Karena kesimetrian, integral kita peroleh dengan batas antara 0 dan dan

kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,

Contoh 2 Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat = 4 sin 2 .

Penyelesaian Mawar lengkap telah digambar pada contoh 3, pasal sebelumnya.

Disini kita perlihatkan yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 5).

Gambar 5

Contoh 3 Tentukan luas daerah yang ada diluar kardioid = 1 + cos dan

didalam = sin .

Penyelesaian Grafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 6. Kita

perlukan koordinat titik-titik potong; nilai kita tentukan dengan mencoba

menyelesaikan kedua persamaan secara serentak.

Gambar 6

GARIS SINGGUNG DALAM KOORDINAT KUTUB Dengan koordinat

Cartesius, kemiringan * m dari garis singgung pada sebuah kurva adalah m =

dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/d . Apabila r = f ( )

menentukan persamaan kurva, kita tulis

Jadi,

Karena itulah,

Rumujs diatas menjadi sederhana apabila grafik r = f ( ) melalui kutub.

Andaika, sebagai contoh, untuk suatu sudut α, r = f (α) = 0 dan f’(α) 0. Maka

dikutub tersebut kita peroleh

Oleh karena garis = memiliki kemiringan tan juga, maka kita dapat

mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva dikutub. Jadi dapat ditarik

kesimpulan bahwa garis singgung kurva dikutub dapat ditemukan dengan

menyelesaikan persamaan f ( ) = 0.

Kita beri contoh sebagai berikut.

Contoh 4 Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 3 .

a. Tentukan kemiringan garis singgung di = π/6 dan = π/4.

b. Tentukan garis singgung dikutub.

c. Gambar grafik.

d. Tentukan luas satu daun kurva.

Penyelesaian :

b. Kita misalkan f( ) = 4 sin = 0. Setelah diselesaikan diperoleh = 0, =

= 2 = 4 dan = 5

c. Berhubung

Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu y, kita

susun daftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini

diperlihatkan pada Gambar 7.

r

0

/12

/6

/4

/3

5 /12

/2

0

2,8

4

2,8

0

-2,8

-4

GAMBAR 7 r = 4 sin

SOAL-SOAL 12.8

Dalam. Soal 1-10, gambarlah grafik fungsi yang diketahui dan ditentukan luas

daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut.

11. Gambar grafik limason r = 2 – 4 cos , dan tentukan luas daerah yang ada

dalam simpai yang kecil.

12. Gambar limason r = 3 – 6 sin , dan tentukan luas daerah didalam simpai

yang kecil.

13. Gambar limason r = 2 – 4 sin , dan tentukan luas daerah didalam simpai

yang besar.

14. Gambar satu daun dari mawar berdaun empat dengan persamaan r = 3 cos

dan tentukan lus daun tersebut.

15. Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 4 cos dan tentukan luas daerah

keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.

16. Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 2 sin dan tentukan luas daerah

keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.

17. Tentukan luas daerah yang terletak diantara lingkaran-lingkaran sepusat r =

7 dan r = 10.

18. Gambar daerah yang ada didalam lingkaran r = 3 sin dan diluar kardioid r

= 1 + sin . Tentukan luas daerah itu.

19. Gambar daerah diluar lingkaran r = 2 dan didalam lemniskat = 8 cos .

Tentukan luas daerah itu.

20. Gambar limason r = 3 – 6 sin dan tentukan luas daerah didalam simpai

yang besar dan diluar simpai yang kecil.

21. Gambar daerah yang ada pada kuadran pertama yang terletak didalam

kardoid r = 3 + 3 cos dan diluar kardioid r = 3 + 3 sin . Tentukan luas

daerah tersebut.

22. Tentukan luas daerah pada kuadran kedua yang ada didalam kardioid r = 2 +

2 sin dan diluar kardioid r = 2 + 2 cos .

23. Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva-kurva berikut, dititik =

.

a. r = 2 cos

b. r = 1 + sin

c. r = sin

d. r = 4 – 3 cos

24. Tentukan semua titik pada kardioid yang garis singgungnya

adalah (a) mendatar, (b) tegak.

25. Tentukan semua titik pada limason r = 1 – 2 sin yang garis singgungnya

adalah mendatar.

