Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI

14.11.2014 Süre: 80 dakika

1) Transfer fonksiyonu 136)2()1(

)(2

sss

sKsT olan sistem için,

a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)

b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 2’ye yakınsıyor. 0K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan)

c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)

d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)

2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin, önce giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz, sonra ���� = �(�) �(�)⁄ transfer fonksiyonunu çıkartınız. (25 puan)

3) Birinci mertebeden doğrusal zamanla değişmez bir sistemin birim basamak tepkisi t

etyb

345)(

olduğuna göre sistemin transfer fonksiyonunu yazınız (15 puan). Birim basamak tepkisi )(tyb

’yi çiziniz.

Çizimde ��(0�) ve ��(∞) değerleri belli olsun (5 puan). Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem

kazancı kaça yakınsar (5 puan)?

4) Aşağıda verilen sistem K ’nın hangi değer aralığında kararlıdır? (25 puan)

BAŞARILAR … Yard. Doç. Ata SEVİNÇ

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI

14.11.2014 1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: 1z .

Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: 21

p ,

233,2

jp m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.

b) Giriş sinyalinin frekansı için mutlak değerce kazanç

js transfer fonksiyonda yazılıp )( jT şeklinde bulunur.

0 için 0s olacağından sistemin kazancı

2

26136)2(

)1(lim)0(

20

K

sss

sKT

s

ve 0K olduğuna göre 52K =

c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.

d) 26258)(

)()(

23

sss

KKs

sU

sYsT )()()(26258 23 sUKKssYsss

s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: )()()(26)(25)(8)( tKutuKtytytyty &&&&&&&

2) Her türevsel eleman için bir denklem

yazılır. L üzerindeki akıma i dersek:

dt

diLyu i ’den direnç akımını çıkartırsak

C ’nin akımını buluruz: dt

dyC

R

yi Her iki denklemin de Laplace dönüşümü alınıp düzenlenerek

)()()( sIsLsYsU ve )(1

)( sYsCR

sI

bulunur. )(sI ’i diğerinde yerine yazalım:

)()()( 2 sYLCsR

sLsYsU

)()(1 2 sUsYLCs

R

sL

LCs

RCs

LC

R

sLLCs

sGsU

sY

11

1

1

1)(

)(

)(

22

bulunur.

Yandaki sistemde 2211

rr ve 2

2

1

1

rr

(1 ’in yansıtılmışına

2 dedik). Buna göre

1. eksendeki u torku, 2. eksende ur

r

1

2 olarak

görülür. Diğer yandan,

SMOK–V–2014–CA–2

2

1

2

111 &&&&

r

rJJ ve

2

1

2

111 &&

r

rbb

yazılabilir. Bunlar 1. taraftaki tork değerine maruz kalan bileşenlerdir. Bunları 2. taraftaki torka maruz kalır gibi

ve 2

’ye göre kullanacaksak katsayılarını bir kez daha 12rr ile çarparak kullanmalıyız. Böylece yukarıdaki

eşdeğer şekli elde ederiz. Buna göre dinamik denklemi yazarsak

2212

1

2

2

1

2

212

1

2

2

32 kb

r

rbu

r

rJ

r

rJJ

&&& Düzenlenip

2y yazılarak Laplace dönüşümünü alınırsa,

)()(1

2

12

1

2

22

12

1

2

2

32sU

r

rsYksb

r

rbsJ

r

rJJ

Buradan da transfer fonksiyon şöyle bulunur:

ksbr

rbsJ

r

rJJ

rrsG

sU

sY

12

1

2

22

12

1

2

2

32

12)()(

)(

İstenseydi herşey 1. tarafa yansıtılarak da işlem yapılabilirdi. O zaman payın ve paydanın 22

2

1rr ile çarpılmışı

olan, yani yukardakine eşit şu ifade bulunurdu:

kr

rsb

r

rbsJJ

r

rJ

rrsG

2

2

2

1

2

2

2

1

1

2

322

2

2

1

1

21)(

3) s

sTsUsTss

sYtybb

te

1)()()(

3

45)(45)(

3

3

4155

3

45)(

s

ss

s

ssT

3

15)(

s

ssT

js yazılarak 13

15lim)(lim

s

ssT

jsjs

Sonsuz yüksek frekans kazancı 1 bulunur.

