主席的話...............................................1

邵逸夫獎－數學科學獎........2

正多邊形的對角線.....................3

蝴蝶效應...............................................4

威氏遊戲...............................................6

活動回顧...............................................8

2011Autumn

Mathgazine

主席的話

Mathematics Society, SS, HKUSU

http://hku.hk/mathsoc

　　賴同學，李同學，嚴同學，林同學，馮同學，好開心在過去的一年裡有你們和我一起度過所有快樂的、美好的、緊張的、困難的時刻，給我力量，陪我闖蕩。多謝每一位會員對我們一年來工作的支持和對學會活動的積極參與。上莊這一年的一切，都會成爲我們六個難忘的回憶。

　　然而，天下無不散之筵席。當你逐漸習慣了一些東西的時候，時間卻不再允許你停留。還有一個月左右我們就會落莊，新莊亦即將上任。來年大學將迎來334的改革，數學學會的成員也會增多，留給下莊的將會是更大的挑戰，更多的機遇。希望大家繼續支持數學學會， 支持我們的下莊！

祝 各位會員期末考得好成績。　　願數學學會一天比一天好。　　我愛大家！

羅博聞香港大學學生會理學會數學學會二零一零至二零一一屆主席

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2011年度邵逸夫獎 - 數學科學獎

　　本年度的邵逸夫數學科學獎由德梅特里奧斯•克里斯托多羅 (Demetrios Christodoulou)和理查德•哈密(Richard S Hamilton)獲得，以表彰他們在洛倫茲幾何與黎曼幾何中的非線性偏微分方程方面的高度創新工作，及對廣義相對論和拓撲學的應用。

德梅特里奧斯•克里斯托多羅 (DemetriosChristodoulou)　　他對於數學物理，尤其是廣義相對論，有非常重要的貢獻。他最近關於真空愛因斯坦方程中，捕獲曲面是否存在，取得了令人驚訝的動力學證明，指出黑洞可以通過引力波的相互作用而產生。在這個工作之前，他還深入研究了有對稱性的較簡單情形，並證明裸奇點(Naked singularity)同樣可以產生，但是它並不穩定。他還同塞爾秀•克萊納爾 (Sergiu Klainerman) 一起證明了的閔可夫斯基空間 (Minkowski spacetime)的非線性穩定性。借助非凡的數學技術，克里斯托多羅的工作顯示出他對方程式背後的物理的深入瞭解。

理查德•哈密頓 (Richard Hamilton) 　　在黎曼幾何之中引入了里奇流 (Ricci flow)。這一套偏微分方程通過空間自身的彎曲決定著空間的幾何如何隨著時間而演化。他用這套工具證明了關於具有正曲率的三維與四維空間的形狀拓朴的一些非常令人驚訝的結果。在過去三十年中，他極具原創性地發展出一整套強有力的工具來研究里奇流。比如說，他發現在里奇流下的一種手術可以使得我們跨過奇點，繼續通過里奇流來演化空間。哈密頓工作的初衷是將所有的三維幾何空間分類，並解決龐加萊猜想 (Poincare Conjecture)，而他的計劃最終被格里高利•佩雷爾曼 (Grigori Perelman) 實現。哈密頓發明的里奇流無疑是現代幾何中最有力的工具之一。

(轉載自邵逸夫數學科學獎遴選委員會新聞犒)

2

正多邊形的對角線　　關於正多邊形的討論，大多是基本且古老的數學問題。古人擅長於發現簡單圖形的性質，例如正三角形，正方形，正六邊形的邊長角度等等。現在，我們這裡有一個看似簡單，應該早被前人解決了的數學問題：「正n邊形最多有多少條對角線交於一點？」

　　我們可以首先來看一下n=4，5，6，7 的情況。不難數出，正方形最多有2條，正五邊形最多有2條，正六邊形最多有3條，正七邊形最多有2條對角線相交於一點。顯而易見，當n是偶數時，我們有n/2 條對角線交於圖形的中心，然而除此之外，最多可以有多少條對角線交於圖形的非中心呢？當n為奇數時，似乎我們最多只可以有2條對角線交於一點？

　　這個看似簡單且古老的圖形問題在最近才被一些數學家研究出來，當然在此之前也有不少歷史上其他人的嘗試和錯解。1998年，數學家普寧（Poonen）和魯賓斯坦（Rubinstein）給出了此題的正確答案，結果十分的出人意料：

