Jerzy KORNOWSKI - warsztatygornicze.plwarsztatygornicze.pl/wp-content/uploads/2004_26.pdf · Jerzy KORNOWSKI Główny Instytut Górnictwa, Katowice Równania emisji sejsmoakustycznej

WARSZTATY 2004 z cyklu „Zagrożenia naturalne w górnictwie”

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

519

Mat. Symp. str. 519 – 531

Jerzy KORNOWSKI Główny Instytut Górnictwa, Katowice

Równania emisji sejsmoakustycznej i ich zastosowanie

Streszczenie

W pracy przedstawiono tak zwane sejsmoakustyczne równania stanu – składające się

z równań ewolucji emisji i z równań obserwacji – opisujące emisję sejsmoakustyczną ze ściany skrawanej kombajnem i obserwowanej czujnikami sieci sejsmoakustycznej oraz sieci dyspozytorskiej. W chwilach tq = qT – gdzie T jest przyjętą jednostką czasu (godzina, kwadrans, itp.) natomiast q = 1, ..., K gdzie K to czas skrawu w jednostkach T – otrzymywane są (i wykorzystywane mogą być np. do oceny i prognozy zagrożenia) informacje o aktywności i „umownej” energii emisji oraz o położeniu lub prędkości kombajnu. Informacja ta umożliwia rozwiązywanie równań stanu. Sekwencyjne (co jednostkę T) rozwiązywanie równań stanu (m.in.) umożliwia estymację względnego (mierzonego względem poziomu odniesienia) naprężenia lub estymację zmian wielkości proporcjonalnej do naprężenia w kolejnych segmentach ściany wzdłuż skrawanego ociosu.

Równania stanu są ważne zarówno w teorii (umożliwiając optymalną estymację za pomocą

tak zwanego filtru Kalmana) jak i w praktyce, umożliwiając – mimo braku lokalizacji źródeł –

estymację stanu z rozdzielczością znacznie lepszą niż było to dotąd możliwe.

1. Wprowadzenie

Celem tej pracy jest przybliżenie Czytelnikowi tak zwanych sejsmoakustycznych równań

stanu (dalej: AESE) opisujących (m.in.) emisję sejsmoakustyczną (dalej: AE) – czyli

aktywność i energię – w skrawanej kombajnem ścianie. Przybliżoną formę AESE wyprowadził

i opisał Kornowski (2001, 2002a,b), a „dokładne” wyprowadzenia znaleźć można w pracy

Kornowskiego (2004a). Równania stanu są powszechnie znane i stosowane w teorii systemów

i sterowania (np. Ogata 1974), zawdzięczając swą popularność pracom Kalmana (1960) oraz

Kalmana i Bucy’ego (1961), gdzie wykazano ich użyteczność w zadaniu sekwencyjnej

(w czasie rzeczywistym) estymacji i prognozy.

Równania stanu (ang.: state equations, także: state-space equations) zwyczajowo składają

się z (być może wektorowo-macierzowych) równań ewolucji (stanów) – opisujących ewolucję

często bezpośrednio nie obserwowalnych zmiennych stanu (np. energii AE emitowanej

w źródłowym polu emisji) – i z równań obserwacji wiążących zmienne stanu z wielkościami

obserwowalnymi (np. z energią „umowną” na wyjściu systemu obserwacyjnego). Zmienne

stanu to wielkości fizyczne określające badane procesy (np. proces AE). W sejsmoakustyce

górniczej zmiennymi stanu mogą być (np.): aktywność N, czyli liczba zdarzeń w jednostce T

czasu i energia E generowana w polu emisji (którą odróżniać trzeba od energii Eobs „umownej”,

rejestrowanej na wyjściu systemu obserwacyjnego). Gdy AE wykorzystana ma być do oceny

i prognozy indukowanego zagrożenia sejsmicznego, do zmiennych stanu zaliczamy też C0,

wielkość proporcjonalną do naprężenia, lub VCf 0 , wielkość zwaną wymuszeniem (V jest

J. KORNOWSKI – Równania emisji sejsmoakustycznej i ich zastosowanie

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

520

to prędkość skrawania, naprężeniem nazywamy tu tą składową tensora, która lokalnie decyduje

o procesie pękania skały, zatem i o AE). Stanem może więc być (np.) jeden z trzech

wektorów: [N(t), f(t)], [E(t), f(t)], [N(t), E(t), f(t)].

