Kalkulus 1 - talentcamp.dktalentcamp.dk/sites/default/files/materiale/Kalkulus1slides v2.0.pdf · Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen Introduktion Aksiomer

t a l e n t c a m p d k

Kalkulus 1

Mads FriisAnders FriisAnne RyelundSigne Baggesen

10. januar 2015Slide 1/54

Kalkulus 1

Mads FriisAnders Friis

Anne RyelundSigne Baggesen

IntroduktionAksiomer og denmatematiske metode

Formalistisk struktur

MængderIntroduktion

Definitioner

Delmængder

Fællesmængde ogforeningsmængde

Produktmængde

Familier

FunktionerPolynomier

Generelle egenskaber

Eksponentielle udviklinger

eksponentialfunktioner

Logaritmefunktioner

Trigonometriske funktioner

GrænseovergangeHvad er engrænseovergang?

Kontinuitet


Indhold

1 IntroduktionAksiomer og den matematiske metodeFormalistisk struktur

2 MængderIntroduktionDefinitionerDelmængderFællesmængde og foreningsmængdeProduktmængdeFamilier

3 FunktionerPolynomierGenerelle egenskaberEksponentielle udviklingereksponentialfunktionerLogaritmefunktionerTrigonometriske funktioner

4 GrænseovergangeHvad er en grænseovergang?

5 Kontinuitet


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Indhold





5 Kontinuitet


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Aksiomer og den matematiske metode

1) Hvad er et aksiom?

2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem

3) Hvad vil det sige at ’deducere’?

4) Hvordan skal vi vælge vores aksiomer? Ikke-redundans, konsistens og komplethed.

5) Godels sætning


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







5) Godels sætning


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







5) Godels sætning


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







5) Godels sætning


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







5) Godels sætning


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Euklids Aksiomer

1) Mellem to punkter kan altid trækkes en ret linje.

2) Ethvert linjestykke kan forlænges til en vilkårligt lang ret linje.

3) Givet et vilkårligt linjestykke kan tegnes en cirkel, som har linjestykket som radius ogcentrum i et af endepunkterne.

4) Alle rette vinkler er ens.

5) Parallel postulatet: Hvis to linjer skærer en tredje linje, så summen at de to indrevinkler er mindre end to rette vinkler, da skærer de to linjer hinanden, hvis deforlænges nok.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Zermelo-Fraenkels Aksiomer

Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer ogvi skriver om et element a, som er indeholdt i A , at a ∈ A (læs: a tilhører A ).

Russells paradoks:

I en by bor der en barber, som kun barberer alle dem, som ikke barberer sig selv. Menhvem barberer barbereren?

Zermelo-Fraenkels aksiomer1) Der eksisterer en mængde, hvori ingen elementer er medlem.

2) For ethvert par af mængder findes der en mængde bestående af netop alleelementer fra de to første mængder.

3) . . .

4) I enhver ikke-tom mængde A , der findes et element a ∈ A , som ikke har elementertilfælles med A .


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




Russells paradoks:




3) . . .



Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




Russells paradoks:




3) . . .



Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



DefinitionAfgrænsning og beskrivelse af et begreb.

LemmaHjælperesultat. Bruges om et mindre resultat, som bruges i beviset for en et størreresultat (en sætning).

SætningEt vigtigt resultat.

KorollarFølgeresultat. Bruges om et resultat, der følger (næsten) direkte af en sætning eller er etvigtigt specialtilfælde af en sætning.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



DefinitionAfgrænsning og beskrivelse af et begreb.

LemmaHjælperesultat. Bruges om et mindre resultat, som bruges i beviset for en et størreresultat (en sætning).

SætningEt vigtigt resultat.

KorollarFølgeresultat. Bruges om et resultat, der følger (næsten) direkte af en sætning eller er etvigtigt specialtilfælde af en sætning.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Indhold





5 Kontinuitet


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


IntroduktionDefinition:En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementerog vi skriver om et element a, som er indeholdt i A , at a ∈ A (læs: a tilhører A ).

1) Simple, endelige mængder: A = {a1, a2, a3, . . . , a10}.

2) Simple, uendelige mængder: B = {b1, b2, b3, . . . }.

3) Talmængderne N,Z,Q,R.