4) Kutu içini G(s), ve H(s) = 1 alarak Kssss

K

sHsG

sGsT

45)()(1

)()(

234 bulunur. Kararlılık için

paydanın köklerinin hiçbiri sağ yarı bölgede olmamalı, bunun için de Routh-Hurwitz testinde ilk sütun hep aynı işaretli olmalıdır:

4s 1 1 K 0 3s 5 4 0 0

2s

5

1

5

41 K 0

1s K

K254

51

54 0 0

0s K 0

İlk sütun artıyla başladığı için hep artı olmalıdır. Yani K > 0 ve 4 – 25K > 0 olmalıdır. Yani 25

40 K

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI

13.11.2015 Süre: 80 dakika

1) Transfer fonksiyonu 54

2)(

2

ss

ssT olan sistem nasıl bir filtreleme yapar (alçak geçiren, yüksek geçiren,

band geçiren), neden? Sistem kararlı mıdır? Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (15 puan)

2) Aşağıda doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Her alt sistemin transfer fonksiyonu harflerle gösterilmiştir. Bütün sistemin transfer fonksiyonunu A, B, C, D cinsinden bulunuz. (Kesirli terim olursa pay veya paydasında başka kesir kalmasın). (15 puan) 3) Yandaki ya da aşağıdaki sistemin önce giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz, sonra ���� = �(�) �(�)⁄ transfer fonksiyonunu çıkartınız. (25 puan)

4) Transfer fonksiyonu 5

62)(

s

ssT olan sistemin birim basamak tepkisini ( )(tyb ) bulunuz ve çiziniz (12

puan). Sistemin alçak frekans (lim � → 0) ve yüksek frekans (lim � → ∞) kazançlarını bulunuz. Bu kazançların

)0( by ve )(by değerleriyle ilişkisini de yazınız. (8 puan)

5) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %10 ve %2’lik durulma zamanı � = 5 saniye isteniyor. Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı � , sönüm katsayısı , tepe zamanı (�) ne olur? (25 puan)

4)2(%

dt

d

yt

d

pt

n

cos

BAŞARILAR … Yard. Doç. Dr. Ata SEVİNÇ

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI

13.11.2015

1) 5)(4)(

2)(

2

jj

jjT olup 0)(lim

0

jT ve 0)(lim

jT ve 0 < � < ∞ için 0)( jT

olduğu için band geçiren filtre olarak davranır.

)(

)(

54

2)(

2sU

sY

ss

ssT

)(2)(542 ssUsYss )(2)(5)(4)( tutytyty &&&&

2) En alttaki birim geribesleme kolu ile B üzerinden geribesleme paraleldir. (1+B) diye negatif geribesleme yönünde birleştirilebilir.

Dolayısıyla transfer fonksiyon: CDABA

AD

sU

sY

1)(

)(

3) Elektrik devresi:

1L üzerindeki akıma

1i diyelim.

1L ve

2L üzerindeki gerilimlerin toplamı u olduğu için

dt

dyL

dt

diLu

2

1

1 Ayrıca

R üzerindeki akım Rdt

dyL

2

olduğu için )()()( 21

2

1sY

R

sLsYsI

dt

dy

R

Lyi

Bunu, ilk denklemin Laplace dönüşümünde yerine yazalım:

)()()()()(1)()()()(21

221

2

2

1211sUsYsLLs

R

LLsYsLsY

R

sLsLsUsYsLsIsLsU

En sağdaki eşitlikten sLLRsLL

R

sU

sY

)()(

)(

21

2

21

Mekanik sistem:

1. yol: Herşeyi 1. eksende düşünürsek, 2

J , J ve 2b ’yi 2

2

2

1rr ile, giriş torkunu ise

21rr ile çarparak yansıtırız:

ur

rkb

r

rbJJ

r

rJ

2

1

1122

2

2

1

1122

2

2

1

1

&&&

ksbr

rbsJJ

r

rJ

rr

sU

sY

sU

s

22

2

2

1

1

2

22

2

2

1

1

211

)(

)(

)(

)(

2. yol: Herşeyi 2. eksende düşünürsek, 1J , k ve

1b ’i 2

1

2

2rr ile çarparak yansıtırız:

ukr

rbb

r

rJJJ

r

r

22

1

2

2

2212

1

2

2

2212

1

2

2 &&&

Ayrıca 212

rry olduğundan,

kr

rsbb

r

rsJJJ

r

r

rr

sU

sY

sU

sr

r

2

1

2

2

212

1

2

22

212

1

2

2

12

2

1

2

)(

)(

)(

)(

(İki çözümün de aynı sonucu verdiğini görünüz.)

4) Birim basamağın Laplace dönüşümü s1 olduğu için

5)5(

62)(

1)(

s

b

s

a

ss

ssT

ssY

b

5650

602

a ve 545

6)5(2

b

0,5

4

5

6)(

5

ttyt

eb

Alçak frekans kazancı )(56)0()(lim0

byTjT

Yüksek frekans kazancı )0(2)()(lim

byTjT

5) Kapalı döngü sistemin transfer fonksiyonu

Kass

K

assK

assKsT

22

2

)(11

)()(

Bunu 22

2

2n

n

ss

diye düşünürüz. Yani 2n

K ve 2a .