By wyprowadzić AESE, wykorzystuje się model ciała lepko-sprężysto-kruchego (MRSK –

model reologiczny ze sprężysto-kruchym polem) zawierający stochastyczne „pole” (czyli

zbiór) elementów kruchych, które pod wpływem naprężenia rozciągającego (o wartości

przekraczającej wartość krytyczną danego elementu) mogą ulegać niszczeniu, generując

przemiany i przepływy energii, które interpretujemy jako AE. Dzięki temu każdy ciąg zdarzeń

AE jest realizacją stochastycznego procesu punktowego, lecz intensywność procesu (średnia

po realizacjach) jest dobrze zdefiniowaną, ciągłą funkcją czasu, zależną od naprężenia

i parametrów modelu. MRSK zawiera parametry deterministyczne (sprężystość, lepkość)

i stochastyczne (pole kruche). Modele nazywamy stochastycznie identycznymi gdy ich

parametry deterministyczne są identyczne, a parametry stochastyczne pochodzą z tego samego

rozkładu prawdopodobieństwa. Wykazano, że w przypadku małych odkształceń niesprę-

żystych, ogólnie nieliniowe równanie konstytutywne MRSK i jego odpowiedź na skok

wymuszenia mogą być aproksymowane równaniami znanego modelu ciała standardowego

(Zenera) i jego wykładniczo malejącą odpowiedzią )( t . Aproksymację tą oznaczamy dalej

skrótem SMAE (od ang.: standard model with AE). SMAE otwiera możliwość prostej

aproksymacji przebiegów AE w warunkach niewielkich odkształceń niesprężystych (co dla

górnika oznaczać może „stan niewielkiego zagrożenia sejsmicznego”).

AESE wyprowadza się zakładając, że skrawany kombajnem pokład składa się z elementów,

z których każdy może być aproksymowany modelem SMAE oraz – by nie komplikować

wyprowadzeń – że tylko przyociosowa, mogąca się swobodnie odkształcać, warstwa pokładu

jest źródłem AE (a warstwy leżące w głębi pozostają skrępowane do chwili aż znajdą się przy

ociosie). W ten sposób i naprężenie („przyłożone do pokładu”) i proces skrawania, łącznie

decydują o AE. Przyjęcie realistycznych założeń o sposobie obserwacji (okresowo, co T – np.

co godzinę – obserwuje się skumulowane w okresie o długości T, wartości Nt oraz obstE ,

a także położenie lub prędkość Vt kombajnu, przyczyny źródła AE nie są lokalizowane)

powoduje, że wyprowadzenia AESE są dość złożone i nie będą tu, z braku miejsca,

powtarzane. Wszystkie wyprowadzenia i uzasadnienia znaleźć można w pracy

Kornowskiego (2004a), tu przedstawiane są gotowe wyniki. Równanie ewolucji naprężeń C0t

nie jest wyprowadzane: z braku lepszej informacji apriorycznej ewolucję tą zwyczajowo

aproksymuje się jednowymiarowym ruchem Browna („błądzenie przypadkowe”), co w wielu

zastosowaniach zapewnia dobre wyniki. Dysponując lepszą informacją aprioryczną (np. o tym,

że czoło ściany zbliża się do krawędzi), użytkownik AESE wprowadzić może lepszą

aproksymację.

Gdy nie lokalizuje się źródeł AE, sformułowanie linowych równań obserwacji wymaga –

wspomnianego już – założenia, że AE generowana jest w przyociosowej warstwie pokładu.

Założenie to umożliwia linearyzację problemu pozwalając na zdefiniowanie transmitancji

(funkcji przejścia) pomiędzy rejonem źródeł a wyjściem systemu obserwującego.

AESE umożliwiają zastosowanie algorytmu zwanego filtrem Kalmana do optymalnej,

sekwencyjnej estymacji i prognozy zmiennych stanu. Wprowadzana przez AESE

dyskretyzacja czasu i przestrzeni umożliwia estymację i prognozę zmiennych stanu

w segmentach ściany mniejszych od tej ściany – mimo że obserwacje (bez lokalizacji AE)

dotyczą całości ściany. Są to zupełnie nowe zagadnienia i nowe możliwości sejsmoakustyki

górniczej. By ułatwić zapamiętanie akronimów, powtórzmy że:

AESE – to sejsmoakustyczne równania stanu;

MRSK – model reologiczny ze sprężysto-kruchym polem;


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

521

SMAE – to liniowy „model standardowy z emisją akustyczną” aproksymujący nieliniowy

MRSK

2. Założenia i oznaczenia

W rozdziale tym przedstawiono założenia ważne dla zrozumienia AESE, oraz stosowane

dalej oznaczenia.

Z 1: Ściana składa się z elementów aproksymowalnych stochastycznie identycznymi

modelami MRSK i występują w niej tylko niewielkie odkształcenia niesprężyste, co umożliwia

zastąpienie MRSK przez SMAE.

Z 2: Tylko SMAE sąsiadujące z powierzchnią swobodną generują AE. Elementy w głębi

ociosu pozostają skrępowane.

Z 3: Skrawający kombajn wyłącza (likwiduje) przyociosowe elementy/SMAE właśnie

urobione i jednocześnie włącza (do działania polegającego na generowaniu AE) nowe, właśnie

odsłonięte elementy/SMAE.