4) Mængder med betingelser:

X = {x ∈ R | ∀z ∈ R : x · z = z} og Y = {x ∈ R | ∃n ∈ Z : 2n = x}

5) Intervaller:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

[a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(∞, b) = {x ∈ R | x < b}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








5) Intervaller:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

[a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(∞, b) = {x ∈ R | x < b}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








5) Intervaller:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

[a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(∞, b) = {x ∈ R | x < b}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








5) Intervaller:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

[a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(∞, b) = {x ∈ R | x < b}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








5) Intervaller:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

[a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(∞, b) = {x ∈ R | x < b}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








5) Intervaller:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

[a,∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(∞, b) = {x ∈ R | x < b}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Definitioner

Definition 1Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis

x ∈ A ⇔ x ∈ B

Bemærkning 2Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer.Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne.

Sætning 3Der er kun en mængde, der ikke indeholder nogen elementer.

Definition 4Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde og betegnes med ∅.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


DefinitionerDefinition 1Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis

x ∈ A ⇔ x ∈ B





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



x ∈ A ⇔ x ∈ B





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



x ∈ A ⇔ x ∈ B





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



x ∈ A ⇔ x ∈ B





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


DelmængderDefinition 5En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A ogsåligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A ⊆ B eller B ⊇ A . Medsymboler har vi

A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

Bemærkning 6Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A ⊆ A .

Bemærkning 7Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det omat vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge etvilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor starter beviser af denne typemed ordene ”Lad x ∈ A ”.

Eksempel 8Vis at

{x ∈ R | x2 < 2} ⊆ {x ∈ R | x < 5}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)



Eksempel 8Vis at

{x ∈ R | x2 < 2} ⊆ {x ∈ R | x < 5}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)



Eksempel 8Vis at

{x ∈ R | x2 < 2} ⊆ {x ∈ R | x < 5}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)



Eksempel 8Vis at

{x ∈ R | x2 < 2} ⊆ {x ∈ R | x < 5}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ⊆ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)



Eksempel 8Vis at

{x ∈ R | x2 < 2} ⊆ {x ∈ R | x < 5}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


DelmængderSætning 9Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er enmængde, så gælder det

∅ ⊆ A

Sætning 10Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).

Bemærkning 11Hvis man vil vise, at to mængder A og B er lig hinanden, er det ofte lettest at vise, atA ⊆ B og B ⊆ A .


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



∅ ⊆ A




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



∅ ⊆ A




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


FællesmængdeDefinition 14Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i Bkaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A ∩ B.Med symboler har vi

A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)

Bemærkning 15Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altsåvise, at elementet ligger i begge mængder.

Eksempel 16Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∩ {d, e, f , g, h, i}

Bemærkning 17Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at

A ∩ B ⊆ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)


Eksempel 16Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∩ {d, e, f , g, h, i}


A ∩ B ⊆ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)


Eksempel 16Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∩ {d, e, f , g, h, i}


A ∩ B ⊆ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)


Eksempel 16Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∩ {d, e, f , g, h, i}


A ∩ B ⊆ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


ForeningsmængdeDefinition 18Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i Bkaldes for foreningsmængden af A og B. Foreningsmængden betegnes A ∪ B.Med symboler har vi

A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)

Bemærkning 19Når man skal vise, at et element ligger i foreningsmængden af to mængder, skal manaltså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder.

Eksempel 20Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∪ {d, e, f , g, h, i}


A ∪ B ⊇ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)


Eksempel 20Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∪ {d, e, f , g, h, i}


A ∪ B ⊇ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)


Eksempel 20Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∪ {d, e, f , g, h, i}


A ∪ B ⊇ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



A ∪ B = {x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

ellerx ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)


Eksempel 20Bestem

{a, b , c, d, e, f , g} ∪ {d, e, f , g, h, i}


A ∪ B ⊇ A


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


ProduktmængdeDefinition 24Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par erlig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge.

(a1, b1) = (a2, b2)⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2

Definition 25Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a ∈ A ogb ∈ B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes medA × B.

A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}

Eksempel 26Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b , c}. Bestem A × B.

Bemærkning 27Hvis A = B skriv vi ofte A2 i stedet for A × B.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



(a1, b1) = (a2, b2)⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2


A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



(a1, b1) = (a2, b2)⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2


A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



(a1, b1) = (a2, b2)⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2


A × B = {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)}




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


ProduktmængdeEksempel 28Hvordan kan R illustreres?Hvad med R2? R3? Rn?

Eksempel 29Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] × [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen.

Definition 30Lad A1, A2, A3 osv. op til An være n mængder. Produktmængden mellem disse mængderer da givet ved

A1 × A2 × · · · × An = {(x1, x2, · · · , xn) | x1 ∈ A1 ∧ x2 ∈ A2 ∧ ∧ · · · ∧ xn ∈ An}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Familier af mængderEn familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved etindeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skalher betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ.

Eksempel 22Betragt intervallerne

I1 = [0, 1]

I2 = [0,12

]

I3 = [0,13

]

· · ·

In = [0,1n

]

Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N.