26. Andaikan r = f( ), dengan f kontinu pada selang tertutup [α, β]. Apabila L

panjang subur kurva dari = hingga = , buktikan

27. Gunakan rumus dalam soal 26 untuk menetukan panjang busur kardioid

28. Tentukan panjang spiral logaritma dari = 0 hingga = .

29. Hitung luas total mawar , dimana n adalah bilangan bulat positif

30. Gambarlah grafik strofoid r = sec - 2 cos dan hitung luas simpainya.

31. Perhatikan dua buah lingkaran r = sin dan r = 2 b cos dengan dan

b positif.

a. Hitung luas daerah yang ada didalam kedua lingkaran tersebut .

b. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut saling berpotongan tegak

lurus.

32. Diasumsikan bahwa sebuah planet yang massanya m berputar mengelilingi

matahari (yang terletak pada kutubnya) dengan momentum sudut konstan

sebesar . Turunkan Hukum Kedua dari Kepler : Garis dari

matahari ke planet menyapu suatu daerah yang luasnya sama dalam waktu

yang sama.

33. (Soal “Kambing Tua” Pertama) Seekor kambing diikat ke tepi sebuah kolom

bundar yang jari-jarinya dengan seutas tali yang panjangnya (0 <

2). Gunakan metode yang diberikan dalam pasal ini untuk menghitung luas

daerah yang dapat dijangkau oleh kambing (daerah diraster pada Gambar 8).

Catatan: Soal ini telah pernah dijawab (Soal 49 Pasal 7.6); saudara harus

mampu memberikan jawaban yang sama.

Gambar 8 Gambar 9

34. (Soal “Kambing Tua” Kedua) Ulangi lagi soal 33 tetapi dengan asumsi

bahwa sekeliling kolam dipagari sedemikian rupa hingga dalam membentuk

irisan , tali melilit sekeliling pagar (lihat Gambar 9). Petunjuk(: Jika

saudara berminat, cobalah metode yang diberikan dalam pasal ini.

Sebaiknya saudara perhatikan bahwa pada lilitan (1/2)

yang memberikan jumlah Riemann untuk suatu integral. Jawaban akhirnya

adalah , yang merupakan hasil yang diperlukan dalam soal

35.

35. (Soal “Kambing Tua” Ketiga) Seekor kambing yang terikat memakan

rerumputan didalam suatu kebun yang dibatasi oleh pagar melingkar yang

jari-jarinya ; seekor kambing lain, yang terikat seperti pada soal 34,

memakan rumput-rumputan diluar pagar. Hitung panjang tali jika kedua

ekor kambing tersebut mampu menjangkau daerah yang luasnya sama.

12.9 Soal-soal Ulangan Bab

KUIS BENAR-SALAH

Katakan benar atau salah ungkapan dibawah ini. Pertahankanlah pendirian anda.

1. Grafik adalah parabol untuk semua

2. Puncak parabol letaknya ditengah antara focus dan garis arah.

3. Puncak elips lebih dekat dengan garis arah daripada dengan focus.

4. Titik parabol yang terdekat dengan focus adalah puncaknya.

5. Hiperbol dan memiliki asimtot yang sama.

6. Keliling C elips dengan memenuhi .

7. Semakin berkurang keeksentrikan e sebuah elips semakin elips tersebut

menyerupai lingkaran.

8. Fokus elips terletak pada sumbu x.

9. Persamaan adalah persamaan hiperbol.

10. Persamaan adalah persamaan parabol.

11. Apabila adalah persamaan hiperbol.

12. Apabila adalah persamaan elips.

13. Jarak antara fokus-fokus kurva adalah

14. Grafik persamaan tidak memotong sumbu .

15. Cahaya yang dipancarkan dari sebuah titik yang terletak diantara focus dan

puncak terdekat sebuah cermin yang berbentuk elips, akan dipantulkan diluar

focus yang lain.

16. Himpunan titik-titik yang sama jauhnya dari lingkaran dan garis x =

3 adalah parabol.

17. Dari hukum Kepler tentang luas daerah yang dilintasi oleh garis hubung

antara matahari dan planet dapat ditarik kesimpulan bahwa laju gerak planet

terbesar dicapai pada saat planet itu berada pada puncak kurva lintasannya

yang terlekat dengan matahari.

18. Sebuah elips digambar dengan menggunakan seutas tali sepanjang 8 satuan

yang diikatkan pada dua focus berjarak 2 satuan; maka panjang garis tengah

yang pendek adalah satuan.

19. Grafik persamaan lingkaran, titik atau himpunan

kosong.

20. Grafik persamaan tak mungkin berupa satu titik.

21. Grafik persamaan adalah perpotongan antara

sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua untuk segala pilihan

dan .