Z 4: Przestrzenny rozkład )y,x( naprężenia w ścianie jest funkcją zmiennych x oraz y

lecz w czasie (t) zmienia się bardzo powoli pozostając stały w okresie jednego skrawu. Postęp

ściany powoduje że [choć )y,x( nie zmienia się z upływem czasu] naprężenie na ociosie

(powoli) zmienia się z czasem nawet dla x=const. (patrz rys. 1).

Z 5: Ocios ściany ma stałą wysokość i stały jest zabiór bębna kombajnowego określający

dyskretyzację osi y.

Założenie Z 1 ma podstawowe znaczenie w tej pracy, Z 2 tylko ułatwia linearyzację. Z 3,

Z 4 i Z 5 przede wszystkim opisują sytuację, nie nakładając ważnych ograniczeń (gdy akceptu-

jemy „niewielkie odkształcenia”, stacjonarność naprężenia nie jest ważnym ograniczeniem).

Przyjmijmy teraz, że czoło ściany rozciąga się wzdłuż osi x, od x0 do xK (rys. 2.1) i że

obserwacje „nadchodzą” w momentach Tqttq 0 (q = 1, 2,..., K w czasie jednego skrawu)

gdzie T = 1 (np. T jest godziną) jest jednostką czasu dyskretnego. K jest liczbą obserwacji

w ciągu skrawu i liczbą umownych segmentów czoła ściany (rys. 1). Kombajn skrawa (jak często

bywa w praktyce) jadąc od x0 do xK a wracając ładuje urobek (dla teorii jest to nieistotne).

Zatem w chwilach tq obserwowana jest aktywność jKqq )]x,x(),t,t[(N 01 i energia

jKqq )]x,x(),t,t[(E 01 – z całej ściany ),( 0 Kxx , skumulowane w okresie ),( 1 qq tt –

oraz prędkość skrawania jqq )t,t(V 1 . Indeks „j” oznacza numer skrawu i położenie

ściany wzdłuż osi y. Jest to realistyczny opis sytuacji w kopalniach z systemami

dyspozytorskimi.

Poniżej „segmentem” nazywamy odcinek iii VT)x,x( 1 , natomiast „okresem” –

jednostkowy (T = 1) przedział czasu. Rysunek 2.1 pokazuje sytuację gdy segmenty

o ustalonym numerze mają ustaloną długość niezależnie od numeru skrawu „j” – co pozwala

na bardzo prostą dyskretyzację przestrzeni (x,y). Rysunek 2.2 pokazuje sytuację gdy wymóg

ten rozluźniono zachowując stałą liczbę (K) obserwacji w ciągu skrawu.

Dla uproszczenia zapisu dalej stosowane są oznaczenia:

jbbqqj )]x,x(),t,t[(N)b,q(N 11 , aktywność z segmentu

jKqqj )]x,x(),t,t[(N),q(N 01 , aktywność ze ściany

i analogicznie dla energii. Ponadto dla prędkości skrawania

jbbbbj )]x,x(),t,t[(V)b(V 11 , prędkość w segmencie


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

522

Rys. 2.1. Szkic ilustrujący najprostszą dyskretyzację (czyli podział na segmenty) płaszczyzny pokładu

w przypadku stałej prędkości skrawania Fig. 2.1. An example of simple discretization of a coal seam midplane, in case of constant cutting velocity

Rys. 2.2. Szkic ilustrujący dyskretyzację płaszczyzny pokładu w przypadku stałej

średniej prędkości skrawania Fig. 2.2. An example of seam midplane discretization in case of constant mean cutting velocity

Ponadto wprowadzamy jeszcze dwie funkcje jn (b)f i je (b)f , które – dla wygody –

nazywane będą wymuszeniem (fn – „aktywnościowym”, fe – „energetycznym”):

jjnjn )b(V)b(c)b(f , ps-2 (2.1a)

jnjnejjeje )b(f)b(c)b(V)b(c)b(f 23 , Nms-2 (2.1b)

gdzie:

cn, ce i cne=ce/cn – to stałe proporcjonalności. Należy pamiętać, że jest to tylko wygodne

nazewnictwo: z punktu widzenia fizyki „wymuszeniem” jest naprężenie (lub obciążenie),

a skrawający kombajn – wytwarzając powierzchnię swobodną – zdejmuje więzy krępujące, co

umożliwia rozwój spękań i AE (aproksymując wymuszenia jednowymiarowym procesem

Browna, otrzymujemy 1jj )b(f)b(f oraz 1 jj )b(f)b(f gdzie η to zmienna

losowa). Dla wykorzystywanego tu modelu SMAE:

- odkształcenie ε jest splotem wymuszenia (σ) z funkcją Greena modelu,


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

523

- aktywność (n) jest proporcjonalna do pochodnej ( ) odkształcenia w obszarze

niesprężystym,

- energia emisji jest proporcjonalna do iloczynu 2n , aktywności i odkształcenia.

