Upload
el-rasyied-harun-kurnia-ali
View
5.458
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
www.ketinggalan.wordpress.com
Citation preview
69
BAB III
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1 berikut.
x f(x) x f(x)
1,9
1,99
1,999
1,9999
5,9
5,99
5,999
5,9999
2,1
2,01
2,001
2,0001
6,1
6,01
6,001
6,0001
Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang
6,0001
5,9999
6
0,0001
0,0001
2 1,9999 0,0001
0,0001 0,0001 0
x
y
Gambar 3.1
70
mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya, yaitu
f(x) = 3x
3xx3x 23
++++
Jika fungsi pembilang kita faktorkan didapat : f(x) = 3x
)3x)(1x( 2
+++ atau
f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3. Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = -3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = -3 berikut perhatikan buat Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3 (Gambar 3.2).
x f(x) x f(x)
-3,1
-3,01
-3,001
-3,0001
10,61
10,0601
10,006001
10,00060001
-2,9
-2,99
-2,999
-2,9999
9,41
9,9401
9,994001
9,99940001
Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa : 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c
tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan
o
-3
-3,0001
-2,9999
0,0001 0,0001
9,99940001
10,00060001
0
y
x
Gambar 3.2
71
2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis :
L)x(flimcx
=®
( 3.1 )
dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati c”
3.2 Definisi limit
Perhatikan Gambar 3.3 berikut !
Untuk x < c , maka : 0 < c – x < d atau 0 > x – c > -d Untuk x > c , maka : 0 < c – x < d Dari kedua persamaan diatas didapat : d<-< cx0 ( 3.2 )
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < e atau f(x) – L > -e Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < e. Sehingga didapat : <- L )x(f e ( 3.3 )
Dari Gambar 3.3 dan persamaan 3.1 s/d 3.3 maka didapat definisi sebagai berikut :
c - d x c x c + d
L + e
f(x) L f(x)
L - e
e
e
f(x) - L
f(x) - L
0
y
x
Gambar 3.3
c-x x-c
d d
72
3.3 Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema
1. cx limcx
=®
( 3.5 )
Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < cx - < d maka terdapat cx - < e. Jadi untuk e = d didapat :
cx - < d (terbukti)
Contoh 3.1 a) 5x lim
5x=
®
b) 7x lim7x
-=-®
2. kk lim
cx=
® ( 3.6 )
Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < cx - < d maka terdapat k -k < e. Karena k -k = 0 dan 0 < e, maka
definisi terpenuhi. Contoh 3.2 a) 44 lim
3x=
-®
b) 99lim2x
=®
3. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim
cxcxcx ®®®+=+ ( 3.7 )
Bukti : Misal 1
cxL)x(flim =
® dan 2
cxL)x(glim =
®
Dari definisi, untuk setiap e > 0 terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0< cx - < d maka )L(L - g(x))(f(x) 21 ++ < e
atau ))L)x(g()L-(f(x) 21 -+ < e
Dari ketaksamaan segitiga didapat : ))L)x(g()L-(f(x) 21 -+ £ 21 L)x(gL)x(f -+- atau
Pernyataan : L)x(flimcx
=®
, berarti untuk setiap e > 0 terdapat d > 0
sedemikian rupa sehingga jika 0< < c-x d maka L - f(x) <e ( 3.4 )
73
)L(L - g(x))(f(x) 21 ++ £ 21 L)x(gL)x(f -+-