Definition 23Lad Λ være en indeksmængde, så der til etvhert α ∈ Λ svarer en mængde Aα, da siger viat Aα’erne udgør en familie af mængder, og vi betegner familien med {Aα}α∈Λ.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




I1 = [0, 1]

I2 = [0,12

]

I3 = [0,13

]

· · ·

In = [0,1n

]




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




I1 = [0, 1]

I2 = [0,12

]

I3 = [0,13

]

· · ·

In = [0,1n

]




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Familier af mængderDefinition 32Lad {Aα}α∈Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængderbetegnes med

⋂α∈Λ Aα og defineres formelt som⋂

α∈Λ

Aα = {x | ∀α ∈ Λ : x ∈ Aα}

ellerx ∈

⋂α∈Λ

Aα ⇔ ∀α ∈ Λ : x ∈ Aα

Med andre ord⋂α∈Λ Aα, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien.

Bemærkning 33Ved at negere definitionen ovenfor ses at

x <⋂α∈Λ

Aα ⇔ ∃α ∈ Λ : x < Aα


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Familier af mængderDefinition 32Lad {Aα}α∈Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængderbetegnes med

⋂α∈Λ Aα og defineres formelt som⋂

α∈Λ

Aα = {x | ∀α ∈ Λ : x ∈ Aα}

ellerx ∈

⋂α∈Λ

Aα ⇔ ∀α ∈ Λ : x ∈ Aα

Med andre ord⋂α∈Λ Aα, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien.


x <⋂α∈Λ

Aα ⇔ ∃α ∈ Λ : x < Aα


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Familier af mængderBemærkning 34Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4, · · · ,m} skriver vi

m⋂n=1

An

Hvis indeksmængden er N skriver vi∞⋂

n=1

An

Eksempel 35Betragt familien af intervaller {In}n∈N fra eksempel 22. Vis at

⋂n∈N

In =∞⋂

n=1

In =∞⋂

n=1

[0,1n

] = {0}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



m⋂n=1

An

Hvis indeksmængden er N skriver vi∞⋂

n=1

An

Eksempel 35Betragt familien af intervaller {In}n∈N fra eksempel 22. Vis at

⋂n∈N

In =∞⋂

n=1

In =∞⋂

n=1

[0,1n

] = {0}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Familier af mængderDefinition 36Lad {Aα}α∈Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængderbetegnes med

⋃α∈Λ Aα og defineres formelt som⋃

α∈Λ

Aα = {x | ∃α ∈ Λ : x ∈ Aα}

ellerx ∈

⋃α∈Λ

Aα ⇔ ∃α ∈ Λ : x ∈ Aα

Med andre ord⋃α∈Λ Aα, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien.


x <⋃α∈Λ

Aα ⇔ ∀α ∈ Λ : x < Aα


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Familier af mængderDefinition 36Lad {Aα}α∈Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængderbetegnes med

⋃α∈Λ Aα og defineres formelt som⋃

α∈Λ

Aα = {x | ∃α ∈ Λ : x ∈ Aα}

ellerx ∈

⋃α∈Λ

Aα ⇔ ∃α ∈ Λ : x ∈ Aα

Med andre ord⋃α∈Λ Aα, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien.


x <⋃α∈Λ

Aα ⇔ ∀α ∈ Λ : x < Aα


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



m⋃n=1

An

Hvis indeksmængden er N skriver vi∞⋃

n=1

An

Eksempel 39Betragt familien af intervaller {In}n∈N, hvor In = [0, 1 − 1

n ]. Vis at

∞⋃n=1

[0, 1 −1n

] = [0, 1)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



m⋃n=1

An

Hvis indeksmængden er N skriver vi∞⋃

n=1

An

Eksempel 39Betragt familien af intervaller {In}n∈N, hvor In = [0, 1 − 1

n ]. Vis at

∞⋃n=1

[0, 1 −1n

] = [0, 1)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


SymbolerSymbol Forklaring Symbol Forklaring

∈ tilhører ∃ eksisterer

| hvorom det gælder : hvor

∧ og ∨ eller/og

∀ for alle ∞ uendelig

∅ den tomme mængde ⊆ delmængde af

∩ fællesmængde ∪ foreningsmængde


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Indhold





5 Kontinuitet


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Funktioner - IntuitionEn funktion f : A → B sætter elementer fra mængden A i relation til elementer i B.

Vi har dog et krav: For ethvert a ∈ A skal være netop et b ∈ B.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Funktioner - IntuitionFor en funktion f : A → B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relationtil elementer i B?

Det gør vi med en forskrift!

1) A er en endelig mængde.