N oraz E bez górnych indeksów to wielkości generowane w polu emisji (np. Kornowski,

2004b), Nobs oraz Eobs to wielkości obserwowane na wyjściu systemu obserwacyjnego (symbol

to równość definiująca lub tożsamość). Ściana może być obserwowana za pomocą

M czujników i w każdej dyskretnej chwili q system dostarcza Nobs(m), Eobs(m), m = 1,..., M

obserwacji aktywności i energii „umownej” oraz jedną wartość V(b)j.

Symbol „p” użyty jako jednostka oznacza zdarzenia/impulsy (AE), od ang.: pulses.

W układzie SI symbol ten można po prosty pominąć, lecz gdy rzecz dotyczy AE, autor uznał

że należy go zachować.

Kreska nad zmienną (np. V ) oznacza jej wartość średnią, kropka (np. ) – pochodną

względem czasu.

3. Sejsmoakustyczne równania stanu (AESE)

Równania ewolucji stanów wymagają wprowadzenia wielkości zwanych macierzami

przejść (lub współczynnikami – czasem też prawdopodobieństwami – przejść, ang.: state

transition matrices), decydującymi o ewolucji zmiennych stanu:

SN

10

1 030 )B(BB 'k

(3.1a)

SE

10

01 )'k(H)(H)(H/)(H EEEE (3.1b)

Symbolem z (nie mylić z !) oznaczymy stałą czasową zaniku aktywności (np. po

zatrzymaniu kombajnu), jedną dla danej ściany (jednostką jest przyjęta jednostka czasu T, lecz

dla poprawności wymiarów piszemy [s]). Znając z możemy obliczyć

)/Texp(B z0 (3.2a)

z)B(B 02 1 , s (3.2b)

)B()BT(B zz 223 1 , s2 (3.2c)

k' – to okres skrawu, czas pomiędzy kolejnymi „odwiedzinami” kombajnu w x(b)j-1 oraz x(b)j,

( TK'k + czas przerw i ładowania).

Czynnik 'k0B określa względną aktywność emisji „szczątkowej”, utrzymującej się

w segmencie b, w chwili q, z poprzedniego skrawu.

Dla „wystarczająco dużych” wartości k

'

00'kB (3.3)

stąd macierz SN jest ściśle stała w czasie skrawu i w przybliżeniu stała zawsze, nawet gdy

przerwy i postoje są w każdym skrawie inne – o ile tylko K=const. (to ważne założenie).

Systemy, w których macierz przejść pozostaje stała nazywamy niezmienniczymi

względem czasu (ang: TI – time-invariant; a gdy system jest liniowy to LTI – linear time-

invariant).


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

524

Wielkość τ (nie mylić z τz !) to opóźnienie, różnica czasu między momentami obserwacji

i przyłożenia wymuszenia:

1

1

jorazbqgdy,

jorazbqgdy,

bqgdy,

)qb('k

bq

(3.4)

(„b” – to numer segmentu czoła ściany, segment b jest zawsze skrawany – co oznacza też

przyłożenie wymuszenia – w chwili b; „q” to moment obserwacji; czas jest dyskretny).

Wprowadzimy teraz ważną wielkość:

]/)hBT(B)B()hB,T(BB)BT(B[)(H MMz

E 350 2230

212

2020 ,s2 (3.5a)

gdzie: 01 1 Bh (3.5b)

32012 /)Bh(h (3.5c)

BM.

to parametr modelu (SMAE) aproksymującego skałę, mierzalny (Kornowski 2004a)

wykorzystując pomiary energii AE zanikającej np. po zatrzymaniu kombajnu.

Wyznaczenie (eksperymentalne) liczbowych wartości parametrów τz oraz BM

wystarcza do obliczenia wszystkich elementów macierzy SN i SE.

Gdy wszystkie (prócz 30

200 B,B,B ) elementy wyrażenia )(H E są ustalone, równanie (3.5a)

zapisać można w postaci:

)exp(A)exp(A)exp(A)(HE 131211 32 (3.6)

gdzie:

350 222

3122311 /)hBT()B(A),hB,T(BA,BA,/T Mz

Mzz .