Karena 1cx
L)x(flim =®
, maka :
Untuk setiap e21 > 0 terdapat d1 > 0 sedemikian rupa sehingga :
jika 0 < cx - < d1 maka L-f(x) 1 < e21 ( * )
Selanjutnya karena 2
cxL)x(glim =
®, maka :
untuk setiap e21 > 0 terdapat d2 > 0 sedemikian rupa sehingga :
jika 0 < cx - < d2 maka L-f(x) 2 < e21 ( ** )
Dari ketaksamaan segitiga didapat :
)L)x(g()L-(f(x) 21 -+ £ 21 L)x(gL)x(f -+- atau
)L(L - g(x))(f(x) 21 ++ £ 21 L)x(gL)x(f -+-
Dari (*), (**) dan (***) didapat :
)L(L - g(x))(f(x) 21 ++ < e+e21
21 atau )L(L - g(x))(f(x) 21 ++ < e ( terbutki )
Contoh 3.3
=+®
)6x( lim5x
+®
x lim5x
=®
6 lim5x
5 + 6 = 11
4. )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[limcxcxcx ®®®
-=- ( 3.8 )
Bukti : ikuti pembuktian teorema 3
Contoh 3.4 =
®)x-(7 lim
5x-7 lim
5x®=
®x lim
5x7 - 5 = 2
5. =®
)]x(g).x(f[limcx
).x(flimcx®
)x(glimcx®
( 3.9 )
Bukti : Misal 1
cxL)x(flim =
® dan 2
cxL)x(glim =
®
Dari ketaksamaan segitiga didapat :
21LL)x(g).x(f - = 2122 LL)x(fL)x(fL)x(g).x(f -+-
£ 122 L)x(fL L)x(g)x(f -+-
£ 122 L)x(f)L 1(L)x(g)x(f -++- ( i )
Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < cx - < d1, maka <- L)x(f 1 e1 ( ii )
Dari ketaksamaan segitiga didapat : 11 L)x(f L)x(f -³- ( iii )
Dari ( ii ) dan ( iii ) didapat 11L )x(f e<- atau 11L )x(f e+< ( iv )
74
Dengan mengambil e1 = 1, maka 1L )x(f 1 +< ( v )
Untuk setiap e2>0 terdapat d2>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < cx - < d2, maka <- L)x(g 2 e2 ( vi )
Dengan mengambil e2 = 1L1 2/1
+e , maka dari (vi) didapat :
<- L)x(g 21L1 2/1
+e ( vii )
Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < cx - < d3, maka didapat didapat 31L )x(f e<- ( viii )
Dengan mengambil e3 = 2L 1
2/1+
e , maka dari (viii) didapat :
<- 1L )x(f 2L 1
2/1+
e , maka dari ( viii ) didapat : <- 1L )x(f 2L 1
2/1+
e ( ix )
Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat :
e=+
e++
+e
+<L 1 2/1
)L 1(L 1 2/1
)L 1(LL-f(x) 21
121
Dengan memilih d = min (d1, d2, d3 ) akan didapat pernyataan : Jika 0 < cx - < d, maka e<- 1L )x(f ( terbukti )
Contoh 3.5
=+®
)}1x)(x-{(7 lim5x
x)-(7 lim5x®
. =+®
1)(x lim5x
(2)(6)=12
6. )x(glim
)x(flim
)x(g)x(f
lim
cx
cxcx
®
®®
=úû
ùêë
é ( 3.10 )
Bukti :
)x(g1
lim).x(flim)x(g
1).x(f lim
)x(g)x(f
limcxcxcxcx ®®®®
=úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é
Misal 1cx
Llim =®
dan 2cx L1
)x(g1
lim =®
2
2
2 L )x(g
L-g(x)
L1
)x(g1
=- , g(x) ¹0 ( i )
Untuk e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < cx - < d1, maka 12L- )x(g e< ( ii )
Dari ketaksamaan segitiga : )x(gL)x(gLL)x(g 222 -³-=- ( iii )
Jadi )x(gL2 - <e1 ® 12L)x(g e-> ( iv )
Dengan mengambil e1 = 2
L2 , maka 2
L
2
LL)x(g 222 =->
Sehingga 2L2
)x(g1
< ( v )
Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat : 2222
L)x(gL
2L1
)x(g1
-£- ( vi )
Untuk e2>0 terdapat d2 sedemikian rupa sehingga :
75
jika 2cx0 d<-< , maka 22L)x(g e<- ( vii )
Dengan mengambil e2 = 2
L 22e
, maka persamaan (vii) menjadi :
2
LL)x(g
22
2e
<- ( viii )
Dari pers. (i), (v) dan (viii) didapat : 12
L.