22. Dalam sebuah sistem koordinat yang sesuai, persamaan perpotongan antara

sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua dapat ditulis sebagai

.

23. Grafik sebuah hiperbol terletak dalam ke empat kuadran sistem koordinat

Cartesius.

24. Apabila penampang konik melalui (1, 0), (-1, 0), (0, 1), dan (0, -1) maka

penampang konik tersebut adalah lingkaran.

25. Grafik persamaan kutub adalah lingkaran.

26. Tiap titik pada bidang memiliki koordinat kutub yang tak hingga banyaknya.

27. Semua titik potong dua kurva dengan persamaan kutub masing-masing

dan dapat ditemukan dengan jalan menyelesaikan kedua

persamaan itu sekaligus.

28. Apabila f sebuah fungsi ganjil, maka grafik dari simetrik terhadap

sumbu y (yaitu garis .

29. Apabila f sebuah fungsi genap, maka grafik dari simetrik terhadap

sumbu x (garis ).

30. Grafik adalah mawar berdaun tiga yang luasnya kurang dari

setengah luas lingkaran dengan jari-jari 4.

SOAL-SOAL ANEKA RAGAM

1. Padankanlah kurva yang tersedia dengan persamaan yang cocok.

1) Tidak ada grafik.

2) Satu titik.

3) Satu garis.

4) Dua garis sejajar.

5) Dua garis berpotongan.

6) Sebuah lingkaran.

7) Sebuah parabol.

8) Sebuah elips.

9) Sebuah hiperbol.

10) Bukan salah satu diatas.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

Dalam soal 2-10, sebutlah konik yang persamaannya diketahui dibawah ini.

Tentukan puncak, fokus dan kemudian gambarlah grafiknya.

Dalam soal 11-18, tentukan persamaan Cartesius konik yang diketahui sifatnya

sebagai berikut.

11. Puncak di ( 4, 0) dan keksentrikan

12. Keksentrikan 1, fokus (0, -3), dan puncak (0, 0).

13. Keksentrikan 1, puncak (0, 0), simetrik terhadap sumbu x, dan melalui titik (-

1, 3).

14. Keksentrikan dan puncak (0, 3).

15. Puncak di ( 2, 0) dan asimtot .

16. Parabol dengan fokus (3, 2) dan puncak (3, 3).

17. Elips dengan pusat (1, 2), satu fokus di (4, 2), dan garis tengah panjang sama

dengan 10.

18. Hiperbol dengan puncak (2, 0) dan (2, 6) dan keksentrikan .

Dalam soal 19-22, gunakan proses melengkapkan kuadrat untuk

menyederhanakan persamaan dibawah ini menjadi bentuk baku. Sebutlah

kemudian jenis kurva yang bersangkutan dab gambarlah grafiknya.

23. Pemutaran sumbu koordinat dengan sudut = 45o mengubah persamaan

menjadi bentuk . Tentukan r dan s, sebutlah

jenis konik, dan tentukan jarak antara focus-fokusnya.

24. Tentukan sudut putar yang diperlukan untuk menghilangkan suku

campuran dalam persamaan . Susunlah kemudian

persamaan uv yang sesuai dan tentukan jenis konik yang bersangkutan.

Dalam soal 25-36, selidikilah persamaan kutub yang diketahui dan kemudian

gambarlah grafiknya.

37. Tentukan persamaan Cartesius grafik yang diketahui persamaan kutubnya

Gambarlah grafiknya.

38. Tentukan persamaan Cartesius grafik dengan persamaan kutub

Gambarlah grafiknya.

39. Tentukan kemiringan garis singgung grafik dengan persamaan

Pada titik grafik dengan

40. Gambarlah grafik persamaan

dan

Tentukan titik potongnya.

41. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik

(lihat soal 30).

42. Tentukan luas daerah yang ada diluar limason dan didalam

lingkaran (lihat soal 40).

43. Sebuah mobil balap yang sedang melaju pada suatu lintasan yang berbentuk

elips dengan persamaan pada suatu titik (16, 6) tidak

dapat dikendalikan lagi dan terus bergerak sepanjang garis singgungnya

sehingga menabrak pohon dititik (14, ). Tentukan .

13. GEOMETRI PADA BIDANG, VEKTOR

13.1 Kurva Bidang : Penyajian Secara Parameter

13.2 Vektor pada Bidang : Pendekatan Secara Geometri

13.3 Vektor pada Bidang : Pendekatan secara Aljabar

13.4 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva

13.5 Kelengkungan dan Percepatan

13.6 Soal-soal Ulangan Bab