)(EH – jest odpowiedzią energetyczną segmentu na jednostkowy skok wymuszenia

„energetycznego” je bf )( . Analogicznie:

τ)α(expBBB)(τHτN

1303 (3.7)

jest odpowiedzią aktywnościową na jednostkowy skok jn bf )( . Można też wykazać

(Kornowski 2004a), że dla ustalonego segmentu „b” i dla momentu bq (tzn. tylko gdy

0 , przy czym τ jest czasem liczonym od chwili „włączenia” segmentu b):

τ03jnj BB(b)fb)(q,N , p (3.8a)

)(H(b)fb)(q,EE

jej , Nm (3.8b)

Dla ustalonego segmentu b, równania te opisują ewolucję )bq( uśrednionej (po

hipotetycznym zbiorze realizacji) emisji ( N oraz E ) w miarę upływu czasu τ. Rezygnując

z formy uśrednionej, równania te można zapisać w postaci stochastycznej:


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

525

Nτ03jnj ηBB(b)fb)N(q, , p (3.9a)

EEjej η)(H(b)fb)E(q, , Nm (3.9b)

gdzie:

ηN oraz ηE – to „błędy” losowe: w przypadku zastosowania filtru Kalmana do estymacji

i prognozy potrzeba nieco więcej informacji o ηN i ηE – w tej pracy nie są one jednak

potrzebne. Równania te pokazują że (w sytuacji określonej założeniami Z 1–Z 5) pod

wpływem stałego, skokowo przyłożonego wymuszenia:

- b)(q,N maleje wykładniczo od wartości początkowej do 0;

- b)(q,E może początkowo rosnąć, by w końcu też zmaleć do 0;

i ogólnie:

- )b,q(N jest pochodną splotu )b(f)bq(H nN ;

- )b,q(E jest pochodną splotu )b(f)bq(H eE .

Jest to skutek liniowości równania konstytutywnego SMAE.

Równania (3.9a,b) opisują ewolucję emisji w trybie bezwarunkowym co powoduje, że

wariancja składowych losowych rośnie wraz z τ bez ograniczenia – i nie powinny być

stosowane dla dużych (np. większych od τ = 2 lub τ = 3) wartości τ. Znacznie lepsze wyniki

daje prognoza sekwencyjna (po zaobserwowaniu N(τ) lub E(τ) prognozuje się N(τ+1) lub

E(τ+1) i czeka na następną obserwację) prowadzona zawsze dla najbliższej jednostki czasu.

Z równania (3.6) wynika, że gdy τ rośnie to 03BB)(H E zatem asymptotycznie )(

energia maleje tak jak aktywność (pamiętać należy, że N i E to wielkości skumulowane

w jednostce czasu). Ponadto, jeżeli w równaniach (3.8a,b) w miejsce τ wstawimy q-b

i podzielimy przez równanie w którym zamiast q wystąpi q-1 to otrzymamy:

jj bqNBbqN ),1(),( 0 (3.10a)

jj bqEGbqE ),1()(),( (3.10b)

gdzie:

)1(/)()( HHG (3.10c)

Równania te można – jak poprzednio – zapisać w formie stochastycznej:

N

j0j ηb)1,N(qBb)N(q, , p (3.11a)

Ejj ηb)1,)E(qG(b)E(q, , Nm (3.11b)

opisującej ewolucję zmiennych stanu dla ustalonego segmentu b i dla 1 bq , przy czym

segment b skrawany był w „chwili” b.

Należy zauważyć różnicę w sposobie ewolucji aktywności i energii dla małych wartości τ:

różnica ta znajduje uzasadnienie w teorii modelu SMAE (np. Kornowski 2004 a).

Pamiętając, że w ociosie występuje K segmentów, wprowadzamy jeszcze funkcję

wskaźnikową Q taką, że 1Q gdy qb i 0Q gdy qb . Teraz sformułować można

równania stanu: gdy ściana obserwowana jest K–krotnie w ciągu skrawu przez każdy

z M. czujników, równania AE w przestrzeni stanów (N, f) mają postać pseudoalgorytmu:


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

526

znając wartości początkowe Kbbcn ,...1,)( 0 oraz

0),0(),( 10 bNbqN i wiedząc że 0'

0 kB gdy 1j , oblicz

dla ,...2,1j

dla Kq ,...,1

(3.12a)

(3.12b)

Jeżeli 1 jj )b(V)b(V – czyli w przypadku prostej dyskretyzacji przestrzeni, jak na

rysunku 2.1 – to 1R . Gdy znana jest wartość τz oraz warunki początkowe, to równania (3.12)

umożliwiają, dla „obserwowanych” prędkości j)b(V , symulację ewolucji aktywności,

wymuszenia i wielkości )(bc proporcjonalnej do naprężenia – w segmentach Kb ,...,2,1

w kolejnych skrawach ,...2,1j . Równocześnie algorytm zwany filtrem Kalmana umożliwia

optymalną estymację i prognozę tych wielkości.

Zaletą tak skonstruowanych równań stanu jest możliwość estymacji stanu (N, E, f)

poszczególnych segmentów ściany, mimo że system obserwuje (bez lokalizowania

źródeł AE) całą ścianę. Rozdzielczość estymacji zależy wprost od rozdzielczości

obserwacji. Otwiera to zupełnie nowe możliwości oceny stanu – w tym stanu zagrożenia –

ściany.