L
2L1
)x(g1
22
222
=£- ( ix )
Dengan mengambil d = min ( d1,d2 ) akan didapat pernyataan :
jika d<-< cx0 maka e<-2L1
)x(g1 . Hal ini membuktikan bahwa :
)x(glim1
L1
)x(g1lim
cx2
cx®
==®
Jadi : =úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é
®® )x(g1
).x(f lim)x(g)x(f
limcxcx 2
1LL
)x(glim
)x(flim
cx
cx
®
®= ( terbukti )
Contoh 3.6
74
74
x3lim
xlim
x3x
lim
4x
4x4x
-=-
=-
=-
-®
-®-®
7. )x(flim af(x)] [a limcxcx ®®
= ( 3.11 )
Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 3.7 a) e9xlim 99x lim
exex==
®®
b) )4(3)x4(lim 3x)-3(4 limxx
p-=-=p®p®
8. )x(flim f(x)] [ limn
cxn
cxúû
ùêë
é=®®
( 3.12 )
Bukti : [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … .[f(x)] dengan jumlah faktor f(x) adalah n. Jadi .f(x)] ... ).x(f).x(f[limf(x)] [ lim
cxn
cx ®®=
Dari persamaan (3.9) didapat :
).x(flimf(x)] [ limcx
ncx ®®
= ).x(flimcx®
… . )x(flimcx®
= n f(x)] [ limcx®
( terbukti )
Contoh 3.8
1)1()3x(lim 3)-(x lim 77
2x7
2x-=-=úû
ùêë
é -=®®
76
9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x) £ h(x) £ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika ==
®Lf(x) lim
cxg(x) lim
cx®, maka : Lh(x) lim
cx=
® ( 3.13 )
Bukti : Untuk setiap e > 0 terdapat d1>0 dan d2>0 sedemikian rupa sehingga :
ïî
ïíì
e<d<<
e<d<<
L-g(x) maka c-x 0 : jika
L-f(x) maka c-x0 : jika
2
1 ( * )
Untuk d = min(d1,d2) dan 0< cx - <d, maka ketaksamaan (*) menjadi :
-e < f(x)–L < e dan -e < g(x)–L < e Sehingga : 0< cx - <d maka L-e < f(x) dan g(x) < L+e
Karena f(x) £ h(x) £ g(x), sehingga jika 0< cx - <d, maka :
L-e < h(x) < L+e atau L)x(h - <e (terbukti)
Contoh 3.9
Selesaikan x1
cosx lim 20x®
Penyelesaian :
1x1
cos1 ££- , x ¹ 0
222 xx1
cosxx ££- (kalikan semua suku dengan x2)
0x- lim 20x
=®
0x lim 20x
=®
Karena : =®
20x
x- lim 0x lim 20x
=®
, maka x1
cosx lim 20x®
= 0
10. Limit sepihak Lf(x)] [ lim
cxÛ=
® f(x)] [ lim
cx=
-® Lf(x)] [ lim
cx=
+® ( 3.14 )
x ® c- artinya x mendekati c dari arah kiri x ® c+ artinya x mendekati c dari arah kanan Contoh 3.10
Jika f(x) = îíì
>+<-
-2x jika 7x-2x jika x21
Tentukan ada. jika f(x), lim2x -®
Penyelesaian :
52x)-(1lim2x
=--®
(limit kiri)
57)(xlim2x
=++-®
(limit kanan)
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka 5f(x) lim2x
=-®
77
Soal-soal
1. 7lim2x®
6. )6x5x)(1x(lim 21x
++-®
2. 5lim3x®
7. 2-x
x lim
4x®
3. x3lim5x -®
8. 3x
)9x5(lim -p®
4. )x53(limex
-®
9. 2
20x x
1sinx lim
®
5. )12x4x(lim 25x
--®
10. Tentukan )x(flim4x®
jika f(x) = îíì
>£-
4x jika x-74x jika 5x2
3.4 Limit fungsi trigonometri
1. 1x
x sin lim
0x=
® ( 3.15 )
Bukti : Perhatikan Gambar 3.4 berikut !