2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A .

3) f opfører sig ensartet i delmængder af A .

4) f er ude af kontrol?!?!?


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Funktioner - IntuitionFor en funktion f : A → B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relationtil elementer i B? Det gør vi med en forskrift!






Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Funktioner - StringentDefinition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X ,Y ,G), hvor G er endelmængde af X × Y . Mængderne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænethørende til relationen, mens G kaldes relationens graf.

Definition: En relation f = (X ,Y ,G) kaldes en funktion, hvis der for alle x ∈ X eksisterernetop et y ∈ Y , så (x, y) ∈ G. Mere formelt

1) ∀x ∈ X , ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ G.

2) ∀x ∈ X , y1, y2 ∈ Y : (x, y1) ∈ G ∧ (x, y2) ∈ G ⇒ y1 = y2.

Den unikke værdi y for f i x noteres f(x). Vi noterer funktionen f : X → Y .

Eksempel Lad f : N→ R være givet ved forskriften f(x) = πx + 4. Da er f en relation,hvor

X = N Y = R G = {(x, y) ∈ N × R | y = πx + 4}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




1) ∀x ∈ X , ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ G.

2) ∀x ∈ X , y1, y2 ∈ Y : (x, y1) ∈ G ∧ (x, y2) ∈ G ⇒ y1 = y2.



X = N Y = R G = {(x, y) ∈ N × R | y = πx + 4}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




1) ∀x ∈ X , ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ G.

2) ∀x ∈ X , y1, y2 ∈ Y : (x, y1) ∈ G ∧ (x, y2) ∈ G ⇒ y1 = y2.



X = N Y = R G = {(x, y) ∈ N × R | y = πx + 4}


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


PolynomierEt polynomium Pn : R→ R er en funktion på formen

Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0, an , 0

- Koefficienterne a1, a2, . . . , an ∈ R. Vi kalder an den ledende koefficient (BEMÆRKan , 0).

- Vi siger, at n er polynomiets grad.

Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium

P2 = ax2 + bx + c, a , 0

- Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene.

- Størrelsen af a (og b) har betydning for ”stejlheden”af parablen.

- Konstantleddet c angiver skærring med Y -aksen.

- Men hvad så med b? Vi husker formlen for løsning af andengradsligninger,ax2 + bx + c = 0, nemlig

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







P2 = ax2 + bx + c, a , 0





x =−b ±

√b2 − 4ac

2a


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Faktorisering af AndengradspolynomierLemma: Lad r1, r2 være rødder for polynomiet P(x) = ax2 + bx + c, a , 0, altså

P(r1) = 0 og P(r2) = 0

Da gælder

r1 + r2 = −ba

og r1 · r2 =ca

Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen

P(x) = ax2 + bx + c, a , 0

Lad endvidere r1, r2 være rødder for P. Da gælder

P(x) = a(x − r1)(x − r2), a , 0


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Faktorisering af AndengradspolynomierLemma: Lad r1, r2 være rødder for polynomiet P(x) = ax2 + bx + c, a , 0, altså

P(r1) = 0 og P(r2) = 0

Da gælder

r1 + r2 = −ba

og r1 · r2 =ca

Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen

P(x) = ax2 + bx + c, a , 0

Lad endvidere r1, r2 være rødder for P. Da gælder

P(x) = a(x − r1)(x − r2), a , 0


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Toppunkt for AndengradspolynomierSætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen

P(x) = ax2 + bx + c, a , 0

Da har P sit toppunkt T i

T =

(−

b2a

,−b2 − 4ac

4a

)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Opsummering og OpgaverLad P : R→ R være givet ved forskriften

P(x) = ax2 + bx + c, a , 0

Da har P følgende rødder

r1 =−b +

√b2 − 4ac

2aog r2 =

−b −√

b2 − 4ac2a

Toppunktet for P er givet ved følgende formel

T =

(−

b2a

,−b2 − 4ac

4a

)

P kan faktoriseres somP(x) = a(x − r1)(x − r2)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Injektivitet, surjektivitet og bijektivitetLad f : X → Y være en funktion.

Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X → Y er injektiv, hvis to forskellige elementerx1, x2 ∈ X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x1), f(x2) ∈ Y . Vi har altså, at f erinjektiv, hvis

∀x1, x2 ∈ X : x1 , x2 ⇒ f(x1) , f(x2)

Til enhver værdi y ∈ Y er der altså HØJST en værdi x ∈ X , så f(x) = y.

