Veze materijalnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
11.2 Generalisane koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Sadr�aj 7
11.2.1 Generalisane brzine i ubrzanja . . . . . . . . . . . 269
11.3 Virtualna pomeranja materijalnog
sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.3.1 Varijacija koordinata . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.3.2 Virtualno, mogu�e i stvarno pomeranje . . . . . . 271
11.3.3 Broj stepena slobode . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
11.3.4 Rad sila na virtualnom pomeranju . . . . . . . . . 276
11.3.5 Idealne veze. Reakcije idealnih veza . . . . . . . 277
11.3.6 Generalisane sile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.4 Lagran�ev princip virtualnih
pomeranja - opxta jednaqina statike . . . . . . . . . . . . 283
11.4.1 Opxta jednaqina statike u generalisanim
koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.5 Lagran�-Dalamberov princip
virtualnih pomeranja - opxta
jednaqina dinamike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.5.1 Lagran�eve jednaqine prve vrste . . . . . . . . . . 291
11.5.2 Opxta jednaqina dinamike u generalisanim
koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11.6 Lagran�eve jednaqine druge vrste . . . . . . . . . . . . . 293
11.6.1 Kinetiqka energija izra�ena pomo�u
generalisanih brzina i koordinata . . . . . . . . 295
11.6.2 Lagran�eve jednaqine druge vrste za
konzervativne sisteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.6.3 Cikliqna koordinata i njen integral . . . . . . . 298
12 Teorija udara 299
12.1 Pojava udara. Udarna sila. Udarni
impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.1.1 Teorema o promeni koliqine kretanja
materijalne taqke pri udaru . . . . . . . . . . . . . 301
12.2 Teorema o promeni koliqine kretanja materijalnog si-
stema pri udaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
12.3 Teorema o promeni kinetiqkog momenta
materijalnog sistema pri udaru . . . . . . . . . . . . . . . 304
12.4 Udar materijalne taqke u nepokretnu povrx. Koefici-
jent restitucije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.5 Udar taqke o pokretnu povrx . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.6 Odre�ivanje udarnih reakcija tela koje se obr�e oko
nepokretne ose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
12.6.1 Centar udara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.7 Udar dva tela pri opxtem kretanju . . . . . . . . . . . . . 314
12.8 Primena Lagran�evih jednaqina druge vrste u teoriji
udara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.9 Teorema Ostrogradskog-Karnoa o
promeni kinetiqke energije pri udaru . . . . . . . . . . . 321
8 Sadr�aj
Literatura 325
Indeks 328
Predgovor
Neposredan povod za izdavanje ove publikacije nije proistekao iz po-
trebe da se njome popuni nedostatak ovakvih izdanja u doma�oj struq-
noj literaturi, ve� da se dopunom i proxirenjem analize nekih nauq-
nih oblasti studentima omogu�i da upotpune svoje teorijsko znanje.
Zajedno sa knjigom MEHANIKA–II (KINEMATIKA), ovaj u�benik
qini zaokru�enu celinu potrebnu za pra�enje nastavnog plana i pro-
grama predmeta MEHANIKA 2 i MEHANIKA 3 osnovnih akademskih
studija, kao i predmeta MEHANIKA M master akademskih studija
Maxinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu. Pojedina poglavlja
mogu olakxati i pra�enje kursa MEHANIKA D na doktorskim aka-
demskim studijama pomenutog fakulteta. Pored toga xto je knjiga pr-
venstveno namenjena studentima maxinskih fakulteta, ona mo�e biti
od koristi i studentima ostalih tehniqkih fakulteta i vixih ma-
xinskih xkola.
Pri izlaganju materije zadr�ana je uobiqajena podela dinamike, na
osnovu koje je sadr�aj knjige podeljen na dve celine: Dinamiku mate-
rijalne taqke i Dinamiku materijalnog sistema, sa ukupno dvanaest
poglavlja. U cilju izbegavanja nepotrebnog ponavljanja sliqnih pos-
tupaka, pristup gradivu u nekim poglavljima je deduktivan, xto je
znaqajno doprinelo umanjenju obima tih tematskih celina.