Luas DOPQ < Sektor OPQ < DOPT (*)
Luas DOPQ = q=q sinr21
sin r21
.r 2 (**)
Luas sektor OPQ = 2r21
q (***)
Luas DOPT = r. q tan r21 = q tanr
21 2 (****)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat :
q<q<q tanr21
r21
sinr21 222 ( # )
q 0
r
T Q
P x
y
Gambar 3.4
0 < q < 2p
78
Jika pers. (#) dibagi q sinr21 2 didapat :
q<
< cos
1 sin
1 atau q>q
q> cos
sin1
Gunakan teorema apit !
11 lim0
=®q
dan 1 cos lim0
=q®q
, maka : 1 sin
lim0
=q
q®q
atau 1x
x sin lim
0x=
®
2. 1x cos lim
0x=
® ( 3.16 )
3. 0x sin lim
0x=
® ( 3.17 )
4. 0x tan lim
0x=
® ( 3.18 )
Bukti : =®
x tan lim0x
=® x cos
x sin lim
0xx sin lim
0x®. =
® x cos1
lim0x
x sin lim0x®
. =
®
®x cos lim
1lim
0x
0x (0) 011
=þýü
îíì (terbukti)
5. 1x
x tan lim
0x=
® ( 3.19 )
Bukti :
=® x
x tan lim
0x=
® x cos1
. x x sin
lim0x x
x sin lim
0x®. =
® x cos1
lim0x
1 . 1 = 1 (terbukti)
6. 1x tan
x lim
0x=
® ( 3.20 )
Bukti :
=® x tan
x lim
0x=
® x cos1
.
x x sin
1 lim
0x1 . 1 = 1 (terbukti)
7. 0x
1 - x cos lim
0x=
® ( 3.21 )
Bukti :
=® x
1 -x cos lim
0x=
® x
1 - x21
sin - x21
cos lim
22
0x
0)1(0x
21
x21
sin x
21
sinlim)x
21
2(
x21
sin . x21
sin2lim
x
x21
sin2lim
0x0x
2
0x==
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-=-
=-
®®®(terbukti)
3.5 Limit fungs trigonometri invers
1. 1x
x arcsin lim
0x=
® ( 3.22 )
Bukti : y = y sinx x arcsin =Û untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2
79
Jadi : =® x
x arcsin lim
0x=
® y sin y
lim0y
1
yy sin
1 lim
0y=
® ( terbukti )
2. 1x
x arctan lim
0x=
® ( 3.23 )
Bukti : y = y tanx x arctan =Û untuk setiap nilai x dan -p/2 < y < p/2
Jadi : =® x
x arctan lim
0x=
® y tan y
lim0y
=®
yy sin
y cos lim
0y 1
yysin
lim
y cos lim
0y
0y =
®
®
3. 0x arcsin lim
0x=
® ( 3.24 )
Bukti : y = y sinx x arcsin =Û untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2 Jadi =
®x arcsin lim
0x0y lim
0y=
® (terbukti)
4. 2
x arccos lim0x
p=
® ( 3.25 )
Bukti : y = y cosx x arccos =Û untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p
Jadi =®
x arccos lim0x 2
y lim
2y
p=
p®
(terbukti)
5. 0x arctan lim
0x=
® ( 3.26 )
Bukti : y = y tanx x arctan =Û untuk setiap x dan -p/2 £ y £ p/2 Jadi =
®x arctan lim
0x0y lim
0y=
® (terbukti)
6. 0x arccot lim
0x=
® ( 3.27 )
Bukti : y = y cotx x cotarc =Û untuk setiap x dan 0 < y < p
Jadi =®
x arccot lim0x 2
y lim
2y
p=
p®
(terbukti)
Soal-soal Hitung limit berikut, jika ada !
1. x
xx 5
2sinlim0®
6. x5
x2cos1lim
0x
-®
2. x3sin
x2lim
0x® 7.
