19.2.3 正方形

回顾：回顾：平行四边形平行四边形 ,, 矩形与菱形有哪些性质矩形与菱形有哪些性质 ??

平行四边形平行四边形边边 ::

角角 ::

对角线对角线 ::

对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等 ,, 邻角互补邻角互补

对角线互相平分对角线互相平分

矩形矩形

角角 :: 四个角是直角四个角是直角对角线对角线 :: 对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分

边：边： 对边平行且相等对边平行且相等

具有平行四边形所有性质具有平行四边形所有性质

菱形的性质菱形的性质

菱形的性质菱形的性质 边边 :: 四条边相等四条边相等

对角线对角线 ::互相垂直平分互相垂直平分

分别平分两组对角分别平分两组对角

对角相等对角相等 ,, 邻角互补邻角互补

具有平行四边形一切性质具有平行四边形一切性质

角：角：

平行四边形

情境一： 观察体会

有一个直角

有一个直角矩形

有一个直角矩形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

平行四边形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

平行四边形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

平行四边形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

一组邻边相等平行四边形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

一组邻边相等平行四边形

有一个直角

一组

邻边

相等

矩形

菱形

一组邻边相等

有一个直角

正方形平行四边形

你能给正方形下一个定义吗？

问题问题 ::

情景二情景二

图中图中 CDCD 在平移时，这个图形始终是怎样的图形？在平移时，这个图形始终是怎样的图形？

当当 CDCD 移动到移动到 CCDD 位置，此时位置，此时 ADAD ＝＝ ABAB ，四，四边形边形 ABCDABCD 还是矩形吗？还是矩形吗？

AA

BB CC

DD AA

BB CC

DD

正方形是特殊的矩形

两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形 ABCDABCD

矩 形正方形〃

〃

矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢 ?

探究（一）

菱 形∟∟

∟∟

正方形

探 究（二）探 究（二）

菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢 ?

探究小结

矩 形

〃〃 正方形

邻边 相等

〃〃

发现： 一组邻边相等的矩形 叫正方形

菱 形 一个角 是直角正方形 ∟

发现： 一个角为直角的菱形叫正方形

如何来给正方形下定义？

正方形定义1 、有一个角是直角且邻边相等的平行四边

形叫做正方形；2 、有一个角是直角的菱形是正方形；3 、有一组邻边相等的矩形是正方形

正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的性质？

边

对角线

角

正方形对边平行 四边相等

正方形的四个角都是直角

正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

A

B C

D

O

正方形是正方形是中心对称图形，中心对称图形，它也是它也是轴对称图形轴对称图形

正方形是一个完美的图形正方形是一个完美的图形

对 称 性对 称 性对 称 性对 称 性特 征特 征特 征特 征

正方形是正方形是中心对称图形中心对称图形 ,, 对称中心为点对称中心为点 OO

它也是它也是轴对称图形轴对称图形 ,, 有有 44 条对称轴条对称轴

(1)(1) 它具有平行四边形的一切性质它具有平行四边形的一切性质

两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分(2)(2) 具有矩形的一切性质具有矩形的一切性质

四个角都是直角，对角线相等四个角都是直角，对角线相等(3)(3) 具有菱形的一切性质具有菱形的一切性质

四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角

O

A

B C

D

(A)

(B)(C)

(D)

总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性

平行四边形

中心对称图形

（对角线的交点）

即是中心对称图形，

又是轴对称图形（两条）

即是中心对称图形，

又是轴对称图形（两条）

即是中心对称图形，

又是轴对称图形（四条）

正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：

有一个角是直角

有一组邻边相等

有一组邻边相等

有一个角是直角

有一组邻边相等且有一个角是直角

(1)

(2)

(3)

(4)

四边形

平行四边形

矩形

菱形

正方形

平行四边形

矩形

四边形

菱形正方形

平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系

1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A 、四个角相等 . B 、对角线互相垂直平分 . C 、对角互补 . D 、对角线相等 .

2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）

A 、四条边相等 . B 、对角线互相垂直平分 . C 、对角线平分一组对角 . D 、对角线相等 .

B

D

例题解析学一学学一学

O

A

B C

D

例例 .. 求证：正方形的两条对角线把求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。角三角形。

分分析析分分

析析：：

这是一道几何命题的证明 , 该怎么做 ?你会做吗 ?

第一步 : 根据题意画出图形第二步 : 写出已知第三步：写出求证第四步 : 进行证明

图中共有多少个图中共有多少个等腰直角三角形？等腰直角三角形？

学一学学一学 例例 1. 1. 如图，在正方如图，在正方 ABCDABCD 中，对角线中，对角线ACAC 、、 BDBD 相交于相交于 OO ，，1)1) 图中有多少个等腰直角三角形图中有多少个等腰直角三角形2)2) 说出图中相等的线段、相等的角。说出图中相等的线段、相等的角。3)3) 求∠求∠ ABDABD 、∠、∠ DACDAC 、∠、∠ DOCDOC 的度的度数。数。

O

A

B C

D答案： 1 、八个 △ ABC BCD CDA DAB △ △ △AOB AOD BOC COD △ △ △ △

2 AB=BC=CD=DA AC=BD OA=OB=OC=OD

3 答案见课本 107 页

例例 2.2. 如图四边形如图四边形 ABCDABCD 和和 DEFGDEFG 都是正方都是正方形，试说明形，试说明 AE=CGAE=CG

解：解：因为四边形因为四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形根据正方形的四边相等，得根据正方形的四边相等，得 AD=CDAD=CD