(Dikkat: Yukarıdaki “s” Laplace dönüşümü değişkenidir. Aşağıdaki ifadelerdeki “s” ise saniyedir.)

Durulma zamanından 18,0)5(44 sstd

2a1

6,1

sa

sradsradMdd

09,110,0ln

8,0ln

2222222 09,18,0 sradKdn

2283,1 sradK

sradsradKn

35,183,1 35,18,0n

59,0

radrad 938,0180

8,538,53cos59,0o

sty

09,1

938,0st

y02,2 st

p

09,1

stp

88,2

2CA2015VSMOK

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI

04.11.2017 Süre: 80 dakika

1) Transfer fonksiyonu )256)(1(

)3)(2(5)(

2

sss

sssT olan sistemin

a) Kutup ve sıfırlarını karmaşık s düzleminde gösteriniz. (6 puan)

b) Alçak frekanslar (� → 0) için sistem kazancını bulunuz. (3 puan)

c) Yüksek frekanslar (� → ∞) için sistem kazancını bulunuz. (3 puan)

d) Sistem kararlı mıdır? Neden? (3 puan)

2) Transfer fonksiyonu 1

23)(

s

ssH olan sistemin birim basamak tepkisini ( )(ty

b) bulunuz ve çiziniz. (10+5

puan)

3) Yanda doğrusal zamanla değişmez (DZD) bir sistemin blok diyagramı verilmiştir. Her alt sistemin transfer fonksiyonu harflerle gösterilmiştir. Bütün sistemin transfer fonksiyonunu A, B, C, D cinsinden bulunuz. (Kesirli terim olursa pay veya paydasında başka kesir kalmasın). (15 puan)

4) Yandaki iki sistemden yalnız birisinin

)(

)(

sU

sY transfer fonksiyonunu bulunuz.

5) Aşağıdaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %5’lik durulma zamanı �� = 6 saniye isteniyor. Buna göre K ve b ne olmalıdır? (15 puan)

)()2

1(deeM

3)5(%

dt

6) Aşağıda verilen sistem K ’nın hangi aralığında kararlıdır? (25 puan)

BAŞARILAR … Yard. Doç. Ata SEVİNÇ

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI

04.11.2017

1) a) Transfer fonksiyonun payının kökleri 2 ve -3 sıfırlardır.

Paydasının kökleri 432

254662

jmm

ve -1 kutuplardır.

b) 0 js için 2,15

6

251

3)2(5)0(

T

c) jjs için 0)( jT

d) Kararlıdır; çünkü bütün kutuplar sol yarı bölgededir.

2) Birim basamağın Laplace dönüşümü 1/s olduğu için

1)1(

231)()(

s

b

s

a

ss

s

ssHsY

b

21

23

0

ss

s

a ,

523

1ss

sb

tety

b

52)(

Diğer yol: tt eeHHHtyb

52)0()()0()(

(Burada -1/τ kutup yani -1 olduğundan τ =1 alındı.)

3) A ve B ikilisi geri beslemeli blok olup bu blok D ile seridir. Bu seri kol da C’ye paraleldir. Dolayısıyla

AB

ABCCADCD

AB

A

sU

sY

11)(

)(

4) Elektrik devresinde y, direnç ve kondansatörün aşağı doğru akımlarının toplamıdır. s domeninde C yerine 1/sC yazarsak:

RsC

sU

sYsU

RsC

R

sU

sC

sUsY

1

)(

)()(

1)(

)(1

)()(

Mekanik sistemde: )()(211111

sUsYksJukyyJkTJ &&&& ksJsU

sY

2

1

1

)(

)(

5) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu

22

2

2

2

2

21

)(

)(

n

n

ssKbss

K

bss

K

bss

K

sU

sY

Yani Kn , 2b .

11s5,02s5,0s6

3)5(%

btd

1s1

b

21

526,2)08.0ln(ln

M

2

22

1646,0

526,2

212srad797,0627,0s5,0627,0646,1646,0

nnnK

22srad636,0K (Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)

6) 1)(,745

)(234

sHssss

KsG . 07450)()(1

234 KsssssHsG

4s 1 4 K 0 3s 5 7 0 0

2s

5

13

5

74 K 0

1s

13

2591

513

57

KK 0 0

0s K 0

İlk sütunda işaret değişikliği olmamalı ki bütün kökler sol yarı bölgede olsun ve sistem kararlı olsun. Yani hem 02591 K hem de 0K olmalı. Düzenlenirse:

64,30 K olmalıdır.

SMOK-V-2017-CA-2

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV SORULARI

10.11.2018 Süre: 70 dakika

Yazı, insanın okuması içindir. Okunaklı, yormayan ve anlaşılır ifadelerle yazmanız insana değer verdiğinizi gösterir.