Autori su vodili raquna da su na naxem jeziku raspolo�ive brojne
zbirke zadataka iz oblasti teorijske i primenjene mehanike, odnosno
dinamike, xto je uticalo na njihovu odluku da primerima dopunski
ne optere�uju sadr�aj ove knjige. Studenti se upu�uju da izborom
zbirke zadataka iz oblasti koje teorijski obra�uje ova knjiga primene
steqeno znanje i pripreme se za polaganje ispita.
Na ovaj naqin autori �ele da izraze svoju duboku zahvalnost recen-
zentima, prof. dr Dragomiru Zekovi�u, prof. dr Mirku Pavixi�u
i prof. dr Oliveri Jeremi�, na velikoj pomo�i i ulo�enom trudu
pri pregledu rukopisa i nastojanju da korisnim savetima doprinesu
boljem sadr�aju i izgledu ove knjige.
Tekst je proqitala Svetlana Iliji�, diplomirani filolog, kojoj se
10 Predgovor
autori tako�e zahvaljuju na zalaganju u �elji da u�benik bude u skladu
sa pravopisom naxeg jezika.
Za sve eventualne xtamparske i tehniqke grexke odgovorni su autori,
koji �e biti zahvalni svima koji upute korisne komentare, sugestije
ili ispravke grexaka.
Autori
u Beogradu,
septembar 2015.
12.5 Udar taqke o pokretnu povrx 309
12.5 Udar taqke o pokretnu povrx
Ako je povrx u koju udara materijalna taqkaM mase m nestacionarna,
tada se ova veza analitiqki definixe nejednaqinom:
f(x, y, z; t) ≥ 0. (12.39)
Kada se taqka nalazi na vezi, njene koordinate moraju zadovoljavati
uslov:
f(x, y, z; t) = 0. (12.40)
Da bi se odredio trenutak dodira T1 taqke i povrxi, dovoljno je
konaqne jednaqine kretanja taqke:
x = x(t), y = y(t) i z = z(t) (12.41)
zameniti u relaciju (12.40), tj.
f[x(t), y(t), z(t); t
]= f(t) = 0, (12.42)
i na�i korene tako dobijene jednaqine. Najmanji realni i pozitivni
koren odre�uje trenutak T1 dodira taqke i povrxi.
Dalje kretanje taqke zavisi od toga da li su njene konaqne jednaqine
kretanja u trenutku t = T1 saglasne sa uslovima koje name�e veza. Ako
su zadovoljeni uslovi (2.8) iz poglavlja 2.1, tj.(df
dt
)t=T1
= 0,
(d2f
dt2
)t=T1
= 0, . . . ,
(dnf
dtn
)t=T1
= 0, . . . , (12.43)
taqka ostaje na vezi. Ukoliko je makar jedan od navedenih izvoda po-
zitivan, taqka ostavlja vezu u trenutku t = T1. U oba pomenuta sluqaja
ne dolazi do pojave udara. Udar nastaje ukoliko konaqne jednaqine
kretanja taqke u trenutku t = T1 dovode do relacije:(df
dt
)t=T1
< 0, (12.44)
xto je u protivureqnosti sa nejednaqinom (12.39), zajedno sa uslo-
vom (12.40). U tom sluqaju dolazi do pojave udarne reakcije veze,
koja menja brzinu taqke tako da ona ne protivureqi uslovu (12.39)
i uslovima koji iz njega proizilaze. Trenutak T1 odgovara poqetku
udara.
Za vreme udara izvod df/dt predstavlja neprekidnu funkciju, koja menja
svoj znak pri prolazu kroz nulu.
