APLIKASI TURUNAN PARSIALA. Aturan-aturan untuk gradien:Dalam banyak hal, gradient berprilaku seperti turunan operator sering disebut operator delTeorema AJika f fungsi dua peubah yang terdefinisikan di P=(x,y).,maka turunan parsial pertama dari f ada di P dan :

Dengan cara yang sama jika g fungsi 3 peubah dari Terdiferinsialkan di P(x,y,z) maka:

Teorema BJika f mempunyai turunan parsial pertama di suatu lingkungan dari P dan jika turunan parsial ini kontinu di P,maka ia dapat diturunkan di P. Contoh 1:Perlihatkan bahwa f(x,y)=x+y terdiferensialkan dimana-mana gradiennya!Penyelesaian:Turunan parsial pertama dari f(x,y)adalah +2xy =Karena fungsi ini kontinu dimana-mana, sehingga munurut teorema B, f terdiferensial kan dimana-mana. Menurut teorema A maka gradien dari f(x,y) adalah

Contoh 2:Untuk f(x,y,z)=x sin z+tentukanlah Penyelesaian :

Teorema C adalaah operator linier yakni:(i) (ii) (iii)Untuk kasus (iii) dengan dua peubah akan di buktikan tanpa menuliskan titik P agar lebih singkat:

B. Turunan Berarah dan GradienPada fungsi dua penubah f(x,y), turunan parsial (x,y) dan (x,y) mengukur laju perubahan dan tanjakan (kemiringan) garis miring pada arah sejajar sumbu x dan y.Dalam materi berikut kita mempelajari laju perubahan f pada sembarang arah ,hal ini menuju konsep turunan berarah ,yang kemudian dihubungan dengan gradien.Defenisi :Untuk tiap vektor satuan ,andaikan : f (p) =lim Limit ini ,jika ada maka di sebut turunan berarah f di p pada arah u.Jadi f(p)= (p), f (p)= (p)Karena p =(x,y) kita gunakan juga penulisan f(x,y) .Teorema AAndaikan f mempunyai turunan parsial kontinu di sekitar maka f mempunyai turunan berarah di P pada arah vektor satuan u= + dan ) =u. f(p) yaitu Contoh 3:Jika f(x,y) = , tentukan turunan berarah di f(-2,1) pada arah vector =4+3 !Penyelesaian :Vektor satuan Menurut teorema A maka Contoh 4:Tentukanlah turunan berarah dari fungsi f(x,y,z)= sin z di titik (1,2, pada arah vector = + 2 + 2 !Penyelesaian:Vektor satuan u= = + + =

C. Fungsi Implisit dan JacobianMisalkan bahwa F(x,y)=0 mendifinisikan secara implicit y=g(x), tetapi fungsi g sukar atau tidak mungkin di tentukan , kita masih dapat mencari . Satu metode untuk melakukan ini ialah penurunan imlicit. Berikut ini, kita gunakan metode lain. Turunkan kedua ruas F(x,y)=0 terhadap x dengan menggunakan aturan rantai,kita peroleh:

Dengan menyelesaikan , maka di hasilkan rumus:

Contoh 5:Tentukan jika Penyelesaian:Andaikan F(x,y)=

Jika z suatu fungsi implicit dari x dari y yang di definisikan oleh persamaan F(x,y,z)=0 maka, penurunan kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap menghasilkan:

Jika kita selesaikan untuk dan dengan mencatat bahwa , kita perolah dengan rumus:

Contoh 6:Jika F(x,y,z)= mendifinisikan z secara implicit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan !Penyelesaian:

Latihan soal1. Tentukan Jacobian dari tranfomasi sistem kartesius ke sistem bola sebagai berikut: X = sin cos y = sin sin z = cos 2. Diberikan transformasi x = r cos , y = r sin .Tentukan jacobian dari transformasi itu3. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P dalam arah a. f(x,y)=x b. f(x,y,z)= ; P(3,2,1); c. f(x,y,z)=4. carilah vektor gradien dari fungsia. b. 5. Carilah gradien untuk:a. b.