Upload
alhadiudin
View
139
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Asimtot.wordpress.com
FUNGSI TRANSENDEN7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday 7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya 7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya
Asimtot.wordpress.com
7.1 Fungsi Logaritma Asli Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut
Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk memenuhi tempat kosong yang ada di atas. Definisi Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai
Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif. Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah , yaitu turunan suatu fungsi logaritma asli
Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika
dan jika
terdiferensialkan, maka
Contoh : Tentukan Penyelesaian : Andaikan
.
Asimtot.wordpress.com
Karena
maka
Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat : , dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu
Contoh : Tentukan Penyelesaian :
Sifat-sifat Logaritma Asli Teorema Logaritma Asli Jika i. ii. iii. iv. dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka
Grafik Logaritma Asli Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di
setengah bidang kanan.
Karena
, maka
. Ini menunjukkan bahwa fungsi
selalu naik. Dan untuk
ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti berikut.
Asimtot.wordpress.com
7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya Teorema Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan.
Fungsi monoton Misalkan dikatakan: monoton naik, jika monoton turun, jika untuk monoton tak naik, jika untuk monoton tak turun, jika untuk monoton datar, jika untuk maka maka maka maka maka terdefinisi pada suatu himpunan . Untuk semua , fungsi
Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika maka maka Monoton turun jika
Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi maka berlaku
monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk untuk setiap pernyataan jika
pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan untuk setiap pada daerah asalnya.
maka berlaku
Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu. Bukti teorema Kita ambil Jika monoton murni maka satu-satu dan onto
Asimtot.wordpress.com
Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. Bukti untuk Diketahui satu-satu. monoton naik
Dengan kata lain : Terbukti satu-satu.
Bukti untuk onto Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya. Onto artinya Untuk , yang ekuivalen dengan sudah sangat jelas. dan
Sekarang akan dibuktikan untuk Andaikan
Maka Untuk Maka Menurut teorema apit maka haruslah
Kontradiksi bahwa Jadi, adalah Onto. memiliki balikan. Untuk .
Contoh : Perlihatkan bahwa
Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu
Dimana nilai
selalu lebih besar nol untuk setiap . untuk semua
Jadi
naik pada seluruh garis real. Sehingga
memiliki balikan di sana.
Asimtot.wordpress.com
Cara Menentukan Fungsi Balikan Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk terlebih dahulu , kemudian kita menukarkan dan untuk melakukan itu, kita tentukan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi
diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 1. 2. 3. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan Langkah 2 : Gunakan Langkah 3 : Gantilah untuk dalam bentuk .
untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam . dengan . dan . Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa . Jadi,
Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan menukar peranan grafik dan
pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis terhadap garis
adalah gambar cermin grafik
Contoh : Carilah invers dari Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan untuk dalam bentuk .
Langkah 2 : menggunakan
untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam
Langkah 3 : mengganti
dengan .
Asimtot.wordpress.com
Turunan Fungsi Balikan Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. Teorema Andaikan di suatu terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang . Jika tertentu dalam . Maka dan terdiferensiasikan di titik yang berpadanan
dalam daerah hasil
Menurut definisi invers. Yaitu, jika kita dapatkan Kita perhatikan untuk .
maka
. Dengan melakukan substitusi
Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :
Yang ekuivalen dengan Bukti teorema Interval , dan [email protected]
, fungsi monoton murni dan kontinu pada invers fungsi yang monoton murni dan kontinu.
.
Asimtot.wordpress.com
Fungsi
terdiferensial di titik
dan
. Fungsi
terdiferensial di titik
lebih lanjut,
Ambil sembarang dengan
dengan
, selanjutnya didefinisikan fungsi
Diketahui dengan halnya jika
monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap , maka dan . dengan kata lain , well define. Demikian diperoleh
maka berdasarkan definisi fungsi
Mudah dipahami bahwa untuk setiap dibuktikan bahwa
dengan
, maka
. Selanjutnya
Diberikan bilangan sehingga untuk setiap
dan jika
terdiferensial di
, maka terdapat bilangan berlaku
dengan sifat
Diketahui
kontinu di titik
, artinya untuk setiap bilangan dengan
terdapat bilangan
sehingga untuk setiap
, maka berlaku
Karena
fungsi invers dari
maka
bijektif, dengan kata lain
injektif dan surjektif.
injektif dan maka
, maka diperoleh; jika
untuk setiap dengan berakibat
Oleh karena itu untuk setiap
Untuk sebarang
Jadi
Asimtot.wordpress.com
Perhatikan bahwa karena
maka
, sehingga diperoleh
Dapat disimpulkan, untuk setiap
dengan
berlaku
Terbukti
Contoh : Carilah
jika diketahui yang berpadanan dengan
Penyelesaian : Kita akan mencari nilai
Kemudian kita cari
Kita selesaikan dengan menggunakan teorema
Asimtot.wordpress.com
7.3. Fungsi Eksponen Asli Definisi Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi
Dari definisi dapat diambil bahwa i. ii. untuk semua
Sifat-sifat Fungsi Eksponen Definisi Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga Bilangan sama halnya seperti bilangan .
yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi
desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma. Teorema Andaikan dan sebarang bilangan real, maka dan
Turunan Andaikan , maka dapat dituliskan . Perhatikan untuk
Kedua ruas diturunkan terhadap
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
Karena
, maka
Apabila
. Dan
terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai
Contoh : Tentukan Penyelesaian :
Asimtot.wordpress.com
Integral Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral
Contoh : Tentukan Penyelesaian :
7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum Definisi Untuk Coba hitung dan sebarang bilangan real dengan menggunakan maka berlaku . Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin
akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8,9999999999. Karena kalkulator menggunakan nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal.
Sifat-sifat Teorema Jika i. ii. iii. iv. v. dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka
Asimtot.wordpress.com
Aturan-aturan Fungsi Eksponensial Teorema
Contoh : tentukan Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
Fungsi Definisi Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka
Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti adalah .
Jika
sehingga
, maka
Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu
Asimtot.wordpress.com
7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau
Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial
populasi bertambah. menunjukkan bahwa sekitar
populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah
Menyelesaikan Persamaan Differensial dengan syarat awal mengintegrasikan, kita peroleh apabila . Dengan memisahkan peubah dan
Syarat
pada saat
akan menghasilkan
Sehingga,
Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika disebut peluruhan eksponensial. Peluruhan Radioaktif Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk
Teorema
Asimtot.wordpress.com
Bukti Pertama ingat kembali bahwa jika Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat maka , kita peroleh dan khususnya,
Jadi
. Karena
adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita
dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut
Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga? Penyelesaian :
. Andaikan
Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil. Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan adalah nilai pada saat uang sebesar rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari terhadap waktu adalah , yakni
Persamaan diferensial ini adalah 7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial
Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan pada sisi lainnya. Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam [email protected]
Asimtot.wordpress.com
Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu. Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan factor integrasi Didapatkan
Sisi kiri adalah turunan hasil kali
, maka persamaannya mengambil bentuk
Integrasi kedua sisi menghasilkan
Contoh : Carilah penyelesaian umum dari Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk
atau
Jadi penyelesaian umumnya adalah
Asimtot.wordpress.com
7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri Balikan sinus dan Kosinus Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang dan Sehingga, dan dan
Balikan Tangen dan Balikan Sekan Definisi Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masingmasing pada selang dan dan dan Sehingga,
Teorema i. ii. iii. iv.
Turunan Fungsi Trigonometri
Asimtot.wordpress.com
Turunan Fungsi Balikan Trigonometri Teorema i. ii. iii. iv.