又知四边形又知四边形 DEFGDEFG 也是正方形也是正方形所以 所以 DE=DGDE=DG

又因为正方形的每个内角为又因为正方形的每个内角为 90°90°

所以所以∠∠ ADEADE ＋＋∠∠ EDCEDC ＝＝∠∠ CDGCDG ＋＋∠∠ EDCEDC

所以所以∠∠ ADEADE ＝＝∠∠ CDGCDG

所以三角形所以三角形 ADEADE 可以看成是由三角形可以看成是由三角形 CDGCDG 绕着点绕着点 DD 顺时针顺时针旋转 旋转 90°90° 得到。得到。⊿⊿ AED CGD≌ ⊿AED CGD≌ ⊿

所以所以 AE=CGAE=CG

AA

BB CC

DD

EE

FF

GG

已知：如图，点 E是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F是 CB 的延长线上一点，且 DE=BF ．求证：（ 1） AE=AF ；（ 2） EA⊥AF ．

12

3

练一练练一练

证明：（ 1 ）∵ ABCD 是正方形∴AD=AB ∠， ADE= ABF=90°∠在△ ABF 与△ ADC 中AD=AB∠ADE= ABF=90°∠DE=BF

∴ △ABF ADE≌△ （ SAS ） ∴ FA=EA , 1= 3∠ ∠

（ 2 ∵∠） 2+ 3=90 °∠∴∠1+ 2=90 °∠

∴ EA FA⊥

12

3

A

CB

D

E

１．若 O点移动至 E点时，连接AE、 CE ，你有那些结论？

想一想：想一想：

该怎样证明这些结论？

O

变一变如图所示，正方形 ABCD 中， P 为 BD 上一点， PE BC⊥ 于 E ， PF DC⊥ 于 F 。试说明：AP=EF

A

B C

DP

E

F

解 : 连接 PC

∵PE BC ⊥ ， PF DC⊥

而四边形 ABCD 是正方形∴∠FCE=90°

∴四边形 PECF 是矩形∴PC=EF又∵四边形 BAPC 是以 BD 为轴的轴对称图形∴AP=PC

∴AP=EF

3. 一正方形对角线长为 4,则它的面积为 ．8A

B C

D

1 ．正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 __________________

2. 一正方形边长为 4,则它的面积为 ．16

等腰直角三角形

4. 正方形 ABCD 的面积是 9cm2 。则AB=________AC=___________3cm cm23

3.3. 如图，正方形如图，正方形 ABCDABCD 中，点中，点 EE 是是 CCDD 边上一点，连接边上一点，连接 AEAE 交对角线交对角线 BDBD于点于点 FF，，则图中全等三角形共有（ 则图中全等三角形共有（ ） ） A BA B

C DC D

EE

FF

CC

A.1A.1 对对B.2B.2 对对C.3C.3 对对D.4D.4 对对

（ 4 ） ABCD 是一块正方形场地，小华和小芳在 AB 边上取定了一点 E ，经测量 EC=30m ，EB=10m ，这块场地的面积和对角线长分别是多少？

A DA

B C

E

课本课堂练习 P101课本课堂练习 P101

解： 连接 AC.

∵ 四边形 ABCD 是正方形

∴ ∠B=90° ， AB=BC

∵ EC=30m ， EB=10m

∴ S 正方形 ABCD=( )2=800(m2)

∴

m220800 2BE2CEBC

∴

m40 2BC2ABAC

220

练习 5 ．如图 (5) ，在 AB 上取一点C ，以 AC 、 BC 为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC 和 BCFG 连结 AF 、 BD 延长 BD 交 AF 于 H 。求证： (1) ACF DCB△ ≌△ (2) BH AF⊥ 证明：

6.6. 如图，正方形如图，正方形 OPQROPQR 的一个顶的一个顶点点 OO 是边长为是边长为 22 的正方形的正方形 ABCDABCD对角线对角线 ACAC 与与 BDBD 的交点，则两的交点，则两正方形重合部分的正方形重合部分的面积是面积是 A A

DDB B CC

OO

PP

QQ

RR

大显身

大显身

手手

77 、如图，四边形、如图，四边形 ABCD.DEFGABCD.DEFG都是正方形，连接都是正方形，连接 AE.CGAE.CG 。。（（ 11 ）求证：）求证： AE=CGAE=CG（（ 22 ）观察图形，）观察图形，猜想猜想 AEAE 与与 CGCG 的位置的位置关系，并证明你的关系，并证明你的猜想。猜想。

AA

B D EB D E

CC

G FG F

8 、如图 , 以△ ABC的边AB、 AC向形外作正方形 ABDE和 ACFG ， M 是 BC的中点．

求证：

⑴CE=BG；

⑵EG=2AM．

H

M

E

D

F

G

B C

A

归纳

1 . 正方形是中心对称图形，轴对称图形。2. 正方形的四条边都相等。3. 正方形的四个角都相等。

4. 正方形的对角线互相垂直平分且相等， 且每一条对角线平分一组对角。

O

A

B C

D

有 有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角一组邻边相等 并且 有一个角是直角

平行四边形 平行四边形 是 是 正方形正方形的的

对边平行且相等

每条对角线平分一组对角

对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等

性质 正方形菱形矩形平行四边形

图形

小结

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√ √

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