Surjektivitet: Vi siger, at en funktion f : X → Y er surjektiv, hvis der for ethvert y ∈ Yfindes mindst et x ∈ X , så f(x) = y. Vi har altså, at f er surjektiv, hvis

∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : f(x) = y

Til enhver værdi y ∈ Y er der altså MINDST en værdi x ∈ X , så f(x) = y.

Bijektivitet: Vi siger, at en funktion f : X → Y er bijektiv, hvis den både er injektiv ogsurjektiv. Vi har altså, at f er bijektiv, hvis

∀y ∈ Y ,∃!x ∈ X : f(x) = y

Til enhver værdi y ∈ Y er der altså NETOP en værdi x ∈ X , så f(x) = y.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




∀x1, x2 ∈ X : x1 , x2 ⇒ f(x1) , f(x2)



∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : f(x) = y



∀y ∈ Y ,∃!x ∈ X : f(x) = y



Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




∀x1, x2 ∈ X : x1 , x2 ⇒ f(x1) , f(x2)



∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : f(x) = y



∀y ∈ Y ,∃!x ∈ X : f(x) = y



Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




∀x1, x2 ∈ X : x1 , x2 ⇒ f(x1) , f(x2)



∀y ∈ Y ,∃x ∈ X : f(x) = y



∀y ∈ Y ,∃!x ∈ X : f(x) = y



Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Inverse funktionerDefinition: Lad f : X → Y og g : Y → Z være to funktioner. Vi definerer da densammensatte funktion g ◦ f : X → Z ved

∀x ∈ X : g ◦ f(x) = g(f(x))

Definition: Lad f : X → Y være en funktion. Den inverse funktion til f betegnesf−1 : Y → X og opfylder

1) ∀x ∈ X : f−1 ◦ f(x) = x og 2) ∀y ∈ Y : f ◦ f−1(y) = y

OpgaveHvad skal der gælde om f , før vi med sikkerhed kan sige, at der findes en f−1, somopfylder både 1) og 2)?

- Er 1) opfyldt, når f er injektiv? Er 2) opfyldt?

- Er 1) opfyldt, når f er surjektiv? Er 2) opfyldt?

- Hvornår er både 1) og 2) opfyldt?

HUSK: f−1 : Y → X er kun en funktion, hvis der for alle y ∈ Y findes NETOP ET x ∈ X ,så f−1(y) = x.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



∀x ∈ X : g ◦ f(x) = g(f(x))


1) ∀x ∈ X : f−1 ◦ f(x) = x og 2) ∀y ∈ Y : f ◦ f−1(y) = y







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



∀x ∈ X : g ◦ f(x) = g(f(x))


1) ∀x ∈ X : f−1 ◦ f(x) = x og 2) ∀y ∈ Y : f ◦ f−1(y) = y







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Opsummering og opgaverVi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner

1) En funktion f : X → Y tager elementer fra X og ”flytter”dem over i Y .

2) En funktion f : X → Y er veldefineret, hvis der for ethvert x ∈ X findes netop ety ∈ Y .

3) En funktion f : X → Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x1, x2 ∈ X harforskellige funktionsværdier f(x1), f(x2) ∈ Y .

4) En funktion f : X → Y er surjektiv, hvis der for ethvert y ∈ Y findes mindst et x ∈ X ,så f(x) = y.

5) En funktion f : X → Y er bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv.

6) En funktion f : X → Y har en invers funktion f−1 : Y → X , hvis og kun hvis f erbijektiv.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Eksponentielle udviklingerDefinition: Lad f : R→ R være en funktion givet ved forskriften

f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1

Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning afkonstanterne a og b.

- Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende.

- Konstanten b angiver skæringspunktet med Y -aksen. Skæringspunktet er således(0, b).

Funktioner af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder

- Renteformlen givet vedKn = K0(1 + r)n

hvor Kn angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K0 kroner indpå en konto med rente r .

- Stråling fra radioaktivt stof aftager (dvs. 0 < a < 1) eksponentielt, hvor a og bafhænger af det specifikke stof.

- Temperaturforskellen mellem en varm småkage og den konstante stuetemperaturaftager eksponentielt.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = bax , a, b > 0 og a , 1










Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Det naturlige tal eVi er på jagt efter et magisk tal...

Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynderdu dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud:

1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%.2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%.3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1

12 = 8, 3%.

4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på 1365 = 0, 27397260%.

Alle banker forlanger, at du låser din formue i 1 år!

Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor? SVAR:

K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





12 = 8, 3%.




K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%.

2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%.3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1

12 = 8, 3%.




K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%.2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%.

3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 112 = 8, 3%.




K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





12 = 8, 3%.




K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





12 = 8, 3%.




K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





12 = 8, 3%.



Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor?

SVAR:

K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





12 = 8, 3%.