Ukoliko je izvod df/dt jednak nuli u trenutku t = Tm, a u t = T2 pozi-
tivan, saglasno razmatranjima iz prethodnog poglavlja, dolazi se do
zakljuqka da vremenski interval od poqetka udara do trenutka t = Tm
310 Teorija udara
odgovara prvoj fazi udara, dok interval vremena od trenutka t = Tmdo trenutka t = T2 = T1 + τ , odnosno kraja udara, odgovara fazi uspo-
stavljanja. Na kraju druge faze udara ispunjen je uslov(df
dt
)t=T2
> 0 (12.45)
i taqka napuxta povrx. Pri udaru taqke o nepokretnu povrx, trenu-
tak koji razdvaja dve faze udara odre�uje se iz uslova da je projekcija
brzine taqke na normalu nepokretne povrxi u taqki dodira jednaka
nuli, xto se mo�e izraziti u analitiqkoj formi:
gradf · �vm =∂f
∂xxm +
∂f
∂yym +
∂f
∂zzm = 0, (a)
gde je �vm brzina taqke na kraju prve faze udara, dok su xm, ym i zmnjene projekcije na ose Dekartovog koordinatnog sistema. Za staci-
onarne veze leva strana jednaqine (a) jednaka je
(dfdt
)t=Tm
. Kraj prve
faze udara odre�uje se iz istog uslova i kod nestacionarnih veza, tj.(df
dt
)t=Tm
=
(∂f
∂t
)t=Tm
+∂f
∂xxm +
∂f
∂yym +
∂f
∂zzm = 0, (12.46)
xto se mo�e kra�e zapisati:(∂f
∂t
)t=Tm
+ �vm · gradf∣∣t=Tm
=
(∂f
∂t
)t=Tm
+∣∣gradf ∣∣
t=Tmun = 0, (12.47)
gde je un projekcija na normalu povrxi f(x, y, z; t) = 0 zajedniqke br-
zine dveju taqaka, taqke povrxi i materijalne taqke M , koja udara u
pomenutu povrx, na kraju prve faze udara. U okvirima klasiqne teo-
rije udara nije mogu�e odrediti trenutak t = Tm u kome se prva faza
udara zavrxava. Zbog veoma kratkog vremena trajanja udara pretpo-
stavlja se da koordinate taqke i vreme zadr�avaju svoje vrednosti,
koje su imali u trenutku t = T1 na poqetku udara. Na osnovu tih
pretpostavki mo�e se napisati:(∂f
∂t
)t=T1
+∣∣gradf ∣∣
t=T1un = 0. (12.48)
Primenom teoreme (12.11) o promeni koliqine kretanja materijalne
taqke za svaku fazu udara dobija se:
mun −mvn = IN1,
mv′n −mun = IN2.
(12.49)
Razlike projekcija un − vn i v′n − un predstavljaju projekcije na nor-
malu relativne brzine taqke povrxine f(x, y, z; t) = 0 i brzine taqke Mna poqetku prve i kraju druge faze udara.
12.6 Udarne reakcije tela koje se obr�e oko nepokretne ose 311
Ukoliko je poznata relacija:
IN2= k IN1
, (12.50)
u kojoj je konstanta k koeficijent uspostavljanja, na osnovu jedna-
qina (12.48) i (12.49) mogu se odrediti projekcija v′n brzine taqke Mna normalu na kraju druge faze udara, projekcija un brzine taqke
povrxi, odnosno materijalne taqke M na normalu na kraju prve faze
udara, kao i projekcije na normalu impulsa udarnih reakcija IN1i IN2
u toku prve i druge faze udara, respektivno. Projekcija impulsa
ukupne udarne reakcije odre�ena je zbirom:
IN = IN1+ IN2
,
dok se iz jednaqina (12.49) odre�uje odnos projekcija relativnih br-
zina:
k = −v′n − unvn − un
, (12.51)
xto predstavlja generalizaciju izraza (12.38).
12.6 Odre�ivanje udarnih reakcija tela koje
se obr�e oko nepokretne ose
Slika 12.4
Na slici 12.4 prikazano je kruto telo
mase M koje je vezano potpornim le�ixtem
u taqki A i cilindriqnim u taqki B. De-
kartov koordinatni sistem Axyz kruto je
vezan za telo i obr�e se zajedno sa telom
oko nepokretne ose Az ugaonom brzinom in-
tenziteta ω. U nekom trenutku na telo
u taqki K(xK , yK , zK) dejstvuje spoljaxnja
udarna sila qiji je impuls
→
I s. U taqkama Ai B javljaju se udarne reakcije qiji su im-
pulsi:
→
IA = IAx�ı+ IAy�j+ IAz�k i
→
IB = IBx�ı+ IBy�j.
Neposredno posle udara telo ima ugaonu
brzinu intenziteta ω′. Centar masa C te-
la nalazi se na koordinatnoj ravni yOz i
njegove koordinate su C(0, yC , zC). Brzine
taqke C neposredno posle i pre udara su:
�v′C(−yCω′, 0, 0) i �vC(−yCω, 0, 0), (12.52)