Warunek 1)()( jj bVbV może być „rozluźniony” dopuszczając 1)()( jj bVbV (jak na

rys. 2.2) jeżeli w kolejnych skrawach wartość K czyli liczba obserwacji i segmentów pozostaje

stała. Wówczas:

1j,1R (3.13a)

112 j,])b(V/)b(V[QR Qjj (3.13b)

gdzie Q jest funkcją wskaźnikową, natomiast

111 1

1

1

1

2

qb,j,)q(V/])q(V)q(V[Q j

q

i

j

q

i

j (3.14a)

112 qb,Q (3.14b)

Równania (3.13, 3.14) stanowią, że w pierwszym skrawie (j = 1) R nie jest liczone, a potem

emisja z urobionych segmentów )( bq ewoluuje zgodnie z (3.12a) lecz jest multiplikatywnie

modyfikowana czynnikiem 1)(/)( jj bVbV , natomiast (3.14) umożliwia określenie długości –

dla Kb ,...,1

równanie ewolucji stanów

2fN

N

1jn

jN

jn

j

ps,

p,

Qη

η(b)Qf

b)1,N(qSR

(b)Qf

b)N(q,

dla Mm ,...,1

równanie obserwacji

K

1b

Nobs1j

obsp,ηb)N(q,m)(q,N


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

527

najbliższego jeszcze nie skrawanego segmentu – tak, by pozostałe segmenty mogły zachować

długości z poprzedniego skrawu.

Analogiczne do (3.12a,b) równania wyprowadzono (Kornowski 2004a) dla zmiennych

stanu ),( efE . Mają one postać pseudoalgorytmu:

znając wartości początkowe Kbbce ,...1,)( 03 oraz

0),0(),( 10 bEbqE oblicz

dla ,...2,1j

dla Kq ,...,1

(3.15a)

(3.15b)

Energii „umownej” uobs EE nie przypisujemy tu jednostek. Funkcja b)T(m, to

„transmitancja” kanału od segmentu „b” do wyjścia systemu obsługującego czujnik „m”.

Określenie wartości b)T(m, wymaga określenia charakterystyki aparatury oraz „charaktery-

styki górotworu” (w szczególności tłumienia) między segmentem b a czujnikiem m. Obliczenia

znacznie się upraszczają, gdy zakładamy że źródłem emisji jest przyociosowa warstwa pokładu

(założenie Z2) i to jest zasadniczym powodem przyjęcia Z2. R zależy od regularności

skrawania tak jak w przypadku równań aktywności.

Zagadnienie równań stanu w przypadku zmiennej liczby niewiadomych i pomiarów

)( constK czeka na rozwiązanie.

4. Przypadki szczególne

A. Ponieważ z przyjętego równania ewolucji naprężeń wynika, że 1)()( jnjn bfbf , zatem

wyjęte z (3.12a) równanie aktywności N zapisać możemy w następującej „uśrednionej”

formie:

jn'k

jj )b(f)B(RB)b,q(NRB)b,q(N 030 11 (4.1)

(w chwili q wielkość N(q-1,b) jest znana z obserwacji zatem deterministyczna i jej uśrednianie

jest zbędne). Jak poprzednio, Q = 1 gdy q = b i Q = 0 gdy q b, możemy więc uważać, że Q

umożliwia okresowe (co k') ustalanie wartości początkowej aktywności (i od tego momentu

aktywność z b-tego segmentu maleje). Na przykład:

niech '0,1,1 kBbj i 00 )b,(N ; wówczas,

dla Kb ,...,1

równanie ewolucji stanów

21

1

Nms,

Nm,

Q)b(Qf

)b,q(ESR

)b(Qf

)b,q(E

fE

E

je

j

Eje

j

dla Mm ,...,1

równanie obserwacji

K

b

Eujj

obs)b,q(E)b,m(T)m,q(E

1

1


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

528

w chwili: 131 1111 )(fB),(N,q n

131 11122 ),(NB),(N,q

131 12133 ),(NB),(N,q i tak dalej do q = K następnie dla dalszych

segmentów ),...,2( Kb i dla dalszych j.

Wyrażenie jn bQf )( informuje, że do segmentu „b” w chwili skrawania (tzn. gdy bq ),

przykładane jest wymuszenie fn(b).