1. 如果n是奇數，則最多只能有2條對角線交於一點。2. 如果n 是偶數，但不是6的倍數，則最多只能有3條對角線交於一點（非中心）。3. 如果n是6的倍數，但不是30的倍數，則最多只有5條對角線交於一點（非中心）。4. 如果n是30的倍數，則最多只有7條對角線交於一點（非中心）。5. 不管n是多少，都不會有8條（或8條以上）的對角線交於一點（非中心）。

　　這是一個讓人驚訝的答案，因為無論n有多大最多都只能有7條對角線交於一點（非中心）！

　　兩位學者除了解決了此問題之外，還解決了難度更高的兩個問題：

1. 所有對角線在正多邊形中共有多少個交點（記為I(n)）？2. 這些對角線把正多邊形分成幾塊（記為R(n)）?

　　要解決這兩個問題，我們先規定一個符號　　　。當n是m的倍數時，　　 =1，否則，　　　　 =0。例如　　　=1，　　　=0。這兩個問題的答案是這樣的：

3 2 22 4 6

12 18 24 30 42 60 84

90 120 210

( ) ( 5 45 70 24) / 24 ( ) (3 / 2) ( ) ( 45 262 ) / 6 ( )4

42 ( ) 60 ( ) 35 ( ) 38 ( ) 82 ( ) 330 ( ) 144 ( )96 ( ) 144 ( ) 96 ( )

nI n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n

δ δ δ

δ δ δ δ δ δ δδ δ δ

= + − + − + ⋅ − ⋅ + − + ⋅

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅

4 3 2 3 22 4

26 12 18 24 30

42 60 84 90 120

( ) ( 6 23 42 24) / 24 ( 5 42 40 48) / 48 ( ) (3 / 4) ( )( 53 310 ) /12 ( ) (49 / 2) ( ) 32 ( ) 19 ( ) 36 ( )50 ( ) 190 ( ) 78 ( ) 48 ( ) 78 ( ) 48

R n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

δ δ

δ δ δ δ δδ δ δ δ δ

= − + − + + − + − − ⋅ − ⋅

+ − + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − 210( )nδ⋅

　　令人驚異的是，這兩個結果居然和n是否為2，4，6，12，18，30，42，60，84，90，120，210的倍數有關，而且是只和這些數有關！

( )m nδ ( )m nδ ( )m nδ 5(15)δ 6(16)δ

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嘗試在上圖找出有五條對角線相交的點！

蝴蝶效應

　　你們有聽過以下的民謠嗎︰　　　　丟失一個釘子，壞了一隻蹄鐵；　　　　壞了一隻蹄鐵，折了一匹戰馬；　　　　折了一匹戰馬，傷了一位騎士　　　　傷了一位騎士，輸了一場戰鬥；　　　　輸了一場戰鬥，亡了一個帝國。

　　而大家又有看過電影 The Butterfly Effect 嗎？故事講述了電影男主角能以念力改變過去歷史，但是卻往往造成預計不到的後果。其實，這一套電影引用了一個著名的數學概念，即「蝴蝶效應」(The butterfly effect)，意思為，看似無害的一個小改變，可能會導致無法預期的後果。

　　究竟蝴蝶效應一詞的由來是甚麼呢？而蝴蝶效應又對我們的生活有甚麼影響呢？

蝴蝶效應的由來

　　在 1961 年冬季的一天，勞侖次（E‧Lorenz）在皇家麥克比型電腦上進行關於天氣預報的計算。為了考察一個很長的序列，他走了一條捷徑，沒有讓電腦從頭運行，而是從中途開始。他把上次的輸出數據直接打入作為計算的初值，但由於一時不慎，他無意間省略了小數點後六位的零頭，然後他穿過大廳下樓，去喝咖啡。一小時後，他回來時卻發生了出乎意料的事，他發現天氣變化同上一次的模式迅速偏離，在短時間內，相似性完全消失了。進一步的計算表明，輸入的細微差異可能很快會造成輸出的巨大差別。及後，勞侖次在 1963 年發表了論文，用了「一隻海鷗拍動一下翅膀就可能永遠改變了天氣」這樣傳神生動的描述去解釋這次事件。而在之後的演講，勞侖次將海鷗改成了蝴蝶。從此以後，我們就有了「蝴蝶效應」。

€

4

蝴蝶效應的數學例子

　　一個擁有蝴蝶效應特性的簡單數學例子就是在 1976 年，生物學家 Robery May 在研究人口數量模型時，考慮的遞迴關係式：

　　其中　是一個事先給定的常數，數列的第一項　　　　。而　則代表在時間　　　時的人口比例。

　　在這樣的情況下，我們不難發現，不同的　值會令　的極限值　有完全不同的結果。例如當我們取　　　的時候，　　　。而我們取　　　的時候，則會發現數列會在　　與　　之間擺盪。

　　這樣看來，這個遞迴關係式的極限值完全取決於 。不僅如此，當　的數值不斷增加時，我們可以得到一些完全不可預測的結果。

€

xn = rxn −1(1− xn −1) , n = 1, 2, 3, ... .