K1 = (1 + 1)1 = 2, 000000000

K2 =

(1 +

12

)2

= 2, 250000000

K12 =

(1 +

112

)12

= 2, 613035290

K365 =

(1 +

1365

)365

= 2.714567482


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Det naturlige tal eDefinition: Vi definerer det naturlige tal e ved

e = limn→∞

(1 +

1n

)n

' 2.7182818285 . . .

Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R→ R være en funktion givet vedforskriften

f(x) = b · ekx , k , 0, b > 0

Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b.

- Konstanten b angiver skærringspunktet med X -aksen.

- Når k < 0 er funktionen aftagende. Når 0 < k er funktionen voksende.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



e = limn→∞

(1 +

1n

)n

' 2.7182818285 . . .


f(x) = b · ekx , k , 0, b > 0





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



e = limn→∞

(1 +

1n

)n

' 2.7182818285 . . .


f(x) = b · ekx , k , 0, b > 0





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



e = limn→∞

(1 +

1n

)n

' 2.7182818285 . . .


f(x) = b · ekx , k , 0, b > 0





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


EksponentialfunktionerDefinition: Lad f : R→ R være en funktion givet ved forskriften

f(x) = ax , a > 0 og a , 1

Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f .


- Skæringspunktet med Y -aksen er altid (0, 1).

Vi har særlig interesse i den naturlige eksponentialfunktion

f(x) = ex

Denne funktion har nemlig super pæne egenskaber - som vi skal se senere.

Til slut ser vi at funktionen f : R→ R+ givet ved forskriften f(x) = ax er bijektiv.Specielt er den naturlige eksponentialfunktion bijektiv.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = ax , a > 0 og a , 1





f(x) = ex




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) = ax , a > 0 og a , 1





f(x) = ex




Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


OpgaverLad f : R→ R være en eksponential udviklingen, dvs.

f(x) = b · ekx , k , 0, b > 0

Det oplyses at k < 0.

1) Skitser grafen for f .

2) Det oplyses, at f(0) = 4. Hvad kan vi sige om b?

3) Det oplyses, at f(2) = 4e−1. Hvad kan vi sige om a?

Antag at det oplyses f(x1) = y1 og f(x2) = y2. Vis at

ek =

(y2

y1

) 1x2−x1

og b =y1

ax1eller b =

y2

ax2


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


LogaritmefunktionerLad f : R→ R+ være givet ved forskriften f(x) = ax . Vi definerer nu den entydigtbestemte funktion g : R+ → R, som opfylder

∀x ∈ R : g ◦ f(x) = x og ∀x ∈ R+ : f ◦ g(x) = x

Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = loga(x) (læs: logaritmen med grundtal a afx). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = loge .

Sætning: For alle a, b ∈ R+ og n ∈ R gælder følgende

1) log(a) + log(b) = log(ab).

2) log(a) − log(b) = log(

ab

).

3) log(an) = n · log(a).

Sætning: Lad a, b ∈ R+ med a, b , 1 og x ∈ R+. Da fås følgende relation

loga(x) =logb (x)

logb (a)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



∀x ∈ R : g ◦ f(x) = x og ∀x ∈ R+ : f ◦ g(x) = x





ab

).



loga(x) =logb (x)

logb (a)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



∀x ∈ R : g ◦ f(x) = x og ∀x ∈ R+ : f ◦ g(x) = x





ab

).



loga(x) =logb (x)

logb (a)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Opsummering og OpgaverSætning: For alle a, b ∈ R+ og n ∈ R gælder følgende

1) log(a) + ln(b) = log(ab).

2) log(a) − ln(b) = log(

ab

).



loga(x) =logb (x)

logb (a)

HuskeregelFor at udregne loga(x) skal man spørge: Hvilket tal skal a opløftes i for at få x?


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


EnhedscirklenDefinition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0).

Enhedscirklenkan altså illustreres grafisk således.

Enhedscirklen har radius 1, og derfor er omkredsen 2π

.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


EnhedscirklenDefinition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklenkan altså illustreres grafisk således.

Enhedscirklen har radius 1, og derfor er omkredsen 2π

.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


EnhedscirklenDefinition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklenkan altså illustreres grafisk således.

Enhedscirklen har radius 1, og derfor er omkredsen 2π.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


EnhedscirklenLad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langsenhedscirklen cirkelbue mod urets retning.

Vi når da et bestemt punkt på enhedscirklen. Punktets koordinater i planen giver osmulighed for at definere cosinus og sinus.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet





Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


EnhedscirklenDefinition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet.

Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet.