Dla ustalonego segmentu b, licząc czas od momentu skrawania tego segmentu możemy –

pamiętając, że równanie dotyczy AE uśrednionej po hipotetycznym zbiorze stochastycznych

realizacji – zapisać:

)()1()( 1 bQfNaN nn (4.2a)

gdzie: 01 RBa (4.2b)

)1( '03k

n BRB (4.2c)

co w dziedzinie czasu ciągłego ma postać:

,...2,1)'()()( 1 jjkttnatn nn (4.3)

gdzie:

[ )( kjtn – to ciąg impulsów o amplitudzie fn(b)j, przykładowych w chwilach t = kj (czyli

gdy np. b = 1 rozpoczynając każdy nowy (j-ty) skraw) wielkość n to intensywność aktywności

(w chwili t, z odcinka b), wielkość ta musi być całkowana w dziedzinie czasu by otrzymać

obserwowalną aktywność N]. Zarówno w przypadku (4.2) jak i (4.3) rozwiązanie, dla >0 (lub

dla t >0) ma postać funkcji skokowo wzrastającej co k' (tzn. w chwilach t = k'j) i wykładniczo

malejącej aż do następnego skoku. Zauważmy, że emisja z ustalonego segmentu „b” nie jest na

ogół łatwo obserwowalna.

B. Z równania (4.1) wynika interesująca zależność. Przyjmijmy dla uproszczenia R = 1 i usta-

lmy chwilę q. W chwili tej kombajn skończył skrawanie segmentu ( qq xx ,1 ). Sumując

równanie (4.1) w chwili q po wszystkich segmentach ),...,1( Kb otrzymamy:

jnnjj )b(fQ),q(NB),q(N 10 (4.4)

stąd

jnnjj )qb(f),q(NB),q(N 10 (4.5)

gdzie:

symbol fn(b = q) – oznacza wymuszenie w segmencie właśnie (w chwili q) urobionym i całe

równanie dotyczy wielkości uśrednionych (ponieważ po dokonaniu obserwacji wielkości

stochastyczne stają się deterministycznymi, faktycznie po chwili „q” tylko fn jest średnim

wymuszeniem). Jeżeli równanie (4.5) potraktujemy jako funkcję czasu ciągłego to, kładąc

t w miejsce q i pisząc f(tb) otrzymamy:


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

529

)(),(),( 0 bnn tftnBtn (4.6)

gdzie:

)( bn tf – jest teraz ciągłą funkcją czasu (zgodną z rozkładem wymuszenia wzdłuż czoła

ściany). ),( tn to chwilowa intensywność aktywności z całej ściany (którą należy całkować od

tq-1 do tq by otrzymać ),( qN ) i jest ona splotem wymuszenia z wykładniczo malejącą funkcją

Greena pokładu aproksymowanego zbiorem SMAE. Zgodnie z (2.1a) możemy napisać:

]),1(),([])([)( 01

jjjjn qNBqNqbVqbc (4.7)

Wykluczając momenty gdy V = 0, równanie to ma dość prostą interpretację:

Średnie naprężenie w okresie q, w segmencie b = q gdzie kombajn właśnie skończył

skrawanie, jest proporcjonalne do – podzielonej przez długość tego segmentu –

aktywności jqN ),( z całej ściany, pomniejszonej o aktywność resztkową ),1(0 qNB

z okresu poprzedzającego okres q. Zarówno ),q(N jak i ),q(N 1 są estymowalne

wykorzystując równania obserwacji.

Zależność ta umożliwia monitorowanie czaso-przestrzennego rozkładu wielkości

proporcjonalnej do lokalnego naprężenia a rozdzielczość estymacji zależy od przyjętej

jednostki czasu (okresu obserwacji) T.

Współczynnik proporcjonalności nc w równaniu (4.6) jest niewyznaczalny, stąd monitorować

można zmiany lecz nie - wartość . Równania od początku zakładają obecność „niewielkich

odkształceń niesprężystych” czyli niewielkiego zagrożenia tąpaniami, a symbol N (w odróżnie-

niu od Nobs) oznacza aktywność w źródłowym polu emisji. Jeżeli liczba (M) czujników jest nie

mniejsza od liczby (K) niewiadomych to równanie obserwacji rozwiązać można w każdej

chwili q, niezależnie od równania ewolucji. Gdy K > M, wykorzystać należy równanie ewolu-

cji rozwiązując (metodą filtru Kalmana) pełne zadanie estymacji stanów (N, fn). C. Podobnie jak w punktach A i B – lecz nieco bardziej złożone – analizy wykonać można dla

energii, lecz ze względu na rozmiary publikacji nie będziemy tego robili.