€

r 00 1x< <

€

xn t n=

€

r

€

xn

€

x

€

r = 2.5

€

x = 0.6

€

r = 3.2

€

0.52

€

0.80

€

r

€

r

　　如圖中所示，若　的數值在　　至　之間，數列都會收斂到一個值。但當　的數值在　至　　　　　　之間時，數列則會在兩個數值之間擺盪。而當　的數值不斷增加時，整個系統的行為會變得非常混亂，不能預測。在這個情況下，只要　的數值相差一點點，數列的行為都會有極大的改變。整個系統進入一個混沌(chaos)的狀態。

蝴蝶效應對我們的生活有甚麼影響

　　當人類預測天氣時，長時間大範圍的天氣預報是對地球大氣這個複雜系統進行的觀測計算與分析判斷，它受到地

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r

€

2.4

€

3

€

r

€

3

€

1+ 6 ≈ 3.45

€

r

球大氣溫度、濕度、壓強等諸多隨時隨地都有可能變化的因素的影響與制約。可想而知，其綜合效果的預測是難以精確無誤的，蝴蝶效應是必然存在的。因此，一句十分出名的話說︰「當一隻蝴蝶在地球的這一端拍動翅膀時，會在地球的另一端引起大風暴。」 所以下次在天文台預測天氣錯誤時，不妨想想，可能是因為你的一個噴嚏而造成天氣轉變的呢！

5

威氏遊戲　　錢幣在大多人心目中都只是用作買賣便宜商品，但大多有沒有想像它亦可以用作遊戲。其中一個遊戲是威氏遊戲(Wythoff’s game)，在中國亦有相似遊戲名為「撿石仔」，遊戲規則簡單，有兩列錢幣，每列錢幣的枚數隨玩者任意規定，兩人輪流取錢幣，取的時候，(1)需要一列中取一枚或多枚錢幣，(2)或者同時在兩列取同樣枚數的錢幣，直到最後取光錢幣的人贏。此遊戲看似簡單，但至1907年才被荷蘭數學家威佐夫提出此遊戲數學上的分析。

　　或許大家會問:威氏遊戲會否有一個必勝策略?如果有是怎樣?

　　如果同學曾上CCST9017或博奕論(Game theory)的課，可能會聽過策梅洛定理(Zermelo’s theorem)。根據策梅洛定理，在一個有限步數的二人遊戲，沒有運氣成分，雙方皆擁有完整的資訊(perfect information)，清楚所有步法及相應的應對，其中一位玩家就一定有一個不敗的策略。

　　威氏遊戲符合以上策梅洛定理的條件，所以會有一人擁有不敗方法，但同時遊戲中沒有和局，意味不敗的玩家可成為「長勝將軍」。

　　在分析威氏遊戲時,玩家可以製造一個令對方必敗的局面。假設x(n)和y(n)是遊戲中兩列剩餘的錢幣數目，x(n)是較少錢幣的一列，n是兩列錢幣數目的差異。假如遊戲中輪到一方取錢幣後出現以下其中一個的局面，這方可在下一輪根據下表製作以下的局面，便能取得勝利：

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x(n) 0 1 3 4 6 8 9 11 12

y(n) 0 2 5 7 10 13 15 18 20

n 9 10 11 12 13 14 15 16 17

x(n) 14 16 17 19 21 22 24 25 27

y(n) 23 26 28 31 34 36 39 41 44

n 18 19 20 21 22 23 24

x(n) 29 30 32 33 35 37 38

y(n) 47 49 52 54 57 60 62

　　一旦一方成功做到以上的局面，對方因步法所限無法抄襲策略。

　　威氏遊戲有趣之處在於以上局面剩餘的錢幣數目規律，數學家威佐夫發現x(n)是黃金比例倍數的高斯函數(floor function)

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　　隨了黃金比例，假如同學細心留意x(n)與y(n)兩項數列，所有正整數剛好只會在其中一個出現一次!