Hvis x > 2π når vi hele vejen rundt på enhedscirklen og må påbegynde et nyt omløb. Viser altså at

cos(x + n · 2π) = cos(x) og sin(x + n · 2π) = sin(x), n ∈ N


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet







Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Sinus, cosinus og vinklerAfstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel!

Vinklen kan måles enteni grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue,vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså ioverensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer.

En vinkel på 45 grader og en vinkel påπ

4er ens. Grader og radianer er altså to sider af

samme sag. Vi har altså:

cos(V) = cos(45 grader) = cos(π

4) og sin(V) = sin(45 grader) = sin(

π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Sinus, cosinus og vinklerAfstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enteni grader eller radianer.

Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue,vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså ioverensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer.






π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Sinus, cosinus og vinklerAfstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enteni grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue,vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså ioverensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer.






π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




4er ens.

Grader og radianer er altså to sider af




π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet








π

4)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Sinus og cosinusSætning (idiotformlen): For alle x ∈ R gælder at

sin2(x) + cos2(x) = 1

Sætning (additionsformlerne): For alle x, y ∈ R gælder at

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x)

cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)

Sætning(overgangsformlerne): For alle x ∈ R gælder at

sin(x +π

2) = cos(x)

cos(x +π

2) = − sin(x)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



sin2(x) + cos2(x) = 1





sin(x +π

2) = cos(x)

cos(x +π

2) = − sin(x)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



sin2(x) + cos2(x) = 1





sin(x +π

2) = cos(x)

cos(x +π

2) = − sin(x)


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Sinus og cosinusGrafen for henholdsvis sinus og cosinus er en bølge. Dette er en af årsagerne til deresmange anvendelser - fx i fysik.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Indhold





5 Kontinuitet


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Hvad er en grænseovergang? - IntuitionLad f : X → R være en funktion, hvor X ⊆ R. Lad endvidere a ∈ R ligge tæt på X , så f erdefineret tæt på a.

Hvis a ∈ X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod erværdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende.

Hvis der findes et tal b ∈ R, så f(x) ligger tæt ved b, når blot x ligger tilstrækkeligt tæt veda, da siger vi at f(x) konvergerer mod b i grænseovergangen for x gående mod a.

f(x)→ b , når x → a

eller

limx→a

f(x) = b

Hvis der ikke findes b ∈ R, så f(x) nærmer sig b, når x nærmer sig a, siger vi at f(x)divergerer i grænseovergangen for x gående mod a

.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






eller

limx→a

f(x) = b


.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






eller

limx→a

f(x) = b


.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






eller

limx→a

f(x) = b

Hvis der ikke findes b ∈ R, så f(x) nærmer sig b, når x nærmer sig a, siger vi at f(x)divergerer i grænseovergangen for x gående mod a.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Hvad er en grænseovergang? - IntuitionLad f : R→ R være en funktion, hvor X ⊆ R. Lad endvidere a ∈ R være et punkt i X , så fer defineret tæt på a.

Hvis f(x) vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, når x nærmer sig a, siger vi atf(x) divergerer. Vi skriver

f(x)→ ∞, når x → a

eller

limx→a

f(x) = ∞

Hvis f(x) nærmer sig en værdi b ∈ R, når x vokser (aftager) uden en øvre (nedre)grænse, siger vi igen f(x) konvergerer og skriver

f(x)→ b , når x → ∞

eller

limx→∞

f(x) = b


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




f(x)→ ∞, når x → a

eller

limx→a

f(x) = ∞


f(x)→ b , når x → ∞

eller

limx→∞

f(x) = b


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet




f(x)→ ∞, når x → a

eller

limx→a

f(x) = ∞


f(x)→ b , når x → ∞

eller

limx→∞

f(x) = b


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Hvad er en grænseovergang? - EksemplerLad f : R→ R være givet ved forskriften

f(x) =

√x + 1 − 1

x

Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x → 0. Vi undersøger værdier af f(x) for xtæt ved 0.

x −0.1 −0.01 −0.001 0 0.001 0.01 0.1f(x)

0.51316 0.50126 0.50013 ?? 0.49988 0.49876 0.48809

Lad g : R→ R være givet ved forskriften

g(x) =13

x − 7


x 7 − 0.1 7 − 0.01 7 − 0.001 7 7 + 0.001 7 + 0.01 7 + 0.1f(x)

−130

−1300 −13000 ?? 13000 1300 130


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) =

√x + 1 − 1

x


x −0.1 −0.01 −0.001 0 0.001 0.01 0.1f(x) 0.51316 0.50126 0.50013 ?? 0.49988 0.49876 0.48809


g(x) =13

x − 7


x 7 − 0.1 7 − 0.01 7 − 0.001 7 7 + 0.001 7 + 0.01 7 + 0.1f(x)