4xtan3x
lim4x®
3. x3sinx4sin
lim0x®
8. )-sin(2x
cos2x-1 lim
0x p®
4. 2
3
0x x
xsinlim®
9. x7
x3arcsinlim
0x®
5. x7sin
xlim
2
2
0x® 10.
x71x arctan
lim0x -®
80
3.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap )x(flim
cx -® dan +®cx
lim f(x) mungkin akan
didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut.
x f(x) x f(x) 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
-10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ¥). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju -¥). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ¥ atau ¥=
+®)x(flim
2x, sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah
kiri adalah -¥ atau -¥=-®
)x(flim2x
. Karena limit kiri ¹ limit kanan maka 2x
1 lim
2x -®
tidak ada (lihat persamaan 3.14). Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut !
Misal f(x) = 01
1n-1n
nn
011m
-1mm
m
b xb ... xb xb
a xa ... xa xa
++++
++++-
-
Jika m < n, maka :
f(x) = 2x
1-
y
0 x
Gambar 3.5
81
0b xb ... xb xb
a xa ... xa xa lim
011n
-1nn
n
011m
-1mm
mx
=++++
++++-
-
¥® ( 3.28 )
Jika m = n, maka :
n
m
011n
-1nn
n
011m
-1mm
mx b
a
b xb ... xb xb
a xa ... xa xa lim =
++++
++++-
-
¥® ( 3.29 )
Jika m > n, maka :
¥=++++
++++-
-
¥® 011n
-1nn
n
011m
-1mm
mx b xb ... xb xb
a xa ... xa xa lim ( 3.30 )
Bukti :
f(x) = 01
1n-1n
nn
011m
-1mm
m
b xb ... xb xb
a xa ... xa xa
++++
++++-
-
Jika semua suku dibagi dengan xm maka :
f(x) = m
0m1
1m1n
-1nmn
n
m0
m11
1-1mm
xb xb ... xb xb
xa xa ... xa a-----
---
++++
++++
Jadi limx ¥® m
0m1
1m1n
-1nmn
n
m0
m11
1-1mm
xb xb ... xb xb
xa xa ... xa a-----
---
++++
++++
Jika m < n, maka :
limx ¥® m
0m1
1m1n
-1nmn
n
m0
m11
1-1mm
xb xb ... xb xb
xa xa ... xa a-----
---
++++
++++ =
limx ¥®
0 am =
¥ (terbukti)
Jika m = n, maka :
limx ¥®
=++++
++++-----
---
m0
m11
m1n-1n
mnn
m0
m11
1-1mm
xb xb ... xb xb
xa xa ... xa a
limx ¥® 0 b
0 a
n
m++ =
n
mb
a (terbukti)
Jika m > n, maka :
limx ¥®
=++++
++++-----
---
m0
m11
m1n-1n
mnn
m0
m11
1-1mm
xb xb ... xb xb
xa xa ... xa a
limx ¥®
¥=+
00 am (terbukti)
Contoh 3.11
Tentukan ¥®x
lim4 - x x5
7x x3 x24
34
+
-++
Penyelesaian :
82
am = 2 ; bn = 5 ; m = 4 ; n = 4
Karena m = n , maka ¥®x
lim4 - x x5
7x x3 x24
34
+
-++ =n
mb
a=
52
3.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut pada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 3.7.1 Asimtot tegak
Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 3.6 berikut.
Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika ¥-¥=
-® atau )x(flim
axdan jika ¥-¥=
+® atau )x(flim
ax atau jika
¥-¥=®
atau )x(flimax
maka garis x = a adalah asimtot tegak kurva f(x)
3.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.7 berikut.
y
0 x
Gambar 3.6
83
Asimtot datar suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika b)x(flim
x=
¥® atau jika b)x(flim
x=
-¥®maka garis y = b adalah asimtot datar
kurva f(x).
3.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 3.8 berikut.
Jika ax
)x(flimx
=¥®
dan b]ax)x(f[limx
=-¥®
maka garis y = ax + b adalah asimtot
miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring.
y
x 0
Gambar 3.8
y
x 0
Gambar 3.7
84
Contoh 3.12
Tentukan asimtot grafik fungsi f(x) = 4x
3+
Penyelesaian :
¥=+-® 4x3
lim4x
, maka garis x = -4 adalah asimtot tegak.
04x
3lim
x=
+¥®, maka garis y = 0 adalah asimtot datar.
0)4x(x
3lim
x)x(f
limxx
=+
=¥®¥®
. Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai
asimtot miring.