　　此情況可以用貝亞蒂定理(Beatty theorem)解釋。根據貝亞蒂定理，如果　　　　　而

　　　　　， 同時　、γ都是無理數，符合　　　　　…(*)，a(n)與b(n)就成為貝亞蒂數列

(Beatty sequences)，兩個數列不重覆地包括所有正整數。

由於黃金比例　與它的次方　符合貝亞蒂數列的條件(*)，所以x(n)與y(n) 可不重覆地包括所有正整數。

最後，以下有一個威氏遊戲的變種，都是兩人輪流取錢幣至一方取得最後一枚為勝，但步法略有不同:(1)需要一列中取一枚或多枚錢幣，(2)或者同時在兩列取走錢幣，但數目的差異必須是兩枚。大家不妨留意必敗的局面中x(n)與y(n)數列中，所有正整數會否同樣地只會出現一次呢?

][)( φnna =

][)( γnnb = φ 111=+

γφ

ϕ 2φ

y(n)與x(n)的比例也符合黃金比例

][)( ϕnnx = φ是黃金比例( )6180.12

15≈

+=ϕ

從黃金比例的特性，加上x(n),n符合黃金比例

12 += ϕϕ　　　　　　y(n)=x(n)+ny(n)亦與黃金比例　有密切關係： ϕ ][)( 2ϕnny =

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活動回顧O-SERIES

一年一度的O-SERIES帶領數學系的新生融入新校園，認識新朋友。緊張又富挑戰性的遊戲讓組員之間形成一種無 形 的 默 契 並 互 相 合 作 完 成 一 個 又 一 個 的 難 關 。O-SERIES 雖然過去，但開心難忘的回憶和真摰的友誼都會長留在每一個的新生，幹事的心中。O-SERIES 能夠順利舉行有賴一班O-CAMP 幹事：Garfield、Peter、Eric、Dickson、Yau、世傑和中招的付出和支持，在此衷心的感謝。

BBQ and Cycling

　　9 月17 日，數學學會舉行了踏單車和燒烤的聯誼活動。踏單車路線是由大埔至大尾篤。踏過約兩小時的路段，終於到達大尾篤燒烤王。是時候填飽正在打鼓的肚子了！一邊聊天，一邊燒肥美的雞肉實是一件樂事。

周年晚宴

　　周年晚宴於10 月28 日順利舉行。今年很感謝 Prof. Lu 、 Prof. Cheung 和 Dr. Tsing 能撥冗出席並與同學分享學習數學的心得。Dr. Tsing 一篇滿有數學用語的演說，引起全場的共鳴。引用其中的一句：「雖然數學學會的活動是Limited，但每一個活動都是有Infinite 的意義。」所以，大家要踴躍參加數學學會的活動！

JSSL 足球比賽

　　除了學會內的體育活動，數學學會亦參與其他聯會比賽，包括以衛冕冠軍出戰JSSL足球比賽。是次比賽共有十個學會競逐，在上半年分為兩組作小組賽，小組首兩名會進入淘汰賽爭奪冠軍。

　　在上本年數學學會在小組賽表現突出，包括以2比0及2比1擊敗小組第二、三名醫學會與統計及精算學會，順利晉級。其後在四強再淘汰醫學工程學會，在決賽迎戰化學學會。

　　決賽在10月10日於堅尼地城沙倉球場舉行，雖然是日天氣不穩定，時有細雨，但是無損比賽的氣氛。在上半場化學學學會攻勢較多，我方球員努力防守，但最終被化學學會連入兩球，但我方球員盡力反攻，在上半場完結前攻破對方大門。

　　在下半場雙方爭持激烈，數學學會球員盡力反擊，有多次具威脅射門，可惜未能扳平，最終以1比2完場。

　　是次足球比賽數學學會可取得亞軍，全靠同學的支持，特別是球員的積極參與，在此特別向以下球員致謝：Izzac、Macro、阿富、阿然、阿龍、阿Lam、阿Jom、Alvin、Dickson、Bottle、阿傑、Tony、Leon、Alberto、Anson！

　　最後，哀心多謝會員對數學學會球員的支持，希望大家在未來繼續支持數學學會的體育活動!

8編輯 Editor

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李偉賢 署理出版及宣傳秘書Gary Lee, Acting Publication and Publicity Secretary

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