−130 −1300 −13000 ?? 13000 1300 130


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) =

√x + 1 − 1

x


x −0.1 −0.01 −0.001 0 0.001 0.01 0.1f(x) 0.51316 0.50126 0.50013 ?? 0.49988 0.49876 0.48809


g(x) =13

x − 7


x 7 − 0.1 7 − 0.01 7 − 0.001 7 7 + 0.001 7 + 0.01 7 + 0.1f(x)

−130 −1300 −13000 ?? 13000 1300 130


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet



f(x) =

√x + 1 − 1

x


x −0.1 −0.01 −0.001 0 0.001 0.01 0.1f(x) 0.51316 0.50126 0.50013 ?? 0.49988 0.49876 0.48809


g(x) =13

x − 7


x 7 − 0.1 7 − 0.01 7 − 0.001 7 7 + 0.001 7 + 0.01 7 + 0.1f(x) −130 −1300 −13000 ?? 13000 1300 130


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Hvad er en grænseovergang? - StringentLad f : X → R være en funktion, hvor X ⊆ R og lad a ligge i eller tæt på X . Lad endvidereb ∈ R. Vi siger da, at f har b som grænseværdi ved grænseovergangen x → a, x ∈ X(læs: x gående mod a fra X ), og vi skriver

f(x)→ b for x → a, x ∈ X eller limx→a

f(x) = b for x ∈ X

hvis∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − a | < δ⇒ |f(x) − b | < ε

For alle ε større end 0, der findes et δ større end 0, så for alle x der ligger i X gælder:NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ, SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






For alle ε større end 0,

der findes et δ større end 0, så for alle x der ligger i X gælder:NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ, SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






For alle ε større end 0, der findes et δ større end 0,

så for alle x der ligger i X gælder:NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ, SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






For alle ε større end 0, der findes et δ større end 0, så for alle x der ligger i X gælder:

NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ, SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






For alle ε større end 0, der findes et δ større end 0, så for alle x der ligger i X gælder:NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ,

SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet






For alle ε større end 0, der findes et δ større end 0, så for alle x der ligger i X gælder:NÅR afstanden fra x til a er mindre end δ, SÅ er afstanden fra f(x) til b er mindre end ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Hvordan finder man grænsen stringent?Lad f : (−1,∞) \ {0} → R være givet ved forskriften

f(x) =

√x + 1 − 1

x

Vi undersøger grænseovergangen x → 0. Vi har tidligere set, at grænseværdi b = 12 er

et oplagt gæt. Vi får∣∣∣∣∣f(x) −12

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣√

x + 1 − 1x

−12

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣2√

x + 1 − 2 − x2x

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣ (√

x + 1 − 1)2

2x

∣∣∣∣∣∣ (†)≤

∣∣∣∣∣∣ x2

2x

∣∣∣∣∣∣ ≤ |x − 0|

hvor (†) følger da, for x > 0 fås

|√

x + 1 − 1| =√

x + 1 − 1 ≤ x + 1 − 1 = x = |x |

og for x < 0 fås

|√

x + 1 − 1| = 1 −√

x + 1 ≤ 1 − x − 1 = −x = |x |

Vi kan altså vælge δ = ε.


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


Indhold





5 Kontinuitet


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


KontinuitetDefinition: Lad f : X → R være en funktion, hvor X ⊆ R. Vi siger, at f er kontinuert ia ∈ X , hvis

f(x)→ f(a) for x → a, x ∈ X eller limx→a

f(x) = f(a) for x ∈ X

altså hvis∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ X : |x − a | < δ⇒ |f(x) − f(a)| < ε

Definition: Vi siger at en funktion f : X → R er kontinuert, hvis f er kontinuert i ethverta ∈ X .


Kalkulus 1






Definitioner

Delmængder


Produktmængde

Familier





Logaritmefunktioner



Kontinuitet


KontinuitetDefinition: Lad f : X → R være en funktion, hvor X ⊆ R. Vi siger, at f er kontinuert ia ∈ X , hvis

f(x)→ f(a) for x → a, x ∈ X eller limx→a

f(x) = f(a) for x ∈ X

altså hvis∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ X : |x − a | < δ⇒ |f(x) − f(a)| < ε

Definition: Vi siger at en funktion f : X → R er kontinuert, hvis f er kontinuert i ethverta ∈ X .


Documents

Kalkulus 1 - talentcamp.dktalentcamp.dk/sites/default/files/materiale/Kalkulus1slides v2.0.pdf · Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen Introduktion Aksiomer