Contoh 3.13
Tentukan asimtot dari grafik fungsi 6xx
2xx)x(f
2
2
-+
--=
Penyelesaian :
2x , 3x1x
)3x)(2x()1x)(2x(
6xx
2xx)x(f
2
2¹
++
=+-+-
=-+
--=
¥=++
-® 3x1x
lim3x
, maka garis x = -3 adalah asimtot tegak.
13x1x
limx
=++
¥®, maka garis y = 1 adalah asimtot datar.
0)3x(x
1xlim
x)x(f
limxx
=+
+=
¥®¥®. Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai
asimtot miring.
0 x
y
Gambar 3.9
85
Contoh 3.14
Tentukan asimtot dari grafik fungsi x
1x2x)x(f
2 -+=
Penyelesaian :
-¥=-+
® x1x2x
lim2
0x, maka garis x = 0 adalah asimtot tegak.
¥=-+
¥® x1x2x
lim2
x, maka f(x) tidak mempunyai asimtot datar.
Asimtot miring : y = ax + b
a = 1x
1x2xlim
x)x(f
lim2
2
xx=
-+=
¥®¥®.
b = =--+
=-¥®¥®
xx
1x2xlimax)x(flim
2
xx2
x1x2
limx
=-
¥®.
Jadi asimtot miring f(x) adalah y = x + 2 Soal-soal Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada !
1. 1x
1)x(f
+= 3.
5x6x
3x2x)x(f
2
2
++
--= 5.
1x5xx3
)x(f2
-+-
=
2. 1x1x
)x(f-+
= 4. 3x64)x(f -= 6. 1x
ex)x(f
x2
+=
-
3.8 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) )x(flim
ax® ada
ii) f(a) terdefinisi iii) )x(flim
ax® = f(a)
Contoh 3.15 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
1. f(x) = 2x
3+
a = -2
2. f(x) = ïî
ïí
ì
=
¹--
3 x jika 6
3x jika 3x9x2
a = 3
Penyelesaian :
1. ¥=+-® 2x3
lim2x
. Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2
2. 63x9x
lim2
3x=
--
®dan f(3) = 6. Karena )3(f)x(flim
3x=
® maka f(x) kontinu di titik a=3.
86
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a
1. f(x) =
ïïî
ïïí
ì
>+=<-
3 x jika 5x3 x jika 83 x jika 1x2
a = 3 3. f(x) = ïî
ïíì
³<0 x jika 2x cos0 x jika 1-x2
a = 0
2. f(x) =
ïïî
ïïí
ì
>=<
1 x jika x-21 x jika 31 x jika x2
a = 1 4. f(x) =
ïïï
î
ïïï
í
ì
>+
-=
-<
2- x jika 3x
2 x jika 1
2 x jika x
42
a = -2
3.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi )x(flim
ax® ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) = )x(flimax®
maka f(x) menjadi
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan )x(flimax®
tidak ada maka
ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. Contoh 3.16
Diketahui f(x) = 2x4x2
+- . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
Penyelesaian :
=+-
-® 2x4x
lim2
2x4)2x(lim
2x-=-
-® f(-2) tak terdefinisi
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena )x(flim
2x -® ada.
Selanjutnya lakukan definisi ulang 4)2(f)2x(lim2x
-=-=--®
. Sehingga f(x) dapat ditulis
menjadi :
f(x) = ïî
ïí
ì
=
¹+-
2- x jika 4-
-2x jika 2x4x2
Contoh 3.17
Diketahui f(x) = 9x
1-
. Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut.
Penyelesaian :
=-® 91lim
9 xx¥, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak
dapat dihapuskan.
87
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak.
1. f(x) = 9x3x
-- ; a = 9 4. f(x) =
4x6xx2
+-+ ; a = 4 dan a = -4
2. f(x) = 4x
1-
; a = 4 dan a = -4 5. f(x) = 4x 5-x
)12xx)(1x(2
2
+
--+ ; a = -1
3. f(x) = 81x
9x4
2
-
- ; a = 3 6. f(x) = 12xx
3x2 --
+ ; a = -3