1) Transfer fonksiyonu 134)4()2(

)(2

sss

sKsT olan sistem için,

a) Kutup ve sıfırları karmaşık “s” düzleminde gösteriniz. (7 puan)

b) Giriş sinyalinin frekansı sıfıra doğru azaltıldıkça sistemin kazancı mutlak değerce 3’e yakınsıyor. 0K olduğuna göre K kaçtır? (5 puan)

c) Sistem kararlı mıdır? (5 puan)

d) Sistemin giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi yazınız. (8 puan)

2) Aşağıdaki iki sistemden istediğiniz birinin, ���� = �(�) �(�)⁄ transfer fonksiyonunu ve giriş(u)-çıkış(y) ilişkisini gösteren diferansiyel denklemi bulunuz. (25 puan)

3) Transfer fonksiyonu 3

42)(

s

ssH olan sistemin birim basamak tepkisi )(ty

b ’yi yazınız ve çiziniz. Çizimde

��(0�) ve ��(∞) değerleri belli olsun. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı kaça yakınsar? (25 puan)

4) Yandaki sistemin birim basamak tepkisinde maksimum aşma M = %8 ve %2’lik durulma zamanı � = 2 saniye isteniyor. Buna göre K ve a ne olmalıdır? Bu durumda yükselme zamanı � , sönüm katsayısı , tepe zamanı (�) ne olur? (25 puan)

4)2(%

dt

d

yt

d

pt

n

cos

BAŞARILAR …

Makine Mühendisliği Bölümü SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL ARASINAV CEVAP ANAHTARI

10.11.2018

1) a) Payın tek kökü, yani bir tane sıfır vardır: 2z .

Paydanın ise 3 kökü, yani 3 kutbu vardır: 41

p ,

323,2

jp m . Yanda “s” düzleminde gösterilmiştir.

b) Giriş sinyalinin frekansı için mutlak değerce kazanç

js transfer fonksiyonda yazılıp )( jT şeklinde bulunur.

0 için 0s olacağından sistemin kazancı

3

52

2

134)4(

)2(lim)0(

20

K

sss

sKT

s

ve 0K olduğuna göre 78K =

c) Sistem kararlıdır, çünkü bütün kutuplar negatif reel kısımlıdır, yani sol yarı bölgededir. Sağ yarı bölgede sıfır olmasının kararlılığa zararı yoktur.

d) 52298

2

)(

)()(

23

sss

KKs

sU

sYsT )()2()(52298 23 sUKKssYsss

s çarpanı zaman uzayında türeve karşılık gelir: )(2)()(52)(29)(8)( tKutuKtytytyty &&&&&&&

2) Mekanik sistemde: )()(2 sUsYkbsJsukyybyJbkTJ &&&&&&

kbsJssU

sY

2

1

)(

)(

Elektrik devresinde ise paralel kolun gerilimi Y(s) olup gerilim bölücüden Y(s)=U(s)⸱(ortadaki paralel kolun empedansı) / (toplam empedans)

Ortadaki paralel kolun empedansı sCR

R

RsC

sC

R

22

2

2

2

2

2

11

olduğundan,

sCRsCRsCRsCRsCR

sU

sYsU

RsCR

R

sC

sCR

R

sY

22111222

12

1

22

2

1

22

2

11)(

)()(

1

1

1)(

uCRyyCRCRCRyCCRR

sCRCRCRsCCRR

sCR

sU

sY&&&&

122212112121

221211

2

2121

12

1)(

)(

3) ���0�� = �∞� = 2 , ���+∞� = �0� = 4 3⁄ , kutup = -3

→ ���� = ���+∞� + ����0�� − ���+∞����� = � + �2 −

�� ���

���� = �����

�

Veya 3

32

3

41

3

42)(

sss

ssY

b ’ün ters Laplace

dönüşümüyle de ���� bulunabilirdi. Giriş frekansı sonsuza doğru yükseltilirken sistem kazancı =

�∞� = 2 olur.

4) Geribeslemeli sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonu 22

2

2

2

2

21

)(

)(

n

n

ssKass

K

ass

K

ass

K

sU

sY

Yani Kn , 2a .

11s22s2s2

4)2(%

atd

1s4

a

21

526,2)08.0ln(ln

M

2

22

1646,0

526,2

212srad19,3627,0s2627,0646,1646,0

nnnK

22srad2,10K

rad/s 2,49 rad/s 627,0119,3122

nd

rad894,02,51627,0cos o

� = ��,��,� s = 0,90 s � =�

,�s = 1,26 s

(Burada eğik yazılan “s” Laplace değişkeni, düz yazılan “s” saniye anlamında kullanıldı.)

SMOK-V-2018-CA-2