Upload
krueng007
View
2.223
Download
13
Embed Size (px)
Citation preview
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Geometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah
July 28, 2013
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan olehpasangan persamaan parametrik
x = f(t), y = g(t), t dalam I
dengan f dan g kontinu pada selang I.
I biasanya selang tertutup [a, b] dan t disebut parameter.
Ketika t berjalan dari a ke b, titik (x, y) akan bergerakmenelusuri seluruh kurva pada bidang xy.
Jika I = [a, b] maka titik P = (x(a), y(a)) disebut titikujung awal (initial end point) dan titik Q = ((x(b), y(b))disebut titik ujung akhir (final end point).
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Jika suatu kurva mempunyai titik-titik ujung yang salingberhimpit maka disebut kurva tertutup (closed).
Jika untuk nilai t yang berbeda menghasilkan titik yangberbeda pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dant = b) maka kurva tersebut disebut kurva sederhana(simple).
Pasangan x = f(t), y = g(t) bersama dengan selang Idisebut parametrisasi (parametrization) dari suatu kurva.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Gambar: Jenis-jenis kurva
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Tidak sederhana, tertutup
Sederhana, tertutup
Gambar: Jenis-jenis kurva
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Untuk mengenali sebuah kurva yang dinyatakan dalamparametrik dapat dilakukan dengan menghilangkanparameternya, yaitu menyelesaikan satu persamaan untuk t dankemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lainnya.
Contoh 1
Tentukan kurva yang bersesuaian dan buatlah grafiknya daripersamaan-persamaan berikut ini
x = t2 + 2t, y = t− 3, −2 ≤ t ≤ 3.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Penyelesaian
Dari persamaan y = t− 3 kita peroleh t = y + 3. Selanjutnya tini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama,
x = (y + 3)2 + 2(y + 3) = y2 + 8y + 15
ataux+ 1 = (y + 4)2.
Persamaan di atas adalah sebuah parabola yang tebuka kekanan. Lihat gambar berikut ini.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Gambar: Grafik dari x = t2 + 2t, y = t− 3, −2 ≤ t ≤ 3.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Contoh 2
Tunjukkan bahwa
x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
merepresentasikan elips seperti pada gambar berikut.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Penyelesaian
Pertama sekali selesaikan persamaan-persamaan untuk cos t dansin t. Selanjutnya kuadratkan dan jumlahkan sehingga diperoleh(x
a
)2+(yb
)2= cos2 t+ sin2 t = 1
atau (xa
)2+(yb
)2= 1.
Persamaan di atas adalah sebuah elips.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Sebuah sikloid (cycloid) adalah suatu kurva yang dibentukoleh sebuah titik P pada bagian terluar dari sebuah roda ketikaroda tersebut berputar di sepanjang garis lurus tanpatergelincir. Perhatikan gambar berikut.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Untuk menentukan persamaan parametrik sikloid, misalkanroda berputar di sepanjang sumbu x dengan P merupakan titikasal. Misalkan dinotasikan pusat roda adalah C denganjari-jarinya adalah a. Pilih parameter t dalam radian dengansudut searah jarum jam dimana ruas CP akan berada padaposisi vertikal ketika P berada pada titik asal.Karena |ON | = busur PN = at,
x = |OM | = |ON | − |MN | = at− a sin t = a(t− sin t)
dan
y = |MP | = |NR| = |NC|+ |CR| = a− a cos t = a(t− cos t)
maka persamaan-persamaan parametrik untuk sikloid adalah
x = a(t− sin t), y = a(t− cos t)
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Teorema
Misalkan f dan g secara kontinu dapat didiferensialkan denganf ′(t) 6= 0 pada α ≤ t < β, maka persamaan-persamaanparametrik
x = f(t), y = g(t)
mendefinisikan y sebagai fungsi x yang dapat didiferensialkandan
dy
dx=dy/dt
dx/dt
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
Contoh 3
Tentukan dy/dx dan d2y/dx2 untuk fungsi berikut ini
x = 5 cos t, y = 4 sin t, 0 < t < 3.
Penyelesaian
Misalkan y′ menotasikan dy/dx, maka
dy
dx=dy/dt
dx/dt=
4 cos t
−5 sin t= −4
5cot t
d2y
dx2=dy′
dx=dy′/dt
dx/dt=
45 csc2 t
−5 sin t= − 4
25csc2 t
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor
Kurva Bidang: Representasi Parametrik
PengertianMenghilangkan parameterSikloidKalkulus kurva parametrikLatihan
1. Tentukan persamaan Cartesius dari kurvax = 4− t, y =
√2t; 0 ≤ t ≤ 4.
2. Tentukan dy/dx dengan menghilangkanparameternya jikax = 1− cos t, y = 1 + sin t; t 6= nπ
3. Tentukan persamaan garis singgung terhadapkurva pada titik yang telah diberikan tanpamenghilangkan parameternya jika diberikanx = t2, y = t3; t = 2.
[email protected] Geometri pada Bidang, Vektor