Nie mogąc pokazać przykładu ilustrującego związek zmiennych stanu (N, E) z wymuszeniem –

gdyż wielkości te nie są bezpośrednio obserwowalne – na rys. 3 pokazano zależności wiążące

obserwowalne wielkości V(t), Nobs(t) i Eobs(t) – gdzie t jest dyskretnym czasem z godzinową

jednostką. Rysunek ten przedstawia wyniki dziesięciodniowej obserwacji AE (znanej

z zagrożenia ściany 37/501 w kopalni „Wesoła”) dwoma czujnikami A9 i A11 oraz systemem

dyspozytorskim umożliwiającym oszacowanie V(t). Faktycznie wielkość ta to – na rysunku 4.1

– ułamek równy, podzielonej przez 60, liczbie minut pracy kombajnu w danej godzinie: jest to

tylko zgrubne przybliżenie V(t). Autor ma nadzieję, że dość proste - szczególnie w przypadku

aktywności – zależności splotowe (zgodnie z (4.4b) „aktywność chwilowa” jest splotem

wymuszenia z wykładniczo malejącą funkcją Greena charakteryzującą, zgodnie z modelem

SMAE, elementy pokładu), a w szczególności stopniowy – a nie ciągły – zanik emisji po

zatrzymaniu kombajnu, są na rysunku tym widoczne. Względnie proste (liniowe, określone

równaniami stanu) zależności łączące emisję z wymuszeniem są bowiem najistotniejszą rzeczą

którą autor chciał tu pokazać.


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

530

Rys. 4.1. Przykład zależności emisji sejsmoakustycznej (N – aktywność, E – energia) od prędkości

skrawania (V). Skala pozioma (w godzinach) obejmuje 10 dób obserwacji dwoma czujnikami Fig. 4.1. An example of AE dependence (N – activity, E – energy) on cutting velocity(V). Horizontal

scale (in hours) comprizes 10 days of observarions with two sensors

5. Wnioski

1. Przedstawiono – po raz pierwszy w zwartej i pełnej formie – sejsmoakustyczne równania

stanu (3.12a,b) (3.15a,b).

2. Równania stanu są liniowe, a wszystkie ich parametry są mierzalne. Równania mogą więc

być wykorzystywane do estymacji wartości zmiennych stanu w kolejnych „momentach”

dyskretnego czasu i „punktach” dyskretnej przestrzeni.

3. Dyskretyzacja czasu i przestrzeni, zatem rozdzielczość estymacji, zależy od prędkości

skrawania i od częstości obserwacji.

4. Do „rozwiązywania” równań stanu służy algorytm zwany filtrem Kalmana.

Literatura

[1] Kalman R. E. 1960: A new approach to linear filtering and prediction problems. Trans. ASME,

J. Basic Engineering, Ser. D, Vol. 82, 1006 – 1019. [2] Kalman R. E, Bucy R. S. 1961: New results in linear filtering and prediction theory. Trans. ASME,

J. Basic Engineering, Ser. D, Vol. 83, 95 – 108. [3] Kornowski J. 2001: Sejsmoakustyczna ocena zagrożenia tąpaniami – przegląd stosowanych metod

i aparatury. W: Dubiński J., Pilecki Z., Zuberek W.M. (red.) „Badania geofizyczne w kopalniach”, Wyd. IGSMiE PAN, Kraków.

[4] Kornowski J. 2002 a: Podstawy sejsmoakustycznej oceny i prognozy zagrożenia sejsmicznego w górnictwie. Wyd. GIG, Katowice.

24 48 72 96 120 144 168 192 216 2400

1

2 V

t

24 48 72 96 120 144 168 192 216 2400

700

1400N

t

A9

24 48 72 96 120 144 168 192 216 2400

700

1400N

t

A11

24 48 72 96 120 144 168 192 216 2400

600

1200E

t

A9

24 48 72 96 120 144 168 192 216 2400

600

1200E

t

A11


____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

531

[5] Kornowski J. 2002 b: Linearized Theory of Acoustic Emission from a Coal Longwall with Applications, Publs. Inst. Geophys. Pol. Acad. Sc., M-24 (340), 53 – 57.

[6] Kornowski J. 2004 a: Approximate Linear Theory of Mining Seismoacoustics. Arch. Min. Sci. (w druku).

[7] Kornowski J. 2004 b: Seismoacoustic Emission Field and Its Applications. Acta Montana, Ser. A, No. 137, 1 – 4.

[8] Ogata K. 1974: Metody przestrzeni stanów w teorii sterowania. WNT, Warszawa.

Seismoacustic emission equations and its application

Seismoacoustic state-space equations – composed of evolution equation(s) and observation equation(s) – describing AE from a coal longwall cutted with a shearer and observed with a network of AE sensors, have been presented. Information easily obtainable in normal (in seismically hazardous Polish coal mines) conditions is sufficient to (sequentially) solve the equations, resulting with estimates of state variables (e.g. activity, energy and quantity proportional to the local stress) at the coal seam segments much smaller than the whole longwall. State-space equations are both theoretically important (making possible optimal sequential estimation with the algorithm know as the Kalman filter) as well as potentially useful allowing monitoring the internal state of the observed longwall.

Przekazano: 25 marca 2004 r.

Documents

Jerzy KORNOWSKI - warsztatygornicze.plwarsztatygornicze.pl/wp-content/uploads/2004_26.pdf · Jerzy KORNOWSKI Główny Instytut Górnictwa, Katowice Równania emisji sejsmoakustycznej